		기벡 3개년	2022.12.29
교사평경3	01	[기하] [01이차곡선] 교사평경 최근 3개년

07 기하	01 포물선
01 포물선의 방정식
03 포물선의 방정식3 (방정식과 초점 또는 준선 조건)

교사평경3		기벡 3개년
01		[기하] [01이차곡선] 교사평경 최근 3개년

	기벡 3개년		교사평경3
	[기하] [01이차곡선] 교사평경 최근 3개년		01

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 25

꼭짓점이 점 [eqn: LEFT ( -1,``0 RIGHT ) `]이고 준선이 직선 [eqn: x=it-3`]인 포물선의 방정식이 [eqn: y ^{2} =ax+b`]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은?

[정답] ②

[해설]

꼭짓점이 점 [eqn: LEFT ( -1,``0 RIGHT ) `]이고 준선이 직선 [eqn: x=it-3`]인 포물선의 초점은 [eqn: LEFT ( 1,``0 RIGHT ) `]이므로 구하는 포물선은 포물선 [eqn: y^2 =8x`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 구하는 포물선의 방정식은

[eqn: y^2 =8left(x+1 right)], 즉 [eqn: y ^{2} =8x+8]

[eqn: a=8], [eqn: b=8`]이므로
[eqn: a+b=16]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 24

초점이 [eqn: rm F it LEFT ( {1} over {3} ,`` 0 RIGHT )]이고 준선이 [eqn: x=`- {1} over {3}]인 포물선이 점 [eqn: LEFT (a,`` 2 RIGHT )]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

초점이 점 [eqn: {rm{F}} it left({1} over {3},`` 0 right)]이고 준선이 직선 [eqn: x=`-{1} over {3}]인 포물선의 방정식은    [eqn: y^{2}={4} over {3} x]

이 포물선 위에 점 [eqn: (a,`` 2)]가 있으므로

[eqn: 2^{2}={4} over {3} times a]

[eqn: therefore] [eqn: a=3]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
01 정의 활용1 (초점, 포물선 위의 점을 이은 선분 관련)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 28

자연수 [eqn: n`]에 대하여 초점이 [eqn: rm F `]인 포물선 [eqn: y ^{2} =2x] 위의 점 [eqn: rmP _{itn}]이 [eqn: rm {bar{FP _{it n rm}}} =it 2n`]을 만족시킬 때, [eqn: sum _{it n=1} ^{8} {bar{rm OP _{it n}}} ^{2}]의 값은?
(단, [eqn: rm O`]는 원점이고, 점 [eqn: RMP_{itn}`]은 제[eqn: 1`]사분면에 있다.)

[정답] ⑤

[해설]

포물선 [eqn: y^2 =2x`]의 초점은 [eqn: rm F LEFT ( {1} over {2} ,``0 RIGHT )]이고

준선은 직선 [eqn: x=it- {1} over {2}]이다.

점 [eqn: rmP _{it`n}]에서 직선 [eqn: x=it- {1} over {2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH _{it`n}]이라 하자.

포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm {bar{P _{it n rm} rm H _{it `n rm}}} = {bar{rm FP _{it n rm}}} =it 2n`]

이므로 점 [eqn: rmP _{it n}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2n- {1} over {2}]이다.

[eqn: y ^{2} =2 LEFT ( 2n- {1} over {2} RIGHT ) =4n-1]

에서 점 [eqn: rmP _{it n}]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: sqrt {4n-1}]이다.

따라서 점 [eqn: rmP _{it n}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2n- {1} over {2} ,`` sqrt {4n-1} RIGHT )]이고

[eqn: rm {bar{OP _{it n}}}][eqn: = sqrt {LEFT ( 2n- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {4n-1} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 4n ^{2} -2n+ {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( 4n-1 RIGHT )}]
[eqn: = sqrt {4n ^{2} +2n- {3} over {4}}]

따라서

[eqn: sum _{it n=1} ^{8} {bar{rm OP _{it n}}} ^{2}][eqn: = sum _{n=1} ^{8} LEFT ( 4n ^{2} +2n- {3} over {4} RIGHT )]
[eqn: =4` TIMES ` {8` TIMES `9` TIMES `17} over {6} +`2` TIMES ` {8` TIMES `9} over {2} -8` TIMES {3} over {4}]
[eqn: =882]

① [eqn: 874]	② [eqn: 876]	③ [eqn: 878]

④ [eqn: 880]	⑤ [eqn: 882]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 26

그림과 같이 꼭짓점이 원점 [eqn: rmO]이고 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( p,~0 RIGHT )]([eqn: p>0])인 포물선이 있다. 포물선 위의 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmB,~C]라 하자. [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = it 8]이고 사각형 [eqn: rmOFAC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rmFBA]의 넓이의 비가 [eqn: 2``:``1]일 때, 삼각형 [eqn: rmACF]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rmA]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이고, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: p]보다 크다.)

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rmA]에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

포물선의 정의에 의해 [eqn: {bar{rm HA}}][eqn: = it {bar{rmFA}}][eqn: =8]

[eqn: {bar{rm CA}}][eqn: = {bar{rm HA}} - {bar{rm HC}}][eqn: =8-p]

[eqn: {bar{rm FB}}][eqn: = {bar{rm OB}} - {bar{rm OF}}][eqn: =8-2p]

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =h]라 하면

사다리꼴 [eqn: rmOFAC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT { LEFT ( 8-p RIGHT ) +p RIGHT } TIMES h][eqn: =4h]

직각삼각형 [eqn: rmFBA]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( 8-2p RIGHT ) TIMES h][eqn: = LEFT ( 4-p RIGHT ) h]

[eqn: 4h``:`` LEFT ( 4-p RIGHT ) h][eqn: =2``:``1]이므로 [eqn: p][eqn: =2]

[eqn: {bar{rm FB}}][eqn: =4]이므로 직각삼각형 [eqn: rmFBA]에서

[eqn: h][eqn: = sqrt {8 ^{2} -4 ^{2}}][eqn: =4 sqrt {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rmACF]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4 sqrt {3}][eqn: =12 sqrt {3}]

① [eqn: {27} over {2}]	② [eqn: 9 sqrt {3}]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 12 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 24]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 29

그림과 같이 꼭짓점이 원점 [eqn: rm O`]이고 초점이 [eqn: rm F it LEFT ( p,`` 0 RIGHT )][eqn: LEFT ( p >0 RIGHT ) `]인 포물선이 있다. 포물선 위의 점 [eqn: rm P], [eqn: x`]축 위의 점 [eqn: rm Q], 직선 [eqn: x=p] 위의 점 [eqn: rm R`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PQR`]는 정삼각형이고 직선 [eqn: rm PR`]는 [eqn: x`]축과 평행하다. 직선 [eqn: rm PQ `]가 점 [eqn: rm S it LEFT ( -p,`` root 21 RIGHT ) `]을 지날 때, [eqn: rm bar QF = it {a +b root 7} over 6 `]이다. [eqn: a+b `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a`]와 [eqn: b`]는 정수이고, 점 [eqn: rm P`]는 제[eqn: `1`]사분면 위의 점이다.)

[정답] [eqn: 6`]

[해설]

그림에서 [eqn: sqrt21 t + sqrt3 t = sqrt21]이므로

[eqn: t = sqrt7 over{ sqrt7 +1][eqn: = { 7 - sqrt7 } over6], [eqn: THEREFORE][eqn: a+b = 6]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 26

초점이 [eqn: {rm F}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 포물선 [eqn: y^2 = 4px]위의 한 점 [eqn: rm A]에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B]라 하고, 선분 [eqn: rm BF]와 포물선이 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하자. [eqn: rm bar AB = bar BF]이고 [eqn: rm bar BC + 3 bar CF = 6]일 때, 양수 [eqn: p]의 값은?

[정답] ③

[해설]

두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm C]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_1], [eqn: x_2]라 하면

[eqn: rm bar AB = it x_1 + p]

이때, [eqn: rm bar AB = bar BF]이므로

[eqn: rm bar BF = it x_1 + p]	[eqn: cdots cdots] ㉠

한편, 점 [eqn: rm C]에서 포물선의 점근선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm C']이라 하면

[eqn: rm bar CF = bar CC' = it x_2 + p]	[eqn: cdots cdots] ㉡

이때, [eqn: rm bar BC + 3 bar CF = 6]이므로 ㉠과 ㉡에서

[eqn: rm bar BC + 3 bar CF][eqn: = rm bar BF + 2 bar CF]
[eqn: = ( x_1 + p ) + 2 ( x_2 + p )]
[eqn: = x_1 + 2 x_2 + 3 p]
[eqn: = 6]	[eqn: cdots cdots] ㉢

한편, [eqn: rm bar AB = bar BF]이고 포물선의 정의에 의해 [eqn: rm bar AF = bar AB]이므로 삼각형 [eqn: rm ABF]는 정삼각형이다. 그러므로 [eqn: rm angle OFB = 60°]

이때, [eqn: rm bar BF cos 60° = 2itp], [eqn: rm bar CF cos 60° = itp - x_2]이므로

[eqn: ( x_1 + p ) times 1 over 2 = 2p], [eqn: ( x_2 + p ) times 1 over 2 = p - x_2]

즉, [eqn: x_1 = 3p], [eqn: x_2 = 1 over 3 p]	[eqn: cdots cdots] ㉣

㉣을 ㉢에 대입하면

[eqn: 3p + 2 over 3 p + 3p = 6], [eqn: 20 over 3 p = 6]

따라서 [eqn: p = 9 over 10]

① [eqn: 7 over 8]	② [eqn: 8 over 9]	③ [eqn: 9 over 10]

④ [eqn: 10 over 11]	⑤ [eqn: 11 over 12]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 23

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y^{2}=8 x] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]와 [eqn: y]축 사이의 거리가 [eqn: rm 3]일 때, 선분 [eqn: {rm{PF}} it]의 길이는?

[정답] ②

[해설]

포물선 [eqn: y^{2}=8 x]의 준선의 방정식은 [eqn: x=-2]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]와 [eqn: y]축 사이의 거리가 [eqn: rm 3]이므로 점 [eqn: {rm{P}} it]와 준선 사

이의 거리는 [eqn: 2+3=5]

따라서 [eqn: overline{{rm{PF}} it }=5]

① [eqn: rm 4]	② [eqn: rm 5]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 8]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 27

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y^{2}=4 p x(p>0)] 위의 점 중 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 준선에 내린 수선의 발 [eqn: {rm{H}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{FH}} it]가 포물선과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: p]의 값은?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 포물선의 준선 [eqn: x=-p]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it `prime]이라 하면 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 포물선 위의 점이므로 [eqn: overline{{rm{QF}} it }= overline{{rm{QH}} it `prime }]

조건 (가)에서 [eqn: overline{{rm{QF}} it }: overline{{rm{QH}} it }=1: 2]이므로 [eqn: cos ( angle {rm{HFO}} it )= cos left( angle {rm{HQH}} it `prime right)={ overline{{rm{QH}} it `prime }} over { overline{{rm{QH}} it }}={1} over {2}]

그러므로 [eqn: angle {rm{HFO}} it =60 DEG]

[eqn: overline{{rm{PH}} it } ⫽ overline{{rm{OF}} it }]이므로 [eqn: angle {rm{PHF}} it = angle {rm{HFO}} it =60 DEG]

이때 삼각형 [eqn: {rm{PHF}} it]는 [eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{PH}} it }]인 이등변삼각형이므로

[eqn: angle {rm{PFH}} it = angle {rm{PHF}} it =60 DEG]

[eqn: angle {rm{FPH}} it =180 DEG - left(60 DEG +60 DEG right)=60 DEG]이므로

삼각형 [eqn: {rm{PHF}} it]는 정삼각형이다.

이때 초점 [eqn: {rm{F}} it]의 좌표가 [eqn: (p,`` 0)]이므로

[eqn: overline{{rm{FH}} it }=4 p]

조건 (나)에서 삼각형 [eqn: {rm{PQF}} it]의 넓이는 정삼각형 [eqn: {rm{PHF}} it]

의 넓이의 [eqn: {1} over {3}]이므로

[eqn: {1} over {3} times { sqrt{3}} over {4} times(4 p)^{2}={8 sqrt{3}} over {3}], [eqn: p^{2}=2]

따라서 [eqn: p>0]이므로 [eqn: p= sqrt{2}]

(가) 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 선분 [eqn: {rm{FH}} it]를 [eqn: 1: 2]로 내분한다.

(나) 삼각형 [eqn: {rm{PQF}} it]의 넓이는 [eqn: {8 sqrt{3}} over {3}]이다.

① [eqn: sqrt{2}]	② [eqn: sqrt{3}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: sqrt{5}]	⑤ [eqn: sqrt{6}]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
02 정의 활용2 (초점을 지나는 직선 관련)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 28

그림과 같이 좌표평면에서 포물선 [eqn: {y ^{2}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =4x]의 초점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: x]축과 수직인 직선 [eqn: l _{1}]이 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하고, 점 [eqn: rmF]를 지나고 기울기가 [eqn: m][eqn: LEFT ( m>0 RIGHT )]인 직선 [eqn: l _{2}]가 이 포물선과 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmC ,```` D]라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: ANGLE rm AFC][eqn: = ANGLE rm DFB]이고 [eqn: {bar{rm FA}}][eqn: = {bar{rm FB it}}]이다.

삼각형 [eqn: rmFCA]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmFDB]의 넓이의 [eqn: 5]배이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm FA}} TIMES {bar{rm FC}} TIMES sin LEFT ( ANGLE rm AFC RIGHT )]

[eqn: =5 TIMES {1} over {2} TIMES {bar{rm FB}} TIMES {bar{rm FD}} TIMES sin LEFT ( ANGLE rm DFB RIGHT )]

[eqn: {bar{rm FC}}][eqn: =5 {bar{rm FD}}]

두 점 [eqn: rmC ,```` D]에서 이 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmP ,```` Q]라 하고, 점 [eqn: rmC]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 직선 [eqn: rmQD]가 만나는 점을 [eqn: {rm R]라 하자.

[eqn: {bar{rm FD}}][eqn: =s]라 하면 [eqn: {bar{rm QD}}][eqn: = {bar{rm FD}}][eqn: =s], [eqn: {bar{rm PC}}][eqn: = {bar{rm FC it}}][eqn: =5s]

[eqn: {bar{rm DR}}][eqn: = {bar{rm QR}} - {bar{rm QD}}][eqn: =4s], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: =6s]에서

[eqn: {bar{rm CR}}][eqn: =2 sqrt {5} s]

따라서 [eqn: m][eqn: = {{bar{rm CR}}} over {{bar{rm DR}}}][eqn: = it {2 sqrt {5} s} over {4s}][eqn: = {sqrt {5}} over {2}]

삼각형 [eqn: rmFCA]의 넓이가 삼각형 [eqn: rmFDB]의 넓이의 [eqn: 5]배일 때, [eqn: m]의 값은? (단, 두 점 [eqn: rmA ,```` C]는 제 [eqn: 1]사분면 위의 점이고, 두 점 [eqn: rmB ,```` D]는 제 [eqn: 4]사분면 위의 점이다.)

