		년도별경향	2022.12.28
교사평경3	02	[수학2] [05정적분의활용] 교사평경 최근 3개년

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
01 정적분과 넓이1 (정적분의 기하적 의미)

교사평경3		년도별경향
02		[수학2] [05정적분의활용] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학2] [05정적분의활용] 교사평경 최근 3개년		02

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 13

두 양수 [eqn: a,~b] ([eqn: a<b])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x) =(x-a)(x-b)]에 대하여

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT | f(x) RIGHT | dx][eqn: =- int _{a} ^{b} {f(x)dx}]
[eqn: =- LEFT ( int _{0} ^{b} {f(x)dx- int _{0} ^{a} {f(x)dx}} RIGHT )]
[eqn: =- LEFT ( - {8} over {3} - {11} over {6} RIGHT )]
[eqn: = {9} over {2}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-b RIGHT )]라 하자.

[eqn: int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = {11} over {6}], [eqn: int _{0} ^{b} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = it - {8} over {3}]

일 때, 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: 6]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
02 정적분과 넓이2 (그래프 조건)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 7

두 함수

[정답] ①

[해설]

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프로 둘러싸인

부분에서 [eqn: 0 leq x leq 2]인 부분과 [eqn: 2 leq x leq 4]인 부분의 넓이가 같으므로 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = int_{0}^{4} left{ g(x)-f(x) it right} d x]
[eqn: =2 int_{0}^{2} left(-2 x^{2}+6 x right) d x]
[eqn: =2 left[ pile{it #it} -{2} over {3} x^{3}+3 x^{2} right]_{0}^{2}={40} over {3}]

[eqn: f(x)=x^{2}-4 x], [eqn: ~ g(x)=cases{-x^{2}+2 x && (x<2) #-x^{2}+6 x-8 && (x geq 2)}]

의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {40} over {3}]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: {44} over {3}]

④ [eqn: {46} over {3}]	⑤ [eqn: rm 16]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
03 정적분과 넓이3 (그래프 그리기)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 17

곡선 [eqn: y=-x^{2}+4 x-4]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 12 S]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 32]

[해설]

곡선 [eqn: y=-x^{2}+4 x-4]와 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S][eqn: = int_{0}^{2} left|-x^{2}+4 x-4 right| d x]
[eqn: = int_{0}^{2} left(x^{2}-4 x+4 right) d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} {1} over {3} x^{3}-2 x^{2}+4 x right]_{0}^{2}={8} over {3}]

따라서 [eqn: 12 S=32]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 18

곡선 [eqn: y=x ^{3} +2x`]와 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=3x+6`]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: x^3 +2x=3x+6]에서

[eqn: x^3 -x-6=0]

[eqn: left(x-2right)left(x^2 +2x+3right)=0]

[eqn: therefore][eqn: x=2]

곡선 [eqn: y=x ^{3} +2x`]와 직선 [eqn: y=3x+6`]의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: =int_0^2 left{3x+6-left(x^3 +2x right)right}`dx]
[eqn: =int_0^2 left(-x^3 +x+6right)`dx]
[eqn: =left[- 1over4 x^4 + 1over2 x^2 +6x right]_0^2]
[eqn: =it-4+2+12]
[eqn: =10]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
04 정적분과 넓이4 (포물선의 넓이공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 10

양수 [eqn: {a}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=ax]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=ax]의 교점의 좌표는 방정식 [eqn: x ^{2}][eqn: =ax]에서

[eqn: LEFT ( 0 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a ,```` a ^{2} RIGHT )]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: int _{0} ^{a} {} left |`` ax-x ^{2} ``right | dx][eqn: = LEFT [ {a} over {2} x ^{2} - {x ^{3}} over {3} RIGHT ] _{0}^{a}]
[eqn: = {a ^{3}} over {2} - {a ^{3}} over {3}]
[eqn: = {a ^{3}} over {6}]

① [eqn: {a ^{3}} over {12}]	② [eqn: {a ^{3}} over {8}]	③ [eqn: {a ^{3}} over {6}]

④ [eqn: {a ^{3}} over {4}]	⑤ [eqn: {a ^{3}} over {3}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 27

곡선 [eqn: {y}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}][eqn: =x ^{2} -7x+10]과 직선 [eqn: y][eqn: = it -x+10]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[정답] [eqn: 36]

[해설]

곡선 [eqn: y=x^{2}-7 x+10]과 직선 [eqn: y=-x+10]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x^{2}-7 x+10=-x+10]에서

[eqn: x^{2}-6 x=0], [eqn: x(x-6)=0]

[eqn: THEREFORE ~x=0] 또는 [eqn: x=6]

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = int_{0}^{6} left{ (-x+10)- left(x^{2}-7 x+10 right) it right} d x]
[eqn: = int_{0}^{6} left(-x^{2}+6 x right) d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} -{1} over {3} x^{3}+3 x^{2} right]_{0}^{6}]
[eqn: =36]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 6

곡선 [eqn: y=3x^2 -x]와 직선 [eqn: y=5x]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

곡선 [eqn: y=3x^2 -x]와 직선 [eqn: y=5x]의 교점을 구하면

[eqn: 3x^2 -x=5x], [eqn: 3x(x-2)=0]

[eqn: THEREFORE ```` x=0] 또는 [eqn: 2]

즉 곡선 [eqn: y=3x^2 -x]와 직선 [eqn: y=5x]으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S][eqn: =int _{ 0} ^{2 } { }left {5x-(3x^2 -x) `right} }dx]
[eqn: =int _{ 0} ^{2 } { }left (6x-3x^2 right)}dx]
[eqn: = left [ pile{ `#` } 3x^2 -x^3 right]_0 ^2]
[eqn: =12-8]
[eqn: =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
05 정적분과 넓이5 (중근관련)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 13

곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x ^{2}]과 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: y][eqn: =x ^{3} -2x ^{2}]
[eqn: =x ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT )]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -2x ^{2}]은 다음과 같다.

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT | x ^{3} -2x ^{2} RIGHT | dx}]
[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( -x ^{3} +2x ^{2} RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ `- {1} over {4} x ^{4} + {2} over {3} x ^{3}` RIGHT ] _{0} ^{2}]
[eqn: =it-4+ {16} over {3}]
[eqn: = {4} over {3}]

① [eqn: {7} over {6}]	② [eqn: {4} over {3}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {5} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
08 정적분과 넓이8 (함수결정 후 넓이)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 28

양수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

연속이므로 [eqn: f(1)= lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)]즉 [eqn: 2+a=a^{2}]에서 [eqn: a=2]

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

따라서 구하는 넓이는

[eqn: S][eqn: =3 int_{0}^{1} left(2 x^{2}+2 x right) d x+12]
[eqn: =3 left[ pile{it #it} {2} over {3} x^{3}+x^{2} right]_{0}^{1}+12]
[eqn: =5+12=17]

(가) [eqn: 0 leq x<1]일 때, [eqn: f(x)=2 x^{2}+a x]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+1)=f(x)+a^{2}]이다.

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축 및 직선 [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1-x RIGHT )][eqn: = it -f LEFT ( 1+x RIGHT )]를 만족시킨다. 두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: = it -6x ^{2}]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 4S]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: f LEFT ( 1-x RIGHT ) =-f LEFT ( 1+x RIGHT )]에 [eqn: x=0,``x=1]을 각각 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =-f LEFT ( 1 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0,``f LEFT ( 0 RIGHT ) =-f LEFT ( 2 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =`-6x ^{2}]에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x=0]이므로

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) =0,`x=0] 또는 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=-2]

[eqn: -2 LEQ x LEQ -1] 에서 [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x GEQ 0]이고

[eqn: -1 LEQ x LEQ 0] 에서  [eqn: x ^{3} +3x ^{2} +2x LEQ 0]이므로

[eqn: S][eqn: = int _{-2} ^{0} {LEFT | x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT |} dx]
[eqn: = int _{-2} ^{-1} {LEFT ( x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT ) dx+ int _{-1} ^{0} {LEFT { - LEFT ( x ^{3} +3x ^{2} +2x RIGHT ) RIGHT } dx}}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} +x ^{3} +x ^{2} RIGHT ] _{-2}^{-1} + LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} -x ^{2} RIGHT ] _{-1}^{0} = {1} over {2}]

따라서 [eqn: 4S=2]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 20

상수 [eqn: k(k<0)]에 대하여 두 함수

[정답] [eqn: rm 80]

[해설]

두 그래프가 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 2]일 때,

[eqn: x>0]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 접하고 [eqn: x<0]에서 만난다.

