		기벡 3개년	2022.12.29
교사평경3	01	[기하] [02벡터] 교사평경 최근 3개년

07 기하	05 평면벡터의연산
01 벡터의 뜻과 연산
05 벡터의 연산3 (도형에서 벡터의 연산)

교사평경3		기벡 3개년
01		[기하] [02벡터] 교사평경 최근 3개년

	기벡 3개년		교사평경3
	[기하] [02벡터] 교사평경 최근 3개년		01

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 26

그림과 같이 정삼각형 [eqn: rm ABC`]에서 선분 [eqn: rm BC`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하고, 직선 [eqn: rm AM`]이 정삼각형 [eqn: rm ABC`]의 외접원과 만나는 점 중 [eqn: rm A`]가 아닌 점을 [eqn: rm D`]라 하자.

[정답] ③

[해설]

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmM], [eqn: rmD]는 일직선 위에 있으므로 [eqn: rmvecAD =itk rmvecAM]

[eqn: angle rmCAD=30DEG]이므로

[eqn: rmbarAC = 2overroot3 barAM = root3 over2 barAD]

따라서 [eqn: rmbarAD = 4over3 barAM]에서 [eqn: k= 4over3]

또한, [eqn: rmvecAM = 1over2 left(vecAB +vecAC right)]이므로

[eqn: rmvecAD = 4over3 vecAM = 4over3 times 1over2 left(vecAB +vecAC right)= 2over3 vecAB + 2over3 vecAC]

따라서 [eqn: m= 2over3], [eqn: n= 2over3]이므로 [eqn: m+n= 4over3]

[eqn: vec{rm AD} = it m rm vec{AB} + it n rm vec{AC} `]

일 때, [eqn: m+n`]의 값은? (단, [eqn: m,````n`]은 상수이다.)

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {17} over {12}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

07 기하	05 평면벡터의연산
01 벡터의 뜻과 연산
06 벡터의 연산4 (도형, 벡터의 연산, 그 크기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 26

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정육각형 [eqn: RMABCDEF]에서 [eqn: left |`` RM VEC AE + VEC BC ``right |]의 값은?

[정답] ②

[해설]

그림과 같이 정육각형의 중심을 [eqn: RMO]라 하면 [eqn: RMVEC BC = RMVEC AO]이다.

[eqn: left |`` rm {vec{AO}} ``right | =1 ,```` left |`` {vec{AE}} ``right | =root3]이고 두 벡터가 이루는 각의 크기가 [eqn: 30 DEG]이므로 [eqn: rm {vec{AE}} bullet {vec{AO}}][eqn: =sqrt {3} TIMES1 TIMES {sqrt {3}} over {2}][eqn: = 3over2]

[eqn: left |`` RM VEC AE + VEC BC ``right | ^2][eqn: =left |`` RM VEC AE + VEC AO ``right | ^2]
[eqn: =rm left |`` vec AE ``right | ^2 + left |`` VEC AO ``right | ^2 + 2 VECAE bullet VECAO]
[eqn: =1^2 + (root3 )^2 +2 TIMES {3} over {2}]
[eqn: =7]

[eqn: THEREFORE ```` rm left |`` vec AE + VECBC ``right | = ROOT7]

① [eqn: ROOT6]	② [eqn: ROOT7]	③ [eqn: 2 ROOT2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: ROOT10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 23

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정육각형 [eqn: {rm{ABCDEF}} it]에서 [eqn: |{vec{{rm{AD}} it }}+2 {vec{{rm{DE}} it }}|]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: |{vec{{rm{AD}} it }}+2 {vec{{rm{DE}} it }}|][eqn: =|{vec{{rm{AD}} it }}+{vec{{rm{DE}} it }}+{vec{{rm{DE}} it }}|]
[eqn: =|{vec{{rm{AD}} it }}+{vec{{rm{BA}} it }}+{vec{{rm{DE}} it }}|]
[eqn: =|{vec{{rm{BA}} it }}+{vec{{rm{AD}} it }}+{vec{{rm{DE}} it }}|]
[eqn: =|{vec{{rm{BE}} it }}|=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: sqrt{3}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: 2 sqrt{3}]

07 기하	05 평면벡터의연산
01 벡터의 뜻과 연산
07 벡터의 연산5 (벡터가 서로 같을 조건)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 23

영벡터가 아닌 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}`]가 서로 평행하지 않을 때,

[정답] ①

[해설]

[eqn: LEFT ( 2 {vec{a}} -m {vec{b}} RIGHT ) - LEFT ( n {vec{a}} -4 {vec{b}} RIGHT )][eqn: = LEFT ( 2-n RIGHT ) {vec{a}} - LEFT ( m-4 RIGHT ) {vec{b}}]
[eqn: = {vec{a}} - {vec{b}}]

에서 [eqn: m-4][eqn: =1], [eqn: 2-n][eqn: = it 1]이므로

[eqn: m=5], [eqn: n=1]

따라서 [eqn: m+n][eqn: =6]

[eqn: LEFT ( 2 {vec{a}} -m {vec{b}} RIGHT ) - LEFT ( n {vec{a}} -4 {vec{b}} RIGHT )= {vec{a}} - {vec{b}}]

를 만족시키는 두 상수 [eqn: m], [eqn: n`]의 합 [eqn: m+n`]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

07 기하	05 평면벡터의연산
02 벡터의 해석과 활용
01 벡터의 해석1 (실수배와 평행)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 23

서로 평행하지 않은 두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]에 대하여 두 벡터

[정답] ③

[해설]

두 벡터 [eqn: {vec{a}}+2 {vec{b}}], [eqn: 3 {vec{a}}+k {vec{b}}]가 서로 평행하므로

[eqn: 3 {vec{a}}+k {vec{b}}=l({vec{a}}+2 {vec{b}})]

를 만족하는 실수 [eqn: l]이 존재한다.

[eqn: 3 {vec{a}}+k {vec{b}}=l({vec{a}}+2 {vec{b}})]에서

[eqn: 3 vec{a}+k vec{b} =l vec{a}+2l vec{b}]

[eqn: 3=l], [eqn: k=2 l]

따라서 [eqn: k=6]

[eqn: {vec{a}}+2 {vec{b}}], [eqn: ~ 3 {vec{a}}+k {vec{b}}]

가 서로 평행하도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: {vec{a}} neq {vec{0}}], [eqn: {vec{b}} neq {vec{0}}])

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 10]

07 기하	05 평면벡터의연산
02 벡터의 해석과 활용
03 벡터의 해석3 (벡터방정식)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 25

평면 위의 네 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: |{vec{{rm{AD}} it }}|]의 값은?

[정답] ④

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: {vec{{rm{AB}} it }}=-{vec{{rm{CD}} it }}={vec{{rm{DC}} it }}]

조건 (나)에서 [eqn: |{vec{{rm{BA}} it }}-{vec{{rm{BC}} it }}|=|{vec{{rm{CA}} it }}|=6]

사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]는 평행사변형이면서 두 대각선 [eqn: {rm{AC}} it],[eqn: {rm{BD}} it]의 길이가 같으므로 직사각형이다.

따라서 [eqn: |{vec{{rm{AD}} it }}|= sqrt{ overline{{rm{BD}} it }`^{2}- overline{{rm{AB}} it }`^{2}}= sqrt{6^{2}-2^{2}}=4 sqrt{2}]

(가) [eqn: |{vec{{rm{AB}} it }}|=2], [eqn: {vec{{rm{AB}} it }}+{vec{{rm{CD}} it }}={vec{0}}]

(나) [eqn: |{vec{{rm{BD}} it }}|=|{vec{{rm{BA}} it }}-{vec{{rm{BC}} it }}|=6]

① [eqn: 2 sqrt{5}]	② [eqn: 2 sqrt{6}]	③ [eqn: 2 sqrt{7}]

④ [eqn: 4 sqrt{2}]	⑤ [eqn: rm 6]

07 기하	05 평면벡터의연산
02 벡터의 해석과 활용
05 벡터의 해석5 (Mm)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 29

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rm A it LEFT ( -2,~0 RIGHT ) ,~ rm B it LEFT ( 1,~0 RIGHT ) ,~ rm C it LEFT ( 2,~1 RIGHT ) ,~ rm D it LEFT ( 0,~1 RIGHT )]이 있다. 반원의 호 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2}][eqn: =1]([eqn: 0 LEQ y LEQ 1]) 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 삼각형 [eqn: rmBCD] 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OP it}} + {vec{rm AQ it}} ` RIGHT |]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: M ^{2} +m ^{2}][eqn: =p+2 sqrt {q}]일 때, [eqn: p TIMES q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 115]

[해설]

(ⅰ) 두 점 [eqn: rmA,~O]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면
[eqn: {vec{rm OM}} + {vec{rm AM}}][eqn: = {vec{rm 0}}]이므로

[eqn: {vec{rm OP}} + {vec{rm AQ}}][eqn: = LEFT ( {vec{rm OM}} + {vec{rm MP}} RIGHT ) + LEFT ( {vec{rm AM}} + {vec{rm MQ}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm MP}} + {vec{rm MQ}}]

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP}} ` RIGHT |][eqn: =1]이므로 두 벡터 [eqn: {vec{rm MP}}], [eqn: {vec{rm MQ}}]의 방향이 같고

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MQ}} RIGHT |]의 값이 최대일 때, [eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최대이다.

그러므로 선분 [eqn: rmMC]와 반원의 호가 만나는 점을 [eqn: rmX]라 하면

점 [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmC]이고 점 [eqn: rmP]가 점 [eqn: rmX]일 때

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최대이다.

[eqn: {bar{rm MC}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]이므로

[eqn: LEFT | ` {vec{rm MP it}} + {vec{rm MQ it}} ` RIGHT |][eqn: LEQ][eqn: LEFT | ` {vec{rm MX it}} + {vec{rm MC it}} ` RIGHT |][eqn: = sqrt {10} +1]

따라서 [eqn: M][eqn: = sqrt {10} +1]

(ⅱ) [eqn: {vec{rm OP}} + {vec{rm AQ}}][eqn: = LEFT ( {vec{rm OA}} + {vec{rm AP}} RIGHT ) + LEFT ( {vec{rm AO}} + {vec{rm OQ}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm AP}} + {vec{rm OQ}}]

삼각형 [eqn: rmBCD] 위의 임의의 점 [eqn: rmQ]에 대하여

[eqn: {vec{rm QY}}][eqn: = {vec{rm AP}}]인 점을 [eqn: rmY]라 하자.

[eqn: LEFT | ` {vec{rm AP it}} + {vec{rm OQ it}} ` RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm QY}} + {vec{rm OQ}} RIGHT |][eqn: = LEFT | ` {vec{rm OY}} ` RIGHT |][eqn: GEQ LEFT | ` {vec{rm OQ}} ` RIGHT |]

이므로 점 [eqn: rmY]가 점 [eqn: rmQ]일 때 [eqn: LEFT | ` {vec{rm AP it}} + {vec{rm OQ it}} ` RIGHT |]의 값은 최소이다.

점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmBD] 위에 있고

[eqn: {bar{rm OQ}} BOT {bar{rm BD}}]일 때 [eqn: LEFT | ` {vec{rm OQ}} ` RIGHT |]의 값은 최소이므로

[eqn: m][eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: M ^{2} +m ^{2}][eqn: = LEFT ( 11+2 sqrt {10} RIGHT ) + {1} over {2}][eqn: = {23} over {2} +2 sqrt {10}]

따라서 [eqn: p][eqn: = {23} over {2}], [eqn: q][eqn: =10]이므로 [eqn: p TIMES q][eqn: =115]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 27

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {4}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 점 [eqn: rmA]를 지나고 직선 [eqn: rmBC]에 평행한 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 세 직선 [eqn: rmAC], [eqn: rmBC], [eqn: l]에 모두 접하는 원을 [eqn: O]라 하자. 원 [eqn: O]위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: left |`` vec{rmAC} + vec{rmBP} ``right |]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: Mm]의 값은?
(단, 원 [eqn: O]의 중심은 삼각형 [eqn: rmABC]의 외부에 있다.)

