		확통 3개년	2022.12.29
교사평경3	04	[확통] [04통계] 교사평경 최근 3개년

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
02 평균1 (표)

교사평경3		확통 3개년
04		[확통] [04통계] 교사평경 최근 3개년

	확통 3개년		교사평경3
	[확통] [04통계] 교사평경 최근 3개년		04

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 25

확률변수 [eqn: {X}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ②

[해설]

주어진 확률분포표에서 [eqn: a+ {1} over {2} a+ {3} over {2} a][eqn: =3a][eqn: =1]

[eqn: therefore][eqn: a][eqn: = {1} over {3}]

따라서 [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = LEFT ( it -1 RIGHT ) TIMES a + TIMES {1} over {2} a+1 TIMES {3} over {2} a][eqn: = {1} over {2} a][eqn: = {1} over {6}]

[eqn: X]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	합계
[eqn: rmP(it X=x)]	[eqn: a]	[eqn: {1} over {2} a]	[eqn: {3} over {2} a]	[eqn: 1]

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
04 평균3 (확률분포 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

주머니에 [eqn: {1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 2 ,```` 3}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]의 숫자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 두 수의 차를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )]의 값은?

[정답] ①

[해설]

주머니에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적힌 두 수의 차를 확률변수 [eqn: X]라 하므로

(ⅰ) [eqn: X=0]일 때. 둘 다 [eqn: 1]이거나 [eqn: 2]인 경우이므로

[eqn: {rm P} LEFT ( X=0 RIGHT ) = {{rm{} _{3} C _{2} + _{2} C _{2}} over {{rm` _{6} C _{2}} }= {4} over {15}]

(ⅱ) [eqn: X=1]일 때, [eqn: 1]과 [eqn: 2] 또는 [eqn: 2]와 [eqn: 3]인 경우이므로

[eqn: {rmP} LEFT ( X=1 RIGHT ) = {3 TIMES 2+2 TIMES 1} over {{} _{6} {rmC} _{2}} = {8} over {15}]

(ⅲ) [eqn: X=2]일 때, [eqn: 1]과 [eqn: 3]인 경우이므로

[eqn: {rmP} LEFT ( X=2 RIGHT ) = {3 TIMES 1} over {{} _{6} {rmC} _{2}} = {3} over {15}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X``]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	계
[eqn: rm P it (X=x)``]	[eqn: 4 over 15]	[eqn: 8over 15]	[eqn: 3 over 15]	[eqn: 1]

따라서 평균 [eqn: rmE (it X)]는

[eqn: {rmE} LEFT ( X RIGHT ) =0 TIMES {4} over {15} +1 TIMES {8} over {15} +2 TIMES {3} over {15} = {14} over {15}]

① [eqn: {14} over {15}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {16} over {15}]

④ [eqn: {17} over {15}]	⑤ [eqn: {6} over {5}]

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
05 표준편차1 (표)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 29

두 이산확률변수 [eqn: {X}{{from^2021^09^평가원^중}}], [eqn: Y]의 확률분포를 표로 나타내면 각각 다음과 같다.

[정답] [eqn: bold { 78 }]

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 갖는 값이 [eqn: X=5]에 대하여 확률분포가 대칭이므로

[eqn: {rmE LEFT ( itX RIGHT )=5]

또 [eqn: {rmV} LEFT ( itX RIGHT )= { 31} over { 5}]이므로 [eqn: {rmE} LEFT ( itX^2 RIGHT )- LEFT { {rmE} LEFT ( itX RIGHT ) RIGHT }^2 = { 31} over { 5}]에서

[eqn: {rmE} LEFT ( itX^2 RIGHT )=25+ { 31} over { 5}]

이때,

[eqn: {rmE} LEFT ( itX^2 RIGHT )][eqn: =1^2 TIMESa +3^2 TIMESb +5^2 TIMESc + 7^2 TIMESb + 9^2 TIMESa]
[eqn: =82a + 58b+25c]

이므로 [eqn: 82a+58b+25c=25+ { 31} over { 5}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

한편, 확률변수 [eqn: Y]가 갖는 값이 [eqn: Y=5]에 대하여 확률분포가 대칭이므로 [eqn: {rmE} LEFT ( itY RIGHT )=5]이고,

[eqn: {rmE} LEFT ( itY^2 RIGHT )][eqn: =1^2 TIMES LEFT ( a+ { 1} over {20 } RIGHT )+3^2 TIMESb +5^2 TIMES LEFT ( c- { 1} over {10 } RIGHT )]
[eqn: +7^2 TIMESb + 9^2 TIMES LEFT ( a+ { 1} over {20 } RIGHT )]
[eqn: =82a+58b+25c+ { 1} over { 20}- { 5} over { 2}+ { 81} over { 20}]
[eqn: =82a+58b+25c+ { 8} over { 5}]

㉠에서 [eqn: {rmE} LEFT ( itY^2 RIGHT )][eqn: =25+ { 31} over { 5}+ { 8} over { 5}][eqn: =25+ { 39} over { 5}]

따라서 [eqn: {rmV} LEFT ( itY RIGHT )][eqn: ={rmE} LEFT ( itY^2 RIGHT )- LEFT { {rmE} LEFT ( itY RIGHT ) RIGHT }^2][eqn: =25+ { 39} over { 5}-5^2][eqn: ={ 39} over { 5}]이므로

[eqn: 10 TIMES {rmV} LEFT ( itY RIGHT )=10 TIMES { 39} over { 5}=78]

[eqn: X``]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 9]	합계
[eqn: rm P it (X=x)``]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: b]	[eqn: a]	[eqn: 1]

[eqn: Y]	[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 7]	[eqn: 9]	계
[eqn: rm P( it Y=y)]	[eqn: a+{1}over{20}]	[eqn: b]	[eqn: c-{1}over{10}]	[eqn: b]	[eqn: a+{1}over{20}]	[eqn: 1]

[eqn: rmV(itX)= {31} over {5}]일 때, [eqn: 10 TIMES rmV(itY)]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 27

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {rm{E}} it (X)=0 times {1} over {10}+1 times {1} over {2}+a times {2} over {5}={4 a+5} over {10}]

[eqn: sigma(X)={rm{E}} it (X)]의 조건에서 양변을 제곱하면 [eqn: {rm{V}} it (X)= left{ {rm{E}} it (X) it right} ^{2}]

한편, [eqn: {rm{V}} it (X)={rm{E}} it left(X^{2} right)- left{ {rm{E}} it (X) it right} ^{2}]이므로

[eqn: left{ {rm{E}} it (X) it right} ^{2}={rm{E}} it left(X^{2} right)- left{ {rm{E}} it (X) it right} ^{2}]

이를 정리하면 [eqn: 2 left{ {rm{E}} it (X) it right} ^{2}={rm{E}} it left(X^{2} right)]이다.

[eqn: {rm{E}} it left(X^{2} right)=0^{2} times {1} over {10}+1^{2} times {1} over {2}+a^{2} times {2} over {5}={4 a^{2}+5} over {10}]

[eqn: 2 left{ {rm{E}} it (X) it right} ^{2}={rm{E}} it left(X^{2} right)]의 식에 각각 대입하면

[eqn: {4 a^{2}+5} over {10}=2 times left({4 a+5} over {10} right)^{2}]

[eqn: {4 a^{2}+5} over {10}=2 times {16 a^{2}+40 a+25} over {100}]

[eqn: 20 a^{2}+25=16 a^{2}+40 a+25]

[eqn: a=10 ~ (a>0)]

[eqn: {rm{E}} it left(X^{2} right)={405} over {10}], [eqn: {rm{E}} it (X)={45} over {10}]

[eqn: therefore~{rm{E}} it left(X^{2} right)+{rm{E}} it (X)={405} over {10}+{45} over {10}=45]

[eqn: X]	[eqn: rm 0]	[eqn: rm 1]	[eqn: a]	합계
[eqn: {rm{P}} it (X=x)]	[eqn: {1} over {10}]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {2} over {5}]	[eqn: rm 1]

[eqn: sigma(X)={rm{E}} it (X)]일 때, [eqn: {rm{E}} it left(X^{2} right)+{rm{E}} it (X)]의 값은? (단, [eqn: a>1])

① [eqn: rm 29]	② [eqn: rm 33]	③ [eqn: rm 37]

④ [eqn: rm 41]	⑤ [eqn: rm 45]

05 확통	07 이산확률분포
02 이산확률변수의 평균과 표준편차
08 평균과 표준편차 (빈 칸 넣기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 16
[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 16

한 개의 주사위를 세 번 던질 때 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: {a }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}], [eqn: b], [eqn: c]라 하자. [eqn: a+b+c]의 값을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, 다음은 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )]를 구하는 과정이다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: 1lea le 6]이면 [eqn: 1le 7-a le 6]

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 각각 [eqn: 6] 이하의 자연수이므로 [eqn: 7-a], [eqn: 7-b], [eqn: 7-c]는 각각 [eqn: 6] 이하의 자연수이다.

[eqn: 3le k le 18]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a+b+c=k]를 만족시키는 [eqn: 6] 이하의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a ,```` b ,```` c)]의 개수는

[eqn: (7-a)+(7-b)+(7-c)=k]

즉, [eqn: a+b+c=3times7-k]를 만족시키는 [eqn: 6] 이하의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: (a ,```` b ,```` c)]의 개수와 같다.

그러므로 [eqn: 3le k le 18]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a+b+c=k]일 확률 [eqn: {rmP}(X=k)]와 [eqn: (7-a)+(7-b)+(7-c)=k]일 확률 [eqn: {rmP}(X=3timesbox{ ```` 7 ```` }-k)]는 서로 같다.

즉, [eqn: {rmP}(X=3)={rmP}(X=18)]
[eqn: {rmP}(X=4)={rmP}(X=17)]
[eqn: {rmP}(X=5)={rmP}(X=16)]
[eqn: vdots]
[eqn: {rmP}(X=10)={rmP}(X=11)]

그러므로 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: {rmE}(X)]는

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =sum _{ k=3} ^{18 } left{` k times{rmP}(X=k) `right}]
[eqn: =3times{rmP}(X=3)+4times{rmP}(X=4)+5times{rmP}(X=5)]
[eqn: +cdots+17times{rmP}(X=17)+18times{rmP}(X=18)]
[eqn: =(3+18)times{rmP}(X=3)+(4+17)times{rmP}(X=4)]
[eqn: +cdots+(10+11)times{rmP}(X=10)]
[eqn: =box{ ```` 21 ```` }times sum _{ k=3} ^{10 }{rmP}(X=k)]

이때, 확률질량함수의 성질에 의하여 [eqn: sum _{ k=3} ^{18 }{rmP}(X=k)=1]이고, [eqn: sum _{ k=3} ^{10 }{rmP}(X=k)= sum _{ k=11} ^{18 }{rmP}(X=k)]이므로 [eqn: sum _{ k=3} ^{10 }{rmP}(X=k)=box{ ```` {1}over{2} ```` }]이다.

[eqn: {rmE}(X)=box{ ```` 21 ```` }timesbox{ ```` {1}over{2} ```` }]

[eqn: p=7], [eqn: q=21], [eqn: r={1}over{2}]

따라서 [eqn: {p+q}over{r}=2times(7times21)=56]

[eqn: 3 LEQ a+b+c LEQ 18]이므로 확률변수 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: CDOTS], [eqn: 18]이다.

[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 각각 [eqn: 6] 이하의 자연수이므로 [eqn: 7-a], [eqn: 7- b], [eqn: 7-c]는 각각 [eqn: 6] 이하의 자연수이다.

[eqn: 3 LEQ k LEQ 18]인 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a+b+c=k]일 확률 [eqn: rm P LEFT ( it X =k RIGHT )]와 [eqn: LEFT ( 7-a RIGHT ) + LEFT ( 7-b RIGHT ) + LEFT ( 7-c RIGHT ) =k]일 확률 [eqn: rm P LEFT ( it X =3 TIMES][eqn: box{ ```` (가) ```` }][eqn: LEFT. -k RIGHT )]는 서로 같다.

