		미적 3개년	2022.12.29
교사평경3	01	[미적] [01극한,급수] 교사평경 최근 3개년

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
01 부정형의 계산1 (무한대

교사평경3		미적 3개년
01		[미적] [01극한,급수] 교사평경 최근 3개년

	미적 3개년		교사평경3
	[미적] [01극한,급수] 교사평경 최근 3개년		01

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 2

[eqn: {lim _{n ``->`` INF } {} {8n ^{2} -3} over {2n ^{2} +7n-9}}{{from^2020^04^서울고3가^}}]의 값은? [2점]

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {8n ^{2} -3} over {2n ^{2} +7n-9}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {8- {3} over {n ^{2}}} over {2+ {7} over {n} - {9} over {n ^{2}}}][eqn: =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 1

[eqn: {lim _{n ``->`` INF } {} {n LEFT ( 9n-5 RIGHT )} over {3n ^{2} +1} }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {n LEFT ( 9n-5 RIGHT )} over {3n ^{2} +1}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {9- {5} over {n}} over {3+ {1} over {n ^{2}}}][eqn: =3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 2

[eqn: {lim from {n ``->`` inf}{(2n+1)^2 - ( 2n-1)^2} over {2n+5}}{{from^2020^평가원가^3}}]의 값은? [2점]

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim from {n ``->`` inf}{(2n+1)^2 - ( 2n-1)^2} over {2n+5}]

[eqn: = lim from {n ``->`` inf} {( 4n) cdot 2} over {2n+5}]

[eqn: = lim from {n ``->`` inf} 8n over {2n+5}]

[eqn: = lim from {n ``->`` inf} 8 over {2 + 5 over n}]

[eqn: = 4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 23

[eqn: lim _{n` rarrow ` INF } {{10n ^{3} -1} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( 2n ^{2} +3 RIGHT )}} `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{n` rarrow INF } {{10n ^{3} -1} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( 2n ^{2} +3 RIGHT )}][eqn: = lim _{n` rarrow INF } {{10- {1} over {n ^{3}}} over {LEFT ( 1+ {2} over {n} RIGHT ) LEFT ( 2+ {3} over {n ^{2}} RIGHT )} =5}} `]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 23

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {` {{5} over {n} + {3} over {n ^{2}}} over {{1} over {n} - {2} over {n ^{3}}}}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {{5} over {n} + {3} over {n ^{2}}} over {{1} over {n} - {2} over {n ^{3}}}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` {LEFT ( {5} over {n} + {3} over {n ^{2}} RIGHT ) TIMES n} over {LEFT ( {1} over {n} - {2} over {n ^{3}} RIGHT ) TIMES n}}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` {5+ {3} over {n}} over {1- {2} over {n ^{2}}}}]
[eqn: = {5+0} over {1-0} =5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
02 부정형의 계산2 (무한대-무한대)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 3

[eqn: {lim _{n ``->`` INF } {} LEFT ( sqrt {4n ^{2} +2n+1} - sqrt {4n ^{2} -2n-1} RIGHT )}{{from^2020^03^경기고3가^}}]의 값은? [2점]

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} LEFT ( sqrt {4n ^{2} +2n+1} - sqrt {4n ^{2} -2n-1} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {LEFT ( 4n ^{2} +2n+1 RIGHT ) - LEFT ( 4n ^{2} -2n-1 RIGHT )} over {sqrt {4n ^{2} +2n+1} + sqrt {4n ^{2} -2n-1}}]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {4n+2} over {sqrt {4n ^{2} +2n+1} + sqrt {4n ^{2} -2n-1}}]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {4+ {2} over {n}} over {sqrt {4+ {2} over {n} + {1} over {n ^{2}}} + sqrt {4- {2} over {n} - {1} over {n ^{2}}}}]

[eqn: = {4} over {sqrt {4} + sqrt {4}}][eqn: =1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 2

[eqn: {lim _{n ``->`` INF } {LEFT ( sqrt {9n ^{2} +12n} -3n RIGHT )} }{{from^2020^06^평가원고3가^}}]의 값은? [3점]

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {{LEFT ( sqrt {9n ^{2} +12n} -3n RIGHT ) LEFT ( sqrt {9n ^{2} +12n} +3n RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {9n ^{2} +12n} +3n RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {{9n ^{2} +12n-9n ^{2}} over {sqrt {9n ^{2} +12n} +3n}}]

[eqn: = lim _{n ``->`` inf} {{12n} over {sqrt {9n ^{2} +12n} +3n}}]

[eqn: = lim _{n ``->`` inf} {{12} over {sqrt {9+ {12} over {n}} +3}}]

[eqn: = {12} over {root9 +3}][eqn: =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 2

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over { sqrt{4 n^{2}+2 n+1}-2 n}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{n` rarrow `inf} {{1} over {sqrt {4n ^{2} +2n+1} -2n}}]

[eqn: = lim _{n` rarrow ` INF } {{sqrt {4n ^{2} +2n+1} +2n} over {4n ^{2} +2n+1-4n ^{2}}}]

[eqn: = lim _{n` rarrow ` INF } {{sqrt {4n ^{2} +2n+1} +2n} over {2n+1}}]

[eqn: = {2+2} over {2} =2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 2

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over { sqrt{n^{2}+5 n}-n}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over { sqrt{n^{2}+5 n}-n}= lim _{n ``rarrow`` inf } { sqrt{n^{2}+5 n}+n} over {5 n}= lim _{n ``rarrow`` inf } { sqrt{1+{5} over {n}}+1} over {5}={2} over {5}]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: rm 1]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 23

[eqn: lim_{n ``->`` inf}{ 1over{root{n^2 +n+1}-n}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim_{n ``->`` inf}{ 1over{root{n^2 +n+1}-n}]

[eqn: =lim_{n ``->`` inf}{ {root{n^2 +n+1}+ n } over n+1]

[eqn: =lim_{n ``->`` inf}{ {root{1 + 1 over n + 1 over n^2 }+1 } over {1 + 1 over n]

[eqn: = 1+1 over 1 =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 23

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left( sqrt{n^{4}+5 n^{2}+5}-n^{2} right)]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left( sqrt{n^{4}+5 n^{2}+5}-n^{2} right)]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } { left( sqrt{n^{4}+5 n^{2}+5}-n^{2} right) left( sqrt{n^{4}+5 n^{2}+5}+n^{2} right)} over { sqrt{n^{4}+5 n^{2}+5}+n^{2}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {5 n^{2}+5} over { sqrt{n^{4}+5 n^{2}+5}+n^{2}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {5+{5} over {n^{2}}} over { sqrt{1+{5} over {n^{2}}+{5} over {n^{4}}}+1}={5} over {2}]

① [eqn: {7} over {4}]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: {9} over {4}]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: {11} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 23

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over { sqrt{n^{2}+3 n}- sqrt{n^{2}+n}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

주어진 식의 분자와 분모에

[eqn: sqrt{n^{2}+3 n}+ sqrt{n^{2}+n}]

을 각각 곱하면

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over { sqrt{n^{2}+3 n}- sqrt{n^{2}+n}}]
[eqn: =][eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } { sqrt{n^{2}+3 n}+ sqrt{n^{2}+n}} over { left(n^{2}+3 n right)- left(n^{2}+n right)}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } { sqrt{n^{2}+3 n}+ sqrt{n^{2}+n}} over {2 n}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } { sqrt{1+{3} over {n}}+ sqrt{1+{1} over {n}}} over {2}]
[eqn: = {1+1} over {2}=1]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: rm 3]

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
04 부정형의 계산4 (수열과 일반항)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 27

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) !} = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !} `]이므로

[eqn: n=1`]일 때, [eqn: {a _{1}} over {0!} = {3} over {3!} `]에서 [eqn: a _{1} = {1} over {2}]

[eqn: n ge2`]일 때,

[eqn: {a _{n}} over {LEFT ( n-1 RIGHT ) !}][eqn: =sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) !}-sum _{k=1} ^{n-1} {a _{k}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) !}]
[eqn: = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !} - {3} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !} `]

[eqn: a _{n} `][eqn: = {3 LEFT ( n-1 RIGHT ) !} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !} - {3 LEFT ( n-1 RIGHT ) !} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) !} `]
[eqn: = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT ) n} - {3} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) n} `]
[eqn: = {-3n-3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) LEFT ( n+1 RIGHT ) n}]
[eqn: = {-3} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )}]

[eqn: lim _{n` -> INF } {LEFT ( a _{1} +n ^{2} a _{n} RIGHT )} `][eqn: = lim _{n` -> INF } {LEFT ( {1} over {2} - {3n} over {n+2} RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {2} -3= it - {5} over {2} `]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {a _{`k}} over {LEFT ( k-1 RIGHT ) !} = {3} over {LEFT ( n+2 RIGHT ) !} `]

을 만족시킨다. [eqn: lim _{n` ->` INF } {LEFT ( a _{`1} +n^2 a _{`n} RIGHT )} `]의 값은?

① [eqn: - 7over2]	② [eqn: -3]	③ [eqn: - 5over2]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: - 3over2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 23

첫째항이 [eqn: rm 1]이고 공차가 [eqn: rm 2]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}} over {3 n+1}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: a_{n}=1+(n-1) times 2=2 n-1]이므로

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}} over {3 n+1}= lim _{n ``rarrow`` inf } {2 n-1} over {3 n+1}= lim _{n ``rarrow`` inf } {2-{1} over {n}} over {3+{1} over {n}}={2} over {3}]

① [eqn: {2} over {3}]	② [eqn: rm 1]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 26

첫째항이 [eqn: rm 1]인 두 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}], [eqn: left{ b_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 [eqn: a_{1}=1]이고 공차가 [eqn: rm 3]인 등차수열이므로 [eqn: a_{n}=1+(n-1) times 3=3 n-2]

수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]은 [eqn: n geq 2]일 때,

[eqn: {1} over {b_{n}}= sum_{k=1}^{n} {1} over {b_{k}}- sum_{k=1}^{n-1} {1} over {b_{k}}=n^{2}-(n-1)^{2}=2 n-1]

에서 [eqn: b_{n}={1} over {2 n-1}]이고 [eqn: b_{1}=1]이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: b_{n}={1} over {2 n-1}]

따라서 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } a_{n} b_{n}= lim _{n ``rarrow`` inf } {3 n-2} over {2 n-1}= lim _{n ``rarrow`` inf } {3-{2} over {n}} over {2-{1} over {n}}={3} over {2}]

[eqn: a_{n+1}-a_{n}=3], [eqn: sum_{k=1}^{n} {1} over {b_{k}}=n^{2}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim_{n rarrow INF} a_{n} b_{n}]의 값은?

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
06 극한식의 해석2 (무한대-무한대)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 23

[eqn: {lim _{ n ``->`` inf} { (sqrt{an^2 +bn} - sqrt{2n^2 +1})}=1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]일 때, [eqn: ab]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{ n ``->`` inf} { (sqrt{an^2 +bn} - sqrt{2n^2 +1})}]

[eqn: =lim _{ n->inf} {{(a-2)n^{2}+bn-1}over{root{an^{2}+bn}+root{2n^{2}+1}} }]

[eqn: =lim _{ n->inf} {{(a-2)n+b-{1}over{n}}over{root{a+{b}over{n}} +root{2+{1}over{n^{2}}}]

이때 극한값이 존재하므로	[eqn: a=2]

따라서

[eqn: lim _{ n->inf} { {b}over{root{2}+root{2}}}][eqn: ={b}over{2root{2}}][eqn: =1]

[eqn: THEREFORE][eqn: b=2root{2}]

① [eqn: sqrt2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 2sqrt2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 4sqrt2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 25

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left( sqrt{a n^{2}+n}- sqrt{a n^{2}-a n} right)={5} over {4}]를 만족시키는 모든 양수 [eqn: a]의 값의 합은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: ~ lim _{n ``rarrow`` inf } left( sqrt{a n^{2}+n}- sqrt{a n^{2}-a n} right)]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } { left(a n^{2}+n right)- left(a n^{2}-a n right)} over { sqrt{a n^{2}+n}+ sqrt{a n^{2}-a n}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {(a+1) n} over { sqrt{a n^{2}+n}+ sqrt{a n^{2}-a n}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {a+1} over { sqrt{a+{1} over {n}}+ sqrt{a-{a} over {n}}}={a+1} over {2 sqrt{a}}]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left( sqrt{a n^{2}+n}- sqrt{a n^{2}-a n} right)={5} over {4}]에서 [eqn: {a+1} over {2 sqrt{a}}={5} over {4}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4 a^{2}-17 a+4=0], [eqn: (4 a-1)(a-4)=0],

[eqn: a={1} over {4}] 또는 [eqn: a=4]

따라서 모든 양수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: {1} over {4}+4={17} over {4}]

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: {15} over {4}]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 23

[eqn: lim _{ n`->`inf} { 1 over { root{an^2 + bn} - root{ n^2 -1}}} =4`]일 때, [eqn: ab`]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{ n`->`inf} { 1 over { root{an^2 + bn} - root{ n^2 -1}}}][eqn: =lim_{n`->`inf}{root{an^2 +bn}+root{n^2 -1}}over{left(a-1right)n^2 +bn+1]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{root{a+ b overn}+root{1- 1overn^2}}over{left(a-1right)n +b + 1overn]

위의 값이 수렴하려면 [eqn: a-1=0], 즉 [eqn: a=1]이고 이때 수렴하는 값은 [eqn: {a+1}overb = 2overb]이므로 [eqn: 2overb =4]에서 [eqn: b= 1over2]

[eqn: therefore][eqn: ab= 1over2]

(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

① [eqn: 1over 4]	② [eqn: 1 over 2]	③ [eqn: 3over 4]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 5 over 4]

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
10 극한의 성질3 (극한식의 변형)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 25

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } ,```` LEFT { b _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3가^}}]이

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} n a _{n} LEFT ( b _{n} +2n RIGHT )]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} LEFT ( n a _{n} b _{n} +2n ^{2} a _{n} RIGHT )]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} LEFT { LEFT ( n ^{2} a _{n} RIGHT ) TIMES LEFT ( {b _{n}} over {n} RIGHT ) +2n ^{2} a _{n} RIGHT }]

[eqn: = LEFT ( lim _{n ``->`` INF } {} m ^{2} a _{n} RIGHT ) TIMES LEFT ( lim _{n ``->`` INF } {} {b _{n}} over {n} RIGHT ) +2 lim _{n ``->`` INF } {} n ^{2} a _{n}]

[eqn: =3 TIMES 5+2 TIMES 3=21]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} n ^{2} a _{n} =3], [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {b _{n}} over {n} =5]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} n a _{n} LEFT ( b _{n} +2n RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 24

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left(3 a_{n}-5 n right)=2]를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {(2 n+1) a_{n}} over {4 n^{2}}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: b_{n}=3 a_{n}-5 n]이라 하면
[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } b_{n}=2], [eqn: a_{n}][eqn: ={b_{n}+5 n} over {3}]이므로
[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {(2 n+1) a_{n}} over {4 n^{2}} = lim _{n ``rarrow`` inf } left({2 n+1} over {4 n^{2}} times {b_{n}+5 n} over {3} right)]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } { left(2+{1} over {n} right) left(b_{n} times {1} over {n}+5 right)} over {12}]
[eqn: ={(2+0)(2 times 0+5)} over {12}={5} over {6}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 25

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}+2} over {2}=6]일 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {n a_{n}+1} over {a_{n}+2 n}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {a_{n}+2} over {2}=b_{n}]라 하면 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } b_{n}=6]이고 [eqn: a_{n}=2 b_{n}-2]이다.

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {n a_{n}+1} over {a_{n}+2 n}][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {n left(2 b_{n}-2 right)+1} over { left(2 b_{n}-2 right)+2 n}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } { left(2 b_{n}-2 right) n+1} over {2 n+2 b_{n}-2}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {2 b_{n}-2+{1} over {n}} over {2+{2 b_{n}-2} over {n}}]
[eqn: ={2 times 6-2} over {2}]
[eqn: =5]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

06 미적	01 수열의 극한
01 수열의 극한의 성질 및 계산
11 극한의 성질4 (수열의 극한의 대소 관계)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 3

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: {3n^2 -n } over {n^2 +1} < n a_n <{3n^2 + 2n} over {n^2 +1}]

[eqn: lim _{ n ``->`` inf} { {3n^2 - n} over {n^2 +1} le lim _{ n ``->`` inf} { } n a_n} le lim _{ n ``->`` inf} { {3n^2 + 2n} over {n^2 +1}}]

[eqn: lim _{ n ``->`` inf} { {3n^2 -n} over {n^2 +1}}][eqn: =3 ,````][eqn: lim _{ n ``->`` inf} { {3n^2 + 2n} over {n^2 +1}}][eqn: =3]

따라서 [eqn: lim _{ n ``->`` inf} { n a_n}][eqn: =3]

[eqn: {3n-1} over {n ^{2} +1} <a _{n} < {3n+2} over {n ^{2} +1}]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {na _{n}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 26

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: 2n ^{2} -3<a _{n} <2n ^{2} +4`]에서
[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} -3 RIGHT )][eqn: <S_n < sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} +4 RIGHT )]
이때

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} -3 RIGHT )][eqn: =2 TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} -3n]
[eqn: ={n left(2n^2 +3n -8 right) } over {3 }]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 2k ^{2} +4 RIGHT )][eqn: =2 TIMES {n(n+1)(2n+1)} over {6} +4n]
[eqn: ={n left(2n^2 +3n +13 right) } over {3 }]

[eqn: {n left(2n^2 +3n -8 right) } over {3 n^3 }][eqn: < S_n overn^3][eqn: <{n left(2n^2 +3n +13 right) } over {3n^3 }]

[eqn: lim_{n`->`inf}{{n left(2n^2 +3n -8 right) } over {3 n^3 }}][eqn: =lim_{n`->`inf}{{n left(2n^2 +3n +13 right) } over {3 n^3 }}= 2over3`]

이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {} {S _{n}} over {n ^{3}} = {2} over {3} `]

[eqn: 2n^2 -3 < a_{`n} <2n^2 +4]

를 만족시킨다. 수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` ->` INF } {{S _{`n}} over {n ^{3}} `}]의 값은?

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 5over6]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 7over6]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 27

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: a_{n}^{2}<4 n a_{n}+n-4 n^{2}]에서 [eqn: a_{n}^{2}-4 n a_{n}+4 n^{2}<n]

[eqn: left(a_{n}-2 n right)^{2}<n], [eqn: 2 n- sqrt{n}<a_{n}<2 n+ sqrt{n}]

[eqn: 2-{1} over { sqrt{n}}<{a_{n}} over {n}<2+{1} over { sqrt{n}}]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left(2-{1} over { sqrt{n}} right)= lim _{n ``rarrow`` inf } left(2+{1} over { sqrt{n}} right)=2]이므로 수열의 극한

의 대소 관계에 의하여 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}} over {n}=2]

따라서 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}+3 n} over {2 n+4}= lim _{n ``rarrow`` inf } {{a_{n}} over {n}+3} over {2+{4} over {n}}={2+3} over {2+0}={5} over {2}]

[eqn: a_{n}^{2}<4 n a_{n}+n-4 n^{2}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}+3 n} over {2 n+4}]의 값은?

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
01 등비수열의 극한의 수렴 조건

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

수열 [eqn: {LEFT { (x^2 -6x+9)^n RIGHT }}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오. [3점]

[정답] [eqn: bold9]

[해설]

수열 [eqn: LEFT { (x^2 -6x+9)^n RIGHT }]이 수렴하므로 [eqn: -1 < x^2 -6x+9 le 1]

즉, [eqn: (x-3)^2 le 1]에서 [eqn: 2 le x le 4]

따라서 만족하는 정수 [eqn: x]는 [eqn: x=2], [eqn: 3], [eqn: 4]이므로 합은

[eqn: 2+3+4=9]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 8

수열 [eqn: {LEFT { {LEFT ( 4x-1 RIGHT ) ^{n}} over {2 ^{3n} +3 ^{2n}} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x]의 개수는? [3점]

[정답] ②

[해설]

[eqn: {LEFT ( 4x-1 RIGHT ) ^{n}} over {2 ^{3n} +3 ^{2n}}][eqn: = {LEFT ( 4x-1 RIGHT ) ^{n}} over {8 ^{n} +9 ^{n}}][eqn: = {LEFT ( {4x-1} over {9} RIGHT ) ^{n}} over {LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{n} +1}]에서 [eqn: n ``->`` INF]일 때, [eqn: LEFT ( {8} over {9} RIGHT ) ^{n} ``->`` 0]이므로 주어진 수열이 수렴하려면 등비수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {4x-1} over {9} RIGHT ) ^{n} RIGHT }]이 수렴해야 한다.