① [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {6}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {7}} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 28

점 [eqn: rm F`]를 초점으로 하고 직선 [eqn: l`]을 준선으로 하는 포물선이 있다. 포물선 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]와 점 [eqn: rm F`]를 지나는 직선이 직선 [eqn: l`]과 만나는 점을 [eqn: rm C`]라 하자. 두 점 [eqn: rm A,````B`]에서 직선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라 하고 점 [eqn: rm B`]에서 직선 [eqn: rm AH`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J`]라 하자. [eqn: {rm bar{BJ}} over {bar{rm BI}} = {2 sqrt {15}} over {3} `]이고 [eqn: rm bar{AB} =8 sqrt {5} `]일 때, 선분 [eqn: rm HC`]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rmbarBI =it3k]라 하면 [eqn: {rm bar{BJ}} over {bar{rm BI}} = {2 sqrt {15}} over {3} `]에서 [eqn: rmbarBJ =it2root15 k]

포물선의 정의에 의하여

[eqn: rmbarBI =barBF =it3k], [eqn: rmbarAF =barAH =8root5 -3itk]

[eqn: rmbarJH =it3k]이므로 [eqn: rmbarAJ =it8root5 -6k]

직각삼각형 [eqn: rmABJ]에서

[eqn: left(8root5 right)^2 =left(2root15 k right)^2 +left(8root5 -6k right)^2]

[eqn: 96k^2 -96root5 k=0], [eqn: 96k left(k-root5 right)=0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=root5]

따라서 [eqn: rmbarAJ =2root5], [eqn: rmbarBJ =10root3], [eqn: rmbarAH =5root5]이고 [eqn: triangle rmABJ]□[eqn: triangle rmACH]이므로

[eqn: rmbarAJ`:`barJB =barAH`:`barHC]

[eqn: 2root5`:`10root3 =5root5`:`rmbarHC]

[eqn: therefore][eqn: rmbarHC =25root3]

① [eqn: 21 sqrt {3}]	② [eqn: 22 sqrt {3}]	③ [eqn: 23 sqrt {3}]

④ [eqn: 24 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 25 sqrt {3}]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
04 정의 활용4 (최단거리 관련)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 27

점 [eqn: rm A it (6,``12)`]와 포물선 [eqn: y^{2}=4x] 위의 점 [eqn: rm P], 직선 [eqn: x= it -4] 위의 점 [eqn: rm Q`]에 대하여 [eqn: bar{ rm AP} + bar{ rm PQ}`]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

포물선 [eqn: y^{2} = 4x`]의 초점은 [eqn: {rm F}(1,`0)`]이다. 점 [eqn: rm P`]에서 직선 [eqn: x=it -4`]와 포물선의 준선 [eqn: x=it-1`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm R}], [eqn: rm S`]라 하면

[eqn: bar{ rm PR}=bar{ rm PS}+bar{ rm SR}=bar{ rm PS}+3`]
포물선의 정의에 의하여 [eqn: bar{ rm PS}= bar{ rm PF}`]이므로

[eqn: bar{ rm AP} + bar{ rm PQ}`][eqn: ge bar{ rm AP} + bar{ rm PR}]
[eqn: = bar{ rm AP} + bar{ rm PS} + 3]
[eqn: = bar{ rm AP} + bar{ rm PF} + 3]
[eqn: ge bar {rm AF}+3]
[eqn: = sqrt{5^2 +12^2 }+3]
[eqn: =16]

따라서 점 [eqn: rmP`]는 선분 [eqn: {rm AF}`]와 포물선 [eqn: y^{2} =4x`]가 만나는 점이고, 이 교점에서 직선 [eqn: x=it-4`]에 내린 수선의 발이 [eqn: rm Q`]일 때, [eqn: bar{ rm AP} + bar{ rm PQ}`]는 최솟값 [eqn: 16`]을 가진다.

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

07 기하	01 포물선
02 포물선의 정의 활용
05 정의 활용5 (두 포물선 관련)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 28

두 양수 [eqn: a,~p]에 대하여 포물선 [eqn: LEFT ( y-a RIGHT ) ^{2} =4px]의 초점을 [eqn: rmF _{1}]이라 하고, 포물선 [eqn: y ^{2} =it-4x]의 초점을 [eqn: rmF _{2}]라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: rmF _{1} ,~F _{2}]의 좌표가 각각 [eqn: rm F _{1} LEFT ( itp,~a RIGHT ) ,~ rm F _{2} LEFT ( -1,~0 RIGHT )]이고, [eqn: rm {bar{F _{1} F _{2}}} =3]이므로

[eqn: LEFT ( p+1 RIGHT ) ^{2} +a ^{2} =9]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

그림과 같이 점 [eqn: rmP]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선과 점 [eqn: rmQ]를 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자.

직선 [eqn: rmPQ]의 기울기는 직선 [eqn: rmF _{1} F _{2}]의 기울기와 같은 [eqn: {a} over {p+1}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmPQR]에서 양수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: rm {bar{PR}} =itat,~ rm {bar{QR}} =it LEFT ( p+1 RIGHT ) t]로 놓을 수 있다.

이때 [eqn: rm {bar{PQ}} =1]이므로 [eqn: a ^{2} t ^{2} + LEFT ( p+1 RIGHT ) ^{2} t ^{2} =1]에서

[eqn: t ^{2} = {1} over {a ^{2} + LEFT ( p+1 RIGHT ) ^{2}} = {1} over {9}]

즉, [eqn: t= {1} over {3}]

한편, 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]라 하면

[eqn: rm {bar{PF _{1}}} =itp+x _{1}], [eqn: rm {bar{QF _{2}}} =it1-x _{2}], [eqn: rm {bar{PF _{1}}} + {bar{QF _{2}}} =2]이고

[eqn: x _{1} -x _{2} = LEFT ( p+1 RIGHT ) t= {1} over {3} LEFT ( p+1 RIGHT )]이므로

[eqn: LEFT ( p+x _{1} RIGHT ) + LEFT ( 1-x _{2} RIGHT ) =2]에서

[eqn: p][eqn: =1- LEFT ( x _{1} -x _{2} RIGHT )]
[eqn: =1- {1} over {3} LEFT ( p+1 RIGHT )]

즉, [eqn: p= {1} over {2}]

㉠에서 [eqn: LEFT ( {1} over {2} +1 RIGHT ) ^{2} +a ^{2} =9]이므로 [eqn: a ^{2} = {27} over {4}]

따라서 [eqn: a ^{2} +p ^{2} = {27} over {4} + {1} over {4} =7]

선분 [eqn: rmF _{1} F _{2}]가 두 포물선과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 할 때, [eqn: rm {bar{F _{1} F _{2}}} =3], [eqn: rm {bar{PQ}} =1]이다. [eqn: a ^{2} +p ^{2}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: {25} over {4}]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: {27} over {4}]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 29

포물선 [eqn: y ^{2} =8x]와 직선 [eqn: y=2x-4]가 만나는 점 중 제 [eqn: 1]사분면 위에 있는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 양수 [eqn: a]에 대하여 포물선 [eqn: (y-2a) ^{2} =8(x-a)]가 점 [eqn: rmA]를 지날 때, 직선 [eqn: y=2x-4]와 포물선 [eqn: (y-2a) ^{2} =8(x-a)]가 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmB]라 하자. 두 점 [eqn: rmA ,```` B]에서 직선 [eqn: x=-2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmC ,```` D]라 할 때, [eqn: rm {bar{AC}} + {bar{BD}} - {bar{AB}} it=k]이다. [eqn: k ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[해설]

[eqn: y ^{2} =8x]와 [eqn: y=2x-4]의 교점을 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB']이고,

[eqn: y ^{2} =8x]와 [eqn: y=2x-4]을 연립하여 풀면

[eqn: LEFT ( 2x-4 RIGHT ) ^{2} =8x], [eqn: 4x ^{2} -24x+16=0]

[eqn: x ^{2} -6x+4=0]

이차방정식의 두 근을 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]라 하면 [eqn: x=3+- sqrt {5}]

따라서 [eqn: rmB']의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 3- sqrt {5}], [eqn: rmA]의 [eqn: x] 좌표는 [eqn: 3+ sqrt {5}]

그런데, 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]이 [eqn: x]축으로 [eqn: a]만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: 2a]만큼 평행이동한 포물선은 [eqn: (y-2a) ^{2} =8(x-a)]이고, 각각의 초점이 [eqn: rmF(2,````0)], [eqn: {rmF``'}(2+a ,````2a)]가 [eqn: y=2x-4]위에 있으므로 점 [eqn: rm B``']가 [eqn: x]축으로 [eqn: a]만큼 이동한 점이 [eqn: rmA]가 된다.

따라서 [eqn: a= (3+root5) -(3-root5 ) =2 root5]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, 포물선 정의에 의해서 [eqn: rm {bar{AC '}} = {bar{AF '}}], [eqn: rm {bar{BD prime }} = {bar{BF '}}]

그리고, [eqn: rm bar{DD``'][eqn: = rm bar{CC``'][eqn: =a]이므로

[eqn: {bar{rmAC}} + {bar{rmBD}} - {bar{rmAB}}]

[eqn: = rm bar{AC``'} + bar{CC``'} + bar{BD``'} + bar{DD``'} - bar{AB]

[eqn: = rm bar{AB} + bar{CC``'} + bar{DD``'} - bar{AB]
[eqn: = rm bar{CC``'} + bar{DD``'}]
[eqn: =2a]

㉠을 대입하면 [eqn: {bar{rmAC}} + {bar{rmBD}} - {bar{rmAB}}][eqn: =4 sqrt {5}]이므로 [eqn: k=4 sqrt {5}]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: k ^{2} =80]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 29

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y^{2}=8 x] 위의 점 중 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나고 [eqn: x]축과 평행한 직선이 포물선 [eqn: y^{2}=8 x]의 준선과 만나는 점을 [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하자. 점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 꼭짓점으로 하는 포물선이 포물선 [eqn: y^{2}=8 x]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{P}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 사각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{QF}} it]의 둘레의 길이가 [eqn: rm 12]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]의 넓이는 [eqn: {q} over {p} sqrt{2}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, 점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: rm 2]보다 작고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 23]

[해설]

포물선 [eqn: y^{2}=8 x]의 초점은 [eqn: {rm{F}} it (2,``0)]이고 준

선의 방정식은 [eqn: x=-2]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a(0<a<2)]라 하면

[eqn: {rm{P}} it (a,`` 2 sqrt{2 a})]

[eqn: {rm{F}} it `prime (-2,``2 sqrt{2 a})]

포물선의 성질에 의해

[eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{PF}} it `prime }=2+a]

한편, 점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 꼭짓점으로

하는 포물선의 방정식은

[eqn: (y-2 sqrt{2 a})^{2}=-4(2+a)(x-a)]

이 포물선의 준선의 방정식은 [eqn: x=2 a+2]

점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 두 직선 [eqn: x=-2], [eqn: x=2 a+2]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{S}} it]라 하면

포물선의 성질에 의해

[eqn: overline{{rm{QF}} it }= overline{{rm{QR}} it }]

[eqn: overline{{rm{QF}} it `prime }= overline{{rm{QS}} it }]

이므로

[eqn: overline{{rm{QF}} it ^{2}}+ overline{{rm{QF}} it `prime }= overline{{rm{QR}} it }+ overline{{rm{QS}} it }= overline{{rm{RS}} it }=2 a+4]

사각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{QF}} it]의 둘레의 길이가 [eqn: rm 12]이므로

[eqn: overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{PF}} it `prime }+ overline{{rm{QF}} it }+ overline{{rm{QF}} it `prime }=12]에서

[eqn: 2 overline{{rm{PF}} it `prime }+ overline{{rm{RS}} it }=12]

[eqn: 2(2+a)+(2 a+4)=12]

[eqn: 4 a=4]

[eqn: a=1]

이때, [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는 [eqn: (1,``2 sqrt{2})]이고

점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식은

[eqn: (y-2 sqrt{2})^{2}=-12(x-1)]

이다.

두 포물선

[eqn: y^{2}=8 x][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: (y-2 sqrt{2})^{2}=-12(x-1)][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

이 만나는 점 [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: y]좌표를 구해 보자.

㉠에서

[eqn: x={y^{2}} over {8}]

[eqn: x={y^{2}} over {8}]을 ㉡에 대입하면

[eqn: (y-2 sqrt{2})^{2}=-12 left({y^{2}} over {8}-1 right)]

[eqn: 5 y^{2}-8 sqrt{2} y-8=0]

[eqn: (y-2 sqrt{2})(5 y+2 sqrt{2})=0]

[eqn: y=2 sqrt{2}] 또는 [eqn: y=-{2 sqrt{2}} over {5}]

점 [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -{2 sqrt{2}} over {5}]이다.

점 [eqn: {rm{Q}} it]에서 선분 [eqn: {rm{PF}} it `prime]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=2-(-1)=3]

[eqn: overline{{rm{QH}} it }=2 sqrt{2}- left(-{2 sqrt{2}} over {5} right)={12} over {5} sqrt{2}]

삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{PF}} it `prime } times overline{{rm{QH}} it }]

[eqn: ={1} over {2} times 3 times {12} over {5} sqrt{2}]

[eqn: ={18} over {5} sqrt{2}]

따라서 [eqn: p=5], [eqn: q=18]이므로

[eqn: p+q=5+18=23]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 30

그림과 같이 꼭짓점이 [eqn: {rm{A}} it _{1}]이고 초점이 [eqn: {rm{F}} it _{1}]인 포물선 [eqn: P_{1}]과 꼭짓점이 [eqn: {rm{A}} it _{2}]이고 초점이 [eqn: {rm{F}} it _{2}]인 포물선 [eqn: P_{2}]가 있다. 두 포물선의 준선은 모두 직선 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]와 평행하고, 두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2}], [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]의 중점은 서로 일치한다.

[정답] [eqn: 384]

[해설]

좌표평면에서 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}]을 원점, 직선 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]을 [eqn: x]축, 직선 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]를 [eqn: y]축이라 하자.

포물선 [eqn: P_{1}]의 방정식을 [eqn: y^{2}=4 p(x+p)(p>0)]이라 하면 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{F}} it _{1}}=p], [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{C}} it }=2 p]에서 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{C}} it }= sqrt{p^{2}+(2 p)^{2}}=p sqrt{5}]

조건 (가)에서 [eqn: p sqrt{5}=5 sqrt{5}]이므로 [eqn: p=5]

두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2}], [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]의 중점은 서로 일치하므로 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{F}} it _{2}]는 평행사변형이다.

포물선 [eqn: P_{1}]의 준선 [eqn: l_{1}]의 방정식은 [eqn: x=-10]이고 포물선 [eqn: P_{2}]의 준선 [eqn: l_{2}]의 방정식은 [eqn: x=10]이다.

점 [eqn: {rm{B}} it]에서 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하면

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{1}}+ overline{{rm{BH}} it _{2}}=20 ~ cdots cdots] ㉠

점 [eqn: {rm{B}} it]는 두 포물선이 만나는 점이므로 포물선의 정의

에 의해 [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }= overline{{rm{BH}} it _{1}}], [eqn: overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }= overline{{rm{BH}} it _{2}}]

조건 (나)에서

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{1}}- overline{{rm{BH}} it _{2}}={48} over {5} cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: overline{{rm{BH}} it _{1}}={74} over {5}], [eqn: overline{{rm{BH}} it _{2}}={26} over {5}]

점 [eqn: {rm{B}} it]에서 직선 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{BH}} it }=10- overline{{rm{BH}} it _{2}}={24} over {5}]

직각삼각형 [eqn: {rm{BF}} it _{2} {rm{H}} it]에서

[eqn: { overline{{rm{F}} it _{2} {rm{H}} it }}^{2}][eqn: ={ overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }}^{2}- overline{{rm{BH}} it }`^{2}]
[eqn: = left( overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }- overline{{rm{BH}} it } right) left( overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }+ overline{{rm{BH}} it } right)]
[eqn: = left({26} over {5}-{24} over {5} right) times left({26} over {5}+{24} over {5} right)]
[eqn: =4]

이므로 [eqn: overline{{rm{F}} it _{2} {rm{H}} it }=2]

직각삼각형 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{BH}} it]에서

[eqn: { overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it }}^{2}][eqn: ={ overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }}^{2}- overline{{rm{BH}} it }`^{2}]

[eqn: = left( overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }- overline{{rm{BH}} it } right) left( overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }+ overline{{rm{BH}} it } right)]

[eqn: = left({74} over {5}-{24} over {5} right) times left({74} over {5}+{24} over {5} right)]

[eqn: =196]

이므로 [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it }=14]

[eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}}= overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it }+ overline{{rm{F}} it _{2} {rm{H}} it }=14+2=16]

그러므로 삼각형 [eqn: {rm{BF}} it _{2} {rm{F}} it _{1}]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S={1} over {2} times overline{{rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}} times overline{{rm{BH}} it }={1} over {2} times 16 times {24} over {5}={192} over {5}]

따라서

[eqn: 10 S=10 times {192} over {5}=384]

두 포물선 [eqn: P_{1}], [eqn: P_{2}]가 서로 다른 두 점에서 만날 때 두 점 중에서 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}]에 가까운 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. 포물선 [eqn: P_{1}]이 선분 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2}]와 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 할 때, 두 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{C}} it }=5 sqrt{5}]

(나) [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{B}} it }- overline{{rm{F}} it _{2} {rm{B}} it }={48} over {5}]

삼각형 [eqn: {rm{BF}} it _{2} {rm{F}} it _{1}]의 넓이가 [eqn: S]일 때, [eqn: 10 S]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: angle {rm{F}} it _{1} {rm{F}} it _{2} {rm{B}} it <90 DEG])

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 28

실수 [eqn: p(p geq 1)]과 함수 [eqn: f(x)=(x+a)^{2}]에 대하여 두 포물선	[eqn: C_{1}: y^{2}=4 x], [eqn: ~ C_{2}:(y-3)^{2}=4 p left{ x-f(p) it right}]

[정답] ①

[해설]

[eqn: {rm{A}} it]에서 포물선 [eqn: C_{1}]의 준선 [eqn: x=-1]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: overline{{rm{AF}} it _{1}}= overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{AF}} it _{2}}]에서 포물선 [eqn: C_{2}]의 준선이 포물선 [eqn: C_{1}]의 준 선과 같다.