[eqn: x geq 0]일 때, [eqn: g(x)=4 x+k]이므로

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 x-1=4]

[eqn: (3 x+5)(x-1)=0]

[eqn: therefore~x=1]일 때 [eqn: (1,``1)]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 접한다.

따라서 [eqn: g(x)=4 x-3]이고 [eqn: k=-3]이다.

[eqn: x<0]일 때,

[eqn: x^{3}+x^{2}-x=-4 x-3]

[eqn: x^{3}+x^{2}+3 x+3=0]

[eqn: left(x^{2}+3 right)(x+1)=0]

[eqn: therefore~x=-1]일 때 [eqn: (-1,``1)]에서 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 만난다.

따라서 두 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= int_{-1}^{0} left{ left(x^{3}+x^{2}-x right)-(-4 x-3) it right} d x]
[eqn: + int_{0}^{1} left{ left(x^{3}+x^{2}-x right)-(4 x-3) it right} d x]

[eqn: = int_{-1}^{0} left(x^{3}+x^{2}+3 x+3 right) d x+ int_{0}^{1} left(x^{3}+x^{2}-5 x+3 right) d x]

[eqn: = int_{-1}^{1} left(x^{3}+x^{2}+3 right) d x+ int_{-1}^{0} 3 x d x+ int_{0}^{1}-5 x d x]

[eqn: =2 int_{0}^{1} x^{2}+3 d x+ left[ pile{it #it} {3} over {2} x^{2} right]_{-1}^{0}+ left[ pile{it #it} -{5} over {2} x^{2} right]_{0}^{1}]

[eqn: =2 left[ pile{it #it} {1} over {3} x^{3}+3 x right]_{0}^{1}-{3} over {2}-{5} over {2}]

[eqn: ={8} over {3}]

[eqn: therefore~30 times S=80]

[다른 풀이]

[eqn: x^3 + x^2 -x = 4 |`x`|+k]에서

[eqn: x^3 + x^2 -x -4 |`x`|=k][eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: h(x) = x^3 + x^2 -x -4 |`x`|]라 하면

[eqn: h(x)= {cases{x ^{3} +x ^{2} -5x&&(x GEQ 0)#x ^{3} +x ^{2} +3x&&(x<0)}}]에서

[eqn: h prime(x)= cases {3x^2 +2x -5 &&(x>0) #3x^2 +2x +3 &&(x<0)]

[eqn: 3 x^{2}+2 x-5=(3 x+5)(x-1)]이므로 [eqn: h `prime (x)=0]에서 [eqn: x=1]

함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 0]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 1]	[eqn: cdots]
[eqn: h `prime (x)]	[eqn: +]		[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

[eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: h(0)=0], [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: h(1)=-1]을 가지므로 함수 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 다음과 같다.

㉠이 서로 다른 두 실근을 가지고 [eqn: k<0]이므로 [eqn: k=-3]

따라서 두 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: S][eqn: = int_{-1}^{0} left(x^{3}+x^{2}+3 x+3 right) d x+ int_{0}^{1} left(x^{3}+x^{2}-5 x+3 right) d x][eqn: = left[ pile{it #it} {1} over {4} x^{4}+{1} over {3} x^{3}+{3} over {2} x^{2}+3 x right]_{-1}^{0}+ left[ pile{it #it} {1} over {4} x^{4}+{1} over {3} x^{3}-{5} over {2} x^{2}+3 x right]_{0}^{1}][eqn: =- left({1} over {4}-{1} over {3}+{3} over {2}-3 right)+ left({1} over {4}+{1} over {3}-{5} over {2}+3 right)][eqn: ={8} over {3}]

[eqn: therefore~30 times S=80]

[eqn: f(x)=x^{3}+x^{2}-x], [eqn: ~ g(x)=4|x|+k]

의 그래프가 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 2]일 때, 두 함수의 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S]라 하자. [eqn: 30 times S]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]는

[정답] [eqn: 34]

[해설]

(ⅰ) 집합 [eqn: A= LEFT { LEFT ( 2+2 cos theta ,``2+2 sin theta RIGHT ) `left|` - { pi} over { 3} LEQtheta LEQ { pi} over { 3} RIGHT }]에서
[eqn: x= 2 +2 cos theta], [eqn: y= 2 +2 sintheta]라 하면
[eqn: x-2=2cos`theta]에서 [eqn: left(x-2right)^2 =4cos`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠
[eqn: y-2=2sin`theta]에서 [eqn: left(y-2right)^2 =4sin`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠[eqn: +]㉡을 하면
[eqn: left(x-2right)^2 +left(y-2right)^2 =4][eqn: left( - { pi} over { 3} LEQtheta LEQ { pi} over { 3}right)]

(ⅱ) 집합 [eqn: B= LEFT { LEFT ( -2+2 cos theta ,``2+2 sin theta RIGHT ) `left|` {2pi} over {3} LEQ theta LEQ {4pi} over {3} RIGHT }]에서
[eqn: x= it-2 +2 cos theta], [eqn: y= 2 +2 sintheta]라 하면
[eqn: x+2=2cos`theta]에서 [eqn: left(x+2right)^2 =4cos`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉢
[eqn: y-2=2sin`theta]에서 [eqn: left(y-2right)^2 =4sin`^2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉣
㉢[eqn: +]㉣을 하면
[eqn: left(x+2right)^2 +left(y-2right)^2 =4][eqn: left( { 2pi} over { 3} LEQtheta LEQ {4 pi} over { 3}right)]

(ⅲ) 집합 [eqn: C= LEFT { LEFT ( a ,`` b RIGHT ) `left|` -3 LEQa LEQ3 ,```` b=2 +- sqrt { 3} RIGHT }]은
[eqn: -3 LEQx LEQ3]에서 직선 [eqn: y= 2+root3], [eqn: y=2-root3] 위의 점의 자취를 의미한다.

이상에서 나타내는 집합을 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 집합 [eqn: A CUPB CUPC]의 모든 원소가 나타내는 도형 [eqn: X]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: alpha]는

[eqn: alpha][eqn: =][eqn: 2 times](활꼴 [eqn: rmAB]의 넓이)[eqn: +](사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이)
[eqn: =2 times left ( 1 over 2 cdot 2^2 cdot 2pi over 3 - 1over 2 cdot 2cdot2 cdot sin `2over3 pi right)]
[eqn: + 6 times left{ 2+root3 -(2-root3 ) right}]
[eqn: = 8pi over 3 -2root3 +12root3]
[eqn: = 8piover 3 +10root3]

도형 [eqn: X]와 곡선 [eqn: y=it- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]가 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: c]라 하면 [eqn: c=2-root3]

[eqn: -root3 x^2 +2=2-root3]에서

[eqn: x^2 =1]	[eqn: therefore][eqn: x=it-1]또는[eqn: x=1]

따라서 곡선 [eqn: y=- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]와 직선 [eqn: y=2-root3]으로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: beta]는 다음 그림과 같다.

넓이 [eqn: beta =][eqn: int _{ -1} ^{1 } left{ (-root3 x^2 +2 )-(2-root3 ) right }dx]이므로

[eqn: beta][eqn: = it-root3 int _{ -1} ^{1 } {(x^2 -1) dx }]
[eqn: =it-2root3 int_0^1 left(x^2 -1right)`dx]
[eqn: =it-2root3 left[ 1over3 x^3 -x right]_0^1]
[eqn: =it-2root3 times left(1over3 -1right)]
[eqn: = 4 over 3 root3]

[eqn: alpha - beta][eqn: = 8piover 3 +10root3][eqn: - 4 over 3 root3]
[eqn: = 8piover 3 + 26 over 3 root3]

따라서 [eqn: p=8,````q=26]이므로

[eqn: p+q =8+26=34 from 넘버41]

[eqn: A= LEFT { LEFT ( 2+2 cos ` theta ,`` 2+2 sin ` theta RIGHT ) ` left|` - { pi} over { 3} LEQtheta LEQ { pi} over { 3} RIGHT }],
[eqn: B= LEFT { LEFT ( -2+2 cos ` theta ,``2+2 sin ` theta RIGHT ) ` left|` {2pi} over {3} LEQ theta LEQ {4pi} over {3} RIGHT }],
[eqn: C= LEFT { LEFT ( a ,`` b RIGHT ) `left|` -3 LEQa LEQ3 ,`` b=2 +- sqrt { 3} RIGHT }]

이다. 좌표평면에서 집합 [eqn: A CUPB CUPC]의 모든 원소가 나타내는 도형을 [eqn: X]라 하고, 도형 [eqn: X]와 곡선 [eqn: y=- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]가 만나는 점의 [eqn: y]좌표를 [eqn: c]라 하자. 집합 [eqn: X]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: alpha], 곡선 [eqn: y=- sqrt { 3}x ^{ 2}+2]와 직선 [eqn: y=c]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: beta]라 하자. [eqn: alpha- beta = { p pi+q sqrt { 3} } over { 3}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p], [eqn: q]는 정수이다.)

