		확통 3개년	2022.12.29
교사평경3	01	[확통] [01순열과조합] 교사평경 최근 3개년

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
01 중복순열1 (기호와 뜻)

교사평경3		확통 3개년
01		[확통] [01순열과조합] 교사평경 최근 3개년

	확통 3개년		교사평경3
	[확통] [01순열과조합] 교사평경 최근 3개년		01

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 22

[eqn: { `_{2} SMALLPROD _{3} }{{from^2020^04^서울고3나^}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: ` _{2} SMALLPROD _{3}][eqn: =2 ^{3}][eqn: =8]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 23

[eqn: {}_{n} SMALLPROD _{2}][eqn: =25]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {}_{n} SMALLPROD _{2}][eqn: =n ^{2}][eqn: =25]에서 [eqn: n=5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 23

[eqn: { }_{3} smallprod _{4}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: { }_{3} smallprod _{4}=3^{4}=81]

① [eqn: rm 63]	② [eqn: rm 69]	③ [eqn: rm 75]

④ [eqn: rm 81]	⑤ [eqn: rm 87]

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
03 중복순열3 (선택 후 배열)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 27

네 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: X], [eqn: Y] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 6]개를 택해 일렬로 나열하려고 한다. 다음 조건이 성립하도록 나열하는 경우의 수는?

[정답] ③

[해설]

조건 (가)에서 양 끝에 나열되는 문자는 [eqn: X], [eqn: Y] 중에서 중복을 허락하여 정하면 되므로

양 끝에 나열되는 문자를 정하는 경우의 수는

[eqn: { }_{2} smallprod _{2}=2^{2}=4]

조건 (나)에서 문자 [eqn: a]의 위치를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 4]

나머지 [eqn: rm 3]곳에 나열할 문자는 [eqn: b], [eqn: X], [eqn: Y] 중 에서 중복을 허락하여 정하면 되므로

나머지 [eqn: rm 3]곳에 나열되는 문자를 정하는 경우의 수는 [eqn: { }_{3} smallprod _{3}=3^{3}=27]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 4 times 4 times 27=432]

(가) 양 끝 모두에 대문자가 나온다.

(나) [eqn: a]는 한 번만 나온다.

① [eqn: rm 384]	② [eqn: rm 408]	③ [eqn: rm 432]

④ [eqn: rm 456]	⑤ [eqn: rm 480]

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
05 중복순열5 (정수의 개수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 7

숫자 [eqn: {0 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 3}{{from^2020^03^경기고3가^}}] 중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만든 네 자리 자연수가 [eqn: 2100]보다 작은 경우의 수는?

[정답] ①

[해설]

천의 자리의 수가 [eqn: 1]인 네 자리 자연수의 개수는

[eqn: {}_{4} SMALLPROD _{3}][eqn: =4 ^{3}][eqn: =64]

천의 자리의 수가 [eqn: 2]이고 백의 자리의 수가 [eqn: 0]인 네 자리 자연수의 개수는 [eqn: {}_{4} SMALLPROD _{2}][eqn: =4 ^{2}][eqn: =16]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 64+16=80]

① [eqn: 80]	② [eqn: 85]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 95]	⑤ [eqn: 100]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 26

숫자 [eqn: 1,~2,~3,~4,~5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택해 일렬로 나열하여 만든 다섯 자리의 자연수 중에서 다음 조건을 만족시키는 [eqn: N]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

만의 자리의 수가 될 수 있는 수는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]이므로

만의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2]

천의 자리, 백의 자리, 십의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 1,~ 2,~ 3,~ 4,~ 5]의 [eqn: 5]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택해 일렬로 나열하는 중복순열의 수와 같으므로 [eqn: {} _{5} SMALLPROD _{3} =5 ^{3} =125]

일의 자리의 수가 될 수 있는 수는 [eqn: 1]또는 [eqn: 3]또는 [eqn: 5]이므로 일의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 3]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 125 TIMES 3=750]

(가) [eqn: N]은 홀수이다.

(나) [eqn: 10000<N<30000]

① [eqn: 720]	② [eqn: 730]	③ [eqn: 740]

④ [eqn: 750]	⑤ [eqn: 760]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 29

숫자 [eqn: 1,~2,~3] 중에서 모든 숫자가 한 개 이상씩 포함되도록 중복을 허락하여 [eqn: 6]개를 선택한 후, 일렬로 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수 중 일의 자리의 수와 백의 자리의 수가 같은 자연수의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 150]

[해설]

일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 1]일 때, 나머지 네 자리에 [eqn: 2]와 [eqn: 3]이 적어도 하나씩 포함되는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: 1,~1,~2,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]

(ⅱ) [eqn: 1,~2,~2,~3] 또는 [eqn: 1,~2,~3,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]이므로
(ⅱ)의 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 12][eqn: =24]

(ⅲ) [eqn: 2,~2,~2,~3] 또는 [eqn: 2,~3,~3,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수가 [eqn: {4!} over {3!}][eqn: =4]이므로
(ⅲ)의 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 4][eqn: =8]

(ⅳ) [eqn: 2,~2,~3,~3]을 나열하는 경우
[eqn: 4]개의 숫자를 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!`2!}][eqn: =6]

(ⅰ)~(ⅳ)에 의해 일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 1]인 경우의 수는 [eqn: 12+24+8+6][eqn: =50]

일의 자리와 백의 자리에 오는 숫자가 [eqn: 2]인 경우의 수와 [eqn: 3]인 경우의 수도 같은 방법으로 생각하면 각각 [eqn: 50]이다.

따라서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 3 TIMES 50][eqn: =150]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 30

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열할 때, 다음 조건을 만족시키도록 나열하는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 97]

[해설]

(ⅰ) [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]에서만 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 4`]개를 선택하여 일렬로 나열하는 경우에서 [eqn: 2], [eqn: 3] 중에서만 선택하여 나열하는 경우를 제외하면 되므로 구하는 경우의 수는 [eqn: rm _{3} rm SMALLPROD _{4} - _{2} rm SMALLPROD _{4} =3 ^{4} -2 ^{4} =65]

(ⅱ) [eqn: 1], [eqn: 4], □, □에서 □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]이 있도록 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1`]과 [eqn: 4]의 위치를 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( {}_{4} rm C _{2} -3 RIGHT ) =6]이고, □에 들어갈 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2 ^{2} =4]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 TIMES 4=24]

(ⅲ) [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4], □ 또는 [eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4], □에서 □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]이 있도록 선택한 후 나열하는 경우
[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4]를 나열하는 경우는 [eqn: 11]□[eqn: 4], [eqn: 4]□[eqn: 11`]이고, □에 [eqn: 2] 또는 [eqn: 3`]을 나열할 수 있으므로 경우의 수는 [eqn: 2 times2][eqn: =4`]이다.
[eqn: 1], [eqn: 4], [eqn: 4], □인 경우는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 4], □인 경우와 같은 방법으로 생각하면 경우의 수는 [eqn: 4]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 4+4][eqn: =8]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는
[eqn: 65+24+8=97]

(가) 숫자 [eqn: 1`]은 한 번 이상 나온다.

(나) 이웃한 두 수의 차는 모두 [eqn: 2] 이하이다.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 24

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 4]개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 [eqn: rm 4000] 이상인 홀수의 개수는?

[정답] ②

[해설]

네 자리의 자연수가 [eqn: rm 4000] 이상인 홀수이려면

천의 자리의 수는 [eqn: rm 4], [eqn: rm 5] 중의 하나이고, 일의 자리의 수는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 5]중의 하나이며,

십의 자리와 백의 자리의 수는 각각 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중의 하나이어야 한다. 따라서 구하는 자연수의 개수는

[eqn: 2 times3 times{ }_{5} smallprod _{2}][eqn: =2 times 3 times 25][eqn: =150]

① [eqn: rm 125]	② [eqn: rm 150]	③ [eqn: rm 175]

④ [eqn: rm 200]	⑤ [eqn: rm 225]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 29

숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 5]개를 선택한 후 일렬로 나열하여 다섯 자리의 자연수를 만들려고 한다. 숫자 [eqn: rm 0]과 [eqn: rm 1]을 각각 [eqn: rm 1]개 이상씩 선택하여 만들 수 있는 모든 자연수의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 115]

[해설]

구하는 모든 자연수의 개수는 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 중에서

중복을 허락하여 [eqn: rm 5]개를 선택한 후 일렬로 나열하여 만든 모든 다섯 자리의 자연수의 개수에서

숫자 [eqn: rm 0] 또는 숫자 [eqn: rm 1]을 선택하지 않고 만든 자연수의 개수를 뺀 것과 같다.

(i) 숫자 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 5]개를 선택한 후 일렬로 나열하여 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우
만의 자리의 수가 될 수 있는 수는
[eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 2]이므로
만의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 2][eqn: cdotscdots]㉠
남은 네 자리의 수를 정하는 경우의 수는
서로 다른 [eqn: rm 3]개에서 [eqn: rm 4]개를 택하는 중복순열의 수와
같으므로 [eqn: { }_{3} smallprod _{4}=3^{4}=81 ~][eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: 2 times 81=162]

(ii) 숫자 [eqn: rm 0]을 선택하지 않고 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우
[eqn: rm 1], [eqn: rm 2]의 [eqn: rm 2]개에서 [eqn: rm 5]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 [eqn: { }_{2} smallprod _{5}=2^{5}=32]

(iii) 숫자 [eqn: rm 1]을 선택하지 않고 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우
만의 자리의 수가 될 수 있는 수는 [eqn: rm 2]이므로
만의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: 1][eqn: cdotscdots]㉢
남은 네 자리의 수를 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 0], [eqn: rm 2]의
[eqn: rm 2]개에서 [eqn: rm 4]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
[eqn: { }_{2} smallprod _{4}=2^{4}=16][eqn: cdotscdots]㉣
㉢, ㉣에 의하여
[eqn: 1 times 16=16]

(iv) 숫자 [eqn: rm 0],[eqn: rm 1]을 모두 선택하지 않고 다섯 자리의
자연수를 만드는 경우
자연수 [eqn: rm 22222]의 [eqn: rm 1]개다.

따라서 (i) (iv)에 의하여 구하는 자연수의 개수는 [eqn: 162-(32+16-1)=115]

05 확통	01 여러가지순열
01 중복순열
06 중복순열6 (함수의 개수)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 27

집합 [eqn: X` = left{1,`` 2,`` 3,`` 4 right} `]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f `:` X` bigg `->` X` `]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

(i) [eqn: f(4) = 1]이면 [eqn: f(1) + f(2)+ f(3) ge 3]

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)][eqn: in "{"2, `3,` 4"}"]에서 [eqn: 3^3 = 27]가지

(ii) [eqn: f(4) = 2]이면 [eqn: f(1) + f(2) + f(3) ge 6]

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)][eqn: IN "{"1,`3,`4"}"]에서

[eqn: 1+1+1=`3], [eqn: 1+1+3=5]이므로

이것을 제외하면 [eqn: `3 ^{3`} - ( 1 +3) = 23]가지

(iii) [eqn: f(4)= 3]이면 [eqn: f(1)+ f(2) + f(3) ge 9]

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)][eqn: IN "{"1,`2,`4"}"]에서

[eqn: 4+4+4=12], [eqn: 4+4+2=10], [eqn: 4+4+1=9]

[eqn: 1+3+3= 7]가지

(iv) [eqn: f(4) = 4]이면 [eqn: f(1) + f(2) + f(3) ge 12]

[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)][eqn: IN "{"1,`2,`3"}"]에서

[eqn: 3+3+3`=`9]이므로 만족하는 경우는 없다.

[eqn: THEREFORE][eqn: 27`+`23`+`7`=`57]

(가) [eqn: f LEFT (1 RIGHT ) + f LEFT (2 RIGHT ) +f LEFT (3 RIGHT ) ge 3 f LEFT (4 RIGHT ) `]

(나) [eqn: k = 1], [eqn: 2], [eqn: 3 `]일 때 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) ne f LEFT ( 4 RIGHT ) `]이다.

① [eqn: 41`]	② [eqn: 45`]	③ [eqn: 49`]

④ [eqn: 53`]	⑤ [eqn: 57`]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 28

두 집합

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: f ( 3 )][eqn: =4] 또는 [eqn: f ( 3 )][eqn: =10`]인 경우
[eqn: f ( 3 )][eqn: =4`]이면 [eqn: f ( 2 )][eqn: =f ( 5 )][eqn: =2`]이고,
[eqn: f ( 1 ) `]과 [eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 6], [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
[eqn: f(3)][eqn: =10`]이면 [eqn: f(1)][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =12`]이고,
[eqn: f(2)]와 [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6], [eqn: 8] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
그러므로 구하는 함수의 개수는
[eqn: 2 TIMES _{4} SMALLPROD _{2}][eqn: =32]

(ⅱ) [eqn: f ( 3 )][eqn: =6] 또는 [eqn: f ( 3 )][eqn: =8`]인 경우
[eqn: f ( 3 )][eqn: =6`]이면 [eqn: f ( 2) `]와 [eqn: f ( 5 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, [eqn: f ( 1) `]과 [eqn: f ( 4 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 8], [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
[eqn: f ( 3 ) =8`]이면 [eqn: f ( 1 ) `]과 [eqn: f ( 4 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 10], [eqn: 12] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같고, [eqn: f ( 2) `]와 [eqn: f ( 5 ) `]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 6] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 2`]개를 선택하는 중복순열의 수와 같다.
그러므로 구하는 함수의 개수는
[eqn: 2times {}_{2} SMALLPROD _{2} TIMES _{3} SMALLPROD _{2} =72`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f`]의 개수는

[eqn: 32+72=104]

[eqn: X= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5right}], [eqn: Y= LEFT { 2,``4,``6,``8,``10,``12 RIGHT } `]

에 대하여 [eqn: X`]에서 [eqn: Y`]로의 함수 [eqn: f] 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수의 개수는?

(가) [eqn: f ( 2 ) <f ( 3 ) <f ( 4 )]

(나) [eqn: f ( 1 ) >f ( 3 ) >f ( 5 )]

① [eqn: 100]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 104]

④ [eqn: 106]	⑤ [eqn: 108]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 28

집합 [eqn: {X = LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 RIGHT }}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

조건 (나)와 조건 (다)에서 [eqn: f(3) ne 1], [eqn: f(4) ne 6]

조건 (가)에서 [eqn: f(3)+f(4)]가 [eqn: 5]의 배수인 [eqn: f(3)], [eqn: f(4)]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( f(3) ,```` f(4) RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( 4 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 6 ,```` 4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 5 ,```` 5 RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: f(3)=4], [eqn: f(4)=1]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3^2 =9]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 5^2 =25]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 9 TIMES25=225]

(ⅱ) [eqn: f(3)=2], [eqn: f(4)=3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 1^2 =1]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3^2 =9]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1 TIMES9=9]

(ⅲ) [eqn: f(3)=3], [eqn: f(4)=2]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2^2 =4]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 4^2 =16]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 4 TIMES16 =64]

(ⅳ) [eqn: f(3)=6], [eqn: f(4)=4]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 5^2 =25]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2^2 =4]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 25 TIMES 4=100]

(ⅴ) [eqn: f(3)=5], [eqn: f(4)=5]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 4^2 =16]
[eqn: f(5)], [eqn: f(6)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 1^2 =1]
즉 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 16 TIMES 1=16]

(ⅰ)∼(ⅴ)에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 225+9+64+100+16=414]

(가) [eqn: f(3)+f(4)]는 [eqn: 5]의 배수이다.

(나) [eqn: f(1) <f(3)]이고 [eqn: f(2) < f(3)]이다.

(다) [eqn: f(4) <f(5)]이고 [eqn: f(4) <f(6)]이다.

① [eqn: 384]	② [eqn: 394]	③ [eqn: 404]

④ [eqn: 414]	⑤ [eqn: 424]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 28

두 집합 [eqn: X= LEFT { 1,~2,~3,~4,~5 RIGHT } ,~Y= LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: X``]에서 [eqn: Y``]로의 함수 [eqn: f]의 개수는?

[정답] ①

[해설]

조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) ge 1]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) ge sqrt { 2}>1]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )ge sqrt { 3}>1]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) ge sqrt { 4}=2]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )ge sqrt { 5}>2]

이고 조건 (나)에 의하여 치역으로 가능한 경우는 [eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~2,~4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1,~3,~4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]

이다.

(ⅰ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,~2,~3 RIGHT }]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=1], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )=3]이므로 [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]에서 [eqn: LEFT { 2,~3 RIGHT }]으로의 함수 중에서 치역이 [eqn: LEFT { 3 RIGHT }]인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
[eqn: `_2 SMALLPROD_3 -1=2^3 -1=7]

(ⅱ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,~2,~4 RIGHT }]인 경우
(ⅰ)의 경우와 마찬가지로 조건을 만족시키는 함수의 개수는 [eqn: 7]이다.

(ⅲ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,~3,~4 RIGHT }]인 경우
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=1]이므로 [eqn: LEFT { 2,~3,~4,~5 RIGHT }]에서 [eqn: LEFT { 3,~4 RIGHT }]로의 함수 중에서 치역이 [eqn: LEFT { 3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 4 RIGHT }]인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
[eqn: `_2 SMALLPROD_4 -2 =2^4 -2=14]

(ⅳ) 치역이 [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]인 경우
((ⅳ)-①) [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )=3]인 경우
[eqn: LEFT { 1,~2,~3,~4 RIGHT }]에서 [eqn: LEFT { 2,~3,~4 RIGHT }]로의 함수 중에서 치역이 [eqn: LEFT { 2 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2,~3 RIGHT }], [eqn: LEFT { 3,~4 RIGHT }]인 함수를 제외하면 되므로 조건을 만족시키는 함수의 개수는
[eqn: `_3 SMALLPROD_4 - LEFT { 3+ LEFT ( `_2 SMALLPROD_4 -2 RIGHT ) TIMES2 RIGHT }]
[eqn: =3^4 - LEFT { 3+ LEFT ( 2^4 -2 RIGHT ) TIMES2 RIGHT }]
[eqn: =81-31]
[eqn: =50]
((ⅳ)-②) [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )=4]인 경우
((ⅳ)-①)의 경우와 마찬가지로 조건을 만족시키는 함수의 개수는 [eqn: 50]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 7+7+14+50 TIMES2=128]

(가) 집합 [eqn: X``]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ sqrt {x}]이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: 3]이다.

① [eqn: 128]	② [eqn: 138]	③ [eqn: 148]

④ [eqn: 158]	⑤ [eqn: 168]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 25

두 집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}], [eqn: Y= left{ 1,``2,``3 it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` Y]의 개수는?

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f: X ``rarrow`` Y]의 개수는 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수와 같다.

(i) [eqn: x leq 3]일 때
[eqn: x times f(x) leq 10]을 만족시키는 [eqn: f(x)]의 값은
[eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 2] 또는 [eqn: rm 3]이다.
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)]의 값을 정하는 경우의 수는
서로 다른 [eqn: rm 3]개에서 [eqn: rm 3]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 [eqn: { }_{3} smallprod _{3}=3^{3}=27]

(ii) [eqn: x geq 4]일 때
[eqn: x times f(x) leq 10]을 만족시키는 [eqn: f(x)]의 값은 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 2]이다.
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: rm 2]개에서 [eqn: rm 2]개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 [eqn: { }_{2} smallprod _{2}=2^{2}=4]

따라서 (i), (ii)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 27 times 4=108]

집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x times f(x) leq 10]이다.

① [eqn: rm 102]	② [eqn: rm 105]	③ [eqn: rm 108]

④ [eqn: rm 111]	⑤ [eqn: rm 114]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 30

집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}]와 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` X]에 대하여 함수 [eqn: f]의 치역을 [eqn: A], 합성함수 [eqn: f circ f]의 치역을 [eqn: B]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 260]

[해설]

조건 (다)에서 함수 [eqn: f]는 상수함수일 수 없으므로

[eqn: n(A)=2] 또는 [eqn: n(A)=3]

(i) [eqn: n(A)=2]인 경우
집합 [eqn: A]를 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{C}} it _{2}=10]
[eqn: A= left{ 1,``2 it right}]인 경우를 생각하면 조건 (다)에서
[eqn: f(1)=2], [eqn: f(2)=1]
[eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값은 [eqn: rm 1], [eqn: rm 2] 중 하나이므로
[eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는
[eqn: { }_{2} smallprod _{3}=2^{3}=8]
즉, [eqn: n(A)=2]인 경우 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 10 times 8=80]

(ii) [eqn: n(A)=3]인 경우
집합 [eqn: A]를 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{C}} it _{3}=10]
[eqn: A= left{ 1,``2,``3 it right}]인 경우를 생각하면 조건 (다)에서
순서쌍 [eqn: (f(1),`` f(2),`` f(3))]은 [eqn: (2,``3,``1)], [eqn: (3,``1,``2)]뿐이므로
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)]의 값을 정하는 경우의 수는[eqn: rm 2]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]중 하나이므로 [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수
[eqn: { }_{3} smallprod _{2}=3^{2}=9]
즉, [eqn: n(A)=3]인 경우 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 10 times 2 times 9=180]

(i), (ii)에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 80+180=260]

(가) [eqn: n(A) leq 3]

(나) [eqn: n(A)=n(B)]

(다) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) neq x]이다.

