많은 수학 교재에 실린 오류?

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'많은 수학 교재에 실린 오류' 라는 제목의 글이 두 개 보여 이 글을 씁니다.

[1] 치환적분을 할 때 일대일 대응 조건이 필요한가?

함수 f가 연속이고 함수 g의 도함수가 연속이라고 하겠습니다.

미적분의 기본정리에 의해 함수 f의 부정적분 F가 존재합니다.

따라서

$\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)\:dt=\int_{a}^{b}\frac{d}{dt}F(g(t))\:dt=F(g(b))-F(g(a))$

와 같이 쓸 수 있습니다. 이 등식의 가장 오른쪽 부분을 다시 표현하면

$=\int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\:dx$

입니다. 지금까지의 과정 중에 함수 g가 일대일 대응이어야 한다는 조건은 필요하지 않았습니다. 그러므로

$\int_{a}^{b}f(g(t))g'(t)\:dt \rightarrow \int_{g(a)}^{g(b)}f(x)\:dx$

와 같이 바꾸는 치환적분은 함수 g가 일대일 대응이 아니더라도 자유롭게 활용할 수 있습니다.

한편, 삼각치환법과 같이 x=h(t)로 치환하는 치환적분법

$\int_{a}^{b}f(x)\:dx \rightarrow \int_{?}^{?}f(h(t))h'(t)\:dt$

은 h가 일대일 대응일 때 쉽게 활용할 수 있습니다. 다만 이 경우에도 h가 반드시 일대일 대응이어야 하는 것은 아닙니다. h가 일대일 대응인 경우를 생각하는 것만으로도 충분할 뿐더러 그렇게 해야만 불필요한 고려 사항을 줄일 수 있기 때문에 그렇게 활용하는 것뿐입니다.

물론 어떤 분께서 지적하셨듯이 다변수 함수의 수준으로 가면 일대일 대응 관계가 있는 함수를 통해서만 치환적분을 쓰는 것이 맞습니다. 그렇지만 고등학교 수준에서 일변수 함수의 특성을 논하는 데에 굳이 직접적인 연관성도 없는 대학교 과정의 내용을 들먹일 필요는 없지요.

[2] 몫으로 정의된 함수의 극한값을 계산할 때

x가 a로 수렴할 때 lim f(x)=alpha, lim g(x)=beta 라고 하면

$\lim_{x \rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}$

와 같은 조건을 쓸 때 g(x)가 0이 아니어야 한다는 조건은 없어도 됩니다. beta가 0이 아니라는 조건만 있으면 충분합니다.

x가 a로 수렴할 때 f(x)/g(x)의 극한값을 계산하기 위해서는 함수 f(x)/g(x)가 x=a 근방에서 정의되는 것만으로 충분하며, g(x)의 극한값이 존재하면서 0이 아니라는 사실이 x=a 근방에서 g(x)가 0이 될 수 없다는 것을 보장해주기 때문입니다.

못 믿겠다는 분들은 대학교 해석학 책

Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, p.85

를 펼쳐보시기 바랍니다.

해석학의 대가 분께서 제 말이 틀리지 않았다는 것을 보여주실 겁니다.

물론 이 경우에도 g(x)가 0이 아니어야 한다는 조건을 추가한다고 '오류'가 생기는 것은 아닙니다

beta 가 0이 아니라는 조건만 있을 때에 비해 위의 성질을 적용할 수 있는 범위가 줄어드는 것뿐이죠.

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푸른허밍버드 [400909]

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엘파바 · 668096 · 17/03/26 11:11 · MS 2016

해석학은 역시 루딘

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가우디아 · 728715 · 17/03/26 11:11 · MS 2017

깔끔하게 정리해주셔서 감사합니다!!

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메잘알2 · 737478 · 17/03/27 12:42 · MS 2017

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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안웃긴책 · 691909 · 17/03/26 13:55 · MS 2016

완전 감사합니다. 저도 그글을 보고 x=h(x)로 치환 할때 이게 일대일 대응이 아니면 어떻게 되는지 이해가 안되었는데 그냥 고등수준에서는 그냥 일대일 대응이여야 하구나 생각하고 넘어가도 된다는 말씀이시죠?

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푸른허밍버드 · 400909 · 17/03/26 14:03 · MS 2012

네 x=h(t)로 치환하는 적분에서는 실질적으로 일대일 대응인 함수를 고려하는 것만으로도 충분합니다.

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안웃긴책 · 691909 · 17/03/26 14:21 · MS 2016

감사합니다. 명확하게 이해가 되었어요. 근데 너무 많이 알면 독이되네요. 차라리 그 글을 보지도 않았다면 이런 찝찝함을 애초에 느끼지도 않았을텐데요

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메잘알2 · 737478 · 17/03/27 12:35 · MS 2017

고등 과정에서 실질적으로 충분하다기 보단, 대학 수학에서도 일변수함수의 일대일 대응 조건은 전혀 필요 없다고 보시는게 정확한 표현입니다
물론 문제 풀때도 훨씬 편하구요.

뭐든지 정확히 알고, 교과서대로 공부하는것이 가장 정확하고 편합니다.