즉, [eqn: C_{2}]의 준선 [eqn: x=-p+f(p)]이 [eqn: x=-1]이므로 [eqn: -p+f(p)=-1]이다.

[eqn: (p+a)^{2}-p+1=0]

[eqn: p^{2}+(2 a-1) p+a^{2}+1=0]

이 식을 만족하는 [eqn: p]가 오직 하나이므로 판별식 [eqn: D=0]이다.

따라서, [eqn: D=(2 a-1)^{2}-4 a^{2}-4=0]에서 [eqn: a=-{3} over {4}]이다.

가 제[eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it]라 하자. 두 포물선 [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]의 초점을 각각 [eqn: {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{F}} it _{2}]라 할 때, [eqn: overline{{rm{AF}} it _{1}}= overline{{rm{AF}} it _{2}}]를 만족시키는 [eqn: p]가 오직 하나가 되도록 하는 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -{3} over {4}]	② [eqn: -{5} over {8}]	③ [eqn: -{1} over {2}]

④ [eqn: -{3} over {8}]	⑤ [eqn: -{1} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 27

양수 [eqn: p]에 대하여 두 포물선 [eqn: x^{2}=8(y+2)], [eqn: y^{2}=4 p x]가 만나는 점 중 제 [eqn: rm 1]사분면 위의 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 하자. 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 포물선 [eqn: x^{2}=8(y+2)]의 준선에 내린 수선의 발 [eqn: {rm{H}} it]와 포물선 [eqn: x^{2}=8(y+2)]의 초점 [eqn: {rm{F}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{PH}} it }+ overline{{rm{PF}} it }=40]일 때, [eqn: p]의 값은?

[정답] ①

[해설]

포물선 [eqn: x^{2}=8(y+2)]에서

초점 [eqn: {rm{F}} it]의 좌표는 [eqn: (0,``0)], 준선의 방정식은 [eqn: y=-4]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표를 [eqn: (a,`` b)(a>0,`` b>0)]이라 하자.

점 [eqn: {rm{P}} it]는 포물선 위의 점이므로 [eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{PH}} it }]

[eqn: overline{{rm{PH}} it }+ overline{{rm{PF}} it }=40]에서 [eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{PH}} it }=20]

[eqn: overline{{rm{PH}} it }=|b-(-4)|=20]에서 [eqn: b=16]

[eqn: overline{{rm{PF}} it }= sqrt{a^{2}+16^{2}}=20]에서 [eqn: a=12]

점 [eqn: {rm{P}} it (12,``16)]은 포물선 [eqn: y^{2}=4 p x] 위의 점이므로 [eqn: 16^{2}=48 p]이다.

따라서 [eqn: p={16} over {3}]

① [eqn: {16} over {3}]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: {20} over {3}]

④ [eqn: {22} over {3}]	⑤ [eqn: rm 8]

07 기하	02 타원
01 타원의 방정식
01 타원의 방정식1 (방정식 세우기)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 24

두 초점의 좌표가 [eqn: (0,``3)], [eqn: (0,``-3)]인 타원이 [eqn: y]축과 점 [eqn: (0,``7)]에서 만날 때, 이 타원의 단축의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

타원의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1(b>a>0)]이라 하자. 두 초점의 좌표가 [eqn: (0,``3)], [eqn: (0,``-3)]이므로 [eqn: b^{2}-a^{2}=9 ~ cdots cdots] ㉠

타원이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: (0,``7)]은 장축의 한 끝점이므로 [eqn: b=7]

㉠에서 [eqn: a=2 sqrt{10}]

따라서 타원의 단축의 길이는

[eqn: 2 a=4 sqrt{10}]

① [eqn: 4 sqrt{6}]	② [eqn: 4 sqrt{7}]	③ [eqn: 8 sqrt{2}]

④ [eqn: rm 12]	⑤ [eqn: 4 sqrt{10}]

07 기하	02 타원
01 타원의 방정식
02 타원의 방정식2 (타원의 장단축과 초점)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 23

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {20} =1`]의 두 초점을 [eqn: rmF], [eqn: rm F prime `]이라 할 때, 선분 [eqn: rmFF prime`]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over 20} =1]의 두 초점의 좌표는

[eqn: (4,``0)], [eqn: (-4,``0)`]이므로 [eqn: bar { rm FF'}=8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
01 정의 활용1 (타원의 두 정보)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 26

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm F it LEFT ( sqrt {7} ,```` 0 RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}], [eqn: rm F it ' LEFT ( - sqrt {7} ,```` 0 RIGHT )]을 초점으로 하고 장축의 길이가 [eqn: 8]인 타원이 있다. [eqn: {bar{rm FF'}}][eqn: = {bar{rm PF'}}], [eqn: {bar{rm FP}}][eqn: =2 sqrt {3}]을 만족시키는 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmF']을 지나고 선분 [eqn: rmFP]에 수직인 직선이 타원과 만나는 점 중 제 [eqn: 1]사분면 위의 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmFQ]의 길이는?
(단, 점 [eqn: rmP]는 제 [eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] ①

[해설]

직선 [eqn: rmF'Q]와 직선 [eqn: rmFP]가 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자.

직선 [eqn: rmF'Q]가 선분 [eqn: rmFP]를 수직이등분하므로

[eqn: {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm FR}}][eqn: = sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmFRF']에서 [eqn: {bar{rm FF'}}][eqn: =2 sqrt {7}], [eqn: {bar{rm FR}}][eqn: = sqrt {3}]이므로

[eqn: {bar{rm F'R}}][eqn: =5]

장축의 길이가 [eqn: 8]이므로

[eqn: {bar{rm F'Q}} + {bar{rm QF}}][eqn: = {bar{rm F'R}} + {bar{rm RQ}} + {bar{rm QF}}][eqn: =8]

[eqn: {bar{rm FQ}}][eqn: =a]라 하면 [eqn: {bar{rm RQ}}][eqn: = it 3-a]

삼각형 [eqn: rmFQR]에서 [eqn: a ^{2}][eqn: = LEFT ( 3-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}], [eqn: a][eqn: =2]

따라서 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는 [eqn: 2]

① [eqn: 2]	② [eqn: sqrt {5}]	③ [eqn: sqrt {6}]

④ [eqn: sqrt {7}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 26

그림과 같이 두 초점이 [eqn: {rm{F}} it], [eqn: {rm{F}} it `prime]인 타원 [eqn: {x^{2}} over {25}+{y^{2}} over {9}=1] 위의 점 중 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 세 선분 [eqn: {rm{PF}} it], [eqn: {rm{PF}} it `prime], [eqn: {rm{FF}} it `prime]의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표는? (단, 점 [eqn: {rm{F}} it]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

[정답] ③

[해설]

타원 [eqn: {x^{2}} over {25}+{y^{2}} over {9}=1]의 두 초점의 좌표는 [eqn: (4,``0)], [eqn: (-4,``0)]

이고 장축의 길이는 [eqn: rm 10]이므로

[eqn: overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{PF}} it `prime }=10], [eqn: overline{{rm{FF}} it `prime }=2 times 4=8 ~ cdots cdots] ㉠

세 선분 [eqn: {rm{PF}} it], [eqn: {rm{PF}} it `prime], [eqn: {rm{FF}} it `prime]의 길이가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: 2 overline{{rm{PF}} it `prime }= overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{FF}} it `prime } cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: overline{{rm{PF}} it }=2(10- overline{{rm{PF}} it })-8]

[eqn: overline{{rm{PF}} it }=4]이므로 [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=6]

[eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }< overline{{rm{FF}} it `prime }]이므로 점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 할 때,

[eqn: 0<t<4]

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{FF}} it `prime]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 [eqn: overline{{rm{HF}} it }=4-t], [eqn: overline{{rm{HF}} it `prime }=4+t]

[eqn: overline{{rm{PH}} it }`^{2}={ overline{{rm{PF}} it `prime }}`^{2}-{ overline{{rm{HF}} it `prime }}`^{2}= overline{{rm{PF}} it }`^{2}-{ overline{{rm{HF}} it `}}^{2}]에서

[eqn: 6^{2}-(4+t)^{2}=4^{2}-(4-t)^{2}]

[eqn: t={5} over {4}]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {5} over {4}]이다.

① [eqn: rm 1]	② [eqn: {9} over {8}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
02 정의 활용2 (타원의 한 정보)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 28

그림과 같이 [eqn: {rm{F}} it (6,``0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-6,``0)]을 두 초점으로 하는 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1]이 있다. 점 [eqn: {rm{A}} it left({3} over {2},`` 0 right)]에 대하여 [eqn: angle {rm{FPA}} it = angle {rm{F}} it `prime {rm{PA}} it]를 만족시키는 타원의 제[eqn: rm 1]사분면 위의 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 할 때, 점 [eqn: {rm{F}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AP}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{3}]일 때, [eqn: a times b]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: overline{{rm{AF}} it }={9} over {2}], [eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }={15} over {2}]이므로 각의 이등분선의 성질에 의하여 [eqn: overline{{rm{PF}} it }: overline{{rm{PF}} it `prime }=3: 5]

[eqn: overline{{rm{PF}} it }=3 k], [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=5 k(k>0)]이라 하자.

타원의 정의에 의하여 [eqn: overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{PF}} it `prime }=8 k=2 a]

그러므로 [eqn: a=4 k]

직선 [eqn: {rm{BF}} it]와 선분 [eqn: {rm{PF}} it `prime]이 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하면 각 [eqn: {rm{CPF}} it]의 이등분선이 선분 [eqn: {rm{CF}} it]와 수직으로 만나므로 삼각형 [eqn: {rm{PCF}} it]는 이등변삼각형이다. 그러므로 [eqn: overline{{rm{BC}} it }= overline{{rm{BF}} it }] 두 삼각형 [eqn: {rm{FBO}} it]와 [eqn: {rm{FCF}} it `prime]에서 [eqn: overline{{rm{FB}} it }: overline{{rm{FC}} it }= overline{{rm{FO}} it }: overline{{rm{FF}} it `prime }=1: 2] 두 삼각형 [eqn: {rm{FBO}} it], [eqn: {rm{FCF}} it `prime]은 서로 닮음이므로 [eqn: overline{{rm{OB}} it }: overline{{rm{F}} it `prime {rm{C}} it }=1: 2][eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{C}} it }= overline{{rm{PF}} it `prime }- overline{{rm{PC}} it `prime }= overline{{rm{PF}} it `prime }- overline{{rm{PF}} it }=5 k-3 k=2 k]
[eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{C}} it }=2 overline{{rm{OB}} it }=2 sqrt{3}]

[eqn: k= sqrt{3}], [eqn: a=4 sqrt{3}]

[eqn: c^{2}=a^{2}-b^{2}]이므로 [eqn: 36=48-b^{2}]

[eqn: b^{2}=12], [eqn: b=2 sqrt{3}]

따라서 [eqn: a times b=24]

(단, [eqn: a>0], [eqn: b>0]이고 [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 20]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 28]	⑤ [eqn: rm 32]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
04 정의 활용4 (둘레의 길이 관련)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 25

타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {5}=1]의 두 초점을 [eqn: {rm{F}} it], [eqn: {rm{F}} it `prime]이라 하자. 점 [eqn: {rm{F}} it]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]가 [eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }=5], [eqn: overline{{rm{AF}} it }=3]을 만족시킨다. 선분 [eqn: {rm{AF}} it `prime]과 타원이 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{F}} it]의 둘레의 길이는? (단, [eqn: a]는 [eqn: a> sqrt{5}]인 상수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }=5], [eqn: overline{{rm{AF}} it }=3]이므로 피타고라스 정리에 의하여

[eqn: rm overline {FF` prime}`^2 rm =overline{ AF prime }`^2 = - overline AF`^2 = 5^2 -3^2 =16]

[eqn: therefore~ overline{{rm{FF}} it `prime }=4]

타원의 두 초점의 좌표를 각각 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0)]

[eqn: (c>0)]이라 하면 [eqn: 2 c=4]이므로 [eqn: c=2]이고,

타원의 성질에 의하여 [eqn: c^{2}=a^{2}-5]이므로 [eqn: a^{2}=9]이다.

[eqn: therefore~a=3]

타원의 정의에 의하여 장축의 길이는 [eqn: 2 a]와 같으므로 [eqn: rm 6]이다.

따라서 삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{F}} it]의 둘레의 길이는

[eqn: left( overline{{rm{PF}} it `prime }+ overline{{rm{PF}} it } right)+ overline{{rm{FF}} it `prime }=6+4=10]

이다.

① [eqn: rm 8]	② [eqn: {17} over {2}]	③ [eqn: rm 9]

④ [eqn: {19} over {2}]	⑤ [eqn: rm 10]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
05 정의 활용5 (원과 타원)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 28

두 초점이 [eqn: rmF ,```` F']이고 장축의 길이가 [eqn: 2a]인 타원이 있다. 이 타원의 한 꼭짓점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 이 타원의 서로 다른 두 꼭짓점과 한 초점을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

두 초점 [eqn: rmF ,```` F']의 중점을 [eqn: rmO]라 하고 점 [eqn: rmO]를 타원의 중심으로 하고 두 초점이 [eqn: x]축 위에 놓여있는 타원의 방정식을 [eqn: x^2 overa^2 + y^2 overb^2 =1]이라 하자.

