		년도별경향	2022.12.28
교사평경3	04	[수학2] [04부정적분, 정적분] 교사평경 최근 3개년

04 수2	07 부정적분
02 부정적분의 계산
03 부정적분의 계산3 (도함수로 표현된 함수의 부정적분)

교사평경3		년도별경향
04		[수학2] [04부정적분, 정적분] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학2] [04부정적분, 정적분] 교사평경 최근 3개년		04

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 23

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]에 대하여 [eqn: f `` ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +4x+5]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =4]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[해설]

주어진 식 [eqn: f `` ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +4x+5]을 부정적분하면

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {LEFT ( 3x ^{2} +4x+5 RIGHT ) dx}][eqn: =x ^{3} +2x ^{2} +5x+C]

그런데, [eqn: f(0)=4]이므로 [eqn: C=4]

[eqn: therefore][eqn: f(x)=x ^{3} +2x ^{2} +5x+4]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f(1)=12]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 23

함수 [eqn: f(x)]가

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int{f`'(x) `dx]
[eqn: =int {(x^3 +x ) `dx]
[eqn: = 1over4 x^4 + 1 over2 x^2 +C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

이때 [eqn: f(0)=3]이므로 [eqn: C= 3]

따라서 [eqn: f(x) = 1over4 x^4 + 1over2 x^2 +3]이므로

[eqn: f(2) =4+2+3=9]

[eqn: f`'(x) =x^3 +x ,~f(0)=3]

을 만족시킬 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 25

함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f `prime (x)]가 [eqn: f `prime (x)=4 x^{3}+4 x+1]이다. [eqn: f(0)=1]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 27]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(4 x^{3}+4 x+1 right) d x]
[eqn: =x^{4}+2 x^{2}+x+C(]단, [eqn: C]는 적분상수 [eqn: )]
[eqn: f(0) =1]이므로 [eqn: C=1]
[eqn: f(x) =x^{4}+2 x^{2}+x+1]
[eqn: f(2) =16+8+2+1=27]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 23

함수 [eqn: f(x)]가

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(-x^{3}+3 right) d x]
[eqn: =-{1} over {4} x^{4}+3 x+C]
[eqn: (]단, [eqn: C]는 적분상수이다.)

[eqn: f(2) =-{1} over {4} times 2^{4}+3 times 2+C=10]에서 [eqn: C=8]

따라서 [eqn: f(x)=-{1} over {4} x^{4}+3 x+8]이므로

[eqn: f(0)=8]

[eqn: f `prime (x)=-x^{3}+3], [eqn: ~ f(2)=10]

을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 5

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x+4]이고 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f prime (x)=2x+4]에서

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} {(2x+4)dx]
[eqn: =x ^{2} +4x+C }][eqn: ( C]는 적분상수)

[eqn: f(-1)+f(1)][eqn: =0]에서

[eqn: (-3+C)+(5+C)][eqn: =2C+2][eqn: =0]

[eqn: C=-1]이므로 [eqn: f(x)=x ^{2} +4x-1]

따라서 [eqn: f(2)=11]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 2

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x]을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +C]

그런데, 조건에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1-1+C][eqn: =1], [eqn: C=1]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -x ^{2} +1]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8-4+1][eqn: =5]

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -2x ,```` f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 17

함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 [eqn: f '(x)=8x ^{3} -12x ^{2} +7]이고 [eqn: f(0)=3]일 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int _{} ^{} { f '(x) dx}]
[eqn: = int _{} ^{} { (8x ^{3} -12x ^{2} +7) dx}]
[eqn: =2x ^{4} -4x ^{3} +7x+C] ([eqn: C]는 적분상수)

이때 [eqn: f(0)=3]이므로 [eqn: C=3]

따라서 [eqn: f(x)=2x ^{4} -4x ^{3} +7x+3]이므로

[eqn: f(1)=2-4+7+3=8]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 17

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2x]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{ } ^{ } { f `' LEFT ( x RIGHT ) }`dx]
[eqn: = int _{ } ^{ } { LEFT ( 3x^2 + 2 x RIGHT ) }`dx]
[eqn: = x^3 + x^2 + C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

이때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) = 2]이므로 [eqn: C= 2]

따라서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^3 + x^2 + 2]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = 1+ 1+ 2 = 4]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 5

다항함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 도함수 [eqn: f '(x)]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f '(x)=4x^{3}+ax]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} + {a} over {2} x ^{2} +C]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-2]이므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =C=-2]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+ {a} over {2} +C=1]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: C=-2], [eqn: a=4]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =16+2TIMES2 ^{2} -2=22]

[eqn: f '(x)=4x^{3}+ax]

이고 [eqn: f(0)=-2], [eqn: f(1)=1]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 17

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에 대하여 [eqn: f`` ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +6x-4]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 17 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {} LEFT ( 3x ^{2} +6x-4 RIGHT ) dx]
[eqn: =x ^{3} +3x ^{2} -4x+C] (단, [eqn: C]는 적분상수이다.)

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1+3-4+C][eqn: =5], [eqn: C][eqn: =5]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +3x ^{2} -4x+5]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8+12-8+5][eqn: =17]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 6

다항함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)= x^3 - k over2 x^2 + x + 1]

[eqn: f(2) = 8 - 2k + 2 +1 = 1], [eqn: THEREFORE][eqn: k = 5]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-k x+1], [eqn: ~ f(0)=f(2)=1]

을 만족시킬 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 17

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f `prime (x)=6 x^{2}-2 x-1]이고 [eqn: f(1)=3]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(6 x^{2}-2 x-1 right) d x]
[eqn: left.=2 x^{3}-x^{2}-x+C ~](단, [eqn: C]는 적분상수[eqn: right)]
[eqn: f(1) =2-1-1+C=3], [eqn: C=3]
[eqn: f(x) =2 x^{3}-x^{2}-x+3]
따라서 [eqn: f(2)=16-4-2+3=13]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 17

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f `prime (x)=6 x^{2}-4 x+3]이고 [eqn: f(1)=5]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 16]

[해설]

[eqn: f `prime (x)=6 x^{2}-4 x+3]에서 [eqn: f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+3 x+C]이다.

[eqn: f(1)=5]이므로 [eqn: C=2]

따라서 [eqn: f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}+3 x+2]이다.

[eqn: f(2)=16]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 17

함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f `prime (x)=8 x^{3}+6 x^{2}]이고 [eqn: f(0)=-1]일 때, [eqn: f(-2)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(8 x^{3}+6 x^{2} right) d x]
[eqn: left.=2 x^{4}+2 x^{3}+C] (단, [eqn: C]는 적분상수)

이므로

[eqn: f(0)=C=-1]

따라서

[eqn: f(x)=2 x^{4}+2 x^{3}-1]

그러므로

[eqn: f(-2)=32-16-1=15]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )=4x ^{3} -2x]이고 [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=3]일 때, [eqn: f LEFT (2 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: = int f `prime (x) d x]
[eqn: = int left(4 x^{3}-2 x right) d x]
[eqn: =x^{4}-x^{2}+C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f left(0right)=3`]이므로    [eqn: C`=3]

따라서 [eqn: f left(x right)=x^4 -x^2 +3`]이므로

[eqn: f left(2right)=16-4+3=15]

04 수2	07 부정적분
02 부정적분의 계산
04 부정적분의 계산4 (구간정의함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 18

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: F`(x) `]의 도함수 [eqn: f(x)`]가

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: F`(x)`]는 함수 [eqn: f(x)`]의 한 부정적분이므로

[eqn: F`(x)][eqn: = {cases{`-x ^{2} +C _{`1 } _{`}&(x<0) _{`}#`k left(x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} right) ^{`}+C _{`2}~~&(x GEQ 0)^{`}}}]

(단, [eqn: C _{`1}], [eqn: C _{`2} `]는 적분상수)

그런데 [eqn: F`(x)`]가 [eqn: x][eqn: =0`]에서 미분가능하므로 [eqn: C _{`1}][eqn: =C _{`2}]

즉, [eqn: F`(x)][eqn: = {cases{`-x ^{2} +C _{`1 } _{`}&(x<0) _{`}#`k left(x ^{2} - {1} over {3} x ^{3} right) ^{`}+C _{`1}~~&(x GEQ 0)^{`}}}]

그러므로 [eqn: F`(2)-F`(-3)][eqn: =21`]에서

[eqn: LEFT ( {4} over {3} `k`+C _{`1} RIGHT ) -(-9+C _{`1} )`][eqn: =21]

따라서 [eqn: k][eqn: =9`]

[다른 풀이]

[eqn: F`(x)`]는 함수 [eqn: f(x)`]의 한 부정적분이므로

[eqn: F`(2)-F`(-3)][eqn: = LEFT [pile{`#`} F`(x) RIGHT ] _{-3}^{2}][eqn: = int _{-3} ^{2} {f(x)} dx]

[eqn: int _{-3} ^{2} {} f(x)dx][eqn: = int _{-3} ^{0} {} f(x)dx+ int _{0} ^{2} {} f(x)dx]
[eqn: = int _{-3} ^{0} ({-2x} )dx+ int _{0} ^{2} {k left(2x-x ^{2} right )} dx]
[eqn: = LEFT [pile{`#`} -x ^{2} RIGHT ] _{-3}^{0} +k LEFT [pile{`#`} x ^{2} - {1} over {3} x^3RIGHT ] _{0}^{2}]
[eqn: =9+ {4} over {3} k][eqn: =21]

따라서 [eqn: k][eqn: =9`]

[eqn: f(x)= {cases{`-2x_{`}&(x<0) _{`}#`k left(2x-x ^{2} right) ^{`} ~~&(x ge0) ^{`}}}]

이다. [eqn: F`(2)-F`(-3)=21`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
04 함수 구하기4 (미분과 적분)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 18

다항함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분 [eqn: F(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: F(x)=(x+2) f(x)-x^{3}+12 x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=f(x)+(x+2) f `prime (x)-3 x^{2}+12]

[eqn: (x+2) f `prime (x)=3(x+2)(x-2)]

[eqn: f(x)]는 다항함수이므로 [eqn: f `prime (x)=3 x-6]

[eqn: f(x)][eqn: = int(3 x-6) d x]
[eqn: ={3} over {2} x^{2}-6 x+C(C]는 적분상수 [eqn: )]

[eqn: F(0)=2 f(0)=30]에서 [eqn: f(0)=15]이므로 [eqn: C=15]

따라서 [eqn: f(2)=6-12+15=9]

[eqn: F(x)=(x+2) f(x)-x^{3}+12 x]

를 만족시킨다. [eqn: F(0)=30]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
07 함수 구하기7 (도함수 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 22

최고차항의 계수가 [eqn: {1} over {2}]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 실수 [eqn: t]에 대하여 방정식 [eqn: f`prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `t,~t+2` RIGHT ]]에서 갖는 실근의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 9]

[해설]

이차방정식 [eqn: f`' (x) = 0]이 근을 갖지 않는 경우에는

[eqn: g(t) = 0]

이는 조건 (나)에서

[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

이차방정식 [eqn: f`' (x) = 0]이 중근 [eqn: alpha]를 갖는 경우에는 [eqn: y= g(x)]는 그림과 같다.

이는 조건 (나)에서

[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

그러므로 이차방정식 [eqn: f`'(x) = 0]는 서로 다른 두 실근 [eqn: alpha], [eqn: beta`` ( alpha < beta )]를 갖는다.

(ⅰ) [eqn: beta = alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y= g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (가)를 만족한다.

(ⅱ) [eqn: beta > alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이는 조건 (나)에서
[eqn: g(t)]가 함숫값 [eqn: 2]를 갖는 것에 모순이다.

(ⅲ) [eqn: beta < alpha + 2]일 때,
함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프는 다음과 같다.

이때, [eqn: beta - 2 le a le alpha]인 [eqn: a]에 대하여 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

따라서 위에서 조건을 만족시키는 것은 (ⅰ)의 경우이다.

한편, 함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1 over 2]이므로 함수 [eqn: f`' (x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: 3 over 2]이다.

그러므로

[eqn: f`' (x)][eqn: = 3 over 2 ( x- alpha) left { x - ( alpha + 2 ) right }]
[eqn: = 3 over 2 left { x^2 - ( 2 alpha + 2 ) x + alpha^2 +2 alpha right }]

로 놓을 수 있다. 이때,

[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3 over 2 ( alpha + 1 ) x^2 + 3 over 2 ( alpha^2 +2 alpha )x + C] (단, [eqn: C`]는 적분상수)	[eqn: cdots cdots] ㉠

한편, 조건 (나)에서

[eqn: g ( f(1) ) = g ( f(4) ) = 2]

이고 [eqn: g(t)]의 함숫값이 [eqn: 2]인 [eqn: t]의 값의 개수는 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(1) = f(4)]

㉠에서

[eqn: 1 over 2 - 3 over 2 ( alpha + 1) + 3 over 2 ( alpha^2 +2 alpha ) + C]

[eqn: =32-24( alpha+1)+6( alpha ^{2} +2 alpha)+C]
따라서

[eqn: {1} over {2} - {3} over {2} ( alpha+1)+ {3} over {2} ( alpha^2 +2 alpha)][eqn: = 32 - 24 ( alpha +1 ) +6 ( alpha^2 + 2 alpha )]

양변에 [eqn: 2]를 곱하면

[eqn: 1 - 3 ( alpha + 1 ) +3 ( alpha^2 + 2 alpha )][eqn: = 64 - 48 ( alpha + 1 ) + 12 ( alpha^2 + 2 alpha )]

이 식을 정리하면

[eqn: 3 alpha^2 + 3 alpha - 2 = 12 alpha^2 - 24 alpha + 16]

[eqn: 9 alpha^2 - 27 alpha + 18 = 0]

[eqn: alpha^2 - 3 alpha + 2 =0]

[eqn: ( alpha - 1 ) ( alpha - 2 ) = 0]

[eqn: alpha = 1] 또는 [eqn: alpha = 2]

((ⅰ)-①) [eqn: alpha = 1]일 때,
[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3 x^2 + 9 over 2 x +C]
이때, [eqn: f(1) =alpha]에서 [eqn: f(1) = 1]이어야 하므로
[eqn: 1 over 2 - 3 + 9 over 2 + C = 1]
[eqn: 2 + C = 1]
[eqn: C = it - 1]
이때, [eqn: f(0) = it - 1]이므로
[eqn: g(f(0) ) = g(-1) = 1]
그러므로 조건을 만족시킨다.

((ⅰ)-②) [eqn: alpha=2]일 때,
[eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{3} - 9 over 2 x ^{2} + 12 x+C]
이때, [eqn: f(1) =alpha]에서 [eqn: f(1)=2]이어야 하므로
[eqn: {1} over {2} - {9} over {2} + 12 +C=2]
[eqn: 8+C=2]
[eqn: C= it -6]
이때, [eqn: f(0)= it -6]이므로
[eqn: g(f(0)) = g(-6)=0]
그러므로 조건을 만족시키지 못한다.

