제 2 교시

2027학년도 대학수학능력시험 문제지

수학 영역

홀수형

성명

수험 번호

○ 문제지의 해당란에 성명과 수험 번호를 정확히 쓰시오.

○ 답안지의 필적 확인란에 다음의 문구를 정자로 기재하시오.

그대의 아픔이 마지막을 향해 꽃을 피워내고있어

○ 답안지의 해당란에 성명과 수험 번호를 쓰고, 또 수험 번호,                    문형(홀수/짝수), 답을 정확히 표시하시오.

○ 단답형 답의 숫자에 ‘0’이 포함되면 그 ‘0’도 답란에 반드시 표시하시오.

○ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오.

배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

○ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

※ 공통과목 및 자신이 선택한 과목의 문제지를 확인하고, 답을 정확히 표시하시오.

○ 공통과목 ······································································· 1~8쪽

○ 선택과목

확률과 통계 ····························································· 9~12쪽

미적분 ···································································· 13~16쪽

아이리 칸나 ······························································ 17~20쪽

※ 시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.

한국교육과정평가원

2027학년도 아이리 칸나 모의고사 1회 문제지

수학 영역

5지선다형

홀수형

홀수형

제 2 교시

[eqn: LEFT ( 9 ^{{1} over {2} + sqrt {2}} TIMES 3 ^{1-2 sqrt {2}} RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]        ② [eqn: 3]	③ [eqn: 9]       ④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 81]

20

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =(x ^{2} +2x-1)(x ^{2} -3)]에 대하여 [eqn: f'(1)]의 값은? [2점]

① [eqn: -8]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -4]	④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: 0]

[eqn: {pi } over {2} LEQ theta LEQ pi]인 [eqn: theta]에 대하여

1

홀수형

[eqn: {1} over {1 - sin theta} + {1} over {1 + sin theta} = {18} over {5}]

을 만족시킬 때, [eqn: cos theta]의 값은? [3점]

① [eqn: - {sqrt {5}} over {3}]	② [eqn: - {2} over {3}]	③ [eqn: - {1} over {3}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]

함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` {sqrt {(x ^{2} +a)} -b} over {x-3}&&LEFT ( x != 3 RIGHT )#`` {1} over {2}&&LEFT ( x=3 RIGHT )}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은?  [3점]

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

곡선 [eqn: y=2x ^{3} -9x ^{2} +10x-3]위의 점 [eqn: A(1,0)] 에서의 접선이 이 곡선과 점 [eqn: B] 에서 다시 만난다. 점 [eqn: B] 의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a], [eqn: y]좌표를 [eqn: b]라 할 때, 의 [eqn: a+b]의값은? [3점]

수학 영역

① [eqn: - {3} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {1} over {2}]	④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[eqn: int _{0} ^{3} {} vert x-1vert (x ^{2} -2x+3)dx] 의 값은? [3점]

① [eqn: {33} over {4}]	② [eqn: {35} over {4}]	③ [eqn: {37} over {4}]	④ [eqn: {39} over {4}]	⑤ [eqn: {41} over {4}]

2

수열 {[eqn: {a _{n} }]}이 [eqn: a _{1} =4]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+1} = {4 a_{n}} over {3 a_{n} + 4}]

를 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a_{k}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {135} over {4}]	② [eqn: {145} over {4}]	③ [eqn: {155} over {4}]	④ [eqn: {165} over {4}]	⑤ [eqn: {175} over {4}]

상수 [eqn: a`(a>0)] 에 대하여, 함수 [eqn: f(x) = x^{3} - 3ax^{2} + 3(a^{2} - 4)x + 2] 가 [eqn: x= alpha] 에서 극댓값 [eqn: M] 을, [eqn: x= beta]에서 극솟값 [eqn: m] 을 가진다. [eqn: M+m=-28]일 때, [eqn: f(1)]의 값은? [3점]

빠른정답

1.3

2.3

3.1

4.3

5.3

6.3

7.2

8.3

9.3

11.3

12.5

13.4

14.2

15.3

16.5

17.12

18.51

19.59

20.37

21.230

22.180

확통

23.2

24.3

25.1

26.3

27.3

28.3

29.34

30.509

미적

23.2

24.2

25.2

26.2

27.3

28.1

29.70

30.80

칸나

23.3

24.3

25.3

26.5

27.3

28.2      29.27       30.60

예상 커트라인

1컷

확통 80

미적 76

기하 몰라

2컷

확통 72

미적 69

기하 몰라

3컷

몰라 알아서 정해

잘자꼬리

① [eqn: -7]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: 1]