[eqn: -1< {4x-1} over {9} LEQ 1]에서 [eqn: -2<x LEQ {5} over {2}]이므로 수열 [eqn: LEFT { {LEFT ( 4x-1 RIGHT ) ^{n}} over {2 ^{3n} +3 ^{2n}} RIGHT }]이 수렴하기 위한 모든 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 4]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 24

정수 [eqn: k`]에 대하여 수열 [eqn: left{a_n right} `]의 일반항을

[정답] ③

[해설]

[eqn: -1< {left|`k`right|} over {3} -2 LEQ 1`], [eqn: 3< left|`k`right| LEQ 9`]

[eqn: k =][eqn: +-4], [eqn: +-5], [eqn: cdots], [eqn: +-9], [eqn: 12`]개

[eqn: a_n = LEFT ( {left| k right|} over 3 -2 RIGHT )^n `]

이라 하자. 수열 [eqn: left{a_n right} `]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: k `]의 개수는? [3점]

① [eqn: 4`]	② [eqn: 8`]	③ [eqn: 12`]

④ [eqn: 16`]	⑤ [eqn: 20`]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 24

수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]의 일반항이

[정답] ①

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]이 수렴하려면

[eqn: -1< {x ^{2} -4x} over {5} LEQ 1]에서
[eqn: {cases{`x ^{2} -4x+5>0_`#`x ^{2} -4x-5 LEQ 0}}]

[eqn: x ^{2} -4x+5>0]에서 [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +1>0]이므로 모든 정수 [eqn: x`]에 대하여 부등식이 성립한다.

[eqn: x ^{2} -4x-5 LEQ 0]에서

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: -1 LEQ x LEQ 5]

따라서 모든 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 7`]이다.

[eqn: a _{`n}][eqn: = LEFT ( {x ^{2} -4x} over {5} RIGHT ) ^{n} `]

일 때, 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]이 수렴하도록 하는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수는?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
02 부정형의 계산1 (기본 계산)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 23

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{n} +3 ^{n+1}} over {3 ^{n} +1}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {2 ^{n} +3 ^{n+1}} over {3 ^{n} +1}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n} +3} over {1+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}}][eqn: = {0+3} over {1+0}][eqn: =3]

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 23

[eqn: {lim _{n ``->`` INF } { {2 TIMES 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n} +2 ^{n+1}}}}{{from^2021^09^평가원^중}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } { {2 TIMES 3 ^{n+1} +5} over {3 ^{n} +2 ^{n+1}}}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } { {6+5 TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+2 TIMES LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{n}}}]
[eqn: = {6+5 TIMES 0} over {1+2 TIMES 0}]
[eqn: =6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 23

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {2^{n+1}+3^{n-1}} over {(-2)^{n}+3^{n}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {2^{n+1}+3^{n-1}} over {(-2)^{n}+3^{n}}= lim _{n ``rarrow`` inf } {2 times left({2} over {3} right)^{n}+{1} over {3}} over { left(-{2} over {3} right)^{n}+1}={2 times 0+{1} over {3}} over {0+1}={1} over {3}]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: rm 9]

06 미적	01 수열의 극한
02 등비수열의 극한의 성질 및 계산
08 극한식의 해석3 (공비가 미지수인 극한식의 해석)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 25

자연수 [eqn: {r}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에 대하여 [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {3 ^{n} +r ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES r ^{n}}][eqn: =1]이 성립하도록 하는 모든 [eqn: r]의 값의 합은?

[정답] ④

[해설]

(ⅰ) [eqn: 1 LEQ r<3]일 때
[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} LEFT ( {r} over {3} RIGHT ) ^{n}][eqn: =0]이고
[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {3 ^{n} +r ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES r ^{n}}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {1 TIMES r TIMES LEFT ( {r} over {3} RIGHT ) ^{n}} over {1+7 TIMES LEFT ( {r} over {3} RIGHT ) ^{n}}][eqn: =1]
이므로 [eqn: r]는 [eqn: 1 ,```` 2]

(ⅱ) [eqn: r=3]일 때
[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {3 ^{n} +3 ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES 3 ^{n}}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {4 TIMES 3 ^{n}} over {8 TIMES 3 ^{n}}][eqn: = {1} over {2}]
이므로 주어진 식은 성립하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: r>3]일 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} LEFT ( {3} over {r} RIGHT ) ^{n}][eqn: =0]
[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {3 ^{n} +r ^{n+1}} over {3 ^{n} +7 TIMES r ^{n}}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {LEFT ( {3} over {r} RIGHT ) ^{n} +r} over {LEFT ( {3} over {r} RIGHT ) ^{n} +7}][eqn: = {r} over {7}][eqn: =1]
이므로 [eqn: r]는 [eqn: 7]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 주어진 식이 성립하도록 하는 자연수 [eqn: r]는 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 7]

따라서 모든 [eqn: r]의 값의 합은 [eqn: 1+2+7][eqn: =10]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 25

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: a_n+1 =a_1 a_n `]이므로 수열 [eqn: left{a_n right}`]은 첫째항이 [eqn: a_1], 공비가 [eqn: a_1 `]인 등비수열이다.

그러므로 [eqn: a_n ={a_1} ^{```n}`]([eqn: a_1 >0])

(ⅰ) [eqn: 0<a_1 <1`]인 경우
[eqn: lim_{n->inf}{`a_n}=0`]이므로
[eqn: lim_{n->inf}{{3a_n+3 -5}over{2a_n +1}][eqn: =it-5][eqn: !=12]

(ⅱ) [eqn: a_1 =1`]인 경우
[eqn: lim_{n->inf}{`a_n}=1`]이므로
[eqn: lim_{n->inf}{{3a_n+3 -5}over{2a_n +1}][eqn: =it- 2over3][eqn: !=12]

(ⅲ) [eqn: a_1 >1`]인 경우
[eqn: lim_{n->inf}{1over a_n}=0`]이므로
[eqn: lim_{n->inf}{{3a_n+3 -5}over{2a_n +1}][eqn: =lim_{n->inf}{{{3a_1`^3 - 5over{a_n}}over{2+ 1overa_n }}][eqn: = 3over2 a_1 `^3]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여
[eqn: 3over2 a_1 `^3 =12], [eqn: a_1 `^3 = 8]

따라서 [eqn: a_1 =2`]

[eqn: a_{`n+1} =a_{`1} a_{`n}`]

을 만족시킨다. [eqn: lim_{n`->`inf}{{3a_{`n+3} -5}over{2a_{`n} +1}=12`]일 때, [eqn: a_{`1}`]의 값은?

① [eqn: 1over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3over2]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5over2]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 25

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} it RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {a _{n} +1} over {3 ^{n} +2 ^{2n-1}} =3]일 때, [eqn: a_{2}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a_{n}=a r^{n-1}]

이때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}+1} over {3^{n}+2^{2 n-1}}= lim _{n ``rarrow`` inf } {a times {r^{n-1}} over {4^{n}}+ left({1} over {4} right)^{n}} over { left({3} over {4} right)^{n}+{1} over {2}}]이고 극한값이 [eqn: rm 3]으로 존재하므로

[eqn: r=4]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {a_{n}+1} over {3^{n}+2^{2 n-1}}][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {{a} over {4}+ left({1} over {4} right)^{n}} over { left({3} over {4} right)^{n}+{1} over {2}}]
[eqn: ={{a} over {4}+0} over {0+{1} over {2}}]
[eqn: ={a} over {2}]

[eqn: a over2 =3`]에서    [eqn: a=6]

[eqn: therefore] [eqn: a_2 =ar=24]

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 18]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: rm 22]	⑤ [eqn: rm 24]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
03 수열의 극한의 활용3 (평면좌표 또는 함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 26

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]에 대하여 좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmA _{itn} LEFT ( itn ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rm B _{it n rm} LEFT ( itn ,```` 3 RIGHT )]이 있다. 점 [eqn: rmP LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )]을 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: rmOB _{itn}]과 만나는 점을 [eqn: rm C _{it n rm}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {{{bar{rm PC _{it n rm} it}}} over {{bar{rm OB _{it n rm} it}} - {bar{rm OA _{it n rm} it}}}} = {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

[eqn: rmA _{itn} LEFT ( itn ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rm B _{it n rm} LEFT ( itn ,```` 3 RIGHT )]에서 [eqn: {bar{rmOA _{itn}}}][eqn: =n], [eqn: {bar{rmOB _{itn}}}][eqn: = sqrt {n ^{2} +9}]

직선 [eqn: rmOB _{itn}]의 방정식은 [eqn: y][eqn: = {3} over {n} x]이므로

점 [eqn: rmC _{itn}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1 ,```` {3} over {n} RIGHT )]이고 [eqn: {bar{rmPC _{itn}}}][eqn: = {3} over {n}]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {{{bar{rm PC _{it n rm} it}}} over {{bar{rm OB _{it n rm} it}} - {bar{rm OA _{it n rm} it}}}}]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {{3} over {n}} over {sqrt {n ^{2} +9} -n}]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {1} over {3} LEFT ( sqrt {1+ {9} over {n ^{2}}} +1 RIGHT )]

[eqn: = {2} over {3}]

[eqn: p=3], [eqn: q=2]이므로 [eqn: p+q][eqn: =5]

(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)=x left(x-n right)left(x-3n^2 right)`]이 극대가 되는 [eqn: x`]를 [eqn: a_{`n}`]이라 하자. [eqn: x`]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=f left(a_{`n}right) `]의 근 중에서 [eqn: a_{`n}`]이 아닌 근을 [eqn: b_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim_{n`->`infty}{{a_{`n} b_{`n}} over {n^{3}}}= q over p `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: 5]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =x left(x-n right)left(x-3n^2 right)]
[eqn: =x^3 -left(3n^2 +n right) x^2 +3n^3 x]

[eqn: f`'(x)=3x^2 -2(3n^2 +n)x+3n^3]

[eqn: f`'(x)=0`]에서

[eqn: x= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

또는 [eqn: x= {3n^2 +n+sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

함수 [eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수이므로

[eqn: x= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]에서 극댓값을 갖는다.

즉 [eqn: a_{`n}= {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3 }]

[eqn: lim_{n`->`inf}{{a_{`n}}overn}][eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n^2 +n-sqrt{9n^4 -3n^3 +n^2 }} over {3n }]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n +1-sqrt{9n^2 -3n +1 }} over {3 }]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {left(3n +1right)^2 - left(9n^2 -3n +1right)} over {3left(3n +1 +sqrt{9n^2 -3n +1 } right)}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3n }over{3n +1 +sqrt{9n^2 -3n +1 }}}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{ {3 }over{3 + 1overn +sqrt{9 - 3 overn + 1overn^2 }}}]
[eqn: = 1over2]

방정식 [eqn: f(x)-f left(a_{`n} right)=0]은 [eqn: x=a_{`n}`]을 중근으로 가지고, [eqn: a_{`n}`]이 아닌 근이 [eqn: b_{`n}`]이므로

[eqn: f(x)-f(a_{n})=(x-a_{n})^{2}(x-b_{n})`]

[eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: f(a_{n})=a_{n} ^{```2} b_{n}]에서

[eqn: a_{`n}^{```2}b_{`n}`][eqn: ={a_{`n} ^{```3} -left(3n^2 +n right) {a_{`n}^{```2} +3n^3 a_{`n}]

양변을 [eqn: n^3 {a_{`n}}`]으로 나누면

[eqn: {a_{`n}b_{`n}}over{n^3 }][eqn: ={{a_{`n} ^{```2} -left(3n^2 +n right) {a_{`n} +3n^3 }}over{n^3 }]

이때

[eqn: lim_{n`->`inf}{{a_{`n}b_{`n}}over{n^3 }}][eqn: =lim_{n`->`inf}{{{a_{`n} ^{```2} -left(3n^2 +n right) {a_{`n} +3n^3 }}over{n^3 }}]
[eqn: =lim_{n`->`inf}{left{1overn times left( {a_{`n}}overn right)^2 }- {3n^2 +n }overn^2 times a_n overn +3 right}]
[eqn: = 0-3 times 1over2 +3][eqn: = 3over2]

[eqn: p=2], [eqn: q=3`]이므로

[eqn: p+q=5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 28

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rm{A}} it _{n}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it _{n}]의 좌표를 [eqn: left(x_{n},`` y_{n} right)]이라 하면

규칙 (나)에서 [eqn: x_{2 n}=x_{2 n-1}+a], [eqn: y_{2 n}=y_{2 n-1}]

규칙 (다)에서 [eqn: x_{2 n+1}=x_{2 n}], [eqn: y_{2 n+1}=y_{2 n}+(a+1)]

[eqn: x_{2 n+2}=x_{2 n+1}+a=x_{2 n}+a]

[eqn: y_{2 n+2}=y_{2 n+1}=y_{2 n}+(a+1)]

즉 두 수열 [eqn: left{ x_{2 n} it right}], [eqn: left{ y_{2 n} it right}]은 공차가 각각 [eqn: a], [eqn: a+1]인 등차수열이고, 규칙 (가)에서

[eqn: x_{2}=x_{1}+a=a], [eqn: y_{2}=y_{1}=0]이므로

[eqn: x_{2 n}=a+(n-1) a=a n],

[eqn: y_{2 n}=0+(n-1)(a+1)=(a+1)(n-1)]

그러므로

[eqn: { overline{{rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2 n}}}^{2}=x_{2 n} it ^ {2}+y_{2 n} it ^ {2}]
[eqn: =a^{2} n^{2}+(a+1)^{2}(n-1)^{2}]
[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } { overline{{rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2 n}}} over {n} = lim _{n ``rarrow`` inf } { sqrt{a^{2} n^{2}+(a+1)^{2}(n-1)^{2}}} over {n}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sqrt{a^{2}+(a+1)^{2} left(1-{1} over {n} right)^{2}}]
[eqn: = sqrt{2 a^{2}+2 a+1}]
[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } { overline{{rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2 n}}} over {n}={ sqrt{34}} over {2}]에서 [eqn: sqrt{2 a^{2}+2 a+1}={ sqrt{34}} over {2}]
양변을 제곱하여 정리하면
[eqn: 4 a^{2}+4 a-15=0], [eqn: (2 a+5)(2 a-3)=0],
[eqn: a=-{5} over {2}] 또는 [eqn: a={3} over {2}]

따라서 양수 [eqn: a]의 값은 [eqn: {3} over {2}]이다.

(가) [eqn: {rm{A}} it _{1}]은 원점이다.

(나) [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: {rm{A}} it _{n+1}]은 점 [eqn: {rm{A}} it _{n}]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동한 점이다.

(다) [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: {rm{A}} it _{n+1}]은 점 [eqn: {rm{A}} it _{n}]을 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a+1]만큼 평행이동한 점이다.

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {bar{{rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2 n}}} over {n}={ sqrt{34}} over {2}]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
04 수열의 극한의 활용4 (원 관련)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 27

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 점 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )]을 지나고 점 [eqn: LEFT ( n ,```` n RIGHT )]에서 직선 [eqn: y=x]와 접하는 원의 중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( a _{n} ,```` b _{n} RIGHT )]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {a _{n} -b _{n}} over {n ^{2}}]의 값을 구하시오. [4점]

[정답] [eqn: bold { 2 }]

[해설]

점 [eqn: LEFT ( n ,```` n RIGHT )]에서 직선 [eqn: y=x]와 접하는 원의 중심은 직선 [eqn: y= it -x+2n] 위에 있으므로 [eqn: b _{n} = it -a _{n} +2n]

원의 중심이 두 점 [eqn: LEFT ( n ,```` n RIGHT ) ,```` LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )]으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있으므로

[eqn: LEFT ( a _{n} -n RIGHT ) ^{2} + LEFT { LEFT ( -a _{n} +2n RIGHT ) -n RIGHT } ^{2}][eqn: = LEFT ( a _{n} -1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -a _{n} +2n RIGHT ) ^{2}]

[eqn: a _{n}][eqn: = {2n ^{2} +1} over {2}], [eqn: b _{n}][eqn: = it - {2n ^{2} +1} over {2} +2n]

[eqn: a _{n} -b _{n}][eqn: =2n ^{2} -2n+1]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} {a _{n} -b _{n}} over {n ^{2}}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {2n ^{2} -2n+1} over {n ^{2}}][eqn: =2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 29

자연수 [eqn: n`]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rm P _{it n rm} LEFT ( it 2n,``4n ^{2} RIGHT ) `]에서의 접선과 수직이고 점 [eqn: rm Q _{it n rm} it LEFT ( 0,``2n ^{2} RIGHT )]을 지나는 직선을 [eqn: l _{n} `]이라 하자. 점 [eqn: rm P _{it n rm}`]을 지나고 점 [eqn: rm Q _{it n rm} `]에서 직선 [eqn: l _{n} `]과 접하는 원을 [eqn: C _{n} `]이라 할 때, 원점을 지나고 원 [eqn: C _{n} `]의 넓이를 이등분하는 직선의 기울기를 [eqn: a _{`n} `]이라 하자. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{`n}} over {n}} `]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

점 [eqn: rm`Q _{itn`}]을 지나고 직선 [eqn: l _{n} `]에 수직인 직선을 [eqn: m_n `]이라 하면 원 [eqn: C_n `]의 중심은 직선 [eqn: m_n] 위에 존재한다. 직선 [eqn: m_n`]은 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rmP_{it n}`]에서의 접선과 평행하고 [eqn: y'=2x`]이므로 직선 [eqn: m_n `]의 기울기는 [eqn: 4n`]이다. 직선 [eqn: m_n`]이 점 [eqn: rmQ_{it n}`]을 지나므로 직선 [eqn: m_n`]의 방정식은

[eqn: y= it 4nx+2n ^{2}]

선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q_{itn }]의 수직이등분선을 [eqn: k_n`]이라 하면 원 [eqn: C _{n} `]의 중심은 직선 [eqn: k_n] 위에 존재한다.
직선 [eqn: rm P _{it n rm} Q _{it n rm} `]의 기울기는 [eqn: n`], 선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q_{itn }]의 중점의 좌표는 [eqn: LEFT ( n,``3n ^{2} RIGHT )`]이므로 직선 [eqn: k_n]의 방정식은

[eqn: y= it - {1} over {n} LEFT ( x-n RIGHT ) +3n ^{2} `]
[eqn: y= it - {1} over {n} x +3n ^{2} +1`]

원 [eqn: C _{n} `]의 중심은 두 직선 [eqn: m _{n}], [eqn: k _{n} `]의 교점이므로 원 [eqn: C_n `]의 중심의 좌표를 [eqn: LEFT ( x _{n} ,``y _{n} RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: 4nx _{n} +2n ^{2} = it - {1} over {n} x _{n} +3n ^{2} +1`]에서

[eqn: LEFT ( 4n+ {1} over {n} RIGHT ) x _{n} =n ^{2} +1]

[eqn: x _{n} = {n ^{3} +n} over {4n ^{2} +1}]
[eqn: y _{n} = 4n times {n ^{3} +n } over {4n ^{2} +1} +2n ^{2} `= {12n ^{4} +6n ^{2}} over {4n^2 +1}]

원점을 지나고 원 [eqn: C _{n} `]의 넓이를 이등분하는 직선은 이 원의 중심을 지나야 하므로
[eqn: a _{n} = {y _{n}} over {x _{n}} = {12n ^{4} +6n ^{2}} over {n ^{3} +n} `][eqn: = {12n^3 +6n}over{n^2 +1}]

따라서
[eqn: lim _{n` -> INF } {{a _{n}} over {n} =} lim _{n` -> INF } {{12n^2 +6} over {n ^{2} +1}} =12`]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 30

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선

[정답] [eqn: 80]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: y]좌표는 [eqn: { sqrt{3}} over {n+1} t^{2}]

[eqn: overline{{rm{OP}} it _{n}}=2 n+2]이므로 [eqn: sqrt{t^{2}+ left({ sqrt{3}} over {n+1} t^{2} right)^{2}}=2 n+2]에서

[eqn: t=n+1]

직각삼각형 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{OH}} it _{n}]에서 [eqn: overline{{rm{OH}} it _{n}}: overline{{rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}}=1: sqrt{3}]이므로 [eqn: tan left( angle {rm{P}} it _{n} {rm{OH}} it _{n} right)= sqrt{3}]즉 [eqn: angle {rm{P}} it _{n} {rm{OH}} it _{n}={ pi} over {3}]

[eqn: angle {rm{R}} it _{n} {rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}=2 times angle {rm{OP}} it _{n} {rm{H}} it _{n}=2 times { pi} over {6}={ pi} over {3}]

점 [eqn: {rm{R}} it _{n}]을 포함하지 않는 호 [eqn: {rm{Q}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]과 선분 [eqn: {rm{OH}} it _{n}], 곡선 [eqn: T_{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: h(n)]이라 하자.