따라서, ((ⅰ)-①)에서

[eqn: f(x) = 1 over 2 x^3 - 3x^2 + 9 over 2 x - 1]

이므로

[eqn: f(5)][eqn: = 1 over 2 times 5^3 - 3 times 25 + 9 over 2 times 5 - 1]
[eqn: = 125 over 2 - 75 + 45 over 2 - 1]
[eqn: = 9]

(가) 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim _{t`-> `a+} {`g LEFT ( t RIGHT )} + lim _{t`-> `a-} {`g LEFT ( t RIGHT )} LEQ 2]이다.

(나) [eqn: g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 4 RIGHT ) RIGHT ) =2,~g LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =1]

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 10

사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) `]의 값은?

[정답] ②

[해설]

조건 (나)에서 [eqn: f `prime left(x right)=ax left(x-1right)left(x-3right)``left(a<0right)]이라 하면

조건 (가)에서 [eqn: f`prime left(4right)=it-24]이므로

[eqn: f`prime left(4right)=12a=it-24]에서 [eqn: a=it-2]

따라서 [eqn: f`prime left(x right)=it-2x left(x-1right)left(x-3right)=it-2x^3 +8x^2 -6x]이므로

[eqn: f left(x right)=it- 1over2 x^4 + 8over3 x^3 -3x^2 +2] ([eqn: because][eqn: f left(0right)=2])

[eqn: therefore][eqn: f left(2right)= 10over3]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2`]이고 [eqn: f`' LEFT ( 4 RIGHT ) =-24`]이다.

(나) 부등식 [eqn: xf`' LEFT ( x RIGHT ) >0`]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x`]의 값의 범위는 [eqn: 1<x<3`]이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {11} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {13} over {3}]

04 수2	07 부정적분
03 부정적분의 활용
09 활용2 (함수의 상황)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 20

[eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: k]에 대하여 다항함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f `prime (x)]가 [eqn: f `prime (x)=3(x-k)(x-2 k)]이다. 함수

[정답] ④

[해설]

그래프가 그림과 같아야 한다.

[eqn: 1 leq k], [eqn: f(1)<f(4)]

[eqn: f `prime (x)=3(x-k)(x-2 k)]

[eqn: f(x)=x^{3}-{9} over {2} k x^{2}+6 k^{2} x+C]

[eqn: f(4)-f(1)][eqn: = left(64-72 k+24 k^{2} right)- left(1-{9} over {2} k+6 k^{2} right)]
[eqn: =18k ^{2} - {135} over {2} k+63]
[eqn: ={9} over {2} LEFT (4 k^{2}-15 k+14 RIGHT )]
[eqn: ={9} over {2}(k-2)(4 k-7)>0]

[eqn: therefore~1 leq k<{7} over {4}], [eqn: beta- alpha={3} over {4}]

[eqn: g(x)= {cases{````````````f(x)&&(x LEQ 1또는~x GEQ 4)#{f(4)-f(1)} over {3} (x-1)+f(1)&&(1<x<4)}}]

의 역함수가 존재하도록 하는 모든 실수 [eqn: k]의 값의 범위가 [eqn: alpha leq k< beta]일 때, [eqn: beta- alpha]의 값은?

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {8}]

④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
02 정적분의 성질2 (정적분의 계산)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 22

[eqn: { int _{0} ^{3} {} x ^{2} dx}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[해설]

[eqn: int _{0} ^{3} {} x ^{2} dx][eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{0}^{3}][eqn: =9]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 4

[eqn: int_{0}^{1} left(3 x^{2}+2 right) d x]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: int_{0}^{1} left(3 x^{2}+2 right) d x][eqn: = left[ pile{it #it} x^{3}+2 x right]_{0}^{1}]
[eqn: =(1+2)-(0+0)=3]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 2

[eqn: { int _{0} ^{1} {} LEFT ( 2x+3 RIGHT ) dx}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {} LEFT ( 2x+3 RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ x ^{2} +3x pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: =1+3][eqn: =4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 2

[eqn: int _{0} ^{3} {} LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} `dx]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: int _{0} ^{3} {LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} dx}][eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( x ^{2} +2x+1 RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} +x ^{2} +x RIGHT ] _{0}^{3}]
[eqn: =21]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 2

[eqn: int_{0}^{2} left(2 x^{3}+3 x^{2} right) d x]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: int_{0}^{2} left(2 x^{3}+3 x^{2} right) d x= left[ pile{it #it} {x^{4}} over {2}+x^{3} right]_{0}^{2}=16]

① [eqn: rm 14]	② [eqn: rm 16]	③ [eqn: rm 18]

④ [eqn: rm 20]	⑤ [eqn: rm 22]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
04 정적분의 성질4 (적분구간이 같은 경우)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 24

[eqn: int_{1}^{3} left(4 x^{3}-6 x+4 right) d x+ int_{1}^{3}(6 x-1) d x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 86]

[해설]

[eqn: int_{1}^{3} left(4 x^{3}-6 x+4 right) d x+ int_{1}^{3}(6 x-1) d x]

[eqn: = int_{1}^{3} left(4 x^{3}+3 right) d x= left[ pile{it #it} x^{4}+3 x right]_{1}^{3}=86]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
05 정적분의 성질5 (피적분함수가 같은 경우)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 5

[eqn: int_{5}^{2} 2 t d t- int_{5}^{0} 2 t d t]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: int_{5}^{2} 2 t d t- int_{5}^{0} 2 t d t][eqn: = int_{5}^{2} 2 t d t+ int_{0}^{5} 2 t d t]
[eqn: = int_{0}^{5} 2 t d t+ int_{5}^{2} 2 t d t= int_{0}^{2} 2 t d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} t^{2} right]_{0}^{2}=4]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: rm 4]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
10 계산과 해석3 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 19

첫째항이 [eqn: rm 1]이고 공차가 [eqn: rm 2]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 있다.

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]의 좌표를 [eqn: left(a_{n},`` b_{n} right)]이라 하자. [eqn: a_{n}=1+(n-1) times 2=2 n-1]이고

선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1}]과 직선 [eqn: x=a_{n}], 직선 [eqn: x=a_{n+1}]

및 [eqn: x]축과 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: S_{n}]은

[eqn: S_{n}][eqn: = int_{a_{n}}^{a_{n+1}} f(x) d x]
[eqn: ={1} over {2} times left(a_{n+1}-a_{n} right) times left(b_{n}+b_{n+1} right)]
[eqn: =b_{n}+b_{n+1}]

[eqn: a_{1}=1], [eqn: a_{6}=11]이므로

[eqn: int_{1}^{11} f(x) d x][eqn: = int_{a_{1}}^{a_{6}} f(x) d x]
[eqn: =S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}][eqn: = LEFT ( b _{1} +b _{2} RIGHT ) + LEFT ( b _{2} +b _{3} RIGHT ) + LEFT ( b _{3} +b _{4} RIGHT ) + LEFT ( b _{4} +b _{5} RIGHT ) + LEFT ( b _{5} +b _{6} RIGHT )]

조건(다)에 의하여

직선 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1}]의 기울기는

[eqn: {b_{n+1}-b_{n}} over {a_{n+1}-a_{n}}={1} over {2} a_{n+1}], [eqn: b_{n+1}=b_{n}+a_{n+1}]

[eqn: b_{1}=1=a_{1}]

[eqn: b_{2}=b_{1}+a_{2}=a_{1}+a_{2}=4]

[eqn: b_{3}=b_{2}+a_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=9]

[eqn: b_{4}=b_{3}+a_{4}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=16]

[eqn: b_{5}=b_{4}+a_{5}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=25]

[eqn: b_{6}=b_{5}+a_{6}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}=36]

따라서

[eqn: int_{1}^{11} f(x) d x][eqn: =S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}+S_{5}]
[eqn: = LEFT (1+4 RIGHT )+ LEFT (4+9 RIGHT )+ LEFT (9+16 RIGHT ) + LEFT (16+25 RIGHT )+ LEFT (25+36 RIGHT )]
[eqn: =145]

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: {rm{P}} it _{1}]의 좌표는 [eqn: (1,``1)]이다.

(나) 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a_{n}]이다.

(다) 직선 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1}]의 기울기는 [eqn: {1} over {2} a_{n+1}]이다.

[eqn: x geq 1]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 닫힌구간 [eqn: left[a_{n},`` a_{n+1} right]]에서

선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1}]과 일치할 때, [eqn: int_{1}^{11} f(x) d x]의 값은?

① [eqn: rm 140]	② [eqn: rm 145]	③ [eqn: rm 150]

④ [eqn: rm 155]	⑤ [eqn: rm 160]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 9

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: int_{0}^{1} f `prime (x) d x= int_{0}^{2} f `prime (x) d x=0]

[eqn: f(1)-f(0)=f(2)-f(0)=0]

[eqn: f(0)=f(1)=f(2)=k(k]는 상수 [eqn: )]

[eqn: f(x)=x(x-1)(x-2)+k=x^{3}-3 x^{2}+2 x+k]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-6 x+2]

따라서 [eqn: f `prime (1)=-1]

[eqn: int_{0}^{1} f `prime (x) d x= int_{0}^{2} f `prime (x) d x=0]

을 만족시킬 때, [eqn: f `prime (1)]의 값은?

①-[eqn: rm 4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: -2]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: rm 0]

04 수2	08 정적분
01 정적분의 계산
13 계산과 해석6 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 20

실수 전체의 집합에서 연속인 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -6]	[eqn: 13]	[eqn: -12]	[eqn: 4]
		[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: 8]	[eqn: -4]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: -5]	[eqn: 8]	[eqn: -4]	[eqn: 0]
		[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 4]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 4]	[eqn: 0]
		[eqn: 2]	[eqn: -4]
	[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 0]

[eqn: = LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -4f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +3x RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( 3x-1 RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( x ^{4} +6x ^{3} +9x ^{2} RIGHT )]

[eqn: - LEFT ( 12x ^{3} -4x ^{2} +12x-4 RIGHT )]

[eqn: =x ^{4} -6x ^{3} +13x ^{2} -12x+4]

[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | ` LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ` RIGHT |]

[eqn: =][eqn: LEFT { pile{it#it#it} RIGHT .]	[eqn: x ^{2} -3x+2]	([eqn: x<1]또는 [eqn: x>2])
	[eqn: -x ^{2} +3x-2]	([eqn: 1 LEQ x LEQ 2])

조건 (나)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +3x]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} LEFT [ pile{it#it} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } + LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } RIGHT ]]

[eqn: =][eqn: LEFT { pile{it#it#it} RIGHT .]	[eqn: x ^{2} +1]	([eqn: x<1]또는 [eqn: x>2])
	[eqn: 3x-1]	([eqn: 1 LEQ x LEQ 2])

따라서

[eqn: int _{0} ^{2} {`f LEFT ( x RIGHT ) `dx}][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) `dx+ int _{1} ^{2} {} LEFT ( 3x-1 RIGHT )} `dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {3} x ^{3} +x RIGHT ] _{0}^{1} + LEFT [ {3} over {2} x ^{2} -x RIGHT ] _{1}^{2}]
[eqn: = LEFT ( {1} over {3} +1 RIGHT ) + LEFT { LEFT ( 6-2 RIGHT ) - LEFT ( {3} over {2} -1 RIGHT ) RIGHT } = {29} over {6}]

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ g LEFT ( x RIGHT )]

(나) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +3x]

(다) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( 3x-1 RIGHT )]

[eqn: int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값은?

① [eqn: {23} over {6}]	② [eqn: {13} over {3}]	③ [eqn: {29} over {6}]

④ [eqn: {16} over {3}]	⑤ [eqn: {35} over {6}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 15

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 방정식 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,```` 0 ,```` beta][eqn: LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

방정식 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 세 실근 [eqn: alpha ,```` 0 ,```` beta][eqn: LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: {rm][eqn: beta][eqn: = it - alpha]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x+ alpha RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{4} -2 alpha ^{2} x ^{2} +C] (단, [eqn: C]는 적분상수이다.)

[eqn: f LEFT ( -x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]이므로 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고, 조건 (가)에 의하여

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =9], [eqn: C][eqn: =9]

조건 (나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = alpha ^{4} -2 alpha ^{4} +9][eqn: = it -16]

[eqn: alpha][eqn: = it - sqrt {5}]

함수 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4x LEFT ( x- sqrt {5} RIGHT ) LEFT ( x+ sqrt {5} RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = left |`` f ' LEFT ( x RIGHT ) ``right | -f ' LEFT ( x RIGHT )]이므로

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{````````````````0& && LEFT ( f ``' LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0 RIGHT )# -2f ``' LEFT ( x RIGHT )&&& LEFT ( f `` ' LEFT ( x RIGHT ) <0 RIGHT )}}}]이고, 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: int _{0} ^{10} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: =-2 int _{0} ^{sqrt {5}} {} f ``' LEFT ( x RIGHT ) dx]
[eqn: = it -2 LEFT [ f LEFT ( x RIGHT ) pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{sqrt {5}}]
[eqn: = it -2 LEFT { f LEFT ( sqrt {5} RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = it -2 TIMES LEFT ( -16-9 RIGHT )]
[eqn: =50]

(가) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =9]는 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = it -16]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = left |`` f ``' LEFT ( x RIGHT ) ``right | -f `` ' LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: int _{0} ^{10} {} g LEFT ( x RIGHT ) dx]의 값은?

① [eqn: 48]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 56]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

실수 [eqn: {p}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{3} -x ^{2}]과 직선 [eqn: y][eqn: =px-1]의 교점의 [eqn: x]좌표 중 가장 작은 값을 [eqn: m]이라 하자. [eqn: m<a<b]인 모든 실수 [eqn: a ,```` b]에 대하여

[정답] ②

[해설]

직선 [eqn: rmAB]의 기울기와 점 [eqn: RMB]에서의 접선의 기울기가 같음을 이용하여 [eqn: t]를 구하면

[eqn: {t ^{3} -t ^{2} +1} over {t} =f prime(t)=3t ^{2} -2t]

[eqn: 2t ^{3} -t ^{2} -1=(t-1)(2t ^{2} +t+1)=0]

[eqn: THEREFORE][eqn: t=1]

즉, [eqn: p=1]이므로 [eqn: x ^{3} -x ^{2} =x-1]을 정리하면,

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -x+1=(x+1)(x-1) ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE][eqn: x=it-1]

따라서 [eqn: m=it-1]

[eqn: int _{a} ^{b} {} LEFT ( x ^{3} -x ^{2} -px+1 RIGHT ) dx][eqn: >0]

이 되도록 하는 [eqn: m]의 최솟값은?

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: - {3} over {2}]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: - {5} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 12

[eqn: 0<a<b]인 모든 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: x ge 0]일 때 [eqn: f(x) =][eqn: x^3 - 3x+ k ge 0]

[eqn: f``'(x)= 3x^2 - 3], [eqn: x = 1]에서 극솟값(최솟값)이므로

[eqn: f(1) = -2 + k ge 0], [eqn: THEREFORE][eqn: k ge 2]

따라서 구하는 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

[eqn: int_{a}^{b} left(x^{3}-3 x+k right) d x>0]

이 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^09^평가원^중}}]이고 [eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 양수 [eqn: p]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ⑤

[해설]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 [eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]이므로 [eqn: f prime (x)=3x(x-2)=3x ^{2} -6x]이다.

