고1수학문제좀 풀어주세요

Question

1. 다음 연립방정식 을 풀어라[x+1/x]^2+[x]-2=<0x^2-x[x]>0풀어주세요 ㅜㅜx범위 2개쪼개서하는건 알겠고 절댓값범위 구했는데 x값의 범위를 못잡겠네요 2.모든 원소가 실수인 집합 S가 S={x,y,z}={xy,yz,zx}를 만족하고 x+y+z=-3이다. S에 속하는 원소 중 가장 작은 원소를 a라 할 때, a+1/a의 값을 구하시오.xyz,x^2+y^2+z^2,x^3,y^3,z^3 값은 구할수 있었는데 이이상 모르겠네요

콘실크 · Accepted Answer

첫번째 식에서 x=0인경우는 생각하지 않습니다.
x>0이면 산술기하에 의해 4+[x]-2<=[x+1/x]^2+[x]-2<=0입니다. 즉 4+[x]-2<=0이고 이식은 x>0이라는 조건에 모순입니다.
따라서 x<0입니다.
두번째 식에서 x(x-[x])>0인데 x-[x]>=0입니다. 만약 x-[x]=0라면 식이 성립하지않으므로x-[x]>0이 되어야겠죠
그렇다면 x(x-[x])>0에서 뒤에부분이 날아가 x>0입니다.
첫번째 식에서 x<0가 필요조건으로 나오고, 두번째 식에서 x>0이 필요조건으로 나왔으므로 두 식은 양립할수 없습니다.

콘실크 · Answer

두번째문제.
xyz=xyyzzx가 되어야겠죠. 이 식을 풀어보면 xyz=1 or 0이 나옵니다.
만약 xyz=0이라면 x,y,z중 하나는 0입니다. 편의상 x가 0이라고 하죠.
그러면 xy,xz도 모두 0이 됩니다. 즉, 0이 적어도 두개 있다는 뜻이죠.
결론적으로 x,y,z모두 0이 되어야 함을 쉽게 알수 있습니다. 그러면 x+y+z=-3이 될수 없지요.
따라서 xyz=1입니다.
이제 x,y,z를 세 근으로 하는 삼차방정식을 떠올려보면
t^3-3t^2-3t-1=0임을 알수 있습니다.(근과 계수의 관계를 떠올려 보세요)
즉, x,y,z는 방정식t^3+3t^2-3t-1=0의 세근이지요. 풀어보면 t=-1 or t=-1+-sqrt2이 나오네요.

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