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ULTIMATESNU [316505] · 쪽지

2011-07-30 22:08:35
조회수 731

sos440님 그럼 이반례는요?

게시글 주소: https://orbi.kr/0001528116

f(x) = 2x^2*sin(1/x) (x!=0), f(0)=0 일때
주어진 모든조건에 대해 |f(h)-f(0)|<=2h^2 을 만족하지만
f'(0)은 존재하지 않습니다
미분가능하지않는데 함부로 가정하면 안돼지요

아마 이 반례가 극한과 미분가능성에 엄밀한 정의가 나오던 시절 수학자가 들은 한 반례라고해서 유명한데
정확히 이름은 기억이 안나네요
참고로 주어진 함수의 x=0에서 미분값은 -2부터 2까지 진동합니다

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ULTIMATESNU [316505]

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  • sos440 · 104180 · 11/07/30 22:12 · MS 2005

    무슨 소리인가요? 저 함수는 모든 점 (원점 포함) 에서 미분 가능하지만 도함수가 x = 0 에서 연속이 아닌 성질로 유명한 반례입니다.

    x = 0 에서의 미분계수를 직접 미분계수의 정의로 계산해보세요. 0 나옵니다. 단지 x = 0 에서 도함수가 연속이 안 될 뿐이지요.

    한때 심층면접 준비한다는 교재에서는 빠짐없이 소개되기도 해서 나름대로 고등학생들에게도 유명세를 탔던 함수이고, 물론 미적분학이나 해석학을 배우면 당연히 한번 쯤 건드려보고 지나가는 반례입니다.



    여담이지만, 저 함수를 잘 이용하면 모든 점에서 미분 가능하고 도함수가 유계이지만, 그 도함수가 리만적분이 불가능한 반례 (Volterra's function)도 만들 수 있습니다. 하지만 그 construction이 미적분학 수준은 아니라서 여기서 소개하기는 힘들군요. 어쨋든 그래서 수학에서는 도함수가 존재하고 연속인 함수들, 즉 우리의 직관이 벗어나지 않는 함수들을 따로 모아서 다룹니다.

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  • ULTIMATESNU · 316505 · 11/07/30 22:25

    죄송합니다 반례의 요지를 착각했네요 -_-;
    다시 보겠습니다

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  • ULTIMATESNU · 316505 · 11/07/30 22:40

    그 식을 보고 안될꺼라고 생각했는데 제 생각이 틀린 것 같네요
    어쨌든 잘 배웠습니다^^;;

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