증명을 하는 이유
게시글 주소: https://orbi.kr/00036516478
칼럼을 겸한 쪽지 Q&A 기록용입니다.
도움이 되시길.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은,
교과서에 나와 있는 어떤 정리가
참이 되는 이유입니다.
예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠.
그게 참인 이유가 증명이에요.
이걸 배우지 않은 상태에서
혼자서 증명하는 것은 어렵습니다.
증명은 과거에 누군가
엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에,
그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠.
그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서
수학이 발전해 온 것이고,
고등학교 교과서는
그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다.
예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분
순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이
수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가.
1) 증명에는 발상이 있다.
고난도 문제를 풀어봤다면
알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다.
도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다,
함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등.
문제만 풀어온 학생이라면
이러한 발상을 문제를 풀어야
배울 수 있는 거라고 생각하겠지만,
사실 수능에 나오는 모든 발상은
교과서 증명 안에 다 들어있습니다.
그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 오늘 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데,
글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서
인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠?
증명을 배운다는 것은 마치
살아있는 인간을 배우기 전에
해부학을 배운다는 것과 같습니다.
이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로
교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요.
따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로
기출 문제를 풀게 되면,
문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라,
문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요.
그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다.
따라서 기출을 보기 전에
교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
2) 증명에는 정의가 있다.
증명을 해야 하는 두번째 이유.
미분가능한 함수는 연속함수이다
라는 것을 증명할 수 있나요?
이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요.
대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다.
왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의
정의를 정확히 모르거든요.
느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면,
매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다.
그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가,
예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라,
라는 문제가 있을 때 대부분 학생은
1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다.
라는 순서대로 문제를 풉니다.
이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데,
정의를 잘 모르기 때문이구요,
저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데
4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요.
문제풀이의 접근방법은 반드시
정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,
오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
3) 증명에는 논리가 있다
증명을 해야 하는 세번째 이유.
직접 증명을 써보면 알겠지만,
아는 내용이라도
논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다.
그건 학생들이 아직 논리적 사고력
또는 표현력이 부족하기 때문이죠.
교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다.
복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에
누구나 이해할 수 있는데,
그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요.
강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만
똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다.
즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고,
연습입니다.
수학은 그것을 연습하는 학문이에요.
고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고
대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만,
중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이
논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
진짜해야돼
-
너무 덥구만 오늘
-
빅포텐 찢고싶어 0
흑흑
-
극한으로 하면 가능할까요...?
-
학원에서 시험 형식으로 봄 언매 86 확통 56 올해가 3번째 수능 진짜 개좆같다...
-
재밌는데 그게 다임,,,,
-
"열 손가락 다 잘렸다"…파타야 '드럼통 살해' 피해자 고문 당했나 2
(창원=뉴스1) 강정태 기자 = 태국 파타야에서 한국인이 살해된 채 발견된 사건과...
-
15 19 21 29 30 틀려서 81인가 와 개에바네 현역애들이 이거 어캐푸냐...
-
2024 수능 대비 2025 수능 준비 계획좀 봐주세요 0
수학 이미지 미친개념 수학1 (20강) 수학2 (32강) 배성민 드리블 기하...
-
제대나 시켜줘
-
1. (가) (나)에서 가장 많이 존재하는 이온이 A임을 보기 -> 그래프를...
-
다음학기엔 1교시 절대 하지 않으리라 다짐했는데 망할 세미나 필수교양때문에 1교시...
-
안녕하세요! 많은 학생들이 절댓값이 나오면 어려워하고, 이번 5월교육청...
-
어3쉬4 난이도라 3분 안에는 들어와야 된다고 하시는데 어3은 2분 정도로...
-
ㅋㅋ
-
테스트지 만들어야 하는데 저정도면 쎈 중이나 상문제 풀 수 있어요? 감이 안와서...
-
진짜 ㄹㅇ 진심으로 저능아들은 투표권 박탈하면 안되냐?? 6
(대충 네이버에 현우진 피식쇼 치면 나오는 뉴스 댓글 일부임) 제대로 알지도...
-
마감됬습니다.
