1.

4의 2분의 1 제곱은 2이므로 2의 1제곱 곱하기 2의 마이너스 2분의 1 제곱은 2의 2분

의 1 제곱으로 답은 2번이다.

2.

f’(2)를 구하면 되므로 [eqn: f(x)=3x ^{2} -4]로

x=2를 대입하면 8이 나온다.

3.

a1부터 a5까지의 합이 4이므로 시그마의 성질에 의해

3 x 4+10 으로 답은 1번.

4.

좌극한과 우극한, 함숫값이 전부 2에서 같아야하므로

5=8-a로 a=3이다. (3번)

5.

f를 미분하여 x=1을 대입하면

[eqn: (4x)(5x^2 +x)+(2x^2 -1)(10x+1)] 이므로

24+11=35이다. (2번)

6.

[eqn: f(x)=2x^2 -3+a] 라 두자.

이때 축의 위치는 [eqn: x=- {3} over {4}] 이니 양 끝점의 부호가 다를 때와

두 근이 모두 구간 내에 있거나 축을 기준으로 접할 때로 나눌 수 있다.

전자는 사잇값의 정리에 의해 [eqn: f(-1)f(1)<0]이므로 (a+5)(a-1)< 0으로 a는 -5보단 크고 1보단 작다.

후자의 경우는 꼭짓점의 x좌표인 [eqn: {3} over {4}]를 넣으면 [eqn: {9} over {a-8} LEQ 0]이므로

[eqn: a LEQ {9} over {8}]이다.

그러므로 1 초과 8분의 9 이하지만 마지막 경우로 경계선인 x=1을 지날 때도 있다.

이땐 [eqn: f(1)=0]이므로 [eqn: a=1]이다.

최종 범위는 [eqn: -5 PREC a LEQ {9} over {8}]이므로 답은 총 6개로 4번이다.

7.

두 함수의 교점은 [eqn: x ^{2} `+4= {-11} over {2}] 로 두면 -1과 1에서 만난다.

이때 -1부터 1까지 -2분의 x2+2분의 11에서

x2+4를 뺀 함수를 적분하면 우함수이므로

0부터 1까지 적분한 것에 2배를 해주면 된다.

그럼 2이다. 답은 4번.

8.

[eqn: {sin theta } over {sin theta +3cos theta }=0]

그리고 각변환에 의해 [eqn: sin theta]가 0보다큰 걸 알 수 있으므로

앞에서 말한 식을 풀어주면 [eqn: cos theta]의 값은

[eqn: {-1} over {3}]이 나와 [eqn: sin theta]의 값은 [eqn: +- {2 sqrt {2}} over {3}]가 나온다.

다만 앞서 사인 세타가 0보다 크다 했으므로

답은 [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]로 4번이다.

9.

[eqn: int _{0} ^{1 over 2} f(x) dx + int _{1 over 2} ^{a} f(x) dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} f(x) dx = int _{0} ^{a} (x^3 - 3x^2 + 2x) dx]

[eqn: = [ 1 over 4 x^4 - x^3 + x^2 ] _{0} ^{a} = 1 over 4 a^4 - a^3 + a^2]

[eqn: = 1 over 4 a^2 (a^2 - 4a + 4)]

[eqn: = 1 over 4 a^2 (a - 2)^2 = 0]

[eqn: {bold{a=0}} ~or~ {bold{a=2}} ~~~~( {bold{rm BECAUSE it}} ~a>0)]

10.

[eqn: A(0, 12)]

[eqn: 곡선~ y = log _{a} (x-2)의~ 점근선~ x=2 와~ y=kx+12 의~ 교점~ B(2, 2k+12)]

[eqn: 점~ C는~ 직선~ y=kx+12 와~ 곡선~ y = log _{a} (x-2)의~ 교점.]

[eqn: LEFT 삼 각형OBC의무게중심의y좌표가4 RIGHT .]

[eqn: {0 + (2k+12) + (-2k)} over {3} = 4]

[eqn: left ( "점 C의 y좌표" right ) = -2k]

[eqn: {bold{rm therefore ~C LEFT ( -2- {12} over {k} ,-2k RIGHT ) it}}]

[eqn: "#" ~ bar{AB} = bar{BC}]

삼각형 ADB 와 삼각형 CEB는 합동이므로

[eqn: "점 " C "의 " x"좌표는 " 4]

[eqn: -2 - {12} over {k} = 4 ,~~~~ k = -2]

[eqn: {bold{rm therefore ~C(4,4) it}}]

[eqn: 4=log _{a} (4-2)=log _{a} 2~~~~ {bold{rm therefore ~a ^{4} =2 it}}]

[eqn: {bold{rm therefore ~a ^{4} -k=2-(-2)=4 it}}]

11.

ㄱ .

[eqn: "가속도"~a(t)=6t-18"이다."~"이때"~t=3"을"]

[eqn: 기준으로 가속도 " a(t) "의 부호가 변화하므로"]

[eqn: t = 3 "을 기준으로 가속도의 방향이 바뀐다."]