따라서

[eqn: f(x)][eqn: =int _{} ^{} {f prime (x)} dx]
[eqn: = x^3 -3x^2 +C] ([eqn: C] 는 적분상수)

따라서 [eqn: f(x)-f(0)= x^3 -3x^2]이고

[eqn: f(x+p)-f(p)]

[eqn: =(x+p)^3 -3(x+p)^2 +C -(p^3 -3p^2 +C)]
[eqn: = x^3 +(3p-3)x^2 +(3p^2 -6p)x]

이므로

[eqn: g(x)= {cases{ x ^{3} -3x ^{2}&&&(x LEQ 0)# x ^{3} +(3p-3)x ^{2} +(3p ^{2} -6p)x&&&(x>0)}}]

이다.

ㄱ. [eqn: p=1]이면
[eqn: g(x)= {cases{ x ^{3} -3x ^{2}&&&(x LEQ 0)# x ^{3}-3x&&&(x>0)}}]이므로
[eqn: g prime (x)= {cases{ 3x ^{2} -6x&&&(x<0)# 3x ^{2} -3&&&(x>0)}}]
따라서 [eqn: g'(1) = 3-3=0]	(참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g(x)} =lim _{x ``->`` 0+} { g(x)} =g(0)=0]이므로
함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g prime (x)} = lim _{x ``->`` 0-} { (3x ^{2} -6x)} =0]

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} { g prime (x)}][eqn: = lim _{x ``->`` 0+} { LEFT { 3x ^{2} +2(3p-3)x+(3p ^{2} -6p) RIGHT }}]
[eqn: = 3p^2 -6p]

이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면
[eqn: 3p^2 -6p =0]이어야 한다..
따라서 양수 [eqn: p]의 값은 [eqn: p=2]뿐이므로 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다.

(참)

ㄷ. [eqn: int _{-1} ^{0} {g(x)} dx][eqn: = int _{-1} ^{0} {(x^3 -3x^2 )} dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} -x ^{3} RIGHT ] _{-1}^{0}]
[eqn: = 0- LEFT ( 1over4 + 1 RIGHT )]
[eqn: = it - 5over4]

이고,

[eqn: int _{0} ^{1} {g(x)} dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { x ^{3} +(3p-3)x ^{2} +(3p ^{2} -6p)x RIGHT }} dx]
[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} +(p-1)x ^{3} + {3p ^{2} -6p} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = 1over4 +(p-1)+{3p^2 -6p}over2]
[eqn: = 3over2 p^2 -2p - 3over4]

이므로

[eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx][eqn: =int _{-1} ^{0} {g(x)} dx+int _{0} ^{1} {g(x)} dx]
[eqn: = LEFT ( - 5 over4 RIGHT )+ 3over2 p^2 - 2p - 3over4]
[eqn: = 3over2 p^2 -2p -2]
[eqn: = 1over2 (3p+2)(p-2)]

따라서 [eqn: p ge 2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]이다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고

[eqn: f prime (0)=f prime (2)=0]

이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극대이고 [eqn: x=2]에서 극소이다.

이때, 곡선 [eqn: =f(x) -f(0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -f(0)]만큼 평행이동한 것이고, 곡선 [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: - p]만큼 평행이동한 것이다. 따라서 두 곡선 [eqn: y=f(x)-f(0)], [eqn: y=f(x+p)-f(p)]는 모두 원점을 지나고 함수 [eqn: g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: p=1]일 때, 곡선 [eqn: y=f(x+1)-f(1)]는 곡선 [eqn: y=f(x)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -f(1)]만큼 평행이동한 것이다.
따라서 [eqn: g prime (1)=0]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g(x)}=lim _{x ``->`` 0+} { g(x)}=g(0)=0]이므로 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.
이때 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} { g prime (x)} = lim _{x ``->`` 0-} { (3x ^{2} -6x)} =0]이므로 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면 [eqn: lim _{x ``->`` 0+} { g prime (x)} =0]이어야 한다.
그런데 [eqn: f prime (x)=0]인 양수 [eqn: x]의 값은 [eqn: 2]뿐이므로 양수 [eqn: p]의 값은 [eqn: 2]뿐이다. 따라서 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: p ge2]일 때 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: p=2]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx=0]
[eqn: p>2]일 때, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+p)-f(p) ge f(x+2)-f(2)]이므로
[eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]
따라서 [eqn: p ge2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g(x)= {cases{ f(x)-f(0)&&&(x LEQ 0)# f(x+p)-f(p)&&&(x>0)}}]

이라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p=1]일 때, [eqn: g prime (1)=0]이다. ㄴ. [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하도록 하는 양수 [eqn: p]의 개수는 [eqn: 1]이다. ㄷ. [eqn: p ge2]일 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {g(x)} dx ge0]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 22

최고차항의 계수가 정수인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]를

[정답] [eqn: 11]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: y=f left(x right)]와 [eqn: y=g left( x right)]의 교점을 구하면

[eqn: f left(x right)=f left(x right)+left|`f left(x right)-1`right|]

[eqn: therefore][eqn: f left(x right)=1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

따라서 ㉠을 만족하는 서로 다른 실근의 합이 [eqn: 3]이다.

문제에서 [eqn: f left(1 right)=1], [eqn: f`prime left(1right)=0]이므로 ㉠은 [eqn: x=1]을 중근으로 가지므로 다른 한 근은 [eqn: 2]이다.

[eqn: therefore][eqn: f left(x right)=a left(x-1right)^2 left(x-2right)+1]

조건 (나)에서

[eqn: 0<int_0^n g left( x right)`dx-n<16], 즉

[eqn: 0<int_0^n left{g left(x right)-1right}`dx<16]	[eqn: cdotscdots] ㉠

을 만족해야 한다.

[eqn: g left(x right)=cases{2f left(x right)-1````&left(f left(x right)ge1right)#~~1&left(f left(x right)<1right)]에서

[eqn: g left(x right)-1][eqn: =cases{2f left(x right)-2~&left(f left(x right)ge1right)#~~0&left(f left(x right)<1right)]
[eqn: =cases{2a left(x-1right)^2 left(x-2right)~&left(f left(x right)ge1right)#~~1&left(f left(x right)<1right)]

함수 [eqn: g left(x right)-1]의 그래프의 개형은 [eqn: f left(x right)]의 최고차항의 계수의 부호에 따라 다음 두 가지가 가능하다.

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때

[eqn: y=f left(x right)]	[eqn: y=g left(x right)-1]

(ⅱ) [eqn: a<0]일 때

[eqn: y=f left(x right)]	[eqn: y=g left(x right)-1]

(ⅰ)의 경우는 [eqn: n=1]일 때, [eqn: int_0^n left{g left(x right)-1right}`dx=0]이므로 ㉠을 만족하지 않는다.

(ⅱ)에서 ㉠을 만족하기 위해서는 [eqn: n=2]일 때만 만족하면 되므로

[eqn: int_0^2 left{g left(x right)-1right}`dx][eqn: =int_0^2 2a left(x-1right)^2 left(x-2right)`dx]
[eqn: =2a int_0^2 left{left(x-1right)^3 -left(x-1right)^2 right}`dx]
[eqn: =2a left[ 1over4 left(x-1right)^4 - 1over3 left(x-1right)^3 right]_0^2]
[eqn: =it- 4over3 a]

따라서 ㉠에서 [eqn: 0< - 4over3 a<16], [eqn: -12<a<0]이므로 정수 [eqn: a]는 [eqn: 11]개이고, 함수 [eqn: f left(x right)]의 개수도 [eqn: 11]개다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT |]

이라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]가 다음 조건을 만족시키도록 하는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 개수를 구하시오.

(가) 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 모든 교점의 [eqn: x`]좌표의 합은 [eqn: 3]이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n< int _{0} ^{n} {g LEFT ( x RIGHT ) dx} <n+16`]이다.

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
01 여러가지 함수의 정적분1 (우함수와 기함수의 계산)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 4

[eqn: int _{2} ^{-2} { left (x ^{3} +3x ^{2} right )`dx `}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: int_{2} ^{-2} left( x^3 +3x^2 right) dx][eqn: = left[ pile{`#`}1over4 x^4 + x^3 right] _2 ^-2]
[eqn: = ( 4 -8 ) - (4+8)]
[eqn: = it -16]

① [eqn: -16]	② [eqn: -8]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 16]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 2

[eqn: int_{-1}^{1} left(x^{3}+a right) d x=4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: int_-1^1 ( x^3 + a) dx = 2 int_0^1 a dx = 2a = 4]

[eqn: THEREFORE][eqn: a = 2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 17

[eqn: int_{-3}^{2} left(2 x^{3}+6|x| right) d x- int_{-3}^{-2} left(2 x^{3}-6 x right) d x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 24]

[해설]

[eqn: int_{-3}^{2} left(2 x^{3}+6|x| right) d x- int_{-3}^{-2} left(2 x^{3}-6 x right) d x]

[eqn: = int_{-3}^{-2} left(2 x^{3}+6|x| right) d x+ int_{-2}^{2} left(2 x^{3}+6|x| right) d x]

[eqn: -``int_{-3}^{-2} left(2 x^{3}-6x right) dx]

[eqn: = int_{-2}^{2} left(2 x^{3}+6|x| right) d x]

[eqn: =2 int_{0}^{2} 6 x d x=2 left[ pile{it #it} 3 x^{2} right]_{0}^{2}=24]

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
03 여러가지 함수의 정적분3 (우함수와 기함수의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 14

다항함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여

[eqn: f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+ cdots+a_{1} x+a_{0}]

[eqn: left(a_{0},`` a_{1},`` a_{2},`` cdots,`` a_{n} right.]은 실수[eqn: )]라 하면

[eqn: f LEFT (-x RIGHT )=a _{n} LEFT (-x RIGHT ) ^{n} +a _{n-1} LEFT (-x RIGHT ) ^{n-1}+ `CDOTS` +a _{1} LEFT (-x RIGHT )+a _{0}]

이고 [eqn: k]가 홀수인 경우 [eqn: int_{-3}^{3} x^{k} d x=0]이므로

[eqn: int_{-3}^{3} f(-x) d x= int_{-3}^{3} f(x) d x]

조건(가)에 의하여

[eqn: f LEFT (x RIGHT )+f LEFT (-x RIGHT )=3x ^{2} +ax+b] ([eqn: a], [eqn: b]는 상수)

이고 [eqn: f LEFT (x RIGHT )+f LEFT (-x RIGHT )]는 차수가 홀수인 항을 갖지 않으므로

[eqn: a=0]

조건 (나)에 의하여

[eqn: f(0)+f(0)=-2=b]

그러므로 [eqn: f(x)+f(-x)=3 x^{2}-2]

[eqn: int_{-3}^{3} left{ f(x)+f(-x) it right} d x][eqn: = int_{-3}^{3} f(x) d x+ int_{-3}^{3} f(-x) d x]
[eqn: =2 int_{-3}^{3} f(x) d x]

따라서

[eqn: int_{-3}^{3} f(x) d x][eqn: ={1} over {2} int_{-3}^{3} left{ f(x)+f(-x) it right} d x]
[eqn: ={1} over {2} int_{-3}^{3} left(3 x^{2}-2 right) d x]
[eqn: =21]

(가) [eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } {f(x)+f(-x)} over {x^{2}}=3]

(나) [eqn: f(0)=-1]

[eqn: int_{-3}^{3} f(x) d x]의 값은?

① [eqn: rm 13]	② [eqn: rm 15]	③ [eqn: rm 17]

④ [eqn: rm 19]	⑤ [eqn: rm 21]

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
06 여러가지 함수의 정적분6 (주기함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 28

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0], [eqn: f(x+3)=f(x)]이고

[정답] [eqn: 12]

[해설]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: left{ f(x)+x^{2}-1 it right} ^{2} geq 0], [eqn: f(x) geq 0]이므로

정적분 [eqn: int_{-1}^{2} left{ f(x)+x^{2}-1 it right} ^{2} d x]의 값이 최소가

되기 위해서는

(i) [eqn: -1 leq x leq 1]에서
[eqn: x^{2}-1 leq 0]이므로 [eqn: f(x)=- left(x^{2}-1 right)=-x^{2}+1]

(ii) [eqn: 1<x leq 2]에서
[eqn: x^{2}-1>0]이므로 [eqn: f(x)=0]

[eqn: f(x+3)=f(x)]이고, [eqn: (]i[eqn: )], (ii)에 의하여

함수 [eqn: f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: int_{-1}^{2} f(x) d x= int_{2}^{5} f(x) d x= int_{5}^{8} f(x) d x]

[eqn: = `cdots~= int_{23}^{26} f(x) d x]

따라서 [eqn: int_{-1}^{26} f(x) d x=9 int_{-1}^{2} f(x) d x]

[eqn: =9 int_{-1}^{1} left(-x^{2}+1 right) d x=12]

[eqn: int_{-1}^{2} left{ f(x)+x^{2}-1 it right} ^{2} d x]의 값이 최소가 되도록 하는 연속함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: int_{-1}^{26} f(x) d x]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 11

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` 1 RIGHT ]]에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y=-f(x+1)+1]의 그래프는

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동시킨 후, [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 1]만큼  평행이동시킨 것이다.

[eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=1], [eqn: int_{0}^{1} f(x) d x={1} over {6}]이므로

조건 (가)에서

[eqn: int_{-1}^{0} g(x) d x= int_{-1}^{0} left{ -f(x+1)+1 it right} d x=-{1} over {6}+1={5} over {6}]

[eqn: int_{0}^{1} g(x) d x= int_{0}^{1} f(x) d x={1} over {6}]

[eqn: int_{-1}^{1} g(x) d x= int_{-1}^{0} g(x) d x+ int_{0}^{1} g(x) d x={5} over {6}+{1} over {6}=1]

조건 (나)에서

[eqn: g(x+2)=g(x)]이므로

[eqn: int_{-3}^{2} g(x) d x= int_{-3}^{-1} g(x) d x+ int_{-1}^{1} g(x) d x+ int_{1}^{2} g(x) d x`]

[eqn: =2 int_{-1}^{1} g(x) d x+ int_{-1}^{0} g(x) d x]

[eqn: =2 times 1+{5} over {6}={17} over {6}]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1], [eqn: int _{0} ^{1} { f LEFT ( x RIGHT ) dx} = {1} over {6}]

을 만족시킨다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: int _{-3} ^{2} { g LEFT ( x RIGHT ) dx}]의 값은?

(가) [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ -f LEFT ( x+1 RIGHT ) +1&&&LEFT ( -1<x<0 RIGHT )# ````````````````````` f LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x+2 RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT )]이다.

① [eqn: {5} over {2}]	② [eqn: {17} over {6}]	③ [eqn: {19} over {6}]

④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: {23} over {6}]

04 수2	08 정적분
02 여러가지 함수의 정적분
07 여러가지 함수의 정적분7 (함수 구하기)

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 5

사차함수 [eqn: {f(x) }]는 [eqn: x=1]에서 극값 [eqn: 2]를 갖고, [eqn: f(x)]가 [eqn: x^3]으로 나누어떨어질 때, [eqn: int_0^2{f(x-1)} dx]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극값 [eqn: 2]를 가지므로

[eqn: f(1)=2], [eqn: f``'(1)=0]

사차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x^3]으로 나누어떨어지므로

[eqn: f(x) =x^3 (ax+b)]로 놓을 수 있다.

