2026학년도 3월 학력평가 대비 METIS 모의고사

주요 문항 정답 및 해설

※ 전체 문항이 아닌, 해설이 필요할 것으로 여겨지는 일부 문항에 대한 해설만 수록되어 있습니다.

11.②

[eqn: f(x)=(x-alpha)(x-beta)] [eqn: (alpha<beta)]라고 두면, [eqn: P( alpha ,0),`Q( beta ,0),`R(0,` alphabeta)]이 된다. 따라서

[eqn: B= {alpha beta} over {2} TIMES ( beta - alpha )], [eqn: C = {1} over {6} TIMES ( beta - alpha ) ^{3}]로 표현할 수 있다.

[eqn: B:C= {alpha beta} over {2} ( beta - alpha ): {( beta - alpha ) ^{3}} over {6}][eqn: = alpha beta : {(beta-alpha)^2} over {3}=4:3]

[eqn: RARROW `4( beta-alpha)^2 =9alphabeta]

[eqn: 4beta^2 -8alphabeta+4alpha^2 =9alphabeta]

[eqn: 4beta^2 -17alphabeta+4alpha^2 =0]

[eqn: (4beta-alpha)(beta-4alpha)=0]

[eqn: THEREFORE beta =4 alpha` ( beta>alpha)]

[eqn: A]와 [eqn: B]는 높이가 같은 삼각형이기 때문에 밑변의 비가 넓이의 비가 된다. [eqn: A]의 밑변은  [eqn: alpha]고 , [eqn: B]의 밑변은 [eqn: 3alpha]이므로 [eqn: A]와 [eqn: B]의 넓이비는 1:3이 된다.

[eqn: B]의 넓이는 [eqn: 3A]로, [eqn: C]의 넓이는 [eqn: {9A} over {4}]로 표현할 수 있다.

[eqn: (A+B+C)]의 값이 100이므로

[eqn: RARROW `A+3A+ {9} over {4}A=100]

[eqn: {25} over {4}A=100]

[eqn: thereforeA=16]

[eqn: A= {1} over {2} TIMES alphaTIMES4alpha^2]

[eqn: =2 alpha ^{3} =16]

[eqn: THEREFOREalpha=2]

[eqn: RARROW`` f(x)=(x-2)(x-8)]

[eqn: THEREFOREf(10)=16]

12. ⓸

[eqn: ANGLE BAC= ANGLE OCB = theta]라고 할 때, 원주각과 중심각의 관계에 따라서,

[eqn: angleBOC=2theta]

[eqn: barOB = barOC]이므로, [eqn: angleOBC = theta]

[eqn: therefore][eqn: theta= piover4]

사인법칙에 따라

[eqn: barBC over {sin(angleBAC)} = barAC over{sin(angleABC)]이므로,

[eqn: sin (angleABC) = 1 over2],

[eqn: THEREFORE ANGLE ABC= {pi } over {6}]

원주각과 중심각의 관계에 따라서,[eqn: ANGLE AOC = piover3]이므로, [eqn: angleAOB = 5 over6 pi]

코사인 법칙에 의해

[eqn: (2root2 ) ^2 + (2root2 ) ^2 - 2 TIMES2root2 TIMES2root2 TIMES(- root3 over2 ) = {barAB} ^2]

[eqn: THEREFOREk^2 = 16+8root3]

13. ③

ㄱ. [eqn: x(0)=-2]이고, [eqn: v (0)<0]일 경우 [eqn: x(t)< -2]인 [eqn: t]가 반드시 존재하므로, [eqn: v(0)>=0]이다.

ㄴ. 반례: [eqn: x(t)=t^3 -6t^2 +9t-2]일 때, [eqn: x(4)=2]이지만 [eqn: v(4)=9]이다.

