<수학(하) 모의 중간고사>

객관식 16문항(68점), 서술형 5문항(32점)

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} +2]의 역함수 [eqn: f ^{-1}]에 대해,

ㄱ. 정의역은 [eqn: LEFT { x vert `x != 1 RIGHT }]이며, 치역은 [eqn: LEFT { y vert `y != 2 RIGHT }]이다.

ㄴ. 함수의 그래프는 모든 사분면을 지난다.

ㄷ. 직선 [eqn: y=`-x+3]에 대해 대칭이다.

[eqn: f ^{-1} (1)]의 값은? [3.1점]

① -2  ② -1   ③ 0   ④ 1   ⑤ 2

2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 2a-8,`-a+7,`12 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { a ^{2} -4a,`1,`4 RIGHT }]에 대해 [eqn: A SUBSET B]이고 [eqn: B SUBSET A]일 때, [eqn: a]의 값은? [3.4점]

① 6   ② 7   ③ 8   ④ 9    ⑤ 10

3. 유리함수 [eqn: y= {2x+2} over {x-1}]에 대한 설명으로 옳은 것만을 아래에서 고르면?

[3.6점]

① ㄱ         ② ㄱ, ㄴ     ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

4. 실수 [eqn: a,`b,`c]에 대해 아래에서 항상 성립하는 부등식을 있는 대로 고르면?

[3.9점]

ㄱ. [eqn: a ^{2} -4a+5>0]

ㄴ. [eqn: a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} +ab+bc+ca GEQ 0]

ㄷ. [eqn: a+b GEQ 2 sqrt {ab}]

① ㄱ         ② ㄷ     ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5. 전체집합 [eqn: U]에 대해 두 조건 [eqn: p,`q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,`Q]라 하자. 명제 [eqn: p` rarrow q]가 참일 때, 옳은 것만을 있는 대로 고르면? [4.1점]

ㄱ. [eqn: P SMALLINTER Q=P]

ㄴ. [eqn: P ^{C} CUP Q=U]

ㄷ. [eqn: P ^{C} SMALLINTER Q= EMPTYSET]

① ㄱ         ② ㄱ, ㄴ     ③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ     ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

6. 두 집합 [eqn: X,`Y]에 대해 [eqn: X TRIANGLE Y=(X CUP Y)-(X SMALLINTER Y)]라 정의한다. 세 집합 [eqn: A,`B,`C]가 [eqn: n(A CUP B CUP C)=86],

[eqn: n(A TRIANGLE B)=39,`n(B TRIANGLE C)=33,`n(C TRIANGLE A)=52]

를 만족한다. 이때, [eqn: n(A SMALLINTER B SMALLINTER C)]의 값은? [4.2점]

① 22  ② 23   ③ 24   ④ 25   ⑤ 26

7. 유리함수 [eqn: y= {2x+2} over {x-1}]의 역함수를 [eqn: y=f(x)]라 하자. [eqn: x]좌표가 2 이상인 [eqn: y=f(x)]의 점 [eqn: P]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 점 [eqn: A], [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 점 [eqn: B]라 하자. 원점 [eqn: O]에 대해 사각형 [eqn: OAPB]의 둘레의 최솟값은 [eqn: m]이고, 그때의 [eqn: P][eqn: LEFT ( a,b RIGHT )]이다. [eqn: m+a+b]의 값은? [4.4점]

① 14  ② 16   ③ 19   ④ 21   ⑤ 23

8. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,2,3 RIGHT } ,`Y= LEFT { 1,2,3,4,5,6 RIGHT }]에 대하여 함수 [eqn: f:`X rarrow Y]가 [eqn: x _{1} ,`x _{2}]에 대해 [eqn: f(x _{1} )=f(x _{2} )]이면 [eqn: x _{1} =x _{2}]를 만족하며, [eqn: f(1)+f(2)+f(3)=11]을 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는? [4.3점]

① 3  ② 6   ③ 9   ④ 12   ⑤ 18

9. 전체집합 [eqn: U]의 두 부분집합 [eqn: A,`B]에 대해 [eqn: n(U)=42,`n(A)=18,`n(B)=26]을 만족한다. 이때, [eqn: n(A ^{C} SMALLINTER B ^{C} )]의 최댓값과 최솟값의 합은? [4.2점]

(가) [eqn: f(4)-f(1)=f(2)-f(3)=f(5)]

(나) [eqn: f(1)<f(2)<f(4)]

① 16  ② 18   ③ 20   ④ 22   ⑤ 24

10. 정의역이 [eqn: LEFT { x vert `x GEQ -1 RIGHT }]인 함수 [eqn: f(x)= {4x+a} over {x+2}]의 치역의 원소 중 정수의 개수가 오직 1개일 때, 가능한 모든 정수 [eqn: a]값의 합은? [4.6점]

① 15  ② 16   ③ 17   ④ 24   ⑤ 32

11. 집합 [eqn: X= LEFT { 1,2,3,4,5 RIGHT }]에 대해 일대일대응인 함수 [eqn: f:`X` rarrow `X]가 다음 조건을 만족한다.

