		확통 3개년	2022.12.29
교사평경3	02	[확통] [03확률] 교사평경 최근 3개년

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
01 수학적 확률1 (경우의 수 - 단순확률, 케이스 분류 포함)

교사평경3		확통 3개년
02		[확통] [03확률] 교사평경 최근 3개년

	확통 3개년		교사평경3
	[확통] [03확률] 교사평경 최근 3개년		02

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 8

네 개의 수 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7] 중에서 임의로 선택한 한 개의 수를 [eqn: a]라 하고, 네 개의 수 [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10] 중에서 임의로 선택한 한 개의 수를 [eqn: b]라 하자. [eqn: 1<{b} over {a}<4]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

두 수 [eqn: a], [eqn: b]를 선택하는 모든 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{C}} it _{1}=4 times 4=16]

(i) [eqn: a=1]일 때,
[eqn: 1<{b} over {1}<4], 즉 [eqn: 1<b<4]이므로
[eqn: b]는 존재하지 않는다.

(ii) [eqn: a=3]일 때,
[eqn: 1<{b} over {3}<4], 즉 [eqn: 3<b<12]이므로
[eqn: b=4], [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10]

(iii) [eqn: a=5]일 때,
[eqn: 1<{b} over {5}<4], 즉 [eqn: 5<b<20]이므로
[eqn: b=6], [eqn: 8], [eqn: 10]

(iv) [eqn: a=7]일 때,
[eqn: 1<{b} over {7}<4], 즉 [eqn: 7<b<28]이므로
[eqn: b=8], [eqn: 10]

(i)~(iv)에서 주어진 조건을 만족시키도록

두 수 [eqn: a], [eqn: b]를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 0+4+3+2=9]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {9} over {16}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {9} over {16}]	③ [eqn: {5} over {8}]

④ [eqn: {11} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 24

네 개의 수 [eqn: {1 ,```` 3 ,```` 5 ,```` 7}{{from^2021^09^평가원^중}}] 중에서 임의로 선택한 한 개의 수를 [eqn: a]라 하고, 네 개의 수 [eqn: 2 ,```` 4 ,```` 6 ,```` 8] 중에서 임의로 선택한 한 개의 수를 [eqn: b]라 하자. [eqn: a times b > 31]일 확률은?

[정답] ③

[해설]

모든 [eqn: a ,```` b]의 순서쌍 [eqn: (a ,```` b)]의 개수는

[eqn: 4 times 4 = 16]

[eqn: a times b > 31]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a ,```` b)]는

[eqn: (5 ,```` 8) ,```` (7 ,```` 6) ,```` (7 ,```` 8)]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 3 over 16]

① [eqn: 1 over 16]	② [eqn: 1 over 8]	③ [eqn: 3 over 16]

④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 5 over 16]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 27

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 하자. 이차부등식

[정답] ①

[해설]

주사위를 두 번 던져서 나오는 전체 경우의 수는 [eqn: 6times6=36]가지이다.

[eqn: ax^2 + 2bx + a-3 le 0`]에서 최고차항의 계수가 양수이므로 해가 존재하기 위해서는 이차방정식 [eqn: ax^2 +2bx+a-3=0]의 판별식을 [eqn: D]라 할 때

[eqn: D over4 =b^2 -a left(a-3right)ge0], 즉 [eqn: b^2 ge a left(a-3right)]

을 만족해야 한다.

(ⅰ) [eqn: a=1], [eqn: 2], [eqn: 3]일 때
[eqn: b=1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 6]이면 성립하므로 가능한 경우의 수는 [eqn: 3times6=18]가지이다.

(ⅱ) [eqn: a=4]일 때
[eqn: b^2 ge4]에서 [eqn: b=2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: 5]가지이다.

(ⅲ) [eqn: a=5]일 때
[eqn: b^2 ge10]에서 [eqn: b=4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 [eqn: 3]가지이다.

(ⅳ) [eqn: a=6]일 때
[eqn: b^2 ge18]에서 [eqn: b=5], [eqn: 6]의 [eqn: 2]가지이다.

이상에서 이차부등식 [eqn: ax^2 + 2bx + a-3 le 0`]의 해가 존재하는 경우의 수는 [eqn: 18+5+3+2=28]이므로 구하는 확률은

[eqn: 28over36 = 7 over9]

[eqn: ax^2 + 2bx + a-3 le 0`]

의 해가 존재할 확률은?

① [eqn: 7 over 9 `]	② [eqn: 29 over 36 `]	③ [eqn: 5 over 6 `]

④ [eqn: 31 over 36 `]	⑤ [eqn: 8 over 9 `]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 24

주머니 [eqn: rm A]에는 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 3]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 3]장의 카드가 들어 있고, 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에는 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 5]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 5]장의 카드가 들어 있다.

[정답] ①

[해설]

주머니 [eqn: rm A]에서 꺼낸 카드에 적혀있는 수를 [eqn: a], 주머니 [eqn: rm B]에서 꺼낸 카드에 적혀있 는 수를 [eqn: b]라 하면

모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b)]의 개수는 [eqn: 3 times 5=15]

이때 [eqn: |a-b|=1]인 순서쌍 [eqn: (a,`` b)]는

[eqn: (1,``2)], [eqn: (2,``1)], [eqn: (2,``3)], [eqn: (3,``2)], [eqn: (3,``4)]이고,

그 개수는 [eqn: rm 5]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {5} over {15}={1} over {3}]

두 주머니 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 각각 카드를 임의로 한 장씩 꺼낼 때, 꺼낸 두 장의 카드에 적힌 수의 차가 [eqn: rm 1]일 확률은?

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {7} over {15}]

④ [eqn: {8} over {15}]	⑤ [eqn: {3} over {5}]

[eqn: RMA]	[eqn: RMB]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 28

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 10]까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: rm 3]개의 수를 선택한다. 선택된 세 개의 수의 곱이 [eqn: rm 5]의 배수이고 합은 [eqn: rm 3]의 배수일 확률은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 10]까지의 자연수를 [eqn: rm 3]으로 나눴을 때의 나머지에 따라 분류해보자.

나머지 [eqn: 1: 1], [eqn: 4], [eqn: 7], [eqn: 10]

나머지 [eqn: 2: 2], [eqn: 5], [eqn: 8]

나머지 [eqn: 0: 3], [eqn: 6], [eqn: 9]

선택된 세 개의 수의 곱이 [eqn: rm 5]의 배수이므로, [eqn: rm 5] 또는 [eqn: rm 10]을 적어도 하나 포함한다.

(i) [eqn: rm 5]를 포함하고, [eqn: rm 10]을 포함하지 않을 때
나머지 두 수의 합이 [eqn: rm 3]으로 나누었을 때 나머지가
[eqn: rm 1]이어야 하므로, 가능한 경우는 다음과 같다.

① 나머지가 [eqn: rm 1]인 숫자와 나머지 [eqn: rm 0]인 숫자를 하나씩 뽑을 때 [eqn: 3 times 3=9]가지

② 나머지가 [eqn: rm 2]인 숫자를 두 개 뽑을 때
[eqn: it _{2} {rm{C}} it _{2}=1]가지

(ii) [eqn: rm 5]를 포함하지 않고, [eqn: rm 10]을 포함할 때
나머지 두 수의 합이 [eqn: rm 3]으로 나누었을 때 나머지가 [eqn: rm 2]이어야 하므로, 가능한 경우는 다음과 같다.

① 나머지가 [eqn: rm 2]인 숫자와 나머지가 [eqn: rm 0]인 숫자를 하나씩
뽑을 때
[eqn: 2 times 3=6]가지

② 나머지가 [eqn: rm 1]인 숫자를 두 개 뽑을 때
[eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2}=3]가지

(iii) [eqn: rm 5]와 [eqn: rm 10]을 모두 포함할 때
나머지 한 개의 숫자는 [eqn: rm 3]으로 나누어떨어져야 하므로,
이때 경우의 수는 [eqn: rm 3]가지이다.

[eqn: therefore~{22} over { it _{10} {rm{C}} it _{3}}={11} over {60}]

① [eqn: {3} over {20}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {11} over {60}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {60}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
02 수학적 확률2 (순열 이용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 9

문자 [eqn: {{rm A }{{from^2020^11^대수능고3가^중}}], [eqn: {rm B], [eqn: {rm C], [eqn: {rm D], [eqn: {rm E]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 5]장의 카드와 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 4]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 9]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 문자 [eqn: {rm A]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 각각 숫자가 적혀 있는 카드가 놓일 확률은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 9]장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 9!]

문자 [eqn: RMA]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 숫자가 적혀 있는 카드를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {}_{4} RMP _{2} =4TIMES3=12]

이 각각에 대하여 나머지 카드 [eqn: 6]장과 함께 나열하는 경우의 수는 [eqn: 7!]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {12TIMES7!} over {9!} = {1} over {6}]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {12}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 17

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 7]장의 카드가 있다. 이 [eqn: rm 7]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 다음 조건을 만족시킬 확률은?

[정답] ②

[해설]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 7]장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 7!]

조건 (가)에 의해 [eqn: rm 4]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 있는 카드는 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]이 적혀 있는 [eqn: rm 3]장의 카드 중 [eqn: rm 2]장이다.

(i) [eqn: rm 4]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 있는 카드가 [eqn: rm 6], [eqn: rm 7]이 적혀 있는 카드인 경우 [eqn: box{`` 6 ``}][eqn: box{`` 4 ``}][eqn: box{`` 7 ``}] 일 때

조건 (나)에 의해

[eqn: rm 5]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 있는 카드는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 적혀 있는 카드 [eqn: rm 3]장의 카드 중 [eqn: rm 2]장이고 이 [eqn: rm 2]장의 카드의 위치를 바꿀 수 있으므로 이때의 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} times 2 ! it = it _{3} {rm{C}} it _{1} times 2 ! it =6]

이 각각에 대하여 [eqn: rm 4]가 적힌 카드와 양옆에 있는 카드를 [eqn: rm 1]장의 카드로 생각하고, [eqn: rm 5]가 적힌 카드와 양옆에 있는 카드를 [eqn: rm 1]장의 카드로 생각하여 남은 [eqn: rm 1]장의 카드와 함께 [eqn: rm 3]장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 3 ! it =6]

따라서 [eqn: box{`` 6 ``}][eqn: box{`` 4 ``}][eqn: box{`` 7 ``}]일 때 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 [eqn: 6 times 6=36]

마찬가지로 [eqn: box{`` 7 ``}][eqn: box{`` 4 ``}][eqn: box{`` 6 ``}]일 때 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 [eqn: rm 36]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 [eqn: 36+36=72]

(ii ) [eqn: rm 4]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆 에 있는 카드가 [eqn: rm 5], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 카드 인 경우 [eqn: box{`` 5 ``}][eqn: box{`` 4 ``}][eqn: box{`` 6 ``}]일 때

조건 (나)에 의해 [eqn: rm 5]가 적혀 있는 카드의 왼쪽 옆에 있는 카드는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 적혀 있는 [eqn: rm 3]장의 카드 중 [eqn: rm 1]장이므로 이때의 경우의 수는 [eqn: rm 3]

이 각각에 대하여 [eqn: rm 5]가 적혀 있는 카드의 왼쪽 옆에 있는 카드와 [eqn: rm 5]가 적혀있는 카드, [eqn: rm 4]가 적혀 있는 카드, [eqn: rm 6]이 적 혀 있는 카드를 [eqn: rm 1]장의 카드로 생각하여 남은 [eqn: rm 3]장의 카드와 함께 [eqn: rm 4]장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 4 ! it =24]

따라서 [eqn: box{`` 5 ``}][eqn: box{`` 4 ``}][eqn: box{`` 6 ``}]일 때 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 [eqn: 3 times 24=72]

마찬가지로 [eqn: box{`` 6 ``}][eqn: box{`` 4 ``}][eqn: box{`` 5 ``}]일 때 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는 [eqn: rm 72]

따라서 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는
[eqn: 72+72=144]

(iii) [eqn: rm 4]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 있는 카드가 [eqn: rm 5], [eqn: rm 7]이 적혀 있는 카드인 경우

(ii)와 마찬가지로 주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는

[eqn: rm 144]

(i), (ii), (iii)에서

주어진 조건을 만족시키는 경우의 수는

[eqn: 72+144+144=360]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {360} over {7 !}={1} over {14}]

(가) [eqn: rm 4]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에는 각각 [eqn: rm 4]보다 큰 수가 적혀 있는 카드가 있다.

(나) [eqn: rm 5]가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에는 각각 [eqn: rm 5]보다 작은 수가 적혀 있는 카드가 있다.

① [eqn: {1} over {28}]	② [eqn: {1} over {14}]	③ [eqn: {3} over {28}]

④ [eqn: {1} over {7}]	⑤ [eqn: {5} over {28}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 25

숫자 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 선택할 때, 선택한 수가 [eqn: 3500]보다 클 확률은?

[정답] ③

[해설]

전체 경우의 수 [eqn: 5 ^{4} =625]

첫 두 자리의 수가 [eqn: 35]인 경우 [eqn: 5 ^{2}]

첫 자리의 수가 [eqn: 4] 또는 [eqn: 5]인 경우 [eqn: 2 times 5 ^{3}]

따라서 선택한 수가 [eqn: 3500]보다 클 확률은

[eqn: {2 TIMES 5 ^{3} +5 ^{2}} over {5 ^{4}} = {11} over {25}]

① [eqn: {9} over {25}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {11} over {25}]

④ [eqn: {12} over {25}]	⑤ [eqn: {13} over {25}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
03 수학적 확률3 (조합 이용)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

그림은 여섯 개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타난 예이다.

[정답] [eqn: 259]

[해설]

① [eqn: a_{1}>a_{2}], [eqn: a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{1}]을 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6] 중에서 하나 정하면 된다.
따라서 [eqn: rm 5]가지

② [eqn: a_{1}<a_{2}], [eqn: a_{2}>a_{3}], [eqn: a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{1}]와 [eqn: a_{3}]는 [eqn: a_{2}]보다 작으므로 가능한 [eqn: a_{2}]는 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이고 그 각각에 대하여 [eqn: a_{2}]보다 작은 [eqn: a_{1}]을 정하기만 하면 되는데, 각각 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]가지이므로 모두 [eqn: rm 14]가지

③ [eqn: a_{1}<a_{2}<a_{3}], [eqn: a_{3}>a_{4}], [eqn: a_{4}<a_{5}<a_{6}]
[eqn: a_{3}]보다 작은 것이 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{4}]이므로 가능한 [eqn: a_{3}]는 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이고 그 각각에 대하여 [eqn: a_{1}<a_{2}]를 정하기만 하면된다. 따라서 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2}+ it _{4} {rm{C}} it _{2}+ it _{5} {rm{C}} it _{2}=19]가지

④ [eqn: a_{4}>a_{5}]인 경우는 ②를 반대로 대칭배열한다.
따라서 [eqn: rm 14]가지

⑤ [eqn: a_{5}>a_{6}]인 경우도 ①을 반대로 대칭배열한다. 따라서 [eqn: rm 5]가지 모든 경우의 수는 [eqn: rm 6]!이므로 구하는 확률은 [eqn: {5+14+19+14+5} over {6 !}={19} over {240}]

[eqn: therefore~19+240=259]

[eqn: {BOX{pile{#} 1 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 2 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 4 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 3 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 5 pile{#}}}]	[eqn: {BOX{pile{#} 6 pile{#}}}]

이 여섯 장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 임의로 일렬로 나열할 때, 이웃한 두 장의 카드 중 왼쪽 카드에 적힌 수가 오른쪽 카드에 적힌 수보다 큰 경우가 한 번만 나타날 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 16

집합 [eqn: {LEFT { x ``|`` x RIGHT .}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: ` RIGHT }]의 원소의 개수가 [eqn: 4]인 부분집합 중 임의로 하나의 집합을 택하여 [eqn: X]라 할 때, 집합 [eqn: X]가 다음 조건을 만족시킬 확률은?

[정답] ①

[해설]

원소의 개수가 [eqn: 4]인 부분집합의 개수는 [eqn: {}_{10} rmC _{4}][eqn: =210]

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지의 자연수 중에서 [eqn: 3]으로 나눈 나머지가 [eqn: 0 ,```` 1 ,```` 2]인 수의 집합을 각각 [eqn: A _{0}], [eqn: A _{1}], [eqn: A _{2}]라 하면

[eqn: A _{0}][eqn: = LEFT { 3 ,```` 6 ,```` 9 RIGHT }], [eqn: A _{1}][eqn: = LEFT { 1 ,```` 4 ,```` 7 ,```` 10 RIGHT }],

[eqn: A _{2}][eqn: = LEFT { 2 ,```` 5 ,```` 8 RIGHT }]

이다.

집합 [eqn: X]의 서로 다른 세 원소의 합이 항상 [eqn: 3]의 배수가 아니려면 집합 [eqn: X]는 세 집합 [eqn: A _{0}], [eqn: A _{1}], [eqn: A _{2}] 중 두 집합에서 각각 [eqn: 2]개의 원소를 택하여 이 네 수를 원소로 해야 한다.

