		미적 3개년	2022.12.29
교사평경3	02	[미적] [02미분전체] 교사평경 최근 3개년

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
02 지수, 로그함수의 극한
04 e를 포함한 극한의 계산1 (로그식. 무한소)

교사평경3		미적 3개년
02		[미적] [02미분전체] 교사평경 최근 3개년

	미적 3개년		교사평경3
	[미적] [02미분전체] 교사평경 최근 3개년		02

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 6

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {x^{2}+4 x} over { ln left(x^{2}+x+1 right)}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {x^{2}+4 x} over { ln left(x^{2}+x+1 right)}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ {x^{2}+x} over { ln left(x^{2}+x+1 right)} times {x^{2}+4 x} over {x^{2}+x} it right}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} {x^{2}+x} over { ln left(x^{2}+x+1 right)} times lim _{x ``rarrow`` 0} {x(x+4)} over {x(x+1)}]

[eqn: =1 times 4=4]

① [eqn: rm 3]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 6]	⑤ [eqn: rm 7]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 23

[eqn: lim _{x ``->`` 0} {} { ln` LEFT (x+1 RIGHT )} over {sqrt {x+4} -2}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} { ln (x+1)} over { sqrt{x+4}-2}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ { ln (x+1)} over {x} right.][eqn: left. times {x( sqrt{x+4}+2)} over {( sqrt{x+4}-2)( sqrt{x+4}+2)} it right}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ { ln (x+1)} over {x} times( sqrt{x+4}+2) it right}]

[eqn: =1 times(2+2)]

[eqn: =4]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 25

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} { ln left(2 x^{2}+3 x right)- ln 3 x} over {x}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} { ln left(2 x^{2}+3 x right)- ln 3 x} over {x}]

[eqn: ={2} over {3} times lim _{x ``rarrow`` 0+} { ln left({2 x} over {3}+1 right)} over {{2 x} over {3}}]

[eqn: ={2} over {3} times lim _{x ``rarrow`` 0+} ln left({2 x} over {3}+1 right)^{{3} over {2 x}}]

[eqn: ={2} over {3} times ln lim _{x ``rarrow`` 0+} left({2 x} over {3}+1 right)^{{3} over {2 x}}]

[eqn: ={2} over {3} ln e={2} over {3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {5} over {6}]	⑤ [eqn: rm 1]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 24

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)-f(0)} over { ln (1+3 x)}= lim _{x ``rarrow`` 0} {{f(x)-f(0)} over {x}} over {{ ln (1+3 x)} over {3 x} times 3}={f `prime (0)} over {3}]

[eqn: {f `prime (0)} over {3}=2]에서 [eqn: f `prime (0)=6]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)-f(0)} over { ln (1+3 x)}=2]

일 때, [eqn: f `prime (0)]의 값은?

① [eqn: rm 4]	② [eqn: rm 5]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 8]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
02 지수, 로그함수의 극한
06 e를 포함한 극한의 계산3 (지수식. 무한소)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 23

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {4^{x}-2^{x}} over {x}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {4^{x}-2^{x}} over {x}= lim _{x ``rarrow`` 0} {2^{x} left(2^{x}-1 right)} over {x}= ln 2]

[다른 풀이]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {4^{x}-2^{x}} over {x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} {4^{x}-1-2^{x}+1} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} {4^{x}-1} over {x}- lim _{x ``rarrow`` 0} {2^{x}-1} over {x}]
[eqn: = ln 4- ln 2]
[eqn: =2 ln 2- ln 2]
[eqn: = ln 2]

① [eqn: ln 2]	② [eqn: rm 1]	③ [eqn: 2 ln 2]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: 3 ln 2]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
02 지수, 로그함수의 극한
11 극한의 활용2 (지수식 극한)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 16

양수 [eqn: t]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: f(t)]라 하자.

[정답] ③

[해설]

두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 [eqn: y]좌표는 각각 [eqn: e^{{k} over {2}}], [eqn: e^{{k} over {2}+3 t}]이므로

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }=e^{{k} over {2}+3 t}-e^{{k} over {2}}=e^{{k} over {2}} left(e^{3 t}-1 right)]

점 [eqn: {rm{R}} it]의 [eqn: x]좌표는 방정식 [eqn: e^{{x} over {2}}=e^{{k} over {2}+3 t}]의 실근이므로 [eqn: {x} over {2}={k} over {2}+3 t]에서 [eqn: x=k+6 t]

따라서

[eqn: overline{{rm{QR}} it }=(k+6 t)-k=6 t]

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }= overline{{rm{QR}} it }]에서

[eqn: e ^{{k} over {2}} LEFT ( e ^{3t} -1 RIGHT ) =6t]

[eqn: e^{{k} over {2}}={6 t} over {e^{3 t}-1}]이므로

[eqn: k=2 ln {6 t} over {e^{3 t}-1}]

즉, [eqn: f(t)=2 ln {6 t} over {e^{3 t}-1}]이므로

[eqn: lim _{t->0+} {f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: =2 lim _{t`` rarrow ``0+} {} ln {6t} over {e ^{3t} -1}]
[eqn: =2 lim _{t ``rarrow`` 0+} ln {2} over {{e^{3 t}-1} over {3 t}}]
[eqn: =2 ln 2= ln 4]

직선 [eqn: x=k]와 두 곡선 [eqn: y=e^{{x} over {2}}], [eqn: y=e^{{x} over {2}+3 t}]이 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나고 [eqn: y]축에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=e ^{{x} over {2}}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 할 때, [eqn: overline{{rm{PQ}} it }= overline{{rm{QR}} it }]이다.

함수 [eqn: f(t)]에 대하여 [eqn: lim _{t ``rarrow`` 0+} f(t)]의 값은?

① [eqn: ln 2]	② [eqn: ln 3]	③ [eqn: ln 4]

④ [eqn: ln 5]	⑤ [eqn: ln 6]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 26

좌표평면에서 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: x][eqn: =t]가 두 곡선 [eqn: y][eqn: =e ^{2x+k}], [eqn: y][eqn: =e ^{-3x+k}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 할 때, [eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =t]를 만족시키는 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{t -> 0+} {} e ^{f LEFT ( t RIGHT )}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: x][eqn: =t]일 때 두 점 [eqn: rmP,~Q]의 [eqn: y]좌표는 각각

[eqn: e ^{2t+k} ,~e ^{-3t+k}]이고

[eqn: {bar{rm PQ}}][eqn: =t]를 만족시키는 [eqn: k]의 값이 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]이므로

[eqn: e ^{2t+f LEFT ( t RIGHT )} -e ^{-3t+f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: =t]

[eqn: e ^{f LEFT ( t RIGHT )} LEFT ( e ^{2t} -e ^{-3t} RIGHT )][eqn: =t]

[eqn: e ^{f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: = {t} over {e ^{2t} -e ^{-3t}}]

[eqn: lim _{t -> 0+} {} e ^{f LEFT ( t RIGHT )}][eqn: = lim _{t -> 0+} {} {t} over {e ^{2t} -e ^{-3t}}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {1} over {2 TIMES {e ^{2t} -1} over {2t} +3 TIMES {e ^{-3t} -1} over {-3t}}]
[eqn: = {1} over {2 TIMES 1+3 TIMES 1}][eqn: = {1} over {5}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
03 지수, 로그함수의 도함수
01 미분법 공식1 (지수함수)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 23

함수 [eqn: f(x)=(x+a) e^{x}]에 대하여 [eqn: f `prime (2)=8 e^{2}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f `prime (x)=e^{x}+(x+a) e^{x}=(x+a+1) e^{x}]

[eqn: f `prime (2)=(a+3) e^{2}=8 e^{2}]에서 [eqn: a=5]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

06 미적	03 지수, 로그함수의 미분
03 지수, 로그함수의 도함수
02 미분법 공식2 (로그함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 24

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log` _{3} `6x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 9 RIGHT )]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log` _{3} `6x][eqn: =log` _{3} `6+log` _{3} `x]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( log` _{3} `6+log` _{3} `x RIGHT ) '][eqn: = {1} over {x`ln`3}]

따라서 [eqn: f`' LEFT ( 9 RIGHT )][eqn: = {1} over {9`ln`3}]

① [eqn: {1} over {9`ln`3}]	② [eqn: {1} over {6`ln`3}]	③ [eqn: {2} over {9`ln`3}]

④ [eqn: {5} over {18`ln`3}]	⑤ [eqn: {1} over {3`ln`3}]

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
01 삼각함수의 정의
01 정의1 (역수 관계)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 23

[eqn: {0< theta LEQ {pi} over {2}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: sin theta][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]일 때, [eqn: sec theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 0< theta < {pi} over {2}]에서 [eqn: sin theta][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]이므로

[eqn: cos theta][eqn: = sqrt {1-sin ^{2} theta }][eqn: = {2 sqrt {5}} over {5}]

따라서 [eqn: sec theta][eqn: = {1} over {cos theta }][eqn: = {sqrt {5}} over {2}]

① [eqn: {sqrt {5}} over {2}]	② [eqn: {3 sqrt {5}} over {4}]	③ [eqn: sqrt {5}]

④ [eqn: {5 sqrt {5}} over {4}]	⑤ [eqn: {3 sqrt {5}} over {2}]

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
01 삼각함수의 정의
02 정의2 (삼각함수 사이의 관계)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 24

[eqn: sec theta={ sqrt{10}} over {3}]일 때, [eqn: sin ^{2} theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: sec theta={1} over { cos theta}]에서 [eqn: cos theta={3} over { sqrt{10}}]이므로

[eqn: sin ^{2} theta=1- cos ^{2} theta=1-{9} over {10}={1} over {10}]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {3} over {20}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {10}]

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
02 삼각함수의 덧셈정리
02 덧셈정리2 (탄젠트)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 24

[eqn: {2 cos alpha =3 sin alpha }{{from^2021^09^평가원^중}}]이고 [eqn: tan LEFT ( alpha + beta RIGHT ) =1]일 때, [eqn: tan beta]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: 2 cos alpha =3 sin alpha]에서 [eqn: {sin alpha } over {cos alpha } = {2} over {3}]이므로

[eqn: tan alpha = {2} over {3}]

[eqn: tan LEFT ( alpha + beta RIGHT )][eqn: = {tan alpha +tan beta } over {1-tan alpha tan beta }]
[eqn: = {{2} over {3} +tan beta } over {1- {2} over {3} tan beta }]
[eqn: = {2+3 tan beta } over {3-2 tan beta }]

이고, [eqn: tan LEFT ( alpha + beta RIGHT ) =1]이므로 [eqn: {2+3 tan beta } over {3-2 tan beta } =1]

따라서 [eqn: tan beta = {1} over {5}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

06 미적	04 삼각함수의 덧셈정리
03 삼각함수의 해석 및 활용
06 해석 및 활용6 (다각형의 성질)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 26

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{A}} it = alpha], [eqn: angle {rm{B}} it = beta], [eqn: angle {rm{C}} it = gamma]라 할 때, [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: cos alpha], [eqn: 2 cos beta], [eqn: 8 cos gamma]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, [eqn: tan alpha ``tan gamma]의 값을 구하시오. (단, [eqn: alpha< beta< gamma])

[정답] [eqn: 5]

[해설]

[eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 세 내각의 크기이므로
[eqn: alpha+ beta+ gamma= pi]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

[eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로

[eqn: beta={ alpha+ gamma} over {2}], [eqn: alpha+ gamma=2 beta]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

㉠, ㉡ 에서 [eqn: 3 beta= pi], [eqn: beta={ pi} over {3}]

[eqn: beta={ pi} over {3}]이므로 [eqn: alpha+ gamma={2 pi} over {3}]에서

[eqn: cos ( alpha+ gamma)= cos {2 pi} over {3}=-{1} over {2}]

[eqn: cos alpha cos gamma- sin alpha sin gamma=-{1} over {2}]	[eqn: cdotscdots]㉢

[eqn: cos alpha], [eqn: 2 cos beta], [eqn: 8 cos gamma]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
[eqn: (2 cos beta)^{2}=8 cos alpha cos gamma]

[eqn: cos alpha cos gamma={1} over {8}]	[eqn: cdotscdots]㉣

㉢, ㉣ 에서 [eqn: sin alpha sin gamma={5} over {8}]	[eqn: cdotscdots]㉤

따라서 [eqn: tan alpha tan gamma={ sin alpha sin gamma} over { cos alpha cos gamma}=5]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 14

그림과 같이 [eqn: {rm {bar{AB _{1}}}}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: =2], [eqn: rm {bar{AD _{1}}}][eqn: =4]인 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]이 있다.

[정답] ③

[해설]

선분 [eqn: rmAD _{1}]을 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE _{1}]이므로 [eqn: rm { bar{ D_1 E_1} }=1]

위의 그림에서

([eqn: TRIANGLE{rmC _{1} D _{1} E _{1} }]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES{bar{rmD _{1} E _{1} }}TIMES{bar{rmC _{1} D _{1} }}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES1TIMES2]
[eqn: =1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rm C_1 D_1 E_1]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: {bar{rm E _{1} C _{1} it}} ^{2}][eqn: = {bar{rm E _{1} D _{1} it}} ^{2} + {bar{rm C _{1} D _{1} it}} ^{2}]
[eqn: =1 ^{2} +2 ^{2} =5]

그런데 [eqn: TRIANGLE{rmE _{1} F _{1} C _{1} }]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm { bar{ E_1 F_1} }= rm { bar{ C_1 F_1} } = root{ 5 over 2]

[eqn: THEREFORE] ([eqn: TRIANGLE{rmE _{1} F _{1} C _{1} }]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES{bar{rmE _{1} F _{1} }}TIMES{bar{rmC _{1} F _{1} }}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {sqrt{5}} over {sqrt{2}} TIMES {sqrt{5}} over {sqrt{2}}]
[eqn: = {5} over {4}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: S _{1} =1+ {5} over {4} = {9} over {4}]

[eqn: bar{rmD _{2} C _{2} }= {x}], [eqn: ANGLE{rmD _{1} E _{1} C _{1} }=alpha], [eqn: ANGLE{rm D _{2} E_1 C _{2} }=theta]라 하면 조건에서 [eqn: rm {bar{AB _{2}}} ``:`` {bar{AD _{2}}}][eqn: =1``:``2]이므로 [eqn: rm {bar{AD _{2}}} = it2x]

즉, [eqn: rm {bar{AE _{1}}} = 3]이고, [eqn: rm {bar{AD _{2}}} = it2x]이므로 [eqn: rm {bar{D_2 E _{1}}} = it3 -2x]

[eqn: THEREFORE][eqn: tan`alpha=2], [eqn: tan`theta= {x} over {3-2x}]

그런데 [eqn: theta+ alpha + pi over 4 = pi]이므로 [eqn: theta = 3 over 4 pi - alpha]

즉. [eqn: tan LEFT (3 over {4} pi -alpha RIGHT ) = {x} over {3-2x}]

[eqn: tan LEFT ( {3} over {4} pi-alpha RIGHT )][eqn: = {tan {3} over {4} pi-tan`alpha} over {1+tan` {3} over {4} pi{tan`alpha}}]
[eqn: = {-1-2} over {1-2} =3]

이므로 [eqn: {x} over {3-2x} =3], [eqn: x=9-6x], [eqn: 7x=9]

[eqn: THEREFORE][eqn: x= {9} over {7}]

따라서 [eqn: S _{2][eqn: = 1 over 2 times 9 over 7 times 9 over 14 +][eqn: 5 over 4 times 9 over 14 times 9 over 14][eqn: = 9 over 4 left( 9 over 14 right)^2]

즉, 수열 [eqn: left{ S_n right}]은 초항이 [eqn: 9 over4]이고 공비가 [eqn: left({9} over {14} right)^2]인 등비급수이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}][eqn: ={{9} over {4}} over {1- LEFT ( {9} over {14} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {441} over {115}]

선분 [eqn: rmAD _{1}]을 [eqn: 3``:``1]로 내분하는 점을 [eqn: rmE _{1}]이라 하고, 직사각형 [eqn: rmAB _{1} C _{1} D _{1}]의 내부에 점 [eqn: rmF _{1}]을 [eqn: rm {bar{F _{1} E _{1}}}][eqn: =rm {bar{F _{1} C _{1}}}], [eqn: ANGLE rm E _{1} F _{1} C _{1}][eqn: = {pi} over {2}]가 되도록 잡고 삼각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1}]을 그린다.

사각형 [eqn: rmE _{1} F _{1} C _{1} D _{1}]을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rmAB _{1}]위의 점 [eqn: rmB _{2}], 선분 [eqn: rmE _{1} F _{1}]위의 점 [eqn: rmC _{2}], 선분 [eqn: rmAE _{1}]위의 점 [eqn: rmD _{2}]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: rm {bar{AB _{2}}} ``:`` {bar{AD _{2}}}][eqn: =1``:``2]인 직사각형 [eqn: rm AB _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다.

그림 [eqn: R _{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rm AB _{2} C _{2} D _{2}]에 삼각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2}]를 그리고 사각형 [eqn: rmE _{2} F _{2} C _{2} D _{2}]를 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은?

① [eqn: {441} over {103}]	② [eqn: {441} over {109}]	③ [eqn: {441} over {115}]

④ [eqn: {441} over {121}]	⑤ [eqn: {441} over {127}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 29

그림과 같이 [eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = {2} over {3} pi]이고 [eqn: {bar{rm AB}} > {bar{rm AC}}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: {bar{rm BD}}][eqn: = {bar{rm CD}}]인 선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: ANGLE rm CBD][eqn: = alpha], [eqn: ANGLE rm ACD][eqn: = beta]라 하자. [eqn: cos ^{2} ` alpha][eqn: = {7+ sqrt {21}} over {14}]일 때, [eqn: 54 sqrt {3} TIMES tan` beta]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

삼각형 [eqn: rmBCD]는 이등변삼각형이므로

[eqn: ANGLE rm CBD][eqn: = ANGLE rm DCB][eqn: = alpha]이고 [eqn: ANGLE rm CDA][eqn: =2 alpha]

삼각형 [eqn: rm ADC]에서 [eqn: beta][eqn: = {pi} over {3} -2 alpha]

[eqn: cos`2 alpha][eqn: =cos` alpha `cos` alpha -sin` alpha `sin` alpha]
[eqn: =cos ^{2} ` alpha -sin ^{2} ` alpha]
[eqn: =2cos ^{2} ` alpha -1][eqn: = {sqrt {21}} over {7}]

[eqn: sin ^{2} `2 alpha][eqn: =1-cos ^{2} `2 alpha][eqn: = {28} over {49}]이고

[eqn: 0<2 alpha <pi]이므로 [eqn: sin`2 alpha][eqn: = {2 sqrt {7}} over {7}]

[eqn: tan`2 alpha][eqn: = {sin`2 alpha } over {cos`2 alpha }][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: tan` beta][eqn: =tan` LEFT ( {pi} over {3} -2 alpha RIGHT )]
[eqn: = {tan` {pi} over {3} -tan`2 alpha } over {1+tan` {pi} over {3} TIMES tan`2 alpha }]
[eqn: = {sqrt {3} - {2 sqrt {3}} over {3}} over {1+ sqrt {3} TIMES {2 sqrt {3}} over {3}}][eqn: = {sqrt {3}} over {9}]

따라서 [eqn: 54 sqrt {3} TIMES tan` beta][eqn: =18]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 29

그림과 같이 좌표평면 위의 제 [eqn: rm 2]사분면에 있는 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 기울기가 각각 [eqn: m_{1}], [eqn: m_{2} left(0<m_{1}<m_{2}<1 right)]인 두 직선을 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]라 하고, 직선 [eqn: l_{1}]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 직선을 [eqn: l_{3}]이라 하자. 직선 [eqn: l_{3}]이 두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

두 직선 [eqn: l_{1}], [eqn: l_{2}]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는

각의 크기를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면

[eqn: m_{1}= tan alpha], [eqn: m_{2}= tan beta]이고

[eqn: 0<m_{1}<m_{2}<1]에서 [eqn: 0< alpha< beta<{ pi} over {4}]이다.

직선 [eqn: l_{3}]은 직선 [eqn: l_{1}]을 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한

직선이므로

[eqn: angle {rm{CBA}} it =2 alpha], [eqn: ~ angle {rm{BAC}} it = beta- alpha]

[eqn: angle {rm{ACB}} it = pi-2 alpha-( beta- alpha)= pi-( alpha+ beta)]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {9} over { sin 2 alpha}={12} over { sin left{ pi-( alpha+ beta) it right} }=15][eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: sin 2 alpha={3} over {5}]이고 [eqn: 0<2 alpha<{ pi} over {2}]이므로

[eqn: cos 2 alpha= sqrt{1- left({3} over {5} right)^{2}}={4} over {5}], [eqn: ~ tan 2 alpha={3} over {4}]

[eqn: tan 2 alpha= tan ( alpha+ alpha)={2 tan alpha} over {1- tan ^{2} alpha}={3} over {4}]

[eqn: 3 tan ^{2} alpha+8 tan alpha-3=0]

[eqn: (3 tan alpha-1)( tan alpha+3)=0]

[eqn: 0< alpha<{ pi} over {4}]이므로 [eqn: m_{1}= tan alpha={1} over {3}]

㉠에서 [eqn: sin left{ pi-( alpha+ beta) it right} = sin ( alpha+ beta)={4} over {5}]이고

[eqn: 0< alpha+ beta<{ pi} over {2}]이므로

[eqn: cos ( alpha+ beta)= sqrt{1- left({4} over {5} right)^{2}}={3} over {5}], [eqn: tan ( alpha+ beta)={4} over {3}]

[eqn: tan ( alpha+ beta)={ tan alpha+ tan beta} over {1- tan alpha tan beta}={{1} over {3}+ tan beta} over {1-{1} over {3} tan beta}={4} over {3}]

[eqn: 1+3 tan beta=4-{4} over {3} tan beta]

[eqn: {13} over {3} tan beta=3]에서 [eqn: m_{2}= tan beta={9} over {13}]

따라서 [eqn: 78 times m_{1} times m_{2}=78 times {1} over {3} times {9} over {13}=18]

(가) [eqn: overline{{rm{AB}} it }=12], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=9]

(나) 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {15} over {2}]이다.

[eqn: 78 times m_{1} times m_{2}]의 값을 구하시오.

