수학 영역(기하와 벡터)

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수학 영역(기하와 벡터)

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2028학년도 3학년 2학기 기말고사 문제지

수학 영역(기하와 벡터)

5지선다형

1. 좌표평면에서 네 점 [eqn: rmO` LEFT ( 0,`0 RIGHT )], [eqn: rmA LEFT ( 2, 0 RIGHT )], [eqn: rm B` LEFT ( 2,`1 RIGHT )], [eqn: rmC` LEFT ( 0,`1 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmOABC]의 변 위의 점 [eqn: rmP]와 벡터 [eqn: {vec{a}} `= LEFT ( 1,`-1 RIGHT )]에 대하여 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: {vec{rmOQ}} `=2 {vec{rmOP}} `+ {vec{a}}]를 만족한다. 점 [eqn: rmP]가 직사각형 [eqn: rmOABC]의 변 위를 움직일 때, 점 [eqn: rmQ]가 나타내는 도형의 경계 및 내부과 사각형 [eqn: rmOABC]의 경계 및 내부가 겹쳐지는 부분의 넓이는? [3.6점]

12

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

2. 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2} =1] 위의 점 [eqn: rmP]와 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmA LEFT ( itt,`0 RIGHT )]이 있다. [eqn: {bar{RMAP}}]의 최솟값을 [eqn: f(t)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.6점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(0)=1] ㄴ. 방정식 [eqn: f(t)= {1} over {3}]의 실근의 개수는 [eqn: 4]이다. ㄷ. 함수 [eqn: f(t)]가 미분가능하지 않은 [eqn: t]의 값의 개수는 [eqn: 5]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

3. 좌표공간에서 정사면체 [eqn: rmABCD]의 한 면 [eqn: rmABC]는 평면 [eqn: 2x-y+z=4] 위에 있고, 꼭짓점 [eqn: rmD]는 평면 [eqn: x+y+z=3] 위에 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 1,`1, `3 RIGHT )]일 때, 정사면체 [eqn: rmABCD]의 한 모서리의 길이는? [3.7점]

12

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: sqrt {5}]	④ [eqn: 2 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 3]

4. [eqn: {bar{RMAB}} =8], [eqn: {bar{RMBC}} =6]인 직사각형 [eqn: RMABCD]에 대하여
네 선분 [eqn: RMAB], [eqn: RMCD], [eqn: RMDA], [eqn: RMBD]의 중점을 각각 [eqn: RME], [eqn: RMF], [eqn: RMG], [eqn: RMH]라 하자. 선분 [eqn: RMCF]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: RMP]에 대하여 [eqn: LEFT | vec { RMEG} + vec { RMHP} RIGHT |]의 최댓값은? [3.7점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 2+2 sqrt {10}]	③ [eqn: 2+ sqrt {11}]

④ [eqn: 2+4 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 2+ sqrt {13}]

5. 공간에서 서로 다른 [eqn: 5]개의 점 [eqn: rmA], [eqn: RMB], [eqn: RMC], [eqn: RMD], [eqn: RME]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {bar{RMAB}} = {bar{RMBC}} = {bar{RMCD}} = {bar{RMDE}} =1]

(나) [eqn: {bar{RMAB}} BOT {bar{RMBC}}], [eqn: {bar{RMCD}} BOT {bar{RMDE}}]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.9점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: LEFT | {vec{RMAE}} RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: 2sqrt { 2}]이다. ㄴ. [eqn: {bar{RMAB}} BOT {bar{RMDE}}]이면 [eqn: {bar{RMBC}} BOT {bar{RMCD}}]이다. ㄷ. [eqn: {bar{RMAB}} BOT {bar{RMCD}}]이고 [eqn: {bar{RMBC}} BOT {bar{RMCD}}]이면 [eqn: {vec{RMAC}} BULLET {vec{RMAE}}]의 최댓값은 [eqn: 1+2 sqrt {2} `]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

6. 두 점 [eqn: rmF][eqn: LEFT ( 5,`0 RIGHT )], [eqn: rmF prime][eqn: LEFT ( -5,0 RIGHT )]을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 원점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmP][eqn: rmF]와 선분 [eqn: rmQ][eqn: rmF prime]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라 하자. 점 [eqn: rmH]와 점 [eqn: rmI]가 각각 선분 [eqn: rmP][eqn: rmF]와 선분 [eqn: rmQ][eqn: rmF prime]의 중점이고, [eqn: bar { rmOH} TIMES bar { rmOI}=10]일 때, 이 타원의 장축의 길이를 구하시오. (단, [eqn: bar { rmOH} != bar { rmOI}]) [4.0점]

① [eqn: sqrt {5}]	② [eqn: 2 sqrt {5}]	③ [eqn: 4 sqrt {5}]	④ [eqn: 6 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 8 sqrt {5}]

7. 좌표공간의 구 [eqn: (x+2) ^{2} +(y-m) ^{2} +(z-n) ^{2} =70]이 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면에 의해 [eqn: 6]개의 조각으로 나누어진다. 두 자연수 [eqn: m], [eqn: n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m,`n RIGHT )]의 개수는? (단, [eqn: 6]개의 조각에서 [eqn: xy]평면, [eqn: yz]평면, [eqn: zx]평면 위의 점들은 제외한다.) [4.2점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