ㄴ

[eqn: "위치 " x(t) "는 " t = 0 "일 때 점 " a "를 출발하므로 "]

[eqn: " x(t) = t^3 - 9t^2 + 3kt + a "이다. " k = 0 "이고"]

[eqn: a = 10 "일 때 " x(t) = t^3 - 9t^2 + 10 "이다.]

[eqn: " t = 1 "일 때 " x(1) = 1 - 9 + 10 = 2 "이므로 " P "의 위치는 " 2 "이다."]

ㄷ

[eqn: k = 5 "일 때 위치 " x(t) = t^3 - 9t^2 + 15t + a "이다. "]

[eqn: " t = 5 "에서 위치 " x(t) "가 극솟값을 갖고"]

[eqn: x(0)>x(5)"이므로"~"위치"~x(t)"가"~"항상"~"양수이기"~]

[eqn: " x(5) > 0 "이 성립해야 한다."]

[eqn: x(5) = 125 - 225 + 75 + a = a - 25 > 0 "이므로 " a > 25 "이다.]

[eqn: 따라서 정수 " a "의 최솟값은 " 26 "이다."]

12.

12번 답 : 4번

[eqn: {a _{n} }]의 첫째항을 [eqn: a]라고 한다면 [eqn: a _{n} =dn+a-d]이다. (가) 조건에 따라 [eqn: 2=5d+a]이므로 [eqn: a=2-5d]이다. 따라서 [eqn: a _{n}]을 다시 쓰면 [eqn: a _{n} =dn+2-6d]이다. (나) 조건에서 [eqn: a _{k}]가 양수라면 [eqn: b _{n} =0]이고 [eqn: a _{k}]가 음수라면 [eqn: b _{n} = sum _{k=1} ^{n} 2a _{k}]이다. 그런데 (다) 조건에 따르면 [eqn: b _{5} =b _{6} =b _{7} = CDOTS]이므로 (나) 조건을 고려할 때 [eqn: b _{5} =b _{6} =b _{7} = CDOTS=0]이다. 따라서 [eqn: a _{4} <0], [eqn: a _{5} >0]이므로 공차 [eqn: d>0]이다. [eqn: a _{1} <0]이므로 (나) 조건에서 [eqn: n]에 1을 대입하면 [eqn: 1-9d=2a=4-10d]이므로 식을 정리하면 [eqn: d=3]이다. 따라서 [eqn: a _{n} =3n-16]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} =5]이다.

13.

[eqn: g(x)=f(x) int _{0} ^{x} {} f(t)dt- int _{0} ^{x} {} "{f(t)} "^{2} dt]

[eqn: g'(x) = f'(x) int _{0} ^{x} f(t) dt]

[eqn: f(x) = ax^n "이라 하면"]

[eqn: int _{0} ^{x} f(t) dt = {a} over {n+1} x^{n+1}]

[eqn: f(x) rm int _{0} ^{x} {} f(t)dt= {a ^{2}} over {n+1} x ^{2n+1} ~~~~ rm cdots~①]

[eqn: int _{0} ^{x} "{f(t)}" ^{2} dt= {a ^{2}} over {2n+1} x ^{2n+1} ~~~~ CDOTS ~②]

[eqn: g(x) = ① - ②]

[eqn: g(x)"가 4차 이하이려면 " n=1 "만 성립."]

[eqn: f(x) = ax + b "라 하자 " (a neq 0)]

[eqn: g(x) = int _{0} ^{x} a cdot t left ( {a} over {2} t + b right ) dt = {a^2} over {6} x^3 + {ab} over {2} x^2]

[eqn: = {a} over {6} x^2 (ax + 3b)]

[eqn: g(x)=0 "의 근 : " 0 ,~ - {3b} over {a} ~~~~ left ( p = - {3b} over {a} "라 하자." right )]

[eqn: (가)조건 ~ rarrow ~ k=p ~ "유일."]

[eqn: p "는 " 2 "이상의 양의 정수."]

[eqn: g(x) = {a^2} over {6} x^2 (x-2)]

[eqn: g(6) = 24a^2]

[eqn: g(3) = {9a^2} over {2}]

[eqn: bold{ {g(6)} over {g(3)} = 16 }]

14.

BA와 CD를 각각 연장하여 만나는 점을 E 라 했을 때

[eqn: "①"~"각"~ { ANGLE } AED= theta ,~~~~ {bar{AE}} =a~,~~~~ {bar{DE}} =b~"라"~"하자."]

[eqn: 61 = a^2 + b^2 - 2ab cos theta]

[eqn: cos theta = {11} over {16} "이므로"]

[eqn: bold{ therefore ~ 61 = a^2 + b^2 - {11} over {8} ab }]

[eqn: "② " RM TRIANGLE BCE "에서 사인법칙 이용."]