수학 영역

다항함수 [eqn: f(x)] 와 상수 [eqn: a]가 모든 실수 [eqn: x] 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: int _{1} ^{x} {} tf(t)dt= {1} over {3} x ^{2} f(x)- {1} over {3} x ^{4} +ax ^{2}]

(나)[eqn: int _{0} ^{2} {} f(x)dx=- {4} over {3}]

일 때, [eqn: f(3)+a]의 값은? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

양수 [eqn: a] 와 자연수 [eqn: b] 에 대해 함수 [eqn: f(x)`=`asin {pi x} over {b}] 가 있다. 구간 [eqn: 0<x<b]에서 곡선 [eqn: f(x)] 와 직선 [eqn: y= {a} over {2}]가 만나는 서로 다른 두 점은 [eqn: A,B]라고 하자. 이 구간에서 함수 [eqn: f(x)]가 최댓값을 가지는 점을 [eqn: M]이라고 할 때, 삼각형 [eqn: MAB]는 정삼각형이고	그 넓이가 [eqn: 9 sqrt {3}]이다. [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? (단, 점 [eqn: A]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: B]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)  [4점]

① [eqn: 171]      ② [eqn: 180]       ③ [eqn: 189]      ④ [eqn: 198]     ⑤ [eqn: 207]

3

시각 [eqn: t=0`]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]의 시각 [eqn: t ~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )`]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[eqn: v(t)=3t ^{2} -6at+3(a ^{2} -1)]

이다. [eqn: t>0]인 구간에서 점 P가 운동 방향을 한번만 바꾸고, 그 시각에서의 점 P의 위치가 [eqn: -4]일 때, [eqn: t=0]에서 [eqn: t=4]까지 점 P가 움직인 거리는? (단, [eqn: a]는 상수) [4점]

① [eqn: 16]     ② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

4

수학 영역

수열 [eqn: left {a_{n} right }`]과 공차가 양수인 등차수열 [eqn: left {b_{n} right }`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

(가) [eqn: a _{n} +a _{n+1} =vert b _{n} vert]

(나) [eqn: a _{1} =7,~a _{10} = {26} over {7} ,~ sum _{k=1} ^{10} a _{k} = {211} over {7}]

(다) [eqn: b _{5} TIMES b _{6} <0]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{14} +b _{13}]의 값은? [4점]

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f left(x right)`]에 대해 함수 [eqn: g(x)= int _{1} ^{x} {f(t)dt}]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: g(x) GEQ 0]이다.

(나) 방정식 [eqn: g(x)=0]은 서로 다른 두 실근을 가진다.

(다) 곡선 [eqn: y=f(x)]와 이 곡선 위의 점 [eqn: (1,0)] 에서의 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 108이고, [eqn: f'(0)>0`이다.]

[eqn: f(7)]의 값은? [4점]

① [eqn: 36]	② [eqn: 40]	③ [eqn: 44]	④ [eqn: 48]	⑤ [eqn: 52]

수학 영역

삼각형 [eqn: ABC]가 중심이 [eqn: O]인 원에 내접해있다. [eqn: ANGLE BAC]의 이등분선이 선분 [eqn: BC]와 만나는 점을 [eqn: D], 원과 만나는 점 중 [eqn: A]가 아닌 점을 [eqn: E]라고 하자. 원 위의 점 [eqn: P]가 [eqn: CP`//`AE]를 만족시킬 때, 다음 조건이 성립한다.

(가) [eqn: AB=4]

(나) [eqn: AE=6]

(다) [eqn: DE= {8} over {3}]

삼각형 [eqn: ABC]의 외접원의 반지름의 길이를 R이라고 할 때, [eqn: CP ^{2} +R ^{2}]의 값은? (단, [eqn: C != P])	[4점]

① [eqn: {317} over {28}]	② [eqn: {319} over {28}]	③ [eqn: {321} over {28}]	④ [eqn: {323} over {28}]	⑤ [eqn: {325} over {28}]

5

단 답 형

최고차항의 계수가 1인 이차함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]와 실수 [eqn: m]에 대하여 실수 전체집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``m(x-1)+a&&LEFT ( x<1 RIGHT )#``h LEFT ( x RIGHT )&&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이라고하자. (단, a는 상수이다.)

