x^x 가 lim x-+0으로 갈때 1임을 어떻게 증명할 수 있나요?

Question

예전부터 궁금해왔던 건데요 제목처럼 x^x 가 lim x->+0으로 갈때 1임을 어떻게 증명하나요?

전에 x^1/x 가 lim x->+0 으로 갈 때 1이 된다는 걸 증명한 건 본적이 있는데 위에것은 본적이 없네요. 교과서에도 나오고 미분문제풀때

꽤나 많이 도입해서 사용했던 내용인데 증명없이 쓰자니 껄끄럽네요 궁금하기도 하구ㅎ

아 또 전에 문제를 풀때 x^x=1 이 되는 x의 값은 +0과 1밖에 없다라는 걸 밝혀야 했던 문제를 본 적이 있는데요

생각해보면 당연하고 그래프 그리는 프로그램으로 보니까 x^x 그래프가 1이 될때는 x=1 이랑 x=+0밖에 없는 것을 확인할 수는 있었는데 증명하는 방법은 잘 모르

겠더라구요 한번에 두문제나 여쭙는건 죄송한일이지만 힌트라두 알려주셨으면 감사하겠습니다~

p.s 링크 걸어둔 거는 울프럼 알파로 lim_(x->+0) x^x 풀라고 한 건데요 밑에 series expansion 이라고 한 건 무한 급수인 건 알겠는데 어떤 무한 급수죠?

테일러 급수인가요? x^x가 밑의 무한 급수를 만족한다는걸 알면 lim_(x->+0) x^1/x =1 이라는 걸 아용해서 증명할 수 도 있을 것 같긴한데 이 무한 급수를 모르겠네요^_^

스트라디바리우스 · Accepted Answer

x^x=e^(xlnx)임을 이용해봅니다.xlnx가 0으로 간다는 사실은 아마 쉽게 증명가능하실겁니다

수능생 · Answer

쉽게 밝혀집니다;;주어진극한을 lim lnx / (1/x)  로 표현한 후 로피탈의 정리를 써주면 lim (1/x)/(-1/x^2) = lim -x = 0 입니다.

완전수 · Answer

로피탈의 정리를 쓰지 않아도 보일 수 있습니다.일단 lim_{ x → +0 } x ln x 에서 x 를 1/t 로 치환하면 lim_{ t → ∞ } ( - ln t ) / t 가 된다는 것을 알 수 있고,t > 0 에서는 0 < ln t < 루트(t) 을 만족한다는 것을 보여주게 되면, 샌드위치의 정리를 이용해서 극한이 0 임을 알 수 있습니다.

스트라디바리우스 · Answer

ㅋㅋㅋ 재밌네요참고로 완전수님의 글에 코멘트를 좀 더 달자면충분히 큰 t 에서는 0 < ln t < t^a입니다(a는 임의의 양의 실수)

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