[정답] ④

[해설]

원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면

[eqn: vec {rmBP} = vec{ rmBO}+vec{ rmOP}]

이고 점 [eqn: rmB]를 원점으로 설정하면 점 [eqn: rm A (2,````2root3 )], 점 [eqn: rmC( 4,````0)], 점 [eqn: rmO][eqn: (5,```` root3 )]이고 반지름의 길이가 [eqn: root3]이다.

[eqn: THEREFORE```` vec{ rmAC} + vec{ rmBP}][eqn: = ( vec{ rmAC} + vec{ rmBO} )+vec{ rmOP}]
[eqn: = (2,````-2root3 ) + (5,````root3 ) + rm vec{ OP}]
[eqn: = (7,````-root3 ) + vec{ rmOP}]

최댓값은 중심을 지나고 일직선에서 반지름의 길이를 더한 값이고,

최솟값은 중심을 지나는 일직선에서 반지름의 길이를 뺀 값이다.

[eqn: bar{rmBO} = root {7^{2} + (-root3 )^{2} } = 2root 13]

그러므로 최댓값은 [eqn: 2root 13 + root 3], 최솟값은 [eqn: 2root 13 -root3]

[eqn: THEREFORE````Mm= (2root13 +root 3 ) ( 2root 13 - root 3 ) = 52 -3 = 49]

① [eqn: 46]	② [eqn: 47]	③ [eqn: 48]

④ [eqn: 49]	⑤ [eqn: 50]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 30

좌표평면에서 한 변의 길이가 [eqn: rm 4]인 정육각형 [eqn: {rm{ABCDEF}} it]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있고, 점 [eqn: {rm{C}} it]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 있다. 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]와 실수 [eqn: k]에 대하여 점 [eqn: {rm{X}} it]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값이 최소가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: alpha], [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값이 최대가 되도록 하는 [eqn: k]의 값을 [eqn: beta]라 하자.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: {vec{{rm{CX}} it }}={1} over {2} {vec{{rm{CP}} it }}+{vec{{rm{CQ}} it }}]이므로

선분 [eqn: {rm{CA}} it], [eqn: {rm{CB}} it], [eqn: {rm{CD}} it], [eqn: {rm{CE}} it], [eqn: {rm{CF}} it]의 중점을 각각 [eqn: {rm{A}} it `prime], [eqn: {rm{B}} it `prime], [eqn: {rm{D}} it `prime], [eqn: {rm{E}} it `prime], [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하면

점 [eqn: {rm{X}} it]는 정육각형 [eqn: {rm{A}} it `prime {rm{B}} it `prime {rm{CD}} it `prime {rm{E}} it `prime {rm{F}} it `prime] 위의 점

을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인

원 위를 움직인다.

조건 (나)에서

[eqn: {vec{{rm{XA}} it }}+{vec{{rm{XC}} it }}+2 {vec{{rm{XD}} it }}=k {vec{{rm{CD}} it }}]이므로

[eqn: ({vec{{rm{CA}} it }}-{vec{{rm{CX}} it }})-{vec{{rm{CX}} it }}+2({vec{{rm{CD}} it }}-{vec{{rm{CX}} it }})=k {vec{{rm{CD}} it }}]

[eqn: {vec{{rm{CX}} it }}={1} over {4} {vec{{rm{CA}} it }}+{2-k} over {4} {vec{{rm{CD}} it }}]

[eqn: {1} over {4} {vec{{rm{CA}} it }}={vec{{rm{CG}} it }}]라 하면

점 [eqn: {rm{X}} it]는 점 [eqn: {rm{G}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{CD}} it]에 평행한 직선 위를 움직인다.

직선 [eqn: rm G{E} prime] 위의 점 [eqn: {rm{H}} it]가

[eqn: overline{{rm{E}} it `prime {rm{H}} it }=1], [eqn: overline{{rm{GH}} it }> overline{{rm{G{E}} it `prime }]

를 만족시키도록 점 [eqn: {rm{H}} it]를 잡는다.

[eqn: {rm{X}} it]가 점 [eqn: {rm{G}} it]일 때, [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값은 최소이다.

[eqn: {vec{{rm{CG}} it }}={vec{{rm{CG}} it }}+{2-k} over {4} {vec{{rm{CD}} it }}]에서

[eqn: {2-k} over {4}=0]

[eqn: k=2]

즉 , [eqn: alpha=2]

점 [eqn: {rm{X}} it]가 점 [eqn: {rm{H}} it]일 때, [eqn: |{vec{{rm{CX}} it }}|]의 값은 최대이다.

[eqn: |{vec{{rm{GH}} it }}|=4]에서

[eqn: left|{2-k} over {4} {vec{{rm{CD}} it }} right|=4]

즉 [eqn: {2-k} over {4}|{vec{{rm{CD}} it }}|=4]이므로

[eqn: {2-k} over {4} times 4=4]

[eqn: k=-2]

즉, [eqn: beta=-2]

따라서 [eqn: alpha^{2}+ beta^{2}=2^{2}+(-2)^{2}=8]

(가) [eqn: {vec{{rm{CX}} it }}={1} over {2} {vec{{rm{CP}} it }}+{vec{{rm{CQ}} it }}]

(나) [eqn: {vec{{rm{XA}} it }}+{vec{{rm{XC}} it }}+2 {vec{{rm{XD}} it }}=k {vec{{rm{CD}} it }}]

[eqn: alpha^{2}+ beta^{2}]의 값을 구하시오.

07 기하	05 평면벡터의연산
02 벡터의 해석과 활용
06 벡터의 활용 (이차곡선)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 27

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {2}-{y^{2}} over {2}=1]의 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: {rm{A}} it]라 하자. 이 쌍곡선 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: |{vec{{rm{OA}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }}|=k]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수가 [eqn: rm 3]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

[정답] ④

[해설]

쌍곡선의 꼭짓점 중 [eqn: x]좌표가 음수인 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자.

[eqn: |{vec{{rm{OA}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }}|=|{vec{{rm{BO}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }}|=|{vec{{rm{BP}} it }}|]

[eqn: |{vec{{rm{BP}} it }}|=k]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{P}} it]는 점 [eqn: {rm{B}} it]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: k]인 원과 쌍곡선이 만나는 점이다.

그림과 같이 점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수가 [eqn: rm 3]이려면

[eqn: k= overline{{rm{AB}} it }=2 sqrt{2}]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: sqrt{2}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: 2 sqrt{2}]	⑤ [eqn: rm 4]

07 기하	06 위치벡터와평면벡터의성분
01 위치벡터
06 벡터방정식의 해석1 (벡터의 크기조건 해석)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 26

그림과 같이 변 [eqn: rmAD]가 변 [eqn: rmBC]와 평행하고 [eqn: ANGLE rm CBA][eqn: = ANGLE rm DCB]인 사다리꼴 [eqn: rmABCD]가 있다.

[정답] ④

[해설]

선분 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: `rm`M]이라 하면 [eqn: {{vec{{rmA}it{rmB}it}} + {vec{{rmA}it{rmC}it}}} over {2} = {vec{{rmA}it{rmM}it}}]이다.

[eqn: left | {vec{{rmA}it{rmB}it}} + {vec{{rmA}it{rmC}it}} right | =2 sqrt {5}]이므로 [eqn: left | {vec{{rmA}it{rmM}it}} right | = sqrt {5}]

사각형 [eqn: {rmA}it{rmB}it{rmM}it{rmD}it]에서 [eqn: bar{{rmC}it{rmD}it}=bar{{rmA}it{rmM}it}= sqrt {5}]

사각형 [eqn: {rmA}it{rmB}it{rmM}it{rmD}it]와 사각형 [eqn: {rmA}it{rmM}it{rmC}it{rmD}it]는 평행사변형이다.

평행사변형 [eqn: `{rmA}it{rmM}it{rmC}it{rmD}it]에서 [eqn: `bar{{rmC}it{rmD}it}=bar{{rmA}it{rmM}it}= sqrt {5}]

사각형 [eqn: `rm`{rmA}it{rmB}it{rmM}it{rmD}it]가 평행사변형이므로 [eqn: `angle`{rmM}it{rmB}it{rmA}it`=angle`{rmC}it{rmM}it{rmD}it`=angle`{rmD}it{rmC}it{rmM}it]

즉 삼각형 [eqn: `rm`{rmD}it{rmM}it{rmC}it]는 이등변삼각형이므로 [eqn: `bar{{rmD}it{rmM}it}= sqrt {5}]

점 [eqn: `rm`{rmD}it]에서 선분 [eqn: `rm`{rmB}it{rmC}it]에 내린 수선의 발을 [eqn: `rm`{rmH}it]라 하면 [eqn: `bar{{rmC}it{rmM}it}=2]이므로

[eqn: `bar{{rmH}it{rmM}it}=bar{{rmC}it{rmH}it}=1]

직각삼각형 [eqn: `rm`{rmD}it{rmM}it{rmH}it]에서

[eqn: `bar{{rmD}it{rmH}it}= sqrt {{bar{{rmD}it{rmM}it}} ^{2} -{bar{{rmH}it{rmM}it}} ^{2}} = sqrt {5-1} =2]

[eqn: `bar{{rmB}it{rmH}it}=bar{{rmB}it{rmM}it}+bar{{rmH}it{rmM}it}=2+1=3]

직각삼각형 [eqn: `rm`{rmD}it{rmB}it{rmH}it]에서

[eqn: ` left | {vec{{rmB}it{rmD}it}} right | ^{2} = left | {vec{{rmB}it{rmH}it}} right | ^{2} + left | {vec{{rmD}it{rmH}it}} right | ^{2}][eqn: `=3 ^{2} +2 ^{2} =13]

따라서 [eqn: ` left | {vec{{rmB}it{rmD}it}} right | = sqrt {13}]

[eqn: LEFT | ` {vec{rm AD}} ` RIGHT |][eqn: =2], [eqn: LEFT | ` {vec{rm BC}} ` RIGHT |][eqn: =4], [eqn: LEFT | ` {vec{rm AB}} + {vec{rm AC}} ` RIGHT |][eqn: =2 sqrt {5}]

일 때, [eqn: LEFT | ` {vec{rm BD}} ` RIGHT |]의 값은?