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
02 해석2 (연속성)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 10

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT ) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) =a-4`cos` {pi} over {2} x]에서 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 0=a-4]에서 [eqn: a=4]

[eqn: x!=0]이면 [eqn: e ^{2x} -1!=0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {4-4`cos` {pi} over {2} x} over {LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT ) ^{2}}][eqn: LEFT ( x!=0 RIGHT )]

이때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = lim _{x`->`0} {} `f LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: = lim _{x`->`0} {} ` {4-4`cos` {pi} over {2} x} over {LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` {4 LEFT ( 1-`cos` {pi } over {2} x RIGHT ) LEFT ( 1+cos` {pi } over {2} `x RIGHT )} over {LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 1+cos` {pi } over {2} `x RIGHT )}]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` {4`sin` ^{2} ` {pi } over {2} x} over {LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( 1+cos` {pi } over {2} `x RIGHT )}]
[eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` {LEFT ( {sin` {pi } over {2} x} over {{pi } over {2} x} RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( {e ^{2x} -1} over {2x} RIGHT ) ^{2}} TIMES lim _{x`->`0} {} ` {{pi ^{2}} over {4}} over {1+cos` {pi} over {2} x}]
[eqn: = {1 ^{2}} over {1 ^{2}} TIMES {{pi ^{2}} over {4}} over {1+1} = {pi ^{2}} over {8}]

띠라서 [eqn: a TIMES f LEFT ( 0 RIGHT ) =4 TIMES {pi ^{2}} over {8} = {pi ^{2}} over {2}]

[eqn: LEFT ( e ^{2x} -1 RIGHT ) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) =a-4`cos` {pi} over {2} x]

를 만족시킬 때, [eqn: a TIMES f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: {pi ^{2}} over {6}]	② [eqn: {pi ^{2}} over {5}]	③ [eqn: {pi ^{2}} over {4}]

④ [eqn: {pi ^{2}} over {3}]	⑤ [eqn: {pi ^{2}} over {2}]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
03 활용1 (함수의 그래프)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 27

그림과 같이 곡선 [eqn: y][eqn: =x`sin`x] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,~t`sin`t RIGHT )] ([eqn: 0<t<pi])를 중심으로 하고 [eqn: y]축에 접하는 원이 선분 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t -> 0+} {} {f LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{3}}]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: rmQ]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각

[eqn: rmP',~Q']이라 하면 [eqn: {bar{rm OP'}}][eqn: =t], [eqn: {bar{rm OQ'}}][eqn: =f LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: {bar{rm OP}}][eqn: = sqrt {t ^{2} +t ^{2} `sin ^{2} `t}][eqn: =t sqrt {1+sin ^{2} `t}]

[eqn: {bar{rm OQ}}][eqn: = {bar{rm OP}} - {bar{rm PQ}}][eqn: =t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )]

삼각형 [eqn: rmOPP']과 삼각형 [eqn: rmOQQ']은 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm OP'}} ``:`` {bar{rm OQ'}}][eqn: = {bar{rm OP}} ``:`` {bar{rm OQ}}]

[eqn: t``:``f LEFT ( t RIGHT )][eqn: =t sqrt {1+sin ^{2} `t} ``:``t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )]에서

[eqn: f LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {t LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT )} over {sqrt {1+sin ^{2} `t}}]

[eqn: lim _{t -> 0+} {} {f LEFT ( t RIGHT )} over {t ^{3}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {sqrt {1+sin ^{2} `t} -1} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t}}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} -1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]
[eqn: = lim _{t -> 0+} {} {sin ^{2} `t} over {t ^{2} sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]

[eqn: = lim _{t -> 0+} {} LEFT ( {sin`t} over {t} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {sqrt {1+sin ^{2} `t} LEFT ( sqrt {1+sin ^{2} `t} +1 RIGHT )}]

[eqn: =1 ^{2} TIMES {1} over {sqrt {1} TIMES LEFT ( sqrt {1} +1 RIGHT )}][eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {sqrt {2}} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
04 활용2 (다각형의 성질)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 28

그림과 같이 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =1], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: =2]인 삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 선분 [eqn: rmAC]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하고, 점 [eqn: rmM]을 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAC]의 이등분선이 두 직선 [eqn: rm BC,~DM]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmE,~F]라 하자. [eqn: ANGLE rm CBA][eqn: = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmABE]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmDFC]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta -> 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta <pi])

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {rmbarAC }^{2} = 1^2 +2^2 -2times1times2 timescos `theta=5-4`cos`theta]이므로

[eqn: rmbarAC = sqrt { 5-4`cos`theta}]

직선 [eqn: rmAE]가 [eqn: rmangleBAC]의 이등분선이므로

[eqn: rmbarBE `:`barCE`=`barAB`:`barAC `=`1`:` sqrt { 5-4`cos`theta}]에서

[eqn: rmbarBE = 1over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}}times rmbarBC = 2over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}]

그러므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 times rmbarAB times barBE times sin` LEFT ( angleCBA RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times 1 times 2over1+ sqrt { 5-4`cos`theta }timessin`theta]
[eqn: = {sin`theta} over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}]

두 직선 [eqn: rmAB, ~DM]이 서로 평행하므로

[eqn: rmangleCDM = theta ,~angleBAE = angleDFE]

이다. 이때 [eqn: rmangleBAE =angleFAC]이므로 삼각형 [eqn: rmAMF]는 이등변삼각형이다.

점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmAC]의 중점이므로

[eqn: rmbarFM = 1over2 times barAC = sqrt { 5-4`cos`theta}over 2]이고

[eqn: rmbarBD =barCD =1 ,~barDM = 1over2]

그러므로 [eqn: rmbarDF = barFM - barDM = {sqrt { 5-4`cos`theta} -1}over2]

[eqn: rmangleFDC = pi -angleCDM =pi- theta]이므로

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 times rmbarCD timesbarDF timessin` LEFT ( angleFDC RIGHT )]
[eqn: = 1over2 times 1times {sqrt { 5-4`cos`theta}-1} over2 timessin `LEFT ( pi-theta RIGHT )]
[eqn: = { sqrt { 5-4`cos`theta}-1}over4 timessin`theta]

따라서

[eqn: lim _{ theta`->`0+} `{ g LEFT ( theta RIGHT ) }over{theta^2 timesf LEFT ( theta RIGHT )}][eqn: = lim _{ theta`->`0+}` {{{sin`theta} over4 } LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta} -1RIGHT )} over {theta^2 times { sin`theta}over{1+ sqrt { 5-4`cos`theta}}]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{ LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta} -1RIGHT ) LEFT ( sqrt { 5-4`cos`theta}+1 RIGHT ) }over{4`theta^2}]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{ LEFT ( 5-4`cos`theta RIGHT ) -1 }over{4`theta ^2 }]
[eqn: =lim _{ theta`->`0+} `{1-cos`theta }overtheta^2]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {} ` {LEFT ( 1-cos` theta RIGHT ) LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )} over {theta ^{2} LEFT ( 1+cos` theta RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {2} times lim _{ theta`->`0+}` {sin`^2 `theta }over theta^2]
[eqn: = 1over2]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

06 미적	05 삼각함수의 미분
02 극한의 해석 및 활용
06 활용4 (원과 도형)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 21

그림과 같이 길이가 [eqn: {2}{{from^2020^10^서울고3가^5}}]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rm P]와 선분 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: rmanglePAC=theta]일 때, [eqn: rm ANGLE APC=2theta]이다.

[정답] ④

[해설]

두 직각삼각형 [eqn: rmPCE]와 [eqn: rmADE]는 닮음이므로

[eqn: rm {bar{EP}} ``:`` {bar{EA}}][eqn: =rm {bar{EC}} ``:`` {bar{ED}}]에서 [eqn: rm {bar{EP}} TIMES {bar{ED}}][eqn: =rm {bar{EA}} TIMES {bar{EC}}]

[eqn: ANGLE rm DEP][eqn: = {pi} over {2} +2 theta]이므로

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{EP}} TIMES {bar{ED}} TIMES sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{EA}} TIMES {bar{EC}} TIMES cos 2 theta]

직각삼각형 [eqn: rmAPB]에서 [eqn: {bar{rmAP}}][eqn: = it 2 cos theta]

삼각형 [eqn: rmACP]에서 [eqn: ANGLE rm ACP][eqn: =pi-3 theta]이므로

사인법칙에 의하여 [eqn: {{bar{rmAC}}} over {sin 2 theta }][eqn: = {{bar{rmAP}}} over {sin LEFT ( pi-3 theta RIGHT )}]에서

[eqn: {bar{rmAC}}][eqn: = {2 sin 2 theta cos theta } over {sin 3 theta }]

삼각형 [eqn: rmACE]에서 [eqn: ANGLE rm ACE][eqn: = {pi} over {2} -3 theta], [eqn: ANGLE rm CEA][eqn: = {pi} over {2} +2 theta]이고 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rmEC}}} over {sin theta }][eqn: = {{bar{rmEA}}} over {sin LEFT ( {pi} over {2} -3 theta RIGHT )}][eqn: = {{bar{rmAC}}} over {sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )}]이므로

[eqn: {bar{rmEC}}][eqn: = {{bar{rmAC}} ` sin theta } over {sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )}][eqn: = {2 sin 2 theta sin theta cos theta } over {sin 3 theta cos 2 theta }]

[eqn: {bar{rmEA}}][eqn: = {{bar{rmAC}}` sin LEFT ( {pi} over {2} -3 theta RIGHT )} over {sin LEFT ( {pi} over {2} +2 theta RIGHT )}][eqn: = {2 sin 2 theta cos theta cos 3 theta } over {sin 3 theta cos 2 theta }]

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {2 sin ^{2} 2 theta sin theta cos ^{2} theta cos 3 theta } over {sin ^{2} 3 theta cos 2 theta }]

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {S LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {} {2 sin ^{2} 2 theta sin theta cos ^{2} theta cos 3 theta } over {theta sin ^{2} 3 theta cos 2 theta }]
[eqn: = {8} over {9} lim _{theta ``->`` 0+} {} LEFT ( {sin 2 theta } over {2 theta } RIGHT ) ^{2} LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} LEFT ( {3 theta } over {sin 3 theta } RIGHT ) ^{2} LEFT ( {cos ^{2} theta cos 3 theta } over {cos 2 theta } RIGHT )]
[eqn: = {8} over {9}]

[eqn: ANGLE rm ADC= ANGLE rm PCD= {pi } over {2}]인 점 [eqn: rmD]에 대하여 두 선분 [eqn: rm AP]와 [eqn: rmCD]가 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rm DEP]의 넓이를 [eqn: S( theta )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {{S( theta )} over {theta }}]의 값은? [eqn: pile{ `#` } right(]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {6} right)]

① [eqn: {5} over {9}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {7} over {9}]

④ [eqn: {8} over {9}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }=4]인 이등변삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에 외접하는 원 [eqn: O]가 있다. 점 [eqn: {rm{C}} it]를 지나고 원 [eqn: O]에 접하는 직선과 직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 교점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{CAB}} it = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{BDC}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over { theta^{3}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {3}])

[정답] [eqn: 8]

[해설]

이등변삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=8 sin { theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에 사인법칙에 의하면

[eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin theta}={4} over { sin left({ pi} over {2}-{3} over {2} theta right)}], [eqn: overline{{rm{CD}} it }={4 sin theta} over { cos {3} over {2} theta}]

[eqn: S( theta)={1} over {2} overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it } times sin theta={16 sin { theta} over {2} sin ^{2} theta} over { cos {3} over {2} theta}]

[eqn: therefore~ lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over { theta^{3}}=8]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 4]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하고 중심이 [eqn: {rm{O}} it]인 원 [eqn: C]가 있다. 원 [eqn: C] 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 [eqn: angle {rm{APQ}} it =2 theta]를 만족시키는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. 직선 [eqn: {rm{PQ}} it]가 원 [eqn: C]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{P}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 할 때, 중심이 삼각형 [eqn: {rm{AQP}} it]의 내부에 있고 두 선분 [eqn: {rm{PA}} it], [eqn: {rm{PR}} it]에 동시에 접하는 원을 [eqn: C `prime]이라 하자. 원 [eqn: C `prime]이 점 [eqn: {rm{O}} it]를 지날 때, 원 [eqn: C `prime]의 반지름의 길이를 [eqn: r( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{BQR}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)]라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {r( theta )} =a]일 때, [eqn: 45 a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 120]

[해설]

원 [eqn: C `prime]의 중심을 [eqn: {rm{O}} it `prime], 원 [eqn: C `prime]과 선분 [eqn: {rm{PA}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자.

삼각형 [eqn: rm OPA]는 이등변삼각형이므로 [eqn: angle {rm{OPA}} it = theta]

[eqn: r( theta)= overline{{rm{O}} it `prime {rm{O}} it }= overline{{rm{O}} it `prime {rm{H}} it }]이므로 [eqn: overline{{rm{PO}} it `prime }=2-r( theta)]

삼각형 [eqn: {rm{O}} it `prime {rm{PH}} it]에서 [eqn: angle {rm{PHO}} it `prime ={ pi} over {2}]이므로

[eqn: sin theta={ overline{{rm{O}} it `prime {rm{H}} it }} over { overline{{rm{PO}} it `prime }}={r( theta)} over {2-r( theta)}]

[eqn: r( theta)={2 sin theta} over {1+ sin theta}]

[eqn: angle {rm{PRB}} it]는 호 [eqn: {rm{BP}} it]의 원주각이므로 [eqn: angle {rm{PRB}} it = theta]

[eqn: angle {rm{RBA}} it]는 호 [eqn: {rm{AR}} it]의 원주각이므로 [eqn: angle {rm{RBA}} it =2 theta]

선분 [eqn: {rm{AB}} it]가 원 [eqn: C]의 지름이므로 삼각형

[eqn: {rm{ARB}} it]는 직각삼각형이고 [eqn: overline{{rm{RB}} it }=4 cos 2 theta]이다.

삼각형 [eqn: rmQRB] 에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rmRB}} ~} over {sin( ANGLE rm BQR it )} = {{bar{rm RQ it}}} over {sin( ANGLE rm RBQ it )}]

[eqn: {4 cos 2 theta} over { sin ( pi-3 theta)}={ overline{{rm{RQ}} it }} over { sin 2 theta}], [eqn: overline{{rm{RQ}} it }={4 sin 2 theta cos 2 theta} over { sin 3 theta}]

[eqn: S( theta)={1} over {2} times overline{{rm{RQ}} it } times overline{{rm{RB}} it } times sin theta]

[eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {S( theta )} over {r( theta )} = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {{8sin theta sin2 theta (cos2 theta ) ^{2}} over {sin3 theta }} over {{2sin theta } over {1+sin theta }}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {4 sin 2 theta( cos 2 theta)^{2}(1+ sin theta)} over { sin 3 theta}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ {4 sin 2 theta} over { sin 3 theta} times( cos 2 theta)^{2}(1+ sin theta) it right}]

[eqn: =4 times {2} over {3} times 1^{2} times(1+0)={8} over {3}]

따라서 [eqn: a={8} over {3}]이므로 [eqn: 45 a=120]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 24

그림과 같이 [eqn: {rm {bar{AB}}}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: =2], [eqn: ANGLE rm B][eqn: = {pi} over {2}]인 직각삼각형 [eqn: rmABC]에서 중심이 [eqn: rmA], 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원이 두 선분 [eqn: rmAB,````AC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmD,````E]라 하자.

[정답] [eqn: 60]

[해설]

부채꼴 [eqn: {rm{AFE}} it]에서 [eqn: angle {rm{EAF}} it =2 theta]이므로

[eqn: g( theta)={1} over {2} times 1^{2} times 2 theta= theta]

직각삼각형 [eqn: {rm{ABG}} it]에서 [eqn: overline{{rm{BG}} it }=2 tan theta]이므로

[eqn: f( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{AB}} it } times overline{{rm{BG}} it }-{1} over {2} times 1^{2} times theta]
[eqn: ={1} over {2} times 2 times 2 tan theta-{ theta} over {2}]
[eqn: =2 tan theta-{ theta} over {2}]

따라서

[eqn: 40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)} over {g( theta)}][eqn: =40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {2 tan theta-{ theta} over {2}} over { theta}]
[eqn: =40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({2 tan theta} over { theta}-{1} over {2} right)]
[eqn: =40 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({2} over { cos theta} times { sin theta} over { theta}-{1} over {2} right)]
[eqn: =40 times left({2} over {1} times 1-{1} over {2} right)=60]

호 [eqn: rmDE]의 삼등분점 중 점 [eqn: rmD]에 가까운 점을 [eqn: rmF]라 하고, 직선 [eqn: rmAF]가 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmG]라 하자. [eqn: ANGLE rm BAG][eqn: = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABG]의 내부와 부채꼴 [eqn: rmADF]의 외부의 공통부분의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 부채꼴 [eqn: rmAFE]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: 40 TIMES lim _{theta -> 0+} {} {f LEFT ( theta RIGHT )} over {g LEFT ( theta RIGHT )}]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{it#it} RIGHT .]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {6}][eqn: pile{it#it} RIGHT )]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 28

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=1], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2]인 두 선분 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{BC}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it], 점 [eqn: {rm{M}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자. 중심이 [eqn: {rm{M}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{MH}} it }]인 원이 선분 [eqn: {rm{AM}} it]과 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it], 선분 [eqn: {rm{HC}} it]가 선분 [eqn: {rm{DM}} it]과 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{ABC}} it = theta]라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{CDE}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{MEH}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)-g( theta)} over { theta^{3}}=a]일 때, [eqn: 80 a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {2}])

[정답] [eqn: 15]

[해설]

직각삼각형 [eqn: rmBMH]에서 [eqn: overline{{rm{MB}} it }=1]

[eqn: sin theta][eqn: ={ overline{{rm{MH}} it }} over { overline{{rm{MB}} it }}]에서
[eqn: overline{{rm{MH}} it }= overline{{rm{MB}} it } times sin theta= sin theta]
삼각형 [eqn: {rm{DMC}} it]에서
[eqn: overline{{rm{MD}} it }= overline{{rm{MH}} it }= sin theta]
[eqn: overline{{rm{MC}} it }=1],
[eqn: angle {rm{DMC}} it = pi- angle {rm{DMB}} it]
[eqn: = pi- angle {rm{AMB}} it]
[eqn: = pi-{ pi- theta} over {2}]
[eqn: ={ pi} over {2}+{ theta} over {2}] 이므로

[eqn: triangle {rm{DMC}} it][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm MD it}} TIMES {bar{rm MC it}} TIMES `sin(rm ANGLE DMC)]
[eqn: ={1} over {2} times sin theta times 1 times sin left({ pi} over {2}+{ theta} over {2} right)]
[eqn: ={1} over {2} sin theta cos { theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{HMC}} it]에서

[eqn: {rm{MH}} it][eqn: = sin theta]
[eqn: {rm{MC}} it =1]

[eqn: {rm{HMC}} it = pi- angle {rm{HMB}} it]

[eqn: ~ = pi- left({ pi} over {2}- theta right)]

[eqn: ={ pi} over {2}+ theta] 이므로

[eqn: triangle`rmHMC= {1} over {2} TIMES {bar{rmMH}} TIMES {bar{rmMC}} TIMESsin LEFT ( ANGLE rmHMC RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} TIMESsintheta`times`1sin LEFT ( {pi} over {2} +theta RIGHT )]

[eqn: {1} over {2} sinthetacostheta]

이떄 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) -g LEFT ( theta RIGHT )]

[eqn: =triangle`rmDMC-triangle`rmHMC]

[eqn: = {1} over {2} sinthetacos {theta} over {2} - {1} over {2} sinthetacostheta]

[eqn: = {sintheta LEFT ( cos {theta} over {2} -costheta RIGHT )} over {2}] 이므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)-g( theta)} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( cos { theta} over {2}- cos theta right)} over {2 theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( cos { theta} over {2}- cos theta right) left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)} over {2 theta^{3} left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( cos ^{2} { theta} over {2}- cos ^{2} theta right)} over {2 theta^{3} left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta left( sin ^{2} theta- sin ^{2} { theta} over {2} right)} over {2 theta^{3} left( cos { theta} over {2}+ cos theta right)}]

[eqn: = {1} over {2} lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {sin theta } over {theta } TIMES LEFT { lim _{theta `` rarrow ``0+} {} LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} RIGHT .]

[eqn: left.-{1} over {4} lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({ sin { theta} over {2}} over {{ theta} over {2}} right)^{2} it right} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {1} over { cos { theta} over {2}+ cos theta}]

[eqn: ={1} over {2} times 1 times left(1^{2}-{1} over {4} times 1^{2} right) times {1} over {1+1}]

[eqn: ={3} over {16}]

따라서 [eqn: a={3} over {16}]이므로

[eqn: 80 a=80 times {3} over {16}=15]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 28

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{O}} it]라 할 때, 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: angle {rm{POA}} it = theta], [eqn: angle {rm{QOB}} it =2 theta]가 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: {rm{PB}} it], [eqn: {rm{OQ}} it]의 교점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{R}} it]에서 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{POR}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 두 선분 [eqn: {rm{RQ}} it], [eqn: {rm{RB}} it]와 호 [eqn: {rm{QB}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 할 때,

[정답] [eqn: 23]

[해설]

중심각과 원주각의 성질에 의하여 [eqn: angle {rm{AOP}} it = theta]이므로

[eqn: angle {rm{ABP}} it ={ theta} over {2}]

삼각형 [eqn: {rm{OBR}} it]에서

[eqn: angle {rm{BRO}} it = pi- left(2 theta+{ theta} over {2} right)= pi-{5 theta} over {2}]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {{rm{barOB}} it }} over { sin left( pi-{5 theta} over {2} right)}={rm{barOR} it } over { sin { theta} over {2}}]

[eqn: {1} over { sin {5 theta} over {2}}={ overline{{rm{OR}} it }} over { sin { theta} over {2}}]에서 [eqn: overline{{rm{OR}} it }={ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}}]

(ⅰ) 삼각형 [eqn: {rm{POR}} it]에서 [eqn: angle {rm{POR}} it = pi-3 theta]이므로

[eqn: f( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{OP}} it } times overline{{rm{OR}} it } times sin ( pi-3 theta)]
[eqn: ={1} over {2} times 1 times { sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} times sin 3 theta]
[eqn: ={ sin { theta} over {2} `sin 3 theta} over {2 sin {5 theta} over {2}}]

(ⅱ) [eqn: g( theta)]는 부채꼴 [eqn: {rm{QOB}} it]의 넓이에서 삼각형 [eqn: {rm{OBR}} it]의 넓이를 뺀 것이므로
[eqn: g( theta)={1} over {2} times 1^{2} times 2 theta][eqn: -{1} over {2} times overline{{rm{OB}} it } times overline{{rm{OR}} it } times sin 2 theta]
[eqn: g( theta)= theta][eqn: -{1} over {2} times 1 times { sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} times sin 2 theta]
[eqn: g( theta)= theta-{ sin { theta} over {2} ` sin 2 theta} over {2 sin {5 theta} over {2}}]

(ⅲ) 이등변삼각형 [eqn: rm POQ]에서 점 [eqn: rm O]에서 선분 [eqn: {rm{PQ}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it `prime]이라 하면

[eqn: overline{{rm{OH}} it `prime }][eqn: = overline{{rm{OP}} it } times cos left({ pi-3 theta} over {2} right)]
[eqn: =1 times cos left({ pi} over {2}-{3 theta} over {2} right)]
[eqn: = sin {3 theta} over {2}]

두 삼각형 [eqn: {rm{OQH}} it `prime], [eqn: {rm{RQH}} it]가 서로 닮음이므로
[eqn: overline{{rm{OH}} it `prime }: overline{{rm{RH}} it }= overline{{rm{OQ}} it }: overline{{rm{RQ}} it }][eqn: =1:(1- overline{{rm{OR}} it })]
[eqn: overline{{rm{RH}} it }= overline{{rm{OH}} it `prime } times(1- overline{{rm{OR}} it })][eqn: = sin {3 theta} over {2} times left(1-{ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} right)]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: f( theta)+g( theta)][eqn: = theta+{ sin { theta} over {2}} over {2 sin {5 theta} over {2}} times( sin 3 theta- sin 2 theta)]이고,

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{ sin { theta} over {2}} over { theta}} over {{ sin {5 theta} over {2}} over { theta}}][eqn: ={{1} over {2}} over {{5} over {2}}={1} over {5}]이므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)+g( theta)} over { overline{{rm{RH}} it }}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta+{ sin { theta} over {2}} over {2 sin {5 theta} over {2}} times( sin 3 theta- sin 2 theta)} over { sin {3 theta} over {2} times left(1-{ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} right)}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {1+{ sin { theta} over {2}} over {2 sin {5 theta} over {2}} times left({ sin 3 theta} over { theta}-{ sin 2 theta} over { theta} right)} over {{ sin {3 theta} over {2}} over { theta} times left(1-{ sin { theta} over {2}} over { sin {5 theta} over {2}} right)}]

[eqn: ={1+{1} over {2} times {1} over {5} times(3-2)} over {{3} over {2} times left(1-{1} over {5} right)}]

[eqn: ={{11} over {10}} over {{6} over {5}}={11} over {12}]

따라서 [eqn: p+q=12+11=23]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)+g( theta)} over { overline{{rm{RH}} it }}={q} over {p}]

이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {3}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 28

그림과 같이 길이가 [eqn: {4}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmO]에 대하여 선분 [eqn: rmOB]를 반지름으로 하는 사분원 [eqn: rmOBC]가 있다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: triangle{rmOAP}]는 이등변삼각형이므로 [eqn: angle{rmOPA}=theta]이고 [eqn: angle{rmPOQ}= 2theta]이다.

[eqn: triangle{rmOAP}]에 한 점[eqn: rmO]에서 마주보는 변[eqn: rmCP]에 수선의 발을 점 [eqn: rmM]이라 두자.

[eqn: angle{rmCOQ}={pi}over{2}]이므로 [eqn: angle{rmCOP}={pi}over{2}-2theta]이다.

이등변삼각형의 꼭짓각은 밑변을 수직이등분하므로 [eqn: angle{rmMOP}={pi}over{4}-theta] ([eqn: angle{rmMOP}=angle{rmCOM}=angle{rmROS}][eqn: cdotscdots] ㉠)이고 [eqn: triangle{rmOPS}]의 한 외각인 [eqn: angle{rmPSM}={piover{4}]이다.

이때 [eqn: anglermCSP]는 [eqn: angle{rmPSM}]의 [eqn: 2]배이므로 [eqn: {pi}over{2}]이다.

[eqn: bar{rmAO}=2]이므로 [eqn: bar{rmRO}=2 tan`theta]

[eqn: bar{rmCO}]의 길이는 [eqn: bar{rmCO}-bar{rmRO}=2-2 tan `theta]

[eqn: triangle{rmAOR}]과 [eqn: triangle{rmCSR}]은

[eqn: angle{rmORA}=angle{rmSRC}][eqn: (because] 맞꼭짓각)

[eqn: angle{rmAOR}=angle{rmCSR}=90DEG]

이므로 [eqn: rmAA]닮음이다.

