수학 영역

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수학 영역

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2027학년도 3학년 2학기 기말고사 문제지

수학 영역(기하와 벡터)

제 2 교시

객관식(1-15)

1. 두 초점이 [eqn: rmF], [eqn: rmF']인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {64} + {y ^{2}} over {16} =1] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]가 있다. 두 직선 [eqn: rmAF], [eqn: rmAF']에 동시에 접하고 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원 중 중심의 [eqn: y]좌표가 음수인 것을 [eqn: C]라 하자. 원 [eqn: C]의 중심을 [eqn: rmB]라 할 때 사각형 [eqn: rmAFBF']의 넓이가 [eqn: 72]이다. 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는? [2.9점]

12

① [eqn: {17} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {19} over {2}]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: {21} over {2}]

2. 두 초점이 [eqn: rmF` LEFT ( itc,`0 RIGHT )], [eqn: rmF prime (it-c,0)] [eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선 [eqn: C]와 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: rmA]가 있다. 쌍곡선 [eqn: C]가 선분 [eqn: rmAF]와 만나는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmAF']과 만나는 점을 [eqn: rmP']이라 하자. 직선 [eqn: rmAF]는 쌍곡선 [eqn: C]의 한 점근선과 평행하고 [eqn: {bar{rm AP it}} : {bar{rm PP prime it}} `=5:6], [eqn: {bar{rmPF}} `=1]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는? [3.4점]

12

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {7} over {3}]	④ [eqn: {29} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

3. 한 모서리의 길이가 [eqn: 2`]인 정사면체 [eqn: rm`ABCD`]와 모든 모서리의 길이가 [eqn: 2`]인 사각뿔 [eqn: rm G-EDCF`]가 있다. 네 점 [eqn: \B], [eqn: \C], [eqn: \D], [eqn: \G`]가 한 평면 위에 있을 때, 평면 [eqn: rm ACD`]와 평면 [eqn: \EDCF`]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 하자. [eqn: cos` theta`]의 값은? [3.1점]

① [eqn: root3 over6]	② [eqn: root3 over 5]	③ [eqn: root 3 over 4]

④ [eqn: root3 over 3]	⑤ [eqn: root 3 over 2]

4. 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA` LEFT ( 3,`0 RIGHT )], [eqn: rmB` LEFT ( 0,3 RIGHT )]과 직선 [eqn: x=1] 위의 점 [eqn: rm P` LEFT ( 1,`ita RIGHT )]가 있다. 점 [eqn: rmQ]가 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위를 움직일 때 [eqn: LEFT | {vec{rmOP}} `+ {vec{rmOQ}} RIGHT |]의 최댓값을 [eqn: f(a)]라 하자. [eqn: f(a)=5]가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]값의 곱은? [3.2점]

① [eqn: -5 sqrt {3}]	② [eqn: -4 sqrt {3}]	③ [eqn: -3 sqrt {3}]	④ [eqn: -2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: - sqrt {3}]

5. 실수 [eqn: p][eqn: LEFT ( p GEQ 1 RIGHT )]과 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x+a RIGHT ) ^{2}]에 대하여 두 포물선

[eqn: C _{1} :`y ^{2} =4px], [eqn: C _{2} :` LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =4p LEFT { x-f(p) RIGHT }]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 두 포물선 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]의 초점을 각각 [eqn: rmF _{1}], [eqn: rmF_2]라 할 때, [eqn: {bar{rmAF _{1}}} `= {bar{rmAF _{2}}}]를 만족하는 [eqn: p]가 오직 하나가 되도록 하는 상수 [eqn: a]는? [3.5점]

① [eqn: - {3} over {4}]	② [eqn: - {5} over {8}]	③ [eqn: - {1} over {2}]	④ [eqn: - {3} over {8}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

