"이계도함수를 갖는다"의 의미...
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늦은 시간에 답변 주신 분들 감사합니다!
정리.
아래에 든 예시는 적분상수가 모두 0라 가정하면,
f''(x)에서 f'(x)와 f(x)를 모두 구할 수는 있지만,
구해놓은 f'(x)는 x=0에서 미분 불가능하기 때문에
처음의 f''(x)는 x=0에서 함숫값이 정의되지 않기 때문에
결국 아래의 예시는 이계도함수를 갖지않게 되네요.
결론은,
이계도함수를 갖는다
=> 도함수가 미분가능
=> 원함수가 미분가능
================================
'그냥 당연하게 원함수와 도함수가 미분가능하다'라고 생각하고 있었는데 갑자기 혼란이 오네요.
모든 실수 x에 대하여,
1.
이계도함수를 갖는다
=> f'(x)가 연속이다
=> f(x)가 미분가능하다
이계도함수를 갖는다 & 연속이다
=> f'(x)가 미분가능하다
=> f(x)가 미분가능하다
vs
2.
이계도함수를 갖는다
=> f'(x)가 x는 모든 실수에 대하여 미분 가능하다
=> f'(x)가 모든 실수에 대하여 미분계수를 갖는다
=> f''(x)가 연속이다
=> f'(x)가 미분가능하다
=> f(x)가 미분가능하다
만약 2번이 맞다면
예를들어,
f''(x)= -2 (x<0)
2 (x>=0)
f'(x)=-2x (x<0)
2x (x>=0)
f(x)= -x^2 (x<0)
x^2 (x>=0)
이 경우에도 모든 실수 x에 대하여 대응되는 이계도함수 값이 존재하는건데,
모든 실수 x에 대하여
'이계 도함수를 갖는다'와
'이계도함수가 존재한다'는
다른 의미로 사용되는건가요?
어떻게 해석하는게 맞는걸까요?
댓글로 1,2 둘 중 어느게 맞다고 생각하시는지,
그리고 그렇게 생각하시는 이유도 말씀해 주시면 감사하겠습니다!
귀찮으시면 참고할만한 책이나 링크 주셔도 좋아요!
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흠 그 아래 예시에서 x=0에서의 f"값은 존재하지 않는데요
답변 감사합니다
f'(x)를 기준으로 보면 미분 불가능하기 때문에 존재하지 않지만
f''(x)를 기준으로 보면 f''(0)=2로 존재한다고 볼 수 있지 않나요?
정의할때 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능할때를 상정하기때문에 0일때는 열린구간으로 취급해서 미분가능성을 따질수가없어영
안됨 f" x기준으로 해도 적분하면 적분상수가 c1 c2로 달라질수 있기때문에 f'x가 x=0에서 연속이라는 보장이없어여 c1=c2가 아닐수도 있자나여
그럼 적분상수가 같을 수도 있는건데
그렇게 따지면 f'(x)를 먼저 정해놓고 f''(x)를 따지기 때문에 정의되지 않는건가요?
적분상수가 같아도 f'은 x=0에서 미분 불가능하므로 f'' 의 값은 존재하지 않음.
기본적으로 R에서 주어진 도함수가 불연속인 함수가 존재하긴 하는데, lim(x->a-)f' 이나 lim(x->a+)f' 의 극한값이 존재하지 않아 불연속이 되는 경우는 존재해도,
극한 lim(x->a-)f'와 lim(x->a+)f' 이 모두 수렴하면서 동시에 다른 값을 취하는 경우는 절대로 나타날 수 없어요.
x=0에서 불연속함수를 적분한다는거 자체가 일단 적분된 함수는 x=0에서 무조건 미분 불가능 하다는거고 적분상수가 같으면 연속일수는 있음
그리고 교과서에서 닫힌구간에서 연속이고 열린구간에서 미분 가능할 때를 따짐
ㅇf'(x)가 0보다 크거나 같은곳에서 연속이고 0보다 큰곳에서 미분가능할때 f"(x)가 정의되어야함
네 이해됐어요 감사합니다!
이해됐어요 답변 감사합니다!
1번이 맞아요.
이계도함수가 존재한다는 것은 원함수와 도함수가 미분 가능하다는 것을 뜻합니다.
미분 가능한 함수는 연속함수이므로 f'은 미분 가능한 것이 당연합니다.