따라서 [eqn: angle{rmRAO}=angle{rmRCS}=theta]이므로 [eqn: bar{rmRS}=(2-2tan`theta)sintheta]

□[eqn: rmSOQR]의 마주보고 있는 두 각인 [eqn: angle{rmROQ}]와 [eqn: angle{rmRSQ]의 합이 [eqn: pi]이므로 □[eqn: rmSOQR]은 원에 내접하는 사각형이다. 따라서 [eqn: angle{rmROS}]와 [eqn: angle{rmRQS}]는 원주각으로 같고 [eqn: {pi}over{4}-theta] ([eqn: because] ㉠)이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: S(theta)][eqn: ={1}over{2}cdot2^{2}cdot(1-tan`theta)^{2}cdot sin^{2}`thetacdot{1}over{tan left({pi}over{4}-thetaright)}]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{ theta->0} {{S(theta)}over{theta^{2}} }][eqn: =lim _{ theta->0} { {2^{2}cdot(1-tan`theta)^{2}cdot sin^{2}`theta}over{2cdot{tan left({pi}over{4}-thetaright)}cdot theta^{2}}}]
[eqn: =2]

호 [eqn: rmBC]위를 움직이는 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmOB]위의 점 [eqn: rmQ]가 [eqn: angle rmAPC = angle PCQ]를 만족시킨다. 선분 [eqn: rmAP]가 두 선분 [eqn: rmCO], [eqn: rmCQ]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rmS]라 하자. [eqn: angle rmPAB = theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmRQS]의 넓이를 [eqn: S(theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``->`` 0+} { S(theta) over theta^2 }]의 값은?
[eqn: pile{ `#` }right(]단, [eqn: 0< theta< pi over4 right)]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {5}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]인 원에 내접하고, [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = {bar{rm AC it}}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: ANGLE rm BAC][eqn: = theta]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이 원과 만나는 점 중 [eqn: rmB]가 아닌 점을 [eqn: rmD], 직선 [eqn: rmBD]와 직선 [eqn: rmAC]가 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmCDE]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]의 값은?
[eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {2}][eqn: LEFT. pile{it#it} RIGHT )]

[정답] ②

[해설]

[eqn: ANGLE rm ABD][eqn: = {pi} over {2}]이므로 선분 [eqn: rmAD]는 원의 지름이다.

[eqn: ANGLE rm ECD][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: ANGLE rm DAB][eqn: = ANGLE rm CAD][eqn: = {theta } over {2}]

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =10 cos {theta } over {2}], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: = {bar{rm BD}}][eqn: =10 sin {theta } over {2}]

[eqn: ANGLE rm AEB][eqn: = {pi} over {2} - theta]이므로 [eqn: ANGLE rm CDE][eqn: = theta]

[eqn: {bar{rm CE}}][eqn: =10 sin {theta } over {2} ` tan theta]

따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 10 cos {theta } over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES sin theta],

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 10 sin { theta } over {2} TIMES 10 sin { theta } over {2} ` tan theta]

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2} TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {} {50 sin ^{2} {theta } over {2} ` tan theta } over {theta ^{2} TIMES 50 cos ^{2} { theta } over {2}` sin theta }]
[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} {} LEFT { {1} over {cos ^{2} {theta } over {2}} TIMES {sin ^{2} {theta } over {2} ` tan theta } over {theta ^{2} TIMES sin theta } RIGHT }]
[eqn: = lim _{ theta ``->`` 0+} {} LEFT { 1 TIMES {1} over {4} TIMES {sin ^{2} {theta } over {2}} over {LEFT ( { theta } over {2} RIGHT ) ^{2}} TIMES {tan theta } over { theta } TIMES { theta } over {sin theta } RIGHT }]

[eqn: = {1} over {4}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 28

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB]위에 점 [eqn: rmP]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmO]라 할 때, 점 [eqn: rmB]를 지나고 선분 [eqn: rmAB]에 수직인 직선이 직선 [eqn: rmOP]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하고, [eqn: ANGLE rmOQB]의 이등분선이 직선 [eqn: rmAP]와 만나는 점을 [eqn: rmR]라 하자.

[정답] ①

[해설]

그림에서 [eqn: {bar{rmOA}} = {bar{rmOP}}][eqn: =](반지름)[eqn: =1]이므로 [eqn: TRIANGLE rmAOP]는 이등변삼각형이다.

즉, [eqn: ANGLE rmAPO= theta]

또, [eqn: ANGLE rm AOP=pi-2 theta]이므로 [eqn: ANGLE rm QOB=2 theta]

[eqn: TRIANGLE rmQOB]가 [eqn: angle rmB]가 직각인 직각삼각형이므로 [eqn: angle rm OQB = pi over 2 - 2 theta]

따라서 [eqn: angle rm PQQ = 1over 2 angle rm OQB = pi over 4 - theta]

[eqn: TRIANGLE rmQPR]에서 [eqn: ANGLE rmAPO= ANGLE rmQPR= theta] (맞꼭지각)이고, [eqn: angle rm PQQ = pi over 4 - theta]이므로 [eqn: angle rm QRP = 3 over 4 pi]

[eqn: TRIANGLE rmAOP]의 넓이 [eqn: f(theta )]는

[eqn: f( theta )][eqn: = 1over2 cdot rm bar AO cdot barOP cdot sin (angle rm AOP)]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 TIMES 1 TIMES sin(pi-2 theta )]
[eqn: = {1} over {2} ` sin2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: TRIANGLE rmQOB]에서 [eqn: rm bar OB = 1]이므로 [eqn: {{bar{rmOQ}}} = 1 over {cos2 theta }]이므로

[eqn: {bar{rm QP}}= bar {rm OQ} -{rm bar OP} = {1} over {cos2 theta } -1 = {1- cos 2theta} over{ cos 2theta}]

따라서 [eqn: TRIANGLE rm PQR]에서 사인법칙을 적용하면

[eqn: {{1- cos 2theta} over{ cos 2theta}} over {sin {3pi } over {4}} = {{bar{rm QR it}}} over {sin theta }],

[eqn: therefore][eqn: rm {bar{QR}}][eqn: {rm = root2 {sin theta } LEFT ( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta}RIGHT )]

즉, [eqn: TRIANGLE rm PQR]의 넓이 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]는

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = 1over2 cdot rm bar PQ cdot bar QR cdot sin (angle rm PQR)]
[eqn: = 1over 2 cdot left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right)]
[eqn: cdot root2 `{sin theta } LEFT ( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta}RIGHT ) cdot sin left( pi over 4 - theta right)]
[eqn: ={ sqrt {2}}over2 left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} sin theta sin LEFT ( {pi } over {4} - theta RIGHT )]
[eqn: ={ sqrt {2}}over2 left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} sin theta left( sin {pi } over {4} `cos theta - cos pi over 4 `sin theta RIGHT )]
[eqn: = 1 over 2 left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {g( theta )} over {theta ^{4} TIMES f( theta )}}]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )} over{ theta^4 sin 2theta]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )} over{ 2 theta^4 sin theta cos theta]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} }over{ 2 theta^4 } cdot {left( sin theta cos theta - sin^2 theta RIGHT )}over{ sin theta cos theta]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} }over{ 2 theta^4 } cdot {(1- tan theta)]

[eqn: = lim _{theta ``->`` 0+} { left( {1- cos 2theta} over{ cos 2theta} right) ^{2} }over{ 2 theta^4 } cdot lim _{theta ``->`` 0+} {(1- tan theta)]

[eqn: = 1over2 lim _{theta ``->`` 0+} {left({1over{cos 2theta}right)^2{LEFT ({1-cos 2theta}over{theta^2}right ) ^{2}} cdot 1]

[eqn: = 1over2 lim _{theta ``->`` 0+} {left({1over{cos 2theta}right)^2{LEFT ({sin^2 2theta}over{theta^2} times {1over{1+cos 2theta}right ) ^{2}}]

[eqn: = 1over2 times 1times left(2^2 times 1over{1+1} right)^2]

[eqn: =2]

[eqn: ANGLE rm OAP= theta]일 때, 삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이를 [eqn: f( theta )], 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 [eqn: g( theta )]라 하자.

[eqn: lim _{theta ``->`` 0+} { {g( theta )} over {theta ^{4} TIMES f( theta )}}]의 값은? [eqn: pile{ it#it }right(]단, [eqn: 0< theta < {pi} over {4}][eqn: pile{ it#it} right)]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 28

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있고, 선분 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 있다. [eqn: angle {rm{PAB}} it = theta]이고 [eqn: angle {rm{APQ}} it ={ theta} over {3}]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PAQ}} it]의 넓이를 [eqn: S( theta)], 선분 [eqn: {rm{PB}} it]의 길이를 [eqn: l( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {S( theta)} over {l( theta)}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm barAP = 2 cos theta], [eqn: rm barAQ =][eqn: rm barAP][eqn: times { sin theta over3} over{ sin { 4 over3 theta}][eqn: = { 2 cos theta sin theta over3} over{ sin 4 over3 theta]

[eqn: S( theta)= 1 over2 rm barAP barAQ sin theta][eqn: = {2 cos theta `sin theta over3 ` sin theta} over{ sin 4 over3 theta]

[eqn: l( theta) = rm 2 sin theta]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim_{ theta->0+}{ S( theta)} over{ l( theta)} =][eqn: lim_{ theta->0+} { sin theta over3} over{ sin 4 over3 theta][eqn: = 1 over4]

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 29

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 [eqn: rmAB] 위에 두 점 [eqn: rmP,~Q]를 [eqn: {rmANGLE PAB}=theta], [eqn: {rmANGLE QBA}=2theta]가 되도록 잡고, 두 선분 [eqn: rmAP,~BQ]의 교점을 [eqn: rmR]라 하자.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: ANGLE rm AMQ=2 TIMES ANGLE rm ABQ=2 TIMES 2theta=4theta]

이므로

(부채꼴 [eqn: rmAMQ]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES 4theta=2theta],

(삼각형 [eqn: rmMBQ]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 1 ^{2} TIMES `sin` LEFT ( pi-4theta RIGHT ) = {1} over {2} `sin`4theta]

삼각형 [eqn: rm RAB]에서 [eqn: ANGLE rmARB=pi-3theta]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {2} over {sin` LEFT ( pi-3theta RIGHT )} = {bar{rmBR}} over {sin`theta}],

즉

[eqn: bar{rmBR}= {2sin`theta} over {sin`3theta}]

이므로

(삼각형 [eqn: rm RAB]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm BR}} TIMES ` sin`2theta]
[eqn: = {1} over {2} TIMES 2 TIMES {2sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES `sin`2 theta]
[eqn: = {2sin` theta `sin`2 theta } over {sin`3 theta }]

그러므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =2 theta + {1} over {2}` sin`4 theta - {2sin` theta `sin`2 theta } over {sin`3 theta }]

이므로

[eqn: lim _{theta`->`0+} {`} {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta}][eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {`} LEFT ( 2+2 TIMES {sin`4 theta } over {4 theta } - {4 TIMES {sin` theta } over {theta } TIMES {sin`2 theta } over {2 theta }} over {3 TIMES {sin`3theta} over {3theta}} RIGHT )]
[eqn: =2+2- {4} over {3} = {8} over {3}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

정삼각형 [eqn: rmSTU]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하면 삼각형 [eqn: rmTSB]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {a} over {sin`2theta} = {bar{rmBT}} over {sin` {pi} over {3}}],

즉

[eqn: bar{rmBT}=it {sqrt {3} a} over {2sin`2theta}]

두 삼각형 [eqn: rmRUT], [eqn: rmRAB]가 서로 닮음이므로

[eqn: bar{rmRT}`:`bar{rmRB}=bar{rmUT}`:`bar{rmAB}]

[eqn: {2sin`theta} over {sin`3theta} - {sqrt {3} a} over {2sin`2theta} `:` {2sin`theta} over {sin`3theta} =a`:`2]

[eqn: {2sin`theta} over {sin`3theta} a= {4sin`theta} over {sin`3theta} - {sqrt {3}} over {sin`2theta} a]

[eqn: LEFT ( {2sin`theta} over {sin`3theta} + {sqrt {3}} over {sin`2theta} RIGHT ) a= {4sin`theta} over {sin`3theta}]

[eqn: {2sin` theta `sin`2 theta + sqrt {3}` sin`3 theta } over {sin`2 theta `sin`3 theta } a= {4sin` theta } over {sin`3 theta }]

[eqn: a= {4sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES {sin`2 theta `sin`3 theta } over {2sin` theta `sin`2 theta + sqrt {3} `sin`3 theta }]

이때

[eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = {sqrt {3}} over {4} a ^{2}]

이고

[eqn: lim _{theta ` rarrow `0+} {`} {a} over {theta}][eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {`} LEFT ( {4sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES {sin`2 theta `sin`3 theta } over {2sin` theta `sin`2 theta + sqrt {3}` sin`3 theta } TIMES {1} over {theta } RIGHT )]
[eqn: = lim _{theta ` rarrow `0+} {`} LEFT ( {4sin` theta } over {sin`3 theta } TIMES {{sin`2theta`sin`3theta} over {theta ^{2}}} over {{2sin`theta`sin`2theta+ sqrt {3} `sin`3theta} over {theta}} RIGHT )]
[eqn: = {4} over {3} TIMES {2 TIMES 3} over {0+3 sqrt {3}}]
[eqn: = {8} over {3 sqrt {3}}]

이므로

[eqn: lim _{theta`->`0+} {`} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}][eqn: = {sqrt {3}} over {4} lim _{theta`->`0+} {`} LEFT ( {a} over {theta} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {8} over {3 sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {16 sqrt {3}} over {27}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

따라서 ㉠, ㉡에서

[eqn: lim _{theta ` rarrow `0+} {`} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}][eqn: = lim _{theta`->`0+} {`} {{g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}} over {{f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta}}]
[eqn: = {lim _{theta`->`0+} {`} {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}} over {lim _{theta`->`0+} {`} {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta}}]
[eqn: = {{16 sqrt {3}} over {27}} over {{8} over {3}}]
[eqn: = {2} over {9} sqrt {3}]

이므로

[eqn: p+q=9+2=11]

선분 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmS], 선분 [eqn: rmBR] 위의 점 [eqn: rmT], 선분 [eqn: rmAR] 위의 점 [eqn: rmU]를 선분 [eqn: rmUT]가 선분 [eqn: rmAB]에 평행하고 삼각형 [eqn: rmSTU]가 정삼각형이 되도록 잡는다. 두 선분 [eqn: rmAR,~QR]와 호 [eqn: rmAQ]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmSTU]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta`-> `0+} {` {g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta TIMES f LEFT ( theta RIGHT )}} = {q} over {p} sqrt {3}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: 0<theta< {pi} over {6}]이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 28

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원 위에 [eqn: ANGLE rm AOC it = {pi } over {2}]인 점 [eqn: {rm{C}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{BC}} it] 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]와 호 [eqn: {rm{CA}} it] 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 [eqn: {bar{rm PB it}} = {bar{rm QC it}}]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: {rm{AP}} it] 위에 점 [eqn: {rm{R}} it]를 [eqn: ANGLE rm CQR it = {pi } over {2}]가 되도록 잡는다. 선분 [eqn: {rm{AP}} it]와 선분 [eqn: {rm{CO}} it]의 교점을 [eqn: {rm{S}} it]라 하자. [eqn: ANGLE rm PAB it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{POB}} it]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 사각형 [eqn: {rm{CQRS}} it]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{theta ``->`` 0+} {} {3f LEFT ( theta RIGHT )-2g LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{2}}]의 값은? [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}][eqn: pile{`#`} RIGHT ) ``]

[정답] ②

[해설]

[eqn: angle {rm{OAP}} it = angle {rm{OPA}} it = theta]이므로    [eqn: angle {rm{BOP}} it =2 theta]

[eqn: therefore] [eqn: f( theta)={1} over {2} sin 2 theta]

또한, [eqn: overline{{rm{OA}} it }=1]에서 [eqn: overline{{rm{OS}} it }= tan theta]이므로

[eqn: overline{{rm{CS}} it }=1- tan theta]

이때, [eqn: angle {rm{BOP}} it = angle {rm{COQ}} it =2 theta]이고 삼각형 [eqn: {rm{OCQ}} it]는 이등변삼각형이므로

[eqn: angle {rm{SCQ}} it ={ pi} over {2}- theta]

또한, [eqn: angle {rm{CSR}} it = theta+{ pi} over {2}]이므로    [eqn: angle {rm{QRS}} it ={ pi} over {2}]

따라서 점 [eqn: {rm{S}} it]에서 변 [eqn: {rm{CQ}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면

[eqn: angle {rm{CSH}} it = theta]

이므로

[eqn: overline{{rm{SH}} it }= overline{{rm{RQ}} it }=(1- tan theta) cos theta]

[eqn: overline{{rm{CH}} it }=(1- tan theta) sin theta]

이고

[eqn: {rm{barCQ}} it ={rm{barBP}} it =2 sin theta]

[eqn: overline{{rm{RS}} it }][eqn: = overline{{rm{QH}} it }= overline{{rm{CQ}} it }- overline{{rm{CH}} it }]
[eqn: =2 sin theta-( sin theta- sin theta tan theta)]
[eqn: = sin theta+ sin theta tan theta]
[eqn: =sin`theta left(1+tan`theta right)]

[eqn: therefore] [eqn: g( theta)][eqn: ={1} over {2} times( overline{{rm{CQ}} it }+ overline{{rm{RS}} it }) times overline{{rm{QR}} it }]
[eqn: ={1} over {2} `sin`theta(3+ tan theta)][eqn: times(1- tan theta) cos theta]

[eqn: 3 f( theta)-2 g( theta)][eqn: ={3} over {2} sin 2 theta-sin`theta`cos`theta left(3 + tan theta right)left(1- tan theta right)]
[eqn: =3 sin theta cos theta- sin theta cos theta(3+ tan theta)(1- tan theta)]
[eqn: = sin theta cos theta tan theta( tan theta+2)]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {3 f( theta)-2 g( theta)} over { theta^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta cos theta tan theta( tan theta+2)} over { theta^{2}}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ { sin theta} over { theta} times { tan theta} over { theta} times cos theta times( tan theta+2) it right}]
[eqn: =1 times 1 times 1 times 2=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 5`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2 `]인 부채꼴 [eqn: rmOAB`]에서 선분 [eqn: rmOB`]를 [eqn: 2`:`3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 점 [eqn: rmP`]에서 호 [eqn: rmAB`]에 접하는 직선과 직선 [eqn: rmOB`]의 교점을 [eqn: rmQ`]라 하고, 점 [eqn: rmC`]에서 선분 [eqn: rmPB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmR], 점 [eqn: rmR`]에서 선분 [eqn: rmPQ`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS`]라 하자. [eqn: rm angle POB = theta`]일 때, 삼각형 [eqn: rmOCP`]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmPRS`]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )`]라 하자. [eqn: 80 times lim _{ theta`->`0+} { {g LEFT ( theta RIGHT ) } over { theta^2 times f LEFT ( theta RIGHT ) }}`]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, [eqn: 0 <theta < pi over 2 RIGHT )]

[정답] [eqn: 49]

[해설]

[eqn: rmbarOC =2], [eqn: rmbarOP =5]이므로

[eqn: f left(theta right)= 1over2 times2times5 sin`theta=5sin`theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmOBP]는 이등변삼각형이므로

[eqn: rmbarBP =2times5sin`theta over2 =10sin`theta over2]

[eqn: angle rmOBP={pi-theta}over2]이므로 [eqn: angle rmBCR= theta over2]이고 [eqn: rmbarBR =3sin`theta over2]

[eqn: therefore][eqn: rmbarPR =barBP -barBR =7sin`theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: angle rmOPQ = pi over2]이고 [eqn: rm angleOPB ={pi -theta}over2]이므로

[eqn: angle rmRPS= theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: therefore][eqn: rmbarPS =barPR cos`theta over2 =7sin`theta over2 `cos`theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡, ㉢, ㉣에서

[eqn: g left(theta right)][eqn: = 1over2 times7sin`theta over2 times7sin`theta over2 `cos`theta over2 times sin`theta over2]
[eqn: = 49over2 sin`^3 theta over2 cos`theta over2]	[eqn: cdotscdots] ㉤

㉠, ㉤에서

[eqn: 80times lim_{theta`->`0+}{g left(theta right)}over{theta^2 times f left(theta right)]

[eqn: =80times lim_{theta`->`0+}{49over2 sin`^3 theta over2 `cos`theta over2}over{theta^2 times5sin`theta]

[eqn: =8times49lim_{theta`->`0+}{sin`^3 theta over2 `cos`theta over2}over{theta^2 times sin`theta]

[eqn: =8times49 lim_{theta`->`0+}left({sin`theta over2}over{theta over2}right)^3 times {cos`theta over2}times 1over{left({sin`theta}overtheta right)}times 1over8]

[eqn: =8times49times 1over8 =49]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 28

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: overline{{rm{PA}} it }= overline{{rm{PC}} it }= overline{{rm{PD}} it }]가 되도록 호 [eqn: {rm{PB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{C}} it]와 선분 [eqn: {rm{OA}} it] 위에 점 [eqn: {rm{D}} it]를 잡는다. 점 [eqn: {rm{D}} it]를 지나고 선분 [eqn: {rm{OP}} it]와 평행한 직선이 선분 [eqn: {rm{PA}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{POA}} it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{CDP}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{EDA}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta^{2} times f( theta)}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] ④

[해설]

[eqn: overline{{rm{AP}} it }= overline{{rm{PC}} it }]이므로 삼각형 [eqn: {rm{OPC}} it]에서

[eqn: angle {rm{COP}} it = angle {rm{POA}} it = theta]

또, 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AP}} it]에 내린 수선의

발을 [eqn: {rm{H}} it _{1}]이라 하면

[eqn: angle {rm{H}} it _{1} {rm{OA}} it ={ theta} over {2}]

이므로

[eqn: overline{{rm{AP}} it }][eqn: =2 overline{{rm{AH}} it _{1}}][eqn: =2 times overline{{rm{OA}} it } sin { theta} over {2}][eqn: =2 sin { theta} over {2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

한편, 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{DA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하면

[eqn: angle {rm{APD}} it][eqn: =2 angle {rm{APH}} it _{2}]
[eqn: =2 times left{ pi- left( angle {rm{PH}} it _{2} {rm{A}} it + angle {rm{H}} it _{2} {rm{AP}} it right) it right}]
[eqn: =2 times left[ pi- left{ { pi} over {2}+ left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right) it right} right]]
[eqn: = theta]

또한

[eqn: angle {rm{APO}} it = angle {rm{OPC}} it ={ pi} over {2}-{ theta} over {2}]

이므로

[eqn: angle {rm{DPC}} it][eqn: = angle {rm{APO}} it + angle {rm{OPC}} it - angle {rm{APD}} it]
[eqn: = left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right)+ left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right)- theta]
[eqn: = pi-2 theta]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

㉠과 ㉡으로부터

[eqn: f( theta)][eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{PD}} it } times overline{{rm{PC}} it } times sin ( pi-2 theta)]
[eqn: ={1} over {2} times left(2 sin { theta} over {2} right)^{2} times sin 2 theta]
[eqn: =2 times left( sin { theta} over {2} right)^{2} times sin 2 theta]

또, ㉠으로부터 삼각형 [eqn: {rm{APD}} it]에서

[eqn: overline{{rm{DA}} it }][eqn: =2 overline{{rm{AP}} it } cos left({ pi} over {2}-{ theta} over {2} right)]
[eqn: =2 times 2 sin { theta} over {2} times sin { theta} over {2}]
[eqn: =4 left( sin { theta} over {2} right)^{2}]

이때, 두 삼각형 [eqn: {rm{OAP}} it], [eqn: {rm{DAE}} it]는 닮음이고 [eqn: overline{{rm{OA}} it }=1], [eqn: overline{{rm{DA}} it }=4 left( sin { theta} over {2} right)^{2}]이므로

[eqn: g( theta)][eqn: = triangle {rm{DAE}} it]
[eqn: =4^{2} times left( sin { theta} over {2} right)^{4} times triangle {rm{OAP}} it]
[eqn: =16 times left( sin { theta} over {2} right)^{4} times {1} over {2} sin theta]
[eqn: =8 TIMES LEFT ( sin {theta } over {2} RIGHT ) ^{4} TIMES `sin theta]

따라서,

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta^{2} times f( theta)}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {8 times left( sin { theta} over {2} right)^{4} times sin theta} over { theta^{2} times 2 times left( sin { theta} over {2} right)^{2} times sin 2 theta}][eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {4 times left( sin { theta} over {2} right)^{2} times sin theta} over { theta^{2} times sin 2 theta}]
[eqn: = lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {4 TIMES LEFT ( {sin {theta } over {2}} over {{theta } over {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES {sin theta } over {theta } TIMES {1} over {4}} over {{sin2 theta } over {2 theta } TIMES 2}]
[eqn: = {1} over {2}]

