(강사)님들 변수 그렇게 잡는 거 맞나요?? 24학년도 9월 미적 30번
게시글 주소: https://orbi.kr/00065746257
강사 포함 상당수가 이렇게 풀었을 것이다. 최초풀이일수록 더더욱.
(각PCQ=2theta로 잡아서 넓이 표현하면 대동소이하나 조금 낫다)
여기서 원의 중심 O를 잡아서 삼각형 PCO에서 PC=x, CO=1, OP=5이므로, theta에 대한 코사인법칙을 써서
상황에 맞게 대입하면
가 된다고 한다....
잘 정리해서 되게 그럴듯한 풀이가 되었는데, 실제로 해보면 계산이 상당히 많고 복잡하다. 그 이유는, S도 x와 theta 두 변수를 쓰고, x와 theta도 관계식이 음함수 형태로 되어 있기 때문이다. 이걸 하나하나 곱의 미분 안에서 음함수 미분을 두 번이나 각각 해서 구해야 하므로 계산이 많고, 변수가 난립한다. 루트가 근인 이차방정식은 덤이다. 여기서 오는 압박과 음함수의 생소함이 과연 출제 의도인가?
그리고 근본적인 질문. 왜 x를 PC로 두는가? 전혀 그 이유를 알 수 없다. S를 두 변수로 된 함수로 굳이 만들고 계산을 복잡하게 할 뿐이다.
그렇다면 무엇을 변수로 세팅해야 하는가? 그것은 S를 잘 표현할 수 있는 문자로 가야지, 아무거나 골라 잡아서 계산을 길게 만드는 짓을 했더라도 이게 아니다 싶으면 돌아와야 한다.
S는 무엇으로 만들어 지는가? 점 P이다. 점 P는 어디 있는가? 원 위에 있다. 원 위에 있는 점은 어떻게 표현하는가? 중심각을 이용하여 sin과 cos으로 나타내는 것은 교과서적 기본기이고 근본이다.
그렇다면 변수를, 마치 AB가 x축일 때 마치 좌표로 P(5cos(t), 5sin(t))하듯이 각 POB를 t로 두면 된다.
얼마나 깔끔한가? 하나의 변수로 되어 있는 이 식이 S 표현 방식의 근본이라 할 수 있다.
또한, 원하는 미분변수 theta는 t와 어떤 관계가 있는가?
사실상의 양함수 표현 두 개, 분리된 변수 관계가 얼마나 깔끔한가? 여기까진 중3도 대답 가능하다. 심지어 동일한 항이 반복되는 형태까지 매우 그럴듯하다.
(정확히 말하면 theta가 90도 근처 예각이면 t가 둔각일 때도 되지만, 그냥 theta가 45도 근처라고 하자)
이렇게 식 두 개로 딱딱 세팅을 하는 게 누가봐도 정답이다. 두 변수로 난립하는 식이 아니라. 아까 식이 더러웠던 이유는, 각도와 길이를 억지로 엮어서이다. 각도는 각도로 엮는 게 맞지 않나.
뭘 해야 할지도 눈에 선하다. 여기서 theta에 대한 미분을 해야 하지만, 둘다 t에 대한 미분을 하도록 하자. '관계만 알면 변수는 나중에 바꿔도 된다'는 게, 미적분 수준의 미분법 기본 개념이다. 해 보면 계산이 아까보다 훨 낫고 익숙하다. 변수가 분리되어 관계가 바로 보이기 때문이다.
이제 theta=45도일 때, t를 알아보면, P에서 AB에 내린 수선의 발을 H, P와 AB 사이의 거리를 h라고 하면, PH=CH에서 OH=h-1, 이므로 직각삼각형 PHO에서
이고 h는 굳이 전개하지 않아도, 누가 봐도 4이다. 그럼
이므로 이거 대입하면
이다. d(theta)/dt, dS/dt를 아는데 원하는 게 dS/d(theta)니까, 둘이 나누면 된다. 우린 이걸 매개변수 미분이라고 부르기로 했다.
어떤가? 두 변수를 분리해서 미분이 훨씬 깔끔하며, S와 theta를 각각 따로따로 생각하므로 헷갈릴 일도 거의 없다. 45도일 때 P의 위치 알아낼 때 이차방정식이 깔끔한 것은 덤이다.
미적분의 미분법은 변수 관의 관계만 알면 다른 변수로도 미분이 가능하다. 그렇다면 그 변수를 어떻게 잘 세팅하냐에 따라서 계산량과 시간의 압박, 나아가 시험 전체의 운영에 영향을 미친다고 볼 수 있다. PC를 x로 두는 건 연역적/논리적이지 않으며 결과적으로도 이익이 되지 않는다. 학생이 이랬으면 읽어보고 다시 잘 생각해보고, 강사가 제공하는 풀이가 이랬다면 그 강사는 반성 좀 하자.
(수정: https://www.veritas-a.com/news/articleView.html?idxno=471655 <-그냥 9월 미적 30번이라 구글했더니 나왔다. 들어가보면 교육 관련 신문 칼럼이라는 곳에서도 ('코사인 법칙' 썼다고 하니) 이 방식대로 풀었다는 것 알 수 있다. 나만 이거 생각한게 아닌거 아는데, 많이들 이렇게 했다는 자료로는 충분하다.)