위의 그림과 같이 [eqn: y]축 위에 있는 타원의 한 꼭짓점을 [eqn: rmA], [eqn: x]축 위에 있는 타원의 한 꼭짓점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmAF]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

타원의 정의에 의해 거리의 합이 [eqn: 2a]이므로 [eqn: rm bar AF + bar {AF``'} =2 it a]

그런데, [eqn: rm bar AF = bar {AF``'}]이므로 [eqn: rm bar AF = ita]

또, [eqn: triangle rmABF]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar AH = bar HF = it 2over a}]

[eqn: rmangle AFO = theta]라 하면 [eqn: triangle rmBHF]와 [eqn: triangle rmAOF]에서 [eqn: cos theta = rm{barBH}over{barFH} = {barOF} over{barAF}]이므로 [eqn: a over2 over1 = 1-a overa]

즉, [eqn: a over 2 = 1-a overa]에서 [eqn: a^2 = 2-2a]

[eqn: therefore][eqn: a^2 +2a-2=0]

[eqn: THEREFORE ```` a= root3 -1][eqn: (because ```` a>0)]

① [eqn: root2 over2]	② [eqn: {root6 -1} over {2}]	③ [eqn: root3 -1]

④ [eqn: 2root2 -2]	⑤ [eqn: root3 over2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 30

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( c,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm F' it LEFT ( -c,`` 0 RIGHT )] ([eqn: c>0])인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 직선 [eqn: rmFP`]와 직선 [eqn: rmF'P`]에 동시에 접하고 중심이 선분 [eqn: rmF'F] 위에 있는 원 [eqn: C` `]가 있다. 원 [eqn: C``]의 중심을 [eqn: rmC], 직선 [eqn: rmF'P`]가 원 [eqn: C``]와 만나는 점을 [eqn: rmQ`]라 할 때, [eqn: 2 {bar{rm PQ}}= {bar{rm PF}} `]이다. [eqn: 24 TIMES {bar{rm CP}}`]의 값을 구하시오.
(단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] [eqn: 63]

[해설]

[eqn: c ^{2}][eqn: =16-7][eqn: =9], [eqn: c][eqn: =3]

[eqn: {bar{rm FF'}}][eqn: =2c][eqn: =6]

직선 [eqn: rmFP]가 원 [eqn: C]와 접하는 점을 [eqn: rmR]라 하고

[eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =a]라 하면

[eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =2 {bar{rm PQ}}][eqn: =2a]이므로 [eqn: {bar{rm RF}}][eqn: = {bar{rm PF}} - {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm PF}} - {bar{rm PQ}}][eqn: =a]

[eqn: {bar{rm PR}}][eqn: = {bar{rm RF}}]이고, [eqn: ANGLE rm PRC][eqn: =90°]이므로

삼각형 [eqn: rmPCR], [eqn: rmFCR]가 서로 합동이다.

[eqn: {bar{rm CP}}][eqn: =l]이라 하면 [eqn: {bar{rm CP}}][eqn: = {bar{rm FC}}]에서 [eqn: {bar{rm F'C}}][eqn: =6-l]

[eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: = {bar{rm PQ}} + {bar{rm QF'}}]이고

[eqn: {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: =8]이므로 [eqn: {bar{rm QF'}}][eqn: =8-3a]

점 [eqn: rmP]가 제[eqn: 1]사분면 위의 점이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} > {bar{rm PF}}]에서 [eqn: a<2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

삼각형 [eqn: rmFPF']에서 [eqn: ANGLE rm F'PC][eqn: = ANGLE rm CPF]이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} ``:`` {bar{rm PF}}][eqn: = {bar{rm F'C}} ``:`` {bar{rm CF}}]

[eqn: LEFT ( 8-2a RIGHT ) ``:``2a][eqn: = LEFT ( 6-l RIGHT ) ``:``l]에서 [eqn: l][eqn: = {3} over {2} a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmC]에서 선분 [eqn: rmPF']에 내린 수선의 발이므로

[eqn: {bar{rm F'C}} ^{2} - {bar{rm F'Q}} ^{2}][eqn: = {bar{rm CP}} ^{2} - {bar{rm PQ}} ^{2}]

[eqn: LEFT ( 6-l RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 8-3a RIGHT ) ^{2}][eqn: =l ^{2} -a ^{2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉡, ㉢에 의해 [eqn: 4a ^{2} -15a+14][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( 4a-7 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: a=2] 또는 [eqn: a= {7} over {4}]

㉠에 의해 [eqn: a][eqn: = {7} over {4}], [eqn: l][eqn: = {21} over {8}]

따라서 [eqn: 24 TIMES {bar{rm CP it}}][eqn: =63]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 26

두 초점이 [eqn: rmF,~F`prime]인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {64} + {y ^{2}} over {16} =1] 위의 점 중 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]가 있다. 두 직선 [eqn: rmAF,~AF`prime]에 동시에 접하고 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원 중 중심의 [eqn: y]좌표가 음수인 것을 [eqn: C``]라 하자. 원 [eqn: C``]의 중심을 [eqn: rmB]라 할 때 사각형 [eqn: rmAFBF`prime]의 넓이가 [eqn: 72]이다. 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm {bar{AF}} =itp,~ rm {bar{AF` prime }} =itq]라 하면 타원의 정의에 의하여

[eqn: p+q=2times8=16]

원 [eqn: C``]가 두 직선 [eqn: rmAF,~AF`prime]과 접하는 두 점을 각각 [eqn: rmP,~Q], 원 [eqn: C``]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: rm {bar{BP}} = {bar{BQ}} =itr]

사각형 [eqn: rmAFBF`prime]의 넓이를 삼각형 [eqn: rmABF]와 삼각형 [eqn: rmABF`prime]으로 나누어 생각하면

[eqn: {1} over {2} TIMES p TIMES r+ {1} over {2} TIMES q TIMES r=72]

따라서

[eqn: r][eqn: =72times {2} over {p+q}]
[eqn: =72times {2} over {16}]
[eqn: =9]

① [eqn: {17} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {19} over {2}]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: {21} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 28

그림과 같이 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1]의 두 초점 [eqn: {rm{F}} it], [eqn: {rm{F}} it `prime]에 대하여 선분 [eqn: {rm{FF}} it `prime]을 지름으로 하는 원을 [eqn: C]라 하자. 원 [eqn: C]가 타원과 제[eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 하고, 원 [eqn: C]가 [eqn: y]축과 만나는 점 중 [eqn: y]좌표가 양수인 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 두 직선 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{P}} it], [eqn: {rm{QF}} it]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos theta={3} over {5}]일 때, [eqn: {b^{2}} over {a^{2}}]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: a>b>0]인 상수이고, 점 [eqn: {rm{F}} it]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

[정답] ④

[해설]

두 직선 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{P}} it], [eqn: {rm{QF}} it]의 교점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하면 두 직각삼각형 [eqn: {rm{QF}} it `prime {rm{R}} it], [eqn: {rm{PFR}} it]가 서로 닮음이고 [eqn: cos left( angle {rm{QRF}} it `prime right)= cos ( angle {rm{PRF}} it )= cos theta={3} over {5}]

[eqn: sin theta= sqrt{1- cos ^{2} theta}={4} over {5}]

[eqn: overline{{rm{QR}} it }=3 t(t>0)]이라 할 때

[eqn: overline{{rm{RF}} it `prime }={ overline{{rm{QR}} it }} over { cos theta}=5 t],

[eqn: overline{{rm{QF}} it }= overline{{rm{QF}} it `prime }= overline{{rm{RF}} it `prime } sin theta=4 t],

[eqn: overline{{rm{RF}} it }= overline{{rm{QF}} it }- overline{{rm{QR}} it }=4 t-3 t=t],

[eqn: overline{{rm{RP}} it }= overline{{rm{RF}} it } cos theta={3} over {5} t]

[eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{RF}} it } sin theta={4} over {5} t]

점 [eqn: {rm{P}} it]는 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1] 위의 점이므로

[eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }+ overline{{rm{PF}} it }][eqn: = overline{{rm{RF}} it `prime }+ overline{{rm{RP}} it }+ overline{{rm{PF}} it }]
[eqn: =5 t+{3} over {5} t+{4} over {5} t]
[eqn: ={32} over {5} t]

[eqn: 2 a={32} over {5} t]에서 [eqn: a={16} over {5} t]

점 [eqn: {rm{F}} it]의 좌표를 [eqn: (c,`` 0)(c>0)]이라 할 때

[eqn: overline{{rm{FF}} it `prime }= sqrt{2} times overline{{rm{QF}} it }]에서 [eqn: c=2 sqrt{2} t]

[eqn: b^{2}=a^{2}-c^{2}={256} over {25} t^{2}-8 t^{2}={56} over {25} t^{2}]

따라서 [eqn: {b^{2}} over {a^{2}}={{56} over {25} t^{2}} over {{256} over {25} t^{2}}={7} over {32}]

① [eqn: {11} over {64}]	② [eqn: {3} over {16}]	③ [eqn: {13} over {64}]

④ [eqn: {7} over {32}]	⑤ [eqn: {15} over {64}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 28

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0)]을 초점으로 하는 타원이 있다. 타원 위의 점 중 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 직선 [eqn: {rm{PF}} it]가 타원과 만나는 점 중 점 [eqn: {rm{P}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{OQ}} it }= overline{{rm{OF}} it }], [eqn: overline{{rm{FQ}} it }: overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=1: 4]이고 삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]의 내접원의 반지름의 길이가 [eqn: rm 2]일 때, 양수 [eqn: c]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: overline{{rm{OQ}} it }= overline{{rm{OF}} it }]에서 점 [eqn: {rm{Q}} it]는 선분 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{F}} it]를 지름으로 하는

원 위의 점이므로 [eqn: angle {rm{FQF}} it `prime ={ pi} over {2}]

[eqn: overline{{rm{FQ}} it }=k]라 하면 [eqn: overline{{rm{FQ}} it }: overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=1: 4]에서 [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=4 k]이고

타원의 장축의 길이는 [eqn: overline{{rm{FQ}} it }+ overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=5 k]

삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]의 내접원의 반지름의 길이는 [eqn: rm 2]이므로

삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it } times overline{{rm{PQ}} it }={1} over {2} times 2 times left( overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }+ overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }+ overline{{rm{PQ}} it } right)]

[eqn: {1} over {2} times 4 k times overline{{rm{PQ}} it }={1} over {2} times 2 times left{ overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }+ overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }+( overline{{rm{PF}} it }+ overline{{rm{FQ}} it }) it right}]

[eqn: 2 k times overline{{rm{PQ}} it }][eqn: = left( overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }+ overline{{rm{PF}} it } right)+ left( overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }+ overline{{rm{FQ}} it } right)]
[eqn: =5k+5k]
[eqn: =10k]

이므로 [eqn: overline{{rm{PQ}} it }=5]

[eqn: overline{{rm{PF}} it }= overline{{rm{PQ}} it }- overline{{rm{FQ}} it }=5-k], [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }=5 k-(5-k)=6 k-5]

이므로 직각삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{Q}} it]에서

[eqn: (6 k-5)^{2}=(4 k)^{2}+5^{2}]

[eqn: 20 k^{2}-60 k=20 k(k-3)=0], [eqn: k=3]

따라서 직각삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{QF}} it]에서

[eqn: { overline{{rm{F}} it `prime {rm{F}} it }}^{2}={ overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }}^{2}+ overline{{rm{FQ}} it }^{2}]

[eqn: (2 c)^{2}=12^{2}+3^{2}=153]이므로

[eqn: c^{2}={153} over {4}], [eqn: c={3 sqrt{17}} over {2}]

① [eqn: {17} over {3}]	② [eqn: {7 sqrt{17}} over {5}]	③ [eqn: {3 sqrt{17}} over {2}]

④ [eqn: {51} over {8}]	⑤ [eqn: {8 sqrt{17}} over {5}]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
06 정의 활용6 (포물선과 타원)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 30

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F LEFT ( it c,``0 RIGHT )], [eqn: rm F prime LEFT ( it -c,``0 RIGHT ) ``][eqn: LEFT ( c>0 RIGHT ) `]이고 장축의 길이가 [eqn: 12`]인 타원이 있다. 점 [eqn: rmF`]가 초점이고 직선 [eqn: x=it-k`][eqn: left(k>0right)`]이 준선인 포물선이 타원과 제[eqn: 2`]사분면의 점 [eqn: rmP`]에서 만난다. 점 [eqn: rmP`]에서 직선 [eqn: x=it-k`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`]라 할 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

점 [eqn: rmF`]가 포물선의 초점이므로 포물선의 정의에 의하여 [eqn: bar{rmFP}=bar{rmPQ}`]이다.

조건 (나)의 [eqn: {bar{rm FP}} - {bar{rm F' Q}} = {bar{rm PQ}} - {bar{rm FF' }}]에서

[eqn: {bar{rm F prime Q}} = {bar{rm FF prime }}]

두 직선 [eqn: rmFF'], [eqn: rmPQ`]가 서로 평행하므로

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]에서

[eqn: rmanglePQF=angleF`primeFQ]

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]는 모두 이등변삼각형이므로

[eqn: rm ANGLE QFP][eqn: = rm ANGLE PQF= ANGLE F prime FQ][eqn: =rm ANGLE F'QF]

이고, 선분 [eqn: rmFQ`]는 공통이므로

두 삼각형 [eqn: rm PQF], [eqn: rmF'FQ`]는 서로 합동이다.

즉 [eqn: {bar{rm FP it}} = {bar{rm PQ it}}][eqn: = {bar{rm F` prime Q it}} = {bar{rm FF` prime it}}]

장축의 길이가 [eqn: 12``]이고 [eqn: bar{rmFP}=bar{rmFF`prime}=2c`]이므로

[eqn: bar{rmPF prime}=12-2c]

삼각형 [eqn: rmPFF`prime`]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 12-2c RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2} -2times LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2}times cos LEFT ( rmangleF'FP RIGHT )]

[eqn: c ^{2} -16c+48=0]
[eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) LEFT ( c-12 RIGHT ) =0]

장축의 길이가 [eqn: 12`]이므로 [eqn: c<6`]에서 [eqn: c=4]

점 [eqn: rmP`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자.

[eqn: {bar{rm FP it}} = it 8`]에서
[eqn: bar{rmFH}][eqn: = {bar{rm FP it}} TIMES cos LEFT ( rmangleF'FP RIGHT )][eqn: =7`]

[eqn: bar{rmFH}][eqn: =7`]에서 점 [eqn: rmH`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 4-7= it -3`]이고

[eqn: {bar{rm PQ it}} = {bar{rm FP it}} = it 8`]에서 점 [eqn: rmH`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -k+8`]이므로

[eqn: -3= it -k+8], 즉 [eqn: k=11]

따라서 [eqn: c+k=15]

(가) [eqn: cos` LEFT ( rm ANGLE F'FP RIGHT ) = {7} over {8}]

(나) [eqn: {bar{rm FP}} - {bar{rm F prime Q}} = {bar{rm PQ}} - {bar{rm FF prime }}]

[eqn: c+ k`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 29

그림과 같이 포물선 [eqn: {y^2 =16x}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 초점을 [eqn: rmF]라 하자. 점 [eqn: rmF]를 한 초점으로 하고 점 [eqn: rmA(-2 ,```` 0)]을 지나며 다른 초점 [eqn: rmF prime]이 선분 [eqn: rmAF]위에 있는 타원 [eqn: E]가 있다. 포물선 [eqn: y^2 =16x]가 타원 [eqn: E]와 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmB]라 하자. [eqn: bar{rmBF} = 21 over5]일 때, 타원 [eqn: E]의 장축의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: 10k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold66]

[해설]

[eqn: y^{2} =16x]의 초점 [eqn: rmF (4,````0)]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x=-4]이다.

점 [eqn: rmA(-2,````0)]을 지나고 초점이 선분 [eqn: rmAF] 위에 있으므로 점 [eqn: rmA]는 꼭짓점이다. 타원과 포물선의 교점 [eqn: rmB]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: bar{ rmBH} = bar{rmBF]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -4+ 21 over 5 = 1over 5]이다.