[eqn: {b+4} over {sin alpha} = {a+6} over {sin beta}]

[eqn: sin beta = 2 sin alpha "이므로"]

[eqn: {10+4} over {sin alpha } = {a+6} over {2sin alpha } ~~~~ rarrow ~~~~2b+8=a+6]

[eqn: bold{ therefore ~ a = 2b + 2 }]

[eqn: "③ 1번의 " a "에 " 2b+2 " 대입 후 인수분해"]

[eqn: b = 4 ,~~~~ a = 10]

[eqn: "④ " RM TRIANGLE ADE - RM TRIANGLE BCE = □ ABCD]

[eqn: bold{ = {33 sqrt {15}} over {4} }]

15.

15번 답 : 1번

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: int _{-2} ^{0} {f(t)dt} +5=-11], [eqn: int _{-2} ^{0} {f(t)dt} =-16]이다. (가) 조건에 식을 다시 쓰면 [eqn: lim _{hrarrow0 ^{+}} {g'(p+h)} + lim _{hrarrow0 ^{-}} {g'(p+h)=0}]이므로 [eqn: g prime(x)]의 좌극한과 우극한을 더하여 0이 나와야 한다. [eqn: g'(x) {cases{f(x)&(x<0)#-2x+8&(x GEQ0)}}]이다. 그런데 가능한 그래프는 [eqn: f(x)]의 서로 다른 세 실근이 모두 음수인 경우, [eqn: f(x)]의 서로 다른 두 실근이 음수이고 [eqn: f(0)=-8]인 경우로 두 가지가 존재한다. 첫째, [eqn: f(x)]의 서로 다른 세 실근이 모두 음수인 경우는 [eqn: g(x)]의 그래프를 그려보면 (나) 조건에서 [eqn: h(t)]의 최댓값이 5가 되어버리므로 (나) 조건에 모순이다. 따라서 가능한 경우는 두 번째 경우이고 [eqn: g(x)]가 다음과 같은 그래프일 때 (나) 조건을 만족시킨다.. [eqn: f(0)=-8]이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx-8]이라 한다면 [eqn: int _{-2} ^{0} {f(t)dt}][eqn: = int _{-2} ^{0} {(t ^{3} +at ^{2} +bt-8)dt} = LEFT [ {1} over {4} t ^{4} + {a} over {3} t ^{3} + {b} over {2} t ^{2} -8t RIGHT ] UNDEROVER {}_{-2}^{0}]이다. 이 값이 [eqn: -16]이므로 [eqn: b]에 대한 식으로 정리하면 [eqn: b= {4} over {3} a-2]이다. [eqn: f(x)]를 다시 쓰면 [eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +( {4} over {3} a-2)x-8]이다. 이때 [eqn: x<0]일 때 [eqn: g(x)= {1} over {4} x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +( {2} over {3} a-1)x ^{2} -8x-11]이다. [eqn: g(x)]의 극점의 [eqn: x]좌표 중 가장 작은 값을 [eqn: k]라고 한다면 [eqn: g(k)=5]이다. 따라서 [eqn: x<0]일 때 [eqn: g(x)=(x-k) ^{2} (x- alpha)(x- beta)]의 형태가 되어야 한다. 이 [eqn: g(x)]을 인수분해하면 [eqn: g(x)=(x+2)( {1} over {4} x ^{3} +( {a} over {3} - {1} over {2} )x ^{2} -8)]이다. 이때 [eqn: k=-2]인 경우와 [eqn: k !=-2]인 경우로 나눌 수 있다. 첫째 [eqn: k=-2]라면, [eqn: {1} over {4} x ^{3} +( {a} over {3} - {1} over {2} )x ^{2} -8]에 [eqn: x=-2]를 대입했을 때 0이 나와야 한다. 따라서 [eqn: -2+ {4} over {3} a-2-8=0]이므로 [eqn: a=9]이다. 그런데 [eqn: a=9]를 [eqn: {1} over {4} x ^{3} +( {a} over {3} - {1} over {2} )x ^{2} -8]에 대입했을 때 [eqn: {1} over {4} (x ^{2} +8x-16)]이 된다. 그래프에 따라서 가장 작은 [eqn: x]좌표가 -2가 되어야 하는데 [eqn: x]값이 -2보다 작은 경우도 존재하므로 이 경우는 그래프 모양에 모순이다. 두 번째, [eqn: k !=-2]라면, [eqn: {1} over {4} x ^{3} +( {a} over {3} - {1} over {2} )x ^{2} -8= {1} over {4} (x-k) ^{2} (x- beta)]의 형태가 되어야 한다. 오른쪽 식을 정리하면 [eqn: {1} over {4} x ^{3} - {1} over {4} (2k+ beta)x ^{2} + {1} over {4} (k ^{2} +2k beta)x- {1} over {4} k ^{2} beta]이다. 계수 비교법을 사용하면 [eqn: {1} over {4} (k ^{2} +2k beta)=0], [eqn: - {1} over {4} k ^{2} beta=-8]이다. 첫 번째 식에서 [eqn: k=0]또는 [eqn: k=-2 beta]인데 [eqn: k=0]인 경우는 그래프 모양에 모순이므로 [eqn: k=-2 beta]이다. 이를 두 번째 식에 대입하면 [eqn: - beta ^{3} =-8]이므로 [eqn: beta=2]이고 [eqn: k=-4]이다. [eqn: ( {a} over {3} - {1} over {2} )=- {1} over {4} (2k+ beta)]이므로 [eqn: a=6]이다. 이를 [eqn: {1} over {4} x ^{3} +( {a} over {3} - {1} over {2} )x ^{2} -8]에 대입하면 [eqn: {1} over {4} x ^{3} + {3} over {2} x ^{2} -8= {1} over {4} (x+4) ^{2} (x-2)]이고 모든 조건을 만족시킨다. 따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} +6x ^{2} +6x-8]이므로 [eqn: f(1)=5]이다.