함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)=f(f(x))]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=1]에서 미분 가능하지 않다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체 집합에서 미분가능하다.

(다) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x>1]인 어떤 실수에서 최솟값 1을 가진다.

(라) [eqn: g(0)=17]

방정식 [eqn: g(x)=x]의 모든 실근의 합은? [4점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]      ④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

6

수학 영역

[eqn: 3log` _{2} root {3} of {40} +log` _{{1} over {2}} ( {5} over {4} )] 의 값을 구하시오. [3점]

다항함수 [eqn: f left(x right)`]가 [eqn: int _{-1} ^{1} ( x^{3} + ax^{2} + 5x + 3 ) dx = 14]를 만족시킬 때, 상수 a의 값을 구하시오. [3점]

공차가 양수인 등차수열 [eqn: left {a_{n} right }`]에 대하여

[eqn: a _{2} +a _{5} =24,```a _{3} ` TIMES a _{4} =135]

를 만족시킬 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오. [3점]

수학 영역

삼차함수 [eqn: f left(x right)`]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ x ^{3} -3x ^{2} +4x]

를 만족시킨다. [eqn: f(1)=2`]이고 [eqn: f'(0)=-2]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) `]의 값을

구하시오. [3점]

함수 [eqn: f(x)=log _{2} (x+2)]와 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=f(x-k)]가 있다. x에 대한 방정식	[eqn: (f(f(x))-1)(f(f(x))-3)=0]

을 만족시키는 두 실근을 [eqn: alpha ,` beta ( alpha < beta )]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y=f(x),`y=g(x)]와 두 직선 [eqn: y=f( alpha ),`y=f( beta )]로 둘러싸인

부분의 넓이는 192이다. [eqn: k+g( beta )]의 값을 구하시오. [4점]

7

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: x+4 LEQ f(x+1)-f(x) LEQ x ^{4} -2x ^{3} +4x ^{2} -5x+7]

[eqn: f'(10)]의 값을 구하시오. [4점]

8

수학 영역

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left {a_{n} right }`]에 대하여 [eqn: a _{1}]의 값의 합을 S하고 할 때, 10S의 값을 구하시오..

(가) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_{n+1} = cases { -2a_{n} - 4 & (a_{n} < -1) # 2a_{n} & (-1 le a_{n} le 1) # -a_{n} + 3 & (a_{n} > 1) }] 이다.

(나) [eqn: a _{6} = LEFT | a _{5} RIGHT | +1]

(다) [eqn: LEFT | a _{3} RIGHT | +a _{4} =a _{5} +2]

[4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

◦ 이어서,「선택과목(확률과 통계)」문제가 제시되오니, 자신이    선택한 과목인지 확인하시오.

2027학년도 아이리 칸나 모의고사 1회 문제지

수학 영역(확률과 통계)

5지선다형

제 2 교시

1

홀수형

[eqn: (x+ {2} over {x ^{2}} ) ^{5}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수는? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

20

두 사건 [eqn: A,B]가 서로 독립이고, [eqn: P(A)= {2} over {3} ,`P(A CUP B ^{C} )= {5} over {6}]일 때, [eqn: P(A SMALLINTER B)]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]     ② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {5} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

두 연속확률변수 [eqn: X,Y]가 각각 정규분포 [eqn: N(m, sigma ^{2} )]과 [eqn: N(2m,`( {sigma } over {2} ) ^{2} )]을 따른다. [eqn: P(X LEQ 10)=P(Y GEQ 25)]이고 [eqn: P(X LEQ 16)=0.8413]일 때, [eqn: P(Y LEQ 25)]의 값을 아래 표준정규분포표를 이용해 구한 것은? (단, [eqn: m>0,` sigma >0]이다.) [3점]

Z	P([eqn: 0 LEQ Z LEQ z])
0.5	0.1915
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8413]	④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

2

수학 영역(확률과 통계)

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a,b,c,d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,b,c,d)]의 개수는? [3점]

(가) [eqn: a+b+c+d=12]

(나) [eqn: a,b,c]중 하나는 반드시 짝수다.

