		미적 3개년	2022.12.29
교사평경3	03	[미적] [03적분전체] 교사평경 최근 3개년

06 미적	11 부정적분
01 여러 가지 함수의 부정적분
01 여러 가지 함수1 (x의 n제곱)

교사평경3		미적 3개년
03		[미적] [03적분전체] 교사평경 최근 3개년

	미적 3개년		교사평경3
	[미적] [03적분전체] 교사평경 최근 3개년		03

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 15

[eqn: {x>0}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: x>0]에서 [eqn: f `prime (x)=2-{3} over {x^{2}}]이므로

[eqn: f(x)= int left(2-{3} over {x^{2}} right) d x= int left(2-3 x^{-2} right) d x=2 x+{3} over {x}+C_{1}]

(단, [eqn: C_{1}]은 적분상수)

[eqn: f(1)=5]이므로

[eqn: f(1)=2+3+C_{1}=5]에서 [eqn: C_{1}=0]

즉, [eqn: f(x)=2 x+{3} over {x}(x>0)]

[eqn: x<0]에서 [eqn: g `prime (x)=f `prime (-x)=2-{3} over {(-x)^{2}}=2-{3} over {x^{2}}]이므로

[eqn: ~ g(x)= int left(2-{3} over {x^{2}} right) d x= int left(2-3 x^{-2} right) d x=2 x+{3} over {x}+C_{2}]

(단, [eqn: C_{2}]는 적분상수)

[eqn: f(2)+g(-2)=9]이므로

[eqn: f(2)+g(-2)= left(4+{3} over {2} right)+ left(-4-{3} over {2}+C_{2} right)=9]에서 [eqn: C_{2}=9]

즉, [eqn: g(x)=2 x+{3} over {x}+9(x<0)]

따라서 [eqn: g(-3)=-6-1+9=2]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2- {3} over {x ^{2}}], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =5]

이다. [eqn: x<0]에서 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g LEFT ( -3 RIGHT )]의 값은?

(가) [eqn: x<0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( -x RIGHT )]이다.

(나) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( -2 RIGHT )][eqn: =9]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	11 부정적분
02 치환적분과 부분적분
01 치환적분1 (다항식 치환)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 12

[eqn: {x>1 }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]인 모든 실수 [eqn: x]의 집합에서 정의되고 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: sqrt {x-1} f prime LEFT ( x RIGHT ) =3x-4]를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f'(x)][eqn: = {3x-4} over {rootx-1}]이므로 [eqn: f(x)][eqn: = int _{ } ^{ } { {3x-4} over{ root x-1}}dx]에서

[eqn: x-1][eqn: =t]로 치환하면 [eqn: 1][eqn: = dt over dx]이므로

[eqn: int _{ } ^{ } { {3x-4} over {rootx-1}}dx][eqn: = int _{ } ^{ } { {3t-1} over roott }dt]
[eqn: = int _{ } ^{ } { left( 3t^{1 over2 } - t ^{ - 1 over2 } right)}dt]
[eqn: =2 t^{3 over2} - 2t^{1 over2} +C][eqn: (C]는 적분상수[eqn: )]
[eqn: = 2(x-1)^{ 3 over2} - 2(x-1)^{1 over2} + C]

[eqn: f(5)][eqn: = 12+C ,````][eqn: f(2)][eqn: = C]

따라서 [eqn: f(5) - f(2)][eqn: =12]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

06 미적	11 부정적분
02 치환적분과 부분적분
08 부분적분3 (로그함수)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 26

구간 [eqn: LEFT ( 0,`` inf RIGHT )]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]가 있다. 모든 양수 [eqn: t`]에 대하여 곡선 [eqn: y =f LEFT ( x RIGHT )`] 위의 점 [eqn: LEFT ( t ,``f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: { ln` t} over t^2 `]이다. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]일 때, [eqn: f LEFT ( e RIGHT )`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f`prime left(t right)={ln`t}overt^2]이므로 부분적분을 이용하면

[eqn: f left(x right)][eqn: =int {ln`x}overx^2`dx]
[eqn: =ln`x times left(- 1overx right)-int 1overx times left(- 1overx right)`dx]
[eqn: =it- {ln`x}overx - 1overx +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

[eqn: f left(1right)=0]에서

[eqn: f left(1right)=it-1+C=0]	[eqn: therefore][eqn: C=1]

따라서 [eqn: f left(x right)=it- {ln`x}overx - 1overx +1]이므로

[eqn: f left(e right)=it- 2overe +1={e-2}overe]

① [eqn: {e-2} over 3e]	② [eqn: {e -2} over 2e]	③ [eqn: {e-1} over 3e]

④ [eqn: {e-2} overe]	⑤ [eqn: {e-1} overe]

06 미적	12 정적분
01 여러 가지 함수의 정적분
01 여러 가지 함수1 (x의 n제곱)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 23

[eqn: int _{2} ^{4} {} {6} over {x ^{2}} `dx]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: int _{2} ^{4} {} {6} over {x ^{2}} `dx][eqn: = it LEFT [ - {6} over {x} RIGHT ] _{2}^{4}][eqn: = it - {3} over {2} - LEFT ( -3 RIGHT )][eqn: = {3} over {2}]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

06 미적	12 정적분
01 여러 가지 함수의 정적분
03 여러 가지 함수3 (삼각함수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 23

[eqn: int_{- pi over 2} ^pi sin` x dx `]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: int_{- pi over2}^pi sinx dx =][eqn: left[ pile{ # } - cosx pile{ # } right]_{- pi over2} ^pi][eqn: = 1]

① [eqn: -2`]	② [eqn: -1`]	③ [eqn: 0`]

④ [eqn: 1`]	⑤ [eqn: 2`]

06 미적	12 정적분
02 치환적분과 부분적분
02 치환적분2 (지수로그식의 치환적분)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 24

[eqn: int_{1}^{e} left({3} over {x}+{2} over {x^{2}} right) ln x d x- int_{1}^{e} {2} over {x^{2}} ln x d x]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: int_{1}^{e} left({3} over {x}+{2} over {x^{2}} right) ln x d x- int_{1}^{e} {2} over {x^{2}} ln x d x]

[eqn: = int_{1}^{e} {3} over {x} ln x d x]

[eqn: ln x=t]라 하면 [eqn: {1} over {x}={d t} over {d x}]
[eqn: x=1]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x=e]일 때 [eqn: t=1]

따라서 [eqn: int_{1}^{e} {3} over {x} ln x d x=3 int_{0}^{1} t d t]

[eqn: =3 left[ pile{it #it} {1} over {2} t^{2} right]_{0}^{1}=3 times {1} over {2}={3} over {2}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: rm 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

06 미적	12 정적분
02 치환적분과 부분적분
03 치환적분3 (삼각함수식의 치환적분)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 24

[eqn: { int _{0} ^{{pi} over {4}} {} 2 cos 2x sin ^{2} 2x dx}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sin 2x][eqn: =t]라 하면 [eqn: 2 cos 2x][eqn: = {dt} over {dx}]

[eqn: x][eqn: =0]일 때 [eqn: t][eqn: =0], [eqn: x][eqn: = {pi} over {4}]일 때 [eqn: t][eqn: =1]이다.

따라서

[eqn: int _{0} ^{{pi} over {4}} {} 2 cos 2x sin ^{2} 2x dx]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} t ^{2} dt][eqn: = LEFT [ {1} over {3} t ^{3} RIGHT ] _{0}^{1}]

[eqn: = {1} over {3}]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {2} over {9}]

④ [eqn: {5} over {18}]	⑤ [eqn: {1} over {3}]

06 미적	12 정적분
02 치환적분과 부분적분
06 부분적분1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 6

[eqn: {int _{1} ^{2} {LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{-x} dx}}{{from^2020^평가원가^3}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

부분적분을 이용하면

[eqn: int _{1} ^{2} {LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{-x} dx}]

[eqn: = LEFT [ pile{ `#` } - LEFT ( x-1 RIGHT ) e ^{-x} RIGHT ] _{1}^{2} - int _{1} ^{2} {1 cdotLEFT ( -e ^{-x} RIGHT ) dx}]

[eqn: =-e ^{-2} - LEFT [ pile{ `#` } e ^{-x} RIGHT ] _{1}^{2}]

[eqn: =][eqn: -e ^{-2}][eqn: - LEFT ( e ^{-2} -e ^{-1} RIGHT )]

[eqn: =][eqn: {1} over {e} - {2} over {e ^{2}}]

① [eqn: {1} over {e} - {2} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e} - {1} over {e ^{2}}]	③ [eqn: {1} over {e}]

④ [eqn: {2} over {e} - {2} over {e ^{2}}]	⑤ [eqn: {2} over {e} - {1} over {e ^{2}}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 24

[eqn: int_{0}^{ pi} x cos left({ pi} over {2}-x right) d x]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: int_{0}^{ pi} x cos left({ pi} over {2}-x right) d x][eqn: = int_{0}^{ pi} x sin x d x]
[eqn: =[-x cos x]_{0}^{ pi}- int_{0}^{ pi}(- cos x) d x]
[eqn: =- pi times cos pi+ int_{0}^{ pi} cos x d x]
[eqn: = pi+0]
[eqn: = pi]

① [eqn: { pi} over {2}]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {3 pi} over {2}]

④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: {5 pi} over {2}]

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
02 활용2 (적분식의 모양 변경)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 30

실수 전체의 집합에서 증가하고 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 143]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로 조건 (나)에 의하여

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =2f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]이므로

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =2f LEFT ( 2 RIGHT ) =4]

따라서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =4]이므로

[eqn: g LEFT ( 8 RIGHT ) =2f LEFT ( 4 RIGHT ) =8]

따라서 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =8]이다.

부분적분법에 의하여

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = LEFT [ pile{`#`} xf LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ] _{1}^{8} - int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =8f LEFT ( 8 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) - int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =8 TIMES 8-1- int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =63- int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이때

[eqn: int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이고,

[eqn: int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx= {5} over {4}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

이다.

이때 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 대칭성에 의하여

[eqn: int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =4 TIMES 4-2 TIMES 2- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =12- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

이때 [eqn: y=2t]로 놓으면 치환적분법에 의하여

[eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy=2 int _{1} ^{2} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]

이므로 조건 (나)에서

[eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: =2 int _{1} ^{2} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]
[eqn: =2 int _{1} ^{2} {} 2f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =4 TIMES {5} over {4} =5]

㉣에서

[eqn: int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =12- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =12-5=7][eqn: CDOTS CDOTS] ㉤

또, 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 대칭성에 의하여

[eqn: int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =8 TIMES 8-4 TIMES 4- int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =48- int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: CDOTS CDOTS] ㉥

이때 [eqn: y=2t]로 놓으면 치환적분법에 의하여

[eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) dy=2 int _{2} ^{4} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]

이므로 조건 (나)에서

[eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: =2 int _{2} ^{4} {} g LEFT ( 2t RIGHT ) `dt]
[eqn: =2 int _{2} ^{4} {} 2f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =4 TIMES 7=28]

㉥에서

[eqn: int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =48- int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: =48-28=20][eqn: CDOTS CDOTS] ㉦

㉡, ㉢, ㉤, ㉦에서

[eqn: int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{2} ^{4} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{4} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: = {5} over {4} +7+20= {113} over {4}]

이므로 ㉠에서

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =63- int _{1} ^{8} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =63- {113} over {4} = {139} over {4}]

따라서

[eqn: p+q=4+139=143]

[다른 풀이]

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx]에서 [eqn: x=g LEFT ( y RIGHT )]라 하면

[eqn: x=1]일 때 [eqn: y=1], [eqn: x=8]일 때 [eqn: y=8]이고,

[eqn: {dx} over {dy} =g`' LEFT ( y RIGHT ) = {1} over {f`' LEFT ( x RIGHT )}]

이므로

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]