① [eqn: sqrt {10}]	② [eqn: sqrt {11}]	③ [eqn: 2 sqrt {3}]

④ [eqn: sqrt {13}]	⑤ [eqn: sqrt {14}]

07 기하	06 위치벡터와평면벡터의성분
02 벡터의 성분과 연산
03 벡터의 성분3 (벡터가 서로 같을 조건)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 23

세 벡터 [eqn: {vec{a} = (x ,```` 3)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: vec{b} = (1 ,```` y)], [eqn: vec{c} = (-3 ,```` 5)]가 [eqn: 2vec{a} = vec{b}-vec{c}]를 만족시킬 때, [eqn: x+y]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 2 vec { a} = (2x, ````6)], [eqn: vec {b} - vec{ c} = (4,````y-5)]이므로 [eqn: 2x= 4]

[eqn: THEREFORE```` x=2]

[eqn: 6=y-6]	[eqn: THEREFORE```` y= 11]

[eqn: THEREFORE```` x+y= 13]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

07 기하	06 위치벡터와평면벡터의성분
02 벡터의 성분과 연산
06 벡터의 성분6 (평행)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 23

두 벡터 [eqn: {vec{a}} = LEFT ( k+3 ,`` 3k-1 RIGHT )`]과 [eqn: {vec{b}} = LEFT ( 1 ,`` 1 RIGHT )`]이 서로 평행할 때, 실수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: {vec{a}} = LEFT ( k+3 ,```` 3k-1 RIGHT )]과 [eqn: {vec{b}} = LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )]이 서로 평행하므로 [eqn: {vec{a}} =t {vec{b}}] ([eqn: t]는 실수)

즉, [eqn: LEFT ( k+3 ,```` 3k-1 RIGHT ) =t(1 ,```` 1)]이 성립하므로

[eqn: k+3=t], [eqn: 3k-1=t]

두 식을 연립하면 [eqn: k+3=3k-1]

[eqn: therefore][eqn: k=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 23

두 벡터 [eqn: {{vec{a}}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: = LEFT ( 2 ,`` 4 RIGHT )], [eqn: {vec{b}}][eqn: = LEFT ( it -1 ,`` k RIGHT )`]에 대하여 두 벡터 [eqn: {vec{a}}`]와 [eqn: {vec{b}}`]가 서로 평행하도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

두 벡터 [eqn: {vec{a}}], [eqn: {vec{b}}]가 서로 평행하면 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 4 RIGHT )][eqn: =t LEFT ( -1 ,```` k RIGHT )]를 만족시키는 실수 [eqn: t][eqn: LEFT ( t != 0 RIGHT )]가 존재한다.

그러므로 [eqn: 2][eqn: = it -t], [eqn: 4][eqn: =kt]

따라서 [eqn: k][eqn: = it -2]

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 23

두 벡터 [eqn: {vec{a}}= LEFT ( m-2,`` 3 RIGHT )], [eqn: {vec{b}}= LEFT ( 2m+1,`` 9 RIGHT )]가 서로 평행할 때, 실수 [eqn: m]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 0]이 아닌 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: {vec{b}} =k {vec{a}}]

[eqn: LEFT ( 2m+1,~9 RIGHT ) = LEFT ( k LEFT ( m-2 RIGHT ) ,~3k RIGHT )]이므로

[eqn: 3k=9], [eqn: k=3]

[eqn: 2m+1=3 LEFT ( m-2 RIGHT )], [eqn: 2m+1=3m-6]

따라서 [eqn: m=7]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 23

두 벡터 [eqn: {vec{a}}=(2 m-1,``3 m+1)], [eqn: {vec{b}}=(3,``12)]가 서로 평행할 때, 실수 [eqn: m]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: {vec{a}}=k {vec{b}}]이므로

[eqn: (2 m-1,``3 m+1)=(3 k,`` 12 k)]

[eqn: 2m-1=3k]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠
[eqn: 3m+1=12k]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

따라서 두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: m=1]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

07 기하	07 평면벡터의내적
01 평면벡터의 내적
01 내적1 (정의)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 27

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{CD}} it }= sqrt{2}], [eqn: angle {rm{ABC}} it = angle {rm{BCD}} it =45 DEG]인 사다리꼴 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 있다. 두 대각선 [eqn: {rm{AC}} it]와 [eqn: {rm{BD}} it]의 교점을 [eqn: {rm{E}} it], 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it], 선분 [eqn: {rm{AH}} it]와 선분 [eqn: {rm{BD}} it]의 교점을 [eqn: {rm{F}} it]라 할 때, [eqn: {vec{{rm{AF}} it }} BULLET {vec{{rm{CE}} it }}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

직각삼각형 [eqn: {rm{ABH}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{2}], [eqn: angle {rm{ABC}} it =45 DEG]

이므로

[eqn: {rm{AH}} it ={rm{BH}} it =1]

점 [eqn: {rm{D}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하면

[eqn: overline{{rm{BI}} it }=3], [eqn: overline{{rm{DI}} it }=1]이고

[eqn: TRIANGLE rm BID it □ TRIANGLE rm BHF it]이므로

[eqn: overline{{rm{BI}} it }: overline{{rm{DI}} it }= overline{{rm{BH}} it }: overline{{rm{FH}} it }]

즉, [eqn: 3: 1=1: {rm{FH}} it]

[eqn: overline{{rm{FH}} it }={1} over {3}]

[eqn: overline{{rm{AF}} it }= overline{{rm{AH}} it }- overline{{rm{FH}} it }=1-{1} over {3}={2} over {3}]

한편 점 [eqn: {rm{E}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J]라 하면

[eqn: overline{{rm{BJ}} it }= overline{{rm{CJ}} it }=2], [eqn: overline{{rm{BH}} it }= overline{{rm{HJ}} it }=1]

이므로

[eqn: overline{{rm{EJ}} it }=2 overline{{rm{FH}} it }={2} over {3}]

직각삼각형 [eqn: {rm{JCE}} it]에서

[eqn: angle {rm{JCE}} it = theta]라 하면

[eqn: sin theta={|{vec{{rm{EJ}} it }}|} over {|{vec{{rm{CE}} it }}|}]

이고,

두 벡터 [eqn: {vec{{rm{EJ}} it }}], [eqn: {vec{{rm{CE}} it }}]가 이루는 각의 크기는

[eqn: { pi} over {2}+ theta]이다.

그리고 [eqn: {vec{{rm{AF}} it }}={vec{{rm{EJ}} it }}]이므로

[eqn: {rm vec{ AF} BULLETvec{ CE}][eqn: {rm =vec{ EJ} BULLETvec{ CE}]
[eqn: =|{vec{{rm{EJ}} it }}||{vec{{rm{CE}} it }}| cos left({ pi} over {2}+ theta right)]
[eqn: =|{vec{{rm{EJ}} it }}||{vec{{rm{CE}} it }}| times(- sin theta)]
[eqn: =|{vec{{rm{EJ}} it }}||{vec{{rm{CE}} it }}| times left(-{|{vec{{rm{EJ}} it }}|} over {|{vec{{rm{CE}} it }}|} right)]
[eqn: =-|{vec{{rm{EJ}} it }}|^{2}]
[eqn: =- left({2} over {3} right)^{2}]
[eqn: =-{4} over {9}]

① [eqn: -{1} over {9}]	② [eqn: -{2} over {9}]	③ [eqn: -{1} over {3}]

④ [eqn: -{4} over {9}]	⑤ [eqn: -{5} over {9}]

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
01 활용1 (움직이는 점 조건과 자취)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 30

좌표평면 위의 두 점 [eqn: {rmA(6 ,```` 0)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: rmB(6 ,```` 5)]와 음이 아는 실수 [eqn: k]에 대하여 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold37]

[해설]

(가) [eqn: vec{rmOP} = it k ( vec{ rmOA} + vec{ rmOB} ) = it k (12,````5)]이므로 [eqn: vec {rmOP}]는 [eqn: (12, ````5)]와 평행한 벡터이다. [eqn: vec { rmOP} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 내적의 정의에서 시점을 일치시키고 다른 벡터에 정사영한 선분의 길이의 곱을 의미하는 것이므로 [eqn: vec{ rmOA}]의 크기가 [eqn: 6]이므로 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

(나) [eqn: left |``vec{ rmAQ}`` right| = left| ``vec{ rmAB}`` right| = 5] 즉, 점 [eqn: rmQ]는 중심을 [eqn: rmA]로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원 위의 점이다. [eqn: vec { rmOQ} bullet vec{ rmOA} leq 21]에서 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 7over 2]를 넘을 수 없다.

[eqn: rm vec{ OX} = vec{ rmOP} + vec {rmOQ}]에서 변수는 [eqn: x]좌표만 움직일 수 있으므로 넓이는 평행이동하여 잘라 붙이면 직사각형 모양으로 된다.

이때 [eqn: rmQ]의 [eqn: y]좌표의 폭이 높이가 될 수 있으며, [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표의 변화는 [eqn: 0]에서 [eqn: 7 over 2]이므로 가로의 길이는 [eqn: 7 over 2]이다.

중심이 [eqn: (6,```0)]이고 반지름이 [eqn: 5]인 원에서 [eqn: y]값의 변화가 가장 큰 값은 [eqn: x= 7 over 2]일 때이므로

[eqn: left( 7 over 2 -6 right)^{2} +y^{2} = 25], [eqn: y^{2} = 25 - 25 over 4]

[eqn: y^{2} = 75 over 4 ,````y= +- {5 root3} over 2]

그러므로 세로의 길이는 [eqn: 5root3]이다.

따라서 도형의 넓이는 [eqn: 5root3 times 7 over 2 = 35 over 2 root3]

즉, [eqn: p=2 ,````q=35]이므로 [eqn: p+q = 35+2 =37]

(가) [eqn: vec{rmOP} = k(vec{rmOA}+vec{rmOB})]이고 [eqn: vec{rmOP}BULLET vec{rmOA} le 21]이다.

(나) [eqn: left |`` vec{rmAQ}``right | = left |`` vec{rmAB}``right |]이고 [eqn: vec{rmOQ}BULLET vec{rmOA} le 21]

[eqn: vec{rmOX} =vec{rmOP} + vec{rmOQ}]를 만족시키는 점 [eqn: rmX]가 나타내는 도형의 넓이는 [eqn: q overp sqrt3]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 24

좌표평면에서 점 [eqn: {rm{A}} it (4,``6)]과 원 [eqn: C] 위의 임의의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: |{vec{{rm{OP}} it }}|^{2}-{vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{OP}} it }}=3] 일 때, 원 [eqn: C]의 반지름의 길이는? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm P it(x,````y)`]라고 하면

[eqn: (x^2 + y^2 ) - ( 4x+ 6y) = 3]

[eqn: (x-2)^2 + (y-3)^2 = 16], [eqn: THEREFORE][eqn: r = 4]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 29

좌표평면에서 [eqn: rm {bar{OA}} = sqrt {2} ,~ {bar{OB}} =2 sqrt {2}]이고 [eqn: cos` LEFT ( {rmANGLE AOB} RIGHT ) = {1} over {4}]인 평행사변형 [eqn: rmOACB]에 대하여 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 100]

[해설]

조건 (가)에 의하여 점 [eqn: rmP]는 평행사변형 [eqn: rmOACB]의 둘레 또는 내부에 있는 점이다.

조건 (나)에서

[eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + {vec{BP}} BULLET {vec{BC}}]

[eqn: =rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + LEFT ( {vec{OP}} - {vec{OB}} RIGHT ) BULLET {vec{OA}}]

[eqn: = rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + {vec{OP}} BULLET {vec{OA}} - {vec{OA}} BULLET {vec{OB}}]

[eqn: ={rm {vec{OP}} BULLET LEFT ( {vec{OA}} + {vec{OB}} RIGHT ) - LEFT | ` {vec{OA}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{OB}} ` RIGHT | }cos` LEFT ( {rmANGLE AOB} RIGHT )]

[eqn: =rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}} - sqrt {2} times2 sqrt {2} times {1} over {4}]

[eqn: =rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}} -1=2]

이므로 [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}} =3]

(ⅰ) 벡터 [eqn: rm3 {vec{OP}} - {vec{OX}}]의 크기는 [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기가 최대이고 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 반대 방향일 때 최대가 되고, [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기는 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmOA] 위에 있을 때 최대가 된다.
다음 그림과 같이 점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: rmOA]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하고 [eqn: {rmANGLE COA}=alpha]라 하자.

