미분에 대한 명제.
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미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 f(x)가 x=a에서 극값을 가질때
f'(a) = 0 이다.
이게 참인 명제인가요?
그러니까 극값을 갖고도 f'(a)값이 존재하지 않는다거나 그럴수는 없나요...
또 궁금한거.
f'(x) = tanx라고 한다면 x=파이/2에서 미분계수가 존재하지 않잖아요. 그럼 미분불가능하겠죠?
그럼 원함수인 f(x)에서 x=파이/2에서 극값을 가지나요?
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극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않을 수 있습니다만,
미분 가능한 함수 f(x) 라면 x=a에서 극값을 가질 경우 항상 f'(a)=0 이어야 합니다.
그리고 아래 f'(x) = tanx 의 원시함수 f(x)=-ln|cosx|+C에서 x=π/2일 경우에는 정의되지 않음을 알 수 있습니다.
극값을 갖고도 미분계수가 존재하지 않는다는건 알았었는데 미분가능하고 극값을 갖는거라아 조건을 헷갈렸네요. 근데 극값을 가질경우에 그 x값에서 미분계수가 0이라는 걸 어떻게 증명하나요. ㅜㅜ
정확한 표현은 저도 자신이 없네요.
미분가능한 함수 f(x)에 대해서 x=a에서 극값을 가지려면, x=a 근방에서 f(x)의 함숫값의 증감이 바뀌어야 하니,
f'(a)=0 일 수 밖에 없지 않은가... 라고 궁색한 대답을 해봅니다;;
저도 미분 헛공부했네요 ㅋㅋ
지금 읽어보고 생각난건데 중간값정리에 의해서 증명할수도잇겠다는 생각이드네요.. 증감을 경계로 도함수의 부호가 반대로 바뀌니까 적절한 구간을 잡아서? 근데 구간이라는걸 또 어떻게 적절하게 잡지.. 아 정말 이거 제대로 공부해야되는데..
'적절한 구간' 이라는 부분은 [a-δ, a+δ] 로 나타내고, (δ는 충분히 작은 실수값)
대학교에서는 이를 δ-ε 논법이라고 부른다고 주워 들은게 있어요.
극한에 대한 표현은 대개 이런 방법을 사용한다고 하네요.
고등학교 과정에서는 무리가 아닐까, 조심스럽게 언급해 봅니다.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극소이면 f'(a)=0임을 증명해 보겠습니다.
극소니까 x=a주위만 생각하면 그 부분에서 최소라고 할 수 있겠죠. 따라서
x가 a에 가까울 때
f(x)>f(a)라고 할 수 있습니다. 따라서
f(x)-f(a)>0
이고, x>a일 때는 { f(x)-f(a) } / (x-a) > 0, xa의 극한을 취하면 우미분계수는 0 이상, 좌미분계수는 0 이하라는 식을 얻는데,
위에서 f(x)가 x=a에서 미분가능하기 때문에, 좌미분계수=우미분계수=미분계수는 0일 수밖에 없죠.
극소를 "그 부분에서 최소"라고 생각하는 게 좀 더 논리적으로 탄탄하고, 대학교 공부에도 도움이 될 겁니다. 성지출판사 등의 교과서에서 이런 식으로 논리를 전개하고 있으니까, 참고해 보는 것도 괜찮겠죠.
f(x)가 x=a에서 미분가능하고 극대일 경우에도 위와 같은 방법으로 하면 f'(a)=0을 얻습니다.
이 성질은 롤의 정리로 이어지고, 다시 평균값의 정리로 이어지는 중요한 성질이니까, 잘 기억해 두세요.
오 깊이있는 답변 감사합니다. 충분히 작은 양수 h에대하여 f(a+h)-f(a)/h 의 부호로 결정하는 것도 괜찮겠네요.
좌미분계수가 0이하, 우미분계수가 0이상이고 미분가능하다는 것이 극한값이 반드시 존재해야되기때문에 결국에는 미분계수가 0이되는것라고 거군요.
네, h를 이용해서 증명해도 결국은 같은 내용이지요~