(ⅰ) [eqn: A _{0}], [eqn: A _{1}]인 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmC _{2} TIMES _{4} C _{2}][eqn: =18]

(ⅱ) [eqn: A _{0}], [eqn: A _{2}]인 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm C _{2} TIMES _{3} C _{2}][eqn: =9]

(ⅲ) [eqn: A _{1}], [eqn: A _{2}]인 경우의 수는 [eqn: {}_{4} rm C _{2} TIMES _{3} C _{2}][eqn: =18]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 집합 [eqn: X]의 서로 다른 세 원소의 합이 항상 [eqn: 3]의 배수가 아닌 경우의 수는

[eqn: 18+9+18][eqn: =45]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {45} over {210}][eqn: = {3} over {14}]

집합 [eqn: X]의 서로 다른 세 원소의 합은 항상 [eqn: 3]의 배수가 아니다.

① [eqn: {3} over {14}]	② [eqn: {2} over {7}]	③ [eqn: {5} over {14}]

④ [eqn: {3} over {7}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
04 수학적 확률4 (중복순열 이용)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

어느 대학은 방문자가 있을 때 코로나 [eqn: rm 19] 발열 검사를 실시하고 그 결과가 정상이면 그날 지정된 색의 종이 밴드를 손목에 채워 들여보낸다. 종이 밴드는 빨간색 밴드, 주황색 밴드, 노란색 밴드, 초록색 밴드, 파란색 밴드가 있고, 그날 사용할 밴드는 전날 사용한 밴드의 색과 다른 한 색을 임의로 선택하여 그 색의 밴드를 사용한다. 첫날 파란색 밴드를 사용하였을 때, 다섯째 날 파란색 밴드를 사용할 확률은? (단, 각각의 밴드의 개수는 충분히 많다.)

[정답] ①

[해설]

모든 경우의 수는 [eqn: 4^{4}]인데 이 중에서 다섯째 날 파란색인 경우는

(ⅰ) 둘째 날과 넷째 날이 같은 색인 경우는
[eqn: 4 times 4 times 1=16]

(ⅱ) 둘째 날과 넷째 날이 다른 색인 경우는
[eqn: 4 times 3 times 3=36]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {16+34} over {4^{4}}={13} over {64}]

① [eqn: {13} over {64}]	② [eqn: {17} over {64}]	③ [eqn: {21} over {64}]

④ [eqn: {25} over {64}]	⑤ [eqn: {29} over {64}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 19

집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4 it right}]의 공집합이 아닌 모든 부분집합 [eqn: rm 15]개 중에서 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 임의로 일렬로 나열하고, 나열된 순서대로 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]라 할 때, [eqn: A subset B subset C]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

공집합이 아닌 서로 다른 [eqn: rm 15]개의 집합에서 임의로 서로 다른 세 부분집합을 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: 15 times 14 times 13]	[eqn: cdots cdots] ㉠

이때, 세 부분집합이 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]로 나열되었을 때, [eqn: A subset B subset C]를 만족시켜야 하므로 다음 그림과 같고 다음 세 조건을 만족시켜야 한다.

[eqn: A neq phi]이고 [eqn: B-A neq phi]이고 [eqn: C-B neq phi]

위에서 [eqn: A], [eqn: B-A], [eqn: C-B]를 각각 ㉠, ㉡, ㉢이라 하고 이 부분에 들어갈 원소의 개수로 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) ㉡: [eqn: rm 1]개, ㉢: [eqn: rm 1]개
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 ㉡과 ㉢에 들어갈 서로 다른 [eqn: rm 2]개를 택하는 경우의 수는 [eqn: 4 times 3]
이 각각에 대하여 ㉠에 [eqn: rm 2]개가 들어가는 경우의 수는 [eqn: rm 1]이고 ㉠에 [eqn: rm 1]개가 들어가는 경우의 수는 [eqn: rm 2]이므로 경우의 수는 [eqn: rm 3]
그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 4 times 3 times 3]

(ⅱ) ㉡: [eqn: rm 1]개, ㉢: [eqn: rm 2]개
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중 ㉡과 ㉢에 원소를 배정하는 경우의 수는 [eqn: 4 times it _{3} {rm{C}} it _{2}=4 times 3]
나머지 원소 [eqn: rm 1]개는 ㉠에 들어가야 하므로 경우의 수는 [eqn: 4 times 3 times 1=4 times 3]

(ⅲ) ㉡: [eqn: rm 2]개, ㉢:[eqn: rm 1]개
(ⅱ)와 같은 방법으로 하면 경우의 수는 [eqn: 4 times 3]

따라서 구하는 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: {rmP}(E)][eqn: ={4 times 3 times 3+4 times 3 times 2} over {15 times 14 times 13}]
[eqn: ={4 times 3 times 5} over {15 times 14 times 13}]
[eqn: ={2} over {7 times 13}]
[eqn: ={2} over {91}]

① [eqn: {1} over {91}]	② [eqn: {2} over {91}]	③ [eqn: {3} over {91}]

④ [eqn: {4} over {91}]	⑤ [eqn: {5} over {91}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
05 수학적 확률5 (원순열 이용)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 26

세 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]를 포함한 [eqn: rm 7]명의 학생이 원 모양의 탁자에 일정한 간격을 두고 임의로 모두 둘러앉을 때, [eqn: {rm{A}} it]가 [eqn: {rm{B}} it] 또는 [eqn: {rm{C}} it]와 이웃하게 될 확률은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm 7]명이 원 모양의 탁자에 일정한 간격을 두고 둘러앉는 경우의 수는

[eqn: (7-1) ! it =6]!

[eqn: {rm{A}} it]가 [eqn: {rm{B}} it]와 이웃하는 사건을 [eqn: E], [eqn: {rm{A}} it]가 [eqn: {rm{C}} it]와 이웃하는 사건을 [eqn: F]라 하면 구하는 확률은 [eqn: {rm{P}} it (E cup F)]이다.

(i) [eqn: rm A]가 [eqn: rm B]와 이웃하는 경우
[eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{B}} it]를 한 명이라 생각하고 [eqn: rm 6]명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 [eqn: rm 5]!
[eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{B}} it]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: rm 2]
[eqn: {rm{P}} it (E)={5 ! times 2} over {6 !}={1} over {3}]

(ii) [eqn: {rm{A}} it]가 [eqn: {rm{C}} it]와 이웃하는 경우
[eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]를 한 명이라 생각하고 [eqn: rm 6]명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 [eqn: rm 5]!
[eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는
[eqn: {rm{P}} it (F)={5 ! times 2} over {6 !}={1} over {3}]

(iii) [eqn: {rm{A}} it]가 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]와 모두 이웃하는 경우
[eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]를 한 명이라 생각하고 [eqn: rm 5]명이 원 모양의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 [eqn: rm 4]!
[eqn: {rm{A}} it]를 가운데 두고 [eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: {rm{C}} it]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: rm 2]
[eqn: {rm{P}} it (E cap F)={4 ! times 2} over {6 !}={1} over {15}]

(i), (ii), (iii)에서 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (E cup F)={rm{P}} it (E)+{rm{P}} it (F)-{rm{P}} it (E cap F)][eqn: ={1} over {3}+{1} over {3}-{1} over {15}][eqn: ={3} over {5}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {5}]	③ [eqn: {7} over {10}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
06 수학적 확률6 (같은 것이 있는 순열 이용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 8

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: {a ,```` b ,```` c }{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]라 할 때, [eqn: a times b times c=4]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a ,```` b ,```` c]라 할 때, [eqn: a times b times c=4]가 되는 경우를 구해보면

[eqn: (1 ,```` 1 ,```` 4) ,```` (1 ,```` 4 ,```` 1) ,```` (4 ,```` 1 ,```` 1)]

[eqn: (1 ,```` 2 ,```` 2) ,```` (2 ,```` 1 ,```` 2) ,```` (2 ,```` 2 ,```` 1)]

즉, [eqn: 6](가지)이다.

전체 경우의 수는 [eqn: 6^3 =216](가지)이므로 구하는 확률은

[eqn: 6 over 216 = 1 over 36]

① [eqn: 1 over54]	② [eqn: 1 over36]	③ [eqn: 1 over27]

④ [eqn: 5 over108]	⑤ [eqn: 1 over18]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 20

그림과 같이 원탁 위에 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 6]개의 접시가 놓여 있고 같은 종류의 쿠키 [eqn: rm 9]개를 접시 위에 담으려고 한다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 적혀 있는 접시와 그 접시에 이웃하는 양 옆의 접시 위에 [eqn: rm 3]개의 쿠키를 각각 [eqn: rm 1]개씩 담는 시행을 한다. 예를 들어, 주사위를 던져 나온 눈의 수가 [eqn: rm 1]인 경우 [eqn: 6], [eqn: 1], [eqn: 2]가 적혀 있는 접시 위에 쿠키를 각각 [eqn: rm 1]개씩 담는다. 이 시행을 [eqn: rm 3]번 반복하여 [eqn: rm 9]개의 쿠키를 모두 접시 위에 담을 때, [eqn: rm 6]개의 접시 위에 각각 한 개 이상의 쿠키가 담겨 있을 확률은?

[정답] ②

[해설]

주사위를 [eqn: rm 3]번 던져 첫 번째, 두 번째, 세 번째 나온 눈의 수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하고 세 수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 순서쌍을 [eqn: (a,`` b,`` c)]라 하자.

주사위를 [eqn: rm 3]번 던져 나오는 모든 경 우의 수는 [eqn: 6^{3}=216]

주어진 조건을 만족시키지 않는 경우는 빈 접시가 생기는 경우이다.

(i) 빈 접시가 [eqn: rm 1]개인 경우

예를 들여, [eqn: rm 1]이 적혀 있는 접시가 빈 접시인 경우는 [eqn: (3,``3,``5)], [eqn: (3,``5,``5)], [eqn: (3,``4,``5)]인 각각의 순서쌍의 수를 일렬로 나열하는 것과 같으므로 [eqn: 2 times {3 !} over {2 !}+3 ! it =12(]가지[eqn: )]

같은 방법으로 빈 접시가 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 적혀 있는 접시인 경우도 각각 [eqn: rm 12]가지이다.

그러므로 [eqn: 12 times 6=72]

(ii) 빈 접시가 [eqn: rm 2]개인 경우

빈 접시가 [eqn: rm 2]개인 경우는 두 접시가 이웃하는 경우이다. 예를 들어, [eqn: rm 1],[eqn: rm 2]가 적혀 있는 접시가 빈 접시인 경우는 [eqn: (4,``4,``5)], [eqn: (4,``5,``5)] 인 각각의 순서쌍의 수를 일렬로 나열하는 것과 같으므로 [eqn: left.2 times {3 !} over {2 !}=6](가지)

같은 방법으로 빈 접시가 [eqn: rm 2], [eqn: rm 3]과 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]와 [eqn: rm 4], [eqn: rm 5]와 [eqn: rm 5], [eqn: rm 6]과 [eqn: rm 6], [eqn: rm 1]이 적혀 있는 접시인 경우도 각각 [eqn: rm 6]가지이다. 그러므로 [eqn: 6 times 6=36]

(iii) 빈 접시가 [eqn: rm 3]개인 경우

예를 들어, [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이 적혀 있는 접시가 빈 접시인 경우는 [eqn: (5,``5,``5)] 인 순서쌍의 수를 일렬로 나열하는 것과 같으므로 [eqn: rm 1]가지이다.

같은 방법으로 빈 접시가 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]와 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]와 [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]과 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 1]과 [eqn: 6], [eqn: 1], [eqn: 2]가 적혀 있는 접시인 경우도 각각 [eqn: rm 1]가지이다.

그러므로 [eqn: 1 times 6=6]

( i ), (ii), (iii)에 의하여 빈 접시가 생기는 경우의 수는 [eqn: 72+36+6=114]

따라서 구하는 확률은 [eqn: 1-{114} over {216}={17} over {36}]

① [eqn: {7} over {18}]	② [eqn: {17} over {36}]	③ [eqn: {5} over {9}]

④ [eqn: {23} over {36}]	⑤ [eqn: {13} over {18}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
02 수학적 확률
10 수학적 확률10 (함수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 29

집합 [eqn: A= left{ 1,``2,``3,``4 it right}]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 모든 함수 [eqn: f] 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은 [eqn: p]이다. [eqn: 120 p]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

집합 [eqn: A]에서 [eqn: A]로의 모든 함수의 개수는

[eqn: { }_{4} smallprod _{4}=4^{4}=256]

조건을 만족시키는 함수의 개수는 조건 (가)에 의하여 다음 네 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(i) [eqn: f(1)=f(2)=3]인 경우
조건 (나)를 만족시키기 위하여 정의역의 원소 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]의 함숫값은 [eqn: rm 1], [eqn: rm 2], [eqn: rm 4] 중에서 서로 다른 [eqn: rm 2]개를 택하여 순서대로 짝지으면 된다. 그러므로 이 경우의 수는
[eqn: it _{3} {rm{P}} it _{2}=6]

(ii) [eqn: f(1)=f(2)=4]인 경우
(i)과 마찬가지로 생각하면
이 경우의 수는 [eqn: rm 6]

(iii) [eqn: f(1)=3], [eqn: f(2)=4]인 경우
조건 (나)를 만족시키기 위하여 치역의 원소의 개수가 [eqn: rm 3]이 되어야 하므로 다음 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

㉠ [eqn: f(3)]의 값이 [eqn: rm 3] 또는 [eqn: rm 4]인 경우
[eqn: f(4)]의 값은 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 2]가 되어야 하므로
이 경우의 수는
[eqn: 2 times 2=4]

㉡ [eqn: f(4)]의 값이 [eqn: rm 3] 또는 [eqn: rm 4]인 경우
[eqn: f(3)]의 값은 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 2]가 되어야 하므로
이 경우의 수는
[eqn: 2 times 2=4]

㉢ [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]의 값이 모두 [eqn: rm 1]이거나
모두 [eqn: rm 2]인 경우의 수는 [eqn: rm 2]
그러므로 이 경우의 수는
[eqn: 4+4+2=10]

(iv) [eqn: f(1)=4], [eqn: f(2)=3]인 경우
(iii)과 마찬가지로 생각하면 이 경우의 수는 [eqn: rm 10]

(i)~(iv)에 의하여 조건을 만족시키는 함수의 개수는 [eqn: 6+6+10+10=32]

따라서

[eqn: p={32} over {256}={1} over {8}]

이므로

[eqn: 120 p=120 times {1} over {8}=15]

(가) [eqn: f(1) times f(2) geq 9]

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 19

두 집합 [eqn: A= left{ 1,``2,``3,``4 it right}], [eqn: B= left{ 1,``2,``3 it right}]에 대하여 [eqn: A]에서 [eqn: B]로의 모든 함수 [eqn: f] 중에서 임의로 하나를 선택할 때, 이 함수가 다음 조건을 만족시킬 확률은?

[정답] ④

[해설]

집합 [eqn: A= left{ 1,``2,``3,``4 it right}]에서 집합 [eqn: B= left{ 1,``2,``3 it right}]으로의 모든 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 3^{4}=81][eqn: f(1) geq 2]인 함수의 개수는 [eqn: 2 times 3^{3}=54]

치역이 [eqn: B]인 함수 [eqn: f]의 개수는 정의역을 원소의 개수가 [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1]인 세 개의 집합으로 나눈 후 집합 [eqn: B]에 일대일대응을 시키면 되므로 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{1} times it _{1} {rm{C}} it _{1} times {1} over {2 !} times 3 ! it =36]

한편 [eqn: f(1)=2]이고 치역이 [eqn: B]인 함수 [eqn: f]의 개수는 다음 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

(i) [eqn: a neq 1]인 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(a)=2]인 [eqn: a]가 존재하는 경우 [eqn: 3 ! it =6]

(ii) [eqn: a neq 1]인 모든 [eqn: a]에 대하여 [eqn: f(a) neq 2]인 경우 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} times 2 ! it =6]

따라서 [eqn: f(1)=2]이고 치역이 [eqn: B]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 6+6=12]

한편, [eqn: f(1)=3]이고 치역이 [eqn: B]인 함수 [eqn: f]의 개수도 [eqn: rm 12]이다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: {54+36-(12+12)} over {81}={22} over {27}]

[eqn: f(1) geq 2]이거나 함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: B]이다.

① [eqn: {16} over {27}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {20} over {27}]

④ [eqn: {22} over {27}]	⑤ [eqn: {8} over {9}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
01 덧셈정리1 (확률의 계산)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 6

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)={rm{P}} it (A)+{rm{P}} it (B)-{rm{P}} it (A cap B)]에서

[eqn: 1={rm{P}} it (A)+{1} over {3}-{1} over {6}]

따라서

[eqn: {rm{P}} it left(A^{C} right)][eqn: =1-{rm{P}} it (A)]
[eqn: ={1} over {3}-{1} over {6}={1} over {6}]

[다른 풀이]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)=1]이므로

[eqn: {rm{P}} it left(A^{C} right)][eqn: ={rm{P}} it (B-A)]
[eqn: ={rm{P}} it (B)-{rm{P}} it (A cap B)]
[eqn: ={1} over {3}-{1} over {6}={1} over {6}]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)=1], [eqn: ~ {rm{P}} it (B)={1} over {3}], [eqn: ~ {rm{P}} it (A cap B)={1} over {6}]

일 때, [eqn: {rm{P}} it left(A^{C} right)]의 값은? (단, [eqn: A^{C}]은 [eqn: A]의 여사건이다.)

