난만한 님 소환)) 두 곡선의 최단거리 구하기 문제, 도와주세요 ~

Question

문제는 수학의 정석 실력편 연습문제 9-28번으로""두 곡선의 최단거리 구하기""입니다.첨부사진에서 보시는 바와 같이 정석에서는 이 문제를 두 곡선이 같은 모양이고, 서로 점 대칭인 관계를 이용하여 풀었습니다.1. 점대칭인 곡선 간의 최단거리는 각각 곡선 위의 점을 이은 선분이 대칭점을 지나고 이 선분이 각각의 점에서의 (공통) 법선일 때의 거리라고 하는데,그래프로 그려보면 직관적으로 이해가 되는데 수식으로 "증명"하는 거나 관련 "공식"은 없나요 ? 그냥 그래프만 보고 넘어가면 되려나요?2. 처음에 점대칭인줄도 몰랐고, 점대칭인 두 곡선의 최단거리일 때의 특정 상황도 몰랐기 때문에두 점의 x좌표를 미지수 t,s로 잡고 풀었으나, 풀이가 진전이 없었습니다.제가 처음 풀었을 때처럼, 위 2가지를 모르고 풀 수 있는 방법은 없나요?3. 점대칭인 곡선 간의 최단거리는 각각 곡선 위의 점을 이은 선분이 대칭점을 지나고 이 선분이 각각의 점에서의 (공통) 법선일 때의 거리라는 것은점대칭인 곡선이라는 특수한 경우에만 성립하는거 일텐데,일반적으로 두 곡선의 최단 거리를 어떻게 푸나요?

꾸리바네 · Accepted Answer

으아.. 수리가형 5등급이라서.. 맞는지는 모르겠지만..

1,두평행선사이에서 밑변이 고정되어있을때 넓이는 다 같지만 높이가 수직인 삼각형일때 높이가 최단거리로 형성되지요.... 그걸

활용하시면 최단거리인걸 증명하실수 있을거라 생각합니다.

2.대칭이면 합동이고 거리가 같다는 말씀을 어디선가 본적이 있습니다.. 그걸 활용해보시면 어떨까요..

3.접선과 접선의 사이를 표현하는 식을 세워서 극한으로 해보면 답이 나오지 않을까 싶습니다...

sos440 · Answer

점대칭도 필요없고, 두 곡선 사이의 거리가 최소가 되게 하는 곡선 위의 두 점이 존재할 때, 그 두 점을 이은 선과 각 점에서의 접선이 수직이 됩니다.

직관적으로 생각해보면, 주어진 곡선을 어떤 점 근처에서 매우 크게 확대하면 사실상 그 곡선을 직선처럼 볼 수 있습니다. 따라서 이 경우 문제를 직선과 점 사이의 최소거리에 대한 문제로 바꿔 생각하여도 무방할 것입니다. 그렇게 되면 거리가 최소가 되는 지점에서는 두 최소점을 이은 선분과 주어진 직선이 수직하게 되지요.

물론 미적분학을 이용하여 대충 증명을 해 볼 수도 있습니다. 두 미분가능한 곡선 a(s)와 b(t)가 있다고 합시다. 그리고 두 곡선 사이의 거리, 즉 |a(s) - b(t)| 가 최소가 되는 어떤 s0과 t0이 존재한다고 합시다. 그러면 L(s, t) = |a(s) - b(t)|² = (a(s) - b(t))·(a(s) - b(t)) 는 (s0, t0)에서 최소값을 가지므로, 이 지점에서 두 조건 ∂L/∂s = 0, ∂L/∂t = 0 을 만족합니다. 그런데 ∂L/∂s = 2(a(s0) - b(t0))·a'(s0) = 0 이고 ∂L/∂t = -2(a(s0) - b(t0))·b'(t0) = 0 이 됩니다. 여기서 a(s0) - b(t0) 는 두 최소점 사이의 변위벡터이고 a'(s0) 와 b'(t0) 은 각각 두 곡선 위에서의 최소점에서의 접선의 방향벡터이므로, 결국 두 식은 두 벡터가 수직함을 보여주고, 원하는 결과가 증명됩니다. 덤으로, 상황이 (질문하신 문제에서처럼) 2차원 내의 상황이라면, 두 접선이 평행하다는 사실까지 따라나오지요.

