음함수의 미분문제 알려주세요
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x/y + y/x = 4 미분하라고 하는데
저의 계산은 양변xy 곱해서 x2 + y2 = 4xy 가 되게 해서
함수 전체를 x에관하여 미분하면 2x + 2y*dy/dx = 4y + 4x*dy/dx 로
나오므로 정리하면 dy/dx = (x-2y)/(2x-y) 답이 이렇게 나오는데
어디서 문제가 생긴걸까? 알려주세요 고수님들....
정답은 dy/dx = y/x 라고 합니다.
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x/y + y/x = 4
xy^(-1) + x^(-1)y = 4
x에 관해서 편미분하면,
y^(-1) - xy^(-2)dy/dx - x^(-2)y + x^(-1)dy/dx = 0
(x/y² - 1/x)dy/dx = 1/y - y/x² 에서
dy/dx = y/x
그러니깐 제 말뜻은 정상적으로 풀면 답은 나오는걸 인정하는데요.
저런 방식을 통해 (양변 xy를 곱해서 미분하는방식) 계산을 할 수는 없나 여쭤보는거예요^^
똑같은 식인데 양변에 xy곱하고 안곱하고에 따라서 dy/dx 값이 달라질 수 있는게 맞는건가요?
양 변에 xy를 곱하면 x² + y² = 4xy 가 됩니다. -ㅁ-
아 제가 컴터에 입력할때 제곱을 안넣었네요 근데 제가 계산할때는 제곱을 넣고 계산했습니다. 본문글 수정했습니다^^;
겉모습은 항상 우리를 속입니다. 우리가 매번 다른 옷을 입는다고 해서 우리 자신은 변하지 않지요. 이제 두 결과가 동일함을 보입시다. 우리는 원래 식으로부터
x/y - 2 = 2 - y/x
임을 알고 있습니다. 따라서
dy/dx
= (x-2y)/(2x-y)
= { y (x/y - 2) } / { x (2 - y/x) }
= { y (2 - y/x) } / { x (2 - y/x) }
= y/x
입니다. 간단하죠?
고수님 감사합니다. (꾸벅) 명쾌한 답변이었습니다.