05 확통	01 여러가지순열
02 원순열
01 원순열1 (원순열)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 9
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 14

다섯 명이 둘러앉을 수 있는 원 모양의 탁자와 두 학생 [eqn: rmA,~B`]를 포함한 [eqn: 8`]명의 학생이 있다. 이 [eqn: 8`]명의 학생 중에서 [eqn: rmA,~B`]를 포함하여 [eqn: 5`]명을 선택하고 이 [eqn: 5`]명의 학생 모두를 일정한 간격으로 탁자에 둘러앉게 할 때, [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 이웃하게 되는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ④

[해설]

두 학생 [eqn: rmA,~B`]를 제외한 나머지 [eqn: 6`]명의 학생 중 [eqn: 3`]명의 학생을 선택하는 경우의 수는

[eqn: `_6 rmC_3 = {6times5 times4}over{3 times2 times1}=20`]

이 각각에 대하여 두 학생 [eqn: rmA,~B`]를 한 사람으로 생각하여 [eqn: 4`]명의 학생이 일정한 간격으로 원 모양의 탁자에 둘러 앉는 경우의 수는

[eqn: (4-1)`! =3`! =6`]

이 각각에 대하여 두 학생 [eqn: rmA,~B`]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는

[eqn: 2`! =2`]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 20 times 6 times 2 =240`]

① [eqn: 180]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 260]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 25

그림과 같이 원형 탁자에 [eqn: {7}{{from^2020^04^서울고3가^}}]개의 의자가 일정한 간격으로 놓여 있다. [eqn: {rm A]학교 학생 [eqn: {rm 2]명, [eqn: {rm B]학교 학생 [eqn: {rm 2]명, [eqn: {rm C]학교 학생 [eqn: {rm 3]명이 모두 이 [eqn: {rm 7]개의 의자에 앉으려고 할 때, [eqn: {rm A]학교 학생 [eqn: {rm 2]명이 서로 이웃하여 앉고 [eqn: {rm B]학교 학생 [eqn: 2]명도 서로 이웃하여 앉는 경우의 수를 구하시오.
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] [eqn: bold { 96 }]

[해설]

[eqn: {rm A]학교 학생 [eqn: 2]명과 [eqn: {rm B]학교 학생 [eqn: 2]명을 각각 한 학생으로 생각하여 [eqn: 5]명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는

[eqn: {5!} over {5}][eqn: =4!][eqn: =24]

이 각각에 대하여 [eqn: {rm A]학교 학생 [eqn: 2]명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: {rm B]학교 학생 [eqn: 2]명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2]이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 24 TIMES 2 TIMES 2][eqn: =96]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 8
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 12

[eqn: {1}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 2]학년 학생 [eqn: 2]명, [eqn: 3]학년 학생 [eqn: 3]명이 있다. 이 [eqn: 7]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, [eqn: 1]학년 학생끼리 이웃하고 [eqn: 2]학년 학생끼리 이웃하게 되는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: 1]학년 [eqn: 2]명, [eqn: 2]학년 [eqn: 2]명은 이웃해야 하므로 하나로 묶어서 생각한다.

즉, [eqn: 1]학년 [eqn: 1]명, [eqn: 2]학년 [eqn: 1]명, [eqn: 3]학년 [eqn: 3]명의 총 [eqn: 5]명을 원탁에 앉히는 경우의 수와 같으므로 [eqn: (5-1)! =24](가지)	[eqn: cdotscdots] ㉠

그런데, [eqn: 1]학년 [eqn: 2]명과 [eqn: 2]학년 [eqn: 2]명의 묶음 안에서도 배열을 생각해야 하므로 [eqn: 2! times 2! =4](가지)	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 24 times 4=96]

① [eqn: 96]	② [eqn: 100]	③ [eqn: 104]

④ [eqn: 108]	⑤ [eqn: 112]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 6

그림과 같이 원형 탁자에 [eqn: {7}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]개의 의자가 일정한 간격으로 놓여 있다. [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 포함한 [eqn: 7]명의 학생이 모두 이 [eqn: 7]개의 의자에 앉으려고 할 때, [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]세 명 중 어느 두 명도 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ④

[해설]

먼저 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 제외한 [eqn: 4]사람을 먼저 원순열로 배치한다.

따라서 그 경우는 [eqn: (4-1)! = 6](가지)

[eqn: 4]명 사이에 [eqn: 3]곳을 택하여 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]가 끼워 들어간다.

따라서 경우는 [eqn: ` _{4}rm P _{3} =24](가지)

따라서 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]세 명 중 어느 두 명도 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는 [eqn: 6 times 25 =144](가지)

① [eqn: 108]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 132]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 156]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

그림과 같이 원형 탁자에 [eqn: rm 7]개의 의자가 일정한 간격으로 놓여 있다. [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]를 포함한 [eqn: rm 7]명의 학생이 모두 이 [eqn: rm 7]개의 의자에 앉으려고 할 때, [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it] 세 명 중 어느 두 명도 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ③

[해설]

먼저 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]를 제외한 [eqn: rm 4]사람의 원순열로 배치하고, 그 각각에 대하여 [eqn: rm 4]사람이 사이 칸 중 [eqn: rm 3]곳을 택하여 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]의 자리를 정한다.

[eqn: therefore~{4 !} over {4} times it _{4} {rm{P}} it _{3}=6 times 24=144]

① [eqn: rm 120]	② [eqn: rm 132]	③ [eqn: rm 144]

④ [eqn: rm 156]	⑤ [eqn: rm 168]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 26

세 학생 [eqn: {{rm A }{{from^2020^11^대수능고3가^중}}], [eqn: {rm B], [eqn: {rm C]를 포함한 [eqn: 6]명의 학생이 있다. 이 [eqn: 6]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오.
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] [eqn: bold { 36 }]

[해설]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하는 전체의 경우에서 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우를 제외한다.

(ⅰ) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하는 경우
[eqn: LEFT ( 5-1 RIGHT ) !times2=48]

(ⅱ) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하면서 동시에 [eqn: rmC]가 [eqn: rmB]와 이웃하는 경우
[eqn: 2 TIMES LEFT ( 4-1 RIGHT ) ! = 12]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 48-12=36](가지)

(가) [eqn: {rm A]와 [eqn: {rm B]는 이웃한다.

(나) [eqn: {rm B]와 [eqn: {rm C]는 이웃하지 않는다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 15

세 학생 [eqn: {{rm A }{{from^2020^11^대수능고3나^중}}], [eqn: {rm B], [eqn: {rm C]를 포함한 [eqn: 6]명의 학생이 있다. 이 [eqn: 6]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하는 전체의 경우에서 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우를 제외한다.

(ⅰ) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하는 경우
[eqn: LEFT ( 5-1 RIGHT ) !times2=48]

(ⅱ) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]가 이웃하면서 동시에 [eqn: rmC]가 [eqn: rmB]와 이웃하는 경우
[eqn: 2 TIMES LEFT ( 4-1 RIGHT ) ! = 12]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 48-12=36](가지)

(가) [eqn: {rm A]와 [eqn: {rm B]는 이웃한다.

(나) [eqn: {rm B]와 [eqn: {rm C]는 이웃하지 않는다.

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 24

숫자 [eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]이 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 공이 있다. 이 [eqn: 6]개의 공을 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, [eqn: 3]의 배수가 적혀 있는 두 공이 서로 이웃하도록 배열하는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: 3,````6]이 이웃하므로 한 덩어리로 묶어 원탁에 나열하면 [eqn: 4!]

[eqn: 3,````6]이 서로 자리를 바꿀 수 있으므로 [eqn: 2!]

따라서 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: 4!`times`2!][eqn: =48]

① [eqn: 48]	② [eqn: 54]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 66]	⑤ [eqn: 72]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 25

어느 고등학교 [eqn: 3`]학년의 네 학급에서 대표 [eqn: 2`]명씩 모두 [eqn: 8`]명의 학생이 참석하는 회의를 한다. 이 [eqn: 8`]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, 같은 학급 학생끼리 서로 이웃하게 되는 경우의 수는?
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ②

[해설]

[출제의도] 원순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

같은 학급의 대표 [eqn: 2`]명을 한 사람으로 보고 [eqn: 4`]명을 배열하는 원순열의 수는 [eqn: LEFT ( 4-1 RIGHT ) ! =6`]이다.

각 학급 대표 [eqn: 2`]명의 자리를 정하는 경우의 수는
[eqn: 2 ^{4} =16]이다.

따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 6times16=96]

① [eqn: 92]	② [eqn: 96]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 104]	⑤ [eqn: 108]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 29

두 남학생 [eqn: rmA,~B]를 포함한 [eqn: 4]명의 남학생과 여학생 [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 4]명의 여학생이 있다. 이 [eqn: 8]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오.
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] [eqn: 288]

[해설]

[출제의도] 원순열을 이용하여 추론하기

남학생 [eqn: 4]명 중 [eqn: rm { A,~ B }]가 아닌 남학생 [eqn: 2]명을 [eqn: rm { D,~ E }]라 하면

(ⅰ) [eqn: rm { C }]가 [eqn: rm { D,~ E }]와 모두 이웃하는 경우
[eqn: rm { A,~ B }]를 한 학생으로 생각하고,
[eqn: rm { D,~ C,~ E }]를 한 학생으로 생각하여
[eqn: 5]명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: (5-1) ! = 4 ! = 24]
이 각각에 대하여 [eqn: rm { A,~ B }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 !],
[eqn: rm { D,~ E }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 !]이므로
구하는 경우의 수는
[eqn: 24 TIMES2 ! TIMES2 ! =96]

(ⅱ) [eqn: rm { C }]가 [eqn: rm { A }]또는 [eqn: rm { B }]중 한 명과 이웃하는 경우
[eqn: rm { D }] 또는 [eqn: rm { E }]중 한 명과 [eqn: rm { C,~ A,~ B }]의
총 [eqn: 4]명을 한 학생으로 생각하여
[eqn: 5]명의 학생을 원형으로 배열하는 경우의 수는
[eqn: (5-1) ! =4 ! =24]
이 각각에 대하여 [eqn: rm { D }] 또는 [eqn: rm { E }] 중 한 명을 선택하는 경우의 수는 [eqn: rm { {} _{2} C _{1} ,~ A,~ B }]가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수 [eqn: 2 !], [eqn: rm A], [eqn: rmB]를 한  학생으로 생각하여 [eqn: rmC]와 이웃한 두 학생이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2!]이므로
구하는 경우의 수는 [eqn: rm { 24 TIMES _{2} C _{1} TIMES 2 ! TIMES 2 ! =192 }]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 96+192=288]

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 이웃한다.

(나) [eqn: rmC]는 여학생과 이웃하지 않는다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 29

[eqn: 1]부터 [eqn: 6]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]개의 의자가 있다. 이 [eqn: 6]개의 의자를 일정한 간격을 두고 원형으로 배열할 때, 서로 이웃한 [eqn: 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: 12]가 되지 않도록 배열하는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 48]

[해설]

[eqn: rm 6]개의 의자를 원형으로 배열하는 원순열의 수는 [eqn: (6-1) ! it =5 ! it =120]

서로 이웃한 [eqn: rm 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: rm 12]가 되는 두 수는 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6] 또는 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]이다.

(i) [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자를 이웃하게 배열하는 경우

[eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자를 [eqn: rm 1]개로 생각하여 의자 [eqn: rm 5]개를 배열하는 원순열의 수는 [eqn: (5-1) ! it =4 ! it =24]

이 각각에 대하여 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 ! it =2]

그러므로 이 경우의 수는 [eqn: 24 times 2=48]

(ii) [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자를 이웃하게 배열하는 경우 마찬가지로 이 경우의 수도 [eqn: rm 48]이다.

(iii) [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자와 [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자를 각각 모두 이웃하게 배열하는 경우 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자를 [eqn: rm 1]개로 생각하고, [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자를 [eqn: rm 1]개로 생각하여 의자 [eqn: rm 4]개를 원형으로 배열하는 경우의 수는

[eqn: (4-1) ! it =3 ! it =6]

이 각각에 대하여 [eqn: rm 2], [eqn: rm 6]이 적혀 있는 두 의자의 자리를 서로 바꾸고, [eqn: rm 3], [eqn: rm 4]가 적혀 있는 두 의자의 자리를 서로 바꾸는 경우의 수는

[eqn: 2 ! times 2 ! it =4]

그러므로 이 경우의 수는

[eqn: 6 times 4=24]

(i), (ii), (iii)에 의하여 서로 이웃한 [eqn: rm 2]개의 의자에 적혀 있는 수의 곱이 [eqn: rm 12]가 되도록 배열하는 경우의 수는 [eqn: 48+48-24=72]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 120-72=48]

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 25

[eqn: {rm{A}} it]학교 학생 [eqn: rm 5]명, [eqn: {rm{B}} it]학교 학생 [eqn: rm 2]명이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, [eqn: {rm{B}} it]학교 학생끼리는

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {rm{A}} it]학교 학생 [eqn: rm 5]명을 배열하는 원순열의 수는 [eqn: (5-1) ! it =24]

[eqn: {rm{A}} it]학교 학생 사이에 [eqn: {rm{B}} it]학교 학생 [eqn: rm 2]명의 자리를 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{P}} it _{2}=20]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 24 times 20=480]

이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

① [eqn: rm 320]	② [eqn: rm 360]	③ [eqn: rm 400]

④ [eqn: rm 440]	⑤ [eqn: rm 480]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 26

세 학생 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 포함한 [eqn: 6`]명의 학생이 있다. 이 [eqn: 6`]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 모두 둘러앉을 때, [eqn: rmA`]와 [eqn: rmC`]는 이웃하지 않고, [eqn: rmB`]와 [eqn: rmC`]도 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하지 않고, [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]도 이웃하지 않는 경우는

(ⅰ) [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 이웃하면서 위의 조건을 만족하는 경우와

(ⅱ) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 모두 이웃하지 않는 경우

로 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: rmA], [eqn: rmB]는 이웃하는 경우
[eqn: left(rmA,``B right)]와 [eqn: rmC]가 이웃하지 않아야 하므로

(1) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 제외한 [eqn: 3]명을 원 모양의 탁자에 배열하는 경우의 수 [eqn: 2!]

(2) 배열된 [eqn: 3]명의 사이사이의 [eqn: 3]자리 중 [eqn: 2]자리에 [eqn: left(rmA,``B right)]와 [eqn: rmC]를 배열하는 경우의 수 [eqn: `_3 rmP_2]

(3) [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 자리를 바꾸는 경우의 수 [eqn: 2!]

이상에서 구하는 경우의 수는
[eqn: 2! times_3 rmP_2 times2! =24]

(ⅱ) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC] 모두 이웃하지 않는 경우

(1) [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 제외한 [eqn: 3]명을 원 모양의 탁자에 배열하는 경우의 수 [eqn: 2!]

(2) 배열된 [eqn: 3]명의 사이사이에 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]를 배열하는 경우의 수 [eqn: 3!]

이상에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 2! times3! =12]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 24+12=36]이다.

[다른 풀이]

[eqn: 6]명을 원 모양의 탁자에서 배열하는 경우의 수는 [eqn: 5! =120]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하지 않고, [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]도 이웃하지 않는 경우의 여사건은 [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하거나 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우이다.

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우의 수는 [eqn: 4! times2! =48]

[eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우의 수는 [eqn: 4! times2! =48]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하면서 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]도 이웃하는 경우의 수는 [eqn: rmA]와 [eqn: rmB] 사이에 [eqn: rmC]가 와야 하므로 [eqn: 2! times3! =12]

따라서 [eqn: rmA]와 [eqn: rmC]가 이웃하거나 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]가 이웃하는 경우의 수는

[eqn: 48+48-12=84]

이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 120-84=36]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 48]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 26

학생 [eqn: {rm{A}} it]를 포함한 [eqn: rm 4]명의 [eqn: rm 1]학년 학생과 학생 [eqn: {rm{B}} it]를 포함한 [eqn: rm 4]명의 [eqn: rm 2]학년 학생이 있다. 이 [eqn: rm 8]명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: rm 4]명의 [eqn: rm 1]학년 학생과 [eqn: rm 4]명의 [eqn: rm 2]학년 학생은 원 모양의 탁자에 교대로 둘러앉아야 한다.

[eqn: rm 4]명의 [eqn: rm 1]학년 학생이 앉는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: rm 4]개를 원형으로 배열하는 원순열의 수와 같으므로

[eqn: (4-1) ! it =6]

조건 (나)에서 [eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{B}} it]는 이웃하므로 학생 [eqn: {rm{B}} it]가 앉는

경우의 수는 [eqn: rm 2]

학생 [eqn: {rm{B}} it]를 제외한 [eqn: rm 3]명의 [eqn: rm 2]학년 학생이 앉는

경우의 수는 [eqn: 3 ! it =6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 times 2 times 6=72]

(가) [eqn: rm 1]학년 학생끼리는 이웃하지 않는다.

(나) [eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{B}} it]는 이웃한다.

① [eqn: rm 48]	② [eqn: rm 54]	③ [eqn: rm 60]

④ [eqn: rm 66]	⑤ [eqn: rm 72]

05 확통	01 여러가지순열
02 원순열
03 원순열3 (색칠)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 24

그림과 같이 반지름의 길이가 같은 [eqn: {7}{{from^2020^03^경기고3나^}}]개의 원이 있다.

[정답] [eqn: bold { 840 }]

[해설]

가운데 원에 색칠하는 경우의 수는 [eqn: 7]

가운데 원에 칠한 색을 제외한 [eqn: 6]가지 색을 모두 사용하여 가운데 원을 제외한 나머지 [eqn: 6]개의 원을 색칠하는 경우의 수는

[eqn: LEFT ( 6-1 RIGHT ) ! =5!]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 7times5! =840]

[eqn: 7]개의 원에 서로 다른 [eqn: 7]개의 색을 모두 사용하여 색칠하는 경우의 수를 구하시오. (단, 한 원에는 한 가지 색만 칠하고, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 27

그림과 같이 합동인 [eqn: {9}{{from^2020^03^경기고3가^}}]개의 정사각형으로 이루어진 색칠판이 있다.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

회전하여 일치하는 것을 같은 것으로 보므로 빨간색을 칠할 정사각형은 그림과 같이 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]중에서 택할 수 있다.

[eqn: {rm A]	[eqn: {rm B]
	[eqn: {rm C]

(ⅰ) [eqn: {rm A]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 [eqn: 5]이다.
나머지 [eqn: 7]개의 정사각형에 남은 [eqn: 7]개의 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7!]이다.

(ⅱ) [eqn: {rm B]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 칠할 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3]이다.
나머지 [eqn: 7]개의 정사각형에 남은 [eqn: 7]개의 색을 칠하는 경우의 수는 [eqn: 7!]이다.

(ⅲ) [eqn: {rm C]에 빨간색을 칠하는 경우
파란색을 어떤 정사각형에 칠해도 빨간색이 칠해진 정사각형과 꼭짓점을 공유하므로 조건을 만족시킬 수 없다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: LEFT ( 3+5 RIGHT ) TIMES 7! =8 TIMES 7!]

따라서 [eqn: k=8]

빨간색과 파란색을 포함하여 총 [eqn: 9]가지의 서로 다른 색으로 이 색칠판을 다음 조건을 만족시키도록 칠하려고 한다.

(가) 주어진 [eqn: 9]가지의 색을 모두 사용하여 칠한다.

(나) 한 정사각형에는 한 가지 색만을 칠한다.

(다) 빨간색과 파란색이 칠해진 두 정사각형은 꼭짓점을 공유하지 않는다.

