		기벡 3개년	2022.12.29
교사평경3	03	[기하] [03공도좌] 교사평경 최근 3개년

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
01 삼수선의 정리1 (기본, 길이)

교사평경3		기벡 3개년
03		[기하] [03공도좌] 교사평경 최근 3개년

	기벡 3개년		교사평경3
	[기하] [03공도좌] 교사평경 최근 3개년		03

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 24

그림과 같이 평면 [eqn: alpha `] 위에 [eqn: ANGLE rm BAC= {pi } over {2} `]이고 [eqn: rm bar{AB} =1], [eqn: rmbar{AC} = sqrt {3}]인 직각삼각형 [eqn: rm ABC`]가 있다. 점 [eqn: rm A`]를 지나고 평면 [eqn: alpha `]에 수직인 직선 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: rm bar{PA} =2`]일 때, 점 [eqn: rm P`]와 직선 [eqn: rm BC`] 사이의 거리는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmA]에서 선분 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 삼수선의 정리에 의해 [eqn: rmbarPH bot barBC]이다.

삼각형 [eqn: rmABC]가 직각삼각형이므로 [eqn: rmbarBC =2]

[eqn: rmbarAH times barBC =barAB times barAC]에서

[eqn: 2rmbarAH =root3]	[eqn: therefore][eqn: rmbarAH = root3 over2]

직각삼각형 [eqn: rmPAH]에서

[eqn: rmbarPH =root{2^2 +left(root3 over2 right)^2}= root19 over2]

① [eqn: {sqrt {17}} over {2}]	② [eqn: {sqrt {70}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {74}} over {4}]	⑤ [eqn: {sqrt {19}} over {2}]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
02 삼수선의 정리2 (길이, 입체도형에 활용)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 27

그림과 같이 [eqn: {rm bar AD = 3}{{from^2021^09^평가원^중}}], [eqn: rm bar DB = 2], [eqn: rm bar DC = 2 root 3]이고 [eqn: rm angle ADB = angle ADC = angle BDC = pi over 2]인 사면체 [eqn: rm ABCD]가 있다. 선분 [eqn: rm BC] 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]에 대하여 [eqn: rm bar AP + bar DP]의 최솟값은?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P']이라 하면

[eqn: rm bar AD bot](평면 [eqn: rm BCD)]이고 [eqn: rm bar AP' bot bar BC]이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: rm bar DP' bot bar BC]이다.

이때, [eqn: rm bar AP + bar DP ge bar AP{' + bar DP']이므로 구하는 최소의 길이는

[eqn: rm bar AP' + bar DP']이다. 한편, 직각삼각형 [eqn: rm BCD]에서

[eqn: rm bar BC = root { 2^2 + ( 2 root 3 )^2 } = 4]이므로

[eqn: 1 over 2 times rm bar DB times bar DC = 1 over 2 times bar BC times bar DP']

[eqn: rm bar DB times bar DC = bar BC times bar DP']

[eqn: 2 times 2 root 3 = 4 times rm bar DP']

[eqn: rm bar DP' = root 3]	[eqn: cdots cdots] ㉠

이때, 직각삼각형 [eqn: rm ADP']에서

[eqn: rm bar AP'][eqn: = rm root { { bar AD }^{ 2 } + { bar DP' }^{ 2} }]
[eqn: = root { 3^2 + ( root 3 )^2 } }]
[eqn: = 2 root 3]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠과 ㉡에서 구하는 최솟값은

[eqn: rm bar AP' + bar DP'][eqn: = 2 root 3 + root 3]
[eqn: = 3 root 3]

① [eqn: 3 root 3]	② [eqn: { 10 root 3 } over 3]	③ [eqn: { 11 root 3 } over 3]

④ [eqn: 4 root 3]	⑤ [eqn: { 13 root 3 } over 3]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 27

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: rm 4], 높이가 [eqn: rm 3]인 원기둥이 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]는 이 원기둥의 한 밑면의 지름이고 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]는 다른 밑면의 둘레 위의 서로 다른 두 점이다. 네 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]가 다음 조건을 만족시킬 때, 선분 [eqn: {rm{CD}} it]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]에서 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]를 포함하는 밑면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{C}} it `prime], [eqn: {rm{D}} it `prime]이 라 하고, 두 점 [eqn: {rm{C}} it `prime], [eqn: {rm{D}} it `prime]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{E}} it], [eqn: {rm{F}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{CC}} it `prime } BOT left( right.]평면 [eqn: left.{rm{ABD}} it prime {rm{C}} it prime right),], [eqn: overline{{rm{C}} it prime {rm{E}} it } BOT overline{{rm{AB}} it }]

이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: overline{{rm{CE}} it } BOT overline{{rm{AB}} it }]이다.

조건 (가)에서 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이가 [eqn: rm 16]이므로

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AB}} it } times overline{{rm{CE}} it }=16]

[eqn: {1} over {2} times 8 times overline{{rm{CE}} it }=16]

[eqn: {rm{CE}} it =4]

직각삼각형 [eqn: {rm{CC}} it `prime {rm{E}} it]에서 [eqn: overline{{rm{CC}} it `prime }=3]이므로

[eqn: overline{{rm{C}} it `prime {rm{E}} it }= sqrt{ overline{{rm{CE}} it }^{2}- overline{{rm{CC}} it `prime }}= sqrt{4^{2}-3^{2}}= sqrt{7}]

선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면

직각삼각형 [eqn: {rm{OC}} it `prime {rm{E}} it]에서

[eqn: overline{{rm{OE}} it }= sqrt{ overline{{rm{OC}} it `prime } it ^ {2}- overline{{rm{C}} it `prime {rm{E}} it }}= sqrt{4^{2}-( sqrt{7})^{2}}=3]

마찬가지 방법으로

[eqn: overline{{rm{OF}} it }=3]

조건 (나)에서 두 직선 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{CD}} it]가 서로 평행하므로

[eqn: overline{{rm{CD}} it }= overline{{rm{EF}} it }= overline{{rm{OE}} it }+ overline{{rm{OF}} it }=3+3=6]

(가) 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이는 [eqn: rm 16]이다.

(나) 두 직선 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{CD}} it]는 서로 평행하다.

① [eqn: rm 5]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: rm 7]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
03 삼수선의 정리3 (넓이와 부피)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 27

그림과 같이 한 모서리의 길이가 [eqn: 4]인 정육면체 [eqn: rmABCD-EFGH]가 있다. 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 할 때, 삼각형 [eqn: rmMEG]의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

그림과 같이 점 [eqn: rmM]에서 선분 [eqn: rmEG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI], 선분 [eqn: rmEH]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmJ]라 하자.

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rm {bar{JI}} BOT {bar{EG}}]이므로 점 [eqn: rmH]에서 선분 [eqn: rmEG]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmK]라 하면 점 [eqn: rmK]는 선분 [eqn: rmEG]의 중점이고

[eqn: rm {bar{IJ}}][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{HK}}]
[eqn: = {1} over {2} times2 sqrt {2}]
[eqn: = sqrt {2}]

한편, 직각삼각형 [eqn: rmMJI]에서 [eqn: rm {bar{MJ}} =4]이므로

[eqn: rm {bar{MI}}][eqn: = sqrt {{rm {bar{MJ}} } ^{2} +{rm {bar{IJ}} } ^{2}}]
[eqn: = sqrt {16+2}]
[eqn: =3 sqrt {2}]

따라서 구하는 삼각형 [eqn: rmMEG]의 넓이는

[eqn: rm {1} over {2} TIMES {bar{EG}} TIMES {bar{MI}}][eqn: = {1} over {2} times4 sqrt {2} times3 sqrt {2}]
[eqn: =12]

① [eqn: {21} over {2}]	② [eqn: 11]	③ [eqn: {23} over {2}]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 26

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{BC}} it }= overline{{rm{CD}} it }=3]이고 [eqn: angle {rm{BCD}} it =90 DEG]인 사면체

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it `prime]이라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이가 [eqn: rm 6]이므로

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AH}} it `prime } times overline{{rm{BC}} it }=6]에서 [eqn: overline{{rm{AH}} it `prime }=4]

[eqn: overline{{rm{AH}} it } BOT (]평면 [eqn: {rm{BCD}} it ),`` overline{{rm{AH}} it `prime } BOT overline{{rm{BC}} it }]

이므로 삼수선의 정리에 의하여 [eqn: overline{{rm{HH}} it `prime } BOT overline{{rm{BC}} it }]

두 직각삼각형 [eqn: {rm{BH}} it `prime {rm{H}} it], [eqn: {rm{BCD}} it]의 닮음비는 [eqn: 1: 3]이므로

[eqn: overline{{rm{HH}} it `prime }=1], [eqn: overline{{rm{H}} it `prime {rm{C}} it }=2]

[eqn: overline{{rm{HC}} it }= sqrt{1^{2}+2^{2}}= sqrt{5}], [eqn: overline{{rm{AH}} it }= sqrt{4^{2}-1^{2}}= sqrt{15}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{AHC}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AH}} it } times overline{{rm{HC}} it }={1} over {2} times sqrt{15} times sqrt{5}={5 sqrt{3}} over {2}]

[eqn: {rm{ABCD}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 평면 [eqn: {rm{BCD}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라

할 때, 점 [eqn: {rm{H}} it]는 선분 [eqn: {rm{BD}} it]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점이다. 삼각형

[eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이가 [eqn: rm 6]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{AHC}} it]의 넓이는?