이때

[eqn: int _{1} ^{2} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: =2 TIMES 2-1 TIMES 1- int _{1} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx]
[eqn: =3- {5} over {4} = {7} over {4}]

한편, [eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy= int _{2} ^{4} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]에서

[eqn: {y} over {2} =t]라 하면 [eqn: y=2]일 때 [eqn: t=1], [eqn: y=4]일 때 [eqn: t=2]이고, [eqn: {1} over {2} = {dt} over {dy}]이므로

[eqn: int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: = int _{2} ^{4} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} 4f LEFT ( t RIGHT ) `dt=4 int _{1} ^{2} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 TIMES {5} over {4} =5],

또, [eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy= int _{4} ^{8} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]에서

[eqn: {y} over {2} =t]라 하면 [eqn: y=4]일 때 [eqn: t=2], [eqn: y=8]일 때 [eqn: t=4]이고, [eqn: {1} over {2} = {dt} over {dy}]이므로

[eqn: int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy][eqn: = int _{4} ^{8} {} 2f LEFT ( {y} over {2} RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{2} ^{4} {} 4f LEFT ( t RIGHT ) `dt=4 int _{2} ^{4} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt]
[eqn: =4 TIMES LEFT { 4 TIMES 4-2 TIMES 2- int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy RIGHT }]
[eqn: =4 LEFT ( 12-5 RIGHT ) =28]

따라서

[eqn: int _{1} ^{8} {} xf`' LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = int _{1} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: = int _{1} ^{2} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{2} ^{4} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy+ int _{4} ^{8} {} g LEFT ( y RIGHT ) `dy]
[eqn: = {7} over {4} +5+28= {139} over {4}]

이므로

[eqn: p+q=4+139=143]

(가) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1,~ int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx= {5} over {4}}]

(나) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
[eqn: x GEQ 1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( 2x RIGHT ) =2f LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: int _{1} ^{8} {xf`prime LEFT ( x RIGHT ) `dx= {q} over {p}}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 28

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: int_{-1}^{5} f(x)(x+ cos 2 pi x) d x]

[eqn: = int _{-1} ^{5} {} xf(x)dx+ int _{-1} ^{5} {} f(x)cos2 pi xdx]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

조건 (가)에 의하여

[eqn: int_{-1}^{1} x f(x) d x=0], [eqn: int_{-1}^{1} f(x) d x=2 int_{0}^{1} f(x) d x]

[eqn: int_{-1}^{5} x f(x) d x]

[eqn: = int_{-1}^{1} x f(x) d x+ int_{1}^{3} x f(x) d x+ int_{3}^{5} x f(x) d x]

[eqn: = int_{-1}^{1} x f(x) d x+ int_{-1}^{1}(x+2) f(x+2) d x]

[eqn: ~ + int_{-1}^{1}(x+4) f(x+4) d x]

[eqn: =][eqn: int_{-1}^{1} x f(x) d x+ int_{-1}^{1}(x+2) f(x) d x]
[eqn: + int_{-1}^{1}(x+4) f(x) d x]
[eqn: = 3 int_{-1}^{1} x f(x) d x+6 int_{-1}^{1} f(x) d x]
[eqn: =12 int _{0} ^{1} {} f(x)dx=24]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

조건 (가), (나)에 의하여 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x) cos 2 pi(-x)=f(x) cos 2 pi x]

[eqn: f(x+2) cos 2 pi(x+2)=f(x) cos 2 pi x]

[eqn: int_{-1}^{5} f(x) cos 2 pi x d x]

[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x+ int_{1}^{3} f(x) cos 2 pi x d x]

[eqn: + int_{3}^{5} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: + int_{-1}^{1} f(x+2) cos 2 pi(x+2) d x]
[eqn: + int_{-1}^{1} f(x+4) cos 2 pi(x+4) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x+ int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: + int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: = 3 int_{-1}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]
[eqn: = 6 int_{0}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: int_{0}^{1} f(x) cos 2 pi x d x={1} over {6} left({47} over {2}-24 right)=-{1} over {12}]

따라서

[eqn: int_{0}^{1} f `prime (x) sin 2 pi x d x]

[eqn: = LEFT [ f LEFT ( x RIGHT ) sin2 pi `x pile{#} RIGHT ] _{0}^{1} -2 pi int _{0} ^{1} {} f(x)cos2 pi xdx]

[eqn: =-2 pi int_{0}^{1} f(x) cos 2 pi x d x]

[eqn: ={ pi} over {6}]

(가) [eqn: f(-x)=f(x)]

(나) [eqn: f(x+2)=f(x)]

[eqn: int_{-1}^{5} f(x)(x+ cos 2 pi x) d x={47} over {2}], [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x=2]일 때,

[eqn: int_{0}^{1} f `prime (x) sin 2 pi x d x]의 값은?

① [eqn: { pi} over {6}]	② [eqn: { pi} over {4}]	③ [eqn: { pi} over {3}]

④ [eqn: {5} over {12} pi]	⑤ [eqn: { pi} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 29

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=ae ^{2x} +be ^{x} +c]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 26]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: lim _{x ``rarrow``- inf } {f(x)+6} over {e^{x}}][eqn: = lim _{x ``rarrow``- inf } {a e^{2 x}+b e^{x}+c+6} over {e^{x}}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow``- inf } left(a e^{x}+b+{c+6} over {e^{x}} right)]

극한값이 [eqn: 1`]에 수렴하므로    [eqn: c=`-6], [eqn: b=1]

[eqn: therefore] [eqn: f(x)=a e^{2 x}+e^{x}-6]

조건 [eqn: (]나)에서

[eqn: f( ln 2)=a e^{2 ln 2}+e^{ ln 2}-6=4 a+2-6=0]

[eqn: a=1]

즉, [eqn: f(x)=e^{2 x}+e^{x}-6]

[eqn: int_{0}^{14} g(x) d x]에서 [eqn: x=f left(t right)`]라 하면 [eqn: dx=f`prime left(t right)dt`]이고

[eqn: x=0`]일 때, [eqn: f left(t right)=left(e^t +3right)left(e^t -2right)=0`]에서

[eqn: e^t =2],    [eqn: t=ln`2]

[eqn: x=14`]일 때, [eqn: f left(t right)=e^2t +e^t -6=14`]에서

[eqn: left(e^t +5right)left(e^t -4right)=0],    [eqn: e^t =4],    [eqn: t=ln`4]

[eqn: therefore] [eqn: int_{0}^{14} g(x) d x][eqn: =int_{ln`2}^{ln`4} g left(f left(t right)right)`f`prime left(t right)`dt]
[eqn: =int_{ln`2}^{ln`4} tf`prime left(t right)`dt]
[eqn: =left[tf left(t right)pile{`#`}right]_{ln`2}^{ln`4}-int_{ln`2}^{ln`4}`f left(t right)`dt]
[eqn: =14 ln 4- int_{ ln 2}^{ ln 4} left(e^{2 t}+e^{t}-6 right) d t]
[eqn: =14 ln 4- left[ pile{it #it} {1} over {2} e^{2 t}+e^{t}-6 t right]_{ ln 2}^{ ln 4}]
[eqn: =28 ln 2-(8-6 ln 2)]
[eqn: =34 ln 2-8]

따라서 [eqn: p=`-8], [eqn: q=34]이므로

[eqn: p+q=26]

(가) [eqn: lim _{x ``->`` - INF } {} {f LEFT (x RIGHT )+6} over {e ^{x}} =1]

(나) [eqn: f LEFT ( ln` 2 RIGHT )=0]

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]라 할 때, [eqn: int _{0} ^{14} {} g LEFT (x RIGHT )dx=p+q ln` 2]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q]는 유리수이고, [eqn: ln` 2]는 무리수이다.)

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
03 활용3 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 30

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =sin {pi } over {2} x }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]와 [eqn: 0]이 아닌 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 48]

[해설]

[eqn: g '(x) =f '(x) left{` ae^{af(x) } + b `right}]이고 [eqn: g '(x) =0]에서

[eqn: f '(x) =0] 또는 [eqn: ae^{af(x) } + b =0]

(ⅰ) [eqn: f '(x) =0]인 경우
[eqn: f '(x)][eqn: = piover 2 cos pi over 2 x =0]
[eqn: x= 1 ,```` 3 ,```` 5 ,```` 7 ,```` 9 ,```` 11]

(ⅱ) [eqn: ae^{af(x) } + b =0]인 경우
[eqn: e^{af(x) } = - b over a]를 만족시키는 [eqn: x]의 값이 존재해야 하므로
[eqn: b over a <0]
조건 (나)와 (ⅰ)에 의하여 [eqn: x]이 짝수일 때 [eqn: alpha _n]은 방정식 [eqn: ae^{af(x) } + b =0]의 실근이다.

[eqn: ae^{af(alpha_n ) } + b =0]	[eqn: cdotscdots] ㉠
조건 (나)에 의하여 [eqn: n]이 짝수일 때
[eqn: e^{af(alpha_n ) } + bf(alpha_n ) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: a bf(alpha_n ) -b =0]이고, [eqn: f(alpha_n ) = 1over a]
[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: f(alpha_n ) = 1over a]을 만족시키려면 [eqn: -1 < 1 over a <0]
그러므로 [eqn: a< -1 ,```` b>0]

열린구간 [eqn: (0 ,```` 4)]에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 극소인 서로 다른 [eqn: alpha]의 개수는 [eqn: 2]이다.

함수 [eqn: g(x)]의 열린구간 [eqn: (0 ,```` 4)]에서의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_1]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_2]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_3]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha_4]	[eqn: cdots]	[eqn: 4]
[eqn: g '(x)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]		[eqn: ↗]	[eqn: e^a +b]	[eqn: ↘]	[eqn: 0]	[eqn: ↗]	[eqn: e^-a -b]	[eqn: ↘]		[eqn: ↗]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]과 [eqn: x=4]에서 극값을 갖지 않고 열린구간 [eqn: (0 ,```` 12)]에서 [eqn: g(x+4) =g(x)]를 만족한다.

열린구간 [eqn: (0 ,```` 12)]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극댓값을 갖도록 하는 서로 다른 [eqn: x]의 개수와 극솟값을 갖도록 하는 서로 다른 [eqn: x]의 개수는 각각 [eqn: 6]이므로 [eqn: m=12]

함수 [eqn: g(x)]는 열린구간 [eqn: (0 ,```` 4)]에서 [eqn: x= alpha_1]과 [eqn: x= alpha_3]일 때 각각 극댓값 [eqn: e^a +b], [eqn: e^-a -b]를 갖는다.

함수 [eqn: g(x)]의 서로 다른 두 극댓값의 합이 [eqn: e^3 +e^-3]이므로

[eqn: (e^a +b) + (e^-a -b)][eqn: = e^a + e^ -a][eqn: =e^3 +e^-3]

[eqn: a]는 음수이므로 [eqn: a=-3]

[eqn: f( alpha_2 ) = f(alpha _4 ) = - 1over 3]이고 ㉡에 대입하면

[eqn: g(alpha_2 )][eqn: =e^{-3f(alpha_2 ) } + bf(alpha_2 )][eqn: =e - 1over 3 b =0]

에서 [eqn: b= 3e]

[eqn: m pi int _{alpha _{3}} ^{alpha _{4}} { g LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x dx}]

[eqn: =12 pi int _{ alpha_3 } ^{ alpha_4} left{` e^{-3 sin pi over 2 x }+ }3e sin pi over 2 x right } cos pi over 2 x dx]

[eqn: sin pi over 2 x =t]로 치환하면 [eqn: pi over 2 cos pi over 2 x = dt over dx]이고

[eqn: sin pi over 2 alpha_3 = sin 3 over 2 pi =-1], [eqn: sin pi over 2 alpha_4 =- 1 over 3]이다.

