다항식의 최대공약수 교과서문제 질문이요 ㅠㅠ
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고등수학 복습하면서 다시보게 된 문제인데요
두 다항식 A,B의 최대공약수를G 최소공배수를L이라 할때
A+B, A-B의 최대공약수는 G 이다가 교과서에서는 참이라고 하는데
최고차항이 1이라는 조건도 빠져있고
다항식 A와B가 x로 같으면
2x와 0의 최대공약수는 x 라고 하던데 이부분에서 0은 x로 나누어었을떄 나머지가 없기떄문에 된다고 들었는데요 맞는건가요?
또 교과서에서 다항식의 약수는 수인수를 고려해도 되고 무시해도 된다는데
그렇다면 수인수를 고려할경우 A 와 B의 GCD는 x이고 A+B,A-B 의 GCD는 2x로 다르게 되는데 어디가 문제인건가요
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1. 이렇게 설명드릴게요. 일단 다항식 A, B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 하면
A = Ga, B = Gb (a, b는 서로소) 로 씌여질 수 있지요?
그러면 A-B = G(a-b), A+B = G(a+b) 입니다. 이제 a-b와 a+b가 서로소인지 아닌지 판정하면 됩니다. 물론 역시 a,b가 서로소임을 이용해야겠죠.
우선 a와 b가 서로소면 a와 a+b는 서로소입니다. 그렇죠? 만약 a와 a+b가 서로소가 아니라면, a와 b가 서로소가 아니라는 모순이 나옵니다.
그러므로 저 사실로 인해 a와 a-b도 서로소라는 것을 알 수 있습니다. 여기서 나아가서 a+b = (b-a) + 2a 도 a-b랑 서로소라는 것을 알 수 있지요.
따라서 A+B, A-B의 최대공약수는 여전히 G입니다.
A와 B가 각각 x인 경우에 A+B = 2x 와 A-B = 0 의 최대공약수는 여전히 x입니다 ^^;
방금 수인수는 고려해도 되고 무시해도 된다고 하셨잖아요;; ㅎㅎ
이게 왜 애매하냐면...
16(x-1)(x+2)의 약수는 (x-1), (x+2) 뿐이지만, 수인수까지 고려하면 2(x-1), 4(x+2), 8(x-1), 완전 많아지거든요 ㅎㅎ
그래서 계수는 생각 안해주어도 됩니다 ㅎㅎ