① [eqn: 2 sqrt{3}]	② [eqn: {5 sqrt{3}} over {2}]	③ [eqn: 3 sqrt{3}]

④ [eqn: {7 sqrt{3}} over {2}]	⑤ [eqn: 4 sqrt{3}]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
06 이면각1 (이면각 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 29

그림과 같이

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[해설]

[eqn: ANGLE rm BMD][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm BM}}][eqn: =8]

[eqn: ANGLE rm BAM][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm AM}}][eqn: =4 sqrt {3}]

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmBM]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: {bar{rm PM}} BOT {bar{rm BM}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rmACD]가 서로 수직이므로

[eqn: {bar{rm AB}} BOT {bar{rm CD}}]

직선 [eqn: rmCD]는 두 직선 [eqn: rmAB ,```` BM]과 서로 수직이므로

[eqn: {bar{rm CD}} BOT](평면 [eqn: rmAMB])

직선 [eqn: rmPH]는 평면 [eqn: rmAMB]에 포함되므로 [eqn: {bar{rm PH it}} BOT {bar{rm CD}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: {bar{rm PH}} BOT](평면 [eqn: rmCDB])

[eqn: {bar{rm PH}} BOT](평면 [eqn: rmCDB])이고 [eqn: {bar{rm PN}} BOT {bar{rm BD}}]이므로 삼수선의 정리에 의하여

[eqn: {bar{rm HN}} BOT {bar{rm BD}}]

두 삼각형 [eqn: rmDBM]과 [eqn: rmHBN]은 서로 닮은 도형이므로 [eqn: {bar{rm BM}} ``:`` {bar{rm MD}}][eqn: = {bar{rm BN}} ``:`` {bar{rm NH}}]에서 [eqn: {bar{rm NH}}][eqn: = {{bar{rm MD}} TIMES {bar{rm BN}}} over {{bar{rm BM}}}][eqn: = sqrt {5}]

[eqn: ANGLE rm BNH][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: {bar{rm BH}} ^{2}][eqn: = {bar{rm BN}} ^{2} + {bar{rm NH}} ^{2}][eqn: =25]

[eqn: {bar{rm BH}}][eqn: =5], [eqn: {bar{rm MH}}][eqn: =3]

[eqn: tan LEFT ( ANGLE rm AMB RIGHT )][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]이므로 [eqn: {bar{rm PH}}][eqn: = sqrt {3}]

[eqn: {bar{rm PN}} ^{2}][eqn: = {bar{rm PH}} ^{2} + {bar{rm HN}} ^{2}][eqn: =8], [eqn: {bar{rm PN}}][eqn: =2 sqrt {2}]

두 평면 [eqn: rmPDB], [eqn: rmCDB]의 교선은 직선 [eqn: rmDB]이고, 평면 [eqn: rmPDB] 위의 점 [eqn: rmP]의 평면 [eqn: rmCDB]위로의 정사영이 [eqn: rmH]이므로

[eqn: cos theta][eqn: = {{bar{rm HN}}} over {{bar{rm PN}}}][eqn: = {sqrt {5}} over {2 sqrt {2}}][eqn: = {sqrt {10}} over {4}]

따라서 [eqn: 40 cos ^{2} theta][eqn: =25]

[eqn: {{bar{rm AB}}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =4], [eqn: {bar{rm CD}}][eqn: =8], [eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = {bar{rm BD}}][eqn: =4 sqrt {5}]

인 사면체 [eqn: rmABCD]에 대하여 직선 [eqn: rmAB]와 평면 [eqn: rmACD]는 서로 수직이다. 두 선분 [eqn: rmCD], [eqn: rmDB]의 중점을 각각 [eqn: rmM ,```` N]이라 할 때, 선분 [eqn: rmAM] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmDB]와 선분 [eqn: rmPN]은 서로 수직이다. 두 평면 [eqn: rmPDB]와 [eqn: rmCDB]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: 40 cos ^{2} theta]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 29

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {8}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]에 두 선분 [eqn: RMAB ,```` CD]를 각각 지름으로 하는 두 반원이 붙어 있는 모양의 종이가 있다. 반원의 호 [eqn: RMAB]의 삼등분점 중 점 [eqn: RMB]에 가까운 점을 [eqn: RMP]라 하고, 반원의 호 [eqn: RMCD]를 이등분하는 점을 [eqn: RMQ]라 하자.

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

[eqn: {bar{rm PG}} = sqrt {3} ,```` {bar{rm QH}} =2 sqrt {3}]이므로 점 [eqn: RMP]를 지나고 평면 [eqn: rm ABCD]와 평행한 평면이 두 선분 [eqn: RMQC ,```` QH]와 만나는 점을 각각 [eqn: RMM _{1} ,```` M _{2}]라 하면 두 점은 중점이다.

이때, 구하는 평면이 이루는 각은 두 평면 [eqn: RMPM _{1} M _{2} ,```` PM _{1} Q]가 이루는 각이다.

한편 점 [eqn: RMP]에서 선분 [eqn: RMAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMP prime], 선분 [eqn: RMAB]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: RMO _{1}]이라 하면

[eqn: {bar{rm O _{1} P'}} =4 cos 60°=2]

[eqn: {bar{rm P'G}}][eqn: = sqrt {{bar{rm PP'}} ^{2} - {bar{rm PG}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 4 sin 60° RIGHT ) ^{2} - LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: =3]

또, 점 [eqn: RMQ]에서 선분 [eqn: RMCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMQ prime], 선분 [eqn: RMCD]를 지름으로 하는 원의 중심을 [eqn: RMO _{2}]라 하면

[eqn: {bar{rm HO _{2}}}][eqn: = sqrt {{bar{rm QO _{2}}} ^{2} - {bar{rm QH}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {4 ^{2} - LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: =2]

이때, 점 [eqn: RMM _{1}]의 평면 [eqn: rm ABCD] 위로 정사영 시킨 점을 [eqn: RMM _{1} ']이라 하면, [eqn: RMM _{1} ']은 선분 [eqn: RMCH]의 중점이므로 그림과 같다.

이때,

[eqn: {bar{rm GH}} = sqrt {3 ^{2} +2 ^{2}} = sqrt {13}]

[eqn: {bar{rm HM _{1} '}} = {1} over {2} {bar{rm HC}} = {1} over {2} sqrt {2 ^{2} +4 ^{2}} = sqrt {5}]

또, 선분 [eqn: RMGM _{1} ']과 점 [eqn: RMH]를 지나고 선분 [eqn: RMBC]에 수직인 직선이 만나는 점을 [eqn: RME]라 하면

[eqn: {bar{rm GM _{1} prime }} = {bar{rm "GE"}} + {bar{rm EM _{1} prime }} =3+1=4]

이때,

[eqn: {bar{rm PM _{2}}} = {bar{rm GH}} = sqrt {13}], [eqn: {bar{rm M _{1} M _{2}}} = {bar{rm HM _{1} '}} = sqrt {5}],

[eqn: {bar{rm PM _{1}}} = {bar{rm GM _{1} '}} =4]

이고

[eqn: {bar{rm PQ}} = sqrt {LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =4],

[eqn: {bar{rm QM _{1}}} = sqrt {LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2}} =2 sqrt {2}]

이므로 다음 그림과 같다.

점 [eqn: RMP]에서 선분 [eqn: rm QM _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMP'']이라 하자.