04 수2	09 정적분의 활용
01 정적분과 넓이
09 정적분과 넓이9 (곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 10

그림과 같이 두 함수 [eqn: y=a x^{2}+2]와 [eqn: y=2|x|]의 그래프가 두

[정답] ④

[해설]

[eqn: x<0]일 때, 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 두 함수 [eqn: y=a x^{2}+2]와 [eqn: y=-2 x]의 그래프가 접하므로 [eqn: a x^{2}+2=-2 x],
즉 [eqn: ax ^{2} +2x+2=0]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

이차방정식 ㉠의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: {D} over {4}=1-2 a=0]

[eqn: a={1} over {2}]이므로 접점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -2]이다.

점 [eqn: {rm{B}} it]는 점 [eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로 접점 [eqn: {rm{B}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: rm 2]이다.

주어진 두 함수의 그래프가 모두 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로 구하는 넓이는

[eqn: 2 times int_{0}^{2} left({1} over {2} x^{2}+2-2 x right) d x]

[eqn: =2 times left[ pile{it #it} {1} over {6} x^{3}+2 x-x^{2} right]_{0}^{2}=2 times {4} over {3}={8} over {3}]

점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 각각 접한다. 두 함수 [eqn: y=a x^{2}+2]와 [eqn: y=2|x|]의

그래프로 둘러싸인 부분의 넓이는? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {6}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 9

최고차항의 계수가 [eqn: -3`]인 삼차함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프 위의 점 [eqn: left (2,``f left(2right ) right) `]에서의 접선 [eqn: y=g(x)`]가 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 원점에서 만난다. 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=g(x)`]로 둘러싸인 도형의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

구하고자 하는 도형의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S`][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT | f(x)-g(x) RIGHT | dx}]
[eqn: = int _{0} ^{2} left{g(x)-f(x) right} dx}]

[eqn: g(x)-f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 3`]이고

삼차방정식 [eqn: g(x)-f(x)][eqn: =0`]은 한 실근 [eqn: 0`]과 중근 [eqn: 2`]를 가지므로 [eqn: g(x)-f(x)][eqn: =3x(x-2)^2]

따라서 [eqn: S`][eqn: = int _{0} ^{2} {3x(x-2) ^{2} dx}]
[eqn: =int_0 ^2 {( 3x^3 -12x^2 +12x ) dx]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} {3} over {4} x ^{4} -4x ^{3} +6x ^{2} RIGHT ] _{0}^{2}]
[eqn: =12-32+24][eqn: =4`]

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 15 over 4]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 17 over 4]	⑤ [eqn: 9 over 2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 7

그림과 같이 곡선 [eqn: y=x^{2}-4 x+6] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it (3,``3)]에서의

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)=x^{2}-4 x+6]이라 하면

[eqn: f `prime (x)=2 x-4]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it (3,``3)]에서의 접선의 기울기

가 [eqn: f `prime (3)=2]이므로 접선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y-3=2(x-3)], [eqn: ~ y=2 x-3]

따라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: l] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인

부분의 넓이는

[eqn: int_{0}^{3} left{ x^{2}-4 x+6-(2 x-3) it right} d x]

[eqn: = int_{0}^{3} left(x^{2}-6 x+9 right) d x]

[eqn: = left[ pile{it #it} {1} over {3} x^{3}-3 x^{2}+9 x right]_{0}^{3}=9]

접선을 [eqn: l]이라 할 때, 곡선 [eqn: y=x^{2}-4 x+6]과 직선 [eqn: l]및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

① [eqn: {26} over {3}]	② [eqn: rm 9]	③ [eqn: {28} over {3}]

④ [eqn: {29} over {3}]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
01 넓이와 해석1 (넓이조건과 관계식)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 20

양의 실수 [eqn: {a}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] [eqn: bold290]

[해설]

[eqn: f(x)=cases{{3}over{a}x^{2}&&&(-a leq x leq a)#``3a&&&(x< it-a ```` 또는 ```` x>a)]

의 그래프는 [eqn: y]축 대칭함수이므로 [eqn: y= f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=it-3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 넓이가 [eqn: 8]이면 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 넓이가 [eqn: 4]이다.

[eqn: x ge0]일 때 [eqn: y= f(x)]의 그래프를 그려보면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a ge 3]일 때

[eqn: int _{0 } ^3 { 3 overa x^2 dx = left[ x^3 overa right] _0^3 = 27 overa =4]
[eqn: THEREFORE][eqn: a= 27 over4]

(ⅱ) [eqn: 0 <a<3]일 때

[eqn: int _{0 } ^a { 3 overa x^2 dx + (3-a)times 3a]

[eqn: = left[ x^3 overa right]_0^a + 9a -3a^2]
[eqn: = it-2a^2 +9a]
[eqn: =4]

[eqn: THEREFORE][eqn: a= 1 over2] ([eqn: because ```` 0<a<3])

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 만족하는 [eqn: a]는 [eqn: 27 over 4 ,````1over 2]이므로 모든 [eqn: a]값의 합 [eqn: S]는 [eqn: S= 29 over 4]

[eqn: therefore][eqn: 40 S = 40 times 29 over 4 = 290]

[eqn: f(x)=cases{{3}over{a}x^{2}&&&(-a leq x leq a)#```3a&&&(x<-a ```` 또는 ```` x>a)]

라 하자. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=-3], [eqn: x=3]으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 8]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: S]이다. [eqn: 40S]의 값을 구하시오.

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
02 넓이와 해석2 (넓이의 Mm)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 5

곡선 [eqn: y=x^{2}-1] 위의 점 [eqn: left(t,`` t^{2}-1 right)]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 곡선 [eqn: y=x^{2}-1]과 직선 [eqn: l] 및 두 직선 [eqn: x=0], [eqn: x=1]로 둘러싸인 도형의 넓이의 최솟값은? (단, [eqn: 0<t<1])

[정답] ④

[해설]

그림에서 사다리꼴의 넓이가 최소일 때이므로

접점이 [eqn: x={1} over {2}], [eqn: y=IT-{3} over {4}]일 때이다.

따라서 최소 넓이는 [eqn: {3} over {4}-{2} over {3}={1} over {12}]

① [eqn: {1} over {21}]	② [eqn: {1} over {18}]	③ [eqn: {1} over {15}]

④ [eqn: {1} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {9}]

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
03 넓이와 해석3 (넓이로 정의된 함수)

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

함수

[정답] ③

[해설]

두 함수 [eqn: f (x) =cases{```````left(x+2right)^2 & (x le 0 )# -left(x-2right)^2 +8````& (x > 0)}], [eqn: y=mx+4]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

두 함수는 모두 점 [eqn: left(0,``4right)]에 대하여 대칭이므로 [eqn: y=mx+4], [eqn: y=`(x+2)^2]로 둘러싸인 넓이와 [eqn: y=mx+4], [eqn: y= -(x-2)^2 +8]로 둘러싸인 넓이가 같다.

따라서 곡선 [eqn: y=f (x)]와 직선 [eqn: y=mx+4]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: h (m)]은 [eqn: y=mx+4], [eqn: y=`(x+2)^2]로 둘러싸인 넓이의 [eqn: 2]배와 같다.

