직관과 아이디어는 개념에 대한 고민에서 시작합니다.
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한줄요약 : 항상 말하는 건데, 정말 항상 말하는건데.
여러분 기본부터 확실하게 생각하셔요.
여러분 생각을 안하는데 어떻게 성적이 오릅니까.
어떻게 하면 21번이나 30번을 풀 수 있게 될까요?
다양한 풀이법을 외우는게 답이라고 생각한다면 다음을 생각해봅시다.
그 풀이를 외웠을 때, 문제를 보고 풀이법이 바로 떠오르나요?
그 아이디어가 바로 떠오르나요? 아닐겁니다.
충분한 시간을 거쳐서 문제풀이를 훈련해야 떠오를 수 있어요.
그게 어디에 쓰이는지 어떻게 적용되는지를 계속 연습해야합니다.
교과외 과정인 로피탈의 정리나, 테일러 근사, 그리고 외적같은 경우 반드시 어떨 때 쓰이는지 알아야 적용할 수 있죠.
이제 생각해봅시다. 그렇다면 얼마나 많은 풀이를 충분하게 훈련해야 할까요?
그럴 시간이 있나요? 잘 모르겠습니다.
많은 분들이 간과하시는게 있습니다. 교과외 풀이가 유용하다한들
그것이 교과서 개념보다 유용한건 아니란거에요.
그것을 쓸 수 있는 문제가 나올 수도 안나올수도 있어요.
그렇다면, 우리는 교과서 개념을 철저하게 하는편이 더 이득이란겁니다.
그 후에 다른 것을 생각하는게 낫다는 이야기죠..
오늘은 예시를 몇개 들고 왔습니다.
16수능 가형 30번에서는 무리함수와 미적분학의 기본정리를 이용하여 물음과 답을 내면서 풀 수 있었습니다.
적분은 연속함수에서만 가능해. 함수이려면, x값과 y값은 실수여야해.
그런데 루트 안의 수가 음수이면 실수가 아니니까! f(t)는 2 이하여야겠네!
(나)의 식에서 미적분학의 기본정리에 의해서 우변을 미분하면 적분 안의 식이 그대로 나온다
.....
이렇게 풀 수 있었던거죠. 당연한 개념을 철저히 생각했다면 조건을 보면서 충분히 해결할 수 있었을겁니다.
17학년도 9월 가형 30번의 경우
교과서에서는 절댓값 씌워진 함수의 미분가능성을 조사했는데.. 왜 조사하는걸까?
미분이 불가능 할 수 있기 때문이야. 그렇다면 저것은 이계도함수를 가지므로, 미분 가능하겠네?
절댓값 함수는 그 안의 수가 음수일 때 마이너스가 붙는다. 함수가 바뀐다는 거지.
예전에 쉬운 3점 예제에서 함수가 바뀔 때, 미분 가능성을 묻는 문항이 있었어.
여기에서도 함수가 갑자기 바뀔때에 미분 불가능한 점일 수도 있겠구나!
그런데 왜 미분 가능할까?
....
교과서 예제의 발전일 뿐입니다. 이제 우리는 교과서 예제와 개념을 문제에 적용하고 생각하면 되는거죠!
16학년도 수능 가형 21번
원래는 (x,f(x))의 형태인데, 여기에서는 (f(t),t)로 뒤바뀌었어.
어떻게 된걸까? 보통의 f(x)는 함숫값인데..? x와 y가 바뀌었구나! 역함수구나!
아닌데? 저 삼차함수 곡선은 역함수가 존재하지 않는데?? 도대체 어떻게 풀어야할까?
......
수2에서 배운 함수의 정의가 뭐였지? 역함수는 뭐였지? 그 때는 실수전체가 아니라
정의역이 X={1,2,3,4} 이렇게 되어있어도 성립했는데...?
이런식의 생각을 이어나가면서 풀 수 있다는 것입니다.
그 시작은 이렇게 교과서에 기반한 아이디어에서 나왔다구요.
아이디어는 반드시 생각을 많이 할 때 발생합니다.
그 생각을 많이 하게하는 것은 개념학습과 문제풀이입니다.
이것을 왜 이렇게 생각해야하는가를 고민해야합니다.