ㄷ. [eqn: int _{0} ^{4} {LEFT □ v(t) RIGHT| } dt]는 점 [eqn: P]가 수직선 위에서 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=4]까지 이동한 거리를 의미한다. 즉 [eqn: y=x(t)] 그래프를 작도했을 때, [eqn: 0<t<4]에서 [eqn: y]값의 총 변화량을 의미한다. [eqn: x(t)]가 [eqn: t]에 대한 삼차식임을 고려하였을 때, 아래 경우를 고려할 수 있다.

I. [eqn: 0<t<4]에서 [eqn: y=x(t)]의 극점이 없을 때

[eqn: v(0)>=0]이므로, [eqn: y=x(t)] 그래프는 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=4]까지 증가하는 개형이다.

[eqn: therefore][eqn: int _{0} ^{4} {LEFT □ v(t) RIGHT| } dt <=4]

II. [eqn: 0<t<4]에서 [eqn: y=x(t)]의 극점이 한 개 일 때

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT □ v(t) RIGHT| } dt]가 최대가 되려면 [eqn: y=][eqn: x(t)] 그래프의 극점에서 [eqn: x(t)= 2]이면서, [eqn: x(4)=-2]이어야 한다.

[eqn: therefore][eqn: int _{0} ^{4} {LEFT □ v(t) RIGHT| } dt][eqn: <=8]이다.

III.[eqn: 0<t<4]에서 [eqn: y=x(t)]의 극점이 두 개일 때

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT □ v(t) RIGHT| } dt]가 최대가 되려면 [eqn: y=x(t)]의 서로 다른 두 극점의 극값이 [eqn: +-2]이어야 하고, [eqn: x(4)=2]이어야 하므로, [eqn: a=-6,`b=9]일 때 [eqn: int _{0} ^{4} {LEFT □ v(t) RIGHT| } dt][eqn: =12]로 최대이다.

14. ⓸

[eqn: 6!]을 소인수분해했을 때 소인수 [eqn: 2]의 개수는 [eqn: 4]이다.

모든 실수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}>0]이므로, [eqn: b _{6} =1]일 경우 [eqn: c_{6}= sum _{k=1} ^{6} a_{n} >0]이 되어 [eqn: c_{6}<0]에 모순이다. 따라서 [eqn: b _{6} =-1]이여야하므로 [eqn: p>4]이다.

[eqn: 12!]을 소인수분해했을 때 소인수 [eqn: 2]의 개수는 [eqn: 10]이다.

[eqn: p>11]일 경우, [eqn: c _{6} = -sum _{k=1} ^{12} a _{n} <0]이 되어 [eqn: c _{12} <0]에 모순이다. 따라서 [eqn: p LEQ 10]이다.

[eqn: p]는 홀수인 자연수이므로 [eqn: 4< p LEQ 10]을 만족하는 [eqn: p]의 값은 [eqn: 5, 7, 9]이다.

[eqn: i)~p=5] 또는 [eqn: p=7]

[eqn: 7!]의 소인수 [eqn: 2]의 개수는 [eqn: 4]이므로 [eqn: p] 미만이다.

[eqn: 8!]의 소인수 [eqn: 2]의 개수는 [eqn: 7]이므로 [eqn: p] 이상이다.

이 때 등차수열 [eqn: a _{n}]의 첫 항을 [eqn: a],

공차를 [eqn: d]로 두면  [eqn: c _{12} -c _{6} =-a _{7} +a _{8} +a _{9} +a _{10} +a _{11} +a _{12}=4a+39d] 이다.

조건에서 [eqn: 48 < 4a+ 39d < 55] 를 만족하는 자연수 [eqn: a], [eqn: d]는 [eqn: a=3, d=1] 뿐이다.

따라서 [eqn: a _{n}=n+2]이다.

[eqn: ii)~p=9]

[eqn: 11!]의 소인수 [eqn: 2]의 개수는 [eqn: 8]이므로 [eqn: p] 미만이다.