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {5}]

④ [eqn: {1} over {6}]	⑤ [eqn: {1} over {7}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 5

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)={rm{P}} it (A)-{rm{P}} it left(A cap B^{C} right)]이므로

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)={7} over {12}-{1} over {6}={5} over {12}]

[eqn: {rm{P}} it (A)={7} over {12}], [eqn: {rm{P}} it left(A cap B^{C} right)={1} over {6}]

일 때, [eqn: {rm{P}} it (A cap B)]의 값은? (단, [eqn: B^{C}]은 [eqn: B]의 여사건이다.)

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 23

두 사건 [eqn: {A}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이고

[정답] ⑤

[해설]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( A RIGHT ) + rm P it LEFT ( B RIGHT )]

즉, [eqn: {11} over {12}][eqn: = {1} over {12} + rm P it LEFT ( B RIGHT )]이므로 [eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {5} over {6}]

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {1} over {12}], [eqn: rm P it LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = {11} over {12}]

일 때, [eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 25

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여 [eqn: A^{C}]과 [eqn: B]는 서로 배반사건이고,

[정답] ②

[해설]

[eqn: A^C cap B = EMPTYSET]이므로 [eqn: B subset A]

[eqn: THEREFORE] P[eqn: (B)=]P[eqn: (A) -]P[eqn: (A cap B^C `)][eqn: = 1 over2 - 2 over7 =][eqn: 3 over14]

[eqn: {rm{P}} it (A)={1} over {2}], [eqn: ~ {rm{P}} it left(A cap B^{C} right)={2} over {7}]

일 때, [eqn: {rm{P}} it (B)]의 값은? (단, [eqn: A^{C}]은 [eqn: A]의 여사건이다.)

① [eqn: {5} over {28}]	② [eqn: {3} over {14}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {2} over {7}]	⑤ [eqn: {9} over {28}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 24

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 배반사건이고

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {1} over {3}]이므로 [eqn: rm P it LEFT ( A ^{C} RIGHT )][eqn: =1- rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {2} over {3}]

[eqn: rm P it LEFT ( A ^{C} RIGHT ) ` rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {2} over {3} TIMES rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {1} over {6}]에서

[eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {1} over {4}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]가 서로 배반사건이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A CUP B RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( A RIGHT ) + rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {1} over {3} + {1} over {4}][eqn: = {7} over {12}]

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {1} over {3}], [eqn: rm P it LEFT ( A ^{C} RIGHT ) ` rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {1} over {6}]

일 때, [eqn: rm P it LEFT ( A CUP B RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: A ^{C}]은 [eqn: A]의 여사건이다.)

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
02 덧셈정리2 (배반사건이 아닌 경우)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 13
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 16

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a], [eqn: b]라 할 때, [eqn: LEFT | `a-3` RIGHT | + LEFT | `b-3` RIGHT | =2]이거나 [eqn: a=b]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a], [eqn: b]의 순서쌍을 [eqn: (a,~b)]라 할 때, 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 모든 개수는

[eqn: 6times6 =36]이다.

(ⅰ) [eqn: LEFT | `a-3` RIGHT | + LEFT | `b-3` RIGHT | =2]인 사건을 [eqn: A]라 할 때, 사건 [eqn: A]가 일어나는 경우의 수는
[eqn: LEFT | `a-3` RIGHT | =0], [eqn: LEFT | `b-3` RIGHT | =2]일 때, [eqn: (3,~1)], [eqn: (3,~5)]
[eqn: LEFT | `a-3` RIGHT | =1], [eqn: LEFT | `b-3` RIGHT | =1]일 때, [eqn: (2,~2)], [eqn: (2,~4)], [eqn: (4,~2)], [eqn: (4,~4)]
[eqn: LEFT | `a-3` RIGHT | =2], [eqn: LEFT | `b-3` RIGHT | =0]일 때, [eqn: (1,~3)], [eqn: (5,~3)]
에서 [eqn: 8]이므로
[eqn: RMP(ITA)= 8 OVER36]

(ⅱ) [eqn: a=b]인 사건을 [eqn: B`]라 할 때, 사건 [eqn: B`]가 일어나는 경우의 수는
[eqn: (1,~1)], [eqn: (2,~2)], [eqn: (3,~3)], [eqn: (4,~4)], [eqn: (5,~5)], [eqn: (6,~6)]
에서 [eqn: 6]이므로
[eqn: RMP(ITB)= 6 OVER36]

(ⅲ) 사건 [eqn: A SMALLINTERB`]가 일어나는 경우의 수는
[eqn: (2,~2)], [eqn: (4,~4)]에서 [eqn: 2]이므로
[eqn: RMP(ITA SMALLINTERB)= 2OVER36]

따라서 구하는 확률은

[eqn: RMP(ITA CUPB)][eqn: = RMP(ITA)+RMP(ITB)- RMP(ITA SMALLINTERB)]
[eqn: = 8 OVER36 + 6 OVER36 - 2OVER36 = 1OVER3]

① [eqn: 1over4]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 5over12]

④ [eqn: 1over2]	⑤ [eqn: 7over12]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 17

어느 고등학교에는 [eqn: rm 5]개의 과학 동아리와 [eqn: rm 2]개의 수학 동아리 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]가 있다. 동아리 학술 발표회에서 이 [eqn: rm 7]개 동아리가 모두 발표하도록 발표 순서를 임의로 정할 때, 수학 동아리 [eqn: {rm{A}} it]가 수학 동아리 [eqn: {rm{B}} it]보다 먼저 발표하는 순서로 정해지거나 두 수학 동아리의 발표 사이에는 [eqn: rm 2]개의 과학 동아리만이 발표하는 순서로 정해질 확률은? (단, 발표는 한 동아리씩 하고, 각 동아리는 [eqn: rm 1]회만 발표한다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm 7]개 동아리의 발표하는 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 7]!

(ⅰ) 수학 동아리 [eqn: rm A]가 수학 동아리 [eqn: rm B]보다 먼저 발표하는 경우
두 동아리 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 같은 것으로 보고 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: {7 !} over {2 !}]
이 경우의 확률은 [eqn: {7 !} over {2 !}={1} over {2}]

(ⅱ) 두 수학 동아리 사이에 과학 동아리 [eqn: rm 2]개가 발표하는 경우
두 수학 동아리 사이에 발표할 과학 동아리 [eqn: rm 2]개를 택하고 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2 times it _{5} {rm{P}} it _{2}=40]
네 동아리를 하나로 묶어 전체 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: 4 !]
이 경우의 확률은 [eqn: {40 times 4 !} over {7 !}={4} over {21}]

(ⅲ) 수학 동아리 [eqn: {rm{A}} it]가 수학 동아리 [eqn: {rm{B}} it]보다 먼저 발표하고, 두 수학 동아리 사이에 과학 동아리 [eqn: rm 2]개가 발표하는 경우
두 수학 동아리 사이에 발표할 과학 동아리 [eqn: rm 2]개를 택하고 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{P}} it _{2}=20]
네 동아리를 하나로 묶어 전체 순서를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 4]!
이 경우의 확률은 [eqn: {20 times 4 !} over {7 !}={2} over {21}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 확률의 덧셈정리에 의하여 구하는 확률은

[eqn: {1} over {2}+{4} over {21}-{2} over {21}={25} over {42}]

① [eqn: {4} over {7}]	② [eqn: {7} over {12}]	③ [eqn: {25} over {42}]

④ [eqn: {17} over {28}]	⑤ [eqn: {13} over {21}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 28

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 서로 다른 [eqn: rm 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 모든 네 자리의 자연수 중에서 임의로 하나의 수를 택할 때, 택한 수가 [eqn: rm 5]의 배수 또는 [eqn: rm 3500] 이상일 확률은?

[정답] ④

[해설]

만들 수 있는 모든 네 자리 자연수의 개수는 [eqn: it _{5} {rm{P}} it _{4}=5 times 4 times 3 times 2][eqn: =120]

[eqn: rm 5]의 배수인 네 자리 자연수는

일의 자릿수가 [eqn: rm 5]이어야 하므로

[eqn: rm 5]의 배수인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: it _{4} {rm{P}} it _{3}=4 times 3 times 2][eqn: =24]

즉, 택한 수가 [eqn: rm 5]의 배수일 확률은

[eqn: {24} over {120}={1} over {5}]

또 천의 자릿수가 [eqn: rm 3]이고 [eqn: rm 3500] 이상인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: it _{3} {rm{P}} it _{2}][eqn: =3 times 2]
[eqn: =6]

천의 자릿수가 [eqn: rm 4]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: it _{4} {rm{P}} it _{3}=4 times 3 times 2]

[eqn: ~ =24]

이므로 [eqn: 3500]이상인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: 6 + 24 + 24 = 54]

즉, 택한 수가 [eqn: rm 3500] 이상일 확률은 [eqn: {54} over {120}={9} over {20}]

이때 [eqn: rm 5]의 배수이고 [eqn: rm 3500] 이상인 네 자리 자연수는 천의 자릿수가 [eqn: rm 4]이고 일의 자릿수가 [eqn: rm 5]인 경우이므로 그 개수는 [eqn: it _{3} {rm{P}} it _{2}=3 times 2]

[eqn: =6]

즉, 택한 수가 [eqn: rm 5]의 배수이고 [eqn: rm 3500] 이상일 확률은

[eqn: {6} over {120}={1} over {20}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: {1} over {5}+{9} over {20}-{1} over {20}={3} over {5}]

① [eqn: {9} over {20}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {11} over {20}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {20}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
03 덧셈정리3 (배반사건)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 27

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 10]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 10]장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 [eqn: rm 4]장을 동시에 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: a_{3}], [eqn: a_{4}]라 하자. [eqn: a_{1} times a_{2}]의 값이 홀수이고,

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm 10]장의 카드 중 임의로 카드 [eqn: rm 4]장을 뽑는 경우의 수는 [eqn: it _{10} {rm{C}} it _{4}={10 times 9 times 8 times 7} over {4 times 3 times 2 times 1}=210]이다.

[eqn: a_{1} times a_{2}]의 값이 홀수인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 순서쌍 [eqn: left(a_{1},`` a_{2} right)]가 [eqn: (1,``3)] 또는 [eqn: (1,``5)] 또는 [eqn: (3,``5)]인 경우
[eqn: a_{3}+a_{4} geq 16]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a_{3},`` a_{4} right)]는
[eqn: (6,``10)], [eqn: (7,``9)], [eqn: (7,``10)], [eqn: (8,``9)], [eqn: (8,``10)], [eqn: (9,``10)]
으로 [eqn: rm 6]가지이다.
이때 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 times 6=18]

(ⅱ) 순서쌍 [eqn: left(a_{1},`` a_{2} right)]가 [eqn: (1,``7)] 또는 [eqn: (3,``7)] 또는 [eqn: (5,``7)]인 경우
[eqn: a_{3}+a_{4} geq 16]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a_{3},`` a_{4} right)]는
[eqn: (8,``9)], [eqn: (8,``10)], [eqn: (9,``10)]으로 [eqn: rm 3]가지이다.
이때 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 times 3=9]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: {18} over {210}+{9} over {210}={27} over {210}={9} over {70}]

[eqn: a_{3}+a_{4} geq 16]일 확률은?

① [eqn: {1} over {14}]	② [eqn: {3} over {35}]	③ [eqn: {1} over {10}]

④ [eqn: {4} over {35}]	⑤ [eqn: {9} over {70}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
04 여사건의 확률1 (기본. 적어도)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 25

흰 공 [eqn: rm 4]개, 검은 공 [eqn: rm 4]개가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 4]개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 2]개 이상일 확률은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm 8]개의 공 중 임의로 [eqn: rm 4]개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 [eqn: it _{8} {rm{C}} it _{4}]

(i) 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 0]개일 확률은 [eqn: { it _{4} {rm{C}} it _{4}} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}={1} over {70}]

(ii) 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 1]개일 확률은 [eqn: { it _{4} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{C}} it _{3}} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}={16} over {70}] 따라서 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 2]개 이상일 확률은 [eqn: 1- left({1} over {70}+{16} over {70} right)={53} over {70}]

① [eqn: {7} over {10}]	② [eqn: {51} over {70}]	③ [eqn: {53} over {70}]

④ [eqn: {11} over {14}]	⑤ [eqn: {57} over {70}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 25

흰색 마스크 [eqn: rm 5]개, 검은색 마스크 [eqn: rm 9]개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 [eqn: rm 3]개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: rm 3]개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm 14]개의 마스크 중에서 임의로 [eqn: rm 3]개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 [eqn: rm 3]개의 마스크가 모두 검은색일 확률은

[eqn: { it _{9} {rm{C}} it _{3}} over { it _{14} {rm{C}} it _{3}}][eqn: ={{9 times 8 times 7} over {3 times 2 times 1}} over {{14 times 13 times 12} over {3 times 2 times 1}}][eqn: ={3} over {13}]

따라서 여사건의 확률에 의하여 구하는 확률은

[eqn: 1-{ it _{9} {rm{C}} it _{3}} over { it _{14} {rm{C}} it _{3}}=1-{3} over {13}][eqn: ={10} over {13}]

① [eqn: {8} over {13}]	② [eqn: {17} over {26}]	③ [eqn: {9} over {13}]

④ [eqn: {19} over {26}]	⑤ [eqn: {10} over {13}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
05 여사건의 확률2 (이상 또는 이하)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 26

[eqn: 1]부터 [eqn: 10]까지 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 카드 [eqn: 3]장을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 [eqn: 4] 이하이거나 [eqn: 7] 이상일 확률은?

[정답] ③

[해설]

카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 [eqn: 4] 이하이거나 [eqn: 7] 이상인 사건을 [eqn: A]라 하면 사건 [eqn: A ^{C}]은 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 [eqn: 4]보다 크고 [eqn: 7]보다 작은 경우이다. 즉, 카드에 적혀 있는 세 자연수 중에서 가장 작은 수가 [eqn: 5] 또는 [eqn: 6]이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A` RIGHT )][eqn: =1- rm P it LEFT ( A ^{C} ` RIGHT )]
[eqn: =1- {{}_{5} rm C _{2} + _{4} C _{2} it} over {{}_{10} rm C _{3} it}]
[eqn: =1- {{5times4} over {2times1} + {4times3} over {2times1}} over {{10times9times8} over {3times2times1}}]
[eqn: =1- {16} over {120}]
[eqn: = {13} over {15}]

① [eqn: {4} over {5}]	② [eqn: {5} over {6}]	③ [eqn: {13} over {15}]

④ [eqn: {9} over {10}]	⑤ [eqn: {14} over {15}]

05 확통	04 확률의 뜻과 활용
04 확률의 덧셈정리
06 여사건의 확률3 (기타)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 19

[eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 6]장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 두 장의 카드를 동시에 꺼내어 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 두 번 반복한다. 첫 번째 시행에서 확인한 두 수 중 작은 수를 [eqn: a_{1}], 큰 수를 [eqn: a_{2}]라 하고, 두 번째 시행에서 확인한 두 수 중 작은 수를 [eqn: b_{1}], 큰 수를 [eqn: b_{2}]라 하자. 두 집합 [eqn: A], [eqn: B]를

[정답] ⑤

[해설]

모든 순서쌍 [eqn: left(a_{1},`` a_{2},`` b_{1},`` b_{2} right)]의 개수는 [eqn: it _{6} {rm{C}} it _{2} times it _{6} {rm{C}} it _{2}=15 times 15]

이때 [eqn: A cap B= EMPTYSET]이기 위한 필요충분조건은

[eqn: a_{2}<b_{1}] 또는 [eqn: b_{2}<a_{1}]이다.

따라서 [eqn: A cap B= EMPTYSET]을 만족시키는 순서쌍

[eqn: left(a_{1},`` a_{2},`` b_{1},`` b_{2} right)]의 개수는 다음과 같다.

(i) [eqn: a_{2}<b_{1}]일 때
[eqn: a_{2}=2]일 때 [eqn: it _{1} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{C}} it _{2}=1 times 6=6]
[eqn: a_{2}=3]일 때 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{1} times it _{3} {rm{C}} it _{2}=2 times 3=6]
[eqn: a_{2}=4]일 때 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{2} {rm{C}} it _{2}=3 times 1=3]
따라서 [eqn: 6+6+3=15]

(ii) [eqn: b_{2}<a_{1}]일 때
(i)과 마찬가지이므로 이 경우의 수도 [eqn: rm 15]이다.
이상에서 [eqn: A cap B= EMPTYSET]일 확률은 [eqn: {15+15} over {15 times 15}={2} over {15}]이므로 여사건의 확률에 의해 [eqn: A cap B neq EMPTYSET]일 확률은
[eqn: 1-{2} over {15}={13} over {15}]

[다른풀이]

모든 순서쌍 [eqn: left(a_{1},`` a_{2},`` b_{1},`` b_{2} right)]의 개수는 [eqn: it _{6} {rm{C}} it _{2} times it _{6} {rm{C}} it _{2}=15 times 15]

이때 [eqn: A cap B= EMPTYSET]이기 위한 필요충분조건은

[eqn: a_{2}<b_{1}] 또는 [eqn: b_{2}<a_{1}]이다.

따라서 [eqn: A cap B= EMPTYSET]을 만족시키려면 [eqn: rm 6]장의 카드 중에서

서로 다른 [eqn: rm 4]장의 카드를 뽑고,

그 카드에 적힌 [eqn: rm 4]개의 수를 크기순으로 작은 수부터

[eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}], [eqn: x_{4}]라 할 때,

[eqn: a_{1}=x_{1}], [eqn: a_{2}=x_{2}], [eqn: b_{1}=x_{3}], [eqn: b_{2}=x_{4}]

또는

[eqn: b_{1}=x_{1}], [eqn: b_{2}=x_{2}], [eqn: a_{1}=x_{3}], [eqn: a_{2}=x_{4}]

로 정하면 된다.