[eqn: x^2 +4x+4 = mx+4]에서

[eqn: x^2 - (m-4)x =0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=m-4]

따라서 두 함수 [eqn: y=mx+4], [eqn: y=`(x+2)^2]로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: int _{ m-4} ^{0 } left{ (mx+4) -(x+2)^2 right}dx]이므로

[eqn: h(m)][eqn: =2 times][eqn: int _{ m-4} ^{0 } left{ (mx+4) -(x+2)^2 right}dx]
[eqn: = 2 times {(4-m)^3} over6]
[eqn: = {(4-m)^3} over3]

[eqn: therefore][eqn: h (-2 ) + h (1) = 6^3 over3 + 3^3 over3 = 72+ 9 =81 from 넘버41]

[eqn: f (x) =cases{```````left(x+2right)^2 & (x le 0 )# -left(x-2right)^2 +8````& (x > 0)}]

이 있다. 실수 [eqn: m``(m<4)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f (x)]와 직선 [eqn: y=mx+4]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: h (m)]이라 할 때, [eqn: h (-2)+h (1)]의 값은?

① [eqn: 75]	② [eqn: 78]	③ [eqn: 81]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 87]

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
04 넓이와 해석4 (넓이가 같을 조건)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

두 함수 [eqn: f(x)=x^{4}(x-a)], [eqn: g(x)=k(x-1)(x-b)]의 그래프가 직선 [eqn: y=x-1]에 접한다. 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 함수 [eqn: g(x)]의 그래프와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, 세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: k]에 대하여 [eqn: a b k]의 값은? (단, [eqn: b>1])

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)]와 [eqn: y=x-1]의 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: f `prime (t)=5 t^{4}-4 a t^{3}=1]

[eqn: t^{5}-a t^{4}=t-1]

정리하면

[eqn: a={5 t^{4}-1} over {4 t^{3}}={t^{5}-t+1} over {t^{4}}]

[eqn: t^{5}+3 t-4=0], [eqn: (t-1) left(t^{4}+t^{3}+t^{2}+t+4 right)=0]

[eqn: therefore~t=1], [eqn: a=1], [eqn: f(x)=x^{4}(x-1)]

한편 [eqn: g(x)]와 [eqn: y=x-1]의 접점은 [eqn: (1,``0)]이므로

[eqn: g `prime (1)=k(1-b)=1]

이제 두 영역의 넓이에서

[eqn: int_{0}^{1} left(x^{4}-x^{5} right) d x= int_{1}^{b} k(x-1)(x-b) d x]

[eqn: {1} over {30}={-k(b-1)^{3}} over {6}], [eqn: k(b-1)^{3}=it-{1} over {5}]

[eqn: k={1} over {1-b}=it-{1} over {5(b-1)^{3}}]

[eqn: (b-1)^{2}={1} over {5}]

[eqn: therefore~b=1+{1} over { sqrt{5}}], [eqn: k=it- sqrt{5}]

따라서 [eqn: a b k=it-1- sqrt{5}]

① [eqn: -2- sqrt{5}]	② [eqn: -1- sqrt{5}]	③ [eqn: - sqrt{5}]

④ [eqn: 1- sqrt{5}]	⑤ [eqn: 2- sqrt{5}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

두 곡선 [eqn: y=x ^{3} +x ^{2}], [eqn: y=`-x ^{2} +k]와 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: A`], 두 곡선 [eqn: y=x ^{3} +x ^{2}], [eqn: y=`-x ^{2} +k]와 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: B`]라 하자. [eqn: A`=B`]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: 4<k<5])

[정답] ④

[해설]

[eqn: A=B]이므로

[eqn: int_{0}^{2} left{ left(x^{3}+x^{2} right)- left(-x^{2}+k right) it right} d x=0]

이어야 한다.

[eqn: int_{0}^{2} left{ left(x^{3}+x^{2} right)- left(-x^{2}+k right) it right} d x][eqn: = int_{0}^{2} left(x^{3}+2 x^{2}-k right) d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} {1} over {4} x^{4}+{2} over {3} x^{3}-k x right]_{0}^{2}]
[eqn: =4+{16} over {3}-2 k]
[eqn: ={28} over {3}-2 k]

따라서 [eqn: {28} over {3}-2 k=0`]에서

[eqn: 2 k][eqn: ={28} over {3}],    [eqn: k ={14} over {3}]

① [eqn: {25} over {6}]	② [eqn: {13} over {3}]	③ [eqn: {9} over {2}]

④ [eqn: {14} over {3}]	⑤ [eqn: {29} over {6}]

04 수2	09 정적분의 활용
02 정적분과 넓이의 해석
05 넓이와 해석5 (함수의 대칭성)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 30

닫힌구간 [eqn: [-1,``1]]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)]는 정의역에서 증가하고 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]가 성립할 때, 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 41]

[해설]

문제에서 [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x=1]이고, 함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

그러므로 그림에서 색칠된 영역의 넓이는 [eqn: 3-1=2]

닫힌구간 [eqn: [3,``6]]에서 [eqn: int_{3}^{6} g(x) d x= int_{3}^{6}|g(x)| d x]는

곡선 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: x]축 및 두 직선 [eqn: x=3], [eqn: x=6]으로 둘러싸인 도형의 넓이이므로 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 구하는 영역을 그림으로 나타내면 다음과 같다.

닫힌구간 [eqn: [3,``5]]에서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 4]만큼 평행이동하고 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 12]만큼 평행이동한 그래프이므로 [eqn: int_{3}^{5} g(x) d x=2 times 12=24]

닫힌구간 [eqn: [5,``7]]에서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 6]만큼 평행이동하고 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 18]만큼 평행이동한 그래프이므로 [eqn: int_{5}^{6} g(x) d x=15 times 1+2=17]

따라서 [eqn: int_{3}^{6} g(x) d x= int_{3}^{5} g(x) d x+ int_{5}^{6} g(x) d x=41]

(가) 닫힌구간 [eqn: [-1,``1]]에서 [eqn: g(x)=f(x)]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [2 n-1,``2 n+1]]에서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2 n]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 6 n]만큼 평행이동한 그래프이다. (단, [eqn: n]은 자연수이다.)

[eqn: f(1)=3]이고 [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x=1]일 때, [eqn: int_{3}^{6} g(x) d x]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 8

곡선 [eqn: y=x ^{2} -5x]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이를 직선 [eqn: x=k]가 이등분할 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: x^2 - 5 x = x]에서

[eqn: x LEFT ( x-6 RIGHT ) =0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x= 6]

곡선 [eqn: y= x^2 - 5 x]와 직선 [eqn: y= x]가 만나는 점은 원점과 [eqn: LEFT ( 6, ~ 6 RIGHT )]이다.

곡선 [eqn: y= x^2 - 5 x]와 직선 [eqn: y=x]로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{ 0} ^{6 } left{ x - LEFT ( x^2 - 5 x RIGHT ) right}`dx][eqn: = int _{ 0} ^{ 6} { LEFT ( 6x - x^2 RIGHT ) }`dx]
[eqn: = left[ 3x^2 - 1 over 3 x ^3 right]_0^6]
[eqn: = 36]

따라서 직선 [eqn: x= k]가 넓이를 이등분하므로

[eqn: 18][eqn: = int _{ 0} ^{k } left{x- LEFT ( x^ 2 - 5 x RIGHT ) right} ` d x]
[eqn: = int _{ 0} ^{k } LEFT ( 6x - x^2 RIGHT )`dx]
[eqn: = left[ 3x^2 - 1over 3 x^3 right]_0^k]
[eqn: = 3k^2 - 1 over 3 k^3]

정리하면

[eqn: k^3 - 9k^2 + 5 4=0]

[eqn: LEFT ( k-3 RIGHT ) LEFT ( k^2 - 6k -18 RIGHT ) =0]

즉, [eqn: 0< k< 6]이므로 [eqn: k=3]

① [eqn: 3]	② [eqn: {13} over {4}]	③ [eqn: {7} over {2}]

④ [eqn: {15} over {4}]	⑤ [eqn: 4]

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
01 속도와 거리1 (위치, 위치조건)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 15

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: v(t)=-4 t+5]

이므로

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면

[eqn: x(t)=-2 t^{2}+5 t+C] (단, [eqn: C]는 적분상수[eqn: )]

이때 [eqn: x(3)=11]이므로

[eqn: -2 times 9+5 times 3+C=11] 에서

[eqn: C=14]

따라서

[eqn: x(0)=C=14]

[eqn: v(t)=-4 t+5]

이다. 시각 [eqn: t=3]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치가 [eqn: rm 11]일 때, 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치는?