(i) 곡선 [eqn: T_{n}]과 [eqn: x]축 및 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: f(n)+h(n)]이므로

[eqn: f(n)+h(n)][eqn: = int_{0}^{n+1} { sqrt{3}} over {n+1} x^{2} d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} { sqrt{3}} over {3(n+1)} x^{3} right]_{0}^{n+1}]
[eqn: ={ sqrt{3}} over {3}(n+1)^{2} cdots cdots] ㉠

(ii) 점 [eqn: {rm{Q}} it _{n}]을 포함하는 호 [eqn: {rm{R}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]과 두 선분 [eqn: {rm{OR}} it _{n}], [eqn: {rm{OH}} it _{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: g(n)+h(n)]이고, 이 값은 사각형 [eqn: {rm{OH}} it _{n} {rm{P}} it _{n} {rm{R}} it _{n}]의 넓이에서 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {3}]인 부채꼴 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{R}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]의 넓이를 뺀 값과 같으므로

[eqn: g(n)+h(n)][eqn: =2 times left({1} over {2} times overline{{rm{OH}} it _{n}} times overline{{rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}} right)-{1} over {2} times{ overline{{rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}}}^{2} times { pi} over {3}]
[eqn: = sqrt{3}(n+1)^{2}-{ pi(n+1)^{2}} over {2}]
[eqn: = left( sqrt{3}-{ pi} over {2} right)(n+1)^{2} cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: f(n)-g(n)= left({ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3} right)(n+1)^{2}]이므로

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {f(n)-g(n)} over {n^{2}}= lim _{n ``rarrow`` inf } { left({ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3} right)(n+1)^{2}} over {n^{2}}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } left({ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3} right) left(1+{1} over {n} right)^{2}]

[eqn: ={ pi} over {2}-{2 sqrt{3}} over {3}]

그러므로 [eqn: k=-{2 sqrt{3}} over {3}]

따라서 [eqn: 60 k^{2}=60 times left(-{2 sqrt{3}} over {3} right)^{2}=80]

[eqn: T_{n}: y={ sqrt{3}} over {n+1} x^{2}(x geq 0)]

위에 있고 원점 [eqn: {rm{O}} it]와의 거리가 [eqn: 2 n+2]인 점을 [eqn: {rm{P}} it _{n}]이라 하고, 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it _{n}]이라 하자.

중심이 [eqn: {rm{P}} it _{n}]이고 점 [eqn: {rm{H}} it _{n}]을 지나는 원을 [eqn: C_{n}]이라 할 때, 곡선 [eqn: T_{n}]과 원 [eqn: C_{n}]의 교점 중 원점에 가까운 점을 [eqn: {rm{Q}} it _{n}], 원점에서 원 [eqn: C_{n}]에 그은 두 접선의 접점 중 [eqn: {rm{H}} it _{n}]이 아닌 점을 [eqn: {rm{R}} it _{n}]이라 하자.

점 [eqn: {rm{R}} it _{n}]을 포함하지 않는 호 [eqn: {rm{Q}} it _{n} {rm{H}} it _{n}]과 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{H}} it _{n}], 곡선 [eqn: T_{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: f(n)], 점 [eqn: {rm{H}} it _{n}]을 포함하지 않는 호 [eqn: {rm{R}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]과 선분 [eqn: {rm{OR}} it _{n}], 곡선 [eqn: T_{n}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {f(n)-g(n)} over {n^{2}}={ pi} over {2}+k]이다. [eqn: 60 k^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
05 수열의 극한의 활용5 (도형)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 28

자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: rm ANGLE A=90°], [eqn: rm {bar{AB}} =2], [eqn: rm {bar{CA}} =itn`]인 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 [eqn: angle rmA`]의 이등분선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD`]라 하자. 선분 [eqn: rmCD`]의 길이를 [eqn: a _{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( n-a _{`n} RIGHT )} `]의 값은?

[정답] ③

[해설]

직각삼각형 [eqn: rmABC`]에서 피타고라스 정리에 의해

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{CA}} ^{2}][eqn: =4+n^2]

[eqn: rm {bar{BC}} = sqrt {itn ^{2} +4}]

선분 [eqn: rmAD`]가 [eqn: rm ANGLE A`]의 이등분선이므로

[eqn: rm {bar{BD}} : rm {bar{CD}} =2:itn]

즉 [eqn: a_{`n}={bar{rm CD it}} = {n} over {n+2} TIMES {bar{rm BC it}}][eqn: = {n sqrt {n ^{2} +4}} over {n+2}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } { LEFT ( n- a_{`n} RIGHT )}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( n- {n sqrt {n ^{2} +4}} over {n+2} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } { {n LEFT ( n+2- sqrt {n ^{2} +4} RIGHT )} over {n+2} }]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT { {n} over {n+2} TIMES {LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( n ^{2} +4 RIGHT )} over {n+2+ sqrt {n ^{2} +4}} RIGHT }]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( {n} over {n+2} TIMES {4n} over {n+2+ sqrt {n ^{2} +4}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } { LEFT ( {1} over {1+ 2overn }times {4} over {1+ 2overn + sqrt {1 + 4overn^2}} RIGHT )]
[eqn: =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 2sqrt2]	⑤ [eqn: 4]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
09 극한으로 정의된 함수1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 18

실수 [eqn: {a}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ③

[해설]

(i) [eqn: |x|>1]일 때

[eqn: f(x)][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {(a-2) x^{2 n+1}+2 x} over {3 x^{2 n}+1}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {(a-2) x+{2} over {x^{2 n-1}}} over {3+{1} over {x^{2 n}}}]
[eqn: ={a-2} over {3} x]

(ii) [eqn: |x|<1]일 때

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {(a-2) x^{2 n+1}+2 x} over {3 x^{2 n}+1}=2 x]

(iii) [eqn: x=1]일 때

[eqn: f(1)={a} over {4}]

(iv) [eqn: x=-1]일 때

[eqn: f(-1)=-{a} over {4}]

(i)[eqn: sim](iv)에서 [eqn: f(1)={a} over {4}]이므로

[eqn: (f circ f)(1)=f(f(1))=f left({a} over {4} right)={5} over {4}]

㉠ [eqn: left|{a} over {4} right|>1], 즉 [eqn: |a|>4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)={a-2} over {3} times {a} over {4}={5} over {4}]에서

[eqn: a^{2}-2 a-15=0]

[eqn: (a-5)(a+3)=0]

[eqn: |a|>4]이므로 [eqn: a=5]

㉡ [eqn: left|{a} over {4} right|<1], 즉 [eqn: |a|<4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)=2 times {a} over {4}={5} over {4}]에서 [eqn: a={5} over {2}]

㉢ [eqn: {a} over {4}=1], 즉 [eqn: a=4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)=f(1)=1 neq {5} over {4}]

㉣ [eqn: {a} over {4}=-1], 즉 [eqn: a=-4]일 때

[eqn: f left({a} over {4} right)=f(-1)=1 neq {5} over {4}]

따라서 모든 [eqn: a]의 값은 [eqn: a=5] 또는 [eqn: a={5} over {2}]이고, 그 합은

[eqn: 5+{5} over {2}={15} over {2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {LEFT ( a-2 RIGHT ) x ^{2n+1} +2x} over {3x ^{2n} +1}]

라 하자. [eqn: LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {5} over {4}]가 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: {11} over {2}]	② [eqn: {13} over {2}]	③ [eqn: {15} over {2}]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: {19} over {2}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 7

함수

[정답] ②

[해설]

(ⅰ) [eqn: left |`` x over 4 `` right | > 1] 즉, [eqn: | `` x ``| > 4]일 때, [eqn: lim_{n ``->`` inf} left( x over 4 right)^2n =inf]이므로

[eqn: f(x)=lim_{n ``->`` inf} {2 times left( x over 4 right)^2n+1 -1} over {left( x over 4 right)^2n +3} = {2 times x over 4 -0} over {1 +0} = x over 2]

(ⅱ) [eqn: left |`` x over 4 `` right | < 1] 즉, [eqn: | `` x ``| < 4]일 때, [eqn: lim_{n ``->`` inf} left( x over 4 right)^2n =0]이므로

[eqn: f(x)=lim_{n ``->`` inf} {2 times left( x over 4 right)^2n+1 -1} over {left( x over 4 right)^2n +3} = {0 -1} over {0 +3} = - 1 over 3]

(ⅲ) [eqn: x=4]일 때,

[eqn: f(4)=lim_{n ``->`` inf} {2 times left( x over 4 right)^2n+1 -1} over {left( x over 4 right)^2n +3} = {2 times 1 -1} over {1 +3} = 1 over 4]

(ⅳ) [eqn: x=-4]일 때,

[eqn: f(-4)=lim_{n ``->`` inf} {2 times left( x over 4 right)^2n+1 -1} over {left( x over 4 right)^2n +3} = {2 times (-1) -1} over {1 +3} = - 1 over 4]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 위의 그래프에서 [eqn: f(k)=- 1 over 3]을 만족시키는 [eqn: k]는 [eqn: ``|`` k ``|`` < 4]인 경우이므로 만족하는 정수 [eqn: k]의 값은

[eqn: -3 ,```` -2 ,```` -1 ,```` 0 ,```` 1 ,```` 2 ,```` 3]

즉, [eqn: 7]개다.

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{n ``->`` INF } {} {2times LEFT ( {x} over {4} RIGHT ) ^{2n+1} -1} over {LEFT ( {x} over {4} RIGHT ) ^{2n} +3}}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]

에 대하여 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =it- {1} over {3}]을 만족시키는 정수 [eqn: k]의 개수는? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 26

함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: |x|>2]일 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left({2} over {x} right)^{2 n}=0]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {3 times left({x} over {2} right)^{2 n+1}-1} over { left({x} over {2} right)^{2 n}+1}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {{3} over {2} x- left({2} over {x} right)^{2 n}} over {1+ left({2} over {x} right)^{2 n}}]
[eqn: ={{3} over {2} x-0} over {1+0}={3} over {2} x]

[eqn: x=2]일 때, [eqn: f(2)={3-1} over {1+1}=1]

[eqn: x=-2]일 때, [eqn: f(-2)={-3-1} over {1+1}=-2]

[eqn: |x|<2]일 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left({x} over {2} right)^{2 n}=0]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {3 times left({x} over {2} right)^{2 n+1}-1} over { left({x} over {2} right)^{2 n}+1}={0-1} over {0+1}=-1]

그러므로

[eqn: f(x)=cases{{3} over {2} x && (|x|>2) #```1 && (x=2) #-2 && (x=-2) #-1 && (|x|<2)}]

[eqn: |k|>2]이면 [eqn: f(k)={3} over {2} k]이므로 [eqn: |k|>2]에서

[eqn: f(k)=k]를 만족시키지 않는다.

[eqn: k=2]이면 [eqn: f(2)=1]이므로 [eqn: k=2]에서

[eqn: f(k)=k]를 만족시키지 않는다.

[eqn: k=-2]이면 [eqn: f(-2)=-2]이므로 [eqn: k=-2]에서

[eqn: f(k)=k]를 만족시킨다.

[eqn: |k|<2]이면 [eqn: f(k)=-1]이므로 [eqn: k=-1]에서

[eqn: f(k)=k]를 만족시킨다.

따라서 [eqn: f(k)=k]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의

합은 [eqn: -2+(-1)=-3]

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {3 times left({x} over {2} right)^{2 n+1}-1} over { left({x} over {2} right)^{2 n}+1}]

에 대하여 [eqn: f(k)=k]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③-[eqn: rm 4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

06 미적	01 수열의 극한
03 수열의 극한의 활용
10 극한으로 정의된 함수2 (연속성)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 미적분 29

실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t x-2]가 함수

[정답] [eqn: 28]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]를 구하면 다음과 같다.

( i ) [eqn: |x|<1]이면 [eqn: lim x^{n}=0]이므로 [eqn: f(x)=-1]

(ii) [eqn: x=1]이면 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } x^{n}=1]이므로 [eqn: f(x)={1} over {2}]

(iii) [eqn: x=-1]이면 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } x^{2 n+1}=-1]이고 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } x^{2 n}=1]

이므로 [eqn: f(x)=-{3} over {2}]

(iv) [eqn: |x|>1]이면 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left({1} over {x} right)^{n}=0]이므로

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {2 x- left({1} over {x} right)^{2 n}} over {1+ left({1} over {x} right)^{2 n}}=2 x]

그러므로 [eqn: f(x)= cases{eqalign{`-1~~(-1<x<1)# ```````` {1} over {2} ~(x=1)# - {3} over {2} ~(x=-1)# `````````2x~(x< it -1~또는~x>1)}]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

직선 [eqn: y=t x-2]는 점 [eqn: (0,``-2)]를 지나므로 기울기 [eqn: t]의 값에 따른 교점의 개수 [eqn: g(t)]를 구해 보면

[eqn: -1 leq t < it - {1} over {2}] 또는 [eqn: -{1} over {2}<t leq 0]일 때 [eqn: g(t)=0]

[eqn: t < it - 1] 또는 [eqn: t=-{1} over {2}] 또는 [eqn: 0<t leq 1] 또는 [eqn: t=2]

또는 [eqn: t geq 4]일 때 [eqn: g(t)=1]

[eqn: 1<t<2] 또는 [eqn: 2<t<{5} over {2}] 또는 [eqn: {5} over {2}<t<4]일 때 [eqn: g(t)=2]

[eqn: t={5} over {2}]일 때 [eqn: g(t)=3]

즉 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값은

[eqn: -1], [eqn: -{1} over {2}], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: {5} over {2}], [eqn: 4]

이므로 [eqn: m=7], [eqn: a_{m}=4]

따라서 [eqn: m times a_{m}=7 times 4=28]

[eqn: f(x)= lim _{n ``rarrow`` inf } {2 x^{2 n+1}-1} over {x^{2 n}+1}]

의 그래프와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 하자. 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 모든 [eqn: a]의 값을 작은 수부터 크기순으로

나열한 것을 [eqn: a_{1}], [eqn: a_{2}], [eqn: cdots], [eqn: a_{m}]( [eqn: m]은 자연수)라 할 때, [eqn: m times a_{m}]의 값을 구하시오.

06 미적	02 급수
01 급수의 성질 및 계산
05 소거형 급수3 (부분분수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 4

[eqn: {sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+2)}}{{from^2020^평가원가^3}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: LEFT . LEFT . sum _{n=1} ^{INF } {2} over {n(n+2)}]

[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( {1} over {1} - {1} over {3} RIGHT ) + RIGHT . RIGHT . LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {5} RIGHT ) + CDOTS]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {LEFT. LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} RIGHT . - {1} over {n+2} RIGHT )]

[eqn: = {3} over {2}}]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 15

첫째항이 양수이고 공차가 [eqn: {3}{{from^2020^04^서울고3가^}}]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]과 모든 항이 양수인 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{1}]의 값은? [4점]

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: log a _{n} +log a _{n+1} +log b _{n}][eqn: =0]

[eqn: log a _{n} a _{n+1} b _{n} =0], [eqn: a _{n} a _{n+1} b _{n} =1]

[eqn: b _{n}][eqn: = {1} over {a _{n} a _{n+1}}]
[eqn: = {1} over {a _{n+1} -a _{n}} LEFT ( {1} over {a _{n}} - {1} over {a _{n+1}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( {1} over {a _{n}} - {1} over {a _{n+1}} RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } {1} over {3} LEFT ( {1} over {a _{n}} - {1} over {a _{n+1}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} sum _{k=1} ^{n} {1} over {3} LEFT ( {1} over {a _{k}} - {1} over {a _{k+1}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {1} over {3} LEFT { LEFT ( {1} over {a _{1}} - {1} over {a _{2}} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {a _{2}} - {1} over {a _{3}} RIGHT )]
[eqn: + CDOTS + LEFT ( {1} over {a _{n}} - {1} over {a _{n+1}} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {1} over {3} LEFT ( {1} over {a _{1}} - {1} over {a _{n+1}} RIGHT )]
[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {1} over {3} LEFT ( {1} over {a _{1}} - {1} over {3n+a _{1}} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {3} TIMES {1} over {a _{1}}][eqn: = {1} over {12}]

따라서 [eqn: a _{1} =4]

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: log a _{n} +log a _{n+1} +log b _{n}][eqn: =0]

(나) [eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n}][eqn: = {1} over {12}]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

06 미적	02 급수
01 급수의 성질 및 계산
08 급수의 수렴과 발산2 (수렴조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 6

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} a _{n}][eqn: =3]이고 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} +2b _{n} -7 RIGHT )]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} b _{n}]의 값은? [3점]

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{n} +2b _{n} -7=c _{n}]이라 하면 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } c _{n}]이 수렴하므로

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} c _{n} =0]

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} b _{n}][eqn: = lim _{n ``->`` INF } {} {c _{n} -a _{n} +7} over {2}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( lim _{n ``->`` INF } {} c _{n} - lim _{n ``->`` INF } {} a _{n} +7 RIGHT )][eqn: =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 27

첫째항이 [eqn: rm 4]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 급수

[정답] ③

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항이 [eqn: rm 4]이므로 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_{n}=4+(n-1) d]

이때, 급수

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } left({a_{n}} over {n}-{3 n+7} over {n+2} right)]

이 수렴하므로

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left({a_{n}} over {n} right.][eqn: left.-{3 n+7} over {n+2} right)]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } left({4+(n-1) d} over {n}-{3 n+7} over {n+2} right)]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } left({d+{4-d} over {n}} over {1}-{3+{7} over {n}} over {1+{2} over {n}} right)]
[eqn: =d-3=0]

그러므로

[eqn: d=3]

이때, [eqn: a_{n}=3 n+1]이므로 주어진 급수에 대입하면

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } left({a_{n}} over {n}-{3 n+7} over {n+2} right)]

[eqn: = sum_{n=1}^{ inf } left({3 n+1} over {n}-{3 n+7} over {n+2} right)]

[eqn: = sum_{n=1}^{ inf } left{ left(3+{1} over {n} right)- left(3+{1} over {n+2} right) it right}]

[eqn: = sum_{n=1}^{ inf } left({1} over {n}-{1} over {n+2} right)]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} left({1} over {k}-{1} over {k+2} right)]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } left{ left({1} over {1}-{1} over {3} right)+ left({1} over {2}-{1} over {4} right)+ left({1} over {3}-{1} over {5} right)+ cdots right.]