이때, [eqn: ANGLE rm PM _{1} Q= alpha]라 하면

[eqn: cos alpha = {{bar{rm M _{1} P''}}} over {{bar{rm PM _{1}}}} = {{1} over {2} {bar{rm M _{1} Q}}} over {{bar{rm PM _{1}}}} = {sqrt {2}} over {4}]

또, 점 [eqn: RMQ]에서 선분 [eqn: RMPM _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: RMQ']이라 하면 [eqn: {bar{rm QQ'}} BOT {bar{rm PM _{1}}}]이고 [eqn: {bar{rm QM _{2}}} BOT](평면 [eqn: RMPM _{1} M _{2}])이므로 삼수선의 정리에 의해 [eqn: {bar{rm M _{2} Q'}} BOT {bar{rm PM _{1}}}]

이때, [eqn: {bar{rm M _{1} Q'}}][eqn: = {bar{rm QM _{1}}} ` cos alpha][eqn: =2 sqrt {2} TIMES {sqrt {2}} over {4}][eqn: =1]이므로

[eqn: {bar{rm QQ'}}][eqn: = sqrt {{bar{rm QM _{1}}} ^{2} - {bar{rm Q'M _{1}}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}}]
[eqn: = sqrt {7}]

[eqn: {bar{rm M _{2} Q prime }}][eqn: = sqrt {{bar{rm M _{2} M _{1}}} ^{2} - {bar{rm Q prime M _{1}}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}}]
[eqn: =2]

따라서 [eqn: cos theta = {{bar{rm Q'M _{2}}}} over {{bar{rm QQ'}}} = {2} over {sqrt {7}}]이므로

[eqn: 70 TIMES cos ^{2} theta =70 TIMES {4} over {7} =40]

이 종이에서 두 선분 [eqn: RMAB]와 [eqn: RMCD]를 접는 선으로 하여 두 반원을 접어 올렸을 때 두 점 [eqn: RMP ,```` Q]에서 평면 [eqn: rm ABCD]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: RMG ,```` H]라 하면 두 점 [eqn: RMG ,```` H]는 정사각형 [eqn: rm ABCD]의 내부에 놓여 있고, [eqn: {bar{rm PG}} = sqrt {3} ,```` {bar{rm QH}} =2 sqrt {3}]이다. 두 평면 [eqn: RMPCQ]와 [eqn: rm ABCD]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: 70 TIMES cos ^{2} theta]의 값을 구하시오.
(단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 28

[그림[eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]]과 같이 [eqn: bar{rmAB}=3], [eqn: bar{rmAD} = 2sqrt7]인 직사각형 [eqn: rmABCD] 모형의 종이가 있다. 선분 [eqn: rmAD]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하자. 두 선분 [eqn: rmBM], [eqn: rmCM]을 접는 선으로 하여 [그림[eqn: 2]]와 같이 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmD]가 한 점 [eqn: rmP]에서 만나도록 종이를 접었을 때, 평면 [eqn: rmPBM]과 평면 [eqn: rmBCM]이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos theta]의 값은? (단, 종이의 두께는 고려하지 않는다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: bar{rmAM} = root 7]이고, 점 [eqn: rmM]에서 [eqn: rmBC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH], 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: bar {rmBM}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmX]라 하면 직선 [eqn: rmAX]와 [eqn: bar {rmBH}]의 교점이 생긴다. 이때 이 점을 [eqn: rmY]라 하자.

[eqn: triangle{ rmAXM}]과 [eqn: triangle rmMXY], [eqn: triangle{ rmBXA]가 닮음이므로

[eqn: bar {rmMY} = 7 over 3]

[eqn: bar{rm AX} = bar{ rmXP}]이므로 [eqn: cos theta = {bar{ rmXY} over { bar{ rmXP} } = bar{ rmXY} over {bar{rmAX}]

[eqn: triangle{ rmABX}]와 [eqn: triangle{ rmYMX}]이므로

[eqn: bar{ rmXY} over {bar {rmXA}}={bar{rmMY} over {bar{ rmAB} } = 7 over 9]

[eqn: THEREFORE```` cos theta = 7 over 9]

① [eqn: 17 over27]	② [eqn: 2 over3]	③ [eqn: 19 over27]

④ [eqn: 20 over27]	⑤ [eqn: 7 over9]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
07 이면각2 (이면각 조건)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 27

좌표공간에 직선 [eqn: {rm{AB}} it]를 포함하는 평면 [eqn: alpha]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위에 있지 않은 점 [eqn: {rm{C}} it]에 대하여 직선 [eqn: {rm{AB}} it]와 직선 [eqn: {rm{AC}} it]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta_{1}]이라 할 때 [eqn: sin` theta _{1} = {4} over {5}]이고, 직선 [eqn: rm AC it]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기는 [eqn: {pi } over {2} - theta _{1}]이다. 평면 [eqn: rm ABC it]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta_{2}]라 할 때, [eqn: cos` theta _{2}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

그림과 같이 점 [eqn: {rm{C}} it]에서 직선 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{G}} it], 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면, 삼수선의 정리에 의하여

[eqn: overline{{rm{HG}} it } BOT overline{{rm{AB}} it }]

직각삼각형 [eqn: {rm{AGC}} it]에서 [eqn: angle {rm{CAG}} it = theta_{1}]이고, [eqn: sin theta_{1}={4} over {5}]이므로 양수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=5 k]라 하면

[eqn: overline{{rm{CG}} it }=4 k], [eqn: cos theta_{1}={3} over {5}]

또, 직각삼각형 [eqn: {rm{AHC}} it]에서 [eqn: angle {rm{CAH}} it ={ pi} over {2}- theta_{1}]이므로

[eqn: angle rmACH=theta_1]

따라서 [eqn: triangle rmACG==triangleCAH]이므로    [eqn: overline{{rm{CH}} it }=3k]

이때 직각삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]에서

[eqn: overline{{rm{GH}} it }][eqn: = sqrt {{bar{ rm CG it }}^{2} - {bar{ rm CH it }}^{2}}][eqn: = sqrt { LEFT (4k RIGHT ) ^{2} - LEFT (3k RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt{7} k]

이고, [eqn: angle {rm{CGH}} it = theta_{2}]이므로

[eqn: cos theta_{2}][eqn: ={ overline{{rm{GH}} it }} over { overline{{rm{CG}} it }}][eqn: ={ sqrt{7} k} over {4 k}={ sqrt{7}} over {4}]

① [eqn: { sqrt{7}} over {4}]	② [eqn: { sqrt{7}} over {5}]	③ [eqn: { sqrt{7}} over {6}]

④ [eqn: { sqrt{7}} over {7}]	⑤ [eqn: { sqrt{7}} over {8}]

07 기하	09 공간도형
02 삼수선의 정리
08 이면각3 (서로 수직인 두 평면)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 25

좌표공간에서 수직으로 만나는 두 평면 [eqn: alpha,~beta]의 교선을 [eqn: l]이라 하자. 평면 [eqn: alpha] 위의 직선 [eqn: m]과 평면 [eqn: beta] 위의 직선 [eqn: n]은 각각 직선 [eqn: l]과 평행하다. 직선 [eqn: m] 위의 [eqn: {bar{rm AP}} =4]인 두 점 [eqn: rmA,~P]에 대하여 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: l]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ,~]점 [eqn: rmQ]에서 직선 [eqn: n]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB]라 하자. [eqn: {bar{rm PQ}} =3,~ {bar{rm QB}} =4]이고, 점 [eqn: rmB]가 아닌 직선 [eqn: n] 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여 [eqn: {bar{rm AB}} = {bar{rm AC}}]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rmPQB]에서 [eqn: ANGLE rm PQB=90°]이므로

[eqn: {bar{rm PB}} = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}} =5]

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: {bar{rm PB}} BOT {bar{rm BC}}]이므로 점 [eqn: rmA]에서 직선 [eqn: n]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: {bar{rm AH}} = {bar{rm PB}} =5]

한편, 삼각형 [eqn: rmABC]는 [eqn: {bar{rm AB}} = {bar{rm AC}}]인 이등변삼각형이므로 점 [eqn: rmH]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이다.

즉, [eqn: {bar{rm BC}} =2 {bar{rm BH}} =2 {bar{rm PA}} =8]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm BC}} TIMES {bar{rm AH}} = {1} over {2} TIMES 8 TIMES 5=20]

① [eqn: 18]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 22]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 26]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 27

공간에서 수직으로 만나는 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 교선 위에 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]가 있다. 평면 [eqn: alpha] 위에 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=2 sqrt{29}], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=6]인 점 [eqn: {rm{C}} it]와 평면 [eqn: beta] 위에 [eqn: overline{{rm{AD}} it }= overline{{rm{BD}} it }=6]인 점 [eqn: {rm{D}} it]가 있다. [eqn: angle {rm{ABC}} it ={ pi} over {2}]일 때, 직선 [eqn: {rm{CD}} it]와 평면 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하자. [eqn: cos theta]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 직각삼각형이므로 [eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{(2 sqrt{29})^{2}-6^{2}}=4 sqrt{5}]

점 [eqn: {rm{D}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{DAB}} it]가 이등변삼각형이므로 [eqn: overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{BH}} it }=2 sqrt{5}], [eqn: overline{{rm{DH}} it }= sqrt{6^{2}-(2 sqrt{5})^{2}}=4]

삼각형 [eqn: {rm{HBC}} it]가 직각삼각형이므로 [eqn: overline{{rm{CH}} it }= sqrt{6^{2}+(2 sqrt{5})^{2}}=2 sqrt{14}]

두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]는 서로 수직이므로 [eqn: overline{{rm{DH}} it } BOT overline{{rm{BC}} it }][eqn: overline{{rm{DH}} it } BOT overline{{rm{AB}} it }], [eqn: overline{{rm{DH}} it } BOT overline{{rm{BC}} it }]이므로 직선 [eqn: {rm{DH}} it]는 평면 [eqn: alpha]와 수직이다.