① [eqn: rm 11]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 13]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 15]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 12

시각 [eqn: t=0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도가 각각

[정답] ①

[해설]

두 점의 위치는 각각

[eqn: x_{1}(t)=t^{2}+3 t], [eqn: x_{2}(t)=a left(3 t^{2}-{1} over {3} t^{3} right)]

[eqn: t=3]일 때 같은 위치이므로 [eqn: 9+9=a(27-9)]

[eqn: therefore~a=1]

[eqn: v_{1}(t)=2 t+3], [eqn: ~ v_{2}(t)=a t(6-t)]

이다. 시각 [eqn: t=3]에서 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]가 만날 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 10

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t GEQ 0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rm { P }]의 시각 [eqn: t=1]에서의 위치와

점 [eqn: rm { P }]의 시각 [eqn: t=k][eqn: (k>1)]에서의 위치가 서로 같으므로

시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=k]까지 점 [eqn: rm { P }]의 위치의 변화량은

[eqn: 0]이다.

[eqn: int _{1} ^{k} {v(t)dt][eqn: = int _{1} ^{k} {} (4t-10)dt]
[eqn: = LEFT [ pile{it#it} 2t ^{2} -10t RIGHT ] _{1}^{k}]
[eqn: =(2k ^{2} -10k)-(2-10)]
[eqn: =2k ^{2} -10k+8]
[eqn: =2(k-1)(k-4)][eqn: =0]

따라서 [eqn: k=4]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =4t-10]

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: =1]에서의 위치와 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: =k]([eqn: k>1])에서의 위치가 서로 같을 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 19

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t ```` LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -4t+k]이다. 시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: 0]이고, 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: -3]이다. 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rm P]의 위치의 변화량을 구하시오. (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[해설]

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rm P]의 위치를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -4t+k]이므로

[eqn: S LEFT ( t RIGHT )][eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) + int _{0} ^{t} {v LEFT ( t RIGHT )} dt]
[eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) + int _{0} ^{t} {LEFT ( 3t ^{2} -4t+k RIGHT )} dt]
[eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) + LEFT [ pile{ ` #` } t ^{3} -2t ^{2} +kt RIGHT ] _{0}^{t}]
[eqn: =S LEFT ( 0 RIGHT ) +t ^{3} -2t ^{2} +kt]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

시각 [eqn: t=0]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: 0]이고, 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rm P]의 위치는 [eqn: -3]이므로 [eqn: S LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: S LEFT ( 1 RIGHT ) =-3]이다.

㉠에서 [eqn: t=1]을 대입하면 [eqn: -3=-1+k], [eqn: k=-2]

[eqn: therefore][eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =3t ^{2} -4t-2]

따라서 시각 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: rm P]의 위치의 변화량은

[eqn: int _{1} ^{3} {v LEFT ( t RIGHT )} dt][eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT ( 3t ^{2} -4t-2 RIGHT )} dt]
[eqn: = LEFT [ pile{ ` # `} t ^{3} -2t ^{2} -2t RIGHT ] _{1}^{3}]
[eqn: =3- LEFT ( -3 RIGHT )]
[eqn: =6]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 20

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )`]에서의 속도는

[정답] [eqn: 14]

[해설]

조건 (가), (나)에서 [eqn: v left(3)=0]이고, 그림과 같이 색칠한 부분의 넓이를 각각 [eqn: S_1], [eqn: S_2]라 하면

[eqn: s left(3right)=S_1 +S_2], [eqn: x left(3right)=S_1 -S_2]

조건 (나)에서 [eqn: s left(3right)-x left(3right)=8]이므로

[eqn: left(S_1 +S_2 right)-left(S_1 -S_2 right)=8]

[eqn: therefore][eqn: S_2 =4]

위의 그림에서

[eqn: S_2 = 1over2 times left(3-alpha right)times4=4]

[eqn: therefore][eqn: alpha=1]

[eqn: v left(2right)=it-4]이므로 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | at-b RIGHT | -4]에서

[eqn: v left(2right)=left|`2a-b`right|-4=it-4], [eqn: b=2a]

[eqn: v left(1right)=v left(3right)=0]이므로

[eqn: v left(1right)=left|`a-b`right|-4=0], [eqn: left|`-a`right|=4]

[eqn: therefore][eqn: a=4``left(because````a>0right)], [eqn: b=8]

[eqn: v left(t right)=left|`4t-8`right|-4]이므로 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=6]까지 점 [eqn: rmP]의 위치의 변화량은

[eqn: int_1^6 v left(t right)`dt][eqn: =it-S_2 +int_3^6 left(4t-12right)`dt]
[eqn: =it-4+left[2t^2 -12t pile{`#`}right]_3^6]
[eqn: =it-4+18=14]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = LEFT | at-b RIGHT | -4~ LEFT ( a>0,~b>4 RIGHT )]

이다. 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 [eqn: s LEFT ( k RIGHT )], 시각 [eqn: t=0`]에서 [eqn: t=k`]까지 점 [eqn: rmP`]의 위치의 변화량을 [eqn: x LEFT ( k RIGHT )`]라 할 때, 두 함수 [eqn: s LEFT ( k RIGHT ) ,~x LEFT ( k RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0 LEQ k<3`]이면 [eqn: s LEFT ( k RIGHT ) -x LEFT ( k RIGHT ) <8`]이다.

(나) [eqn: k GEQ 3`]이면 [eqn: s LEFT ( k RIGHT ) -x LEFT ( k RIGHT ) =8`]이다.

시간 [eqn: t=1`]에서 [eqn: t=6`]까지 점 [eqn: rmP`]의 위치의 변화량을 구하시오. (단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 18

시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] [eqn: 16]

[해설]

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면

시각 [eqn: t=3]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치는

[eqn: x(3)][eqn: =x(0)+ int_{0}^{3} v(t) d t= int_{0}^{3} left(3 t^{2}+6 t-a right) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} t^{3}+3 t^{2}-a t right]_{0}^{3}=54-3 a=6]

따라서 [eqn: a=16]

[eqn: v(t)=3 t^{2}+6 t-a]

이다. 시각 [eqn: t=3]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치가 [eqn: rm 6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 10

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 위치를 [eqn: x(t)]라 하면

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t=0]에서의 위치는 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: x(0)=0]

[eqn: x(t)][eqn: =x(0)+ int_{0}^{t} v(t) d t]
[eqn: = int_{0}^{t} 3(t-2)(t-a) d t]
[eqn: = int_{0}^{t} left{ 3 t^{2}-3(a+2) t+6 a it right} d t]
[eqn: =t^{3}-{3} over {2}(a+2) t^{2}+6 a t]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: 0<t<2], [eqn: t>a]에서 양의 방향으로,

[eqn: 2<t<a]에서 음의 방향으로 움직이고

[eqn: t>0]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치가 [eqn: rm 0]이 되는 순간이

한 번뿐이므로 [eqn: x(a)=0]

[eqn: a^{3}-{3} over {2}(a+2) a^{2}+6 a^{2}=0]에서 [eqn: a>2]이므로 [eqn: a=6]

따라서 [eqn: v(8)=3 times 6 times 2=36]

[eqn: v(t)=3(t-2)(t-a)]([eqn: a>2]인 상수[eqn: )]

이다. 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t=0]에서의 위치는 [eqn: rm 0]이고, [eqn: t>0]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치가 [eqn: rm 0]이 되는 순간은 한 번뿐이다. [eqn: v(8)]의 값은?

① [eqn: rm 27]	② [eqn: rm 36]	③ [eqn: rm 45]

④ [eqn: rm 54]	⑤ [eqn: rm 63]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 2

시각 [eqn: {t=0 }]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t ```` (t ge0)]에서의 속도가 각각

[정답] ④

[해설]

두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 처음으로 만나는 시각을 [eqn: a]라 하면 [eqn: t=a]([eqn: a>0])에서 두 점의 위치가 같으므로

[eqn: int_0^a left(3t^2 +2t-4right)`dt=int_0^a left(6t^2 -6t right)`dt]

[eqn: left[t^3 +t^2 -4t pile{`#`}right]_0^a =left[2t^3 -3t^2 pile{`#`}right]_0^a]

[eqn: a^3 +a^2 -4a=2a^3 -3a^2]

[eqn: a^3 -4a^2 +4a=0]

[eqn: a left(a-2right)^2 =0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]일 때 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 처음으로 만나고 그 위치는 [eqn: 4]이다.