그래야 다른 문제에서도 그만큼의 생각을 끌어낼 수 있습니다.
왜?라는 의문이 학습에 있어서 가장 중요해요. 그래야 유사한 상황에 다시 적용할 수 있습니다.
그 배운 개념을 이용해 적용할 때 왜 그런지 생각하세요.
왜 이렇게 생각을 해야하는지 따지고 따지면
다른 문제에서도 반드시 적용이 될겁니다.
그러므로, 기본에 충실하세요. 생각에 충실하세요.
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감사합니다
유투브영상도 잘봣어요 ㅎㅎㅎㅎ
으어.. 그거 막 제가
생각을 안하는데! 여러분은 생각을 안해요!
이런거 찍어놨는데 제가 내림..ㅠ
아 강성태님이 여러분은 공부를 안해요 이거처럼요???
넹.
갓 치대..
읽어줘요..ㅠㅠ
읽었어요 음.. 좀 당연하다고 느끼긴했는데 이 칼럼은 뭔가 와 닿았다고 할까요?
감사합니당!
잘읽었습니다 감사합니다
넹! 감사합니다!
참 좋은 칼럼인데 수험생 심리상 이렇게 계속 곱씹으면서 생각하기가 힘들것 같아요
당장 다른 것도 해야할게 많고 조급하다보니까 한큐에 푸는 방법 문제 풀이 기술들을 찾게 되는 거고 이런거 습득해서 양치기해도 1등급 나올 수는 있으니까 그렇지만 최종보스 30은 건들지 못하는. . . 본인이 딱 이런식으로 공부했습니다
최종보스 30번을 섭렵하기 위해서는 교과서에 나온 개념을 학습목표부터 증명 종합문제까지 완벽하게 숙지한 다음 모든 문제 배웠던 개념들을 다시 생각하며 이해의 깊이를 업그레이드시키면 되는건가요?
1등급은 나왔지만 30번은 건드려보지도 못해서 본인 수학 실력에 아쉬움이 남아서 드리는 질문입니다
그러시는 수 밖에 없습니다.
저는 운좋게도 이렇게 곱씹는수밖에 없었어요.
그래서 했고 운좋게도 성공했습니다.
문제풀이 기술만을 맹신하면 안되십니다.
1등급이 나오는것과 항상 1등급은 다릅니다. 본질적인 실력을 올리셔야합니다.
그 조급함을 극복하는 게 중요한거 같네요
덧붙여 기벡교과서에 있는 증명들 중요한가요?
넵. 간단하게 생각해보시면 됩니다.
수능 전날에 벼락치기 안됩니다. 긴 시간동안 공부하셔야죠.
하루아침에 변하는것은 없습니다. 그러므로 중요한건 긴 호흡을 갖고
계속 기본실력을 늘리는 것입니다.
자신의 실력에 확신을 갖게되는 시점이 왔을 때 문제를 보면 어떤 느낌이셨습니까? 작년 30번 문제 같은 것도 가슴이 턱턱 막히거나 그런 것 없고 별거 아니구만 ㅋㅋ 이런 느낌이셨습니까?
아 자신의 실력에 확신을 갖게 될 때 30번정도를 보면
'이게 뭔 소리야.' 혹은 '이거 풀수 있는건가' 하는 생각이 먼저 듭니다.
대략 망했다는 생각 두번정도 하다가 한번 문제를 분석해봅니다.
전혀 모르겠는데, 뭔가 실마리가 하나하나씩 보이기 시작합니다.
분명 개념에서 배웠던겁니다. 그거 따라가다보면 출제자의 의도도 보입니다.
개이득하면서 계산에 집중해서 마무리합니다.
이게 제가 15학년도 30번, 16학년도 30번이나, 기타 평가원 30번을 볼때의 마음가짐이었습니다.
처음부터 딱보면 이거네 하는 사람은 천재입니다.
애초에 평범한 사람이 30번 한눈에 보고 계획까지 다 세울수 있답니까
그냥 고민하다가 실마리가 보이는거죠 그 힘이 개념에 있습니다
글쓰다 날려서 캡처했습니다
넵. 그 시도에서 교과서에 맞는 풀이를 찾아내는것이 중요합니다.