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
치킨 못 받을 듯... 19번 풀 때 샤프심 끊겨서 땀 삐질삐질 흘리면서 했다ㅠ
-
8분 잡으면 되나요?
-
이따 와야겠다
-
오늘할당량3만덕 1
글조금만싸고가야지
-
국어 드가보자 1
레츠고
-
화학 질문 0
아레니우스 산 정의가 수용액 속에서 수소이온을 내놓는 물질을 말하는거 아니였나요?...
-
개저씨님한판해요 1
맞다이로 들어가고
-
독서는 김민경임ㄹㅇ...모든 독서 지문 이해하고 넘어가서 시간 촉박했는데...
-
탑릅 8
은 아니고.. Sn 모의 1회 검토 잘 했다 생각했는데, 오류가 생각보다 너무...
-
내 최애 엄티 제발 잘했으면 좋겠다 그리고 티원이 제발 경기력 살아나서 이겼으면 좋겠다...
-
바코드 찍으니까 갑자기 이상한 노래 나와서 알바분한테 저 이런거 안좋아해요 하고...
-
제 택배랑 동선 겹쳤잔아요 ㅡㅅㅡ
-
과외쌤 선물 4
낼 스승의 날인데 머 간단한거 선물 드릴까? 과외쌤이랑 친하기도 하고 쌤이 내...
-
아무래도 아닌 것 같아요.
-
어려운거같긴 한데 정확한 난이도는 잘 모르겠네요
-
썸썸편이점에선 선물만 줘도 호감도 오르던데 러브 딜리버리까지 해야 생기려나
-
대 승 리
-
"자" 10
-
한지 하는데 ㄹㅇ 제가 뛰어내리고 싶네요 울음만 광광나옴... 마치 임용 암기랑 다를게 없는..
-
나도 몰라.. 그냥 읽고 풀어서 해줄 말이 없다 나도 알았으면 고정100에 근접하겠지
-
어디서 구하는건가요? 이런건 다 인맥인가요
-
교육청이긴 하지만 3모5 -> 5모 언매 90점
-
여자 생일 선물 추천좀 31
여친 생일인데 어떤 거 선물해주면 좋을까..?
-
나 : 쌤, 차 마시는 거 좋아하세요? 쌤 : 그닥...? 나 : (당황해서 친구...
-
원래 사모님만 가끔와서 조용히 할일하고가셨는데, 오늘은 왠일로 남편분 오더니 친구랑...
-
충격) 한 학기 168학점, 3학기 필수이수, 방학없는 과목이 있다? 6
그 과목의 이름은 병영이해와생활
-
[500덕]방통대랑 이중학적 허용되는 대학교 있나요 0
댓글로 남겨드리면 확인 후 500덕씩 쏴드립니다
-
내가 어쩌다가
-
ㅂㅌ같나 ㅋㅋ
-
3떡 나만 예상함?
-
이제 딱 걍 3컷?..까진 온거같은데 6모전에 일주일에 한번씩 실모푸는게 좋을까?...
-
국어 하나 틀리고 영어 1에 사탐 50 50이면 뚫릴까요?..
-
지1 고지자기 3
지1 올해처음하는데욥 2.3단원은 그래도 기출다하고 괜찮은데 고지자기는...
-
6평전에 한번 풀어볼까 하는데 작년꺼여도 ㄱㅊ나요??
-
아니 이게 뭐야 10
지금 왔는데 어제 글을 딱 3개 썼는데 2개가 메인에 가있네,,,? 살짝 부끄럽네용ㅋㅋㅋ
-
그 entp는 임신이 잘 안되나? ㅜㅜ 나 엔팁인데.. 6
야식 추천 좀 마라엽떡에 허니콤보 피나치공
-
이제 간다 5
나의 존재가 잊힐때쯤 새로운 컨셉으로 찾아뵙겠습니다
-
백퍼 분리변표함
-
허수라 그런가
-
안녕하세요. 작년에 수학실모 관련하여 칼럼을 몇 개 썼다가 올해는 좀 쉬고...
-
수특 지1 질문 0
그냥 전선 얘기만 나왔고 풍향 변화도 거의 없어서 온대 저기압 없는 줄 알았는데...
-
시중교재 중고책반값에 파는데 천원만 더 빼주시면 안되냐고 간곡히 말하길래 알겠다고...
-
비닐싫어싱ㅎ어
-
군대 4급 떠서 사회 복무하는데 병무청에 찾아봐도 잘 모르겠는데 사람들이 막 스택을...
-
다른 과목 필기 할 때도 마지막에 .. 붙이게 됨 ㅋㅋ
-
미적 사문 지구일때 사문을 백분위100 나오면 과탐 백분위 97인것보다 근소하게...
-
슬프다
전 첫번째로 풀고 무한계산조짐 하
이거 계산 빡세겠다 싶을때 돌아와서 간단한 계산(사실상 양함수)으로 돌아가는 게 실전에서 가능할까? 싶긴 함
그리고 솔직히 빡센계산 하다가 포기한게 대부분인데 그 계산 억지로 밀고나가는 해설, 이거 의미있는건지 다시 잘 생각해봐야됨