[eqn: v_{rm P}it(t)= 3t^2 +2t-4], [eqn: v_{rm Q}it(t)= 6t^2 -6t]

이다. 출발한 후 두 점 [eqn: rm P], [eqn: rmQ]가 처음으로 만나는 위치는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
02 속도와 거리2 (속도, 가속도 조건)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 가속도가

[정답] ④

[해설]

[eqn: a(t)= 3t^2 - 12t + 9], [eqn: v(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + k]

ㄱ. [eqn: t > 3]이면
[eqn: a(t)= 3 (t-1)(t-3)][eqn: > 0]이므로 [eqn: v(t)]는 증가한다. [eqn: therefore] 참

ㄴ. [eqn: k =-4]이면 [eqn: v(1) =0](극댓값)이므로 [eqn: v(t)= 0]은 그림과 같다.
따라서 점 [eqn: rm P`]의 운동 방향은 한 번 바뀐다. [eqn: therefore] 거짓

ㄷ. [eqn: 0 le t le 5]에서 [eqn: v(t) ge 0]이면 된다.
이 구간에서 최솟값은 [eqn: v(3) = k]이므로 [eqn: k ge 0]
따라서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 0`]이다.
[eqn: therefore] 참

[eqn: a(t)=3 t^{2}-12 t+9(t geq 0)]

이고, 시각 [eqn: t=0]에서의 속도가 [eqn: k]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 구간 [eqn: (3,`` inf )]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 속도는 증가한다. ㄴ. [eqn: k=-4]이면 구간 [eqn: (0,`` inf )]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 운동 방향이 두 번 바뀐다. ㄷ. 시각 [eqn: t=0]에서 시각 [eqn: t=5]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치의 변화량과 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리가 같도록 하는 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: rm 0]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
03 속도와 거리3 (이동거리)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 26

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: int_{0}^{3}|v(t)| d t][eqn: = int_{0}^{3}|-4 t+8| d t]
[eqn: = int_{0}^{2}(-4 t+8) d t+ int_{2}^{3}(4 t-8) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} -2 t^{2}+8 t right]_{0}^{2}+ left[ pile{it #it} 2 t^{2}-8 t right]_{2}^{3}]
[eqn: =8+2=10]

[eqn: v(t)=-4 t+8]

일 때, [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리를 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 27

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)=3 t^{2}-12 t+9]이다. 점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 처음으로 운동 방향을 바꾼 순간의 위치를 [eqn: {rm{A}} it]라 하자. 점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: {rm{A}} it]에서 방향을 바꾼 순간부터 다시 [eqn: {rm{A}} it]로 돌아올 때까지 움직인 거리를 구하시오.

[정답] [eqn: 8]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 운동 방향을 바꿀 때 속도는 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: v(t)=3 t^{2}-12 t+9=3(t-1)(t-3)=0], [eqn: ~ t=1] 또는 [eqn: t=3]

[eqn: 0 leq t<1]에서 [eqn: v(t)>0]

[eqn: 1<t<3]에서 [eqn: v(t)<0],

[eqn: t>3]에서 [eqn: v(t)>0]

이므로 점 [eqn: {rm{P}} it]는 [eqn: t=1]일 때 처음으로 운동 방향을 바꾸고 [eqn: t=3]일 때 다시 운동 방향을 바꾼다.

그러므로 점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: {rm{A}} it]에서 방향을 바꾼 순간부터 다시 [eqn: {rm{A}} it]로 돌 아올 때까지 움직인 거리는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: t=1]부터 [eqn: t=3]까지 이동한 거리의 [eqn: rm 2]배이다.

따라서 구하는 값은

[eqn: 2 int_{1}^{3}|v(t)| d t][eqn: =2 int_{1}^{3} left(-3 t^{2}+12 t-9 right) d t]
[eqn: =2 left[ pile{it #it} -t^{3}+6 t^{2}-9 t right]_{1}^{3}]
[eqn: =8]

[다른 풀이]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 다시 [eqn: {rm{A}} it]로 돌아올 때의 시각을 [eqn: t=a](단, [eqn: a>1])라 하면

[eqn: int_{1}^{a} v(t) d t][eqn: =0]이므로
[eqn: int_{1}^{a} v(t) d t = int_{1}^{a} left(3 t^{2}-12 t+9 right) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} t^{3}-6 t^{2}+9 t right]_{1}^{a}]
[eqn: =a^{3}-6 a^{2}+9 a-4]
[eqn: =(a-1)^{2}(a-4)=0]
그러므로 [eqn: t=4]일 때 점 [eqn: {rm{P}} it]가 다시 [eqn: {rm{A}} it]로 돌아온다.
따라서
[eqn: int_{1}^{4}|v(t)| d t =- int_{1}^{3} v(t) d t+ int_{3}^{4} v(t) d t]
[eqn: =- int_{1}^{3} left(3 t^{2}-12 t+9 right) d t+ int_{3}^{4} left(3 t^{2}-12 t+9 right) d t]
[eqn: =- left[ pile{it #it} t^{3}-6 t^{2}+9 t right]_{1}^{3}+ left[ pile{it #it} t^{3}-6 t^{2}+9 t right]_{3}^{4}]

[eqn: =8]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]의 시각 [eqn: t][eqn: (t ge0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=k][eqn: (k>3)]까지 움직인 거리는

[eqn: int _{3} ^{k}|`` {v(t) ``|dt]이므로

[eqn: int _{3} ^{k}|`` {v(t) ``|dt][eqn: =][eqn: int _{3} ^{k} {LEFT |`` 2t-6`` RIGHT | dt]
[eqn: = int _{3} ^{k} {LEFT ( 2t-6 RIGHT ) dt][eqn: ( because][eqn: k>3])
[eqn: = LEFT [ pile{ `#` } t ^{2} -6t RIGHT ] _{3}^{k}}]
[eqn: =k ^{2} -9-6 LEFT ( k-3 RIGHT )]
[eqn: =k ^{2} -6k+9]

즉, 조건에서 움직인 거리가 [eqn: 25]이므로

[eqn: k ^{2} -6k+9=25], [eqn: k ^{2} -6k-16=0],

[eqn: LEFT ( k-8 RIGHT ) LEFT ( k+2 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ```` k=8][eqn: LEFT ( because```` k＞3RIGHT )]

[eqn: v(t)=2t-6]

이다. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=k][eqn: (k>3)]까지 움직인 거리가 [eqn: 25]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 13

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직이는 방향을 바꾸는 시각을

[eqn: k(k>0)]이라 하면

[eqn: v(k)=k^{2}-a k=0]에서 [eqn: k=a]

따라서 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=0]일 때부터 시각 [eqn: t=a]일 때까지 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{a}|v(t)| d t]

[eqn: = int_{0}^{a} left(-t^{2}+a t right) d t]

[eqn: = left[ pile{it #it} -{t^{3}} over {3}+{a t^{2}} over {2} right]_{0}^{a}]

[eqn: =-{a^{3}} over {3}+{a^{3}} over {2}]

[eqn: ={a^{3}} over {6}]

이므로 [eqn: {a^{3}} over {6}={9} over {2}]에서

[eqn: a^{3}=27]

따라서 [eqn: a=3]

[eqn: v(t)=t^{2}-a t ~ (a>0)]

이다. 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=0]일 때부터 움직이는 방향이 바꿜

때까지 움직인 거리가 [eqn: {9} over {2}]이다. 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 17

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[정답] [eqn: 20]

[해설]

[eqn: 0 LEQ t LEQ 3]일 때, [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) GEQ 0,``3 LEQ t LEQ 4]일 때 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) LEQ 0]이므로 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rm`P]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}][eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt} + int _{3} ^{4} {LEFT | v LEFT ( t RIGHT ) RIGHT | dt}]
[eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( 12-4t RIGHT ) dt+ int _{3} ^{4} {LEFT ( 4t-12 RIGHT ) dt}}]
[eqn: =18+2]
[eqn: =20]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =12-4t]

일 때, 시각 [eqn: t][eqn: =0]에서 [eqn: t][eqn: =4]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리를 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 11

시각 [eqn: {t=0}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t][eqn: (t geq 0)]에서의 속도가 각각

[정답] ②

[해설]

[eqn: {cases{x _{1} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{3} -3t ^{2}&#x _{2} LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2}&}}]이므로 [eqn: a ^{3} -3a ^{2} =a ^{2}]

[eqn: THEREFORE````a=4][eqn: ( BECAUSE````a>0)]

또한, [eqn: LEFT { x _{1} LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } '=3t ^{2} -6t]이므로 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT |`` 3t ^{2} -6t`` RIGHT | dt}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( -3t ^{2} +6t RIGHT ) dt} + int _{2} ^{4} {LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt}]
[eqn: = {3 TIMES LEFT ( 2-0 RIGHT ) ^{3}} over {6} +x _{1} LEFT ( 4 RIGHT ) -x _{1} LEFT ( 2 RIGHT )]
[eqn: =4+20]
[eqn: =24]

따라서 움직인 거리는 [eqn: 24]이다.