-
내일은 또 어디가서 점심을 먹자고 할까? 이렇게라도 봐야지, 안그러면 또 언제 보겠어
-
2024.05.08(수)에 실시된 2024학년도 5월 고3 모의고사 수학영역...
-
스승의날 대비해서 다같이 이벤트했는데 케이크랑 편지 선물드리고 동의구한다음에 케익빵함 ㅋㅋㅋㅋ
-
스터디카페에 담배냄새 11
1. 추방 사유 가능 2.공동생활의 도덕적인 양심일뿐 스카쫒아내는건 좀
-
현강가서 츄르도 풀까 고민중
-
논술 1
현재 시간을 존나 대충쓰고 있어서 공부라도 하려는데 어떤 공부할지 고민중 1학년...
-
최소 4시간 10분 최대 5시간 50분 차이나는 이유는 자습 못하게 하는쌤이 있음...
-
우리 가게 오늘 쉽니다
-
심멘 고전말모이 0
이거 사신분 있나여 후기좀 남겨주세ㅇ
-
아
-
담배냄새 때문에 어지럽고 힘들다고 포스트잇 붙여놨더니 이따구로 개소리를 정성스럽게...
-
틀림없이 대다수의 남고생들은 그 단어를...... 삽자루 선생님 그 동안 고마웠고 감사했습니다.
-
"정체불명 벌레가 열차 가득"…승객들 놀래킨 '팅커벨의 습격' 1
'팅커벨'로 불리는 곤충 동양하루살이가 예년보다 일찍 출몰했다. 이른 더위 탓이다....
-
종합병원협의회, 정부에 “의사 매년 3천명 증원” 제안했었다 2
대한종합병원협의회(협의회)가 정부에 의과대학 정원 등을 늘리는 방식으로 5년간...
-
인스타 릴스에 떴는데 재밌어보임
-
ㄷㄷ이
-
주에 2시간 정도 ebs 연계에 투자하려는데 요즘은 뭐가 좋나요
-
공통과 통통 시간 분배 어느정도함? 60 30 생각 중인데 어떰?
-
6모 킬캠에서 포장이 빨간색이라고 자기 정치적으로 공격하는 애들이 있다고 하던데...
-
뭘해야할까요 화1이랑 물2 성적은 비슷함
-
국어 마더텅 다담 800제 김승리 앱스키마, 월간승리 찍먹 수학 자이스토리 이미지...
-
계획 안짜니까 퍼짐 ㅈㄴ
-
하버마스의 담론 윤리 니부어의 집단 이기주의가 옳았다
-
[속보] 대통령실 "라인 사태, 우리 기업 부당 조치 강력 대응할 것" 2
대통령실은 13일 일본 정부의 행정지도로 촉발된 '라인 사태'와 관련, 우리 기업의...
-
그냥 평범한 체력 소유자 여학생인데 (팝스..? 한 거라도 알려드리자면 고3 여자...
-
물론 수1,수2,미적 합쳐서 3권이요 하루에 수1 10문제,수2 10문제 미적...
-
식사(점심, 저녁) 는 어떻게 하시나요? 비용은 어느정도 잡으시는지 궁금해요.
-
작수때 50일 수학 끝내서 제곱공식, 인수분해, 조립제법 등등 가물가물하고… 지금...
-
넵
-
지구황분들 질문 0
23수능 15번 문제 ㄷ선지에서 해령이 섭입하면서 북쪽으로 이동하는 것은 이해했는데...
-
“의대 증원 자료 공개 삼가달라”…“미복귀 전공의 ‘전문의 자격’ 1년 지연” 5
의료계 측이 정부가 법원에 제출한 '의대 증원 2천 명' 근거 자료를 공개한...
hoxy... 새로운 npc의 탄생...?
헉 진짜네
증명은 그럼 독학하고 싶으면 학교에서 썻던 교과서로 하면 될까요?
네~ 교과서에 다 나와있고 독학이니까 설명이 필요하면 유튜브 검색해도 나올거에요.
선생님 칼럼보면서 항상 많은 도움 받고가요... 좋은 글 감사합니다!
도움이 되었다니 기쁘네요. 감사합니다.
선생님 그러면 미분가능성은 어떻게 해야 맞는 풀이인가요?
미분계수가 존재하는 것을 미분가능이라고 해요.