[eqn: left. ~ + left({1} over {n-1}-{1} over {n+1} right)+ left({1} over {n}-{1} over {n+2} right) it right}]

[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } left(1+{1} over {2}-{1} over {n+1}-{1} over {n+2} right)]

[eqn: ={3} over {2}]

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } left({a_{n}} over {n}-{3 n+7} over {n+2} right)]

이 실수 [eqn: S]에 수렴할 때, [eqn: S]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: rm 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

06 미적	02 급수
01 급수의 성질 및 계산
09 급수의 수렴과 발산3 (수렴조건. 모양 맞추기)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 5

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^06^평가원고3가^}}]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {n} =10]일 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } { {a _{n} +2a _{n} ^{2} +3n ^{2}} over {a _{n} ^{2} +n ^{2}}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n}} over {n} =10]에서 급수가 수렴하므로 [eqn: lim _{n ``->`` INF } {{a _{n}} over {n} =0}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: lim _{n ``->`` INF } { {a _{n} +2a _{n} ^{2} +3n ^{2}} over {a _{n} ^{2} +n ^{2}}}]

[eqn: =lim _{n ``->`` INF } { {LEFT ( a _{n} +2a _{n}^{2} +3n ^{2} RIGHT ) TIMES {1} over {n ^{2}}} over {LEFT ( a _{n}^{2} +n ^{2} RIGHT ) TIMES {1} over {n ^{2}}}}]

[eqn: = lim _{n ``->`` INF } {{{a _{n}} over {n ^{2}} +2 LEFT ( {a _{n}} over {n} RIGHT ) ^{2} +3} over {LEFT ( {a _{n}} over {n} RIGHT ) ^{2} +1}}]

[eqn: =lim _{n ``->`` INF } {{{a _{n}} over {n ^{2}} +2 LEFT ( {a _{n}} over {n} RIGHT ) ^{2} +3} over {LEFT ( {a _{n}} over {n} RIGHT ) ^{2} +1}}] ([eqn: because] ㉠)

[eqn: = {3} over {1}][eqn: =3]

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 25

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -2 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {2n ^{2} +3n`a _{n}} over {n ^{2} +4}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {n} -2 RIGHT )]가 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n}][eqn: =2]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {} {2n ^{2} +3n`a _{n}} over {n ^{2} +4}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {2+3 TIMES {a _{n}} over {n}} over {1+ {4} over {n ^{2}}}]
[eqn: = {2+3 TIMES 2} over {1+0}][eqn: =8]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 24

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} -4n} over {n}][eqn: =1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {5n+a _{n}} over {3n-1}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {a _{n} -4n} over {n}][eqn: =1]이므로 [eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n} -4n} over {n}][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {a _{n}} over {n} -4 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {n}][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT { LEFT ( {a _{n}} over {n} -4 RIGHT ) +4 RIGHT }][eqn: = lim _{n -> INF } {} LEFT ( {a _{n}} over {n} -4 RIGHT ) + lim _{n -> INF } {} 4]
[eqn: 0+4][eqn: =4]

[eqn: lim _{n -> INF } {} {5n+a _{n}} over {3n-1}][eqn: = lim _{n -> INF } {} {5+ {a _{n}} over {n}} over {3- {1} over {n}}][eqn: = {5+4} over {3-0}][eqn: =3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
04 등비급수의 계산2 (등비수열의 일반항)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 8

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: left{ a_{n} it right}]이 등비수열이므로 [eqn: a_{n}=a times r^{n}]으로 놓으면

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {3^{n}} over {a_{n}+2^{n}}= lim _{n ``rarrow`` inf } {3^{n}} over {a times r^{n}+2^{n}}][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over {a times left({r} over {3} right)^{n}+ left({2} over {3} right)^{n}}][eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } left({2} over {3} right)^{n}=0]이므로 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } a times left({r} over {3} right)^{n}={1} over {6}]이어야 한다.

즉, [eqn: a={1} over {6}], [eqn: r=3]

따라서 [eqn: a_{n}={1} over {6} times 3^{n}]이므로

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } {1} over {a_{n}}=6 sum_{n=1}^{ inf } left({1} over {3} right)^{n}][eqn: ={2} over {1-{1} over {3}}=3]

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } {3^{n}} over {a_{n}+2^{n}}=6]

일 때, [eqn: sum_{n=1}^{ inf } {1} over {a_{n}}]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

06 미적	02 급수
02 등비급수의 성질 및 계산
07 등비급수의 계산5 (합의 해석)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 25

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[정답] 2

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: a_{2 n-1}-a_{2 n}=a_{2 n-1}-r times a_{2 n-1}=(1-r) a_{2 n-1}]

이므로 수열 [eqn: left{ a_{2 n-1}-a_{2 n} it right}]은 첫째항이 [eqn: a_{1}-a_{2}=(1-r) a], 공비가 [eqn: r^{2}]인 등비수열이다.

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } left(a_{2 n-1}-a_{2 n} right)=3]이므로 [eqn: r^{2}<1], 즉 [eqn: -1<r<1]이고

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } left(a_{2 n-1}-a_{2 n} right)={(1-r) a} over {1-r^{2}}=3]

[eqn: r neq 1]이므로 [eqn: {a} over {1+r} =3][eqn: cdotscdots] ㉠

수열 [eqn: left{ a_{n}^{2} it right}]은 첫째항이 [eqn: a_{1}^{2}=a^{2}], 공비가 [eqn: r^{2}]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n}^{2} = {a ^{2}} over {1-r ^{2}} =6][eqn: cdotscdots] ㉡

㉠에 의하여 [eqn: {a^{2}} over {1-r^{2}}={a} over {1+r} times {a} over {1-r}=3 times {a} over {1-r}]이므로 ㉡에서

[eqn: 3 times {a} over {1-r}=6], [eqn: {a} over {1-r}=2]

따라서 [eqn: sum_{n=1}^{ inf } a_{n}={a} over {1-r}=2]

[eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } ` LEFT ( a _{2n-1} -a _{2n} RIGHT ) =3,~ sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n}^{~2} =6]

일 때, [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } `a _{n}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
03 일반급수의 활용2 (함수 및 도형)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 30

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 13]

[해설]

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} {1} over {x ^{2n}}][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {a+ {b} over {x} + {1} over {x ^{2n-1}}} over {1+ {2} over {x ^{2n}}}][eqn: =a+ {b} over {x}]

[eqn: x=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {a+b+1} over {3}]

[eqn: x= it -1]일 때, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = {a-b-1} over {3}]

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]일 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} x ^{2n}][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {ax ^{2n} +bx ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}][eqn: = {0+0+x} over {0+2}][eqn: = {x} over {2}]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )= {cases{eqalign{a+ {b} over {x}# # {a+b+1} over {3}# }&eqalign{~~~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >1 RIGHT )# # # ~~~ LEFT ( x=1 RIGHT )# }#eqalign{{a-b-1} over {3}# # {x} over {2}# }&eqalign{~~~ LEFT ( x=-1 RIGHT )# # # ~~~ LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | <1 RIGHT )# }}}]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]이라 하면

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]의 실근의 개수는

두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수와 같다.

[eqn: x< it -1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소하고 [eqn: x>1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 감소하므로

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | >1]에서 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 2]이고,

[eqn: LEFT | `x` RIGHT | <1]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인

일차함수이므로 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

그러므로 [eqn: c _{k}][eqn: =5]인 자연수 [eqn: k]가 존재하려면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( -1 RIGHT )]이어야 하고,

두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같아야 한다.

즉, 직선 [eqn: y][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +k]는

두 점 [eqn: LEFT ( 1,~ {a+b+1} over {3} RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1,~ {a-b-1} over {3} RIGHT )]을 지나므로

[eqn: {a+b+1} over {3}][eqn: =k], [eqn: {a-b-1} over {3}][eqn: =k-4]에서

[eqn: b=5]

[eqn: k][eqn: = {a} over {3} +2]가 자연수이므로 [eqn: a]는 [eqn: 3]의 배수이다.	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: lim _{x -> -1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) <f LEFT ( -1 RIGHT ) < lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]이어야 하므로

[eqn: a-5< {a} over {3} -2< it - {1} over {2}]에서 [eqn: a< {9} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: a>0]이므로 [eqn: {1} over {2} < {a} over {3} +2<a+5]가 성립하며

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) <f LEFT ( 1 RIGHT ) < lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

㉠, ㉡에 의해 [eqn: 0<a< {9} over {2}]이므로 [eqn: a=3], [eqn: k=3]

(ⅰ) [eqn: m=1]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = it -3], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]이므로 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: -1<x<1], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{1}][eqn: =2]

(ⅱ) [eqn: m=2]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = it -2], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]이므로 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x][eqn: =0], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{2}][eqn: =2]

(ⅲ) [eqn: m=3]일 때
[eqn: m][eqn: =k][eqn: =3]이므로 [eqn: c _{3}][eqn: =5]

(ⅳ) [eqn: 4 LEQ m LEQ 7]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) > lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {1} over {2}],
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) < lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =8]이므로
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x< it -1], [eqn: x>1]에서 각각 [eqn: 1]개씩 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{m}][eqn: =2]

(ⅴ) [eqn: m GEQ 8]일 때
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) > lim _{x -> -1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it - {1} over {2}],
[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: GEQ lim _{x -> 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =8]이므로
[eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x< it -1]에서 [eqn: 1]개의 교점을 갖는다.
그러므로 [eqn: c _{m}][eqn: =1]

(ⅰ)~(ⅴ)에 의해

[eqn: k+ sum _{m=1} ^{INF } LEFT ( c _{m} -1 RIGHT )][eqn: =3+1+1+4+1 TIMES 4][eqn: =13]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = lim _{n -> INF } {} {ax ^{2n} +bx ^{2n-1} +x} over {x ^{2n} +2}] ([eqn: a,~b]는 양의 상수)

라 하자. 자연수 [eqn: m]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 LEFT ( x-1 RIGHT ) +m]의 실근의 개수를 [eqn: c _{m}]이라 할 때, [eqn: c _{k}][eqn: =5]인 자연수 [eqn: k]가 존재한다. [eqn: k+ sum _{m=1} ^{INF } LEFT ( c _{m} -1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 27

자연수 [eqn: n]에 대하여 곡선 [eqn: y=x^{2}-2 n x-2 n]이 직선 [eqn: y=x+1]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{n}], [eqn: {rm{Q}} it _{n}]이라 하자. 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]을 대각선으로 하는 정사각형의 넓이를 [eqn: a_{n}]이라 할 때, [eqn: sum_{n=1}^{ inf } {1} over {a_{n}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

직선 [eqn: y=x+1]이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는
각의 크기가 [eqn: { pi} over {4}]이므로 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]을 대각선으로 하는 정사각형의 각 변은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행하다.

점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha_{n}], 점 [eqn: {rm{Q}} it _{n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta_{n}]이라 하면 정사각형의 한 변의 길이는 [eqn: left| alpha_{n}- beta_{n} right|]이므로

[eqn: a_{n}= left( alpha_{n}- beta_{n} right)^{2}][eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: alpha_{n}], [eqn: beta_{n}]은 이차방정식

[eqn: x^{2}-2 n x-2 n=x+1]

[eqn: x^{2}-(2 n+1) x-(2 n+1)=0]

의 두 실근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에

의하여 [eqn: alpha_{n}+ beta_{n}=2 n+1], [eqn: alpha_{n} beta_{n}=-2 n-1]

㉠에서

[eqn: a_{n}][eqn: = left( alpha_{n}- beta_{n} right)^{2}]
[eqn: = left( alpha_{n}+ beta_{n} right)^{2}-4 alpha_{n} beta_{n}]
[eqn: =(2 n+1)^{2}-4(-2 n-1)]
[eqn: =4 n^{2}+12 n+5]
[eqn: =(2 n+1)(2 n+5)]

따라서

[eqn: sum_{n=1}^{ inf } {1} over {a_{n}}][eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} {1} over {(2 k+1)(2 k+5)}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } sum_{k=1}^{n} {1} over {4} left({1} over {2 k+1}-{1} over {2 k+5} right)]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over {4} left{ left({1} over {3}-{1} over {7} right)+ left({1} over {5}-{1} over {9} right)+ cdots right.]
[eqn: left.+ left({1} over {2 n-1}-{1} over {2 n+3} right)+ left({1} over {2 n+1}-{1} over {2 n+5} right) it right}]
[eqn: = lim _{n ``rarrow`` inf } {1} over {4} left({1} over {3}+{1} over {5}-{1} over {2 n+3}-{1} over {2 n+5} right)]
[eqn: = {1} over {4} times {8} over {15}={2} over {15}]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {2} over {15}]	③ [eqn: {1} over {6}]

④ [eqn: {1} over {5}]	⑤ [eqn: {7} over {30}]

06 미적	02 급수
03 급수의 활용
10 등비급수와 도형3 (넓이)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 18

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 8]인 정삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 세 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{A}} it _{1}]의 중점을 각각 [eqn: {rm{D}} it _{1}], [eqn: {rm{E}} it _{1}], [eqn: {rm{F}} it _{1}]이라 하고, 세 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{D}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{E}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]의 중점을 각각 [eqn: {rm{G}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{1}],[eqn: {rm{I}} it _{1}]이라 하고, 세 선분 [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{D}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{1} {rm{E}} it _{1}], [eqn: {rm{I}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]의 중점을 각각 [eqn: {rm{A}} it _{2}],[eqn: {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]라 하자. 세 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{F}} it _{1} {rm{G}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{A}} it _{2} {rm{D}} it _{1} {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{E}} it _{1} {rm{I}} it _{1}]에 모두 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.

[정답] ②

[해설]

그림 [eqn: R_{1}]에서 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{F}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 5 times 3 times sin { pi} over {3}-{1} over {2} times 4 times 2 times sin { pi} over {3}={7 sqrt{3}} over {4}]세 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{F}} it _{1} {rm{G}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{A}} it _{2} {rm{D}} it _{1} {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{E}} it _{1} {rm{I}} it _{1}]의 넓이는 모두 같으므로 [eqn: S_{1}={21 sqrt{3}} over {4}]

그림 [eqn: R_{n}]에서 세 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1} {rm{F}} it _{n} {rm{G}} it _{n}],

[eqn: {rm{B}} it _{n+1} {rm{A}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n} {rm{H}} it _{n}], [eqn: {rm{C}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1} {rm{E}} it _{n} {rm{I}} it _{n}]의 넓이의 합을 [eqn: T_{n}]이라 하자.

삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}]과 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}]이

닮음이므로 정삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}]의 한 변의 길이듣

[eqn: l_{n}]이라 하면 [eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{C}} it _{n+1}}={5} over {8} l_{n}], [eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1}}={3} over {8} l_{n}]

삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{A}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}]에서 코사인법칙을

이용하여 [eqn: overline{{rm{A}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}}]의 길이 [eqn: l_{n+1}]을 구하면 [eqn: left(l_{n+1} right)^{2}]

[eqn: = left({5} over {8} l_{n} right)^{2}+ left({3} over {8} l_{n} right)^{2}-2 times {5} over {8} l_{n} times {3} over {8} l_{n} times cos { pi} over {3}][eqn: ={19} over {64} left(l_{n} right)^{2}]

[eqn: l_{n+1}={ sqrt{19}} over {8} l_{n}]이고 [eqn: l_{n}: l_{n+1}=1: { sqrt{19}} over {8}]

[eqn: T_{n}: T_{n+1}=1: {19} over {64}]이고 [eqn: T_{n+1}={19} over {64} T_{n}]

[eqn: left{ T_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: T_{1}=S_{1}={21 sqrt{3}} over {4}]이고

공비가 [eqn: {19} over {64}]인 등비수열이다.

[eqn: lim _{n`` rarrow `` INF } {} S _{n} = sum _{n=1} ^{INF } T _{n} = {{21 sqrt {3}} over {4}} over {1- {19} over {64}} = {112 sqrt {3}} over {15}]

그림 [eqn: R_{1}]에서 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]에 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 세 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{3} {rm{C}} it _{3} {rm{F}} it _{2} {rm{G}} it _{2}], [eqn: {rm{B}} it _{3} {rm{A}} it _{3} {rm{D}} it _{2} {rm{H}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{3} {rm{B}} it _{3} {rm{E}} it _{2} {rm{I}} it _{2}]에 모두 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} S _{n}]의 값은?

[eqn: R _{1}]
[eqn: R _{2}]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

① [eqn: {109 sqrt{3}} over {15}]	② [eqn: {112 sqrt{3}} over {15}]	③ [eqn: {23 sqrt{3}} over {3}]

④ [eqn: {118 sqrt{3}} over {15}]	⑤ [eqn: {121 sqrt{3}} over {15}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 18

그림과 같이 두 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}]이 서로 평행하고 [eqn: {bar{rmA _{1} B _{1}}}][eqn: =10], [eqn: rm {bar{B _{1} C _{1}}} = {bar{C _{1} D _{1}}} = {bar{D _{1} A _{1}}} =6]인 사다리꼴 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]이 있다. 세 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1} ,```` C _{1} D _{ 1} ,```` D _{1} A _{1}]의 중점을 각각 [eqn: rmE _{1} ,```` F _{1} ,```` G _{1}]이라 하고 두 개의 삼각형 [eqn: rm C _{1} F _{1} E _{1} ,```` D _{1} G _{1} F _{1}]을 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmC _{1}]에서 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH _{1}]이라 하면 직각삼각형 [eqn: rmC _{1} H _{1} B _{1}]에서 [eqn: {bar{rmB _{1} H _{1}}} =2]이므로

[eqn: {rm {bar{C _{1} H _{1}}}][eqn: = it sqrt {6 ^{2} -4 ^{2}}][eqn: =4 sqrt {2}]이고,

직각삼각형 [eqn: rmA _{1} H _{1} C _{1}]에서

[eqn: {bar{rmA _{1} C _{1}}}][eqn: = sqrt {8 ^{2} + LEFT ( 4 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: =4 sqrt {6}]

삼각형 [eqn: rmA _{1} C _{1} D _{1}]과 삼각형 [eqn: rmG _{1} F _{1} D _{1}]은 서로 닮음이고

닮음비가 [eqn: 2 ``:`` 1]이므로 [eqn: {bar{rmG _{1} F _{1}}}][eqn: =2 sqrt {6}]

점 [eqn: rmD _{1}]에서 선분 [eqn: rmG _{1} F _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI _{1}]이라 하면

직각삼각형 [eqn: rmD _{1} I _{1} F _{1}]에서

[eqn: {bar{rmD _{1} I _{1}}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} - LEFT ( sqrt {6} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {3}]

[eqn: S _{1}][eqn: =2 TIMES {1} over {2} TIMES 2 sqrt {6} TIMES sqrt {3}][eqn: =6 sqrt {2}]

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부이다.

사다리꼴 [eqn: rm A _{it n rm} B _{itn} C _{itn} D _{itn}]에서 [eqn: {bar{rm A _{it n rm} B _{it n rm} it}} ``:`` {bar{rmA _{itn} D _{itn}}}][eqn: =5 ``:`` 3]이고, 사다리꼴 [eqn: rm A _{it n+ rm 1} B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} D _{it n rm +1}]에서 [eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} it}} ``:`` {bar{rm A _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm} it}}][eqn: =5 ``:`` 3]이므로 두 선분 [eqn: rmA _{itn} D _{itn}]과 [eqn: rm A _{it n rm +1} D _{it n+1 rm}]이 서로 평행하다.

직선 [eqn: rm A _{it n rm +1} D _{it n+1 rm}]이 선분 [eqn: rmC _{itn} D _{itn}]과 만나는 점을 [eqn: rmJ _{itn}]이라 하자.

두 삼각형 [eqn: rmG _{itn} F _{itn} D _{itn}], [eqn: rmD _{itn+1} F _{itn} J _{itn}]은 서로 닮음이고, [eqn: ANGLE rm D _{itn} F _{itn} G _{itn}][eqn: = ANGLE rm C _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm} F _{itn}]이므로 두 삼각형 [eqn: rmG _{itn} F _{itn} D _{itn}], [eqn: rm D _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} F _{it n rm}]은 서로 닮음이다.

[eqn: {bar{rmD _{it n} C _{it n}}}][eqn: =a _{n}], [eqn: {bar{rm D _{it n rm +1} C _{it n+1 rm} it}} =a _{n+1}]이라 하면 이등변삼각형 [eqn: rm D _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} F _{it n rm}]에서 [eqn: {bar{rm D _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} it}} ``:`` {bar{rm D _{it n+1 rm} F _{it n} it}}][eqn: =2 sqrt {6} ``:`` 3]이므로

[eqn: {bar{rm D _{it n+1 rm} F _{it n rm} it}} = {3} over {2 sqrt {6}} {bar{rm D _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} it}}][eqn: = {sqrt {6}} over {4} a _{n+1}]이고, 이등변삼각형 [eqn: rmD _{itn+1} F _{itn} J _{itn}]에서 [eqn: {bar{rm D _{it n+1 rm} F _{it n rm} it}} ``:`` {bar{rm D _{it n+1 rm} J _{it n rm} it}}][eqn: =2 sqrt {6} ``:`` 3]이므로

[eqn: {bar{rm D _{it n+1 rm} J _{it n rm} it}} = {3} over {2 sqrt {6}} {bar{rm D _{it n+1 rm} F _{it n} it}}][eqn: = {3} over {8} a _{n+1}]

[eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} J _{it n rm} it}} = {bar{rm A _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm} it}} + {bar{rmD _{it n+1 rm} J _{itn} it}}]이므로

[eqn: a _{n}][eqn: = {bar{rmA _{itn+1} J _{itn}}}][eqn: =a _{n+1} + {3} over {8} a _{n+1}][eqn: = {11} over {8} a _{n+1}]

[eqn: a _{n+1} = {8} over {11} a _{n}]이므로 두 사다리꼴 [eqn: rm A _{it n rm} B _{itn} C _{itn} D _{itn}]과 [eqn: rm A _{it n+ rm 1} B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} D _{it n rm +1}]의 닮음비가 [eqn: 11 ``:`` 8]이므로 넓이의 비는 [eqn: 121 ``:`` 64]이다.

