수학 영역(수학 I)

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수학 영역(수학 I)

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2024학년도 2학년 1학기 중간고사 문제지

수학 영역(수학 I)

제 2 교시

5지선다형

1. 곡선 [eqn: y=log _{4} `x] 위의 점 [eqn: rmA]와 곡선 [eqn: y=-log _{4} LEFT ( x+1 RIGHT )] 위의 점 [eqn: rmB]가 있다. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 1]이고, [eqn: x]축이 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 이등분할 때, 선분 [eqn: rmOB]의 길이는? [3.6점]

12

① [eqn: sqrt { 6}]	② [eqn: 2sqrt { 2}]	③ [eqn: sqrt { 10}]	④ [eqn: 2sqrt { 3}]	⑤ [eqn: sqrt { 14}]

2. [eqn: bar { rmAB}=3], [eqn: bar { rmBC}= sqrt { 13}], [eqn: bar { rmAD} TIMES bar { rmCD}=9], [eqn: ANGLE rm BAC= {pi } over {3}]인 사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S_1], 삼각형 [eqn: rmACD]의 넓이를 [eqn: S_2]라 하고, 삼각형 [eqn: rmACD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]이라 하자. [eqn: 5S _{1} =6S _{2}]일 때, [eqn: {R} over {sin` LEFT ( ANGLE rmADC RIGHT )}]의 값은? [3.7점]

① [eqn: {54} over {25}]	② [eqn: {117} over {50}]	③ [eqn: {63} over {25}]	④ [eqn: {27} over {10}]	⑤ [eqn: {72} over {25}]

3. 음이 아닌 세 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( a ^{2} +b ^{2} +2ab-4 RIGHT ) cos {n} over {4} pi + LEFT ( b ^{2} +ab+2 RIGHT ) tan {2n+1} over {4} pi =0]일 때, [eqn: a+b+sin ^{2} {n} over {8} pi]의 값은? (단, [eqn: a GEQ b]) [3.7점]

5

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

4. 함수 [eqn: f(x)=-(x-2) ^{2} +k]에 대하여 [eqn: LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{f(n)}]의 네제곱근 중 실수인 것을 모든 곱한 값이 [eqn: -9]가 되도록 하는 자연수의 개수가 [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오. [3.8점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

5. 집합 [eqn: LEFT { x`vert `- pi LEQ x LEQ pi RIGHT }]에서 정의된 함수

[eqn: f(x)= LEFT | sin2x+ {2} over {3} RIGHT |]가 있다. 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]  의 그래프가 [eqn: xy]평면 위의 그래프 [eqn: y ^{2} -4ky+3k ^{2} =0]와 만나는  서로 다른 점의 개수를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 할 때, [eqn: LEFT | m-n RIGHT | =3]을 만족한다. [eqn: - pi LEQ x LEQ pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=k]의 모든 실근의 합은? [3.9점]

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]	④ [eqn: 3 pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

6. 그림과 같은 삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: bar { rmBD}=6], [eqn: bar { rmCD}=3]이다. 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원이 세 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD], [eqn: rmAC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP{], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]라 할 때, [eqn: bar { rmPB}=3], [eqn: bar { rmQD}=1], [eqn: bar { rmRC}=2]이다. [eqn: r]의 값은? [4.0점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

7. 두 집합 [eqn: A=]{[eqn: {x`vert `log _{2} x]는 자연수}, [eqn: B=]{[eqn: x`vert `log _{p} x]는 자연수}에 대하여 [eqn: A SMALLINTER B=B]이다. [eqn: a IN A], [eqn: b IN B], [eqn: 2 LEQ a LEQ 10],

[eqn: 1 LEQ b LEQ 1000]이고, [eqn: log _{a} b]가 자연수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )]의 개수는 [eqn: 7]개일 때, [eqn: p]를 [eqn: 5]로 나눈 나머지를 구하시오. (단, [eqn: p]는 [eqn: 1]이 아닌 양의 실수이다.) [4.0점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