[eqn: rmANGLE CAH= ANGLE AOB]에서

[eqn: cos` LEFT ( {rmANGLE CAH} RIGHT ) =cos` LEFT ( {rmANGLE AOB} RIGHT ) = {1} over {4}]이므로

[eqn: rm {bar{AH}}][eqn: ={rm {bar{AC}} } TIMES cos` LEFT ( {rmANGLE CAH} RIGHT )]
[eqn: ={rm {bar{OB}} } TIMES {1} over {4}]
[eqn: =2 sqrt {2} times {1} over {4}]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2}]

한편,

[eqn: rm LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT | ^{2}][eqn: =rm LEFT | ` {vec{OA}} + {vec{OB}} ` RIGHT | ^{2}]
[eqn: =rm LEFT | ` {vec{OA}} ` RIGHT | ^{2} + LEFT | ` {vec{OB}} ` RIGHT | ^{2} +2 {vec{OA}} BULLET {vec{OB}}]
[eqn: = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} +2times sqrt {2} times2 sqrt {2} times {1} over {4}]
[eqn: =2+8+2=12]

이므로

[eqn: rm LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT | =2 sqrt {3}]

그러므로

[eqn: cos`alpha= {sqrt {2} + {sqrt {2}} over {2}} over {2 sqrt {3}} = {sqrt {6}} over {4}]

즉, 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmOA] 위에 있을 때

[eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OC}}][eqn: ={rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT | }cos`alpha]
[eqn: =rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | TIMES 2 sqrt {3} times {sqrt {6}} over {4}]
[eqn: =rm {3 sqrt {2}} over {2} LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | =3]

이므로 [eqn: rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | = sqrt {2}]

이때 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 반대 방향이면

[eqn: rm LEFT | `3 {vec{OP}} - {vec{OX}} ` RIGHT | =3 LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | + LEFT | ` {vec{OX}} ` RIGHT |]이므로

[eqn: M=3 sqrt {2} + sqrt {2} =4 sqrt {2}]

(ⅱ) 벡터 [eqn: rm3 {vec{OP}} - {vec{OX}}]의 크기는 [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기가 최소이고 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 같은 방향일 때 최소가 되고, [eqn: rm {vec{OP}}]의 크기는 점 [eqn: rmP]가 선분 [eqn: rmOC] 위에 있을 때 최소가 된다.

이때

[eqn: RM {vec{OP}} BULLET {vec{OC}}][eqn: =rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{OC}} ` RIGHT |]
[eqn: =rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | times2 sqrt {3} =3]

이므로 [eqn: rm LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | = {sqrt {3}} over {2}]

이때 [eqn: rm {vec{OX}}]가 [eqn: rm {vec{OP}}]와 같은 방향이면

[eqn: rm LEFT | `3 {vec{OP}} - {vec{OX}} ` RIGHT | =3 LEFT | ` {vec{OP}} ` RIGHT | - LEFT | ` {vec{OX}} ` RIGHT |]이므로

[eqn: m=3times {sqrt {3}} over {2} - sqrt {2} = {3 sqrt {3}} over {2} - sqrt {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: M TIMES m][eqn: =4 sqrt {2} LEFT ( {3 sqrt {3}} over {2} - sqrt {2} RIGHT )]
[eqn: =6 sqrt {6} -8]이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =6 ^{2} + LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} =100]

(가) [eqn: rm {vec{OP}} =its rm {vec{OA}} +itt rm {vec{OB}} ~ LEFT ( 0 LEQ it s LEQ 1,~0 LEQ it t LEQ 1 RIGHT )]

(나) [eqn: rm {vec{OP}} BULLET {vec{OB}} + {vec{BP}} BULLET {vec{BC}} =2]

점 [eqn: rmO]를 중심으로 하고 점 [eqn: rmA]를 지나는 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmX]에 대하여 [eqn: rm LEFT | `3 {vec{OP}} - {vec{OX}} ` RIGHT |]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M,~m]이라 하자. [eqn: M` TIMES `m=a sqrt {6} +b]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 유리수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 25

좌표평면에서 세 벡터

[정답] ②

[해설]

[eqn: vec p bullet vec a = vec a bullet vec b]에서 [eqn: vec a bullet vec p = vec a bullet vec b]

즉, [eqn: vec a bullet ( vec p - vec b ) =0]

이때, [eqn: vec a = ( 3 ,```` 0 )], [eqn: vec b = ( 1 ,```` 2 )]이므로

점 [eqn: {rm P it ( x ,```` y )]에 대하여 [eqn: vec p][eqn: {rm = vec OP][eqn: = it (x ,```` y )]라 하면

[eqn: (3 ,```` 0 ) bullet (x-1 ,```` y-2) = 0]

[eqn: 3 (x-1)=0]

[eqn: therefore][eqn: x=1]

그러므로 점 [eqn: {rm P]는 직선 [eqn: x=1]위의 점이다.

또, [eqn: left |`` vec q - vec c ``right | = 1]이고 [eqn: vec c = (4 ,```` 2 )]이므로 [eqn: vec q][eqn: {rm = vec OQ]라 하면 점 [eqn: {rm Q]는 중심이 [eqn: (4 ,```` 2 )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점이다.

한편, [eqn: left |`` vec p - vec q ``right |][eqn: {rm = left |`` vec OP - vec OQ ``right |][eqn: {rm = left |`` vec QP ``right |][eqn: {rm = bar PQ]

따라서 이 값의 최솟값은 원의 중심 [eqn: (4 ,```` 2)]와 직선 [eqn: x=1] 사이의 거리에서 반지름의 길이 [eqn: 1]을 빼면 되므로 [eqn: 3-1 = 2]

[eqn: {vec a = (3 ,```` 0 )}{{from^2021^09^평가원^중}}], [eqn: vec b = ( 1 ,```` 2 )], [eqn: vec c = ( 4 ,```` 2 )]

에 대하여 두 벡터 [eqn: vec p], [eqn: vec q]가

[eqn: vec p bullet vec a = vec a bullet vec b], [eqn: left |`` vec q - vec c ``right | = 1]

을 만족시킬 때, [eqn: left |`` vec p - vec q ``right |]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 30

좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rm{A}} it (-2,``2)], [eqn: {rm{B}} it (2,``2)]가 있다.

[정답] [eqn: rm 17]

[해설]

[eqn: (|{vec{{rm{AX}} it }}|-2)(|{vec{{rm{BX}} it }}|-2)=0]에서 [eqn: |{vec{{rm{AX}} it }}|=2] 또는 [eqn: |{vec{{rm{BX}} it }}|=2]이므로

[eqn: {rm{X}} it]는 중심이 [eqn: {rm{A}} it]이고 반지름이 [eqn: rm 2]인 원 또는 중심이 [eqn: {rm{B}} it]이고

반지름이 [eqn: rm 2]인 원 위의 점이다. 그런데, [eqn: |{vec{{rm{OX}} it }}| geq 2]를

만족해야 하므로 만족하는 도형은 [그림1]과 같다.

[그림1]

또한 [eqn: ({vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{u}})({vec{{rm{OQ}} it }} BULLET {vec{u}}) geq 0]를 만족하므로 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: x]좌표가 모두 같은 방향이어야 한다.

즉, [그림1]에서 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 제 [eqn: rm 1]사분면 도형에 있는 경우와

제 [eqn: rm 2]사분면 도형에 있는 경우 [eqn: rm 2]가지가 있다.

(i) 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 경우
선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it]이라고 하면
[eqn: {vec{{rm{OY}} it }}][eqn: ={vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }}=2 left({1} over {2} {vec{{rm{OP}} it }}+{1} over {2} {vec{{rm{OQ}} it }} right)=2 {vec{{rm{OM}} it }}]
즉, [eqn: {vec{{rm{OY}} it }} =2({vec{{rm{OB}} it }}+{vec{{rm{BM}} it }})]
그런데, 조건 (나)에서 [eqn: |{vec{{rm{PQ}} it }}|=2]이므로 [eqn: |{vec{{rm{PM}} it }}|=1]
따라서 [eqn: |{vec{{rm{BM}} it }}|= sqrt{|{vec{{rm{BP}} it }}|^{2}-|{vec{{rm{PM}} it }}|^{2}}]에서 [eqn: |{vec{{rm{BM}} it }}|= sqrt{3}]

따라서 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 조건을 만족하며 움직일 때의 [eqn: {rm{M}} it]의 자취는 중심이 [eqn: {rm{B}} it]이고 반지름이 [eqn: sqrt{3}]이며 중심각이 [eqn: {7} over {6} pi]인 부채꼴의 호가 된다.
이때 [eqn: {vec{{rm{OY}} it }}=2 {vec{{rm{OM}} it }}]이므로 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 자취는 중심이 [eqn: (4,``4)]이고 반지름이 [eqn: 2 sqrt{3}]이며 중심각이 [eqn: {7} over {6} pi]인 부채꼴의 호이다.
따라서 구하는 자취의 길이는
[eqn: 2 sqrt{3} times {7} over {6} pi={7} over {3} sqrt{3} pi]

(ii) 제[eqn: rm 2]사분면에 있는 경우
(i)과 마찬가지이므로 자취의 길이는
[eqn: 2 sqrt{3} times {7} over {6} pi={7} over {3} sqrt{3} pi]
(i), (ii)에서 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 집합이 나타내는 도형의 길이는
[eqn: {14} over {3} sqrt{3} pi]이므로 [eqn: p=3], [eqn: q=14]
[eqn: therefore~p+q=3+14=17]

[다른 풀이]

주어진 등식과 부등식

[eqn: (|{vec{{rm{AX}} it }}|-2)(|{vec{{rm{BX}} it }}|-2)=0], [eqn: |{vec{{rm{OX}} it }}| geq 2]

에서 점 [eqn: {rm{X}} it]는 두 점 [eqn: {rm{A}} it] 또는 [eqn: {rm{B}} it]로부터의 거리가 [eqn: rm 2]이고, 원점

[eqn: {rm{O}} it]로부터의 거리가 [eqn: rm 2] 이상이므로 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 중심으로 하고

반지름의 길이가 [eqn: rm 2]인 두 원 [eqn: C_{1}] 또는 [eqn: C_{2}]의 둘레 중 아래

그림과 같이 실선 부분이다.

또, 조건 (가)는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: x]좌표가 같은 부호임을

뜻하므로 원 [eqn: C_{1}] 또는 [eqn: C_{2}] 중 어느 한쪽에 존재해야 하고, [eqn: overline{{rm{PQ}} it }=2]이다.

한편, [eqn: {1} over {2} {vec{{rm{OY}} it }}={{rm{OP}} it +{rm{OQ}} it } over {2}={vec{{rm{OM}} it }}]으로 놓자.

[eqn: y]축 대칭성으로 인해 원 [eqn: C_{1}]에서만 고려하면, 삼각형 [eqn: {rm{AP}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}]은 정삼각형이므로 [eqn: angle {rm{M}} it _{1} {rm{AQ}} it _{1}={ pi} over {6}]이고, [eqn: overline{{rm{AM}} it _{1}}= sqrt{3}]

그러므로 점 [eqn: {rm{M}} it]은 점 [eqn: {rm{A}} it]를 중심, 반지름의 길이가 [eqn: sqrt{3}]이고

중심각의 크기가 [eqn: {7} over {6} pi]인 호에 해당하고 그 길이는

[eqn: sqrt{3} times {7} over {6} pi={7} over {6} sqrt{3} pi]

[eqn: {vec{{rm{OY}} it }}=2 {vec{{rm{OM}} it }}]이므로 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 자취의 길이는

[eqn: {7} over {6} sqrt{3} pi times 2={7} over {3} sqrt{3} pi]

원 [eqn: C_{2}]에서도 마찬가지이므로 구하는 길이는

[eqn: {7} over {3} sqrt{3} pi times 2={14} over {3} sqrt{3} pi]

따라서, [eqn: p=3], [eqn: q=14]이므로 [eqn: p+q=17]이다.