[eqn: 12!]의 소인수 [eqn: 2]의 개수는 [eqn: 10]이므로 [eqn: p] 이상이다.

[eqn: c _{12} -c _{6} =-a _{7} -a _{8} -a _{9} -a _{10} -a _{11} -a _{12}<0] 이므로 [eqn: 48<c_{12}-c_{6}<55]에 모순이다.

조건을 만족하는 모든 [eqn: p]값의 합은 [eqn: 12]이고, [eqn: a_{12}=14]이다.

따라서 [eqn: m+a_{m}=12+14=26]이다.

* [eqn: i)]에서 [eqn: c_{12}>0]인지 확인해봐야 하지만, [eqn: c_{12}<0]이 된다면 조건을 만족하는 [eqn: p]값이 존재하지 않게 되어 [eqn: c_{12}>0]임을 미루어 알 수 있다. 실제로 [eqn: c _{12}=18 >0]이다.

15. ③

조건 (가)에서 [eqn: f(0) = 0, f'(0) < 0]이므로 삼차함수의 세 실근을 크기가 작은 순서대로 [eqn: alpha, ~0, ~beta]라 하고, 마찬가지로 도함수의 두 실근을 [eqn: p, ~q]라 하면 [eqn: alpha < p < 0 < q < beta]이 성립한다.

함수 [eqn: g(x)= vert f(x-t)f prime (x+t) vert]가 미분가능하지 않은 점의 개수가 불연속이 되려면, 절댓값 안의 식[eqn: f(x-t)f prime (x+t)]이 중근을 가져야 한다. [eqn: t>0]일 때, 두 함수의 근이 일치하는 경우는 다음 세 가지뿐이다.

[eqn: alpha + t = p - t ~->~ t = {p - alpha} over {2}]

[eqn: alpha +t=q-t~ rarrow ~t= {q- alpha } over {2}]

[eqn: t = q - t ~->~ t = {q} over {2}]

가장 큰 [eqn: t]의 값은 [eqn: {q- alpha } over {2}]이며, 조건 (나)에 의해 불연속이 되는 [eqn: t]의 값이 크기순으로 [eqn: k, {3} over {5}, 2]이므로 가장 큰 값은 [eqn: 2]가 된다. 또한 조건 (가)에서 [eqn: f'({6} over {5})!=0]이므로 [eqn: {q} over {2} neq {3} over {5}]이다.

따라서

[eqn: {q} over {2} =k ~rarrow~ q=2k], [eqn: {p- alpha } over {2} = {3} over {5} ~rarrow~ p- alpha = {6} over {5}]이다.

이를 통해 극값의 x좌표 [eqn: p, ~q]와 가장 작은 x절편 [eqn: alpha]를 [eqn: k]에 대한 식으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: p=2k- {14} over {5}, ~q=2k, ~alpha=2k-4],

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수는 이차항의 계수가 [eqn: 3]이므로 다음과 같이 식을 세울 수 있다.

[eqn: f'(x) = 3 left ( x - left ( 2k - {14} over {5} right ) right ) (x - 2k)]

이때 조건 (가)에서 [eqn: f(0)=0]이므로 적분상수는 [eqn: 0]이 되어,

[eqn: f'(x)]를 부정적분하면

[eqn: f(x) = x^3 - left ( 6k - {21} over {5} right ) x^2 + left ( 12k^2 - {84} over {5} k right ) x]

[eqn: f(2k-4)=0] 이므로 대입하면

[eqn: (2k - 4)^3 - left ( 6k - {21} over {5} right ) (2k - 4)^2 + left ( 12k^2 - {84} over {5} k right ) (2k - 4) = 0]

[eqn: 2k-4<0]이므로 양변을 [eqn: 2k-4]로 약분하면 [eqn: (2k - 4)^2 - left ( 6k - {21} over {5} right ) (2k - 4) + 12k^2 - {84} over {5} k = 0]이다. 이를 정리하면

[eqn: 4k^2 - {2} over {5} k - {4} over {5} = 0]

[eqn: (2k - 1)(5k + 2) = 0]이고,

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k= {1} over {2}]이다.