그러므로 점 [eqn: rmB left( 1over 5 , ```` 4 over root 5 right)]

중심의 좌표를 [eqn: (a,````0)]이라 하면 [eqn: rmF(4,````0)]이고 중심에서 거리가 [eqn: 4-a]이므로 [eqn: rmF`'( 2it a -4 , ````0)], [eqn: bar{ rmBF`'} + bar{rmBF}]가 장축의 길이이므로 장축의 길이는 [eqn: (a+2) times 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: bar{rmBF`'}= 2 it a + 4 - 21 over 5 = 2a - 1over 5]

[eqn: root {left(2a-4 - 1over 5 right)^{2} + left( 4 over root 5 right)^{2} }= 2a- 1over 5]

[eqn: left( 2a - 21 over 5 right )^{2} + 16 over 5 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1 over 25]

[eqn: 4a^{2} - 84 over 5 a + 441 over 25 + 80 over 25 = 4a^{2} - 4 over 5 a + 1over 25]

[eqn: 520 over 25 = 16a]	[eqn: THEREFORE```` a = 13 over 10]

[eqn: THEREFORE```` 10k= 20a+ 40=26+40=66]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 25

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0)(c>0)]을 초점으로 하는 타원과 꼭짓점이 원점 [eqn: {rm{O}} it]이고 점 [eqn: {rm{F}} it]를 초점으로 하는 포물선이 있다. 타원과 포물선이 만나는 점 중 제 [eqn: rm 1]사분면 위의 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 직선 [eqn: x=-c]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{FP}} it }=8]이고 삼각형 [eqn: {rm{FPQ}} it]의 넓이가 [eqn: rm 24]일 때, 타원의 장축의 길이는?

[정답] ①

[해설]

직선 [eqn: x=-c]는 포물선의 준선이므로 [eqn: overline{{rm{PQ}} it }= overline{{rm{FP}} it }=8]

삼각형 [eqn: {rm{FPQ}} it]의 넓이가 [eqn: rm 24]이고 [eqn: angle {rm{F}} it `prime {rm{QP}} it ={ pi} over {2}]이므로 [eqn: {1} over {2} times 8 times overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=24]에서 [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{Q}} it }=6]

직각삼각형 [eqn: {rm{PQF}} it `prime]에서 [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }= sqrt{8^{2}+6^{2}}=10]

따라서 타원의 장축의 길이는

[eqn: overline{{rm{FP}} it }+ overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }=8+10=18]

① [eqn: rm 18]	② [eqn: rm 19]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: rm 21]	⑤ [eqn: rm 22]

07 기하	02 타원
02 타원의 정의 활용
07 정의 활용7 (대칭성)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 25

좌표평면 위에 두 초점이 [eqn: rmF,~F']인 타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {12}][eqn: =1]이 있다. 타원 위의 두 점 [eqn: rmP,~Q]에 대하여 직선 [eqn: rmPQ]가 원점 [eqn: rmO]를 지나고 삼각형 [eqn: rmPF'Q]의 둘레의 길이가 [eqn: 20]일 때, 선분 [eqn: rmOP]의 길이는? (단, 점 [eqn: rmP]는 제[eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: rmQ]는 점 [eqn: rmP]와 원점에 대하여 대칭인 점이므로

[eqn: {bar{rm OP}}][eqn: = {bar{rm OQ}}], [eqn: {bar{rm QF'}}][eqn: = {bar{rm PF}}]

[eqn: {bar{rm PF prime it}} + {bar{rm QF it '}}][eqn: = {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: =12]

삼각형 [eqn: rmPF'Q]의 둘레의 길이가 [eqn: 20]이므로 [eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: = it 8]

따라서 [eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =2 {bar{rm OP}}]에서 [eqn: {bar{rm OP}}][eqn: =4]

① [eqn: {11} over {3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: {13} over {3}]

④ [eqn: {14} over {3}]	⑤ [eqn: 5]

07 기하	03 쌍곡선
01 쌍곡선의 방정식
01 쌍곡선의 방정식1 (방정식 세우기)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 24

두 초점이 [eqn: rmF left(itc,``0 right)], [eqn: rmF'left(it-c,``0right)`]이고 주축의 길이가 [eqn: 8`]인 쌍곡선의 한 점근선이 직선 [eqn: y= 3over4 x`]일 때, 양수 [eqn: c`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1`]([eqn: a>0], [eqn: b>0])이라　하자. 주축의 길이가 [eqn: 8`]이므로 [eqn: 2a=8`]에서
[eqn: a=4]

한 점근선의 기울기가 [eqn: {3} over {4} `]이므로 [eqn: b overa = 3over4 `]에서
[eqn: b=3]

[eqn: c ^{2}][eqn: =a ^{2} +b ^{2}][eqn: =4 ^{2} +3 ^{2} =25]
[eqn: c>0`]이므로 [eqn: c=5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

07 기하	03 쌍곡선
01 쌍곡선의 방정식
02 쌍곡선의 방정식2 (초점과 주축 또는 점근선 구하기)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 25

쌍곡선 [eqn: 4 x^{2}-8 x-y^{2}-6 y-9=0]의 점근선 중 기울기가 양수인 직선과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 4 x^{2}-8 x-y^{2}-6 y-9=0]에서

[eqn: 4(x-1)^{2}-(y+3)^{2}=4]

[eqn: (x-1)^{2}-{(y+3)^{2}} over {4}=1]

쌍곡선 [eqn: (x-1)^{2}-{(y+3)^{2}} over {4}=1]은 쌍곡선 [eqn: x^{2}-{y^{2}} over {4}=1]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -3]만큼 평행이동한 것이므로 이 쌍곡선의 점근선 중 기울기가 양수인 직선의 방정식은 [eqn: y-(-3)=2(x-1)], [eqn: ~ y=2 x-5]

직선 [eqn: y=2 x-5]의 [eqn: x]절편, [eqn: y]절편이 각각 [eqn: {5} over {2}], [eqn: -5]이다. 따라서 직선 [eqn: y=2 x-5]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times {5} over {2} times 5={25} over {4}]

① [eqn: {19} over {4}]	② [eqn: {21} over {4}]	③ [eqn: {23} over {4}]

④ [eqn: {25} over {4}]	⑤ [eqn: {27} over {4}]

07 기하	03 쌍곡선
01 쌍곡선의 방정식
03 쌍곡선의 방정식3 (초점과 주축 또는 점근선 조건)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 24

한 초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 3 sqrt {2} ,~0 RIGHT )]인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {6} =1]의 주축의 길이는? (단, [eqn: a]는 양수이다.)

[정답] ③

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {6} =1]의 한 초점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 3 sqrt {2} ,~0 RIGHT )]이므로

[eqn: a ^{2} +6=18]	[eqn: a ^{2} =12]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2 sqrt {3}]

따라서 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는

[eqn: 2a=2times2 sqrt {3} =4 sqrt {3}]

① [eqn: 3 sqrt {3}]	② [eqn: {7 sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: {9 sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 5 sqrt {3}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 24

쌍곡선 [eqn: {x^2 over a^2 - y^2 over 16 = 1}{{from^2021^09^평가원^중}}]의 점근선 중 하나의 기울기가 [eqn: 3]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ④

[해설]

쌍곡선 [eqn: x^2 over a^2 - y^2 over 16 = 1]의 점근선의 방정식은 [eqn: y= it +- 4 over a x]

이때, 점근선 중 하나의 기울기가 [eqn: 3]이므로 [eqn: a>0]에서 [eqn: 4 over a = 3]

따라서 [eqn: a = 4 over 3]

① [eqn: 1 over 3]	② [eqn: 2 over 3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4 over 3]	⑤ [eqn: 5 over 3]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 24

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1]의 주축의 길이가 [eqn: rm 6]이고 한 점근선의 방정식이 [eqn: y=2 x]일 때, 두 초점 사이의 거리는?

[정답] ②

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1]의 주축의 길이가 [eqn: rm 6]이므로

[eqn: 2 a=6]

[eqn: a=3 ~ cdots cdots]㉠

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1]의 점근선은

[eqn: y={b} over {a} x], [eqn: y=-{b} over {a} x]

이때, [eqn: a>0], [eqn: b>0]이므로

[eqn: {b} over {a}=2]

[eqn: b=2 a ~ cdots cdots]㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: b=2 times 3=6]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1]의 두 초점을

[eqn: {rm{F}} it (c,`` 0),`` {rm{F}} it (-c,`` 0)((c>0)]

이라 하면

[eqn: c^{2}=a^{2}+b^{2}]

[eqn: =3^{2}+6^{2}]

[eqn: =45]

[eqn: c= sqrt{45}=3 sqrt{5}]

따라서 두 초점 사이의 거리는

[eqn: overline{{rm{FF}} it `prime }=2 {rm{c}} it =6 sqrt{5}]

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 양수이다.)

① [eqn: 4 sqrt{5}]	② [eqn: 6 sqrt{5}]	③ [eqn: 8 sqrt{5}]

④ [eqn: 10 sqrt{5}]	⑤ [eqn: 12 sqrt{5}]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
01 정의 활용1 (쌍곡선의 두 정보)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 29

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rmF,~F']인 쌍곡선 [eqn: x ^{2} - {y ^{2}} over {16}][eqn: =1]이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmF]에서 선분 [eqn: rmPF']에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: ANGLE rm FQP]의 이등분선이 선분 [eqn: rmPF]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자. [eqn: 4` {bar{rm PR}}][eqn: =3` {bar{rm RF}}]일 때, 삼각형 [eqn: rmPF'F]의 넓이를 구하시오.
(단, 점 [eqn: rmF]의 [eqn: x]좌표는 양수이고, [eqn: ANGLE rm F'PF<90°]이다.)

[정답] [eqn: 32]

[해설]

직선 [eqn: {rmQ}it{rmR}it]가 [eqn: angle`{rmF}it{rmQ}it{rmP}it]를 이등분하므로 [eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it}``:``bar{{rmQ}it{rmF}it}``=``bar{{rmP}it{rmR}it}``:``bar`{{rmR}it{rmF}it}]

이때 [eqn: 4bar{{rmP}it{rmR}it}=3bar{{rmR}it{rmF}it}]이므로 [eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it}``:``bar{{rmQ}it{rmF}it}`=``3``:``4]

[eqn: bar{{rmP}it{rmQ}it}`=3k` left ( k>0 right )]이라 하면 [eqn: bar{{rmQ}it{rmF}it}`=4k]이고 [eqn: angle`{rmP}it{rmQ}it{rmF}it`=90°]이므로

삼각형 [eqn: {rmP}it{rmQ}it{rmF}it]에서 [eqn: bar{{rmP}it{rmF}it}=5k]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: bar{{rmP}it{rmF}it`'}-bar{{rmP}it{rmF}it}=2]이므로

[eqn: bar{{rmP}it{rmF}it`'}=5k+2], [eqn: bar{{rmQ}it{rmF}it`'}=bar{{rmP}it{rmF}it`'}-bar{{rmP}it{rmQ}it}][eqn: = left ( 5k+2 right ) -3k`=2k+2]

[eqn: rm`{rmF}it left ( sqrt {17} ,~0 right )], [eqn: rm`{rmF}it`' left ( - sqrt {17} ,~0 right )]이므로 직각삼각형 [eqn: ` rm `{rmQ}it{rmF}it'{rmF}it]에서

[eqn: {bar{{rmF}it{rmF}it`'}} ^{2} `={bar{{rmQ}it{rmF}it}} ^{2} +{bar{{rmQ}it{rmF}it`'}} ^{2}], [eqn: left ( 2 sqrt {17} right ) ^{2} = left ( 4k right ) ^{2} + left ( 2k+2 right ) ^{2}]

[eqn: `5k ^{2} +2k-16=0], [eqn: ` LEFT ( 5k-8 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) =0], [eqn: k= {8} over {5}][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmPF`'F]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} `times`bar{{rmP}it{rmF}it`'}times`bar{{rmQ}it{rmF}it}= {1} over {2} `times`10`times` {32} over {5} =32]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
02 정의 활용2 (쌍곡선의 한 정보)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 27

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( it c,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm F ' it LEFT ( -c,`` 0 RIGHT )] [eqn: LEFT ( c>0 RIGHT )]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: x^2 over 4 - y^2 over b^2 =1 `]이 있다. 점 [eqn: rm F `]를 지나고 [eqn: x `]축에 수직인 직선이 쌍곡선과 제[eqn: 1 `]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rm P `]라 하고, 직선 [eqn: rm PF] 위에 [eqn: rm bar QP `:` bar PF = 5 `:` 3 `]이 되도록 점 [eqn: rm Q `]를 잡는다. 직선 [eqn: rm F'Q `]가 [eqn: y `]축과 만나는 점을 [eqn: rm R `]라 할 때, [eqn: rm bar QP = bar QR `]이다. [eqn: b^2 `]의 값은? (단, [eqn: b `]는 상수이고, 점 [eqn: rm Q `]는 제[eqn: 1 `]사분면 위의 점이다.)

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rm QFF']의 세 변의 길이는 [eqn: 10k], [eqn: 8k], [eqn: 6k = 2c]

쌍곡선의 정의에서 삼각형 [eqn: rm PFF']의 세 변의 길이는

[eqn: 3k+4], [eqn: 3k], [eqn: 6k = 2c]

[eqn: (3k+4)^2 = ( 3k)^2 + ( 6k)^2],

[eqn: (3k)^2 - 2(3k) - 4 = 0], [eqn: 3k = 1 + sqrt5]

[eqn: b^2 = c^2 - 4 = ( 3k)^2 -4 =][eqn: ( 1+ sqrt5 )^2 - 4][eqn: = 2 + 2 sqrt5]

① [eqn: 1 over 2 + 2 root 5`]	② [eqn: 1 + 2 root 5`]	③ [eqn: 3 over 2 + 2 root 5`]

④ [eqn: 2 + 2 root 5`]	⑤ [eqn: 5 over 2 + 2 root 5`]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 28

두 초점이 [eqn: rm F it LEFT (c,`` 0 RIGHT )], [eqn: rm F it ` prime LEFT ( -c,``0 RIGHT ) ~ LEFT ( c>0 RIGHT )]인 쌍곡선 [eqn: C`]와 [eqn: y]축 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]가 있다. 쌍곡선 [eqn: C`]가 선분 [eqn: rm AF it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it], 선분 [eqn: rm AF it `prime]과 만나는 점을 [eqn: rm P it `prime]이라 하자.

[정답] ②

[해설]

선분 [eqn: rmPP`prime]의 중점을 [eqn: rmM`]이라 하면 [eqn: rm bar AP `:` bar PP' `=` 5`:`6]에서

[eqn: rmbarAP`:`bar{PM}=5`:`3`]

삼각형 [eqn: rmAMP`]에서 [eqn: rm{barAM}over{barPM}= 4over3 `]이므로 직선 [eqn: rmAF`]의 기울기는 [eqn: - 4over3 `]이고, 직선 [eqn: rmAF`prime`]의 기울기는 [eqn: 4over3 `]이다.

쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1 ``](단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])라 하면 점근선의 기울기가 [eqn: +- 4over3 `]이므로

[eqn: b overa = 4over3],    [eqn: b= 4over3 a]

[eqn: c^2 =a^2 +b^2 =a^2 +left(4over3 a right)^2 = 25over9 a^2]에서    [eqn: c= 5over3 a]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: rmbar{PF`prime}-barPF =it2a`]이므로

[eqn: rmbar{PF`prime}=it2a+1]

삼각형 [eqn: rmPFF`prime`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: left(2a+1right)^2 = left(2c right)^2 +1^2 -2cdot2c cdot1 cos`left(angle rmPFF prime right)]

[eqn: c= 5over3 a], [eqn: cos`left(angle rmPFF`prime right)= 3over5 `]이므로

[eqn: 4a^2 +4a+1= 100over9 a^2 +1 -4a]

[eqn: 8over9 a left(8a-9right)=0]

[eqn: a>0`]이므로    [eqn: a= 9over8]

따라서 쌍곡선 [eqn: C`]의 주축의 길이는 [eqn: 9 over4 `]이다.