8. 반지름의 길이가 [eqn: 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]인 부채꼴이 있다. 각의 크기 [eqn: theta]를 나타내는 동경과 각의 크기 [eqn: 8 theta]를 나타내는 동경이 일치할 때, 부채꼴의 넓이를 구하시오. [4.1점]

① [eqn: {3} over {7} pi]	② [eqn: {pi } over {2}]	③ [eqn: {4} over {7} pi]	④ [eqn: {9} over {14} pi]	⑤ [eqn: {5} over {7} pi]

9. 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 [eqn: f(x)= {cases{cos`x&LEFT ( cos`x GEQ sin`x RIGHT )#sin`x&LEFT ( cos`x<sin`x RIGHT )}}],

[eqn: g(x)=cos`ax] [eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]이다. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,`` {pi } over {4} RIGHT ]]에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 교점의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p]라 하자. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,`` {11} over {12} pi RIGHT ]]에서 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=cos`px]의 교점의 개수를 [eqn: q]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은? [4.4점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

10. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 영역

[eqn: LEFT { ` LEFT ( x,``y RIGHT ) `vert `0 LEQ x LEQ n,``0 LEQ y LEQ {sqrt {n+3}} over {2} RIGHT }]에 포함되는 정사각형 중 각 꼭짓점의 [eqn: x]좌표, [eqn: y]좌표가 모두 정수이며 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {5}] 이하인 정사각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: a _{n} LEQ 400]을 만족하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: k]라 할 때, [eqn: k]를 [eqn: 5]로 나눈 나머지를 구하시오.                                                        [4.7점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 0]

11. 함수 [eqn: f(x)= {k} over {x-11} +6] [eqn: LEFT ( k GEQ 36 RIGHT )]에 대하여 수열 [eqn: a _{k}]를 다음과 같이 정의한다.

[eqn: LEFT | f(x) RIGHT | LEQ y LEQ -x+5]인 두 자연수 [eqn: x], [eqn: y]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x,``y RIGHT )]의 개수를 [eqn: a _{k}] [eqn: LEFT ( k GEQ 36 RIGHT )]라고 한다.

[eqn: 2 LEQ a _{k} LEQ 4]를 만족하는 모든 자연수 [eqn: k]의 개수는? [4.9점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

12. [eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 좌표형면에 두 곡선 [eqn: y=a ^{x}],

[eqn: y= LEFT | a ^{-x-1} -1 RIGHT |]이 있다. 다음 중 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [5.0점]

ㄱ. 곡선 [eqn: y= LEFT | a ^{-x-1} -1 RIGHT |]은 점 [eqn: LEFT ( -1,``0 RIGHT )]을 지난다.

ㄴ. [eqn: a=4]이면 두 곡선의 교점의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: a>4]이면 두 곡선의 모든 교점의 [eqn: x]좌표의 합은

[eqn: -2]보다 크다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ	④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. [eqn: log _{2} LEFT ( na-n ^{2} RIGHT )]과 [eqn: log _{2} LEFT ( nb-n ^{2} RIGHT )]은 같은 자연수이고,

[eqn: 0<b-a LEQ {n} over {2}]인 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]가 존재할 때, [eqn: 20] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오. [5.1점]

① [eqn: 78]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 85]	④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 92]

14. 곡선 [eqn: y=log _{1.5} x] 위의 제 [eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 또 곡선 [eqn: y=log _{{2} over {3}} x] 위의 제[eqn: 4]사분면에 있는 점 [eqn: rmR]를 지나고 기울기가 [eqn: 1]인 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmS]라 하자.

[eqn: sqrt {2} TIMES {bar{rm OQ it}} = {bar{rmPQ}} `+ {bar{rmRS}} `+ sqrt {2}]이고, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmR]의 [eqn: y]좌표의 합이 [eqn: 1]일 때, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 구하시오. [5.1점]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

단답형(15~21)

15. 좌표평면에서 꼭짓점의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수이고, 꼭짓점의 [eqn: x]좌표는 모두 [eqn: 100]이하이며, 두 함수 [eqn: y=log`3x],

[eqn: y=log`7x]의 그래프와 모두 만나는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형의 개수를 구하시오. [5.0점]

16. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n]에 대하여 영역

[eqn: LEFT { ` LEFT ( x,`y RIGHT ) `vert `2 ^{x} -n LEQ y LEQ log _{2} LEFT ( x+n RIGHT ) RIGHT }]에 속하는 점 중 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 같은 정수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{30} a _{n}]의 값을 구하시오. [5.0점]

17. 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB] 위에 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rm D]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmO]에 대하여 두 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmCO]가 점 [eqn: rmE]에서 만나고, [eqn: bar { rmCE}=4], [eqn: {bar{rm ED it}} =3 sqrt {2}], [eqn: ANGLE rmCEA= {3} over {4} pi]이다. [eqn: LEFT ( {bar{rm AC it}} TIMES {bar{rm CD it}} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하시오. [5.0점]

18. 그림과 같이 [eqn: {bar{rmBC}} =3], [eqn: bar { rmCD}=2], [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm BCD RIGHT ) =- {1} over {3}],

[eqn: ANGLE rmDAB> {pi } over {2}]인 사각형 [eqn: rmABCD]에서 두 삼각형 [eqn: rmABC]와 [eqn: rmACD]는 모두 예각삼각형이다. 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 1:2]로 내분하는 점 [eqn: rmE]에 대하여 선분 [eqn: rmAE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAD]와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmP_1], [eqn: rmP_2]라 하고, 선분 [eqn: rmCE]를 지름으로 하는 원이 두 선분 [eqn: rmBC], [eqn: rmCD]와 만나는 점 중 [eqn: rmC]가 아닌 점을 각각 [eqn: rmQ_1], [eqn: rmQ_2]라 하자. [eqn: {bar{rm P _{1} rm P _{2} it}} `: {bar{rm Q _{1} Q _{2} it}} =3:5 sqrt {2}]이고 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이가 [eqn: 2]일 때, [eqn: LEFT ( {bar{rm AB it}} + {bar{rm AD it}} RIGHT ) ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: {bar{rm AB it}} `> {bar{rm AD it}}]) [5.0점]

19. 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 곡선 [eqn: y=a ^{x+1}]과 곡선 [eqn: y=b ^{x}]이 직선 [eqn: x=t] [eqn: LEFT ( t GEQ 1 RIGHT )]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: 2LEQa LEQ10], [eqn: 2LEQb LEQ10]이고 [eqn: t GEQ 1]인 어떤 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: {bar{rmPQ}} LEQ 10]일 때, 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`b RIGHT )]의 개수를 구하시오. [6.0점]

20. 두 실수 [eqn: a] [eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)=a`sin` {pi } over {6} LEFT ( x-1 RIGHT ) `+b]라 하고, 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y= LEFT | f(x) RIGHT |]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. [eqn: f(0)=8], [eqn: g(18)=5]일 때, [eqn: g(X)= LEFT | a-b RIGHT |]를 만족시키는 양수 [eqn: X]의 최댓값을 구하시오.                                                        [7.0점]

21. 그림과 같이 [eqn: ANGLE rmC= {pi } over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]와 두 꼭짓점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 그은 네 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmAE], [eqn: rmBF], [eqn: rmBG]가 다음 조건을 만족한다.

(가) [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm AE it}} = {bar{rm BF it}}], [eqn: {bar{rmBC}} = {bar{rmBG}}], [eqn: bar { rmAC}= bar { rmAD}]

(나) [eqn: ANGLE rm BAE= {7} over {24} pi], [eqn: ANGLE rmDAC= {17} over {24} pi], [eqn: ANGLErmFBA= { }7 over {12 } pi],

[eqn: ANGLErmCBG= { 5} over {12 } pi]

[eqn: {bar{rm FG it}} ^{2} + {bar{rm DE it}} ^{2} =720]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이를 구하시오. (단, 모든 점은 한 평면 위에 있다.) [7.0점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

1	③	2	①	3	①	4	②	5	③
6	⑤	7	④	8	③	9	②	10	⑤
11	④	12	②	13	①	14	⑤

15. [eqn: 79]

16. [eqn: 573]

17. [eqn: 800]

18. [eqn: 21]

19. [eqn: 39]

20. [eqn: 49]

21. [eqn: 12]