기본에 맞는 풀이를 찾아내는 확신이 중요합니다. 아니면 여러 풀이를 고민하다가 멘붕빠져요.
이런식으로하다보면 이런 문제들을 푸는데 걸리는 시간이 줄어들 수 있다는 거죠?
짧게 걸리는 풀이 사이에서 고민을 더하는것보단
고민없이 시간 걸리는 풀이가 낫습니다.
친절한 답변 감사합니다
아닙니다. 열심히 해주셔요! 저번 연구교사제에 대한 의견 감사했습니다.
더 나은 방향을 위해 고민해보도록 할게요.
감사합니다. 그런데 교과서라고는 해도, 써 주시는 의문형 칼럼들은 어떻게 생각 하신 건지 궁금합니다. 보통은 유리화 어떻게 하는 지 정도에서 끝 날 텐데 왜 나왔는 지 직접 해보시고 허수에 대한 개념과 방정식에 대한 개념이 교과서에서 끝나지 않고 생각 하시는 게 대단하다는 생각이 들었습니다.
정리를 한 번 다 하고 나서 그런 생각이 들으셨던 건가요? 아니면 수능 보시고 나서 돌이켜 보면서 생각하신 칼럼들 이신가요?
일단, 접선이 너무 많아! 하는 내용은 제가 수험생때 생각했지만, 할선의 극한까지 생각하지는 못했습니다. 저 내용은 아마 90퍼 이상 수험생때 생각했습니다.
예를들어볼까요?
분모의 유리화 개념은 그렇게 했을 경우 식이 간편해진다는 설명이 있었습니다.
또한 허수의 나눗셈에서도 유리화 비슷한 접근을 했었죠.
이렇게 많이 나오는 개념에 대해서, 무조건 분모에 유리수가 나오는게 편하구나 하는 생각은 해야할 필요가 있습니다.
왜 편할지 생각해주면 필연적으로 도달하게되는 내용입니다.
이차방정식의 근의 개수는 항상 2개인것은 수학 칼럼 보다보니 대수학의 기본정리가 있어서 읽어보게 되었습니다. 이것정도는 우연이라 할 수 있습니다.
왜그럴까 생각하다보면 반드시 해답은 나옵니다.
아주 고마운 답글을 달아주셨군요. 마음에 새기겠습니다 감사합니다.
넵. 열심히 하셔요!!
오 저같은 사람에게 꼭 필요한 글이군요!
좋은글 감사합니다 (꾸벅)
정말 *안*읽었습니다ㅎ!
ㅇㅅㅇ...
오늘도 좋은 칼럼 감사합니당
항상 이게 가장 옳은 방법이구나 하면서도 늘 마음이 조급해지는 게 병인 것 같습니다...그래도 늘 꼬박꼬박 읽으면서 마음 다잡고 있습니다 감사합니다!
저야말로 감사합니다!
풀고 나서 이 풀이가 맞는지 틀리는지 의문점이 드신적은 없으신가요??
그걸 확인하기 위해 교과서를 참고했습니다
제 풀이는 교과서 풀이와 일치할 수 밖에 없었기에,
틀리다는 생각을 하지 않았습니다.
의문점은 개념 학습할때 많이들었습니다.
안풀릴때 많이들었고 풀고나서는 들지않았습니다
매번 많이 느끼고 도움도 받고갑니다 감사합니다~
넵. 열공하셔요!!
난독증있어서 못읽겠으.. 3줄요약좀해주세요
맨위에 한줄요약했능데
저랑 공부 스타일이 무섭도록 같네요.
제가 지금 하는 개념공부가 후에 빛을 발하길 바라요
저번 칼럼도 그렇고 항상 감사합니다ㅎㅎ
음... 문제도 많이 푸셔야합니다
적용까지가 정말 중요한 과제입니다
사실 저도 집안 형편이 좋지 못해서 학원, 인강 하나도 의존하지 않고 EBS 개념강의 좀 듣는 거 외에는 오로지 독학으로 준비했습니다.
독학할 때 저같은 경우는 일반청의미님처럼 깊은 사고를 하며 공부하기보다는
내 풀이에 오류가 없는 지, 해설지와 얼마나 같은 지에만 집중하고, 기출문제 + EBS 프린트 인쇄 + 중고 서점에서 구입한 교재 를 토대로 엄청난 양치기를 했었습니다.