미분하면 [eqn: f``'(x) = 4ax^3 +3bx^2]이다.

[eqn: f(1)=2]에서 [eqn: a+b =2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f``'(1)=0]에서 [eqn: 4a+3b=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=-6], [eqn: b=8]

[eqn: therefore][eqn: f(x)=x^3 (-6x +8)=-6x^4 +8x^3]

[eqn: int_0^2{f(x-1)} dx]에서 함수 [eqn: f left(x right)]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동하면

[eqn: int_0^2{f(x-1)} ` dx =int_-1^1 f left(x right)`dx]

[eqn: therefore][eqn: int_0^2{f(x-1)} dx][eqn: =int_-1^1{f(x)} dx]
[eqn: =][eqn: int_-1^1{(-6x^4 +8x^3 ) dx]
[eqn: =2 int_0^1{(-6x^4 )} dx]
[eqn: = left [ - 12 over 5 x^5 right]_0^1]
[eqn: =- 12 over 5 from 넘버41]

① [eqn: - 12 over 5]	② [eqn: - 7 over 5]	③ [eqn: - 2 over 5]

④ [eqn: 3 over 5]	⑤ [eqn: 8 over 5]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
01 정적분 전체를 치환하는 유형

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 16

다항함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]의 한 부정적분 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( t RIGHT ) dt][eqn: =a]라 하면 (가)에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x+2a]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 한 부정적분이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{} ^{} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: =x ^{2} +2ax+C] ([eqn: C]는 적분상수)

(나)에서 [eqn: C- int _{0} ^{1} {} LEFT ( t ^{2} +2at+C RIGHT ) dt][eqn: = {2} over {3}]

[eqn: C- LEFT ( {1} over {3} +a+C RIGHT )][eqn: = {2} over {3}]에서 [eqn: a= it -1]

[eqn: int _{0} ^{1} {} g LEFT ( t RIGHT ) dt][eqn: =a]에서 [eqn: LEFT [ {1} over {3} t ^{3} -t ^{2} +Ct RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: = it -1]

즉, [eqn: C][eqn: = it - {1} over {3}]이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -2x- {1} over {3}]

따라서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1-2- {1} over {3}][eqn: = it - {4} over {3}]

(가) [eqn: f(x)][eqn: =2x+2 int _{0} ^{1} {g(t)} dt]

(나) [eqn: g(0)- int _{0} ^{1} {g(t)} dt= {2} over {3}]

[eqn: g(1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: - {5} over {3}]	③ [eqn: - {4} over {3}]

④ [eqn: -1]	⑤ [eqn: - {2} over {3}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 17

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT )} dt`=k]([eqn: k]는 상수)로 놓으면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +kx]

이때

[eqn: k`][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT ( 4t ^{3} +kt RIGHT )} dt]
[eqn: = LEFT [ pile{`#`} t ^{4} + {k} over {2} t ^{2}` RIGHT ] _{0} ^{1}]
[eqn: =1+ {k} over {2}]

이므로 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +2x]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4+2=6]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +x int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT )} dt`]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 16

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: a= int_{0}^{1}|f(t)| d t]라 하면 [eqn: a>0]이고

[eqn: f(x)=x^{3}-4 a x]

[eqn: f(1)=1-4 a>0]에서 [eqn: a<{1} over {4}]

따라서 [eqn: 0<a<{1} over {4}]이다.

[eqn: f(x)=x left(x^{2}-4 a right)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= +- 2 sqrt{a}]

[eqn: 0<x<2 sqrt{a}]일 때 [eqn: f(x)<0]이고 [eqn: x geq 2 sqrt{a}]일 때

[eqn: f(x) geq 0]이다.

[eqn: 0<a<{1} over {4}]에서 [eqn: 2 sqrt{a}<1]이므로

[eqn: a][eqn: = int _{0} ^{2 sqrt {a}} {} LEFT { -f(t) it RIGHT } dt+ int _{2 sqrt {a}} ^{1} {} f(t)dt]
[eqn: = int_{0}^{2 sqrt{a}} left(-t^{3}+4 a t right) d t+ int_{2 sqrt{a}}^{1} left(t^{3}-4 a t right) d t]
[eqn: = left[ pile{it #it} -{1} over {4} t^{4}+2 a t^{2} right]_{0}^{2 sqrt{a}}+ left[ pile{it #it} {1} over {4} t^{4}-2 a t^{2} right]_{2 sqrt{a}}^{1}]
[eqn: =8 a^{2}-2 a+{1} over {4}]

[eqn: 8 a^{2}-3 a+{1} over {4}=0]에서

[eqn: 32 a^{2}-12 a+1=0], [eqn: (4 a-1)(8 a-1)=0]

[eqn: 0<a<{1} over {4}]이므로 [eqn: a={1} over {8}]이고

[eqn: f(x)=x^{3}-{1} over {2} x]

이때, [eqn: f(2)=2^{3}-{1} over {2} times 2=7]

[eqn: f(x)=x^{3}-4 x int_{0}^{1}|f(t)| d t]

를 만족시킨다. [eqn: f(1)>0]일 때, [eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
02 정적분으로 정의된 함수1 (적분함수)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 7

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: 0=1+a-3], [eqn: a=2]

미분하면 [eqn: f(x)=3 x^{2}+a=3 x^{2}+2]

[eqn: therefore~f(a)=f(2)=12+2=14]

[eqn: int_{1}^{x} f(t) d t=x^{3}+a x-3]

을 만족시킬 때, [eqn: f(a)]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: rm 10]	② [eqn: rm 11]	③ [eqn: rm 12]

④ [eqn: rm 13]	⑤ [eqn: rm 14]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 16

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 3 x f(x)=9 int_{1}^{x} f(t) d t+2 x]의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 3 f(1)=0+2], [eqn: f(1)={2} over {3}]

[eqn: 3 x f(x)=9 int_{1}^{x} f(t) d t+2 x]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 3 left{ f(x)+x f `prime (x) it right} =9 f(x)+2]

[eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 3 left{ f(1)+f `prime (1) it right} =9 f(1)+2]

[eqn: 3 f `prime (1)=6 f(1)+2=6 times {2} over {3}+2=6]

따라서 [eqn: f `prime (1)=2]

[eqn: 3 x f(x)=9 int_{1}^{x} f(t) d t+2 x]

를 만족시킬 때, [eqn: f `prime (1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 11

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^09^평가원^중}}]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: x f(x)=2 x^{3}+a x^{2}+3 a+ int_{1}^{x} f(t) d t][eqn: cdots cdots] ㉠

㉠의 양변에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f(1)=2+a+3 a+0=4 a+2][eqn: cdots cdots] ㉡

㉠의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: 0=3 a+ int_{1}^{0} f(t) d t=3 a- int_{0}^{1} f(t) d t]

[eqn: int_{0}^{1} f(t) d t=3 a][eqn: cdots cdots] ㉢

[eqn: f(1)= int_{0}^{1} f(t) d t]이므로 ㉡, ㉢에서

[eqn: 4 a+2=3 a]

따라서 [eqn: a=-2]이고 [eqn: f(1)=-6]이다.

[eqn: x f(x)=2 x^{3}-2 x^{2}-6+ int_{1}^{x} f(t) d t]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)+x f `prime (x)=6 x^{2}-4 x+f(x)]

[eqn: x f `prime (x)=6 x^{2}-4 x]

[eqn: f `prime (x)=6 x-4]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = int f `prime (x) d x]
[eqn: = int(6 x-4) d x]
[eqn: left.=3 x^{2}-4 x+C](단, [eqn: C]는 적분상수[eqn: right)]

[eqn: f(1) =3-4+C=-6]에서 [eqn: C=-5]

따라서 [eqn: f(x)=3 x^{2}-4 x-5]이므로

[eqn: a+f(3)=-2+10=8]

[eqn: xf LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +ax ^{2} +3a+ int _{1} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT )} dt]

를 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = int _{0} ^{1} {f LEFT ( t RIGHT )} dt]일 때, [eqn: a+f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
04 정적분으로 정의된 함수3 (정적분의 기본정리)

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^경찰대^중}}]가 다음 조건을 만족시킬 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

조건 (가)로부터

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )+x^2 +2ax -3]

[eqn: = 2 f LEFT ( x RIGHT ) -3x - LEFT { 2 f LEFT ( 1 RIGHT )-3 RIGHT }]
[eqn: =2 f LEFT ( x RIGHT )-3x-2f LEFT ( 1 RIGHT )+3]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x^2 + LEFT ( 2a+3 RIGHT )x +2f LEFT ( 1 RIGHT )-6]

위 식에서 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=1+2a+3+2 f LEFT ( 1 RIGHT )-6]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )=-2a-2]

[eqn: THEREFORE ```` f LEFT ( x RIGHT )= x^2 + LEFT ( 2a+3 RIGHT )x -4a-2]

조건 (나)로부터

[eqn: lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3-h RIGHT )} over {h}]

[eqn: =lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT ( 3+h RIGHT )-f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 3-h RIGHT )} over {h}]

[eqn: =lim _{h ``->`` 0} LEFT[ {f LEFT ( 3+h RIGHT )-f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h} - {f LEFT ( 3-h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )}over{h} RIGHT ]]

[eqn: =lim _{h ``->`` 0} LEFT[ {f LEFT ( 3+h RIGHT )-f LEFT ( 3 RIGHT )} over {h} + {f LEFT ( 3-h RIGHT ) -f LEFT ( 3 RIGHT )}over{-h} RIGHT ]]

[eqn: =f' LEFT ( 3 RIGHT )+f' LEFT ( 3 RIGHT )=2f' LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: 2 f' LEFT ( 3 RIGHT )=6]이므로 [eqn: f ' LEFT ( 3 RIGHT )=3]

[eqn: therefore][eqn: f' LEFT ( x RIGHT )= 2x+2a+3]

즉, [eqn: f ' LEFT ( 3 RIGHT )=2a+9 =3]이므로 [eqn: a=-3]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: {d} over {dx} LEFT { int _{1} ^{x} {} LEFT ( f LEFT ( t RIGHT ) +t ^{2} +2at-3 RIGHT ) dt RIGHT }]
[eqn: = int _{1} ^{x} {} LEFT { {d} over {dt} LEFT ( 2f LEFT ( t RIGHT ) -3t+7 RIGHT ) RIGHT } dt]

(나) [eqn: lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT ( 3+h RIGHT ) -f LEFT ( 3-h RIGHT )} over {h}][eqn: =6]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
05 활용1 (극한)

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 23

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^7^경찰대^중}}]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {} {g LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}][eqn: = it 2] 에서 [eqn: x ``->`` 1]일 때 (분모)[eqn: ``->`` 0]이므로 (분자)[eqn: ``->`` 0]이다.

즉, [eqn: lim _{x ``->`` 1} {g LEFT ( x RIGHT ) =0}]이므로 [eqn: g(1)=0] 이다.

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {} {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =g ``{'} (1)=2]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{it -1} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt]에서 [eqn: x=-1]을 대입하면 [eqn: g(-1)=0]

양변을 미분하면 [eqn: g prime (x)= {d} over {dx} int _{-1} ^{x} {f(t)dt } =f(x)]

그런데, [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 최고차함의 계수가 [eqn: {1} over {3}]이고

[eqn: g(1)=0], [eqn: g(-1)=0], [eqn: g ``{prime } (1)=2]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {3} (x-1)(x+1)(x- alpha )]
[eqn: = {1} over {3} LEFT { (x ^{2} -1)(x- alpha ) RIGHT }]

양변을 미분하면

[eqn: g ``{prime } LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} LEFT { 2x(x- alpha )+(x ^{2} -1) RIGHT }]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이므로

[eqn: g ``{prime } LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {1} over {3} LEFT { 2 TIMES 1 TIMES (1- alpha )+(1-1) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {3} LEFT { 2-2 alpha RIGHT } =2]

즉, [eqn: 2 alpha =-4]이므로 [eqn: alpha =-2]

㉠에 대입하면

[eqn: g ``{prime } LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {3} LEFT { 2x(x+2)+(x ^{2} -1) RIGHT }]
[eqn: =x ^{2} + {4} over {3} x- {1} over {3}]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} + {4} over {3} x- {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE ```` f(4)=4 ^{2} - {4} over {3} TIMES 4- {1} over {3} =21]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{it -1} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt]

이다. [eqn: lim _{x ``->`` 1} {} {g LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}][eqn: = it 2]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 13

다항함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: G(x)= int_{1}^{x}(x-t) f(t) d t]라 하자.

함수 [eqn: G(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {1} over {x-2} int_{1}^{x}(x-t) f(t) d t= lim _{x ``rarrow`` 2} {G(x)} over {x-2}=3]에서

[eqn: G(2)=0], [eqn: G `prime (2)=3]

[eqn: G(x)=x int_{1}^{x} f(t) d t- int_{1}^{x} t f(t) d t]에서

[eqn: G `prime (x)= int_{1}^{x} f(t) d t+x f(x)-x f(x)= int_{1}^{x} f(t) d t]

[eqn: G `prime (2)= int_{1}^{2} f(t) d t=3]

[eqn: G(2)=2 int_{1}^{2} f(t) d t- int_{1}^{2} t f(t) d t=0]에서

[eqn: int_{1}^{2} t f(t) d t=2 int_{1}^{2} f(t) d t=6]

따라서

[eqn: int_{1}^{2}(4 x+1) f(x) d x][eqn: =4 int_{1}^{2} x f(x) d x+ int_{1}^{2} f(x) d x]
[eqn: =4 times 6+3=27]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {1} over {x-2} int_{1}^{x}(x-t) f(t) d t=3]

을 만족시킬 때, [eqn: int_{1}^{2}(4 x+1) f(x) d x]의 값은?

① [eqn: rm 15]	② [eqn: rm 18]	③ [eqn: rm 21]

④ [eqn: rm 24]	⑤ [eqn: rm 27]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
06 활용2 (극대와 극소)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 20

실수 [eqn: {a}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}] ([eqn: a>1])에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]라 하자. 함수	[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) dt- int _{0} ^{x} {} t ^{2} f LEFT ( t RIGHT ) dt]가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 [eqn: a]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(x)=x ^{2} int _{0} ^{x} {f(t) dt} - int _{0} ^{x} {t ^{2} f(t) dt }]의 양변을 미분하면

[eqn: g prime (x)][eqn: =2x ^{} int _{0} ^{x} {f(t) dt} - x ^{2} f(x)+x ^{2} f(x)]
[eqn: =2x ^{} int _{0} ^{x} {f(t) dt}]

(ⅰ) [eqn: 0<x<1]일 때,
[eqn: 2x >0], [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} >0]이므로 [eqn: g'(x)>0]

(ⅱ) [eqn: -1<x<0]일 때,
[eqn: 2x <0], [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} <0]이므로 [eqn: g'(x)>0]

따라서 [eqn: x=0]에서 [eqn: g(x)]는 극값을 갖지 않는다.