[다른 풀이]

그림과 같이 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it], 선분 [eqn: {rm{PP}} it `prime]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmM]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{PP}} it `prime }=5: 6]이고 점 [eqn: {rm{M}} it]은 선분 [eqn: {rm{PP}} it `prime]의 중점이므로

[eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{MP}} it }=5: 3]

직각삼각형 [eqn: {rm{AMP}} it]에서 [eqn: { overline{{rm{AM}} it }} over { overline{{rm{MP}} it }}={4} over {3}]이므로 직선 [eqn: {rm{AF}} it]의 기울기는 [eqn: -{4} over {3}]이고 직선 [eqn: {rm{AF}} it `prime]의 기울기는 [eqn: {4} over {3}]이다.

쌍곡선 [eqn: C]의 방정식을

[eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1 ``](단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

으로 놓으면 점근선의 기울기가 [eqn: +- 4over3 `]이므로

[eqn: {b} over {a}={4} over {3}]

[eqn: a=3 k], [eqn: b=4 k] (단, [eqn: k>0)]

이라 하면 쌍곡선 [eqn: C]의 방정식은

[eqn: {x^{2}} over {9 k^{2}}-{y^{2}} over {16 k^{2}}=1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때 점 [eqn: {rm{F}} it]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: sqrt{9 k^{2}+16 k^{2}}= sqrt{25 k^{2}}=5 k]

이고, 직각삼각형 [eqn: {rm{PHF}} it]에서 [eqn: overline{{rm{PF}} it }=1]이므로

[eqn: overline{{rm{HF}} it }={3} over {5}], [eqn: overline{{rm{PH}} it }={4} over {5}]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는    [eqn: {rm{P}} it left(5 k-{3} over {5},`` {4} over {5} right)]

점 [eqn: rmP`]가 쌍곡선 [eqn: C] 위의 점이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: { left(5 k-{3} over {5} right)^{2}} over {9 k^{2}}-{ left({4} over {5} right)^{2}} over {16 k^{2}}=1]

[eqn: 16 k^{2}-6 k=0],    [eqn: 2 k(8 k-3)=0]

[eqn: k>0]이므로    [eqn: k={3} over {8}]

따라서 구하는 쌍곡선 [eqn: C]의 주축의 길이는

[eqn: 2 a=6 k={9} over {4}]

직선 [eqn: {rm{AF}} it]는 쌍곡선 [eqn: C`]의 한 점근선과 평행하고

[eqn: {bar{rm AP it}} `:` {bar{rm PP it `prime }} =5`:`6], [eqn: {bar{rm PF it}} =1]

일 때, 쌍곡선 [eqn: C`]의 주축의 길이는?

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {29} over {12}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 27

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F], [eqn: rmF'`]인 쌍곡선 [eqn: ax ^{2} -4y ^{2} =a`] 위의 점 중 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P`]와 선분 [eqn: rm PF'`] 위의 점 [eqn: rm Q`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm PQF`]는 한 변의 길이가 [eqn: sqrt {6} -1`]인 정삼각형이다. 상수 [eqn: a`]의 값은? (단, 점 [eqn: rm F`]의 [eqn: x`]좌표는 양수이다.)

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rmPQF]는 정삼각형이므로

[eqn: rmbarPF =barPQ =barQF =root6 -1]

[eqn: ax ^{2} -4y ^{2} =a`]에서 [eqn: x^2 - y^2 over{a over4} =1]이므로 쌍곡선의 주축의 길이는 [eqn: 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: rmbar{PF `prime}-barPF =2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: rmbar{PF `prime}=barPQ +bar{QF`prime}], [eqn: rmbarPF =barPQ]이므로 ㉠에 대입하면

[eqn: rmbar{QF`prime}=2]

[eqn: angle rmPQF=60DEG]에서 [eqn: rm angle rmFQF`prime=120DEG]이므로 삼각형 [eqn: rmQFF`prime]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rmbar{FF`prime}`^2][eqn: =rmbarQF`^2 +bar{QF`prime}`^2 -2barQF cdot bar{QF`prime}cos`120DEG]
[eqn: =left(root6 -1right)^2 +2^2 -2cdot left(root6 -1right)cdot2 cdot left(- 1over2 right)]
[eqn: =9]	[eqn: cdotscdots] ㉡

쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 over{a over4} =1]에서

[eqn: rmbarOF`^2 =1+ it a over4], [eqn: rmbar{FF`prime}`^2 =4+ita]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: 4+a=9]

[eqn: therefore][eqn: a=5]

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: 5]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: {13} over {2}]

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
04 정의 활용4 (둘레의 길이 관련)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 26

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1`]의 두 초점 [eqn: rmF], [eqn: rm F prime `]과 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmA`]에 대하여 삼각형 [eqn: rmAF'F`]의 둘레의 길이가 [eqn: 24`]일 때, 삼각형 [eqn: rmAF'F`]의 넓이는? (단, 점 [eqn: rm A`]는 제[eqn: 1`]사분면의 점이다.)

[정답] ④

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {9} - {y ^{2}} over {16} =1`]의 두 초점 [eqn: rmF`], [eqn: rmF']의 좌표를

각각 [eqn: LEFT ( c,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -c,``0 RIGHT )][eqn: left(c>0right)]이라 하면

[eqn: c ^{2} =9+16=25]

에서 [eqn: c=5]이므로 [eqn: rmF LEFT ( 5,``0 RIGHT )], [eqn: rmF' LEFT ( -5,``0 RIGHT )]

쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: rm {bar{AF'}} - {bar{AF }} =6] 　 [eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmAF'F`]의 둘레의 길이가 [eqn: 24]이므로

[eqn: rm {bar{AF}} + {bar{AF'}} + {bar{FF'}} =24]

이고 [eqn: rm {bar{FF'}} =10]이므로

[eqn: rm {bar{AF}} + {bar{AF'}} =14]　　[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: rm {bar{AF}} =4], [eqn: rm {bar{AF'}} =10]이므로 삼각형 [eqn: rmAF'F`]는 이등변삼각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmAF'F`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times 4 times sqrt {10 ^{2} -2 ^{2}} =8 sqrt {6}]

① [eqn: 4 sqrt {3}]	② [eqn: 4sqrt6]	③ [eqn: 8sqrt3]

④ [eqn: 8 sqrt {6}]	⑤ [eqn: 16 sqrt {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 24

그림과 같이 두 초점이 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0)(c>0)]인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {9}-{y^{2}} over {16}=1]이 있다. 쌍곡선 위의 점 중 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{FP}} it }= overline{{rm{FF}} it `prime }]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{F}} it]의 둘레의 길이는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: c^{2}=9+16=25], [eqn: c=5]에서 [eqn: overline{{rm{FF}} it `prime }=2 c=10]이고

[eqn: overline{{rm{FP}} it }= overline{{rm{FF}} it `prime }=10]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {9}-{y^{2}} over {16}=1]의 주축의 길이가 [eqn: rm 6]이므로

[eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }- overline{{rm{FP}} it }=6], [eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }= overline{{rm{FP}} it }+6=16]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{PF}} it `prime {rm{F}} it]의 둘레의 길이는

[eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{P}} it }+ overline{{rm{FF}} it `prime }+ overline{{rm{FP}} it }=16+10+10=36]

① [eqn: rm 35]	② [eqn: rm 36]	③ [eqn: rm 37]

④ [eqn: rm 38]	⑤ [eqn: rm 39]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 29

두 점 [eqn: {rm{F}} it], [eqn: {rm{F}} it `prime]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {4}-{y^{2}} over {32}=1] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 128]

[해설]

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {4}-{y^{2}} over {32}=1]의 두 초점의 좌표를 [eqn: {rm{F}} it (6,``0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-6,``0)]이라 하자.

점 [eqn: {rm{F}} it `prime]이 선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 수직이등분선 위의 점이므로

두 직각삼각형 [eqn: {rm{AF}} it `prime {rm{M}} it], [eqn: {rm{FF}} it `prime {rm{M}} it]이 합동이다.

그러므로 [eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }= overline{{rm{FF}} it `prime }=12]

점 [eqn: {rm{A}} it]가 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: overline{{rm{AF}} it `prime }- overline{{rm{AF}} it }=4]에서 [eqn: overline{{rm{AF}} it }=8]

점 [eqn: {rm{M}} it]은 선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 중점이므로

[eqn: overline{{rm{AM}} it }=4]

직각삼각형 [eqn: {rm{AF}} it `prime {rm{M}} it]에서 피타고라스 정리에 의하여 [eqn: overline{{rm{MF}} it `prime }= sqrt{12^{2}-4^{2}}=8 sqrt{2}]

점 [eqn: {rm{B}} it]가 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: overline{{rm{BF}} it ^{2}}= overline{{rm{BF}} it `prime }-4]이고

[eqn: overline{{rm{BM}} it }=8 sqrt{2}- overline{{rm{BF}} it `prime }]이므로

삼각형 [eqn: {rm{BFM}} it]의 둘레의 길이는

[eqn: overline{{rm{BF}} it }+ overline{{rm{FM}} it }+ overline{{rm{BM}} it ^{2}}][eqn: = left( overline{{rm{BF}} it `prime }-4 right)+4+ left(8 sqrt{2}- overline{{rm{BF}} it `prime } right)]
[eqn: =8 sqrt{2}]

따라서 [eqn: k=8 sqrt{2}]이므로 [eqn: k^{2}=128]

(가) [eqn: overline{{rm{AF}} it }< overline{{rm{AF}} it `prime }]

(나) 선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 수직이등분선은 점 [eqn: {rm{F}} it `prime]을 지난다.

선분 [eqn: {rm{AF}} it]의 중점 [eqn: {rm{M}} it]에 대하여 직선 [eqn: {rm{MF}} it `prime]과 쌍곡선의 교점 중 점 [eqn: {rm{A}} it]에 가까운 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{BFM}} it]의 둘레의 길이는 [eqn: k]이다. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오.

07 기하	03 쌍곡선
02 쌍곡선의 정의 활용
07 정의 활용7 (타원과 쌍곡선)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 27

그림과 같이 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( c,~0 RIGHT ) ,~ rm F it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])을 초점으로 하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1]과 두 점 [eqn: rmF,~F']을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1]이 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =3]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1]의 주축의 길이가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {bar{rm PF'}} - {bar{rm PF}}][eqn: =4]에서 [eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: =7]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1]의 장축의 길이가 [eqn: 2 LEFT | `a` RIGHT |]이므로

[eqn: {bar{rm PF prime it}} + {bar{rm PF it}}][eqn: =7+3][eqn: =2 LEFT | `a` RIGHT |]에서 [eqn: a ^{2}][eqn: =25]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {25} + {y ^{2}} over {7}][eqn: =1]에서 [eqn: c ^{2}][eqn: =25-7][eqn: =18]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {4} - {y ^{2}} over {b ^{2}}][eqn: =1]에서 [eqn: 4+b ^{2}][eqn: =c ^{2}][eqn: =18], [eqn: b ^{2}][eqn: =14]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2}][eqn: =25+14][eqn: =39]

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 기하 29

두 초점이 [eqn: rmF_1 LEFT ( itc,``0 RIGHT )], [eqn: rm F _{2} LEFT ( it -c,``0 RIGHT )``][eqn: left(c>0right)`]인 타원이 [eqn: x`]축과 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 3,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -3,``0 RIGHT ) `]에서 만난다. 선분 [eqn: rmBO`]가 주축이고 점 [eqn: rmF_1`]이 한 초점인 쌍곡선의 초점 중 [eqn: rmF_1`]이 아닌 점을 [eqn: rmF _{3} `]이라 하자. 쌍곡선이 타원과 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmPF _{3} F _{2} `]의 둘레의 길이를 구하시오. (단, [eqn: rmO`]는 원점이다.)

[정답] [eqn: 12]

[해설]

점 [eqn: rmP`]에서 타원의 두 초점 [eqn: rmF_1], [eqn: rmF_2 `]까지의 거리의 합은 장축인 선분 [eqn: rmAB`]의 길이와 같다.

즉 [eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{1}}} =6][eqn: cdotscdots] ㉠

점 [eqn: rmP`]에서 쌍곡선의 두 초점 [eqn: rmF_1], [eqn: rmF_3 `]까지의 거리의 차는 주축인 선분 [eqn: rmBO`]의 길이와 같다.

즉 [eqn: rm {bar{PF _{3}}} - rm {bar{PF _{1}}} =3][eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 더하면

[eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{3}}} =9]

쌍곡선의 두 초점이 [eqn: rmF_3], [eqn: rmF_1`]이므로
[eqn: bar{rmF_3 B][eqn: =bar{ rmOF_1}=c]
[eqn: bar{rm BF_2 }][eqn: = bar{rm BO}-bar{rmF_2 O}][eqn: =3-c]

그러므로 [eqn: rm {bar{F _{3} F _{2}}} =bar{rmF_3 B }+ bar{rm BF_2 } =3]

따라서 삼각형 [eqn: rmPF _{3} F _{2} `]의 둘레의 길이는

[eqn: rm {bar{PF _{2}}} + rm {bar{PF _{3}}} + rm {bar{F _{3} F _{2}}} =12]

07 기하	04 이차곡선과접선
01 포물선과 접선
02 포물선과 접선2 (접점조건)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 24

포물선 [eqn: y^{2}=4 x] 위의 점 [eqn: (9,``6)]에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점이 [eqn: (a,`` b)]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ④

[해설]

포물선 [eqn: y^{2}=4 x] 위의 점 [eqn: (9,``6)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: 6 y=2(x+9)]

준선의 방정식이 [eqn: x=-1]이므로 [eqn: a=-1]

점 [eqn: (-1,`` b)]가 접선 위의 점이므로 [eqn: b={8} over {3}]

따라서 [eqn: a+b={5} over {3}]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 29

두 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}(4,``0)], [eqn: {rm{F}} it _{2}(-6,``0)]에 대하여 포물선 [eqn: y^{2}=16 x] 위의 점 중 제 [eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: overline{{rm{PF}} it _{2}}- overline{{rm{PF}} it _{1}}=6]을 만족시킨다. 포물선 [eqn: y^{2}=16 x] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{F}} it _{3}]이라 하면 두 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{F}} it _{3}]을 초점으로 하는 타원의 한 꼭짓점은 선분 [eqn: {rm{PF}} it _{3}] 위에 있다. 이 타원의 장축의 길이가 [eqn: 2 a]일 때, [eqn: a^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 54]

[해설]

[eqn: overline{{rm{PF}} it _{2}}- overline{{rm{PF}} it _{1}}=6]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]는 두 초점이 [eqn: {rm{F}} it _{1}(4,``0)], [eqn: {rm{F}} it _{2}(-6,``0)]이고 주축의 길이가 [eqn: rm 6]인 쌍곡선 위의 점이다. 쌍곡선의 중심의 좌표는 [eqn: (-1,``0)]이므로 쌍곡선의 방정식은

[eqn: {(x+1)^{2}} over {9}-{y^{2}} over {16}=1 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

점 [eqn: {rm{P}} it]는 포물선 [eqn: y^{2}=16 x]와 쌍곡선 ㉠의 교점이므로 [eqn: {(x+1)^{2}} over {9}-{16 x} over {16}=1], [eqn: x^{2}-7 x-8=0], [eqn: (x-8)(x+1)=0], [eqn: x=8] 또는 [eqn: x=-1]

제 [eqn: rm 1]사분면 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는 [eqn: (8,``8 sqrt{2})]이다.

포물선 [eqn: y^{2}=16 x] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선의 방정식이

[eqn: 8 sqrt{2} y=8(x+8)], 즉 [eqn: y={ sqrt{2}} over {2}(x+8)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이므로 점 [eqn: {rm{F}} it _{3}]의 좌표는 [eqn: (-8,``0)]이다.

두 점 [eqn: {rm{F}} it _{1}(4,``0)], [eqn: {rm{F}} it _{3}(-8,``0)]을 초점으로 하는 타원의 꼭짓점은 [eqn: x]축 또는 직선 [eqn: x=-2] 위에 있다.