따라서 [eqn: A cap B= EMPTYSET]을 만족시키는 순서쌍

[eqn: left(a_{1},`` a_{2},`` b_{1},`` b_{2} right)]의 개수는 [eqn: rm 6]장의 카드 중에서

서로 다른 [eqn: rm 4]장의 카드를 택하는 경우의 수의

[eqn: rm 2]배와 같으므로

[eqn: 2 times it _{6} {rm{C}} it _{4}=2 times it _{6} {rm{C}} it _{2}=2 times 15]

따라서 [eqn: A cap B= EMPTYSET]일 확률은

[eqn: {2 times 15} over {15 times 15}={2} over {15}]

이므로 여사건의 확률에 의해

[eqn: A cap B neq EMPTYSET]일 확률은

[eqn: 1-{2} over {15}={13} over {15}]

[eqn: A= left{ x `|` a_{1} leq x leq a_{2} it right}], [eqn: ~ B= left{ x `|` b_{1} leq x leq b_{2} it right}]

라 할 때, [eqn: A cap B neq EMPTYSET]일 확률은?

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {11} over {15}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {15}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 26

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: a,~b]라 할 때, 두 수 [eqn: a,~b]의 최대공약수가 홀수일 확률은?

[정답] ⑤

[해설]

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 경우의 수는

[eqn: 6 TIMES 6][eqn: =36]

두 수 [eqn: a,~b]의 최대공약수가 홀수인 사건을 [eqn: A]라 하면

[eqn: A]의 여사건 [eqn: A ^{C}]은 [eqn: a,~b]의 최대공약수가 짝수인 사건이다.

[eqn: a,~b]의 최대공약수가 짝수이면 [eqn: a,~b] 모두 짝수이므로

이 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 3][eqn: =9]이다.

따라서 [eqn: rm P it LEFT ( A ^{C} RIGHT )][eqn: = {9} over {36}][eqn: = {1} over {4}]이므로 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: =1- rm P it LEFT ( A ^{C} RIGHT )][eqn: =1- {1} over {4}][eqn: = {3} over {4}]

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {7} over {12}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 26

[eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]부터 [eqn: 10]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 10]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 10]장의 카드 중에서 임의로 선택한 서로 다른 [eqn: 3]장의 카드에 적혀 있는 세 수의 곱이 [eqn: 4]의 배수일 확률은?

[정답] ④

[해설]

전체 경우의 수는 [eqn: {} _{10} {rmC} _{3}][eqn: = {10` CDOT `9` CDOT `8} over {3` CDOT `2` CDOT `1}][eqn: =120]

구하고자 하는 경우의 수를 여사건을 이용하면

세 수의 곱이 [eqn: 4]의 배수가 아닐 경우이고 이를 분류하면

(ⅰ) [eqn: 2]의 배수이고, [eqn: 4]의 배수가 아닌 경우
[eqn: 2,````6,````10]중 [eqn: 1]개를 뽑고 [eqn: 1,````3,````5,````7,````9]에서 [eqn: 2]개를 뽑으므로

[eqn: THEREFORE][eqn: {} _{9} {rmC} _{1} `times` _{5} {rmC} _{2}][eqn: =30]

(ⅱ) 홀수인 경우
[eqn: 1,````3,````5,````7,````9]에서 [eqn: 3]개를 뽑으므로
[eqn: THEREFORE][eqn: {} _{5} {rmC} _{3}][eqn: =10]
따라서 구하고자 하는 확률은
[eqn: THEREFORE][eqn: 1- {30+10} over {120}][eqn: = {2} over {3}]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5 over6]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
01 조건부 확률의 계산

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 3

두 사건 [eqn: {A}{{from^2020^10^서울고3나^중}}], [eqn: B]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {rm P it LEFT ( A ``|`` B RIGHT )}][eqn: = {{2} over {15}} over {{2} over {3}}][eqn: = {1} over {5}]

[eqn: rm P it (A ``|`` B )= {2} over {3}], [eqn: rm P( it A SMALLINTER B )= {2} over {15}]

일 때, [eqn: rm P it (B )]의 값은?

① [eqn: 1over5]	② [eqn: 4over15]	③ [eqn: 1over3]

④ [eqn: 2over5]	⑤ [eqn: 7over15]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 3
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 5

두 사건 [eqn: {A ,```` B}{{from^2020^평가원가^3}}]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)][eqn: = rm P it (A)+ rm P it (B)- rm P it (A CUP B)]
[eqn: = {2} over {5} + {4} over {5} - {9} over {10}]
[eqn: = {3} over {10}]

[eqn: therefore][eqn: rm P it (B ``|`` A)= {rm P it (A SMALLINTER B)} over {rm P it (A)} = {{3} over {10}} over {{2} over {5}} = {3} over {4}]

[eqn: rm P it (A)= {2} over {5} ,```` rm P it (B)= {4} over {5} ,```` rm P it (A CUP B)= {9} over {10}]

일 때, [eqn: {rmP}(B ``|`` A)]의 값은?

① [eqn: {5} over {12}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {7} over {12}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 24

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: {rm{P}} it (A `|` B)={rm{P}} it (B `|` A)]에서 [eqn: {{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (B)}={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}]

따라서 [eqn: {rm{P}} it (A)={rm{P}} it (B)]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)={rm{P}} it (A)+{rm{P}} it (B)-{rm{P}} it (A cap B)]에서

[eqn: 1=2 {rm{P}} it (A)-{1} over {4}]

따라서 [eqn: {rm{P}} it (A)={5} over {8}]

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)=1], [eqn: ~ {rm{P}} it (A cap B)={1} over {4}], [eqn: ~ {rm{P}} it (A `|` B)={rm{P}} it (B `|` A)]

일 때, [eqn: {rm{P}} it (A)]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {9} over {16}]	③ [eqn: {5} over {8}]

④ [eqn: {11} over {16}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
02 조건부 확률의 뜻1 (표 조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 7

표와 같이 두 주머니 [eqn: {rmA}{{from^2020^10^서울고3가^중}}], [eqn: rmB]에 흰 공과 검은 공이 섞여서 각각 [eqn: 50]개씩 들어 있다.

[정답] ④

[해설]

주머니 [eqn: rmA]에서 공을 꺼내는 사건을 [eqn: X], 주머니에서 흰 공을 꺼내는 사건을 [eqn: Y]라 하자.

[eqn: rm P it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = {1} over {2}]이므로 [eqn: rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES {21} over {50}][eqn: = {21} over {100}]

[eqn: rm P it LEFT ( Y RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT ) + rm P it LEFT ( X ^{c} SMALLINTER Y RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES {21} over {50} + {1} over {2} TIMES {14} over {50}]
[eqn: = {35} over {100}]

구하는 확률은 [eqn: rm P it LEFT ( X ``|`` Y RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )} over {rm P it LEFT ( Y RIGHT )}][eqn: = {21} over {35}][eqn: = {3} over {5}]

(단위 : 개)
	주머니 [eqn: rmA]	주머니 [eqn: rmB]
흰 공	[eqn: 21]	[eqn: 14]
검은 공	[eqn: 29]	[eqn: 36]
합계	[eqn: 50]	[eqn: 50]

두 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 중 임의로 택한 [eqn: 1]개의 주머니에서 임의로 [eqn: 1]개의 공을 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 공이 흰 공일 때, 이 공이 주머니 [eqn: rmA]에서 꺼낸 공일 확률은?

① [eqn: {3} over {10}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {3} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {10}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 12

어느 고등학교 학생 [eqn: {200 }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]명을 대상으로 휴대폰 요금제에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 [eqn: 200]명의 학생은 휴대폰 요금제 [eqn: rm A]와 [eqn: rm B]중 하나를 선택하였고, 각각의 휴대폰 요금제를 선택한 학생의 수는 다음과 같다.

[정답] ③

[해설]

이 고등학교 학생 [eqn: 200]명을 대상으로 조사한 결과이므로

[eqn: 10a+b+(48-2a)+(b-8)=200]

[eqn: 4a+b=80]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 고등학교 학생 중 임의로 선택한 [eqn: 1]명의 학생이 남학생인 사건을 [eqn: X], 휴대폰 요금제 [eqn: rmA]를 선택한 사건을 [eqn: Y]라 하면

[eqn: {rmP} LEFT ( Y ``|`` X RIGHT )][eqn: = {{rmP} LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )} over {{rmP} LEFT ( X RIGHT )}]
[eqn: = {{10a} over {200}} over {{10a+b} over {200}}][eqn: = {5} over {8}]

[eqn: 5(10a+b)=80a], [eqn: b=6a]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=8], [eqn: b=48]

따라서 [eqn: b-a=40]

(단위[eqn: ``:``]명)

구분	휴대폰 요금제 [eqn: rmA]	휴대폰 요금제 [eqn: rmB]
남학생	[eqn: 10a]	[eqn: b]
여학생	[eqn: 48-2a]	[eqn: b-8]

이 조사에 참여한 학생 중에서 임의로 선택한 [eqn: 1]명이 남학생일 때, 이 학생이 휴대폰 요금제 [eqn: rm A]를 선택한 학생일 확률은 [eqn: {5} over {8}]이다. [eqn: b-a]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 32]	② [eqn: 36]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 44]	⑤ [eqn: 48]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 24

어느 동아리의 학생 [eqn: 20]명을 대상으로 진로활동 [eqn: rm { A }]와 진로활동 [eqn: rm { B }]에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 진로활동 [eqn: rm { A }]와 진로활동 [eqn: rm { B }]중 하나를 선택하였고, 각각의 진로활동을 선택한 학생 수는 다음과 같다.

[정답] ②

[해설]

이 동아리에서 진로활동 [eqn: rm { B }]를 선택한 학생은 모두 [eqn: 9]명이다.

이 동아리에서 임의로 선택한 한 명이 진로활동 [eqn: rm { B }]를 선택한 사건을 [eqn: B], [eqn: 1]학년인 사건을 [eqn: A]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P( it A``|`` B)]이다.

이때, [eqn: { rm P}(B) = 9 over20]이고, 사건 [eqn: { A cap B }]는 진로활동 [eqn: rm { B }]를 선택한 [eqn: 1]학년 학생을 선택하는 사건이므로 [eqn: { rm P}(A capB) = 5 over20 }]

따라서 구하는 확률은

[eqn: { rm P}( A ``|`` B)= {{ rm P} (A cap B ) } over { { rm P} (B ) } = {5 over20} over{9 over20 } = 5 over9 }]

(단위 : 명)
구분	진로활동[eqn: rm { A }]	진로활동[eqn: rmB]	합계
[eqn: 1]학년	[eqn: 7]	[eqn: 5]	[eqn: 12]
[eqn: 2]학년	[eqn: 4]	[eqn: 4]	[eqn: 8]
합계	[eqn: 11]	[eqn: 9]	[eqn: 20]

이 조사에 참여한 학생 [eqn: 20]명 중에서 임의로 선택한 한 명이 진로활동 [eqn: rm { B }]를 선택한 학생일 때, 이 학생이 [eqn: 1]학년일 확률은?

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 5 over9]	③ [eqn: 3 over5]

④ [eqn: 7 over11]	⑤ [eqn: 2 over3]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
03 조건부 확률의 뜻2 (문장 조건)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 25

어느 학교의 컴퓨터 동아리는 남학생 [eqn: {21}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]명, 여학생 [eqn: 18]명으로 이루어져 있고, 모든 학생은 데스크톱 컴퓨터와 노트북 컴퓨터 중 한 가지만 사용한다고 한다. 이 동아리의 남학생 중에서 데스크톱 컴퓨터를 사용하는 학생은 [eqn: 15]명이고, 여학생 중에서 노트북 컴퓨터를 사용하는 학생은 [eqn: 10]명이다. 이 동아리 학생 중에서 임의로 선택한 [eqn: 1]명이 데스크톱 컴퓨터를 사용하는 학생일 때, 이 학생이 남학생일 확률은?

[정답] ③

[해설]

학생들이 사용하는 컴퓨터의 종류를 표로 나타내면 다음과 같다.

	데스크탑	노트북
남	[eqn: 15]	[eqn: 6]
녀	[eqn: 8]	[eqn: 10]

따라서 구하고자 하는 확률은 [eqn: {15} over {15+8}][eqn: = {15} over {23}] 이다.

① [eqn: 8 over21]	② [eqn: 10 over21]	③ [eqn: 15 over23]

④ [eqn: 5 over7]	⑤ [eqn: 18 over23]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
04 조건부 확률의 뜻3 (경우의 수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 9

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 한 번 던져서 나온 두 눈의 수의 곱이 짝수일 때, 나온 두 눈의 수의 합이 짝수일 확률은?

[정답] ④

[해설]

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 한 번 던져서 나온 두 눈의 수의 곱이 짝수인 사건을 [eqn: A] 두 눈의 수의 합이 짝수인 사건을 [eqn: B]라 하자.

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 한 번 던져서 나온 두 눈의 수를 각각 [eqn: a ,```` b]라 하면 [eqn: A]는 두 수 [eqn: a ,```` b]가 모두 홀수인 사건의 여사건이므로 [eqn: n(A)][eqn: = 36 - 3times3][eqn: = 27]

[eqn: {rm P}(A)][eqn: = 27 over 36][eqn: = 3 over4]

[eqn: A cap B]는 두 수 [eqn: a ,```` b]가 모두 짝수인 사건이므로

[eqn: n (A cap B)][eqn: = 3 times3][eqn: =9]

[eqn: {rm P}(A cap B)][eqn: = 9 over 36][eqn: = 1 over4]

따라서 [eqn: {rm P} (B ``|`` A)][eqn: = { {rm P} (A cap B) } over {{rm P} (A) }][eqn: = 1 over3]

① [eqn: {{1} over {12}}{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 27

주머니에 숫자 [eqn: {1}{{from^2020^06^평가원고3가^}}], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 하나씩 적혀 있는 횐 공 [eqn: 4]개와 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 것이 있을 때, 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: 2]개일 확률은 [eqn: q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 46 }]

[해설]

꺼낸 공에 적힌 수가 같은 것이 있는 사건을 [eqn: A]라 하고, 검은 공이 [eqn: 2]개인 사건을 [eqn: B]라 하자.

(ⅰ) [eqn: {rmP } (A cap B)]인 경우
즉, 꺼낸 공에 같은 수가 적힌 공이 있으면서 검은 색 공에 [eqn: 2]개 있는 경우의 확률이므로
[eqn: 8]개의 공 중에서 [eqn: 4]개를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rmC _{4} = 8! over{ 4! 4!}=70]
① [eqn: (3,````3)]이 나오는 경우 [eqn: rm ` _3 C _1 times _3 C _1 =9](가지)
② [eqn: (4,````4)]가 나오는 경우 [eqn: rm ` _3 C _1 times _3 C _1 =9](가지)
③ [eqn: (3,````3)], [eqn: (4,````4)]가 나오는 경우 [eqn: 1]가지
[eqn: therefore][eqn: {rmP } (A cap B)][eqn: = {9+9-1} over 70 = 17 over 70]	[eqn: cdots cdots] ㉠

(ⅱ) [eqn: {rmP } (A cap B^c )]인 경우
즉, 꺼낸 공에 같은 수가 적힌 공이 있으면서 검은 색 공에 [eqn: 2]개 있지 않는 경우의 확률이므로
[eqn: 8]개의 공 중에서 [eqn: 4]개를 꺼내는 경우의 수는
[eqn: {}_{8} rmC _{4} = 8! over{ 4! 4!}=70]

① [eqn: (3,````3)]이 나오는 경우
검은색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)
흰색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)

② [eqn: (4,````4)]가 나오는 경우
검은색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)
흰색이 [eqn: 3]개인 경우 [eqn: rm ` _3 C _2 =3](가지)

[eqn: therefore][eqn: {rmP } (A cap B^c )][eqn: = {6+6} over 70 = 12 over 70]	[eqn: cdots cdots] ㉡

[eqn: {rmP } (A )][eqn: = {rmP } (A cap B )][eqn: +][eqn: {rmP } (A cap B^c )]
[eqn: = 17 over 70 + 12 over 70] ([eqn: because] ㉠, ㉡)
[eqn: = 29 over 70]

[eqn: therefore][eqn: {rmP} LEFT ( B ``|`` A RIGHT ) = {{rmP} LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {{rmP} LEFT ( A RIGHT )} = {{17} over {70}} over {{29} over {70}} = {17} over {29}]

따라서 [eqn: p=29,````q=17]이므로 [eqn: p+q=46]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 20

주머니에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]가 하나씩 적혀 있는 흰 공 [eqn: rm 4]개와 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 검은 공 [eqn: rm 4]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 4]개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가 같은 것이 있을 때, 꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 2]개일 확률은?

[정답] ③

[해설]

이 시행에서 꺼낸 공에 적혀 있는 수가

같은 것이 있는 사건을 [eqn: A],

꺼낸 공 중 검은 공이 [eqn: rm 2]개인 사건을 [eqn: B]라 하면

구하는 확률은 [eqn: {rm{P}} it (B `|` A)]이고,

이 시행에서 일어날 수 있는 모든 경우의 수는

[eqn: it _{8} {rm{C}} it _{4}]이다.