[eqn: =12 pi int _{ alpha_3 } ^{ alpha_4} left{` e^{-3 sin pi over 2 x }+ }3e sin pi over 2 x right } cos pi over 2 x dx]

[eqn: =24 int _{ -1} ^{- 1over 3 } {(e^-3t + 3 et ) dt }]

[eqn: =24 left[ - 1over 3 e^-3t + 3over 2 et^2 right]_-1 ^ {- 1over 3}]

[eqn: = 8e^3 -40e]

따라서 [eqn: p=8 ,```` q=-40]이므로 [eqn: p-q =48]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =e ^{af LEFT ( x RIGHT )} +bf LEFT ( x RIGHT )][eqn: (0<x<12)]

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= alpha]에서 극대 또는 극소인 모든 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha _{1}], [eqn: alpha _{2}], [eqn: alpha _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: alpha _{m}] ([eqn: m]은 자연수)라 할 때, [eqn: m] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: alpha _{n}]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: alpha _{n} =n]이다.

(나) [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: g LEFT ( alpha _{n} RIGHT ) =0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 두 개의 극댓값을 갖고 그 합이 [eqn: e ^{3} +e ^{-3}]일 때, [eqn: m pi int _{alpha _{3}} ^{alpha _{4}} { g LEFT ( x RIGHT ) cos {pi } over {2} x dx} =pe ^{3} +qe]이다. [eqn: p-q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 정수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 30

최고차항의 계수가 [eqn: {k}{{from^2020^10^서울고3가^5}}] ([eqn: k>0])인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) != 0]이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( ax+b RIGHT ) e ^{f LEFT ( x RIGHT )}]([eqn: a<0])이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =kx ^{2} +px+q] ([eqn: p ,```` q]는 상수)라 하면

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( -2 RIGHT )]이므로 [eqn: q=4k-2p+q], [eqn: p=2k]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: != 0]이므로 [eqn: q != 0]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =kx ^{2} +2kx+q] ([eqn: k>0], [eqn: q != 0])

조건 (가)에서 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -mx-m RIGHT } LEQ 0]

[eqn: x GEQ -1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEQ mx+m]

[eqn: x< it -1]일 때, [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) GEQ mx+m]이고, [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 연속함수이므로

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( -a+b RIGHT ) e ^{f LEFT ( -1 RIGHT )}][eqn: =0]에서 [eqn: b=a]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( ax+a RIGHT ) e ^{kx ^{2} +2kx+q}]에서

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a LEFT { 1+2k LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } e ^{kx ^{2} +2kx+q}]

[eqn: g'' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2ak LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { 3+2k LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} RIGHT } e ^{kx ^{2} +2kx+q}]

[eqn: a<0], [eqn: k>0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) <0]이고, [eqn: x< it -1]이면 [eqn: g'' LEFT ( x RIGHT ) >0], [eqn: x>-1]이면 [eqn: g'' LEFT ( x RIGHT ) <0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: m]의 최솟값이 [eqn: -2]이므로 [eqn: g' LEFT ( -1 RIGHT ) = it -2]

[eqn: ae ^{-k+q}][eqn: = it -2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)의 [eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx= {e-e ^{4}} over {k}]에서 [eqn: kx ^{2} +2kx+q][eqn: =t]라 하면

[eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = int _{q} ^{3k+q} {} {a} over {2k} e ^{t} dt]
[eqn: = LEFT [ {a} over {2k} e ^{t} RIGHT ] _{q}^{3k+q}]
[eqn: = {a} over {2k} LEFT ( e ^{3k+q} -e ^{q} RIGHT )]

㉠을 대입하면 [eqn: {-2e ^{k}} over {2k} LEFT ( e ^{3k} -1 RIGHT )][eqn: = {e-e ^{4}} over {k}], [eqn: -e ^{4k} +e ^{k}][eqn: =e-e ^{4}]

[eqn: e ^{4k} -e ^{4} -e ^{k} +e=0]

[eqn: LEFT ( e ^{k} -e RIGHT ) LEFT { LEFT ( e ^{2k} +e ^{2} RIGHT ) LEFT ( e ^{k} +e RIGHT ) -1 RIGHT }][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( e ^{2k} +e ^{2} RIGHT ) LEFT ( e ^{k} +e RIGHT ) -1>0]이므로 [eqn: e ^{k} -e][eqn: =0], 즉 [eqn: k=1]

조건 (나)에서

[eqn: int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: = int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{0} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: =0]

[eqn: k=1]이므로 [eqn: x ^{2} +2x+q][eqn: =t]라 하면

[eqn: int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{0} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = it int _{4q ^{2} -3q} ^{q} {} {a} over {2} e ^{t} dt]
[eqn: = LEFT [ {a} over {2} e ^{t} RIGHT ] _{4q ^{2} -3q}^{q}]
[eqn: = {a} over {2} LEFT ( e ^{q} -e ^{4q ^{2} -3q} RIGHT )]
[eqn: =0]

[eqn: a != 0]에서 [eqn: q= it 4q ^{2} -3q]이고 [eqn: q != 0]이므로 [eqn: q=1]

㉠에 대입하면 [eqn: ae ^{-1+1} = it -2], [eqn: a= it -2]

따라서 [eqn: a= it -2], [eqn: b= it -2], [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +2x+1]이므로

[eqn: f LEFT ( ab RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =16+8+1][eqn: =25]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) -mx-m RIGHT } LEQ 0]을 만족시키는 실수 [eqn: m]의 최솟값은 [eqn: -2]이다.

(나) [eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx= int _{-2f LEFT ( 0 RIGHT )} ^{1} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx= {e-e ^{4}} over {k}]

[eqn: f LEFT ( ab RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 29

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin` LEFT ( ax RIGHT )]([eqn: a != 0])에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 14]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: int _{ 0} ^{pi overa } {f LEFT ( x RIGHT ) }``dx][eqn: = int _{ 0} ^{pi overa } { sin` LEFT ( ax RIGHT ) }`dx]
[eqn: = left[ - 1overa `cos` LEFT ( ax RIGHT ) right]_0 ^{pi overa} = 2overa]

[eqn: 2overa geq 1over2]이므로

[eqn: 0<a leq4]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (나)에서

[eqn: int _{ 0} ^{3pi } left{ left|`f LEFT ( x RIGHT )+t `right|-left|`f LEFT ( x RIGHT )-t `right| right}`dx =0]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )= left|`f LEFT ( x RIGHT )+t`right| - left|`f LEFT ( x RIGHT )-t`right|]라 하면

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )= cases{ ``-2t&&& LEFT ( -1 leq` sin` LEFT ( ax RIGHT )< - t RIGHT )#``2`sin` LEFT ( ax RIGHT )&&& LEFT ( -t leq `sin` LEFT ( ax RIGHT )<t RIGHT )#``2t &&& LEFT ( t leq `sin` LEFT ( ax RIGHT ) leq1 RIGHT )]

함수 [eqn: y= g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같으므로

[eqn: 0<k< 2piovera]인 모든 실수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: int _{ 0} ^{k } {g LEFT ( x RIGHT ) }`dx>0]이고, [eqn: int _{ 0} ^{2piovera } {g LEFT ( x RIGHT ) }`dx=0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 주기가 [eqn: 2pi overa]이고 [eqn: int _{ 0} ^{ 3pi} {g LEFT ( x RIGHT ) }`dx=0]이므로

[eqn: 3pi = 2piovera timesn ~(n]은 자연수[eqn: ),~a= 2over3n]

㉠에서 [eqn: 0< 2over3 n leq4]

따라서 구하는 모든 실수 [eqn: a]의 값은

[eqn: 2over3 , ~4over3 ,~2,~ 8over3 ,~ 10over3 ,~4]이므로 그 합은 [eqn: 14]이다.

(가) [eqn: int _{0} ^{{pi } over {a}} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx GEQ {1} over {2}]

(나) [eqn: 0<t<1]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여
[eqn: int _{0} ^{3pi} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) +t` RIGHT | `dx][eqn: = int _{0} ^{3pi} {} LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) -t` RIGHT | dx]
이다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: {9}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 115 }]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: x ``->`` 0]일 때 (분모)[eqn: ``->`` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim_{x ``->`` 0} `sin (pi times f(x))= sin (pi times f(0))=0]에서

[eqn: f(0)=n] ([eqn: n]은 정수)

이다.

한편, 삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 9]이므로 [eqn: f(x)=9x^3 +ax^2 +bx+n] ([eqn: a ,```` b]는 상수)로 놓을 수 있다.

이때, [eqn: h(x)= sin (pi times f(x))]라 하면 [eqn: h(0)=0]이므로

[eqn: lim_{x ``->`` 0} {sin (pi times f(x))}overx][eqn: =lim_{x ``->`` 0} {h(x)-h(0)}overx]
[eqn: =h '(0)]

이다. 즉, [eqn: h '(0)=0]이다.

이때, [eqn: h '(x)=pi f '(x)times cos (pi times f(x))]이므로

[eqn: h '(0)=pi f '(0)times cos (n pi)=0]에서 [eqn: f '(0)=0]

[eqn: f '(x)=27x^2 +2ax+b]에서 [eqn: f '(0)=b=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

한편, 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim_{x ``->`` 1-} g(x)=lim_{x ``->`` 1+} g(x)]이어야 한다.

이때, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: 0 le x <1]일 때 [eqn: g(x)=f(x)]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+1)=g(x)]이므로 [eqn: lim_{x ``->`` 1+} g(x)=lim_{x ``->`` 0+} g(x)]이다.

[eqn: lim_{x ``->`` 1-} g(x)=lim_{x ``->`` 1-} f(x)=9+a+n],

[eqn: lim_{x ``->`` 0+} g(x)=lim_{x ``->`` 0+} f(x)=n]

이므로 [eqn: 9+a+n=n]

[eqn: a=it-9]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f '(x)=27x^2 -18x=9x(3x-2)]이므로 [eqn: f '(x)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x= 2 over3]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고 [eqn: x= 2 over3]에서 극소이다.

조건 (나)에 의해 [eqn: f(0)times f left( 2 over3 right)=5]이므로

[eqn: n times left( n- 4 over3 right)=5], [eqn: (3n+5)(n-3)=0]

[eqn: n]이 정수이므로 [eqn: n=3]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉠∼㉢에 의해 [eqn: f(x)=9x^3 -9x^2 +3]

따라서

[eqn: int_0^5 xg(x) dx]

[eqn: =][eqn: int_0^1 xg(x) dx+int_1^2 xg(x) dx+int_2^3 xg(x) dx]
[eqn: +int_3^4 xg(x) dx+int_4^5 xg(x) dx]

[eqn: =][eqn: int_0^1 xf(x) dx+int_0^1 (x+1)g(x+1) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+2)g(x+2) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+3)g(x+3) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+4)g(x+4) dx]

[eqn: =][eqn: int_0^1 xf(x) dx+int_0^1 (x+1)f(x) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+2)f(x) dx+int_0^1 (x+3)f(x) dx]
[eqn: +int_0^1 (x+4)f(x) dx]

[eqn: =5int_0^1 xf(x) dx+10int_0^1 f(x) dx]

[eqn: =5int_0^1 left(9x^4 -9x^3 +3x right) dx][eqn: +10int_0^1 left(9x^3 -9x^2 +3 right) dx]

[eqn: =5left[ 9 over5 x^5 - 9 over4 x^4 + 3 over2 x^2 right]_0^1][eqn: +10left[ 9 over4 x^4 -3x^3 +3x right]_0^1]

[eqn: = 21 over4 + 45 over2][eqn: = {111} over {4}]

따라서 [eqn: p=4 ,```` q=111]이므로

[eqn: p+q=4+111=115]

(가) [eqn: lim_{x ``->`` 0} {sin (pi times f(x))}overx =0]

(나) [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 곱은 [eqn: 5]이다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: 0 le x <1]일 때 [eqn: g(x)=f(x)]이고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+1)=g(x)]이다. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: int_0^5 xg(x) dx= q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 구간 [eqn: (0,`` inf )]에서 [eqn: g(x) geq 0]인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: rm 283]

[해설]

(나) 조건에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: g(3) times 0=f `prime (0)]에서 [eqn: f `prime (0)=0]이다.