이때 선분 [eqn: {rm{PF}} it _{3}] 위에 있는 꼭짓점은 직선 [eqn: x=-2]위에 있으므로 ㉡에 [eqn: x=-2]를 대입하면 [eqn: y=3 sqrt{2}]이 타원의 단축의 길이는 [eqn: 6 sqrt{2}]이고 두 초점 사이의 거리는 [eqn: rm 12]이다.

따라서 [eqn: a^{2}=6^{2}+(3 sqrt{2})^{2}=54]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 29

초점이 [eqn: {rm{F}} it]인 포물선 [eqn: y^{2}=4 p x(p>0)]에 대하여 이 포물선 위의 점 중 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 직선 [eqn: x=-p]와 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나고 직선 [eqn: x=-p]에 수직인 직선이 포물선과 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하자.

[정답] [eqn: 21]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표는 [eqn: (k,`` 2 sqrt{k p})]이다.

직선 [eqn: {rm{QR}} it]는 [eqn: x]축과 평행하고 [eqn: angle {rm{PRQ}} it ={ pi} over {2}]에서
직선 [eqn: {rm{PR}} it]는 [eqn: y]축과 평행하므로 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{R}} it]의 [eqn: x]좌표는

서로 같고 두 점 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it]의 [eqn: y]좌표는 서로 같다.

그러므로 두 점 [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는

[eqn: {rm{R}} it (k,``-2 sqrt{k p})], [eqn: {rm{Q}} it (-p,``-2 sqrt{k p})]

포물선 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 2 sqrt{k p} y=2 p(x+k)]이고 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나므로

[eqn: -4 k p=2 p(-p+k)], [eqn: p=3 k]

[eqn: overline{{rm{QR}} it }=p+k=4 k]에서 [eqn: overline{{rm{RF}} it }= overline{{rm{FP}} it }=4 k]이고

[eqn: overline{{rm{PR}} it }=4 sqrt{k p}=4 sqrt{3} k]이므로

직각삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]에서

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }`^{2}=(4 k)^{2}+(4 sqrt{3} k)^{2}=64 k^{2}]

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }=8 k]

사각형 [eqn: {rm{PQRF}} it]의 둘레의 길이는

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }+ overline{{rm{QR}} it }+ overline{{rm{RF}} it }+ overline{{rm{FP}} it }=8 k+4 k+4 k+4 k=140], [eqn: ~ k=7]

따라서 [eqn: p=3 k=21]

[eqn: angle {rm{PRQ}} it ={ pi} over {2}]일 때, 사각형 [eqn: {rm{PQRF}} it]의 둘레의 길이가 [eqn: rm 140]이

되도록 하는 상수 [eqn: p]의 값을 구하시오.

07 기하	04 이차곡선과접선
02 타원과 접선
02 타원과 접선2 (접점조건)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 24

타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {4} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( 2 ,```` sqrt {2} RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: x]절편은?

[정답] ⑤

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {8} + {y ^{2}} over {4} =1]위의 점 [eqn: LEFT ( 2 ,```` sqrt {2} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {2x} over {8} + {sqrt {2} y} over {4} =1]

[eqn: y=0]을 대입하면 [eqn: {2x} over {8} =1]이므로 [eqn: x=4]

즉, [eqn: x]절편은 [eqn: 4]

[참고]

[eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]위의 점 [eqn: (x_1 ,````y_1 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {x_1 x} over a^2 +{y_1 y} over b^2 =1]

① [eqn: 1]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 28

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm F LEFT ( it c ,```` 0 RIGHT ) ,```` rm F' LEFT ( it-c ,```` 0 RIGHT ) ```` LEFT ( c>0 RIGHT )}{{from^2021^09^평가원^중}}]을 초점으로 하는 타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {12} =1]위의 점 [eqn: rm P LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )]에서 타원에 접하는 직선을 [eqn: l]이라 하자. 점 [eqn: rmF]를 지나고 [eqn: l]과 평행한 직선이 타원과 만나는 점 중 제[eqn: 2]사분면 위에 있는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm P LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {2x} over {16} + {3y} over {12} =1]

[eqn: {x} over {8} + {y} over {4} =1]

그러므로 점 [eqn: rmS]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 8 ,```` 0 RIGHT )]이다.

한편, [eqn: c= sqrt {16-12} =2]이므로 [eqn: rm F LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT ) ,```` rm F' LEFT ( -2 ,```` 0 RIGHT )]

이때, 두 삼각형 [eqn: rmF'FQ ,```` F'SR]는 [eqn: ANGLE rm QF'F= ANGLE rm RF'S]이고 [eqn: {bar{rm FQ}}]□[eqn: {bar{rm SR}}]이므로 닮은 삼각형이다.

한편, [eqn: {bar{rm F'F}} =4 ,```` {bar{rm F'S}} =10]이므로 두 삼각형 [eqn: rmF'FQ ,```` F'SR]의 둘레의 길이의 비는 [eqn: 2 ``:`` 5]

한편, 삼각형 [eqn: RMF'FQ]의 둘레의 길이는 타원의 정의에 의해

[eqn: {bar{rm FQ}} + {bar{rm QF'}} =2 TIMES 4=8]이므로

[eqn: {bar{rm FF prime }} + {bar{rm FQ}} + {bar{rm QF prime }} =4+8=12]

따라서 구하는 삼각형 [eqn: RMSRF']의 둘레의 길이를 [eqn: l]이라 하면

[eqn: 12 ``:`` l = 2 ``:`` 5]이므로 [eqn: l=30]

두 직선 [eqn: rmF'Q]와 [eqn: l]이 만나는 점을 [eqn: rm R], [eqn: l]과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: rmS]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmSRF']의 둘레의 길이는?

① [eqn: 30]	② [eqn: 31]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 34]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 25

타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] 위의 점 [eqn: LEFT (2,`` 1 RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: - {1} over {2}]일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이다.)

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: (2,``1)]이 타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1]위에 있으므로

[eqn: {4} over {a^{2}}+{1} over {b^{2}}=1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

타원 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}+{y^{2}} over {b^{2}}=1] 위의 점 [eqn: (2,``1)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {2 x} over {a^{2}}+{y} over {b^{2}}=1],    [eqn: y=`-{2 b^{2}} over {a^{2}} x+b^{2}]

이고, 주어진 조건에 의하여 접선의 기울기가 [eqn: -{1} over {2}]이므로

[eqn: - {2b ^{2}} over {a ^{2}} =`- {1} over {2}],    [eqn: a^{2}=4 b^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a^{2}=8], [eqn: b^{2}=2]

그러므로 주어진 타원의 방정식은

[eqn: {x^{2}} over {8}+{y^{2}} over {2}=1]

타원의 두 초점을 각각 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: rm F`' it LEFT ( -c`,``0 RIGHT )] [eqn: (c>0)]라 하면

[eqn: c^{2}=8-2=6],    [eqn: c= sqrt{6}]

따라서 구하는 두 초점 사이의 거리는

[eqn: overline{{rm{FF}} it `prime }=2 sqrt{6}]

① [eqn: 2 sqrt{3}]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: 2 sqrt{5}]

④ [eqn: 2 sqrt{6}]	⑤ [eqn: 2 sqrt{7}]

07 기하	04 이차곡선과접선
02 타원과 접선
03 타원과 접선3 (기울기조건)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 26

좌표평면에서 타원 [eqn: x^2 + 3y^2 = 19 `]와 직선 [eqn: l`]은 제[eqn: 1 `]사분면 위의 한 점에서 접하고, 원점과 직선 [eqn: l] 사이의 거리는 [eqn: 19 over 5 `]이다. 직선 [eqn: l `]의 기울기는?

[정답] ⑤

[해설]

타원의 접선

접선의 기울기를 [eqn: m]이라고 하면

[eqn: y= mx + sqrt{ 19m^2 + 19 over3]

원점에서 거리는

[eqn: sqrt{ 19 m^2 + 19 over3}} over{ sqrt{m^2 + 1}} = 19 over5]

이것을 풀면 [eqn: m^2 = 16 over9], [eqn: THEREFORE][eqn: m = - 4 over3]

① [eqn: - 2 over 3`]	② [eqn: - 5 over 6`]	③ [eqn: -1`]

④ [eqn: - 7 over 6`]	⑤ [eqn: - 4 over 3`]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 24

타원 [eqn: {x^{2}} over {16}+{y^{2}} over {8}=1]에 접하고 기울기가 [eqn: rm 2]인 두 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

타원 [eqn: {x^{2}} over {16}+{y^{2}} over {8}=1]에 접하고 기울기가 [eqn: rm 2]인 직선의 방정식은

[eqn: y=2 x +- sqrt{16 times 2^{2}+8}], [eqn: y=2 x +- 6 sqrt{2}]

두 직선의 [eqn: y]절편은 각각 [eqn: 6 sqrt{2}], [eqn: -6 sqrt{2}]이다.

따라서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=12 sqrt{2}]

① [eqn: 8 sqrt{2}]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: 10 sqrt{2}]

④ [eqn: rm 15]	⑤ [eqn: 12 sqrt{2}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 25

타원 [eqn: {x ^{2}} over {16} + {y ^{2}} over {9} =1`]과 두 점 [eqn: rm A LEFT ( 4,``0 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 0,``-3 RIGHT )]이 있다. 이 타원 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 삼각형 [eqn: rm ABP`]의 넓이가 [eqn: k`]가 되도록 하는 점 [eqn: rm P`]의 개수가 [eqn: 3`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

그림과 같이 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이가 [eqn: k]인 점 [eqn: rmP]의 개수가 [eqn: 3]개가 되기 위해서는 직선 [eqn: rmAB]와 평행한 직선이 타원과 접하는 접점이 점 [eqn: rmP] 중 하나이어야 한다.

직선 [eqn: rmAB]의 기울기가 [eqn: 3over4]이므로 타원에 접하는 접선의 방정식은

[eqn: y= 3over4 x+-root{16times 9over16 +9}= 3over4 x+-3root2]

그림과 같이 [eqn: y]절편이 음수이어야 하므로

[eqn: y= 3over4 x-3root2]

점 [eqn: rmA left(4,``0right)]에서 직선 [eqn: 3x-4y-12root2 =0]까지의 거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d={left|`12-12root2`right|}overroot{9+16}={12root2 -12}over5]

[eqn: rmbarAB =5]이므로 삼각형 [eqn: rmABP]의 넓이 [eqn: k]는

[eqn: k= 1over2 times5times{12root2 -12}over5 ={6root2 -6}over5]

① [eqn: 3 sqrt {2} -3]	② [eqn: 6 sqrt {2} -7]	③ [eqn: 3 sqrt {2} -2]

④ [eqn: 6 sqrt {2} -6]	⑤ [eqn: 6 sqrt {2} -5]

07 기하	04 이차곡선과접선
02 타원과 접선
04 타원과 접선4 (길이 또는 넓이의 Mm)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 26

좌표평면에서 타원 [eqn: {x^{2}} over {3}+y^{2}=1]과 직선 [eqn: y=x-1]이 만나는 두 점을 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{AC}} it]가 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 대각선이 되도록 타원 위에 두 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{D}} it]를 잡을 때, 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이의 최댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

타원 [eqn: {x^{2}} over {3}+y^{2}=1]에 접하고 기울기가 [eqn: rm 1]인 직선의 방정식은

[eqn: y=x +- sqrt{3 times 1+1}]

즉, [eqn: y=x +- 2]

직선 [eqn: y=x+2]와 타원 [eqn: {x^{2}} over {3}+y^{2}=1]이 접 하는 점이 [eqn: {rm{B}} it]이고 직선 [eqn: y=x-2]와 타원 [eqn: {x^{2}} over {3}+y^{2}=1]이 접하는 점이 [eqn: {rm{D}} it]일 때, 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이는 최대이다.

두 직선 [eqn: y=x+2], [eqn: y=x-1]사이의 거리를 구해 보자.

직선 [eqn: y=x+2] 위의 점 [eqn: (0,``2)]에서 직선 [eqn: y=x-1]즉 [eqn: x-y-1=0]사이의 거리를 [eqn: d_{1}]이라 하면

[eqn: d_{1}={|0-2-1|} over { sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}={3 sqrt{2}} over {2}]

두 직선 [eqn: y=x-2], [eqn: y=x-1]사이의 거리를 구해 보자.

직선 [eqn: y=x-2] 위의 점 [eqn: (0,``-2)]에서 직선 [eqn: y=x-1] 즉 [eqn: x-y-1=0]사이의 거리를 [eqn: d_{2}]라 하면

[eqn: d_{2}={|0-(-2)-1|} over { sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}}={ sqrt{2}} over {2}]

한편, 타원 [eqn: {x^{2}} over {3}+y^{2}=1]와 직선 [eqn: y=x-1]

이 만나는 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]의 좌표를 구해 보자.

[eqn: {x^{2}} over {3}+(x-1)^{2}=1]에서

[eqn: 2 x(2 x-3)=0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x={3} over {2}]

[eqn: x=0]일 때, [eqn: y=-1]

[eqn: x={3} over {2}]일 때, [eqn: y={3} over {2}-1={1} over {2}]

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]가

[eqn: {rm{A}} it left({3} over {2},`` {1} over {2} right)], [eqn: {rm{C}} it (0,``-1)]

이므로

[eqn: overline{{rm{AC}} it }= sqrt{ left(0-{3} over {2} right)^{2}+ left(-1-{1} over {2} right)^{2}}={3 sqrt{2}} over {2}]

따라서 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AC}} it } times d_{1}+{1} over {2} times overline{{rm{AC}} it } times d_{2}]

[eqn: ={1} over {2} times {3 sqrt{2}} over {2} times {3 sqrt{2}} over {2}+{1} over {2} times {3 sqrt{2}} over {2} times { sqrt{2}} over {2}]

[eqn: =3]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: rm 3]

07 기하	04 이차곡선과접선
02 타원과 접선
05 타원과 접선5 (곡선 밖의 점)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 26

[eqn: y]축 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 타원 [eqn: C: {x^{2}} over {8}+y^{2}=1]에 그은 두 접선을 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]라 하고, 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 타원 [eqn: C]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 서로 수직일 때, 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 길이는? (단, 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: rm 1]보다 크다.)

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로

삼각형 [eqn: {rm{APQ}} it]는 직각이등변삼각형이고

직선 [eqn: l_{1}]의 기울기는 [eqn: rm 1]이다.

타원 [eqn: C]에 접하고 기울기가 [eqn: rm 1]인 직선 [eqn: l_{1}]의 방정식은 [eqn: y=x+ sqrt{8 times 1^{2}+1}=x+3]

타원 [eqn: C]와 직선 [eqn: y=x+3]이 만나는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면

[eqn: {k^{2}} over {8}+(k+3)^{2}=1]

[eqn: 9 k^{2}+48 k+64=(3 k+8)^{2}=0]에서 [eqn: k=-{8} over {3}]

따라서 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]의 길이는 [eqn: {8} over {3} times 2={16} over {3}]

① [eqn: rm 4]	② [eqn: {13} over {3}]	③ [eqn: {14} over {3}]

④ [eqn: rm 5]	⑤ [eqn: {16} over {3}]

07 기하	04 이차곡선과접선
03 쌍곡선과 접선
02 쌍곡선과 접선2 (접점조건)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 24

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {7}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,~7 RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: x]절편은?

[정답] ③

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {2} - {y ^{2}} over {7}][eqn: =1] 위의 점 [eqn: LEFT ( 4,~7 RIGHT )]에서의

접선의 방정식은 [eqn: {4x} over {2} - {7y} over {7}][eqn: =1],

[eqn: 2x-y][eqn: =1]

따라서 구하는 접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 24

쌍곡선 [eqn: {x ^{2} -y ^{2}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =1]위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( a ,```` b RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 2]일 때, [eqn: ab]의 값은?
(단, 점 [eqn: rmP]는 제 [eqn: 1]사분면 위의 점이다.)