그러므로 확률변수 [eqn: X]의 평균 [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )]는

[eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )][eqn: = sum _{k=3} ^{18} LEFT { k TIMES rm P LEFT ( it X =k RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =3 TIMES rm P LEFT ( it X =3 RIGHT ) + 4 TIMES rm P LEFT ( it X =4 RIGHT ) + 5 TIMES rm P LEFT ( it X =5 RIGHT )]
[eqn: + CDOTS + 17 TIMES rm P LEFT ( it X =17 RIGHT ) + 18 rm TIMES P LEFT ( it X =18 RIGHT )]
[eqn: =][eqn: box{ ```` (나) ```` }][eqn: TIMES sum _{k=3} ^{10} rm P it LEFT ( it X =k RIGHT )]

이때, 확률질량함수의 성질에 의하여 [eqn: sum _{k=3} ^{18} rm P it LEFT ( it X =k RIGHT ) =1]이므로

[eqn: sum _{k=3} ^{10} rm P it LEFT ( it X =k RIGHT ) =][eqn: box{ ```` (다) ```` }] 이다.

따라서 [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT ) =][eqn: box{ ```` (나) ```` }][eqn: times box{ ```` (다) ```` }]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: {p+q} over {r}]의 값은?

① [eqn: 49]	② [eqn: {105} over {2}]	③ [eqn: 56]

④ [eqn: {119} over {2}]	⑤ [eqn: 63]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
02 aX+b의 평균2 (표)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 24

이산확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ③

[해설]

확률의 총합이 [eqn: 1]이므로

[eqn: a+ a over2 + a over3 =1], [eqn: 11over6 a=1]	[eqn: therefore][eqn: a= 6over11]

[eqn: rmE left(itX right)][eqn: =1timesa+ 2times a over2 + 3times a over3 =3a= 18over11]이므로

[eqn: rmE left(it11X+2right)][eqn: =11rmE left(itX right)+2=20]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	합계
[eqn: rm P(itX= it x )]	[eqn: a]	[eqn: a over 2]	[eqn: a over3]	[eqn: 1]

[eqn: rmE it( 11X+2 ) `]의 값은?

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
04 aX+b의 평균4 (확률분포 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 29

그림과 같이 [eqn: {8}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]개의 칸에 숫자 [eqn: 0 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 ,```` 7]이 하나씩 적혀 있는 말판이 있고, 숫자 [eqn: 0]이 적혀 있는 칸에 말이 놓여 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] [eqn: bold80]

[해설]

[eqn: 3]이상의 눈이 나오는 횟수를 [eqn: x]라 하면 [eqn: 3]보다 작은 경우는 [eqn: 4-x]번이다.

[eqn: x]에 따른 확률변수 [eqn: X]값은 다음 표와 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
[eqn: X]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]

이때 [eqn: x=k]일 때의 확률은 [eqn: {} _{4} rm C it rm _{itk} ` LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{k} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4-k}][eqn: = _{4} rm C it rm _{itk} ` CDOT ` {2 ^{k}} over {3 ^{4}}]이므로

확률변수 [eqn: X]에 대한 확률분포표는 다음과 같다.

[eqn: X]	[eqn: 0]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	계
[eqn: rm P it (X=x)]	[eqn: {24} over {81}]	[eqn: {32} over {81}]	[eqn: {17} over {81}]	[eqn: {8} over {81}]	[eqn: 1]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm E it LEFT ( 36X RIGHT )][eqn: = {36} over {81} LEFT ( 64+68+48 RIGHT )][eqn: = {4} over {9} `times180][eqn: =80]

주사위를 한 번 던져 나오는 눈의 수가 [eqn: 3] 이상이면 말을 화살표 방향으로 한 칸 이동시키고, 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]보다 작으면 말을 화살표 반대 방향으로 한 칸 이동시킨다.

위의 시행을 [eqn: 4]회 반복한 후 말이 도착한 칸에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rmE(36itX)]의 값을 구하시오.

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
06 aX+b의 표준편차2 (표)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 25

이산확률변수 [eqn: X]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: {rm{E}} it (X)][eqn: =(-3) times {1} over {2}+0 times {1} over {4}+a times {1} over {4}=-{3} over {2}+{a} over {4}]

[eqn: -{3} over {2}+{a} over {4}=-1]에서 [eqn: a=2]

[eqn: {rm{V}} it (X)][eqn: =(-3+1)^{2} times {1} over {2}+(0+1)^{2} times {1} over {4}+(2+1)^{2} times {1} over {4}]
[eqn: ={9} over {2}]

따라서 [eqn: {rm{V}} it (2 X)=2^{2} times {rm{V}} it (X)=4 times {9} over {2}=18]

[eqn: X]	[eqn: -3]	[eqn: rm 0]	[eqn: a]	합계
[eqn: {rm{P}} it (X=x)]	[eqn: {1} over {2}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: {1} over {4}]	[eqn: rm 1]

[eqn: {rm{E}} it (X)=`-1]일 때, [eqn: {rm{V}} it (a X)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 15]	③ [eqn: rm 18]

④ [eqn: rm 21]	⑤ [eqn: rm 24]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
08 aX+b의 표준편차4 (확률분포 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 26

주머니 속에 숫자 [eqn: {1 }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이 과정을 [eqn: 2]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. [eqn: a-b]의 값을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, 확률변수 [eqn: Y =2X +1]의 분산 [eqn: rm V LEFT ( it Y RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold10]

[해설]

[eqn: a-b]의 값이 확률변수 [eqn: X]이므로 [eqn: X]가 가질 수 있는 값은

[eqn: -3 ,````][eqn: -2 ,````][eqn: -1 ,````][eqn: 0 ,````][eqn: 1 ,````][eqn: 2 ,````][eqn: 3]

확률변수 [eqn: X]의 확률분포는 다음 표와 같다.

[eqn: X]	[eqn: -3]	[eqn: -2]	[eqn: -1]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: RM P IT (X=it x)]	[eqn: 1over16]	[eqn: 2over16]	[eqn: 3over16]	[eqn: 4over16]	[eqn: 3over16]	[eqn: 2over16]	[eqn: 1over16]	[eqn: 1]

[eqn: {rm E}left(X right)][eqn: = left(-3 right)times 1over16 + left(-2 right) times 2over16 + left(-1 right) times 3over16 +0times 4 over16]
[eqn: +1times 3over16 + 2times 2over16 + 3 times 1over16]
[eqn: =0]

[eqn: {rm E} left(X^2 right)][eqn: = left(-3 right)^2 times 1over16 + left(-2 right)^2 times 2over16 + left(-1 right)^2 times 3over16]
[eqn: +0^2 times 4 over16][eqn: +1^2 times 3over16 + 2^2 times 2over16 + 3^2 times 1over16]
[eqn: = 5over2]

[eqn: {rm V} left(X right)][eqn: ={rm E}left(X^2 right)- left{` {rm E} left(X right) `right} ^2 = 5over2]

따라서 [eqn: {rm V} left(Y right)={rm V} left(2X +1 right)= 4 times {rm V} left(X right)= 10]

05 확통	07 이산확률분포
03 aX+b의 평균과 표준편차
09 X의 제곱의 평균1 (공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 15

이산확률변수 [eqn: {X}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]가 가지는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]이고,

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm E it LEFT ( Y RIGHT )][eqn: = rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT )]
[eqn: = rm V it LEFT ( X RIGHT ) + LEFT { rm E it LEFT ( X RIGHT ) RIGHT } ^{2}]
[eqn: =1+6 ^{2}]
[eqn: =37]

이산확률변수 [eqn: Y]가 가지는 값은 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 9], [eqn: 16]이고

[eqn: rm P it LEFT ( X=k RIGHT ) = rm P it LEFT ( Y=k ^{2} RIGHT )] ([eqn: k=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4])

이다. [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT ) =6], [eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT ) =1]일 때, [eqn: rm E it (Y )]의 값은?

① [eqn: 33]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 37]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 26
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 27

두 이산확률변수 [eqn: {X ,```` Y}{{from^2020^평가원가^3}}]의 확률분포를 표로 나타내면 각각 다음과 같다.

[정답] [eqn: bold { 121 }]

[해설]

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT ) =2 ,```` rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT ) =5]에서
[eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT ) = rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT ) - LEFT ( {rmE} it LEFT ( X RIGHT ) RIGHT ) ^{2} =5-2 ^{2} =1]

한편 [eqn: Y=10X+1]이므로

[eqn: rm E it LEFT ( Y RIGHT ) = rm E it LEFT ( 10X+1 RIGHT ) = rm 10 E it LEFT ( X RIGHT ) +1=21]

[eqn: rm V it LEFT ( Y RIGHT ) = rm V it LEFT ( 10X+1 RIGHT ) = rm 10 ^{2} V it LEFT ( X RIGHT ) =100]

[eqn: therefore][eqn: rm E it LEFT ( Y RIGHT ) + rm V it LEFT ( Y RIGHT ) =21+100=121]

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: {rm P}(X=x)]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 1]

[eqn: Y]	[eqn: 11]	[eqn: 21]	[eqn: 31]	[eqn: 41]	합계
[eqn: rm P it LEFT ( Y=y RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 1]

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT ) =2 ,```` rm E it LEFT ( X ^{2} RIGHT ) =5]일 때, [eqn: rm E it LEFT ( Y RIGHT ) + rm V it LEFT ( Y RIGHT )]의 값을 구하시오.

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
02 이항분포2 (평균과 분산의 공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 23

확률변수 [eqn: {X}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( it n ,```` {1} over {3} RIGHT )]을 따르고 [eqn: rm V LEFT ( it X RIGHT ) =200]일 때, [eqn: rm E LEFT ( it X RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 300 }]

[해설]

[eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =n TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3}][eqn: = {2} over {9} n][eqn: =200]에서 [eqn: n=900]

따라서 [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =900 TIMES {1} over {3}][eqn: =300]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 23

확률변수 [eqn: X` `]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 80,`` 1 over 8 RIGHT ) `]을 따를 때, [eqn: rm E` it LEFT ( X` RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm E it LEFT ( X` RIGHT ) = 80 times 1 over 8 = 10`]

① [eqn: 10`]	② [eqn: 12`]	③ [eqn: 14`]

④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 18`]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 23

확률변수 [eqn: {X }{{from^2021^09^평가원^중}}]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 60 ,```` 1 over 4 RIGHT )]을 따를 때, [eqn: rm E( it X)]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm E it ( X ) = 60 times 1 over 4 = 15]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 23

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( 60,~ {5} over {12} RIGHT )]를 따를 때, [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )]의 값은?

[정답] ④

[해설]

이항분포 [eqn: rm B it LEFT ( 60,~ {5} over {12} RIGHT )]를 따르는 확률변수 [eqn: X]의 평균은

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =60 TIMES {5} over {12}][eqn: =25]

① [eqn: 10]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
04 이항분포4 (aX+b의 평균과 분산의 공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 23

이항분포 [eqn: {rm B LEFT ( it n ,```` {1} over {2} RIGHT ) }{{from^2020^10^서울고3나^중}}]을 따르는 확률변수 [eqn: X]에 대하여 [eqn: rm V( 2 it X+1)=15]일 때, [eqn: n]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

[eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =n TIMES {1} over {2} TIMES {1} over {2}][eqn: = {n} over {4}]

[eqn: rm V it LEFT ( 2X+1 RIGHT )][eqn: =2 ^{2} TIMES rm V it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =n]

따라서 [eqn: n=15]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 24

확률변수 [eqn: {X }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 36 ,```` {2} over {3} RIGHT )]를 따른다.

[정답] [eqn: bold{16}]

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 36 ,```` {2} over {3} RIGHT )]를 따르므로

[eqn: {rmE}(X) =24], [eqn: {rmV}(X) =8]

[eqn: rm E it ( 2X-a ) = 2{rmE}(X) -a = 48 -a]

[eqn: rm V it ( 2X-a ) = 4 {rmV}(X) =32]이므로 [eqn: 48-a =32]

따라서 [eqn: a=16]

[eqn: rm E it LEFT ( 2X-a RIGHT ) = rm V it LEFT ( 2X-a RIGHT )]

를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 24

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: {rmB} LEFT ( n,~ {1} over {3} RIGHT )]을 따르고 [eqn: {rmV} LEFT ( 2X` RIGHT ) =40]일 때, [eqn: n]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: rm V LEFT ( it X` RIGHT ) =n TIMES {1} over {3} TIMES {2} over {3} = {2} over {9} n]

이므로

[eqn: rm V LEFT ( it 2X` RIGHT )][eqn: =4 rm V LEFT ( it X` RIGHT )][eqn: =4times {2} over {9} n][eqn: = {8} over {9} n=40]

따라서, [eqn: n=45]

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 24

확률변수 [eqn: X]가 이항분포 [eqn: {rm{B}} it left(n,`` {1} over {3} right)]을 따르고 [eqn: {rm{E}} it (3 X-1)=17]일 때, [eqn: {rm{V}} it (X)]의 값은?