그런데 [eqn: g(x+3)]는 [eqn: x=0]에서 부호가 바뀌지 않으므로 [eqn: f `prime (x)]도 [eqn: x=0]에서 부호가 바뀌지 않음을 알 수 있다. [eqn: g(x+3)]이 [eqn: x>-3]에서 부호가 한 번도 바뀌지 않기 때문에
[eqn: f `prime (x)=4 x^{2}(x- alpha) ~ ( alpha leq-3)]이다.
그런데 [eqn: f `prime (x)=4 x^{2}(x- alpha) ~ ( alpha < it - 3)]이면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= alpha]에서 극솟값을 갖고, 그렇다면 [eqn: x leq-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq f(-3)]이라는 (가) 조건에 모순이다.
따라서 [eqn: f `prime (x)=4 x^{2}(x+3)=4 x^{3}+12 x^{2}]이고

[eqn: f(x)=x^{4}+4 x^{3}+C] (단, [eqn: C]는 적분상수[eqn: )]이다.

이제 [eqn: g(x+3)={f `prime (x)} over { left{ f(x)-f(0) it right} ^{2}}]라 할 수 있고,

[eqn: int_{4}^{5} g(x) d x][eqn: = int_{1}^{2} g(x+3) d x]
[eqn: = int_{1}^{2} {f `prime (x)} over { left{ f(x)-f(0) it right} ^{2}} d x]

[eqn: f(x)-f(0)=t]라 하면

[eqn: f `prime (x) d x=d t]이고 [eqn: f(1)-f(0)=5], [eqn: f(2)-f(0)=48]이므로

[eqn: int_{5}^{48} {1} over {t^{2}} d t= left[ pile{it #it} -{1} over {t} right]_{5}^{48}=-{1} over {48}+{1} over {5}={43} over {240}]

이므로 [eqn: p+q=240+43=283]

(가) [eqn: x leq-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq f(-3)]이다.

(나) [eqn: x>-3]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x+3) left{ f(x)-f(0) it right} ^{2}=f `prime (x)]이다.

[eqn: int_{4}^{5} g(x) d x={q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
04 활용4 (정의된 함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 30

두 자연수 [eqn: {a ,```` b}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에 대하여 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{2} +b]가 있다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 586 }]

[해설]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {f prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} - {1} over {10} f ' LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: = {f ' LEFT ( x RIGHT )} over {10f LEFT ( x RIGHT )} LEFT { 10-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이 되려면 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =10]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2ax]이므로 [eqn: x=0]일 때에만 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]

(ⅰ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 실근을 갖지 않을 때,
[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >10]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅱ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 중근을 가질 때,
[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =10], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 10]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅰ), (ⅱ)의 경우에는 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x][eqn: =0]에서 극댓값을 갖는다.

그러므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅲ) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]이 서로 다른 두 실근을 가질 때,
방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -10][eqn: =0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha ,```` beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 [eqn: alpha][eqn: = it - beta]
[eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]
함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y]축 대칭이므로 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =g LEFT ( beta RIGHT )]
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: alpha]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: beta]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]	극소	[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

(ⅲ)의 경우에는 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0]에서 극솟값을 가지므로 조건 (가)를 만족시킨다.
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =b][eqn: <f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = it 10]이므로 [eqn: 1 LEQ b<10]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =ln f LEFT ( 0 RIGHT ) - {1} over {10} LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) -1 RIGHT )]
[eqn: =ln b- {1} over {10} LEFT ( b-1 RIGHT )]

[eqn: p LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln x- {1} over {10} LEFT ( x-1 RIGHT )]이라 하면

[eqn: p' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {x} - {1} over {10}][eqn: = {10-x} over {10x}]

[eqn: 1 LEQ x<10]일 때 [eqn: p' LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )]는 증가함수이다.

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: GEQ p LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]

함수 [eqn: left |`` g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]의 그래프의 개형은 다음 [eqn: 2]가지 경우와 같다.

(1) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]일 때

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 7]이므로 조건 (나)를 만족시킨다.

(2) [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) >0]일 때

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 11]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.
그러므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: 0][eqn: =g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =p LEFT ( b RIGHT )][eqn: GEQ p LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: p LEFT ( b RIGHT )][eqn: =p LEFT ( 1 RIGHT )]
함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: 1 LEQ x<10]에서
증가함수이므로 [eqn: b][eqn: =1], [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{2} +1]

[eqn: int _{0} ^{a} {} ex f LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: = int _{0} ^{a} {} LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT [ LEFT ( ax ^{2} +1 RIGHT ) e ^{x} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a} - int _{0} ^{a} {} 2ax e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} +1 RIGHT ) e ^{a} -1- LEFT [ 2ax e ^{x} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a} + int _{0} ^{a} {} 2a e ^{x} dx]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} +1 RIGHT ) e ^{a} -1-2a ^{2} e ^{a} + LEFT [ 2a e ^{x} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{a}]

[eqn: = LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +2a+1 RIGHT ) e ^{a} -2a-1]

[eqn: me ^{a} -19][eqn: = LEFT ( a ^{3} -2a ^{2} +2a+1 RIGHT ) e ^{a} -2a-1]

따라서 [eqn: a][eqn: =9]이므로

[eqn: m][eqn: =a ^{3} -2a ^{2} +2a+1][eqn: =586]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln f LEFT ( x RIGHT ) - {1} over {10} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT }]

이라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: = left |`` g LEFT ( t RIGHT ) ``right |]와 함수 [eqn: y][eqn: = left |`` g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 두 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )], [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t][eqn: =k]에서 불연속인 [eqn: k]의 값의 개수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: int _{0} ^{a} {} e ^{x} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: =me ^{a} -19]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 28

좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {2}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 원 [eqn: C]와 두 점 [eqn: rm A( 2 ,```` 0)], [eqn: rm B( 0 ,```` -2)]가 있다. 원 [eqn: C] 위에 있고 [eqn: x]좌표가 음수인 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm angle PAB = theta]라 하자. 점 [eqn: rm Q( 0 ,```` 2 cos theta)]에서 직선 [eqn: rm BP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm R]라 하고, 두 점 [eqn: rm P]와 [eqn: rm R]사이의 거리를 [eqn: f(theta)]라 할 때, [eqn: int _{ pi over 6 } ^{pi over 3 } { f(theta) d theta }]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm bar QB = it 2+ 2 cos theta = 2 LEFT ( 1+cos theta RIGHT )]이고 직각삼각형 [eqn: rm QRB]에서

[eqn: rm angle QBR = pi over 2 - theta]이므로

[eqn: rm bar BR = bar QB times cos LEFT ( pi over 2 - theta RIGHT ) = 2 LEFT ( 1+ cos theta RIGHT ) sin theta]

삼각형 [eqn: rm APB]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: rm { rm bar BP} over { sin theta} = 2 times 2]이므로 [eqn: rm bar BP = 4 sin theta]

따라서

[eqn: f(theta)][eqn: rm = bar BP - bar BR]
[eqn: = 4 sin theta - 2 LEFT ( 1+ cos theta RIGHT ) sin theta]
[eqn: = 2 sin theta - 2 cos theta sin theta]

이므로

[eqn: int _{ pi over 6} ^{ pi over 3} {f(theta) d theta }][eqn: = int _{ pi over 6 } ^{pi over 3 } { LEFT ( 2 sin theta - 2 cos theta sin theta RIGHT ) } d theta]
[eqn: = left[ pile{ it#it } -2 cos theta - sin ^2 theta right] _{pi over 6 } ^{pi over 3}]
[eqn: = LEFT ( -2 cos pi over 3 - sin ^2 pi over 3 RIGHT ) - LEFT ( -2 cos pi over 6 - sin ^2 pi over 6 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( - 1 - 3 over 4 RIGHT ) - LEFT ( -root3 - 1 over 4 RIGHT )]
[eqn: = { 2root3 - 3 } over { 2}]

① [eqn: { 2root3 - 3 } over {2 }]	② [eqn: root3 -1]	③ [eqn: { 3root3 - 3 } over {2 }]

④ [eqn: { 2root3 - 1 } over {2 }]	⑤ [eqn: { 4root3 - 3 } over {2 }]

06 미적	12 정적분
03 치환적분과 부분적분의 활용
05 활용5 (그래프 추론)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 20

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3가^5}}][eqn: =pi`sin`2pi`x]에 대하여 정의역이 실수 전체의 집합이고, 치역이 집합 [eqn: LEFT { 0,````1 RIGHT }]인 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]와 자연수 [eqn: n]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: n]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( nx RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 치역이 [eqn: LEFT { 0,~1 RIGHT }]이다.

한편, 구간 [eqn: LEFT [ -1,~1 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( nx RIGHT )]의 함숫값이 [eqn: 0]이 되는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x= {k} over {2n}] (단, [eqn: -2n le k le 2n]인 정수)

그러므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 어떤 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: LEFT [ {k} over {2n} ,~ {k+1} over {2n} RIGHT ]]에서 [eqn: 0]이어야 한다.

한편,

[eqn: int _{0} ^{{1} over {2n}} {} f LEFT ( nx RIGHT ) dx][eqn: = int _{0} ^{{1} over {2n}} {} pi{sin`2pix}dx]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {2n} `cos`2n pi x RIGHT ] _{0}^{{1} over {2n}}]
[eqn: = {1} over {2n} - LEFT ( - {1} over {2n} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {n}]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]인 구간에서 함수 [eqn: f LEFT ( nx RIGHT )]의 정적분은

[eqn: {1} over {n} TIMES n TIMES 2][eqn: =2]

조건에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {} h LEFT ( x RIGHT ) dx=2]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{1&~~~ LEFT ( f LEFT ( nx RIGHT ) >0 RIGHT )#0&~~~ LEFT ( f LEFT ( nx RIGHT ) LEQ 0 RIGHT )}}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이어야 한다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {} xh LEFT ( x RIGHT ) dx]

[eqn: = int _{0} ^{-1} {} xf LEFT ( nx RIGHT ) g(x) dx][eqn: +int _{0} ^{1} {} xf LEFT ( nx RIGHT ) g(x) dx]
[eqn: = int _{0} ^{1} {} xf LEFT ( nx RIGHT ) dx] ([eqn: because] ㉠)
[eqn: = int _{0} ^{1} {} pi x`sin`2n pi x`dx] ([eqn: because] ㉡)
[eqn: = LEFT [ - {x} over {2n} `cos` LEFT ( 2n pi x RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {} LEFT ( - {1} over {2n} `cos`2n pi x RIGHT ) `dx]
[eqn: = it - {1} over {2n} + {1} over {2n} TIMES LEFT [ {1} over {2n` pi } `sin`2n pi x RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = it - {1} over {2n}]

조건에서 [eqn: int _{-1} ^{1} {} x`h LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = it - {1} over {32}]이므로 [eqn: it - {1} over {2n}][eqn: = it - {1} over {32}]

[eqn: therefore][eqn: n=16]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( nx RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이고

[eqn: int _{-1} ^{1} {} h LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =2], [eqn: int _{-1} ^{1} {} x`h LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: = it - {1} over {32}]

이다.

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
02 정적분으로 정의된 함수2 (적분함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 12

연속함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]가 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여

[정답] ③

[해설]

주어진 식에서 [eqn: t][eqn: =1]이면 [eqn: a ^{2} -a][eqn: =a LEFT ( a-1 RIGHT )][eqn: =0]

이때 [eqn: a != 0]이므로 [eqn: a=1]

주어진 식의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: f LEFT ( ln t RIGHT ) TIMES {1} over {t}][eqn: =2 LEFT ( t ln t+1 RIGHT ) LEFT ( ln t+1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( ln t RIGHT )][eqn: =2t LEFT ( t ln t+1 RIGHT ) LEFT ( ln t+1 RIGHT )]

[eqn: ln t][eqn: =1]이면 [eqn: t=e]

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2e LEFT ( e+1 RIGHT ) TIMES 2][eqn: =4e ^{2} +4e]

[eqn: int _{0} ^{ln t} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx= LEFT ( t ln t+a RIGHT ) ^{2} -a]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.)

