	72	- 정답 및 해설

15.	①

답

출제의도

삼차함수의 그래프의 개형을 파악하여

함숫값을 구할 수 있다.

풀이

조건 (가)에서
모든 실수 [eqn: a]에 대하여
극한 [eqn: lim _{x rarrow `a+} {{g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( a RIGHT )} over {x-a}}]의 값이 존재하고

그 값이 [eqn: 0]이하 이므로
모든 실수 [eqn: a]에 대하여
[eqn: lim _{x rarrow `a+} {g LEFT ( x RIGHT )} `=`g LEFT ( a RIGHT )]를 만족하고 …… ㉠
[eqn: lim _{x rarrow `a+} {g` prime LEFT ( x RIGHT )} ` LEQ 0]임을 알 수 있다. …… ㉡

㉠에 의하여
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +k`=`-f LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``f LEFT ( 1 RIGHT ) `=`- {k} over {2}]
㉡에서

[eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```f`' LEFT ( x RIGHT )&``````( LEFT | x RIGHT | >1)#eqalign{# ``-f`' LEFT ( x RIGHT )}&eqalign{`# ``````( LEFT | x RIGHT | LEQ 1)}}}] 이므로

[eqn: LEFT | x RIGHT | >1]에서 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0],

[eqn: LEFT | x RIGHT | LEQ 1]에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0] 임을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE ``f`' LEFT ( 1 RIGHT ) `=`f`' LEFT ( -1 RIGHT ) `=0]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +b] [eqn: (a<0)] 이고,

조건 (나)에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`t]의 서로다른 실근의

개수가 [eqn: 2]가 되도록하는 실수 [eqn: t]의 최댓값이

[eqn: 13]이고,

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 감소하고

[eqn: x=-1]에서만 불연속인 함수이므로

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =13]임을 알 수 있다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f` LEFT ( -1 RIGHT ) `=`-13]

[eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) `=`6], [eqn: f` LEFT ( -1 RIGHT ) `=`-13]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-2 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -5]

[eqn: THEREFORE] [eqn: k`=`10], [eqn: f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `=`- {25} over {4}]

[eqn: k+f` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) `=` {15} over {4}]

22.	38

답

출제의도

지수, 로그함수의 성질을 이용하여 문제를 해결할 수 있다.

풀이

점 [eqn: rm A][eqn: LEFT ( alpha `,``2 ^{` alpha } + {k} over {2} RIGHT )]라 하자,

두 곡선

[eqn: y`=2` ^{x} ``+` {k} over {2}]와 [eqn: y`=`k TIMES ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`x} `+`k-2]

가 만나는 점이 [eqn: rm A]이므로

[eqn: 2` ^{alpha } `+` {k} over {2} `=`k TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{` alpha } `+`k-2] 가 성립한다.

양변을 [eqn: 2 ^{` alpha }]으로 곱한 후 정리하여 인수분해 하면,

[eqn: 2 ^{`2 alpha } + LEFT ( 2- {k} over {2} RIGHT ) 2 ^{` alpha } -k`=`0],

[eqn: LEFT ( 2 ^{` alpha } +2 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{` alpha } - {k} over {2} RIGHT ) `=`0] 이고,

[eqn: 2 ^{` alpha } +2>0]이므로

[eqn: THEREFORE ``2 ^{` alpha } `=` {k} over {2}]

[eqn: rm A][eqn: LEFT ( -1+log _{`2} `k`,``k RIGHT )] 임을 알 수 있다.

이는 곡선 [eqn: y`=`2 ^{`x-2} `-3]의 역함수

[eqn: y`=`log _{`2} LEFT ( x+3 RIGHT ) `+2] 을
[eqn: x]축으로 [eqn: -3]만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: -3]만큼 평행이동

한 곡선이므로,

[eqn: {bar{rm AB}} `=`3 sqrt {2}] 임을 알 수 있다.

이때, 삼각형 [eqn: rm AOB]의 넓이가 [eqn: 16]이므로

원점 [eqn: rm O]에서 직선 [eqn: rm {bar{AB}}]에 그은 수선의 길이가

[eqn: {16 sqrt {2}} over {3}]임을 알 수있다.

이때 [eqn: rm O]에서 직선 [eqn: rm {bar{AB}}]에 그은 수선은

[eqn: y`=`x] 이므로

직선 [eqn: y`=`- LEFT ( x+1-log _{2} k RIGHT ) +k] 가

[eqn: LEFT ( {16} over {3} `,`` {16} over {3} RIGHT )]을 지남을 알 수 있다.

따라서

[eqn: -x+ {32} over {3} `=`- LEFT ( x+1-log _{2} k RIGHT ) +k]

이므로

[eqn: k+log _{2} k`=` {35} over {3} `=` {q} over {p}]

[eqn: THEREFORE ``p+q`=`38]

28.	①

답

출제의도

사잇값 정리를 활용하여 문제를 해결 할 수 있다.

풀이

함수 [eqn: f` LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서

이계도함수를 갖고, 조건 (나)에서

[eqn: f` LEFT ( -3 RIGHT ) `f` LEFT ( 3 RIGHT ) <0] 이므로

사잇값 정리에 의해,

열린 구간 [eqn: LEFT ( -3`,``3 RIGHT )]에서 [eqn: f` LEFT ( k RIGHT ) `=`0]을

만족시키는 어떤 실수 [eqn: k]가 존재한다.

조건 (가)에서

양변에 [eqn: k]를 대입하면,

[eqn: ak`+b`=`ln LEFT ( k ^{2} +k+ {5} over {2} RIGHT )]

양변을 미분한 후 [eqn: k]를 대입하면,

[eqn: a`=` {2k+1} over {k ^{2} +k+ {5} over {2}}]

양변을 두 번 미분한 후 [eqn: k]를 대입하면,

[eqn: 0`=` {2 LEFT ( k ^{2} +k+ {5} over {2} RIGHT ) - LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( k ^{2} +k+ {5} over {2} RIGHT ) ^{2}}]에서

[eqn: k ^{2} +k-2=0]

따라서 [eqn: k`=`1] 또는 [eqn: k`=`-2]

[eqn: k]의 값에 따라 경우를 나누어 보자,

(ⅰ) [eqn: k`=`1] 인 경우

[eqn: a`=` {2k+1} over {k ^{2} +k+ {5} over {2}} `=` {2} over {3}]

양변을 미분한 후 2를 대입하면,

좌변은

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) LEFT { 5 LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) ^{4} +3 LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) ^{2} RIGHT } `>0]

이므로 양수

우변은 [eqn: {10} over {17} -a`=` {30} over {51} - {34} over {51} `=`- {4} over {51} `<`0]

이므로 음수임을 알 수 있다.

따라서 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k`=`-2] 인 경우

[eqn: a`=` {2k+1} over {k ^{2} +k+ {5} over {2}} `=`- {2} over {3}]

양변을 미분한 후 2를 대입하면,

좌변은

[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT ) LEFT { 5 LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) ^{4} +3 LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) ^{2} RIGHT } `>0]

이므로 양수

우변 또한 [eqn: {10} over {17} -a`>0] 이므로

조건을 만족시킨다.

따라서

[eqn: ak`+b`=`ln LEFT ( k ^{2} +k+ {5} over {2} RIGHT )]에서

[eqn: k`=`-2], [eqn: a`=`- {2} over {3}]

이므로 [eqn: e ^{b} `=` {9} over {2} e ^{- {4} over {3}}],

[eqn: THEREFORE]  [eqn: ae ^{b} `=`-3e ^{- {4} over {3}}]