[정답] ④

[해설]

이항분포 [eqn: {rm{B}} it left(n,`` {1} over {3} right)]에서 [eqn: {rm{E}} it (X)=n times {1} over {3}={n} over {3}]

[eqn: {rm{V}} it (X)=n times {1} over {3} times left(1-{1} over {3} right)={2 n} over {9}]

[eqn: {rm{E}} it (3 X-1)=3 {rm{E}} it (X)-1=3 times {n} over {3}-1=17]

[eqn: n=18]

따라서 [eqn: {rm{V}} it (X)={2 times 18} over {9}=4]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: {10} over {3}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: {14} over {3}]

05 확통	07 이산확률분포
04 이항분포
05 이항분포5 (aX+b의 평균과 분산의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 11

어느 사관생도가 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]회의 사격을 하여 표적에 명중시킬 확률이 [eqn: 4 over5]이다. 이 사관생도가 [eqn: 20]회의 사격을 할 때, 표적에 명중시키는 횟수를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: {rm V} left( 1 over4 X +1 right)]의 값은?
(단, 이 사관생도가 매회 사격을 하는 시행은 독립시행이다.)

[정답] ①

[해설]

어느 사관생도가 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]회의 사격을 하여 표적에 명중시킬 확률이 [eqn: 4 over5]이고, 이 사관생도가 [eqn: 20]회의 사격을 할 때, 표적에 명중시키는 횟수 [eqn: X]는 이항분포 [eqn: rm B left( 20, ```` 4 over5 right)]를 따른다.

따라서 [eqn: {rmE}(X)= 20 times 4 over 5 =16], [eqn: {rmV}(X) = 16 times 1 over 5][eqn: = 16 over 5]

[eqn: therefore][eqn: {rm V} left( 1 over4 X +1 right)][eqn: = 1 over 16 {rm V}(X)]
[eqn: = 1 over 16 times 16 over 5]
[eqn: = 1 over5]

① [eqn: 1 over5]	② [eqn: 2 over5]	③ [eqn: 3 over5]

④ [eqn: 4 over5]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 17

좌표평면의 원점에 점 [eqn: {rmP}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] ③

[해설]

주사위를 [eqn: rm 15]번 던져서 [eqn: rm 2] 이하의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 [eqn: Y]라 하면 확률변수 [eqn: Y]는 이항분포 [eqn: {rm{B}} it left(15,`` {1} over {3} right)]을 따르므로

[eqn: {rm{E}} it (Y)=15 times {1} over {3}=5]

이때 원점에 있던 점 [eqn: {rm{P}} it]가 이동된 점의 좌표는

[eqn: (3 Y,`` 15-Y)]

이고, 이 점과 직선 [eqn: 3 x+4 y=0]사이의 거리 [eqn: X]는

[eqn: X={|3 times 3 Y+4 times(15-Y)|} over { sqrt{3^{2}+4^{2}}}={|5 Y+60|} over {5}=Y+12]

따라서

[eqn: {rm{E}} it (X)][eqn: ={rm{E}} it (Y+12)]

[eqn: ={rm{E}} it (Y)+12]

[eqn: =5+12=17]

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 2]이하이면 점 [eqn: rmP]를 [eqn: x]축의 양의 방향으로 [eqn: 3]만큼, [eqn: 3]이상이면 점 [eqn: rmP]를 [eqn: y]축의 양의 방향으로 [eqn: 1]만큼 이동시킨다.

이 시행을 [eqn: 15]번 반복하여 이동된 점 [eqn: rmP]와 직선 [eqn: 3x+4y][eqn: =0]사이의 거리를 확률변수 [eqn: X]라 하자. [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

05 확통	08 정규분포
01 확률밀도함수
02 확률밀도함수3 (함수의 대칭성 또는 주기성 활용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 5

연속확률변수 [eqn: {X}{{from^2020^평가원가^3}}]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0 LEQ X LEQ 8]이고, [eqn: X]의 확률밀도함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 직선 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이다.

[정답] ③

[해설]

확률밀도함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 직선 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이므로

[eqn: {rmP} LEFT ( 2 LEQ X LEQ 4 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( 4 LEQ X LEQ 6 RIGHT )]

[eqn: {rmP} LEFT ( 2 LEQ X LEQ 4 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( 4 LEQ X LEQ 6 RIGHT )][eqn: =k]	[eqn: cdotscdots] ㉠

라 하면 [eqn: {rmP} LEFT ( 6 LEQ X LEQ 8 RIGHT ) = {1} over {2} -k]

조건에서 [eqn: 3{rmP} LEFT ( 2 LEQ X LEQ 4 RIGHT ) =4{rmP} LEFT ( 6 LEQ X LEQ 8 RIGHT )]이므로

[eqn: 3k=4 LEFT ( {1} over {2} -k RIGHT )]

[eqn: therefore][eqn: k= {2} over {7}]

㉠에서

[eqn: {rmP} LEFT ( 2 LEQ X LEQ 6 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT ( 2 LEQ X LEQ 4 RIGHT ) +{rmP} LEFT ( 4 LEQ X LEQ 6 RIGHT )]
[eqn: =2k]
[eqn: = {4} over {7}]

[eqn: 3{rmP} LEFT ( 2 LEQ X LEQ 4 RIGHT ) =4{rmP} LEFT ( 6 LEQ X LEQ 8 RIGHT )]

일 때, [eqn: {rmP} LEFT ( 2 LEQ X LEQ 6 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {3} over {7}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {4} over {7}]

④ [eqn: {9} over {14}]	⑤ [eqn: {5} over {7}]

05 확통	08 정규분포
01 확률밀도함수
03 확률밀도함수2 (확률)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 28

연속확률변수 [eqn: X`]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0 LEQ X` LEQ a]이고, [eqn: X`]의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm{P}} it (0 leq X leq a)=1]이므로 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프로부터

[eqn: {1} over {2} a c=1],    [eqn: a c=2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

한편, [eqn: {rm{P}} it (0 leq X leq a)={rm{P}} it (X leq b)+{rm{P}} it (X geq b)=1]이고

[eqn: {rm{P}} it (X leq b)-{rm{P}} it (X geq b)={1} over {4}]이므로

[eqn: {rm{P}} it (X leq b)={5} over {8}], [eqn: {rm{P}} it (X geq b)={3} over {8}]

따라서 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수의 그래프로부터

[eqn: {1} over {2} times b times c={5} over {8}],    [eqn: bc= 5over4]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: {rm{P}} it (X leq b)>{1} over {2}]이므로    [eqn: 0< sqrt{5}<b]

이때 두 점 [eqn: (0,``0)], [eqn: (b,`` c)]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y={c} over {b} x]

이므로 [eqn: {rm{P}} it (X leq sqrt{5})={1} over {2}]에서

[eqn: {1} over {2} times sqrt{5} times left({c} over {b} times sqrt{5} right)={5 c} over {2 b}][eqn: ={1} over {2}]

[eqn: b=5 c]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하면

[eqn: a=4], [eqn: b={5} over {2}], [eqn: c={1} over {2}]

[eqn: therefore] [eqn: a+b+c][eqn: =4+{5} over {2}+{1} over {2}][eqn: =7]

[eqn: rm P it LEFT (X` LEQ b RIGHT )- rm P it LEFT (X` GEQ b RIGHT )= {1} over {4}], [eqn: rm P it LEFT (X` LEQ sqrt {5} RIGHT )= {1} over {2}]일 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 29

두 연속확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]가 갖는 값의 범위는 각각 [eqn: 0 leq X leq a], [eqn: 0 leq Y leq a]이고, [eqn: X]와 [eqn: Y]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 하자. [eqn: 0 leq x leq a]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는

[정답] [eqn: 5]

[해설]

확률밀도함수의 성질에 의하여

[eqn: {rm{P}} it (0 leq X leq a)=1]에서 [eqn: a b=1]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

[eqn: g(x)={rm{P}} it (0 leq X leq x)=b x]

확률밀도함수의 성질에 의하여 [eqn: rm P it (0 LEQ Y LEQ a)= {1} over {2} TIMES a TIMES ab= {a ^{2} b} over {2} =1]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡
두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=2], [eqn: b={1} over {2}]

그러므로 [eqn: g(x)={1} over {2} x]에서 [eqn: {rm{P}} it (0 leq Y leq c)={1} over {2} times c times {c} over {2}={c^{2}} over {4}={1} over {2}], [eqn: c^{2}=2]
따라서 [eqn: (a+b) times c^{2}= left(2+{1} over {2} right) times 2=5]

[eqn: f(x)=b], [eqn: g(x)={rm{P}} it (0 leq X leq x)]

이다. [eqn: {rm{P}} it (0 leq Y leq c)={1} over {2}]일 때, [eqn: (a+b) times c^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 상수이다.)

05 확통	08 정규분포
01 확률밀도함수
04 확률밀도함수4 (활용)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 29

두 연속확률변수 [eqn: X``]와 [eqn: Y``]가 갖는 값의 범위는 [eqn: 0 LEQ X LEQ 6], [eqn: 0 LEQ Y LEQ 6]이고, [eqn: X``]와 [eqn: Y``]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ,~g LEFT ( x RIGHT )]이다. 확률변수 [eqn: X``]의 확률밀도함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[정답] [eqn: 31]

[해설]

[eqn: 0 le x le 6]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )+g LEFT ( x RIGHT )=k] ([eqn: k]는 상수)

이므로

[eqn: g(x)=k-f(x)]

이때, [eqn: 0 le Y le 6]이고 확률밀도함수의 정의에 의하여 [eqn: g (x)=k-f(x)ge 0] 즉, [eqn: k ge f(x)]이므로 그림과 같이 세 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=6], [eqn: y=k] 및 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 둘러싸인 색칠된 부분의 넓이는 [eqn: 1]이다.

또한, [eqn: 0 le x le 6]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이도 [eqn: 1]이므로

[eqn: k TIMES6=2]

따라서, [eqn: k= { 1} over { 3}]

이때,

[eqn: {rmP}it LEFT ( 6k le Y le 15k RIGHT )={rmP}it LEFT ( 2 le Y le 5 RIGHT )]

이고 이 값은 세 직선 [eqn: x=2], [eqn: x=5], [eqn: y= { 1} over { 3}] 및 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이와 같고, [eqn: 0 le x le 3]에서 [eqn: f(x)= { 1} over { 12}x]이므로

[eqn: {rmP}it LEFT ( 6k le Y le 15k RIGHT )]

[eqn: ={rmP}it LEFT ( 2 le Y le 5 RIGHT )]

[eqn: = LEFT [ { 1} over {3 }- { 1} over { 2} TIMES LEFT { f(2)+f(3) RIGHT } TIMES1 RIGHT ]][eqn: +LEFT ( { 1} over { 3} TIMES2- { 1} over {4 } TIMES2 RIGHT )]

[eqn: = LEFT { { 1} over {3 }- { 1} over {2 } TIMES LEFT ( { 1} over {6 }+ { 1} over { 4} RIGHT ) RIGHT }+ LEFT ( { 2} over {3 }- { 1} over { 2} RIGHT )]

[eqn: ={ 3} over { 24}+ { 1} over { 6}]

[eqn: ={ 7} over { 24}]

따라서, [eqn: p=24], [eqn: q=7]이므로

[eqn: p+q=31]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 6]인 모든 [eqn: x]에 대하여

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =k] ([eqn: k]는 상수)

를 만족시킬 때, [eqn: {rmP} LEFT ( 6k LEQ Y LEQ 15k RIGHT ) = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
05 확률관계식1 (변수 1개)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 26

확률변수 [eqn: X` `]가 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m,`` 10^2 RIGHT ) `]을 따르고

[정답] ④

[해설]

정규분포

[eqn: 0.2119 =]P[eqn: ( Z le -0.8)]이므로

[eqn: 50-m over10 = -0.8], [eqn: THEREFORE][eqn: m = 58]

[eqn: rm P` it LEFT ( X` le 50 RIGHT ) = 0.2119 `]

일 때, [eqn: m `]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: z]	[eqn: {rmP} LEFT ( 0{le}Z{le}z RIGHT )]
[eqn: 0.6]	[eqn: 0.2257]
[eqn: 0.7]	[eqn: 0.2580]
[eqn: 0.8]	[eqn: 0.2881]
[eqn: 0.9]	[eqn: 0.3159]

① [eqn: 55`]	② [eqn: 56`]	③ [eqn: 57`]

④ [eqn: 58`]	⑤ [eqn: 59`]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
06 확률관계식2 (변수2개)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 16

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(m ,```` 4^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {RMN}(20 ,```` sigma^2 )]을 따른다. 확률변수 [eqn: X]의 확률밀도함수가 [eqn: f(x)]일 때, [eqn: f(x)]와 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+10)=f(20-x)]이므로 좌우대칭인 값이다.