방법이 잘못되었는지는 몰라도, 수능 시험 결과는 나쁘지 않았으나,
이렇게 양치기를 하면서 특히 유독 수학만큼은 무언가 한계가 느껴졌었습니다. 21, 29, 30번이 잘 안풀리더라구요. 저는 이런 문제들은 고액 학원이나 고액 과외를 통해서 해결할 수 있는 것이지, 노력으로 할 수 있는 게 아니라는 그럴듯한 합리화를 했습니다. 수능 때 1등급 컷을 맞고 무과외 무인강으로 내가 할 수 있는 최선을 다한 것이라고 자찬하면서도 마음 한편으로는 첨단 공학을 전공하겠다는 마음가짐으로 공대에 진학하겠다는 자가 고등학교 수학 하나도 제대로 평정(?)하지 못했나는 자괴감이 들었습니다. 이러한 자괴감은 지금까지도 갖고 있구요.
지금 제가 형편이 좋지 않은 친구를 과외해주고 있습니다.
무일푼으로 하는 건 아니지만,(사실 무일푼으로 하려고 했는데 학부모께서 조금이라도 받으라시면서 기어코 주시네요)
사실 수학 실력이 그닥 뛰어나지 않음에도 과외를 한다는 것에서 그 학생에 대한 미안함이 있습니다. 완벽한 실력을 가지지도 못했으면서 누군가를 가르쳐야 한다는 것에 대해서 말이죠...
가르치는 학생에게 부끄럽지 않도록, 또 이 학생이 저한테 배우는 시간이 제가 고등학교 때 무능한 선생때문에 낭비한 수업시간처럼 되지 않도록 되기 위해서,
그 학생에게 보다 더 잘 알려주기 위해서
마음 한편에 남아있던 고등 수학에 대한 자괴감을 떨쳐내기 위해서
여름 방학부터 고등 수학을 다시 공부해서 고등 수학에 정점을 찍어보고자 합니다.
그래서... 드리는 죄송스러운 부탁인데,
그 학생이 어려워하는 점이나 제가 공부하다가 궁금한 점에 대해서
쪽지로 질문을 드려도 괜찮겠습니까?
또 과외할 때 일반청의미님께서 쓰신 칼럼 내용 일부를 활용해도 되겠습니까?
쓰시는 좋은 칼럼 항상 잘 감사히 잘 읽고 있고,
글 속에서 느껴지는 어질고 선한 인품에 제 자신에 대해 반성하고 있습니다. ㅋ
늘 행복하고 즐거운 하루 보내시고
이루고자 하고 바를 꼭 이루시길 기원합니다.
그리고 본과생활 하시느냐고 바쁘신데도 학생들을 위해 애써주시는 것에 대해 정말 감사합니다.
1. 저작권자의 것임을 명시하면 가능합니다.
어차피 모두가 보라고 쓰는것입니다. 쓰셔요.
2. 질문은 받을 시간이 안날 수 있습니다.
3. 수학의 정점보다 모든 과목 다 커버할 수 있는 실력을 기르셔요. 수험생은 가르치는것만 중요한것이 아닙니다.
수능에서 그 과정을 거친 만점자가 먗명정도 나오나요 경험하셧거나 그분들의 공부스타일에대해 아시는게 있다면 조언 부탁드려봅다. 감사합니다
아쉽게도 이 과정 전부를 재현한 학생을 찾지는 못하였습니다.
제가 직접 경험을 한것이 전부입니다.
저것을 비슷하게 재현한 학생의 점수는 96점, 혹은 92점정도를 받았습니다.
작년기준입니다.
5등급이하의 학생이 본질적인 실력을 늘리는데는 꽤 효과적이었습니다.
저같은 경우는, 저렇게 공부를 했을 때 정말 시간이 오래오래 걸렸습니다. 그걸 버티면서 하는 끈기가 있엇던것 같습니다.
저렇게 해서 성공한 학생들의 공통점은 저것을 모두 다 생각하면서 문제를 풀었다는 점입니다. 양치기도 그냥 양치기를 한것이 아닌 퀄있는 양치기를 한거죠