[eqn: therefore][eqn: f(x) = x^3 + {6} over {5} x^2 - {27} over {5} x]

[eqn: f(5) = 5^3 + {6} over {5} times 5^2 - {27} over {5} times 5 = 125 + 30 - 27 = 128]

[eqn: THEREFORE 10k + f(5) = 5 + 128 = 133]

20. 1[eqn: 9]

두 점 P, Q의 y좌표가 [eqn: t]이므로

[eqn: t=log _{2} x에서x=2 ^{t}# 즉,점P의좌표는(2 ^{t,} t)이다.# t=log _{2} (x−n)에서x−n=2 ^{t}# x=2 ^{t} +n]

즉, 점 Q의 좌표는 [eqn: (2^t + n, t)]이다.

따라서

[eqn: bar { PQ} =(2 ^{t} +n)–2 ^{t} =n]

두 점 Q, R의 x좌표가 [eqn: (2^t + n, t)]이므로

점 R의 좌표는 [eqn: (2 ^{t} +n,log _{2} (2 ^{t} +n))]이다.

따라서

[eqn: {bar{RQ}} =log _{2} (2 ^{t} +n)–t # =log _{2} ( {(2 ^{t} +n)} over {2 ^{t}} ) # =log _{2} (1+ {n} over {2 ^{t}} )]

이때 정의역이 [eqn: {t GEQ 0}]인 함수 [eqn: f(t)= {1+n} over {2 ^{{}^{t}}}]는 [eqn: t=0]일 때 최솟값 [eqn: f(0) = 1 + n]을 갖는다.

한편 함수 [eqn: y=log _{2} x]는 밑이 1보다 크므로 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

따라서 t에 대한 함수 [eqn: g(t)=log _{2} (1+ {n} over {2 ^{t}} )]는 t = 0일 때 최댓값

[eqn: g(0)=log _{2} (1+n)]을 갖는다.

즉, 음이 아닌 모든 실수 t에 대하여

[eqn: 0<log _{2} (1+ {n} over {2 ^{t}} ) LEQ `log _{2} (1+n)]

(i) [eqn: log _{2} (1+n) LEQ 2]일 때

[eqn: 1+n LEQ 4,`n LEQ 3# {bar{PQ}} + {bar{QR}} =n+log _{2} (1+ {n} over {2 ^{t}} ) LEQ n+log _{2} (1+n) LEQ 5]

이때 어떤 음이 아닌 실수 t에 대하여 [eqn: {bar{PQ}} + {bar{QR}} GEQ 15]을 만족시키는 자연수 n의 값은 없다.

(ii) [eqn: 2<log _{2} (1+n) LEQ 3]일 때

[eqn: 4<1+n LEQ 8,`3<n LEQ 7# {bar{PQ}} + {bar{QR}} LEQ n+log _{2} (1+n)]

이때 어떤 음이 아닌 실수 t에 대하여 PQ + RQ ≥ 15이 성립하려면

[eqn: n+log _{2} (1+n) GEQ 15# log _{2} (1+n) GEQ 15–n]

이때 어떤 음이 아닌 실수 t에 대하여 [eqn: {bar{PQ}} + {bar{QR}} GEQ 15]을 만족시키는 자연수 n의 값은 없다.

(iii) [eqn: 3<log _{2} (1+n) LEQ 4]일 때

[eqn: 8<1+n LEQ 16 # 7<n LEQ 15]

이때 어떤 음이 아닌 실수 t에 대하여 PQ + RQ ≥ 15이 성립하려면

[eqn: n+log _{2} (1+n) GEQ 15# log _{2} (1+n) GEQ 15–n]

n = 11일 때, [eqn: log _{2} 12<4]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

n = 12일 때, [eqn: log _{2} (1+n)=log _{2} 13 GEQ 3]이므로 조건을 만족시킨다.