따라서 [eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 6 sqrt {2}]이고 공비가 [eqn: {64} over {121}]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} S _{n}][eqn: = {6 sqrt {2}} over {1- {64} over {121}}][eqn: = {242} over {19} sqrt {2}]

그럼 [eqn: R _{1}]에 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}] 위의 두 점 [eqn: rmA _{2} ,```` B _{2}]와 선분 [eqn: rmE _{1} F _{1}] 위의 점 [eqn: rmC _{2}], 선분 [eqn: rmF _{1} G _{1}] 위의 점 [eqn: rmD _{2}]를 꼭짓점으로 하고 두 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}], [eqn: rm C _{2} D _{2}]가 서로 평행하며 [eqn: rm {bar{B _{2} C _{2}}} = {bar{C _{2} D _{2}}} = {bar{D _{2} A _{2}}}], [eqn: rm {bar{A _{2} B _{2}}} ``:`` {bar{B _{2} C _{2}}} =5 ``:`` 3]인 사다리꼴 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]를 그린다.

그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 사다리꼴 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]에 두 개의 삼각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} S _{n}]의 값은?

[eqn: R _{1}]
[eqn: R _{2}]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

① [eqn: {234} over {19} sqrt {2}]	② [eqn: {236} over {19} sqrt {2}]	③ [eqn: {238} over {19} sqrt {2}]

④ [eqn: {240} over {19} sqrt {2}]	⑤ [eqn: {242} over {19} sqrt {2}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 20

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it _{1}}=3], [eqn: overline{{rm{AC}} it _{1}}=2]이고 [eqn: angle {rm{B}} it _{1} {rm{AC}} it _{1}={ pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: {rm{AB}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]이 있다. [eqn: angle {rm{B}} it _{1} {rm{AC}} it _{1}]의 이등분선이 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]과 만나는 점 중 [eqn: {rm{A}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{B}} it _{2}]라 할 때, 두 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]과 호 [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{D}} it _{1}]로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]과 호 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

그림 [eqn: R_{n}]에서 [eqn: ANGLE rm B _{itn+1} rm AD _{itn} = ANGLE rm D _{itn} rm AC _{itn}]이므로
[eqn: {arch{rmB _{itn+1} D _{itn}}} = {arch{rmD _{itn} C _{itn}}}] 이다.

따라서, [eqn: {bar{rm B _{itn+1} rm D _{itn} it}} = {bar{rm D _{itn} rm C _{itn} it}}]이므로 두 선분 [eqn: rm B _{itn} rm B _{itn+1}],[eqn: ~ rm B _{itn} rm D _{itn}]과

호 [eqn: rm B _{itn+1} rm D _{itn}]으로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: {rm{C}}_{{{n}} } {rm{D}} _{{{n}} }]과 호 [eqn: {rm{C}}_{{{n}}} {rm{D}}_{{{n}} }]으로 둘러싸인 부분의 넓이의 합은 삼각형 [eqn: {rm{B}}_{{{n}} } {rm{D}} _{{{n}}} {rm{B}} _{{{n}}+1}]의 넓이와 같다.

그림 [eqn: R_{1}]의 삼각형 [eqn: {rm{AB}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}}^{2}=3^{2}+2^{2}-2 times 3 times 2 times cos { pi} over {3}=7]

즉, [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}= sqrt{7}]

또한, [eqn: angle {rm{B}} it _{1} {rm{AC}} it _{1}]의 이등분선이 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]과 만나는 점이 [eqn: {rm{D}} it _{1}]이므로 [eqn: overline{{rm{AB}} it _{1}}: overline{{rm{AC}} it _{1}}= overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}: overline{{rm{D}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}=3: 2]

따라서,

[eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}={3 sqrt{7}} over {5}], [eqn: ~ overline{{rm{D}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}={2 sqrt{7}} over {5}]

또한, 삼각형 [eqn: {rm{AD}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 외접원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하면 [eqn: angle {rm{D}} it _{1} {rm{OC}} it _{1}= angle {rm{B}} it _{2} {rm{OD}} it _{1}={ pi} over {3}]이므로 두 삼각형 [eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{OC}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{OD}} it _{1}]은 모두 정삼각형이고 [eqn: angle {rm{B}} it _{2} {rm{D}} it _{1} {rm{C}} it _{1}={2} over {3} pi]이다.

따라서, [eqn: angle {rm{B}} it _{2} {rm{D}} it _{1} {rm{B}} it _{1}={ pi} over {3}]이므로

[eqn: S_{1}={1} over {2} times {3 sqrt{7}} over {5} times {2 sqrt{7}} over {5} times sin { pi} over {3}={21 sqrt{3}} over {50}]

또한, 삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1} {rm{B}} it _{2}]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{B}} it _{1} {rm{B}} it _{2}}}^{2}= left({3 sqrt{7}} over {5} right)^{2}+ left({2 sqrt{7}} over {5} right)^{2}]

[eqn: -2 times {3 sqrt{7}} over {5} times {2 sqrt{7}} over {5} times cos { pi} over {3}]

[eqn: ={91} over {25}-{42} over {25}={49} over {25}]

이므로 [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{B}} it _{2}}={7} over {5}]

따라서, [eqn: ~ overline{{rm{AB}} it _{2}}=3-{7} over {5}={8} over {5}]이므로

[eqn: {bar{rm AB it _{1}}} : {bar{rmAB _{2}}} =3: {8} over {5} =1: {8} over {15}]

이때, 넓이의 비는 [eqn: 1: {64} over {225}]이므로

[eqn: lim _{n`` rarrow `` INF } {} S _{n} = {{21 sqrt {3}} over {50}} over {1- {64} over {225}} = {27 sqrt {3}} over {46}]

그림 [eqn: R_{1}]에서 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}]를 지나고 직선 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]에 평행한 직선이 두 선분 [eqn: {rm{AD}} it _{1}], [eqn: {rm{AC}} it _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{D}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]라 하자.

세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{D}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]를 지나는 원이 선분 [eqn: {rm{AB}} it _{2}]와 만나는 점 중 [eqn: {rm{A}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{B}} it _{3}]이라 할 때, 두 선분 [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{B}} it _{3}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]여 호 [eqn: {rm{B}} it _{3} {rm{D}} it _{2}]로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]와 호 [eqn: {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]로 둘러싸인 부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어

있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} S _{n}]의 값은?

[eqn: R _{1}]
[eqn: R _{2}]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

① [eqn: {27 sqrt{3}} over {46}]	② [eqn: {15 sqrt{3}} over {23}]	③ [eqn: {33 sqrt{3}} over {46}]

④ [eqn: {18 sqrt{3}} over {23}]	⑤ [eqn: {39 sqrt{3}} over {46}]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: rm 6]인 정사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it]에서 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{D}} it]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{E}} it _{1}]이라 하고, 세 점 [eqn: {rm{B}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{E}} it _{1}]을 지나는 원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it _{1}]이라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{E}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 내부와 삼각형 [eqn: {rm{O}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자. 그림 [eqn: R_{1}]에서 선분 [eqn: {rm{E}} it _{1} {rm{D}} it] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}], 선분 [eqn: {rm{E}} it _{1} {rm{C}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}], 선분 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it] 위의 점 [eqn: {rm{C}} it _{2}]와 점 [eqn: {rm{D}} it]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it]를 그린다. 정사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it]에서 선분 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{D}} it]를 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{E}} it _{2}]라 하고, 세 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}], [eqn: {rm{E}} it _{2}]를 지나는 원의 중심을 [eqn: {rm{O}} it _{2}]라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{E}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]의 내부와 삼각형 [eqn: {rm{O}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim S_{n}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: R^{2}=9+h^{2}=1+(6-h)^{2}], [eqn: h={7} over {3}]

[eqn: S_{1}={1} over {2} times(6-h) times 6=11]

[eqn: {a} over {4-a}={6-a} over {a}]이므로 [eqn: a={12} over {5}]ㄴ

닮음비는 [eqn: r= {{12} over {5}} over {6} = {2} over {5}]

[eqn: THEREFORE ~S= {11} over {1- LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{2}} = {275} over {21}]

		[eqn: CDOTS]
[eqn: R _{1}]	[eqn: R _{2}]	[eqn: CDOTS]

① [eqn: {90} over {7}]	② [eqn: {275} over {21}]	③ [eqn: {40} over {3}]

④ [eqn: {95} over {7}]	⑤ [eqn: {290} over {21}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 18

그림과 같이 길이가 [eqn: {4}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]인 선분 [eqn: rmA _{1} B _{ 1}]을 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{1}]의 호 [eqn: rmA _{1} B _{ 1}]을 [eqn: 4]등분하는 점을 점 [eqn: rmA _{1}]에서 가까운 순서대로 각각 [eqn: rmC _{1}], [eqn: rmD _{1}], [eqn: rmE _{1}]이라 하고, 두 점 [eqn: rmC _{1}], [eqn: rmE _{1}]에서 선분 [eqn: rmA _{1} B _{ 1}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmA _{2}], [eqn: rmB _{2}]라 하자.

[정답] ②

[해설]

선분 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}]의 중점을 [eqn: rmO], 선분 [eqn: rm A _{it n rm} rm D _{it n rm}]이 두 선분 [eqn: rm C _{it n rm} rm A _{it n rm +1}], [eqn: rm C _{it n rm} rm E _{it n rm}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmF _{itn}], [eqn: rmG _{itn}]이라 하고, 선분 [eqn: rm B _{it n rm} rm D _{it n rm}]이 두 선분 [eqn: rm C _{it n rm} rm E _{it n rm}], [eqn: rm E _{it n rm} rm B _{it n rm +1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmH _{itn}], [eqn: rmI _{itn}]이라 하자.

반원 [eqn: O _{n}]의 반지름의 길이를 [eqn: r _{n}]이라 하고, [eqn: n]번째 색칠되는 모양의 도형의 넓이를 [eqn: a _{n}]이라 하자.

두 점 [eqn: rmC _{itn}], [eqn: rmD _{itn}]이 호 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}]의 [eqn: 4]등분점이므로

[eqn: ANGLE rm C _{itn} rmOA _{itn+1}][eqn: =45°], [eqn: ANGLE rm A _{it n rm} rm OD _{it n rm}][eqn: =90°],

[eqn: {bar{rmD _{itn} rmA _{itn}}}][eqn: = {bar{rm D _{it n rm} rm B _{it n rm} it}}], [eqn: ANGLE rm C _{it n rm} rm A _{it n+1 rm} O][eqn: =90°]

이므로 [eqn: {bar{rmA _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: = {r _{n}} over {sqrt {2}}]

삼각형 [eqn: rmD _{itn} rmG _{itn} rmH _{itn}]은 [eqn: {bar{rmD _{itn} rmA _{itn}}}][eqn: = {bar{rm D _{it n rm} rm H _{it n rm} it}}]인 직각삼각형이고,

[eqn: {bar{rm D _{it n rm} rm G _{it n rm} it}} ^{2}][eqn: =2 LEFT ( {bar{rmOD _{itn}}} - {bar{rmA _{itn+1} rmC _{itn}}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =2 LEFT ( r _{n} - {r _{n}} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} r _{n} ^{2}]

[eqn: {bar{rm D _{it n rm} rm G _{it n rm} it}}][eqn: = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) r _{n}]

(삼각형 [eqn: rmD _{itn} rmG _{itn} rmH _{itn}]의 넓이)

[eqn: =2 TIMES](삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmA _{itn+1} rmF _{itn}]의 넓이)

두 삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmA _{itn+1} rmF _{itn}], [eqn: rm B _{it n rm} rm B _{it n+1 rm} rm I _{it n rm}]이 합동이므로

[eqn: a _{n}][eqn: =](반원 [eqn: O _{n}]의 넓이)
[eqn: -](사각형 [eqn: rm C _{it n rm} rm A _{it n+1 rm} rm B _{it n+1 rm} rm E _{itn}]의 넓이)
[eqn: -2 TIMES](삼각형 [eqn: rmD _{itn} rmG _{itn} rmH _{itn}]의 넓이)
[eqn: = {1} over {2} pir _{n} ` ^{2} - {bar{rmA _{itn+1} rmB _{itn+1}}} TIMES {bar{rmA _{itn+1} rmC _{itn}}} - {bar{rmD _{itn} rmG _{itn}}} ^{2}]
[eqn: = {1} over {2} pir _{n}` ^{2} - {2r _{n}} over {sqrt {2}} TIMES {r _{n}} over {sqrt {2}} - LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} r _{n} ` ^{2}]
[eqn: = LEFT ( {pi} over {2} +2 sqrt {2} -4 RIGHT )][eqn: r _{n} ^{2}]

[eqn: r _{n+1}][eqn: = {1} over {2} {bar{rmA _{itn+1} rmB _{itn+1}}}][eqn: = {bar{rmA _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: = {r _{n}} over {sqrt {2}}]이므로

[eqn: a _{n+1}][eqn: = LEFT ( {pi } over {2} +2 sqrt {2-4} RIGHT ) r _{n+1} ^{2}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {pi} over {2} +2 sqrt {2} -4 RIGHT ) r _{n} ^{2}]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1}][eqn: =2pi+8 sqrt {2} -16]이고 공비가 [eqn: {1} over {2}]인 등비수열이므로

[eqn: lim _{n ``->`` INF } {} S _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } a _{n}]
[eqn: = {2pi+8 sqrt {2} -16} over {1- {1} over {2}}]
[eqn: =4 pi +16 sqrt {2} -32]

사각형 [eqn: rm C _{ 1} A _{2} B _{2} E _{1}]의 외부와 삼각형 [eqn: rmD _{1} A _{1} B _{1}]의 외부의 공통부분 중 반원 [eqn: O _{1}]의 내부에 있는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{1}]에서 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{2}]를 반원 [eqn: O _{1}]의 내부에 그리고, 반원 [eqn: O _{2}]의 호 [eqn: rm A _{2} B _{2}]를 [eqn: 4]등분하는 점을 점 [eqn: rm A _{2}]에서 가까운 순서대로 각각 [eqn: rm C _{2}], [eqn: rm D _{2}], [eqn: rm E _{2}]라 하고, 두 점 [eqn: rm C _{2}], [eqn: rm E _{2}]에서 선분 [eqn: rm A _{2} B _{2}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A _{3}], [eqn: rm B _{3}]이라 하자.

사각형 [eqn: rm C _{ 2} A _{3} B _{3} E _{2}]의 외부와 삼각형 [eqn: rm D _{2} A _{2} B _{2}]의 외부의 공통부분 중 반원 [eqn: O _{2}]의 내부에 있는 모양의 도형에 색칠을 하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {S _{n}}]의 값은?

① [eqn: 4 pi +4 sqrt {2} -16]	② [eqn: 4 pi +16 sqrt {2} -32]

③ [eqn: 4 pi +8 sqrt {2} -20]	④ [eqn: 2 pi +16 sqrt {2} -24]

⑤ [eqn: 2 pi +8 sqrt {2} -12]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 27

그림과 같이 [eqn: {rm bar {AB_1} = 1 }{{from^2021^09^평가원^중}}], [eqn: rm bar {B_1 C_1} = 2]인 직사각형 [eqn: rm AB_1 C_1 D_1]이 있다.

[정답] ③

[해설]

직각삼각형 [eqn: rm C_1 D_1 F_1]에서 [eqn: rm angle C_1 D_1 F_1 = pi over 6], [eqn: rm bar {C_1 D_1 } = 1]이므로

[eqn: rm bar {C_1 F_1} = bar {C_1 D_1} times tan pi over 6 = 1 times root3 over 3 = root3 over 3]

직각삼각형 [eqn: rm C_1 D_1 E_1]에서 [eqn: rm angle C_1 D_1 E_1 = pi over 3]이므로

[eqn: rm bar {C_1 E_1} = bar{ C_1 D_1} times tan pi over 3 = 1 times root3 = root3]

이때, [eqn: rm bar {E_1 F_1} = bar {C_1 E_1} - bar { C_1 F_1} = root3 - root3 over 3 = { 2root3} over { 3}]

직각삼각형 [eqn: rm E_1 F_1 H_1]에서 [eqn: rm angle H_1 E_1 F_1 = pi over 6]이므로

[eqn: rm bar {F_1 H_1} = bar {E_1 F_1} times tan pi over 6 = { 2root3} over { 3} times root3 over 3 = 2 over 3]

[eqn: S_1][eqn: = triangle rm E_1 F_1 G_1 + triangle E_1 F_1 D_1 - 2 times triangle E_1 F_1 H_1]
[eqn: = 1 over 2 times rm bar {E_1 F_1} times bar{ F_1 G_1} + 1 over 2 times rm bar {E_1 F_1} times bar {C_1 D_1}]
[eqn: {rm - 2 times LEFT ( 1 over 2 times bar {E_1 F_1} times bar {F_1 H_1} RIGHT )]
[eqn: = 1 over 2 times { 2root3} over { 3} times { 2root3} over { 3} + 1 over 2 times { 2root3} over { 3}times 1]
[eqn: - 2 times LEFT ( 1 over 2 times { 2root3} over {3 }times 2 over 3 RIGHT )]
[eqn: = { 6-root3} over { 9}]

한편, [eqn: rm bar {AB_2} ``:`` bar {B_2 C_2} = 1 ``:`` 2]이므로 [eqn: rm bar {AB_2} = itk], [eqn: rm bar {B_2 C_2} = it 2k][eqn: LEFT ( k>0 RIGHT )]이라 하자.

점 [eqn: rm C_2]에서 선분 [eqn: rm B_1 C_1]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I_1]이라 하면

[eqn: rm bar {E_1 I_1} = bar {C_2 I_1} = 1- itk], [eqn: rm bar {I_1 C_1} = it 2-2k]이므로

[eqn: LEFT ( 1-k RIGHT ) + LEFT ( 2-2k RIGHT ) = root3]

[eqn: therefore][eqn: k= { 3-root3} over {3 }]

그림 [eqn: R_1]에 색칠되어 있는 도형과 그림 [eqn: R_2]에 새로 색칠되어 있는 도형의 닮음비가 [eqn: 1 ``:`` { 3-root3} over { 3}]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1 ``:`` { 4-2root3} over { 3}]이다.

따라서 구하는 극한값은 첫째항이 [eqn: { 6-root3} over { 9}]이고, 공비가 [eqn: { 4- 2root3} over { 3}]인 등비급수의 합이므로

[eqn: lim _{ n ``->`` inf} { S_n }][eqn: = { { 6-root3} over {9 } } over { 1- { 4-2root3} over { 3} } = root3 over 3]

[eqn: rm angle AD_1 C_1]을 삼등분하는 두 직선이 선분 [eqn: rm B_1 C_1]과 만나는 점 중 점 [eqn: rm B_1]에 가까운 점을 [eqn: rm E_1], 점 [eqn: rm C_1]에 가까운 점을 [eqn: rm F_1]이라 하자.

[eqn: rm bar {E_1 F_1} = bar {F_1 G_1}], [eqn: rm angle E_1 F_1 G_1 = pi over 2]이고 선분 [eqn: rm AD_1]와 선분 [eqn: rm F_1 G_1]이 만나도록 점 [eqn: rm G_1]을 잡아 삼각형 [eqn: rm E_1 F_1 G_1]을 그린다.

선분 [eqn: rm E_1 D_1]과 선분 [eqn: rm F_1 G_1]이 만나는 점을 [eqn: rm H_1]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rm G_1 E_1 H_1], [eqn: rm H_1 F_1 D_1]로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.

그림 [eqn: R_1]에 선분 [eqn: rm AB_1] 위의 점 [eqn: rm B_2], 선분 [eqn: rm E_1 G_1] 위의 점 [eqn: rm C_2], 선분 [eqn: rm AD_1] 위의 점 [eqn: rm D_2]와 점 [eqn: rm A]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: rm bar{AB_2} ``:`` bar {B_2 C_2} = 1 ``:`` 2]인 직사각형 [eqn: rm AB_2 C_2 D_2]를 그린다.

직사각형 [eqn: rm AB_2 C_2 D_2]에 그림 [eqn: R_1]을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n ``->`` inf} { S_n }]의 값은?