① [eqn: 120]     ② [eqn: 125]	③ [eqn: 130]     ④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 140]

다음 조건을 만족시키는 자연수 ([eqn: a,b,c,d,e])의 모든 순서쌍의 개수는? [3점]

(가) [eqn: a+b+c+d+e=17]

(나) [eqn: a,b,c]중 두 개는 홀수이고, 한 개는 짝수이다.

(다) [eqn: d LEQ e LEQ d+2]

① [eqn: 156]      ② [eqn: 162]	③ [eqn: 168]    ④ [eqn: 174]	⑤ [eqn: 180]

수학 영역(확률과 통계)

흰 공 5개와 검은 공 15개가 있다. 이 공들을 4개의 상자 A, B, C, D에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키게 나누어 넣는 경우의 수는? (단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]

3

(가) 각 상자에는 적어도 2개의 검은 공이 들어간다.

(나) 각 상자에 들어가는 흰 공의 개수는 2 이하이다.

(다) 흰 공이 들어가지 않은 상자가 있다면, 그 상자에 들어       가는 검은 공의 개수는 홀수이다.

① [eqn: 960]      ② [eqn: 1020]	③ [eqn: 1080]     ④ [eqn: 1140]	⑤ [eqn: 1200]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: P]가 있다. 한 개의 동전을 한 번 던져 앞면이 나오면 점 [eqn: P]를 양의 방향으로 1만큼, 뒷면이 나오면 음의 방향으로 1만큼 이동시킨다. 원점을 출발한 점 [eqn: P]에 대하여 동전을 10번 던지는 동안, 10번째 시행에서 처음으로 점 [eqn: P]의 좌표가 2가 되었다고 할 때, 동전을 던지는 10번의 과정 중 점 [eqn: P]가 좌표가 -2인 점을 적어도 한 번 지났을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

4

수학 영역(확률과 통계)

좌표평면 위의 점 [eqn: P]가 있다. 한 개의 주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수에 따라 점 [eqn: P]를 다음 규칙에 따라 이동시킨다.

점 [eqn: P]의 현재 위치가 [eqn: (x,y)]일 때,

(가) 1 또는 2의 눈이 나오면, 점 [eqn: P]를 [eqn: (x-y,`x+y)]로       이동시킨다.

(나) 3, 4, 5의 눈이 나오면, 점 [eqn: P]를 [eqn: (y,-x)]로 이동시       킨다.

(다) 6의 눈이 나오면, 점 [eqn: P]를 [eqn: (-x,-y)]로 이동시킨        다.

점 [eqn: A(1,0)]에서 출발한 점 [eqn: P]에 대하여, 이 시행을 2027번 반복한 후의 점 [eqn: P]의 좌표를 [eqn: (X,Y)]라 하자. [eqn: X=Y] 일 확률이 [eqn: {3 ^{2027} -1+2 ^{a}} over {b BULLET 3 ^{2027}}] 일 때, [eqn: {a+b} over {2}]의 값을 구하시오.(단, [eqn: a,b]는 자연수이다.) [4점]

2027학년도 아이리 칸나 모의고사 1회 문제지

수학 영역(미적분)

5지선다형

제 2 교시

[eqn: lim _{x rarrow 0} {{e ^{6x} -1} over {ln(1+3x)}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

20

1

홀수형

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {4}} {x`sec ^{2} x`dx}] 의 값은? [3점]

① [eqn: {pi } over {4} -ln2]      ② [eqn: {pi } over {4} - {1} over {2} ln2]	③ [eqn: {pi } over {4}]	④ [eqn: {pi } over {4} + {1} over {2} ln2]	⑤ [eqn: {pi } over {4} +ln2]

함수 [eqn: f(x)=xlnx]에 대하여 [eqn: lim _{n rarrow INF } {sum _{k=1} ^{n} {f(1+ {2k} over {n} )} over {n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {9} over {4} ln3-2]	② [eqn: {9} over {4} ln3-1]	③ [eqn: {9} over {2} ln3-2]	④ [eqn: {9} over {2} ln3-1]	⑤ [eqn: 9ln3-2]

수학 영역(미적분)

2

[eqn: x]축 위의 구간 [eqn: [0, {pi } over {2} ]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= sqrt {2(x ^{2} +1)e ^{x} cosx}]가 있다. [eqn: x]축 위의 점 [eqn: x(0 LEQ x LEQ {pi } over {2} )]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 입체도형을 자른 단면이 길이가 [eqn: f(x)]를 한 변으로 하는 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]