색칠판을 칠하는 경우의 수는 [eqn: k TIMES 7!]이다. [eqn: k]의 값을 구하시오.
(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
01 같은 것을 포함한 순열1 (배열)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 4

[eqn: {6}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]개의 문자 [eqn: a ,```` a ,```` a ,```` b ,```` b ,```` c]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm 6]개의 문자 중에서 같은 문자인 [eqn: a]가 [eqn: rm 3]개, [eqn: b]가 [eqn: rm 2]개 있다. 따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: {6 !} over {3 ! times 2 !}=60]

① [eqn: 52]	② [eqn: 56]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 68]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 11

흰 공 [eqn: {2}{{from^2020^03^경기고3가^}}]개, 빨간 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개를 일렬로 나열할 때, 흰 공은 서로 이웃하지 않게 나열하는 경우의 수는?
(단, 같은 색의 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] ⑤

[해설]

흰 공 [eqn: 2]개, 빨간 공 [eqn: 2]개, 검은 공 [eqn: 4]개를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {8!} over {2! TIMES 2! TIMES 4!}][eqn: =420]

흰 공 [eqn: 2]개를 하나로 보고 [eqn: 7]개의 공을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {7!} over {2! TIMES 4!}][eqn: =105]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 420-105][eqn: =315]

① [eqn: 295]	② [eqn: 300]	③ [eqn: 305]

④ [eqn: 310]	⑤ [eqn: 315]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 7

[eqn: {6}{{from^2020^04^서울고3가^}}]개의 문자 [eqn: a ,```` a ,```` b ,```` b ,```` c ,```` c]를 일렬로 나열할 때, [eqn: a]끼리는 이웃하지 않도록 나열하는 경우의 수는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 6]개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {6!} over {2! 2! 2!} =90]

[eqn: a]끼리 이웃하도록 [eqn: 6]개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {5!} over {2! 2!} =30]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 90-30=60]

① [eqn: 50]	② [eqn: 55]	③ [eqn: 60]

④ [eqn: 65]	⑤ [eqn: 70]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 19

매주 월요일부터 수요일까지 총 [eqn: {4}{{from^2020^04^서울고3나^}}]주에 걸쳐 서로 다른 세 종류의 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 반드시 하루에 한 종류씩 다음 규칙에 따라 신청하려고 한다.

[정답] ④

[해설]

규칙에 따라 봉사활동을 신청하는 경우는 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청한 후

‘(ⅰ) 첫째 주를 제외한 [eqn: 3]주간의 봉사활동을 신청하는 경우’에서

‘(ⅱ) 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우’를 제외하면 된다.

첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청하는 경우의 수는 [eqn: 3!]이다.

(ⅰ)의 경우 : 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 2]회, [eqn: 2]회, [eqn: 5]회 신청하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` {9!} over {2! TIMES 2! TIMES 5!} ```` }}]이다.

(ⅱ)의 경우 : 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우의 수는 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 2]회, [eqn: 2]회, [eqn: 2]회 신청하는 경우의 수 [eqn: {BOX{ ```` {6!} over {2! TIMES 2! TIMES 2!} ```` }}]과 같다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES LEFT ( {BOX{ ```` 756 ```` }} - {BOX{ ```` 90 ```` }} RIGHT )]이다.

[eqn: p=756], [eqn: q=90]

[eqn: therefore][eqn: p+q][eqn: =756+90][eqn: =846]

[eqn: CIRC] 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 3]회, [eqn: 3]회, [eqn: 6]회 신청한다.

[eqn: CIRC] 첫째 주에는 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모두 신청한다.

[eqn: CIRC] 같은 요일에는 두 종류 이상의 봉사활동을 신청한다.

다음은 봉사활동을 신청하는 경우의 수를 구하는 과정이다.

규칙에 따라 봉사활동을 신청하는 경우는 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청한 후

‘(ⅰ) 첫째 주를 제외한 [eqn: 3]주간의 봉사활동을 신청하는 경우’에서

‘(ⅱ) 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우’를 제외하면 된다.

첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 모든 신청하는 경우의 수는 [eqn: 3!]이다.

(ⅰ)의 경우 : 봉사활동 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 각각 [eqn: 2]회, [eqn: 2]회, [eqn: 5]회 신청하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}]이다.

(ⅱ)의 경우 : 첫째 주에 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청한 요일과 같은 요일에 모두 봉사활동 [eqn: {rm C]를 신청하는 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 구하는 경우의 수는 [eqn: 3! TIMES LEFT ( {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }} - {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }} RIGHT )]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p ,```` q]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 825]	② [eqn: 832]	③ [eqn: 839]

④ [eqn: 846]	⑤ [eqn: 853]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 27

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4`]가 하나씩 적힌 [eqn: 7`]장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, [eqn: 1`]이 적힌 카드와 [eqn: 2`]가 적힌 카드 사이에 두 장 이상의 카드가 있도록 나열하는 경우의 수는?

[정답] ⑤

[해설]

[출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이용하여 경우의 수를 구한다.

숫자 [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4`]가 적힌 [eqn: 5`]장의 카드를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: 5! over{2! times3!}][eqn: =10`]이다.

□에 숫자 [eqn: 3], [eqn: 4`]를 나열하고 ∨ 중 두 곳에 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2`]를 각각 나열할 수 있다고 하자.

∨□∨□∨□∨□∨□∨

이 각각의 경우에 대하여 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2`]가 적힌 [eqn: 2`]장의 카드를 두 카드 사이에 두 장 이상의 카드가 있도록 나열하려면 ∨ [eqn: 6`]곳 중 서로 다른 두 곳에 배열하는 경우의 수에서 연속으로 ∨ 두 곳에 배열하는 경우의 수를 빼면 되므로 이 경우의 수는

[eqn: {}_{6}{rmP}_{2} -5 times 2][eqn: =20]

따라서 구하는 경우의 수는

[eqn: 10 times20][eqn: =200]

① [eqn: 180]	② [eqn: 185]	③ [eqn: 190]

④ [eqn: 195]	⑤ [eqn: 200]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 23

[eqn: rm 5]개의 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는?

[정답]  ②

[해설]

[eqn: rm 5]개의 문자 중 [eqn: a]의 개수가 [eqn: rm 3]이므로 구하는 경우의 수는 [eqn: {5 !} over {3 !}=20]

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 20]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 28]	⑤ [eqn: rm 32]

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
02 같은 것을 포함한 순열2 (정해진 순서)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 27

[eqn: {3}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]개의 문자 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 포함한 서로 다른 [eqn: 6]개의 문자를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열할 때, 두 문자 [eqn: {rm B]와 [eqn: {rm C] 사이에 문자 [eqn: {rm A]를 포함하여 [eqn: 1]개 이상의 문자가 있도록 나열하는 경우의 수는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 3]개의 문자 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]를 같은 문자 [eqn: {rm X]라 하고, [eqn: 6]개의 문자를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 나열하는 경우의 수는

[eqn: {6!} over {3!}][eqn: =6 TIMES 5 TIMES 4][eqn: =120]

가운데 문자 [eqn: {rm X]에 문자 [eqn: {rm A]를 놓고 첫 번째 문자 [eqn: {rm X]와 세 번째 문자 [eqn: {rm X]에 두 문자 [eqn: {rm B ,```` C]를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2!][eqn: =2]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 120 TIMES 2][eqn: =240]

① [eqn: 180]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 220]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 260]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 27

그림과 같이 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 문자가 각각 하나씩 적힌 [eqn: rm 6]개의 공과 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]의 숫자가 각각 하나씩 적힌 [eqn: rm 6]개의 빈 상자가 있다.

[정답] ①

[해설]

조건 (가)에서

(i) 숫자 [eqn: rm 1]이 적힌 상자에 넣는 공이 문자 [eqn: {rm{A}} it]가 적힌 공인 경우
조건 (나)에서 남은 [eqn: rm 5]개의 공을 상자에 넣는 경우의 수는
[eqn: rm 3]개의 문자 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]를 [eqn: {rm{X}} it], [eqn: {rm{X}} it], [eqn: {rm{X}} it]로 놓고

[eqn: rm 5]개의 문자 [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{X}} it], [eqn: {rm{X}} it], [eqn: {rm{X}} it]를 일렬로 나열한 후
[eqn: {rm{X}} it]의 자리에 왼쪽부터 순서대로 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it] 또는 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {5 !} over {2 ! times 3 !} times 2=20]

(ii) 숫자 [eqn: rm 1]이 적힌 상자에 넣는 공이 문자 [eqn: {rm{B}} it]가
적힌 공인 경우
남은 [eqn: rm 5]개의 공을 상자에 넣는 경우의 수는 [eqn: rm 5]개의 문자 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{D}} it]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {5 !} over {2 !}=60]

따라서 (i), (ii)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 20+60=80]

각 상자에 한 개의 공만 들어가도록 [eqn: rm 6]개의 공을 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수는? (단, 같은 문자가 적힌 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

(가) 숫자 [eqn: rm 1]이 적힌 상자에 넣는 공은 문자 [eqn: {rm{A}} it] 또는 문자 [eqn: {rm{B}} it]가 적힌 공이다.

(나) 문자 [eqn: rm B]가 적힌 공을 넣는 상자에 적힌 수 중 적어도 하나는 문자 [eqn: rm C]가 적힌 공을 넣는 상자에 적힌 수보다 작다.

① [eqn: rm 80]	② [eqn: rm 85]	③ [eqn: rm 90]

④ [eqn: rm 95]	⑤ [eqn: rm 100]

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
03 같은 것을 포함한 순열3 (일부 선택 후 배열)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 14

세 숫자 [eqn: {1 ,```` 2 ,```` 3}{{from^2020^03^경기고3나^}}]만을 사용하여 일곱 자리의 자연수를 만들 때, 세 숫자 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]을 모두 한 번 이상씩 사용하고 숫자 [eqn: 2]를 반드시 짝수 번째 자리에만 오도록 놓는 경우의 수를 구하려고 한다. 다음은 이것을 구하는 과정의 일부이다.

[정답] ①

[해설]

일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는 세 군데이므로 숫자 [eqn: 2]는 많아야 세 번 사용할 수 있다.

(ⅰ) 숫자 [eqn: 2]를 한 번 사용한 경우
[eqn: 2]를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 [eqn: 1], [eqn: 1 ,````][eqn: 1], [eqn: 1 ,````][eqn: 1], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1 ,````][eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3 ,````][eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3 ,````][eqn: 3]을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 [eqn: {6!} over {5! 1!} + {6!} over {4! 2!} + {6!} over {3! 3!} + {6!} over {2! 4!} + {6!} over {1! 5!}][eqn: = {BOX{ ```` 62 ```` }}]이다.
[eqn: 2]를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {}_{3} rm C _{ 1}][eqn: =3]이다.
그러므로 숫자 [eqn: 2]를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 62][eqn: = {BOX{ ```` 186 ```` }}]이다.

(ⅲ) 숫자 [eqn: 2]를 세 번 사용한 경우
[eqn: 2]를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 [eqn: 1], [eqn: 3]을 모두 한 번 이상씩 사용하여 만든 것이므로 나머지 자리에 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1 ,````][eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3]을 나열하여 만든 것이다.
그러므로 그 경우의 수는 [eqn: {4!} over {3! 1!} + {4!} over {2! 2!} + {4!} over {1! 3!}][eqn: = {BOX{ ```` 14 ```` }}]이다.

그러므로 [eqn: p=62], [eqn: q= 186], [eqn: r=14]

따라서 [eqn: p+q+r][eqn: =262]

[다른 풀이]

(ⅲ) 숫자 [eqn: 2]를 세 번 사용한 경우
[eqn: 2]를 모든 짝수 번째 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 [eqn: 1], [eqn: 3]을 모두 한 번 이상씩 사용하여 만든 것이다.
즉, 구하려는 값은 [eqn: 1], [eqn: 3]을 중복을 허락하여 네 개를 선택한 후 일렬로 나열하는 경우의 수에서 [eqn: 1]을 네 개, [eqn: 3]을 네 개 선택한 경우의 수 [eqn: 2]를 뺀 값이므로 [eqn: {}_2 smallprod_{4} -2][eqn: =2^{ 4} -2][eqn: = {BOX{ ```` 14 ```` }}]이다.

[보충 설명]

(ⅱ) 숫자 [eqn: 2]를 두 번 사용한 경우
[eqn: 2], [eqn: 2]를 십의 자리와 천의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 [eqn: 1], [eqn: 1 ,````][eqn: 1], [eqn: 1 ,````][eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3] 또는 [eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3], [eqn: 3]을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 [eqn: {5!} over {4! 1!} + {5!} over {3! 2!} + {5!} over {2! 3!} + {5!} over {1! 4!}][eqn: =30]이다.
[eqn: 2]를 짝수 번째 자리에 두 번 오도록 놓는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm C _{ 2}][eqn: =3]이다.
그러므로 숫자 [eqn: 2]를 두 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 30][eqn: =90]이다.

일곱 자리의 자연수를 만들 때, 짝수 번째 자리는 세 군데이므로 숫자 [eqn: 2]는 많아야 세 번 사용할 수 있다.

(ⅰ) 숫자 [eqn: 2]를 한번 사용한 경우
[eqn: 2]를 십의 자리에 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 나머지 자리에 [eqn: 1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 3] 또는 [eqn: 1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 3 ,```` 3] 또는 [eqn: 1 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 3 ,```` 3 ,```` 3] 또는 [eqn: 1 ,```` 1 ,```` 3 ,```` 3 ,```` 3 ,```` 3] 또는 [eqn: 1 ,```` 3 ,```` 3 ,```` 3 ,```` 3 ,```` 3]을 나열한 것이므로 그 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}]이다.
[eqn: 2]를 짝수 번째 자리에 한 번 오도록 놓는 경우의 수는 세 군데 중 한 군데를 선택하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {}_{3} rmC _{1}]이다.
그러므로 숫자 [eqn: 2]를 한 번 사용했을 때 일곱 자리의 자연수를 만들 수 있는 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}]이다.

(ⅱ) 숫자 [eqn: 2]를 두 번 사용한 경우
[eqn: VDOTS] (중략)

(ⅲ) 숫자 [eqn: 2]를 세 번 사용한 경우
[eqn: 2]를 모든 짝수 번째 자리의 오도록 놓으면 조건을 만족시키도록 만들 수 있는 자연수는 홀수 번째 자리에 [eqn: 1 ,```` 3]을 모두 한 번 이상씩 사용하여 나열한 것이므로 그 경우의 수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }}]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는 [eqn: 290]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p ,```` q ,```` r]라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

① [eqn: 262]	② [eqn: 267]	③ [eqn: 272]

④ [eqn: 277]	⑤ [eqn: 282]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 8

모든 자리의 수의 합이 [eqn: {10}{{^2020^08^경찰대^중}}]인 다섯 자리 자연수 중 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 각각 한 번 이상 사용하는 자연수의 개수는?

[정답] ③

[해설]

모든 자리의 수의 합이 [eqn: 10]인 다섯 자리 자연수 중 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 각각 한 번 이상 사용해야 하므로

[eqn: 5]개의 숫자를 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` a ,```` b]라고 하면 [eqn: a+b=4]

(ⅰ) [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 0 ,```` 4]이면 [eqn: 4 times 4! =96]

(ⅱ) [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 1 ,```` 3]이면 [eqn: 5! over{2! 2!}=30]

(ⅲ) [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 2 ,```` 2]이면 [eqn: 5! over3! =20]

(ⅰ)∼(ⅲ)에서 숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]을 각각 한 번 이상 사용하는 자연수의 개수는 [eqn: 96+30+20=146]

① [eqn: 120]	② [eqn: 132]	③ [eqn: 146]

④ [eqn: 158]	⑤ [eqn: 170]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 10

[eqn: {rmA}{{from^2020^10^서울고3가^중}}], [eqn: rmB], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmC], [eqn: rmC]의 문자가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6]장의 카드가 있다. 이 [eqn: 6]장의 카드 중에서 [eqn: 5]장의 카드를 택하여 이 [eqn: 5]장의 카드를 왼쪽부터 모두 일렬로 나열할 때, [eqn: rm C]가 적힌 카드가 왼쪽에서 두 번째의 위치에 놓이도록 나열하는 경우의 수는?
(단, 같은 문자가 적힌 카드끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] ④

[해설]

나열하는 카드에 적힌 문자의 종류에 따라 경우를 나누면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]인 경우
[eqn: rmC]가 적힌 카드 [eqn: 1]장을 두 번째에 나열하고 [eqn: rmC]가 적힌 남은 카드 [eqn: 2]장과 [eqn: rmB]가 적힌 카드 [eqn: 2]장을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2! 2!}][eqn: =6]이다.

(ⅱ) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]인 경우
[eqn: rmC]가 적힌 카드가 [eqn: 2]장일 때, [eqn: rmC]가 적힌 카드 [eqn: 1]장을 두 번째에 나열하고 [eqn: rmC]가 적힌 남은 카드 [eqn: 1]장과 [eqn: rmB]가 적힌 카드 [eqn: 2]장 및 [eqn: rmA]가 적힌 카드 [eqn: 1]장을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]이다.
[eqn: rmC]가 적힌 카드가 [eqn: 3]장일 때, [eqn: rmC]가 적힌 카드 [eqn: 1]장을 두 번째에 나열하고 [eqn: rmC]가 적힌 남은 카드 [eqn: 2]장과 [eqn: rmB]가 적힌 카드 [eqn: 1]장 및 [eqn: rmA]가 적힌 카드 [eqn: 1]장을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4!} over {2!}][eqn: =12]이다.
따라서 이 경우의 수는 [eqn: 12+12][eqn: =24]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 6+24][eqn: =30]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 28

한 개의 주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 [eqn: 3]이하이면 나온 눈의 수를 점수로 얻고, 나온 눈의 수가 [eqn: 4]이상이면 [eqn: 0]점을 얻는다. 이 주사위를 네 번 던져 나온 눈의 수를 차례로 [eqn: a ,```` b ,```` c ,```` d]라 할 때, 얻은 네 점수의 합이 [eqn: 4]가 되는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d RIGHT )]의 개수는?

[정답] [eqn: 199]

[해설]

이 주사위를 네 번 던질 때 나온 눈의 수가 [eqn: rm 4]이상인 경우의 수를 [eqn: n]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n=0], 즉 점수가 [eqn: 1+1+1+1=4]인 경우
[eqn: rm 1]의 눈만 네 번 나와야 하고, 이 경우의 수는 [eqn: rm 1]

(ⅱ) [eqn: n=1], 즉 점수가 [eqn: 0+1+1+2=4]인 경우
[eqn: rm 1]의 눈이 두 번, [eqn: rm 2]의 눈이 한 번 나와야 하고, 이 경우의 수는 점수 [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]
이 각각에 대하여 [eqn: rm 4] 이상의 눈이 한 번 나오는 경우의 수는 [eqn: rm 3]이므로 이 경우의 수는 [eqn: 12 times 3=36]

(ⅲ) [eqn: n=2], 즉 점수가 [eqn: 0+0+1+3=4] 또는 [eqn: 0+0+2+2=4]인 경우

㉠ [eqn: rm 1]의 눈이 한 번, [eqn: rm 3]의 눈이 한 번 나올 때, 점수 [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 3]을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]

㉡ [eqn: rm 2]의 눈이 두 번 나올 때, 점수 [eqn: 0], [eqn: 0], [eqn: 2], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 ! 2 !}=6]

㉠, ㉡의 각각에 대하여 [eqn: rm 4]이상의 눈이 두 번 나오는 경우의 수는 [eqn: { }_{3} smallprod _{2}=3^{2}=9] 이므로 이 경우의 수는
[eqn: (12+6) times 9=162]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 1+36+162=199]

① [eqn: 187]	② [eqn: 190]	③ [eqn: 193]

④ [eqn: 196]	⑤ [eqn: 199]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 26

세 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c] 중에서 모든 문자가 한 개 이상씩 포함되도록 중복을 허락하여 [eqn: rm 5]개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는?

[정답] ④

[해설]

(i) 한 개의 문자를 [eqn: rm 3]개 선택하는 경우 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} times {5 !} over {3 !}=60]

(ii) 두 개의 문자를 각각 [eqn: rm 2]개씩 선택하는 경우 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} times {5 !} over {2 ! times 2 !}=90]

따라서 경우의 수는 [eqn: 90+60=150]

① [eqn: rm 135]	② [eqn: rm 140]	③ [eqn: rm 145]

④ [eqn: rm 150]	⑤ [eqn: rm 155]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 30

흰색 원판 [eqn: rm 4]개와 검은색 원판 [eqn: rm 4]개에 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 문자가 하나씩 적혀 있다. 이 [eqn: rm 8]개의 원판 중에서 [eqn: rm 4]개를 택하여 다음 규칙에 따라 원기둥 모양으로 쌓는 경우의 수를 구하시오. (단, 원판의 크기는 모두 같고, 원판의 두 밑면은 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: 708]

[해설]

(ⅰ) [eqn: rm 4]개의 원판에 적힌 문자가 [eqn: rm XXYY]꼴인 경우
[eqn: rm 4]개의 문자 중 [eqn: {rm{X}} it], [eqn: {rm{Y}} it]에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{2}=6]
[eqn: rm 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 ! times 2 !}=6]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 6 times 6=36]

(ⅱ) [eqn: rm 4]개의 원판에 적힌 문자가 [eqn: rm XXYZ]꼴인 경우
[eqn: rm 4]개의 문자 중 [eqn: {rm{X}} it]에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{4} {rm{C}} it _{1}=4]
[eqn: {rm{Y}} it], [eqn: {rm{Z}} it]에 해당하는 문자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2}=3]
[eqn: {rm{Y}} it], [eqn: {rm{Z}} it]에 해당하는 원판의 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: { }_{2} smallprod _{2}=4]
[eqn: rm 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 4 times 3 times 4 times 12=576]

(ⅲ) [eqn: rm 4]개의 원판에 적힌 문자가 모두 다른 경우
각각의 원판의 색을 정하는 경우의 수는 [eqn: { }_{2} smallprod _{4}=16]
[eqn: {rm{D}} it]가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 [eqn: rm 4]개의 원판을 쌓는 경우의 수는 [eqn: 3 ! it =6]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 16 times 6=96]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 36+576+96=708]

(가) 선택된 [eqn: rm 4]개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 있으면 같은 문자가 적힌 원판끼리는 검은색 원판이 흰색 원판보다 아래쪽에 놓이도록 쌓는다.

