증명 좀 부탁드립니다.

Question

P(x)=x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+1 (a1,a2,a3  는 음아닌 정수) 이고 P(x)=0 을 만족하는 모든 x가 실수일 때 P(1997)>=1998^4 임을 증명하시오.

sos440 · Accepted Answer

문제 조건으로부터, x ≥ 0 이면 항상 p(x) ≥ 1 입니다. 따라서 p(x)의 모든 네 실근은 음수이고, 이는 적당한 네 양수 p, q, r, s 에 대하여 p(x) = (x + p)(x + q)(x + r)(x + s) 임을 뜻합니다. 한편 근과 계수의 관계로부터 (혹은 방금 전의 p(x)를 그냥 다 전개해서 계수비교를 해 보면)

a3 = p + q + r + s
a2 = pq + pr + ps + qr + qs + rs
a3 = pqr + prs + pqs + qrs
1 = pqrs

가 성립합니다. 이제 산술기하 부등식

(x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ (x1...xn)^(1/n)

으로부터

a3  ≥  4(pqrs)^(1/4)  =  4
a2  ≥  6(pqrs)^(3/6)  =  6
a3  ≥  4(pqrs)^(3/4)  =  4

가 성립하므로,

p(x)  ≥  x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1  =  (x + 1)^4

입니다. 따라서 x = 1997 을 대입하면 증명됩니다.


이처럼 증명이란 것은 어려운 것이 아닙니다. 보시면 아시겠지만, 쓰인 내용이라고는 고작 다항식의 근과 계수의 관계에 대한 간단한 이해와 산술기하 부등식 뿐이지요.

증명 좀 부탁드립니다.

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