[eqn: LEFT(|{vec{{rm{AX}} it }}|-2RIGHT) (|{vec{{rm{BX}} it }}|-2RIGHT)=0], [eqn: ~ |{vec{{rm{OX}} it }}| geq 2]

를 만족시키는 점 [eqn: {rm{X}} it]가 나타내는 도형 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {vec{u}}=(1,``0)]에 대하여 [eqn: ({vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{u}})({vec{{rm{OQ}} it }} BULLET {vec{u}}) geq 0]이다.

(나) [eqn: |{vec{{rm{PQ}} it }}|=2]

[eqn: {vec{{rm{OY}} it }}={vec{{rm{OP}} it }}+{vec{{rm{OQ}} it }}]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{Y}} it]의 집합이 나타내는 도형의 길이가 [eqn: {q} over {p} sqrt{3} pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 26

좌표평면에서 세 벡터

[정답] ②

[해설]

[eqn: {vec{p}}=(x,`` y)], [eqn: {vec{q}}= left(x `prime ,`` y `prime right)]이라 하고

[eqn: {rm{A}} it (2,``4)], [eqn: {rm{B}} it (2,``8)], [eqn: {rm{C}} it (1,``0)], [eqn: ~ {rm{P}} it (x,`` y)], [eqn: {rm{Q}} it left(x `prime ,`` y `prime right)]이라 하자.

[eqn: ({vec{p}}-{vec{a}}) BULLET ({vec{p}}-{vec{b}})=0]

이므로 점 [eqn: {rm{P}} it]는 선분 [eqn: {rm{AB}} it]을 지름으로 하는 원 위를 움직인다. 즉, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점인 점 [eqn: {rm{M}} it (2,``6)]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm 2]인 원 위에 있다.

한편,

[eqn: {vec{q}}][eqn: ={1} over {2} {vec{a}}+t {vec{c}}][eqn: ={1} over {2}(2,``4)+t(1,``0)][eqn: =(1+t,`` 2)]

이므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 직선 [eqn: y=2] 위에 있다.

이때 [eqn: LEFT | {vec{p}} - {vec{q}} RIGHT |]의 값은 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it] 사이의 거리이므로 점 [eqn: {rm{M}} it]에서 직선 [eqn: y=2]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it `prime]이라 할 때 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it] 사이의 거리의 최솟값은

[eqn: rmbar{MQ prime}-2`][eqn: =4-2=2]

[eqn: {vec{a}} = LEFT (2,`` 4 RIGHT )], [eqn: {vec{b}} = LEFT (2,`` 8 RIGHT )], [eqn: {vec{c}} = LEFT (1,`` 0 RIGHT )]

에 대하여 두 벡터 [eqn: {vec{p}}], [eqn: {vec{q}}]가

[eqn: LEFT ( {vec{p}} - {vec{a}} RIGHT ) BULLET LEFT ( {vec{p}} - {vec{b}} RIGHT )=0], [eqn: {vec{q}} = {1} over {2} {vec{a}} +t {vec{c}} ~ LEFT ( t RIGHT .]는 실수[eqn: LEFT. it RIGHT )]

를 만족시킬 때, [eqn: LEFT | {vec{p}} - {vec{q}} RIGHT |]의 최솟값은?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
02 활용2 (벡터방정식의 해석)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 28

좌표평면에서 반원의 호 [eqn: x^{2}+y^{2}=4(x geq 0)] 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it (a,`` b)]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

그림과 같이 [eqn: rm vecOP]위로 [eqn: rm vecOQ]의 정사영의 길이가 [eqn: 1]이다.

따라서 직선 [eqn: rm OP]의 기울기는 [eqn: tan theta][eqn: 4 over3]이고,

[eqn: a + b = 2 cos theta + 2 sin theta][eqn: 6 over5 + 8 over5 = 14 over5]

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}=2]

를 만족시키는 반원의 호 [eqn: (x+5)^{2}+y^{2}=16(y geq 0)] 위의 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 하나뿐일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: {12} over {5}]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: {13} over {5}]

④ [eqn: {27} over {10}]	⑤ [eqn: {14} over {5}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 28

삼각형 [eqn: rmABC]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 내부의 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]
[eqn: ` {vec{{rmP}it{rmA}it}} cdot` {vec{{rmP}it{rmC}it}} =0] 이므로 두 벡터 [eqn: {vec{{rmP}it{rmA}it}}]와 [eqn: {vec{{rmP}it{rmC}it}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: 90°]이다.

[eqn: {left | {vec{{rmP}it{rmA}it}} right |} over {left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right |} =3]에서 [eqn: left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right | =t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]이라 하면 [eqn: left | {vec{{rmP}it{rmA}it}} right | =3t]

두 벡터 [eqn: {vec{{rmP}it{rmB}it}}]와 [eqn: {vec{{rmP}it{rmC}it}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: {vec{{rmP}it{rmB}it}} `cdot` {vec{{rmP}it{rmC}it}} `= left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right | `cos`theta][eqn: =- {sqrt {2}} over {2} left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right |]이므로

[eqn: cos`theta`=- {sqrt {2}} over {2}], [eqn: theta`=135°]에서

[eqn: left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | =2 sqrt {2} left | {vec{{rmP}it{rmC}it}} right |]이므로 [eqn: left | {vec{{rmP}it{rmB}it}} right | =2 sqrt {2} t]

[eqn: angle`{rmA}it{rmP}it{rmB}it`=angle`{rmB}it{rmP}it{rmC}it`=135°], [eqn: angle`{rmC}it{rmP}it{rmA}it`=90°]이므로

세 삼각형 [eqn: `rm`ABP], [eqn: `rm`BCP], [eqn: rmCA`P]의 넓이를 각각

[eqn: S _{1}], [eqn: `S _{2}], [eqn: S _{3}]이라 하면

[eqn: S _{1} ``:``S _{2} ``:``S _{3} ``=`3t ^{2} ``:t ^{2} ``:` {3} over {2} t ^{2} =6``:``2``:``3]

직선 [eqn: rm`AP]와 변 [eqn: rmBC]의 교점이 [eqn: rm`D]이므로

[eqn: bar{{rmA}it{rmD}it}`:`bar{{rmD}it{rmP}it}`=` left ( {rmS}it _{1} +{rmS}it _{2} +{rmS}it _{2} right ) `:``{rmS}it _{2} ``=``11``:``2]

따라서 [eqn: {vec{{rmA}it{rmD}it}} ``= {11} over {2} {vec{{rmP}it{rmD}it}} `]이므로 [eqn: k= {11} over {2}]

(가) [eqn: {vec{rm PA}} BULLET {vec{rm PC}}][eqn: =0], [eqn: {LEFT | ` {vec{rm PA}} ` RIGHT |} over {LEFT | ` {vec{rm PC}} ` RIGHT |}][eqn: =3]

(나) [eqn: {vec{rm PB it}} BULLET {vec{rm PC it}}][eqn: = it - {sqrt {2}} over {2} LEFT | ` {vec{rm PB}} ` RIGHT | LEFT | ` {vec{rm PC}} ` RIGHT |][eqn: = it -2 LEFT | ` {vec{rm PC}} ` RIGHT | ^{2}]

직선 [eqn: rmAP]와 선분 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmD]라 할 때, [eqn: {vec{rm AD}}][eqn: =k` {vec{rm PD}}]이다. 실수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 29

평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: {bar{rm AB it}} = {bar{rm CD it}} = {bar{rm AD it}} =2], [eqn: ANGLE rm ABC it = ANGLE rm BCD it = {pi } over {3}]인 사다리꼴 [eqn: rm ABCD it]가 있다. 다음 조건을 만족시키는 평면 [eqn: alpha] 위의 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: {vec{rm CP it}} BULLET {vec{rm DQ it}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: 2 {vec{{rm{BP}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AC}} it }}-2 {vec{{rm{AD}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AC}} it }}+{vec{{rm{CB}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AB}} it }}]

이므로    [eqn: {vec{{rm{BP}} it }}={1} over {2} {vec{{rm{AB}} it }}]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]는 선분 [eqn: {rm{AB}}`]를 [eqn: 3`:`1`]으로 외분하는 점이고,

[eqn: overline{{rm{AP}} it }={3} over {2} overline{{rm{AB}} it }=3]

한편, [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=4], [eqn: angle {rm{CBA}} it ={ pi} over {3}]이므로

[eqn: angle {rm{BAC}} it ={ pi} over {2}], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=2 sqrt{3}]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AC}} it]에 내린 수선의 발이 [eqn: {rm{A}} it]이다.

점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 조건 (나)에 의하여

[eqn: {vec{{rm{AC}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}][eqn: ={vec{{rm{AC}} it }} BULLET {vec{{rm{AH}} it }}]
[eqn: =left|`{vec{{rm{AC}} it }}`right|left|` {vec{{rm{AH}} it }} `right|]
[eqn: =2 sqrt{3} times left|` {vec{{rm{AH}} it }}`right|=6]

[eqn: therefore] [eqn: overline{{rm{AH}} it }= sqrt{3}]

따라서 점 [eqn: {rm{H}} it]는 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 중점이므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 수직이등분선인 직선 [eqn: {rm{DH}} it] 위에 있다.

이때 삼각형 [eqn: {rm{ABQ}} it]에서

[eqn: angle {rm{PBQ}} it = angle {rm{BAQ}} it + angle {rm{BQA}} it]

이므로 [eqn: 2 times angle {rm{BQA}} it = angle {rm{PBQ}} it]를 만족시키려면

[eqn: angle {rm{BAQ}} it = angle {rm{BQA}} it]

즉, [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BQ}} it }]이어야 한다.

따라서 점 [eqn: rmQ`]는 점 [eqn: rmB`]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: 2`]인 원과 직선 [eqn: rmDH`]의 교점이므로 그림과 같이 점 [eqn: rmQ_1] 또는 점 [eqn: rmQ_2 `]가 가능하다.

점 [eqn: rmQ_1 `]은 조건 (다)에서 [eqn: angle rmPBQ< pi over2 `]라는 조건에 어긋나므로 점 [eqn: rmQ_2 `]가 조건을 만족하는 점이다.

이때 직각삼각형 [eqn: {rm{AQD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AQ}} it }=2 sqrt{3}]

이므로    [eqn: overline{{rm{DQ}} it }= sqrt{4+12}=4]

[eqn: therefore] [eqn: {vec{{rm{CP}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}][eqn: =({vec{{rm{CA}} it }}+{vec{{rm{AP}} it }}) BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}]
[eqn: ={vec{{rm{CA}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}+{vec{{rm{AP}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}]
[eqn: =0+ left|` {vec{{rm{AP}} it }}`right|left|` {vec{{rm{DQ}} it }} `right|]
[eqn: =12]

[다른 풀이]

그림과 같이 네 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 좌표가 각각

[eqn: {rm{A}} it (0,`` sqrt{3})], [eqn: {rm{B}} it (-1,``0)], [eqn: {rm{C}} it (3,``0)], [eqn: {rm{D}} it (2,`` sqrt{3})]

이 되도록 좌표평면을 설정하자.

점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표를 [eqn: {rm{P}} it (a,`` b)]라 하면

[eqn: {vec{{rm{AC}} it }}=2({vec{{rm{AD}} it }}+{vec{{rm{BP}} it }})]

에서    [eqn: (3,``- sqrt{3})=2 left{ (2,``0)+(a+1,`` b) it right}]

[eqn: 3=2(a+3)]에서    [eqn: a=`-{3} over {2}]

[eqn: - sqrt{3}=2 b]에서    [eqn: b=`-{ sqrt{3}} over {2}]

즉, [eqn: {rm{P}} it left(-{3} over {2},``-{ sqrt{3}} over {2} right)]이므로 그림과 같이 세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{P}} it]는 한 직선 위에 있고 [eqn: overline{{rm{BP}} it }=1]이다.