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수학과물리와예술 · 640644 · 17/03/27 18:00 · MS 2016

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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메잘알2 · 737478 · 17/03/27 12:29 · MS 2017

불필요한 고려사항을 줄이기 위해 그렇게 활용할 뿐이라는 말은 동의하기 힘드네요.

다변수함수의 경우 치환하는 함수가 가역함수여야 하는 조건이 붙습니다만, 일변수함수의 경우 전혀 요구되지 않는 조건입니다. 이 부분을 명확히 구분했어야 하는데 저자들이 혼동을 해서 벌어진 명확한 오류이구요, 용이성때문에 해당 조건을 부여한 것이라는 내용은 근거가 부족해 보이네요..
불필요한 조건이 붙는데 어떻게 문제풀이가 더 편해지죠?

다시한번 말씀드리지만 교과서에는 해당 조건 없이 명확히 증명되어 있고, 그 조건 없이 푸는게 훨씬 편할 때가 많습니다. 정확히 알고 문제를 푸세요.

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푸른허밍버드 · 400909 · 17/03/27 12:46 · MS 2012

어떤 이유에서 근거가 부족해보이시나요?
삼각치환법의 경우도 일대일 대응이 될 수 있게 삼각함수의 정의역을 제한하고 푸는 것이 생각할 거리가 훨씬 적습니다.
일대일 대응 조건이 없으면 풀 수 있는데 일대을 대응 조건을 붙이면 못 푸는 치환적분 문제가 있나요? x=h(t)로 치환하는 적분 문제 중에 말입니다.

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메잘알2 · 737478 · 17/03/27 12:49 · MS 2017

이를태면 int-(0~2pi) cos^3 x sinx dx와 같은 경우를 생각해 보십시오. 일대일 대응 조건이 있어야 한다고 가정하고 문제를 푼다면 구간을 세 개로 나누어 풀어서 다 더해주어야 합니다. 이 조건이 필요없다는 것을 알고 있어야 문제 풀이가 훨씬 쉽습니다.

그리고 용이성은 차치하고, 해당 조건이 반드시 지켜져야 하는 조건인양 적혀 있다는 것은 결코 정당화될 수 없는 문제입니다. 백번 양보해서 저 조건으로 풀 때 훨씬 쉽다고 해 봅시다, 그렇다고 사족인 조건이 "~해야 한다" 의 꼴로 쓰여지는것이 정당화될 순 없는 것이죠.

제 말의 취지는 뭐든지 교과서대로, 그리고 정확히 알고 푸는것이 가장 올바르다는 것입니다. 이러한 맥락에서 저 조건이 대학 수학 내용에 대한 오해에서 비롯된 오류인 내용이라는 것을 명확히 할 필요가 있다는 것입니다.

용이성이 아닌 오류입니다.

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푸른허밍버드 · 400909 · 17/03/27 15:46 · MS 2012

이 경우는 위의 두 번째 경우에서와 같이 x=h(t)로 치환하는 것이 아니라
첫 번째 경우에서와 같이 g(t)=x 로 치환하는 것 아닌가요?
분명히 첫 번째 경우에는 함수 g가 일대일 대응이 아니더라도 자유롭게 활용할 수 있다고 명시했을텐데요.
본문을 먼저 제대로 읽고 답을 달아주시면 감사하겠습니다.

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메잘알2 · 737478 · 17/03/27 16:55 · MS 2017

네, 제가 그 부분을 못봤네요.. 죄송합니다.

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수학과물리와예술 · 640644 · 17/03/27 18:02 · MS 2016

다변수함수일 때, 치환함수가 가역함수여야 한다는 얘기는 왜 하는지 의문입니다. 고등학교 과정이든 대학과정이든 논하고자 하는 바가 일변수함수에 대한 것인데, 다변수함수를 왜 끌고 들어오는지 모르겠네요. 애초에 메잘알님은 일변수 함수에서 그 조건이 불필요하다는 얘기를 하는 건데.

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푸른허밍버드 · 400909 · 17/03/27 23:28 · MS 2012

제 글의 요지는 이렇습니다.
일변수함수의 치환적분을 할 때, 어떤 함수를 하나의 변수로 치환하는 방법이 있고 어떤 변수를 다른 변수에 대한 함수로 치환하는 방법이 있는데, 전자는 일대일 대응이 아니더라도 자유롭게 활용할 수 있고 후자도 일대일 대응 조건이 반드시 필요한 것은 아니지만 후자의 경우 일대일 대응 조건을 거는 것만으로도 충분하고 그게 더 생각할 여지가 적다 라는 겁니다.
다변수함수 얘기는, 다른 글에서 누군가 다변수함수의 치환적분은 일대일 대응 조건 하에 쓰니 일변수함수도 그렇게 해야 한다 라는 논지로 주장을 펼치셔서 그에 대한 반박을 쓴 것입니다.

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메잘알2 · 737478 · 17/03/27 12:30 · MS 2017

그나저나 둇네님은 글올리고 아직도 안나타나내요..
말도안되는 내용을 대학수학인 양 올리더니

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