[eqn: f(1)+f(2)+f(5)]의 값은? [4.5점]

① 7  ② 8   ③ 9   ④ 10   ⑤ 11

12. 실수 [eqn: x,`y,`z]가 [eqn: x+y+z=3], [eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} =9]를 만족한다. 이때, [eqn: x]의 최솟값은 [eqn: m], 최댓값은 [eqn: M]이다. [eqn: m+M]의 값은? [4.7점]

① -2  ② -1   ③ 0   ④ 1   ⑤ 2

13. 실수가 아닌 서로 다른 두 복소수

[eqn: p,`q]에 대해 집합 [eqn: S= LEFT { p,`q RIGHT }]라 하자.

집합 [eqn: S]가 [eqn: x IN S이면` {x ^{2} +2} over {2x-1} IN S]를 만족할 때, [eqn: (p+1)(q+1)]의 값은? [4.6점]

① 0  ② 1   ③ 2   ④ 3   ⑤ 4

14. 정의역이 음이 아닌 정수인 함수 [eqn: f(x)= {cases{{x} over {2}&(x는`0`또는`짝수)#{x-1} over {2}&(x는`홀수)}}]가 있다. 이때, [eqn: f ^{5} (a) != 0이고`f ^{6} (a)=0]을 만족하는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: m]개이고, [eqn: f ^{4} (b)=0]을 만족하는 정수 [eqn: b]의 최댓값은 [eqn: n]이다. 이때, [eqn: m-n]의 값은? [4.8점]

① 0  ② 1   ③ 15   ④ 16   ⑤ 17

15. [eqn: x,`y,`z]가 모두 양수일 때, [eqn: {9z} over {x+y} + {16x} over {y+z} + {25y} over {z+x}]의 최솟값은?

[4.7점]

① 22  ② 25   ③ 47   ④ 50   ⑤ 72

16. 전체집합 [eqn: U= LEFT { {1} over {2} ,` {1} over {2 ^{2}} ,` {1} over {2 ^{3}} ,`......,` {1} over {2 ^{10}} RIGHT }]의 공집합이 아닌 모든 부분집합을 [eqn: A _{1} ,`A _{2} ,`...,`A _{n}]([eqn: n]은 자연수)라 하자. [eqn: i LEQ n]인 자연수 [eqn: i]에 대해 집합 [eqn: A _{i}] 중에서 [eqn: {1} over {2 ^{2}}]이 2번째로 작은 원소가 되는 집합의 개수는 [eqn: p]개다. 또, 집합 [eqn: A _{i}]의 원소 중에서 2번째로 작은 것을 [eqn: a _{i}]라 하고, [eqn: m]이 가능한 [eqn: i]의 개수라 할 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +....+a _{m}]의 값은 [eqn: q]이다. 이때, [eqn: p+2q]의 값은? [4.9점]

① 53  ② 61   ③ 63   ④ 71   ⑤ 73

<서술형 문제>

1. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)= {cases{ax ^{2} +bx&(x LEQ 1)#cx+2&(x GEQ 1)}}]이 역함수를 가지며, 역함수의 교점의 [eqn: x]좌표는 -1, 1, 3이다. 이때, [eqn: a+2b+3c]의 값을 구하는 과정을 서술하시오. [8점]

2. [eqn: x != 1]인 실수 [eqn: x]에 대해, [eqn: f(x)=x+ {4} over {x-1} +2]일 때, [eqn: f(x)]가 가질 수 없는 범위를 구하고, 그 과정을 서술하시오. [6점]

3. 함수 [eqn: f(x)= {ax+1} over {bx+1}]에 대해, 실수 [eqn: x]는 항상 [eqn: (f CIRC f CIRC f)(x)=x]를 만족한다. 이때, 실수 [eqn: a,b]에 대해 [eqn: b]의 최댓값을 구하는 과정을 서술하시오. [8점]

4. 전체집합 [eqn: U]의 세 부분집합 [eqn: P,`Q,`R]에 대해 [eqn: P-(Q-R)=(P-Q) CUP (P SMALLINTER R)]이 성립함을 집합의 연산법칙을 이용하여 보이시오. [5점]

(벤 다이어그램으로 증명 시 0점)

5. [eqn: sqrt {3}]이 무리수임을 증명하시오.

[5점]