그러므로 [eqn: angle {rm{DHC}} it ={ pi} over {2}]

[eqn: overline{{rm{CD}} it }= sqrt{ overline{{rm{DH}} it }^{2}+ overline{{rm{CH}} it }^{2}}= sqrt{4^{2}+(2 sqrt{14})^{2}}=6 sqrt{2}]

점 [eqn: {rm{D}} it]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영이 점 [eqn: {rm{H}} it]이므로

[eqn: cos theta={ overline{{rm{CH}} it }} over { overline{{rm{CD}} it }}]

따라서 [eqn: cos theta={2 sqrt{14}} over {6 sqrt{2}}={ sqrt{7}} over {3}]

① [eqn: { sqrt{3}} over {2}]	② [eqn: { sqrt{7}} over {3}]	③ [eqn: { sqrt{29}} over {6}]

④ [eqn: { sqrt{30}} over {6}]	⑤ [eqn: { sqrt{31}} over {6}]

07 기하	09 공간도형
03 정사영
05 정사영5 (정사영의 넓이 구하기. 이면각이 주어지지 않은 경우)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 30

한 변의 길이가 [eqn: 4]이 정삼각형 [eqn: rmABC]를 한 면으로 하는 사면체 [eqn: rmABCD]의 꼭짓점 [eqn: rmA]에서 평면 [eqn: rmBCD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, 점 [eqn: rmH]는 삼각형 [eqn: rmBCD]의 내부에 놓여 있다. 직선 [eqn: rmDH]가 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmE]라 할 때, 점 [eqn: rmE]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

조건 (나)에서 [eqn: rm { angle`CED`=90DEG }]이므로 두 직선 [eqn: rm`BC], [eqn: `rm`DE]는 서로 수직이다.

삼수선의 정리에 의하여

[eqn: rm { bar{AH}`bot` }](평면 [eqn: rmBCD]), [eqn: rm { bar{HE}`bot`bar{BC} }]이므로 [eqn: rm { bar{AE}`bot`bar{BC} }]

즉 직선 [eqn: rmBC]와 평면 [eqn: rmAED]는 서로 수직이므로

두 직선 [eqn: rmBC], [eqn: rm`AD]도 서로 수직이다.	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (가)에서 두 삼각형 [eqn: rm`AEH], [eqn: rm`DAH]는 닮음이므로

[eqn: rm`angle`DAE`=angle`EAH+angle`HAD`=90DEG]

그러므로 두 직선 [eqn: rmAD], [eqn: rmAE]는 서로 수직이다.	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 직선 [eqn: rmAD]는 평면 [eqn: rm`ABC]와 서로 수직이다.

정삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: `rmbar{AE}`bot`bar{BC}]이므로 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmBC]의 중점이다.

즉, [eqn: bar{{rmA}it{rmE}it}=2 sqrt {3}]

직각삼각형 [eqn: rmAED]에서

[eqn: {bar{{rmA}it{rmD}it}} = sqrt {{bar{{rmD}it{rmE}it}} ^{2} - {bar{{rmA}it{rmE}it}} ^{2}} = sqrt {4 ^{2} - left ( 2 sqrt {3} right ) ^{2}} =2]

직각삼각형 [eqn: rmAED]에서 [eqn: bar{{rmA}it{rmE}it}times`bar{{rmA}it{rmD}it}`=bar{{rmA}it{rmH}it}`times`bar{{rmD}it{rmE}it}]이므로

[eqn: 2 sqrt {3} times`2=bar{{rmA}it{rmH}it}times`4], [eqn: bar{{rmA}it{rmH}it}= sqrt {3}]

직각삼각형 [eqn: rm`AHD]에서

[eqn: {bar{{rmD}it{rmH}it}} = sqrt {{bar{{rmA}it{rmD}it}} ^{2} - {bar{{rmA}it{rmH}it}} ^{2}}][eqn: = sqrt {2 ^{2} - LEFT ( sqrt {3} RIGHT ) ^{2}} =1]

두 평면 [eqn: rmABD], [eqn: rm`AHD]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: rm { theta`=angle`BAE`=30DEG }]이므로 구하는 정사영의 넓이는

[eqn: {sqrt {3}} over {2} times`cos`30°][eqn: = {3} over {4}]

따라서 [eqn: p=4], [eqn: q=3]이므로 [eqn: p+q=4+3=7]

(가) [eqn: ANGLE rm AEH][eqn: = ANGLE rm DAH]

(나) 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmCD]를 지름으로 하는 원 위의 점이고
[eqn: {bar{rm DE}}][eqn: =4]이다.

삼각형 [eqn: rmAHD]의 평면 [eqn: rmABD] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 27

그림과 같이 평면 [eqn: {alpha }{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]위에 있는 서로 다른 두 점 [eqn: rmA ,```` B]와 평면 [eqn: alpha]위에 있지 않은 서로 다른 네 점 [eqn: rmC ,```` D ,```` E ,```` F]가 있다. 사각형 [eqn: rmABCD]는 한 변의 길이가 [eqn: 6]인 정사각형이고 사각형 [eqn: rmABEF]는 [eqn: {bar{rm AF}}][eqn: =12]인 직사각형이다. 정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 넓이는 [eqn: 18]이고, 점 [eqn: rmF]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영을 [eqn: rmH]라 하면 [eqn: {bar{rm FH}}][eqn: =6]이다. 정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: rmABEF] 위로의 정사영의 넓이는?
[eqn: LEFT ( pile{it#it}]단, [eqn: 0< ANGLE rm DAF< {pi } over {2}][eqn: LEFT. pile{it#it} RIGHT )]

[정답] ⑤

[해설]

정사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 36]

정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영의 넓이가 [eqn: 18]이므로 두 평면 [eqn: rmABCD]와 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta _{1}]이라 하면

[eqn: 36 TIMES cos theta _{1}][eqn: =18]이므로 [eqn: theta _{1}][eqn: = {pi} over {3}]

점 [eqn: rmF]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영이 [eqn: rmH]이므로 두 평면 [eqn: rmABEF]와 [eqn: alpha]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta _{2}]라 하면 [eqn: cos theta _{2}][eqn: = {{bar{rm AH}}} over {{bar{rm AF}}}][eqn: = {6 sqrt {3}} over {12}][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]이므로 [eqn: theta _{2}][eqn: = {pi} over {6}]

두 평면 [eqn: rmABCD]와 [eqn: rmABEF]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: theta][eqn: = theta _{1} - theta _{2}][eqn: = {pi} over {6}]

따라서 정사각형 [eqn: rmABCD]의 평면 [eqn: rmABEF] 위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S``']이라 하면 [eqn: S``'][eqn: =36 TIMES cos {pi} over {6}][eqn: =18 sqrt {3}]

① [eqn: 12 sqrt {3}]	② [eqn: 15 sqrt {2}]	③ [eqn: 18 sqrt {2}]

④ [eqn: 15 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 18 sqrt {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 30

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 4]인 정삼각형을 밑면으로 하고 높이가 [eqn: 4+2 sqrt{3}]인 정삼각기둥 [eqn: {rm{ABC}} it -{rm{DEF}} it]와 [eqn: overline{{rm{DG}} it }=4]인 선분 [eqn: {rm{AD}} it] 위의 점 [eqn: {rm{G}} it]가 있다. 점 [eqn: {rm{H}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 48]

[해설]

그림은 정삼각기둥 [eqn: {rm{ABC}} it -{rm{DEF}} it]를 좌표공간에 나타낸 것이다.

두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{H}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADEB}} it]위로의 정사영을 각각

[eqn: {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{1}]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{AC}} it _{1}}=2], [eqn: overline{{rm{AG}} it }=2 sqrt{3}]이므로

[eqn: overline{{rm{GC}} it _{1}}= sqrt{2^{2}+(2 sqrt{3})^{2}}=4], [eqn: angle {rm{AGC}} it _{1}=30 DEG]

조건 (가)에서 삼각형 [eqn: {rm{GH}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]은 정삼각형이므로

[eqn: angle {rm{C}} it _{1} {rm{GH}} it _{1}=60 DEG], [eqn: overline{{rm{GH}} it _{1}}=4]

조건 (나)를 만족시키려면 점 [eqn: {rm{H}} it _{1}]은 점 [eqn: {rm{G}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BE}} it]에 내린 수선의 발과 일치해야 한다.

점 [eqn: {rm{H}} it]의 평면 [eqn: {rm{DEF}} it]위로의 정사영을 [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하자.

조건 (나)에서 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{DEF}} it]위로의 정사영인 삼각형 [eqn: {rm{FDH}} it _{2}]의 내부와 삼각형 [eqn: {rm{DEF}} it]의 내부의 공통부분의 넓이가 삼각형 [eqn: {rm{DEF}} it]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]인 [eqn: 2 sqrt{3}]이므로 직선 [eqn: {rm{DH}} it _{2}]는 선분 [eqn: {rm{EF}} it]의 중점을 지난다.

그러므로 두 삼각형 [eqn: {rm{DEH}} it _{2}], [eqn: {rm{DFH}} it _{2}]가 합동이고

[eqn: angle {rm{DEH}} it _{2}=90 DEG]이므로 [eqn: angle {rm{DFH}} it _{2}=90 DEG]이다.