8. 좌표공간에 [eqn: xy]평면 위의 원 [eqn: C:`x ^{2} +y ^{2} =4]와 평면 [eqn: alpha :2x+2y-z+4=0]이 있다. 원 [eqn: C] 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 지나는 직선이 평면 [eqn: alpha]와 평행하고, 선분 [eqn: RMPQ]의 중점 [eqn: rmM]과 평면 [eqn: alpha] 사이의 거리는 [eqn: 2]이다. 점 [eqn: rmM]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라 할 때, 점 [eqn: RMH]를 중심으로 하고 평면 [eqn: alpha] 위에 있는 원을 [eqn: D]라 하자. 원 [eqn: D] 위의 임의의 점 [eqn: RM`R]에 대하여 [eqn: {vec{RMRP}} BULLET {vec{RMRQ}} =1]일 때, 원 [eqn: D]의 반지름의 길이는 [eqn: r]이다. [eqn: 60r ^{2}]의 값은? [4.3점]

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]	④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

9. 좌표공간의 구 [eqn: S]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 구 [eqn: S]의 중심의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0]이고, [eqn: z]좌표는 양수이다.

(나) 구 [eqn: S]는 점 [eqn: rm A LEFT ( 0,` sqrt {15} ,`0 RIGHT )]에서 [eqn: y]축과 접한다.

(다) 구 [eqn: S]는 [eqn: z]축과 점 [eqn: RMB], [eqn: RMC]에서 만나고, [eqn: {bar{RMOC}} - {bar{RMOB}} =14]이다.

구 [eqn: S] 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: RMACP]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 하고, 구 [eqn: S] 위의 점 중 [eqn: x]좌표가 가장 큰 점을 [eqn: RM`R]라 하자. 점 [eqn: RM`R]에서 [eqn: bar { RMBQ}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라 하고, 직선 [eqn: RMRH]와 [eqn: yz]평면이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos ^{2} ` theta = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]를 [eqn: 5]로 나눈 나머지는? [4.4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

10. [eqn: {bar{RMAB}} = {bar{RMBD}} =10], [eqn: bar { RMAD}=2 sqrt { 10}]인 평행사변형 [eqn: RMABCD] 모양의 종이를 대각선 [eqn: RMBD]를 접는 선으로 하여 삼각형 [eqn: RMABD]를 접어 올렸다. 점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: RMBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMH]라 하면 직선 [eqn: RMBH]는 선분 [eqn: RMCD]의 중점 [eqn: rmM]을 지난다. 두 평면 [eqn: RMABD]와 [eqn: RMBCD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos` theta]의 값은? [4.6점]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]

단답형

11. 좌표공간에서 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 이 삼각형의 넓이는 [eqn: 6]이고, 이 삼각형의 [eqn: yz]평면 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: 3]이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 평면 [eqn: x-2y+2z=1] 위로의 정사영의 넓이의 최댓값을 구하시오. [4.0점]

12. 좌표평면 위를 움직이는 두 점

[eqn: rmA LEFT ( 2+2sin` theta ,`2 sqrt {3} + sqrt {3} sin` theta RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( cos` theta ,`- sqrt {3} cos` theta RIGHT )]

와 점 [eqn: rm C LEFT ( 1,`0 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하고, [eqn: bar { rmCM}]이 최대일 때 점 [eqn: rmM]을 [eqn: rmD], [eqn: bar { rmCM}]이 최소일 때 점 [eqn: rmM]을 [eqn: rmE]라 하자. 다음 규칙에 따라 상수 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 값을 구할 때, [eqn: A TIMES B TIMES C]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 LEQ theta LEQ 2 pi]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4.0점]

[eqn: BULLET]명제 ㄱ이 참이면 [eqn: A=11], 거짓이면 [eqn: A=13]이다.

[eqn: BULLET]명제 ㄴ이 참이면 [eqn: B=15], 거짓이면 [eqn: B=17]이다.

[eqn: BULLET]명제 ㄷ이 참이면 [eqn: C=19], 거짓이면 [eqn: C=23]이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. 점 [eqn: rmM]이 그리는 도형은 타원이다. ㄴ. [eqn: {bar{rmCD}} + {bar{rmCE}} =2 sqrt {3}] ㄷ. [eqn: ANGLErmDOE= alpha]라 하면 [eqn: tan` alpha = {2 sqrt {6}} over {5}]이다.