[eqn: v_{1}(t)=3t^{2}-6t], [eqn: v_{2}(t)=2t]

이다. 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 시각 [eqn: t=a][eqn: (a>0)]에서 만날 때, 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=a]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 3

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}{{from^2021^7^경찰대^중}}]의 시각 [eqn: t] ([eqn: t GEQ 0])에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: v(1) = a+b=15], [eqn: v(2) = 4a+2b =20]에서

[eqn: a= -5], [eqn: b=20]

[eqn: v(4)=0]이므로 [eqn: t=1]에서 [eqn: t=5]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int_1^4 {(-5t^2 +20t) dt +int_4^5 {(5t^2 -20t )dt]

[eqn: = left[ - 5 over3 t^3 + 10t^2 right] _1^4 + left[ 5 over3 t^3 -10t^2 right] _4^5]

[eqn: =- 5 over3 times 63 +10 times15 + 5 over3 times61- 10 times9]

[eqn: = 170 over3]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =at ^{2} +bt] ([eqn: a ,```` b]는 상수)

이다. 시각 [eqn: t][eqn: =1], [eqn: t][eqn: =2]일 때, 점 [eqn: rmP]의 속도가 각각 [eqn: 15], [eqn: 20]이다. 시각 [eqn: t][eqn: =1]에서 [eqn: t][eqn: =5]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?

① [eqn: {166} over {3}]	② [eqn: 56]	③ [eqn: {170} over {3}]

④ [eqn: {172} over {3}]	⑤ [eqn: 58]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 9

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: { rmP}{{from^2021^09^평가원^중}}]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t >0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t> 0 RIGHT )]에서의 가속도를 [eqn: a LEFT ( t RIGHT )]라 하면

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = it - 4t^3 + 12 t^2]이므로

[eqn: a LEFT ( t RIGHT ) = v ' LEFT ( t RIGHT ) = it- 12 t^2 + 24 t]

시각 [eqn: t=k]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도가 [eqn: 12]이므로

[eqn: -12k^2 + 24k = 12], [eqn: k^2 - 2k + 1=0]

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT )^2 =0]

[eqn: therefore][eqn: k=1]

한편, [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = it- 4 t^3 + 12 t^2 = it- 4 t^2 LEFT ( t-3 RIGHT )]이므로 [eqn: 3 le t le 4]일 때 [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) le0]이다.

따라서 [eqn: t=3]에서 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는

[eqn: int _{ 3} ^{4 } { left |`` v LEFT ( t RIGHT ) ``right | } dt]

[eqn: = int _{ 3} ^{ 4} { left |`` - 4t^3 +12 t^2 ``right | } dt]
[eqn: = int _{ 3} ^{ 4} LEFT ( 4t^3 -12t^2 RIGHT ) dt]
[eqn: = left[ pile{ `# ` } t^4 - 4t^3 right]_3^4]
[eqn: = 0 - LEFT ( -27 RIGHT ) = 27]

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) = it- 4 t^3 + 12 t^2]

이다. 시각 [eqn: t= k]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도가 [eqn: 12]일 때, 시각 [eqn: t= 3k]에서 [eqn: t= 4k]까지 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는?
(단, [eqn: k]는 상수이다.)

① [eqn: 23]	② [eqn: 25]	③ [eqn: 27]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 31]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 14

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 위치 [eqn: x LEFT ( t RIGHT )]가 두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: x(0)=0], [eqn: x(1)=0]이므로 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: t=0]일 때 수직선의 원점이고, [eqn: t=1]일 때도 수직선의 원점이다.

또, [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | `v(t)` RIGHT |} dt=2]이므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]이다.

ㄱ. 점 [eqn: rmP]의 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 위치의 변화량이 [eqn: 0]이므로 [eqn: int _{0} ^{1} {v(t)} `dt=0] (참)

ㄴ. [eqn: LEFT | `x(t _{1} )` RIGHT | >1]이면 점 [eqn: rmP]와 원점 사이의 거리가 [eqn: 1]보다 큰 시각 [eqn: t_1]이 존재하므로 점 [eqn: rmP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]보다 크다. (거짓)

ㄷ. [eqn: 0 le t le 1]인 모든 시각 [eqn: t]에서 점 [eqn: RMP]와 원점 사이의 거리가 [eqn: 1]보다 작고, 점 [eqn: RMP]가 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=1]까지 움직인 거리가 [eqn: 2]이므로 점 [eqn: rmP]는 [eqn: 0<t<1]에서 적어도 한 번 원점을 지나간다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[eqn: x LEFT ( t RIGHT ) =t LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( at+b RIGHT ) ~ LEFT ( a!=0 RIGHT )]

이다. 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | `v LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | `dt=2}]를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: int _{0} ^{1} {v LEFT ( t RIGHT ) `dt=0}] ㄴ. [eqn: LEFT | x LEFT ( t _{1} RIGHT ) RIGHT | >1]인 [eqn: t _{1}]이 열린구간 [eqn: LEFT ( `0,~1` RIGHT )]에 존재한다. ㄷ. [eqn: 0 LEQ t LEQ 1]인 모든 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT | `x LEFT ( t RIGHT ) ` RIGHT | <1]이면 [eqn: x LEFT ( t _{2} RIGHT ) =0]인 [eqn: t _{2}]가 열린구간 [eqn: LEFT ( `0,~1` RIGHT )]에 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 14

시각 [eqn: {t=0}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t][eqn: LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]가

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -6t][eqn: =3t LEFT ( t-2 RIGHT )]
[eqn: t<2]일 때, [eqn: v LEFT ( t RIGHT ) <0]
[eqn: t][eqn: =2]일 때, [eqn: v LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =0]
[eqn: t>2]일 때, [eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: >0]
[eqn: t][eqn: =2]에서 점 [eqn: rmP]의 움직이는 방향이 바뀐다.	(참)

ㄴ. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 위치를 [eqn: x LEFT ( t RIGHT )]라 하면
[eqn: x LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =0+ int _{0} ^{2} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt][eqn: = LEFT [ t ^{3} -3t ^{2} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: = it -4]

(참)

ㄷ. 시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: rmP]의 가속도를 [eqn: a LEFT ( t RIGHT )]라 하면
[eqn: a LEFT ( t RIGHT )][eqn: =6t-6]
[eqn: 6t-6][eqn: =12], [eqn: t][eqn: =3]
[eqn: t][eqn: =0]에서 [eqn: t][eqn: =3]까지 움직인 거리를 [eqn: s]라 하면

[eqn: s][eqn: = int _{0} ^{3} {} left |`` 3t ^{2} -6t ``right | dt]
[eqn: = it - int _{0} ^{2} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt+ int _{2} ^{3} {} LEFT ( 3t ^{2} -6t RIGHT ) dt]
[eqn: =4+ LEFT [ t ^{3} -3t ^{2} pile{it#it} RIGHT ] _{2}^{3}][eqn: =8]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: v LEFT ( t RIGHT )][eqn: =3t ^{2} -6t]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 시각 [eqn: t][eqn: =2]에서 점 [eqn: rmP]가 움직이는 방향이 바뀐다. ㄴ. 점 [eqn: rmP]가 출발한 후 움직이는 방향이 바뀔 때 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: -4]이다. ㄷ. 점 [eqn: rmP]가 시각 [eqn: t][eqn: =0]일 때부터 가속도가 [eqn: 12]가 될 때까지 움직인 거리는 [eqn: 8]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 9

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] ①

[해설]

시각 [eqn: t=0]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치와 시각 [eqn: t=6]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치가 서로 같으므로 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=6]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치의 변화량이 [eqn: rm 0]이다. 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t][eqn: (t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가 [eqn: v(t)=3 t^{2}+a t]이므로