점 [eqn: {rm{H}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADFC}} it]위로의 정사영을 [eqn: {rm{H}} it _{3}]이라 하면

점 [eqn: {rm{H}} it _{3}]은 점 [eqn: {rm{G}} it]에서 선분 [eqn: {rm{CF}} it]에 내린 수선의 발과 일치한다.

그러므로 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADFC}} it]위로의 정사영인 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it _{3}]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S={1} over {2} times 4 times 2 sqrt{3}=4 sqrt{3}]

따라서 [eqn: S^{2}=48]

(가) 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{ADEB}} it]위로의 정사영은 정삼각형이다.

(나) 삼각형 [eqn: {rm{CGH}} it]의 평면 [eqn: {rm{DEF}} it]위로의 정사영의 내부와 삼각형 [eqn: {rm{DEF}} it]의 내부의 공통부분의 넓이는 [eqn: 2 sqrt{3}]이다.

삼각형 [eqn: rm CGH]의 평면 [eqn: {rm{ADFC}} it]위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 30

좌표공간에 정사면체 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 있다. 정삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 외심을 중심으로 하고 점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나는 구를 [eqn: S`]라 하자.

[정답] [eqn: 24]

[해설]

구 [eqn: S]의 중심, 즉 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]의 외심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면 직각삼각형 [eqn: {rm{ABO}} it]에서

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=6 sqrt{3}], [eqn: overline{{rm{BO}} it }=6], [eqn: overline{{rm{AO}} it }=6 sqrt{2}]

이다.

이때 점 [eqn: {rm{P}} it]가 구 [eqn: S] 위에 있으므로    [eqn: overline{{rm{OP}} it }=6]

즉, 삼각형 [eqn: {rm{OBP}} it]가 이등변삼각형이므로 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AB}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하면 점 [eqn: {rm{H}} it]는 선분 [eqn: {rm{BP}} it]의 중점이다.

한편, [eqn: triangle {rm{ABO}}]□[eqn: triangle {rm{OBH}} it]이므로

[eqn: 6: 6 sqrt{3}= overline{{rm{BH}} it }: 6]

에서    [eqn: overline{{rm{BH}} it }=2 sqrt{3}]

[eqn: therefore] [eqn: overline{{rm{AP}} it }][eqn: = overline{{rm{AB}} it }- overline{{rm{BP}} it }]
[eqn: =6 sqrt{3}-4 sqrt{3}]
[eqn: =2 sqrt{3}]

한편, 다음 그림과 같이 평면 [eqn: alpha]와 평면 [eqn: {rm{PQR}} it]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: angle {rm{AOP}} it = theta]이다.

점 [eqn: rmP`]에서 선분 [eqn: rmAO`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ`]라 하면

[eqn: triangle rmAPQ]□[eqn: triangle rmABO]

이므로

[eqn: rmbarAP`:`barAB =barAQ`:`barAO]

[eqn: 2root3`:`6root3 =rmbarAQ`:`6root2]

[eqn: rmbarAQ =2root2]

[eqn: rmbarOQ =barOA -barAQ =4root2 `]이므로

[eqn: cos`theta ={rmbarOQ}over{bar{rmOP}}={4root2}over6 = 2over3 root2]

삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]는 한 변의 길이가 [eqn: 2 sqrt{3}]인 정삼각형이므로 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 넓이는

[eqn: { sqrt{3}} over {4} times(2 sqrt{3})^{2}=3 sqrt{3}]

따라서 구하는 정사영의 넓이는

[eqn: k][eqn: =3 sqrt{3} times cos theta]
[eqn: =3 sqrt{3} times {2 sqrt{2}} over {3}]
[eqn: =2 sqrt{6}]

[eqn: therefore] [eqn: k^{2}=(2 sqrt{6})^{2}=24]

구 [eqn: S`]와 선분 [eqn: {rm{AB}} it]가 만나는 점 중 [eqn: {rm{B}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{P}} it],

구 [eqn: S`]와 선분 [eqn: {rm{AC}} it]가 만나는 점 중 [eqn: {rm{C}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{Q}} it],

구 [eqn: S`]와 선분 [eqn: {rm{AD}} it]가 만나는 점 중 [eqn: {rm{D}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it]라 하고,

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 구 [eqn: S`]에 접하는 평면을 [eqn: alpha]라 하자.

구 [eqn: S`]의 반지름의 길이가 [eqn: rm 6]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PQR}} it]의 평면 [eqn: alpha] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: k]이다. [eqn: k^{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 기하 30

공간에서 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 4]인 구와 점 [eqn: {rm{O}} it]를 지나는 평면 [eqn: alpha]가 있다. 평면 [eqn: alpha]와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]에 대하여 두 직선 [eqn: {rm{OA}} it], [eqn: {rm{BC}} it]가 서로 수직일 때, 구 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 50]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it], 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 선분 [eqn: {rm{BC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하자.

[eqn: angle {rm{PAO}} it ={ pi} over {3}]이고 [eqn: overline{{rm{OA}} it }= overline{{rm{OP}} it }]이므로 삼각형 [eqn: {rm{PAO}} it]는 정삼각형이다.

[eqn: overline{{rm{PA}} it }=4], [eqn: overline{{rm{PH}} it }=2 sqrt{3}], [eqn: overline{{rm{AH}} it }= overline{{rm{OH}} it }=2][eqn: overline{{rm{OI}} it }=a(a>0)]이라 하면 직각삼각형 [eqn: {rm{OIB}} it]에서 [eqn: overline{{rm{IB}} it }= sqrt{ overline{{rm{OB}} it }^{2}- overline{{rm{OI}} it }^{2}}= sqrt{16-a^{2}}] 직각삼각형 [eqn: {rm{AIB}} it]에서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{ overline{{rm{AI}} it }^{2}+ overline{{rm{IB}} it }^{2}}]

[eqn: = sqrt{(a+4)^{2}+16-a^{2}}]

[eqn: = sqrt{8 a+32}]

직각삼각형 [eqn: rm {P}HI]에서

[eqn: {bar{rm {P{I it}} = sqrt {{bar{rm PH it rm ^{2} it}} + {bar{rm HI it rm ^{2} it}}}]

[eqn: = sqrt{(2 sqrt{3})^{2}+(a+2)^{2}}]

[eqn: = sqrt{a^{2}+4 a+16}]

[eqn: overline{{rm{PH}} it } BOT alpha], [eqn: overline{{rm{HI}} it } BOT overline{{rm{BC}} it }]이므로

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: {bar{rm {P}I it}} BOT {bar{rm BC it}}]이다.

직각삼각형 [eqn: {rm{{P}IB}} it]에서

[eqn: overline{{rm{PB}} it }= sqrt{ overline{{rm{{P}I}} it }^{2}+ overline{{rm{IB}} it }^{2}}]

[eqn: = sqrt{ left(a^{2}+4 a+16 right)+ left(16-a^{2} right)}]

[eqn: = sqrt{4 a+32}]

삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]에서

[eqn: cos ( angle {rm{PAB}} it )={ overline{{rm{AP}} it }^{2}+ overline{{rm{AB}} it }^{2}- overline{{rm{PB}} it }^{2}} over {2 times overline{{rm{AP}} it } times overline{{rm{AB}} it }}]

[eqn: ~ ={16+(8 a+32)-(4 a+32)} over {2 times 4 times sqrt{8 a+32}}]

[eqn: ={a+4} over {4 sqrt{2 a+8}}]

그러므로 [eqn: { sqrt{10}} over {8}={a+4} over {4 sqrt{2 a+8}}]

[eqn: (a+4)^{2}=5(a+4)]

[eqn: a^{2}+3 a-4=(a+4)(a-1)=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=1]

점 [eqn: {rm{B}} it]에서 선분 [eqn: {rm{PA}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{J}} it]라 하자.

[eqn: sin ( angle {rm{PAB}} it )={ overline{{rm{BJ}} it }} over { overline{{rm{AB}} it }}={ overline{{rm{BJ}} it }} over {2 sqrt{10}}]

[eqn: sin ( angle {rm{PAB}} it )= sqrt{1- left({ sqrt{10}} over {8} right)^{2}}={3 sqrt{6}} over {8}]이므로 [eqn: overline{{rm{BJ}} it }={3 sqrt{15}} over {2}] 삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]의 넓이를 [eqn: S `prime]이라 하자.

[eqn: S `prime ={1} over {2} times overline{{rm{PA}} it } times overline{{rm{BJ}} it }={1} over {2} times 4 times {3 sqrt{15}} over {2}=3 sqrt{15}]
[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }], [eqn: overline{{rm{PB}} it }= overline{{rm{PC}} it }]이므로 두 삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it], [eqn: {rm{PAC}} it]는 서로 합동이다.

