급수 정적분 바꾸는거 이거꼭 이렇게 해야되나요

Question

Lim  n->oo 갈때 시그마 k는1부터n까지이고 그다음 괄호에 {f(k
) - f(k-1
)} k
으로 되어있는데 이식을 풀때 한꺼번에 전개다해서 소거법으로 풀더라구요 이건 이런식으로밖에 못푸는건가요?   전 위에 두식을 따로따로 해서 앞의식은 0부터1까지 f(x) 적분하는건 알겠는데 뒤쪽을 모르겠는데 뒤쪽을 어찌푸는진 안알려주고 죄다 한꺼번에 나열하는식으로 푸네요 뒤쪽은 따로풀방법이 없는건가요?

양다일 · Accepted Answer

음 dx를 정확히 못구할땐 그냥 적절한 n과 k 대입해서 구분구적법으로 푸는게 훨씬 좋아요 물론 출제자도 구분구적법을 이해하라는 의도로 낸거 같은데

내가그대들의방패라네 · Answer

앞의 식 뒤의 식 나눌 수 없습니다.
그 이유는 시그마 f(k/n)*(k/n)의 극한값과 시그마 f(k-1/n)*(k/n)의 극한값이 존재하지 않기 때문입니다.
또한 나눈다 하더라도 0부터 1까지의 적분은 시그마f(k/n)*(1/n)의 극한입니다.

다만 문제에서 구하라는 식은 역함수의 적분과 값이 같습니다.
f(k/n)-f(k-1/n)이 델타y의 의미를 가지고 k/n이 g(y)의 의미를 가지고 극한 식의 의미를 파악하면 역함수를 정적분한 넓이와 같다는것을 알 수 있습니다.

끼룩끼룩~ · Answer

Xk 를 f(k/n)으로 잡으세요 그럼

델타Xk = f(k/n) - f(k-1/n)  이고
g(Xk) = g(f(k/n)) 으로 보세요

그럼 역함수의 적분으로 바뀌어요
인테그랄 g(x)✖️dx 로 바뀌는거죠 
구간은 물론 f(0)부터 f(1)까지 겠지요

ㅅㅏㅁㅂㅏㄴㅅㅜ · Answer

가장 교과서적인 풀이는 시그마 안에 모든걸 다 풀어서 하는건 맞습니다. 
이걸 역함수의 넓이로 해석할 수는 있지만 그건 엄밀히 따지면 교육과정 외입니다. 하지만 충분히 유추해낼 수 있는 합리적인 직관입니다.
(교육과정 밖인 이유는 교육과정에서는 구분구적법을 등간격으로 나눌때만 정의했지만, 역함수로 해석할 경우 f(k/n)-f (k-1/n) 이 등간격이 아닙니다. 
물론 실제로는 등간격이 아니더라도 가장 큰 밑변이 0으로 수렴하면 됩니다. 하지만 이부분을 교육과정상에서 설명하지 않고 있습니다.)

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