(나) 선택된 [eqn: rm 4]개의 원판 중 같은 문자가 적힌 원판이 없으면 [eqn: {rm{D}} it]가 적힌 원판이 맨 아래에 놓이도록 쌓는다.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 26

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c,`` d)]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

조건 (가)를 만족시키는 네 자연수는

[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 8] 또는 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4] 또는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2]

이때 조건 (나)를 만족시키는 경우는

[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4] 또는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2]

(ⅰ) 네 자연수 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {2 !}=12]

(ⅱ) 네 자연수 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {4 !} over {3 !}=4]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c,`` d)]의 개수는 [eqn: 12+4=16]

(가) [eqn: a times b times c times d=8]

(나) [eqn: a+b+c+d<10]

① [eqn: rm 10]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 14]

④ [eqn: rm 16]	⑤ [eqn: rm 18]

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
04 같은 것을 포함한 순열4 (정수의 개수)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 24

[eqn: rm 6]개의 숫자 [eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]을 일렬로 나열하여 만들 수 있는 여섯 자리의 자연수 중 홀수의 개수는?

[정답] ②

[해설]

( i ) 일의 자리의 수가 [eqn: rm 1]인 경우

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 3]을 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {5 !} over {3 !}=20]

(ii) 일의 자리의 수가 [eqn: rm 3]인 경우

[eqn: 1], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 2]를 일렬로 나열하는 경우의 수는 [eqn: {5 !} over {2 ! times 3 !}=10]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 20+10=30]

① [eqn: rm 20]	② [eqn: rm 30]	③ [eqn: rm 40]

④ [eqn: rm 50]	⑤ [eqn: rm 60]

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
05 같은 것을 포함한 순열5 (함수의 개수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 20

집합 [eqn: {X= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X]의 치역을 [eqn: A], 합성함수 [eqn: f CIRC f]의 치역을 [eqn: B]라 할 때, 두 집합 [eqn: A ,```` B]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는
[eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 ,```` 5 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT } ,```` LEFT { 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]
이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]인 경우 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <3]이므로 집합 [eqn: B]는
[eqn: LEFT { 1 RIGHT } ,```` LEFT { 2 RIGHT } ,```` LEFT { 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 RIGHT }]
이다.

(a) [eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 RIGHT }]인 경우
집합 [eqn: A]의 원소인 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]이 [eqn: 1]에 대응하는 경우의 수는 [eqn: 1]이고, [eqn: 4 ,```` 5]가 [eqn: 2 ,```` 3]에 하나씩 대응하는 경우의 수는 [eqn: 2]이므로
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 RIGHT }]인
함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 1 TIMES 2= {BOX{ ```` 2 ```` }}]이다.

(b) [eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]인 경우
[eqn: LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) ,```` f LEFT ( 2 RIGHT ) ,```` f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT } = LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]이고
[eqn: 4 ,```` 5]가 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]에 대응하되 적어도 하나가 [eqn: 3]에 대응하는 경우이므로
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]인 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: LEFT ( _{2} SMALLPROD _{3} -2 RIGHT ) TIMES LEFT ( _{3} SMALLPROD _{3} - _{2} SMALLPROD _{2} RIGHT )][eqn: =6 TIMES 5][eqn: = {BOX{ ```` 30 ```` }}]이다.

(a), (b)와 같은 경우가 각각 [eqn: 3]가지이므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3 ,```` n LEFT ( B RIGHT ) <3]이고 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` 2 ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` 30 ```` }} RIGHT )]이다.

(ⅱ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]뿐이므로 이 경우 [eqn: X-A= LEFT { 3 RIGHT }]에 의해 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =3]이므로 집합 [eqn: B]는 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 1 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }], [eqn: LEFT { 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 RIGHT }]인 경우
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =5]이고 집합 [eqn: A]의 원소 중 어떠한 두 원소는 서로 같은 함숫값을 가져야 하므로
[eqn: 1 ,```` 2 ,```` 4]를 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값으로 정하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES {4!} over {2!}][eqn: =3 TIMES 12][eqn: =36]이다.
그러므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4], [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <4]이고 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 4 TIMES 36= {BOX{ ```` 144 ```` }}]이다.

(ⅲ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]인 경우 함수 [eqn: f]는 일대일대응이고 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =5]이므로 조건 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) >n LEFT ( B RIGHT )]를 만족시키는 함수 [eqn: f]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` 2 ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` 30 ```` }} RIGHT )][eqn: +][eqn: {BOX{ ```` 144 ```` }}]이다.

따라서 [eqn: p=2], [eqn: q=30], [eqn: r=144]이므로 [eqn: p+q+r=176]

[eqn: CIRC][eqn: n LEFT ( A RIGHT ) GEQ 3]

[eqn: CIRC] 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수이다.

[eqn: CIRC][eqn: n LEFT ( A RIGHT ) >n LEFT ( B RIGHT )]

다음은 함수 [eqn: f]의 개수는 구하는 과정이다.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는
[eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 ,```` 5 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT } ,```` LEFT { 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]
이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]인 경우 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <3]이므로 집합 [eqn: B]는
[eqn: LEFT { 1 RIGHT } ,```` LEFT { 2 RIGHT } ,```` LEFT { 3 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT } ,```` LEFT { 1 ,```` 3 RIGHT } ,```` LEFT { 2 ,```` 3 RIGHT }]
이다.
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 RIGHT }]인 경우 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}]이고,
[eqn: A= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT } ,```` B= LEFT { 1 ,```` 2 RIGHT }]인 경우
함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}]이므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =3 ,```` n LEFT ( B RIGHT ) <3]이고 집합 [eqn: A]의 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수가 되도록 하는 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }} RIGHT )]이다.

(ⅱ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4]이고 모든 원소의 합이 [eqn: 3]의 배수인 집합 [eqn: A]는 [eqn: LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT }]뿐이므로 이 경우 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) <4]를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }}]이다.

(ⅲ) [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =5]인 경우 함수 [eqn: f]는 일대일대응이고 [eqn: n LEFT ( B RIGHT ) =5]이므로 [eqn: n LEFT ( A RIGHT ) >n LEFT ( B RIGHT )]를 만족시키는 함수 [eqn: f]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 4 TIMES LEFT ( 3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }} +3 TIMES {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }} RIGHT )][eqn: +][eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p ,```` q ,```` r]라 할 때, [eqn: p+q+r]의 값은?

① [eqn: 164]	② [eqn: 168]	③ [eqn: 172]

④ [eqn: 176]	⑤ [eqn: 180]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

집합 [eqn: {A= left{` 1 ,``2 ,``3 ,``4 ,``5 `right} }]에서 [eqn: A]로의 함수 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f (x)]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f]가 일대일함수가 아니고,

조건 (나)에서

[eqn: log`left{f left(1right)+f left(2right)+f left(3right)right}=log`12]

[eqn: therefore][eqn: f (1) +f (2) +f (3) =12]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (다)에서

[eqn: log`f left(4right)f left(5right)le1]

[eqn: therefore][eqn: f (4) f (5) le 10]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: f left(1right)], [eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)]에 대응되는 값이 [eqn: 5], [eqn: 5], [eqn: 2]인 경우의 수는 [eqn: 3! over2! =3]
[eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]의 값이 대응되는 전체 경우의 수가 [eqn: 5^2 =25]
[eqn: f left(4right)f left(5right)>10]을 만족하는 경우의 수는

(1) [eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]의 값이 모두 [eqn: 4] 이상인 경우의 수가 [eqn: 2^2 =4]

(2) [eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]의 값이 [eqn: 3], [eqn: 5] 또는 [eqn: 4], [eqn: 5]에 대응되는 경우의 수가 [eqn: 2! times2=4]

따라서 [eqn: f left(4 right)f left(5right)le10]을 만족하는 경우의 수는
[eqn: 25-left(4+4right)=17]

이상에서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 3times17=51]

(ⅱ) [eqn: f left(1right)], [eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)]에 대응되는 값이 [eqn: 5], [eqn: 4], [eqn: 3]인 경우의 수는 [eqn: 3! =6]
[eqn: f left(4 right)f left(5right)le10]을 만족하는 경우의 수는 (ⅰ)에서 [eqn: f left(4right)], [eqn: f left(5right)]가 [eqn: 1], [eqn: 2]에 대응되는 경우는 함수 [eqn: f]가 일대일함수이므로 조건 (가)에 어긋나므로 이 경우를 제외하면 [eqn: 25-left(4+4+2right)=15]
이상에서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 6times15=90]

(ⅲ) [eqn: f left(1right)], [eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)]에 대응되는 값이 [eqn: 4], [eqn: 4], [eqn: 4]인 경우의 수는 [eqn: 1]
[eqn: f left(4 right)f left(5right)le10]을 만족하는 경우의 수는 (ⅰ)에서 [eqn: 17]
이상에서 조건을 만족하는 경우의 수는 [eqn: 1times17=17]

(ⅰ)～(ⅲ)에서 조건을 만족하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 51+90+17=158]이다.

(가) [eqn: log ` f left(x right)]는 일대일함수가 아니다.

(나) [eqn: log ` left{` f left(1right) +f left(2right) +f left(3right) `right} =2 log ` 2 +log ` 3]

(다) [eqn: log `f left(4right) +log `f left(5right) le 1]

① [eqn: 134]	② [eqn: 140]	③ [eqn: 146]

④ [eqn: 152]	⑤ [eqn: 158]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 30

집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` X]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 720]

[해설]

함수 [eqn: f: X ``rarrow`` X]의 개수는 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수와 같다.

조건 (가)에서 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)] 중

홀수의 개수를 [eqn: n]이라 하면 [eqn: n=0] 또는 [eqn: n=2] 또는 [eqn: n=4]이다.

(i) [eqn: n=0]일 때
치역의 세 원소는 모두 짝수이고 집합 [eqn: X]의 원소 중
짝수는 [eqn: rm 2]개뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: n=2]일 때
조건 (나)에서 홀수인 두 함숫값이 서로 같으면
치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 1]개, 짝수인 원소가
[eqn: rm 2]개이고 홀수인 두 함숫값이 서로 다르면 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 2]개, 짝수인 원소가 [eqn: rm 1]개다.
(a) 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 1]개, 짝수인 원소가 [eqn: rm 2]개인 경우

집합 [eqn: X]의 원소인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서
홀수 [eqn: rm 1]개와 짝수 [eqn: rm 2]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{1} times it _{2} {rm{C}} it _{2}=3 ~][eqn: cdotscdots]㉠
치역의 세 원소 중 홀수를 [eqn: a], 두 짝수를 [eqn: b], [eqn: c]라 하면 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는
경우의 수는 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: c] 또는
문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {5 !} over {2 ! times 2 !}+{5 !} over {2 ! times 2 !}=60][eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: 3 times 60=180]
(b) 치역의 세 원소 중 홀수인 원소가 [eqn: rm 2]개, 짝수인 원소가 [eqn: rm 1]개인 경우
집합 [eqn: X]의 원소인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서
홀수 [eqn: rm 2]개와 짝수 [eqn: rm 1]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{1}=6 ~][eqn: cdotscdots]㉢
치역의 세 원소 중 두 홀수를 [eqn: a], [eqn: b], 짝수를 [eqn: c]라 하면 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: c], [eqn: c]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {5 !} over {3 !}=20 ~][eqn: cdotscdots]㉣
㉢, ㉣에 의하여
[eqn: 6 times 20=120]
(a), (b)에 의하여 [eqn: 180+120=300]

(iii) [eqn: n=4]일 때
짝수인 함숫값이 [eqn: rm 1]개이므로 조건 (나)에서
치역의 세 원소 중 홀수인 원소는 [eqn: rm 2]개, 짝수인
원소는 [eqn: rm 1]개다.
집합 [eqn: X]의 원소인 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서
홀수 [eqn: rm 2]개와 짝수 [eqn: rm 1]개를 선택하는 경우의 수는 [eqn: it _{3} {rm{C}} it _{2} times it _{2} {rm{C}} it _{1}=6 ~][eqn: cdotscdots]㉤
치역의 세 원소 중 두 홀수를 [eqn: a], [eqn: b], 짝수를 [eqn: c]라 하면 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는
경우의 수는 문자 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c] 또는
문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: b], [eqn: c] 또는 문자 [eqn: a], [eqn: a], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]를
일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
[eqn: {5 !} over {3 !}+{5 !} over {2 ! times 2 !}+{5 !} over {3 !}=70][eqn: cdotscdots]㉥
㉤, ㉥에 의하여
[eqn: 6 times 70=420]

따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여

구하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 300+420=720]

(가) [eqn: f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)]는 짝수이다.

(나) 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
08 최단경로의 수1 (평면)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 24

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA`]지점에서 출발하여 [eqn: rmP`]지점을 지나 [eqn: rmB`]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는?

[정답] ④

[해설]

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b]라 하자.

[eqn: rm A`]지점에서 [eqn: rm P`]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 2]개의 [eqn: a]와 [eqn: 1]개의 [eqn: b]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {3!} over {2! TIMES 1!}][eqn: =3`]이다.

[eqn: rm P`]지점에서 [eqn: rm B`]지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 [eqn: 2]개의 [eqn: a]와 [eqn: 2]개의 [eqn: b]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {4!} over {2! TIMES 2!}][eqn: =6`]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 6][eqn: =18]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 28

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다. 이 도로망을 따라 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmP]지점을 지나 [eqn: rmB]지점으로 갈 때, 한 번 지난 도로는 다시 지나지 않으면서 최단거리로 가는 경우의 수는?

[정답] ⑤

[해설]

그림과 같이 세 지점 [eqn: rm { Q _{1} ,~ Q _{2} ,~ Q _{3} }]을 정하면

[eqn: rm { A }]지점에서 출발하여 [eqn: rm { P }]지점까지 가기 위해서는

[eqn: rm { Q _{1} }]지점 또는 [eqn: rm { Q _{2} }]지점 중 한 지점을 지나야 하고

[eqn: rm { P }]지점에서 출발하여 [eqn: rmB]지점까지 가기 위해서는

[eqn: rm { Q _{2} }]지점 또는 [eqn: rm { Q _{3} }]지점 중 한 지점을 지나야 한다.

그러므로 [eqn: rm { A }]지점에서 출발하여 [eqn: rm { P }]지점을 지나

[eqn: rm { B }]지점으로 갈 때, 한 번 지난 도로는 다시 지나지 않으면서 최단거리로 가는 경우의 각각의 경우의 수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: rm { A -> Q _{1} -> P -> Q _{2} -> B }]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {4 !} over { 1! TIMES 3 !} TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 TIMES {4 !} over {2 ! TIMES 2 !} =24]

(ⅱ) [eqn: rm { A -> Q _{1} -> P -> Q _{3} -> B }]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {4 !} over { 1! TIMES 3 !} TIMES 1 TIMES 1 TIMES {5 !} over {2 ! TIMES 3 !} =40]

(ⅲ) [eqn: rm { A -> Q _{2} -> P -> Q _{3} -> B }]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {3 !} over { 1! TIMES 2 !} TIMES 1 TIMES 1 TIMES 1 TIMES {5 !} over {2 ! TIMES 3 !} =30]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 24+40+30=94]

① [eqn: 78]	② [eqn: 82]	③ [eqn: 86]

④ [eqn: 90]	⑤ [eqn: 94]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 26

그림과 같이 직사각형 모양으로 연결된 도로망이 있다.

[정답] ①

[해설]

오른쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: a], 위쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: b], 아래쪽으로 한 칸 가는 것을 [eqn: c]라 하자.

[eqn: {rm{A}} it]지점에서 [eqn: {rm{P}} it]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 [eqn: rm 2]개의 [eqn: a]와 [eqn: rm 3]개의 [eqn: b]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {5 !} over {2 ! times 3 !}=10]이다.

[eqn: {rm{P}} it]지점에서 [eqn: {rm{B}} it]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는 [eqn: rm 3]개의 [eqn: a]와 [eqn: rm 3]개의 [eqn: c]를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: {6 !} over {3 ! times 3 !}=20]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 10 times 20=200]

이 도로망을 따라 [eqn: {rm{A}} it]지점에서 출발하여 [eqn: {rm{P}} it]지점을 지나

[eqn: {rm{B}} it]지점까지 최단 거리로 가는 경우의 수는?

(단, 한 번 지난도로를 다시 지날 수 있다.)

① [eqn: rm 200]	② [eqn: rm 210]	③ [eqn: rm 220]

④ [eqn: rm 230]	⑤ [eqn: rm 240]

05 확통	01 여러가지순열
03 같은 것을 포함한 순열
09 최단경로의 수2 (추론)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 29

그림과 같이 바둑판 모양의 도로망이 있다. 이 도로망은 정사각형 [eqn: {R}{{from^2020^04^서울고3나^}}]와 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: 9]개로 이루어진 모양이다.

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

그림과 같이 [eqn: 6]개의 점 [eqn: rmC _{1} ,```` C _{2} ,```` C _{3} ,```` C _{4} ,```` C _{5} ,```` C _{6}]과 [eqn: 4]개의 정사각형 [eqn: R _{1} ,```` R _{2} ,```` R _{3} ,```` R _{4}]가 있다.

최단거리로 [eqn: rmA]지점에서 출발하여 [eqn: rmB]지점을 지나 다시 [eqn: rmA]지점까지 돌아올 때, 조건 (가)를 만족시키려면 [eqn: rmA ``->`` C _{2} ``->`` B ``->`` C _{2} ``->`` A]의 순서로 이동해야 한다.

또한 조건 (나)를 만족시키려면 정사각형 [eqn: R _{1} ,```` R _{2} ,```` R _{3} ,```` R _{4}] 중 네 변을 모두 지나는 정사각형은 없어야 한다.

(ⅰ) [eqn: rmC _{2} ``->`` B ``->`` C _{2}]의 순서로 이동하는 경우
([eqn: rmC _{2}]에서 [eqn: rmB]로 가는 경우의 수)
[eqn: TIMES]([eqn: rmB]에서 [eqn: rmC _{2}]로 가는 경우의 수)
[eqn: =2 TIMES 1][eqn: =2]

(ⅱ) [eqn: rmA ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우
[eqn: {4!} over {2! TIMES 2!} TIMES {4!} over {2! TIMES 2!}][eqn: =6 TIMES 6][eqn: =36]

⒜ 정사각형 [eqn: R _{1}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{3} ``->`` C _{1} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{1} ``->`` C _{3} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 1 TIMES 2 TIMES 1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 1 TIMES 1 RIGHT )][eqn: =2]

⒝ 정사각형 [eqn: R _{2}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{4} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{4} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 2 TIMES 2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 2 RIGHT )][eqn: =8]

⒞ 정사각형 [eqn: R _{3}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{4} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{4} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 2 TIMES 2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 2 RIGHT )][eqn: =8]

⒟ 정사각형 [eqn: R _{4}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rm A ``->`` C _{6} ``->`` C _{5} ``->`` C _{2}], [eqn: rm C _{2} ``->`` C _{5} ``->`` C _{6} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 1 TIMES 2 TIMES 1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 1 TIMES 1 RIGHT )][eqn: =2]

⒠ 정사각형 [eqn: R _{2} ,```` R _{3}]의 네 변을 모두 지나는 경우
[eqn: rmA ``->`` C _{4} ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` C _{4} ``->`` A]의 순서로 이동하는 경우의 수이므로
[eqn: LEFT ( 2 TIMES 2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1 TIMES 1 RIGHT )][eqn: =4]

⒜∼⒠에 의하여

[eqn: rmA ``->`` C _{2}], [eqn: rmC _{2} ``->`` A]의 순서로 이동할 때, 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 중 네 변을 모두 지나는 정사각형이 없는 경우의 수는 [eqn: 36- LEFT { LEFT ( 2+8+8+2 RIGHT ) -4 RIGHT }][eqn: =20]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 20][eqn: =40]

이 도로망을 따라 최단거리로 [eqn: {rm A]지점에서 출발하여 [eqn: {rm B]지점을 지나 다시 [eqn: {rm A]지점까지 돌아올 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오.