6. 좌표평면에서 네 점 [eqn: rmO` LEFT ( 0,`0 RIGHT )], [eqn: rmA LEFT ( 2, 0 RIGHT )], [eqn: rm B` LEFT ( 2,`1 RIGHT )], [eqn: rmC` LEFT ( 0,`1 RIGHT )]을 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: rmOABC]의 변 위의 점 [eqn: rmP]와 벡터 [eqn: {vec{a}} `= LEFT ( 1,`-1 RIGHT )]에 대하여 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: {vec{rmOQ}} `=2 {vec{rmOP}} `+ {vec{a}}]를 만족한다. 점 [eqn: rmP]가 직사각형 [eqn: rmOABC]의 변 위를 움직일 때, 점 [eqn: rmQ]가 나타내는 도형의 경계 및 내부과 사각형 [eqn: rmOABC]의 경계 및 내부가 겹쳐지는 부분의 넓이는? [3.0점]

6

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

7. 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`]의 두 초점 [eqn: rm F(it6,~0)], [eqn: rm F'( it -6,~0)`]에 대하여 선분 [eqn: rmF'`F`]를 지름으로 하는 원이 있다. 타원과 원의 교점 중 제[eqn: `1`]사분면에 있는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선이 [eqn: x`]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: 5pi over6 `]일 때, 타원의 장축의 길이는? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 [eqn: 0<} root2 b <a`]인 상수이다.) [3.3점]

① [eqn: 5+6root3]	② [eqn: 6+6 sqrt {3}]	③ [eqn: 7+6root3]

④ [eqn: 6+7root3]	⑤ [eqn: 7+7root3]

8. 좌표공간의 세 점 [eqn: rm A LEFT ( -1,``0,``6 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 2,``- sqrt {3} ,``0 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( 3,``0,``0 RIGHT )]에 대하여 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가

[eqn: rm LEFT | {vec{AP}} RIGHT | =2`],  [eqn: rm LEFT | {vec{CQ}} RIGHT | =2 sqrt {3}],  [eqn: rm {vec{BC}} CDOT {vec{CQ}} =6]

을 만족시킨다. [eqn: rm LEFT | {vec{PQ}} RIGHT |]의 최댓값을 구하시오. [3.7점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

9. 그림과 같이 두 점 [eqn: rmF`], [eqn: rmF`prime`]을 초점으로 하는
쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1`]의 제[eqn: 1`]사분면 위의 점을 [eqn: rmP`]라 하자.
삼각형 [eqn: rmPF`primeF`]에 내접하는 원의 반지름의 길이가 [eqn: 3`]일 때,
이 원의 중심을 [eqn: rm Q`]라 하자. 원점 [eqn: rmO`]에 대하여 [eqn: bar{rmOQ}`^2`]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: rmF`]의 [eqn: x`]좌표는 양수이다.) [3.3점]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: rmF` prime]

[eqn: rmF]

[eqn: rmP]

[eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1]

	①	[eqn: 16]	②	[eqn: 18]	③	[eqn: 20]	④	[eqn: 22]	⑤	[eqn: 24]

10. 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 1,`0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( 0,1 RIGHT )]이 있다. 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {2}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 호 [eqn: rmAB] 위를 움직이는 점 [eqn: rmX]와 함수 [eqn: y= LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +1][eqn: LEFT ( 2 LEQ x LEQ 3 RIGHT )]의 그래프 위를 움직이는 점 [eqn: rmY]에 대하여 [eqn: {vec{rm OP it}} `= {vec{rm OY it}} `-2 {vec{rmOX}}]를 만족시키는 점 [eqn: rmP`]가 나타내는 영역을 [eqn: R]라 하자. 원점 [eqn: rmO]으로부터 영역 [eqn: R]에 있는 점까지의 거리의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M ^{2} +m ^{2}]의 값은? [3.5점]

① [eqn: 11-2 sqrt {5}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 14-4 sqrt {5}]

④ [eqn: 18-4 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 20-4 sqrt {5}]

11. 그림과 같이 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선을 [eqn: l]이라 하자. 평면 [eqn: alpha] 위에 있는 원 [eqn: S _{1}]과 평면 [eqn: beta] 위에 있는 원 [eqn: S _{2}]는 점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: l]과 접한다. [eqn: S _{1}]의 중심 [eqn: rmO_1]을 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 직선과 [eqn: S _{2}]의 중심 [eqn: rmO_2]를 지나고 평면 [eqn: beta]에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: ANGLE rm O _{1} CO _{2} = {2} over {3} pi]일 때, [eqn: S _{1}] 위에 있는 임의의 점 [eqn: rmA]와 [eqn: S _{2}] 위에 있는 임의의 점 [eqn: rmB]에 대하여 [eqn: LEFT | {vec{rmPA}} `+ {vec{rmPB}} RIGHT |]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오. [3.2점]