즉, 평균을 [eqn: m]이라 하면 [eqn: m -(20-x) = x+10 -m]을 만족한다.

따라서 [eqn: m=15]

즉, 확

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {RMN}(15 ,```` 4^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {RMN}(20 ,```` sigma^2 )]을 따른다.

(나)조건에서 [eqn: {rmP}(X GE 17) = {RMP}(Y LE 17)]을 만족하므로

[eqn: 17-15over4 =- 20-17oversigma]

[eqn: therefore][eqn: sigma=6]

[eqn: therefore][eqn: {rmP}(X LE 15+6)][eqn: ={RMP} left(Z LE{21-15} over 4 right)]
[eqn: ={RMP}(Z LE 1.5)]
[eqn: = 0.5+0.4332]
[eqn: =0.9332]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+10)=f(20-x)]이다.

(나) [eqn: {rmP}(X GE 17) = {RMP}(Y LE 17)]

[eqn: {{RMP}(X LE m+sigma)]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: sigma>0])

<표준정규분포표>

[eqn: { z }{{from^2020^08^사관고3가^중}}]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 12
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 19

확률변수 [eqn: X``]는 평균이 [eqn: 8], 표준편차가 [eqn: 3`]인 정규분포를 따르고, 확률변수 [eqn: Y``]는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: sigma `]인 정규분포를 따른다. 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y``]가

[정답] ④

[해설]

확률변수 [eqn: X]가 정규분포 [eqn: {rm{N}} it left(8,``3^{2} right)]을 따르고 확률변수 [eqn: Y]가 정규분포 [eqn: {rm{N}} it left(m,`` sigma^{2} right)]을 따르므로 표준정규분포 [eqn: {rm{N}} it (0,``1)]을 따르는 확률변수를 [eqn: Z]라 하면

[eqn: {rm{P}} it (4 leq X leq 8)+{rm{P}} it (Y geq 8)][eqn: ={rm{P}} it left({4-8} over {3} leq Z leq {8-8} over {3} right)+{rm{P}} it left(Z geq {8-m} over { sigma} right)]
[eqn: ={rm{P}} it left(-{4} over {3} leq Z leq 0 right)+{rm{P}} it left(Z geq {8-m} over { sigma} right)]
[eqn: ={rm{P}} it left(0 leq Z leq {4} over {3} right)+{rm{P}} it left(Z geq {8-m} over { sigma} right)={1} over {2}]

그러므로 [eqn: {8-m} over { sigma}={4} over {3}], [eqn: m=8-{4 sigma} over {3}]

따라서

[eqn: {rm{P}} it left(Y leq 8+{2 sigma} over {3} right)][eqn: ={rm{P}} it left(Z leq {8+{2 sigma} over {3}- left(8-{4 sigma} over {3} right)} over { sigma} right)]

[eqn: ={rm{P}} it (Z leq 2)]

[eqn: ={1} over {2}+{rm{P}} it (0 leq Z leq 2)]

[eqn: =0.5+0.4772=0.9772]

[eqn: {rmP it } it LEFT ( 4 LEQ X` LEQ 8 RIGHT ) +{rmP it } it LEFT ( Y` GEQ 8 RIGHT )`][eqn: = {1} over {2}]

을 만족시킬 때, [eqn: {rmP it } it LEFT ( Y` LEQ 8+ {2sigma } over {3} RIGHT )`]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: { z }{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.8351]	② [eqn: 0.8413]	③ [eqn: 0.9332]

④ [eqn: 0.9772]	⑤ [eqn: 0.9938]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 14

확률변수 [eqn: X` `]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m ,`` 2 ^{2} RIGHT ) `], 확률변수 [eqn: Y` `]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 2m ,`` sigma ^{2} RIGHT ) `]을 따른다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm P}(Y le m+4)][eqn: = {rm P} left( Z le {4-m } over sigma right)][eqn: = 0.3085]

[eqn: {rm P} left( Z le - 1 over2 right)][eqn: = 0.3085]

[eqn: {4-m} over sigma][eqn: = - 1 over2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: {rm P}(X le 8) + {rm P}(Y le 8)][eqn: =1]에서

[eqn: {rm P } left( Z le {8-m} over2 right) + {rm P } left( Z le {8-2m} over2 right)][eqn: =1]

[eqn: {8-m} over2][eqn: = - {8-2m} over sigma]

㉠에서 [eqn: - {8 - 2m} over sigma][eqn: =1]이므로 [eqn: {8-m} over2][eqn: =1]이고 [eqn: m][eqn: =6 ,````][eqn: sigma][eqn: =4]

[eqn: {rm P}( X le sigma )][eqn: = {rm P} left( Z le {4-6} over2 right)]
[eqn: = {rm P}(Z le -1)]
[eqn: = 0.1587]

[eqn: {rmP it } it LEFT ( X` LEQ 8 RIGHT ) +{rmP it } it LEFT ( Y` LEQ 8 RIGHT ) =1`]

을 만족시키는 [eqn: m]과 [eqn: sigma]에 대하여 [eqn: {rmP it } it LEFT ( Y` LEQ m+4 RIGHT ) =0.3085 `]일 때, [eqn: {rmP it } it LEFT ( X` LEQ sigma RIGHT ) `]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: { z }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT ) `]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1359]

④ [eqn: 0.1587]	⑤ [eqn: 0.2857]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 28

확률변수 [eqn: {X`}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}`]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m ,`` 2 ^{2} RIGHT )`], 확률변수 [eqn: Y``]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m ,`` sigma ^{2} RIGHT )`]을 따른다. 상수 [eqn: a`]에 대하여 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y``]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: Y][eqn: =3X-a]이므로

[eqn: rm E it LEFT ( Y RIGHT )][eqn: = rm E it LEFT ( 3X-a RIGHT )][eqn: =3 rm E it LEFT ( X RIGHT ) -a][eqn: =3m-a]

[eqn: m][eqn: =3m-a]에서 [eqn: a][eqn: =2m]

[eqn: sigma rm LEFT ( itY RIGHT )][eqn: = sigma rm LEFT ( it3X- it a RIGHT )][eqn: =3 sigma rm LEFT ( itX RIGHT )][eqn: =6]

[eqn: rm P it LEFT ( X LEQ 4 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ {4-m} over {2} RIGHT )]

[eqn: rm P it LEFT ( Y GEQ a RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Y GEQ 2m RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {m} over {6} RIGHT )]

조건 (나)에 의하여 [eqn: {4-m} over {2}][eqn: = it - {m} over {6}]에서 [eqn: m][eqn: =6]

그러므로 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 6 ,```` 6 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

따라서

[eqn: rm P it LEFT ( Y GEQ 9 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ {9-6} over {6} RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ 0.5 RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( Z GEQ 0 RIGHT ) - rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 0.5 RIGHT )]
[eqn: =0.5 - 0.1915]
[eqn: = it 0.3085]

(가) [eqn: Y`=3X`-a]

(나) [eqn: {rmP it }it LEFT ( X` LEQ 4 RIGHT )={rmP it }it LEFT ( Y` GEQ a RIGHT )]

[eqn: {rmP it }it LEFT ( X` GEQ 9 RIGHT )`]의

[eqn: z]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]

③ [eqn: 0.1587]	④ [eqn: 0.2417]

⑤ [eqn: 0.3085]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
07 확률관계식3 (실생활)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 25

어느 인스턴트 커피 제조 회사에서 생산하는 [eqn: {rm{A}} it]제품 [eqn: rm 1]개의 중량은 평균이 [eqn: rm 9], 표준편차가 [eqn: 0.4]인 정규분포를 따르고, [eqn: {rm{B}} it]제품 [eqn: rm 1]개의 중량은 평균이 [eqn: rm 20], 표준편차가 [eqn: rm 1]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 생산한 [eqn: {rm{A}} it]제품 중에서 임의로 선택한 [eqn: rm 1]개의 중량이 [eqn: 8.9] 이상 [eqn: 9.4] 이하일 확률과 [eqn: {rm{B}} it]제품 중에서 임의로 선택한 [eqn: rm 1]개의 중량이 [eqn: rm 19] 이상 [eqn: k] 이하일 확률이 서로 같다. 상수 [eqn: k]의 값은? (단, 중량의 단위는 g이다.)

[정답] ④

[해설]

제품 [eqn: {rm{A}} it]의 중량의 확률변수를 [eqn: X],

제품 [eqn: {rm{B}} it]의 중량의 확률변수를 [eqn: Y]라 하자.

[eqn: {rm{A}} it]제품 중에서 임의로 선택한 [eqn: rm 1]개의 중량이

[eqn: 8.9] 이상 [eqn: 9.4] 이하일 확률은

[eqn: {rm{P}} it (8.9 leq X leq 9.4)={rm{P}} it (-0.25 leq Z leq 1)]이다.

[eqn: {rm{B}} it]제품 중에서 임의로 선택한 [eqn: rm 1]개의 중량이

[eqn: rm 19] 이상 [eqn: k] 이하일 확률은

[eqn: {rm{P}} it (19 leq {rm{Y}} it leq k)={rm{P}} it left(-1 leq {rm{Z}} it leq {k-20} over {1} right)]

에서 [eqn: {rm{P}} it (-0.25 leq {rm{Z}} it leq 1)]와 같은 값이어야 한다.

[eqn: {rm{P}} it left(-1 leq {rm{Z}} it leq {k-20} over {1} right)={rm{P}} it (-1 leq {rm{Z}} it leq 0.25)]

[eqn: therefore~k=20+0.25=20.25]

① [eqn: 19.5]	② [eqn: 19.75]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: 20.25]	⑤ [eqn: 20.5]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
08 확률관계식4 (실생활. 커트라인문제)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 3

어느 대학에서 신입생 [eqn: 50]명을 모집하는데 [eqn: 5000]명이 지원하였다. 지원자 [eqn: 5000]명의 입학 시험점수는 평균이 [eqn: 63.7]점이고 표준편차가 [eqn: 10]점인 정규분포를 따르며, [eqn: 94.6]점 이상인 학생들을 대상으로 장학금을 지급한다고 한다. 아래 표준정규분포표를 이용하려 구한 이 대학에 입학하기 위한 최저 점수를 [eqn: a]라 하고, 장학금을 받는 학생 수를 [eqn: b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ①

[해설]

평균이 [eqn: 63.7]점이고 표준편차가 [eqn: 10]점인 정규분포를 따르므로

[eqn: {rmN} ( 63.7 ,````10^2 )]이 된다.

신입생 [eqn: 50]명을 모집하는데 [eqn: 5000]명이 지원했으므로 경쟁률이 [eqn: 100 ``:`` 1] 즉, 합격하려면 상위 [eqn: 1%]이내가 되어야 한다.