(가) 정사각형 [eqn: R]의 네 변을 모두 지나야 한다.

(나) 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 중 네 변을 모두 지나게 되는 정사각형은 오직 정사각형 [eqn: R]뿐이다.

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
01 중복조합1 (계산)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 22

[eqn: {{}_{3} rm H it rm _{5} }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold21]

[해설]

[eqn: {}_3{rm H}_5 ={}_7{rm C}_5 = {}_7{rm C}_2 = 21]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 22

[eqn: { ` _{6} SMALLPROD _{2} + _{2} rm H _{ 6}}{{from^2020^04^서울고3가^}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 43 }]

[해설]

[eqn: ` _{6} SMALLPROD _{2} + _{2} rm H _{ 6}][eqn: =6 ^{2} + _{7} rmC _{6}][eqn: =36+ _{7} rmC _{1}][eqn: =36+7][eqn: =43]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 2

[eqn: {{}_{4} SMALLPROD _{2} }{{from^2020^10^서울고3나^중}}][eqn: + _{4} rm H _{2}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: {}_{4} SMALLPROD _{2}][eqn: =4 ^{2}][eqn: =16], [eqn: {}_{4} rm H _{2}][eqn: = _{4+2-1} rmC _{ 2}][eqn: = _{5} rmC _{ 2}][eqn: =10]이므로

[eqn: {}_{4} SMALLPROD _{2}][eqn: + _{4} rm H _{2}][eqn: =16+10][eqn: =26]

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 23

[eqn: `_{3} rm H _{6}`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm _{3} rm H _{6}][eqn: rm = _{3+6-1} C _{6}][eqn: rm = _{8} C _{6}][eqn: rm = _{8} C _{2}][eqn: = {8 TIMES 7} over {2times1}][eqn: =28]

① [eqn: 24]	② [eqn: 26]	③ [eqn: 28]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 32]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 23

[eqn: it _{n} {rm{H}} it _{2}= it _{9} {rm{C}} it _{2}]일 때, 자연수 [eqn: n]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: it _{n} {rm{H}} it _{2}= it _{n+2-1} {rm{C}} it _{2}= it _{9} {rm{C}} it _{2}]에서 [eqn: n+1=9], [eqn: n=8]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 10]

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
02 중복조합2 (기본적인 중복조합 적용)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

다섯 개의 자연수 [eqn: {1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개의 수를 택할 때, 택한 세 수의 곱이 [eqn: 6]이상인 경우의 수는?

[정답] ④

[해설]

모든 경우의 수는 [eqn: {rm {} _{5} H _{3} = _{7} C _{3} =35]

택한 세 수의 곱이 [eqn: 6]미만인 경우는

[eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 1 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 3 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 4 RIGHT ) ,]

[eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 ,```` 5 RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 2 ,```` 2 RIGHT )]

즉, [eqn: 6]가지

택한 세 수의 곱이 [eqn: 6]이상인 경우의 수는 모든 경우에서 [eqn: 6]미만이 나오는 경우를 빼면 되므로 [eqn: 35-6=29]

① [eqn: 23]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 31]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 25

빨간색 볼펜 [eqn: 5]자루와 파란색 볼펜 [eqn: 2]자루를 [eqn: 4]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색 볼펜끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜을 [eqn: 1]자루로 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] ①

[해설]

빨간색 볼펜 [eqn: 5]자루를 [eqn: 4]명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 5]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm { {} _{4} H _{5} = _{8} C _{5} = _{8} C _{3} =56 }]

파란색 볼펜 [eqn: 2]자루를 [eqn: 4]명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: rm { {} _{4} H _{2} = _{5} C _{2} =10 }]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 56 TIMES 10=560]

① [eqn: 560]	② [eqn: 570]	③ [eqn: 580]

④ [eqn: 590]	⑤ [eqn: 600]

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
03 중복조합3 (개수조건)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 29

검은색 볼펜 [eqn: {1}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]자루, 파란색 볼펜 [eqn: 4]자루, 빨간색 볼펜 [eqn: 4]자루가 있다. 이 [eqn: 9]자루의 볼펜 중에서 [eqn: 5]자루를 선택하여 [eqn: 2]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 볼펜끼리는 서로 구별하지 않고, 볼펜을 [eqn: 1]자루도 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] [eqn: bold { 114 }]

[해설]

(ⅰ) 검은색 볼펜을 안 뽑는 경우
파란색 볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: x]개, 빨간색 볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: y]개라 하면 [eqn: x+y =5]
그런데, [eqn: x le 4 ,````y le 4]이므로 [eqn: x=5,````y=0]과 [eqn: x=0,````y=5]인 경우는 제외해야 한다.
따라서 경우의 수는
(파, 빨)[eqn: = (4,````1)], [eqn: (3,````2)], [eqn: (2,````3)], [eqn: (1,````4)]
[eqn: 2]명의 학생에게 나누어주어야 하므로

㉠ (파, 빨)[eqn: = (4,````1)], [eqn: (1,````4)]인 경우
각각 [eqn: 5 times 2][eqn: = 10]가지이므로 [eqn: 20](가지)

㉡ (파, 빨)[eqn: =(3,````2)], [eqn: (2,````3)]인 경우
각각 [eqn: 4 times 3 = 12]가지이므로 [eqn: 24](가지)

㉠, ㉡에서 총 경우의 수는 [eqn: 44](가지)

(ⅱ) 검은색 볼펜을 [eqn: 1]자루 뽑는 경우
파란색 볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: x]개, 빨간색볼펜을 뽑는 개수를 [eqn: y]개라 하면 [eqn: x+y =4]
따라서 경우의 수는
(파, 빨)[eqn: = (4,````0)], [eqn: (3,````1)], [eqn: (2,````2)], [eqn: (1,````3)], [eqn: (0,````4)]
[eqn: 2]명의 학생에게 나누어주어야 하므로

㉠ (파, 빨)[eqn: = (4,````0)], [eqn: (0,````4)]인 경우
각각 [eqn: 5 times 1][eqn: =5]가지, 검은색을 주는 경우가 [eqn: 2]가지이므로
[eqn: 5 times 2 times 2 =20](가지)

㉡ (파, 빨)[eqn: =(3,````1)], [eqn: (1,````3)]인 경우
각각 [eqn: 4 times 2 = 8]가지, 검은색을 주는 경우가 [eqn: 2]가지이므로
[eqn: 8 times 2 times 2 =32](가지)

㉢ (파, 빨)[eqn: = (2,````2)]인 경우 [eqn: 3 times 3 =9]가지, 검은색을 주는
경우가 [eqn: 2]가지이므로 [eqn: 9 times 2 =18](가지)

㉠, ㉡, ㉢에서 총 경우의 수는 [eqn: 70](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 총 경우의 수는 [eqn: 44+70 =114](가지)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 29

어느 학교 도서관에서 독서프로그램 운영을 위해 철학, 사회과학, 자연과학, 문학, 역사 분야에 해당하는 책을 각 분야별로 [eqn: {10}{{from^2020^04^서울고3가^}}]권씩 총 [eqn: 50]권을 준비하였다. 한 학급에서 이 [eqn: 50]권의 책 중 [eqn: 24]권의 책을 선택하려고 할 때, 다음 조건을 만족시키도록 선택하는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 분야에 해당하는 책은 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 396 }]

[해설]

철학, 사회과학, 자연과학 분야에 해당하는 책은 반드시 선택해야 하므로 최소 [eqn: 3]개 분야에서 최대 [eqn: 5]개 분야에 해당하는 책을 선택할 수 있다. 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에서 선택한 책의 권수를 순서대로 [eqn: a ,```` b ,```` c]([eqn: a ,```` b ,```` c]는 [eqn: 4] 이상 [eqn: 10] 이하의 자연수)라 하자.

(ⅰ) [eqn: 3]개 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우
[eqn: a+b+c=24]에서
[eqn: a=4]일 때, [eqn: b+c=20]을 만족시키는
순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 1]
[eqn: a=5]일 때, [eqn: b+c=19]를 만족시키는
순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 2]
[eqn: VDOTS]
[eqn: a=10]일 때, [eqn: b+c=14]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: 7]
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1+2+ CDOTS +7][eqn: =28]

(ⅱ) [eqn: 4]개 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우
문학 또는 역사 분야 중 한 분야를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2]이고 선택된 분야에서 선택한 책의 권수를 [eqn: d] ([eqn: d]는 [eqn: 4] 이상 [eqn: 10] 이하의 자연수)라 하자.
[eqn: a=a'+4], [eqn: b=b'+4], [eqn: c=c'+4],	[eqn: d=d'+4]
([eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d']은 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수)
라 하면 [eqn: a+b+c+d][eqn: = it 24]에서
[eqn: LEFT ( a'+4 RIGHT ) + LEFT ( b'+4 RIGHT ) + LEFT ( c'+4 RIGHT ) + LEFT ( d'+4 RIGHT )][eqn: =24]
[eqn: a'+b'+c'+d'][eqn: =8]
방정식 [eqn: a'+b'+c'+d'][eqn: =8]을 만족시키는 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수 [eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d']의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime RIGHT )]의 개수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허용하여 [eqn: 8]개를 택하는 중복조합의 수 [eqn: {}_{4} rmH _{8}][eqn: = _{11} rmC _{8}][eqn: = _{11} rmC _{3}][eqn: =165]에서 [eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d'] 중 어느 하나의 값이 [eqn: 7]인 경우의 수 [eqn: {}_{4} rmC _{1} TIMES _{3} H _{1}][eqn: =12]와 [eqn: a' ,```` b' ,```` c' ,```` d'] 중 어느 하나의 값이 [eqn: 8]인 경우의 수 [eqn: 4]를 뺀 것과 같다.
따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( 165-12-4 RIGHT )][eqn: =298]

(ⅲ) [eqn: 5]개 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우
문학 분야와 역사 분야에서 선택한 책의 권수를 각각 [eqn: d ,```` e]([eqn: d ,```` e]는 [eqn: 4] 이상 [eqn: 10] 이하의 자연수)라 하자.
[eqn: a=a'+4], [eqn: b=b'+4], [eqn: c=c'+4], [eqn: d=d'+4],	[eqn: e=e'+4]
([eqn: a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime ,```` e']은 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수)
라 하면 [eqn: a+b+c+d+e][eqn: = it 24]에서
[eqn: LEFT ( a prime +4 RIGHT ) + LEFT ( b prime +4 RIGHT ) + LEFT ( c prime +4 RIGHT ) + LEFT ( d prime +4 RIGHT ) + LEFT ( e'+4 RIGHT )][eqn: =24]
[eqn: a prime +b prime +c prime +d prime +e'][eqn: =4]
방정식 [eqn: a prime +b prime +c prime +d prime +e'][eqn: =4]을 만족시키는 [eqn: 6] 이하의 음이 아닌 정수 [eqn: a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime ,```` e']의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a prime ,```` b prime ,```` c prime ,```` d prime ,```` e' RIGHT )]의 개수는 서로 다른 [eqn: 5]개에서 중복을 허용하여 [eqn: 4]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_{5} rmH _{4}][eqn: = _{8} rmC _{4}][eqn: =70]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 28+298+70][eqn: =396]

(가) 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에 해당하는 책은 [eqn: 4]권 이상씩 선택한다.

(나) 문학 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 [eqn: 4]권 이상 선택한다.

(다) 역사 분야에 해당하는 책은 선택하지 않거나 [eqn: 4]권 이상 선택한다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 28

세 명의 학생 [eqn: {rmA}{{from^2020^10^서울고3가^중}}], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에게 같은 종류의 빵 [eqn: 3]개와 같은 종류의 우유 [eqn: 4]개를 남김없이 나누어 주려고 한다. 빵만 받는 학생은 없고, 학생 [eqn: rmA]는 빵을 [eqn: 1]개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 우유를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] [eqn: bold { 37 }]

[해설]

[eqn: rmA]가 반드시 빵을 [eqn: 1]개 이상 받는 경우의 수는 [eqn: rmA]에게 빵 [eqn: 1]개와 우유 [eqn: 1]개를 먼저 주고, 남은 빵 [eqn: 2]개와 우유 [eqn: 3]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수와 같다.

(ⅰ) [eqn: rmA]에게 남은 빵 [eqn: 2]개를 주는 경우
남은 우유 [eqn: 3]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmH _{3}][eqn: = _{5} rmC _{3}][eqn: =10]이다.

(ⅱ) [eqn: rmA]에게 남은 빵 [eqn: 2]개 중 [eqn: 1]개를 주는 경우
남은 빵 [eqn: 1]개를 [eqn: rmB] 또는 [eqn: rmC]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 2]이고, 빵을 준 학생에게 우유를 [eqn: 1]개 주고 남은 우유 [eqn: 2]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수가 [eqn: {}_{3} rm H _{2}][eqn: = _{4} rmC _{2}][eqn: =6]이므로 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 6][eqn: =12]이다.

(ⅲ) [eqn: rmA]에게 남은 빵을 주지 않는 경우
남은 빵 [eqn: 2]개를 [eqn: rmB] 또는 [eqn: rmC] 중 한 명에게 모두 주는 경우의 수는 [eqn: 2]이고, 빵을 준 학생에게 우유를 [eqn: 1]개 주고 남은 우유 [eqn: 2]개를 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에게 나누어 주는 경우의 수가 [eqn: {}_{3} rm H _{2}][eqn: = _{4} rmC _{2}][eqn: =6]이므로 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 6][eqn: =12]이다.
또 남은 빵 [eqn: 2]개를 학생 [eqn: rmB]와 [eqn: rmC]에게 각각 [eqn: 1]개씩 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 1]이고, 빵을 준 학생에게 우유를 [eqn: 1]개씩 주고 남은 우유 [eqn: 1]개를 세 명의 학생에게 주는 경우의 수가 [eqn: 3]이므로 경우의 수는 [eqn: 1 TIMES 3][eqn: =3]이다.
따라서 [eqn: rmA]에게 남은 빵을 주지 않는 경우의 수는 [eqn: 12+3=15]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 10+12+15][eqn: =37]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 29

네 명의 학생 [eqn: {{rm A }{{from^2020^11^대수능고3가^5}}], [eqn: {rm B], [eqn: {rm C], [eqn: {rm D]에게 검은 색 모자 [eqn: 6]개와 흰 색 모자 [eqn: 6]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 201 }]

[해설]

조건 (나)에 의하여 학생 [eqn: {rm A]는 검은색 모자를 [eqn: 4]개 또는 [eqn: 5]개 받아야 하므로 다음과 같이 경우를 나누어 생각할 수 있다.

(ⅰ) 학생 [eqn: {rm A]가 검은색 모자를 [eqn: 4]개 받는 경우
조건 (다)에 의하여 검은색 모자를 더 많이 받는 학생이 [eqn: 1]명 나와야 하므로

㉠ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 [eqn: 1]개 받는 경우

㉡ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 안 받는 경우

㉢ 나머지 세 학생 중 두 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 1]개씩 받고 한 명만 흰 모자를 안 받는 경우

따라서 각각의 경우를 구하면 다음과 같다.

㉠ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 [eqn: 1]개 받는 경우
검은색 모자를 [eqn: 2]개 받은 학생이 흰색 모자를 [eqn: 1]개 받는 경우 나머지 흰색 모자 [eqn: 3]개를 세 학생에게 나누어주면 되므로 [eqn: {}_{3} rmH _{3}][eqn: =10]

㉡ 나머지 세 학생 중 한 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받고 흰 모자를 안 받는 경우
검은색 모자를 [eqn: 2]개 받는 학생을 택하는 경우의 수는 [eqn: 3]
각각에 대하여 다른 두 학생에게 흰색 모자 [eqn: 1]개씩을 나누어 주고 나머지 흰색 모자 [eqn: 4]개를 나누어주는 경우의 수는 검은색 모자를 [eqn: 2]개 받은 학생이 흰색 모자를 받지 않는 경우 나머지 흰색 모자 [eqn: 4]개를 세 학생에게 나누어주는 경우의 수에서 학생 [eqn: {rm A]가 [eqn: 4]개를 모두 받는 경우의 수를 빼면 되므로 [eqn: {}_{3} rmH _{4} -1][eqn: =14]

㉠, ㉡에서 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES LEFT ( 14+10 RIGHT )][eqn: =72]

㉢ 나머지 세 학생 중 두 명의 학생이 검은색 모자를 [eqn: 1]개씩 받고 한 명만 흰 모자를 안 받는 경우
검은색 모자를 흰색 모자보다 더 많이 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3]
이 각각에 대하여 나머지 두 학생 중에 검은색 모자를 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2]
이 각각에 대하여 검은색 모자를 흰색 모자보다 더 많이 받는 학생에게는 흰색 모자를 나누어주면 안 되고, 다른 두 학생에게는 흰색 모자를 [eqn: 1]개 이상씩 나누어주어야 한다. 즉, 두 학생에게 흰색 모자를 [eqn: 1]개씩 나누어주고 나머지 흰색 모자 [eqn: 4]개를 나누어주는 경우의 수는 학생 [eqn: {rm A]가 [eqn: 4]개를 모두 받는 한 가지 경우를 제외해야 하므로
[eqn: {}_{3} rmH _{4} -1][eqn: =14]
따라서 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2 TIMES 14][eqn: =84]

(ⅱ) 학생 [eqn: {rm A]가 검은색 모자를 [eqn: 5]개 받는 경우
조건 (다)에 의하여 검은색 모자를 더 많이 받는 학생이 [eqn: 1]명 나와야 한다.
다른 세 학생 중 검은색 모자를 받는 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: 3]
모든 학생이 한 개이상의 모자를 받아야 하므로 다른 두 학생에게 흰색 모자를 [eqn: 1]개씩 나누어주고, 검은색 모자를 [eqn: 1]개 받은 학생을 제외한 세 명의 학생에게 나머지 흰색 모자를 [eqn: 4]개를 나누어주는 경우의 수를 구하면
[eqn: {}_{3} rmH _{4}][eqn: =15]
따라서 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 15][eqn: =45]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 총 경우의 수는

[eqn: 72+84+45][eqn: =201]

(가) 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 모자를 받는다.

(나) 학생 [eqn: {rm A]가 받은 검은색 모자의 개수는 [eqn: 4]이상이다.

(다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 [eqn: {rm A]를 포함하여 [eqn: 2]명뿐이다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 29

흰 공 [eqn: {2 }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]개, 빨간 공 [eqn: 3]개, 검은 공 [eqn: 3]개를 [eqn: 3]명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 흰 공을 받은 학생은 빨간 공과 검은 공도 반드시 각각 [eqn: 1]개 이상 받도록 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않고, 공을 하나도 받지 못하는 학생은 없다.)

[정답] [eqn: bold72]

[해설]

[eqn: 3]명의 학생을 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm C]라 하자.