[eqn: overline{{rm{BJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }]이므로 [eqn: overline{{rm{CJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }]이고 [eqn: overline{{rm{BJ}} it }= overline{{rm{CJ}} it }]

두 평면 [eqn: {rm{PAB}} it]와 [eqn: {rm{PAC}} it]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: overline{{rm{BJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }], [eqn: overline{{rm{CJ}} it } BOT overline{{rm{AP}} it }]이므로 [eqn: theta= angle {rm{BJC}} it]

[eqn: overline{{rm{JB}} it }= overline{{rm{JC}} it }={3 sqrt{15}} over {2}], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2 sqrt{15}]

[eqn: cos theta={ overline{{rm{JB}} it }^{2}+ overline{{rm{JC}} it }^{2}- overline{{rm{BC}} it }^{2}} over {2 times overline{{rm{JB}} it } times overline{{rm{JC}} it }}]

[eqn: ={2 times left({3 sqrt{15}} over {2} right)^{2}-60} over {2 times left({3 sqrt{15}} over {2} right)^{2}}]

[eqn: ={1} over {9}]

[eqn: S=S `prime times cos theta=3 sqrt{15} times {1} over {9}={ sqrt{15}} over {3}]

따라서 [eqn: 30 times S^{2}=30 times {15} over {9}=50]

(가) [eqn: angle {rm{PAO}} it ={ pi} over {3}]

(나) 점 [eqn: {rm{P}} it]의 평면 [eqn: alpha]위로의 정사영은 선분 [eqn: {rm{OA}} it] 위에 있다.

[eqn: cos ( angle {rm{PAB}} it )={ sqrt{10}} over {8}]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{PAB}} it]의 평면 [eqn: {rm{PAC}} it]위로의 정사영의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 30 times S^{2}]의 값을 구하시오. [eqn: left( right.]단, [eqn: left.0< angle {rm{BAC}} it <{ pi} over {2} right)]

07 기하	10 공간좌표
01 공간좌표
02 공간좌표2 (두 점 사이의 거리)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 23

좌표공간의 점 [eqn: rm P it LEFT ( 1,`` 3,`` 4 RIGHT ) `]를 [eqn: zx `]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm Q `]라 하자. 두 점 [eqn: rm P `]와 [eqn: rm Q] 사이의 거리는?

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm P LEFT ( 1,````3,````4 RIGHT ) ,````Q LEFT ( 1,````-3,````4 RIGHT )`]이므로 [eqn: rm barPQ = 6]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 23

좌표공간의 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~1,~3 RIGHT )]을 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmP]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmQ]라 할 때, 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는?

[정답] ②

[해설]

좌표공간의 점 [eqn: rmA LEFT ( 2,~1,~3 RIGHT )]을 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동시킨 점 [eqn: rmP]의 좌표는

[eqn: rmP LEFT ( 2,~1,~-3 RIGHT )]

점 [eqn: rmA]를 [eqn: yz]평면에 대하여 대칭이동시킨 점 [eqn: rmQ]의 좌표는

[eqn: rmQ LEFT ( -2,~1,~3 RIGHT )]

따라서 구하는 선분 [eqn: rmPQ]의 길이는

[eqn: bar{rmPQ}][eqn: = sqrt {LEFT ( 2+2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -3-3 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {52}]
[eqn: =2 sqrt {13}]

① [eqn: 5 sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {13}]	③ [eqn: 3 sqrt {6}]

④ [eqn: 2 sqrt {14}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {15}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 23

좌표공간의 점 [eqn: {rmA(3 ,```` 0 ,```` -2)}{{from^2021^09^평가원^중}}]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmC(0 ,```` 4 ,```` 2)]에 대하여 선분 [eqn: rmBC]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmB]는 점 [eqn: rmA(3 ,```` 0 ,```` -2)]를 [eqn: xy]평면에 대하여 대칭이동한 점이므로 [eqn: rmB(3 ,```` 0 ,```` 2)]

따라서 [eqn: rmC(0 ,```` 4 ,```` 2)]이므로

[eqn: bar{rmBC}][eqn: =root{(0-3)^2 +(4-0)^2 +(2-2)^2}][eqn: =5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 23

좌표공간에서 점 [eqn: rm P LEFT ( 2,``1,``3 RIGHT )]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: rm Q`]에 대하여 선분 [eqn: rm PQ`]의 길이는?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: left(2,``-1,``-3right)]이므로

[eqn: rmbarPQ =root{0^2 +2^2 +6^2 }=2root10]

① [eqn: 2 sqrt {10}]	② [eqn: 2 sqrt {11}]	③ [eqn: 4 sqrt {3}]

④ [eqn: 2 sqrt {13}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {14}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 기하 23

좌표공간의 점 [eqn: rm A it LEFT (2,`` 2,`` -1 RIGHT )]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. 점 [eqn: rm C it LEFT (-2,`` 1,`` 1 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it (2,``2,``-1)]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표는

[eqn: {rm{B}} it (2,``-2,``1)]

따라서 점 [eqn: {rm{C}} it (-2,``1,``1)]에 대하여 선분 [eqn: {rm{BC}} it]의 길이는

[eqn: overline{{rm{BC}} it }][eqn: = sqrt{(-2-2)^{2}+(1+2)^{2}+(1-1)^{2}}]
[eqn: =5]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

07 기하	10 공간좌표
02 분점
01 분점1 (분점의 좌표)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 24

좌표공간의 두 점 [eqn: {rmA(0 ,```` 2 ,```` -3)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: rmB(6 ,```` -4 ,```` 15)]에 대하여 선분 [eqn: rmAB] 위에 점 [eqn: rmC]가 있다. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA prime], [eqn: rmB prime], [eqn: rmC prime]이라 하자. [eqn: 2bar{rmA primeC prime} = bar{rmC primeB prime}]일 때, 점 [eqn: rmC]의 [eqn: z]좌표는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 2bar{rmA primeC prime} = bar{rmC primeB prime}]이므로 점 [eqn: rmC`']은 선분 [eqn: rmA'B']의 [eqn: 1``:``2]내분점이다.

즉, 점 [eqn: rmC]는 선분 [eqn: rmAB]의 [eqn: 1``:``2] 내분점이므로 점 [eqn: rmC][eqn: z]의 좌표는

[eqn: {(-3) times 2 + 15 times 1 } over 1+2 = 3]

① [eqn: -5]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 23

좌표공간의 두 점 [eqn: {rm{A}} it (a,`` 1,``-1)], [eqn: {rm{B}} it (-5,`` b,`` 3)]에 대하여 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점의 좌표가 [eqn: (8,``3,``1)]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ④

[해설]

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 중점의 좌표는 [eqn: left({a-5} over {2},`` {1+b} over {2},`` {-1+3} over {2} right)]이고,

이점이 [eqn: (8,``3,``1)]과 같으므로

[eqn: {a-5} over {2}=8], [eqn: {1+b} over {2}=3], [eqn: {-1+3} over {2}=1]

따라서 [eqn: a=21], [eqn: b=5]이므로 [eqn: a+b=26]

① [eqn: rm 20]	② [eqn: rm 22]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 26]	⑤ [eqn: rm 28]

07 기하	10 공간좌표
02 분점
02 분점2 (분점의 위치)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 24

좌표공간의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( -1,~1,~-2 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 2,~4,~1 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]가 [eqn: xy]평면과 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 선분 [eqn: rmAP]의 길이는?

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rmP]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: m``:``n]으로 내분하는 점이므로

점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {2m-n} over {m+n} ,~ {4m+n} over {m+n} ,~ {m-2n} over {m+n} RIGHT )]이다.

[eqn: xy]평면 위의 점 [eqn: rmP]의 [eqn: z]좌표는 [eqn: 0]이므로

[eqn: m-2n=0], [eqn: m=2n]

그러므로 점 [eqn: rmP]의 좌표는 [eqn: ` LEFT ( 1,~3,~0 RIGHT )]이다.

따라서 선분 [eqn: rmAP]의 길이는

[eqn: sqrt {LEFT { 1- LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT { 0- LEFT ( -2 RIGHT ) RIGHT } ^{2}} =2 sqrt {3}]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {13}]	③ [eqn: sqrt {14}]

④ [eqn: sqrt {15}]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 23

좌표공간의 두 점 [eqn: {rm{A}} it (3,`` a,``-2)], [eqn: {rm{B}} it (-1,``3,`` a)]에 대하여 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점이 [eqn: x y]평면 위에 있을 때, [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점이 [eqn: x y]평면 위에 있으려면 중점의 [eqn: z]좌표가 [eqn: rm 0]이어야 하므로

[eqn: {-2+a} over {2}=0]에서 [eqn: a=2]이다.