① [eqn: {e ^{{pi } over {2}}} over {4} ( pi ^{2} -4 pi +4)]	② [eqn: {e ^{{pi } over {2}}} over {4} ( pi ^{2} -4 pi +8)]	③ [eqn: {e ^{{pi } over {2}}} over {4} ( pi ^{2} -2 pi +4)]	④ [eqn: {e ^{{pi } over {2}}} over {2} ( pi ^{2} -4 pi +4)]	⑤ [eqn: {e ^{{pi } over {2}}} over {2} ( pi ^{2} -2 pi +8)]

[eqn: int _{- pi } ^{pi } {{xsinx} over {(1+cos ^{2} x)(1+2027 ^{x ^{5} +xcosx} )} dx}]의 값은? [3점]
① [eqn: {pi ^{2}} over {8}]     ② [eqn: {pi ^{2}} over {6}]	③ [eqn: {pi ^{2}} over {4}]	④ [eqn: {pi ^{2}} over {3}]	⑤ [eqn: {pi ^{2}} over {2}]

3

수학 영역(미적분)

실수 전체 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에

대해 [eqn: f(x+ pi )=f(x)+e ^{x} (sinx+cosx)] 이다.

(나) 구간[eqn: [0, pi ]]에서 [eqn: f(x)=ax+b]이다.(단, [eqn: a,b]는 상수)

함수 [eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)dt}] 가 [eqn: x= {pi } over {2}]에서 극솟값을 가질 때, [eqn: int _{pi } ^{3 pi } {g(x)dx}] 의 값은?[4점]

① [eqn: {-e ^{2 pi } +e ^{pi } +2} over {2} - {pi ^{2} {} LSUP {{}^{}}} over {6}]	② [eqn: {-e ^{2 pi } +2e ^{pi } +1} over {2} - {pi ^{2} {} LSUP {{}^{}}} over {6}]	③ [eqn: {-e ^{2 pi } +e ^{pi } +2} over {2} - {pi ^{2} {} LSUP {{}^{}}} over {12}]	④ [eqn: {-e ^{2 pi } -e ^{pi } +2} over {2} - {pi ^{2} {} LSUP {{}^{}}} over {6}]	⑤ [eqn: {-e ^{2 pi } +e ^{pi } -2} over {2} - {pi ^{2} {} LSUP {{}^{}}} over {12}]

단 답 형

수열 [eqn: a _{n}]이

[eqn: a _{n} =840 int _{0} ^{{pi } over {2}} {sin ^{2n-1} x} `cos ^{7} x`dx]

로 정의될 때, 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]의 합을 [eqn: S]라고 하자. [eqn: R _{n} =S- sum _{k=1} ^{n} a _{k}]에 대하여, [eqn: sum _{n=1} ^{INF } R _{n}]의 값을 구하시오. [4점]

4

실수 전체 집합에서 미분가능하고 역함구 [eqn: g(x)]를 갖는 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대해 [eqn: f(x)=-f(-x)]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: int _{0} ^{f(x)} {g(t)dt= {x ^{4}} over {x ^{2} +1} + {1} over {2} ln(x ^{2} +1)}]이다.

정적분 [eqn: int _{- sqrt {3}} ^{sqrt {3}} {{60xf(x)} over {1+2027 ^{f(x)-x}} dx}]의 값이 [eqn: a sqrt {3} +b pi]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a,b]는 유리수이다.)[4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

◦ 이어서,「선택과목(기하)」문제가 제시되오니, 자신이 선택한 과목인지 확인하시오.

2027학년도 아이리 칸나 모의고사 1회 문제지

수학 영역(아이리 칸나)

5지선다형

두 벡터 [eqn: {vec{a}} =(2,1)], [eqn: {vec{b}} =(k,4)]에 대하여 칸나가 무대

제 2 교시

1

홀수형

위에서 이동한 경로의 벡터가 [eqn: {vec{a}} + {vec{b}}]이고, 이 벡터가 무대 정면 방향인 벡터 [eqn: (1,1)]과 평행할 때, 실수 [eqn: k]의 값은? [2점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 3]       ④ [eqn: 2]       ⑤ [eqn: 1]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 모양의 칸나의 방송 스튜디오에 두 개의 조명이 타원의 두 초점에 위치해 있다. 두 초점 사이의 거리가 6이고 타원 위의 한 점 [eqn: P]에서 두 조명까지의 거리의 합이 10일 때, 이 타원의 단축의 길이는? [3점]