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 29

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하고, [eqn: angle {rm{OAP}} it]를 이등분하는 직선과 세 선분 [eqn: {rm{HP}} it], [eqn: {rm{OP}} it], [eqn: {rm{OB}} it]의 교점을 각각 [eqn: {rm{Q}} it], [eqn: {rm{R}} it], [eqn: {rm{S}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{APH}} it = theta]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{AQH}} it]의 넓이를 [eqn: f( theta)], 삼각형 [eqn: {rm{PSR}} it]의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{3} times g( theta)} over {f( theta)}=k]일 때, [eqn: 100 k]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 50]

[해설]

직각삼각형 [eqn: {rm{AHP}} it]에서 [eqn: angle {rm{APH}} it = theta]이므로

[eqn: angle {rm{HAP}} it ={ pi} over {2}- theta]

한편, 삼각형 [eqn: {rm{OPA}} it]는

[eqn: {rm{OP}} it ={rm{OA}} it =1]

인 이등변삼각형이므로

[eqn: angle {rm{AOP}} it][eqn: = pi-2 times angle {rm{HAP}} it]
[eqn: = pi-2 times left({ pi} over {2}- theta right)]
[eqn: =2 theta]

그러므로

[eqn: overline{{rm{AH}} it }=1- overline{{rm{OH}} it }]

[eqn: =1-{rm{OP}} it cos 2 theta]
[eqn: =1- cos 2 theta][eqn: CDOTS CDOTS]㉠
또,
[eqn: angle {rm{HAQ}} it ={1} over {2} angle {rm{HAP}} it]
[eqn: ={1} over {2} left({ pi} over {2}- theta right)]
[eqn: ={ pi} over {4}-{ theta} over {2}]
이므로
[eqn: overline{{rm{HQ}} it }= overline{{rm{AH}} it } tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]
[eqn: =(1-cos2 theta )tan LEFT ( {pi } over {4} - {theta } over {2} RIGHT )][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: f( theta)={1} over {2} times overline{{rm{AH}} it } times overline{{rm{HQ}} it }]

[eqn: ~ ={1} over {2} times(1- cos 2 theta)^{2} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]

[eqn: ~ ={1} over {2} times { sin ^{4} 2 theta} over {(1+ cos 2 theta)^{2}} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]

그러므로

[eqn: lim _{theta ``->`` 0-} { {f LEFT ( theta RIGHT )} over {theta ^{4}}}]

[eqn: ={ 1} over { 2} TIMES16 lim _{ theta ``->`` 0+} { LEFT ( { sin 2theta} over {2theta } RIGHT )^4 } TIMES lim _{ theta ``->`` 0+} { { 1} over { LEFT ( 1+cos 2theta RIGHT )^2 } }]

[eqn: times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]

[eqn: ={1} over {2} times 16 times 1^{2} times {1} over {4} times 1]

[eqn: =2][eqn: CDOTS CDOTS]㉢

한편, 이등변삼각형 [eqn: {rm{OPA}} it]에서 점 [eqn: {rm{O}} it]에서

선분 [eqn: {rm{PA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it `prime]이라

하면 ㉠에서 [eqn: angle {rm{H}} it `prime {rm{OP}} it = theta]이므로

[eqn: overline{{rm{AP}} it }=2 overline{{rm{PH}} it `prime }]

[eqn: =2 times overline{{rm{OP}} it } times sin theta]

[eqn: =2 sin theta]

삼각형 [eqn: {rm{AOP}} it]에서 각의 이등분선이 선분

[eqn: {rm{OP}} it]와 만나는 점이 [eqn: {rm{R}} it]이므로

[eqn: overline{{rm{AO}} it }: overline{{rm{AP}} it }= overline{{rm{OR}} it }: overline{{rm{RP}} it }]

[eqn: rm 1]: [eqn: 2 sin theta={rm{OR}} it : 1-{rm{OR}} it]

[eqn: 2 sin theta times overline{{rm{OR}} it }=1- overline{{rm{OR}} it }]

[eqn: overline{{rm{OR}} it }={1} over {1+2 sin theta}][eqn: CDOTS CDOTS]㉣

또,

[eqn: overline{{rm{OS}} it }][eqn: = overline{{rm{OA}} it } tan ( angle {rm{SAO}} it )]
[eqn: =1 times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right)]
[eqn: = tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) ~ cdots-(a)]

㉣과 ㉤에서

[eqn: g( theta)=][eqn: triangle {rm{OSP}} it - triangle {rm{OSR}} it]
[eqn: = {1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times overline{{rm{OP}} it } times sin ( angle {rm{POS}} it )]
[eqn: -{1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times overline{{rm{OR}} it } times sin ( angle {rm{POS}} it )]
[eqn: ={1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times sin ( angle {rm{POS}} it ) times( overline{{rm{OP}} it }- overline{{rm{OR}} it })]
[eqn: ={1} over {2} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) times sin left({ pi} over {2}-2 theta right)]
[eqn: times left(1-{1} over {2 sin theta+1} right)]
[eqn: ={1} over {2} times tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) times sin left({ pi} over {2}-2 theta right)]

[eqn: ~ times {2 sin theta} over {2 sin theta+1}]

그러므로

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta}]

[eqn: ={1} over {2} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} tan left({ pi} over {4}-{ theta} over {2} right) times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} sin left({ pi} over {2}-2 theta right)]

[eqn: times 2 lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { sin theta} over { theta} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {1} over {2 sin theta+1}]

[eqn: ={1} over {2} times 1 times 1 times 2 times 1 times 1=1][eqn: CDOTS CDOTS]㉥

따라서, ㉢과 ㉥을 이용하면

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} { theta^{3} times g( theta)} over {f( theta)}]
[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{g( theta)} over { theta}} over {{f( theta)} over { theta^{4}}}]
[eqn: = {1} over {2}]
이므로
[eqn: 100 k=100 times {1} over {2}=50]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{O}} it]라 하고 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]를

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: angle {rm{RBO}} it = angle {rm{BRQ}} it ={1} over {2} angle {rm{BOQ}} it = theta]이므로

[eqn: angle {rm{OST}} it =2 theta], [eqn: angle {rm{OTS}} it = pi-3 theta]

삼각형 [eqn: {rm{OBS}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{OS}} it }} over { sin theta}={1} over { sin ( pi-2 theta)}], [eqn: overline{{rm{OS}} it }={ sin theta} over { sin 2 theta}]

삼각형 [eqn: {rm{OBT}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{OT}} it }} over { sin theta}={1} over { sin ( pi-3 theta)}], [eqn: overline{{rm{OT}} it }={ sin theta} over { sin 3 theta}]

[eqn: angle {rm{ROA}} it =2 times angle {rm{RBA}} it =2 theta], [eqn: angle {rm{T OR}} it = pi-4 theta]

[eqn: f( theta)=(]부채꼴 [eqn: {rm{ORA}} it]의 넓이[eqn: )][eqn: +](삼각형 [eqn: rm OTR]의 넓이)

[eqn: ={1} over {2} times 1^{2} times 2 theta+{1} over {2} times 1 times overline{{rm{OT}} it } times sin ( pi-4 theta)]

[eqn: = theta+{ sin theta sin 4 theta} over {2 sin 3 theta}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)} over { theta}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left(1+{4 times { sin theta} over { theta} times { sin 4 theta} over {4 theta}} over {6 times { sin 3 theta} over {3 theta}} right)]

[eqn: =1+{4 times 1 times 1} over {6 times 1}={5} over {3}]

[eqn: g( theta)=(]부채꼴 [eqn: {rm{OPQ}} it]의 넓이[eqn: )][eqn: -] (삼각형 [eqn: rm OST]의 넓이)

[eqn: ={1} over {2} times 1^{2} times theta-{1} over {2} times overline{{rm{OS}} it } times overline{{rm{OT}} it } times sin theta]
[eqn: ={ theta} over {2}-{ sin ^{3} theta} over {2 sin 2 theta sin 3 theta}]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over { theta}= lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left{ {1} over {2}-{ left({ sin theta} over { theta} right)^{3}} over {12 times { sin 2 theta} over {2 theta} times { sin 3 theta} over {3 theta}} it right}]

[eqn: ={1} over {2}-{1^{3}} over {12 times 1 times 1}={5} over {12}]
[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over {f( theta)} = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {{g( theta)} over { theta}} over {{f( theta)} over { theta}}={1} over {4}]

따라서 [eqn: a={1} over {4}]이므로 [eqn: 80 a=80 times {1} over {4}=20]

[eqn: angle {rm{BOP}} it = theta], [eqn: ~ angle {rm{BOQ}} it =2 theta]

가 되도록 잡는다. 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나고 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 평행한 직선이 호 [eqn: {rm{AB}} it]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{Q}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고, 선분 [eqn: {rm{BR}} it]가 두 선분 [eqn: {rm{OP}} it], [eqn: {rm{OQ}} it]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{S}} it], [eqn: {rm{T}} it]라 하자.

세 선분 [eqn: {rm{AO}} it], [eqn: {rm{OT}} it], [eqn: {rm{TR}} it]와 호 [eqn: {rm{RA}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f( theta)]라 하고, 세 선분 [eqn: {rm{QT}} it], [eqn: {rm{TS}} it], [eqn: {rm{SP}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g( theta)]라 하자. [eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {g( theta)} over {f( theta)}=a]일 때, [eqn: 80 a]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 29

그림과 같이 길이가 [eqn: rm 2]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AP}} it] 위에 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 호 [eqn: {rm{PB}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]의 길이가 같도록 잡을 때, 두 선분 [eqn: {rm{AP}} it], [eqn: {rm{BQ}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고 점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나고 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 수직인 직선이 직선 [eqn: {rm{AP}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{S}} it]라 하자. [eqn: angle {rm{BAP}} it = theta]라 할 때, 두 선분 [eqn: {rm{PR}} it], [eqn: {rm{QR}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f( theta)], 두 선분 [eqn: {rm{PS}} it], [eqn: {rm{BS}} it]와 호 [eqn: {rm{BP}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g( theta)] 라 하자. [eqn: lim _{theta `` rarrow ``0+} {} {f( theta )+g( theta )} over {theta ^{3}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {4}])

[정답] [eqn: 4]

[해설]

호 [eqn: {rm{PB}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]의 길이가 서로 같으므로 원주각의 성질에 의하여 [eqn: angle {rm{PAB}} it = angle {rm{QBP}} it = theta]

[eqn: angle {rm{ABS}} it = angle {rm{APB}} it ={ pi} over {2}]이고 [eqn: angle {rm{PBA}} it ={ pi} over {2}- theta]이므로 [eqn: angle {rm{SBP}} it = theta]

두 삼각형 [eqn: {rm{SPB}} it], [eqn: {rm{RPB}} it]는 서로 합동이므로 두 삼각형 [eqn: {rm{SPB}} it], [eqn: {rm{RPB}} it]의 넓이가 서로 같다.

선분 [eqn: {rm{PQ}} it]와 호 [eqn: {rm{PQ}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이와 선분 [eqn: {rm{PB}} it]와 호 [eqn: {rm{PB}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이가 서로 같다.

그러므로 [eqn: f( theta)+g( theta)]는 삼각형 [eqn: {rm{QBP}} it]의 넓이와 같다.

[eqn: overline{{rm{PB}} it }= overline{{rm{PQ}} it }=2 sin theta]

[eqn: f( theta)+g( theta)={1} over {2} times overline{{rm{PB}} it } times overline{{rm{PQ}} it } times sin ( pi-2 theta)]

[eqn: ={1} over {2} times(2 sin theta)^{2} times sin 2 theta]

[eqn: =2 sin ^{2} theta sin 2 theta]

[eqn: lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {f( theta)+g( theta)} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} {2 sin ^{2} theta sin 2 theta} over { theta^{3}}]

[eqn: = lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left(2 times { sin ^{2} theta} over { theta^{2}} times { sin 2 theta} over { theta} right)]

[eqn: =2 times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({ sin theta} over { theta} right)^{2} times lim _{ theta ``rarrow`` 0+} left({ sin 2 theta} over {2 theta} times 2 right)]

[eqn: =2 times 1^{2} times 2=4]

06 미적	05 삼각함수의 미분
03 삼각함수의 도함수
04 조건해석2 (극한식의 해석)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 30

함수 [eqn: f(x)=a cos x+x sin x+b]와 [eqn: - pi< alpha<0< beta< pi]인 두 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 135]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a cos x+x sin x+b]에서

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1-a RIGHT ) sin x+x cos x]

[eqn: cos x][eqn: =0]이면 [eqn: sin x][eqn: != 0]이고 [eqn: a<1]이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: != 0]

그러므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이면 [eqn: cos x][eqn: != 0]이고

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: x cos x][eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) sin x]

[eqn: tan x][eqn: = {x} over {a-1}][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

함수 [eqn: y= tan x]의 그래프와 직선 [eqn: y={x} over {a-1}]는 모두

원점에 대하여 대칭이고

[eqn: a<1]에서 직선 [eqn: y={x} over {a-1}]의 기울기가 음수이므로 [eqn: - pi<x< pi]에서 함수 [eqn: y= tan x]의 그래프와

직선 [eqn: y={x} over {a-1}]는 원점을 포함한 서로 다른

세 점에서 만난다.

조건 (가)에서 원점을 제외한 두 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: alpha], [eqn: beta]이고 원점을 제외한 두 점은 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: alpha=- beta]이다.

조건 (나)에서

[eqn: {1} over { beta}=-{ tan beta- tan (- beta)} over { beta-(- beta)}=-{ tan beta} over { beta}]

[eqn: tan beta=-1]

[eqn: 0< beta< pi]이므로 [eqn: beta={3} over {4} pi], [eqn: alpha=-{3} over {4} pi]

㉠에 [eqn: x={3} over {4} pi]를 대입하면

[eqn: tan {3} over {4} pi={3} over {4(a-1)} pi], [eqn: -4(a-1)=3 pi]

[eqn: a=1-{3} over {4} pi][eqn: cdotscdots]㉡

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}=c]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} x^{2}=0]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} f(x)= lim _{x ``rarrow`` 0}(a cos x+x sin x+b)=a+b=0]

[eqn: b=-a]이고

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} {a( cos x-1)+x sin x} over {x^{2}}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ {a( cos x-1)} over {x^{2}}+{ sin x} over {x} it right}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ {a( cos x-1)( cos x+1)} over {x^{2}( cos x+1)}+{ sin x} over {x} it right}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ -{a sin ^{2} x} over {x^{2}( cos x+1)}+{ sin x} over {x} it right}]
[eqn: =-{a} over {2}+1=c]

㉡에서 [eqn: c=-{a} over {2}+1=-{1} over {2} times left(1-{3} over {4} pi right)+1={1} over {2}+{3} over {8} pi]

따라서

[eqn: f left({ beta- alpha} over {3} right)+c][eqn: =f left({ pi} over {2} right)+{1} over {2}+{3} over {8} pi]
[eqn: ={ pi} over {2}- left(1-{3} over {4} pi right)+{1} over {2}+{3} over {8} pi]
[eqn: =-{1} over {2}+{13} over {8} pi=p+q pi]

에서 [eqn: p=-{1} over {2}], [eqn: q={13} over {8}]이므로 [eqn: 120 times(p+q)=135]

(가) [eqn: f `prime ( alpha)=f `prime ( beta)=0]

(나) [eqn: { tan beta- tan alpha} over { beta- alpha}+{1} over { beta}=0]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x^{2}}=c]일 때, [eqn: f left({ beta- alpha} over {3} right)+c=p+q pi]이다.

두 유리수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: 120 times(p+q)]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이고, [eqn: a<1]이다.)

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
01 몫의 미분법
01 몫의 미분법1 (기본 공식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 23

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: = {x ^{2} -2x-6} over {x-1}]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: f left(x right)][eqn: ={x^2 -2x-6}over{x-1][eqn: ={left(x-1 right)^2 -7}over{x-1}]
[eqn: =x-1 - 7 over{x-1}]

이므로 [eqn: x]에 대하여 양변을 미분하면

[eqn: f`' left(x right)= 1 + 7over{left(x-1 right)^2}]

[eqn: therefore][eqn: f`' left(0 right)=1+7=8]

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
02 합성함수의 미분법
01 합성함수 미분법1 (미분계수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 24

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: f left(x^{3}+x right)=e^{x}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f `prime left(x^{3}+x right) times left(x^{3}+x right) `prime = left(e^{x} right) `prime]

[eqn: f `prime left(x^{3}+x right) times left(3 x^{2}+1 right)=e^{x}]

[eqn: f` prime LEFT ( x ^{3} +x RIGHT ) = {e ^{x}} over {3x ^{2} +1}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x^{3}+x=2]에서

[eqn: x^{3}+x-2=0]

[eqn: (x-1) left(x^{2}+x+2 right)=0]

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x ^{2} +x+2=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이차방정식 [eqn: x^{2}+x+2=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=1^{2}-4 times 1 times 2=-7<0]

이므로 이차방정식 [eqn: x^{2}+x+2=0]을 만족시키는 실수는 존재하지 않는다.

그러므로 ㉡에서 [eqn: x=1]이다.

따라서 ㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f `prime (2)={e} over {4}]

[eqn: f LEFT ( x ^{3} +x RIGHT ) =e ^{x}]

을 만족시킬 때, [eqn: f`prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: e]	② [eqn: {e} over {2}]	③ [eqn: {e} over {3}]

④ [eqn: {e} over {4}]	⑤ [eqn: {e} over {5}]

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
03 초월함수의 미분법
01 삼각함수1 (공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 22

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =sin LEFT ( 3x-6 RIGHT ) }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]에 대하여 [eqn: f prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 3 }]

[해설]

[eqn: f`` ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3 cos LEFT ( 3x-6 RIGHT )]이므로 [eqn: f ``' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =3cos 0][eqn: =3]

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
03 초월함수의 미분법
05 지수함수1 (공식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 11

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x RIGHT )} over { LEFT ( e^x + 1 RIGHT )^2 }]라 하자. [eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT ) - f LEFT ( 0 RIGHT )= 2]일 때, [eqn: g ' LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: g `prime (x)][eqn: ={f `prime (x) times left(e^{x}+1 right)^{2}-f(x) times left{ 2 left(e^{x}+1 right) times e^{x} it right} } over { left{ left(e^{x}+1 right)^{2} it right} ^{2}}]
[eqn: ={ left(e^{x}+1 right) f `prime (x)-2 e^{x} f(x)} over { left(e^{x}+1 right)^{3}}]

이고, [eqn: f `prime (0)-f(0)=2]이므로

[eqn: g `prime (0) ={(1+1) f `prime (0)-2 times 1 times f(0)} over {(1+1)^{3}}=2 times {f `prime (0)-f(0)} over {8}]
[eqn: =2 times {2} over {8}={1} over {2}]

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: 3 over 8]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: 5 over 8]	⑤ [eqn: 3 over 4]

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
03 초월함수의 미분법
07 지수함수3 (활용)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 11

함수[eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^08^사관고3가^중}}][eqn: = {e ^{x}} over {sin x+cos x}]에 대하여 [eqn: - {pi} over {4} <x< {3} over {4} pi]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 실근은? [3점]

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {e ^{x}} over {sin x+cos x}]의 양변을 미분하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {e ^{x} LEFT ( sinx+cosx RIGHT ) -e ^{x} LEFT ( cosx-sinx RIGHT )} over {LEFT ( sinx+cosx RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = {2e ^{x} sin x} over {LEFT ( sinx+cosx RIGHT ) ^{2}}]

조건에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f ' LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: {e ^{x}} over {sin x+cos x}][eqn: = {2e ^{x} sin x} over {LEFT ( sinx+cosx RIGHT ) ^{2}}],

[eqn: 2sinx=sinx+cosx]

[eqn: therefore][eqn: sinx =cos x]

즉 [eqn: tanx=1]이므로 [eqn: x= {pi} over {4}][eqn: left( because````- {pi} over {4} <x< {3} over {4} piright)]

① [eqn: - {pi} over {6}]	② [eqn: {pi} over {6}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {pi} over {3}]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
03 초월함수의 미분법
09 로그함수1 (공식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 23

함수[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =x ln LEFT ( 2x-1 RIGHT )}{{from^2020^평가원가^3}}]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 2 }]

[해설]

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =x ln LEFT ( 2x-1 RIGHT )}{{from^2020^평가원가^3}}]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =ln LEFT ( 2x-1 RIGHT ) + {2x} over {2x-1}]이므로 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
03 초월함수의 미분법
12 로그함수4 (함수 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 30

[eqn: t> 1over2 rmln2] 인 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y= ln (1+e^2x -e^-2t )]과 직선 [eqn: y=x+t]가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f'(ln2)= q overp root2]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[해설]

곡선 [eqn: y= ln (1+e^2x -e^-2t )]과 직선 [eqn: y=x+t]가 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: (alpha, ````alpha +t ) ,````(beta,````beta+t)] (단, [eqn: alpha< beta])라 하면

[eqn: f(t)][eqn: = root{ (beta- alpha)^2 + (beta- alpha)^2]
[eqn: = root2 (beta- alpha)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

곡선 [eqn: y=ln LEFT ( 1+e ^{2x} -e ^{-2t} RIGHT )]와 직선 [eqn: y=x+t]를 연립하면

[eqn: ln LEFT ( 1+e ^{2x} -e ^{-2t} RIGHT )][eqn: =x+t]，

[eqn: 1+e ^{2x} -e ^{-2t} =e ^{x+t}]，

[eqn: e ^{2x} -e ^{t} times e ^{x} +1-e ^{-2t} =0]，

[eqn: LEFT ( e ^{x} +e ^{-t} RIGHT ) LEFT ( e ^{x} -e ^{-t} RIGHT ) -e ^{t} LEFT ( e ^{x} -e ^{-t} RIGHT ) =0]，

[eqn: LEFT ( e ^{x} -e ^{-t} RIGHT ) LEFT ( e ^{x} +e ^{-t} -e ^{t} RIGHT ) =0]

[eqn: therefore][eqn: e ^{x} =e ^{-t}] 또는 [eqn: e ^{x} =e ^{t} -e ^{-t}]

[eqn: therefore][eqn: x= it -t] 또는 [eqn: x= ln (e^t -e^-t )]

그런데, [eqn: t> {1} over {2} `ln2]이므로 [eqn: e ^{t} -e ^{-t} >e ^{-t}]

즉, [eqn: alpha = -t ,```` beta =ln( e^t -e^-t )]

㉠에 대입하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = sqrt {2} LEFT { ln LEFT ( e ^{t} -e ^{-t} RIGHT ) +t RIGHT } = sqrt {2} `ln LEFT ( e ^{2t} -1 RIGHT )]

양변을 미분하면 [eqn: f`` ' LEFT ( t RIGHT ) = {2 sqrt {2} e ^{2t}} over {e ^{2t} -1}]이므로

[eqn: f ' LEFT ( ln2 RIGHT ) = {2 sqrt {2} times4} over {4-1} = {8} over {3} sqrt {2}]

따라서 [eqn: p=3,````q=8]이므로 [eqn: p+q=3+8=11]

06 미적	06 여러 가지 함수의 미분법
03 초월함수의 미분법
13 초월함수의 미분가능성

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 30

실수전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]는 [eqn: 0 le x <3]일 때 [eqn: f(x)=left | x-1 right | +left | x-2 right |]이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+3)=f(x)]를 만족시킨다. 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: bold { 331 }]

[해설]

[eqn: g(x)][eqn: = lim _{h ``->`` 0+} {LEFT |`` {f(2 ^{x+h} )-f(2 ^{x} )} over {h} ``RIGHT | }]에서 [eqn: f(2^x ) =h(x)]라 하면

[eqn: g(x)][eqn: = lim _{h ``->`` 0+} { LEFT |`` { h(x+h )- h(x )} over {h} ``RIGHT | }]
[eqn: = left |``lim _{h ``->`` 0+} { h(x+h )- h(x )} over {h} ``RIGHT | }]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: f(2^x ) =h(x)]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: h``'(x) = f``'(2^x ) cdot 2^x ln2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: lim _{h ``->`` 0+} { h(x+h )- h(x )} over {h}]가 의미하는 것은 [eqn: x]좌표에서의 우미분계수를 의미한다.