16번

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 항의 값 구하기

수열 {aₙ}이 다음 점화식을 만족하고, a₃ = 2이다.

aₙ₊₁ = (n + 1)aₙ − 1

n = 1을 대입하면:

a₂ = 2a₁ − 1

n = 2를 대입하면:

a₃ = 3a₂ − 1

위 식에 a₂ = 2a₁ − 1을 대입하면:

a₃ = 3(2a₁ − 1) − 1 = 6a₁ − 4

a₃ = 2이므로:

6a₁ − 4 = 2  →  a₁ = 1

∴ 정답: a₁ = 1

17번

[출제의도] 도함수를 이용하여 원함수의 값 구하기

f′(x) = 6x² + 10x이므로 양변을 적분하면:

f(x) = 2x³ + 5x² + C

f(1) = 15이므로:

2 + 5 + C = 15  →  C = 8

따라서:

f(x) = 2x³ + 5x² + 8

f(2)를 계산하면:

f(2) = 2·2³ + 5·2² + 8 = 16 + 20 + 8 = 44

∴ 정답: f(2) = 44

18번

[출제의도] 삼각함수의 주기와 그래프의 성질 이해하기

함수 y = cos(ax) + b의 주기가 4π이므로:

2π / |a| = 4π  →  a = 1/2

함수의 최댓값이 2이므로:

1 + b = 2  →  b = 1

따라서 주어진 함수는:

y = cos(x/2) + 1

x축과의 교점 조건: cos(x/2) + 1 = 0  →  cos(x/2) = −1

x/2 = π + 2nπ  →  x = 2π + 4nπ

범위 0 < x < 12π에서 가능한 값: 2π, 6π, 10π

k = 2π + 6π + 10π = 18π  →  k/π = 18

∴ 정답: k/π = 18

19번

[출제의도] 삼차함수의 그래프를 이용하여 실근의 개수 판단하기

방정식 −x³ + 6x² − 9x + 4 − k = 0 을 변형하면:

f(x) = −x³ + 6x² − 9x + 4 = k

f′(x) = −3x² + 12x − 9 = −3(x − 1)(x − 3)

따라서 x = 1, 3에서 극값을 가진다.

f(1) = 0  (극솟값),     f(3) = 4  (극댓값)

서로 다른 실근의 개수가 2개 이상이 되려면:

0 ≤ k ≤ 4

가능한 정수 k: 0, 1, 2, 3, 4

∴ 정답: 5개

20

주어진 식을 정리하면

[eqn: sum _{ k=1} ^{8 }((a_{k+1})^2 -4a_{k+1})=27], [eqn: sum _{ k=1} ^{8 }((a_{k+1})^2 +4a_{k+1})=51]이다.

이 둘을 더하고 뺴면

[eqn: sum _{ k=1} ^{8 }a_{k+1}=3], [eqn: sum _{k=1} ^{8} (a _{k+1} ) ^{2} =39]이다. [eqn: cdots](가)

㉠+2㉡을 하면

[eqn: sum _{ k=1} ^{8 }((S_{k+1} )^2 -2S_{k+1}S_{k} + (S_k ) ^2 )]+[eqn: sum _{ k=1} ^{8 }( 2S_{k+1}S_{k} -2(S_k ) ^2 )]=63이다. [eqn: cdots](나)

이후 식을 정리하면

[eqn: sum _{ k=1} ^{8 }((S_{k+1} )^2 - (S_k )^2 )]=[eqn: (S_9 )^{`2}-(S_1 )^{``2}]=[eqn: (a_1 + sum _{ k=1} ^{8 }a_{k+1})^2]-[eqn: (a_1 )^2]=51, [eqn: a_1]=9[eqn: cdots](다)

[eqn: p+q+r]=39+63+9=111이다.

21.

22.