[eqn: {rmP} (X ge a)][eqn: =0.01]

따라서 [eqn: {rmP} (Z ge 2.33 ) = 0.5-0.490 =0.01]이므로

[eqn: a=63.7+2.33times 10 =87]

[eqn: 94.6]점 이상인 학생들을 대상으로 장학금을 지급하므로

[eqn: x=94.6]에 대하여 [eqn: z={94.6-63.7}over10 = 3.09]이므로 장학생은 지원자의 상위 [eqn: 0.1%]이므로 [eqn: b=5]

[eqn: THEREFORE ```` a+b=87+5=92]

<표준정규분포표>

[eqn: { z }{{^2020^08^경찰대^중}}]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 1.96]	[eqn: 0.475]
[eqn: 2.33]	[eqn: 0.490]
[eqn: 2.75]	[eqn: 0.497]
[eqn: 3.09]	[eqn: 0.499]

① [eqn: 92]	② [eqn: 94]	③ [eqn: 96]

④ [eqn: 98]	⑤ [eqn: 100]

05 확통	08 정규분포
03 정규분포의 표준화
10 확률밀도함수의 해석

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 13

확률변수 [eqn: X``]는 평균이 [eqn: m], 표준편차가 [eqn: 4`]인 정규분포를 따르고, 확률변수 [eqn: X``]의 확률밀도함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )`]가

[정답] ⑤

[해설]

확률밀도함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 직선 [eqn: x=m]에 대하여 대칭이다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) >f LEFT ( 14 RIGHT )]에서 [eqn: m< {8+14} over {2}], 즉 [eqn: m<11]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 16 RIGHT )]에서 [eqn: m> {2+16} over {2}], 즉 [eqn: m>9]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: m]은 자연수이므로 [eqn: m][eqn: =10]

[eqn: rm P it LEFT ( X LEQ 6 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ {6-10} over {4} RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( Z LEQ -1 RIGHT )]
[eqn: = it 0.5- rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1 RIGHT )]
[eqn: =0.1587]

[eqn: f LEFT (8 RIGHT )>f LEFT (14 RIGHT )], [eqn: f LEFT (2 RIGHT )<f LEFT (16 RIGHT )]

을 만족시킨다. [eqn: m`]이 자연수일 때, [eqn: rm P LEFT ( it X` LEQ 6 RIGHT )`]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: {z}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]	[eqn: {rmP it}(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.0668]

④ [eqn: 0.1525]	⑤ [eqn: 0.1587]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 18

확률변수 [eqn: X` `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m _{1 } ,`` sigma _{1}`^{ 2} RIGHT ) `], 확률변수 [eqn: Y` `]는 정규분포 [eqn: rm N LEFT ( it m _{2} ,`` sigma _{2}`^{ 2} RIGHT ) `]을 따르고, 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]이다. [eqn: sigma _{1} = sigma _{2} `]이고 [eqn: f LEFT ( 24 RIGHT ) =g LEFT ( 28 RIGHT )`]일 때, 확률변수 [eqn: X `], [eqn: Y` `]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

표준편차가 같은 정규분포곡선의 모양은 항상 일정하다. 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]는 표준편차가 같은 정규분포를 따르고,

조건 (가)에 의하여 [eqn: m _{1} <24<28<m _{2}], [eqn: f LEFT ( 24 RIGHT ) =g LEFT ( 28 RIGHT )]인 확률밀도함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: sigma _{1} =sigma _{2} =sigma]라 하자.

[eqn: {rmP} LEFT ( m _{1} le X le24 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( 28le Y le m _{2} RIGHT ) =0.4772]

[eqn: {rmP} LEFT ( 0le Z le {24-m _{1}} over {sigma} RIGHT ) &={rmP} LEFT ( {28-m _{2}} over {sigma} le Z le0 RIGHT )# &=0.4772]

[eqn: {rmP} LEFT ( 0le Z le2 RIGHT ) ={rmP} LEFT ( it -2le Z le0 RIGHT ) =0.4772]

이므로 [eqn: {24-m _{1}} over {sigam} =2], [eqn: {28-m _{2}} over {sigma} = it -2]

[eqn: 24-m _{1} =2sigma], [eqn: m _{2} -28=2 sigma]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (나)에 의하여

[eqn: {rmP} LEFT ( Y ge36 RIGHT )][eqn: =1-{rmP} LEFT ( X le24 RIGHT )]
[eqn: =1-{rmP} LEFT ( Z le2 RIGHT )]
[eqn: ={rmP} LEFT ( Z ge2 RIGHT )]

[eqn: {36-m _{2}} over {sigma} =2], [eqn: 36-m _{2} =2sigma]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: m _{2} -28=36-m _{2}]

[eqn: m _{2} =32]이므로 [eqn: sigma=2], [eqn: m _{1} =20]

[eqn: therefore][eqn: {rmP} LEFT ( 18le X le21 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT ( it -1le Z le0.5 RIGHT )]
[eqn: =0.3413+0.1915]
[eqn: =0.5328]

(가) [eqn: {rmP it } LEFT ( it m _{1} LEQ X` LEQ 24 RIGHT ) +{rmP it } LEFT ( it 28 LEQ Y` LEQ m _{2} RIGHT )=0.9544]

(나) [eqn: {rmP it } LEFT ( it Y` GEQ 36 RIGHT )=1-{rmP it } LEFT ( it X` LEQ 24 RIGHT )]

[eqn: {rmP it } LEFT ( it 18 LEQ X` LEQ 21 RIGHT ) `]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[eqn: {z}{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT ) `]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.3830]	② [eqn: 0.5328]	③ [eqn: 0.6247]

④ [eqn: 0.6826]	⑤ [eqn: 0.7745]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

확률변수 [eqn: X`{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]는 정규분포 [eqn: {RmN}( 10,```` 5^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: {RmN}( m , ```` 5^2 )]을 따른다. 두 확률변수 [eqn: X,````Y`]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 할 때, 두 곡선 [eqn: y= f(x)]와 [eqn: y= g(x)]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하자. [eqn: {rmP}( Y le 2k )]의 값을 다음 정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, [eqn: m !=10])

[정답] ⑤

[해설]

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {RmN}( 10,```` 5^2 )]을 따르고, 확률변수 [eqn: Y`]는 정규분포 [eqn: {RmN}( m , ```` 5^2 )]이다.

두 곡선 [eqn: y= f(x)]와 [eqn: y= g(x)]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: k`]이므로

[eqn: k]는 평균 [eqn: 10]과 [eqn: m]의 중점이다.

따라서 [eqn: 2k = m+10]

[eqn: therefore][eqn: {rmP}( Y le 2k )][eqn: = {rmP}( Y le m+10)]
[eqn: = {rmP} left( Z le {m+10-m } over 5 right )]
[eqn: = {rmP} left( Z le 2 right )]
[eqn: = 0.5 + {rmP} ( 0 le Z le 2 )]
[eqn: = 0.5 + 0.4772]
[eqn: = 0.9772]

<표준정규분포표>

[eqn: { z }]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.8413]	③ [eqn: 0.9104]

④ [eqn: 0.9332]	⑤ [eqn: 0.9772]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 27

확률변수 [eqn: X``]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 8,`` 2 ^{2} RIGHT )], 확률변수 [eqn: Y``]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 12,`` 2 ^{2} RIGHT )`]을 따르고, 확률변수 [eqn: X``]와 [eqn: Y``]의 확률밀도함수는 각각 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]이다.

[정답] ①

[해설]

두 확률변수 [eqn: X]와 [eqn: Y]는 모두 정규분포를 따르고 표준편차가 같으므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 4]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 일치한다. 따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x-4 RIGHT )]이다.

두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: a]이므로

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: =g LEFT ( a RIGHT )][eqn: =f LEFT ( a-4 RIGHT )]

[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 직선 [eqn: x][eqn: =8]에 대하여 대칭이므로

[eqn: {a+ LEFT ( a-4 RIGHT )} over {2}][eqn: =8]

[eqn: a][eqn: =10]

[eqn: rm P it LEFT ( 8 LEQ Y LEQ a RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( 8 LEQ Y LEQ 10 RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( {8-12} over {2} LEQ Z LEQ {10-12} over {2} RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( it -2 LEQ Z LEQ -1 RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( 1 LEQ Z LEQ 2 RIGHT )]
[eqn: = rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 2 RIGHT )][eqn: - rm P it LEFT ( 0 LEQ Z LEQ 1 RIGHT )]
[eqn: =0.4772-0.3413]
[eqn: =0.1359]

[참고]

두

[eqn: z`]	[eqn: rmP LEFT ( it 0 le Z le z RIGHT )`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a`]라 할 때, [eqn: {rmP it }it LEFT ( 8 LEQ Y` LEQ a RIGHT )`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

① [eqn: 0.1359]	② [eqn: 0.1587]

③ [eqn: 0.2417]	④ [eqn: 0.2857]

⑤ [eqn: 0.3085]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 29

서로 다른 두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]가 각각 정규분포 [eqn: rmN ( it a,````sigma^2 )], [eqn: rmN ( it 2b-a ,````sigma^2 )]을 따른다. 확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: f(x)`]와 확률변수 [eqn: Y`]의 확률밀도함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+ b `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: rmP left(itX le11right)=rmP left(itZ ge{11-a}oversigma right)]

[eqn: rmP left(itY ge11right)=rmP left(itZ ge{11-2b+a}oversigma right)]

[eqn: rm P( it X le 11 ) = rmP (it Y ge 11) `]이므로

[eqn: {11-a}oversigma +{11-2b+a}oversigma =0]	[eqn: therefore][eqn: b=11]

확률변수 [eqn: X]의 평균이 [eqn: a], 확률변수 [eqn: Y]의 평균이 [eqn: 22-a]이고, 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 표준편차가 같으므로 두 확률밀도함수 [eqn: f left(x right)], [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=11]에 대하여 대칭인 함수이다.

[eqn: g left(10right)=f left(12right)]이므로 조건 (나)에서

[eqn: f left(17right)<g left(10right)=f left(12right)<f left(15 right)]

[eqn: left|`15-a`right|<a-12<17-a]

[eqn: 27over2 <a< 29over2]	[eqn: therefore][eqn: a=14]

[eqn: therefore][eqn: a+b=14+11=25]

(가) [eqn: rm P( it X le 11 ) = rmP (it Y ge 11) `]

(나) [eqn: f(17) < g(10)< f(15) `]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 28

정규분포를 따르는 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 확률밀도함수를 각각 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]라 할 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ④

[해설]

곡선 [eqn: y=g(x)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -6]만큼 평행이동한 것이므로 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]의 표준편차는 같다.

확률변수 [eqn: X]의 평균을 [eqn: m], 표준편차를 [eqn: sigma]라 하면

확률변수 [eqn: Y]의 평균은 [eqn: m-6], 표준편차는 [eqn: sigma]이다.

표준정규분포를 따르는 확률변수 [eqn: Z]에 대하여

조건 (가)에서

[eqn: {rm{P}} it (X leq 11)={rm{P}} it (Y geq 23)]

[eqn: {rm{P}} it left(Z leq {11-m} over { sigma} right)={rm{P}} it left(Z geq {29-m} over { sigma} right)]

[eqn: {11-m} over { sigma}=-{29-m} over { sigma}]에서 [eqn: m=20]

조건 (나)에서

[eqn: {rm{P}} it (X leq k)+{rm{P}} it (Y leq k)=1]

[eqn: {rm{P}} it left(Z leq {k-20} over { sigma} right)+{rm{P}} it left(Z leq {k-14} over { sigma} right)=1]

[eqn: {k-20} over { sigma}=-{k-14} over { sigma}]에서 [eqn: k=17]

[eqn: {rm{P}} it (X leq 17)+{rm{P}} it (Y geq 17)]

[eqn: ={rm{P}} it left(Z leq-{3} over { sigma} right)+{rm{P}} it left(Z geq {3} over { sigma} right)]

[eqn: =2 times {rm{P}} it left(Z geq {3} over { sigma} right)]

[eqn: {rm{P}} it (X leq 17)+{rm{P}} it (Y geq 17)=0.1336]에서

[eqn: {rm{P}} it left(Z geq {3} over { sigma} right)=0.0668]

표준정규분포표에서

[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq 1.5)=0.4332], 즉 [eqn: {rm{P}} it (Z geq 1.5)=0.0668]

[eqn: {3} over { sigma}=1.5]에서 [eqn: sigma=2]

따라서 [eqn: {rm{E}} it (X)+ sigma(Y)=m+ sigma=20+2=22]

[eqn: g(x)=f(x+6)]

이다. 두 확률변수 [eqn: X], [eqn: Y]와 상수 [eqn: k]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: {rm{P}} it (X leq 11)={rm{P}} it (Y geq 23)]

(나) [eqn: {rm{P}} it (X leq k)+{rm{P}} it (Y leq k)=1]

다음

[eqn: z]	[eqn: {rm{P}} it (0 leq Z leq z)]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

표준정규분포표를 이용하여 구한 [eqn: {rm{P}} it (X leq k)+{rm{P}} it (Y geq k)]의 값이 [eqn: 0.1336]일 때, [eqn: {rm{E}} it (X)+ sigma(Y)]의 값은?