[eqn: 0 le x <3]에서 [eqn: f(x)=left |`` x-1``right | +left |`` x-2 ``right |]이고, [eqn: f(x+3)=f(x)]를 만족하므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 식은 다음과 같다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ -2x +3 &&& LEFT ( 0 le x<1 RIGHT )# ```````````````` 1&&& LEFT ( 1 le x<2 RIGHT )# ``````` 2x-3& && LEFT ( 2 le x<3 RIGHT ) #`````````````` vdots &&&`````````````````vdots]

각각의 식을 미분하면

[eqn: f `` ' LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ -2& && LEFT ( 0 le x<1 RIGHT )# ``````` 0& && LEFT ( 1 le x<2 RIGHT )# ``````` 2& && LEFT ( 2le x<3 RIGHT )# ````` vdots &&&`````````````````vdots```]

[eqn: therefore][eqn: f ' LEFT ( 2^ x RIGHT ) = {cases{ -2& && LEFT ( 0 le 2^ x <1 RIGHT )# ``````` 0& && LEFT ( 1 le 2^ x <2 RIGHT )# ``````` 2& && LEFT ( 2le 2^ x <3 RIGHT )# ````` vdots &&&`````````````````vdots```]

㉡에 대입하면

[eqn: h``'(x)][eqn: = {cases{ -2 ln2 cdot 2^x& && LEFT ( 0 le 2^ x <1 RIGHT )# ``````` `````````````` 0& && LEFT ( 1 le 2^ x <2 RIGHT )# ``````` 2 ln2 cdot 2^x& && LEFT ( 2le 2^ x <3 RIGHT )# ````` vdots &&&`````````````````vdots```]

열린구간 [eqn: (-5 ,```` 5)], 즉 [eqn: -5 <x<5]의 범위이므로 [eqn: 2^-5 < 2^x < 2^5]에서 [eqn: g(x)]의 불연속점을 구하면 된다.

(ⅰ) [eqn: 2^-5 < 2^ x < 1]일 때, 즉 [eqn: -5< x< 0] 에서

[eqn: g(x) = 2 ln2 cdot 2^x]

(ⅱ) [eqn: 1 le 2^ x < 2]일 때, 즉, [eqn: 0 le x < 1]에서
[eqn: g(x) =0]

(ⅲ) [eqn: 2 le 2^ x < 3]일 때, 즉, [eqn: 1 le x < log_2 3]에서
[eqn: g(x) =2ln2 cdot 2^x]

(ⅳ) [eqn: 3 le 2^ x < 4]일 때, 즉, [eqn: log_2 3 le x < 2]에서
[eqn: g(x) =2ln2 cdot 2^x]

(ⅴ) [eqn: 4 le 2^ x < 5]일 때, 즉, [eqn: 2 le x < log_2 5]에서
[eqn: g(x) =0]

(ⅵ) [eqn: 5 le 2^ x < 6]일 때, 즉, [eqn: log_2 5 le x < log_2 6]에서
[eqn: g(x) =2ln2 cdot 2^x]

[eqn: vdots]

([eqn: ast]) [eqn: 31 le 2^ x < 32]일 때, 즉, [eqn: log_2 31 le x < 5]에서
[eqn: g(x) =0]

따라서 [eqn: 2 ^{x} =1 ,```` 2 ,```` 3,```` 4 ,```` 5 ,```` CDOTS ,```` 29 ,```` 31]에서의 연속성을 조사해보면 다음과 같다.

따라서 불연속점은 [eqn: x =][eqn: log _{2} 1], [eqn: log _{2} 2], [eqn: log _{2} 4], [eqn: log _{2} 5], [eqn: CDOTS], [eqn: log _{2 } 28], [eqn: log _{2} 29], [eqn: log _{2} 31] ([eqn: because][eqn: x]가 [eqn: 3]의 배수인 점들은 연속이다.)

또, 불연속점의 개수는 [eqn: 31-10 =21](개)이다.

그런데, [eqn: log _{2} 1], [eqn: log _{2} 4], [eqn: log _{2} 7], [eqn: cdots]인 점에서는 [eqn: g(a_m ) =0]이고,

[eqn: x= log_2 2 ,````log_2 5 ,````log_2 8,````cdots , ````log_2 29]인 점에서는 [eqn: g(a_m ) = 2ln2 cdot 2^x]이므로

[eqn: g(a_m )][eqn: =2 ln2 cdot2^ {log_2 2 },````2 ln2 cdot2^ {log_2 5 } , ````2 ln2 cdot2^ {log_2 8 }, ````cdots]

으로 봐도 무방하다.

즉, [eqn: g(a_m )]의 개수는 [eqn: 10]개이고

[eqn: g(a_m ) = 4ln2 ,````10 ln2 ,````16 ln2,````cdots]

따라서 수열 [eqn: left{ g(a_m )right}]의 일반항은

[eqn: g(a_m )][eqn: =4 ln2 + (m-1) 6ln2]
[eqn: =(6m -2)ln2]

로 볼 수 있다.

[eqn: THEREFORE ```` n+ sum _{k=1} ^{n} {g LEFT ( a _{k} RIGHT )} over {ln2}][eqn: =21+ sum _{m=1} ^{10} {g LEFT ( a _{m} RIGHT )} over {ln2}]
[eqn: =21+ sum _{m=1} ^{10} {(6m-2 )ln2} over {ln2}]
[eqn: =21+ sum _{m=1} ^{10} (6m-2)]
[eqn: =21+ 6 cdot {10times 11} over 2 -2 cdot10]
[eqn: =21+ 330 -20]
[eqn: =331]

[eqn: g(x)= lim _{h ``->`` 0+} {LEFT | {f(2 ^{x+h} )-f(2 ^{x} )} over {h} RIGHT | }]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값 중에서 열린구간 [eqn: (-5 ,```` 5)]에 속하는 모든 값을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: cdots] , [eqn: a_{n}] ([eqn: n]은 자연수)라 할 때, [eqn: n+sum_{k=1}^{n}{{g(a_{k})}over{ln2}}]의 값을 구하시오.

06 미적	07 여러 가지 미분법
01 매개변수 미분법
02 매개변수 미분법1 (공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 6

매개변수 [eqn: {t}{{from^2020^10^서울고3가^중}}] ([eqn: t>0])으로 나타내어진 곡선

[정답] ①

[해설]

[eqn: {dy} over {dx}][eqn: = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}}][eqn: = {{2} over {sqrt {t}}} over {2t}][eqn: = {1} over {t sqrt {t}}]

따라서 [eqn: t=4]일 때 [eqn: {dy} over {dx}][eqn: = {1} over {8}]

[eqn: x=t ^{2} +1], [eqn: y=4 sqrt {t}]

에서 [eqn: t=4]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?

① [eqn: {1} over {8}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {3} over {8}]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {8}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 24

매개변수 [eqn: t]로 나타내어진 곡선

[정답] ②

[해설]

[eqn: x= e^t + cos t ,````][eqn: y= sin t]를 각각 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: dx over dt = e^t -sin t ,````][eqn: dy over dt = cos t]

[eqn: dy over dx = {dy over dt}over{dx over dt} = {cos t}over{e^t - sin t}]

[eqn: t=0]을 대입하면 [eqn: dy over dx = cos0 over {e^0 - sin0 } =1]

[eqn: x= e^t + cos t ,````][eqn: y= sin t]

에서 [eqn: t=0]일 때, [eqn: dy over dx]의 값은?

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 25

매개변수 [eqn: {t}{{from^2021^09^평가원^중}}]로 나타내어진 곡선

[정답] ④

[해설]

[eqn: x=e ^{t} -4e ^{-t} ,```` y=t+1]에서 [eqn: {dx} over {dt} =e ^{t} +4e ^{-t}], [eqn: {dy} over {dt} =1]이므로

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {1} over {e ^{t} +4e ^{-t}}]

따라서 [eqn: t=ln 2]일 때, [eqn: {dt} over {dx}]의 값은

[eqn: {1} over {e ^{ln 2} +4e ^{-ln 2}} = {1} over {2+4 TIMES {1} over {2}} = {1} over {4}]

[eqn: x=e ^{t} -4e ^{-t} ,```` y=t+1]

에서 [eqn: t=ln 2]일 때, [eqn: {dy} over {dx}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 25

매개변수 [eqn: t(t>0)]으로 나타내어진 곡선

[정답] ③

[해설]

[eqn: {d x} over {d t}=2 t ln t+t+3]

[eqn: {d y} over {d t}=6 e^{t-1}+6 t e^{t-1}=6 e^{t-1}(1+t)]

[eqn: {d y} over {d x}={{d y} over {d t}} over {{d x} over {d t}}={6 e^{t-1}(1+t)} over {2 t ln t+t+3} ~ (2 t ln t+t+3 neq 0)]

따라서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {d y} over {d x}={6 times 2} over {1+3}={12} over {4}=3]

[eqn: x=t^{2} ln t+3 t], [eqn: y=6 t e^{t-1}]

에서 [eqn: t=1]일 때, [eqn: {d y} over {d x}]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 25

매개변수 [eqn: t(0<t< pi)]로 나타내어진 곡선

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {d x} over {d t}= cos t+ sin t], [eqn: {d y} over {d t}=-3 sin t+ cos t]이므로

[eqn: {d y} over {d x}={{d y} over {d t}} over {{d x} over {d t}}={-3 sin t+ cos t} over { cos t+ sin t}`(]단, [eqn: cos t+ sin t neq 0)]

[eqn: {d y} over {d x}=3]인 [eqn: t]의 값을 [eqn: alpha(0< alpha< pi)]라 하면

[eqn: cos alpha=-3 sin alpha]

[eqn: sin 2 alpha+ cos it ^ {2} alpha=1]이므로 [eqn: sin ^{2} alpha+9 sin ^{2} alpha=1]

[eqn: sin alpha>0]이므로 [eqn: sin alpha={ sqrt{10}} over {10}], [eqn: cos alpha=-{3 sqrt{10}} over {10}]

[eqn: a= sin alpha- cos alpha={2 sqrt{10}} over {5}], [eqn: b= 3cos alpha +sin alpha=-{4 sqrt{10}} over {5}]

따라서 [eqn: a+b=-{2 sqrt{10}} over {5}]

[eqn: x= sin t- cos t], [eqn: y=3 cos t+ sin t]

위의 점 [eqn: (a,`` b)]에서의 접선의 기울기가 [eqn: rm 3]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: rm 0]	② [eqn: -{ sqrt{10}} over {10}]	③ [eqn: -{ sqrt{10}} over {5}]

④ [eqn: -{3 sqrt{10}} over {10}]	⑤ [eqn: -{2 sqrt{10}} over {5}]

06 미적	07 여러 가지 미분법
01 매개변수 미분법
03 매개변수 미분법2 (해석 및 활용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 7

매개변수 [eqn: t(t>0)]으로 나타내어진 함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: x][eqn: = ln t+t], [eqn: ~ y=-t^{3}+3 t]이므로

[eqn: {d y} over {d x} ={{d y} over {d t}} over {{d x} over {d t}}][eqn: ={-3 t^{2}+3} over {{1} over {t}+1}]
[eqn: ={-3 t(t+1)(t-1)} over {t+1}]
[eqn: =-3 t(t-1)]

이때, [eqn: f(t)=-3 t(t-1)]이라 하면 함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프는 [eqn: t={1} over {2}]에서 대칭이고 최고차항의 계수가 음수이므로 [eqn: t={1} over {2}]에서 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: a={1} over {2}]

[eqn: x= ln t+t], [eqn: y=-t^{3}+3 t]

에 대하여 [eqn: {d y} over {d x}]가 [eqn: t=a]에서 최댓값을 가질 때, [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

06 미적	07 여러 가지 미분법
02 음함수 미분법
01 음함수의 미분법1 (공식)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 7

곡선 [eqn: x^{2}-2 x y+3 y^{3}=5] 위의 점 [eqn: (2,``-1)]에서의 접선의 기울기는?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 2 x-2 y-2 x {d y} over {d x}+9 y^{2} {d y} over {d x}=0]

[eqn: therefore~ ~ {d y} over {d x}={2 x-2 y} over {2 x-9 y^{2}}={4+2} over {4-9}=-{6} over {5}]

① [eqn: -{6} over {5}]	② [eqn: -{5} over {4}]	③ [eqn: -{4} over {3}]

④ [eqn: -{3} over {2}]	⑤ [eqn: -2]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 25

곡선 [eqn: x ^{3} -y ^{3} =e ^{xy}] 위의 점 [eqn: LEFT ( a,~0 RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 [eqn: b]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

점 [eqn: LEFT ( a,~0 RIGHT )]은 곡선 [eqn: x ^{3} -y ^{3} =e ^{xy}] 위의 점이므로 [eqn: a ^{3} =1]에서

[eqn: a=1]

[eqn: x ^{3} -y ^{3} =e ^{xy}]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 3x ^{2} -3y ^{2} {dy} over {dx} =e ^{xy} LEFT ( y+x {dy} over {dx} RIGHT )]

이므로

[eqn: {dy} over {dx} = {3x ^{2} -ye ^{xy}} over {xe ^{xy} +3y ^{2}}] (단, [eqn: xe ^{xy} +3y ^{2} !=0])

곡선 [eqn: x ^{3} -y ^{3} =e ^{xy}] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~0 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는

[eqn: b= {3-0} over {1+0} =3]

따라서

[eqn: a+b=1+3=4]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 24

곡선 [eqn: x^{2}-y ln x+x=e] 위의 점 [eqn: left(e,`` e^{2} right)]에서의 접선의 기울기는?

[정답] ①

[해설]

[eqn: x^{2}-y ln x+x=e]

의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2 x-{d y} over {d x} times ln x-y times {1} over {x}+1=0]

[eqn: {d y} over {d x}={2 x-{y} over {x}+1} over { ln x}]

그러므로 점 [eqn: left(e,`` e^{2} right)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: {2 e-{e^{2}} over {e}+1} over { ln e}=e+1]

① [eqn: e+1]	② [eqn: e+2]	③ [eqn: e+3]

④ [eqn: 2 e+1]	⑤ [eqn: 2 e+2]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
01 역함수의 미분법1 (공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 9

함수 [eqn: {f(x)= {1} over {e ^{x} +2} }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]의 역함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g `` prime LEFT ( {1} over {4} RIGHT )]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: g LEFT ( {1} over {4} RIGHT )][eqn: =k]라 하면 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )][eqn: = {1} over {4}]

[eqn: {1} over {e ^{k} +2}][eqn: = {1} over {4}]이므로 [eqn: e ^{k}][eqn: =2], 즉 [eqn: k][eqn: =ln 2]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {e ^{x}} over {LEFT ( e ^{x} +2 RIGHT ) ^{2}}]이므로 [eqn: f ' LEFT ( ln 2 RIGHT )][eqn: = it - {1} over {8}]

따라서 [eqn: g' LEFT ( {1} over {4} RIGHT )][eqn: = {1} over {f ' LEFT ( ln 2 RIGHT )}][eqn: = it -8]

① [eqn: -5]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -7]

④ [eqn: -8]	⑤ [eqn: -9]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 25

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+2 x+3]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g `prime (3)]의 값은?

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: g(x)]는 함수 [eqn: f(x)=x^{3}+2 x+3]의 역함수이므로

[eqn: x=y^{3}+2 y+3][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: x=3]일 때,

[eqn: 3=y^{3}+2 y+3]

[eqn: y left(y^{2}+2 right)=0]

[eqn: y=0]

또, ㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 1= left(3 y^{2}+2 right) {d y} over {d x}]

[eqn: {d y} over {d x}={1} over {3 y^{2}+2}]

따라서,

[eqn: g `prime (3)={1} over {3 times 0^{2}+2}={1} over {2}]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {5}]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
02 역함수의 미분법2 (결합 또는 합성함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 30

서로 다른 두 양수 [eqn: a,~b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it- {ax^3 +bx}over{x^2 +1}]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )=it- { LEFT ( 3ax^2 +b RIGHT ) LEFT ( x^2 +1 RIGHT )- LEFT ( ax^3 +bx RIGHT ) LEFT ( 2x RIGHT )}over {LEFT ( x^2 +1 RIGHT )^2 }]이므로

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = it- {ax^4 + LEFT ( 3a-b RIGHT )x^2 +b}over{ LEFT ( x^2 +1 RIGHT )^2 }]	[eqn: cdotscdots] ㉠

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x^2 +1 !=0]이므로 함수 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) !=0]이고 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT )=it-b<0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이다.

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )= g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )-x]이므로

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )-0=f LEFT ( 0 RIGHT )=0]이다.

조건 (가)에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )=f LEFT ( 2 RIGHT )-f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =h LEFT ( 0 RIGHT )=0]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT )=t] ([eqn: t]는 상수)라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )=2]이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -x RIGHT )=it- f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT )=it-f LEFT ( 2 RIGHT )=it-t]이다.

즉 두 점 [eqn: LEFT ( t,~2 RIGHT ),~ LEFT ( -2,~-t RIGHT )]는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위에 있다.

[eqn: t!=it-2]일 때, 두 점 [eqn: LEFT ( t,~2 RIGHT ),~ LEFT ( -2,~-t RIGHT )]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: {2- LEFT ( -t RIGHT )}over{t- LEFT ( -2 RIGHT )}=1]이므로 평균값 정리에 의하여 [eqn: f`' LEFT ( c RIGHT )=1]인 상수 [eqn: c]가 존재한다. 그러나 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이므로 모순이다. 즉 [eqn: t=it-2]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )=it-2]에서 [eqn: - {8a+2b}over5 =it-2]

그러므로 [eqn: 4a+b=5]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT )=it-2]이므로 역함수의 미분법에 의하여

[eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )- LEFT ( f^{`-1} RIGHT )' LEFT ( 2 RIGHT ) =f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( -2 RIGHT ) }]

㉠에서 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( -x RIGHT ) =f`' LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f`' LEFT ( -2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )]이다.

즉 [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( 2 RIGHT )}]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )-x]에서 [eqn: h`' LEFT ( x RIGHT )=f`' LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )f`' LEFT ( x RIGHT )-1]이므로

[eqn: h`' LEFT ( 2 RIGHT )=f`' LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=f`' LEFT ( -2 RIGHT )f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 -1]

조건 (나)에서 [eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-5 h`' LEFT ( 2 RIGHT )]이므로

[eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )- 1over{f`' LEFT ( 2 RIGHT )} =it-5left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 +5]

[eqn: 5left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^3 +left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )right}^2 -5f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1=0]

[eqn: left{5f`' LEFT ( 2 RIGHT )+1right}left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )+1right}left{f`' LEFT ( 2 RIGHT )-1right}=0]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )<0]이므로 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it- 1over5] 또는 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-1]이다.

㉠에서 [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )= it- {16a+4 LEFT ( 3a-b RIGHT )+b}over{ LEFT ( 4+1 RIGHT )^2} = it- {28a-3b}over25]

(ⅰ) [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it- 1over5]일 때, [eqn: - {28a-3b}over25 = it- 1over5]이므로
[eqn: 28a-3b=5]	[eqn: cdotscdots] ㉢
㉡, ㉢을 연립하면 [eqn: a= 1over2 ,~ b=3]이다.

(ⅱ) [eqn: f`' LEFT ( 2 RIGHT )=it-1]일 때, [eqn: - {28a-3b}over25 = it- 1]이므로
[eqn: 28a-3b=25]	[eqn: cdotscdots] ㉣
㉡, ㉣을 연립하면 [eqn: a=1,~b=1]이므로 모순이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 4LEFT ( b-a RIGHT )= 4times LEFT ( 3- 1over2 RIGHT ) =10]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {ax ^{3} +bx} over {x ^{2} +1}]

라 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: != 0]이고, 두 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) -f ^{-1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =h LEFT ( 0 RIGHT )]

(나) [eqn: g' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = it -5h' LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: 4 LEFT ( b-a RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 24

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 + 3x+1`]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =e^x `]에 대하여 [eqn: LEFT ( h CIRC g RIGHT )' LEFT ( 5 RIGHT )`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: k left(x right)=left(h circ g right)left(x right)]라 하면 [eqn: k left(x right)=e^{g left(x right)]이고,

[eqn: k`prime left(x right)=e^{g left(x right)} times g `prime left(x right)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: g left(5right)=a]라 하면 [eqn: f left(a right)=5]에서

[eqn: a^3 +3a+1=5], [eqn: a^3 +3a-4=0]

[eqn: left(a-1right)left(a^2 +a+4right)=0]

[eqn: a=1]이므로 [eqn: g left(5right)=1]

[eqn: f`prime left(x right)=3x^2 +3]에서 [eqn: g`prime left(5right)= 1over{f `prime left(1right)}= 1over6]

따라서 ㉠에서 [eqn: k`prime left(5right)=e^{g left(5right)}times g`prime left(5right)= e over6]이다.

① [eqn: e over 8]	② [eqn: e over 7]	③ [eqn: e over 6]

④ [eqn: e over 5]	⑤ [eqn: e over 4]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
03 역함수의 미분법3 (해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 15

열린구간 [eqn: LEFT ( `- {pi } over {2} ,~ {pi } over {2} ` RIGHT )]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x` rarrow `-2} `{{g LEFT ( x RIGHT )} over {x+2}} =b]에서 [eqn: x` rarrow `-2]일 때 (분모)[eqn: ` rarrow `0]이고 극한값이 존재하므로 [eqn: lim _{x` rarrow `-2} {`} g LEFT ( x RIGHT ) =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 열린구간 [eqn: LEFT ( `- {pi } over {2} ,~ {pi } over {2} ` RIGHT )]에서 연속이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]도 [eqn: x=it-2]를 포함한 구간에서 연속이다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( -2 RIGHT ) = lim _{x` rarrow `-2} {`} g LEFT ( x RIGHT ) =0]이고, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =it-2]

이때 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =ln` LEFT ( {sec`0+tan`0} over {a} RIGHT ) =ln` {1} over {a} =it-ln`a]이므로

[eqn: -ln`a=it-2,~ln`a=2,~a=e ^{2}]

또 미분계수의 정의에 의하여

[eqn: b= lim _{x` rarrow `-2} {} ` {g LEFT ( x RIGHT )} over {x+2} = lim _{x` rarrow `-2} {} ` {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -2 RIGHT )} over {x- LEFT ( -2 RIGHT )} =g`' LEFT ( -2 RIGHT )]

한편, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln` LEFT ( {sec`x+tan`x} over {a} RIGHT ) =ln` LEFT ( sec`x+tan`x RIGHT ) -2]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {LEFT ( sec`x+tan`x RIGHT ) ` prime } over {sec`x+tan`x} = {sec`x`tan`x+sec ^{2} `x} over {sec`x+tan`x}]
[eqn: = {sec`x` LEFT ( sec`x+tan`x RIGHT )} over {sec`x+tan`x} =sec`x]

또 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x]이므로 이 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f`' LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) g`' LEFT ( x RIGHT ) =1]

위 식의 양변에 [eqn: x=it-2]를 대입하면

[eqn: f` prime LEFT ( g LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT ) g` prime LEFT ( -2 RIGHT ) =1,~f`' LEFT ( 0 RIGHT ) timesg`' LEFT ( -2 RIGHT ) =1]

이때 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =sec`0=1,~g`' LEFT ( -2 RIGHT ) =b]이므로

[eqn: 1 TIMES b=1,~b=1]

따라서 [eqn: a=e ^{2} ,~b=1]이므로 [eqn: ab=e ^{2} TIMES 1=e ^{2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =ln` LEFT ( {sec`x+tan`x} over {a} RIGHT )]

의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{x` rarrow `-2} `{{g LEFT ( x RIGHT )} over {x+2}} =b]일 때, 두 상수 [eqn: a,~b]의 곱 [eqn: ab]의 값은? (단, [eqn: a>0])

① [eqn: {e ^{2}} over {4}]	② [eqn: {e ^{2}} over {2}]	③ [eqn: e ^{2}]

④ [eqn: 2e ^{2}]	⑤ [eqn: 4e ^{2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 26

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)]가 함수 [eqn: g(x)]의 역함수이고, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)-2} over {x-2}={1} over {3}]이다. 함수 [eqn: h(x)={g(x)} over {f(x)}]라 할 때, [eqn: h `prime (2)]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)-2} over {x-2}={1} over {3}]에서 [eqn: f(2)=2], [eqn: f `prime (2)={1} over {3}]

[eqn: f(x)]는 함수 [eqn: g(x)]의 역함수이므로 [eqn: g(2)=2]

[eqn: g `prime (2)={1} over {f `prime (g(2))}={1} over {f `prime (2)}=3]

[eqn: f(2) neq 0]이고 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는

양의 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다.

[eqn: h `prime (x)={g `prime (x) f(x)-g(x) f `prime (x)} over { left{ f(x) it right} ^{2}}]

[eqn: h `prime (2)={g `prime (2) f(2)-g(2) f `prime (2)} over { left{ f(2) it right} ^{2}}]

[eqn: ={3 times 2-2 times {1} over {3}} over {2^{2}}={6-{2} over {3}} over {4}={4} over {3}]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
05 역함수의 미분법5 (함수 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 27

양의 실수 [eqn: {t}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 곡선

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)=ln`(2x^{2}+2x+1)][eqn: (x>0)]라 두자

[eqn: g(x)]를 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g`'(x)={4x+2}over{2x^{2}+2x+1}]

[eqn: g (x)]와 [eqn: y=t]가 만나는 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]이면 [eqn: g(f(t))=t]이다.

