수능완성에 있는 문제인데 ㅎㄷㄷ
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도대체 ㄷ 어떻게 풀어야하나요.... 이상하게 풀긴 했는데
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1/4이상이라고 놓고 풀어보세욤 그리고 1/4라고 해놓고 풀어보셈 ㅜ 전 이렇게해봣음 ..
알파 베타 둘다 범위 처리해서 푸셨나요??
ㄷ에서 양변에 로그취하면 logMlogN>3이구요 logM, logN을 각각 (1+a)(1+b) 라고 할 수 있어요 그렇다면 (1+a)(1+b) >= 3 이구요 이식을 b에 관해서 정리하면 b >= 3/(a+1) -1 입니다 a,b가 0과 1사이의 양수이니까 이식을 각각 풀어보면 1/21/4 입니다
아 감사합니다!! 이제 알것 같네요
음... 두 자리수라는 걸 읽지 않고 허튼 반례를 올릴 뻔했네요. 냉큼 지웠습니다.
그나저나 ㄷ이 참인 건 맞지만, 적잖이 찝찝한 문제네요.
왜냐하면 두 자리 자연수 M, N 중에서 M^(logN) 이 자연수가 되는 경우는 오직 N = 10 또는 M = 10 인 경우, 즉 logN = 1 또는 logM = 1 인 밖에 없는데, 이 중에서 어떤 경우도 M^(logN) 이 1000의 배수가 되지 않기 때문입니다.
따라서 가정이 거짓이 되기 때문에 주어진 조건문은 공허하게 참(vacuously true)이 됩니다. 무슨 말이냐 하면, ㄷ의 결론 부분에 αβ > 1/4 이 아닌 다른 아무 명제 - 심지어 αβ ≤ 1/4 - 를 집어넣어도 ㄷ은 여전히 참이 된다는 것이지요.
사실 이에 관련된 일반적인 이론 - logarithm의 algebraic independence - 은 아직까지도 추측으로만 남아 있을 정도로 어려운 이론이기 때문에, 뭔가 이론적인 증명은 사실상 불가능합니다. 그래서 컴퓨터를 이용한 수치해석적인 접근을 해봤는데, N = 10 혹은 M = 10 인 경우를 제외하고 두 자리 자연수 M, N 중에서 M^(logN)이 자연수에 가장 가까운 경우는 (M, N) = (56, 96) 혹은 (M, N) = (96, 56) 인 경우로 (어차피 M^(logN) = 10^(logM logN) 이므로, 이 값은 M과 N에 대해 대칭적입니다),
56^log96 = 96^log56 = 2919.9998953155148977…
입니다.
평가원 모의고사나 실제 수능에선 저렇게 안나오겠죠.. 수리영역을 지나치게 수학화해서 생각하시는 것 같으시네요.. 다만 비판하려는 의도는 없습니다^^; 사실 모든 문제집 풀다보면 가정이나 조건자체도 말이 안되는것들이 워낙에 많아서 일일이 다 이건 수학적으로 말이 안돼하면서 풀지 않을 수는 없으니까요 다만 출제자의 의도대로 푸는 훈련을 하는게 수험생이 할 일이라 생각합니다
맞는 말이지요. 어차피 진짜 수능에서는 검증된 문제들만 나오니까, "아, 문제가 틀렸을거야" 하는 걱정은 안 하고 푸는게 정답이긴 합니다.
하지만 제가 걱정하는 것은, 만약 우리가 문제를 풀면서 계속 그런 태도를 몸에 익히게 되면 설사 수리영역, 아니 수능이 아니라 다른 문제에 봉착했을 때에도 정작 그 문제 자체에 의심을 품지 않게 될 지도 모른다는 그런 점입니다.
물론 살면서 무엇인가에 문제제기를 할 필요가 없거나 그럴 필요성을 못 느끼는 사람들이 훨씬 많을 것이라고 생각합니다. 그렇다 하더래도 누군가는 그것을 똑바로 봐야 하지 않나 하는 생각이 드네요.
그리고 확실히 제가 요즘 느끼는 것 중 하나가 바로 '아, 학창시절 때 이런 습관을 들여놨으면 지금쯤 이런 고생은 안 할 텐데' 하는 일종의 후회입니다. 그런 의미에서 일부러 꼬치꼬치 따져본 것입니다. 뭐, 풀이라는 명목 하에서는 확실히 부적절한 답변이라는 건 인정합니다.
그나저나 뭐랄까, 제가 수능보던 시절만 해도 오류가 있는 문제는 생각보다 많지 않았는데 (EBS 400제 한 권 털면 한 1~3개쯤?), 요즘은 더 많나보네요. 이게 폭주하는 학교외 교육의 현주소같은 느낌...? 특히 여기서 본 건 아니지만, 다른 커뮤니티에서 누군가 심화 개념서같은 문제집에 있었다면서 올려놓은 문제를 보고 까무러친적도 있습니다.. 100년쯤 전에 라마누잔이 인도수학회 잡지에 내서 답을 공개하지 전까지 아무도 못 푼 문제를 그냥 떡 하니 갖다놓고 풀라고 하는 문제도 있었다죠. 그런 거 보면 많이 씁쓸하긴 합니다.
뭐 잡설은 그만 하고, 수험생 여러분들도 힘 내세요 -ㅅ-/
와.. 정말 감사합니다 ..문제가 썩 깔끔한 문제는 아닌 거 같네요