따라서 조건을 모두 만족시키는 자연수 n의 값의 범위는

[eqn: 12 LEQ n LEQ 15]

(ⅳ) [eqn: 4<log _{2} (1+n) LEQ 5]일 때

[eqn: 16<1+n LEQ 32 # 조건에`따라`15<n LEQ 30]

이므로 [eqn: {bar{PQ}} + {bar{QR}} =n+log _{2} (1+ {n} over {2 ^{t}} ) SUCC 15]

따라서 조건을 만족시키는 자연수 n의 값의 범위는 [eqn: 15<n LEQ 30]

ⅰ~ⅳ에서 [eqn: 12<=n<=30]으로 총 19개다.

21. 34

(가) 조건에 의해 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x+1) ^{n}]을 인수로 갖는다.

또한, (나) 조건에 의해 함수 [eqn: g(x)]는 임의의 자연수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: (x-1) ^{2t}]를 인수로 가진다.

(다) 조건에 의해 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x-1)^2t-1]을 인수로 가진다.

따라서, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x+1) ^{n} (x-1) ^{2t-1}]를 인수로 가진다.

이때, [eqn: h(x)]는 [eqn: f(x)]중 가장 차수가 낮은 함수이므로, [eqn: h(x)=a(x+1) ^{n}(x-1)^2t-1]이다. 또한, [eqn: g(x)=h(x-p)]이므로 [eqn: p=2]이고, [eqn: 2t=n]이다.

[eqn: thereforeh(x)=a(x+1)^2 (x-1)]이다.

(가) 조건에 의해 [eqn: lim _{x -> -1} {left|{f(x)}over(x+1)^2 right|} =2]

[eqn: LEFT | 2a RIGHT | =2,``a= +- 1]이다.

(나)조건에 의해 [eqn: x rarrow1]일 때 [eqn: g(x)<0]이어야 하므로, [eqn: a=1]

[eqn: THEREFOREh(x)=(x+1)^2 (x-1)], [eqn: h(3)=32]

22. [eqn: 183]

함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: 2a]이다.

자연수 [eqn: a,k]에 대하여 [eqn: (2(k-1)a,(2k-1)a)]에서 [eqn: f(x)>0]이고, [eqn: ((2k-1)a,2ka)] 에서 [eqn: f(x)<0]이다.

[eqn: -a<t<0] 인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=180]으로 일정하다는 것은 [eqn: [0,80]]에 [eqn: f(x)<0]인 구간이 자연수 [eqn: n]개만큼 포함되어야 하며, 그 외의 범위에서 [eqn: f(x)=t]가 추가적인 근을 갖지 않아야 한다.

즉, [eqn: ((2k-1)a,2ka)] 구간만 관찰하면, [eqn: x={(4k-1)a`}over{2}] 에 대해 대칭이므로 이 구간에 존재하는 서로 다른 두 실근의 합은 [eqn: (4k-1)a] 이다.

이 때 [eqn: f(x)<0]인 구간이 [eqn: n]개 존재하므로, [eqn: g(t)= sum _{k=1} ^{n} (4k-1)a=a(4 TIMES {n(n+1)} over {2} -n) # =a TIMES n(2n+1)=180]

[eqn: 180]을 소인수분해하면 [eqn: 180=2 ^{2} TIMES 3^{2} TIMES 5] 이고, [eqn: 2n+1]이 [eqn: 3] 이상의 홀수이므로 가능한 [eqn: 2n+1]의 값은 [eqn: 3,5,9,15,45] 이다.

[eqn: 2n+1=3]일 때, [eqn: 3a=180] 이므로 [eqn: a=60] 이다.

[eqn: 2n+1=5]일 때, [eqn: 10a=180] 이므로 [eqn: a=18] 이다.