	①	[eqn: 12]	②	[eqn: 16]	③	[eqn: 20]	④	[eqn: 24]	⑤	[eqn: 28]

12. 쌍곡선 [eqn: x ^{`2} -y ^{`2} =1] 위의 점 [eqn: \P`]와 [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: {rm A} ( t,``0 ) `]이 있다. [eqn: bar{rmAP}`]의 최솟값을 [eqn: f ( t ) `]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3.4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f( 0 ) =1] ㄴ. 방정식 [eqn: f ( t) = {1} over {3} `]의 실근의 개수는 [eqn: 4`]이다. ㄷ. 함수 [eqn: f ( t ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: t`]의 값의 개수는 [eqn: 5`]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 좌표공간에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4] 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 있다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에서 평면 [eqn: y=4]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP_1], [eqn: rmQ_1]이라 하고, 평면 [eqn: y+ sqrt { 3}z+8=0]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP_2], [eqn: rmQ_2]라 하자. [eqn: 2 LEFT | {vec{rmPQ}} RIGHT | ^{2} - LEFT | {vec{rmP _{1} Q _{1}}} RIGHT | ^{2} - LEFT | {vec{rmP _{2} Q _{2}}} RIGHT | ^{2}]의 최댓값을 구하시오. [3.6점]

	①	[eqn: 18]	②	[eqn: 21]	③	[eqn: 24]	④	[eqn: 27]	⑤	[eqn: 30]

14. 좌표공간에서 구 [eqn: S`:`x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =4]와 평면 [eqn: alpha `:y- sqrt {3} z=2]가 만나서 생기는 원을 [eqn: C]라 하자. 원 [eqn: C]의 점 [eqn: rmA` LEFT ( 0,`2,`0 RIGHT )]에 대하여 원 [eqn: C]의 지름의 양 끝점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 [eqn: {bar{rm AP it}} `= {bar{rm AQ it}}]가 되도록 잡고, 점 [eqn: rmP]를 지나고 평면 [eqn: alpha]에 수직인 직선이 구 [eqn: S]와 만나는 또 다른 점을 [eqn: rmR]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmARQ]의 넓이는? [3.4점]

① [eqn: 2sqrt { 3}]	② [eqn: sqrt { 14}]	③ [eqn: sqrt { 15}]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 3sqrt { 2}]

15. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 6`]인 정사면체 [eqn: rm OABC`]가 있다. 점 [eqn: rmC`]에서 모서리 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 할 때, 선분 [eqn: \HC`]를 [eqn: n`]등분하여 각 분점을 차례로 [eqn: \P_0]([eqn: = \H]), [eqn: \P_1], [eqn: \P_2],  [eqn: cdots`], [eqn: {\P}_n-1], [eqn: {\P}_n]([eqn: = \C])라 하자.

[eqn: S_n = sum_k=1^n {rm vecOH cdot {rm vecOP_{itk } `]라 할 때, [eqn: lim_{n`->`inf} S_n over n `]의 값은?
(단, [eqn: n`]은 [eqn: 2] 이상의 자연수이다.) [3.5점]

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {27} over {2}]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: {45} over {2}]

단답형(16-20)

16. 평면에 한 변의 길이가 [eqn: 10]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

[eqn: {bar{rm PB it}} `- {bar{rm PC it}} =2]를 만족시키는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmPA]의 길이가 최소일 때, 삼각형 [eqn: rmPBC]의 넓이를 [eqn: s]라 하자.