[eqn: A(a, b) ,~~~~ B(3b, 3a)]

[eqn: A'(b, a) ,~~~~ B'(3a, 3b)]

[eqn: y = 3^{3x-2} + 1 ,~~~~ y = 3^{x-1} + 3]

[eqn: LEFT . RIGHT → ~ LEFT { {matrix{x"에"~ {x} over {3}##y"에"~ {y} over {3}}} RIGHT . ~~~~ rarrow ~~~~3"배"~"확대 "rm cdot"축소"~"관계"]

[eqn: RM TRIANGLE OAA' = {1} over {2} times bar{AA'} times bar{OM}]

[eqn: = {1} over {2} (a-b) sqrt {2} times {a+b} over {2} sqrt {2}]

[eqn: = {1} over {2} (a^2 - b^2 ) = S]

[eqn: RM TRIANGLE ABB' = {1} over {2} times bar{BB'} times bar{MN}]

[eqn: = {1} over {2} (3a-3b) sqrt {2} times (a+b) sqrt {2}]

[eqn: bold{ = 3(a^2 - b^2 ) = 6S }]

[eqn: "점 " O, ~A, ~B' "이 일직선, 점 " O, ~A', ~B "가 일직선에 있음"]

[eqn: bold{ RM TRIANGLE OAB = RM TRIANGLE OB'B - RM TRIANGLE AB'B }]

[eqn: = {1} over {2} (3a-3b) sqrt {2} times {3a+3b} over {2} sqrt {2} - 3(a^2 - b^2 )]

[eqn: = {9} over {2} (a^2 - b^2 ) - 3(a^2 - b^2 )]

[eqn: bold{ = {3} over {2} (a^2 - b^2 ) = 3S }]

[eqn: bold{ 3S = 81 ,~~~~ S = 27 }]

[확률과 통계]

23번

[출제의도] 중복된 문자를 포함한 순열의 수 구하기

6개의 문자 a, a, a, b, b, c를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수를 구한다.

전체 문자를 서로 다른 문자라 가정하면 경우의 수는 6!이다.

그런데 a가 3개, b가 2개 중복되므로:

6! / (3! × 2!) = 720 / (6 × 2) = 60

∴ 정답: 60

24번

[출제의도] 독립사건의 성질을 이용하여 확률 구하기

두 사건 A, B가 서로 독립이므로:

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

P(A ∩ B) = 1/4, P(A) = 2/3이므로:

1/4 = (2/3) · P(B)  →  P(B) = (1/4) × (3/2) = 3/8

∴ 정답: P(B) = 3/8

25번

[출제의도] 이항정리를 이용하여 특정 항의 계수 구하기

(2x + 1)⁵(x + 3)의 전개식에서 x³의 계수를 구한다.

(i) (2x + 1)⁵에서 x²항 × (x + 3)에서 x를 선택하는 경우

₅C₂ · (2x)² = 10 · 4x² = 40x²

여기에 x를 곱하면 → 계수: 40

(ii) (2x + 1)⁵에서 x³항 × (x + 3)에서 3을 선택하는 경우

₅C₃ · (2x)³ = 10 · 8x³ = 80x³

여기에 3을 곱하면 → 계수: 240

따라서 x³의 계수:

40 + 240 = 280

∴ 정답: 280

27.

소문자 a+b+c+d가 대칭성을 가져야만

(나) 조건을 성립시킴에 주의한다.

왜냐하면 a+b+c+d의 합이 홀수면 단 한 가지도

나) 조건을 만족시키지 못한다.

합이 2일 때 : (0,1)과 (1,0)이 배열되는 4가지.

합이 4일 때 : 전부 1이거나 2/2로 갈라지는 4가지 합쳐 5가지.

합이 6일 때 : 3/3으로 갈라지거나 1과 2로 갈라지는 4가지 합쳐 8가지.

합이 8일 때 : 4/4와 1/3,전부 2인 경우 다 합해서 9가지.

합이 10일 때 : 5/5 또는 1과 4 또는 2와 3으로 나눠지니 총 경우 12가지이다.

총 38가지로 답은 3번.

28.

우선 a의 개수를 중심으로 나열할 예정.

소문자 a가 한 개일 때:아무 자리에나 들어가도 되니 4가지,

아무 문자 5개가 남은 3곳에 들어가는 경우 5

3으로 125가지,

동시에 곱하면 4 x125=500이다.

하지만 (나)에 의해 a뒤에 같은 문자가 오면 안 되므로 동일한 문자 3개가 오는 경우 5가지와 a가 맨 뒤에 있을 수도 있으므로

5 x 2=10가지다.

500-10=490가지.

2개일 때 : aa는 6가지로 배열 가능하고 뒤엔 아무 문자나 중복해서 와도 되므로 [eqn: 5^2]을 곱하면 되므로 25 x 6=150이다.

3개일 때 : aa-a 또는 a-aa로 존재 가능하므로 남은 자리에 a를 제외한 다른 알파벳을 집어넣는 경우의 수 5가지니 곱하기 2로 총 10가지다.

490+150+10으로 총 650가지다.

답은 4번.

29.