① [eqn: rm 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: rm 3]

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
04 구의 방정식4 (현 또는 접선의 길이)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 26

좌표공간에서 중심이 [eqn: {rmA(ita ,```` -3 ,```` 4)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}][eqn: (a>0)]인 구 [eqn: S]가 [eqn: x]축과 한 점에서만 만나고 [eqn: bar{rmOA}=3sqrt3]일 때, 구 [eqn: S]가 [eqn: z]축과 만나는 두 점 사이의 거리는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ②

[해설]

구가 [eqn: x]축과 만나는 한 점의 좌표를 [eqn: rmH]라 하면 점 [eqn: rmH ( ita,````0,````0)]이다. 이때 선분 [eqn: rmAH]의 길이가 반지름이므로

[eqn: bar{ rmAH} = root { 0+ (-3)^{2} + 4^{2} }= 5]

[eqn: bar{ rmOA} = 3root3]이므로

[eqn: bar{ rmOA} = root{it a^{2} +3^{2} +4^{2} }= root {a^{2} +25} = root 27]

[eqn: THEREFORE```` a= root2] ([eqn: because ```` a>0])

[eqn: z]축에 수선의 발을 내린 점을 [eqn: rmG]라 하면 [eqn: rmG( 0,````0,````4)]이고

[eqn: bar{ rmAG} = root { (root2 )^{2} + (-3)^{2} +0}= root 11]

[eqn: z]축에서 만나는 두 점을 [eqn: rmQ,````Q']라 하면 [eqn: bar{ rmQQ' }= 2 bar{ rmGQ]이고

[eqn: {bar{rm GQ}} ^{2} = {bar{rm AQ}} ^{2} - {bar{rm AG}}^{2}][eqn: = 25 - 11 = 14]이므로

[eqn: bar{ rmGQ} = root 14]

따라서 두 점 사이의 거리는 [eqn: 2root14]

① [eqn: 3sqrt6]	② [eqn: 2sqrt14]	③ [eqn: sqrt58]

④ [eqn: 2sqrt15]	⑤ [eqn: sqrt62]

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
05 구의 방정식5 (구와 평면의 교선)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 기하 27

좌표공간에 [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: =7]인 점 [eqn: rmA]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 8]인 구 [eqn: S]와 [eqn: xy]평면이 만나는 생기는 원의 넓이가 [eqn: 25pi]이다. 구 [eqn: S]와 [eqn: z]축이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmB,~C]라 할 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ⑤

[해설]

좌표공간의 점 [eqn: `rm`A]의 좌표를 [eqn: ` LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]라 하면 [eqn: rm` {bar{OA}} =7]이므로 [eqn: ` sqrt {a ^{2} +b ^{2} +c ^{2}} =7]

[eqn: `a ^{2} +b ^{2} +c ^{2} =49]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

구 [eqn: `S]의 방정식은

[eqn: ` LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-c RIGHT ) ^{2} =64]

[eqn: `xy]평면 위의 모든 점의 [eqn: `z]좌표는 [eqn: `0]이므로 구 [eqn: `S]와 [eqn: `xy]평면이 만나서 생기는 원 [eqn: `C]의 반지름의 길이는 [eqn: ` sqrt {64-c ^{2}}]이다.

원 [eqn: `C]의 넓이가 [eqn: `25`pi]이므로

[eqn: `64-c ^{2} =25], [eqn: `c ^{2} =39]

㉠에서 [eqn: `a ^{2} +b ^{2} =49-c ^{2} =49-39=10]

점 [eqn: `rm`A]에서 [eqn: `z]축에 내린 수선의 발을 [eqn: `rmH]라 하면 점 [eqn: `rm`H]의 좌표는 [eqn: ` LEFT ( 0,~0,~c RIGHT )]이다.

[eqn: `bar{{rmA}it{rmH}it}= sqrt {left ( a-0 right ) ^{2} + left ( b-0 right ) ^{2} + left ( c-c right ) ^{2}}][eqn: `= sqrt {a ^{2} +b ^{2}} = sqrt {10}]

점 [eqn: `rm`B]는 구 위의 점이므로 [eqn: `bar{AB}=8]

직각삼각형 [eqn: `rm`ABH]에서

[eqn: `bar{{rmB}it{rmH}it}= sqrt {{bar{{rmA}it{rmB}it}} ^{2} -{bar{{rmA}it{rmH}it}} ^{2}}][eqn: `= sqrt {64-10} = sqrt {54} =3 sqrt {6}]

따라서 [eqn: `bar{{rmB}it{rmC}it}=2`times`bar{{rmB}it{rmH}it}=2`times`3 sqrt {6}][eqn: `=6 sqrt {6}]

① [eqn: 2 sqrt {46}]	② [eqn: 8 sqrt {3}]	③ [eqn: 10 sqrt {2}]

④ [eqn: 4 sqrt {13}]	⑤ [eqn: 6 sqrt {6}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 기하 29

좌표공간에 두 개의 구

[정답] [eqn: 127]

[해설]

두 구 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}]의 중심을 각각 [eqn: {rm{O}} it _{1}], [eqn: {rm{O}} it _{2}]라 하면

[eqn: {rm{O}} it _{1}(0,``0,``2)], [eqn: {rm{O}} it _{2}(0,``0,``-7)]

이고, 두 구 [eqn: S_{1}], [eqn: S_{2}]의 반지름의 길이는 각각 [eqn: rm 2], [eqn: rm 7]이다.

두 점 [eqn: {rm{O}} it _{1}], [eqn: {rm{O}} it _{2}]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하고, 평면 [eqn: alpha]와 [eqn: z]축이 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

직각삼각형 [eqn: {rm{O}} it _{1} {rm{CH}} it _{1}]에서 [eqn: overline{{rm{O}} it _{1} {rm{C}} it }=k(k>0)]이라 하면

[eqn: overline{{rm{CH}} it _{1}}= sqrt{{ overline{{rm{O}} it _{1} {rm{C}} it ^{2}}- overline{{rm{O}} it _{1} {rm{H}} it _{1}}}^{2}}= sqrt{k^{2}-2^{2}}= sqrt{k^{2}-4}]

원점을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면 [eqn: triangle {rm{O}} it _{1} {rm{CH}} it _{1}]와 [eqn: triangle {rm{ACO}} it]는 서로 닮음이고,

[eqn: overline{{rm{OC}} it }=2+k]

이므로 [eqn: (k+2): sqrt{k^{2}-4}= sqrt{5}: 2] 에서

[eqn: k^{2}-16 k-36=0]

[eqn: (k-18)(k+2)=0]

[eqn: k>0] 이므로    [eqn: k=18]

[eqn: triangle {rm{O}} it _{1} {rm{CH}} it _{1}]과 [eqn: triangle {rm{O}} it _{2} {rm{CH}} it _{2}]도 서로 닮음이고,

[eqn: overline{{rm{O}} it _{1} {rm{C}} it }=18], [eqn: overline{{rm{O}} it _{2} {rm{C}} it }=27]이므로 [eqn: 18: 2=27: overline{{rm{O}} it _{2} {rm{H}} it _{2}}]에서

[eqn: overline{{rm{O}} it _{2} {rm{H}} it _{2}}=3]

평면 [eqn: alpha]와 구 [eqn: S_{2}]가 만나서 생기는 원 [eqn: {rm{C}} it]의 중심은 [eqn: {rm{H}} it _{2}]이고 반지름의 길이는 [eqn: overline{{rm{BH}} it _{2}}]이다. 이때,

[eqn: overline{{rm{BH}} it _{2}}= sqrt{ overline{{rm{O}} it _{2} {rm{B}} it ^{2}}- overline{{rm{O}} it _{2} {rm{H}} it _{2}}}= sqrt{7^{2}-3^{2}}=2 sqrt{10}]

이므로 원 [eqn: C]의 넓이는

[eqn: pi times(2 sqrt{10})^{2}=40 pi]

한편, 두 평면 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: theta= angle {rm{BO}} it _{2} {rm{H}} it _{2}]이므로

[eqn: cos theta={3} over {7}]

원 [eqn: C]의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영의 넓이는

[eqn: 40 pi times {3} over {7}={120} over {7} pi]

따라서 [eqn: p=7], [eqn: q=120]이므로 [eqn: p+q=7+120=127]

[eqn: S_{1}: x^{2}+y^{2}+(z-2)^{2}=4], [eqn: ~ S_{2}: x^{2}+y^{2}+(z+7)^{2}=49]

가 있다. 점 [eqn: {rm{A}} it ( sqrt{5},`` 0,``0)]을 지나고 [eqn: z x]평면에 수직이며, 구 [eqn: S_{1}]과 [eqn: z]좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 [eqn: alpha]라 하자.  구 [eqn: S_{2}]가 평면 [eqn: alpha]와 만나서 생기는 원을 [eqn: C]라 할 때, 원 [eqn: C] 위의 점 중 [eqn: z]좌표가 최소인 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하고 구 [eqn: S_{2}]와 점 [eqn: {rm{B}} it]에서 접하는 평면을 [eqn: beta]라 하자. 원 [eqn: C]의 평면 [eqn: beta]위로의 정사영의 넓이가 [eqn: {q} over {p} pi]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
06 구의 방정식6 (자취 및 활용)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 기하 29

좌표공간에 점 [eqn: LEFT ( 4,``3,``2 RIGHT )]를 중심으로 하고 원점을 지나는 구

[정답] [eqn: 261]

[해설]

점 [eqn: rmP left(ita,``b,``7right)]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP`prime]이라 하면 [eqn: rmP prime left(ita,``b,``0right)]

구의 중심 [eqn: left(4,``3,``2right)]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC`prime]이라 하면 [eqn: rmC prime left(4,``3,``0right)]

[eqn: a^2 +b^2 <25]이므로 [eqn: rmP`prime]인 [eqn: rmC`prime]보다 원점에서 더 가깝다.