(ⅲ) [eqn: x < -1]인 경우
[eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt}]의 값이 [eqn: x < -1]인 어떤 점에서 [eqn: g'(x)]가 [eqn: -]에서 [eqn: +]으로 바뀌는 극솟값을 갖게 된다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: g(x)]가 극값을 [eqn: 1]개 가지므로 [eqn: x>1]인 경우에 극값을 갖지 않아야 한다.

즉 [eqn: x>1]에서 항상 [eqn: int _{0} ^{x} {f(t) dt} GEQ 0]이 성립해야 하므로 최대가 되는 [eqn: a]의 값은 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x) dx} =- int _{1} ^{a} {f(x) dx}]일 때이다.

즉, [eqn: int _{0} ^{a} {f(x) dx =0}]이 성립할 때 [eqn: a]가 최대가 된다.

[eqn: int _{0} ^{a} {f(x) dx][eqn: =} LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {1} over {3} ax ^{3} - {1} over {2} x ^{2} +ax RIGHT ] _{0}^{a}]
[eqn: = {1} over {4} a ^{4} - {1} over {3} a ^{4} - {1} over {2} a ^{2} +a ^{2}]
[eqn: =a ^{2} (a ^{2} -6)=0]

[eqn: therefore][eqn: a=0,````-root6 ,````root6]

그런데 [eqn: a>1]이므로 [eqn: a= sqrt {6}]

① [eqn: {9 sqrt {2}} over {8}]	② [eqn: {3 sqrt {6}} over {4}]	③ [eqn: {3 sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 20

실수 [eqn: a]와 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -12x ^{2} +45x+3]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt- int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{5}} dt]

양변을 미분하면

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt+f LEFT ( x RIGHT ) TIMES LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{4} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{5}]
[eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: = LEFT ( 3x ^{2} -24x+45 RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]
[eqn: =3 LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-5 RIGHT ) int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]

[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5] 또는 [eqn: int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]

그런데 조건에서 극값이 오직 하나이므로 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =0]의 근은 오직 하나이어야 한다.

즉, [eqn: int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]이 [eqn: x=3] 또는 [eqn: x=5]를 반드시 근으로 가져야 한다. 즉, [eqn: int _{a} ^{3} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0] 또는 [eqn: int _{a} ^{5} {LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt=0]가 성립해야 한다.

따라서 [eqn: a=3] 또는 [eqn: a=5]

즉, 만족하는 모든 [eqn: a]값의 합은 [eqn: 8]이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{a} ^{x} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } TIMES LEFT { f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } ^{4}} dt]

가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 2]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)= int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=4]에서 극소이다. [eqn: f(0)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq 0]이면

[eqn: g(x)][eqn: = int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]
[eqn: = int_{x}^{x+1} f(t) d t]

이므로 [eqn: g(x)]는 이차함수이고 이때 [eqn: g(x)]가 극소인 [eqn: x]의 값은 [eqn: rm 1]개뿐이다.

따라서 조건을 만족시키지 못한다.

[eqn: f(x)=2(x- alpha)(x- beta)( alpha< beta)]라 하면

함수 [eqn: y=|f(x)|]의 그래프는 그림과 같고

[eqn: x=1], [eqn: x=4]에서 함수 [eqn: g(x)]가 극소이므로 [eqn: g `prime (1)=0], [eqn: g `prime (4)=0]이다.

(i) [eqn: x< alpha<x+1]일 때

[eqn: g(x)]

[eqn: = int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]

[eqn: = int_{x}^{ alpha} f(t) d t+ int_{ alpha}^{x+1} left{ -f(t) it right} d t]

[eqn: =- int_{ alpha}^{x} f(t) d t- int_{ alpha}^{x+1} f(t) d t]

[eqn: =- int_{ alpha}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: - int _{alpha } ^{x+1} {} 2(t- alpha )(t- beta )dt]

[eqn: =- int_{ alpha}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: - int _{alpha -1} ^{x} {} 2(t+1- alpha )(t+1- beta )dt]

[eqn: ~]이므로

[eqn: ~ g `prime (x)=-2(x- alpha)(x- beta)][eqn: -2(x+1`- alpha )(x+1- beta )]

[eqn: g `prime (1)=-2(1- alpha)(1- beta)-2(2- alpha)(2- beta)]

[eqn: =-6 alpha +6 beta -4 alpha beta -10=0]

[eqn: 3 alpha +3 beta -2 alpha beta -5=0 CDOTS CDOTS]㉠
(ii) [eqn: x< beta<x+1]일 때
[eqn: g(x)]
[eqn: = int_{x}^{x+1}|f(t)| d t]
[eqn: = int_{x}^{ beta} left{ -f(t) it right} d t+ int_{ beta}^{x+1} f(t) d t]
[eqn: = int_{ beta}^{x} f(t) d t+ int_{ beta}^{x+1} f(t) d t]
[eqn: = int_{ beta}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: ~ + int_{ beta}^{x+1} 2(t- alpha)(t- beta) d t]

[eqn: = int_{ beta}^{x} 2(t- alpha)(t- beta) d t][eqn: ~ + int_{ beta-1}^{x} 2(t+1- alpha)(t+1- beta) d t]

이므로

[eqn: g `prime (x)=2(x- alpha)(x- beta)][eqn: +2(x+1`- alpha )(x+1- beta )]

[eqn: g `prime (4)=2(4- alpha)(4- beta)+2(5- alpha)(5- beta)]

[eqn: =82-18 alpha-18 beta+4 alpha beta=0]

[eqn: 9 alpha +9 beta -2 alpha beta -41=0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: alphabeta= 13over2]이므로

[eqn: f left ( 0 right ) = 2alphabeta = 2 times 13 over2 = 13]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
07 활용3 (최대와 최소)

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

함수

[정답] ②

[해설]

[eqn: g(x)][eqn: = int_-1^x {f(t) left{` 2x - f(t) `right} dt]
[eqn: =2x int _{ -1} ^{x } {f(t)dt } - int _{ -1} ^{x } left{f(t) right }^2 dt]

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 int _{ -1} ^{x } { f(t)dt + 2xf(x) - left{ f(x)right}^2}]

(ⅰ) [eqn: x< -1]일 때,
[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 int _{ -1} ^{x } {0dt + 2x cdot0- left{0 right}^2}][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: -1 le x <0]일 때,

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 int _{ -1} ^{x } { (1+t) dt + 2x(1+x) - left( 1+x right )^2}]
[eqn: = left[ pile{ `#` } (1+t)^2 right]_-1 ^x + x^2 -1]
[eqn: =(1+x)^2 +x^2 -1]
[eqn: =2x^2 +2x]
[eqn: =2 x(x+1)]

(ⅲ) [eqn: 0 le x <1]일 때,

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 left{ int _{ -1} ^{0 } { (1+t) dt +int _{ 0} ^{x } (1-t) dt right }]
[eqn: + 2x(1-x) - left( 1-x right )^2}]
[eqn: = 1- left[ pile{ `#` } (1-t)^2 right]_0 ^x -3 x^2 +4x -1]
[eqn: =-(1-x)^2 +1 -3 x^2 +4x]
[eqn: =-4x^2 +6x]
[eqn: =-2 x(2x+3)]

(ⅳ) [eqn: x ge 1]일 때,

[eqn: g``'(x)][eqn: = 2 left{ int _{ -1} ^{0 } { (1+t) dt +int _{ 0} ^{1 } (1-t) dt + int _{ 1} ^{x } {0 dt } right }]
[eqn: + 2x cdot 0- left( 0 right )^2}]
[eqn: = 2 left ( 1over 2 + 1over 2 right)][eqn: =2]

따라서 [eqn: y=g``'(x)]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 [eqn: x=0]일 때, 극소이면서 최소가 되므로 최솟값은 [eqn: g(0)]이다.

[eqn: therefore][eqn: g(0)][eqn: =2 cdot 0 cdot int _{ -1} ^{0 } { (1+t)dt } - int _{ -1} ^{0 } (1+t)^2 dt]
[eqn: =0 - left[ 1over 3 (1+t)^3 right]_-1 ^0]
[eqn: = - 1 over 3 from 넘버41]

[eqn: {f(x)= cases{ {1+x &&& (-1 le x < 0)} # 1-x &&& (0 le x le1) #``````` 0 &&& ( ``|`` x ``|`` >1)}} }]

에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[eqn: g(x)= int_-1^x {f(t) left{` 2x - f(t) `right} dt]

라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 최솟값은?

① [eqn: - 1over4]	② [eqn: - 1over3]	③ [eqn: - 5 over12]

④ [eqn: - 1over2]	⑤ [eqn: - 7 over12]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: n-1 leq x leq n]일 때,

[eqn: f(x)=6(x-n+1)(x-n)] 또는

[eqn: f(x)=`-6(x-n+1)(x-n)]

열린구간 [eqn: left(0,``4right)`]에서 함수 [eqn: g left(x right)`]는 미분가능하고, 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: rm 0]를 가지므로

[eqn: g left(2right)=0], [eqn: g`prime left(2right)=0]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t- int_{x}^{4} f(t) d t]에서

[eqn: g`prime left(x right)=2f left(x right)]

함수 [eqn: g left(x right)`]가 [eqn: x=2`]에서 최솟값을 가지므로 [eqn: x=2`]에서 극솟값을 가져야 한다.

따라서 [eqn: 1le x <3`]에서 함수 [eqn: f left(x right)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(2)= int_{0}^{2} f(t) d t- int_{2}^{4} f(t) d t=0]에서

[eqn: int_{0}^{2} f(t) d t= int_{2}^{4} f(t) d t]

따라서 닫힌구간 [eqn: [0,``4]]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: therefore] [eqn: int_{{1} over {2}}^{4} f(x) d x][eqn: = int_{{1} over {2}}^{1} f(x) d x+ int_{1}^{2} f(x) d x+ int_{2}^{3} f(x) d x]
[eqn: + int_{3}^{4} f(x) d x]
[eqn: = int_{{1} over {2}}^{1} f(x) d x- int_{0}^{1} f(x) d x+ int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: - int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: =`- int_{0}^{{1} over {2}} f(x) d x]
[eqn: =`- int_{0}^{{1} over {2}} left{ -6 x(x-1) it right} d x]
[eqn: = int_{0}^{{1} over {2}} left(6 x^{2}-6 x right) d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} 2 x^{3}-3 x^{2} right]_{0}^{{1} over {2}}]
[eqn: =`-{1} over {2}]

[eqn: n-1 LEQ x<n]일 때, [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = LEFT | 6 LEFT ( x-n+1 RIGHT ) LEFT ( x-n RIGHT ) RIGHT |]이다.

(단, [eqn: n]은 자연수이다.)

열린구간 [eqn: LEFT (0,`` 4 RIGHT )]에서 정의된 함수

[eqn: g LEFT (x RIGHT )= int _{0} ^{x} {} f LEFT (t RIGHT )dt- int _{x} ^{4} {} f LEFT (t RIGHT )dt]

가 [eqn: x=2]에서 최솟값 [eqn: rm 0]을 가질 때, [eqn: int _{{1} over {2}} ^{4} {} f LEFT (x RIGHT )dx]의 값은?

① [eqn: -{3} over {2}]	② [eqn: -{1} over {2}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
09 활용5 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 20

최고차항의 계수가 [eqn: {4}{{from^2020^10^서울고3나^5}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +x f ' LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }][eqn: = it -x f ' LEFT ( x RIGHT )]

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 4]이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )]는 이차항의 계수가 [eqn: 12]인 이차함수이다.

그러므로 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -x f ' LEFT ( x RIGHT )]에서 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: -12]인 삼차함수이다.

또, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) LEQ g LEFT ( 3 RIGHT )]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 최댓값을 가지고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 극값을 가진다.

즉, [eqn: g prime LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =0]

그러므로 [eqn: f ' LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =-12x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]

사차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 오직 [eqn: 1]개의 극값을 가지므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극값을 가질 수 없다.

즉, [eqn: a][eqn: =0]

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -12x ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )][eqn: = it -12x ^{3} +36x ^{2}]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {} g' LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ -3x ^{4} +12x ^{3} pile{it#it} RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: =9]

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {f(t) dt} -xf(x)]

라 하자. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) LEQ g(3)]이고 함수 [eqn: g(x)]는 오직 [eqn: 1]개의 극값만 가진다. [eqn: int _{0} ^{1} {g prime (x) dx}]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t+f(x)]에서

[eqn: g `prime (x)=f(x)+f `prime (x)]

[eqn: g(0)= int_{0}^{0} f(t) d t+f(0)=0+f(0)]

[eqn: g `prime (0)=f(0)+f `prime (0)]

조건 (가)에 의해

[eqn: g(0)=f(0)=0]

[eqn: g `prime (0)=f(0)+f `prime (0)=0+f `prime (0)=0]이므로 [eqn: f `prime (0)=0]

그러므로 [eqn: x^{2}]은 [eqn: f(x)]의 인수이다.

[eqn: f(x)=x^{2}(x-k)(]단, [eqn: k]는 상수 [eqn: )]라 하면

[eqn: g `prime (x)=x^{3}-k x^{2}+3 x^{2}-2 k x]

[eqn: ~ =x^{3}+(3-k) x^{2}-2 k x]

조건 (나)에 의해 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: g `prime (-x)=-g `prime (x)]가 성립한다.

즉, [eqn: -x^{3}+(3-k) x^{2}+2 k x=-x^{3}-(3-k) x^{2}+2 k x],

[eqn: 2(3-k) x^{2}=0]에서 [eqn: k=3]

그러므로 [eqn: f(x)=x^{2}(x-3)]

따라서 [eqn: f(2)=-4]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c]라고 놓으면

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x+b]

조건 (가)에 의해 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: c=0],

[eqn: f `prime (0)=0]이므로 [eqn: b=0]

즉, [eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}]

[eqn: g `prime (x)=f(x)+f `prime (x)]

[eqn: ~ =x^{3}+a x^{2}+3 x^{2}+2 a x]

[eqn: ~ =x^{3}+(a+3) x^{2}+2 a x]

조건 (나)에 의해 함수 [eqn: y=g `prime (x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이므로 [eqn: x^{2}]의 계수는 [eqn: rm 0]이다. 즉, [eqn: a=-3]

따라서 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2}]에서 [eqn: f(2)=8-12=-4]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t+f(x)]

라 할 때, 함수 [eqn: g(x)]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: rm 0]을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]의 도함수 [eqn: y=g `prime (x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: f(2)]의 값은?

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

두 함수 [eqn: f(x)=IT-x^{2}+4 x], [eqn: g(x)=2 x-a]에 대하여 함수 [eqn: h(x)={1} over {2} left{ f(x)+g(x)+|`f(x)-g(x)`| it right}]가 극솟값 [eqn: rm 3]을 가질 때, [eqn: int_{0}^{4} h(x) d x]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] [eqn: rm 13]

[해설]

[eqn: f(x)={ f(x) (f(x) > = g(x))]

[eqn: g(x) (f(x)<g(x))]

[eqn: rm 3]이 극솟값이면 그림과 같이 직선 [eqn: g(x)=2 x-a]는 점 [eqn: (3,``3)]을 지난다

따라서 [eqn: a=it-3]

[eqn: int_{0}^{4} h(x) d x][eqn: = int_{0}^{3} left(-x^{2}+4 x right) d x+ int_{3}^{4}(2 x-3) d x][eqn: = left[ pile{it #it} -{1} over {3} x^{3}+2 x^{2} right]_{0}^{3}+ left[ pile{it #it} x^{2}-3 x right]_{3}^{4}]
[eqn: =13]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 30

최고차항의 계수가 [eqn: rm 4]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 432]

[해설]

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: rm 4]인 삼차함수이므로 [eqn: g(x)= int_{t}^{x} f(s) d s]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인

사차함수이고 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g(x)-g(a)]는 미분가능하다.