[eqn: int_{0}^{6} v(t) d t][eqn: = int_{0}^{6} left(3 t^{2}+a t right) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} t^{3}+{a} over {2} t^{2} right]_{0}^{6}]
[eqn: =36 left(6+{a} over {2} right)=0]
[eqn: a=-12]

[eqn: v(t)=3 t^{2}-12 t]이므로 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=6]까지 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{6}|v(t)| d t][eqn: = int_{0}^{6} left|3 t^{2}-12 t right| d t]
[eqn: = int_{0}^{4} left(-3 t^{2}+12 t right) d t+ int_{4}^{6} left(3 t^{2}-12 t right) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} -t^{3}+6 t^{2} right]_{0}^{4}+ left[ pile{it #it} t^{3}-6 t^{2} right]_{4}^{6}]
[eqn: =32+32=64]

[eqn: v(t)=3 t^{2}+a t]

이다. 시각 [eqn: t=0]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치와 시각 [eqn: t=6]에서의 점

[eqn: {rm{P}} it]의 위치가 서로 같을 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]가 시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=6]까지

움직인 거리는? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: rm 64]	② [eqn: rm 66]	③ [eqn: rm 68]

④ [eqn: rm 70]	⑤ [eqn: rm 72]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 11

시각 [eqn: t=0]일 때 동시에 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도가 각각

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 위치를 [eqn: x_{1}(t)]라 하면

[eqn: x_{1}(t)][eqn: = int_{0}^{t}(2-t) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} 2 t-{1} over {2} t^{2} right]_{0}^{t}]
[eqn: =2 t-{1} over {2} t^{2}]

따라서, 출발 후 점 [eqn: {rm{P}} it]가 다시 원점으로 돌아온 시각은

[eqn: 2 t-{1} over {2} t^{2}=0], [eqn: t^{2}-4 t=0]

[eqn: t(t-4)=0]

[eqn: t=4]

이므로

출발한 시각부터 점 [eqn: {rm{P}} it]가 원점으로 돌아

올 때까지 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 움직인 거리는

[eqn: int_{0}^{4}|3 t| d t][eqn: = int_{0}^{4} 3 t d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} {3} over {2} t^{2} right]_{0}^{4}]
[eqn: =24]

[eqn: v_{1}(t)=2-t], [eqn: ~ v_{2}(t)=3 t]

이다. 출발한 시각부터 점 [eqn: {rm{P}} it]가 원점으로 돌아올 때까지 점 [eqn: {rm{Q}} it]가 움직인 거리는?

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 18]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: rm 22]	⑤ [eqn: rm 24]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 19

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]가

[정답] [eqn: 80]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t]에서의 가속도 [eqn: a(t)]는 [eqn: a(t)=v `prime (t)=12 t^{2}-48]

[eqn: a(k)=12 left(k^{2}-4 right)=0]에서 [eqn: k>0]이므로 [eqn: k=2]이다.

[eqn: 0 leq t leq 2]일 때 [eqn: v(t) leq 0]이므로

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=2]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리는 [eqn: int_{0}^{2}|v(t)| d t][eqn: = int_{0}^{2} left(-4 t^{3}+48 t right) d t]

[eqn: = left[ pile{it #it} -t^{4}+24 t^{2} right]_{0}^{2}=-16+96=80]

[eqn: v(t)=4 t^{3}-48 t]

이다. 시각 [eqn: t=k(k>0)]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 가속도가 [eqn: rm 0]일 때,

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=k]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리를 구하시오.

(단, [eqn: k]는 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rm P it]의 시각 [eqn: t ~ LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 속도 [eqn: v LEFT (t RIGHT )]와 가속도 [eqn: a LEFT (t RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[eqn: t geq 2]일 때

[eqn: v(t)=3 t^{2}+4 t+C`] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: t=2`]일 때 속도가 같아야 하므로 [eqn: v(2)=0]에서

[eqn: 12+8+C=0],    [eqn: C=`-20]

즉, [eqn: 0 leq t leq 3]에서

[eqn: v(t)=cases{2 t^{3}-8 t && (0 leq t leq 2) #3 t^{2}+4 t-20 && (2 leq t leq 3)}]

따라서 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리를 [eqn: s`]라 하면

[eqn: s][eqn: = int_{0}^{3}left|`v(t)`right| d t]
[eqn: = int _{0} ^{2} {} LEFT | v LEFT (t RIGHT ) RIGHT | dt+ int _{2} ^{3} {} LEFT | v LEFT (t RIGHT ) RIGHT | dt]
[eqn: =`- int_{0}^{2} v(t) d t+ int_{2}^{3} v(t) d t]
[eqn: =`- int_{0}^{2} left(2 t^{3}-8 t right) d t+ int_{2}^{3} left(3 t^{2}+4 t-20 right) d t]
[eqn: =`- left[ pile{it #it} {1} over {2} t^{4}-4 t^{2} right]_{0}^{2}+ left[ pile{it #it} t^{3}+2 t^{2}-20 t right]_{2}^{3}]
[eqn: =17]

(가) [eqn: 0 LEQ t LEQ 2]일 때, [eqn: v LEFT (t RIGHT )=2t ^{3} -8t]이다.

(나) [eqn: t GEQ 2]일 때, [eqn: a LEFT (t RIGHT )=6t+4]이다.

시각 [eqn: t=0]에서 [eqn: t=3]까지 점 [eqn: {rm{P}} it]가 움직인 거리를 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 10

수직선 위의 점 [eqn: {rm{A}} it (6)]과 시각 [eqn: t=0]일 때 원점을 출발하여 이 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]가 있다. 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 속도 [eqn: v(t)]를

[정답] ④

[해설]

시각 [eqn: t]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치를 [eqn: x(t)]라고 하면

[eqn: x(t)=t^{3}+{a} over {2} t^{2}]

따라서 [eqn: t=2]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 위치 [eqn: x(2)=8+2 a]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]와 점 [eqn: {rm{A}} it]사이의 거리가 [eqn: rm 10]이므로

[eqn: |8+2 a-6|=10]

[eqn: |2 a+2|=10]

[eqn: 2 a+2=10] 또는 [eqn: 2 a+2=-10]

[eqn: a=4] 또는 [eqn: a=-6]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=4]이다.

[eqn: v(t)=3 t^{2}+a t ~ (a>0)]

이라 하자. 시각 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]와 점 [eqn: {rm{A}} it]사이의 거리가 [eqn: rm 10]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	09 정적분의 활용
03 속도와 거리
04 속도와 거리4 (그래프)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 15

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t][eqn: (t geq 0)]에서의 속도 [eqn: v(t)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: int_{0}^{a}|v(t)| d t=s_{1}], [eqn: int_{a}^{b}|v(t)| d t=s_{2}]

[eqn: int_{b}^{c}|v(t)| d t=s_{3}]이라 하자.

점 [eqn: {rm{P}} it]는 출발한 후 시각 [eqn: t=a]에서 처음으로 운동 방향을 바꾸므로 [eqn: -8= int_{0}^{a} v(t) d t=-s_{1}]에서 [eqn: s_{1}=8]점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t=c]에서의 위치가 [eqn: -6]이므로 [eqn: -6= int_{0}^{c} v(t) d t=(-8)+s_{2}-s_{3}]에서 [eqn: s_{2}-s_{3}=2 cdots cdots]㉠

[eqn: int_{0}^{b} v(t) d t= int_{b}^{c} v(t) d t]이므로

[eqn: -8+s_{2}=-s_{3}], 즉 [eqn: s_{2}+s_{3}=8 cdots cdots]㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: s_{2}=5], [eqn: s_{3}=3]

따라서 구하는 거리는 [eqn: rm 5]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it]가 출발한 후 처음으로 운동 방향을 바꿀 때의 위치는 [eqn: -8]이고 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t=c]에서의 위치는 [eqn: -6]이다.

[eqn: int_{0}^{b} v(t) d t= int_{b}^{c} v(t) d t]일 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]가 [eqn: t=a]부터 [eqn: t=b]까지 움직인 거리는?

① [eqn: rm 3]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 6]	⑤ [eqn: rm 7]

[수학2] [05정적분의활용] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.28

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: 10]

[정답] ③

[정답] [eqn: 36]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: 2]

[정답] [eqn: rm 80]

[정답] [eqn: 34]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: bold290]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: 41]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[정답] [eqn: 14]

[정답] [eqn: 16]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 20]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 80]

[정답] [eqn: 17]

[정답] ④

[정답] ③

[수학2] [05정적분의활용] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.28