삼각치환법에 대해 연구를해봤는데요

예를들어 사인으로 치환할때 일대일 대응인구간인 마이나스 이분의파이부터 프라스 이분의파이까지 범위를 정하고 적분을하잖아요?

전 그게 못미더워서 인터넷검색을 해봤는데 저랑 같은의문을 가진사람들은 있었지만 제대로된 답변이없더군요...

그래서 하루동안 이거만 생각했습니다..ㅠㅠ 솔직히 수학자들이나 교수들은 걍 상식으로 알고있는걸텐데 왜 이런걸 알려주는 선생도없고 그런걸까요.

제가 연구한거랑 오르비 고수님들 의견 많이주세요 제가 생각치못한 변수라던지 제가 뭘 잘못생각했다거나 그런거요 그리고 제가 한거보고 도움되시는분들 계셨으면 물론 좋구요~

그리고 제가 처음에 증명없이 인정한거는 혹시 증명법아시는분 부탁드리겠습니다!

이건 다른싸이트에 올렸던글이라 반말입니다 양해부탁드려요

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일단 여기서 전제는 엑스 이꼴 사인쎄타 놓고 양변 미분했을때 디엑스=코싸인쎄타X디쎄타 를 원래 적분하려던 식의 디엑스에 대입하고

쎄타에대해 부정적분했을때 그 식은 쎄타를 엑스로 고쳤을때 원래 엑스에 관한 식을 엑스에 대해 적분했을때의 식과 동일한식이 나온다는

전제가 있어야되. 이거는 왜그런지 도저희 명확하게 이해가안되더라고. 어디서 설명해주는데도없고 그러니 그렇게 된다는것만 일단 알아둔다면


원래식을 적분했을때의 식이 F(x)라고 한다면 싸인쎄타로 치환해서 부정적분하면 그식은 F(sin0)가 되겠지(0=쎄타로봐줘)

그런데 원래 적분식의 위아래끝이 a,b라고 했다면 F(a)-F(b)이므로 F(sin0)의 식에 쎄타가 a인 쎄타값이 c라한다면 당연히 사인함수는

주기함수이기때문에 c+2ㅠ도 c가 나와서 sin(d)=b라 한다면 치환으로 구한 부정적분식에 위 아래끝으로 c,d를 잡아준다면

F(sinc)-F(sind)  =  F(a)-F(b) 가 되고 위아래끝을 c+2ㅠ,d로 잡아줘도 F(sin(c+2ㅠ))-F(sind)=F(a)-F(b)로 역시 결과가 같을텐데

실상은 그렇지않지. 위아래끝이 같은 a,b값이 출력되는 값이라도 사인함수가 일대일대응인구간인 여러구간중에 두 위아래끝 설정값이

다른곳에있다면 그주기만큼 답이 달라지는걸 알수있어.


여기서 생각해야될게 일대일 대응이 아닌 함수의 역함수는 반드시 일대일대응인 구간별로 나눠져서 구해지는데, 이것은 상수항이 다름 또는

부호가 다름으로인해 실현되 예를들어 y=x^2의 역함수는 프라스마이나스 루트엑스로 두개로 부호에의해 나뉘어 구해지고

여기서 사인의 경우엔 반드시 일대일 대응인 구간에 대한 사인의 역함수를 생각할때 sinx에서 x가 어느 주기에 있느냐에따라

정확히 그 차이나는 주기만큼의 상수가 차이나는 역함수를 얻게되.

고로 처음에 정의한 디엑스=코싸인쎄타X디쎄타 를 원래 적분하려던 식의 디엑스에 대입하고

쎄타에대해 부정적분했을때 그 식은 쎄타를 엑스로 고쳤을때 원래 엑스에 관한 식을 엑스에 대해 적분했을때의 식과 동일한식이 나온다는 전제는

미분하면 동일한 식이 나오므로 깨지지 않지만 쎄타의 구간에따라 엑스를 사인쎄타로 치환해서 적분해서 얻은 쎄타에 관한 식을

엑스에 관한 식으로 바꾸는 과정에서 일대일대응이 아닌 사인함수의 역함수를 구할땐 반드시 일대일대응인 구간별로 상수항에 의해

나눠져서 구해진다는 원리에 의해 쎄타에 대입하게되는 x에관한 식은 반드시 처음 대입하는 위아래끝인 쎄타값들의 주기차이만큼

상수항 차이가 생기게되서 결과가 그렇게 되는거지.

그러니까 같은 한 함수라도 역함수는 일대일 대응인 구간마다 모두 다르기때문에 이런결과가 생기는거지