(ⅰ) [eqn: 1]명의 학생이 흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받는 경우
흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받는 [eqn: 1]명의 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_3{rm C}_1 =3]
흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받은 학생이 [eqn: rm A]일 때, 학생 [eqn: rm A]는 빨간 공과 검은 공을 각각 적어도 [eqn: 1]개씩 받아야 한다. 학생 [eqn: rm A]에게 빨간 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 1]개를 주고, 남은 빨간 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 2]개를 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm C]에게 나누어 주는 경우의 수는
[eqn: {}_3{rm H}_2 times {}_3{rm H}_2 =36]
학생 [eqn: rm B]가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는 남은 빨간 공 [eqn: 2]개와 검은 공 [eqn: 2]개를 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm C]에게 나누어 주는 경우의 수이므로 [eqn: {}_2{rm H}_2 times {}_2{rm H}_2 =9]
같은 방법으로 학생 [eqn: rm C]가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수도 [eqn: {}_2{rm H}_2 times {}_2{rm H}_2 =9]
학생 [eqn: rm B]와 [eqn: rm C]가 모두 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는
[eqn: {}_1{rm H}_2 times {}_1{rm H}_2 =1]
그러므로 [eqn: 1]명의 학생이 흰 공 [eqn: 2]개를 모두 받도록 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3 times left(36-2 times 9+1 right)=57]

(ⅱ) [eqn: 2]명의 학생이 흰 공을 [eqn: 1]개씩 받는 경우
흰 공을 [eqn: 1]개씩 받는 [eqn: 2]명의 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_3{rm C}_2 =3]
흰 공을 [eqn: 1]개씩 받은 학생이 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]일 때, 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]는 빨간 공과 검은 공을 각각 적어도 [eqn: 1]개씩 받아야 한다.
학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]에게 각각 빨간 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 1]개를 주고, 남은 빨간 공 [eqn: 1]개와 검은 공 [eqn: 1]개를 학생 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm C]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: {}_3{rm H}_1 times {}_3{rm H}_1 =9]
학생 [eqn: rm C]가 공을 하나도 받지 못하는 경우의 수는
[eqn: {}_2{rm H}_1 times {}_2{rm H}_1= 4]
그러므로 [eqn: 2]명의 학생이 흰 공을 [eqn: 1]개씩 받도록 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: 3times left(9-4 right)= 15]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 57+15=72]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 29
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 29

흰 공 [eqn: {4}{{from^2020^평가원가^3}}]개와 검은 공 [eqn: 6]개를 세 상자 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]에 남김없이 나누어 넣을 때, 각 상자에 공이 [eqn: 2]개 이상씩 들어가도록 나누어 넣는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 168 }]

[해설]

세 상자에 서로 같은 흰 공 [eqn: 4]개를 나누어 넣는 경우는

[eqn: (4 ,```` 0 ,```` 0)], [eqn: (3 ,```` 1 ,```` 0)], [eqn: (2 ,```` 2 ,```` 0)], [eqn: (2 ,```` 1 ,```` 1)]

(ⅰ) 흰 공을 [eqn: (4 ,```` 0 ,```` 0)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공 [eqn: 4]개 넣을 상자를 선택한 후 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공이 들어가지 않은 상자에 [eqn: 2]개 이상씩 넣어야 하므로
[eqn: y= y`'+2 ,````z= z`'+2] (단, [eqn: y`' ,````z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y`' +z `' =2]
즉, [eqn: rm{}_{3} H_2 = _4 C_2 =6]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm{}_{3}C_1 times_3 H_2 = 3 times6 =18]

(ⅱ) 흰 공을 [eqn: (3 ,```` 1 ,```` 0)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공을 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C]에 나누어 넣고, 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공 [eqn: 1]개 넣은 상자에 [eqn: 1]개 이상 흰 공 [eqn: 2]개 넣은 상자에 [eqn: 2]개 이상 넣는 경우이므로
[eqn: y= y`'+1 ,````z= z`'+2] (단, [eqn: y`' ,````z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y`' +z `' =3]
즉, [eqn: rm {}_{3} H _{3} = _{5} C _{2} =10]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm3! times _3 H_3 = 6 times10 =60]

(ⅲ) 흰 공을 [eqn: (2 ,```` 2 ,```` 0)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공 [eqn: 0]개인 상자를 선택한 후 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공이 안 들어간 상자에 [eqn: 2]개 이상 넣는 경우이므로
[eqn: z= z`'+2] (단, [eqn: z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y +z `' =4]
즉, [eqn: rm {}_{3} H _{4} = _{6} C _{2} =15]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm{}_{3}C_1 times_3 H_4 = 3 times15 =45]

(ⅳ) 흰 공을 [eqn: (2 ,```` 1 ,```` 1)]으로 나누어 넣는 경우
흰 공 [eqn: 2]개 들어가는 상자를 선택한 후 검은 공 [eqn: 6]개를 나누어 넣는 경우는 [eqn: x+y+z=6]에서 흰 공 [eqn: 1]개씩 들어간 상자에 [eqn: 1]개 이상 넣는 경우이므로
[eqn: y= y`'+1 ,````z= z`'+1] (단, [eqn: y`' ,````z`' ge 0])
식에 대입하면 [eqn: x+ y`' +z `' =4]
즉, [eqn: rm {}_{3} H _{4} = _{6} C _{2} =15]이므로 구하는 경우의 수는
[eqn: rm{}_{3}C_1 times_3 H_4 = 3 times15 =45]

(ⅰ)∼(ⅳ)에 의해서 [eqn: 18+60+45+45=168]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 25

같은 종류의 공책 [eqn: 10]권을 [eqn: 4]명의 학생 [eqn: rmA,~B,~C,~D]에게 남김없이 나누어 줄 때, [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 각각 [eqn: 2]권 이상의 공책을 받도록 나누어 주는 경우의 수는?
(단, 공책을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: rmA]와 [eqn: rmB]에게 각각 공책을 [eqn: 2]권씩 먼저 나누어 준 후 남은 [eqn: 6]권의 공책을 [eqn: 4]명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 4]개에서 [eqn: 6]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_{4} rmH _{6}][eqn: = _{4+6-1} rmC _{6}][eqn: = _{9} rmC _{6}][eqn: = _{9} rmC _{3}][eqn: = {9 TIMES 8 TIMES 7} over {3 TIMES 2 TIMES 1}][eqn: =84]

① [eqn: 76]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 84]

④ [eqn: 88]	⑤ [eqn: 92]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 26

빨간색 카드 [eqn: 4]장, 파란색 카드 [eqn: 2]장, 노란색 카드 [eqn: 1]장이 있다. 이 [eqn: 7]장의 카드를 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 줄 때, [eqn: 3]가지 색의 카드를 각각 한 장 이상 받는 학생이 있도록 나누어 주는 경우의 수는? (단, 같은 색 카드끼리는 서로 구별하지 않고, 카드를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] ③

[해설]

세 명의 학생 중 한 명은 [eqn: 3]가지 색의 카드를 모두 받아야 하므로 카드의 개수가 적은 노란색 카드부터 나누어 주면 된다.

(ⅰ) 노란색 카드를 나누어 주는 경우의 수
세 명의 학생에게 중복을 허용하여 나누어 주는 경우이므로

[eqn: {}_{3} rm H it _{1}={}_{3} rm C it _{1}=3]

(ⅱ) 파란색 카드를 나누어 주는 경우의 수
[eqn: 3]가지 색을 모두 받아야 하는 학생이 존재해야 하므로 파란색 카드 중 [eqn: 1]장을 노란색 카드를 받은 학생에게 먼저 나누어 준 후 남은 [eqn: 1]장을 세 명의 학생에게 중복을 허용하여 나누어 주는 경우이므로 [eqn: {}_{3} rm H it _{1}={}_{3} rm C it _{1}=3]

(ⅲ) 빨간색 카드를 나누어 주는 경우의 수
파란색 카드와 마찬가지로 [eqn: 1]장의 카드를 먼저 나누어 준 후 남은 [eqn: 3]장을 세 명의 학생에게 중복을 허용하여 나누어 주는 경우이므로 [eqn: {}_{3} rm H it _{3}={}_{5} rm C it _{3}=10]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 3times3times10=90]

① [eqn: 78]	② [eqn: 84]	③ [eqn: 90]

④ [eqn: 96]	⑤ [eqn: 102]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 26

같은 종류의 연필 [eqn: 6`]자루와 같은 종류의 지우개 [eqn: 5`]개를 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 주려고 한다. 각 학생이 적어도 한 자루의 연필을 받도록 나누어 주는 경우의 수는?
(단, 지우개를 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

[정답] ①

[해설]

세 명의 학생에게 연필을 하나씩 나누어 주고 남은 [eqn: 3`]자루의 연필을 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 3`]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 3`]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_{3}{rm H}_{3}][eqn: = `_{3+3-1}{rm C}_{3}][eqn: =`_{5}{rm C}_{3}][eqn: =10]

[eqn: 5`]개의 지우개를 세 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 3`]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 5`]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: `_{3}{rm H}_{5}][eqn: = `_{3+5-1}{rm C}_{5}][eqn: =`_{7}{rm C}_{5}][eqn: =21]

따라서 구하는 경우의 수는
[eqn: 10 times 21 = 210]

① [eqn: 210]	② [eqn: 220]	③ [eqn: 230]

④ [eqn: 240]	⑤ [eqn: 250]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 확률과 통계 30

네 명의 학생 [eqn: {rm A ,```` B ,```` C ,```` D}{{from^2021^09^평가원^중}}]에게 같은 종류의 사인펜 [eqn: 14]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.

[정답] [eqn: 218]

[해설]

[eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]가 받는 사인펜의 개수를 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]라 하면

[eqn: a+b+c+d=14][eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (가)에서

[eqn: a=a prime +1], [eqn: b=b prime +1], [eqn: c=c prime +1], [eqn: d=d prime +1]

([eqn: a`prime], [eqn: b`prime], [eqn: c`prime], [eqn: d`prime]은 음이 아닌 정수)로 놓으면 ㉠에서

[eqn: a `prime +b `prime +c `prime +d `prime =10 ~ cdots cdots] ㉡

방정식 ㉡을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a `prime ,`` b `prime ,`` c `prime ,`` d `prime right)]의 개수는 [eqn: it _{4} {rm{H}} it _{10}= it _{13} {rm{C}} it _{10}= it _{13} {rm{C}} it _{3}={13 times 12 times 11} over {3 times 2 times 1}=286]

한편, 네 명의 학생이 모두 홀수 개의 사인펜을 받는 경우의 수는 다음과 같다.

[eqn: a=2 a `prime prime +1], [eqn: b=2 b `prime prime +1], [eqn: c=2 c `prime prime +1], [eqn: d=2 d `prime prime +1]

([eqn: a `prime prime], [eqn: b `prime prime], [eqn: c `prime prime], [eqn: d `prime prime]은 음이 아닌 정수[eqn: )]로 놓으면 ㉠에서

[eqn: a `prime prime +b `prime prime +c `prime prime +d `prime prime =5 ~ cdots cdots] ㉢

㉢을 만족시키는 순서쌍 [eqn: left(a `prime prime ,`` b `prime prime ,`` c `prime prime ,`` d `prime prime right)]의 개수는

[eqn: it _{4} {rm{H}} it _{5}= it _{8} {rm{C}} it _{5}= it _{8} {rm{C}} it _{3}={8 times 7 times 6} over {3 times 2 times 1}=56]

따라서 두 조건 (가), (다)를 만족시키는 경우의 수는 [eqn: 286-56=230]

한편, 두 조건 (가), (다)를 만족시키는 동시에 사인펜을 [eqn: rm 10]개 이상 받은 학생이 있는 경우는 각 학생이 받은 사인펜의 개수가 [eqn: 10], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 1]일 때뿐이고, 이 경우의 수는

[eqn: {4 !} over {2 !}=12]

따라서 주어진 세 조건을 모두 만족시키는 경우의 수는

[eqn: 230-12=218]

(가) 각 학생은 [eqn: 1]개 이상의 사인펜을 받는다.

(나) 각 학생이 받는 사인펜의 개수는 [eqn: 9]이하이다.

(다) 적어도 한 학생은 짝수 개의 사인펜을 받는다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 30

네 명의 학생 [eqn: {rm {A ,```` B ,```` C ,```` D}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에게 검은 공 [eqn: 4]개, 흰 공 [eqn: 5]개, 빨간 공 [eqn: 5]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.
(단, 같은 색 공끼리는 서로 구별하지 않는다.)

[정답] [eqn: bold { 51 }]

[해설]

학생 [eqn: {rm A]가 받은 검은 공의 개수와 흰 공의 개수를 각각 [eqn: b ,```` w]라 하자.

조건 (가), (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )] 중 학생 [eqn: {rm A]가 홀수 개의 공을 받은 경우는

[eqn: LEFT ( 4 ,```` 3 RIGHT ) ,```` LEFT ( 4 ,```` 1 RIGHT ) ,```` LEFT ( 3 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )]

(ⅰ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 4 ,```` 3 RIGHT )]일 때
흰 공 [eqn: 2]개, 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 4 ,```` 1 RIGHT )]일 때
흰 공 [eqn: 4]개와 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D]에게 흰 공과 빨간 공을 각각 [eqn: 1]개씩 나누어 주고
남은 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 2]개를 나누어 주는 경우의 수는 다음과 같다.
흰 공 [eqn: 1]개를 받은 학생을 정하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D]에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 나누어 줄 때, 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmH _{2} -1][eqn: = _{4} rmC _{2} -1][eqn: =5]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 5][eqn: =15]

(ⅲ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 3 ,```` 2 RIGHT )]일 때
검은 공 [eqn: 1]개, 흰 공 [eqn: 3]개, 빨간 공 [eqn: 5]개가 남으므로
다음의 (1)과 (2)의 경우로 나누어 볼 수 있다.

(1) 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D] 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 흰 공을 받는 경우
검은 공과 흰 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
검은 공과 흰 공을 받는 학생이 [eqn: {rm B]일 때
남은 흰 공 [eqn: 2]개와 빨간 공 [eqn: 5]개는 학생 [eqn: {rm B]를 제외한 두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]에게 나누어 준다.
두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]에게 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개씩을 각각 나누어 주고 남은 빨간 공 [eqn: 3]개를 나누어 줄 때,
한 명의 학생에게 빨간 공 [eqn: 3]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로
경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm H _{3} -2][eqn: = _{4} rmC _{3} -2][eqn: =2]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 2][eqn: =6]

(2) 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D] 중에서 한 명의 학생이 검은 공과 빨간 공을 받는 경우
검은 공과 빨간 공을 받는 학생을 정하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rmC _{1}][eqn: =3]
검은 공과 빨간 공을 받는 학생이 [eqn: {rm B]일 때
두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]에게 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 1]개씩을 각각 나누어 준다.
남은 흰 공 [eqn: 1]개, 빨간 공 [eqn: 2]개에 대하여 흰 공은 학생 [eqn: {rm B]를 제외한 두 명의 학생 [eqn: {rm C ,```` D]중에서 한 명을 택하여 나누어 주고, 빨간 공은 세 명의 학생 [eqn: {rm B ,```` C ,```` D]중에서 한 명을 택하여 나누어 준다.
이 때, 마지막에 흰 공을 받는 학생에게 빨간 공 [eqn: 2]개를 모두 나누어 주는 경우를 제외해야 하므로
경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( {}_{3} rmH _{2} -1 RIGHT )][eqn: =2 TIMES LEFT ( {}_{4} rmC _{2} -1 RIGHT )][eqn: = it 10]
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 10][eqn: =30]

(ⅳ) 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` w RIGHT )]가 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )]일 때
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여

구하는 경우의 수는 [eqn: 15+6+30][eqn: =51]

(가) 각 학생이 받는 공의 색의 종류의 수는 [eqn: 2]이다.

(나) 학생 [eqn: {rm A]는 흰 공과 검은 공을 받으며 흰 공보다 검은 공을 더 많이 받는다.

(다) 학생 [eqn: {rm A]가 받는 공의 개수는 홀수이며 학생 [eqn: {rm A]가 받는 공의 개수 이상의 공을 받는 학생은 없다.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 27

그림과 같이 같은 종류의 책 [eqn: rm 8]권과 이 책을 각 칸에 최대

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm 8]권의 책을 [eqn: rm 3]개의 칸에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: rm 3]개에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 8]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: it _{3} {rm{H}} it _{8}= it _{3+8-1} {rm{C}} it _{8}= it _{10} {rm{C}} it _{8}= it _{10} {rm{C}} it _{2}=45]

첫 번째 칸에 [eqn: rm 6]권 이상의 책을 꽂는 경우의 수는 먼저 첫 번째 칸에 [eqn: rm 6]권의 책을 꽂고 남은 [eqn: rm 2]권의 책을 [eqn: rm 3]개의 칸에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수와 같으므로 [eqn: it _{3} {rm{H}} it _{2}= it _{3+2-1} {rm{C}} it _{2}= it _{4} {rm{C}} it _{2}=6]

마찬가지로 두 번째 칸에 [eqn: rm 6]권 이상의 책을 꽂는 경우의 수도 [eqn: rm 6]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 45-6-6=33]

[eqn: rm 5]권, [eqn: rm 5]권, [eqn: rm 8]권을 꽂을 수 있는 [eqn: rm 3]개의 칸으로 이루어진 책장이

있다. 이 책 [eqn: rm 8]권을 책장에 남김없이 나누어 꽂는 경우의 수는? (단, 비어 있는 칸이 있을 수 있다.)

① [eqn: rm 31]	② [eqn: rm 32]	③ [eqn: rm 33]

④ [eqn: rm 34]	⑤ [eqn: rm 35]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 28

세 명의 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]에게 서로 다른 종류의 사탕 [eqn: rm 5]개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수는?

[정답] ④

[해설]

( i ) 학생 [eqn: {rm{B}} it]가 [eqn: rm 2]개의 사탕을 받는 경우

[eqn: {rm{B}} it]가 받는 사탕을 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{C}} it _{2}=10]

남은 [eqn: rm 3]개의 사탕을 두 명의 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]에게 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: rm 2]개에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하는 중복순열의 수와 같으므로

[eqn: { }_{2} smallprod _{3}=2^{3}=8]

이때 학생 [eqn: {rm{A}} it]가 사탕을 받지 못하는 경우를 제외

해야 하므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 10 times(8-1)=70]

(ii) 학생 [eqn: {rm{B}} it]가 [eqn: rm 1]개의 사탕을 받는 경우

[eqn: {rm{B}} it]가 받는 사탕을 정하는 경우의 수는 [eqn: it _{5} {rm{C}} it _{1}=5]

남은 [eqn: rm 4]개의 사탕을 두 명의 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: { }_{2} smallprod _{4}=2^{4}=16]

이때 학생 [eqn: {rm{A}} it]가 사탕을 받지 못하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 5 times(16-1)=75]

(iii) 학생 [eqn: {rm{B}} it]가 사탕을 받지 못하는 경우 [eqn: rm 5]개의 사탕을

두 명의 학생 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]에게 나누어 주는 경우의 수는 [eqn: { }_{2} smallprod _{5}=2^{5}=32]

이때 학생 [eqn: {rm{A}} it]가 사탕을 받지 못하는 경우를 제외해야 하므로 구하는 경우의 수는 [eqn: 32-1=31]

( i ), (ii), (iii)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 70+75+31=176]

(단, 사탕을 받지 못하는 학생이 있을 수 있다.)

(가) 학생 [eqn: {rm{A}} it]는 적어도 하나의 사탕을 받는다.

(나) 학생 [eqn: {rm{B}} it]가 받는 사탕의 개수는 [eqn: rm 2] 이하이다.

① [eqn: rm 167]	② [eqn: rm 170]	③ [eqn: rm 173]

④ [eqn: rm 176]	⑤ [eqn: rm 179]

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
05 중복조합5 (부정방정식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 12

방정식 [eqn: {x+y+z+w=11}{{from^2020^04^서울고3나^}}]을 만족시키는 자연수 [eqn: x ,```` y ,```` z ,```` w]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x ,```` y ,```` z ,```` w RIGHT )]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: x=x'+1], [eqn: y=y'+1], [eqn: z=z'+1], [eqn: w=w'+1]로 놓으면 방정식 [eqn: x+y+z+w=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: x ,```` y ,```` z ,```` w]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x ,```` y ,```` z ,```` w RIGHT )]의 개수는 방정식 [eqn: x'+y'+z'+w'=7]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.

방정식 [eqn: x'+y'+z'+w'=7]의 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 [eqn: 4]개의 문자 [eqn: x' ,```` y' ,```` z' ,```` w'] 중에서 [eqn: 7]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: {}_{4} rmH _{7}][eqn: = _{4+7-1} rmC _{7}][eqn: = _{10} rmC _{7}][eqn: =120]

① [eqn: 80]	② [eqn: 90]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 120]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 27

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: {a}{{from^2020^06^평가원고3나^}}], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 74 }]

[해설]

(ⅰ) (가)조건에서 방정식 [eqn: a+b+c+d=6]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d RIGHT )]의 개수는 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 6]개를 선택하는 중복조합이므로
[eqn: rm _{4}rm H _{6} = _{4+6-1} C _{6} = _{9} C _{6} = _{9} C _{3} = {9 TIMES 8 TIMES 7} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =84]

(ⅱ) (나)조건에서 여사건을 이용하면
[eqn: a GEQ1], [eqn: b GEQ 1], [eqn: c GEQ 1], [eqn: d GEQ 1]을 만족하는 경우이므로
[eqn: a=a'+1], [eqn: b=b prime +1], [eqn: c=c prime +1], [eqn: d=d prime +1]
[eqn: therefore][eqn: a'+b'+c'+d'=2]
즉, 방정식 [eqn: a'+b'+c'+d'=2]을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a'], [eqn: b'], [eqn: c'], [eqn: d']의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a``' ,```` b``' ,```` c``' ,```` d``' RIGHT )]의 개수는 [eqn: a'], [eqn: b'], [eqn: c'], [eqn: d']에서 중복을 허락하여 [eqn: 2]개를 선택하는 중복조합이므로
[eqn: rm _{4} rm H _{2} = _{4+2-1} C _{2} = _{5} C _{2} = {5 TIMES 4} over {2 TIMES 1} =10]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 84-10=74](개)

(가) [eqn: a+b+c+d=6]

(나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d]중에서 적어도 하나는 [eqn: 0]이다.

