올해 해원모 0회 20번 질문
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문제에서 준 식이 x>-1에서만 정의되는데, 해설지 세번째 줄부터 보면 sinx-2x가 치역이 모든 실수라는데 정의역에 제한이 있으니까 치역은 모든 실수가 안되는거 아닌가요? 따라서 실수전체집합에서 f'(x)<0 이라고는 못하지 않나요?
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ㄱ. 선지에서 (-∞,0) 에서 f(x)는 증가한다고 했으니까 (-∞,0)에서 f'(x)>0 이라고 가정합시다.
여기서 g(x) = sinx -2x라 하면 f(g(x)) = ln(x+1) (x> -1) 이구요.
양변을 미분하면 g'(x) * f'(g(x)) =1/(x+1) > 0 (x>-1) 인데
g'(x) < 0 이고, 가정에서 f'(x)>0 이라고 했으니까
g(x)<0 인 g(x)에 대해서 f'(g(x)) > 0 이겠죠?
가정이 참이라면 g'(x) * f'(g(x)) < 0 이어야 하는데 ln(x+1) > 0 이니까
ㄱ. 선지는 틀린 선지입니다.
정성 답변 감사합니다. 근데 제가 궁금한 것은 선지의 참 거짓이 아니라..
'모든 실수'에서 f가 감소한다고 말할 수 있나? 입니다. 애초에 문제에서 준 식이 정의역에 제한이 있으니까.. g(x)의 치역이 모든 실수가 되지 않으므로, 어떤 음수~0 인 구간에서 f가 감소하는 건 분명한데 해설지에는 모든 실수에서 감소한다고 적혀있어서요.
일단 일부 구간이라도 감소한다는 걸 밝혔으니 문제는 풀었습니다.