우선 확률 문젠데 조걵부확률이므로 조건에 맞는 상황(~할 때)을 분모로 두고 ~할 확률을 분자에 두어야한다.

7명의 학생 중 A,B를 포함해 4명을 선택하는 건 35 x 6 =210이다.

그 후 A와 B가 이웃하지 않으려면 AB와 어떤 학생 두 명을 c,d라 하면 이 4을 나열하는 전체 경우 6가지에서

A와 B가 이웃한 경우인 2를 빼면 6-2로 4가지다.

5명을 뽑는 경우는 [eqn: binom{5}{2}] 로 10가지이니

10 x 4=40으로 답은 [eqn: {40} over {210}]이지만 서로소인 자연수이므로 25 가 답이 된다.

30.

f(1)+f(2)를 4,8,...에 따라 분류

4일 때 X (두 곱이 8을 절대 넘을 수 없음)

8일 때 (2,6)과 (6,2)

->전자일 땐 f(3)이 6,8만 가능이니 차례로 노가다를 해보면 우선 6일 때 f(3)과 f(4)는 대소관계는 중요하지 않다. 2이상이고 8이하면 되니 f(4)는 총 2,3,4,6,8이 나오게 되고 이때를 만족하는 f(5)의 값은 각각 5,5,4,2,0이 나오게 된다.

8일 때는 f(4)가 1,2,3,4,6만 가능하니 이때의 f(5) 값은 3,5,5,4,2가 나오게 된다.

그 후 후자를 해보면 f(3)의 값은 4,6,8,12,24가 가능하게 되는데 이때 이미 f(3)의 값이 6,8일 때는 경우의 수가 몇 개인지 알고 있으니 f(3)의 값이 4,12,24일 때만 새롭게 알면 이제는 쉽게 구할 수 있다.

f(3)=4일 때에는 f(4)의 값이 (가) 조건에 의해 2,3,4,6이 가능하다.

(조심해야할 건 8,12가 안 되는 이유는 그럼 f(5)는 정의될 수 없기 때문이다. (가) 조건을 만족시킬 숫자가 없다.)

그러므로 각각 5,5,4,2의 경우의 수가 나오게 된다.

f(3)=12일 땐 f(4)의 값은 1,2,3,4만 가능하니 이때의 가능한 경우의 수는 3,5,5,4로 총 4가지이다.

f(3)=24일 땐 f(4)의 값이 1,2만 가능하니 가능한 경우의 수는 3,5가지다.

이제부턴 f(3)이 ~일 때의 뒷 경우의 수를 아니 조금의 노가다만을 해보면 답을 알 수 있다.

f(1)+f(2)=12일 땐 (8,4)로 f(3)이 4,6,8,12만 가능하다. 그러므로 앞선 경우의 수를 고려해보면 16+16+19+17=68가지가 가능하다.

f(1)+f(2)=16일 때 (12,4)면 f(3)은 4,6,8,12만 가능하니 마찬가지로 68가지가 나온다.

f(1)+f(2)=20,24는 만족시키는 순서쌍 수가 없다. (f(3)이 정의될 수 없다.)

f(1)+f(2)=28일 때 순서쌍이 (24,4)인 경우는 f(3)의 가능한 값이 4,6,8,12로 또 68가지의 경우의 수가 나온다.

32부턴 이제 f(3)의 값이 (가) 조건에 의해 아예 정의가 되지 않으므로 총 356가지가 답이 된다.

[미적분]

24.

[eqn: {dy} over {dx} = { {dy} over {dt} } over { {dx} over {dt} } ~ "로 나타낼 수 있다."]

[eqn: {dy} over {dt} = {4t} over {2t^2 + 3} ,~~~~ {dx} over {dt} = -8t + 5 ~ "이다."]

[eqn: {dy} over {dx} = { {4t} over {2t^2 + 3} } over {-8t+5}]

[eqn: bold{ t=1 "일 때 " {dy} over {dx} = - {4} over {15} ~ "이다." }]

25.

주어진 급수가 수렴하기 위해서는

[eqn: lim _{ n->inf} { {a_n + 3n^2 -3n } over 4n+8}]=0 이여야 한다.

그러기 위해선 [eqn: lim _{ n->0} {a_n overn^2 }=-3], [eqn: lim _{n -> 0} {{a _{n} +3n ^{2}} over {n ^{}}} =3#]을 만족한다.

이제 주어진 극한을 정리해보면.

[eqn: lim _{n-> INF } {a_n overn^2 timesleft({a_n + 3n^2}overn} right) times - 1over3]=3 이다.

26.

[eqn: f'(x) = 2a sin x cdot cos x - {b sin x} over {cos x} ~ "이고"]

[eqn: "이는 " f'(x) = 4a sin 2x - b tan x "로 변형할 수 있다."]

[eqn: f''(x) = 8a cos 2x - b sec^2 x] 이다.