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: {a}{{^2020^08^경찰대^중}}], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d ,```` e RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold31]

[해설]

[eqn: 12=2 ^{2} times3]이고 [eqn: c+d+e GEQ 3]이므로

(가)조건에서 [eqn: ab LEFT ( c+d+e RIGHT ) =12]을 만족하는 경우는 다음 [eqn: 4]가지 경우이다.

(ⅰ) [eqn: c+d+e=3], [eqn: ab=4]이면 (나)조건에서 적어도 짝수가 [eqn: 2]개이어야 하므로
[eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c ,```` d ,```` e RIGHT ) = LEFT ( 2 ,```` 2 ,```` 1 ,```` 1 ,```` 1 RIGHT )]
즉, [eqn: 1](가지)

(ⅱ) [eqn: c+d+e=4], [eqn: ab=3]이면
이 경우는 짝수가 적어도 [eqn: 2]개인 경우가 없다.

(ⅲ) [eqn: c+d+e=6], [eqn: ab=2]이면
[eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT ) = LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT ) ,```` LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )] 즉 [eqn: 2](가지)이고
[eqn: LEFT ( c ,```` d ,```` e RIGHT )]에서 짝수가 적어도 [eqn: 1]가지는 나오므로
[eqn: {}_3 rmH _3 = _{5} rmC _{3} =10](가지)
따라서 만족하는 경우의 수는

[eqn: 2 times 10 =20](가지)

(ⅳ) [eqn: c+d+e=12], [eqn: ab=1]이면
[eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT ) = LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )] 즉, [eqn: 1](가지)
적어도 짝수가 [eqn: 2]개이려면 [eqn: c ,```` d ,```` e]는 모두 짝수인 경우에만 만족하므로
[eqn: {2c``'} + {2d``'} + {2e``'} =12], 즉 [eqn: c``'+d``'+e``' =6]
따라서 경우의 수는 [eqn: {}_3 rmH _3 = _{5} rmC _{3} =10](가지)

(ⅰ)∼(ⅳ)에서 구하는 경우의 수는 [eqn: 1+10+20=31](가지)

(가) [eqn: ab LEFT ( c+d+e RIGHT ) =12]

(나) [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]중에서 적어도 [eqn: 2]개는 짝수이다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 27

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: {a}{{from^2020^10^서울고3나^중}}], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 84 }]

[해설]

(가)를 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a ,```` b ,```` c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: {}_{3} rmH _{14}][eqn: = _{16} rmC _{2}][eqn: =120]

(나)에서 [eqn: a != 2], [eqn: b != 2], [eqn: c != 2]

(ⅰ) [eqn: a ,```` b ,```` c]중 [eqn: 1]개가 [eqn: 2]인 경우
[eqn: a=2]일 때, [eqn: b+c=12]를 만족시키는 [eqn: b]와 [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( b ,```` c RIGHT )]의 개수는 [eqn: {}_{2} rmH _{12} -2][eqn: =11]
[eqn: b=2], [eqn: c=2]인 경우의 수도 각각 [eqn: 11]이므로
[eqn: a ,```` b ,```` c]중 [eqn: 1]개가 [eqn: 2]인 경우의 수는 [eqn: 11 TIMES 3][eqn: =33]

(ⅱ) [eqn: a ,```` b ,```` c]중 [eqn: 2]개가 [eqn: 2]인 경우
순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]를 구하면 [eqn: LEFT ( 2 ,```` 2 ,```` 10 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` 10 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 10 ,```` 2 ,```` 2 RIGHT )]의 세 가지 경우가 있다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 120- LEFT ( 33+3 RIGHT )][eqn: =84]

(가) [eqn: a+b+c=14]

(나) [eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT ) LEFT ( c-2 RIGHT ) != 0]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: { a,````b,````c,````d,````e`}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]의 모든 순서쌍 [eqn: ( a,````b,````c,````d,````e)]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 50 }]

[해설]

(나)에서 [eqn: ab`]가 홀수인 경우는 다음과 같다.

(가)에서 [eqn: a+b+c+d+e=10]을 적용하면

(ⅰ) [eqn: (a,````b)=][eqn: (1,````1)]일 때, [eqn: c+d+e= 8]
그런데 [eqn: c,````d,````e]가 자연수이므로 [eqn: c``'= c+1 ,````d``' =d+1 ,````e``'= e+1]이라 하면
[eqn: c``'+d``'+e``'= 5]
[eqn: therefore][eqn: {}_3{RmH}_5 = {}_7{RmC}_5 = {}_7{RmC}_2 =21]

(ⅱ) [eqn: (a,````b)=][eqn: (1,````3)], [eqn: (3,````1)]일 때, [eqn: c+d+e=6]
(ⅰ)과 마찬가지로 [eqn: c``'+d``'+e``'= 3]

[eqn: therefore][eqn: 2 times _3{rmH}_3 = 2 times _5{rmC}_3 = 2 times _5{rmC}_2 =20]

(ⅲ) [eqn: (a,````b)=][eqn: ( 1,````5)], [eqn: ( 3,````3)], [eqn: (5,````1)]일 때, [eqn: c+d+e=4]
(ⅰ)과 마찬가지로 [eqn: c``'+d``'+e``'= 1]

[eqn: therefore][eqn: 3 times_3{RmH}_1 = 3 times_3{RmC}_1 =9]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 자연수 [eqn: a,````b,````c,````d,````e`]의 모든 순서쌍 [eqn: ( a,````b,````c,````d,````e)]의 개수는 [eqn: 21+20+ 9 = 50]

(가) [eqn: a+b+c+d+e=10]

(나) [eqn: ab`]는 홀수이다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 확률과 통계 29

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d `]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,`` b,`` c,`` d RIGHT ) `]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 332`]

[해설]

(가)에서 [eqn: rm `_4 H_12 = `_15 C_12 = `_15 C_ 3 = 455]

(나)에서

[eqn: a= 2]이면 [eqn: b+c+d = 10] -- [eqn: rm `_3 H_10 = `_12 C_2 = 66]

[eqn: a+b+c = 10]이면 --- [eqn: rm `_3 H_10 = `_12 C_2 = 66]

[eqn: a = 2], [eqn: a+b+c = 10]이면

[eqn: a =2], [eqn: d= 2], [eqn: b+c = 8] -- 9가지

[eqn: THEREFORE][eqn: 455 - ( 66 + 66 - 9) = 332]

(가) [eqn: a+b+c+d = 12 `]

(나) [eqn: a ne 2 `]이고 [eqn: a+b+c ne 10 `]이다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 30

다음 조건을 만족시키는 [eqn: 14] 이하의 네 자연수 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~x _{4}]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3} ,~x _{4} RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 206]

[해설]

[eqn: 6] 이하의 음이 아닌 네 정수 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]에 대하여

[eqn: x _{1} =2y _{1} +1], [eqn: x _{2} =2y _{2} +2],

[eqn: x _{3} =2y _{3} +1], [eqn: x _{4} =2y _{4} +2]라 하면

[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4} =34]에서

[eqn: (2y _{1} +1)+(2y _{2} +2)+(2y _{3} +1)+(2y _{4} +2)=34]

[eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =14]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

구하는 모든 순서쌍 [eqn: (x _{1} ,~ x _{2} ,~ x _{3} ,~ x _{4} )]의 개수는

방정식 [eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =14]를 만족시키는

음이 아닌 네 정수 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]의 모든

순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]에서

[eqn: y _{k} GEQ 7]인 [eqn: 4]이하의 자연수 [eqn: k]가 존재하는

순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]를 제외한 개수와 같다.

(ⅰ) 방정식 [eqn: y _{1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =14]를 만족시키는
음이 아닌 네 정수 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]의
모든 순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의 개수는
서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여
[eqn: 14]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm { {} _{4} H _{14} = _{17} C _{14} = _{17} C _{3} = {17 TIMES 16 TIMES 15} over {3 TIMES 2 TIMES 1} =680`` }]

(ⅱ) [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: k``]의 값이 [eqn: 1`]개인 경우
[eqn: y _{1} GEQ 7``]이라 하자.
[eqn: z _{1} =y _{1} -7``]이라 하면 방정식 ㉠은
[eqn: z _{`1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =7```]
방정식 [eqn: z _{`1} +y _{2} +y _{3} +y _{4} =7```]을 만족시키는
음이 아닌 네 정수 [eqn: z _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4}]의 모든
순서쌍 [eqn: (z _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의 개수는
서로 다른 [eqn: 4`]개에서 중복을 허락하여
[eqn: 7`]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: rm { {} _{4} H _{7} = _{10} C _{3} =120`` }]
이때 [eqn: y _{1} GEQ 7``]인 [eqn: 2`]이상 [eqn: 4`]이하의 자연수 [eqn: l``]이
존재하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( z _{1} ,~y _{1} ,~y _{3} ,~y _{4} RIGHT )]는 [eqn: (0,~ 7,~ 0,~ 0),~][eqn: (0,~ 0,~ 7,~ 0) ,~][eqn: (0,~ 0,~ 0,~ 7)]의 [eqn: 3`]가지이므로 [eqn: 120-3=117``]
같은 방법으로 [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: 2`]이상 [eqn: 4`] 이하의
자연수 [eqn: k``]가 존재하는 순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의
개수도 각각 [eqn: 117`]이다.
따라서 [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: k``]의 값이 [eqn: 1`]개인
순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]의 개수는
[eqn: 4 TIMES 117=468``]

(ⅲ) [eqn: y _{k} GEQ 7``]인 [eqn: k``]의 값이 [eqn: 2`]개인 경우
순서쌍 [eqn: (y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3} ,~ y _{4} )]는
[eqn: (7,~7,~0,~0),~(7,~0,~7,~0),~(7,~0,~0,~7),]
[eqn: (0,~7,~7,~0),~(0,~7,~0,~7),~(0,~0,~7,~7)]
의 [eqn: 6`]가지이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해

구하는 모든 순서쌍 [eqn: (x _{1} ,~ x _{2} ,~ x _{3} ,~ x _{4} )]의 개수는

[eqn: 680-(468+6)=206]

(가) [eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} +x _{4}][eqn: =34]

(나) [eqn: x _{1}]과 [eqn: x _{3}]은 홀수이고 [eqn: x _{2}]와 [eqn: x _{4}]는 짝수이다.

05 확통	02 중복조합
01 중복조합
06 중복조합6 (함수의 개수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 28

집합 [eqn: {X= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X] 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold{327}]

[해설]

(ⅰ) [eqn: f(3)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우

① [eqn: f(3)=3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_2 = _4{rmC}_2 = 6]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)], [eqn: f(6)]을 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _4{rmH}_3 = _6{rmC}_3 = 20]
그러므로 [eqn: 6 times 20 = 120]

② [eqn: f(3) = 6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _6{rmH}_2 = _7{rmC}_2 = 21]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)], [eqn: f(6)]을 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _1{rmH}_3 = _3{rmC}_3 = 1]
그러므로 [eqn: 21 times 1 = 21]

①, ②에 의하여 [eqn: f(3)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는
[eqn: 120+21 =141]

(ⅱ) [eqn: f(6)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우

① [eqn: f(6)= 3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_5 = _7{rmC}_5 = 21]

② [eqn: f(6) = 6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _6{rmH}_5 = _10{rmC}_5 = 252]

①, ②에 의하여 [eqn: f(6)]이 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는
[eqn: 21+252 = 273]

(ⅲ) [eqn: f(3)], [eqn: f(6)]이 모두 [eqn: 3]의 배수인 경우

① [eqn: f(3) = f(6) =3]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_2 = _4{rmC}_2 = 6]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _1{rmH}_2 = _2{rmC}_2 = 1]
그러므로 [eqn: 6times 1 = 6]

② [eqn: f(3) = 3], [eqn: f(6) = 6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _3{rmH}_2 = _4{rmC}_2 = 6]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _4{rmH}_2 = _5{rmC}_2 = 10]
그러므로 [eqn: 6times 10 = 60]

③ [eqn: f(3) = f(6) =6]인 경우
[eqn: f(1)], [eqn: f(2)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _6{rmH}_2 = _7{rmC}_2 = 21]
[eqn: f(4)], [eqn: f(5)]를 선택하는 경우의 수는
[eqn: ` _1{rmH}_2 = _2{rmC}_2 = 1]
그러므로 [eqn: 21times 1 = 21]

①, ②, ③에 의하여 [eqn: f(3)], [eqn: f(6)]이 모두 [eqn: 3]의 배수인 경우의 수는 [eqn: 6+60+21=87]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 141+273 -87 =327]

(가) [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) TIMES f LEFT ( 6 RIGHT )]은 [eqn: 3]의 배수이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}]에 대하여 [eqn: x _{1} <x _{2}]이면 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) LEQ f LEFT ( x _{2} RIGHT )]이다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 13

집합 [eqn: {X= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT }}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: X= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT }]에서 [eqn: X= LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 RIGHT }]로의 대응에서 [eqn: f(2) le f(3) le f(4)]을 만족해야 한다.

(ⅰ) [eqn: f(1)]의 값이 될 수 있는 수는 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4]
즉 [eqn: 4](가지)

(ⅱ) [eqn: f(2) ,```` f(3) ,```` f(4)]의 값이 될 수 있는 수는 집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4]의 [eqn: 4]개 중에서 중복을 허락하여 [eqn: 3]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: ` _4 rmH_3 = _4+3-1 C _3 = _6 C_3 = { 6cdot5cdot4} over {3 cdot2 cdot1 } =20](가지)

(ⅰ), (ⅱ)에서 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` X]의 개수는

[eqn: 4 times 20 = 80]

[eqn: f(2) le f(3) le f(4)]

① [eqn: 64]	② [eqn: 68]	③ [eqn: 72]

④ [eqn: 76]	⑤ [eqn: 80]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 28

두 집합

[정답] ②

[해설]

구하고자 하는 함수의 개수를 치역에 따라 분류하면

(ⅰ) 치역이 [eqn: LEFT { 1 RIGHT }]인 경우
조건을 성립하며 경우의 수는 [eqn: 1]가지이다.

(ⅱ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2 RIGHT }]인 경우

(가)조건에 의해 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이고

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]일 때
[eqn: x=2]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1] 이고
[eqn: x`GE3]인 경우도
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =1] 이므로 주어진 조건을 만족한다.
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =6] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it _{6-1}][eqn: = _{6} {rmC} _{5}][eqn: =6]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]일 때
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =2]이므로 모순

(ⅲ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````3 RIGHT }]인 경우

(1) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) =1]이므로 성립
[eqn: 4]이상의 정의역이 [eqn: 1,````3]에 대응하는 개수를 각각 [eqn: x _{1} ,````x _{2}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} =5] ([eqn: x _{1} `GE0], [eqn: x _{2} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{2} rm H it rm _{5-1}][eqn: = _{5} {rmC} _{4}][eqn: =5]가지이다.

(2) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]인 경우
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT )][eqn: =3]이므로 모순

(3) [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]인 경우
(가)에 의해 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) `GEf LEFT ( 2 RIGHT ) =3] 즉, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) RIGHT ) =3]이므로  모순

(ⅳ) 치역이 [eqn: LEFT { 1,````2,````3 RIGHT }]인 경우
[eqn: 3]이상의 정의역이 [eqn: 1,````2,````3]에 각각 대응하는 개수를 [eqn: x _{1} ,````x _{2} ,````x _{3}]라 하면
[eqn: x _{1} +x _{2} +x _{3} =6] ([eqn: x _{1} ` GEQ 0], [eqn: x _{2} `GE1], [eqn: x _{3} `GE1]인 정수)
이므로 [eqn: {} _{3} rm H it rm _{6-2}][eqn: = _{6} {rmC} _{4}][eqn: =15]가지이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` Y]의 개수는 [eqn: 1+6+5+15][eqn: =27]가지

[eqn: {X= left{` 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 ,```` 6 ,```` 7 ,```` 8 `right} }{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: Y= left{` 1 ,```` 2 ,```` 3 `right}]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f ``:`` X ``->`` Y]의 개수는?

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: x_1 <x_2]이면 [eqn: f(x_1 ) le f(x_2 )]이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (f circ f circf)(x) =1]이다.

① [eqn: 24]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 30]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 36]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 29

두 집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}], [eqn: Y= left{ -1,``0,``1,``2,``3 it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` Y]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 65]

[해설]

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 5]개를 선택하는 중복조합의 수와 같다.

이때 조건 (나)를 만족시키기 위해서는 [eqn: -1]과 [eqn: rm 1]을 적어도 [eqn: rm 1]개씩 선택하거나, [eqn: rm 0]을 적어도 [eqn: rm 2]개 선택해야 한다.

(ⅰ) [eqn: -1]과 [eqn: rm 1]을 적어도 [eqn: rm 1]개씩 선택하는 경우
[eqn: -1]과 [eqn: rm 1]을 [eqn: rm 1]개씩 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: rm 5]개에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하는 중복조합의 수와 같으므로
[eqn: it _{5} {rm{H}} it _{3}= it _{5+3-1} {rm{C}} it _{3}= it _{7} {rm{C}} it _{3}=35]

(ⅱ) [eqn: rm 0]을 적어도 [eqn: rm 2]개 선택하는 경우
[eqn: rm 0]을 [eqn: rm 2]개 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 3]개를 선택하는 경우의 수는
[eqn: it _{5} {rm{H}} it _{3}= it _{5+3-1} {rm{C}} it _{3}= it _{7} {rm{C}} it _{3}=35]

(ⅲ) 위의 (ⅰ), (ⅱ)를 동시에 만족시키는 경우
[eqn: -1]을 [eqn: rm 1]개, [eqn: rm 0]을 [eqn: rm 2]개, [eqn: rm 1]을 [eqn: rm 1]개 선택한 후 [eqn: Y]의 원소 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 1]개를 선택하는 경우의 수는
[eqn: it _{5} {rm{H}} it _{1}= it _{5+1-1} {rm{C}} it _{1}= it _{5} {rm{C}} it _{1}=5]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 35+35-5=65]

(가) [eqn: f(1) leq f(2) leq f(3) leq f(4) leq f(5)]

(나) [eqn: f(a)+f(b)=0]을 만족시키는 집합 [eqn: X]의 서로 다른
두 원소 [eqn: a], [eqn: b]가 존재한다.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 확률과 통계 28

두 집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5,``6 it right}], [eqn: Y= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: X]에서 [eqn: Y]로의 함수 [eqn: f]의 개수는?

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: sqrt{f(1) times f(2) times f(3)}]의 값이 자연수인 경우는 세 수 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)] 중 하나의 수가 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 4]이고 나머지 두 수가 서로 같은 경우이다.

조건 (나)에 의하여

(i) [eqn: f(3)=1]인 경우
순서쌍 [eqn: (f(1),`` f(2),`` f(3))]은 [eqn: (1,``1,``1)]
순서쌍 [eqn: (f(4),`` f(5),`` f(6))]의 개수는 [eqn: it _{5} {rm{H}} it _{3}]
그러므로 [eqn: 1 times it _{5} {rm{H}} it _{3}= it _{7} {rm{C}} it _{3}=35]

(ii) [eqn: f(3)=2]인 경우
순서쌍 [eqn: (f(1),`` f(2),`` f(3))]은 [eqn: (1,``2,``2)]
순서쌍 [eqn: (f(4),`` f(5),`` f(6))]의 개수는 [eqn: it _{4} {rm{H}} it _{3}]
그러므로 [eqn: 1 times it _{4} {rm{H}} it _{3}= it _{6} {rm{C}} it _{3}=20]

(iii) [eqn: f(3)=3]인 경우
순서쌍 [eqn: (f(1),`` f(2),`` f(3))]은 [eqn: (1,``3,``3)]
순서쌍 [eqn: (f(4),`` f(5),`` f(6))]의 개수는 [eqn: it _{3} {rm{H}} it _{3}]
그러므로 [eqn: 1 times it _{3} {rm{H}} it _{3}= it _{5} {rm{C}} it _{3}=10]

(iv) [eqn: f(3)=4]인 경우
순서쌍 [eqn: (f(1),`` f(2),`` f(3))]은 [eqn: (1,``1,``4)], [eqn: (1,``4,``4)], [eqn: (2,``2,``4)], [eqn: (3,``3,``4)], [eqn: (4,``4,``4)]
순서쌍 [eqn: (f(4),`` f(5),`` f(6))]의 개수는 [eqn: it _{2} {rm{H}} it _{3}]
그러므로 [eqn: 5 times it _{2} {rm{H}} it _{3}=5 times it _{4} {rm{C}} it _{3}=20]

(v) [eqn: f(3)=5]인 경우
순서쌍 [eqn: (f(1),`` f(2),`` f(3))]은 [eqn: (1,``5,``5)], [eqn: (4,``5,``5)]
순서쌍 [eqn: (f(4),`` f(5),`` f(6))]의 개수는 [eqn: it _{1} {rm{H}} it _{3}]
그러므로 [eqn: 2 times it _{1} {rm{H}} it _{3}=2 times it _{3} {rm{C}} it _{3}=2]

따라서 ( i ) (v)에 의하여 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 35+20+10+20+2=87]

(가) [eqn: sqrt{f(1) times f(2) times f(3)}]의 값은 자연수이다.