① [eqn: {41} over {2}]	② [eqn: rm 21]

③ [eqn: {43} over {2}]	④ [eqn: rm 22]	⑤ [eqn: {45} over {2}]

05 확통	09 통계적 추정
01 모평균과 표본평균
01 모평균과 표본평균1 (표본평균의 확률)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 30

주머니 [eqn: rm A `]에는 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2 `]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 2 `]개의 공이 들어 있고, 주머니 [eqn: rm B `]에는 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5 `]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3 `]개의 공이 들어 있다. 다음의 시행을 [eqn: 3 `]번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 [eqn: bar {X` } `]라 하자.

[정답] [eqn: 71`]

[해설]

모집단의 분포는

[eqn: X]	1	2	3	4	5	합계
P[eqn: (X= x)]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1 over4]	[eqn: 1 over6]	[eqn: 1 over6]	[eqn: 1 over6]	1

[eqn: barX = 1 over3 ( X_1 + X_2 + X_3 )][eqn: =2]인 경우는

[eqn: (x_1 , ``x_2 ,``x_3 ) =][eqn: (1,1,4)], [eqn: (1,4,1)], [eqn: (4,1,1)]

[eqn: (1,2,3)], [eqn: (1,3,2)], [eqn: cdots], [eqn: (3, 2,1)]

[eqn: (2,2,2)]

이므로 구하는 확률은

[eqn: 3 Times left( 1 over4 right)^2 left( 1 over6 right) + 6 Times left( 1 over4 right)^2 left( 1 over6 right) + left( 1 over4 right)^3][eqn: = 7 over64]

[eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 64 + 7 = 71]

두 주머니 [eqn: rm A], [eqn: rmB] 중 임의로 선택한 하나의 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 꺼낸 주머니에 다시 넣는다.

[eqn: rm P` it LEFT ( bar {X` } = 2 RIGHT ) = q over p `]일 때, [eqn: p+q `]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 29

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지의 자연수가 하나씩 적힌 [eqn: rm 6]장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: rm 4]번 반복하여 확인한 네 개의 수의 평균을 [eqn: bar{X}]라 할 때, [eqn: {rm{P}} it left( bar{X}={11} over {4} right)={q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: rm 175]

[해설]

각 시행에서 뽑힌 숫자를 [eqn: x_{i}(1 leq i leq 4)]라 하면

[eqn: bar{X}={x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}} over {4}={11} over {4}]이므로 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=11]이다.

[eqn: 1 leq x_{i} leq 6(1 leq i leq 4)]이므로

[eqn: x_{i} `prime =x_{i}-1(1 leq i leq 4)]이라 두면 [eqn: 0 leq x_{i} `prime leq 5]이고,

[eqn: x_{1} it ^ { prime}+x_{2} it ^ { prime}+x_{3} it ^ { prime}+x_{4} it ^ { prime}=7]이다.

이 꼴을 만족하는 순서쌍 [eqn: left(x_{1} it ^ { prime},`` x_{2} it ^ { prime},`` x_{3} it ^ { prime},`` x_{4} it ^ { prime} right)]의 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{H}} it _{7}]이다.

[eqn: 0 leq x_{i} `prime leq 5]이어야 하므로 [eqn: x_{i} `prime geq 6]인 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{H}} it _{1}]이다.

따라서 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=11], [eqn: 1 leq x_{i} leq 6(1 leq i leq 4)]을

만족하는 경우의 수는

[eqn: it _{4} {rm{H}} it _{7}- it _{4} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{H}} it _{1}=120-16=104]

이므로 구하는 확률은 [eqn: 104 times {1} over {6^{4}}={13} over {162}]

따라서 [eqn: p+q=162+13=175]

[다른 풀이]

[eqn: bar{X}={x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}} over {4}={11} over {4}]이므로 [eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=11]이다.

총 네 수의 합이 [eqn: rm 11]이 되는 경우의 수는 다음과 같다.

[eqn: (6,``3,``1,``1)], [eqn: (6,``2,``2,``1)]

[eqn: (5,``4,``1,``1)], [eqn: (5,``3,``2,``1)], [eqn: (5,``2,``2,``2)]

[eqn: (4,``4,``2,``1)], [eqn: (4,``3,``3,``1)], [eqn: (4,``3,``2,``2)]

[eqn: (3,``3,``3,``2)]

위 숫자들의 조합은

[eqn: (a,`` a,`` a,`` b) 2]가지, [eqn: (a,`` a,`` b,`` c) 6]가지, [eqn: (a,`` b,`` c,`` d)][eqn: rm 1]가지이다.

(i) [eqn: (a,`` a,`` a,`` b)]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {3 !}=4]가지
따라서 [eqn: (3,``3,``3,``2)], [eqn: (5,``2,``2,``2)]의 확률은 [eqn: 2 times {4} over {6^{4}}]

(ii) [eqn: (a,`` a,`` b,`` c)]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]가지
따라서 [eqn: (6,``3,``1,``1)], [eqn: (6,``2,``2,``1)], [eqn: (5,``4,``1,``1)], [eqn: (4,``4,``2,``1)], [eqn: (4,``3,``3,``1)], [eqn: (4,``3,``2,``2)]의 확률은 [eqn: 6 times {12} over {6^{4}}]

(iii) [eqn: (a,`` b,`` c,`` d)]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 4 ! it =24]가지
따라서 [eqn: (5,``3,``2,``1)]의 확률은 [eqn: {24} over {6^{4}}]

[eqn: therefore~{rm{P}} it left( bar{X}={11} over {4} right)={8+72+24} over {6^{4}}={13} over {162}]

[eqn: therefore~p+q=175]

[다른 풀이]

각 시행에서 뽑은 수를 [eqn: X_{1}], [eqn: X_{2}], [eqn: X_{3}], [eqn: X_{4}]라 하면,

[eqn: bar{X}={X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}} over {4}={11} over {4}]이므로

[eqn: X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4}=11]

가능한 경우는

[eqn: 6+3+1+1=6+2+2+1]

[eqn: =5+4+1+1+=5+3+2+1=5+2+2+2]

[eqn: =4+4+2+1=4+3+3+1=4+3+2+2=3+3+3+2]

가 존재하고,

[eqn: bigcirc bigcirc bigcirc]◆꼴의 경우 뽑는 순서 정하는 경우 [eqn: rm 4]가지이므로

[eqn: 4 times 2]

[eqn: bigcirc bigcirc triangle]꼴의 경우 뽑는 순서 정하는 경우는 [eqn: {4 !} over {2 !}]이므로

[eqn: {4 !} over {2 !} times 6=72]

[eqn: 5+3+2+1]의 경우 모두 다르므로, 뽑는 순서 정하는 경우는 [eqn: 4 !]이므로

[eqn: 4 ! times 1=24]

따라서 [eqn: 8+72+24=104]

구하는 확률은 [eqn: {104} over {6^{4}}={13} over {162}={q} over {p}]

따라서 [eqn: p+q=162+13=175]

05 확통	09 통계적 추정
01 모평균과 표본평균
02 모평균과 표본평균2 (모집단의 분포와 표본평균의 분포의 관계)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 23

모평균이 [eqn: {15}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]이고 모표준편차가 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: BARX]라 할 때, [eqn: {RME}(BARX )+sigma (barX )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold19]

[해설]

평균이 [eqn: 15]이고 모표준편차가 [eqn: 8]인 모집단에서 크기가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {rmE}(X) =15 ,````sigma(X) =8], [eqn: n=4]

[eqn: therefore][eqn: {RmE}(BARX ) +sigma (barX )][eqn: ={RME}(X)+ {sigma(X)OVERROOTn]
[eqn: =15 + 8overroot4]
[eqn: = 19]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 6
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 11

정규분포 [eqn: {rm N it LEFT ( 20,`` 5 ^{2} RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}`]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균은 [eqn: {bar{X`}}`]라 할 때, [eqn: rm E` it LEFT ( {bar{X`}} RIGHT ) + sigma LEFT ( {bar{X`}} RIGHT )`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 20,`` 5 ^{2} RIGHT )`]을 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 16`]이므로

[eqn: {rmE it } LEFT ( X` RIGHT ) =20], [eqn: sigma LEFT ( {X`} RIGHT ) =5]

따라서 [eqn: {rmE it } LEFT ( {barX`} RIGHT ) ={rmE it } LEFT ( X` RIGHT )], [eqn: sigma LEFT ( {barX`} RIGHT ) = {sigma LEFT ( X` RIGHT )} over {sqrt {16}} `]이므로

[eqn: {rmE it } LEFT ( {barX`} RIGHT ) =20], [eqn: sigma LEFT ( {barX`} RIGHT ) = {5} over {4}]

[eqn: THEREFORE][eqn: {rmE it } LEFT ( {barX`} RIGHT ) + sigma LEFT ( {barX`} RIGHT )][eqn: =20+ {5} over {4} = {85} over {4}]

① [eqn: {91} over {4}]	② [eqn: {89} over {4}]	③ [eqn: {87} over {4}]

④ [eqn: {85} over {4}]	⑤ [eqn: {83} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 23

표준편차가 [eqn: rm 12]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: rm 36]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 할 때, [eqn: sigma( bar{X})]의 값은?

[정답] ②

[해설]

모표준편차가 [eqn: rm 12]이고 표본의 크기가 [eqn: rm 36]이므로

[eqn: sigma( bar{X})={12} over { sqrt{36}}={12} over {6}=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

05 확통	09 통계적 추정
01 모평균과 표본평균
05 모평균과 표본평균5 (실생활에서 표본평균의 분포)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 30

주머니에 [eqn: 12]개의 공이 들어 있다. 이 공들 각각에는 숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4] 중 하나씩이 적혀 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 4]번 반복하여 확인한 [eqn: 4]개의 수의 합을 확률변수 [eqn: X]라 할 때, 확률변수 [eqn: X]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 23]

[해설]

주머니에서 임의로 꺼낸 한 개의 공에 적혀 있는 수를 확률변수 [eqn: Y]라 할 때, 확률변수 [eqn: Y]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: Y]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	합계
[eqn: rm P it LEFT ( Y=y RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: c]	[eqn: d]	[eqn: 1]

[eqn: X][eqn: =4]인 경우는 [eqn: 4]개의 수가 모두 [eqn: 1]이어야 하므로

[eqn: rm P it LEFT ( X=4 RIGHT )][eqn: =a ^{4}]

[eqn: a ^{4}][eqn: = {1} over {81}]에서 [eqn: 0 LEQ a LEQ 1]이므로 [eqn: a][eqn: = {1} over {3}]

[eqn: X][eqn: =16]인 경우는 [eqn: 4]개의 수가 모두 [eqn: 4]이어야 하므로

[eqn: rm P it LEFT ( X=16 RIGHT )][eqn: =d ^{4}]

[eqn: 16d ^{4}][eqn: = {1} over {81}]에서 [eqn: 0 LEQ d LEQ 1]이므로 [eqn: d][eqn: = {1} over {6}]

[eqn: a+b+c+d][eqn: =1]이므로

[eqn: b+c][eqn: = {1} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

확인한 [eqn: 4]개의 수의 표본평균을 [eqn: {bar{Y}}]라 하면

[eqn: X][eqn: =4 {bar{Y}}]이다.