① [eqn: 2e ^{2} +2e]	② [eqn: 2e ^{2} +4e]	③ [eqn: 4e ^{2} +4e]

④ [eqn: 4e ^{2} +8e]	⑤ [eqn: 8e ^{2} +8e]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
06 활용3 (도함수의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 20

함수 [eqn: {f(x)=sin(pirootx )}{{from^2020^평가원가^3}}]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x) = int_0 ^x t f(x-t)dt][eqn: (x GEQ0)]에서 [eqn: x-t=s]라 하면 [eqn: -dt=ds]이므로

[eqn: g(x)= int _{x} ^{0} {} (x-s)f(s)(-ds)]

즉, [eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {} (x-s)f(s)ds]이므로 양변을 미분하면

[eqn: g'(x)= int _{0} ^{x} {} f(s)ds]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: g prime (x)]의 도함수이므로 그래프를 그려보면 다음과 같다.

즉, 극대가 되는 값을 조사해보면

[eqn: 1 ^{2 }<a_1 <2^2], [eqn: 3 ^{2} <a _{2} <4 ^{2}], [eqn: cdots]

[eqn: therefore][eqn: (2n-1) ^{2} <a _{n} <(2n) ^{2}]

따라서 [eqn: n=6]일 때, [eqn: 11^2 <a_6 <12^2]이므로 [eqn: k=11]

[eqn: g(x) = int_0 ^x t f(x-t)dt][eqn: (x GEQ0)]

이 [eqn: x=a]에서 극대인 모든 [eqn: a]를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: n]번째 수를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: k^2 < a_6 < (k+1)^2]인 자연수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 23]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 19

실수 전체의 집합에서 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) >0 }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]이고 도함수가 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 있다. 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g (x)]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)= int _{ 0} ^{x } {ln f(t) } dt]에서

[eqn: g(0)=0], [eqn: g '(x)=ln f(x)], [eqn: g ''(x)={f '(x)}over{f(x)}]

조건 (가)에 의하여 [eqn: g(1)=2], [eqn: g '(1)=0]

조건 (나)에 의하여 [eqn: g '(-1)=g '(1)=0]

[eqn: int _{ -1} ^{1 } {{xf '(x)}over{f(x)} } dx][eqn: =int _{ -1} ^{ 1} {xg ''(x) } dx]
[eqn: =left[pile{{ ` }#{ ` }}xg '(x)right]_{-1}^{1}- int _{ -1} ^{1 } {g '(x) } dx]
[eqn: =g '(1)+g '(-1)-2 int _{ 0} ^{1 } { g '(x)} dx]
[eqn: =2g '(1)-2 left{` g(1)-g(0) `right}]
[eqn: =2times0-2(2-0)]
[eqn: =-4]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {ln f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

일 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극값 [eqn: 2]를 갖는다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g prime LEFT ( -x RIGHT ) =g prime LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: int _{-1} ^{1} {{xf prime LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )} dx}]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
07 활용4 (함수 구하기)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] [eqn: 12]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]의 한 부정적분을 [eqn: G(x)]라 하자.

조건 (가)에서

[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t= int_{3 a-x}^{2 a+2} g(t) d t]

[eqn: G(3 a+x)-G(2 a)=G(2 a+2)-G(3 a-x)]

위 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g(3 a+x)=g(3 a-x)]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 ㉠이 성립하므로

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=3 a]에 대하여 대칭이다.

[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t][eqn: = int_{3 a-x}^{2 a+2} g(t) d t][eqn: = int_{3 a-x}^{4 a} g(t) d t+ int_{4 a}^{2 a+2} g(t) d t]

[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t = int_{3 a-x}^{4 a} g(t) d t]에서 [eqn: int_{4 a}^{2 a+2} g(t) d t=0]

조건 (가)에서 [eqn: g(x)>0]이므로 [eqn: 2 a+2=4 a], [eqn: a=1]

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수이므로

[eqn: h(x)=f(x)+f `prime (x)+1=x^{2}+p x+q(p,`` q]는 상수[eqn: )]

라 하자.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=3]에 대하여 대칭이므로 [eqn: g(4)=g(2)], 즉 [eqn: h(4)=h(2)]

[eqn: 16+4 p+q=4+2 p+q]에서 [eqn: p=-6]

조건 (나)에서 [eqn: h(4)=5]이므로

[eqn: 16-24+q=5]에서 [eqn: q=13]

[eqn: h(x)=x^{2}-6 x+13]에서

[eqn: h `prime (x)=f `prime (x)+f `prime prime (x)=f `prime (x)+2]

[eqn: int_{3}^{5} left{ f `prime (x)+2 a it right} g(x) d x]

[eqn: = int_{3}^{5} left{ f `prime (x)+2 it right} g(x) d x= int_{3}^{5} h `prime (x) ln h(x) d x]

[eqn: =[h(x) ln h(x)]_{3}^{5}- int_{3}^{5} left{ h(x) times {h `prime (x)} over {h(x)} it right} d x]

[eqn: =h(5) ln h(5)-h(3) ln h(3)- left{ h(5)-h(3) it right}]

[eqn: =8 ln 8-4 ln 4-(8-4)=-4+16 ln 2]

따라서 [eqn: m=-4], [eqn: n=16]이므로 [eqn: m+n=12]

[eqn: g(x)= ln left{ f(x)+f `prime (x)+1 it right}]

이 있다. 상수 [eqn: a]와 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)>0]이고
[eqn: int_{2 a}^{3 a+x} g(t) d t= int_{3 a-x}^{2 a+2} g(t) d t]
이다.

(나) [eqn: g(4)= ln 5]

[eqn: int_{3}^{5} left{ f `prime (x)+2 a it right} g(x) d x=m+n ln 2]일 때, [eqn: m+n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: m], [eqn: n]은 정수이고, [eqn: ln 2]는 무리수이다.)

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
08 활용5 (정의된 함수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 29

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) = e^x + x -1 `]과 양수 [eqn: t `]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 12`]

[해설]

[eqn: F``'(x)= t - f(x)][eqn: =0]에서

[eqn: f( alpha) = t]이므로 [eqn: alpha = f^-1 (t) = g(t)]

[eqn: g(t) = x]로 치환하면 [eqn: f(x)= t]이므로

[eqn: dt = f``'(x) dx = ( e^x +1) dx]

[eqn: int_{f(1)}^{f(5)} g(t) over{1 + e^ g(t)} dt]

[eqn: = int_1^5][eqn: x over{ 1 + e^x} (e^x +1) dx]

[eqn: = int_1^5 x dx][eqn: = left[ 1 over2 x^2 right]_1^5 = 12]

[eqn: F` LEFT (x RIGHT ) = int_0^x left{t - f LEFT ( s RIGHT ) right} ds `]

가 [eqn: x = alpha `]에서 최댓값을 가질 때, 실수 [eqn: alpha`]의 값을 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: int _{f LEFT (1 RIGHT )} ^{f LEFT (5 RIGHT )} {} {g LEFT (t RIGHT )} over {1+e ^{g LEFT (t RIGHT )}} dt `]의 값을 구하시오.

06 미적	12 정적분
04 정적분으로 정의된 함수
09 활용5 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 18

함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(t)]와 함수 [eqn: f(1-t)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: x LEQ 0]에서 [eqn: f(x)=0]이므로

[eqn: g(x)][eqn: =- int _{x} ^{0} {f(t)f(1-t)dt}]
[eqn: =- int _{x} ^{0} {0 TIMES f(1-t)dt}]
[eqn: =0]	(참)

ㄴ. 위의 그래프에서 [eqn: f(t)]와 [eqn: f(1-t)]가 [eqn: t= {1} over {2}]에 대하여 대칭이므로

[eqn: g(1)][eqn: = int _{0} ^{1} {f(t)f(1-t)dt}]
[eqn: =2 int _{0} ^{{1} over {2}} {f(t)f(1-t)dt}]
[eqn: =2 g left( 1over 2 right)]	(참)

ㄷ. (ⅰ) [eqn: t LEQ 0 ,```` t GEQ 1]일 때 [eqn: g(x)=0<1]
(ⅱ) [eqn: 0<t<1]일 때
[eqn: f(t)<1 ,```` f(1-t)<1]이므로 [eqn: f(t)f(1-t)<1]
정적분의 정의는 함숫값의 총합이므로 (ⅰ)과 (ⅱ)에 의해
[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)f(1-t)dt} < 1]
[eqn: g(a) GEQ 1]인 실수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: {f(x)= {cases{``````````````````````0& && (x LEQ 0)#LEFT { ln LEFT ( 1+x ^{4} RIGHT ) RIGHT } ^{10}& && (x>0)}}}{{from^2020^평가원가^3}}]

에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {f(t)f(1-t)dt}]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x LEQ 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x)=0]이다. ㄴ. [eqn: g(1)=2g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )] ㄷ. [eqn: g(a) GEQ 1]인 실수 [eqn: a]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]를

[정답] ③

[해설]

수직선 운동에서 점 [eqn: rmP]의 속도를 [eqn: v(t)=t sin t]로 보면

[eqn: int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt], [eqn: int _{0} ^{x} {t sin t}dt]는 각각 움직인 거리와 위치의 변화량이다.

[eqn: int _{0} ^{pi} {t sin t} dt][eqn: = LEFT [ pile{it#it} -t cos t+2sin t RIGHT ] _{0}^{pi } = pi]

[eqn: int _{pi} ^{2pi} {t sin t} dt][eqn: = LEFT [ pile{it#it} -t cos t+2sin t RIGHT ] _{pi }^{2 pi } =it-3 pi]

[eqn: int _{2pi } ^{3 pi } {t sin t} dt][eqn: = LEFT [ pile{it#it} -t cos t+2sin t RIGHT ] _{2pi }^{3 pi } = 5 pi]

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt- left |`` int _{0} ^{x} {t sin t} dt ``right |]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =](거리의 합)[eqn: -][eqn: |``](위치의 변화량)[eqn: ``|]이다.

