음함수의 미분문제 알려주세요

Question

x/y + y/x = 4 미분하라고 하는데저의 계산은 양변xy 곱해서 x2 + y2 = 4xy 가 되게 해서함수 전체를 x에관하여 미분하면 2x + 2y*dy/dx = 4y + 4x*dy/dx 로 나오므로 정리하면 dy/dx = (x-2y)/(2x-y)  답이 이렇게 나오는데어디서 문제가 생긴걸까? 알려주세요 고수님들....정답은 dy/dx = y/x 라고 합니다.

undisputed · Accepted Answer

x/y + y/x = 4
xy^(-1) + x^(-1)y = 4
x에 관해서 편미분하면,
y^(-1) - xy^(-2)dy/dx - x^(-2)y + x^(-1)dy/dx = 0
(x/y² - 1/x)dy/dx = 1/y - y/x² 에서
dy/dx = y/x

sos440 · Answer

양 변에 xy를 곱하면 x² + y² = 4xy 가 됩니다. -ㅁ-

sos440 · Answer

겉모습은 항상 우리를 속입니다. 우리가 매번 다른 옷을 입는다고 해서 우리 자신은 변하지 않지요. 이제 두 결과가 동일함을 보입시다. 우리는 원래 식으로부터

x/y - 2 = 2 - y/x

임을 알고 있습니다. 따라서

dy/dx
= (x-2y)/(2x-y)
= { y (x/y - 2) } / { x (2  - y/x) }
= { y (2 - y/x) } / { x (2  - y/x) }
= y/x

입니다. 간단하죠?

음함수의 미분문제 알려주세요

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