[eqn: s ^{2} -1000]의 값은? [5점]

17. 좌표공간에서 네 점 [eqn: rmA _{0}], [eqn: rmA_1], [eqn: rmA_2], [eqn: rmA_3]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: LEFT | {vec{rmA _{0} A _{2}}} RIGHT | = LEFT | {vec{rmA _{1} A _{3}}} RIGHT | =2]

(나) [eqn: {1} over {2} {vec{rm A _{0} A _{3} it}} ` BULLET LEFT ( {vec{rm A _{0} A _{it k rm} it}} RIGHT ) `=cos LEFT ( {3-k} over {3} pi RIGHT )] [eqn: LEFT ( k=1,``2,``3 RIGHT )]

[eqn: LEFT | {vec{rmA _{1} A _{2}}} RIGHT | ^{4}]의 최댓값을 구하시오. [6점]

18. 좌표평면 위에 [eqn: {bar{rmAB}} `=5]인 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 두 원을 각각 [eqn: O_1], [eqn: O_2]라 하자. 원 [eqn: O_1]위의 점 [eqn: rmC]와 원 [eqn: O_2] 위의 점 [eqn: rmD]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm CAB RIGHT ) `= {3} over {5}]

(나) [eqn: {vec{rm AB it}} BULLET {vec{rm CD it}} `=30]이고 [eqn: {vec{rmCD}} `<9]이다.

선분 [eqn: rmC][eqn: rmD]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {vec{rm PA it}} ` BULLET {vec{rmPB}}]의 최댓값을 [eqn: a]라 하자. 최고차항의 계수와 상수항이 모두 정수이고 그 합이 자연수인 이차방정식의 한 근이 [eqn: a]일 때, 이 이차식의 모든 계수의 합의 최솟값을 구하시오. (단, 이차방정식의 형태는 [eqn: LEFT ( 이차식 RIGHT ) `=0]의 꼴이다.) [6점]

19. 평면에서 그림의 오각형 [eqn: rmABCDE]가 [eqn: {bar{rm AB it}} `= bar { rmAC}], [eqn: {bar{rm AE it}} `= {bar{rmAD}}], [eqn: ANGLE rm B= ANGLE E=90 DEG]를 만족시킬 때, 보기의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 값을 정할 때, [eqn: abc]의 값을 구하시오.

[6점]

[eqn: BULLET]명제 ㄱ이 참이면 [eqn: a=4], 거짓이면 [eqn: a=5]이다.

[eqn: BULLET]명제 ㄴ이 참이면 [eqn: b=6], 거짓이면 [eqn: b=7]이다.

[eqn: BULLET]명제 ㄷ이 참이면 [eqn: c=8], 거짓이면 [eqn: c=9]이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. 선분 [eqn: rmBE]의 중점 [eqn: rmM]에 대하여 [eqn: {vec{rm AB it}} `+ {vec{rmAE}}]와 [eqn: {vec{rmAM}}]은 서로 평행하다. ㄴ. [eqn: {vec{rm AB it}} ` BULLET {vec{rm AE it}} `=`- {vec{rm BC it}} ` BULLET {vec{rmED}}] ㄷ. [eqn: LEFT | {vec{rmBC}} `+ {vec{rmED}} RIGHT | = LEFT | {vec{rmBE}} RIGHT |]

20. 좌표공간의 두 점 [eqn: rmA` LEFT ( 2,` sqrt {2} ,` sqrt {3} RIGHT )], [eqn: rm B` LEFT ( 1,`- sqrt {2} ,`2 sqrt {3} RIGHT )]에

대하여 점 [eqn: rmP]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: LEFT | vec { rmAP} RIGHT |=1]

(나) [eqn: vec { rmAP}]와 [eqn: vec { rmAB}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi } over {6}]이다.

중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 구 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: vec { rmAP} BULLET vec { rmAQ}]의 최댓값을 [eqn: a+b sqrt { 33}]이다. [eqn: LEFT [ {a} over {b} RIGHT ]]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이고, [eqn: LEFT [ X RIGHT ]]는 [eqn: X] 이하의 실수 중 가장 큰 정수이다.) [7점]

서술형(21-23)

21. 그림과 같이 [eqn: rmF`(it0,`c)], [eqn: rmF' (0, -itc)]를 초점으로 하는 타원

[eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {25} =1]이 [eqn: x]축과 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmA]라 하자. 직선 [eqn: y=c]가 직선 [eqn: rmAF']과 만나는 점을 [eqn: rmB], 직선 [eqn: y=c]가 타원과 만나는 점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmP]라 하자. 삼각형 [eqn: rmBFA]의 둘레의 길이와 삼각형 [eqn: rmBPF']의 둘레의 길이의 차가 [eqn: 4]일 때, 삼각형 [eqn: rmAFF']의 넓이를 구하시오. [6점]