ㄱ. [eqn: f(2pi)= (pi +3pi )- left |`` pi -3pi``right | = 2pi]	(참)

ㄴ. [eqn: pi <alpha<2pi], [eqn: int _{0} ^{alpha } {t sin t} dt=0]이면
[eqn: f(alpha)=(pi +pi )- left |`` pi -pi ``right | =2pi]	(거짓)

ㄷ. [eqn: 2pi <beta le x le 3pi], [eqn: int _{0} ^{beta } {t sin t} dt=0]이면

[eqn: f(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt- left |`` int _{0} ^{x} {t sin tdt} ``right |]
[eqn: =6 pi + int _{beta } ^{x} {t sin t} dt- int _{beta } ^{x} {t sin t} dt]
[eqn: = 6pi]

[eqn: therefore][eqn: int _{ beta} ^{3 pi } {f(x) }dx = 6pi(3pi -beta)]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: f(x)= int _{0} ^{x} {left |`` t sin t ``right | } dt- left |`` int _{0} ^{x} {t sin t} dt ``right |]

라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(2pi)=2pi] ㄴ. [eqn: pi <alpha<2pi]인 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{alpha } {t sin t} dt=0]이면 [eqn: f(alpha)= pi]이다. ㄷ. [eqn: 2pi < beta<3 pi]인 [eqn: beta]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{beta } {t sin t} dt=0]이면 [eqn: int _{beta} ^{3pi } {f(x)} dx=6pi(3pi -beta)]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 29

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold19]

[해설]

[eqn: -1 le x le 0]일 때, [eqn: left |`` f(x)sinx ``right |][eqn: =f(x)`sin`x]

[eqn: 0 le x le 1]일 때. [eqn: left |`` f(x)sinx ``right | =][eqn: -f(x)sin`x]

[eqn: THEREFORE][eqn: int _{ -1} ^{ 0} { left |`` f(x)sinx ``right | dx =2 }], [eqn: int _{ 0} ^{1 } { left |`` f(x) sinx ``right | dx =3 }]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: g(0)= int _{ -1} ^{0 } {left|`f(x)sin`x right| }dx=2]

[eqn: THEREFORE][eqn: g(0)=2]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: g(1)][eqn: = int _{ -1} ^{1 } { left |`` f(t) sint ``right | dt }]
[eqn: =int _{ -1} ^{ 0} { left|`f(x)`sin`x right|}dx+ int _{ 0} ^{1 } {left|`f(x)`sin`x`right| }dx]
[eqn: =2+3]

[eqn: THEREFORE][eqn: g(1)=2+3=5]

[eqn: g(x)]에 [eqn: x=-1]을 대입하면

[eqn: g(-1)= int _{ -1} ^{-1 } {left|`f(x)sin`x right| }dx=0]

[eqn: THEREFORE][eqn: g(-1)=0]

이때 [eqn: g`'(x)= left|`f(x)`sin`x`right|]가

[eqn: -1 le x le 0]일 때, [eqn: left |`` f(x)sinx ``right |][eqn: =f(x)`sin`x]

[eqn: 0 le x le 1]일 때. [eqn: left |`` f(x)sinx ``right | =][eqn: -f(x)sin`x]이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinxdx]에서 [eqn: -x=t]로 치환하면

[eqn: dx=-dt], [eqn: -1 le t le 1]

[eqn: THEREFORE][eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinx`dx]
[eqn: =int _{1} ^{-1} {f(t)g(t)sin(-t)(-1)dt]
[eqn: =-int _{-1} ^{1} {f(t)g(t)sin`t`dt]
[eqn: =-int _{ -1} ^{0 } {g`'(t)g(t) }dt+ int _{ 0} ^{1 } {g`'(t)g(t) }dt]
[eqn: =-left[{1}over{2}left{g(t)right}^{2} right]_{-1}^{0}+left[{1}over{2} left{g(t)right}^{2} right]_{0}^{1}]
[eqn: ={1}over{2} left[left{g(1)right}^{2}-left{g(0)right}^{2} right]-{1}over{2} left[left{g(0)right}^{2}-left{g(-1)right}^{2}right]]
[eqn: ={1}over{2}(5^{2}-2^{2})-{1}over{2}(2^{2}-0^{2})]
[eqn: = {17} over {2}]

(가) [eqn: -1 le x le 1]에서 [eqn: f(x) <0]이다.

(나) [eqn: int _{ -1} ^{ 0} { left |`` f(x)sinx ``right | dx =2 }], [eqn: int _{ 0} ^{1 } { left |`` f(x) sinx ``right | dx =3 }]

함수 [eqn: g(x)= int _{ -1} ^{x } { left |`` f(t) sint ``right | dt }]에 대하여

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(-x)g(-x)sinxdx= q overp}]

이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 28

닫힌구간 [eqn: [0,``4 pi]]에서 연속이고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x]의 최솟값은?

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에서 곡선 [eqn: y=f(x)]는 구간 [eqn: left(0,`` { pi} over {2} right)]에서 아래로 볼록이고, 구간 [eqn: left({ pi} over {2},`` pi right)]에서 위로 볼록이므로 점 [eqn: left({ pi} over {2},`` f left({ pi} over {2} right) right)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

조건 (나)에 의하여 [eqn: n pi<x leq(n+1) pi]에서 곡선의 모양은 다음 두 가지 중 하나이다.

[eqn: 0<x<4 pi]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수가 [eqn: rm 6]인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x= pi]에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점은 [eqn: x]좌표가
[eqn: { pi} over {2}], [eqn: {3} over {2} pi], [eqn: 2 pi], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: 3 pi], [eqn: {7} over {2} pi]인 점이다.
[eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x][eqn: =4 int_{0}^{ pi} f(x) d x+ pi times 2]

[eqn: =4 int_{0}^{ pi}(1- cos x) d x+2 pi]
[eqn: =4 left[x-sinx pile{`#`} right] _{0}^{pi } +2 pi =6 pi]

(ⅱ) 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=2 pi]에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점은 [eqn: x]좌표가

[eqn: { pi} over {2}], [eqn: pi], [eqn: {3} over {2} pi], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: 3 pi], [eqn: {7} over {2} pi]인 점이다. [eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x=4 int_{0}^{ pi} f(x) d x+2 pi times 2=8 pi]

(ⅲ) 함수 [eqn: y=f(x)]가 [eqn: x=3 pi]에서 극대일 때

위 그림에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점은 [eqn: x]좌표가

[eqn: { pi} over {2}], [eqn: pi], [eqn: {3} over {2} pi], [eqn: 2 pi], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: {7} over {2} pi]인 점이다. [eqn: int_{0}^{4 pi}|f(x)| d x=4 int_{0}^{ pi} f(x) d x+2 pi times 5=14 pi]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 최솟값은 [eqn: 6 pi]이다.

(가) [eqn: 0 leq x leq pi]일 때, [eqn: f(x)=1- cos x]이다.

(나) [eqn: 1 leq n leq 3]인 각각의 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: f(n pi+t)=f(n pi)+f(t) ~ (0<t leq pi)]
또는
[eqn: f(n pi+t)=f(n pi)-f(t) ~ (0<t leq pi)]
이다.

(다) [eqn: 0<x<4 pi]에서 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점의 개수는 [eqn: rm 6]이다.

① [eqn: 4 pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 8 pi]

④ [eqn: 10 pi]	⑤ [eqn: 12 pi]

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
02 정적분과 급수1 (다항함수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 25

[eqn: {lim _{n ``->`` INF } {sum _{k=1} ^{n} {2} over {n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{4} =a }}{{from^2020^평가원가^3}}] 일 때, [eqn: 5a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 242 }]

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {sum _{k=1} ^{n} {2} over {n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: = int _{1} ^{3} {x ^{4} dx} }]

[eqn: = LEFT [ {1} over {5} x ^{5} RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: = {242} over {5}]

따라서 [eqn: a= 242 over 5]이므로 [eqn: 5a=242]

06 미적	13 정적분의활용
01 정적분과 급수
03 정적분과 급수2 (초월함수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 11

[eqn: {lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} sqrt {{3n} over {3n+k}}}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over {n} sum_{k=1}^{n} sqrt{{3 n} over {3 n+k}}][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} sqrt{{3} over {3+{k} over {n}}} times {1} over {n}= int_{3}^{4} sqrt{{3} over {x}} d x]
[eqn: = sqrt{3} int_{3}^{4} x^{-{1} over {2}} d x= sqrt{3} times left[ pile{it #it} 2 times x^{{1} over {2}} right]_{3}^{4}]
[eqn: = sqrt{3} times(4-2 sqrt{3})=4 sqrt{3}-6]

① [eqn: 4 sqrt {3} -6]	② [eqn: sqrt {3} -1]	③ [eqn: 5 sqrt {3} -8]

④ [eqn: 2 sqrt {3} -3]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3} -5]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^08^사관고3가^중}}][eqn: =ln x]에 대하여 [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {1} over {1+ {k} over {n}} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )]

[eqn: 1+ k over n ``->`` x]라 하면 [eqn: 1over n ``->``dx]

[eqn: x]의 구간은 [eqn: [1.````2]]이므로

(준식)[eqn: =int _{ 1} ^{2 } { 1 over x f(x) dx}]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ln x]를 대입하면

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k} f LEFT ( 1+ {k} over {n} RIGHT )]

[eqn: = int _{1} ^{2} {} {1} over {x} ` lnx dx]

[eqn: lnx =t]라 하면 [eqn: 1 over x cdotdx = dt]이 되고, 구간은 [eqn: [0,````ln2]]

[eqn: =int _{ 0} ^{ln2 } {t dt }]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} t ^{2} RIGHT ] _{0} ^{ln2}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( ln2 RIGHT ) ^{2}]

① [eqn: ln 2]	② [eqn: LEFT ( ln 2 RIGHT ) ^{2}]	③ [eqn: {ln 2} over {2}]

④ [eqn: {LEFT ( ln 2 RIGHT ) ^{2}} over {2}]	⑤ [eqn: {LEFT ( ln 2 RIGHT ) ^{2}} over {4}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 14

함수 [eqn: {f(x)=cos x}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]에 대하여 [eqn: lim _{n ``->`` INF } { sum _{k=1} ^{n} {k pi } over {n ^{2}} f LEFT ( {pi } over {2} + {k pi } over {n} RIGHT )}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } { sum _{k=1} ^{n} {k pi } over {n ^{2}} f LEFT ( {pi } over {2} + {k pi } over {n} RIGHT )}]

[eqn: = {1} over {pi} int _{0} ^{pi} {} x f LEFT ( {pi} over {2} +x RIGHT ) dx]
[eqn: = {1} over {pi } int _{0} ^{pi } {} x cos LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) dx]
[eqn: = {1} over {pi } int _{0} ^{pi } {} x LEFT ( -sin x RIGHT ) dx]
[eqn: = {1} over {pi } LEFT ( LEFT [ x cos x pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{pi } - int _{0} ^{pi } {} cos x dx RIGHT )]
[eqn: = {i} over {pi} LEFT ( -pi- LEFT [ sin x pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{pi} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {pi } TIMES LEFT ( - pi RIGHT )][eqn: = it -1]

① [eqn: - {5} over {2}]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 26

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {` sum _{k`=`1} ^{n}} ` {k ^{2} +2kn} over {k ^{3} +3k ^{2} n+n ^{3}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {` sum _{k`=`1} ^{n}} ` {k ^{2} +2kn} over {k ^{3} +3k ^{2} n+n ^{3}}]

[eqn: =lim _{n`-> ` INF } {` sum _{k`=`1} ^{n}} ` left{{ LEFT ( k overn RIGHT )^2 + 2 times k over n }over{ LEFT ( k overn RIGHT )^3 + 3 times LEFT ( k overn RIGHT )^2 +1 }times 1 overn right}]

[eqn: =int_0^1 {x^2 +2x}over{x^3 +3x^2 +1}`dx]

[eqn: =left[ 1 over3 `ln` LEFT ( x^3 +3x^2 +1 RIGHT )right]_0^1]

[eqn: = 1 over3 LEFT ( ln`5-ln`1 RIGHT )]

[eqn: ={ln`5}over3]

① [eqn: ln`5]	② [eqn: {ln`5} over {2}]	③ [eqn: {ln`5} over {3}]

④ [eqn: {ln`5} over {4}]	⑤ [eqn: {ln`5} over {5}]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 24

[eqn: {lim _{ n ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{ n} { 1} over {n+3k } }}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{ n ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{ n} { 1} over {n+3k } }][eqn: =lim _{ n ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{ n} { {1}over{n}} over {{n}over{n}+{3k}over{n} } }]
[eqn: ={1}over{3}lim _{ n ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{ n} { {3}over{n}} over {1+{3k}over{n} } }]
[eqn: ={1}over{3} int _{ 1} ^{4 } {{1}over{x} }dx]
[eqn: ={1}over{3} left[pile{{`}#{`}}{rmln}x right]_{1}^{4}]
[eqn: ={2}over{3}{rmln}`2]

① [eqn: 1over3 {rmln}2]	② [eqn: 2over3 {rmln}2]	③ [eqn: ln2]

④ [eqn: 4 over3 {rmln}2]	⑤ [eqn: 5 over3 {rmln}2]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 24