[eqn: g(x) geq g(a)]일 때, [eqn: |g(x)-g(a)|=g(x)-g(a)][eqn: g(x)<g(a)]일 때, [eqn: |g(x)-g(a)|=- left{ g(x)-g(a) it right}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]은 [eqn: g(x)-g(a) neq 0]인

모든 [eqn: x]에서 미분가능하다.

[eqn: g(x)-g(a)=0]를 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: k]라 하면, [eqn: g(k)=g(a)]이므로

[eqn: {|g(x)-g(a)|-|g(k)-g(a)|} over {x-k}={|g(x)-g(k)|} over {x-k}]

(i) [eqn: x=k]의 좌우에서 [eqn: g(x)-g(a)]의 부호가 같을 때

[eqn: lim _{x`` rarrow ``k-} {} {vert g(x)-g(k)vert } over {x-k} = lim _{x`` rarrow ``k+} {} {vert g(x)-g(k)vert } over {x-k}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]는 [eqn: x=k]에서 미분가능하다.

(ii) [eqn: x=k]의 좌우에서 [eqn: g(x)-g(a)]의 부호가 다르다고 [eqn: f(k)=0]일 때

[eqn: lim _{x ``rarrow`` k-} {|g(x)-g(k)|} over {x-k}= lim _{x ``rarrow`` k+} {|g(x)-g(k)|} over {x-k}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]는 [eqn: x=k]에서 미분가능하다.

(iii) [eqn: x=k]의 좌우에서 [eqn: g(x)-g(a)]의 부호가 다르고. [eqn: f(k) neq 0]일 때,

[eqn: lim _{x`` rarrow ``k-} {} {vert g(x)-g(a)vert } over {x-k} != lim _{x`` rarrow ``k+} {} {vert g(x)-g(a)vert } over {x-k}]

이므로 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]는 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않다.

(나)에서 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: g(x)-g(a)=0], [eqn: g `prime (x)=f(x) neq 0]

인 [eqn: x]가 단 하나 존재한다는 것을 알 수 있다.

그러므로 사차함수 [eqn: y=g(x)]는 단 하나의 극솟값을 갖고 함수 [eqn: g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=g(a)]는 서로 다른 두 점에서 만난다.

[eqn: g `prime (x)=0]인 방정식 [eqn: g(x)-g(a)=0]의 근을 [eqn: alpha],

함수 [eqn: g(x)]가 극솟값을 가질 때의 [eqn: x]의 값을 [eqn: beta]라

하면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 대소관계에 따라 다음과 같이 두 경우

로 나눌 수 있다.

(i) [eqn: alpha< beta]인 경우 [eqn: (]단, [eqn: g( gamma)=g( alpha),`` beta< gamma)]

함수 [eqn: y=g(x)]의 도함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그려 보면

[eqn: g( alpha)=g( gamma)=g(a)]이므로 [eqn: alpha=a] 또는 [eqn: gamma=a]

(가)에서 [eqn: f `prime (a)=0]이므로 [eqn: alpha=a]이다.

따라서 [eqn: f(x)=4(x-a)^{2}(x- beta)]이다.

[eqn: h(t)=g(a)= int_{t}^{a} f(s) d s=- int_{a}^{t} f(s) d s]에서

[eqn: h `prime (t)=-f(t)]

함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=2]에서 최댓값, 즉 극댓값을 가지

므로 [eqn: h `prime (2)=-f(2)=0]

따라서 [eqn: a=2] 또는 [eqn: beta=2]이다.

[eqn: a=2]이면 [eqn: h(2)= int_{2}^{2} f(t) d t=0 neq 27]

이므로 [eqn: a neq 2]

[eqn: beta=2]이면

[eqn: h(3)= int_{3}^{a} f(s) d s=0]이고,

[eqn: h(2)= int_{2}^{a} f(s) d s=27]이므로

[eqn: h(2)-h(3)= int_{2}^{3} f(s) d s=27]이다.

[eqn: int_{2}^{3} f(s) d s]

[eqn: = int_{2}^{3} 4(s-a)^{2}(s-2) d s]

[eqn: = int_{2}^{3} 4 left{ s^{3}-2(a+1) s^{2}+ left(a^{2}+4 a right) s-2 a^{2} it right} d s]

[eqn: = left[ pile{it #it} s^{4}-{8} over {3}(a+1) s^{3}+2 left(a^{2}+4 a right) s^{2}-8 a^{2} s right]_{2}^{3}]

[eqn: =65-{152} over {3}(a+1)+10 left(a^{2}+4 a right)-8 a^{2}]

[eqn: =2 a^{2}-{32} over {3} a+{43} over {3}=27] 이므로

[eqn: 3 a^{2}-16 a-19=0]

[eqn: (a+1)(3 a-19)=0]

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a={19} over {3}]

[eqn: a<2]이므로 [eqn: a=-1]이다.

[eqn: f(x)=4(x+1)^{2}(x-2)]라 하면 함수 [eqn: f(x)]는 주어진 조건을 만족시킨다.

(ii) [eqn: alpha> beta]인 경우 [eqn: (]단, [eqn: g( gamma)=g( alpha),`` gamma< beta)]

함수 [eqn: y=g(x)]의 도함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 그려 보면

(가)에서 [eqn: f `prime (a)=0]이므로 [eqn: alpha=a]이다.

따라서 [eqn: f(x)=4(x-a)^{2}(x- beta)]이다.

[eqn: alpha< beta]인 경우와 마찬가지로 [eqn: beta=2]이다.

[eqn: f(x)=4(x-a)^{2}(x-2)]

[eqn: a neq 3]이면 [eqn: h(3)= int_{3}^{a} f(s) d s neq 0]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: f(x)=4(x-3)^{2}(x-2)]이고

[eqn: h(2)= int_{2}^{a} f(s) d s= int_{2}^{3} 4(s-3)^{2}(s-2) d s={1} over {3}]

[eqn: h(2) neq 27]이므로 주어진 조건을 만족시키는 함수[eqn: f(x)]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: f(x)=4(x+1)^{2}(x-2)]이다.

[eqn: f(5)=4 times 36 times 3=432]

[eqn: g(x)= int_{t}^{x} f(s) d s]

라 하자. 상수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f `prime (a)=0]

(나) 함수 [eqn: |g(x)-g(a)|]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(a)]의 값을 [eqn: h(t)]라 할 때, [eqn: h(3)=0]이고 함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t=2]에서 최댓값 [eqn: rm 27]을 가진다.

[eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 22

양수 [eqn: a`]와 일차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: g ` prime(x)][eqn: =left(x^2 -4 right) left{ left| f(x) right| -a right} `]에서 [eqn: x][eqn: =it -2], [eqn: x][eqn: =2`]가 방정식 [eqn: g ` prime(x)][eqn: =0`]의 근이지만 조건 (가)에서 함수 [eqn: g(x)`]가 극값을 갖지 않아야 하므로 [eqn: x][eqn: =it -2]와 [eqn: x][eqn: =2`]의 좌우에서 [eqn: g`prime(x)`]의 부호가 변하지 않아야 하고,

[eqn: lim _ {x ` rarrow ` inf } left{ left | f(x) right| -a right][eqn: =lim _ {x ` rarrow ` -inf } left{ left | f(x) right| -a right][eqn: =inf`]이므로 [eqn: g`prime(x)], [eqn: x^2 -4], [eqn: left| f(x) right| -a`]의 부호를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g`prime(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: x^2 -4]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: left| f(x) right| -a]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]

함수 [eqn: left| f(x) right| -a`]는 연속함수이므로 사잇값의 정리에 의해 [eqn: left| f(-2) right| -a][eqn: =0`], [eqn: left| f(2) right|-a][eqn: =0]

두 실수 [eqn: m], [eqn: n`]에 대하여 일차함수 [eqn: f(x)][eqn: =mx+n`]이라 하면 [eqn: m!=0`]이고, [eqn: left| 2m+n right|][eqn: = left| -2m+n right|][eqn: =a`]가 성립한다.

(ⅰ) [eqn: 2m+n][eqn: = it -2m+n`]인 경우
[eqn: m=0`]이 되어 모순이다.

(ⅱ) [eqn: 2m+n][eqn: = it-( -2m+n)`]인 경우
[eqn: n=0`]이고 [eqn: left|m right| = a over2 `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: left| f(x) right|][eqn: = left| mx right|][eqn: = a over 2 left|x right|]

[eqn: g(2)][eqn: =int _0 ^2 left( t^2 -4 right) left{ left| f(t) right| -a right}dt]
[eqn: = int _0 ^2 left( t^2 -4 right) left( a over2 left |t right| -a right) dt]

닫힌구간 [eqn: left[ 0,``2 right]]에서 [eqn: left | t right|][eqn: =t`]이므로

[eqn: g(2)][eqn: = a over2 int_0 ^2 left( t^2 -4 right) (t-2) dt]
[eqn: = a over2 int _0 ^2 (t^3 -2t^2 -4t+8) dt]
[eqn: = a over 2 left[ pile{`#`}1over4 t^4 - 2 over3 t^3 -2t^2 +8t right] _0 ^2]
[eqn: = a over 2 times left( 4 - 16 over3 -8+16 right)][eqn: = 10 over3 a]

조건 (나)에서 [eqn: g(2)][eqn: =5`]이므로 [eqn: 10 over3 a][eqn: =5], [eqn: a][eqn: = 3 over2]

[eqn: g(0)][eqn: = int_ 0^0 left( t^2 -4 right) left( 3 over4 left |t right| - 3over2 right) dt][eqn: =0`]이고

닫힌구간 [eqn: left[ -4, ``0 right]`]에서 [eqn: left| t right|][eqn: = it - t`]이므로

[eqn: g(-4)][eqn: = int_ 0^-4left( t^2 -4 right) left( 3 over4 left |t right| - 3over2 right) dt]
[eqn: = 3over4 int_0 ^-4 left( t^2 -4 right) left(-t -2 right) dt]
[eqn: = 3over4 int_0 ^-4 left(-t^3 -2t^2 +4t+8 right) dt]
[eqn: = it -16]

따라서 [eqn: g(0)-g(-4)][eqn: =0-(-16)][eqn: =16]

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) LEFT { LEFT | f ( t ) RIGHT | -a RIGHT }} `dt`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)`]는 극값을 갖지 않는다.

(나) [eqn: g(2)=5]

[eqn: g(0)-g ( -4 )`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 20

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 110]

[해설]

[eqn: f(x+1) - x f(x) = ax + b]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: f(1) = b]

닫힌구간 [eqn: left [` 0,~ 1 ` right ]]에서 [eqn: f(x) = x]이므로

[eqn: b=1]

또, [eqn: f(x+1) - x f(x) = ax + 1]이므로 [eqn: 0 le x le 1]에서

[eqn: f(x+1)][eqn: = x f(x) + ax + 1][eqn: = x^2 + ax + 1]

[eqn: x+1 = t]로 치환하면

[eqn: f(t)][eqn: = (t-1)^2 + a (t-1) + 1]
[eqn: = t^2 + (a-2) t + 2 - a]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: f`' (t) = 2t +( a-2)]이고,

닫힌구간 [eqn: left [` 0,~ 1 ` right ]]에서 [eqn: f(x) = x]이고, 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수이므로 [eqn: f`' (1) = 1]이므로

[eqn: a=1]

따라서 ㉠에서 [eqn: 1 le x le 2]일 때 [eqn: f(x) =x^2 - x + 1]이다.

[eqn: int _{ 1} ^{ 2} { f(x)` dx}][eqn: = int _{1} ^{2} {(x ^{2} -x+1)`dx}]
[eqn: = left [ pile{ `#` } 1 over 3 x^3 - 1 over 2 x^2 + x ` right ]_1 ^2]
[eqn: = 8 over 3 - 5 over 6 = 11 over 6]

즉, [eqn: 60 times int _{ 1} ^{ 2} { f(x)` dx }][eqn: = 60 times 11 over 6][eqn: = 110]

(가) 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,~1` RIGHT ]]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x]이다.

(나) 어떤 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 구간 [eqn: [`0,~ INF `)]에서 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) =ax+b]이다.

[eqn: 60 TIMES int _{1} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(0)=0], [eqn: f(1)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(t)]를

[정답] ⑤

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: ~ f(0)=0], [eqn: f(1)=0]인 삼차함수 [eqn: f(x)]를

[eqn: f(x)=x(x-1)(x-a)] ([eqn: a]는 상수)

라 하자.

ㄱ. [eqn: g(0)= int_{0}^{1} f(x) d x- int_{0}^{1}|f(x)| d x=0]

[eqn: int_{0}^{1} f(x) d x= int_{0}^{1}|f(x)| d x]

따라서 [eqn: 0 leq x leq 1]일 때 [eqn: f(x) geq 0]이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

(i) [eqn: a>1]일 때

(ii) [eqn: a=1]일 때

(i), (ii)에 의하여

[eqn: int_{-1}^{0} f(x) d x<0]

이므로

[eqn: g(-1)= int_{-1}^{0} f(x) d x- int_{0}^{1}|f(x)| d x<0]

이다. (참)

ㄴ. [eqn: g(-1)>0]이면 [eqn: ~ 0 leq x leq 1]일 때, [eqn: f(x) leq 0]이므로

[eqn: g(-1)][eqn: = int _{-1} ^{0} {} f(x)dx- int _{0} ^{1} {} vert f(x)vert dx]
[eqn: = int_{-1}^{0} f(x) d x+ int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} f(x) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} x(x-1)(x-a) d x]
[eqn: = int_{-1}^{1} left{ x^{3}-(a+1) x^{2}+a x it right} d x]
[eqn: =2 int_{0}^{1} left{ -(a+1) x^{2} it right} d x]
[eqn: =2 left[ pile{it #it} -{a+1} over {3} x^{3} right]_{0}^{1}]
[eqn: =-{2(a+1)} over {3}>0]

즉, [eqn: a < it - 1]이므로 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: k < it - 1]인 실수 [eqn: k]가 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: g(-1)=-{2(a+1)} over {3}>1]에서    [eqn: a < it - {5} over {2}]

[eqn: 0 leq x leq 1]일 때 [eqn: f(x) leq 0]이므로

[eqn: g(0)][eqn: = int _{0} ^{1} {} f(x)dx- int _{0} ^{1} {} vert f(x)vert dx]
[eqn: = int_{0}^{1} f(x) d x+ int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: =2 int_{0}^{1} f(x) d x]
[eqn: =2 int_{0}^{1} left{ x^{3}-(a+1) x^{2}+a x it right} d x]
[eqn: =2 left[ pile{it #it} {1} over {4} x^{4}-{a+1} over {3} x^{3}+{a} over {2} x^{2} right]_{0}^{1}]
[eqn: =2 left({1} over {4}-{a+1} over {3}+{a} over {2} right)]
[eqn: ={1} over {3} a-{1} over {6} < it - 1]

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[다른 풀이]

ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx=0}]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ`0]이고 만족하는 경우는 [그림[eqn: 1]]과 [그림[eqn: 2]]와 같다.