22. 한 원 위에 있는 서로 다른 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: LEFT | {vec{rmAD}} RIGHT |]의 값을 구하시오. [6점]

(가) [eqn: LEFT | {vec{rmAB}} RIGHT | =8], [eqn: {vec{rmAC}} BULLET {vec{rmBC}} `=0]

(나) [eqn: {vec{rmAD}} = {1} over {2} {vec{rmAB}} -2 {vec{rmBC}}]

23. 좌표공간에서 두 점 [eqn: rmA` LEFT ( 3,`-3,`3 RIGHT )], [eqn: rmB` LEFT ( -2,`7,`-2 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 포함하고 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]에 접하는 두 평면을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]와 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]의 접점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 할 때, 사면체 [eqn: rmABCD]의 부피를 구하시오. [8점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

1. ② (221126)

2. ② (231128)

3. ④ (171015)

4. ③ (200618)

5. ① (230928)

6. ① (18년 수특 p48)

7. ② (161020)

8. ⑤ (191029)

9. ② (190728)

10. ④ (200919)

11. ① (060921)

12. ③ (171020)

13. ③ (141129)

14. ③ (091125)

15. ⑤ (171018)

16. [eqn: 728] (201117)

17. [eqn: 64] (130929)

18. [eqn: 821] (190629)

19. [eqn: 315] (101114)

20. [eqn: 7] (161129)

21. [eqn: 5sqrt { 6}] (201113)

22. [eqn: 2sqrt { 10}] (201119)

23. [eqn: {20} over {9} sqrt {3}] (201129)

추가문제

1. 좌표공간에서 구 [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =50]이 두 평면

[eqn: alpha :`x+y-2z=15], [eqn: beta :`x-y-4 sqrt {3} z=25]와 만나서 생기는 원을 각각 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]라 하자. 원 [eqn: C _{1}]위의 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: C _{2}] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: {bar{rm PQ it}} ^{2}]의 최솟값을 구하시오. (100923, [eqn: 40])

2. 좌표공간에서 [eqn: x]축을 포함하고 [eqn: xy]평면과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]인 평면을 [eqn: alpha]라 하자. 평면 [eqn: alpha]가 구

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =1]과 만나서 생기는 도형의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이 영역 [eqn: z=0,`x+3y-2 LEQ 0]에 포함되도록 하는 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: cos ^{2} theta]의 최솟값을 구하시오. (101125, [eqn: {1} over {3}])

3. 좌표공간에서 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 이 삼각형의 넓이는 [eqn: 6]이고, 이 삼각형의 [eqn: yz]평면 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: 3]이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 평면 [eqn: x-2y+2z=1] 위로의 정사영의 넓이의 최댓값  [eqn: M]을 구하시오. (121121, [eqn: 2sqrt { 6}+1])

4. 그림과 같이 좌표평면에서 원점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점 [eqn: rmP]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P prime]이라 하자. 점 [eqn: rm P prime]을 초점으로 하고, [eqn: x]축 위에 있는 원의 지름을 장축으로 하는 타원에 대하여 점 [eqn: rmP]에서 타원에 그은 접선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: - {3} over {2}]일 때, 직선 [eqn: rmOP]의 기울기가 [eqn: k]이다. [eqn: 12k]의 값을 구하시오. (140517, [eqn: 16])

5. 좌표평면에서 포물선 [eqn: C _{1} :x ^{2} =4y]의 초점을 [eqn: rmF _{1}], 포물선

[eqn: C _{2} :y ^{2} =8x]의 초점을 [eqn: rmF_2]라 하자. 점 [eqn: rmP]를 중심이 [eqn: C_1] 위에 있고 점 [eqn: rmF _{1}]을 지나는 원과 중심이 [eqn: C_2] 위에 있고 점 [eqn: rmF_2]를 지나는 원의 교점 중 제[eqn: 3]사분면 위에 있는 점이라고 할 때, 원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: {bar{rm OP it}} ^{2}]의 최댓값을 구하시오. (150628, [eqn: 5])

