<2020 수학(하) 모의 중간고사 정답 및 서술형 채점기준>

<객관식 정답>

1. ②  2. ①  3. ⑤  4. ③  5. ②  6. ③  7. ④  8. ⑤  9. ①  10. ④ 11. ②  12. ⑤  13. ④  14. ⑤  15. ①  16. ②

<서술형 채점기준>

1. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {cases{ax ^{2} +bx&(x LEQ 1)#cx+2&(x GEQ 1)}}]이 역함수를 가지며, 역함수의 교점의 [eqn: x]좌표는 -1, 1, 3이다. 이때, [eqn: a+2b+3c]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. [8점]

[eqn: a+b=c+2=1]을 구하면 1점

[eqn: f(x)]가 증가함수일 때 [eqn: y=x]위의 교점을 놓고 모순을 발견하면 2점

(증가함수인 경우임을 명시 안 하면 1점, 두 [eqn: c]값을 구해도 모순임을 안 밝히면 0점)

[eqn: f(x)]가 감소함수일 때 [eqn: f(-1)=3,`f(3)=-1]을 놓으면 2점(단, 감소함수인 경우임을 명시 안 하면 1점), [eqn: a=2,`b=-1,`c=-1]을 구하면 2점

답 –3이 맞으면 1점

2. [eqn: x != 1]인 실수 [eqn: x]에 대해, [eqn: f(x)=x+ {4} over {x-1} +2]일 때, [eqn: f(x)]가 가질 수 없는 범위를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]

[eqn: x>1]일 때, [eqn: f(x) GEQ 7]을 구하면 2점(조건, 범위 모두 맞아야 2점, 하나라도 틀리면 0점)

[eqn: x<1]일 때, [eqn: f(x) LEQ -1]을 양수 조건을 가지게 치환하여 구하면 3점(치환 안하면 2점, 조건, 범위 하나라도 틀리면 0점)

단, 위의 두 범위를 한꺼번에 조건 없이 구한 경우 2점

답 [eqn: -1<f(x)<7]을 구하면 1점

3. 함수 [eqn: f(x)= {ax+1} over {bx+1}]에 대해, 실수 [eqn: x]는 항상 [eqn: (f CIRC f CIRC f)(x)=x]를 만족한다. 이때, 실수 [eqn: a,b]에 대해 [eqn: b]의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. [8점]

[eqn: a(ab+b)+b(b+1)=0,`ab+2b+1=a(a ^{2} +b)+b(a+1),`a ^{2} +b=-(a+1)] 식 3개를 모두 도출하면 3점, [eqn: x]에 대한 항등식만 제대로 도출하면 2점

[eqn: b=0]인 경우 모순을 보이면, 2점(설명이 없거나 모순임을 안 밝히면 0점)

[eqn: b != 0]인 경우 [eqn: b=-a ^{2} -a-1]을 도출하면 2점([eqn: b != 0]이 없으면 1점)

답 [eqn: - {3} over {4}]가 맞으면 1점(과정 없으면 0점)

4. 전체집합 [eqn: U]의 세 부분집합 [eqn: P,`Q,`R]에 대해 [eqn: P-(Q-R)=(P-Q) CUP (P SMALLINTER R)]이 성립함을 집합의 연산법칙을 이용하여 구하시오. [5점]

(벤 다이어그램으로 증명 시 0점)

끝까지 다 맞아야 5점, 끝까지 못 쓰거나 중간에 틀리면 0점

단, 논리적 문제가 없을 때 드모르간의 법칙과 차집합 공식 1회 미제시당 2점씩 감점

5. [eqn: sqrt {3}]이 무리수임을 증명하시오. [5점]

끝까지 다 맞아야 5점, 끝까지 못 쓰거나 중간에 틀리면 0점, 단 결론만 없으면 2점 감점

[eqn: sqrt {3} = {b} over {a}] 꼴에서 [eqn: a,`b] 서로소라 가정 안 하면 0점

[eqn: a=3m,`b=3n]이라 가정하는 과정에서 [eqn: m,n] 자연수 조건 없으면 2점 감점