또, 점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표를 [eqn: {rm{Q}} it (x,`` y)]라 하면

[eqn: {vec{{rm{AC}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}=6]에서

[eqn: (3,``- sqrt{3}) cdot left(x+{3} over {2},`` y+{ sqrt{3}} over {2} right)=6]

[eqn: y= sqrt{3} x- sqrt{3}]

이므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 직선 [eqn: y= sqrt{3} x- sqrt{3}] 위에 있다.

이때 삼각형 [eqn: {rm{ABQ}} it]에서

[eqn: angle {rm{PBQ}} it = angle {rm{BAQ}} it + angle {rm{BQA}} it]

이므로 [eqn: 2 times angle {rm{BQA}} it = angle {rm{PBQ}} it < pi over2 `]를 만족시키려면

[eqn: angle {rm{BAQ}} it = angle {rm{BQA}} it]

즉, [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BQ}} it }]이어야 한다.

따라서 조건을 만족시키는 점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는 [eqn: {rm{Q}} it (0,``- sqrt{3})]이므로

[eqn: {vec{{rm{CP}} it }} BULLET {vec{{rm{DQ}} it }}][eqn: = left(-{9} over {2},``-{ sqrt{3}} over {2} right) BULLET (-2,``-2 sqrt{3})]
[eqn: =9+3]
[eqn: =12]

(가) [eqn: {vec{rm AC it}} =2 LEFT ( {vec{rm AD it}} + {vec{rm BP it}} RIGHT )]

(나) [eqn: {vec{rm AC it}} BULLET {vec{rm PQ it}} =6]

(다) [eqn: 2 TIMES ANGLE rm BQA it = ANGLE rm PBQ it < {pi } over {2}]

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
03 내적의 Mm1 (성분이용)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 30

좌표평면 위의 네 점 [eqn: rmA LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm LEFT ( -2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( 0 ,```` -2 RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: rmABCD]의 네 변 위의 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[해설]

(가)에서 [eqn: LEFT ( rm vec{PQ} bullet vec{AB} RIGHT ) LEFT ( rm vec{PQ} bullet vec{AD} RIGHT ) =0]이므로

[eqn: rm vec{PQ} bullet vec{AB} =0] 또는 [eqn: rm vec{PQ} bullet vec{AD} =0]

즉, [eqn: rm vec{PQ} BOT vecAB] 또는 [eqn: rm vec{PQ} BOT vec{AD}]

(ⅰ) [eqn: rm vec{PQ} BOT vecAB]일 때,

(나)조건에서 [eqn: rm vec{OB} bullet vec{OP} GEQ 0]이므로 그림과 같이 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm bar AB]위에 있고 점 [eqn: rm Q]는 선분 [eqn: rm barCD] 위에 있어야 한다.
또, [eqn: rm vec{OA}]와 [eqn: rm vecOP]가 이루는 각이 예각이므로
[eqn: rm vec{OA} bullet vec{OP} GEQ 0] (조건에 적합)
따라서 점 [eqn: rmQ]가 선분 [eqn: rmbarCD]위에 있으므로 점 [eqn: rmQ]를 [eqn: rm vec{OQ}= LEFT ( it t ,```` -t-2 RIGHT )] (단, [eqn: -2 le t le 0])로 두면

[eqn: rm vec{OA} bullet vec{OQ}][eqn: = LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT ) bullet LEFT ( t ,```` -t-2 RIGHT )]
[eqn: =2t ge -2]

즉. [eqn: t ge-1]이므로 [eqn: -1 le t le 0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 때, (다)조건에서 [eqn: rm vec{OB} bullet vec{OQ} le0]이고, 점 [eqn: rmP ,```` Q]는 [eqn: y=-x]에 대칭이므로 [eqn: rm vec{OQ}= LEFT ( it t ,```` -t-2 RIGHT )]에서
[eqn: rm vec{OP} =it LEFT ( t+2 ,```` -t RIGHT )]
따라서 [eqn: vec{rmRP}=it LEFT ( t-2 ,```` -t-4 RIGHT )], [eqn: vec{rm RQ it} = it LEFT ( t-4 ,```` -t-6 RIGHT )]이다.

[eqn: vec{rm RP } bullet rm vecRQ][eqn: = LEFT ( t-2 ,```` -t-4 RIGHT ) bullet LEFT ( t-4 ,```` -t-6 RIGHT )]
[eqn: =2t^2 +4t+32]
[eqn: =2 LEFT ( t+1 RIGHT )^2 +30]

㉠에서 [eqn: -1 le t le 0]이므로 [eqn: t=0]일 때, 즉 점 [eqn: rmP (2 ,```` 0) ,```` Q LEFT ( 0 ,```` -2 RIGHT )]일 때, 최댓값 [eqn: M= 32]을 가지고,
[eqn: t=-1]일 때, 즉 점 [eqn: rm P(1 ,```` 1) ,```` Q LEFT ( -1 ,```` -1 RIGHT )]일 때, 최솟값 [eqn: m=30]을 가진다.

(ⅱ) [eqn: rm vec{PQ} BOT vec{AD}]일 때,

(ⅰ)과 동일한 방법으로 하면 [eqn: rm vec{OB} bullet vec{OP} GEQ 0]이므로 점 [eqn: rm P]는 선분 [eqn: rm bar{BC}]위에 있고 점 [eqn: rm Q]는 선분 [eqn: rm bar{AD}] 위에 있어야 한다.
또, [eqn: rm vec{OB}]와 [eqn: rm vecOP]가 이루는 각이 예각이므로
[eqn: rm vec{OB} bullet vec{OP} GEQ 0] (조건에 적합)
점 [eqn: rm P]가 선분 [eqn: rm bar{BC}] 위에 있으므로 점 [eqn: rm P]는 [eqn: rm vec{OP} = LEFT ( it t ,```` t+2 RIGHT )] (단, [eqn: -2 le t le 0])로 두면

[eqn: rm vec{OA} bullet vec{OQ}][eqn: = LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT ) bullet LEFT ( t ,```` t+2 RIGHT )]
[eqn: =2t GEQ -2]

즉, [eqn: t ge-1]이므로 [eqn: -1 le t le 0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
이 때, [eqn: rm vec{OA} bullet vec{OQ} ge0]이고, 점 [eqn: rmP ,```` Q]는 [eqn: y=x]에 대칭이므로
[eqn: rm vec{OP} = LEFT ( it t ,```` t+2 RIGHT )]에서 [eqn: rm vec{OQ} = it LEFT ( t ,```` t+2 RIGHT )]
따라서 [eqn: vec{rm RP it} = it LEFT ( t-4 ,```` t-2 RIGHT )], [eqn: vec{rm RQ it} = it LEFT ( t-2 ,```` t-4 RIGHT )]이다.

[eqn: vec{rm RP } bullet rm vecRQ][eqn: = LEFT ( t-4 ,```` t-2 RIGHT ) bullet LEFT ( t-2 ,```` t-4 RIGHT )]
[eqn: =2(t-3) ^{2} -2]

그런데, ㉡에서 [eqn: -1 le t le 0]이므로 [eqn: t=0]일 때, 즉 점 [eqn: rm P(0 ,```` 2) ,```` Q LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT )]일 때, 최솟값 [eqn: m=16]을 가지고,
[eqn: t=-1]일 때, 즉 점 [eqn: rm P(-1 ,```` 1) ,```` Q LEFT ( 1 ,```` -1 RIGHT )]일 때, 최댓값 [eqn: M=32]을 가진다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 최댓값 [eqn: M=32], 최솟값 [eqn: m=16]이므로

[eqn: THEREFORE ```` M+m=48]

(가) [eqn: LEFT ( {vec{rmPQ}} BULLET {vec{rmAB}} RIGHT ) LEFT ( {vec{rmPQ}} BULLET {vec{rmAD}} RIGHT ) =0]

(나) [eqn: {vec{rm OA}} BULLET {vec{rm OP}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}} BULLET {vec{rmOP}} GEQ 0]이다.

(다) [eqn: {vec{rmOA}} BULLET {vec{rmOQ}} GEQ it-2]이고 [eqn: {vec{rmOB}} BULLET {vec{rmOQ}} LEQ 0]이다.

점 [eqn: rmR LEFT ( 4 ,```` 4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: {vec{rmRP}} BULLET {vec{rm RQ}}]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 30

좌표평면에서 세 점 [eqn: {rm A LEFT ( -3 ,```` 1 RIGHT ) ,```` rm B LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT ) ,```` rm C LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 두 점 [eqn: RMP ,```` Q]가

[정답] [eqn: bold { 45 }]

[해설]

[eqn: left |`` {vec{rm AP}} ``right | =1]이므로 점 [eqn: RMP]는 중심이 [eqn: rm A LEFT ( -3 ,```` 1 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 위의 점이다.

또, [eqn: left |`` {vec{rm BQ}} ``right | =2]이므로 점 [eqn: RMQ]는 중심이 [eqn: rm B LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2]인 원 위의 점이다.

[eqn: {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm OC}} GEQ {sqrt {2}} over {2}]에서 두 벡터 [eqn: {vec{rm AP}} ,```` {vec{rm OC}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: left |`` {vec{rm AP}} ``right | left |`` {vec{rm OC}} ``right | cos theta GEQ {sqrt {2}} over {2}]

즉, [eqn: cos theta GEQ {sqrt {2}} over {2}]이므로 [eqn: - {pi } over {4} LEQ theta LEQ {pi } over {4}]

그러므로 점 [eqn: rmP]를 나타내면 그림과 같다.

또, 두 벡터 [eqn: {vec{rm AP}} ,```` {vec{rm AQ}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ']이라 하면

[eqn: {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm AQ}}][eqn: = left |`` {vec{rm AP}} ``right | left |`` {vec{rm AQ}} ``right | cos theta ']
[eqn: = left |`` {vec{rm AQ}} ``right | cos theta ']

그러므로 이 값이 최소이기 위해서는 점 [eqn: RMP]는 [eqn: RMA]를 지나고 직선의 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점이어야 하고, 점 [eqn: RMQ]는 이 직선과 수직이면서 원 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =4]에 접하는 점 중 제 [eqn: 2]사분면의 점이어야 한다.

한편,□[eqn: {vec{rm BX}} BULLET {vec{rm BQ _{0}}} GEQ 1]에서 두 벡터 [eqn: {vec{rm BX}} ,```` {vec{rm BQ _{0}}}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta '']이라 하면 [eqn: left |`` {vec{rm BX}} ``right | left |`` {vec{rm BQ _{0}}} ``right | cos theta '' GEQ 1]

즉, [eqn: 2 left |`` {vec{rm BX}} ``right | cos theta '' GEQ 1]이므로 [eqn: left |`` {vec{rm BX}} ``right | cos theta '' GEQ {1} over {2}]

그러므로 선분 [eqn: RMBQ _{0}]위의 점 [eqn: RMD]를 [eqn: {bar{rm BD}} = {1} over {2}]이 되도록 잡은 후, 점 [eqn: RMD]에서 점 [eqn: RMA]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선에 내린 수선의 발을 [eqn: RMD']이라 하면 점 [eqn: RMX]는 선분 [eqn: RMAD'] 위의 점이다.