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = rm E it LEFT ( 4 {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =4` rm E it LEFT ( {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =4 rm `E it LEFT ( Y RIGHT )]
[eqn: =4 LEFT ( {1} over {3} +2b+3c+ {4} over {6} RIGHT )][eqn: =4 LEFT ( 1+2b+3c RIGHT )]

[eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =9]에서 [eqn: 4 LEFT ( 1+2b+3c RIGHT )][eqn: =9]이므로

[eqn: 2b+3c][eqn: = {5} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: b][eqn: = {1} over {4}], [eqn: c][eqn: = {1} over {4}]

[eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = rm V it LEFT ( 4 {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =16 rm `V it LEFT ( {bar{Y}} RIGHT )][eqn: =4` rm V it LEFT ( Y RIGHT )]
[eqn: =4 LEFT [ rm E it LEFT ( Y ^{2} RIGHT ) - LEFT { rm E it LEFT ( Y RIGHT ) RIGHT } ^{2} RIGHT ]]
[eqn: =4 LEFT { LEFT ( {1} over {3} + {4} over {4} + {9} over {4} + {16} over {9} RIGHT ) - LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]
[eqn: =4 LEFT ( {25} over {4} - {81} over {16} RIGHT )][eqn: = {19} over {4}]

따라서 [eqn: p][eqn: =4], [eqn: q][eqn: =19]이므로 [eqn: p+q][eqn: =23]

(가) [eqn: rm P it LEFT ( X=4 RIGHT )][eqn: =16 TIMES rm P it LEFT ( X=16 RIGHT )][eqn: = {1} over {81}]

(나) [eqn: rm E it LEFT ( X RIGHT )][eqn: =9]

[eqn: rm V it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

05 확통	09 통계적 추정
02 표본평균의 확률분포
02 표본평균의 정규분포2 (정규분포조건에서 확률)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 27

평

<표준정규분포표>

[eqn: {z}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

균이 [eqn: 100 {{from^2021^7월 사관학교^중}}], 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 [eqn: 25]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{X}]라 하자. [eqn: rmP(it98 le bar{X} le 102)=0.9876]일 때, [eqn: sigma]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ⑤

[해설]

확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( 100,````sigma ^{2} RIGHT )]을 따른다.

표본평균 [eqn: bar{X}]는 크기가 [eqn: 25]이므로 [eqn: bar{X}` SIM rm N it LEFT ( 100,```` LEFT ( {sigma} over {5} RIGHT ) ^{2} RIGHT )]

따라서

[eqn: rm P( it 98 LEQ {bar{X}} LEQ 102)][eqn: rm =2P( it 0 LEQ Z LEQ {10} over {sigma} )][eqn: =0.9876]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm P( it 0 LEQ Z LEQ {10} over {sigma } )][eqn: =0.4938]

표준정규분포표에서 [eqn: {10} over {sigma}][eqn: = {5} over {2}]이므로 [eqn: sigma=4]

① [eqn: 2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 7 over2]	⑤ [eqn: 4]

05 확통	09 통계적 추정
02 표본평균의 확률분포
03 표본평균의 정규분포3 (실생활. 확률 구하기)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 25

어

[eqn: z]	[eqn: rm P(0 le itZ it le z )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

느 회사에서 근무하는 직원들의 일주일 근무 시간은 평균이 [eqn: 42`]시간, 표준편차가 [eqn: 4`]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 근무하는 직원 중에서 임의추출한 [eqn: 4 `]명의 일주일 근무 시간의 표본평균이 [eqn: 43`]시간 이상일 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

[정답] ④

[해설]

근무 시간은 확률변수 [eqn: X]라 하면 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rmN left(42,``4^2 right)]을 따르므로 [eqn: n=4]일 때의 표본평균 [eqn: bar{X``}`]는 정규분포 [eqn: rmN left(42,``2^2 right)]을 따른다.

[eqn: therefore][eqn: rmP left(itbar{X``}ge43 right)][eqn: =rmP left(itZ ge{43-42}over2 right)]
[eqn: =rmP left(itZ ge0.5right)]
[eqn: =0.5-rmP left(0le itZ le0.5right)]
[eqn: =0.5-0.1915]
[eqn: =0.3085]

① [eqn: 0.0228]	② [eqn: 0.0668]	③ [eqn: 0.1587]

④ [eqn: 0.3085]	⑤ [eqn: 0.3413]

05 확통	09 통계적 추정
02 표본평균의 확률분포
04 표본평균의 정규분포4 (실생활. 확률조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 12

어느 제과 공장에서 생산하는 과자 [eqn: 1]상자의 무게는 평균이 [eqn: 104][eqn: rmg], 표준편차가 [eqn: 4][eqn: rm g]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산한 과자 중 임의추출한 [eqn: 4]상자의 무게의 표본평균이 [eqn: a][eqn: rmg] 이상이고 [eqn: 106][eqn: rmg] 이하일 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구하면 [eqn: 0.5328]이다. 상수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 104 ,```` 4 ^{2} RIGHT )]을 따르는 모집단에서 임의추출한 과자 [eqn: 4]상자의 무게의 표본평균을 [eqn: {bar{X}}]라 하면 [eqn: {bar{X}}]는 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 104 ,```` {4 ^{2}} over {4} RIGHT )] 즉, [eqn: rm N it LEFT ( 104 ,```` 2 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

그러므로 확률변수 [eqn: Z][eqn: = {{bar{X}} -104} over {2}]는 표준정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( 0 ,```` 1 ^{2} RIGHT )]을 따른다.

[eqn: rm P it LEFT ( a LEQ {bar{X}} LEQ 106 RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( {a-104} over {2} LEQ Z LEQ 1 RIGHT )]

[eqn: rm P it LEFT ( - .5 LEQ Z LEQ 1 RIGHT )][eqn: =0.5328]이므로 [eqn: {a-104} over {2}][eqn: = it - .5]

따라서 [eqn: a=103]

[eqn: {z}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 99]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 101]

④ [eqn: 102]	⑤ [eqn: 103]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 12

어느 회사에서 일하는 플랫폼 근로자의 일주일 근무 시간은 평균이 [eqn: m]시간, 표준편차가 [eqn: 5]시간인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사에서 일하는 플랫폼 근로자 중에서 임의추출한 [eqn: 36]명의 일주일 근무시간의 표본평균이 [eqn: 38]시간 이상일 확률을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 [eqn: 0.9332]일 때, [eqn: m]의 값은?

[정답] ③

[해설]

어

<표준정규분포표>

[eqn: z]	[eqn: {rmP}(0 LEQ Z LEQ z)`]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

느 회사에서 일하는 플랫폼 근로자의 일주일 근무 시간은 평균이 [eqn: m]시간, 표준편차가 [eqn: 5]시간인 정규분포를 따르므로 확률변수 [eqn: X]는 [eqn: {rm N}(m ,```` 5^2 )]이다.

그런데, [eqn: 36]명을 임의추출한 정규분포 [eqn: bar X]는 크기가 [eqn: n= 36]이므로 [eqn: {rm N }left (m ,```` left( 5 over 6right)^2 right)]을 따른다.

근무시간의 표본평균이 [eqn: 38]시간 이상 일 확률이 [eqn: 0.9332]이므로

[eqn: {rm P}( bar X ge 38) =0.9332]

즉, [eqn: {rm P} left( Z ge {38-m} over {5 over 6} right) =0.9332]

즉, 위의 정규분포곡선에서 [eqn: {38-m} over {5 over 6} = - 3 over 2]이 성립하므로

[eqn: 38-m= - 5 over 4]	[eqn: therefore][eqn: m=39.25]

[eqn: z]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

① [eqn: 38.25]	② [eqn: 38.75]	③ [eqn: 39.25]

④ [eqn: 39.75]	⑤ [eqn: 40.25]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 14

어느 지역의 신생아의 출생 시 몸무게 [eqn: X]가 정규분포를 따르고

[정답] ③

[해설]

확률변수 [eqn: X`]가 정규분포 [eqn: rm N it ( m,~sigma ^2 )]을 따른다고 하면

[eqn: rm P it ( X ge 3.4 ) = 1 over 2]이므로 [eqn: m = 3.4]

[eqn: rm P( it Z le -1) = rm P it ( Z ge 1 )]이므로 [eqn: rm P it (X le 3.9 ) + rm P( it Z ge 1 ) = 1]에서

[eqn: rm P ( it X ge 3.9 ) = rm P( it Z ge 1 )]

이때 [eqn: Z = { X - 3.4} over { sigma}]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z`]는 표준정규분포 [eqn: rm N( 0,~1)]을 따르므로

[eqn: rm P ( it X ge 3.9 ) = rm P it left( Z ge { 3.9 - 3.4 } over { sigma} right) = rm P it left (Z ge 0.5 over sigma right)]

즉, [eqn: 0.5 over sigma = 1]이므로 [eqn: sigma = 0.5]

따라서 [eqn: rm E( it bar {X``} ) = 3.4], [eqn: sigma ( bar {X``} ) = 0.5 overroot25 = 0.1]이므로 확률변수 [eqn: bar {X``}]는 정규분포 [eqn: rm N( 3.4,~0.1^2 )]을 따르고

[eqn: Z = { bar {X``} - 3.4} over {0.1 }]로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: rm N (0,~1)]을 따르므로

[eqn: rm P(it bar {X``} ge 3.55 )][eqn: = rm P left( it Z ge { 3.55 - 3.4 } over { 0.1 } right)]
[eqn: = rm P it ( Z ge 1.5 )]
[eqn: = 0.5 - rm P( it 0 le Z le 1.5 )]
[eqn: = 0.5 - 0.4332]
[eqn: = 0.0668]

[eqn: rm P( it X ge 3.4 ) = 1over 2], [eqn: rm P( it X le 3.9 ) + rm P( it Z le -1 ) = 1]

이다. 이 지역 신생아 중에서 임의추출한 [eqn: 25]명의 출생 시 몸무게의 표본평균을 [eqn: bar {X``}]라 할 때, [eqn: rm P( it bar {X``} ge 3.55 )]의 값을 다음 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

(단, 몸무게의 단위는 [eqn: rm kg]이고, [eqn: Z`]는 표준정규분포표를 따르는 확률변수이다.)

<표준정규분포표>
[eqn: z`]	[eqn: rmP LEFT ( it 0 le Z le z RIGHT )`]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]

① [eqn: 0.0062]	② [eqn: 0.0228]	③ [eqn: 0.0668]

④ [eqn: 0.1587]	⑤ [eqn: 0.3413]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 27

지역 [eqn: {rm A}{{from^2021^09^평가원^중}}`]에 살고 있는 성인들의 [eqn: 1`]인 하루 물 사용량을 확률변수 [eqn: X`], 지역 [eqn: rmB`]에 살고 있는 성인들의 [eqn: 1]인 하루 물 사용량을 확률변수 [eqn: Y` `]라 하자. 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y` `]는 정규분포를 따르고 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

확률변수 [eqn: X]의 표준편차를 [eqn: a]라 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( it220 ,```` a^2 RIGHT )]을 따른다.

확률변수 [eqn: bar { X }]는 정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( it 220 ,```` LEFT ( { a} over { sqrt { n} } RIGHT )^2 RIGHT )]을 따르고, [eqn: Z= { bar { X }-220 } over { { a} over { sqrt { n} } }]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( 0 ,```` 1 RIGHT )]을 따른다. 이때,

[eqn: {rmP} LEFT ( it bar { X }le 215 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT (it Z le { 215-220} over { { a} over { sqrt { n} } } RIGHT )]
[eqn: ={rmP} LEFT ( itZ le - { 5 sqrt { n} } over {a } RIGHT )]
[eqn: ={rmP} LEFT (it Z ge { 5 sqrt { n} } over {a } RIGHT )]
[eqn: =0.5-{rmP} LEFT ( it0 le Z le { 5 sqrt { n} } over {a } RIGHT )]

[eqn: 0.5-{rmP} LEFT (it 0 le Z le { 5 sqrt { n} } over { a} RIGHT )=0.1587]에서 [eqn: {rmP} LEFT ( it0 le Z le { 5 sqrt { n} } over {a } RIGHT )=0.3413]이므로 [eqn: { 5 sqrt { n} } over { a}=1]

[eqn: { a} over { sqrt { n} }=5]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

한편, 조건 (나)에서 확률변수 [eqn: Y]의 표준편차는 [eqn: { 3a} over { 2}]이므로 확률변수 [eqn: Y]는 정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( it240 ,```` LEFT ( { 3a} over { 2} RIGHT )^2 RIGHT )]을 따른다.