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]

따라서 [eqn: 1`LEQ`alpha]이므로 [eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx<0}]이고, [eqn: int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}]이다.

[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx]
[eqn: = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} - int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} <0}]

이다. (참)

ㄴ. [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx>0}}]이면 [eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx>0}]이어야 하므로 만족하는 경우는 [그림[eqn: 3]]과 같다.

[그림[eqn: 3]]

[eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx> int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}}]이므로 [eqn: alpha `<`-1]이다.
따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =0]인 [eqn: k=alpha<`-1]을 만족한다. (참)

ㄷ. [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx>1}}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT )][eqn: =x ^{3} - LEFT ( k+1 RIGHT ) x ^{2} +kx]라 두면

[eqn: int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {k+1} over {3} x ^{3} + {k} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{-1}^{0}]
[eqn: =- {1} over {4} - {k+1} over {3} - {k} over {2}]

[eqn: int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx][eqn: = int _{0} ^{1} {LEFT { -f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx}]
[eqn: = LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} + {k+1} over {3} x ^{3} - {k} over {2} x ^{2} RIGHT ] _{0}^{1}}]
[eqn: =- {1} over {4} + {k+1} over {3} - {k} over {2}]

이므로
[eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) = int _{-1} ^{0} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}}][eqn: =- {2k+2} over {3} >1]
즉, [eqn: 2k+2<`-3]이므로 [eqn: 2k`<`-5], [eqn: k<`- {5} over {2}]

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx- int _{0} ^{1} {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx]
[eqn: =2 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}}}]
[eqn: =2 LEFT ( {1} over {4} - {k+1} over {3} + {k} over {2} RIGHT ) =- {1} over {6} + {k} over {3}]
[eqn: <`- {1} over {6} - {5} over {6} =-1]

이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

[eqn: g(t)= int_{t}^{t+1} f(x) d x- int_{0}^{1}|f(x)| d x]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: g(0)=0]이면 [eqn: g(-1)<0]이다. ㄴ. [eqn: g(-1)>0]이면 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: k < it - 1]인 실수 [eqn: k]가 존재한다. ㄷ. [eqn: g(-1)>1]이면 [eqn: g(0) < it - 1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 22

양수 [eqn: a]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 30]

[해설]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} left{ f `prime (t+a) times f `prime (t-a) it right} d t]의 양변을

[eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: g `prime (x)=f `prime (x+a) times f `prime (x-a)]

[eqn: f `prime (x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]인 이차함수이므로

방정식 [eqn: f `prime (x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는

[eqn: rm 0] 또는 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 2]이다.

( i ) 방정식 [eqn: f `prime (x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가
[eqn: rm 0] 또는 [eqn: rm 1]인 경우
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `prime (x) geq 0]이므로 [eqn: g `prime (x)=f `prime (x+a) times f `prime (x-a) geq 0]
함수 [eqn: g(x)]는 극값을 갖지 않으므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) 방정식 [eqn: f `prime (x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]인 경우
[eqn: f `prime (x)=3(x- alpha)(x- beta)( alpha< beta)]라 하자.
(a) [eqn: alpha+a< beta-a]일 때
두 함수 [eqn: y=f `prime (x+a)], [eqn: y=f `prime (x-a)]의 그래프의          개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha-a]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha+a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta-a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta+a]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x+a)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f `prime (x-a)]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g(x)]는
[eqn: x= alpha-a], [eqn: x= alpha+a], [eqn: x= beta-a], [eqn: x= beta+a]에서
극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다.

(b) [eqn: alpha+a= beta-a]일 때
두 함수 [eqn: y=f `prime (x+a)], [eqn: y=f `prime (x-a)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha-a]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha+a][eqn: (= beta-a)]	[eqn: cdots]	[eqn: beta+a]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x+a)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f `prime (x-a)]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]		[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= alpha-a], [eqn: x= beta+a]에서만 극값을 가지므로 조건에 의하여
[eqn: ( beta+a)-( alpha-a)={13} over {2}-{1} over {2}=6]
[eqn: beta- alpha=2 a]이므로
[eqn: ( beta+a)-( alpha-a)=( beta- alpha)+2 a=4 a]
[eqn: 4 a=6]에서 [eqn: a={3} over {2}]
그러므로 [eqn: alpha-{3} over {2}={1} over {2}]에서 [eqn: alpha=2]이고,
[eqn: beta+{3} over {2}={13} over {2}]에서 [eqn: beta=5]이다.

(c) [eqn: beta-a< alpha+a]일 때
두 함수 [eqn: y=f `prime (x+a)], [eqn: y=f `prime (x-a)] 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha-a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta-a]	[eqn: cdots]	[eqn: alpha+a]	[eqn: cdots]	[eqn: beta+a]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x+a)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]
[eqn: f `prime (x-a)]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x= alpha-a], [eqn: x= beta-a], [eqn: x= alpha+a], [eqn: x= beta+a]에서 극값을 가지므로 조건을 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: f `prime (x)=3(x-2)(x-5)]

[eqn: f(x)][eqn: = int left(3 x^{2}-21 x+30 right) d x]
[eqn: =x^{3}-{21} over {2} x^{2}+30 x+C(C]는 적분상수 [eqn: )]

[eqn: f(0)=-{1} over {2}]이므로 [eqn: f(x)=x^{3}-{21} over {2} x^{2}+30 x-{1} over {2}]

따라서 [eqn: a times f(1)={3} over {2} times left(1-{21} over {2}+30-{1} over {2} right)=30]

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} left{ f `prime (t+a) times f `prime (t-a) it right} d t]

가 다음 조건을 만족시킨다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x={1} over {2}]과 [eqn: x={13} over {2}]에서만 극값을 갖는다

[eqn: f(0)=-{1} over {2}]일 때, [eqn: a times f(1)]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 3]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: g `prime (x)=2 x int_{0}^{x} f(t) d t+x^{2} f(x)-x^{2} f(x)]

[eqn: =2 x int_{0}^{x} f(t) d t]

[eqn: h(x)= int_{0}^{x} f(t) d t]라 하면 [eqn: h(0)=0]

조건 (나)에 의하여

방정식 [eqn: h(x)=0]의 실근은 [eqn: rm 0]과 [eqn: rm 3]이므로

(ⅰ) [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( a]는 상수[eqn: )]라 하면 [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =2ax ^{3} LEFT ( x-3 RIGHT )]이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0], [eqn: x=3]에서 극값을 가지므로 모순

(ⅱ) [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}][eqn: LEFT (a]는 상수[eqn: )]라 하면 [eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =2ax ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 극값을 갖지 않는다.

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: =a LEFT ( 3x ^{2} -12x+9 RIGHT ) =3a LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 3]이므로 [eqn: a=1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

따라서

[eqn: int_{0}^{3}|f(x)| d x]

[eqn: =3 int_{0}^{3}|(x-1)(x-3)| d x]

[eqn: =3 int_{0}^{1}(x-1)(x-3) d x-3 int_{1}^{3}(x-1)(x-3) d x]

[eqn: =3 left[ pile{it #it} {1} over {3} x^{3}-2 x^{2}+3 x right]_{0}^{1}-3 left[ pile{it #it} {1} over {3} x^{3}-2 x^{2}+3 x right]_{1}^{3}]

[eqn: =3 left({1} over {3}-2+3 right)-3 left(9-18+9-{1} over {3}+2-3 right)=8]

[eqn: g(x)=x^{2} int_{0}^{x} f(t) d t- int_{0}^{x} t^{2} f(t) d t]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 극값을 갖지 않는다.

(나) 방정식 [eqn: g `prime (x)=0]의 모든 실근은 [eqn: rm 0], [eqn: rm 3]이다.

[eqn: int_{0}^{3}|f(x)| d x]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 15

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로 [eqn: x=0]에서 연속이다.

[eqn: g(0)=0]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=f(2)=0]

[eqn: f(x)=(x-2)(x-p)(p]는 상수[eqn: )]라 하면

[eqn: f(x+2)=x(x+2-p)]

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0-} {g(0+h)-g(0)} over {h}=2-p]

함수 [eqn: x f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하면 [eqn: lim _{h`` rarrow ``0+} {} {g(0+h)-g(0)} over {h}][eqn: = lim _{h ``rarrow`` 0+} {F(h)-F(0)} over {h}]
[eqn: =F `prime (0)=0]

[eqn: g `prime (0)=2-p=0], [eqn: ~ p=2]

[eqn: f(x)=(x-2)^{2}]

그러므로

[eqn: g(x)=cases{x^{2} && (x<0) # int_{0}^{x} t(t-2)^{2} d t && (x geq 0)}][eqn: g `prime (x)=cases{2 x && (x<0) # 0 && (x=0) # x(x-2)^{2} && (x>0)}]

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 0]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]		[eqn: nearrow]

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(i) [eqn: g(a)=0]인 경우
[eqn: h(x)=g(x)]이므로 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 0]

(ii) [eqn: 0<g(a)<g(2)] 또는 [eqn: g(2)<g(a)]인 경우 방정식 [eqn: h(x)=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 [eqn: lim _{x ``rarrow`` alpha-} {h(x)-h( alpha)} over {x- alpha} neq lim _{x ``rarrow`` alpha+} {h(x)-h( alpha)} over {x- alpha}][eqn: lim _{x ``rarrow`` beta-} {h(x)-h( beta)} over {x- beta} neq lim _{x ``rarrow`` beta+} {h(x)-h( beta)} over {x- beta}]

함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= alpha], [eqn: x= beta]에서 미분가능하지 않다.

함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의
개수는 [eqn: rm 2]

(iii) [eqn: g(a)=g(2)]인 경우
방정식 [eqn: h(x)=0]의 두 근을 [eqn: gamma( gamma<0)], [eqn: 2]라 하면
[eqn: lim _{x ``rarrow`` gamma-} {h(x)-h( gamma)} over {x- gamma} neq lim _{x ``rarrow`` gamma+} {h(x)-h( gamma)} over {x- gamma}]
함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= gamma]에서 미분가능하지 않다.
[eqn: 0<x<2]일 때, [eqn: h(x)=g(2)-g(x)]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {h(x)-h(2)} over {x-2}=-g `prime (2)=0][eqn: x>2]일 때, [eqn: h(x)=g(x)-g(2)]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} {h(x)-h(2)} over {x-2}=g `prime (2)=0]
함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 1]

[eqn: g(2)= int_{0}^{2} t(t-2)^{2} d t={4} over {3}]이므로

[eqn: g( gamma)= gamma^{2}={4} over {3}], [eqn: gamma=-{2 sqrt{3}} over {3}]

따라서 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 곱은	[eqn: 2 times left(-{2 sqrt{3}} over {3} right)=-{4 sqrt{3}} over {3}]

[eqn: g(x)=cases{f(x+2) && (x<0) # int_{0}^{x} t f(t) d t && (x geq 0)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하다. 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)=|g(x)-g(a)|]

라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=k]에서 미분가능하지 않은 실수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 1]이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 곱은?

① [eqn: -{4 sqrt{3}} over {3}]	② [eqn: -{7 sqrt{3}} over {6}]	③ [eqn: - sqrt{3}]

④ [eqn: -{5 sqrt{3}} over {6}]	⑤ [eqn: -{2 sqrt{3}} over {3}]

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
10 활용6 (정의된 함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 30

함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^10^서울고3나^5}}][eqn: = {cases{```-3x ^{2}&&& LEFT ( x<1 RIGHT )#2 LEFT ( x-3 RIGHT )&&& LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{`-3x ^{3} +3x ^{2}& && LEFT ( x<1 RIGHT )#2x ^{2} -8x+6& && LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

위의 식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 적분하면

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{``````- {3} over {4} x ^{4} +x ^{3} +C _{1}& LEFT ( x<1 RIGHT )#{2} over {3} x ^{3} -4x ^{2} +6x+C _{2}& LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

(단, [eqn: C _{1}], [eqn: C _{2}]는 적분상수)

[eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]이므로 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 연속이다.

[eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: C _{1}][eqn: =0]이고 [eqn: - {3} over {4} +1][eqn: = {2} over {3} -4+6+C _{2}]에서

[eqn: C _{2}][eqn: =- {29} over {12}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{``````````````````- {3} over {4} x ^{4} +x ^{3}& & & LEFT ( x<1 RIGHT )#{2} over {3} x ^{3} -4x ^{2} +6x- {29} over {12}& & & LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

위의 그래프를 이용하여 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]를 구하면

[eqn: h LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {cases{1& && LEFT ( t< it - {29} over {12} ```` 또는 ```` t> {1} over {4} RIGHT )#2 &&& LEFT ( t= it - {29} over {12} ```` 또는 ```` t= {1} over {4} RIGHT )# 3&&&LEFT ( - {29} over {12} <t< {1} over {4} RIGHT )}}}]

이므로 [eqn: left |`` lim _{t ``->`` a+} {h(t)} - lim _{t ``->`` a-} {h(t)} ``right | =2]를 만족시키는 실수 [eqn: a]의 값은 [eqn: {1} over {4}]과 [eqn: - {29} over {12}]뿐이다.

그러므로 [eqn: S][eqn: = left |`` {1} over {4} ``right | + left |`` - {29} over {12} ``right |][eqn: = {8} over {3}]

따라서 [eqn: 30S][eqn: =30 TIMES {8} over {3}][eqn: =80]

[참고]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]는 다음과 같이 구할 수도 있다.

(ⅰ) [eqn: x<1]일 때,
[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{x} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( -3t ^{2} RIGHT ) dt][eqn: =- {3} over {4} x ^{4} +x ^{3}]

(ⅱ) [eqn: x GEQ 1]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {} LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( -3t ^{2} RIGHT ) dt+ int _{1} ^{x} {} 2 LEFT ( t-1 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT ) dt]
[eqn: = {2} over {3} x ^{3} -4x ^{2} +6x- {29} over {12}]

[eqn: g(x)][eqn: = int _{0} ^{x} {LEFT ( t-1 RIGHT ) f(t)} dt]

라 할 때, 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]와 곡선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자.

[eqn: left |`` lim _{t ``->`` a+} {h(t)} - lim _{t ``->`` a-} {h(t)} ``right | =2]

를 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: left |`` a ``right |]의 값의 합을 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 30S]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 30

[eqn: t geq 6-3 sqrt{2}]인 실수 [eqn: t]에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]가

[정답] [eqn: 37]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고,

[eqn: x<0]일 때, [eqn: f `prime (x)=6 x+t],

[eqn: x>0]일 때, [eqn: f `prime (x)=-6 x+t]이므로 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: x=-{t} over {6}]에서 극소, [eqn: x={t} over {6}]에서 극대이다.