[정답] ②

[해설]

쌍곡선 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( a ,```` b RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: ax-by][eqn: =1]

기울기가 [eqn: 2]이므로 [eqn: {a} over {b}][eqn: =2], [eqn: a][eqn: =2b]

점 [eqn: rm P it LEFT ( a ,```` b RIGHT )]가 쌍곡선 [eqn: x ^{2} -y ^{2}][eqn: = it 1] 위의 점이므로

[eqn: 4b ^{2} -b ^{2}][eqn: =1]

[eqn: 3b ^{2}][eqn: =1]이고 [eqn: b]가 양수이므로 [eqn: b][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: a][eqn: =2b][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

따라서 [eqn: ab][eqn: = {2} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 25

쌍곡선 [eqn: {x^2 - y^2 over3 = 1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 [eqn: x]절편이 [eqn: 1over3]이다. 쌍곡선 [eqn: x^2 - y^2 over3 = 1]의 두 초점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점을 [eqn: rmF]라 할 때, 선분 [eqn: rmPF]의 길이는?

[정답] ①

[해설]

접점 [eqn: rmP]를 [eqn: (x_{1} , ````y_{1})] 이라 하면 접선의 방정식은

[eqn: x_{1} x - {{y_{1} y} over 3 =1]이므로 [eqn: x]절편이 [eqn: 1 over 3]이므로 [eqn: left( 1over 3 ,````0 right)]를 지난다.

[eqn: 1over3 x_{1} =1], 즉, [eqn: x_{1} = 3]이므로 점 [eqn: rmP ( 3 ,```` 2root6 )] ([eqn: because```` y_{1} >0])

초점의 좌표중 양수인 좌표는 [eqn: {rm F(2,````0)] ([eqn: because ```` c^{2}=a^{2}+b^{2}])

그러므로 선분 [eqn: rmPF]의 길이는

[eqn: root { (3 - 2 )^{2} + (2root6 -0 )^{2} }= root {1+24 }= 5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 16 over3]	③ [eqn: 17 over3]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 19 over3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 27

그림과 같이 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]위의 점 [eqn: {rmP}(IT4 ,```` k)][eqn: (k>0)]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rmQ}], [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rmR}]라 하자. [eqn: {rmS}(4 ,```` 0)]에 대하여 삼각형 [eqn: {rmQOR}]의 넓이를 [eqn: A _{1}], 삼각형 [eqn: {rmPRS}]의 넓이를 [eqn: A _{2}]라 하자. [eqn: A _{1} ``:`` A _{2} =9 ``:`` 4]일 때, 이 쌍곡선의 주축의 길이는?
(단, [eqn: {rmO}]는 원점이고, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ③

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]에 대하여 점 [eqn: rm P it (4 ,```` k)]가 쌍곡선 위의 점이므로

[eqn: {16} over {a ^{2}} - {k ^{2}} over {b ^{2}} =1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

점 [eqn: {rmP}(IT4 ,```` k)]에서 접선의 방정식은 [eqn: {4x} over {a ^{2}} - {ky} over {b ^{2}} =1]이므로 [eqn: x=0]일 때, [eqn: y= - b^2 over k] 즉, [eqn: {rmR}IT LEFT ( 0 ,```` - {b ^{2}} over {k} RIGHT )]

[eqn: y=0]일 때, [eqn: x= a^2 over 4] 즉, [eqn: {rmQ}IT LEFT ( {a ^{2}} over {4} ,```` 0 RIGHT )]

그러므로 삼각형 [eqn: {rmQOR}]의 넓이 [eqn: A _{1}], 삼각형 [eqn: {rmPRS}]의 넓이 [eqn: A _{2}]는

[eqn: A _{1} = {1} over {2} TIMES {a ^{2}} over {4} TIMES {b ^{2}} over {k}][eqn: ={a ^{2} b ^{2}} over {8k}],

[eqn: A _{2} = {1} over {2} TIMES k TIMES 4=2k]

이 때 [eqn: A _{1} ``:`` A _{2} =9 ``:`` 4]를 만족하므로

[eqn: {a ^{2} b ^{2}} over {8k} ``:`` 2k=9 ``:`` 4], [eqn: a ^{2} b ^{2} =36k ^{2}]

[eqn: k ^{2} = {a ^{2} b ^{2}} over {36}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: {16} over {a ^{2}} - {a ^{2} b ^{2}} over {36 b ^{2}} =1]

[eqn: {16} over {a ^{2}} - {a ^{2}} over {36} =1], [eqn: 16cdot 36 - a^4 = 36a^2]

[eqn: a^4 +36a^2 -576 =0]

[eqn: (a ^{2} +48)(a ^{2} -12)=0]

따라서 [eqn: a=2 sqrt {3}] ([eqn: because][eqn: a>0])

따라서 주축의 길이가 [eqn: 2a]이므로 주축의 길이는 [eqn: 4 sqrt {3}]

① [eqn: 2 sqrt {10}]	② [eqn: 2 sqrt {11}]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 2 sqrt {13}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {14}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 24

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-y^{2}=1] 위의 점 [eqn: (2 a,`` sqrt{3})]에서의 접선이 직선 [eqn: y=- sqrt{3} x+1]과 수직일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ②

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-y^{2}=1] 위의 점 [eqn: (2 a,`` sqrt{3})]에서의 접선의 방정식은

[eqn: {2 a x} over {a^{2}}- sqrt{3} y=1], [eqn: {2 x} over {a}- sqrt{3} y=1]

이고 [eqn: y=- sqrt{3} x+1]과 수직이므로 기울기의 곱이 [eqn: -1]이다.

따라서 [eqn: {2} over { sqrt{3} a} times(- sqrt{3})=-1]에서 [eqn: a=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 26

두 초점이 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0) ~ (c>0)]인 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {4}-{y^{2}} over {k}=1] 위의 제[eqn: rm 1]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: {4} over {3}]이다. [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }= overline{{rm{FF}} it `prime }]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표를 [eqn: left(x_{1},`` y_{1} right)]이라 하면

점 [eqn: {rm{P}} it]에서의 접선의 방정식은 [eqn: {x_{1} x} over {4}-{y_{1} y} over {k}=1]

이 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {4} over {x_{1}}]

[eqn: {4} over {x_{1}}={4} over {3}]이므로 [eqn: x_{1}=3]

[eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }= overline{{rm{FF}} it `prime }]이므로 [eqn: sqrt{(3+c)^{2}+y_{1}^{2}}=2 c]

[eqn: y _{1}^{2} =3c ^{2} -6c-9]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

점 [eqn: {rm{P}} it left(3,`` y_{1} right)]이 쌍곡선 위의 점이고

[eqn: k=c^{2}-4]이므로 [eqn: {9} over {4}-{y_{1}^{2}} over {c^{2}-4}=1]

[eqn: y _{1}^{2} = {5} over {4} LEFT ( c ^{2} -4 RIGHT )]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

두 식 ㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 3 c^{2}-6 c-9={5} over {4} left(c^{2}-4 right)]

[eqn: 7 c^{2}-24 c-16=0], [eqn: (7 c+4)(c-4)=0][eqn: c>0]이므로 [eqn: c=4]

따라서 [eqn: k=12]

① [eqn: rm 9]	② [eqn: rm 10]	③ [eqn: rm 11]

④ [eqn: rm 12]	⑤ [eqn: rm 13]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 기하 28

좌표평면에서 직선 [eqn: y=2 x-3] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다.

[정답] ①

[해설]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 초점으로 하는 쌍곡선의 방정식을 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1]이라 하자.

이 쌍곡선이 점 [eqn: (3,``3)]을 지나고 점 [eqn: (3,``3)]에서 직선 [eqn: y=2 x-3]에 접할 때, [eqn: overline{{rm{PB}} it }- overline{{rm{PA}} it }]는 최대이다. 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {a^{2}}-{y^{2}} over {b^{2}}=1] 위의 점 [eqn: (3,``3)]에서 의 접선의 방정식은 [eqn: {3 x} over {a^{2}}-{3 y} over {b^{2}}=1]

즉, [eqn: y={b^{2}} over {a^{2}} x-{b^{2}} over {3}]

이 직선이 [eqn: y=2 x-3]이므로

[eqn: {b^{2}} over {a^{2}}=2], [eqn: -{b^{2}} over {3}=-3]에서

[eqn: a^{2}={9} over {2}], [eqn: b^{2}=9]

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]가 쌍곡선의 초점이므로

[eqn: c^{2}=a^{2}+b^{2}={9} over {2}+9={27} over {2}]

따라서 [eqn: c={3 sqrt{6}} over {2}]

두 점 [eqn: {rm{A}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{B}} it (-c,`` 0)(c>0)]에 대하여 [eqn: overline{{rm{PB}} it }- overline{{rm{PA}} it }]의 값이

최대가 되도록 하는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표가 [eqn: (3,``3)]일 때, 상수 [eqn: c]의 값은?

① [eqn: {3 sqrt{6}} over {2}]	② [eqn: {3 sqrt{7}} over {2}]	③ [eqn: 3 sqrt{2}]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: {3 sqrt{10}} over {2}]

07 기하	04 이차곡선과접선
03 쌍곡선과 접선
03 쌍곡선과 접선3 (기울기조건)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 30

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm{F}} it (c,`` 0)], [eqn: {rm{F}} it `prime (-c,`` 0)(c>0)]을 초점으로 하는 쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {a^{2}}=1]이 있다. 쌍곡선 위의 점 중 제[eqn: rm 2]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]는 넓이가 [eqn: rm 15]이고 [eqn: angle {rm{F}} it `prime {rm{PF}} it ={ pi} over {2}]인 직각삼각형이다. 직선 [eqn: {rm{PF}} it `prime]과 평행하고 쌍곡선에 접하는 두 직선을 각각 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]라 하자. 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}]라 할 때, [eqn: overline{{rm{Q}} it _{1} {rm{Q}} it _{2}}={q} over {p} sqrt{3}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이고, [eqn: a]는 양수이다.)

[정답] [eqn: 13]

[해설]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {a^{2}}=1]의 주축의 길이가 [eqn: 2 sqrt{10}]이므로

[eqn: overline{{rm{PF}} it }=k]라 하면 [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }=k-2 sqrt{10}]

삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]는 넓이가 [eqn: rm 15]인 직각삼각형이므로 [eqn: {1} over {2} times k times(k-2 sqrt{10})=15]

[eqn: k^{2}-2 sqrt{10} k-30=(k-3 sqrt{10})(k+ sqrt{10})=0]

[eqn: k=3 sqrt{10}]이므로 [eqn: overline{{rm{PF}} it }=3 sqrt{10}], [eqn: overline{{rm{PF}} it `prime }= sqrt{10}]

직각삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]에서

[eqn: rm {bar { F prime F }}^2][eqn: =(root10 )^2 +(3 root 10 )^2][eqn: =100]이므로

[eqn: overline{{rm{F}} it `prime {rm{F}} it }=2 c=10], [eqn: c=5]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {a^{2}}=1]에서

[eqn: 10+a^{2}=c^{2}=25]이므로 [eqn: a^{2}=15]

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자.

삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{FP}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{F}} it `prime {rm{PH}} it]는 서로 닮음이므로

직선 [eqn: {rm{PF}} it `prime]의 기울기는

[eqn: { overline{{rm{PH}} it }} over { overline{{rm{F}} it `prime {rm{H}} it }}={ overline{{rm{PF}} it }} over { overline{{rm{PF}} it `prime }}={3 sqrt{10}} over { sqrt{10}}=3]

쌍곡선 [eqn: {x^{2}} over {10}-{y^{2}} over {15}=1]에 접하고 기울기가 [eqn: rm 3]인

직선의 방정식은

[eqn: y=3 x +- sqrt{10 times 3^{2}-15}=3 x +- 5 sqrt{3}]이므로

[eqn: l_{1}: y=3 x+5 sqrt{3}], [eqn: l_{2}: y=3 x-5 sqrt{3}]

에서 두 점 [eqn: {rm{Q}} it _{1}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}]의 좌표는 각각

[eqn: {rm{Q}} it _{1} left(-{5 sqrt{3}} over {3},`` 0 right)], [eqn: {rm{Q}} it _{2} left({5 sqrt{3}} over {3},`` 0 right)]

따라서 [eqn: overline{{rm{Q}} it _{1} {rm{Q}} it _{2}}={10} over {3} sqrt{3}={q} over {p} sqrt{3}]에서

[eqn: p=3], [eqn: q=10]이므로 [eqn: p+q=3+10=13]

07 기하	04 이차곡선과접선
04 접선의 활용
01 활용1 (두 개 이상의 이차곡선과 접선의 관계)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 기하 28

좌표평면에서 두 점 [eqn: rm F it LEFT ( {9} over {4} ,~0 RIGHT ) ,~ rm F it ' LEFT ( -c,~0 RIGHT )]([eqn: c>0])을 초점으로 하는 타원과 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =9x]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmP]라 하자. [eqn: {bar{rm PF}}][eqn: = {25} over {4}]이고 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =9x] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 점 [eqn: rmF']을 지날 때, 타원의 단축의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rm F it LEFT ( {9} over {4} ,~0 RIGHT )]이 포물선의 초점이므로

준선의 방정식은 [eqn: x][eqn: = it - {9} over {4}]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~y _{1} RIGHT )]이라 하면

[eqn: {bar{rm PF}}][eqn: =x _{1} + {9} over {4}][eqn: = {25} over {4}]에서 [eqn: x _{1}][eqn: =4], [eqn: y _{1}][eqn: = it 6]

포물선 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 방정식은

[eqn: 6y][eqn: = {9} over {2} LEFT ( x+4 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmF']을 지나므로 [eqn: c][eqn: =4]

[eqn: rm P it LEFT ( 4,~6 RIGHT )], [eqn: rm F it ' LEFT ( -4,~0 RIGHT )]이므로 [eqn: {bar{rm PF'}}][eqn: =10]

타원의 장축의 길이는 [eqn: {bar{rm PF'}} + {bar{rm PF}}][eqn: = {65} over {4}]이고

[eqn: {bar{rm F'F}}][eqn: =4+ {9} over {4}][eqn: = {25} over {4}]이므로

타원의 단축의 길이를 [eqn: k]라 하면

[eqn: LEFT ( {k} over {2} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( {65} over {8} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( {25} over {8} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {225} over {4}]

따라서 타원의 단축의 길이는 [eqn: 15]

① [eqn: 13]	② [eqn: {27} over {2}]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: {29} over {2}]	⑤ [eqn: 15]

07 기하	04 이차곡선과접선
04 접선의 활용
02 활용2 (공통접선)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 25

양수 [eqn: a]에 대하여 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 직선이 타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {16}][eqn: =1]과 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =ax]에 동시에 접할 때, 포물선 [eqn: y ^{2}][eqn: =ax]의 초점의 [eqn: x]좌표는?

[정답] ②

[해설]

타원 [eqn: {x ^{2}} over {36} + {y ^{2}} over {16} =1]에 접하고 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 접선의 방정식은

[eqn: y= {1} over {2} x± sqrt {36` TIMES ` {1} over {4} +16}], [eqn: `y= {1} over {2} x+-5]

포물선 [eqn: y ^{2} =ax]에 접하고 기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 접선의 방정식은

[eqn: y= {1} over {2} x+ {{a} over {4}} over {{1} over {2}}], [eqn: `y= {1} over {2} x+ {a} over {2}]

[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: {a} over {2} =5], [eqn: a=10]

따라서 포물선 [eqn: y ^{2} =ax]의 초점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {a} over {4} = {5} over {2}]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[기하] [01이차곡선] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
기벡 3개년	2022.12.29

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: 6`]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[정답] [eqn: 23]

[정답] [eqn: 384]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: 63]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: bold66]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 32]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 128]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 12]

[정답] ④

[정답] [eqn: 54]

[정답] [eqn: 21]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: 13]

[정답] ⑤

[정답] ②

[기하] [01이차곡선] 교사평경 최근 3개년(해설)
기벡 3개년	2022.12.29