[eqn: f' left ( {pi} over {4} right ) = 4a - b = -2 ,~~~~ f'' left ( {pi} over {3} right ) = -4a - 4b = 6 ~ "이므로"]

[eqn: "두 식을 연립하면 " a = - {7} over {10} ,~~~~ b = - {4} over {5} ~ "이므로 " bold{ ab = {14} over {25} ~ "이다." }]

27.

[eqn: "정삼각형 " ABC "의 한 변의 길이를 " 2k ,]

[eqn: RM TRIANGLE BCD "의 외접원의 중심을 " M ,]

[eqn: angle CBD "를 " alpha "라 하자."]

[eqn: bar{CD} = sin alpha times 2k = {sqrt{3}} over {2 sqrt{7}} times 2k = {sqrt{3}} over {sqrt{7}} k]

[eqn: angle DCA = (90 DEG - alpha) + 60 DEG]

[eqn: = 150 DEG - alpha]

[eqn: cos ( angle DCA ) = cos ( 150 DEG - alpha )]

[eqn: = left ( - {sqrt{3}} over {2} right ) times {5} over {2 sqrt{7}} + {1} over {2} times {sqrt{3}} over {2 sqrt{7}} = - {sqrt{3}} over {sqrt{7}}]

[eqn: bar{DA}^2 = {3} over {7} k^2 + 4k^2 - 2 times 2k times {sqrt{3}} over {sqrt{7}} k times left ( - {sqrt{3}} over {sqrt{7}} right )]

[eqn: = {31} over {7} k^2 + 4 times k^2 times {3} over {7}]

[eqn: = {43} over {7} k^2]

[eqn: bold{ bar{DA} = {sqrt{43}} over {sqrt{7}} k }]

[eqn: {bar{CD}} over {sin ( angle DAC )} = {bar{AD}} over {sin ( angle DCA )}]

[eqn: sin ( angle DAC ) = {bar{CD} sin ( angle DCA )} over {bar{AD}}]

[eqn: = {sqrt{7}} over {sqrt{43} k} times {sqrt{3}} over {sqrt{7}} k times {2} over {sqrt{7}}]

[eqn: bold{ = {2 sqrt{3}} over {sqrt{7} times sqrt{43}} }]

[eqn: bold{ tan ( angle DAC ) = {2 sqrt{3}} over {17} }]

28.

[eqn: g(x)= lim _{h rarrow 0 ^{+}} {} {f ^{-1} (x+h)-f ^{-1} (x)} over {(x+h)-x} rm times {1} over {(x+h)+x}]

[eqn: {bold{= {1} over {2x} rm times LEFT { f ^{-1} (x) RIGHT } prime it}}]

[eqn: left { f^{-1}(x) right } ' = {1} over {f'(f^{-1}(x))} ,~~~~ g(x) = {1} over {2x times f'(f^{-1}(x))}]

[eqn: f'(x) = sqrt{x-a} + {x} over {2 sqrt{x-a}} = {3x-2a} over {2 sqrt{x-a}}]

[eqn: t = f^{-1}(x) "라 하면 " x = f(t) = t sqrt{t-a}]

[eqn: g(x)= {1} over {2x TIMES {3t-2a} over {2 sqrt {t-a}}} = {1} over {2t sqrt {t-a} TIMES {3t-2a} over {2 sqrt {t-a}}} = {1} over {t(3t-2a)} ,]

[eqn: ~~~~g(f(t))= {1} over {t(3t-2a)}]

[eqn: g(a^{3 over 2}) = {1} over {4} ,~~~~ f(t) = a^{3 over 2} "일 때의 " t " 구하기. " ~~~~ t sqrt{t-a} = a^{3 over 2}]

[eqn: t^2 (t-a) = a^3 ,~~~~ t=a]

[eqn: t=a " 대입, " ~~~~ g(f(a)) = g(a^{3 over 2}) = {1} over {a cdot a} = {1} over {4} ~~~~ bold{ rarrow ~~~~ a=2 }]

[eqn: "구하는"~"값은"~g(k).~~f(t)=12"가"~"되는"~t"의"~"값을"~k"라"~"하면"~f(k)=12.]

[eqn: f(k) = k sqrt{k-2} = 12 .~~ k^2 (k-2) = k^3 - 2k^2 = 144 ,~~ k=6.]

[eqn: g(f(6)) = g(12) = {1} over {6(18-4)} = {1} over {84} ~~~~ bold{ therefore ~ p+q = 85 }]

29.

[eqn: a_n = a cdot r^{n-1} ,~~~~ S_n = {a(1-r^n)} over {1-r}]

[eqn: "(가) " |a_1 | = -2r ~~~~ cdots cdots ~ {㉠}]

[eqn: r le 0 ~~~~ (because ~ {㉠})]

[eqn: r ne 0 ,~~~~ (because ~ a_1 = r = 0 ~ "일 경우 " b_n = {1} over {0} ~ "이므로")]

[eqn: r le -1 ~ "일 경우 " S_n "이 " n rarrow infty "일 때 발산하므로 " b_n "도 발산한다."]