원점과 두 점 [eqn: rmP`prime], [eqn: rmC`prime]을 지나는 직선을 가로축으로 하고, [eqn: z]축을 세로축으로 하여 그림을 그리면 다음과 같다.

점 [eqn: rmP]는 구 위의 점이므로

[eqn: left(a-4right)^2 +left(b-3right)^2 +25=29], [eqn: left(a-4right)^2 +left(b-3right)^2 =4]

[eqn: therefore][eqn: rmbar{P`prime C`prime}=it root{left(a-3right)^2 +left(b-4right)^2}=2]

[eqn: rmbar{PP`prime}=7]이고, [eqn: rmbar{OC`prime}=5]에서 [eqn: rmbar{OP`prime}=3]이므로

[eqn: rmbarOP =root{7^2 +3^2}=root58]

선분 [eqn: rmOP]는 원 [eqn: C]의 지름이므로 원 [eqn: C]의 반지름은 [eqn: {root58}over2]이고, 원 [eqn: C]와 [eqn: xy]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: cos`theta= 3over{root58}]이다.

따라서 원 [eqn: C]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: pi left(root58 over2 right)^2 times 3overroot58 = 3over4 root58 pi]

따라서 [eqn: k= 3over4 root58]이므로 [eqn: 8k^2 =261]이다.

[eqn: S``:`` LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-2 RIGHT ) ^{2} =29]

가 있다. 구 [eqn: S`]위의 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``b,``7 RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: rm OP`]를 포함하는 평면 [eqn: alpha `]가 구 [eqn: S`]와 만나서 생기는 원을 [eqn: C`]라 하자. 평면 [eqn: alpha `]와 원 [eqn: C`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 직선 [eqn: rm OP`]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각의 크기와 평면 [eqn: alpha `]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각의 크기는 같다.

(나) 선분 [eqn: rm OP`]는 원 [eqn: C`]의 지름이다.

[eqn: a ^{2} +b ^{2} <25`]일 때, 원 [eqn: C`]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: k pi `]이다. [eqn: 8k ^{2} `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

07 기하	10 공간좌표
03 구의 방정식
07 구의 방정식7 (Mm)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 기하 30

좌표공간에서 점 [eqn: rm A LEFT ( 0,`` 0,`` 1 RIGHT ) `]을 지나는 직선이 중심이 [eqn: rm C LEFT ( 3,`` 4,`` 5 RIGHT ) `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1 `]인 구와 한 점 [eqn: rm P`]에서만 만난다. 세 점 [eqn: rm A], [eqn: rmC], [eqn: rmP `]를 지나는 원의 [eqn: xy `]평면 위로의 정사영의 넓이의 최댓값은 [eqn: q over p root41 pi `]이다. [eqn: p +q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 9`]

[해설]

삼각형 [eqn: rm APC`]는 빗변이 [eqn: rm {bar{AC}}`]인 직각삼각형이므로

원의 지름은 [eqn: rm barAC =sqrt41]이다.

이것의 [eqn: xy]평면으로의 정사영의 길이는 [eqn: rm A prime (0,````0,````0)`], [eqn: rm C prime (3,````4,````0)`]

에서 [eqn: rm bar{A'C' } = 5],

따라서 최대 넓이는 장축의 길이가 [eqn: sqrt41],

단축의 길이가 [eqn: 5`]인 타원이므로

[eqn: S= 5 over2 Times sqrt41 over2 pi = 5 over4 sqrt41pi], [eqn: THEREFORE][eqn: p+q = 9]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 30

좌표공간에 중심이 [eqn: rmC LEFT ( 2,~ sqrt {5} ,~5 RIGHT )]이고 점 [eqn: rmP LEFT ( 0,~0,~1 RIGHT )]을 지나는 구

[정답] [eqn: 23]

[해설]

점 [eqn: rmC]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: rmC`prime]이라 하면 [eqn: rm {bar{CC`prime}} =5]이므로 구 [eqn: S`]는 점 [eqn: rmC`prime]에서 [eqn: xy]평면에 접한다.

평면 [eqn: rmOPC]는 점 [eqn: rmC`prime]을 지나므로 점 [eqn: rmQ _{1}]은 직선 [eqn: rmOC`prime] 위에 있다. 이때 선분 [eqn: rmOQ _{1}]의 길이가 최대가 되려면 점 [eqn: rmQ]가 점 [eqn: rmC]를 지나고 직선 [eqn: rmOC`prime]와 평행한 직선이 구 [eqn: S`]와 만나는 점 중 [eqn: x]좌표가 양수인 점이어야 한다.

이때

[eqn: rm {bar{OQ _{1}}} = {bar{OC`prime}} +5=3+5=8]

한편, 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 넓이가 최대가 되려면 점 [eqn: rmR]가 점 [eqn: rmC]를 지나고 직선 [eqn: rmCQ]에 수직인 직선이 구 [eqn: S`]와 만나는 점이어야 한다.

이때 [eqn: rm {bar{R _{1} C`prime}} BOT {bar{OC`prime}}]이고, [eqn: rm {bar{R _{1} C`prime}} =5]이므로 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times8times5=20]

이제 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이를 구해 보자.

점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmQQ _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: rm {bar{PH}} = {bar{OQ _{1}}} =8],

[eqn: rm {bar{QH}} = {bar{QQ _{1}}} -1=4]이므로

[eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {64+16} =4 sqrt {5}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

직각삼각형 [eqn: rmCQR]에서

[eqn: {rm {bar{QR}}} = sqrt {{rm {bar{CQ}} } ^{2} +{rm {bar{CR}} } ^{2}} = sqrt {25+25} =5 sqrt {2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

직각삼각형 [eqn: rmOC`primeR _{1}]에서

[eqn: {rm {bar{OR _{1} }}} = sqrt {{rm {bar{OC`prime}} } ^{2} +{rm {bar{R _{1} C`prime}} } ^{2}} = sqrt {9+25} = sqrt {34}]

이므로 점 [eqn: rmP]에서 직선 [eqn: rmRR _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG]라 하면

[eqn: rm {bar{PG}} = {bar{OR _{1}}} = sqrt {34}]

[eqn: rm {bar{RG}} = {bar{RR _{1}}} -1=4]

직각삼각형 [eqn: rmRPG]에서

[eqn: {rm {bar{PR}} }= sqrt {{rm {bar{PG}} } ^{2} +{rm {bar{RG}} } ^{2}} = sqrt {34+16} =5 sqrt {2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢에 의하여 삼각형 [eqn: rmPQR]는 [eqn: rm {bar{PR}} = {bar{QR}}]인 이등변삼각형이다.

위 그림과 같이 선분 [eqn: rmPQ]의 중점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: rm {bar{{R}{M}}}][eqn: = sqrt {{rm {bar{PR}} } ^{2} -{rm {bar{PM}} } ^{2}}]
[eqn: = sqrt {50-20}]
[eqn: = sqrt {30}]

이므로 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 4 sqrt {5} TIMES sqrt {30} =10 sqrt {6}]

이때 삼각형 [eqn: rmPQR]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영이 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]이므로 두 평면 [eqn: rmPQR]와 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]이 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: cos`theta= {20} over {10 sqrt {6}} = {sqrt {6}} over {3}]

따라서 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 평면 [eqn: rmPQR] 위로의 정사영의 넓이는

[eqn: 20times {sqrt {6}} over {3} = {20} over {3} sqrt {6}]이므로

[eqn: p+q=3+20=23]

[eqn: S`:` LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y- sqrt {5} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( z-5 RIGHT ) ^{2} =25]

가 있다. 구 [eqn: S``]가 평면 [eqn: rmOPC]와 만나서 생기는 원 위를 움직이는 점 [eqn: rmQ], 구 [eqn: S] 위를 움직이는 점 [eqn: rmR]에 대하여 두 점 [eqn: rmQ,~R]의 [eqn: xy]평면 위로의 정사영을 각각 [eqn: rmQ _{1} ,~R _{1}]이라 하자.

삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 넓이가 최대가 되도록 하는 두 점 [eqn: rmQ,~R]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOQ _{1} R _{1}]의 평면 [eqn: rmPQR] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: {q} over {p} sqrt {6}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이고 세 점 [eqn: rmO,~Q _{1} ,~R _{1}]은 한 직선 위에 있지 않으며, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[기하] [03공도좌] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
기벡 3개년	2022.12.29

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 25 }]

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 7]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 48]

[정답] [eqn: 24]

[정답] [eqn: 50]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 127]

[정답] [eqn: 261]

[정답] [eqn: 9`]

[정답] [eqn: 23]

[기하] [03공도좌] 교사평경 최근 3개년(해설)
기벡 3개년	2022.12.29