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} sqrt {1+ {3k} over {n}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over {n} sum_{k=1}^{n} sqrt{1+{3 k} over {n}}][eqn: = 1over3 lim_{n`->`inf} 3overn sum_k=1^n root{1+ 3k overn]
[eqn: = 1over3 int_1^4 rootx dx]
[eqn: = 1over3 left[ 2over3 x^{3over2}right]_1^4]
[eqn: = 2over9 timesleft(8-1right)]
[eqn: = 14over9]

[다른 풀이]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over {n} sum_{k=1}^{n} sqrt{1+{3 k} over {n}}][eqn: = int_{0}^{1} sqrt{1+3 x} d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} {2} over {9}(1+3 x)^{{3} over {2}} right]_{0}^{1}]
[eqn: ={2} over {9}(8-1)]
[eqn: ={14} over {9}]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {13} over {9}]	③ [eqn: {14} over {9}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {16} over {9}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 26

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} {k} over {(2 n-k)^{2}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} {k} over {(2 n-k)^{2}}][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} {{k} over {n}} over { left({k} over {n}-2 right)^{2}} times {1} over {n}= int_{-2}^{-1} {x+2} over {x^{2}} d x]
[eqn: = int_{-2}^{-1} left({1} over {x}+{2} over {x^{2}} right) d x= left[ pile{it #it} ln |x|-{2} over {x} right]_{-2}^{-1}]
[eqn: =1- ln 2]

① [eqn: {3} over {2}-2 ln 2]	② [eqn: 1- ln 2]	③ [eqn: {3} over {2}- ln 3]

④ [eqn: ln 2]	⑤ [eqn: 2- ln 3]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 25

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x^2 e^{x^2 -1}`]에 대하여 [eqn: lim _{ n`->`inf} { sum _{ k=1} ^{n } 2 over { n+k} f LEFT ( 1 + k over n RIGHT ) }`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{ n`->`inf} { sum _{ k=1} ^{n } 2 over { n+k} f LEFT ( 1 + k over n RIGHT ) }`][eqn: =lim_{n`->`inf}1overn sum_k=1^n 2over{1+ k overn}f left(1+ k overn right)]
[eqn: =int_1^2 2overx f left(x right)`dx]
[eqn: =int_1^2 2xe^{x^2 - 1}`dx]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x^2 -1=t]라 하면 [eqn: 2x= dt overdx]이고, [eqn: x=1]일 때 [eqn: t=0], [eqn: x=2]일 때 [eqn: t=3]이므로 ㉠에서

[eqn: int_1^2 2xe^{x^2 - 1}`dx][eqn: =int_0^3 e^t`dt]
[eqn: =left[e^t pile{`#`}right]_0^3]
[eqn: =e^3 -1]

① [eqn: e^3 -1]	② [eqn: e^3 - 1 over e]	③ [eqn: e^4 -1]

④ [eqn: e^4 - 1 overe]	⑤ [eqn: e^5 -1]

06 미적	13 정적분의활용
02 정적분과 넓이
02 넓이2 (그래프 그리기)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 8

곡선 [eqn: {y}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: =e ^{2x}]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x][eqn: =ln` {1} over {2}], [eqn: x][eqn: =ln`2]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

곡선[eqn: y=e^{2 x}]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x= ln {1} over {2}], [eqn: x= ln 2]로 둘러싸인 부분은 그림과 같으므로 구하는 넓이는

[eqn: int_{ ln {1} over {2}}^{ ln 2} e^{2 x} d x][eqn: = left[ pile{it #it} {1} over {2} e^{2 x} right]_{ ln {1} over {2}}^{ ln 2}]
[eqn: ={1} over {2} e^{2 ln 2}-{1} over {2} e^{2 ln {1} over {2}}]
[eqn: ={1} over {2} e^{ ln 4}-{1} over {2} e^{ ln {1} over {4}}]
[eqn: ={1} over {2} times 4-{1} over {2} times {1} over {4}={15} over {8}]

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: {15} over {8}]	③ [eqn: {15} over {7}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 27

곡선 [eqn: y = x ln` LEFT ( x^2 +1 RIGHT ) `]과 [eqn: x`]축 및 직선 [eqn: x =1 `]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ①

[해설]

[eqn: S = int_0^1 x ln ( x^2 +1) dx]

[eqn: x^2 +1 = t]로 치환하면 [eqn: 2x dx = dt]

[eqn: S= int_1^2 1 over2 `ln t dt]

[eqn: = left[ 1 over2 t lnt - 1 over2 t right]_1^2][eqn: = ln2 - 1 over2]

① [eqn: ln`2 - 1 over 2`]	② [eqn: ln`2 - 1 over 4`]	③ [eqn: ln`2 - 1 over 6`]

④ [eqn: ln`2 - 1 over 8`]	⑤ [eqn: ln`2 - 1 over 10`]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
02 넓이와 해석2 (넓이가 같을 조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 27

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이다. 그림과 같이 [eqn: 0 le x le 2]에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 두 부분의 넓이를 각각 [eqn: A], [eqn: B]라 하자.

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[해설]

[eqn: A=B]이므로 [eqn: int _{0} ^{2} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx=0]

[eqn: int _{0} ^{2} {(2x+3)f prime (x)} dx][eqn: = LEFT [ LEFT ( 2x+3 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: - int _{0} ^{2} {} 2 f LEFT ( x RIGHT ) dx]
[eqn: =7f LEFT ( 2 RIGHT ) -3f LEFT ( 0 RIGHT ) -0]
[eqn: =7]

[eqn: A=B]일 때, [eqn: int _{0} ^{2} {(2x+3)f `` prime (x)} dx]의 값을 구하시오.

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
03 넓이와 해석3 (넓이로 정의된 함수)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 28

[eqn: 0<a<1`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 구간 [eqn: LEFT [ 0 ,`` pi over 2 RIGHT )]에서 정의된 두 함수

[정답] ②

[해설]

두 함수 [eqn: y=sin`x], [eqn: y=a tan `x]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha``left(0<alpha< pi over2 right)]라 하면

[eqn: sin`alpha=a tan`alpha], [eqn: sin`alpha=a cdot{sin`alpha}over{cos`alpha}]

[eqn: sin`alpha ne=]이므로 [eqn: cos`alpha=a]

[eqn: f left(a right)][eqn: =int_0^alpha left(sin`x-a tan`x right)`dx]
[eqn: =int_0^alpha sin`x`dx-a int_0^alpha tan`x`dx]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠을 [eqn: a]에 대하여 미분하면

[eqn: f`prime left(a right)][eqn: =sin`alpha`{d alpha}overda -int_0^alpha tan`x`dx-a tan`alpha `{d alpha}overda]
[eqn: =left(sin`alpha-cos`alpha`tan` alpha right){d alpha}overda -int_0^alpha{sin`x}over{cos`x}`dx]
[eqn: =left[ln`cos`x pile{`#`}right]_0^alpha]
[eqn: =ln`cos`alpha]
[eqn: =ln`a]

[eqn: therefore][eqn: f`prime left(1overe^2 right)=ln`1overe^2 =it-2]

[eqn: y =sin` x], [eqn: y =a`tan` x]

의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )`]라 할 때, [eqn: f`' LEFT ( 1 over e^2 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: - 5 over 2]	② [eqn: -2]	③ [eqn: - 3 over2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - 1 over 2]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
06 역함수와 정적분1 (대칭성)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 27

미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에 의해 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소한다.

그러므로 조건 (나)에 의해

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )=1,~f LEFT ( 3 RIGHT )=it-2] 즉 [eqn: f^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT )= it-1 ,~f^{`-1} LEFT ( -2 RIGHT )=3]

[eqn: int _{ -2} ^{ 1} {f^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) }`dx]에서 [eqn: f^{`-1} LEFT ( x RIGHT )=t]로 놓으면

[eqn: x= it-2]일 때 [eqn: t=3 ,~x=1]일 때 [eqn: t=it-1]이고,

[eqn: x=f LEFT ( t RIGHT )]에서 [eqn: dx overdt = f`' LEFT ( t RIGHT )]이므로

[eqn: int _{ -2} ^{1 } {f^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) }`dx][eqn: =int _{ 3} ^{-1 } {tf`' LEFT ( t RIGHT ) }`dt]
[eqn: = left[tf LEFT ( t RIGHT )pile{`#`}right]_3 ^-1 - int _{ 3} ^{-1 } {f LEFT ( t RIGHT ) }`dt]
[eqn: =it-f LEFT ( -1 RIGHT )-3f LEFT ( 3 RIGHT )+ int _{ -1} ^{3 } {f LEFT ( t RIGHT ) }`dt]
[eqn: =it-1+6+3=8]

(가) [eqn: x _{1} <x _{2}]인 임의의 두 실수 [eqn: x _{1} ,~x _{2}]에 대하여
[eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) >f LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `-1,~3` RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: 1]이고 최솟값은 [eqn: -2]이다.

[eqn: int _{-1} ^{3} {} f LEFT ( x RIGHT ) `dx][eqn: =3]일 때, [eqn: int _{-2} ^{1} {} f ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) `dx]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

06 미적	13 정적분의활용
03 정적분과 넓이의 해석
08 역함수와 정적분3 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 21

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = {4x ^{2}} over {x ^{2} +3} }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: h (x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: f '(x) = { 8x (x^2 +3) -4x^2 times 2x}over {(x^2 +3)^2 } = 24x over { (x^2 +3)^2 }]

양의 실수 전체의 집합에서 [eqn: f '(x) >0]이므로 [eqn: f(x)]는 증가함수이다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 교점은 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]의 교점과 같다.

[eqn: f(x)=x]에서 [eqn: x^3 -4x^2 +3x = x(x-1)(x-3)=0]이므로

두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1], [eqn: 3]이다.

[eqn: f '' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {24(x ^{2} +3) ^{2} -24x TIMES 2(x ^{2} +3) TIMES 2x} over {(x ^{2} +3) ^{4}}]
[eqn: = {72(1-x)(1+x)}over {(x^2 +3)^3 }]

곡선 [eqn: y=f(x)]는 열린 구간 [eqn: (0 ,```` 1)]에서 아래로 볼록하고,열린 구간 [eqn: (1 ,```` inf)]에서 위로 볼록하며,변곡점은 [eqn: (1 ,```` 1)]이다.

두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 그래프 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: h(x)]는 닫힌구간 [eqn: [ 1 ,```` 3 ]]에서만 [eqn: h(x){geq}0]이고, 함수 [eqn: h(x)]의 그래프 개형은 다음과 같다.