(나) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]에 대하여 [eqn: x_{1}<x_{2}]이면 [eqn: f left(x_{1} right) leq f left(x_{2} right)]이다.

① [eqn: rm 84]	② [eqn: rm 87]	③ [eqn: rm 90]

④ [eqn: rm 93]	⑤ [eqn: rm 96]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 확률과 통계 29

두 집합

[정답] [eqn: 105]

[해설]

조건 (가)를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: it _{6} {rm{H}} it _{4}= it _{9} {rm{C}} it _{4}={9 times 8 times 7 times 6} over {4 times 3 times 2 times 1}=126]

(ⅰ) 조건 (나)를 만족시키지 않는 경우
[eqn: f(1) geq 4]인 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: it _{3} {rm{H}} it _{4}= it _{6} {rm{C}} it _{4}=15]

(ⅱ) 조건 (다)를 만족시키지 않는 경우
[eqn: f(3)-f(1)>4]에서
[eqn: f(1)=1], [eqn: f(3)=6]이어야 하므로
[eqn: f(4)=6], [eqn: 1 leq f(2) leq 6]
이때 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: rm 6]

(ⅰ), (ⅱ)를 동시에 만족하는 경우는 없다.

따라서 구하는 함수의 개수는 [eqn: 126-(15+6)=105]

[eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4 it right}], [eqn: Y= left{ 1,``2,``3,``4,``5,``6 it right}]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` Y]의 개수를 구하시오.

(가) 집합 [eqn: X]의 임의의 두 원소 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]에 대하여 [eqn: x_{1}<x_{2}]이면 [eqn: f left(x_{1} right) leq f left(x_{2} right)]이다.

(나) [eqn: f(1) leq 3]

(다) [eqn: f(3) leq f(1)+4]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 확률과 통계 28

두 집합 [eqn: X = left{ 1,``2,``3,``4 right}], [eqn: Y = left{ 0,``1,``2,``3,``4,``5,``6 right}]에 대하여 [eqn: X `]에서 [eqn: Y `]로의 함수 [eqn: f `] 중에서

[정답] ④

[해설]

[eqn: f( 1) + f( 2) + f( 3) + f( 4) = 8`]을 만족시키는 경우의 수는 [eqn: f left(n right)``left(1le n le4right)]에서 중복을 허락하여 [eqn: 8]번 뽑는 경우의 수에서 [eqn: f left(n right)]의 값이 [eqn: 7] 또는 [eqn: 8]이 되는 경우의 수를 제외한 수와 같다.

[eqn: therefore][eqn: `_4 rmH_8 -left(_4 C_1 times_3 C_1 +_4 C_1 right)][eqn: rm=_11 C_8 -16]
[eqn: =_11 rmC_3 -16]
[eqn: ={11times10times9}over{3times2times1}-16]
[eqn: =165-16=149]

[eqn: f( 1) + f( 2) + f( 3) + f( 4) = 8`]

을 만족시키는 함수 [eqn: f `]의 개수는?

① [eqn: 137`]	② [eqn: 141]	③ [eqn: 145]

④ [eqn: 149]	⑤ [eqn: 153]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 확률과 통계 30

집합 [eqn: X`= LEFT { x `LEFT | it RIGHT .` x RIGHT .]는 [eqn: rm 10] 이하의 자연수[eqn: it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f`:`X` ``->`` X`]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 100]

[해설]

조건 (나)에서    [eqn: f(1)=1], [eqn: f(10)=10]

(ⅰ) [eqn: f(5)=1], [eqn: f(6)=7]인 경우
[eqn: f left(2right)=f left(3right)=f left(4right)=1`]이므로    [eqn: 1`]가지
[eqn: f(7)], [eqn: f(8)], [eqn: f(9)]를 정하는 경우의 수는 다음과 같다.

(1) [eqn: f(9)=9`]일 때
[eqn: f(7)], [eqn: f(8)]이 될 수 있는 값은 [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]이므로
[eqn: `_3 rmH_2 -1=5`] ([eqn: f left(8right)=7`]인 경우 제외)

(2) [eqn: f left(9right)=10`]일 때
[eqn: f(7)], [eqn: f(8)]이 될 수 있는 값은 [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10`]이므로
[eqn: ` _{4} rm H _{2} -1=9`] ([eqn: f left(8right)=7`]인 경우 제외)

따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 1times left(5+9right)=14]

(ⅱ) [eqn: f left(5right)=2], [eqn: f left(6right)=8`]인 경우
[eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)], [eqn: f left(4right)`]가 될 수 있는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2`]이므로
[eqn: `_2 rmH_3 =4]
[eqn: f(7)], [eqn: f(8)], [eqn: f(9)]가 될 수 있는 값은 [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10`]이므로
[eqn: `_3 rmH_3 -1=9] ([eqn: f left(9right)=8`]인 경우 제외)
따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 4times 9=36]

(ⅲ) [eqn: f left(5right)=3], [eqn: f left(6right)=9]인 경우
[eqn: f(7)], [eqn: f(8)], [eqn: f(9)]가 될 수 있는 값은 [eqn: 9], [eqn: 10`]이므로
[eqn: `_2 rmH_3 =4]
[eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)], [eqn: f left(4right)`]가 될 수 있는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]이므로
[eqn: `_3 rmH_3 -1=9] ([eqn: f left(2right)=3`]인 경우 제외)
따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 4times 9=36]

(ⅳ) [eqn: f left(5right)=4], [eqn: f left(6right)=10`]인 경우
[eqn: f left(7right)=f left(8right)=f left(9right)=10`]이므로    [eqn: 1`]가지
[eqn: f left(2right)], [eqn: f left(3right)], [eqn: f left(4right)`]를 정하는 경우의 수는 다음과 같다.

(1) [eqn: f left(2right)=1`]일 때
[eqn: f left(3right)], [eqn: f left(4right)`]가 될 수 있는 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이므로
[eqn: `_4 rmH_2 -1=9] ([eqn: f left(3right)=4`]인 경우 제외)

(2) [eqn: f left(2right)=2`]일 때
[eqn: f left(3right)], [eqn: f left(4right)`]가 될 수 있는 값은 [eqn: 2], [eqn: 3`], [eqn: 4`]이므로
[eqn: `_3 rmH_2 -1=5] ([eqn: f left(3right)=4`]인 경우 제외)

따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 1timesleft(9+5right)=14]

이상에서 함수 [eqn: f`]의 개수는

[eqn: 14+36+36+14=100]

[다른 풀이]

조건 [eqn: (]나)에서    [eqn: f(1)=1], [eqn: f(10)=10]

(ⅰ) [eqn: f(5)=1], [eqn: f(6)=7]인 경우
[eqn: f(5)=1]일 때 조건 [eqn: (]가)와 조건 [eqn: (]나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(2),`` f(3),`` f(4))]는
[eqn: (1,``1,``1)]
의 [eqn: rm 1]개가 존재한다.
[eqn: f(6)=7]일 때 조건 [eqn: (]가)와 조건 [eqn: (]나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(7),`` f(8),`` f(9))]는
[eqn: (7,``8,``9)], [eqn: (7,``8,``10)], [eqn: (7,``9,``9)], [eqn: (7,``9,``10)], [eqn: (7,``10,``10)],
[eqn: (8,``8,``9)], [eqn: (8,``8,``10)], [eqn: (8,``9,``9)], [eqn: (8,``9,``10)], [eqn: (8,``10,``10)],
[eqn: (9,``9,``9)], [eqn: (9,``9,``10)], [eqn: (9,``10,``10)], [eqn: (10,``10,``10)]
의 [eqn: rm 14]개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 1 times 14=14]

(ⅱ) [eqn: f(5)=2], [eqn: f(6)=8]인 경우
[eqn: f(5)=2]일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(2),`` f(3),`` f(4))]는
[eqn: (1,``1,``1)], [eqn: (1,``1,``2)], [eqn: (1,``2,``2)], [eqn: (2,``2,``2)]
의 [eqn: 4 left(= it _{2} {rm{H}} it _{3}= it _{4} {rm{C}} it _{3} right)]개가 존재한다.
[eqn: f(6)=8]일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(7),`` f(8),`` f(9))]는
[eqn: (8,``8,``9)], [eqn: (8,``8,``10)], [eqn: (8,``9,``9)], [eqn: (8,``9,``10)], [eqn: (8,``10,``10)],
[eqn: (9,``9,``9)], [eqn: (9,``9,``10)], [eqn: (9,``10,``10)], [eqn: (10,``10,``10)]
의 [eqn: rm 9]개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 4 times 9=36]

(ⅲ) [eqn: f(5)=3], [eqn: f(6)=9]인 경우
[eqn: f(5)=3]일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(2),`` f(3),`` f(4))]는
[eqn: (1,``1,``1)], [eqn: (1,``1,``2)], [eqn: (1,``1,``3)], [eqn: (1,``2,``2)], [eqn: (1,``2,``3)],
[eqn: (1,``3,``3)], [eqn: (2,``2,``2)], [eqn: (2,``2,``3)], [eqn: (2,``3,``3)]
의 [eqn: rm 9]개가 존재한다.
[eqn: f(6)=9]일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(7),`` f(8),`` f(9))]는
[eqn: (9,``9,``9)], [eqn: (9,``9,``10)], [eqn: (9,``10,``10)], [eqn: (10,``10,``10)]
의 [eqn: 4 ~ left(= it _{2} {rm{H}} it _{3}= it _{4} {rm{C}} it _{3} right)]개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 9 times 4=36]

(ⅳ) [eqn: f(5)=4], [eqn: f(6)=10]인 경우
[eqn: f(5)=4]일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(2),`` f(3),`` f(4))]는
[eqn: (1,``1,``1)], [eqn: (1,``1,``2)], [eqn: (1,``1,``3)], [eqn: (1,``1,``4)], [eqn: (1,``2,``2)],
[eqn: (1,``2,``3)], [eqn: (1,``2,``4)], [eqn: (1,``3,``3)], [eqn: (1,``3,``4)], [eqn: (2,``2,``2)],
[eqn: (2,``2,``3)], [eqn: (2,``2,``4)], [eqn: (2,``3,``3)], [eqn: (2,``3,``4)]
의 [eqn: rm 14]개가 존재한다.
[eqn: f(6)=10]일 때 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (f(7),`` f(8),`` f(9))]는
[eqn: (10,``10,``10)]
의 [eqn: rm 1]개가 존재한다.
따라서 이 경우의 함수 [eqn: f]의 개수는
[eqn: 14 times 1=14]

이상에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는

[eqn: 14+36+36+14=100]

(가) [eqn: rm 9] 이하의 모든 자연수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) LEQ f LEFT (x+1 RIGHT )]이다.

(나) [eqn: 1 LEQ x LEQ 5]일 때 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) LEQ x]이고,
[eqn: 6 LEQ x LEQ 10]일 때 [eqn: f LEFT (x RIGHT ) GEQ x]이다.

(다) [eqn: f LEFT (6 RIGHT )=f LEFT (5 RIGHT )+6]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 확률과 통계 29

집합 [eqn: X= left{ 1,``2,``3,``4,``5 it right}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: f: X ``rarrow`` X]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 115]

[해설]

[eqn: f(1)=1]이면 조건 (가)에서 [eqn: f(1)=4]이므로 모순이다.

(i) [eqn: f(1)=2]인 경우

조건 (가)에서 [eqn: f(2)=4]

[eqn: f(3)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: it _{4} {rm{H}} it _{2}= it _{5} {rm{C}} it _{2}=10]

[eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 5]

이 경우 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 10 times 5=50]

(ii) [eqn: f(1)=3]인 경우

조건 (가)에서 [eqn: f(3)=4]

[eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 2]

[eqn: f(2)], [eqn: f(4)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: 5 times 5=25]

이 경우 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 2 times 25=50]

(iii) [eqn: f(1)=4]인 경우

조건 (가)에서 [eqn: f(4)=4]

[eqn: f(3)], [eqn: f(5)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 4],[eqn: rm 5] 중에서 중복을 허락하여 [eqn: rm 2]개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

[eqn: it _{2} {rm{H}} it _{2}= it _{3} {rm{C}} it _{2}=3]

[eqn: f(2)]의 값을 정하는 경우의 수는 [eqn: rm 5]

이 경우 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 3 times 5=15]

(iv) [eqn: f(1)=5]인 경우

조건 (가)에서 [eqn: f(5)=4]

이 경우는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

( i )～(iv)에서 구하는 함수 [eqn: f]의 개수는 [eqn: 50+50+15=115]

(가) [eqn: f(f(1))=4]

(나) [eqn: f(1) leq f(3) leq f(5)]

05 확통	02 중복조합
02 중복조합의 활용 (식 활용)
03 중복조합식 활용3 (부등식)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 확률과 통계 29

[eqn: 5] 이하의 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: 55]

[해설]

[eqn: c`]가 [eqn: 5] 이하의 자연수이므로 [eqn: 1 LEQ b LEQ 4`]이다.

(ⅰ) [eqn: b=1`]인 경우
[eqn: a le 2 le c le d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{4} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{2}{rmC}_{1} times_{4}{rmH}_{2}][eqn: =_2 {rmC}_1 times _{5}{rmC}_{2}][eqn: = 2 times 10][eqn: =20]

(ⅱ) [eqn: b=2`]인 경우
[eqn: a LEQ 3 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{3} rm C it _{1} TIMES _{3} rm H it _{2}][eqn: = _{3} rm C it _{1} TIMES _{4} rm C it _{2}][eqn: =3 TIMES 6][eqn: =18]

(ⅲ) [eqn: b=3`]인 경우
[eqn: a LEQ 4 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: {}_{2} rm H it rm _{2} `]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는
[eqn: {}_{4} rm C it _{1} TIMES _{2} rm H it _{2}][eqn: = _{4} rm C it _{1} TIMES _{3} rm C it _{2}][eqn: =4 TIMES 3][eqn: =12]

(ⅳ) [eqn: b=4`]인 경우
[eqn: a LEQ 5 LEQ c LEQ d`]에서 [eqn: a`]를 택하는 경우의 수는
[eqn: {}_{5} rm C _{1} `]이고, [eqn: c], [eqn: d`]를 택하는 경우의 수는 [eqn: 1`]이다.
그러므로 구하는 경우의 수는 [eqn: {}_{5} rm C it _{1} times1=5]

(ⅰ) ~ (ⅳ)에 의하여 구하는 경우의 수는

[eqn: 20+18+12+5=55]

[eqn: a le b+1 le c le d`]

를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``d)`]의 개수를 구하시오.

05 확통	02 중복조합
02 중복조합의 활용 (식 활용)
06 중복조합식 활용6 (연립)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 25

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: a,~b,~c,~d,~e]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d,~e RIGHT )]의 개수는?

[정답] ①

[해설]

조건 (나)에서

[eqn: a ^{2} -b ^{2} =it-5] 또는 [eqn: a ^{2} -b ^{2} =5]

즉,

[eqn: LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( b+a RIGHT ) =5] 또는 [eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) LEFT ( a+b RIGHT ) =5]

이고 [eqn: a,~b]는 자연수이므로

[eqn: b-a=1,~b+a=5]

또는

[eqn: a-b=1,~a+b=5]

따라서, [eqn: a=2,~b=3] 또는 [eqn: a=3,~b=2]이다.

또한, 조건 (가)에서

[eqn: a+b+c+d+e=12]

이므로 [eqn: c+d+e=7]이고 [eqn: c,~d,~e]는 자연수이므로

[eqn: c=c`'+1,~d=d`'+1,~e=e`'+1] ([eqn: c`',~d`',~e`']은 음이 아닌 정수)

로 놓으면

[eqn: LEFT ( c`'+1 RIGHT ) + LEFT ( d`'+1 RIGHT ) + LEFT ( e`'+1 RIGHT ) =7]

[eqn: c`'+d`'+e`'=4]

이를 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( c`',~d`',~e`' RIGHT )]의 개수는

[eqn: {}_{3} rm H _{it 4 rm}][eqn: = _{3+4-1} rm C _{4}][eqn: = _{6} rmC _{4}][eqn: = _{6} rmC _{2}][eqn: = {6 TIMES5} over {2 TIMES1} =15]

따라서, 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d,~e RIGHT )]의 개수는

[eqn: 2times15=30]

(가) [eqn: a+b+c+d+e=12]

(나) [eqn: LEFT | `a ^{2} -b ^{2} ` RIGHT | =5]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 확률과 통계 28

다음 조건을 만족시키는 음이 아닌 정수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d], [eqn: e]의 모든 순서쌍 [eqn: (a,`` b,`` c,`` d,`` e)]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

조건 (가)의 [eqn: a+b+c+d+e=10]과

조건 (나)의 [eqn: -2 leq a-b+c-d+e leq 2]에서

[eqn: 8 leq 2 a+2 c+2 e leq 12],

[eqn: 4 leq a+c+e leq 6]

(i) [eqn: a+c+e=4]일 때
[eqn: b+d=6]이고, 구하는 모든 순서쌍
([eqn: a,`` b,`` c,`` d,`` e)]의 개수는
두 방정식 [eqn: a+c+e=4], [eqn: b+d=6]을 만족시키는
음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로
[eqn: it _{3} {rm{H}} it _{4} times it _{2} {rm{H}} it _{6}= it _{6} {rm{C}} it _{4} times it _{7} {rm{C}} it _{6}=15 times 7=105]

(ii) [eqn: a+c+e=5]일 때
[eqn: b+d=5]이고, 구하는 모든 순서쌍
( [eqn: a,`` b,`` c,`` d,`` e)]의 개수는
두 방정식 [eqn: a+c+e=5], [eqn: b+d=5]를 만족시키는
음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로
[eqn: it _{3} {rm{H}} it _{5} times it _{2} {rm{H}} it _{5}= it _{7} {rm{C}} it _{5} times it _{6} {rm{C}} it _{5}=21 times 6=126]

(iii) [eqn: a+c+e=6]일 때
[eqn: b+d=4]이고, 구하는 모든 순서쌍
[eqn: (a,`` b,`` c,`` d,`` e)]의 개수는
두 방정식 [eqn: a+c+e=6], [eqn: b+d=4]를 만족시키는
음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로
[eqn: it _{3} {rm{H}} it _{6} times it _{2} {rm{H}} it _{4}= it _{8} {rm{C}} it _{6} times it _{5} {rm{C}} it _{4}=28 times 5=140]

따라서 (i), (ii), (iii)에 의하여 구하는 순서쌍의

개수는 [eqn: 105+126+140=371]

(가) [eqn: a+b+c+d+e=10]

(나) [eqn: |a-b+c-d+e| leq 2]

① [eqn: rm 359]	② [eqn: rm 363]	③ [eqn: rm 367]

④ [eqn: rm 371]	⑤ [eqn: rm 375]

[확통] [01순열과조합] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
확통 3개년	2022.12.29

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 150]

[정답] [eqn: 97]

[정답] ②

[정답] [eqn: 115]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: 260]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 96 }]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 36 }]

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 288]

[정답] [eqn: 48]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 840 }]

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답]  ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 199]

[정답] ④

[정답] [eqn: 708]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 720]

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] [eqn: bold21]

[정답] [eqn: bold { 43 }]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 114 }]

[정답] [eqn: bold { 396 }]

[정답] [eqn: bold { 37 }]

[정답] [eqn: bold { 201 }]

[정답] [eqn: bold72]

[정답] [eqn: bold { 168 }]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 218]

[정답] [eqn: bold { 51 }]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 74 }]

[정답] [eqn: bold31]

[정답] [eqn: bold { 84 }]

[정답] [eqn: bold { 50 }]

[정답] [eqn: 332`]

[정답] [eqn: 206]

[정답] [eqn: bold{327}]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: 65]

[정답] ②

[정답] [eqn: 105]

[정답] ④

[정답] [eqn: 100]

[정답] [eqn: 115]

[정답] [eqn: 55]

[정답] ①

[정답] ④

[확통] [01순열과조합] 교사평경 최근 3개년(해설)
확통 3개년	2022.12.29