이때 사건 [eqn: A]가 일어나는 경우는 수가 같은 것이

[eqn: rm 3]만 있는 경우, 수가 같은 것이 [eqn: rm 4]만 있는 경우,

[eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 흰 공과 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 검은 공을

동시에 꺼내는 경우로 나누어 생각할 수 있으므로

[eqn: {rm{P}} it (A)][eqn: ={ it _{6} {rm{C}} it _{2}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{ it _{6} {rm{C}} it _{2}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}]
[eqn: ={14} over {70}+{14} over {70}+{1} over {70}={29} over {70}]

한편, 사건 [eqn: A]와 사건 [eqn: B]가 동시에 일어나는 경우는

수가 같은 것이 [eqn: rm 3]만 있고 검은 공이 [eqn: rm 2]개인 경우,

수가 같은 것이 [eqn: rm 4]만 있고 검은 공이 [eqn: rm 2]개인 경우,

[eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 흰 공과 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적힌 검은 공을 동시에

꺼내는 경우로 나누어 생각할 수 있으므로

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)]

[eqn: ={ it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{3} {rm{C}} it _{1}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{ it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{3} {rm{C}} it _{1}-1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}+{1} over { it _{8} {rm{C}} it _{4}}]

[eqn: ={8} over {70}+{8} over {70}+{1} over {70}={17} over {70}]

따라서

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)][eqn: ={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}]
[eqn: ={{17} over {70}} over {{29}over {70}}={17} over {29}]

① [eqn: {13} over {29}]	② [eqn: {15} over {29}]	③ [eqn: {17} over {29}]

④ [eqn: {19} over {29}]	⑤ [eqn: {21} over {29}]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

한 개의 주사위를 두 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: { a`}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}], [eqn: b`]라 하자. [eqn: ab`]가 [eqn: 6`]의 배수일 때, [eqn: a`] 또는 [eqn: b`]가 홀수일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

[eqn: ab`]가 [eqn: 6`]의 배수인 경우는

[eqn: ( 1,````6)], [eqn: ( 2,````3)], [eqn: ( 2,````6)], [eqn: (3 , ````2)], [eqn: ( 3,````4)], [eqn: (3,````6)],

[eqn: (4,````3)], [eqn: (4,````6)], [eqn: ( 5,````6)], [eqn: ( 6,````1)], [eqn: (6,````2)], [eqn: ( 6,````3)],

[eqn: ( 6,````4)], [eqn: ( 6,````5)], [eqn: ( 6,````6)]

총 [eqn: 15`]개다.

이 중에서 [eqn: a`]또는 [eqn: b`]가 홀수인 것은 [eqn: 10`]개다.

따라서 [eqn: ab`]가 [eqn: 6`]의 배수일 때, [eqn: a`] 또는 [eqn: b`]가 홀수일 확률은

[eqn: 10 over15 = 2 over3]

따라서 [eqn: p=3,````q=2]이므로 [eqn: p+q][eqn: = 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 28

[eqn: 1 `]부터 [eqn: 10 `]까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 [eqn: 3 `]개의 수를 선택한다. 선택한 세 개의 수의 곱이 짝수일 때, 그 세 개의 수의 합이 [eqn: 3 `]의 배수일 확률은?

[정답] ③

[해설]

곱이 짝수인 경우는 3개 중에서 적어도 하나는

짝수이므로 [eqn: rm `_10 C_3 - _5 C_3 = 120 - 10 = 110]가지,

3으로 나눈 나머지에 따라 분류하면

[eqn: A = "{"1,`4,` 7,` 10"}"], [eqn: B = "{"2, `5, ` 8"}"], [eqn: C= "{"3, `6,` 9"}"]

곱이 짝수이고 합이 3의 배수이려면

집합 [eqn: A]에서 3개 -- [eqn: rm `_4 C_3 = 4]

집합 [eqn: B]에서 3개 -- [eqn: rm `_3 C_3 = 1]

집합 [eqn: C]에서 3개 -- [eqn: rm `_3 C_3 = 1]

집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]에서 각각 1개인 경우는

[eqn: 4 Times 3 Times 3 - 2 Times 1 Times 2 = 32]

[eqn: THEREFORE][eqn: {4+1+1+32 over110 = 38 over110 = 19 over 55]

① [eqn: 14 over 55`]	② [eqn: 3 over 10`]	③ [eqn: 19 over 55`]

④ [eqn: 43 over 110`]	⑤ [eqn: 24 over 55`]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 29

[eqn: {1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]의 숫자가 하나씩 적힌 카드가 각각 [eqn: 1]장, [eqn: 2]장, [eqn: 3]장, [eqn: 4]장, [eqn: 5]장이 있다. 이 [eqn: 15]장의 카드 중에서 임의로 [eqn: 2]장의 카드를 동시에 선택하는 시행을 한다. 이 시행에서 선택한 [eqn: 2]장의 카드에 적힌 두 수의 곱의 모든 양의 약수의 개수가 [eqn: 3] 이하일 때, 그 두 수의 합이 짝수일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[해설]

두 수의 곱이 모든 양의 약수의 개수가 [eqn: 3] 이하인 사건을 [eqn: X],

두 수의 합이 짝수인 사건을 [eqn: Y]라 하자.

사건 [eqn: X]를 만족시키는 경우는 두 수 중 하나가 [eqn: 1]이거나 두 수가 같은 소수일 때이다.

(ⅰ) 두 수 중 하나가 [eqn: 1]일 때
[eqn: {{}_{1} rmC _{1} TIMES _{14} rmC _{1}} over {{}_{15} rmC _{2}}][eqn: = {2} over {15}]

(ⅱ) 두 수가 같은 소수일 때

(1) 두 수가 [eqn: 2]일 때
[eqn: {{}_{2} rmC _{2}} over {{}_{15} rmC _{2}}][eqn: = {1} over {105}]

(2) 두 수가 [eqn: 3]일 때
[eqn: {{}_{3} rm C _{2} it} over {{}_{15} rm C _{2} it}][eqn: = {1} over {35}]

(3) 두 수가 [eqn: 5]일 때
[eqn: {{}_{5} rm C _{2} it} over {{}_{15} rm C _{2} it}][eqn: = {2} over {21}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: rm P it LEFT ( X RIGHT )][eqn: = {4} over {15}]

두 사건 [eqn: X]와 [eqn: Y]를 동시에 만족시키는 경우는

(ⅰ)에서 두 수가 [eqn: 1 ,```` 3]이거나 두 수가 [eqn: 1 ,```` 5]인 경우 또는 (ⅱ)인 경우이므로

[eqn: rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )][eqn: = {{}_{1} rm C _{1} TIMES _{3} C _{1} + _{1} C _{1} TIMES _{5} C _{1} + _{2} C _{2} + _{3} C _{2} + _{5} C _{2} it} over {{}_{15} rmC _{2}}]
[eqn: = {22} over {105}]

[eqn: rm P it LEFT ( Y ``|`` X RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( X SMALLINTER Y RIGHT )} over {rm P it LEFT ( X RIGHT )}][eqn: = {11} over {14}]

따라서 [eqn: p+q][eqn: =25]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 30

주머니에 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 12]까지의 자연수가 각각 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 12]개의 공이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 3]개의 공을 동시에 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 작은 수부터 크기 순서대로 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]라 하자. [eqn: b-a geq 5]일 때, [eqn: c-a geq 10]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: b-a geq 5]인 사건을 [eqn: E], [eqn: c-a geq 10]인 사건을 [eqn: F]라 하면 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (F `|` E)={{rm{P}} it (E cap F)} over {{rm{P}} it (E)}]이다.

모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는

[eqn: it _{12} {rm{C}} it _{3}=220]

이때 [eqn: b-a geq 5]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (a,``b)]는

[eqn: (1,``6)], [eqn: (1,``7)], [eqn: (1,``8)], [eqn: cdots], [eqn: (1,``11)]

[eqn: (2,``7)], [eqn: (2,``8)], [eqn: cdots], [eqn: (2,``11)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: (6,``11)]

[eqn: a=1]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 6+5+4+3+2+1=21]

[eqn: a=2]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 5+4+3+2+1=15]

[eqn: a=3]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 4+3+2+1=10]

[eqn: a=4]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 3+2+1=6]

[eqn: a=5]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: 2+1=3]

[eqn: a=6]일 때 [eqn: c]의 개수는 [eqn: rm 1]

이므로 [eqn: b-a geq 5]를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는

[eqn: 21+15+10+6+3+1][eqn: =56]

즉, [eqn: {rm{P}} it (E)={56} over {220}={14} over {55}]

한편, [eqn: b-a geq 5]이고 [eqn: c-a geq 10]인 경우는

[eqn: a=1], [eqn: c=11]일 때

[eqn: b=6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]

[eqn: a=1], [eqn: c=12]일 때

[eqn: b=6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11]

[eqn: a=2], [eqn: c=12]일 때

[eqn: b=7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10], [eqn: 11]

이므로 [eqn: b-a geq 5]이고 [eqn: c-a geq 10]인 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c)]의 개수는 [eqn: 5+6+5=16]

즉, [eqn: {rm{P}} it (E cap F)={16} over {220}={4} over {55}]

따라서

[eqn: {rm{P}} it (F `|` E)={{rm{P}} it (E cap F)} over {{rm{P}} it (E)}]

[eqn: = {{4} over {55}} over { { 14} over {55 }}]

[eqn: ={2} over {7}]

즉, [eqn: p=7], [eqn: q=20]이므로 [eqn: p+q=7+2=9]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 26

주머니에 [eqn: rm 1]이 적힌 흰 공 [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 2]가 적힌 흰 공 [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 1]이 적힌 검은 공 [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 2]가 적힌 검은 공 [eqn: rm 3]개가 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: rm 3]개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다.

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) 사건 [eqn: A]는 흰 공 [eqn: rm 1]개와 검은 공 [eqn: rm 2]개가 나오는 사건이므로

[eqn: {rm{P}} it (A)={ it _{2} {rm{C}} it _{1} times it _{4} {rm{C}} it _{2}} over { it _{6} {rm{C}} it _{3}}][eqn: ={2 times {4 times 3} over {2 times 1}} over {{6 times 5 times 4} over {3 times 2 times 1}}][eqn: = {3} over {5}]

(ⅱ) 사건 [eqn: B]는 [eqn: rm 2]가 적혀 있는 공이 [eqn: rm 3]개 나오는 사건이므로

[eqn: {rm{P}} it (B)][eqn: ={ it _{4} {rm{C}} it _{3}} over { it _{6} {rm{C}} it _{3}}][eqn: ={1} over {5}]

(ⅲ) 사건 [eqn: A`]와 사건 [eqn: B`]가 동시에 일어나는 경우는 [eqn: rm 2]가 적혀 있는 흰 공 [eqn: rm 1]개와 [eqn: rm 2]가 적혀 있는 검은 공 [eqn: rm 2]개가 나오는 사건이므로

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)={ it _{1} {rm{C}} it _{1} times it _{3} {rm{C}} it _{2}} over { it _{6} {rm{C}} it _{3}}][eqn: ={3} over {20}]

이상에서 확률의 덧셈정리에 의하여

[eqn: {rm{P}} it (A cup B)][eqn: ={rm{P}} it (A)+{rm{P}} it (B)-{rm{P}} it (A cap B)]
[eqn: ={3} over {5}+{1} over {5}-{3} over {20}]
[eqn: ={13} over {20}]

이 시행에서 꺼낸 [eqn: rm 3]개의 공 중에서 흰 공이 [eqn: rm 1]개이고 검은 공이 [eqn: rm 2]개인 사건을 [eqn: A`], 꺼낸 [eqn: rm 3]개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 [eqn: rm 8]인 사건을 [eqn: B`]라 할 때, [eqn: rm P it LEFT (A` CUP B` RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {11} over {20}]	② [eqn: {3} over {5}]	③ [eqn: {13} over {20}]

④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

05 확통	05 조건부 확률
01 조건부 확률의 뜻
05 조건부 확률의 뜻4 (활용)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 28

집합 [eqn: X][eqn: = LEFT { x`` LEFT | it ``x]는 [eqn: 8] 이하의 자연수[eqn: LEFT. it RIGHT }]에 대하여 [eqn: X]에서 [eqn: X]로의 함수 [eqn: f] 중에서 임의로 하나를 선택한다. 선택한 함수 [eqn: f]가 [eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )]일 확률은?

[정답] ②

[해설]

선택한 함수 [eqn: f]가 [eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]인 사건을 [eqn: A], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )]인 사건을 [eqn: B]라 하면

구하는 확률은 [eqn: rm P it LEFT ( B``|``A RIGHT )]이다.

[eqn: X]에서 [eqn: X]로의 모든 함수의 개수는 [eqn: 8 ^{8}]이다.

[eqn: 4] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]인

[eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 2n RIGHT )]을 정하는 경우의 수는

[eqn: {}_{8} rmC _{2}][eqn: = {8 TIMES 7} over {2 TIMES 1}][eqn: =28]

[eqn: 4] 이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( 2n-1 RIGHT ) <f LEFT ( 2n RIGHT )]인 경우의 수는 [eqn: 28 ^{4}]이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: = {28 ^{4}} over {8 ^{8}}]

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: <f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 5 RIGHT ) ,~f LEFT ( 6 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{8} rmC _{2}]이고, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는 각각 [eqn: {}_{8} rmC _{2}]이므로
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우의 수는 [eqn: LEFT ( {}_{8} rmC _{2} RIGHT ) ^{3}][eqn: =28 ^{3}]이다.

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: != f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: <f LEFT ( 2 RIGHT ) <f LEFT ( 6 RIGHT )] 또는 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: <f LEFT ( 6 RIGHT ) <f LEFT ( 2 RIGHT )]이므로
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ,~f LEFT ( 2 RIGHT ) ,~f LEFT ( 5 RIGHT ) ,~f LEFT ( 6 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES _{8} rmC _{3}][eqn: =2 TIMES {8 TIMES 7 TIMES 6} over {3 TIMES 2 TIMES 1}][eqn: =112]이고,
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]과 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )]을 정하는 경우의 수는
각각 [eqn: {}_{8} rmC _{2}][eqn: =28]이므로
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: != f LEFT ( 6 RIGHT )]인 경우의 수는 [eqn: 112 TIMES 28 ^{2}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: = {28 ^{3} +112 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}][eqn: = {140 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( B``|``A RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {rm P it LEFT ( A RIGHT )}][eqn: = {{140 TIMES 28 ^{2}} over {8 ^{8}}} over {{28 ^{4}} over {8 ^{8}}}][eqn: = {140} over {28 ^{2}}][eqn: = {5} over {28}]

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {5} over {28}]	③ [eqn: {3} over {14}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {2} over {7}]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
02 종속인 사건의 곱셈정리2 (상황별 확률의 변화)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 25

흰 구슬 [eqn: {3}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]개와 검은 구슬 [eqn: 4]개가 들어 있는 상자가 있다. 한 개의 주사위를 던져서 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수이면 이 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 동시에 꺼내고, 나오는 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아니면 이 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 구슬을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 구슬 중 검은 구슬의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold{151]

[해설]

(ⅰ) 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수일 때. 즉 확률은 [eqn: 1 over3]
이 상자에서 임의로 [eqn: 2]개의 구슬을 꺼내므로 검은 구슬이 [eqn: 2]개 나오는 확률은 [eqn: {it_4rmC_2}OVER{IT _7rmC_2 }]

[eqn: therefore][eqn: 1over3 times {it_4rmC_2}OVER{IT _7rmC_2 } = 2 over 21]

(ⅱ) 눈의 수가 [eqn: 3]의 배수가 아닐 때, 즉 확률은 [eqn: 2 over 3]
이 상자에서 임의로 [eqn: 3]개의 구슬을 꺼내므로 검은 구슬이 [eqn: 2]개 나오는 확률은 [eqn: {IT _4rmC_2 TIMES _3 RMC_1}OVER{IT_7RMC_3}]

[eqn: therefore][eqn: 2OVER3 TIMES {IT _4rmC_2 TIMES _3 RMC_1}OVER{IT_7RMC_3}][eqn: = 12 over 35]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하고자 하는 확률은

[eqn: 2 over 21 + 12 over 35 = 10 over105 + 36 over105 = 46 over 105]

따라서 [eqn: p=105,````q=46]이므로 [eqn: p+q=][eqn: 105 +46= 151]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 27

주머니 [eqn: {rm{A}} it]에는 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 6]장의 카드가 들어 있고, 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에는 [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 5]가 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 6]장의 카드가 들어 있다. 두 주머니 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: rm 3]개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm 3]개의 동전을 동시에 던져 앞면이 나오는 동전의 개수가 [eqn: rm 3]인 사건을 [eqn: X], 주머니에서 임의로 꺼낸 [eqn: rm 2]장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수인 사건을 [eqn: Y]라 하자.

[eqn: {rm{P}} it (X)={1} over {8}], [eqn: {rm{P}} it left(X^{C} right)=1-{1} over {8}={7} over {8}]

주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 꺼낸 [eqn: rm 2]장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수인 경우는 다음과 같다.