① [eqn: { 2root3} over { 9}]	② [eqn: { 5root3} over { 18}]	③ [eqn: { root3} over { 3}]

④ [eqn: { 7root3} over { 18}]	⑤ [eqn: { 4root3} over { 9}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 28

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]을 지름으로 하는 원 [eqn: O _{1}]이 있다. 원 [eqn: O _{1}]의 외부에 [eqn: ANGLE rm B _{1} A _{1} C _{1}][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1}}} ``:`` {bar{rm A _{1} C _{1}}}][eqn: =4``:``3]이 되도록 점 [eqn: rmC _{1}]을 잡고 두 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1} ,~B _{1} C _{1}]을 그린다. 원 [eqn: O _{1}]과 선분 [eqn: rmB _{1} C _{1}]의 교점 중 [eqn: rmB _{1}]이 아닌 점을 [eqn: rmD _{1}]이라 하고, 점 [eqn: rmD _{1}]을 포함하지 않는 호 [eqn: rmA _{1} B _{1}]과 두 선분 [eqn: rmA _{1} D _{1} ,~B _{1} D _{1}]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

원 [eqn: O _{1}]의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로

반원의 넓이는 [eqn: 2pi]

직각삼각형 [eqn: rmC _{1} A _{1} B _{1}]에서 [eqn: {bar{rm A _{1} C _{1} it}}][eqn: =3], [eqn: {bar{rm A _{1} B _{1}}}][eqn: =4]이므로

[eqn: {bar{rm B _{1} C _{1}}}][eqn: = sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}][eqn: =5]

선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}]은 원 [eqn: O _{1}]의 지름이므로 [eqn: ANGLE rm A _{1} D _{1} B _{1}][eqn: = {pi} over {2}]

삼각형 [eqn: rmC _{1} A _{1} B _{1}]에서

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm A _{1} B _{1}}} TIMES {bar{rm A _{1} C _{1}}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm B _{1} C _{1}}} TIMES {bar{rm A _{1} D _{1}}}]이므로

[eqn: {bar{rm A _{1} D _{1}}}][eqn: = {12} over {5}]

직각삼각형 [eqn: rmB _{1} D _{1} A _{1}]에서 [eqn: {bar{rm B _{1} D _{1}}}][eqn: = sqrt {4 ^{2} - LEFT ( {12} over {5} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {16} over {5}]

삼각형 [eqn: rmB _{1} D _{1} A _{1}]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES {12} over {5} TIMES {16} over {5}][eqn: = {96} over {25}]

그러므로 [eqn: S _{1}][eqn: =2pi+ {96} over {25}]이다.

다음은 그림 [eqn: R _{n+1}]의 일부이다.

두 원 [eqn: O _{n}]과 [eqn: O _{n+1}]의 중심을 각각 [eqn: rmO _{itn}]과 [eqn: rmO _{itn+1}]이라 하고

반지름의 길이를 각각 [eqn: r _{n}]과 [eqn: r _{n+1}]이라 하자.

직선 [eqn: rm A _{itn+1} rm B _{itn+1}]이 선분 [eqn: rmB _{itn} rmC _{itn}]과 만나는 점을 [eqn: rmE _{it n+1}]이라 하고,

원 [eqn: O _{n+1}]과 직선 [eqn: rmB _{itn} rmC _{itn}]이 접하는 점을 [eqn: rmF _{itn+1}]이라 하자.

[eqn: {bar{rm A _{it n+1 rm} rm C _{itn} it}}][eqn: =a _{n}]이라 하면 [eqn: {bar{rm F _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: =a _{n}]이고

삼각형 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn} rmC _{itn}]과 삼각형 [eqn: rm A _{it n rm +1} rm E _{it n+1 rm} rm C _{it n rm}]은 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm A _{itn+1} rmC _{itn}}} ``:`` {bar{rm E _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: =3``:``5]에서 [eqn: {bar{rm E _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: = {5} over {3} a _{n}]이고

[eqn: {bar{rm E _{itn+1} rmF _{itn+1}}}][eqn: = {bar{rm E _{itn+1} rmC _{itn}}} - {bar{rm F _{itn+1} rmC _{itn}}}][eqn: = {2} over {3} a _{n}]이다.

삼각형 [eqn: rmA _{itn+1} rmE _{itn+1} rmC _{itn}]과 삼각형 [eqn: rm F _{it n+1 rm} rm E _{it n+1 rm} rm O _{it n+1 rm}]은 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm O _{it n+1 rm} rm F _{it n+1 rm} it}} ``:`` {bar{rm E _{it n+1 rm} rm F _{it n+1` rm} it}}][eqn: =3``:``4]에서 [eqn: a _{n}][eqn: =2r _{n+1}]이다.

점 [eqn: rmO _{itn+1}]에서 선분 [eqn: rmA _{itn} rmO _{itn}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmG _{itn+1}]이라 하면

[eqn: {bar{rm O _{it n+1 rm} rm G _{it n+1 rm} it}}][eqn: = {bar{rm A _{it n rm} rm C _{it n rm} it}} - {bar{rm A _{it n+1 rm} rm C _{it n rm} it}}][eqn: = {3} over {2} r _{n} -2r _{n+1}]

[eqn: {bar{rm O _{it n rm} rm G _{it n+1 rm} it}}][eqn: =r _{n} -r _{n+1}], [eqn: {bar{rm O _{it n rm} rm O _{it n+1 rm} it}}][eqn: =r _{n} +r _{n+1}]이므로

직각삼각형 [eqn: rmO _{itn} rmG _{itn+1} rmO _{itn+1}]에서

[eqn: LEFT ( r _{n} +r _{n+1} RIGHT ) ^{2}][eqn: = LEFT ( r _{n} -r _{n+1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3} over {2} r _{n} -2r _{n+1} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: 16r _{n+1} ` ^{2} -40r _{n+1} `r _{n} +9r _{n} ` ^{2}][eqn: =0]

[eqn: LEFT ( 4r _{n+1} -r _{n} RIGHT ) LEFT ( 4r _{n+1} -9r _{n} RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: r _{n} >r _{n+1}]이므로 [eqn: r _{n+1}][eqn: = {1} over {4} r _{n}]

원 [eqn: O _{n}]과 원 [eqn: O _{n+1}]의 닮음비가 [eqn: 4``:``1]이면 넓이의 비는 [eqn: 16``:``1]이다.

따라서 [eqn: S _{n}]은 첫째항이 [eqn: 2pi+ {96} over {25}]이고 공비가 [eqn: {1} over {16}]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}][eqn: = it {2pi+ {96} over {25}} over {1- {1} over {16}}][eqn: = {32} over {15} pi+ {512} over {125}]

그림 [eqn: R _{1}]에서 호 [eqn: rmA _{1} D _{1}]과 두 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1} ,~C _{1} D _{1}]에 동시에 접하는 원 [eqn: O _{2}]를 그리고 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1}]과 원 [eqn: O _{2}]의 교점을 [eqn: rmA _{2}], 점 [eqn: rmA _{2}]를 지나고 직선 [eqn: rmA _{1} B _{1}]과 평행한 직선이 원 [eqn: O _{2}]와 만나는 점 중 [eqn: rmA _{2}]가 아닌 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하자. 그림 [eqn: R _{1}]에서 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 [eqn: rmC _{2} ,~D _{2}]를 잡고, 점 [eqn: rmD _{2}]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmA _{2} B _{2}]와 두 선분 [eqn: rmA _{2} D _{2} ,~B _{2} D _{2}]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은?

① [eqn: {32} over {15} pi+ {256} over {125}]	② [eqn: {9} over {4} pi+ {54} over {25}]

③ [eqn: {32} over {15} pi+ {512} over {125}]	④ [eqn: {9} over {4} pi+ {108} over {25}]

⑤ [eqn: {8} over {3} pi+ {128} over {25}]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 26

그림과 같이 [eqn: {bar{rmAB_1 } = 2}{{from^2021^7월 사관학교^중}}], [eqn: bar{rmAD_1} =sqrt5 }]인 직사각형 [eqn: rmAB_1 C_1 D_1]이 있다. 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmAD_1}]인 원과 선분 [eqn: rmB_1 C_1]의 교점을 [eqn: rmE_1], 중심이 [eqn: rmC_1]이고 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmC_1 D_1}]인 원과 선분 [eqn: rmB_1 C_1]의 교점을 [eqn: rmF_1]이라 하자. 호 [eqn: rmD_1 F_1]과 두 선분 [eqn: rmD_1 E_1], [eqn: rmF_1 E_1]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: bar{rmAB_1 } = 2], [eqn: bar{rmAD_1} =sqrt5 }]이고 중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmAD_1}]인 원과 선분 [eqn: rmB_1 C_1]의 교점을 [eqn: rmE_1]이기 때문에 [eqn: bar{{rmA}{rmE}_{1}}=root{5}]이다.

이때 [eqn: triangle{rmAB_{1}E_{1}]는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해서 [eqn: bar{rmB_{1}E_{1}}=1]이고 [eqn: bar{rmE_{1}{rmC}_{1}}=root{5}-1]이다.

색칠된 부분의 넓이는 부채꼴 [eqn: {rmF}_{1}{rmC}_{1}{rmD}_{1}]의 넓이에서 삼각형 [eqn: {rmE}_{1}{rmC}_{1}{rmD}_{1}]의 넓이를 뺀 것이므로

[eqn: S_{1}][eqn: ={1}over{4}cdot2^{2}cdot pi-{1}over{2}cdot2cdot(root{5}-1)]
[eqn: =pi-root{5}-1]

한편,

[eqn: bar{rmAB_{2}}=2k], [eqn: bar{rmAD_{2}}=root{5}k]라 두면 [eqn: bar{rmAC_{2}}=3k]이다.

이때 □[eqn: rmA{rmB_{2}}{rmC_{2}{rmD}_{2}]□□[eqn: rmA{rmB_{1}}{rmC_{1}{rmD}_{1}]이므로 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: rmC_{2}]와 점 [eqn: rmC_{1}]는 일직선상에 있다.

[eqn: bar{rmAC_{1}}][eqn: =bar{rmAC_{2}}+bar{rmC_{2}C_{1}}]

[eqn: 3=3k+2]

[eqn: THEREFORE][eqn: k={1}over3}]

따라서 □[eqn: rmA{rmB_{2}}{rmC_{2}{rmD}_{2}]와 □[eqn: rmA{rmB_{1}}{rmC_{1}{rmD}_{1}]의 닮음비는 [eqn: 1``:``3]이고 넓이의 비는 [eqn: 1``:``9]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{ n->inf} {S_{n} }][eqn: ={pi-root{5}-1}over{1-{1}over{9}}]
[eqn: ={9pi-9root{5}+9}over{8}]

그림 [eqn: R_1]에서 선분 [eqn: rmAB_1]위의 점 [eqn: rmB_2], 호 [eqn: rmD_1 F_1]위의 점 [eqn: rmC_2], 선분 [eqn: rmAD_1]위의 점 [eqn: rmD_2]와 점 [eqn: rmA]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: bar{rmAB_2 } ``:`` bar{rmAD_2 } = 2 ``:`` sqrt5]인 직사각형 [eqn: rmAB_2 C_2 D_2]를 그린다.

중심이 [eqn: rmA]이고 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmAD_2}]인 원과 선분 [eqn: rmB_2 C_2]의 교점을 [eqn: rmE_2], 중심이 [eqn: rmC_2]이고 반지름의 길이가 [eqn: bar{rmC_2 D_2}]인 원과 선분 [eqn: rmB_2 C_2]의 교점을 [eqn: rmF_2]라 하자. 호 [eqn: rmD_2 F_2]와 두 선분 [eqn: rmD_2 E_2], [eqn: rmF_2 E_2]로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_n]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n ``->`` inf} { S_n}]의 값은?

① [eqn: { 8pi +8-8sqrt5} over { 7}]	② [eqn: { 8pi +8-7sqrt5} over { 7}]

③ [eqn: { 9pi+9-9sqrt5} over { 8}]	④ [eqn: { 9pi+9-8sqrt5} over { 8}]

⑤ [eqn: { 10pi+10-10sqrt5} over { 9}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 미적분 26

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{OA}} it _{1}}= sqrt{3}], [eqn: overline{{rm{OC}} it _{1}}=1]인 직사각형 [eqn: {rm{OA}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]이 있다. 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}] 위의 [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}=2 overline{{rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}]인 점 [eqn: {rm{D}} it _{1}]에 대하여 중심이 [eqn: {rm{B}} it _{1}]이고 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}]인 원과 선분 [eqn: {rm{OA}} it _{1}]의 교점을 [eqn: {rm{E}} it _{1}], 중심이 [eqn: {rm{C}} it _{1}]이고 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}]인 원과 선분 [eqn: {rm{OC}} it _{1}]의 교점을 [eqn: {rm{C}} it _{2}]라 하자. 부채꼴 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]의 내부와 부채꼴 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{1}]의 내부로 이루어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rm bar{C_1 D_1 } = 1 over sqrt3], [eqn: rm bar{B_1 D_1 } = 2 over sqrt3]

[eqn: rm ANGLEE_1 B_1 D_1 = pi over3]

[eqn: S_1 = 1 over 2 left( 1 over sqrt3 right)^2 pi over2 + 1 over2 left( 2 over sqrt3 right)^2 pi over3]

[eqn: = 11 over36 pi]

[eqn: rm bar{OC_2 } = { sqrt3 -1} over sqrt3]이므로

[eqn: r = left( {sqrt3 -1} over sqrt3 right)^2 = {4 - 2 sqrt3} over 3]

[eqn: THEREFORE][eqn: lim_n->inf S_n = { 11 over36 pi} over{ 1 - { 4 - 2 sqrt3} over3][eqn: = {1 + 2 sqrt {3}} over {12} pi]

그림 [eqn: R_{1}]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}], 호 [eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{E}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}]와 점 [eqn: {rm{C}} it _{2}], 점 [eqn: {rm{O}} it]를 꼭짓점으로 하는 직사각형 [eqn: {rm{OA}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]를 그리고, 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: {rm{OA}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{ n -> inf} S_{n}]의 값은?

		[eqn: CDOTS]
[eqn: R_{1}]	[eqn: R_{2}]	[eqn: CDOTS]

① [eqn: {5+2 sqrt{3}} over {12} pi]	② [eqn: {2+ sqrt{3}} over {6} pi]	③ [eqn: {3+2 sqrt{3}} over {12} pi]

④ [eqn: {1+ sqrt{3}} over {6} pi]	⑤ [eqn: {1+2 sqrt{3}} over {12} pi]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 26

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {4}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]인 정사각형 [eqn: rmOA _{1} B _{1} C _{1}]의 대각선 [eqn: rm OB _{1}]을 [eqn: 3 ``:`` 1]로 내분하는 점을 [eqn: rmD _{1}]이라 하고, 네 선분 [eqn: rmA _{1} B _{1}], [eqn: rmB _{1} C _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}], [eqn: rmD _{1} A _{1}]로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: {bar{rm OB _{1}}}][eqn: =4 sqrt {2}]이므로 [eqn: {bar{rm D _{1} B _{1}}}][eqn: = sqrt {2}]

점 [eqn: rmD _{1}]에서 직선 [eqn: rmA _{1} B _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmI _{1}]이라 하면 [eqn: {bar{rm D _{1} I _{1}}}][eqn: =1]

두 삼각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} D _{1}], [eqn: rmB _{1} C _{1} D _{1}]의 넓이는 모두 [eqn: 2]이므로 [eqn: S _{1}][eqn: =4]

네 선분 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}], [eqn: rm B _{it n rm} C _{it n rm}], [eqn: rm C _{it n rm} rm D _{it n rm}], [eqn: rm D _{it n rm} rm A _{it n rm}]으로 둘러싸인 모양의 도형의 넓이를 [eqn: T _{n}]이라 하자.

그림 [eqn: R _{n}]에서 중심이 [eqn: rmO]이고, 두 직선 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}], [eqn: rm C _{it n rm} rm D _{it n rm}]에 동시에 접하는 원과 직선 [eqn: rm A _{it n rm} rm D _{it n rm}]이 접하는 점을 [eqn: rmH _{itn}]이라 하고, 점 [eqn: rmD _{itn}]에서 두 직선 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn}], [eqn: rmOA _{itn}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmI _{itn}], [eqn: rmJ _{itn}]이라 하자.

[eqn: {bar{rm A _{itn} rmI _{itn}}}][eqn: = {bar{rm D _{it n rm} rm J _{it n rm} it}}][eqn: = {3} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}], [eqn: {bar{rm D _{it n rm} rm I _{it n rm} it}}][eqn: = {1} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}]이므로

[eqn: {bar{rm A _{itn} rmD _{itn}}}][eqn: = {sqrt {10}} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}]

삼각형 [eqn: rmOA _{itn} rmD _{itn}]에서

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm A _{it n rm} rm D _{it n rm} it}} TIMES {bar{rm OH _{itn}}}][eqn: =][eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OA _{it n rm} it}} TIMES {bar{rm D _{itn} J _{it n rm} it}}]

[eqn: {1} over {2} TIMES {sqrt {10}} over {4} {bar{rm OA _{itn}}} TIMES {bar{rm OH _{itn}}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm OA _{itn}}} TIMES {3} over {4} {bar{rm OA _{itn}}}]

[eqn: {bar{rm OH _{itn}}}][eqn: = {3 sqrt {10}} over {10} {bar{rm OA _{itn}}}],

[eqn: {bar{rm OA _{itn+1}}}][eqn: = {sqrt {2}} over {2} {bar{rm OB _{itn+1}}}]
[eqn: = {sqrt {2}} over {2} {bar{rm OH _{itn}}}]
[eqn: = {3 sqrt {5}} over {10} {bar{rm OA _{itn}}}]

두 정사각형 [eqn: rm OA _{it n rm} rm B _{it n rm} rm C _{it n rm}]과 [eqn: rmOA _{itn+1} rmB _{itn+1} rmC _{itn+1}]의 닮음비는

[eqn: {bar{rm OA _{itn} }} ``:`` {bar{rm OA _{it n+1 rm} it}}][eqn: =1 ``:`` {3 sqrt {5}} over {10}]

즉, [eqn: T _{n} ``:`` T _{n+1}][eqn: =1 ``:`` {9} over {20}]이므로 [eqn: T _{n+1}][eqn: = {9} over {20} T _{n}]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { T _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: T _{1}][eqn: =S _{1}][eqn: =4]이고, 공비가 [eqn: {9} over {20}]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} S _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{INF } T _{n}][eqn: = {4} over {1- {9} over {20}}][eqn: = {80} over {11}]

그림 [eqn: R _{1}]에서 중심이 [eqn: rmO]이고 두 직선 [eqn: rmA _{1} D _{1}], [eqn: rmC _{1} D _{1}]에 동시에 접하는 원과 선분 [eqn: rmOB _{1}]이 만나는 점을 [eqn: rmB _{2}]라 하자. 선분 [eqn: rmOB _{2}]를 대각선으로 하는 정사각형 [eqn: rmOA _{2} B _{2} C _{2}]를 그리고 정사각형 [eqn: rmOA _{2} B _{2} C _{2}]에 그림 [eqn: R _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} S _{n}]의 값은?

① [eqn: {70} over {11}]	② [eqn: {75} over {11}]	③ [eqn: {80} over {11}]

④ [eqn: {80} over {9}]	⑤ [eqn: {85} over {9}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 26

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmA _{1} B]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{1}]이 있다. 호 [eqn: rmBA _{1}] 위에 점 [eqn: rmC _{1}]을 [eqn: ANGLE rm BA _{1} C _{1}][eqn: = {pi} over {6}]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmA _{2} B]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{2}]가 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1}]과 접하도록 선분 [eqn: rmA _{1} B] 위에 점 [eqn: rmA _{2}]를 잡는다. 반원 [eqn: O _{2}]와 선분 [eqn: rmA _{1} C _{1}]의 접점을 [eqn: rmD _{1}]이라 할 때, 두 선분 [eqn: rmA _{1} A _{2}], [eqn: rmA _{1} D _{1}]과 호 [eqn: rmD _{1} A _{2}]로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: rmC _{1} D _{1}]과 두 호 [eqn: rmBC _{1}], [eqn: rmBD _{1}]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

[정답] ②

[해설]

반원 [eqn: O_n]의 중심을 [eqn: rmO_{itn}], 반지름을 [eqn: r_n]이라 하자.