[eqn: g(f(2ln`5))=2ln`5=ln`25]

[eqn: f(2ln`5)=k]라 치환하면 [eqn: g(k)=ln`25]

[eqn: ln`(2k^{2}+2k+1)=ln5], [eqn: 2k^{2}+2k+1=5]

[eqn: k^{2}+k-12=0][eqn: (k>0)]

[eqn: THEREFORE][eqn: k=3]

[eqn: g(f(t))=t]를 [eqn: t]에 대해 미분하면 [eqn: g`'(f(t))cdotf`'(t)=1]

[eqn: THEREFORE][eqn: f`'(2ln`5)][eqn: ={1}over{g`'(f(2ln`5))}]
[eqn: ={1}over{g`'(3)}]
[eqn: ={18+6+1}over{14}]
[eqn: ={25}over{14}]

[eqn: y= ln(2x^2 +2x+1)][eqn: (x>0)]

과 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: f prime(2ln5)]의 값은?

① [eqn: 25 over14]	② [eqn: 13 over7]	③ [eqn: 27 over14]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 29 over14]

06 미적	07 여러 가지 미분법
03 역함수 미분법
06 역함수의 미분법6 (미분가능성)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 28

두 상수 [eqn: {a,````b}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}] ([eqn: a<b])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 72 }]

[해설]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )][eqn: =k LEFT ( x RIGHT )]라 하면

[eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( f CIRC g ^{-1} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: =f LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT ) LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -b RIGHT ) ^{2}]

이때, 조건 (가)에서 함수 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT | `h LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |] 즉,

[eqn: (x-1)|`` LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT ) LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -b RIGHT ) ^{2}``|]

[eqn: =(x-1) LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -b RIGHT ) ^{2} |``LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) -a RIGHT )``|]

절댓값 안의 값이 [eqn: (x-1)]의 인수를 가져야 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: k LEFT ( 1 RIGHT ) -a][eqn: =0]

한편, [eqn: y][eqn: =k LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x = left{ (k(x) right}^3 + left{ (k(x) right} +1]을 만족하므로

[eqn: 1][eqn: = left{ (k(1) right} ^{3} + left{ (k(1) right}+1]

[eqn: k(1)=0]

즉, [eqn: a=0]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 성립한다.

또, 조건 (나)에서 [eqn: h' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2]을 만족하므로 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]의 양변을 미분하면 [eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( k LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) TIMES k' LEFT ( x RIGHT )]

식에 [eqn: x=3]을 대입하면

[eqn: f`' LEFT ( k LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) TIMES k' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

그런데, [eqn: 3][eqn: = left{ (k(3) right} ^{3} + left{ (k(3) right}+1]에서

[eqn: LEFT (k(3) -1 RIGHT ) LEFT (left{ (k(3) right} ^{2} + k(3) +2 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: therefore][eqn: k(3) =1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠을 미분하면 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2} +2x LEFT ( x-b RIGHT )]이므로

[eqn: f`' LEFT ( k LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( 1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1-b RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( 1-b RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1-b RIGHT ) LEFT ( 3-b RIGHT )]

또, [eqn: x = left{ (k(x) right}^3 + left{ (k(x) right} +1]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 1][eqn: = LEFT ( 3left{ (k(x) right} ^{2} +1 RIGHT )k``'(x)]

[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: 1= (3 left{k(3)right}^2 +1 ) k``'(3)]

㉡을 대입하면 [eqn: k' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: = {1} over {4}]

㉠에 대입하면 [eqn: LEFT ( 1-b RIGHT ) LEFT ( 3-b RIGHT ) TIMES {1} over {4}][eqn: =2]

[eqn: b ^{2} -4b+3][eqn: =8], [eqn: b ^{2} -4b-5][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( b+1 RIGHT ) LEFT ( b-5 RIGHT )][eqn: =0]

이때, 조건에서 [eqn: a<b], 즉, [eqn: b>0] ([eqn: because][eqn: a=0])이므로

[eqn: b=5]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2}]이므로 [eqn: x=8]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )][eqn: =8 TIMES 3 ^{2}][eqn: =72]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT ) ^{2}]

이라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +x+1]의 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 합성함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( f CIRC g ^{-1} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT | ``h LEFT ( x RIGHT ) `` RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) [eqn: h' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 29

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =x ^{3} -x]와 실수 전체의 집합에서 미분가능한 역함수가 존재하는 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax ^{3} +x ^{2} +bx+1]이 있다.

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 연속함수이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]에서 연속이므로 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 0-} {} h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 0+} {} h LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = alpha]라 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0]에서

[eqn: alpha][eqn: = it -1] 또는 [eqn: alpha][eqn: =0] 또는 [eqn: alpha][eqn: =1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 연속이므로 [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 1-} {} h LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {} h LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: h LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =0]은 성립한다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]에서 미분가능하므로 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT )} over {x - }][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 0 RIGHT )} over {x - }]에서

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x}][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x}][eqn: =1]

[eqn: f ' LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = alpha]이고 [eqn: LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it {1} over {g' LEFT ( alpha RIGHT )}]이므로

[eqn: f prime LEFT ( alpha RIGHT ) TIMES {1} over {g prime LEFT ( alpha RIGHT )}][eqn: =1], [eqn: f ' LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( alpha RIGHT )]

[eqn: 3 alpha ^{2} -1][eqn: =3a alpha ^{2} +2 alpha +b]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로 [eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} {h LEFT ( x RIGHT ) -h LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}]에서

[eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x-1}][eqn: =][eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x-1}]

[eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x-1}]에서 [eqn: x-1][eqn: =t]라 하면

[eqn: lim _{x ``->`` 1-} {} {{1} over {pi} ` sin pi x} over {x-1}][eqn: = lim _{t ``->`` 0-} {} {-sin pi t} over {pi t}][eqn: = it -1]

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} {f LEFT ( g ^{-1} LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} over {x-1}][eqn: = it -1]에서

[eqn: f ' LEFT ( g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -1]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이고 [eqn: LEFT ( g ^{-1} RIGHT ) ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {1} over {g prime LEFT ( 0 RIGHT )}]이므로

[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT ) TIMES {1} over {g' LEFT ( 0 RIGHT )}][eqn: = it -1]

[eqn: f ' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = it -1]이므로 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =b][eqn: =1]

삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]를 가지고 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1][eqn: >0]이므로 증가함수이다.

[eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: alpha <0]

㉠에 의하여 [eqn: alpha][eqn: = it -1]

㉡에 의하여 [eqn: a][eqn: =1]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +x ^{2} +x+1]

따라서 [eqn: g LEFT ( a+b RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =15]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g ^{-1} LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT ( f CIRC g ^{-1} RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )& & & LEFT ( x<0 ```` 또는 ```` x>1 RIGHT )#````````{1} over {pi} ` sin pi x &&& LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}}]

이라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: g LEFT ( a+b RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a ,```` b]는 상수이다.)

06 미적	08 접선의 방정식
01 접선의 방정식
01 접점 이용1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 10

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =tan 2x+ {pi } over {2} }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]의 그래프 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( {pi } over {8} ,```` it f LEFT ( {pi } over {8} RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편은?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: rm P left( pi over8 ,```` 1+ pi over2 right)]이고 [eqn: f'(x)][eqn: = 2 sec^2 2x]이므로

[eqn: f' left( pi over8 right)][eqn: =4]

곡선 [eqn: y][eqn: =f(x)]위의 점 [eqn: rm P]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y][eqn: = 4 left( x - pi over8 right) + 1 + pi over2][eqn: = 4x+1]

따라서 접선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 1]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

06 미적	08 접선의 방정식
01 접선의 방정식
02 접점 이용2 (매개변수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 25

매개변수 [eqn: t `]로 나타낸 곡선

[정답] ②

[해설]

[eqn: t = 0]이면 [eqn: (x,``y) = (1,``1)]

[eqn: dy overdx = { - e^-t +3} over{ e^t +2][eqn: = 2 over3][eqn: = a-1 over10-1], [eqn: THEREFORE][eqn: a = 7]

[eqn: x = e^t +2t], [eqn: y = e^-t + 3t `]

에 대하여 [eqn: t =0 `]에 대응하는 점에서의 접선이 점 [eqn: LEFT ( 10,`` a RIGHT ) `]를 지날 때, [eqn: a `]의 값은?

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

06 미적	08 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
01 활용1 (두 직선이 이루는 각의 크기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 25

원점에서 곡선 [eqn: y = e ^{left |`` x ``right | }]에 그은 두 접선이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: tan theta]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: y = e ^x]와 제 [eqn: 1]사분면에서 접하는 접선이 원점을 지나므로 접선의 방정식을 [eqn: y = mx]라 하면 [eqn: y = e ^-x]와 제 [eqn: 2]사분면에서 접하는 접선의 방정식은 [eqn: y = it-mx]이 된다.

[eqn: y = e ^x]와 제 [eqn: 1]사분면에서 접하는 접점의 좌표를 [eqn: left(t ,```` e ^t right)]라 하면 접선의 기울기가 [eqn: e ^t]이므로 접선의 방정식은 [eqn: y = e ^t (x-t)+e ^t]

접선이 원점을 지나므로 [eqn: 0 = it-te ^t + e ^t]

즉, [eqn: e ^t (t-1) = 0]에서 [eqn: t =1] ([eqn: because][eqn: e^t !=0])

따라서 두 접선의 방정식은 각각 [eqn: y = ex]와 [eqn: y = it- ex]이다.

두 직선 [eqn: y = ex], [eqn: y = it- ex]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각을 [eqn: alpha,````beta]라 하면 [eqn: tan alpha = e ,````tan beta = -e]

두 접선이 이루는 각이 [eqn: theta]이므로 [eqn: theta = beta -alpha]

[eqn: tan theta][eqn: = tan (beta- alpha )]
[eqn: = {tan beta - tan alpha } over {1 + tan alpha tan beta}]
[eqn: ={-e -e} over {1-e^2]
[eqn: = 2e over {e ^2 -1}]

① [eqn: e over {e ^2 +1}]	② [eqn: e over {e ^2 -1}]	③ [eqn: 2e over {e ^2 +1}]

④ [eqn: 2e over {e ^2 -1}]	⑤ [eqn: 1]

06 미적	08 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
04 활용4 (Mm)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 29

함수 [eqn: f(x)=e^{x}+x]가 있다. 양수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: (t,`` 0)]과 점 [eqn: (x,`` f(x))]사이의 거리가 [eqn: x=s]에서 최소일 때, 실수 [eqn: f(s)]의 값을 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]의 역함수를 [eqn: h(t)]라 할 때, [eqn: h `prime (1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 3]

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 한 점을 [eqn: (s,`` f(s))]라 하자.

[eqn: t]가 정해져 있다면 점 [eqn: (t,`` 0)]에서 [eqn: (s,`` f(s))]사이의 거리가

최소일 때, [eqn: (t,`` 0)]과 [eqn: (s,`` f(s))]를 연결한 직선은 [eqn: y=f(x)]

위의 점 [eqn: (s,`` f(s))]에서의 접선과 수직이다.

따라서 [eqn: {-f(s)} over {t-s}=-{1} over {f `prime (s)}]이고,

[eqn: t=s+f(s) f `prime (s)][eqn: cdotscdots]㉠

이때, [eqn: g(t)=e^{s}+s], [eqn: h(g(t))=t]이므로,

[eqn: h(1)]을 찾기 위해 [eqn: g(t)=1]이 되는 [eqn: s]를 찾으면 [eqn: s=0]이고,

㉠에서 [eqn: s=0]일 때, [eqn: t=2]이다.

한편, [eqn: g `prime (t)= left(e^{s}+1 right) {d s} over {d t}][eqn: cdotscdots]㉡

㉠을 미분하면

[eqn: 1= left{ 1+f `prime (s) f `prime (s)+f(s) f `prime prime (s) it right} {d s} over {d t}][eqn: cdotscdots]㉢

[eqn: s=0]을 대입하면 [eqn: f `prime (0)=2], [eqn: f `prime prime (0)=1]이므로 ㉢에 대입하면 [eqn: 1=6 {d s} over {d t}], [eqn: {d s} over {d t}={1} over {6}]

㉡에 대입하면 [eqn: g `prime (2)={1} over {3}]

[eqn: therefore~h `prime (1)={1} over {g `prime (h(1))}={1} over {g `prime (2)}=3]

[다른 풀이]

점 [eqn: (t,`` 0)]과 점 [eqn: (x,`` f(x))]사이의 거리가 최소일 때, 두 점 [eqn: (t,`` 0)]과 [eqn: (x,`` f(x))]를 지나는 직선과 점 [eqn: (x,`` f(x))]에서의 [eqn: y=f(x)]에서의 접선은 서로 수직이다.

이때 [eqn: x=s]이므로

[eqn: {f(s)} over {s-t} times f `prime (s)=-1], [eqn: t=s+f(s) times f `prime (s)][eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: h(1)=a]라 하면 [eqn: g(a)=1]이고, [eqn: h `prime (1)={1} over {g `prime (a)}]이다.

[eqn: t=a]일 때 [eqn: s=b]라 하면 [eqn: g(a)=f(b)=1]에서

[eqn: e^{b}+b=1], [eqn: b=0]이다.

㉠에서 [eqn: a=0+f(0) times f `prime (0)=2]이다.

㉠의 양변을 [eqn: s]로 미분하면

[eqn: {d t} over {d s}][eqn: =1+f `prime (s) times f `prime (s)+f(s) times f `prime prime (s)]
[eqn: =1+ left(e^{s}+1 right)^{2}+ left(e^{s}+s right) e^{s}]

이므로

[eqn: t=2], [eqn: s=0]일 때 [eqn: {d t} over {d s}=6]이다.

[eqn: g(t)=f(s)]의 양변을 [eqn: s]로 미분하면

[eqn: g `prime (t) times {d t} over {d s}=f `prime (s)]이므로 [eqn: g `prime (2) times 6=f `prime (0)],

[eqn: g `prime (2)={2} over {6}={1} over {3}]이다.

[eqn: therefore~h `prime (1)={1} over {g `prime (2)}=3]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
01 증가와 감소, 극대와 극소
04 극대와 극소1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 7

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: = LEFT ( x ^{2} -2x-7 RIGHT ) `e ^{x}]의 극댓값과 극솟값을 각각 [eqn: a,````b]라 할 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?

[정답] ①

[해설]

주어진 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( x^2 -2x-7 RIGHT )e^x]를 미분하면

[eqn: f`'(x)][eqn: = LEFT ( 2x-2 RIGHT ) e ^{x} + LEFT ( x ^{2} -2x-7 RIGHT ) e ^{x}]
[eqn: =][eqn: LEFT ( x^2 -9 RIGHT )e^x]

이때, 모든 [eqn: x]에 대해 [eqn: e^x > 0]이므로 [eqn: x^2 -9 =0]

즉, [eqn: x=3]일 때, 극대, [eqn: x=it-3]일 때, 극솟값을 갖는다.

준 식에 대입하면

[eqn: a=f(3)= it -4e ^{3}], [eqn: b=f(-3)=8e ^{-3}]

[eqn: THEREFORE````a TIMESb = LEFT ( -4e^3 RIGHT ) TIMES8e^-3 =it-32]

① [eqn: -32]	② [eqn: -30]	③ [eqn: -28]

④ [eqn: -26]	⑤ [eqn: -24]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 28

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =6pi LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: g(x)=3f(x)+4`cos`f(x)]이므로

[eqn: g`'(x)][eqn: =3f` prime (x)-4f` prime (x)`sin`f(x)]
[eqn: =f` prime (x) LEFT { 3-4`sin`f(x) RIGHT }]
[eqn: =12 pi (x-1) LEFT { 3-4`sin` LEFT ( 6 pi (x-1) ^{2} RIGHT ) RIGHT }]

이므로 [eqn: g`'(x)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: sin` LEFT ( 6pi(x-1)^2 RIGHT ) = 3 over4]

(ⅰ) [eqn: x=1]일 때

[eqn: x=1]일 때 [eqn: sin` LEFT ( 6pi(x-1)^2 RIGHT ) = 0]이므로

[eqn: x=1] 부근에서 [eqn: 3-4`sin` LEFT ( 6 pi (x-1) ^{2} RIGHT ) >0]이다.

이때 [eqn: x-1]은 [eqn: x=1]의 좌우에서 음에서 양으로 변하므로

[eqn: g`'(x)][eqn: =12 pi (x-1) LEFT { 3-4`sin` LEFT ( 6 pi (x-1) ^{2} RIGHT ) RIGHT }]도 [eqn: x=1]의 좌우에서 음에서 양으로 변한다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극소이다.

(ⅱ) [eqn: 1<x<2]일 때

[eqn: 12pi(x-1)>0]이고, 함수 [eqn: f(x)]는 구간 [eqn: [`1,~2`]]에서 [eqn: 0]에서 [eqn: 6pi]까지 증가한다.

즉, [eqn: f(x)=t]라 하면 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 2]까지 증가할 때 [eqn: t]의 값은 [eqn: 0]에서 [eqn: 6pi]까지 증가한다.

이때 함수 [eqn: y=3-4`sin`t]의 그래프는 다음과 같으므로 [eqn: t=alpha,~beta,~gamma]의 좌우에서 [eqn: y=3-4`sin`t]의 값은 음에서 양으로 변한다.

따라서 [eqn: f(x)=alpha,~beta,~gamma]인 [eqn: x]의 좌우에서 [eqn: y=3-4`sin`f(x)]의 값은 음에서 양으로 변하고 이러한 [eqn: x]는 세 수 [eqn: alpha,~beta,~gamma]에 대하여 각각 하나씩 존재한다.

따라서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: 1<x<2]에서 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 3]이다.

(ⅲ) [eqn: 0<x<1]일 때

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

즉, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f(1-x)=f(1+x)]

가 성립한다.

이때

[eqn: g(1-x)][eqn: =3f(1-x)+4`cos`f(1-x)]
[eqn: =3f(1+x)+4`cos`f(1+x)]
[eqn: =g(1+x)]

이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프도 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이다.

따라서 (ⅱ)와 같이 [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극소가 되는 [eqn: x]의 개수도 [eqn: 3]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 [eqn: x]의 개수는

[eqn: 1+3+3=7]

이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3f LEFT ( x RIGHT ) +4cos`f LEFT ( x RIGHT )]

라 하자. [eqn: 0<x<2]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극소가 되는 [eqn: x]의 개수는?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
02 곡선의 개형과 변곡점
04 곡선의 개형4 (변곡점의 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 15

두 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^인천교육청고3가^중}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 이계도함수를 갖고 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 증가함수일 때, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: (2 ,```` 2)]가 곡선 [eqn: y][eqn: =g(x)]의 변곡점이므로

[eqn: g(2)][eqn: =2 ,````][eqn: g''(2)][eqn: =0]

[eqn: h'(x)][eqn: = f '(g(x)) g'(x)]

[eqn: h''(x)][eqn: = f''(g(x)) left{` g'(x) `right} ^2 + f'(g(x)) g''(x)]

[eqn: h''(2)][eqn: = f''(g(2)) left{` g'(2) `right} ^2 + f'(g(2)) g''(2)]
[eqn: =f''(2) left{` g'(2) `right} ^2]

[eqn: { h''(2)} over{ f''(2) }][eqn: =4]이므로 [eqn: left{` g'(2) `right} ^2][eqn: =4]

[eqn: g(x)]가 증가함수이므로 [eqn: g'(2)][eqn: =2]

따라서 [eqn: h'(2)][eqn: = f'(g(2))g'(2)][eqn: = f'(2) g'(2)][eqn: =8]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]

라 하자. 점 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 2 RIGHT )]가 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 변곡점이고 [eqn: {h '' LEFT ( 2 RIGHT )} over {f '' LEFT ( 2 RIGHT )} =4]이다. [eqn: f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =4]일 때, [eqn: h prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
02 곡선의 개형과 변곡점
05 곡선의 개형5 (변곡점과 접선)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 27

곡선 [eqn: {y}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =x e ^{-2x}]의 변곡점을 [eqn: rmA]라 하자. 곡선 [eqn: y][eqn: =x e ^{-2x}]위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmB]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x e ^{-2x}]이라 하면

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1-2x RIGHT ) e ^{-2x}]

[eqn: f '' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 4x-4 RIGHT ) e ^{-2x}][eqn: =0]에서 [eqn: x][eqn: =1]

[eqn: x<1]에서 [eqn: f '' LEFT ( x RIGHT )][eqn: <0]이고, [eqn: x>1]에서 [eqn: f '' LEFT ( x RIGHT )][eqn: >0]이다.

[eqn: x][eqn: =1]의 좌우에서 [eqn: f '' LEFT ( x RIGHT )]의 부호가 바뀌므로 변곡점 [eqn: rmA]의 좌표는

[eqn: LEFT ( 1 ,```` e ^{-2} RIGHT )]

[eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -e ^{-2}]이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 점 [eqn: rmA]에서의 접선의 방정식은	[eqn: y-e ^{-2}][eqn: = it -e ^{-2} LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: therefore][eqn: y][eqn: = it -e ^{-2} LEFT ( x-2 RIGHT )]

그러므로 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES e ^{-2}][eqn: =e ^{-2}]

① [eqn: e ^{-2}]	② [eqn: 3e ^{-2}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: e ^{2}]	⑤ [eqn: 3e ^{2}]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
03 그래프의 개형
05 그래프의 개형5 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

세 상수 [eqn: {a}{{from^2020^08^사관고3가^중}}], [eqn: b], [eqn: c] ([eqn: a>0], [eqn: c>0])에 대하여 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x) =-ax^2 +6ex +b]라 하면 [eqn: g``'(x) = -2ax +6e] 즉, [eqn: g``'(x)=0]인 점 [eqn: x= 3e overa]에서 극대가 된다.

[eqn: h(x)=][eqn: a(ln x) ^{2} -6ln x]라 하면 [eqn: h``'(x) ={ 2a lnx } over x - 6 over x] 즉 [eqn: h``'(x)=0]인 점 [eqn: ln x= {3} over {a}], [eqn: x= e^{3over a}]에서 극소가 된다.

따라서 [eqn: e ^{{3} over {a}} LEQ c LEQ {3e} over {a}]이고, (가), (나)조건에서 [eqn: e^{3over a} = 3e over a]

[eqn: 3 over a =x]라 하면 [eqn: y=e^x]와 [eqn: y=ex]의 그래프는 그림과 같이 [eqn: e^x ge ex]이고 등호는 [eqn: x=1]일 때 성립한다.

그러므로 [eqn: 3overa = 1]

[eqn: therefore][eqn: a=3,````c=e]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠을 식에 대입하면

[eqn: f(x)= {cases{-3x ^{2} +6ex+b&&(x<e)#```3(ln x) ^{2} -6ln x&&(x ge e)}}]

(가)조건에서 [eqn: f(x)]는 모든 실수에서 연속이므로 [eqn: x=e]에서도 연속이어야 한다.

[eqn: -3e^2 +6e^2 +b =3-6]

[eqn: therefore][eqn: b=it-3-3e ^{2}]

[eqn: therefore][eqn: f(x)= {cases{-3x ^{2} +6ex-3-3e^2&&(x<e)#``````````````3(ln x) ^{2} -6ln x&&(x ge e)}}]

[eqn: THEREFORE][eqn: f LEFT ( {1} over {2e} RIGHT )][eqn: =it-3 LEFT ( {1} over {4e ^{2}} RIGHT ) + {6e} over {2e} -3-3e ^{2}]
[eqn: =it -3 LEFT ( e^2 + 1over4e^2 RIGHT )]

[eqn: f(x) = {cases{it -ax ^{2} +6ex+b&&&(x<c)#```a(ln x)^2 - 6ln x &&&( x ge c)}}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]의 역함수가 존재한다.

[eqn: f LEFT ( 1over2e RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -4 LEFT ( e^2 + 1over4e^2 RIGHT )]	② [eqn: -4 LEFT ( e ^{2} - {1} over {4e ^{2}} RIGHT )]

③ [eqn: -3 LEFT ( }e^2 + 1over4e^2 RIGHT )]	④ [eqn: -3LEFT ( e ^{2} - {1} over {4e ^{2}} RIGHT )]

⑤ [eqn: -2 LEFT ( e ^{2} + {1} over {4e ^{2}} RIGHT )]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold64]

[해설]

조건(가)에서 [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=0], [eqn: x=2]에서 극한값과 함숫값이 같아야 되고 [eqn: g(0)!=0]이면 [eqn: f(0)!=0]이어야 된다.