13. 그림과 같이 좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P prime]이라 하자. 점 [eqn: rm P prime]을 초점으로 하고, [eqn: x]축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원에 대하여 점 [eqn: rmP]에서 타원에 그은 접선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: - {3} over {2}]일 때, 직선 [eqn: rmOP]의 기울기가 [eqn: k]이다. [eqn: 12k]의 값을 구하시오. [5.0점]

14. 두 초점이 [eqn: rmF` LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF prime (it-c,0)] [eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선 [eqn: C]와 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmA]가 있다. 쌍곡선 [eqn: C]가 선분 [eqn: rmAF]와 만나는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmAF']과 만나는 점을 [eqn: rmP']이라 하자. 직선 [eqn: rmAF]는 쌍곡선 [eqn: C]의 한 점근선과 평행하고 [eqn: {bar{rm AP it}} : {bar{rm PP prime it}} `=5:6], [eqn: {bar{rmPF}} `=1]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이를 구하시오. [5.0점]

15. 실수 [eqn: p][eqn: LEFT ( p GEQ 1 RIGHT )]과 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x+a RIGHT ) ^{2}]에 대하여 두 포물선

[eqn: C _{1} :`y ^{2} =4px], [eqn: C _{2} :` LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =4p LEFT { x-f(p) RIGHT }]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 두 포물선 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]의 초점을 각각 [eqn: rmF _{1}], [eqn: rmF_2]라 할 때, [eqn: {bar{rmAF _{1}}} `= {bar{rmAF _{2}}}]를 만족하는 [eqn: p]가 오직 하나가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [5.0점]

16. 중심이 [eqn: rmO]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 구 [eqn: S]와 평면 [eqn: alpha]가 만나서 생기는 도형 [eqn: T]는 중심이 [eqn: rmM]인 원이고, 점 [eqn: rmM]과 구 [eqn: S] 위의 점 사이의 거리의 최댓값은 [eqn: 9]이다. 원 [eqn: T] 위의 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]의 중점이 [eqn: rmM]이고 [eqn: bar { rmBC}=2]이다. 선분 [eqn: rmOA]의 중점을 [eqn: rmN]이라 할 때, 삼각형 [eqn: RMNBC]의 평면 [eqn: RMOBC] 위로의 정사영의 넓이를 구하시오. [6.0점]

17. 좌표평면에서 [eqn: {bar{rmOA}} = sqrt {2}], [eqn: {bar{rmOB}} =2 sqrt {2}]이고 [eqn: cos` LEFT ( ANGLE rmAOB RIGHT ) = {1} over {4}]인 평행사변형 [eqn: rmOACB]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {vec{rmOP}} =s` {vec{rmOA}} +t` {vec{rmOB}}] ([eqn: 0 LEQ s LEQ 1], [eqn: 0 LEQ t LEQ 1])

(나) [eqn: {vec{rmOP}} BULLET {vec{rmOB}} + {vec{rmBP}} BULLET {vec{rmBC}} =2]

점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]를 지나는 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: LEFT | 3` {vec{rmOP}} - {vec{rmOX}} RIGHT |]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 하자. [eqn: M TIMES m]의 값을 구하시오. [6.0점]

서술형

18. 그림과 같이 두 점 [eqn: rmF`], [eqn: rmF`prime`]을 초점으로 하는
쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1`]의 제[eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP`]라 하자.
삼각형 [eqn: rmPF`primeF`]에 내접하는 원의 반지름의 길이가 [eqn: 3`]일 때,
이 원의 중심을 [eqn: rm Q`]라 하자. 원점 [eqn: rmO`]에 대하여 [eqn: bar{rmOQ}`^2`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmF`]의 [eqn: x`]좌표는 양수이다.) [5.0점]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: rmF` prime]

[eqn: rmF]

[eqn: rmP]

[eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]

19. 좌표공간에서 두 점 [eqn: rmA` LEFT ( 3,`-3,`3 RIGHT )], [eqn: rmB` LEFT ( -2,`7,`-2 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 포함하고 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]에 접하는 두 평면을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]와 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]의 접점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 할 때, 사면체 [eqn: rmABCD]의 부피를 구하시오. [5.0점]

20. 포물선, 타원, 쌍곡선에서의 빛의 반사와 관련된 다음 물음에 답하시오.

1) 포물선의 초점에서 나간 빛은 포물선에 부딪힌 후 어떻게 되는지 서술하시오. [5.0점]

2) 타원의 한 초점에서 나간 빛은 타원에 부딪힌 후 어떻게 되는지 서술하시오. [5.0점]

3) 쌍곡선의 한 초점을 향해 들어온 빛은 쌍곡선에 부딪힌 후 어떻게 되는지 서술하시오. [5.0점]

1. ① (19수특 p48)

2. ③ (171020)

3. ⑤ (131120)

4. ② (161018)

5. ① (181020)

6. ④ (130627)

7. ④ (20수특 p80)

8. ② (19수특 p109)

9. ③ (24수특 p101)

10. ④ (24수특 p84)

11. [eqn: 2sqrt { 6}+1] (121121)

12. [eqn: 5083] (12사관)

13. [eqn: 16] (140517)

14. [eqn: {9} over {4}] (231128)

15. [eqn: - {3} over {4}] (230928)

16. [eqn: {5 sqrt {6}} over {3}] (20수특 p69)

17. [eqn: 6 sqrt {6} -8] (221129)

18. [eqn: 18] (190728)

19. [eqn: {20} over {9} sqrt {3}] (201129)

20. 풀이 참조 (blacklabel)