삼각형 [eqn: rmO_{itn+1} rmA_{itn} rmD _{itn}]은 [eqn: anglermO_{itn+1} rmA_{itn} rmD _{itn} = pi over6]인 직각삼각형이므로 [eqn: sin LEFT ( anglermO_{itn+1} rmA_{itn} rmD _{itn} RIGHT )= 1over2]

[eqn: bar{rmD_{itn} rmO_{itn+1}} over bar{rmA_{itn} rmO_{itn+1}} = 1over2 , ~r_n+1 over {2r_n -r_n+1} = 1over2]

[eqn: r_n+1 = 2over3 r_n]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: r_1 =1]이므로 [eqn: r_2 = 2over3]

[eqn: anglermA_1 O_1 C_1 = 2piover3 ,~bar{A_1 O_1} = bar{C_1 O_1}=1]이므로

삼각형 [eqn: rmA_1 O_1 C_1]의 넓이는

[eqn: 1over2 times rmbar{A_1 O_1 } timesbar{C_1 O_1} times sin` 2piover3 = 1over2 times 1times 1times sqrt { 3}over2 = sqrt { 3}over4]

[eqn: rmangleBO_1 C_1 = piover3 ,~bar{C_1 O_1 }=bar{BO_1 }=1]이므로

부채꼴 [eqn: rmO_1 BC_1]의 넓이는 [eqn: 1over2 times 1^2 times pi over3 = pi over6]

반원 [eqn: O_2]의 넓이는 [eqn: 1over2 times LEFT ( r_2 RIGHT )^2 timespi = 1over2 times LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 timespi = 2pi over9]

[eqn: S_1][eqn: =](삼각형 [eqn: rmA_1 O_1 C_1]의 넓이)[eqn: +](부채꼴 [eqn: rmO_1 BC_1]의 넓이)[eqn: -](반원 [eqn: O_2]의 넓이)
[eqn: = sqrt { 3}over4 + pi over6 - 2piover9]
[eqn: = sqrt { 3}over4 - pi over18]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 수열 [eqn: left{S_n right]은 첫째항이 [eqn: sqrt { 3 }over4 - pi over18]이고 공비가 [eqn: LEFT ( 2over3 RIGHT )^2 = 4over9]인 등비수열의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합이다.

따라서 [eqn: lim _{ n`->`inf}` {S_n }= { sqrt { 3}over4 - pi over18}over{1- 4over9} = {9 sqrt { 3}-2pi}over20]

그림 [eqn: R _{1}]에서 호 [eqn: rmBA _{2}] 위에 점 [eqn: rmC _{2}]를 [eqn: ANGLE rm BA _{2} C _{2}][eqn: = {pi} over {6}]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmA _{3} B]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O _{3}]이 선분 [eqn: rm A _{2} C _{2}]와 접하도록 선분 [eqn: rmA _{2} B] 위에 점 [eqn: rmA _{3}]을 잡는다. 반원 [eqn: O _{3}]와 선분 [eqn: rmA _{2} C _{2}]의 접점을 [eqn: rmD _{2}]라 할 때, 두 선분 [eqn: rmA _{2} A _{3}], [eqn: rm A _{2} D _{2}]와 호 [eqn: rmD _{2} A _{3}]으로 둘러싸인 부분과 선분 [eqn: rmC _{2} D _{2}]와 두 호 [eqn: rmBC _{2}], [eqn: rmBD _{2}]로 둘러싸인 부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {} S _{n}]의 값은?

① [eqn: {4 sqrt {3} -pi} over {10}]	② [eqn: {9 sqrt {3} -2pi} over {20}]	③ [eqn: {8 sqrt {3} -pi} over {20}]

④ [eqn: {5 sqrt {3} -pi} over {10}]	⑤ [eqn: {9 sqrt {3} -pi} over {20}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 26

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO _{1}], 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} O _{2}]가 있다. 호 [eqn: rmA _{1} O _{2}]위에 점 [eqn: rmB _{1}]을 [eqn: rmANGLE A _{1} O _{1} B _{1} = {pi } over {4}]가 되도록 잡고, 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{1}]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

[eqn: S_{1}={1} over {2} times 1^{2} times { pi} over {4}={ pi} over {8}]

그림 [eqn: R_{2}]에서 [eqn: angle {rm{O}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{O}} it _{2}={ pi} over {4}]이므로

삼각형 [eqn: {rm{O}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{O}} it _{2}]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{O}} it _{2} {rm{A}} it _{2}}} over { sin { pi} over {6}}={ overline{{rm{O}} it _{1} {rm{O}} it _{2}}} over { sin { pi} over {4}}]

[eqn: { overline{{rm{O}} it _{2} {rm{A}} it _{2}}} over {{1} over {2}}={1} over {{ sqrt{2}} over {2}}]에서 [eqn: overline{{rm{O}} it _{2} {rm{A}} it _{2}}={1} over { sqrt{2}}]

즉, 부채꼴 [eqn: {rm{O}} it _{1} {rm{A}} it _{1} {rm{O}} it _{2}]와 부채꼴 [eqn: {rm{O}} it _{2} {rm{A}} it _{2} {rm{O}} it _{3}]은 서로 닮음이고 닮음비는 [eqn: 1: {1} over { sqrt{2}}]이다.

따라서 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}]은 첫째항이 [eqn: { pi} over {8}]이고 공비가 [eqn: left({1} over { sqrt{2}} right)^{2}={1} over {2}]인 등비급수의 합이므로

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}={{ pi} over {8}} over {1-{1} over {2}}={ pi} over {4}]

그림 [eqn: R _{1}]에서 점 [eqn: rmO _{2}]를 지나고 선분 [eqn: rmO _{1} A _{1}]에 평행한 직선이 직선 [eqn: rmO _{1} B _{1}]과 만나는 점을 [eqn: rmA _{2}]라 하자. 중심이 [eqn: {rm O _{2}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {5pi} over {12}]인 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} O _{3}]을 부채꼴 [eqn: rmO _{1} A _{1} B _{1}]과 겹치지 않도록 그린다. 호 [eqn: rmA _{2} O _{3}] 위에 점 [eqn: rmB _{2}]를 [eqn: rm ANGLE A _{2} O _{2} B _{2} = {pi} over {4}]가 되도록 잡고, 부채꼴 [eqn: rmO _{2} A _{2} B _{2}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``->`` inf} {S _{n}}]의 값은?

① [eqn: {3pi} over {16}]	② [eqn: {7pi} over {32}]	③ [eqn: {pi} over {4}]

④ [eqn: {9pi} over {32}]	⑤ [eqn: {5pi} over {16}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 미적분 27

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}=1], [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}=2]인 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]이 있다. 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]의 중점 [eqn: {rm{E}} it _{1}]에 대하여 두 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}], [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]이 만나는 점을 [eqn: {rm{F}} it _{1}]이라 하자. [eqn: overline{{rm{G}} it _{1} {rm{E}} it _{1}}= overline{{rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1}}]이 되도록 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]  위에 점 [eqn: {rm{G}} it _{1}]을 잡아 삼각형 [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]을 그린다. 두 삼각형 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1} {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: {rm{F}} it _{1}]에서 선분 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it _{1}]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{D}} it _{1} {rm{H}} it _{1}}=l(l>0)]이라 하면 [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it _{1}}= overline{{rm{C}} it _{1} {rm{H}} it _{1}}=2 l][eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}=3 l=1]

[eqn: l={1} over {3}]이므로 [eqn: overline{{rm{D}} it _{1} {rm{H}} it _{1}}={1} over {3}], [eqn: overline{{rm{F}} it _{1} {rm{H}} it _{1}}={2} over {3}]

삼각형 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 1 times {2} over {3}={1} over {3}]

[eqn: angle {rm{B}} it _{1} {rm{E}} it _{1} {rm{F}} it _{1}={ pi} over {2}]이고, [eqn: overline{{rm{G}} it _{1} {rm{E}} it _{1}}= overline{{rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1}}]이므로 점 [eqn: {rm{G}} it _{1}]은 삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]의 외접원의 중심이다.

[eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{G}} it _{1}}= overline{{rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1}}]이므로 삼각형 [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]의 넓이는 삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]이다.

[eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{E}} it _{1}}= sqrt{2}], [eqn: overline{{rm{E}} it _{1} {rm{F}} it _{1}}={ sqrt{2}} over {3}]이므로 삼각형 [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times left({1} over {2} times overline{{rm{B}} it _{1} {rm{E}} it _{1}} times overline{{rm{E}} it _{1} {rm{F}} it _{1}} right)={1} over {4} times sqrt{2} times { sqrt{2}} over {3}={1} over {6}]
[eqn: S_{1}={1} over {3}+{1} over {6}={1} over {2}]

두 삼각형 [eqn: {rm{C}} it _{n} {rm{D}} it _{n} {rm{F}} it _{n}], [eqn: {rm{G}} it _{n} {rm{F}} it _{n} {rm{E}} it _{n}]으로 만들어진 모양의 도형의 넓이를 [eqn: T_{n}]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1}}=a(a>0)]이라 하면
[eqn: overline{{rm{B}} it _{n} {rm{B}} it _{n+1}}=2 a], [eqn: overline{{rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}}=2 a], [eqn: overline{{rm{C}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n}}=a][eqn: overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}=5 a][eqn: overline{{rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}}={2} over {5} overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}]

두 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n} {rm{D}} it _{n}], [eqn: {rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n+1}]의 닮음비는 [eqn: 1: {2} over {5}]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1^{2}: left({2} over {5} right)^{2}]이다.

[eqn: T_{n+1}={4} over {25} T_{n}]

수열 [eqn: left{ T_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: T_{1}=S_{1}={1} over {2}]이고 공비가 [eqn: {4} over {25}]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}= sum_{n=1}^{ inf } T_{n}={{1} over {2}} over {1-{4} over {25}}={25} over {42}]

그림 [eqn: R_{1}]에서 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{F}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}], 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}] 위의 두 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}], 선분 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{F}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{D}} it _{2}]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}}: overline{{rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}}=1: 2]인 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]를 그린다. 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]에 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim_{n -> inf} S_{n}]의 값은?

[eqn: R _{1}]
[eqn: R _{2}]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

① [eqn: {23} over {42}]	② [eqn: {25} over {42}]	③ [eqn: {9} over {14}]

④ [eqn: {29} over {42}]	⑤ [eqn: {31} over {42}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 미적분 27

그림과 같이 [eqn: rm bar {A_1 B_1} } =4], [eqn: rm bar {A_1 D_1} = 3`]인 직사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1`]이 있다. 선분 [eqn: rmA_1 D_1`]을 [eqn: 1`:`2], [eqn: 2`:`1`]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmE_1], [eqn: rmF_1`]이라 하고, 두 선분 [eqn: rmA_1 B_1], [eqn: rmD_1 C_1`]을 [eqn: 1`:`3`]으로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmG_1], [eqn: rmH_1`]이라 하자. 두 삼각형 [eqn: rmC_1 E_1 G_1], [eqn: rmB_1 H_1 F_1`]로 만들어진  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_1`]이라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: rmE_1], [eqn: rmF_1]은 변 [eqn: rmA_1 D_1]의 삼등분점이므로

[eqn: rmbar{A_1 E_1}=bar{E_1 F_1}=bar{F_1 D_1}=1]

점 [eqn: rmP]에서 변 [eqn: rmA_1 D_1]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmP_1]이라 하면 [eqn: triangle rmA_1 B_1 F_1]□[eqn: rmtriangle P_1 PF_1]이고 [eqn: rmbar{A_1 F_1}`:`bar{A_1 B_1}=1`:`2]이므로

[eqn: rmbar{P_1 F_1}`:`bar{P_1 P}=1`:`2], [eqn: rmbar{P_1 P}=1]

[eqn: therefore][eqn: triangle rmA_1 E_1 G_1 =triangle E_1 F_1 P=triangle F_1 D_1 H_1 = 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: rmbar{B_1 C_1}=bar{C_1 H_1}=3]이므로 삼각형 [eqn: rmB_1 C_1 H_1]은 직각이등변삼각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmSS_1 H_1]도 직각이등변삼각형이므로 점 [eqn: rmS]에서 변 [eqn: rmC_1 D_1]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS_1], [eqn: rmbar{SS_1}=ita]라 하면

[eqn: rmbar{S_1 H_1}=ita], [eqn: rmbar{S_1 C_1}=it3-a]

[eqn: triangle rmE_1 C_1 D_1]□[eqn: triangle rmSC_1 S_1]이므로

[eqn: rmbar{SS_1}`:`bar{S_1 C_1}=1`:`2], [eqn: a`:`left(3-a right)=1`:`2], [eqn: a=1]

[eqn: therefore][eqn: triangle rmGB_1 G_1 =triangleSC_1 H_1 = 1over2 times3 times1= 3over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

삼각형 [eqn: rmI_1 B_1 C_1]은 직각이등변삼각형이고 [eqn: rmbar{B_1 C_1}=3]이므로

[eqn: triangle rmI_1 B_1 C_1 = 9over4]	[eqn: cdotscdots] ㉢

따라서 색칠한 부분의 넓이는 직사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1]의 넓이에서 ㉠, ㉡, ㉢의 넓이를 제외하면 되므로

[eqn: S_1][eqn: =12-left(3times 1over2 +2times 3over2 + 9over4 right)][eqn: = 21over4]

위의 그림과 같이 [eqn: rmbar{A_2 B_2}=it4k]라 하면

[eqn: rmbar{B_2 C_2}=it3k], [eqn: rmbar{B_1 B_2}=it{3-3k}over2]

삼각형 [eqn: rmA_2 B_1 B_2]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: 4k={3-3k}over2], [eqn: k= 3over11]

따라서 [eqn: rmbar{A_2 B_2}= 12over11]이다.

두 직사각형 [eqn: rmA_1 B_1 C_1 D_1], [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2]는 닮음이고 닮음비는 [eqn: 4`:`12over11 =11`:`3]이다.

이상에서 [eqn: S_n]은 첫째항이 [eqn: 21over4], 공비가 [eqn: left(3over11 right)^2 = 9over121]인 등비수열의 합이므로

[eqn: lim_{n`->`inf}S_n ={21over4}over{1- 9over121}= 363over64]

그림 [eqn: R_1`]에서 두 선분 [eqn: rmB_1 H_1], [eqn: rmC_1 G_1`]이 만나는 점을 [eqn: rmI_1`]이라 하자.

선분 [eqn: rmB_1 I_1] 위의 점 [eqn: rmA_2], 선분 [eqn: rmC_1 I_1`] 위의 점 [eqn: rmD_2], 선분 [eqn: rm B_1 C_1] 위의 두 점 [eqn: rmB_2], [eqn: rmC_2`]를 [eqn: rm bar {A_2 B_2 } `:` bar {A_2 D_2} = 4`:`3`]인 직사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2`]가 되도록 잡는다. 그림 [eqn: R_1`]을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 [eqn: rmA_2 B_2 C_2 D_2`]에  모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_2`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R_n`]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n`]이라 할 때, [eqn: lim _{ n`->`inf} { S_n}`]의 값은?

[eqn: R_1]	[eqn: R_2]

① [eqn: 347 over 64]	② [eqn: 351 over 64]	③ [eqn: 355 over64]

④ [eqn: 359 over64]	⑤ [eqn: 363 over64]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 미적분 27

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}=4], [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}=1]인 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]에서 두 대각선의 교점을 [eqn: {rm{E}} it _{1}]이라 하자. [eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{D}} it _{1}}= overline{{rm{D}} it _{1} {rm{E}} it _{1}}], [eqn: angle {rm{A}} it _{2} {rm{D}} it _{1} {rm{E}} it _{1}={ pi} over {2}]이고 선분 [eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]과 선분 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{E}} it _{1}]이 만나도록 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}]를 잡고, [eqn: overline{{rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{1}}= overline{{rm{C}} it _{1} {rm{E}} it _{1}}], [eqn: angle {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{1} {rm{E}} it _{1}={ pi} over {2}]이고 선분 [eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]과 선분 [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{E}} it _{1}]이 만나도록 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}]를 잡는다. 두 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{D}} it _{1} {rm{E}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]을 그린 후  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.

[정답] ③

[해설]

그림 [eqn: R _{1}]에서 [eqn: {bar{rmE _{1} C _{1}}} = sqrt {2 ^{2} + LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {sqrt {17}} over {2}]이고, 삼각형 [eqn: rm E _{1} C _{1} B _{2}]는 직각이등변삼각형이므로

[eqn: S _{1} =2 TIMES {1} over {2} TIMES LEFT ( {sqrt {17}} over {2} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {17} over {4}]

삼각형 [eqn: rmE_1 B_1 C_1]에서 [eqn: rmbar{E_1 B_1}={bar{rmE _{1} C _{1}}} = {sqrt {17}} over {2}], [eqn: rmbar{B_1 C_1}=1]이므로 [eqn: angle rmB_1 E_1 C_1 =theta]라 하면 코사인법칙에 의해

[eqn: cos`theta][eqn: ={17over4 + 17over4 -1}over{2times root17over2 times root17 over2}= 15over17]	[eqn: cdots cdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmA_2 E_1 B_2]에서[eqn: angle rmA_2 E_1 D_1 =angleB_2 E_1 C_1 = pi over4]이므로 [eqn: angle rmA_2 E_1 B_2 = pi over2 -theta]이고,

[eqn: cos`left(pi over2 -theta right)=sin`theta=root{1-cos`^2 theta}= 8over17] ([eqn: because] ㉠)

또한 [eqn: rm bar{A_2 E_1 }=bar{B_2 E_1}=root{17over2]이므로 코사인법칙에 의해

[eqn: rmbar{A_2 B_2}`^2][eqn: = 17over2 + 17over2 -2times root{17over2 }times root{17over2} `cos`left(pi over2 -theta right)]
[eqn: =17-17sin`theta=9]

[eqn: therefore][eqn: rmbar{A_2 B_2}=3]

따라서 직사각형 [eqn: rmA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}]과 [eqn: rmA _{2} B _{2} C _{2} D _{2}]의 닮음비가 [eqn: 4:3]이므로 넓이의 비는 [eqn: 16:9]이다.

수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: S_1 = 17over4], 공비가 [eqn: {9} over {16}]인 등비급수이므로

[eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}}][eqn: = {{17} over {4}} over {1- {9} over {16}}][eqn: = {68} over {7}]

그림 [eqn: R_{1}]에서 [eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}}: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{D}} it _{2}}=4: 1]이고 선분 [eqn: {rm{D}} it _{2} {rm{C}} it _{2}]가 두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{E}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{E}} it _{1}]과 만나지 않도록 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]를 그린다. 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 세 점 [eqn: {rm{E}} it _{2}], [eqn: {rm{A}} it _{3}], [eqn: {rm{B}} it _{3}]을 잡고 두 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{3} {rm{D}} it _{2} {rm{E}} it _{2}], [eqn: {rm{B}} it _{3} {rm{C}} it _{2} {rm{E}} it _{2}]를 그린 후  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}]의 값은?

		[eqn: cdots]
[eqn: R_1]	[eqn: R_2]	[eqn: cdots]

① [eqn: {68} over {5}]	② [eqn: {34} over {3}]	③ [eqn: {68} over {7}]

④ [eqn: {17} over {2}]	⑤ [eqn: {68} over {9}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 미적분 26

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}=2], [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{2}}=3]이고 [eqn: angle {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{2}={ pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1}]과 이 삼각형의 외접원 [eqn: O_{1}]이 있다.

[정답] ②

[해설]

원 [eqn: O_{1}]의 중심을 [eqn: {rm{O}} it]라 하고 점 [eqn: {rm{O}} it]에서 두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}], [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{2}]라 하면 점 [eqn: {rm{H}} it _{1}]은 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]의

중점이고 점 [eqn: {rm{H}} it _{2}]는 선분 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}]의 중점이다.

또, [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}} ⫽ overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}}]이므로 세 점 [eqn: {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{H}} it _{2}]는 한 직선 위에 있다.

이때, [eqn: angle {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{2}={ pi} over {3}]이므로

[eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}= overline{{rm{B}} it _{1} {rm{H}} it _{1}} times {1} over { cos { pi} over {3}}]

[eqn: =1 TIMES {1} over {{1} over {2}} =2]

그러므로 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]은 한 변의 길이

가 [eqn: rm 2]인 정삼각형이다.

또,

[eqn: angle {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{2} {rm{A}} it _{2}= angle {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{2}={ pi} over {3}]

[eqn: angle {rm{A}} it _{2} {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{2}= angle {rm{A}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{1}={ pi} over {3}]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}]는 정삼각형이다.

이때,

[eqn: overline{{rm{C}} it _{1} {rm{A}} it _{2}}= overline{{rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{2}}- overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}=3-2=1]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}]는 한 변의 길이가 [eqn: rm 1]인 정삼각형이다.