따라서 [eqn: left |`` {vec{rm Q _{0} X}} ``right |]의 최댓값은 [eqn: RMX]가 [eqn: RMD']일 때 가지므로 [eqn: left |`` {vec{rm Q _{0} X}} ``right | ^{2}]의 최댓값은

[eqn: {bar{rm Q _{0} D'}} ^{ 2}][eqn: = {bar{rm Q _{0} D}} ^{ 2} + {bar{rm DD'}} ^{ 2}]
[eqn: = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {9} over {4} +8][eqn: = {41} over {4}]

따라서 [eqn: p =4 ,````q=41]이므로 [eqn: p+q=4+41=45]

[eqn: left |`` {vec{rm AP}} ``right | =1 ,```` left |`` {vec{rm BQ}} ``right | =2 ,```` {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm OC}} GEQ {sqrt {2}} over {2}]

를 만족시킬 때, [eqn: {vec{rm AP}} BULLET {vec{rm AQ}}]의 값이 최소가 되도록 하는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]를 각각 [eqn: RMP _{0} ,```` Q _{0}]이라 하자.

선분 [eqn: RMAP _{0}] 위의 점 [eqn: RMX]에 대하여 [eqn: {vec{rm BX}} BULLET {vec{rm BQ _{0}}} GEQ 1]일 때, [eqn: left |`` {vec{rm Q _{0} X}} ``right | ^{2}]의 최댓값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 30

좌표평면 위의 세 점 [eqn: rm A LEFT ( 6,``0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 2,``6 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( it k,``-2k RIGHT )][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT ) `]과 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 내부 또는 변 위의 점 [eqn: rm P`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

점 [eqn: rmP left(itx,``y right)]라 하면 조건 (가)에서

[eqn: 5left(4,``-6right)bullet left(x,``y right)-left(2,``6right)bullet left(x-6,``y right)=left(6,``0right)bullet left(2,``6right)]

[eqn: 20x-30y-2x+12-6y=12]

[eqn: therefore][eqn: y= 1over2 x]

위의 그림과 같이 직선 [eqn: rmAB]와 [eqn: y= 1over2 x]의 교점을 [eqn: rmD]라 하자.

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은 [eqn: y=it- 3over2 left(x-6right)= it- 3over2 x+9]

직선 [eqn: y= 1over2 x]와 연립하면 [eqn: x= 9over2], [eqn: y= 9over4]이므로 [eqn: rmD left(9over2 ,``9over4 right)]이다.

직선 [eqn: rmBC]와 직선 [eqn: y= 1over2 x]의 교점을 [eqn: rmE]라 하면 점 [eqn: rmP]의 자취는 선분 [eqn: rmDE]와 같다.

점 [eqn: rmP]의 자취의 길이가 [eqn: root5]이므로 [eqn: rmbarDE =root5]이고, 두 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: 1over2]이므로 [eqn: rmE left(5over2 ,``5over4 right)]이다.

세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmE], [eqn: rmC]가 일직선 위에 있으므로

[eqn: {-2k-6}overk-2 ={- 19over4}over{1over2}], [eqn: k= 10over3]

[eqn: therefore][eqn: rmC left(10over3 ,``- 20over3 right)]

점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``a over2 RIGHT )]라 하면 [eqn: 5over2 le a le 9over2]이고

[eqn: rmvecOA bullet vecCP][eqn: =left(6,``0right)bullet left(a- 10over3 ,``a over2 + 20over3 right)]
[eqn: =6a-20]

따라서 [eqn: a= 9over2]일 때, [eqn: 6a-20]의 최댓값은 [eqn: 7]이므로 [eqn: rmvecOA bullet vecCP]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

(가) [eqn: 5 rm vec{BA} BULLET vec{OP} - vec{OB} BULLET vec{AP} = vec{OA} BULLET vec{OB}]

(나) 점 [eqn: rm P`]가 나타내는 도형의 길이는 [eqn: sqrt {5} `]이다.

[eqn: rm vec{OA} BULLET vec{CP} `]의 최댓값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

07 기하	07 평면벡터의내적
03 내적의 활용
05 내적의 Mm3 (벡터의 분할)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 30

평면 위에

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: rmE]라 하자.

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}][eqn: = {vec{rm OC}} BULLET LEFT ( {vec{rm OE}} + {vec{rm EP}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm OC it}} BULLET {vec{rm OE it}} + {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]

[eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OE}}]의 값은 일정하므로 [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]의 값이 최대일 때, [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}]의 값이 최대이다.

두 벡터 [eqn: {vec{rm OC}}], [eqn: {vec{rm EP}}]의 방향이 같을 때, [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm EP}}]의 값이 최대이다.

두 벡터 [eqn: {vec{rm OC}}], [eqn: {vec{rm EP}}]의 방향이 같을 때의 점 [eqn: rmP]가 [eqn: rmQ]이다.

선분 [eqn: rmQE]가 선분 [eqn: rmOA]와 만나는 점을 [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: ANGLE rm EFA][eqn: = {pi} over {3}], [eqn: {bar{rm AE}}][eqn: =2]이므로

[eqn: {bar{rm FE}}][eqn: = {4 sqrt {3}} over {3}], [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm OF}}][eqn: = {bar{rm OA it}} - {bar{rm FA it}}][eqn: =2+ {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm FQ}}][eqn: = {bar{rm FE}} + {bar{rm EQ}}][eqn: =2+ {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rm OF}}][eqn: = {bar{rm FQ}}]이므로 [eqn: ANGLE rm OQF][eqn: = {pi} over {6}]

그러므로 [eqn: {bar{rm DQ}}][eqn: =2 sqrt {3}]

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}][eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET LEFT ( {vec{rm AE}} + {vec{rm ER}} RIGHT )]
[eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}} + {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

두 벡터 [eqn: {vec{rm DQ}}], [eqn: {vec{rm AE}}]가 이루는 각의 크기는 [eqn: {pi} over {3}]

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}}][eqn: =2 sqrt {3} TIMES 2 TIMES cos {pi} over {3}][eqn: =2 sqrt {3}]

두 벡터 [eqn: {vec{rm DQ}}], [eqn: {vec{rm ER}}]의 방향이 같을 때, [eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]의 값이 최대이므로

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}][eqn: LEQ 2 sqrt {3} TIMES 2][eqn: =4 sqrt {3}]

㉠에 의하여

[eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}][eqn: = {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AE}} + {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm ER}}]
[eqn: LEQ 2 sqrt {3} +4 sqrt {3}]
[eqn: =6 sqrt {3}]

따라서 [eqn: M][eqn: =6 sqrt {3}]이므로 [eqn: M ^{2}][eqn: =108]

[eqn: {{bar{rm OA}}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =2+2 sqrt {3}], [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =4],
[eqn: ANGLE rm COA][eqn: = {pi} over {3}], [eqn: ANGLE rm A][eqn: = ANGLE rm B][eqn: = {pi} over {2}]

를 만족시키는 사다리꼴 [eqn: rmOABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: {vec{rm OC}} BULLET {vec{rm OP}}]의 값이 최대가 되도록 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: rmQ]라 할 때, 직선 [eqn: rmOQ]가 원과 만나는 점 중 [eqn: rmQ]가 아닌 점을 [eqn: rmD]라 하자. 원 위의 점 [eqn: rmR]에 대하여 [eqn: {vec{rm DQ}} BULLET {vec{rm AR}}]의 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: M ^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 29

평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: rm 6]인 정삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 무게중심 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{OD}} it }}={3} over {2} {vec{{rm{OB}} it }}-{1} over {2} {vec{{rm{OC}} it }}]를 만족시키는 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{CD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: |2 {vec{{rm{PA}} it }}+{vec{{rm{PD}} it }}|]의 값이 최소가 되도록 하는 점 [eqn: {rm{P}} it]를 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: |{vec{{rm{OR}} it }}|=|{vec{{rm{OA}} it }}|]를 만족시키는 점 [eqn: {rm{R}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}]의 최댓값이 [eqn: p+q sqrt{93}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이다.)

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: {vec{{rm{OD}} it }}={3 {rm{OB}} it -{rm{OC}} it } over {3-1}]이므로 점 [eqn: {rm{D}} it]는 선분 [eqn: {rm{CB}} it]를 [eqn: 3: 1]로 외분하는 점이다.

선분 [eqn: {rm{DA}} it]를 [eqn: 2: 1]로 내분하는 점을 [eqn: G]라 하면 [eqn: |2 {vec{{rm{PA}} it }}+{vec{{rm{PD}} it }}|=3|{vec{{rm{PG}} it }}|]이므로 선분 [eqn: {rm{PG}} it]의 길이가 최소일 때 [eqn: |2 {vec{{rm{PA}} it }}+{vec{{rm{PD}} it }}|]가 최소이다.

그러므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 점 [eqn: {rm{G}} it]에서 선분 [eqn: {rm{CD}} it]에 내린 수선의 발이다.

점 [eqn: {rm{A}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{DH}} it }=6][eqn: overline{{rm{QH}} it }={1} over {3} overline{{rm{DH}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AH}} it }=3 sqrt{3}]이므로 [eqn: overline{{rm{QA}} it }= sqrt{2^{2}+(3 sqrt{3})^{2}}= sqrt{31}]

[eqn: overline{{rm{OA}} it }={2} over {3} times 3 sqrt{3}=2 sqrt{3}]

정삼각형은 무게중심과 외심이 같으므로 점 [eqn: {rm{R}} it]는 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원 위의 점이다.

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}][eqn: ={vec{{rm{QA}} it }} BULLET ({vec{{rm{QO}} it }}+{vec{{rm{OR}} it }})]
[eqn: =({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }})+({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }})]

두 벡터 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }}], [eqn: {vec{{rm{QO}} it }}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta_{1} left(0 leq theta_{1} leq pi right)]라 하자.

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }}=|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{QO}} it }}| cos theta_{1}]

점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{QA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하자.

두 삼각형 [eqn: {rm{AIO}} it], [eqn: {rm{AHQ}} it]가 서로 닮음이므로
[eqn: overline{{rm{AI}} it }: overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{OA}} it }: overline{{rm{QA}} it }]

[eqn: overline{{rm{AI}} it }: 3 sqrt{3}=2 sqrt{3}: sqrt{31}]

[eqn: overline{{rm{AI}} it }={18} over { sqrt{31}}={18 sqrt{31}} over {31}]

[eqn: overline{{rm{QI}} it }= overline{{rm{QA}} it }- overline{{rm{AI}} it }= sqrt{31}-{18 sqrt{31}} over {31}={13 sqrt{31}} over {31}]

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }}][eqn: =|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{QO}} it }}| cos theta_{1}]
[eqn: =|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{QI}} it }}|]
[eqn: = sqrt{31} times {13 sqrt{31}} over {31}=13]

두 벡터 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }}], [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta_{2} left(0 leq theta_{2} leq pi right)]라 하자.

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }}][eqn: =|{vec{{rm{QA}} it }}||{vec{{rm{OR}} it }}| cos theta_{2}]
[eqn: = sqrt{31} times 2 sqrt{3} times cos theta_{2}]

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }}]의 값은 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }}]와 [eqn: {vec{{rm{OR}} it }}]가 방향이 같을 때 최대이다.