( i ) [eqn: rm 1]이 적혀 있는 카드를 [eqn: rm 2]장 꺼내는 경우의 확률은 [eqn: { it _{2} {rm{C}} it _{2}} over { it _{6} {rm{C}} it _{2}}={1} over {15}]

(ii) [eqn: rm 1]과 [eqn: rm 2]가 적혀 있는 카드를 각각 [eqn: rm 1]장씩 꺼내는 경우의 확률은 [eqn: { it _{2} {rm{C}} it _{1} times it _{2} {rm{C}} it _{1}} over { it _{6} {rm{C}} it _{2}}={4} over {15}]

(iii) [eqn: rm 2]와 [eqn: rm 3]이 적혀 있는 카드를 각각 [eqn: rm 1]장씩 꺼내는 경우의 확률은 [eqn: { it _{2} {rm{C}} it _{1} times it _{2} {rm{C}} it _{1}} over { it _{6} {rm{C}} it _{2}}={4} over {15}]

[eqn: {rm{P}} it (Y `|` X)={1} over {15}+{4} over {15}+{4} over {15}={3} over {5}]

[eqn: {rm{P}} it (X cap Y)={rm{P}} it (X) {rm{P}} it (Y `|` X)={1} over {8} times {3} over {5}={3} over {40}]

주머니 [eqn: rm B]에서 임의로 꺼낸 [eqn: rm 2]장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수인 경우는 [eqn: rm 3]과 [eqn: rm 4]가 적혀 있는 카드를 각각 [eqn: rm 1]장씩 꺼내는 경우이다.

[eqn: {rm{P}} it left(Y `|` X^{C} right)={ it _{2} {rm{C}} it _{1} times it _{2} {rm{C}} it _{1}} over { it _{6} {rm{C}} it _{2}}={4} over {15}]

[eqn: {rm{P}} it left(X^{C} cap Y right)][eqn: ={rm{P}} it left(X^{C} right) {rm{P}} it left(Y `|` X^{C} right)]
[eqn: ={7} over {8} times {4} over {15}={7} over {30}]

[eqn: {rm{P}} it (Y)={rm{P}} it (X cap Y)+{rm{P}} it left(X^{C} cap Y right)]

[eqn: ={3} over {40}+{7} over {30}={37} over {120}]

[eqn: rm 3]개의 동전을 동시에 던져 앞면이 나오는 동전의 개수가 [eqn: rm 3]이면 주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 [eqn: rm 2]장의 카드를 동시에 꺼내고, 앞면이 나오는 동전의 개수가 [eqn: rm 2] 이하이면 주머니 [eqn: rm B]에서 임의로 [eqn: rm 2]장의 카드를 동시에 꺼낸다.

이 시행을 한 번 하여 주머니에서 꺼낸 [eqn: rm 2]장의 카드에 적혀 있는 두 수의 합이 소수일 확률은?

① [eqn: {5} over {24}]	② [eqn: {7} over {30}]	③ [eqn: {31} over {120}]

④ [eqn: {17} over {60}]	⑤ [eqn: {37} over {120}]

[eqn: rmA]	[eqn: rmB]

05 확통	05 조건부 확률
02 조건부확률과 곱셈정리
04 곱셈정리와 조건부확률1 (종속적 선후시행)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 26

주머니 [eqn: {rmA}{{from^2021^09^평가원^중}}]에는 흰 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: rm B]에는 흰 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 3]개가 들어 있다.

[정답] ①

[해설]

주머니에서 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 모두 흰 공인 사건을 [eqn: E], 주사위의 눈의 수가 [eqn: 5] 이상인 사건을 [eqn: F]라 하면 구하는 확률은

[eqn: rm P it ( F `` left |`` E ) right . = { rm P it ( E cap F) }over { rm P ( it E)]

[eqn: rm P it (E)][eqn: {rm = 1 over 3 times { rm _2 C_2 }over { rm _6 C_2 } + 2 over 3 times { rm _3 C_2 }over { rm _6 C_2 }]
[eqn: = 1 over 3 times 1over 15 + 2 over 3 times 3 over 15]
[eqn: = 1 over 45 + 6 over 45]
[eqn: = 7 over 45]

[eqn: rm P ( it E cap F) = 1over 3 times { rm _2 {rmC} _2 }over { rm _6 {rmC} _2 }= 1 over 45]

따라서 [eqn: rm P it ( F `` left |`` E )][eqn: = { rm P ( it E cap F) }over { rm P ( it E)][eqn: = { 1 over 45 }over { 7 over 45 }][eqn: = 1 over 7]

두 주머니 [eqn: rmA ,```` B]와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 5] 이상이면 주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼내고, 나온 눈의 수가 [eqn: 4]이하이면 주머니 [eqn: rm B]에서 임의로 [eqn: 2]개의 공을 동시에 꺼낸다.

이 시행을 한 번 하여 주머니에서 꺼낸 [eqn: 2]개의 공이 모두 흰 색일 때, 나온 눈의 수가 [eqn: 5] 이상일 확률은?

① [eqn: 1 over 7]	② [eqn: 3 over 14]	③ [eqn: 2 over 7]

④ [eqn: 5 over 14]	⑤ [eqn: 3 over 7]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 30

검은 공 [eqn: {4}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]개, 흰 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니에 대하여 다음 시행을 [eqn: 2]회 반복한다.

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[해설]

두 번 시행 후 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개가 들어 있는 확률은 다음과 같이 분류할 수 있다.

(ⅰ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{3} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} `` CDOT {{} _{1} rm C it _{1} ` CDOT _{2} rm C it _{2}} over {{} _{3} rm C _{3} it}][eqn: = {1} over {5}]

(ⅱ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑고 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 1]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 2]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{6} {rmC} _{3}} `cdot` {{} _{2} {rmC} _{2} `cdot _{2} {rmC} _{1}} over {{} _{4} {rmC} _{3}}][eqn: = {3} over {10}]

(ⅲ) 첫 번째 시행에 검은 공 [eqn: 1]개, 흰색 공 [eqn: 2]개를 뽑고, 두 번째 시행에 검은 공 [eqn: 3]개를 뽑는 경우
첫 번째 시행 후 남아 있는 공은 검은 공 [eqn: 3]개, 흰색 공 [eqn: 2]개다.
[eqn: {{} _{4} rm C it rm _{1} ` CDOT _{2} rm C it rm _{2} it} over {{} _{6} rm C it rm _{3} it} ` CDOT ` {{} _{3} rm C it rm _{3} it} over {{} _{5} rm C it rm _{3} it}][eqn: = {1} over {50}]

따라서 구하고자 하는 확률은

[eqn: {{3} over {10}} over {{1} over {5} + {3} over {10} + {1} over {50}}][eqn: = {30} over {20+30+2}][eqn: = {15} over {26}]

따라서 [eqn: p=26,````q=15]이므로 [eqn: p+q=41]

주머니에서 임의로 [eqn: 3]개의 공을 동시에 꺼낸 후, 꺼낸 공 중에서 흰 공은 다시 주머니에 넣고 검은 공은 다시 넣지 않는다.

두 번째 시행의 결과 주머니에 흰 공만 [eqn: 2]개 들어 있을 때, 첫 번째 시행의 결과 주머니에 들어 있는 검은 공의 개수가 [eqn: 2]일 확률은 [eqn: q overp]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 30

주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 흰 공 [eqn: rm 3]개, 검은 공 [eqn: rm 1]개가 들어 있고, 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에도 흰 공 [eqn: rm 3]개, 검은 공 [eqn: rm 1]개가 들어 있다. 한 개의 동전을 사용하여 [실행 1]과 [실행 2]를 순서대로 하려고 한다.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[실행 [eqn: rm 2]]가 끝난 후 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 흰 공이 남아 있지 않은 사건을 [eqn: X], [실행 [eqn: rm 1]]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공 중 흰 공이 [eqn: rm 2]개인 사건을 [eqn: Y]라 하자.

(ⅰ) [실행 1]에서 동전의 앞면이 나오고, [실행 2] 가 끝난 후 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 흰 공이 남아 있지 않은 경우
[실행 [eqn: rm 1]]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 2]개이고, [실행 [eqn: rm 2]]에서 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 5]개이거나
[실행 [eqn: rm 1]]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 1]개와 검은 공 [eqn: rm 1]개이고, [실행 [eqn: rm 2]]에서 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 4]개와 검은 공 [eqn: rm 1]개일 확률은
[eqn: {1} over {2} times { it _{3} {rm{C}} it _{2}} over { it _{4} {rm{C}} it _{2}} times { it _{5} {rm{C}} it _{5}} over { it _{6} {rm{C}} it _{5}}+{1} over {2} times { it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{1} {rm{C}} it _{1}} over { it _{4} {rm{C}} it _{2}} times { it _{4} {rm{C}} it _{4} times it _{2} {rm{C}} it _{1}} over { it _{6} {rm{C}} it _{5}}]
[eqn: ={1} over {2} times {3} over {6} times {1} over {6}+{1} over {2} times {3} over {6} times {2} over {6}={1} over {24}+{1} over {12}={1} over {8}]

(ⅱ) [실행 1]에서 동전의 뒷면이 나오고, [실행 2]가 끝난 후 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 흰 공이 남아 있지 않은 경우
[실행 1]에서 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 2]개와 검은 공 [eqn: rm 1]개이고, [실행 [eqn: rm 2]]에서 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에 넣은 공이 흰 공 [eqn: rm 5]개일 확률은
[eqn: {1} over {2} times { it _{3} {rm{C}} it _{2} times it _{1} {rm{C}} it _{1}} over { it _{4} {rm{C}} it _{3}} times { it _{5} {rm{C}} it _{5}} over { it _{7} {rm{C}} it _{5}}={1} over {2} times {3} over {4} times {1} over {21}={1} over {56}]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: {rm{P}} it (X)={1} over {8}+{1} over {56}={8} over {56}={1} over {7}]

[eqn: {rm{P}} it (X cap Y)={1} over {24}+{1} over {56}={10} over {168}={5} over {84}]

그러므로 구하는 확률은

[eqn: {rm{P}} it (Y `|` X)={{rm{P}} it (X cap Y)} over {{rm{P}} it (X)}={{5} over {84}} over {{1} over {7}}={5} over {12}]

따라서 [eqn: p=12], [eqn: q=5]이므로

[eqn: p+q=17]

[실행 1] 한 개의 동전을 던져
앞면이 나오면 주머니 [eqn: rm A]에서 임의로 [eqn: rm 2]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣고,
뒷면이 나오면 주머니 [eqn: {rm{A}} it]에서 임의로 [eqn: rm 3]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에 넣는다.

[실행 2] 주머니 [eqn: {rm{B}} it]에서 임의로 [eqn: rm 5]개의 공을 꺼내어 주머니 [eqn: rm A]에 넣는다.

[실행 2]가 끝난 후 주머니 [eqn: rm B]에 흰 공이 남아 있지 않을 때, [실행 1]에서 주머니 [eqn: rm B]에 넣은 공 중 흰 공이 [eqn: rm 2]개이었을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 30

그림과 같이 두 주머니 [eqn: rmA `]와 [eqn: rmB `]에 흰 공 [eqn: 1 `]개, 검은 공 [eqn: 1`]개가 각각 들어 있다. 주머니 [eqn: rmA `]에 들어 있는 공의 개수 또는 주머니 [eqn: rmB`]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0`]이 될 때까지 다음의 시행을 반복한다.

[정답] [eqn: 27]

[해설]

각 주머니의 흰 공의 개수와 검은 공의 개수를

(흰 공 개수, 검은 공 개수)

로 나타내기로 하자. 주머니 [eqn: rmA]의 공의 개수가 정해지면 주머니 [eqn: rmB]의 공의 개수도 정해지므로 주머니 [eqn: rmA]의 공의 개수의 변화만 고려해도 된다.

(ⅰ) [eqn: 1]회의 시행에서 주머니 [eqn: rmA]의 공의 개수의 변화에 따른 확률은 다음과 같다.

(1) [eqn: left(1,``1right)`->`left(0,``1right)], [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``0right)], [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``2right)], [eqn: left(1,``1right)`->`left(2,``1right)]일 확률은 모두 [eqn: 1over4]

(2) [eqn: left(0,``1right)`->`left(0,``2right)]일 확률은 [eqn: 1over3],
[eqn: left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은 [eqn: 2over3]

(3) [eqn: left(1,``0right)`->`left(2,``0right)]일 확률은 [eqn: 1over3],
[eqn: left(1,``0right)`->`left(0,``0right)]일 확률은 [eqn: 2over3]

(4) [eqn: left(1,``2right)`->`left(1,``1right)], [eqn: left(2,``1right)`->`left(1,``1right)]일 확률은 [eqn: 2over3]

(5) [eqn: left(0,``2right)`->`left(0,``1right)], [eqn: left(2,``0right)`->`left(1,``0right)]일 확률은 [eqn: 1]

(ⅱ) [eqn: 4]회의 시행 후 주머니 [eqn: rmA]에 들어있는 공의 개수가 [eqn: 0]일 확률은 다음과 같다.

(1) [eqn: left(1,``1right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``2right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 1over3 times1 times 2over3 = 1over18]

(2) [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``0right)`->`left(2,``0right)`->`left(1,``0right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 1over3 times1 times 2over3 = 1over18]

(3) [eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``2right)`->`left(1,``1right)`->`left(1,``0right)`->`left(0,``0right)] 또는
[eqn: left(1,``1right)`->`left(1,``2right)`->`left(1,``1right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 2over3 times left(1over4 times 2over3 + 1over4 times 2over3 right)= 1over18]

(4) [eqn: left(1,``1right)`->`left(2,``1right)`->`left(1,``1right)`->`left(1,``0right)`->`left(0,``0right)] 또는
[eqn: left(1,``1right)`->`left(2,``1right)`->`left(1,``1right)`->`left(0,``1right)`->`left(0,``0right)]일 확률은
[eqn: 1over4 times 2over3 times left(1over4 times 2over3 + 1over4 times 2over3 right)= 1over18]

이상에서 [eqn: 4]회 시행 후 주머니 [eqn: rmA]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0]인 사건을 [eqn: E]라 하면

[eqn: rmP left(itE right)= 1over18 times4= 2over9]

[eqn: 2]회 시행 후 주머니 [eqn: rmA]에 들어 있는 흰 공의 개수가 [eqn: 1] 이상인 사건을 [eqn: F]라 하면 사건 [eqn: E capF]가 일어나는 경우는 (ⅱ)의 (2), (3), (4)에 해당하므로

[eqn: rmP left(itE capF right)= 1over18 times3= 1over6]

[eqn: therefore][eqn: p=rmP left(itF`right|`E right)={rmP left(itE capF right)}over{rmP left(itE right)}={1over6}over{2over9}= 3over4]

[eqn: therefore][eqn: 36p=27]

두 주머니 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 각각 임의로 하나씩 꺼낸 두 개의 공이 서로 같은 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 [eqn: rmA`]에 넣고, 서로 다른 색이면 꺼낸 공을 모두 주머니 [eqn: rmB `]에 넣는다.

[eqn: 4 `]번째 시행의 결과 주머니 [eqn: rmA `]에 들어 있는 공의 개수가 [eqn: 0`]일 때, [eqn: 2 `]번째 시행의 결과 주머니 [eqn: rmA `]에 들어 있는 흰 공의 개수가 [eqn: 1 `] 이상일 확률은 [eqn: p`]이다. [eqn: 36 p`]의 값을 구하시오.

05 확통	06 사건의 독립과 종속
01 독립과 종속
01 확률의 계산 (독립일 때)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 2

두 사건 [eqn: {A,~B}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]가 서로 독립이고

[정답] ②

[해설]

두 사건 [eqn: {A,~B}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]가 서로 독립이므로

[eqn: {rm P} ( A smallinter B)][eqn: = {rm P} (A) {rm P} (B)]

그런데, [eqn: {rm P}(A)][eqn: = 2 over3 ,][eqn: {rm P} (A SMALLINTER B)][eqn: = 1 over4]이므로

[eqn: 1over4 = 2 over3 cdot {rmP} (B)]

[eqn: therefore][eqn: {rm P}(B)][eqn: = { 1 over4} times { 3 over2 }][eqn: = 3 over8]

[eqn: {rm P}(A)][eqn: = 2 over3 ,][eqn: {rm P} (A SMALLINTER B)][eqn: = 1 over4]

일 때, [eqn: {rm P}(B)]의 값은?

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 3 over8]	③ [eqn: 1 over2]

④ [eqn: 5 over8]	⑤ [eqn: 3 over4]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 4

두 사건 [eqn: {A}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]와 [eqn: B]는 서로 독립이고

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: =1- rm P it LEFT ( A ^{c} RIGHT )][eqn: =1- {2} over {5}][eqn: = {3} over {5}]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이므로

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: = rm P it LEFT ( A RIGHT ) rm P it LEFT ( B RIGHT )][eqn: = {3} over {5} TIMES {1} over {6}][eqn: = {1} over {10}]

따라서 [eqn: rm P it LEFT ( A ^{c} CUP B ^{c} RIGHT )][eqn: =1- rm P it LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: = {9} over {10}]

[eqn: rm P LEFT ( it A ^{c} RIGHT ) = {2} over {5}], [eqn: rm P LEFT ( it B RIGHT ) = {1} over {6}]

일 때, [eqn: rm P LEFT ( it A ^{c} CUP B ^{c} RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: A ^{c}]은 [eqn: A]의 여사건이다.)