물론, 이러한 사실이 일반적인 경우에 두 곡선 사이의 최소거리가 존재한다든가 하는 것을 보장해주진 않습니다. 예를 들어 쌍곡선과 그 점근선만 생각해보더래도 최소거리라는 것이 존재하지 않지요. 하지만 이런 이야기는 할 수 있습니다. 2차원 상황일 경우, 적어도 두 곡선 각각 위의 점에서의 접선의 기울기가 일치하는 지점이 '최단거리의 후보' 가 될 수 있습니다.

이제 점대칭이란 조건이 주어지면 어떠한 이야기를 할 수 있는지 알아봅시다. 사실, 점대칭이란 조건만으로는 대칭점을 지난다는 것을 보장할 수 없습니다. 평행한 두 직선을 생각해보더래도 이는 쉽게 확인할 수 있고, W자처럼 혹이 두 개 있는 곡선을 잘 점대칭시켜 붙여봐도 꼭 그렇지 않다는 것을 알 수 있습니다. 하지만, 최소거리를 주는 점이 유일하다면, 그 두 점을 잇는 선분이 대칭점을 지남을 보일 수 있습니다.

이는 점대칭이 갖는 대칭성 때문인데, 기본적인 아이디어는, 만약 주어진 선분이 대칭점을 지나지 않는다면 이를 점대칭시켜서 또 다른 선분을 만들 수 있고, 이것이 유일성과 충돌하기 때문이라는 것입니다. 구체적으로는 다음과 같습니다:

만약 두 곡선 C1, C2가 어떤 점 M에 대하여 점대칭이고, 두 곡선 사이의 최소거리가 양수로 존재하며, 그 최소거리를 주는 C1과 C2 각각 위의 점 P1, P2 이 '유일하다'고 합시다. 그러면 P1과 P2를 이은 점은 M을 지납니다. 그렇지 않다고 가정해봅시다. 그러면 선분 P1P2 와 평행하고 M을 지나는 직선은 평면을 2등분하는데, 이때 선분 P1P2는 이 이등분된 평면 중 어느 한 쪽에만 속하게 됩니다. 한편 주어진 상황이 M에 대해 점대칭이므로, 우리는 전체 상황을 M에 대하여 180도 뒤집어 생각해볼 수 있습니다. 이때 C1과 C2는 각각 C2와 C1으로 뒤바뀝니다. 그리고 이 뒤바뀐 그림에서, P2를 M에 대해 점대칭시킨 점은 C1 위의 어떤 점 Q1이 되며, 마찬가지로 P1을 대칭시킨 점은 C2 위의 어떤 점 Q2이 됩니다. 그런데 우리는 Q1과 Q2를 잇는 직선이 최단거리가 되는 직선임을 알고 있습니다. 따라서 유일성 가정으로부터 P1 = Q1 이고 P2 = Q2 입니다. 그러면 여기서 모순이 나옵니다. 왜냐하면 Q1과 Q2를 이은 선분은 P1P2와는 다른 선분이 되어야 하기 때문이지요. 우리는 P1P2가 이등분된 영역 중 한 쪽에 들어감을 알기 때문에, 이 선분을 M에 점대칭시키면 원래 영역의 반대쪽으로 넘어간다는 것을 알고 있습니다. 그리고 그 넘어가서 생긴 선분이 Q1Q2이지요. 이로부터 P1P2 와 Q1Q2 가 다르다는 모순이 나오고, 이는 애초에 P1P2가 M을 지나지 않는다고 가정했기 때문에 생긴 모순입니다. 따라서 P1P2는 M을 지납니다.

그리고 부수적으로, 우리는 P2를 대칭시킨 점이 P1임을 알기 때문에 P1M = P2M 이라는 사실도 추가로 얻습니다.

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