그러므로

[eqn: S_{1}=2 times left( triangle {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1}- triangle {rm{A}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{1} right)]

[eqn: =2 times left({1} over {2} times 2 times 3 times sin { pi} over {3}-{1} over {2} times 2 times 2 times sin { pi} over {3} right)]

[eqn: = sqrt{3}]

또, 두 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1}], [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{A}} it _{3} {rm{B}} it _{2}]에서

[eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2}} ⫽ overline{{rm{A}} it _{2} {rm{A}} it _{3}}], [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}} ⫽ overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}}],

[eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1}} ⫽ overline{{rm{A}} it _{3} {rm{B}} it _{2}}]

이고

[eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}=2], [eqn: ~ {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}=1]

이므로 두 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{1}], [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{A}} it _{3} {rm{B}} it _{2}]의 닮음비는 [eqn: 2: 1]이다.

따라서, 넓이의 비는 [eqn: 4: 1]이므로

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}={S_{1}} over {1-{1} over {4}}]

[eqn: ={ sqrt{3}} over {{3} over {4}}]

[eqn: ={4 sqrt{3}} over {3}]

점 [eqn: {rm{A}} it _{2}]를 지나고 직선 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]에 평행한 직선이 원 [eqn: O_{1}]과 만나는 점 중 [eqn: {rm{A}} it _{2}]가 아닌 점을 [eqn: {rm{B}} it _{2}]라 하자. 두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{2}]가 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it _{1}]이라 할 때, 두 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2} {rm{C}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{2}]로 만들어진 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자. 그림 [eqn: R_{1}]에서 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}]를 지나고 직선 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{2}]에 평행한 직선이 직선 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{A}} it _{2}]와 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it _{3}]이라 할 때, 삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{A}} it _{3} {rm{B}} it _{2}]의 외접원을 [eqn: O_{2}]라 하자. 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 두 점 [eqn: {rm{B}} it _{3}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]를 잡아 원 [eqn: {{O}} it _{2}]에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n rarrow INF } {} S _{n}]의 값은?

[eqn: R_1]
[eqn: R_2]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]

① [eqn: {11 sqrt{3}} over {9}]	② [eqn: {4 sqrt{3}} over {3}]	③ [eqn: {13 sqrt{3}} over {9}]

④ [eqn: {14 sqrt{3}} over {9}]	⑤ [eqn: {5 sqrt{3}} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 미적분 27

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}=1], [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}=2 sqrt{6}]인 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]이 있다. 중심이 [eqn: {rm{B}} it _{1}]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원이 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it _{1}]이라 하고, 중심이 [eqn: {rm{D}} it _{1}]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원이 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{F}} it _{1}]이라 하자. 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]이 호 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{E}} it _{1}], 호 [eqn: {rm{C}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{B}} it _{2}],[eqn: {rm{D}} it _{2}]라 하고, 두 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{D}} it _{2}]의 중점을 각각 [eqn: {rm{G}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{1}]이라 하자. 두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{G}} it _{1}], [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{B}} it _{2}]와 호 [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{A}} it _{1}]로 둘러싸인 부분인 모양의 도형과 두 선분 [eqn: {rm{D}} it _{2} {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]과 호 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{D}} it _{2}]로 둘러싸인 부분인모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자.

[정답] ④

[해설]

그림 [eqn: R_{n}]에서 새로 색칠한 부분의 넓이를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: angle {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{D}} it _{n}= theta]라 하면

[eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}= sqrt{1^{2}+(2 sqrt{6})^{2}}=5]이므로

[eqn: sin theta={ overline{{rm{A}} it _{n} {rm{D}} it _{n}}} over { overline{{rm{B}} it _{n} {rm{D}} it _{n}}}={ overline{{rm{A}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}} over { overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}}={2 sqrt{6}} over {5}], [eqn: cos theta={1} over {5}]

두 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{G}} it _{1}], [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{B}} it _{2}]와 호 [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{A}} it _{1}]로 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{B}} it _{2} {rm{A}} it _{1}]의 넓이에서 삼각형[eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: {1} over {2} times 1^{2} times theta-{1} over {2} times 1 times {1} over {2} times sin theta={ theta} over {2}-{ sqrt{6}} over {10}]

두 선분 [eqn: {rm{D}} it _{2} {rm{H}} it _{1}], [eqn: {rm{H}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]과 호 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{D}} it _{2}]로 둘러싸인 도형의 넓이는 부채꼴 [eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{D}} it _{2}]의 넓이에서 삼각형[eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{H}} it _{1}]의 넓이를 뺀 것과 같으므로

[eqn: {1} over {2} times 1^{2} times left({ pi} over {2}- theta right)-{1} over {2} times 1 times {1} over {2} times sin left({ pi} over {2}- theta right)]

[eqn: ={ pi} over {4}-{ theta} over {2}-{1} over {20}]

그러므로

[eqn: a_{1}= left({ theta} over {2}-{ sqrt{6}} over {10} right)+ left({ pi} over {4}-{ theta} over {2}-{1} over {20} right)={ pi} over {4}-{ sqrt{6}} over {10}-{1} over {20}]

[eqn: { overline{{rm{B}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n+1}}} over { overline{{rm{B}} it _{n} {rm{D}} it _{n}}}={ overline{{rm{B}} it _{2} {rm{D}} it _{2}}} over { overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}}={ overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}- left( overline{{rm{B}} it _{1} {rm{B}} it _{2}}+ overline{{rm{D}} it _{1} {rm{D}} it _{2}} right)} over { overline{{rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}}={3} over {5}]

두 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n} {rm{D}} it _{n}]과 [eqn: {rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n+1}]의

닮음비는 [eqn: 5: 3]이므로 [eqn: {a_{n+1}} over {a_{n}}= left({3} over {5} right)^{2}={9} over {25}]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: a_{1}]이고 공비가 [eqn: {9} over {25}]인 등비수열이므로 [eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}={a_{1}} over {1-{9} over {25}}={25 pi-10 sqrt{6}-5} over {64}]

그림 [eqn: R_{1}]에서 선분 [eqn: {rm{B}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]가 대각선이고 모든 변이 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}] 또는 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]에 평행한 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]를 그린다.

직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]에 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형과모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { } _{} {} S _{n}]의 값은?

[eqn: R_{ 1}]
[eqn: R_{ 2}]
[eqn: VDOTS]	[eqn: VDOTS]

① [eqn: {25 pi-12 sqrt{6}-5} over {64}]	② [eqn: {25 pi-12 sqrt{6}-4} over {64}]

③ [eqn: {25 pi-10 sqrt{6}-6} over {64}]	④ [eqn: {25 pi-10 sqrt{6}-5} over {64}]

⑤ [eqn: {25 pi-10 sqrt{6}-4} over {64}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 미적분 28

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}=2], [eqn: overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}=2 sqrt{3}]인 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]이 있다. 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]을 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점을 [eqn: {rm{E}} it _{1}]이라 하고 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]을 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]이 두 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{E}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]과 만나는 점 중 점 [eqn: {rm{B}} it _{1}]이 아닌 점을 각각 [eqn: {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{G}} it _{1}]이라 하자. 세 선분 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{E}} it _{1}], [eqn: {rm{E}} it _{1} {rm{D}} it _{1}], [eqn: {rm{D}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]과 호 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{1}]이라 하자. 그림 [eqn: R_{1}]에 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{G}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}], 호 [eqn: {rm{G}} it _{1} {rm{C}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{D}} it _{2}]와 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}] 위의 두 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}]를 꼭짓점으로 하고 [eqn: overline{{rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2}}: overline{{rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2}}=1: sqrt{3}]인 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]를 그린다. 직사각형 [eqn: {rm{A}} it _{2} {rm{B}} it _{2} {rm{C}} it _{2} {rm{D}} it _{2}]에 그림 [eqn: R_{1}]을 얻은 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R_{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: lim_{n -> inf} S_{n}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it _{1}]이라 하자.

삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]에서 [eqn: tan left( angle {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{D}} it _{1} right)={ overline{{rm{C}} it _{1} {rm{D}} it _{1}}} over { overline{{rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}}}={ sqrt{3}} over {3}]

이므로 [eqn: angle {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{G}} it _{1}={ pi} over {6}]이고 [eqn: angle {rm{C}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{G}} it _{1}={ pi} over {3}][eqn: cdotscdots]㉠

점 [eqn: {rm{E}} it _{1}]은 선분 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]을 [eqn: 1: 2]로 내분하는 점이므로

[eqn: overline{{rm{A}} it _{1} {rm{E}} it _{1}}=2 sqrt{3} times {1} over {3}={2 sqrt{3}} over {3}]

삼각형 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{E}} it _{1}]에서 [eqn: tan left( angle {rm{E}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{1} right)={ overline{{rm{A}} it _{1} {rm{E}} it _{1}}} over { overline{{rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}}}={ sqrt{3}} over {3}]

이므로 [eqn: angle {rm{E}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{1}={ pi} over {6}]

[eqn: angle {rm{G}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{E}} it _{1}={ pi} over {2}- angle {rm{C}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{G}} it _{1}- angle {rm{E}} it _{1} {rm{B}} it _{1} {rm{A}} it _{1}={ pi} over {6}]에서

[eqn: angle {rm{G}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{F}} it _{1}={ pi} over {3}][eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 두 삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]은 모두 정삼각형이므로 [eqn: angle {rm{F}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{B}} it _{1}= angle {rm{M}} it _{1} {rm{F}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]이 되어

두 선분 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{G}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{C}} it _{1}]은 서로 평행하다.

삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{G}} it _{1} {rm{F}} it _{1}]의 넓이는 삼각형 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]의 넓이와 같고,

두 선분 [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{F}} it _{1}], [eqn: {rm{B}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]과 호 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]로 둘러싸인 부분의 넓이는 부채꼴 [eqn: {rm{F}} it _{1} {rm{M}} it _{1} {rm{G}} it _{1}]의 넓이와 같으므로

[eqn: S_{1}][eqn: = left({1} over {2} times {4 sqrt{3}} over {3} times 2 right)- left{ {1} over {2} times( sqrt{3})^{2} times { pi} over {3} it right}]
[eqn: ={4 sqrt{3}} over {3}-{ pi} over {2}]

다음은 그림 [eqn: R_{n+1}]의 일부이다.

선분 [eqn: {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it _{n}]이라 하자.

[eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n}}=a_{n}], [eqn: overline{{rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1}}=a_{n+1}]이라 하면

[eqn: overline{{rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n}}: overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}=1: sqrt{3}]에서 [eqn: overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}= sqrt{3} a_{n}]이고

[eqn: overline{{rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1}}: overline{{rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}}=1: sqrt{3}]에서

[eqn: overline{{rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}}= sqrt{3} a_{n+1}]이다.

직각삼각형 [eqn: {rm{B}} it _{n} {rm{B}} it _{n+1} {rm{A}} it _{n+1}]에서

[eqn: overline{{rm{B}} it _{n} {rm{B}} it _{n+1}}={ overline{{rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1}}} over { tan { pi} over {6}}= sqrt{3} a_{n+1}]이므로

[eqn: overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n+1}}= overline{{rm{B}} it _{n} {rm{B}} it _{n+1}}+ overline{{rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1}}=2 sqrt{3} a_{n+1}]

직각삼각형 [eqn: {rm{M}} it _{n} {rm{C}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n+1}]에서

[eqn: { overline{{rm{M}} it _{n} {rm{C}} it _{n+1}}}^{2}+{ overline{{rm{C}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n+1}}}^{2}={ overline{{rm{M}} it _{n} {rm{D}} it _{n+1}}}^{2}]

이고 [eqn: overline{{rm{M}} it _{n} {rm{D}} it _{n+1}}={1} over {2} overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n}}={ sqrt{3}} over {2} a_{n}]이므로

[eqn: left( overline{{rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n+1}}- overline{{rm{B}} it _{n} {rm{M}} it _{n}} right)^{2}+ overline{{rm{C}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n+1}} it ^ {2}={3} over {4} a_{n}^{2}]

[eqn: left(2 sqrt{3} a_{n+1}-{ sqrt{3}} over {2} a_{n} right)^{2}+a_{n+1}^{2}={3} over {4} a_{n}^{2}]

[eqn: 13 a_{n+1} it ^ {2}-6 a_{n} a_{n+1}=0]

[eqn: a_{n+1}={6} over {13} a_{n}]이므로 두 사각형 [eqn: {rm{A}} it _{n} {rm{B}} it _{n} {rm{C}} it _{n} {rm{D}} it _{n}]과

[eqn: {rm{A}} it _{n+1} {rm{B}} it _{n+1} {rm{C}} it _{n+1} {rm{D}} it _{n+1}]의 닮음비가 [eqn: 13: 6]이고

넓이의 비는 [eqn: 169: 36]이다.

따라서 [eqn: S_{n}]은 첫째항이 [eqn: {4 sqrt{3}} over {3}-{ pi} over {2}]이고

공비가 [eqn: {36} over {169}]인 등비수열의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의

합이므로

[eqn: lim _{n ``rarrow`` inf } S_{n}= {{4 sqrt {3}} over {3} - {pi} over {2}} over {1- {36} over {169}}={169} over {798}(8 sqrt{3}-3 pi)]

① [eqn: {169} over {864}(8 sqrt{3}-3 pi)]	② [eqn: {169} over {798}(8 sqrt{3}-3 pi)]

③ [eqn: {169} over {720}(8 sqrt{3}-3 pi)]	④ [eqn: {169} over {864}(16 sqrt{3}-3 pi)]

⑤ [eqn: {169} over {798}(16 sqrt{3}-3 pi)]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월 미적분 27

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it], 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OA}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]이 있다. 호 [eqn: {rm{A}} it _{1} {rm{B}} it _{1}] 위에 점 [eqn: {rm{P}} it _{1}], 선분 [eqn: {rm{OA}} it _{1}] 위에 점 [eqn: {rm{C}} it _{1}], 선분 [eqn: {rm{OB}} it _{1}] 위에 점 [eqn: {rm{D}} it _{1}]을 사각형 [eqn: {rm{OC}} it _{1} {rm{P}} it _{1} {rm{D}} it _{1}]이 [eqn: {bar{rm OC it _{1}}} `:` {bar{rm OD it _{1}}} =3`:`4]인 직사각형이 되도록 잡는다. 부채꼴 [eqn: {rm{OA}} it _{1} {rm{B}} it _{1}]의 내부에 점 [eqn: {rm{Q}} it _{1}]을 [eqn: overline{{rm{P}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}}= overline{{rm{A}} it _{1} {rm{Q}} it _{1}}], [eqn: angle {rm{P}} it _{1} {rm{Q}} it _{1} {rm{A}} it _{1}={ pi} over {2}]가 되도록 잡고, 이등변삼각형 [eqn: {rm{P}} it _{1} {rm{Q}} it _{1} {rm{A}} it _{1}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R`_{1}]이라 하자.

[정답] ②

[해설]

[eqn: rm ANGLE P _{1} OA _{1} = theta]라 하면    [eqn: cos theta = {3} over {5}]

삼각형 [eqn: rmP _{1} OA _{1}]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rmP _{1} A _{1}}} ^{2}][eqn: =1 ^{2} +1 ^{2} -2 TIMES 1 TIMES 1 TIMES cos theta]
[eqn: = 4over5]

[eqn: therefore] [eqn: {bar{rmP _{1} A _{1}}} = {2 sqrt {5}} over {5}]

삼각형 [eqn: rmP _{1} Q _{1} A _{1}]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: {bar{rmP _{1} Q _{1}}} = {bar{Q _{1} A _{1}}} = {sqrt {10}} over {5}]

따라서 삼각형 [eqn: rmP _{1} Q _{1} A _{1}]의 넓이

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES LEFT ( {sqrt {10}} over {5} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {1} over {5}]

한편, 점 [eqn: rmO`]에서 선분 [eqn: rmP _{1} A _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM`]이라 하면 삼각형 [eqn: rmP _{1} OA _{1}]의 넓이에서

[eqn: {1} over {2} TIMES rmbar{OA_1} TIMES bar{P_1 C_1} = {1} over {2} TIMES {bar{rmOM }} TIMES {bar{P _{1} A _{1}}}]

[eqn: {1} over {2} TIMES1times {4} over {5} = {1} over {2} TIMES {bar{rmOM }} TIMES {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: THEREFORE ~ {bar{rm OM}} = {2 sqrt {5}} over {5}]

또한, 삼각형 [eqn: rmP _{1} Q _{1} A _{1}]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm {bar{Q _{1} M }} = {bar{P _{1} M }}][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{OQ _{1}}} = {bar{rmOM }} - {bar{Q _{1} M }}][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]

두 사분원의 반지름의 비는 [eqn: {sqrt {5}} over {5}]이므로 색칠한 삼각형의 넓이의 비는 [eqn: {1} over {5}]이다.

따라서 수열 [eqn: left{S`_n right}`]은 첫째항이 [eqn: 1over5], 공비가 [eqn: 1over5 `]인 등비수열의 합이므로

[eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}} = {{1} over {5}} over {1- {1} over {5}} = {1} over {4}]

[다른 풀이]

[eqn: rm ANGLE P _{1} OA _{1} = theta `]라 하면 [eqn: cos theta = {3} over {5}]이므로

[eqn: {bar{rm OC _{1}}} = {3} over {5}], [eqn: {bar{rm C _{1} A _{1}}} = {2} over {5} `], [eqn: {bar{rm P _{1} C _{1}}} = {4} over {5} `]

삼각형 [eqn: rmP _{1} C _{1} A _{1}]은 직각삼각형이므로

[eqn: {bar{rmP _{1} A _{1}}} = {2 sqrt {5}} over {5}]

점 [eqn: rmO`]에서 선분 [eqn: rmP _{1} A _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM`]이라 하면, 삼각형 [eqn: rm P _{1} Q _{1} M`]은 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm {bar{Q _{1} M }} = {bar{P _{1} M }}][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]

삼각형 [eqn: rm P _{1} OM`]은 직각삼각형이므로

[eqn: {bar{rm OM}} = {2 sqrt {5}} over {5}]

[eqn: rm {bar{OQ _{1}}} = {bar{rmOM }} - {bar{Q _{1} M }}][eqn: = {sqrt {5}} over {5}]

두 사분원의 반지름의 비는 [eqn: {sqrt {5}} over {5}]이므로 색칠한 삼각형의 넓이의 비는 [eqn: {1} over {5}]이다.

따라서 수열 [eqn: left{S`_n right}`]은 첫째항이 [eqn: 1over5], 공비가 [eqn: 1over5 `]인 등비수열의 합이므로

[eqn: lim _{n rarrow INF } {S _{n}} = {{1} over {5}} over {1- {1} over {5}} = {1} over {4}]

그림 [eqn: R`_{ it 1 }]에서 선분 [eqn: {rm{OA}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it _{2}]와 선분 [eqn: {rm{OB}} it _{1}] 위의 점 [eqn: {rm{B}} it _{2}]를 [eqn: overline{{rm{OQ}} it _{1}}= overline{{rm{OA}} it _{2}}= overline{{rm{OB}} it _{2}}]가 되도록 잡고, 중심이 [eqn: {rm{O}} it], 반지름의 길이가 [eqn: overline{{rm{OQ}} it _{1}}], 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OA}} it _{2} {rm{B}} it _{2}]를 그린다. 그림 [eqn: R`_{ it 1 }]을 얻은 것과 같은 방법으로 네 점 [eqn: {rm{P}} it _{2}], [eqn: {rm{C}} it _{2}], [eqn: {rm{D}} it _{2}], [eqn: {rm{Q}} it _{2}]를 잡고, 이등변삼각형 [eqn: {rm{P}} it _{2} {rm{Q}} it _{2} {rm{A}} it _{2}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R_{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R`_{ it n }]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S`_{ it n }]이라 할 때, [eqn: lim _{n ``->`` INF } {} S`_{ it n }]의 값은?

[eqn: R`_{ it 1 }]
[eqn: R`_{ it 2 }]
[eqn: vdots]	[eqn: vdots]

① [eqn: {9} over {40}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {11} over {40}]

④ [eqn: {3} over {10}]	⑤ [eqn: {13} over {40}]

[미적] [01극한,급수] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
미적 3개년	2022.12.29

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold9]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] [eqn: 5]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 2 }]

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: 80]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: 28]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] 2

[정답] [eqn: 13]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[미적] [01극한,급수] 교사평경 최근 3개년(해설)
미적 3개년	2022.12.29