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {5}]	③ [eqn: {7} over {10}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 4

두 사건 [eqn: {A }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]와 [eqn: B]는 서로 독립이고

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm P} left( A^c right)][eqn: = {rm P}(B)][eqn: = 2 over5]에서

[eqn: {rm P} (A)][eqn: = 1 - {rm P} left( A^c right)][eqn: =1 - 2 over5][eqn: = 3 over 5]

두 사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이므로

[eqn: {rm P} (A cap B)][eqn: = {rm P}(A) times {rm P}(B)][eqn: = 3 over5 times 2 over5][eqn: = 6 over25]

[eqn: {rm P} (A cup B)][eqn: = {rm P} (A) + {rm P}(B) - {rm P}(A cap B)]
[eqn: = 3 over5 + 2 over5 - 6 over 25]
[eqn: = 19 over 25]

[eqn: LEFT . rm P LEFT ( it A ^{c} RIGHT ) = rm RIGHT . P LEFT ( it B RIGHT ) = {2} over {5}]

일 때, [eqn: rm P LEFT ( it A CUP B RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: A ^{c}]은 [eqn: A]의 여사건이다.)

① [eqn: {16} over {25}]	② [eqn: {17} over {25}]	③ [eqn: {18} over {25}]

④ [eqn: {19} over {25}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 5

두 사건 [eqn: {A` }{{from^2020^11^대수능고3나^중}}`]와 [eqn: B` `]는 서로 독립이고

[정답] ②

[해설]

사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이므로 [eqn: {rmP}(A ``|``B) = {rmP}(B)]

그런데, 조건에서 [eqn: rmP( it A ``|`` B )=rmP(it A)]이므로

[eqn: {rmP}(A ) = {rmP}(B)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또,  사건 [eqn: A]와 [eqn: B]는 서로 독립이므로 [eqn: {rmP}(A cap B) = {rmP}(A)`` {rmP}(B)]

조건에서 [eqn: rmP(itA cap B )= 1 over9]을 식에 대입하면

[eqn: {rmP}(A)``{rmP}(B) = 1 over 9]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: {rmP}(A) = 1 over 3][eqn: ` right {][eqn: because][eqn: {rmP}(A) > 0 right }]

[eqn: {rmP it }LEFT ( it A` `LEFT | it RIGHT .` B` RIGHT )={rmP it }LEFT (it B` RIGHT )], [eqn: {rmP it }LEFT (itA` cap B` RIGHT )= 1 over9`]

일 때, [eqn: {rmP it }LEFT (it A` RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 7 over18]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 5 over18]

④ [eqn: 2 over9]	⑤ [eqn: 1 over6]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 4

두 사건 [eqn: A], [eqn: B]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: rmP][eqn: LEFT ( B~vert A RIGHT ) = {1} over {4} `]이므로

[eqn: {P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( A RIGHT )} = {1} over {4}]

[eqn: rmP][eqn: LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: = {1} over {4}][eqn: rmP][eqn: LEFT ( A RIGHT )]

[eqn: rm 4P][eqn: LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: =][eqn: rmP][eqn: LEFT ( A RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: rmP][eqn: LEFT ( A~vert B RIGHT ) = {1} over {3} `]이므로

[eqn: {P LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )} over {P LEFT ( B RIGHT )} = {1} over {3}]

[eqn: rmP][eqn: LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: = {1} over {3}][eqn: rmP][eqn: LEFT ( B RIGHT )]

[eqn: rm 3P][eqn: LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: =][eqn: rmP][eqn: LEFT ( B RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: rmP][eqn: LEFT ( A RIGHT ) +][eqn: rmP][eqn: LEFT ( B RIGHT ) = {7} over {10}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉠, ㉡식을 ㉢식에 대입하면

[eqn: rm 4P][eqn: LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: +][eqn: rm 3P][eqn: LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT )][eqn: = {7} over {10}]

[eqn: rmP][eqn: LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {10} `]

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)={1} over {4}], [eqn: ~ {rm{P}} it (A `|` B)={1} over {3}], [eqn: ~ {rm{P}} it (A)+{rm{P}} it (B)={7} over {10}]

일 때, [eqn: {rm{P}} it (A cap B)]의 값은?

① [eqn: {1} over {7}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {1} over {9}]

④ [eqn: {1} over {10}]	⑤ [eqn: {1} over {11}]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
02 독립인 사건의 곱셈정리
02 독립인 사건의 곱셈정리2 (확률 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고1 03월 26

[eqn: {{rm A }{{from^2020^03^경기고1^}}]는 흰 공 [eqn: 9]개, 검은 공 [eqn: 1]개가 들어 있는 주머니를 가지고 있고 [eqn: {rm B]는 흰 공 [eqn: 8]개, 검은 공 [eqn: 2]개가 들어 있는 주머니를 가지고 있다. [eqn: {rm A]와 [eqn: {rm B]가 동시에 자신의 주머니에서 각각 한 개씩 공을 꺼낼 때, 같은 색의 공이 나올 확률이 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 87 }]

[해설]

[eqn: rmA]가 이기는 경우는 다음의 두 가지 경우이다.

(ⅰ) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 동시에 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼내는 경우
[eqn: rmA]가 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {9} over {10}]이고, [eqn: rmB]가 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {4} over {5}]이다.
따라서 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 동시에 자신의 주머니에서 흰 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {9} over {10} times {4} over {5} = {18} over {25}]

(ⅱ) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 동시에 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼내는 경우
[eqn: rmA]가 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {1} over {10}]이고, [eqn: rmB]가 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {1} over {5}]이다.
따라서 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 동시에 자신의 주머니에서 검은 공 한 개를 꺼낼 확률은 [eqn: {1} over {10} TIMES {1} over {5} = {1} over {50}]

(ⅰ)의 경우와 (ⅱ)의 경우는 동시에 일어나지 않으므로 구하는 확률은 [eqn: {18} over {50} + {1} over {50} = {37} over {50}]

따라서 [eqn: p=50 ,```` q=37]이므로 [eqn: p+q=87]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 29

[eqn: {rm A}{{from^2020^10^서울고3나^5}}], [eqn: rm B]두 사람이 각각 [eqn: 4]개씩 공을 가지고 다음 시행을 한다.

[정답] [eqn: bold { 135 }]

[해설]

한 번의 시행 결과로 나타나는 경우의 확률은 다음과 같다.

① [eqn: rmA]가 가진 공의 개수가 [eqn: 1]개 늘어가는 경우 :
[eqn: rmA]가 던진 주사위의 눈의 수가 짝수이고 [eqn: rmB]가 던진 주사위의 눈의 수가 홀수이므로 확률은 [eqn: {1} over {4}]

② [eqn: rmA]가 가진 공의 개수의 변화가 없는 경우 :
[eqn: rmA], [eqn: rmB]가 던진 주사위의 눈의 수가 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로 확률은 [eqn: {1} over {2}]

③ [eqn: rmA]가 가진 공의 개수가 [eqn: 1]개 줄어드는 경우 :
[eqn: rmA]가 던진 주사위의 눈의 수가 홀수이고 [eqn: rmB]가 던진 주사위의 눈의 수가 짝수이므로 확률은 [eqn: {1} over {4}]

한편, [eqn: 4]번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 [eqn: 6]이 되는 경우는 [eqn: 4]번째 시행에서 ①이 일어나고 [eqn: 3]번째 시행에서는 ① 또는 ②가 일어나야 한다.

(ⅰ) [eqn: 3]번째 시행에서 ①이 일어나는 경우
첫 번째, 두 번째 시행에서 ①, ③이 일어나거나 두 시행 모두 ②가 일어나야 하므로
[eqn: LEFT { 2! TIMES LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT } TIMES {1} over {4}][eqn: = {3} over {32}]

(ⅱ) [eqn: 3]번째 시행에서 ②가 일어나는 경우
첫 번째, 두 번째 시행에서 ①, ②가 일어나야 하므로
[eqn: LEFT ( {}_{2} rmC _{1} TIMES {1} over {4} TIMES {1} over {2} RIGHT ) TIMES {1} over {2}][eqn: = {1} over {8}]

그러므로 구하는 확률은 [eqn: LEFT ( {3} over {32} + {1} over {8} RIGHT ) TIMES {1} over {4}][eqn: = {7} over {128}]

따라서 [eqn: p][eqn: =128], [eqn: q][eqn: =7]이므로 [eqn: p+q][eqn: =135]

[eqn: rm A], [eqn: rm B]두 사람이 주사위를 한 번씩 던져 나온 눈의 수가 짝수인 사람은 상대방으로부터 공을 한 개 받는다.

각 시행 후 [eqn: rm A]가 가진 공의 개수를 세었을 때, [eqn: 4]번째 시행 후 센 공의 개수가 처음으로 [eqn: 6]이 될 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 30

숫자 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 3]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 [eqn: 5]번 반복하여 확인한 [eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수일 확률이 [eqn: q over p]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 47 }]

[해설]

[eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수가 되기 위해서 [eqn: 2]와 [eqn: 3]은 [eqn: 1]번 이상은 나와야 한다.

따라서 [eqn: 1]이 나오는 경우가 최대 [eqn: 3]번이다.

전체 경우의 수는 [eqn: 3^5 = 243](가지)

(ⅰ) [eqn: 1]이 [eqn: 0]번 나오는 경우
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^5]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로

[eqn: therefore][eqn: 2^5 -2 =30](가지)

(ⅱ) [eqn: 1]이 [eqn: 1]번 나오는 경우
[eqn: 1]이 나오는 경우의 수 [eqn: {} _5{rmC}_1]
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^4]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: 2^4 -2 =14](가지)
[eqn: THEREFORE ```` 14 times 5=70](가지)

(ⅲ) [eqn: 1]이 [eqn: 2]번 나오는 경우
[eqn: 1]이 나오는 경우의 수 [eqn: {} _5{rmC}_2 = 10]
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^3]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: 2^3 -2 =6](가지)
[eqn: THEREFORE ```` 6 times 10 =60](가지)

(ⅳ) [eqn: 1]이 [eqn: 3]번 나오는 경우
[eqn: 1]이 나오는 경우의 수 [eqn: {} _5{rmC}_3 = 10]
[eqn: 2]와 [eqn: 3]이 나올 수 있는 경우의 수는 [eqn: 2^2]
[eqn: 2]나 [eqn: 3]만 나오는 [eqn: 2]가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: 2^2 -2 =2](가지)
[eqn: THEREFORE ```` 2times 10=20](가지)

(ⅰ)∼(ⅳ)에서  이 시행을 [eqn: 5]번 반복하여 확인한 [eqn: 5]개의 수의 곱이 [eqn: 6]의 배수가 되는 경우의 수는 [eqn: 30+70+60+20][eqn: =180](가지)

따라서 구하고자 하는 확률은 [eqn: { 180} over { 243} = 20 over 27]

따라서 [eqn: p=27], [eqn: q=20]이므로 [eqn: p+q =47]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 26

한 개의 주사위를 세 번 던져서 나오는 눈의 수를 차례로 [eqn: {a ,```` b ,```` c}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]라 할 때,

[정답] ①

[해설]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =2]를 만족시키려면 세 수 [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2}], [eqn: LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}], [eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}] 중 한 개의 수가 [eqn: 1]이고, 두 개의 수가 [eqn: 1]이어야 한다.

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =0], [eqn: LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}][eqn: =0], [eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =0]이 될 확률은 각각 [eqn: {1} over {6}]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =1], [eqn: LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}][eqn: =1], [eqn: LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =1]이 될 확률은 각각 [eqn: {1} over {3}]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {}_{3} rm C _{1} TIMES {1} over {6} TIMES {1} over {3} TIMES {1} over {3}][eqn: = {1} over {18}]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( c-4 RIGHT ) ^{2}][eqn: =2]

가 성립할 확률은?

① [eqn: {1} over {18}]	② [eqn: {1} over {9}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {5} over {18}]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
01 독립시행의 확률1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

[eqn: {n}{{^2020^08^경찰대^중}}]쌍의 부부로 구성된 어느 모임의 모든 사람에게 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]중의 한 숫자가 적힌 카드를 한 장씩 임의로 나누어준 후, 카드를 받은 사람들이 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]중의 한 숫자를 임의로 적도록 한다. 남편이 적은 수가 아내가 받은 카드에 적힌 수와 일치하고, 아내가 적은 수가 남편이 받은 카드에 적힌 수와 일치하는 부부에게만 상품을 주기로 한다. 상품을 받는 부부가 [eqn: 2]쌍 이하일 확률이 [eqn: 57 over32 left(8 over9 right)^n]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

[정답] ②

[해설]

남편이 적은 수가 아내가 받은 카드에 적힌 수와 일치하고, 아내가 적은 수가 남편이 받은 카드에 적힌 수와 일치하는 부부에게만 상품을 주므로 [eqn: 1]쌍의 부부가 상품을 받을 확률은 [eqn: 1 over9]이다.

[eqn: n]쌍의 부부중에서 상품을 받는 부부가 [eqn: 2]쌍 이하일 확률은

[eqn: ` _n{rmC}_0 left( 8 over9 right)^n + _n{rmC}_1 left(1over9 right) left( 8 over9 right)^n-1 + _n{rmC}_2 left(1over9 right)^2 left( 8 over9 right)^n-2]
[eqn: = left(1+ n over8 + {n(n-1)}over64 right) left( 8 over9 right)^n]

따라서 [eqn: left(1+ n over8 + {n(n-1)}over64 right) left( 8 over9 right)^n][eqn: = 57 over32 left(8over9 right)^n]이므로

[eqn: 1+ n over8 + {n(n-1)}over64][eqn: = 57 over32]

[eqn: 64 +8n+n(n-1)=2times 57]

[eqn: n^2 +15n=100],	[eqn: (n-5)(n+20)=0]

[eqn: THEREFORE ```` n=5][eqn: (because][eqn: n]은 자연수)

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
02 독립시행의 확률2 (독립시행을 여러 번 - 곱셈정리)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 19

숫자 [eqn: {3}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4]가 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) 주머니에서 [eqn: 3]이 나오는 경우
주머니에서 [eqn: 3]이 나올 확률은 [eqn: {2} over {5}],
[eqn: 3]이 나오면 주사위를 [eqn: 3]번 던지므로 처음 나온 주사위 눈을 [eqn: a], 두 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: b], 세 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: c]라 두면

[eqn: a+b+c=10]

㉠ [eqn: (a,````b,````c)=(6,````3,````1)], [eqn: (5,````4,````1)], [eqn: (5,````3,````2)]일 때,
[eqn: 3!][eqn: =6](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 6 times 3 =18](가지)

㉡ [eqn: (a,````b,````c)=(6,````2,````2)], [eqn: (4,````4,````2)], [eqn: (4,````3,````3)]일 때,

[eqn: {3!} over {2!}][eqn: =3](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 =9](가지)

㉠, ㉡에서 총 경우의 수는 [eqn: 27]가지이므로 구하는 확률은
[eqn: {2} over {5} TIMES 27 over 6^3]

(ⅱ) 주머니에서 [eqn: 4]가 나오는 경우
주머니에서 [eqn: 4]가 나올 확률은 [eqn: {3} over {5}],
[eqn: 4]가 나오면 주사위를 [eqn: 4]번 던지므로 처음 나온 주사위 눈을 [eqn: a], 두 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: b], 세 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: c], 네 번째 나온 주사위 눈을 [eqn: d]라 두면

[eqn: a+b+c+d=10]

㉠ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(6,````2,````1,````1)], [eqn: (5,````3,````1,````1)], [eqn: (5,````2,````2,````1)]일 때,
[eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 12 times 3 =36](가지)

㉡ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(4,````4,````1,````1)], [eqn: (3,````3,````2,````2)]일 때,
[eqn: {4!} over {2! TIMES 2!}][eqn: =6](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 6 times 2 =12](가지)

㉢ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(4,````2,````2,````2)]，[eqn: (3,````3,````3,````1)]일 때,
[eqn: {4!} over {3!}][eqn: =4](가지) 즉, 총 경우의 수는 [eqn: 4 times 2 =8](가지)

㉣ [eqn: (a,````b,````c,````d)=(4,````3,````2,````1)]일 때 [eqn: 4!][eqn: =24](가지)

㉠∼㉣에서 총 경우의 수는 [eqn: 80]가지이므로 구하는 확률은
[eqn: {3} over {5} TIMES 80 over 6^4]

(ⅰ), (ⅱ)에서 이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 10]점일 확률은

[eqn: {2} over {5} TIMES 27 over 6^3]	[eqn: +{3} over {5} TIMES 80 over 6^4][eqn: = {47} over {540}]

주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 3]이면 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고, 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 4]이면 주사위를 [eqn: 4]번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 10]점일 확률은?

① [eqn: {13} over {180}]	② [eqn: {41} over {540}]	③ [eqn: {43} over {540}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {47} over {540}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 29

숫자 [eqn: {3}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4]가 하나씩 적힌 [eqn: 5]개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.

[정답] [eqn: rm 587]

[해설]

다음과 같이 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 3]인 경우와 [eqn: rm 4]인 경우로 나누어 생각해 보자.