이급함수는 이계도함수가 연속인 함수이고 미분 가능한 함수의 도함수가 연속이라는 보장이 없기 때문에 이계도함수가 존재하는 함수라고 이급함수인 것은 아닙니다.
예시에 든 함수는 애초에 존재할 수 없는 함수입니다. (0,inf)와 (-inf.0)에서 미분가능한 꼴이고 x=0에서 미분 불가능하기 때문에 도함수는 x=0에서 정의되지 않죠.
도함수는 정의되지 않나요 다만 이계도함수가 정의되지 않는 예시인거같은데
아 식을 잘못봤네요. 도함수는 존재하고 이계도함수는 x=0에서 정의가 안되는게 맞습니다.
음.. 그럼 불연속인 함수는 불연속 지점에서 정의가 안된다고 생각해야하는건가요?
그게 아니라 f'이 x=0에서 미분불가능하므로 f''은 x=0에서 정의되시 않는다고 봐야함
그럼
f''(x)= -2(x<0)
2(x>=0)
은 이계도함수가 정의되지 않는다고 받아들이면 되고,
h(x)라는 함수가 있는데
h(x)= -2 (x<0)
2 (x>=0)
이렇게 되어있으면 괜찮은건가요?
이게 이계도함수라서 불연속이면 안되는건가요?
함수라는건 정의역과 공역이 주어지고 정의역의 각 원소에 공역의 원소가 하나씩 대응되기만 하면 정의됩니다.
다만 f가 미분가능한 점에서만 f'의 값이 정의된다는걸 기억하면 되죠.
음 그럼 제가 든 예시는 함수로서의 이계도함수는 존재하지만
도함수 기준으로 보면 x=0에서 미분 불가능하기 때문에
x=0에서의 이계도함수값이 존재하지 않아
이계도함수를 갖는다고 생각할 수 없다
라고 생각하면 될까요?
f가 특정 구간에서 이계도함수를 갖는 것은 맞는데 f''이 x=0에서 정의되지는 않는다고 보면되죠
답변 감사합니다
그런데 f'(x)를 먼저 생각하고 그걸 미분해서 f''(x)를 생각해보면 미분계수가 존재하지 않지만
f''(x)만 보면 f''(0)=2로 존재하는거 아닌가요??
f''(0)=2라는게 f'(x)가 x=0에서 미분가능하고 미분계수가 2라는 뜻이에요.
f'이 x=0에서 미분불가능하니까 정의가 안되는게 맞죠
그럼 '이계도함수를 갖는다' 라는 의미는
단순히 'f''(x)가 존재한다' 라는 의미가 아니라
'도함수가 모든 실수에 대하여 이계도함수값을 갖는다'라고
생각하면 될까요?
굳이 실수전체일 필요는 없고 특정 구간에서 정의되기만 하면 됩니다.
네 이해됐어요! 늦은 새벽에 답변 감사합니다!
윗분 말이 맞아여 이계도함수가 존재한다는것은 도함수가 연속이고 미분가능하다는 소리지만 그것만으로 이계도함수가 연속이라는 것을 보장해주진 않음
이계도함수 데헿
???ㅋㅋㅋㅋㅋ
2번 에서 정의역의 모든 실수 x에 대하여 이계도함수를 갖는다면 2번에 쓴 말들이 전부 참입니다.
그런데 예시가 잘못 됐네요.
f(x)=-x^2 (x<0)
x^2 (x>=0)
이 함수의 경우 도함수를 표시할 때
f'(x) = -2x (x<0)
= 2x (x>=0)
이계도함수의 경우
f"(x) = -2 (x0)
라고 표시하는 것이 맞습니다. 도함수가 x=0에서는 미분불가능하기 때문에 불연속인 이계도함수를 가지기 때문에 애초에 예시로 든 함수가 "모든 실수 x에 대하여" 이계도함수를 갖는 함수가 아닌거죠.
결론은 2번도 맞고 이계도함수를 갖는다 = 이계도함수가 존재한다 똑같은 말이고요. 예시만 틀렸네용
뉴런 미적분1 theme13에 관련 내용이 살짝 나옵니다.
f"(x) = -2 (x<0)
= 2 (x>0)
네 이해됐어요 늦은 시간에 답변 감사합니다!
저도 헷갈리던건데 이따 읽어보게 지우지 말아주세요..!
결론이 뭔가요?? 저거 항상 궁금했네요
위에 결론 정리해놨어요ㅎ
이계도함수를 갖는다
=도함수원함수미분가능