그러므로 [eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }}]의 최댓값은 [eqn: sqrt{31} times 2 sqrt{3} times cos 0=2 sqrt{93}][eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}][eqn: =({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QO}} it }})+({vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{OR}} it }})]
[eqn: leq 13+2 sqrt{93}]

[eqn: {vec{{rm{QA}} it }} BULLET {vec{{rm{QR}} it }}]의 최댓값은 [eqn: 13+2 sqrt{93}]
[eqn: p=13], [eqn: q=2]

따라서 [eqn: p+q=15]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 28

그림과 같이 한 평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: rm 4]이고 중심각의 크기가 [eqn: 120 DEG]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]와 중심이 [eqn: {rm{C}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 [eqn: C`]가 있고, 세 벡터 [eqn: {vec{{rm{OA}} it }}], [eqn: {vec{{rm{OB}} it }}], [eqn: {vec{{rm{OC}} it }}]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {vec{{rm{OB}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=0]에서 [eqn: angle {rm{COB}} it =90 DEG], [eqn: angle {rm{AOC}} it =30 DEG]

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=|{vec{{rm{OA}} it }}| times|{vec{{rm{OC}} it }}| times cos 30 DEG =2 sqrt{3} times|{vec{{rm{OC}} it }}|]

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=24]에서 [eqn: |{vec{{rm{OC}} it }}|=4 sqrt{3}]

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}][eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET ({vec{{rm{OQ}} it }}-{vec{{rm{OP}} it }})]
[eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}-|{vec{{rm{OP}} it }}|^{2}]
[eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}-16]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }}]와 [eqn: {vec{{rm{OC}} it }}]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: 0 DEG leq theta leq 90 DEG]이고

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}][eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET ({vec{{rm{OC}} it }}+{vec{{rm{CQ}} it }})]
[eqn: ={vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}+{vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{CQ}} it }}]
[eqn: =16 sqrt{3} cos theta+{vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{CQ}} it }}]

[eqn: theta=0 DEG]이고 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{OP}} it }}], [eqn: {vec{{rm{CQ}} it }}]의 방향이 같을 때,

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}]의 값이 최대이므로

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }} leq 16 sqrt{3}+4]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: theta=90 DEG]이고 두 벡터 [eqn: {vec{{rm{OP}} it }}], [eqn: {vec{{rm{CQ}} it }}]의 방향이 반대일 때,

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }}]의 값이 최소이므로

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{OQ}} it }} geq-4]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: -4-16 leq {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }} leq 16 sqrt{3}+4-16]

[eqn: M=16 sqrt{3}-12], [eqn: m=-20]

따라서 [eqn: M+m=16 sqrt{3}-32]

[eqn: {vec{{rm{OA}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=24], [eqn: {vec{{rm{OB}} it }} BULLET {vec{{rm{OC}} it }}=0]

을 만족시킨다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]와 원 [eqn: C] 위를

움직이는 점 [eqn: {rm{Q}} it]에 대하여 [eqn: {vec{{rm{OP}} it }} BULLET {vec{{rm{PQ}} it }}]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

① [eqn: 12 sqrt{3}-34]	② [eqn: 12 sqrt{3}-32]	③ [eqn: 16 sqrt{3}-36]

④ [eqn: 16 sqrt{3}-34]	⑤ [eqn: 16 sqrt{3}-32]

07 기하	08 평면벡터와도형의방정식
01 직선의 방정식
05 직선의 방정식의 활용1 (두 직선이 이루는 각)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 25

좌표평면에서 두 직선 [eqn: x+1 over 2 = 3-y ,~ x - 2 = 1-y over 2]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: cos theta`]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

직선 [eqn: x+1 over 2 = 3-y]의 방향벡터는 [eqn: vec u =( 2,~-1 )]

직선 [eqn: x - 2 = 1-y over 2]의 방향벡터는 [eqn: vec v =( 1,~-2 )]

[eqn: cos theta = {|` vec u bullet vec v `|} over {|` vec u ` |` | ` vec v `|}]

[eqn: = {| ` 2 times 1 +(-1) times (- 2)`|} over { root { 2^2 +(-1)^2 } root { 1 ^2 +(-2 )^2 }} = 4 over 5]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 3 over 5]	③ [eqn: 2 over 3]

④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 4 over 5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 25

좌표평면에서 두 직선

[정답] ②

[해설]

두 직선

[eqn: {x-3} over {4}={y-5} over {3}], [eqn: x-1={2-y} over {3}]

즉,

[eqn: {x-3} over {4}={y-5} over {3}], [eqn: x-1={y-2} over {-3}]

의 방향벡터를 각각 [eqn: {vec{d_{1}}}], [eqn: {vec{d_{2}}}]라 하면

[eqn: {vec{d_{1}}}=(4,``3)]

[eqn: {vec{d_{2}}}=(1,``-3)]

따라서

[eqn: cos theta][eqn: ={ left|{vec{d_{1}}} BULLET {vec{d_{2}}} right|} over { left|{vec{d_{1}}} right| left|{vec{d_{2}}} right|}]
[eqn: ={|4 times 1+3 times(-3)|} over { sqrt{4^{2}+3^{2}} sqrt{1^{2}+(-3)^{2}}}]
[eqn: ={5} over {5 sqrt{10}}]
[eqn: ={ sqrt{10}} over {10}]

[eqn: {x-3} over {4}={y-5} over {3}], [eqn: ~ x-1={2-y} over {3}]

가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: cos theta]의 값은?

① [eqn: { sqrt{11}} over {11}]	② [eqn: { sqrt{10}} over {10}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: { sqrt{2}} over {4}]	⑤ [eqn: { sqrt{7}} over {7}]

07 기하	08 평면벡터와도형의방정식
01 직선의 방정식
07 직선의 방정식의 활용3 (직선 위의 점의 매개변수 표현)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 25

점 [eqn: rmA{LEFT ( 2 ,```` 6 RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]과 직선 [eqn: l ``:`` {x-5} over {2} =y-5] 위의 한 점 [eqn: rmP]에 대하여 벡터 [eqn: {vec{rm AP}}]와 직선 [eqn: l]의 방향벡터가 서로 수직일 때, [eqn: left |`` {vec{rm OP}} ``right |]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )]라 하면 [eqn: {a-5} over {2}][eqn: =b-5]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: {vec{rm AP}}][eqn: = LEFT ( a-2 ,```` b-6 RIGHT )]

직선 [eqn: l]의 방향벡터는 [eqn: {vec{u}}][eqn: = LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )]

두 벡터 [eqn: {vec{rm AP}}]와 [eqn: {vec{u}}]는 서로 수직이므로 [eqn: {vec{rm AP it}} BULLET {vec{u}}][eqn: =0]

즉, [eqn: 2 LEFT ( a-2 RIGHT ) + LEFT ( b-6 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: b][eqn: = it -2a+10]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=3 ,```` b=4]

따라서 [eqn: left |`` {vec{rm OP}} ``right |][eqn: = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}][eqn: =5]

① [eqn: 3]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 6]

07 기하	08 평면벡터와도형의방정식
02 원의 방정식
01 원의 방정식1 (반지름 표현)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 25

좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA(1 ,```` 2) ,```` rmB(-3 ,```` 5)]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: left |`` it {vec{rm OP it}} - {vec{rm OA}} ``right | = left |`` {vec{rm AB it}} it ``right |]의 양변을 제곱하면

[eqn: left |`` it {vec{rm OP it}} - {vec{rm OA it}} it ``right | ^{2} = left |`` {vec{rm AB it}} it ``right | ^{2}]

즉, [eqn: left |`` it {vec{rm OP it}} it ``right | ^{2} + left |`` it {vec{rm OA it}} it ``right | ^2 -2 vec{rm OP} bullet vec{rm OA}][eqn: = left |`` {vec{rm AB it}} it ``right | ^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

두 점 [eqn: rmA(1 ,```` 2) ,```` rmB(-3 ,```` 5)]에 대하여 구하고자 하는 점 [eqn: rmP]를 [eqn: {rmP}(x ,```` y)]라 하고 ㉠에 대입하면

[eqn: left ( x^2 +y^2 right )+ left ( 1^2 +2^2 right ) -2(x times 1 +2 times y)]

[eqn: = left { 1-(-3) right } ^2 +(2-5)^2],

[eqn: x^2 +y^2 -2x-4y -20=0],

[eqn: (x-1)^2 +(y-2)^2 =25]

따라서 점 [eqn: rmP]는 [eqn: (1 ,```` 2)]를 원의 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 5]인 원이다.

따라서 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 길이는 원 둘레의 길이이므로

[eqn: 2pi cdot 5 =][eqn: 10pi]

[eqn: left |`` it {vec{rm OP it}} - {vec{rm OA}} ``right | = left |`` {vec{rm AB it}} it ``right |]

를 만족시키는 점 [eqn: rmP]가 나타내는 도형의 길이는?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: 10 pi]	② [eqn: 12pi]	③ [eqn: 14pi]

④ [eqn: 16pi]	⑤ [eqn: 18pi]

07 기하	08 평면벡터와도형의방정식
02 원의 방정식
02 원의 방정식2 (지름의 양끝점)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 25

좌표평면에서 두 점 [eqn: {rm{A}} it (-2,``0)], [eqn: {rm{B}} it (3,``3)]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }}=(x,`` y)]라 하자.

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }}=(x+2,`` y)]

[eqn: {vec{{rm{OP}} it }}-2 {vec{{rm{OB}} it }}=(x-6,`` y-6)]

[eqn: ({vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }}) BULLET ({vec{{rm{OP}} it }}-2 {vec{{rm{OB}} it }})=0]에서

[eqn: (x+2,`` y) cdot(x-6,`` y-6)=0]

[eqn: (x+2)(x-6)+y(y-6)=0]

[eqn: x^{2}-4 x-12+y^{2}-6 y=0]

[eqn: (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=25]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 나타내는 도형은 중심이 [eqn: (2,``3)]이고

반지름의 길이가 [eqn: rm 5]인 원이다.

따라서 구하는 도형의 길이는 [eqn: 10 pi]

[eqn: ({vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }}) BULLET ({vec{{rm{OP}} it }}-2 {vec{{rm{OB}} it }})=0]

을 만족시키는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 나타내는 도형의 길이는? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: 6 pi]	② [eqn: 7 pi]	③ [eqn: 8 pi]

④ [eqn: 9 pi]	⑤ [eqn: 10 pi]

07 기하	08 평면벡터와도형의방정식
02 원의 방정식
03 원의 방정식3 (원과 접선)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 26

좌표평면 위의 점 [eqn: {rm{A}} it (3,``0)]에 대하여

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표를 [eqn: (x,`` y)]라 하자.

그러면 [eqn: {vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }}=(x-3,`` y)]

[eqn: ({vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }}) BULLET ({vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }})=(x-3)^{2}+y^{2}=5]

즉 점 [eqn: {rm{P}} it]가 나타내는 도형은 중심이 [eqn: (3,``0)]이고 반지름이 [eqn: sqrt{5}]인 원이다.

이 도형과 직선이 접하므로

점 [eqn: (3,``0)]에서 직선 [eqn: x-2 y+2 k=0]에 이르는 거리가

반지름의 길이인 [eqn: sqrt{5}]와 같다.

[eqn: {|3+2 k|} over { sqrt{5}}= sqrt{5}]

[eqn: ``RARROW``|3+2 k|=5]

[eqn: ``RARROW`` 3+2 k=5] 또는 [eqn: 3+2 k=-5]

[eqn: ``RARROW`` k=1] 또는 [eqn: k=-4]

[eqn: therefore~k=1( because k]는 양수 [eqn: )]

[eqn: ({vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }}) BULLET ({vec{{rm{OP}} it }}-{vec{{rm{OA}} it }})=5]

를 만족시키는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 나타내는 도형과 직선 [eqn: y={1} over {2} x+k]가 오직 한 점에서 만날 때, 양수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {4} over {5}]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: {6} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {5}]

[기하] [02벡터] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
기벡 3개년	2022.12.29

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 115]

[정답] ④

[정답] [eqn: 8]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: bold37]

[정답] ④

[정답] [eqn: 100]

[정답] ②

[정답] [eqn: rm 17]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: bold { 48 }]

[정답] [eqn: bold { 45 }]

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[정답] [eqn: 15]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[기하] [02벡터] 교사평경 최근 3개년(해설)
기벡 3개년	2022.12.29