[eqn: x=0]일 때 [eqn: lim _{ x->0+} {g(x) }=-f(0)]이고 [eqn: g(0)=f(0)]이므로

[eqn: -f(0)=f(0)]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: x=2]일 때 [eqn: lim _{ x->2-} {g(x) }=f(2)]이고 [eqn: g(2)=f(2)]이므로

[eqn: f(2)=f(2)]

[eqn: x=2]에서 항상 연속이다.

[eqn: g(x)= cases{f(x)&&&(0 le x le 2)#f(x) overx-1 &&&(x <0 ```` 또는 ```` x>2)}]

[eqn: g`'(x)= cases{```````````````````````````f`'(x)``&&&(0 le x le 2)#{f`'(x)(x-1)-f(x)}over{(x-1)^{2}}&&&(x<0````또는 ````x>2)]

[eqn: x=0]일 때 [eqn: lim _{ x->0+} { g`'(x)}=f'(0)]이고,

[eqn: lim _{ x->0-} { g'`(x)}=-f`'(0)-f(0)=-f`'(0)][eqn: (because````f(0)!=0)]

[eqn: x=2]일 때 [eqn: lim _{ x->2+} {g`'(x) }=f`'(2)-f(2)]이고

[eqn: lim _{ x->2-} { g`'(x)}=f`'(2)]

[eqn: f``'(2)-f(2)!=f`'(2)][eqn: (because````f(2)!=0)]

따라서 [eqn: x=2]에서 미분불가능하다.

조건(나)에서 [eqn: x=a]에 미분불가능한 [eqn: x]값이 [eqn: 1]개이므로 [eqn: x=0]에서 미분불가능해야 된다.

[eqn: THEREFORE][eqn: f`'(0)=-f`'(0)]

[eqn: THEREFORE][eqn: f`'(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: f(x)=x^{2}(x-alpha)][eqn: (alpha!=0)]

조건 (다)에 따라 [eqn: g(k)=0]이면 [eqn: f(k)=0]이다.

이때 [eqn: k=0] 또는 [eqn: k=alpha]인데 [eqn: g`'(0)=0]이므로 [eqn: k=alpha]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: 0le alpha le 2]일 때, [eqn: f`'(alpha)={16over{3}], [eqn: alpha^{2}={16}over{3}],
[eqn: THEREFORE][eqn: alpha={4root{3}}over{3}]
[eqn: alpha>2]이므로 모순

(ⅱ) [eqn: alpha<0], [eqn: 2 <alpha]일 때
[eqn: {(alpha-1)f`'(alpha)}over{(alpha-1)^{2}}={alpha^{2}}over{(alpha-1)^{2}}={16}over{3}]
[eqn: THEREFORE][eqn: 3alpha^{2}-16alpha+16=0]
[eqn: THEREFORE][eqn: alpha=4]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(x)=x^{2}(x-4)]

[eqn: lim _{ x->2-} {g'(x) }<0], [eqn: lim _{ x->2+} {g`'(x) }>0]이므로 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.

[eqn: THEREFORE][eqn: g(2)=-8], [eqn: p=-8]

[eqn: THEREFORE][eqn: p^{2}=64]

[eqn: g(x)= cases{``f(x)&&&(0 le x le 2)#f(x) overx-1 &&&(x <0 ```` 또는 ```` x>2)}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이고, [eqn: g(2)!=0]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(다) [eqn: g(k)=0], [eqn: g prime(k)= 16 over3]인 실수 [eqn: k]가 존재한다.

함수 [eqn: g(x)]의 극솟값이 [eqn: p]일 때, [eqn: p^2]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]보다 크고 실수 전체의 집합에서 최솟값이 양수인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가

[정답] [eqn: 129]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =a x^{2}+b x+c(a,`` b,`` c]는 상수[eqn: )]라 하면
[eqn: g `prime (x) =e^{x} left{ f(x)+f `prime (x) it right}]
[eqn: =e^{x} left{ a x^{2}+(2 a+b) x+b+c it right}]

함수 [eqn: g(x)]가 극값을 갖지 않으면 조건 (가)를

만족시키지 않으므로 함수 [eqn: g(x)]는 극값을 갖는다.

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 극댓값, [eqn: x= beta]에서 극솟값을 갖는다고 하면 [eqn: g `prime (x)=e^{x} left{ a(x- alpha)(x- beta) it right}]

함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=t(t neq g( alpha),`` t neq g( beta))]에서 [eqn: lim _{k`` rarrow ``t-} {} h(k)= lim _{k`` rarrow ``t+} {} h(k)=h(t)]

그러므로 함수 [eqn: h(k)]는

[eqn: k=t(t neq g( alpha),`` t neq g( beta))]에서 연속이다.

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=t]에서 불연속인 [eqn: t]의 개수가 [eqn: rm 1]이므로 함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=g( alpha)]에서 연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 불연속 또는 [eqn: k=g( alpha)]에서 불연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 연속이다.

( i ) 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=g( alpha)]에서 연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 불연속인 경우 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)-} h(k)=2 alpha+ alpha_{1}][eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)+} h(k)= alpha_{1}][eqn: h(g( alpha))= alpha+ alpha_{1}]이므로 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)-} h(k)= lim _{k ``rarrow`` g( alpha)+} h(k)=h(g( alpha))]에서 [eqn: 2 alpha+ alpha_{1}= alpha_{1}= alpha+ alpha_{1}] 그러므로 [eqn: alpha=0]
함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=g( beta)]에서 불연속이므로 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)+} h(k)- lim _{k ``rarrow`` g( beta)-} h(k)=2 beta neq 0]
조건 (나)에 의하여 [eqn: beta=1], [eqn: g( beta)=3 e]
[eqn: g `prime (0)=0], [eqn: g `prime (1)=0]이므로 [eqn: g `prime (x)=e^{x} left{ a x(x-1) it right}]
[eqn: g(x)=e^{x} left{ a left(x^{2}-3 x+3 right) it right}]
[eqn: g(1)=3 e]이므로 [eqn: a=3]
최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=g( alpha)]에서 불연속이고 [eqn: k=g( beta)]에서 연속인 경우 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)_{-}} h(k)= beta_{1}]
[eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)_{+}} h(k)=2 beta+ beta_{1}]
[eqn: h(g( beta))= beta+ beta_{1}]이므로 [eqn: lim _{k ``rarrow`` g( beta)-} h(k)= lim _{k ``rarrow`` g( beta)+} h(k)=h(g( beta))]에서 [eqn: beta_{1}=2 beta+ beta_{1}= beta+ beta_{1}]
그러므로 [eqn: beta=0]
함수 [eqn: h(k)]는 [eqn: k=g( alpha)]에서 불연속이므로
[eqn: lim _{k ``rarrow`` g( alpha)+} h(k)- lim _{k ``rarrow`` g( alpha)-} h(k)=-2 alpha neq 0]
조건 (나)에 의하여 [eqn: alpha=-1], [eqn: g( alpha)=3 e]
[eqn: g `prime (0)=0], [eqn: g `prime (-1)=0]이므로 [eqn: g `prime (x)=e^{x} left{ a x(x+1) it right}]
[eqn: g(x)=e^{x} left{ a left(x^{2}-x+1 right) it right}]
[eqn: g(-1)=3 e]이므로 [eqn: a=e^{2}]
[eqn: g(x)=e^{x+2} left(x^{2}-x+1 right)]

따라서 [eqn: g(-6) times g(2)=43 e^{-4} times 3 e^{4}=129]

[eqn: g(x)=e^{x} f(x)]

이다. 양수 [eqn: k]에 대하여 집합 [eqn: left{ x `|` g(x)=k,`` x]는 실수[eqn: it right}]의 모든 원소의 합을 [eqn: h(k)]라 할 때, 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: h(k)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(k)]가 [eqn: k=t]에서 불연속인 [eqn: t]의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

(나) [eqn: lim _{k ``rarrow`` 3 e+} h(k)- lim _{k ``rarrow`` 3 e-} h(k)=2]

[eqn: g(-6) times g(2)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: lim _{x ``rarrow``- inf } x^{2} e^{x}=0])

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
03 그래프의 개형
06 그래프의 개형6 (정의된 함수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 29

[eqn: t> 2e]인 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: f(x) = t (ln x)^2 - x^2]이 [eqn: x= k]에서 극대일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)]라 하면 [eqn: g(t)]는 미분가능한 함수이다. [eqn: g(alpha) = e^2]인 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: alpha times left{` g '(alpha) `right} ^2 = q overp]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 17 }]

[해설]

[eqn: f(x) = t (ln x)^2 - x^2]이 [eqn: x= k]에서 극대일 때, 실수 [eqn: k]의 값을 [eqn: g(t)]이므로 [eqn: f``'(k)=0], 즉, [eqn: f '(g(t)) = 0]이 성립한다.

[eqn: f '(x) = {2t lnx } overx - 2x]에서

[eqn: f '(g(t))][eqn: ={2t ln g(t) } overg(t)} - 2 g(t) = 0]

[eqn: t ln g(t) - left{` g(t) `right} ^2 = 0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에 [eqn: t= alpha]를 대입하면

[eqn: alpha ln g(alpha) - left{` g(alpha) `right} ^2 = 0]

그런데 [eqn: g(alpha) = e^2]이므로 [eqn: alpha ln e^2 - ( e^2 ) ^2 = 0]

[eqn: 2alpha - e^4 = 0]

[eqn: THEREFORE ```` alpha = e^4 over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠의 양변을 [eqn: t]에 대하여 미분하면

[eqn: lng (t) + {t g '(t)} overg(t) - 2 g(t) g '(t) = 0]

[eqn: t =alpha]를 대입하면

[eqn: ln g(alpha) + {alpha g '(alpha) } over g(alpha) - 2 g (alpha) g '(alpha) = 0]

[eqn: ln e^2 + { e^4 over2 g '(alpha) } overe^2 - 2 e^2 g '(alpha) = 0]

[eqn: 2 + e^2 over2 g '(alpha) - 2 e^2 g '(alpha)= 0]

[eqn: THEREFORE ```` g '(alpha) = 4 over{ 3e^2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢에서 [eqn: alpha times left{` g '(alpha) `right} ^2 = e^4 over2 times left( 4 over3e^2 right)^2 = e^4 over2 times 16 over 9e^4 = 8 over9]

따라서 [eqn: p=9,````q=8]이므로 [eqn: p+q = 8+ 9 = 17]

06 미적	09 극대,극소와최대,최소
04 최대와 최소
04 Mm4 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 30

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2020^11^대수능고3가^5}}]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( sin ^{2} `pi`x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 29 }]

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( sin ^{2} `pi`x RIGHT )]에서 [eqn: h(x) =sin^2 pi x]라 하면

[eqn: h``'(x) = 2 sin pix cdot cos pi x cdot pi]이므로 [eqn: h``'(x) =0]인 값은

[eqn: sin pi x =0] 또는 [eqn: cos pi x =0]

따라서 [eqn: x = 0 ,````1over 2 ,````1,````3 over 2 ,````2 ,````cdots], 즉, [eqn: x = 0 ,````1over 2 ,````1,````3 over 2 ,````2 ,````cdots]에서 극점이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

[그림[eqn: 1]]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( sin ^{2} `pi`x RIGHT )]에서

[eqn: g``'(x)= f ``'(sin ^2 pi x ) cdot 2pi sin pi x cos pi x]

따라서 [eqn: 0<x<1]에서 [eqn: g``'(x)= 0]이 되는 값은

[eqn: f ``'(sin ^2 pi x ) =0] 또는 [eqn: cos pi x=0]

(가)조건에서 [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이므로 극소가 최소 [eqn: 2]개가 있어야 한다.

즉, [eqn: g``'(x) = 0]인 값이 최소 [eqn: 5]개 이상이어야 하므로 삼차하수 [eqn: f(x)]도 극점이 존재해야 한다.

극점을 [eqn: alpha, ````beta]라고 하면 [eqn: f``'(alpha)=0,````f``'(beta)=0]이므로 아래 그림과 같이 유추할 수 있다.

[그림[eqn: 2]]

따라서 [eqn: f ``'(sin ^2 pi x ) =0]을 만족하는 값은 [eqn: sin^2 pi x = alpha,````beta]을 만족하는 [eqn: x]의 값이므로 아래 그림과 같다.

[그림[eqn: 3]]

즉, [eqn: g``'(x)= 0]인 값은 [eqn: x= x_1 ,````x_2 ,```` 1over 2 ,````x_3 ,````x_4]이다.

[eqn: g(x)]의 그래프를 조건에 맞게 유추해보면 다음 그림과 같다.

따라서 위의 그래프에서 [eqn: g(0)= g(1)=0]에서

[eqn: f(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: g(x_1 )= g(x_4 ) = 1over 2]이므로 [그림[eqn: 3]]에서 [eqn: f(alpha) = 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[그림[eqn: 2]]에서 [eqn: f``'(alpha) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: g left( 1over 2 right)= 1over 2]이므로 [eqn: f(1) = 1 over 2]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡, ㉢, ㉣에서  최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x) - 1over 2 = (x-alpha)^2 (x-1)]

㉠을 대입하면 [eqn: - 1over 2 = - alpha^2]	[eqn: therefore][eqn: a= root2 over 2]

[eqn: therefore][eqn: f(x)][eqn: = left( x - root 2 over 2 right)^2 left( pile{ `#` } x-1 right) + 1over 2]

[eqn: therefore][eqn: f(2) = left(2- root2 over 2 right)^2 + 1over 2][eqn: =5- 2root2]

따라서 [eqn: a=5,````b=-2]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2}][eqn: =29]

(가) [eqn: 0<x<1]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 극대가 되는 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 3]이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2}]이고 최솟값은 [eqn: 0]이다.

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =a+b sqrt {2}]일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]와 [eqn: b`]는 유리수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 29

이차함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= left{` f(x)+2 `right} e^{f(x)}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

[eqn: g(x)= left{` f(x)+2 `right} e^{f(x)}]이므로

[eqn: g '(x)=f '(x) left{` f(x)+3 `right} e^f(x)]

[eqn: g '(x)=0]에서

[eqn: f '(x)=0] 또는 [eqn: f(x)+3=0]

[eqn: f(x)]가 이차함수이므로 조건 (가), (나)에 의해

[eqn: f '(a)=0], [eqn: f(a)=6]

[eqn: f(b)+3=0 ,```` f(b+6)+3=0]이어야 한다.

이차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수를 [eqn: p]라 하면 [eqn: f(b)+3=0 ,```` f(b+3)+3=0]이므로

[eqn: f(x)+3=p(x-b)(x-b-6)]

즉, [eqn: f(x)=p(x-b)(x-b-6)-3]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, [eqn: f '(a)=0]이므로 [eqn: {b+(b+6)}over2 =a]

[eqn: b=a-3]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: f(x)=p(x-a+3)(x-a-3)-3]이므로

[eqn: f(a)=it-9p-3=6]에서 [eqn: p=it-1]

방정식 [eqn: f(x)=0]에서

[eqn: -(x-a+3)(x-a-3)-3=0],

[eqn: (x-a)^2 -6=0]

[eqn: therefore][eqn: x=a+- root6]

따라서 [eqn: (alpha-beta)^2 = left{` (a+root6 )-(a-root6 ) `right} ^2 =24]

(가) [eqn: f(a)=6]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=a]에서 최댓값을 갖는다.

(나) [eqn: g(x)]는 [eqn: x=b], [eqn: x=b+6]에서 최솟값을 갖는다.

방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 두 실근을 [eqn: alpha ,```` beta]라 할 때, [eqn: (alpha-beta)^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a ,```` b]는 실수이다.)

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
03 방정식과 미분3 (동치변형)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 27

두 함수 [eqn: f(x)=e ^{x}], [eqn: g(x)=k sinx]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=g(x)]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 3]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: e^{x}=k sin x]에서 [eqn: {1} over {k} =e ^{-x} sinx][eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: h(x)=e^{-x} sin x]라 하면 [eqn: h `prime (x)=-e^{-x} sin x+e^{-x} cos x=e^{-x}( cos x- sin x)]

[eqn: h `prime (x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x={ pi} over {4}], [eqn: {5} over {4} pi], [eqn: {9} over {4} pi], [eqn: cdots] 또는 [eqn: x=-{3} over {4} pi], [eqn: -{7} over {4} pi], [eqn: cdots] 이므로 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -{3} over {4} pi]	[eqn: cdots]	[eqn: { pi} over {4}]	[eqn: cdots]	[eqn: {5} over {4} pi]	[eqn: cdots]	[eqn: {9} over {4} pi]	[eqn: cdots]	[eqn: {13} over {4} pi]	[eqn: cdots]
[eqn: h `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: searrow]	[eqn: -{e^{{3} over {4} pi}} over { sqrt{2}}]	[eqn: nearrow]	[eqn: {1} over { sqrt{2} e^{{ pi} over {4}}}]	[eqn: searrow]	[eqn: -{1} over { sqrt{2} e^{{5} over {4} pi}}]	[eqn: nearrow]	[eqn: {1} over { sqrt{2} e^{{9} over {4} pi}}]	[eqn: searrow]	[eqn: -{1} over { sqrt{2} e^{{13} over {4} pi}}]

이때 [eqn: h(0)=0]이므로 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 그림과 같다.

㉠의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: rm 3]이기 위해서는 그림과 같이 직선 [eqn: y={1} over {k}]이 곡선 [eqn: y=e^{-x} sin x]와 점 [eqn: left({9} over {4} pi,`` h left({9} over {4} pi right) right)]에서 접해야 한다.

따라서

[eqn: {1} over {k}={1} over { sqrt{2} e^{{9} over {4} pi}}] 이므로 [eqn: k= sqrt{2} e^{{9} over {4} pi}]

① [eqn: sqrt {2} e ^{{3pi} over {2}}]	② [eqn: sqrt {2} e ^{{7pi} over {4}}]	③ [eqn: sqrt {2} e ^{2pi}]

④ [eqn: sqrt {2} e ^{{9pi} over {4}}]	⑤ [eqn: sqrt {2} e ^{{5pi} over {2}}]

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
04 방정식과 미분4 (활용)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 20

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^10^서울고3가^5}}]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: x != -1]일 때, [eqn: f ``' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {n- LEFT ( n ^{2} -n RIGHT ) x ^{n}} over {LEFT ( x ^{n} +1 RIGHT ) ^{2}}]

ㄱ. [eqn: n=3]이면 [eqn: x< it -1]일 때, [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {3-6x ^{3}} over {LEFT ( x ^{3} +1 RIGHT ) ^{2}}][eqn: >0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,```` -1 RIGHT )]에서 증가한다.	(참)

ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= it -1]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x ``->`` -1} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( -1 RIGHT )]이 성립한다.
[eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: x ``->`` -1]이면 (분모)[eqn: ``->`` 0]이고 (분자)[eqn: ``->`` -n]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극한값이 존재하지 않는다.
[eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: lim _{x ``->`` -1} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {n} over {2}]이고 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =2]이므로 [eqn: n][eqn: =4]이다.
따라서 [eqn: n][eqn: =4]일 때만 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= it -1]에서 연속이므로
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {4-12x ^{4}} over {LEFT ( x ^{4} +1 RIGHT ) ^{2}}]이다.
[eqn: x<0]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0]이고, [eqn: x GEQ 0]일 때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {root {4} of {3}}]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]	[eqn: root {4} of {27}]	[eqn: SEARROW]

[eqn: 2< root {4} of {27}]이므로 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2]는 [eqn: x GEQ 0]에서만 서로 다른 두 실근을 갖는다.	(참)

ㄷ. [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x ^{n}][eqn: = {1} over {n-1}] ([eqn: n != 1])

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수일 때 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극솟값을 갖지 않는다.

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수일 때
[eqn: n=2]이면 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극솟값을 갖지 않고,
[eqn: n GEQ 4]이면 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: = it - {1} over {root {n} of {n-1}}]에서 극솟값을 갖는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구간 [eqn: LEFT ( -1 ,```` INF RIGHT )]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: 10]이하의 모든 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 4 ,```` 6 ,```` 8 ,```` 10]이므로 그 합은 [eqn: 28]이다.	(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{nx} over {x ^{n} +1} & & & LEFT ( x != it -1 RIGHT )# ``````` -2& & & LEFT ( x= it -1 RIGHT )]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: n=3]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT ( - INF ,```` -1 RIGHT )]에서 증가한다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=it-1]에서 연속이 되도록 하는 [eqn: n]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. 구간 [eqn: LEFT ( -1 ,```` INF RIGHT )]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 극솟값을 갖도록 하는 [eqn: 10]이하의 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 24]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
05 방정식과 미분5 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

두 함수

[정답] [eqn: bold6]

[해설]

[eqn: g(x)]는 극솟값 [eqn: g(0)=0], 극댓값 [eqn: g(4)= 16 overe^2]을 갖고, [eqn: lim _{x ``->`` INF } {g(x)=0}], [eqn: lim _{x ``->`` -INF } {g(x)=inf]가 된다.

(가) [eqn: h(0)=f(0)=b], [eqn: h(4)= f LEFT ( 16 overe^2 RIGHT ) = LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )^2 -a LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )+b]이고
[eqn: h(0)<h(4)]이므로 [eqn: b][eqn: < LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )^2 -a LEFT ( 16 overe^2 RIGHT )+b]
[eqn: 0<a< 16 overe^2][eqn: LEFT ( pile{ it#it }][eqn: because```` a>0 pile{ `#` }right)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(나)를 만족시키려면 [eqn: h(x)= f(g(x))]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

또, [eqn: f'(x)= 2x-a], [eqn: g'(x)= {1} over {2} x(4-x)e]이므로

[eqn: h'(x)][eqn: = g'(x)f'(g(x))]
[eqn: = {1} over {2} x(4-x)e ^{- {x} over {2}} LEFT { 2g(x)-a RIGHT }]

[eqn: g(x)= a over2], 즉 [eqn: alpha = a over 2][eqn: LEFT ( pile{ it#it }]㉠에서 [eqn: 0< a over2 < 8 over e^2][eqn: pile{ it#it } RIGHT )]에서 [eqn: h(x)]는 극솟값이 된다.

따라서 [eqn: -k=f LEFT ( {a} over {2} RIGHT )]이어야 하므로

[eqn: f(x)= LEFT ( x- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} +b- {a ^{2}} over {4}]에서 [eqn: b- {a ^{2}} over {4} =-k]

그런데 [eqn: f(0)= k][eqn: =b]이므로 [eqn: a^2 over4 = 2b], 즉 [eqn: b= a^2 over8]	[eqn: cdotscdots] ㉡

한편 [eqn: f(1)= 1-a+b][eqn: =1-a + a^2 over8][eqn: =it - 7 over32]이므로

[eqn: 4a^2 -32a+39=0], [eqn: (2a-13)(2a-3)=0]

㉠에서 [eqn: 0<a< 16 overe^2]이므로 [eqn: a= 3over2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉡에 대입하면 [eqn: b= 9 over32]

따라서 ㉡, ㉢에서 [eqn: a+ 16b][eqn: = 3over2 + 9over2 -= 6]

[eqn: {f(x)= x^2 -ax+b}{{from^2020^08^사관고3가^중}}] ([eqn: a>0]), [eqn: g(x)=x^2 e^{- x over2 }]

에 대하여 상수 [eqn: k]와 함수 [eqn: h(x)=(f CIRCg)(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: h(0)<h(4)]

(나) 방정식 [eqn: left |`` h(x)``right | =k]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 7]이고, 그 중 가장 큰 실근을 [eqn: alpha]라 할 때 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=alpha]에서 극소이다.

[eqn: f(1)=it- 7 over32]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+16b]의 값을 구하시오. [eqn: LEFT ( pile{ it#it }]단, [eqn: 5over2 <e<3]이고, [eqn: lim _{x ``->`` INF } {g(x)}=0]이다.[eqn: pile{ it#it } RIGHT )]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 28

최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]가

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 최고차항이 양수인 삼차함수이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축은 적어도 한 점에서 만난다.

조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x neq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이므로

[eqn: cases{x=1 일~때,``~ f(1)=0 #x neq 1 일~때,``~ f(x) neq 0}][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

한편,

[eqn: g(x)=cases{ ln |f(x)| && (f(x) neq 0) #1 && (f(x)=0)}]

이므로

[eqn: g `prime (x)={f `prime (x)} over {f(x)}(f(x) neq 0)]

이때, 조건 (나)에서 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]

에서 극값을 가지고 ㉠을 만족해야 하므로

[eqn: f` prime (2)=0~ CDOTS CDOTS]㉡

한편, 조건 [eqn: (]다)에서 주어진 방정식 [eqn: g(x)=0]은

[eqn: ~ ln |f(x)|=0]

[eqn: |f(x)|=1]

[eqn: f(x)=-1] 또는 [eqn: f(x)=1]

이때, 이 방정식이 서로 다른 세 실근을

갖고 ㉠을 만족하려면 함수 [eqn: y=f(x)]는

극값을 가져야 한다.