① [eqn: 6 sqrt {2}]    ② [eqn: 8 sqrt {2}]	③ [eqn: 10 sqrt {2}]   ④ [eqn: 12 sqrt {2}]   ⑤ [eqn: 14 sqrt {2}]

좌표평면에서 아이리 칸나의 상징인 '푸른 용'의 비늘 모양을 본뜬 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]가 있다. 이 포물선의 준선이 직선 [eqn: x=k]일 때, 점 [eqn: (k,0)]을 지나고 기울기가 1인 직선이 포물선과 만나는 두 점을 각각 [eqn: A,B]라 하자. 선분 [eqn: {bar{AB}}]의 길이는? [3점]

① [eqn: 6 pi]      ② [eqn: 4 pi]      ③ [eqn: 2 pi]      ④ [eqn: pi]      ⑤ [eqn: {pi } over {2}]

수학 영역(칸나)

2

좌표공간에 '스텔라이브' 무대 장치를 설치하기 위해 네 점 [eqn: A(2,0,0),`B(0,4,0),`C(0,0,3),`O(0,0,0)]을 꼭짓점으로 하는 사면체를 만들었다. 선분 [eqn: {bar{AB}}]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점을 [eqn: P], 선분 [eqn: {bar{OC}}]의 중점을 [eqn: M]이라 할 때, 선분 [eqn: {bar{PM}}]의 길이는? [3점]

① [eqn: {17} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {19} over {2}]      ④ [eqn: 10]       ⑤ [eqn: {21} over {2}]

아이리 칸나가 노래를 부를 때 발생하는 음파의 간섭 현상을 관찰하기 위해 두 지점 [eqn: F(5,0),`F'(-5,0)]에 스피커를 설치하였다. 두 스피커로부터의 거리의 차가 6인 지점들의 집합인 쌍곡선 위를 칸나가 움직이고 있다. 이 쌍곡선의 한 점 [eqn: P]에 대하여 [eqn: ANGLE FPF'=90 DEG]일 때, 삼각형 [eqn: PFF']의 넓이는? [3점]

① [eqn: 3 sqrt {3}]	② [eqn: {10 sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {11 sqrt {3}} over {3}]
④ [eqn: 4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: {13 sqrt {3}} over {3}]

3

수학 영역(칸나)

좌표평면 위의 점 [eqn: A(4,0)]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4] 위를 움직이는 점 [eqn: P]가 있다. 칸나의 팬 비늘이의 이동 경로를 나타내는 점 [eqn: Q]가 [eqn: {vec{OQ}} = {vec{OA}} + {vec{OP}}]를 만족시킬 때, 점 [eqn: Q]가 나타내는 도형과 직선 [eqn: y=x+k]가 오직 한 점에서 만나도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은? [4점]

① [eqn: {12} over {5}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {13} over {5}]       ④ [eqn: {27} over {10}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

단 답 형

칸나가 훔쳐간 유니의 뿔은 정사면체 [eqn: ABCD] 모양이다.. 한 변의 길이가 6인 이 정사면체에서 삼각형 [eqn: ABC]의 무게중심을 [eqn: G]라 하고, 선분 [eqn: AD]를 2:1로 내분하는 점을 [eqn: P]라 하자. 평면 [eqn: GPB]와 평면 [eqn: BCD]가 이루는 이면각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 35cos ^{2} theta]의 값을 구하시오. [4점]

4

수학 영역(칸나)

좌표평면 위에 두 점 $[eqn: F _{1} (c,0),`F _{2} (-c,0)`(c>0)]을 초점으로 하는 타원이 있다. 이 타원 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 [eqn: P]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: Q], [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: R]이라 하자. 삼각형 [eqn: ORQ]가 이등변삼각형이고, [eqn: {vec{F _{2} P}} BULLET {vec{F _{1} P}} =0] 일 때, 타원의 장축의 길이의 제곱을 [eqn: L ^{2}]이라 하자. [eqn: c ^{2} =10]일 때, [eqn: L ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: O]는 원점이다.) [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

※시험이 시작되기 전까지 표지를 넘기지 마시오.