확률변수 [eqn: bar { Y }]는 정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( it240 ,```` LEFT ( { { 3a} over { 2} } over {3 sqrt { n} } RIGHT )^2 RIGHT )]을 따르고, ㉠에서 [eqn: { { 3a} over { 2} } over {3 sqrt { n} }= { 1} over { 2} TIMES {a } over { sqrt { n} }= { 5} over { 2}]이므로 [eqn: Z= { bar { Y }-240 } over { { 5} over { 2} }]으로 놓으면 확률변수 [eqn: Z]는 표준정규분포 [eqn: {rmN} LEFT ( 0 ,```` 1 RIGHT )]을 따른다.

따라서

[eqn: {rmP} LEFT (it bar { Y } ge 235 RIGHT )][eqn: ={rmP} LEFT ( itZ ge { 235-240} over { { 5} over {2 } } RIGHT )]
[eqn: ={rmP} LEFT ( it Z ge -2 RIGHT )]
[eqn: ={rmP} LEFT (it -2 le Z le 0 RIGHT )+0.5]
[eqn: ={rmP} LEFT ( it 0 le Z le 2 RIGHT )+0.5]
[eqn: =0.4772+0.5]
[eqn: =][eqn: 0.9772]

(가) 두 확률변수 [eqn: X`], [eqn: Y` `]의 평균은 각각 [eqn: 220`]과 [eqn: 240`]이다.

(나) 확률변수 [eqn: Y``]의 표준편차는 확률변수 [eqn: X``]의 표준편차의 [eqn: 1.5`]배이다.

지

[eqn: z]	[eqn: {rmP it } LEFT (0 LEQ Z` LEQ z RIGHT )]
[eqn: 0.5]	[eqn: 0.1915]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]

역 [eqn: rmA`]에 살고 있는 성인 중 임의추출한 [eqn: n]명의 [eqn: 1]인 하루 물 사용량의 표본평균을 [eqn: {bar{X` }}], 지역 [eqn: rmB`]에 살고 있는 성인 중 임의추출한 [eqn: 9n`]명의 [eqn: 1`]인 하루 물 사용량의 표본평균을 [eqn: {bar{Y` }}`]라 하자. [eqn: {rmP it }it LEFT ( {bar{X` }} LEQ 215 RIGHT ) =0.1587`]일 때, [eqn: {rmP it }it LEFT ( {bar{Y` }} GEQ 235 RIGHT )`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 물 사용량의 단위는 [eqn: rmL]이다.)

① [eqn: 0.6915]	② [eqn: 0.7745]	③ [eqn: 0.8185]

④ [eqn: 0.8413]	⑤ [eqn: 0.9772]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
03 신뢰구간3 (관계식 해석)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 27

어느 회사에서 생산하는 샴푸 [eqn: rm 1]개의 용량은 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( m,`` sigma ^{2} RIGHT )]을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 [eqn: rm 16]개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95 %]의 신뢰구간이 [eqn: 746.1 LEQ m LEQ 755.9]이다.

[정답] ②

[해설]

이 회사에서 생산하는 샴푸 [eqn: rm 1]개의 용량을 [eqn: X({rm{mL}} it )]라 하면 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: {rm{N}} it left(m,`` sigma^{2} right)]을 따른다.

표본의 크기가 [eqn: rm 16]일 때의 표본평균을 [eqn: overline{x_{1}}]이라 하면 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95 %]의 신뢰구간은

[eqn: overline{x_{1}}-1.96 times { sigma} over { sqrt{16}} leq m leq overline{x_{1}}+1.96 times { sigma} over { sqrt{16}}]

이므로

[eqn: 2 times 1.96 times { sigma} over { sqrt{16}}=755.9-746.1]

[eqn: sigma=10]

표본의 크기가 [eqn: n]일 때의 표본평균을 [eqn: overline{x_{2}}]라 하면 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99 %]의 신뢰구간은

[eqn: overline{x_{2}}-2.58 times {10} over { sqrt{n}} leq m leq overline{x_{2}}+2.58 times {10} over { sqrt{n}}]

이므로

[eqn: b-a=2 times 2.58 times {10} over { sqrt{n}}][eqn: ={51.6} over { sqrt{n}}]

따라서 [eqn: {51.6} over { sqrt{n}} leq 6]에서

[eqn: sqrt{n} geq {51.6} over {6}=8.6]

[eqn: n geq 8.6^{2}=73.96]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: rm 74]이다.

이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간이 [eqn: a LEQ m LEQ b]일 때, [eqn: b-a]의 값이 [eqn: rm 6] 이하가 되기 위한 자연수 [eqn: n]의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 [eqn: {rm{mL}} it]이고, [eqn: Z`]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P it LEFT ( LEFT | Z` RIGHT | LEQ 1.96 RIGHT ) =0.95], [eqn: rm P it LEFT ( LEFT | Z` RIGHT | LEQ 2.58 RIGHT )=0.99]로 계산한다.)

① [eqn: rm 70]	② [eqn: rm 74]	③ [eqn: rm 78]

④ [eqn: rm 82]	⑤ [eqn: rm 86]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
04 신뢰구간4 (신뢰구간의 길이)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 27

어느 자동차 회사에서 생산하는 전기 자동차의 [eqn: 1]회 충전 주행 거리는 평균이 [eqn: m]이고 표준편차가 [eqn: sigma]인 정규분포를 따른다고 한다.

[정답] ②

[해설]

전기 자동차 [eqn: 100]대를 임의추출하여 얻은 [eqn: 1]회 충전 주행 거리의 표본평균이 [eqn: bar { x_1}]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95`%]의 신뢰구간은

[eqn: bar { x_1}-1.96 TIMES { sigma} over { sqrt { 100} } le m le bar { x_1} +1.96 TIMES { sigma} over { sqrt { 100} }]

[eqn: bar { x_1}-1.96 TIMES { sigma} over { 10}le m le bar { x_1}+1.96 TIMES { sigma} over { 10}]

전기 자동차 [eqn: 400]대를 임의추출하여 얻은 [eqn: 1]회 충전 주행 거리의 표본평균이 [eqn: bar { x_2}]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99`%]의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x _{2}}} -2.58 TIMES {sigma } over {sqrt {400}} LEQ m LEQ {bar{x _{2}}} +2.58 TIMES {sigma } over {sqrt {400}}]

[eqn: {bar{x _{2}}} -2.58 TIMES {sigma } over {20} LEQ m LEQ {bar{x _{2}}} +2.58 TIMES {sigma } over {20}]

이때, [eqn: a=c]에서

[eqn: bar { x_1 }-1.96 TIMES { sigma} over { 10}= bar { x_2}-2.58 TIMES { sigma} over { 20}]

이고 [eqn: bar { x_1}- bar { x_2}=1.34]이므로

[eqn: bar { x_1}- bar { x_2}][eqn: =1.96 TIMES { sigma} over { 10}-2.58 TIMES { sigma} over { 20}]
[eqn: =0.67 TIMES { sigma} over { 10}=1.34]

[eqn: sigma= { 1.34 TIMES10 } over { 0.67}=20]

따라서,

[eqn: b-a][eqn: =2 TIMES1.96 TIMES { sigma} over { 10}]
[eqn: =2 TIMES1.96 TIMES2]
[eqn: =7.84]

이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 [eqn: 100]대를 임의추출하여 얻은 [eqn: 1]회 충전 주행 거리의 표본평균이 [eqn: {bar{x _{1}}}]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간이 [eqn: a LEQ m LEQ b]이다.

이 자동차 회사에서 생산한 전기 자동차 [eqn: 400]대를 임의추출하여 얻은 [eqn: 1]회 충전 주행 거리의 표본평균이 [eqn: {bar{x _{2}}}]일 때, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 99%]의 신뢰구간이 [eqn: c LEQ m LEQ d]이다.

[eqn: {bar{x _{1}}} - {bar{x _{2}}} =1.34]이고 [eqn: a=c]일 때, [eqn: b-a]의 값은? (단, 주행 거리의 단위는 [eqn: rm`km]이고 [eqn: Z`]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 [eqn: {rmP} LEFT ( LEFT | `Z` RIGHT | LEQ 1.96 RIGHT ) =0.95], [eqn: rm P it LEFT ( LEFT | `Z` RIGHT | LEQ 2.58 RIGHT ) =0.99]로 계산한다.)

① [eqn: 5.88]	② [eqn: 7.84]	③ [eqn: 9.80]

④ [eqn: 11.76]	⑤ [eqn: 13.72]

05 확통	09 통계적 추정
03 모평균의 추정
05 신뢰구간5 (표본의 크기)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 14

어느 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]개의 무게는 평균이 [eqn: m,] 표준편차가 [eqn: 50]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 방위산업체에서 생산하는 방독면 중에서 [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 방독면 무게의 표본평균이 [eqn: 1740]이었다. 이 결과를 이용하여 이 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: 1]개의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: 1720.4 le m le a]이다. [eqn: n+a]의 값은?

[정답] ④

[해설]

어느 방위산업체에서 생산하는 방독면 [eqn: {1}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]개의 무게는 평균이 [eqn: m,] 표준편차가 [eqn: 50]인 정규분포를 따르므로 [eqn: {rmN} (m ,````50^2 )]

이 방위산업체에서 생산하는 방독면 중에서 [eqn: n]개를 임의추출하여 얻은 방독면 무게의 표본평균이 [eqn: 1740]이므로

[eqn: m=1740]

따라서 [eqn: {rmN} left(1740 ,````left( 50 over rootn right)^2 right)]을 따른다.

방독면 [eqn: 1]개의 무게의 평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: 1720.4 le m le a]이므로

[eqn: 1740 - 1.96 times 50 over rootn][eqn: = 1720.4].

[eqn: 1740 + 1.96 times 50 over root n =a]

[eqn: therefore][eqn: n][eqn: =25], [eqn: a][eqn: = 1759.6]

[eqn: therefore][eqn: n+a][eqn: = 1784.6]

(단, 무게의 단위는 [eqn: rm g]이고, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: {rm P} (0 le Z le 1.96)][eqn: = 0.475]로 계산한다.)

① [eqn: 1772. 6]	② [eqn: 1776.6]	③ [eqn: 1780.6]

④ [eqn: 1784.6]	⑤ [eqn: 1788.6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 25

어느 회사가 생산하는 약품 한 병의 무게는 평균이 [eqn: {m rm g it }{{from^2020^10^서울고3가^중}}], 표준편차가 [eqn: 1 {rm g}]인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사가 생산한 약품 중 [eqn: n]병을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여, 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간을 구하면 [eqn: a LEQ m LEQ b]이다. [eqn: 100(b-a)=49]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값을 구하시오. (단, [eqn: Z]가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, [eqn: rm P it ( left |`` Z ``right | LEQ 1.96)=0.95]로 계산한다.)

[정답] [eqn: bold { 64 }]

[해설]

모표준편차가 [eqn: 1]이고 표본의 크기가 [eqn: n]일 때, 표본평균을 [eqn: {bar{x}}]라 하면 모평균 [eqn: m]에 대한 신뢰도 [eqn: 95%]의 신뢰구간은

[eqn: {bar{x}} -1.96 TIMES {1} over {sqrt {n}} LEQ m LEQ {bar{x}} +1.96 TIMES {1} over {sqrt {n}}]

[eqn: 100 LEFT ( b-a RIGHT )][eqn: =100 TIMES 2 TIMES 1.96 TIMES {1} over {sqrt {n}}][eqn: =49]에서 [eqn: n=64]

[확통] [04통계] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
확통 3개년	2022.12.29

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 78 }]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: bold80]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold10]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 121 }]

[정답] [eqn: bold { 300 }]

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] [eqn: bold{16}]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 5]

[정답] [eqn: 31]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 25]

[정답] ④

[정답] [eqn: 71`]

[정답] [eqn: rm 175]

[정답] [eqn: bold19]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 23]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 64 }]

[확통] [04통계] 교사평경 최근 3개년(해설)
확통 3개년	2022.12.29