공간기하 두번째 문제입니다
게시글 주소: https://orbi.kr/0001430476
(78.2K)
[85]
스캔0010.pdf
이문제도 앞문제와 같이 깔끔한 풀이가 떠오르지
않아 문의드립니다
문제는 파일첨부합니다
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
아깐 너무 바보같은 글을 올려서.. 다급히 수정했습니다...-_-;;
아직도 부끄럽네요.
T(0,0,1)을 잡고, C(s,t,1)을 잡은뒤, 점 C를 중심으로 하고 P와 T를 지나는 구의 방정식을 생각해봅시다.
이때 직선 OP와 구의방정식의 교점은 Q가 됩니다(OPxOQ=OT^2=1)<-OT가 접선이 되기때문
Q(x,y,z)라고 두면 P(x/z, y/z,1)이 되겠지요(한직선위에 있으니)
한편 구 위에 P,Q,T가 다 있기때문에 CP=CQ=CT입니다(반지름)
즉
1) s^2+t^2=(x/z-s)^2+(y/z-t)^2 (CT=CP)
2) s^2+t^2=(s-x)^2+(t-y)^2+(z-1)^2(CT=CQ)
이고 각각을 정리하면
1) x/z (x/z-2s) +y/z (y/z -2t)=0
2) x(x-2s) +y(y-2t)+(z-1)^2=0이 되며,
2)에다가 1)의 z배를 빼면
x^2- x^2/z +y^2 -y^2/z +(z-1)^2=0이고
이걸 1-1/z로 나눠주니 x^2+y^2+z(z-1)=0이 나오는군요.
즉 x^2+y^2+(z- 1/2)^2=(1/2)^2
어떻게 풀긴 했는데, 계산이 너무 복잡하네요..;;
그런데 T와 C가 어떻게 나온 좌표인가요? 두 좌표를 왜 설정했는지 잘 이해가 가지 않아요...
OPxOQ=1이라고 문제에 조건이 나왔습니다. 그리고 P,Q가 한 직선위에 있다고 했지요.
이건 원과 할선?의 성질에서 나온 형태입니다. OPxOQ=OT^2(직선 OT는 접선)
이 식을 활용해주기 위해 OT의 길이가 1이되도록 설정하고, OT가 구 C의 접선이 될수 있도록 설정한 것입니다.
다시보니 정말 바보같이 풀었네요 ㅡㅡ;; 새풀이 올릴게요
Q의 좌표를 (x,y,z)로 두면 P는 O,Q와 한 직선위에 있으니
P의 좌표는 (x/z,y/z,1)이 되지요(z좌표가 1이니)
OQ의 길이를 R이라 하면, OP의 길이는 R/z가 됩니다.
따라서 OQxOP=R^2/z=1즉 R^2=z
R^2=x^2+y^2+z^2이므로 구하는식은 x^2+y^2+z^2=z
x^2+y^2+(z- 1/2)^2=(1/2)^2