한편, ㉡으로부터 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극값을 가지므로

[eqn: f `prime ( alpha)=f `prime ( beta)=0 ~ (1< alpha< beta)]

로 놓을 수 있다.

이때, [eqn: alpha=2]이거나 [eqn: beta=2]이다.

이때, 조건 (다)를 만족시키는 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: g(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ)

(ⅱ)

이때, 조건 [eqn: (]나)로부터 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 극대이고 [eqn: |g(x)|]가 [eqn: x=2]에서 극소이기 위해서는 그림 ( i )과 같아야 하고 [eqn: alpha=2]

이때, 함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: f(x)-1={1} over {2}(x-2)^{2}(x-k)(k]는 상수 [eqn: )]

즉, [eqn: f(x)={1} over {2}(x-2)^{2}(x-k)+1]

이고 ㉠에서 [eqn: f(1)=0]이므로

[eqn: f(1)={1} over {2}(1-k)+1=0]

[eqn: 1-k=-2]

[eqn: k=3]

이때,

[eqn: f(x)={1} over {2}(x-2)^{2}(x-3)+1]

이므로

[eqn: f `prime (x)=(x-2)(x-3)+{1} over {2}(x-2)^{2}]

[eqn: ={1} over {2}(x-2) left{ (2 x-6)+(x-2) it right}]

[eqn: ~ ={1} over {2}(x-2)(3 x-8)]

이때, [eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x={8} over {3}]

그러므로 [eqn: beta={8} over {3}]

따라서 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x={8} over {3}]에서 극솟값을 갖고 그 값은

[eqn: ln left|f left({8} over {3} right) right|][eqn: = ln left|{1} over {2} times left({2} over {3} right)^{2} times left(-{1} over {3} right)+1 right|]
[eqn: = ln {25} over {27}]

[eqn: g(x)=cases{ ln |f(x)| && (f(x) neq 0) #1 && (f(x)=0)}]

이고 다음 조건을 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)]의 극솟값은?

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x neq 1]인 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=2]에서 극대이고,
함수 [eqn: |g(x)|]는 [eqn: x=2]에서 극소이다.

(다) 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

① [eqn: ln {13} over {27}]	② [eqn: ln {16} over {27}]	③ [eqn: ln {19} over {27}]

④ [eqn: ln {22} over {27}]	⑤ [eqn: ln {25} over {27}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 30

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]와 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )=e ^{sin` pi x} -1]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 합성함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )=g LEFT (f LEFT (x RIGHT ) RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 31]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: h(0)=g(f(0))=e^{ sin pi f left(0right)}-1=0]

[eqn: sin pi f left(0right)=0]

이므로 [eqn: f left(0right)`]은 정수이다.

또한, [eqn: g `prime (x)=e^{ sin pi x} times pi cos pi x], [eqn: h `prime (x)=g `prime (f(x)) times f `prime (x)]이므로

[eqn: h `prime (0)][eqn: =g `prime (f(0)) times f `prime (0)][eqn: =0]

에서    [eqn: g`prime left( f left(0right)right)=0] 또는 [eqn: f`prime left(0right)=0]

[eqn: g`prime left(f left(0right)right)=e^{sin`pi f left(0right)}times pi cos`pi f left(0right)=0`]에서 [eqn: f left(0right)`]이 정수이므로

[eqn: cos`pi f left(0right)ne0`]

따라서 [eqn: g`prime left( f left(0right)right)ne0]이므로    [eqn: f`prime left(0right)=0]

[eqn: f`prime left(0right)=f`prime left(3right)=0`]에서

[eqn: f`prime left(x right)=ax left(x-3right)`](단, [eqn: a`]는 양수)	[eqn: cdotscdots] ㉠

로 놓을 수 있다.

[eqn: h `prime (x)][eqn: =g `prime (f(x)) times f `prime (x)]
[eqn: =e^{ sin pi f left(x right)} times pi cos pi f left(x right) times f`prime left(x right)]

에서 함수 [eqn: h left(x right)`]가 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 가지기 위해서는 함수 [eqn: f`prime left(x right)`]가 [eqn: x=0`]의 좌우에서 부호가 양수에서 음수로 바뀌므로 [eqn: cos`pi f left(0right)>0`]을 만족해야 한다.

따라서 [eqn: f left(0right)`]의 값은 짝수이다.

㉠에서    [eqn: f left(x right)= a over3 x^3 - 3over2 ax^2 +c] (단, [eqn: c`]는 짝수)

조건 (나)에서

[eqn: e^{sin`pi f left(x right)}-1=1`], [eqn: e^{sin`pi f left(x right)}=2]

따라서 열린구간 [eqn: left(0,``3right)`]에서 방정식 [eqn: sin`pi f left(x right)=ln`2]을 만족하는 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 7`]이어야 한다.

열린구간 [eqn: left(0,``3right)`]에서 함수 [eqn: f left(x right)`]는 [eqn: 1over2 <f left(x right)<c`]를 만족하면서 감소하므로 방정식 [eqn: sin`pi f left(x right)=ln`2]의 실근의 개수가 [eqn: 7`]이 되는 [eqn: c`]의 값은 [eqn: 7] 또는 [eqn: 8`]이 가능하지만, [eqn: c`]는 짝수이므로

[eqn: c=8]

[eqn: f left(x right)= a over3 x^3 - 3over2 ax^2 +8`]에서 [eqn: f left(3right)= 1over2 `]이므로

[eqn: f left(3right)=9a- 27over2 a+8= 1over2],    [eqn: a= 5over3]

따라서 [eqn: f left(x right)= 5over9 x^3 - 5over2 x^2 +8`]이므로

[eqn: f left(2right)= 22over9]

[eqn: p=9], [eqn: q=22`]이므로    [eqn: p+q=31]

(가) 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: rm 0]을 갖는다.

(나) 열린구간 [eqn: LEFT (0,`` 3 RIGHT )]에서 방정식 [eqn: h LEFT (x RIGHT )=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 7]이다.

[eqn: f LEFT (3 RIGHT )= {1} over {2}], [eqn: f `prime LEFT (3 RIGHT )=0]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
01 방정식과 미분
06 방정식과 미분6 (실근 또는 교점의 개수로 정의된 함수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 30

두 양수 [eqn: a], [eqn: b][eqn: LEFT ( b <1 RIGHT ) `]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) `]를

[정답] [eqn: 5`]

[해설]

그림과 같이 [eqn: y = alphax]가 원점에서 [eqn: y = - x^2 + ax]에 접하고

점 [eqn: (b,`` f(b))]에서 [eqn: y = ln(x+b) overx]에 졉할 때,

[eqn: lim_{m -> alpha-} g(m) = 3], [eqn: lim_{m-> alpha+} g(m) = 2]이므로

주어진 조건을 만족한다.

[eqn: y = - x^2 + ax]에서 [eqn: y``' = - 2x + a]

[eqn: y = ln(x+b) overx]에서 [eqn: y``' = { x - (x+b) ln (x+b)} over{ x^2 (x+b)]

[eqn: a][eqn: = ln(2b) overb^2 = { { b - 2b ln(2b)} over{ 2b^3]

이것을 풀면 [eqn: ln(2b) = 1 over4]이므로 [eqn: ab^2 = 1 over4],

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 4+1 = 5]

[eqn: f(x) = cases{`-x^2 +ax~~& LEFT ( x le 0 RIGHT )#`{ln`(x+b)}over x ~~~~& LEFT ( x >0 RIGHT )}`]

이라 하자. 양수 [eqn: m `]에 대하여 직선 [eqn: y = mx `]와 함수 [eqn: y =f LEFT (x RIGHT ) `]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: g LEFT (m RIGHT ) `]이라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT (m RIGHT ) `]은 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: lim_{m`->`alpha-} g LEFT (m RIGHT ) - lim_{m`->`alpha+} g LEFT (m RIGHT ) = 1 `]을 만족시키는 양수 [eqn: alpha `]가 오직 하나 존재하고, 이 [eqn: alpha `]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( b,`` f LEFT (b RIGHT ) RIGHT ) `]는 직선 [eqn: y = alpha x `]와 곡선 [eqn: y =f LEFT (x RIGHT ) `]의 교점이다.

[eqn: ab^2 = q over p `]일 때, [eqn: p +q `]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이고, [eqn: lim_{{x `->` inf }} f LEFT (x RIGHT ) = 0 `]이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 30

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: f(x)={x^{2}-a x} over {e^{x}}= left(x^{2}-a x right) e^{-x}]

이므로

[eqn: f `prime (x)=(2 x-a) e^{-x}+ left(x^{2}-a x right) e^{-x} times(-1)]

[eqn: ~ =e^{-x} left{ -x^{2}+(a+2) x-a it right}]

[eqn: ~ =-e^{-x} left{ x^{2}-(a+2) x+a it right}]

이때, [eqn: f ' LEFT (x RIGHT )=0]에서

[eqn: x^2 - LEFT ( a+2 RIGHT )x+a=0][eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D][eqn: =LEFT ( a+2 RIGHT )^2 -4a][eqn: =a^2 +4 >0]

또, ㉠의 서로 다른 두 근은

[eqn: x= {(a+2) +- sqrt {a ^{2} +4}} over {2} CDOTS CDOTS]㉡

이때, [eqn: a>0]이므로

[eqn: a+2= sqrt{(a+2)^{2}}> sqrt{a^{2}+4}]

그러므로 두 양의 실근을 갖는다.

㉡의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta(0< alpha< beta)]라 하면

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 나타내는 표는 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha]	[eqn: cdots]	[eqn: beta]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: searrow]		[eqn: nearrow]		[eqn: searrow]

이때,

[eqn: f(0)=0], [eqn: f(a)=0]

이고

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } f(x)= lim _{x ``rarrow`` inf } {x^{2}-a x} over {e^{x}}=0]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은

다음과 같다.

또,

[eqn: f `prime prime (x)=e^{-x} left{ x^{2}-(a+2) x+a it right}][eqn: ~ -e^{-x} left{ 2 x-(a+2) it right}]

[eqn: =e^{-x} left{ x^{2}-(a+4) x+2 a+2 it right}]

이때, [eqn: f `prime prime (x)=0]에서

[eqn: x^{2}-(a+4) x+2 a+2=0][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

이 이차방정식의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D][eqn: =(a+4)^{2}-4 times 1 times(2 a+2)]
[eqn: =a^{2}+8>0]

그러므로 함수 [eqn: f(x)]가 변곡점을 갖는 [eqn: x]

의 값의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

한편, 방정식

[eqn: f(x)=f `prime (t)(x-t)+f(t)]

의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=f `prime (t)(x-t)+f(t)]

의 그래프의 교점의 개수이다.

이때, 직선 [eqn: y=f `prime (t)(x-t)+f(t)]는 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (t,`` f(t))]에서의 접선이다

한편, 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 연속이면 [eqn: g(a)= lim _{t rarrow a} {} g(t)]이므로

[eqn: g(a)+ {lim _{t rarrow 5} {}} g(t)]의 값은 짝수이어야 한다.

그런데

[eqn: g(5)+ lim _{t ``rarrow`` 5} g(t)=5 ~ cdots CDOTS]㉢

이므로 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=5]에서 불연속이다.

함수 [eqn: g(t)]가 불연속이 되는 [eqn: t]의 값은 함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖는 [eqn: x]의 값이거나 변곡점을 갖는 [eqn: x]의 값이다.

한편, 함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖는 [eqn: x]의 값을 [eqn: m]이라 하면 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=m]에서 극한값을 갖지 않는다.

또, 함수 [eqn: f(x)]가 변곡점을 갖는 [eqn: x]의 값을 [eqn: n]이라 하면 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=n]에서 극한값을 갖는다.

그러므로 ㉢을 만족시키는 [eqn: t]의 값은 함수 [eqn: f(x)]가 변곡점을 갖는 [eqn: x]의 값 중 큰 값이다.

즉, 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=5]에서 변곡점을 갖고 이때

[eqn: lim _{t ``rarrow`` 5} g(t)=3], [eqn: g(5)=2]

이므로 조건을 만족시킨다.

따라서, [eqn: x=5]가 방정식 ㉡의 근이므로

대입하면

[eqn: 5^{2}-(a+4) times 5+2 a+2=0]

[eqn: -3 a+7=0]

[eqn: a= {7} over {3} CDOTS CDOTS]㉢

한편,

[eqn: lim _{t ``rarrow`` k-} g(t) neq lim _{t ``rarrow`` k+} g(t)]

를 만족시키는 [eqn: k]의 값은 함수 [eqn: f(x)]가 극

값을 갖는 [eqn: x]의 값이다.

㉠에 ㉢을 대입하면

[eqn: x^{2}- left({7} over {3}+2 right) x+{7} over {3}=0]

[eqn: x^{2}-{13} over {3} x+{7} over {3}=0]

따라서, 구하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 근과 계수의 관계를 이용하면 [eqn: {13} over {3}]이므로

[eqn: p+q=3+13=16]

[eqn: f(x)={x^{2}-a x} over {e^{x}}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[eqn: f(x)=f `prime (t)(x-t)+f(t)]

의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자.

[eqn: g(5)+ lim _{t ``rarrow`` 5} g(t)=5]일 때, [eqn: lim _{t ``rarrow`` k-} g(t) neq lim _{t ``rarrow`` k+} g(t)]를 만족시키는

모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
02 부등식과 미분
04 부등식과 미분4 (활용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 30

다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: {a}{{from^2020^평가원가^3}}], [eqn: b]에 대하여 [eqn: ab]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

[정답] [eqn: bold { 43 }]

[해설]

[eqn: y=e ^{x-2}]와 [eqn: y=it-e ^{-x+1}]의 그래프는 다음과 같다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: -e ^{-x+1} LEQ ax+b LEQ e ^{x-2}]

이 성립하려면 직선 [eqn: y=ax+b]가 두 그래프의 사이에 있으면 된다.

즉, [eqn: a GEQ 0]

그래프 [eqn: y=e^x-2] 위의 점 [eqn: (t ,```` e^t-2 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=e^t-2 (x-t)+e^t-2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

그래프 [eqn: y=-e^-x+1]위의 점 [eqn: (s ,```` -e^-s+1 )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=e^-s+1 (x-s)-e^-s+1]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이때, 그래프 [eqn: y=e^x-2]와 그래프 [eqn: y=-e^-x+1]에 동시에 접하는 접선의 방정식을 구하면 ㉠, ㉡이 일치할 때이다.

즉, [eqn: e^t-2 (x-t)+e^t-2 =e^-s+1 (x-s)-e^-s+1]

[eqn: t-2=-s+1]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: (-t+1)e^t-2 =(-s-1)e^-s+1]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉢, ㉣을 연립하면 [eqn: t= 5over2], [eqn: s= 1over2]

위의 그래프에서 조건을 만족하려면

[eqn: t le 5over2], [eqn: s ge 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉤

(ⅰ) 그래프 [eqn: y=e^x-2]위의 점 [eqn: (t ,```` e^t-2 )]에서의 접선의 방정식 [eqn: y=e^t-2 (x-t)+e^t-2]에서
[eqn: a=e^t-2], [eqn: b=(-t+1)e^t-2]
따라서 [eqn: ab=f(t)=e^2t-4 (-t+1)]
그런데 ㉤에서 [eqn: t le 5over2]을 만족하므로
[eqn: f(t)=e^2t-4 (-t+1)][eqn: pile{ `#` } right(]단, [eqn: t le 5over2 right)]
[eqn: f '(t)=e^2t-4 (-2t+1)]이고 [eqn: f``'(t)=0]에서 [eqn: t = 1 over 2]이므로 그래프 개형을 그리면 다음과 같다.

이때 [eqn: ab]의 최댓값은 [eqn: t= 1 over2]일 때, [eqn: f left({1}over{2} right)= 1over2 e^-3]

(ⅱ) 그래프 [eqn: y=-e^-x+1]위의 점 [eqn: (s ,```` -e^-s+1 )]에서의 접선의 방정식 [eqn: y=e^-s+1 (x-s)-e^-s+1]에서
[eqn: a=e^-s+1], [eqn: b=e^-s+1 (-s-1)]
따라서 [eqn: ab=g(s)=e^-2s+2 (-s-1)]
그런데 ㉤에서 [eqn: s ge 1over2]을 만족하므로
[eqn: g(s)=e^-2s+2 (-s-1)][eqn: pile{ `#` } right(]단, [eqn: s ge 1over2 right)]
[eqn: g'(s)=e^-2s+2 (2s+1)]이고 [eqn: g``'(s) =0]에서 [eqn: s = - 1 over 2]이므로 그래프 개형을 그리면 다음과 같다.

이때, [eqn: ab]의 최솟값은 [eqn: s= 1over2]일 때, [eqn: g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =- {3} over {2} e]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: M= 1over2 e^-3], [eqn: m=- {3} over {2} e]이므로

[eqn: │M TIMES m^3 │= {27} over {16}]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: -e ^{-x+1} LEQ ax+b LEQ e ^{x-2}]

이 성립한다.

[eqn: left |`` M{times}m ^{3} ``right | = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 30

최고차항의 계수가 [eqn: -2`]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 두 실수 [eqn: a `` LEFT ( a >0 RIGHT )], [eqn: b`]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 4]

[해설]

조건 (가)의 [eqn: lim _{ x`->`0-} { g LEFT ( x RIGHT ) } =2`]에서

[eqn: lim_{x`->`0-}{f left(x+1right)}overx =2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: lim_{x`->`0-}f left(x+1right)=0]에서 [eqn: f left(1right)=0]

[eqn: f left(x right)=it-2left(x-1right)left(x-alpha right)]라 하면 ㉠에서

[eqn: lim_{x`->`0-}{-2x left(x+1-alpha right)}overx =it-2left(1-alpha)=2], [eqn: alpha=2]

[eqn: therefore][eqn: f left(x right)=it-2left(x-1right)left(x-2right)], [eqn: f`prime left(x right)=it-4x+6]

[eqn: x>0]일 때, [eqn: g `prime left(x right)=f`prime left(x right)e^{x-a}+f left(x right)e^x-a]이므로

[eqn: g`prime left(a right)=f`prime left(a right)+f left(a right)]

조건 (가)에서 [eqn: g`prime left( a right)=it-2]이므로

[eqn: f`prime left(a right)+f left(a right)=it-2a^2 +2a+2=it-2]

[eqn: a^2 -a-2=0], [eqn: left(a+1right)left(a-2right)=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: therefore][eqn: g left(x right)=cases{-2x+2&left(x<0right)#-2left(x-1right)left(x-2right)e^x-2 +b~&left(x ge0right)]

[eqn: h left(x right)=it-2left(x-1right)left(x-2right)e^x-2]이라 하면

[eqn: h`prime left(x right)][eqn: =it-2left(2x-3right)e^x-2 -2left(x-1right)left(x-2right)e^x-2]
[eqn: =it-2left(x^2 -x-1right)e^x-2]

함수 [eqn: h left(x right)]는 [eqn: 2]개의 극값을 가지므로 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]의 그래프는 함수 [eqn: h left(x right)]의 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프이다.

조건 (나)에서 [eqn: g left(t right)-g left(s right)}overt-s]는 두 점 [eqn: left(s,``g left(s right)right)], [eqn: left(t,``g left(t right)right)]을 지나는 직선의 기울기를 의미한다.

[eqn: x<0]일 때 함수 [eqn: g left(x right)=it-2x-2]이므로 조건 (나)의 부등식을 만족하기 위해서는 다음 그림과 같이 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]가 [eqn: y=it-2x-2]와 접하거나 아래쪽에 존재해야 한다.

따라서 [eqn: b]가 최대일 때는 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]가 [eqn: y=it-2x-2]와 접할 때이다. 이때, 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta``left(beta>0right)]라 하면

[eqn: g left(beta right)=it-2beta+2], [eqn: g`prime left(beta right)=it-2]

[eqn: x >0]에서 [eqn: g`prime left(x right)=it-2left(x^2 -x-1right)e^x-2]이므로 [eqn: g`prime left(beta right)=it-2]에서

[eqn: -2left(beta^2 -beta-1right)e^{beta-2}=it-2], [eqn: left(beta^2 -beta-1right)e^{beta-2}=1]

[eqn: therefore][eqn: beta=2] ([eqn: because][eqn: left(beta^2 -beta-1right)e^{beta-2}=1]에서 [eqn: beta^2 -beta-1=e^{2-beta}]이고, 두 함수 [eqn: y=x^2 -x-1]과 [eqn: y=e^2-x]의 그래프는 [eqn: x>0]에서 한 점에서만 만나므로 [eqn: beta=2]가 유일한 해임을 알 수 있다.)

[eqn: g left(beta right)=it-2beta+2]에서 [eqn: g left(2right)=it-2]이므로

[eqn: g left(2right)=b=it-2]

따라서 [eqn: x ge0]에서 함수 [eqn: g left(x right)]가 [eqn: y=it-2x-2]와 접할 때의 [eqn: b]의 값은 [eqn: -2]이다.

이상에서 [eqn: a=2], [eqn: b]의 최댓값은 [eqn: -2]이므로 [eqn: a-b]의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =cases{`` {f LEFT ( x +1 RIGHT )} over x ~& LEFT ( x <0 RIGHT )# `` f LEFT ( x RIGHT ) e^{x-a} +b ~& LEFT ( x ge 0 RIGHT )}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{ x`->`0-} { g LEFT ( x RIGHT ) } =2`]이고 [eqn: g`' LEFT ( a RIGHT ) =it -2`]이다.

(나) [eqn: s< 0 le t`]이면 [eqn: {g LEFT ( t RIGHT ) -g LEFT ( s RIGHT )} over {t-s} le -2`]이다.

[eqn: a-b`]의 최솟값을 구하시오.

06 미적	10 방부등식에의 활용과 평면운동
03 속도와 가속도
03 평면 운동2 (속도, 가속도의 크기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 25

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: {rm P}{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t>0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: LEFT ( it x ,```` y RIGHT )]가

[정답] [eqn: bold{13}]

[해설]

시각 [eqn: t]에서의 속도는 [eqn: left( dx over dt ,```` dy over dt right) = left( 3 + 2 sin pi t ,```` 6over t - 2 cos pi t right)]이므로

따라서 시각 [eqn: t = 1over2]에서의 속력은

[eqn: root{ (3+2)^2 +(12-0)^2 } =13]

[eqn: x=3t- {2} over {pi } rm cos it pi t], [eqn: y=6ln t- {2} over {pi } rm sin it pi t]

이다. 시각 [eqn: t= {1} over {2}]에서 점 [eqn: rm P]의 속력을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 25

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]([eqn: t>2])에서의 위치 [eqn: LEFT ( x,~y RIGHT )]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: {dx} over {dt}][eqn: =ln`t+1], [eqn: {dy} over {dt}][eqn: = {4`ln`t-4} over {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}}]이므로

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 속력은

[eqn: sqrt {LEFT ( {dx} over {dt} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {dt} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {LEFT ( ln`t+1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { {4`ln`t-4} over {LEFT ( ln`t RIGHT ) ^{2}} RIGHT } ^{2}}]

따라서 시각 [eqn: t][eqn: =e ^{2}]에서 점 [eqn: rmP]의 속력은

[eqn: sqrt {LEFT ( ln`e ^{2} +1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { {4ln`e ^{2} -4} over {LEFT ( ln`e ^{2} RIGHT ) ^{2}} RIGHT }}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]

[eqn: x][eqn: =t`ln`t], [eqn: y][eqn: = {4t} over {ln`t}]

이다. 시각 [eqn: t][eqn: =e ^{2}]에서 점 [eqn: rmP]의 속력은?

① [eqn: sqrt {7}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: sqrt {10}]	⑤ [eqn: sqrt {11}]

[미적] [02미분전체] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
미적 3개년	2022.12.29

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 5]

[정답] ③

[정답] [eqn: 18]

[정답] [eqn: 18]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: 120]

[정답] [eqn: 60]

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 23]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 11]

[정답] ②

[정답] [eqn: 49]

[정답] ④

[정답] [eqn: 50]

[정답] [eqn: 20]

[정답] [eqn: 4]

[정답] [eqn: 135]

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 3 }]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 2 }]

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[정답] [eqn: bold { 331 }]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 4]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 10]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 72 }]

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: rm 3]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold64]

[정답] [eqn: 129]

[정답] [eqn: bold { 17 }]

[정답] [eqn: bold { 29 }]

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold6]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 31]

[정답] [eqn: 5`]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: bold { 43 }]

[정답] [eqn: 4]

[정답] [eqn: bold{13}]

[정답] ④

[미적] [02미분전체] 교사평경 최근 3개년(해설)
미적 3개년	2022.12.29