ㄱ. 두 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 교점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1], [eqn: 3]이므로
[eqn: f(1)=g(1)=1], [eqn: h(1) =0]	(참)

ㄴ. 두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{b} {h ( x ) dx}]의 값이 최대가 되려면
닫힌구간 [eqn: [ a ,```` b ]]에서 [eqn: h(x){geq}0]이고 [eqn: b-a]의 값이 최대이어야 하므로 [eqn: a=1], [eqn: b=3]
그러므로 [eqn: b-a=2]	(참)

ㄷ. [eqn: f(g(x)) =x]에서 [eqn: f '(g(x))g '(x) =1]이고
[eqn: g '(x) = 1 over { f '(g(x))}]
[eqn: h '(x) = f '(x) - g '(x) = f '(x) - 1over {f '(g(x))}]
[eqn: g ''(x) = - { f ''(g(x)) g '(x) } over { left{` f '(g(x)) `right} ^2 }]
곡선 [eqn: y=f(x)]가 점 [eqn: (1 ,```` 1)]에서만 변곡점을 가지므로
[eqn: f ''(1)=0]
[eqn: f(1)=g(1)=1]이므로
[eqn: g ''(1) = - { f ''(g(1)) g '(1) } over { left{` f '(g(1)) `right} ^2 } = - { f ''(1) g '(1) } over { left{` f '(1) `right} ^2 } =0]
[eqn: h ''(1) = f ''(1) - g ''(1)=0]

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: f ''(x) >0], [eqn: g '(x)>0], [eqn: 0<g(x)<1]이므로
[eqn: g ''(x) = - { f ''(g(x)) g '(x) } over { left{` f '(g(x)) `right} ^2 } <0]
열린구간 [eqn: (0 ,```` 1)]에서 [eqn: h ''(x) = f ''(x) - g ''(x) >0]

(ⅱ) [eqn: 1<x<4]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g '(x)>0], [eqn: g(x)>1]이고 [eqn: x>1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f ''(x) <0]이므로
[eqn: g ''(x) = - { f ''(g(x)) g '(x) } over { left{` f '(g(x)) `right} ^2 } >0]
열린구간 [eqn: (1 ,```` 4)]에서 [eqn: h ''(x) = f ''(x) - g ''(x) <0]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: h '(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 4]
[eqn: h'' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	[eqn: {5} over {6}]	[eqn: SEARROW]

함수 [eqn: h '(x)]는 [eqn: x=1]에서 최댓값을 갖는다.
[eqn: f ' (1) = 3over2]이므로
[eqn: h '(1) = f '(1) - 1over {f '(g(1))} = f '(1) - 1over {f '(1)} = 5over6]

(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )][eqn: LEFT ( 0<x<4 RIGHT )]

라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT ) =0] ㄴ. 두 양수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT ( a<b<4 RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{a} ^{b} {h LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값이 최대일 때, [eqn: b-a=2]이다. ㄷ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {7} over {6}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	13 정적분의활용
04 정적분과 부피
01 부피1 (좌표평면과 함수)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 12

그림과 같이 곡선 [eqn: {y= sqrt {x} e ^{x}}{{from^2020^08^사관고3가^중}}] ([eqn: 1 LEQ x LEQ 2])와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

[정답] ④

[해설]

위의 그래프에서 [eqn: x]점에서의 사각형은 정사각형이므로 단면의 넓이를 [eqn: S(x)]라 하면 [eqn: S(x) = (rootx e^x )^2][eqn: =xe^2x]

구간 [eqn: [1,````2]]에서의 부피를 [eqn: V]라 하면 [eqn: V = int _{ 1} ^{2 } {S(x) dx }]이므로

[eqn: V][eqn: = int _{1} ^{2} {} xe ^{2x} dx]
[eqn: = LEFT [ LEFT ( {1} over {2} x- {1} over {4} RIGHT ) e ^{2x} RIGHT ] _{1} ^{2}]
[eqn: = {3} over {4} e ^{4} - {1} over {4} e ^{2}]
[eqn: = {3e ^{4} -e ^{2}} over {4}]

① [eqn: {e ^{4} +e ^{2}} over {4}]	② [eqn: {2e ^{4} -e ^{2}} over {4}]	③ [eqn: {2e ^{4} +e ^{2}} over {4}]

④ [eqn: {3e ^{4} -e ^{2}} over {4}]	⑤ [eqn: {3e ^{4} +e ^{2}} over {4}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 26

그림과 같이 곡선 [eqn: {y= sqrt { { 3x+ 1 } over {x^2 } }}{{from^2021^09^평가원^중}}][eqn: LEFT ( x>0 RIGHT )]과 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x= 1], [eqn: x= 2]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 [eqn: x]축과 수직으로 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: x]좌표가 [eqn: t][eqn: LEFT ( 1 le t le 2 RIGHT )]인 점을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면은 한 변의 길이가 [eqn: sqrt { { 3t+1} over {t^2 } }]인 정사각형이므로 단면의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면

[eqn: S(t) = { 3t+1} over { t^2}]

따라서 구하는 입체도형의 부피를 [eqn: V]라 하면

[eqn: V][eqn: = int _{ 1} ^{2 } { S(t) dt }]
[eqn: = int _{ 1} ^{2 } { { 3t+1} over {t^2 } } dt]
[eqn: = int _{ 1} ^{2 } { LEFT ( 3 over t + 1 over t^2 RIGHT ) } dt]
[eqn: = left[ 3 ln left |`` t ``right | - 1 over t right]_1 ^2]
[eqn: = LEFT ( 3 ln 2 - 1 over 2 RIGHT ) - LEFT ( 3 ln 1 - 1 RIGHT )]
[eqn: = 1 over 2 + 3 ln 2]

① [eqn: 3 ln 2]	② [eqn: 1 over 2 + 3 ln 2]	③ [eqn: 1+ 3 ln 2]

④ [eqn: 1 over 2 + 4 ln 2]	⑤ [eqn: 1+ 4 ln 2]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 26

그림과 같이 양수 [eqn: k]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt{{k x} over {2 x^{2}+1}}]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피가 [eqn: 2 ln 3]일 때, [eqn: k]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: V= int_{1}^{2} y^{2} d x= int_{1}^{2} {k x} over {2 x^{2}+1} d x]에서

[eqn: 2 x^{2}+1=t]라 하면 [eqn: 4 x={d t} over {d x}]이고,

[eqn: x=1]일 때 [eqn: t=3],

[eqn: x=2]일 때 [eqn: t=9]이므로

[eqn: V][eqn: =k int_{1}^{2} {x} over {2 x^{2}+1} d x]
[eqn: ={k} over {4} int_{3}^{9} {1} over {t} d t]
[eqn: ={k} over {4}[ ln t]_{3}^{9}]
[eqn: ={k} over {4}( ln 9- ln 3)]
[eqn: ={k} over {4} ln 3]

따라서 [eqn: {k} over {4} ln 3=2 ln 3]에서 [eqn: k=8]이다.

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 26

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt {sec` ^{2} x+tan`x} ~ LEFT ( 0 LEQ x LEQ {pi } over {3} RIGHT )]와 [eqn: x]축, [eqn: y]축 및 직선 [eqn: x= {pi } over {3}]로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 0 leq t leq { pi} over {3}]인 실수 [eqn: ~ t]에 대하여 직선 [eqn: x=t]를 포함하고 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 [eqn: S(t)]라 하면

[eqn: S(t)= left( sqrt{ sec ^{2} t+ tan t} right)^{2}= sec ^{2} t+ tan t]

따라서 구하는 입체도형의 부피를 [eqn: V`]라 하면

[eqn: V`][eqn: = int_{0}^{{ pi} over {3}} left( sec ^{2} t+ tan t right) d t]
[eqn: = int_{0}^{{ pi} over {3}} left( sec ^{2} x+{ sin x} over { cos x} right) d x]
[eqn: = int_{0}^{{ pi} over {3}} left{ sec ^{2} x-{( cos x) `prime } over { cos x} it right} d x]
[eqn: =left[ tan x- ln `left|` cos `x`right|pile{`#`}right]_{0}^{{ pi} over {3}}]
[eqn: = tan { pi} over {3}- ln cos { pi} over {3}]
[eqn: = sqrt{3}- ln {1} over {2}= sqrt{3}+ ln 2]

① [eqn: { sqrt{3}} over {2}+{ ln 2} over {2}]	② [eqn: { sqrt{3}} over {2}+ ln 2]	③ [eqn: sqrt{3}+{ ln 2} over {2}]

④ [eqn: sqrt{3}+ ln 2]	⑤ [eqn: sqrt{3}+2 ln 2]

06 미적	13 정적분의활용
05 평면운동과 곡선의 길이
04 평면운동2 (매개변수 함수 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 27

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t~ LEFT ( t>0 RIGHT )]에서의 위치가 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=t ^{2} x- {ln`t} over {8}]가 만나는 서로 다른 두 점의 중점일 때, 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=e]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?

[정답] ①

[해설]

곡선 [eqn: y=x^{2}]과 직선 [eqn: y=t^{2} x-{ ln t} over {8}]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 두 점의 좌표는 [eqn: left( alpha,`` alpha^{2} right)], [eqn: left( beta,`` beta^{2} right)]이므로 이 두 점을 잇는 선분의 중점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {alpha + beta } over {2} ,`` {alpha ^{2} + beta ^{2}} over {2} RIGHT )][eqn: cdotscdots] ㉠

이다. 또 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 [eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^{2}=t^{2} x-{ ln t} over {8}], 즉 [eqn: x^{2}-t^{2} x+{ ln t} over {8}=0]의 두 실근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha+ beta=t^{2}], [eqn: alpha beta={ ln t} over {8}]

이고, [eqn: alpha^{2}+ beta^{2}=( alpha+ beta)^{2}-2 alpha beta=t^{4}-{ ln t} over {4}]이므로 ㉠에서

[eqn: { alpha+ beta} over {2}={1} over {2} t^{2}], [eqn: { alpha^{2}+ beta^{2}} over {2}={1} over {2} t^{4}-{ ln t} over {8}]

그러므로 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: (x,`` y)]는 [eqn: x={1} over {2} t^{2}], [eqn: y={1} over {2} t^{4}-{ ln t} over {8}]이다.

[eqn: x={1} over {2} t^{2}]에서 [eqn: {d x} over {d t}=t]이고, [eqn: y={1} over {2} t^{4}-{ ln t} over {8}]에서 [eqn: {d y} over {d t}=2 t^{3}-{1} over {8 t}]이므로

[eqn: left({d x} over {d t} right)^{2}+ left({d y} over {d t} right)^{2}=t^{2}+ left(2 t^{3}-{1} over {8 t} right)^{2}=4 t^{6}+{1} over {2} t^{2}+{1} over {64 t^{2}}= left(2 t^{3}+{1} over {8 t} right)^{2}]

따라서 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=e]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리는

[eqn: int_{1}^{e} sqrt{ left({d x} over {d t} right)^{2}+ left({d y} over {d t} right)^{2}} d t][eqn: = int_{1}^{e} sqrt{ left(2 t^{3}+{1} over {8 t} right)^{2}} d t= int_{1}^{e} left(2 t^{3}+{1} over {8 t} right) d t= left[ pile{it #it} {1} over {2} t^{4}+{1} over {8} ln |t| right]_{1}^{e}]

[eqn: = left({e^{4}} over {2}+{1} over {8} right)- left({1} over {2}+0 right)={e^{4}} over {2}-{3} over {8}]

① [eqn: {e ^{4}} over {2} - {3} over {8}]	② [eqn: {e ^{4}} over {2} - {5} over {16}]	③ [eqn: {e ^{4}} over {2} - {1} over {4}]

④ [eqn: {e ^{4}} over {2} - {3} over {16}]	⑤ [eqn: {e ^{4}} over {2} - {1} over {8}]

06 미적	13 정적분의활용
05 평면운동과 곡선의 길이
05 곡선의 길이1 (매개변수로 주어진 함수)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 25

매개변수 [eqn: {t}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]로 나타내어진 곡선

[정답] ④

[해설]

[eqn: x= e^t cos(sqrt3 t) -1], [eqn: y= e^t sin(sqrt3 t) +1][eqn: (0 le t le ln7)]에서 양변을 시간에 대하여 미분하면

[eqn: {dx}over{dt}=e^{t}cos`root{3}t-root{3}e^{t}sin`root{3}t]

[eqn: {dy}over{dt}=e^{t}sin`root{3}t+root{3}`e^{t}`cos`root{3}t]

[eqn: int _{ 0} ^{{ln7} } { root{ left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2]

[eqn: =int _{ 0} ^{ln7 } { root{(1+3)e^{2t}}dx]

[eqn: =left[ pile{{`}#{`}}2e^{t} right]_{0}^{ln7}]

[eqn: =12]

[eqn: x= e^t cos(sqrt3 t) -1], [eqn: y= e^t sin(sqrt3 t) +1]

[eqn: (0 le t le ln7)]

의 길이는?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[미적] [03적분전체] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
미적 3개년	2022.12.29

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 143]

[정답] ①

[정답] [eqn: 26]

[정답] [eqn: 48]

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[정답] [eqn: 14]

[정답] [eqn: bold { 115 }]

[정답] [eqn: rm 283]

[정답] [eqn: bold { 586 }]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: 12`]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold19]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 242 }]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ④

[미적] [03적분전체] 교사평경 최근 3개년(해설)
미적 3개년	2022.12.29