까다로운 행렬진위문제를 몇개 골라봤습니다.

Question

과외선생입니다.여러문제집을 검토하며 본 행렬문제들중꽤나 머리를 굴려야 할법한 문제들을 뽑아봤습니다.-------------------------------------------------------------이하의 행렬들은 모두 이차정사각행렬이다.명제들의 진위를 밝혀라1. A²B=O, B≠O이면 A²=O이다.2. A²=O이면 A=B^3을 만족하는 B가 존재한다.3. A²=B²=O, AB+BA=E일때, ABX=O이면 BX=O이다4. A²=B²=(AB)²=E이면 A³=B³이다5. A+B+C=3E이면 AB-BA=CA-AC이다6. AB²=E이면 A(AB)ⁿ=AⁿB이다(단 n은 1보다 큰 정수)7. A+B=O, AB=E이면 A+2B-E의 역행렬이 존재한다8. AB=A+B이면 A²-B²=B(A+B)A이다9. A²B=BA²이면 AB=BA이다 (이건 유명한 문제이지요)10. AB=BA이면 A²B=BA²이다11. A+B=AB=E이면 A^100 +B^100+E=O이다12. A+E, A-E의 역행렬이 모두 존재하지 않으면 A²=E이다13. A²=E이면 A+E, A-E의 역행렬이 모두 존재하지 않는다.14. A²+BA=AB이면 AB=BA이다 (이건 풀지않으셔도 좋습니다.)15. AB=BA이면 A²B²=(AB)²이다.16. A²B²=(AB)²이면 AB=BA이다---------------------------------------------------------고등학교 수준으로 풀기 귀찮은 문제도 하나 냈고,ㄱ,ㄴ,ㄷ문제에서 ㄱ,ㄴ과정을 생략하고 ㄷ문항만 낸 경우도 있고..사전지식이 있어야 접근하기 쉬운 문제들이 대부분이네요..이제 수능까지 100일정도 남았나요..저도 예전 이곳을 들락날락거렸던 기억이 나는데...ㅎㅎ아무튼 남은기간동안 다들 열심히 공부하셔서 좋은 결과 있으시길 바랍니다 :)

sos440 · Accepted Answer

14번은 제가 몇 년 전에 오르비와 디씨에 뿌렸던 떡밥이랑 거의 비슷하네요. 행렬에서 "교환법칙이 성립하지 않으니까 안 된다" 라는 말이 대체로 맞지만, 또 맹신하면 안 된다는 것을 보여주는 좋은 예지요.

이는 다음 일반적인 명제에 의해 참입니다: (증명은 선형대수의 기초적인 지식을 안다는 가정 하에 전개되었습니다.)



[정리]  두 이차 정사각행렬 A, B에 대하여, 다음 두 조건
(1) AB - BA = C²,
(2) AC = CA, 혹은 BC = CB
만족시키는 어떤 이차 정사각행렬 C가 존재한다면, C² = O 이고, 따라서 AB = BA 이다.


[증명]  CB = BC 인 경우는 A와 B의 역할을 바꾸면 정확하게 같은 논리가 되므로, AC = CA 라고 가정하고 증명을 하여도 무방합니다.

우선 C가 역행렬을 갖지 않음을 보입시다. 만약 C가 역행렬을 갖는다고 합시다. 그 역행렬을 편의상 D라고 하면, CA = AC 의 왼쪽과 오른쪽에 D를 곱해봄으로처 AD = DA 임을 알 수 있습니다. 따라서

E = DC²D
   = D(AB-BA)D
   = DABD - DBAD
   = ADBD - DBDA

가 됩니다. 그런데 양 변에 trace를 취해주면

2 = tr(E)
   = tr(ADBD - DBDA)
   = tr(ADBD) - tr(DBDA)
   = tr(DBDA) - tr(DBDA)
   = 0

이므로, 모순입니다. (단, 밑에서 두 번째 줄의 등호는 trace의 일반적인 성질인 tr(AB) = tr(BA)를 A와 DBD 에 대해 적용한 것입니다.) 따라서 C는 역행렬을 갖지 않고, 특별히 detC = 0 을 얻습니다.

한편, 케일리-헤밀턴 정리로부터 C² = (trC)C - (detC)E = tr(C)C 가 성립합니다. (detC = 0 이므로, (detC)E = O 이 되어 사라집니다.) 그러면

tr(C²) = tr((trC)C = tr(C)²

입니다. 그러나

tr(C²) = tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0

이므로, tr(C) 역시 0 이 됩니다. 따라서 케일리-헤밀턴 정리로부터 C² = O 을 얻고 원하는 결과가 증명됩니다. /////




이 정리에서 C = A 를 대입하면 두 조건이 모두 만족되므로, 14번이 참이 됩니다.

또한, 만약 A² - 2AB + B² = O 이라면 (A+B)² = AB - BA 이고, A+B = C 라고 두면 C² = AC - CA 가 되므로, 역시 14번의 경우로 환원되어 O = AC - CA = AB - BA 가 되고, 따라서 AB = BA 입니다.

즉, A² - 2AB + B² = O 이라는 조건만 보장되면 AB = BA 가 성립한다는, 아주 충격적인 결과가 나오지요.

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