[eqn: 2n+1=9]일 때, [eqn: 36a=180] 이므로 [eqn: a=5] 이다.

[eqn: 2n+1=15]일 때, [eqn: n=7]이 되어 [eqn: 180]의 약수가 아니다. 따라서 [eqn: a]는 자연수가 아니다.

[eqn: 2n+1=45]일 때, [eqn: n=22]이 되어 [eqn: 180]의 약수가 아니다. 따라서 [eqn: a]는 자연수가 아니다.

따라서 조건을 만족시키는 [eqn: (a,n)]의 순서쌍은 [eqn: (60,1)] 또는 [eqn: (18,2)] 또는 [eqn: (5,4)]이다.

또한 조건에서, 정의역의 끝점인 [eqn: x=80]이 [eqn: n]번째 [eqn: f(x)<0] 구간과 [eqn: n+1]번째 [eqn: f(x)<0] 구간 사이인 [eqn: [2na,(2n+1)a]]에 존재하여야 한다. 즉 [eqn: 2na LEQ 80 LEQ (2n+1)a] 이다.

[1번 해설 : 직접 대입]

[eqn: (a,n)=(60,1)] 인 경우 [eqn: 120 LEQ 80 LEQ 180] 이므로 부등식을 만족시키지 않는다.

[eqn: (a,n)=(18,2)] 인 경우 [eqn: 72 LEQ 80 LEQ 90] 이므로 부등식을 만족시킨다.

[eqn: (a,n)=(5,4)] 인 경우 [eqn: 40 LEQ 80 LEQ 45] 이므로 부등식을 만족시키지 않는다.

따라서 주어진 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 18]이다.

[2번 해설 : 그래프]

[eqn: i)~a=60]

함수 [eqn: f(x)=a`sin( {pi } over {a} `x)]의 주기가 [eqn: 120]이다. [eqn: f(x)<0]인 첫 번째 구간이 [eqn: (60,120)]인데, [eqn: x LEQ 80] 이므로

[eqn: -a<t<0] 인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=180]으로 일정하다는 조건에 위배된다.

[eqn: ii)~a=18]

함수 [eqn: f(x)=a`sin( {pi } over {a} `x)]의 주기가 [eqn: 36]이다. 즉 [eqn: (54, 72)]에서 [eqn: f(x)<0]인 마지막 구간을 가지고, [eqn: (72,80)]에서 [eqn: f(x)>0]이므로 [eqn: -a<t<0] 인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=180]으로 일정하다는 조건을 만족한다.

[eqn: iii)~a=5]

함수 [eqn: f(x)=a`sin( {pi } over {a} `x)]의 주기가 [eqn: 10]이다. [eqn: f(x)<0]인 구간이 [eqn: 8]개 생기게 되어 [eqn: n=4]라는 조건을 위반한다.

[3번 해설 : 식 변형]

[eqn: 2na LEQ 80 LEQ (2n+1)a]를 [eqn: a]에 대해 정리하면 [eqn: {80} over {2n+1} LEQ a LEQ {80} over {2n}] 이다. 각 변에 [eqn: n(2n+1)]을 곱하면,

[eqn: 80n LEQ 180 LEQ 80(n+{1} over {2})] 이다.

위 식을 [eqn: n]에 대하여 정리하면,

[eqn: 1.75 LEQ n LEQ 2.25]이므로 [eqn: n=2]

구하고자 하는 값은 [eqn: g(9)]이므로, [eqn: 18sin( {pi } over {18} x)=9], 즉 [eqn: sin( {pi } over {18} )= {1} over {2}]의 해를 [eqn: [0,80]]의 범위에서 차례대로 나열해보면, [eqn: 3,15,39,51,75]이다. ([eqn: x=87]은 [eqn: x LEQ 80]의 범위를 벗어나므로 근에서 제외된다.)

따라서 [eqn: g(9)=3+15+39+51+75=183]이다.