6. 두 점 [eqn: rmF][eqn: LEFT ( 5,`0 RIGHT )], [eqn: rmF prime][eqn: LEFT ( -5,0 RIGHT )]을 초점으로 하는 타원 위의 서로 다른 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]에 대하여 원점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmP][eqn: rmF]와 선분 [eqn: rmQ][eqn: rmF prime]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라 하자. 점 [eqn: rmH]와 점 [eqn: rmI]가 각각 선분 [eqn: rmP][eqn: rmF]와 선분 [eqn: rmQ][eqn: rmF prime]의 중점이고, [eqn: bar { rmOH} TIMES bar { rmOI}=10]일 때, 이 타원의 장축의 길이를 구하시오. (단, [eqn: bar { rmOH} != bar { rmOI}]) (130627, [eqn: 6sqrt { 5}])

7. 좌표평면에서 원 [eqn: x^2 +y^2 =36] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,`b RIGHT )]와 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,`0 RIGHT )]에 대하여 다음 조건을 만족하는 점 [eqn: rmQ] 전체의 집합을 [eqn: X]라 하자.

(가) 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmOP] 위에 있다.

(나) 점 [eqn: rmQ]를 지나고 직선 [eqn: rmAP]에 평행한 직선이 [eqn: ANGLErmOQA]를      이등분한다.

[eqn: X(```a``) LEFT { LEFT ( x,``y RIGHT ) `vert `f(x,`y)=0 RIGHT }]일 때, 괄호 안의 [eqn: a]와 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 다항식 [eqn: f(x,`y)]를 각각 구하시오. (단, [eqn: a]는 [eqn: SUBSET] 또는 [eqn: SUPERSET] 중 하나이고, [eqn: f(x,`y)]는 [eqn: x], [eqn: y]에 대한 이차 다항식이다.)

(090908, [eqn: a:` SUBSET], [eqn: b:` {(x-2) ^{2}} over {9} + {y ^{2}} over {5} -1=0])

8. 좌표평면 위를 움직이는 두 점

[eqn: rmA LEFT ( 2+2sin` theta ,`2 sqrt {3} + sqrt {3} sin` theta RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( cos` theta ,`- sqrt {3} cos` theta RIGHT )]

와 점 [eqn: rm C LEFT ( 1,`0 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하고, [eqn: bar { rmCM}]이 최대일 때 점 [eqn: rmM]을 [eqn: rmD], [eqn: bar { rmCM}]이 최소일 때 점 [eqn: rmM]을 [eqn: rmE]라 하자. 다음 규칙에 따라 상수 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 값을 구할 때, [eqn: A TIMES B TIMES C]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0 LEQ theta LEQ 2 pi]이고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

(12사관, [eqn: 5083])

[eqn: BULLET]명제 ㄱ이 참이면 [eqn: A=11], 거짓이면 [eqn: A=13]이다.

[eqn: BULLET]명제 ㄴ이 참이면 [eqn: B=15], 거짓이면 [eqn: B=17]이다.

[eqn: BULLET]명제 ㄷ이 참이면 [eqn: C=19], 거짓이면 [eqn: C=23]이다.

		< 보 기 >
	ㄱ. 점 [eqn: rmM]이 그리는 도형은 타원이다. ㄴ. [eqn: {bar{rmCD}} + {bar{rmCE}} =2 sqrt {3}] ㄷ. [eqn: ANGLErmDOE= alpha]라 하면 [eqn: tan` alpha = {2 sqrt {6}} over {5}]이다.

9. 좌표공간에서 정사면체 [eqn: rmABCD]의 한 면 [eqn: rmABC]는 평면 [eqn: 2x-y+z=4] 위에 있고, 꼭짓점 [eqn: rmD]는 평면 [eqn: x+y+z=3] 위에 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 무게중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 1,`1, `3 RIGHT )]일 때, 정사면체 [eqn: rmABCD]의 한 모서리의 길이는? (131120, [eqn: 3])