[eqn: bold{ rarrow ~~~~ -1 < r < 0 }]

[eqn: lim_{n rarrow infty} S_n = {a} over {1-r}]

[eqn: i) ~ {a} over {1-r} ge {2} over {3} ~ "일 경우 " k ne "음의 정수이므로 성립하지 않는다."]

[eqn: ii)~ {a} over {1-r} < {2} over {3} ~"일"~"경우"~b _{n} =- {1-r} over {a} ,~- {1-r} over {a} "이"~"음의"~"정수"~k"이어야"~"한다."]

[eqn: a = -2r ~~ (because ~ ㉠}) ,~~ {1-r} over {2r} = -N ~~ (N "은 자연수이다.")]

[eqn: r = {-1} over {2N-1} ~~ (because ~ N ge 2) ,~~ a = {2} over {2N-1} ~ "이다."]

[eqn: S_n "은 다음과 같다."]

[eqn: "따라서 (다) 에서 최솟값 " m "은 " S_2 "이다."]

[eqn: S_2 = a + ar = {4(N-1)} over {(2N-1)^2} = m ~ "이고, " ~~~~ m > 0 ~ "이다."]

[eqn: bold{ {2} over {5} < {4(N-1)} over {(2N-1)^2} < {1} over {2} ~ "을 만족 시키는 " N "은 오직 " 2 ~ "뿐이다." }]

[eqn: "따라서 " N=2 ,~~~~ a= {2} over {3} ,~~~~ r= - {1} over {3} ~ "이다."]

[eqn: bold{ S_1 = {2} over {3} = b_1 ,~~~~ S_3 = {14} over {27} ,~~~~ b_3 = - {27} over {14} ~ "이므로" }]

[eqn: -7 TIMESb_1 TIMES b_2 =9]

30.

1. 삼차함수 그래프 개형과 치환

최고차항 계수가 음수이고 f'(x)의 근이 -3과 0이므로, f(x)는 x = -3에서 극소, x = 0에서 극대를 가집니다.

합성함수를 풀기 위해 속함수를 t = a - b cos(πx) 로 치환합니다.

0 < x < 6 범위에서 코사인 함수가 3번 반복되므로, 변수 t는 치역 [a-b, a+b] 구간을 총 6번 반복되게 됩니다.

2. 조건 (가) 해석: f(t) = 0의 실근 개수

t 함수의 그래프는 x = 3을 기준으로 좌우 대칭입니다. 따라서 치역 내부의 어떤 임의의 값 t = k를 만족하는 x 값들을 모두 더하면 대칭축 성질에 의해 항상 (3 × 6) = 18이 나옵니다.

모든 실근의 합이 정확히 18이 되려면, f(t) = 0을 만족하는 실근은 구간 (a-b, a+b) 내부에 오직 1개만 존재해야 합니다.

3. 조건 (나) 해석: 극값 17개 나누기

전체 극값 17개는 다음과 같이 두 가지 원인으로 분류됩니다.

1. 속함수(코사인) 자체 극값: x = 1, 2, 3, 4, 5 로 총 5개입니다.

2. 겉함수에 의한 극값: 전체 17개에서 5개를 제외한 12개입니다.

• f(t) = 0 지점을 통과하며 절댓값에 의해 꺾이는 점: 6번 반복되므로 6개가 생깁니다.

• 원래 삼차함수 f(x)의 극점을 통과하는 점: 남은 6개가 채워지려면 f(x)의 극점 중 하나인 x = 0이 치역 (a-b, a+b) 내부에 완전히 포함되어 6번 교차해야 합니다.

4. f(x) 식 구하기

절댓값 그래프이므로 최솟값인 α - 8 = 0 에서 α = 8 입니다. 따라서 극값의 집합은 {0, 8, 19} 가 되며, 원래 삼차함수의 극값과 매칭하면 다음과 같습니다.

• 원래 극대값: f(0) = 19

• 원래 극소값: f(-3) = -8 (절댓값에 의해 8로 바뀜)

극대와 극소의 차가 19 - (-8) = 27이므로 삼차함수 극값 차이 공식을 쓰면 최고차항 계수는 –2가 나옵니다.

결론: f(x) = -2x³ - 9x² + 19

5. 미지수 결정 및 최종 계산

원래 극대점 0은 구간 내부에 들어가고, 원래 극소점 -3은 왼쪽 경계에 걸쳐야 하므로 다음의 연립방정식이 성립합니다. a - b = -3a + b = 1

이를 연립하면 정수 a = -1, 자연수 b = 2 가 나옵니다. 최종적으로 구하고자 하는 값은 ab + |f(b-a)|입니다.

1. ab = (-1) × 2 = -2

2. b - a = 3

3. f(3) = -2(3)³ - 9(3)² + 19 = -116 이므로 |f(3)| = 116

따라서 최종 정답은 -2 + 116 = 114입니다.

정답 : 114