(i) 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 3]인 경우 : 주머니에서 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 3]일 확률은 [eqn: {2} over {5}]

이때 주사위를 세 번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합이 [eqn: rm 10]인 경우는 순서를 생각하지 않으면 [eqn: 6], [eqn: 3], [eqn: 1] 또는 [eqn: rm 6], [eqn: rm 2] ,[eqn: rm 2] 또는 [eqn: 5], [eqn: 4], [eqn: 1] 또는 [eqn: 5], [eqn: 3], [eqn: 2] 또는 [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 2] 또는 [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 3]이고, 각 경우의 수를 고려하면 이때의 확률은

[eqn: left(3 !+{3 !} over {2 !}+3 !+3 !+{3 !} over {2 !}+{3 !} over {2 !} right) times left({1} over {6} right)^{3}=27 times left({1} over {6} right)^{3}={1} over {8}]

그러므로 이 경우의 확률은 [eqn: {2} over {5} times {1} over {8}={1} over {20}]

(ii) 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 4]인 경우 : 주머니에서 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: rm 4]일 확률은 [eqn: {3} over {5}]

이때 주사위를 네 번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합이 [eqn: rm 10]인 경우는 순서를 생각하지 않으면 [eqn: 6], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 5], [eqn: 3], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 5], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 1] 또는 [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 1], [eqn: 1] 또는 [eqn: 4], [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 1] 또는 [eqn: 4], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2] 또는 [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 1] 또는 [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 2], [eqn: 2]이고, 각 경우의 수를 고려하면 이때의 확률은

[eqn: LEFT ( {4!} over {2!} + {4!} over {2!} + {4!} over {2!} + {4!} over {2!2!} +4!+ {4!} over {3!} + {4!} over {3!} + {4!} over {2!2!} RIGHT ) TIMES LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{4}]

[eqn: 80TIMES LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) ^{4} = {5} over {81}]

그러므로 이 경우의 확률은 [eqn: {3} over {5} times {5} over {81}={1} over {27}]

(i), (ii)에 의하여 구하는 확률은 [eqn: {1} over {20}+{1} over {27}={47} over {540}]이고, [eqn: p=540], [eqn: q=47]이므로 [eqn: p+q=587]

주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 3]이면 주사위를 [eqn: 3]번 던져서 나오는 세 눈의 수의 합을 점수로 하고, 꺼낸 공에 적힌 수가 [eqn: 4]이면 주사위를 [eqn: 4]번 던져서 나오는 네 눈의 수의 합을 점수로 한다.

이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 [eqn: 10]점일 확률을 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 27

주사위 [eqn: 2]개와 동전 [eqn: 4]개를 동시에 던질 때, 나오는 주사위의 눈의 수의 곱과 앞면이 나오는 동전의 개수가 같을 확률은?

[정답] ①

[해설]

주사위 [eqn: 2]개와 동전 [eqn: 4]개를 던져서 나오는 총 경우의 수는 [eqn: 6 ^{2} TIMES 2 ^{4}]

주사위의 눈의 수의 곱과 앞면이 나오는 동전의 개수가 같은 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) 앞면이 나오는 동전이 [eqn: 1]개인 경우
앞면이 나오는 동전이 [eqn: 1]개인 경우는 [eqn: {}_{4} rmC _{1} =4]가지
주사위 눈의 수의 곱이 [eqn: 1]인 경우는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )]의 [eqn: 1]가지
[eqn: THEREFORE ```` 4 TIMES 1=4]

(ⅱ) 앞면이 나오는 동전이 [eqn: 2]개인 경우
앞면이 나오는 동전이 [eqn: 2]개인 경우는 [eqn: {}_{4} rmC _{2} =6]가지
주사위 눈의 수의 곱이 [eqn: 2]인 경우는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )]의 [eqn: 2]가지
[eqn: THEREFORE ```` 6 TIMES 2=12]

(ⅲ) 앞면이 나오는 동전이 [eqn: 3]개인 경우
앞면이 나오는 동전이 [eqn: 3]개인 경우는 [eqn: {}_{4} rm C _{3} =4]가지
주사위 눈의 수의 곱이 [eqn: 3]인 경우는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 3 RIGHT ) ,```` LEFT ( 3 ,```` 1 RIGHT )]의 [eqn: 2]가지
[eqn: THEREFORE ```` 4 TIMES 2=8]

(ⅳ) 앞면이 나오는 동전이 [eqn: 4]개인 경우
앞면이 나오는 동전이 [eqn: 4]개인 경우는 [eqn: {}_{4} rm C _{4} =1]가지
주사위 눈의 수의 곱이 [eqn: 4]인 경우는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 4 RIGHT ) ,```` LEFT ( 2 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 4 ,```` 1 RIGHT )]의
[eqn: 3]가지
[eqn: THEREFORE ```` 1 TIMES 3=3]

(ⅰ)∼(ⅳ)로부터 구하는 확률은

[eqn: {4+12+8+3} over {6 ^{2} TIMES 2 ^{4}} = {3} over {64}]

① [eqn: {3} over {64}]	② [eqn: {5} over {96}]	③ [eqn: {11} over {192}]

④ [eqn: {1} over {16}]	⑤ [eqn: {13} over {192}]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
03 독립시행의 확률3 (여사건의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 9

한 개의 동전을 [eqn: {6}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]번 던져서 앞면이 [eqn: 2]번 이상 나올 확률은?

[정답] ④

[해설]

한 개의 동전을 [eqn: 6]번 던져서 앞면이 [eqn: 2]번 이상 나오는 사건을 [eqn: A]라 하면 [eqn: A ^{c}]은 앞면이 [eqn: 0]번 또는 [eqn: 1]번 나오는 사건이므로 그 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( A ^{c} RIGHT )][eqn: = _{6} rm C _{ 0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{0} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{6} + _{6} rm C _{ 1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{5}][eqn: = {7} over {64}]

따라서 [eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT )][eqn: =1- rm P it LEFT ( A ^{c} RIGHT )][eqn: =1- {7} over {64}][eqn: = {57} over {64}]

① [eqn: {51} over {64}]	② [eqn: {53} over {64}]	③ [eqn: {55} over {64}]

④ [eqn: {57} over {64}]	⑤ [eqn: {59} over {64}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 25

수직선의 원점에 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] ④

[해설]

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: rm 6]의 약수일 확률은

[eqn: {4} over {6}={2} over {3}]

[eqn: rm 6]의 약수가 아닐 확률은 [eqn: 1-{2} over {3}={1} over {3}]

[eqn: rm 4]번째 시행 후 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표가 [eqn: rm 2] 이상이려면 [eqn: rm 4]번의 시행 중 주사위의 눈의 수가 [eqn: rm 6]의 약수인 경우가 [eqn: rm 2]번 이상이면 된다.

주사위의 눈의 수가 [eqn: rm 6]의 약수인 경우가 [eqn: rm 0]번일 확률은

[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{0} left({2} over {3} right)^{0} left({1} over {3} right)^{4}={1} over {81}]

주사위의 눈의 수가 [eqn: rm 6]의 약수인 경우가

[eqn: rm 1]번일 확률은

[eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1} left({2} over {3} right)^{1} left({1} over {3} right)^{3}={8} over {81}]

따라서 구하는 확률은

[eqn: 1- left({1} over {81}+{8} over {81} right)=1-{1} over {9}={8} over {9}]

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가

[eqn: rm 6]의 약수이면 점 [eqn: {rm{P}} it]를 양의 방향으로 [eqn: rm 1]만큼 이동시키고,

[eqn: rm 6]의 약수가 아니면 점 [eqn: {rm{P}} it]를 이동시키지 않는다.

이 시행을 [eqn: rm 4]번 반복할 때, [eqn: rm 4]번째 시행 후 점 [eqn: {rm{P}} it]의 좌표가 [eqn: rm 2] 이상일 확률은?

① [eqn: {13} over {18}]	② [eqn: {7} over {9}]	③ [eqn: {5} over {6}]

④ [eqn: {8} over {9}]	⑤ [eqn: {17} over {18}]

05 확통	06 사건의 독립과 종속
03 독립시행의 확률
06 독립시행의 확률6 (조건부확률)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 30

흰 공과 검은 공이 각각 [eqn: 10]개 이상 들어 있는 바구니와 비어 있는 주머니가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

[정답] [eqn: 191]

[해설]

[eqn: a _{5} +b _{5} GEQ 7]인 사건을 [eqn: A], [eqn: a _{k} =b _{k}]인 자연수 [eqn: k`` LEFT ( 1 LEQ k LEQ 5 RIGHT )]가 존재하는 사건을 [eqn: B]라 하자.

사건 [eqn: A]가 일어나는 경우는

[eqn: a _{5} +b _{5} =7=2+2+1+1+1]

[eqn: a _{5} +b _{5} =8=2+2+2+1+1]

[eqn: a _{5} +b _{5} =9=2+2+2+2+1]

[eqn: a _{5} +b _{5} =10=2+2+2+2+2]

이고 주사위의 눈의 수가 [eqn: 5] 이상일 확률은 [eqn: {1} over {3}], [eqn: 4] 이하일 확률은 [eqn: {2} over {3}]이므로

(ⅰ) [eqn: a _{5} +b _{5} =7]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{3} =10 TIMES {8} over {3 ^{5}}]

(ⅱ) [eqn: a _{5} +b _{5} =8]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{3} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} =10 TIMES {4} over {3 ^{5}}]

(ⅲ) [eqn: a _{5} +b _{5} =9]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{4} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{4} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1} =5 TIMES {2} over {3 ^{5}}]

(ⅳ) [eqn: a _{5} +b _{5} =10]일 확률은
[eqn: {}_{5} rm C _{5} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{5} = {1} over {3 ^{5}}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여

[eqn: rm P it LEFT ( A RIGHT ) =10 TIMES {8} over {3 ^{5}} +10 TIMES {4} over {3 ^{5}} +5 TIMES {2} over {3 ^{5}} + {1} over {3 ^{5}}]

또한, 사건 [eqn: A SMALLINTER B]인 경우는 (ⅰ), (ⅱ)의 경우 [eqn: 3]번째 시행까지 [eqn: 5] 이상의 눈의 수가 [eqn: 1]번, [eqn: 4] 이하의 눈의 수가 [eqn: 2]번 일어나야 하고 (ⅲ), (ⅳ)의 경우는 사건 [eqn: A SMALLINTER B]은 일어나지 않는다.

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )][eqn: = _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1} LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES _{2} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) + _{3} C _{1} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =][eqn: 3 TIMES {16} over {3 ^{5}} +3 TIMES {4} over {3 ^{5}}]

그러므로, 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( B``|``A` RIGHT )][eqn: ={ {rmP}it LEFT ( A cap B RIGHT ) } over {{rmP}it LEFT ( A RIGHT ) }]
[eqn: = {3 TIMES {16} over {3 ^{5}} +3 TIMES {4} over {3 ^{5}}} over {10 TIMES {8} over {3 ^{5}} +10 TIMES {4} over {3 ^{5}} +5 TIMES {2} over {3 ^{5}} + {1} over {3 ^{5}}}]
[eqn: = {48+12} over {80+40+10+1}]
[eqn: = {60} over {131}]

이므로

[eqn: p=131,~q=60]

따라서, [eqn: p+q=131=60=191]

주사위를 한 번 던져

나온 눈의 수가 [eqn: 5] 이상이면 바구니에 있는 흰 공 [eqn: 2]개를 주머니에 넣고,

나온 눈의 수가 [eqn: 4] 이하이면 바구니에 있는 검은 공 [eqn: 1]개를 주머니에 넣는다.

위의 시행을 [eqn: 5]번 반복할 때, [eqn: n~ LEFT ( 1 LEQ n LEQ 5 RIGHT )]번째 시행 후 주머니에 들어 있는 흰 공과 검은 공의 개수를 각각 [eqn: a _{n} ,~b _{n}]이라 하자. [eqn: a _{5} +b _{5} GEQ 7]일 때, [eqn: a _{k} =b _{k}]인 자연수 [eqn: k~ LEFT ( 1 LEQ k LEQ 5 RIGHT )]가 존재할 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 30

각 면에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2]가 하나씩 적혀 있는 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자를 [eqn: rm 6]번 던질 때, [eqn: n(1 leq n leq 6)]번째에 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}>a_{4}+a_{5}+a_{6}]일 때, [eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 133]

[해설]

정육면체 모양의 상자를 한 번 던져 바닥에 닿은 면에 적혀 있는 수가 각각 [eqn: rm 1],[eqn: rm 2]일 확률은 각각 [eqn: {1} over {3}], [eqn: {2} over {3}]이다.

[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}>a_{4}+a_{5}+a_{6}]일 사건을 [eqn: A], [eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 사건을 [eqn: B]라 하자.

[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}>a_{4}+a_{5}+a_{6} geq 3]

(Ⅰ) [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=4]인 경우
[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=4]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right)]
[eqn: a_{4}+a_{5}+a_{6}=3]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{3}={1} over {3^{3}}]
그러므로 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right) times {1} over {3^{3}}={6} over {3^{6}}]

(Ⅱ) [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=5]인 경우
[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=5]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)^{2}][eqn: 3 leq a_{4}+a_{5}+a_{6} leq 4]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{3}+ it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right)={7} over {3^{3}}]
그러므로 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)^{2} times {7} over {3^{3}}={84} over {3^{6}}]

(Ⅲ) [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=6]인 경우
[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=6]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{3} left({2} over {3} right)^{3}]
[eqn: 3 leq a_{4}+a_{5}+a_{6} leq 5]일 확률은 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{3}+ it _{3} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right)^{2} left({2} over {3} right)+ it _{3} {rm{C}} it _{2} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)^{2}={19} over {3^{3}}]
그러므로 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{3} left({2} over {3} right)^{3} times {19} over {3^{3}}={152} over {3^{6}}]

(Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)에 의하여

[eqn: {rm{P}} it (A)={6} over {3^{6}}+{84} over {3^{6}}+{152} over {3^{6}}={242} over {3^{6}}]

[eqn: a_{1}=a_{4}=1]이면 [eqn: a_{2}+a_{3}>a_{5}+a_{6} geq 2]이다.

(i) [eqn: a_{1}=a_{4}=1]이고 [eqn: a_{2}+a_{3}=3]인 경우
[eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}= left({1} over {3} right)^{2}]
[eqn: a_{2}+a_{3}=3]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)={4} over {3^{2}}]
[eqn: a_{5}+a_{6}=2]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}= left({1} over {3} right)^{2}]
그러므로 [eqn: left({1} over {3} right)^{2} times {4} over {3^{2}} times left({1} over {3} right)^{2}={4} over {3^{6}}]

(ii) [eqn: a_{1}=a_{4}=1]이고 [eqn: a_{2}+a_{3}=4]인 경우
[eqn: a_{1}=a_{4}=1]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}= left({1} over {3} right)^{2}]
[eqn: a_{2}+a_{3}=4]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{2} left({2} over {3} right)^{2}= left({2} over {3} right)^{2}]
[eqn: 2 leq a_{5}+a_{6} leq 3]일 확률은 [eqn: it _{2} {rm{C}} it _{0} left({1} over {3} right)^{2}+ it _{2} {rm{C}} it _{1} left({1} over {3} right) left({2} over {3} right)={5} over {3^{2}}]
그러므로 [eqn: left({1} over {3} right)^{2} times left({2} over {3} right)^{2} times {5} over {3^{2}}={20} over {3^{6}}]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: {rm{P}} it (A cap B)={4} over {3^{6}}+{20} over {3^{6}}={24} over {3^{6}}]

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}={24} over {242}={12} over {121}]

따라서 [eqn: p=121], [eqn: q=12]이므로 [eqn: p+q=133]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 29

앞면에는 [eqn: rm 1]부터 [eqn: rm 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 [eqn: rm 0]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: rm 6]장의 카드가 있다. 이 [eqn: rm 6]장의 카드가 그림과 같이 [eqn: rm 6] 이하의 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k]번째 자리에 자연수 [eqn: k]가 보이도록 놓여 있다.

[정답] [eqn: 49]

[해설]

주어진 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 사건을 [eqn: A], 주사위의 [eqn: rm 1]의 눈이 한 번만 나오는 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은 [eqn: {rm{P}} it left(B `left|` A right)]이다.

(ⅰ) 사건 [eqn: A]가 일어날 확률
주어진 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수인 경우는 주사위를 [eqn: rm 3]번 던질 때 홀수의 눈이 나오는 횟수가 [eqn: 1] 또는 [eqn: 3`]이어야 하므로
[eqn: `_3 rmC_1 left(1over2 right)^1 left(1over2 right)^2 +_3 C_3 left(1over2 right)^3 = 3over8 + 1over8 = 1over2]

(ⅱ) 사건 [eqn: A cap B]가 일어날 확률
주어진 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수이면서 주사위의 [eqn: 1`]의 눈이 한 번만 나오는 경우는
[eqn: 1`]의 눈이 한 번, 짝수의 눈이 두 번
또는 [eqn: 1`]의 눈이 한 번, [eqn: 3] 또는 [eqn: 5`]의 눈이 두 번
나오는 경우이므로
[eqn: ` _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + _{3} rm C _{1} LEFT ( {1} over {6} RIGHT ) LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {13} over {72}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 조건부확률은

[eqn: {rm{P}} it (B `|` A)={{rm{P}} it (A cap B)} over {{rm{P}} it (A)}][eqn: ={{13} over {72}} over {{1} over {2}}={13} over {36}]

이므로    [eqn: p+q=36+13][eqn: =49]

이 [eqn: rm 6]장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.

주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: k]이면 [eqn: k]번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에 놓는다.

위의 시행을 [eqn: rm 3]번 반복한 후 [eqn: rm 6]장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 [eqn: rm 1]의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[확통] [03확률] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
확통 3개년	2022.12.29

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 259]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 15]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 46 }]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[정답] [eqn: 9]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: bold{151]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: 27]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 87 }]

[정답] [eqn: bold { 135 }]

[정답] [eqn: bold { 47 }]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: rm 587]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 191]

[정답] [eqn: 133]

[정답] [eqn: 49]

[확통] [03확률] 교사평경 최근 3개년(해설)
확통 3개년	2022.12.29