[eqn: f(x)=0]을 만족시키는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x=-{t} over {3}] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x={t} over {3}]

[eqn: f_{1}(x)=3 x^{2}+t x], [eqn: f_{2}(x)=-3 x^{2}+t x]라 하자.

(i) [eqn: {t} over {3} geq 1]인 경우 (즉, [eqn: t geq 3])

조건(가)에서 닫힌구간 [eqn: [k-1,`` k]]의 길이는 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하다.
함수 [eqn: f_{1}(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=-{t} over {6}]에 대하여 대칭이므로 방정식 [eqn: f_{1}(k-1)=f_{1}(k)]를
만족시키는 [eqn: k]의 값은 [eqn: k=-{t} over {6}+{1} over {2}]
함수 [eqn: f_{2}(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x={t} over {6}]에 대하여
대칭이므로 방정식 [eqn: f_{2}(k-1)=f_{2}(k)]를
만족시키는 [eqn: k]의 값은 [eqn: k={t} over {6}+{1} over {2}]
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x={t} over {6}]에서 극대이므로 조건(가)를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는
[eqn: -{t} over {6}+{1} over {2} leq k leq {t} over {6} ~ cdots cdots] ㉠
조건(나)에서 닫힌구간 [eqn: [k,`` k+1]]의 길이는
[eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하고
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-{t} over {6}]에서 극소이므로
조건(나)를 만족시키는 [eqn: k+1]의 값의 범위는
[eqn: k+1 leq-{t} over {6} ~] 또는 [eqn: k+1 geq {t} over {6}+{1} over {2}]
즉, [eqn: k leq-{t} over {6}-1] 또는 [eqn: k geq {t} over {6}-{1} over {2} cdots cdots] ㉡
㉠, ㉡에 의하여 [eqn: t geq 3]에서 조건(가), (나)를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는
[eqn: {t} over {6}-{1} over {2} leq k leq {t} over {6}]이므로 [eqn: g(t)={t} over {6}-{1} over {2}={t-3} over {6}]

(ii) [eqn: {t} over {3}<1]인 경우 [eqn: (]즉, [eqn: 6-3 sqrt{2} leq t<3)]

[eqn: f_{1} left(-{t} over {6} right)=3 times left(-{t} over {6} right)^{2}+t left(-{t} over {6} right)=-{t^{2}} over {12}]이므로 [eqn: f_{2}(x)=-{t^{2}} over {12}]을 만족시키는 양수 [eqn: x]의 값은
[eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: -3 x^{2}+t x=-{t^{2}} over {12}]의
양의 실근인 [eqn: x={(1+ sqrt{2}) t} over {6}]
[eqn: t geq 6-3 sqrt{2}]이므로 [eqn: {(1+ sqrt{2}) t} over {6}- left(-{t} over {6} right)][eqn: ={(2+ sqrt{2}) t} over {6} geq {(2+ sqrt{2})(6-3 sqrt{2})} over {6}=1]
조건(가)에서 닫힌구간 [eqn: [k-1,`` k]]의 길이는
[eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하다. [eqn: 6-3 sqrt{2} leq t<3]에서
방정식 [eqn: f_{1}(k-1)=f_{2}(k)]를 만족시키는 [eqn: k]의 값은 [eqn: k]에 대한 방정식
[eqn: 3(k-1)^{2}+t(k-1)=-3 k^{2}+t k]의 실근인
[eqn: k={3- sqrt{6 t-9}} over {6}] 또는 [eqn: k={3+ sqrt{6 t-9}} over {6}]
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x={t} over {6}]에서 극대이므로
조건(가)를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: {3- sqrt{6 t-9}} over {6} leq k leq {t} over {6} cdots cdots] ㉢
조건(나)에서 닫힌구간 [eqn: [k,`` k+1]]의 길이는 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 [eqn: rm 1]로 일정하고
함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-{t} over {6}]에서 극소이므로
조건(나)를 만족시키는 [eqn: k+1]의 값의 범위는
[eqn: k+1 leq-{t} over {6}] 또는 [eqn: k+1 geq {3+ sqrt{6 t-9}} over {6}]
즉, [eqn: k leq-{t} over {6}-1] 또는 [eqn: k geq {-3+ sqrt{6 t-9}} over {6} cdotscdots] ㉣
㉢, ㉣ 에 의하여
[eqn: 6-3 sqrt{2} leq t<3]에서 조건(가), (나)를
만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는
[eqn: {3- sqrt{6 t-9}} over {6} leq k leq {t} over {6}]이므로
[eqn: g(t)={3- sqrt{6 t-9}} over {6}]

(i), (ii)에 의하여

[eqn: g(t)=cases{{3- sqrt{6 t-9}} over {6} && (6-3 sqrt{2} leq t<3) #{t-3} over {6} && (t geq 3)}]

따라서

[eqn: 3 int_{2}^{4} left{ 6 g(t)-3 it right} ^{2} d t]

[eqn: =3 int_{2}^{3} left(6 times {3- sqrt{6 t-9}} over {6}-3 right)^{2} d t]

[eqn: ~ +3 int_{3}^{4} left{ 6 times left({t-3} over {6} right)-3 it right} ^{2} d t]

[eqn: =3 int_{2}^{3}(6 t-9) d t+3 int_{3}^{4}(t-6)^{2} d t]

[eqn: =18+19]

[eqn: =37]

[eqn: f(x)=cases{3 x^{2}+t x && (x<0) #-3 x^{2}+t x && (x geq 0)}]

일 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 [eqn: g(t)]라 하자.

(가) 닫힌구간 [eqn: [k-1,`` k]]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=k]에서 최댓값을 갖는다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [k,`` k+1]]에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=k+1]에서 최솟값을 갖는다.

[eqn: 3 int_{2}^{4} left{ 6 g(t)-3 it right} ^{2} d t]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 22

일차함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: bold56]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 일차함수이므로 함수 [eqn: g(x)=int_{0}^{x}(x-2)f(s)ds]는 삼차함수이다.

[eqn: g(x)=(x-2)int_{0}^{x}{f(s)ds =0]에서 [eqn: g(2)= g(0)=0]이므로 [eqn: g(x)=0]의 세 근을 [eqn: x=0 , ```` 2 , ```` alpha]라 하자.

이때 [eqn: y= tx]는 [eqn: (0, ````0)]을 지나는 직선이므로 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=0]에서 불연속이기 위해서는 [eqn: y= g(x)]는 [eqn: x]축에 접해야 한다.

따라서 [eqn: alpha = 0] 또는 [eqn: alpha=2]이다.

(ⅰ) [eqn: g(x) = mx^2 (x-2)]일 때
[eqn: m]이 양수일 때와 음수일 때를 나누어 [eqn: y= g(x)]와 [eqn: y= tx]를 그려보면 다음과 같다.
[eqn: m>0]일 때

이때의 [eqn: t]의 값은 [eqn: -2]가 되어야 하고 [eqn: y= g(x)]와 [eqn: y= tx]의 교점은 [eqn: ( 1, ````-2)]이다.
[eqn: THEREFORE][eqn: g(x)= 2 x^2 (x-2)], [eqn: g(4) = 64]
[eqn: m<0]일 때

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: t=it-2]일 때 불연속이 될 수 없다.

(ⅱ) [eqn: y= m x(x-2)^2]일 때
[eqn: m>0]일 때

[eqn: g(x)]가 [eqn: x=2]에서 [eqn: x]축에 접하므로 [eqn: t=it-2]일 때 불연속이 될 수 없다.
[eqn: m<0]일 때

마찬가지로 이때의 [eqn: t]의 값은 [eqn: -2]이므로
[eqn: g` prime (x)=m(x-2) ^{2} +2mx(x-2)]
[eqn: g'(0) = 4m =it -2], [eqn: m = it - {1} over {2}]이므로
[eqn: g(4) = it -8]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: g(4)]의 값의 합은 [eqn: 64-8=56]

[eqn: g(x)=int_{0}^{x}(x-2)f(s)ds]

라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=tx]와 곡선 [eqn: y=g(x)]가 만나는 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: g(4)]의 값의 합을 구하시오.

[eqn: g(k)=0]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: h(t)]는 [eqn: t=-k]에서 불연속이다.

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 18

실수 [eqn: {t}{{from^2021^7^경찰대^중}}]([eqn: 0<t<3])에 대하여 삼차함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x ^{2} -2 LEFT ( t+3 RIGHT ) x+2t]이므로

[eqn: f prime LEFT ( a RIGHT )][eqn: =6a ^{2} -2 LEFT ( t+3 RIGHT ) a+2t=0]

[eqn: LEFT ( 6a-2t RIGHT ) LEFT ( a-1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: a= {t} over {3} ,```` a=1]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT )][eqn: = {a} over {2} f LEFT ( a RIGHT )]
[eqn: =a ^{4} - {3} over {2} LEFT ( a+1 RIGHT ) a ^{3} +3a ^{3}]
[eqn: =- {1} over {2} a ^{4} + {3} over {2} a ^{3}]

그런데, [eqn: t=3a]이므로 [eqn: t ``->`` 0]일 때 [eqn: a ``->`` 0]이므로

[eqn: int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{4} - {1} over {3} LEFT ( t+3 RIGHT ) x ^{3} +tx ^{2} RIGHT ] _{0}^{a}]
[eqn: = {1} over {2} a ^{4} - LEFT ( a+1 RIGHT ) a ^{3} +3a ^{3}]
[eqn: =- {1} over {2} a ^{4} +2a ^{3}]

[eqn: therefore][eqn: lim _{t ``->`` 0} {} {1} over {g LEFT ( t RIGHT )} int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx][eqn: = lim _{a ``->`` 0} {} {-a ^{4} +4a ^{3}} over {-a ^{4} +3a ^{3}} = {4} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{3} - LEFT ( t+3 RIGHT ) x ^{2} +2tx]

가 [eqn: x][eqn: =a]에서 극댓값을 가질 때, 세 점 [eqn: LEFT ( 0 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a ,```` f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. [eqn: lim _{t ``->`` 0} {} {1} over {g LEFT ( t RIGHT )} int _{0} ^{a} {} f LEFT ( x RIGHT ) dx]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: {13} over {12}]	③ [eqn: {7} over {6}]

④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {4} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분을 [eqn: F(x)]라 하면 주어진 방정식은 [eqn: int_{t}^{x} f(s) d s=F(x)-F(t)=0]이므로 [eqn: F(x)=F(t)]이다.

따라서 [eqn: g(t)]는 곡선 [eqn: y=F(x)]와 직선 [eqn: y=F(t)]의 서로 다른 교점의 개수와 같다.

ㄱ. [eqn: F `prime (x)=f(x)=x^{2}(x-1)]이다.
함수 [eqn: F(x)]는 [eqn: x<1]에서 감소, [eqn: x>1]에서
증가하므로 [eqn: x=1]에서 극소이면서 최소이다.
따라서 곡선 [eqn: y=F(x)]와 직선 [eqn: y=F(1)]은
오직 한 점에서 만나므로 [eqn: g(1)=1]이다. (참)

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 3]일 때, 함수 [eqn: F(x)]의 두 극솟값이 같은 경우와 두 극솟값이 다른 경우가 있다. 각 경우 곡선 [eqn: y=F(x)]와 직선 [eqn: y=F(a)]가
서로 다른 세 점에서 만나는 실수 [eqn: a]가 존재한다.

따라서 [eqn: g(a)=3]인 실수 [eqn: a]가 존재한다. (참)

ㄷ. 함수 [eqn: F(x)]가 극댓값을 갖지 않거나, 극댓값을 갖지만 두 극솟값의 크기가 다른 경우에는 [eqn: lim _{t ``rarrow`` b} g(t)+g(b)=6]인 실수 [eqn: b]가 존재하지 않는다. 따라서 곡선 [eqn: y=F(x)]의 개형은 다음과 같고, [eqn: F(0)=F(3)]이다.

[eqn: f(0)=F `prime (0)=0]이고 [eqn: f(3)=F `prime (3)=0]이므로
[eqn: F(x)-F(0)={x^{2}(x-3)^{2}} over {4}={x^{4}-6 x^{3}+9 x^{2}} over {4}]
양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면
[eqn: f(x)=x^{3}-{9} over {2} x^{2}+{9} over {2} x]
이므로 [eqn: f(4)=64-72+18=10] (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: int_{t}^{x} f(s) d s=0]

의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(x)=x^{2}(x-1)]일 때, [eqn: g(1)=1]이다. ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 3]이면 [eqn: g(a)=3]인 실수 [eqn: a]가 존재한다. ㄷ. [eqn: lim _{t ``rarrow`` b} g(t)+g(b)=6]을 만족시키는 실수 [eqn: b]의 값이 [eqn: rm 0]과 [eqn: rm 3]뿐이면 [eqn: f(4)=12]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	08 정적분
03 정적분으로 정의된 함수
11 활용7 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 20

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: f `prime (0)=g `prime (0)=0]
[eqn: x<0]에서 [eqn: f `prime (x)>0], [eqn: g `prime (x)>0]
[eqn: 0<x<4]에서 [eqn: f `prime (x)<0], [eqn: g `prime (x)<0]
이므로 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 모두 [eqn: x=0]에서
극대이다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)={1} over {3} x^{3}-2 x^{2}+C_{1}], [eqn: g(x)=-x^{2}+C_{2}]
(단, [eqn: C_{1}], [eqn: C_{2}]는 적분상수)
[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하면
[eqn: h `prime (x)=f `prime (x)-g `prime (x)=x(x-2)]
두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]의 그래프가 서로 다른
두 점에서만 만나는 경우는 삼차함수 [eqn: h(x)]의
그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서만 만나는
경우이므로 삼차함수 [eqn: h(x)]의 그래프의 개형은
다음 [eqn: y=h_{1}(x)]와 [eqn: y=h_{2}(x)]의 두 가지이다.

[eqn: h(x)=h_{1}(x)]일 때, [eqn: h_{1}(2)=0]이므로
[eqn: h_{1}(0) times h_{1}(2)=0]
[eqn: h(x)=h_{2}(x)]일 때, [eqn: h_{2}(0)=0]이므로
[eqn: h_{2}(0) times h_{2}(2)=0]
[eqn: left{ f(0)-g(0) it right} times left{ f(2)-g(2) it right} =0] (참)

ㄷ. [eqn: int_{-1}^{0} h_{2}(t) d t<0]이므로 함수 [eqn: h_{2}(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_{-1}^{x} left{ f(t)-g(t) it right} d t geq 0]을 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]가 아니다.
[eqn: h_{1}(2)=-{4} over {3}+C_{1}-C_{2}=0], [eqn: C_{1}-C_{2}={4} over {3}]
[eqn: h_{1}(x)={1} over {3} x^{3}-x^{2}+{4} over {3}={1} over {3}(x+1)(x-2)^{2}]

[eqn: x < it - 1]일 때, [eqn: h_{1}(x)<0]이므로 [eqn: int_{-1}^{x} h_{1}(t) d t>0]
[eqn: x geq-1]일 때, [eqn: h_{1}(x) geq 0]이므로 [eqn: int_{-1}^{x} h_{1}(t) d t geq 0]
그러므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: int_{-1}^{x} left{ f(t)-g(t) it right} d t geq 0]을 만족시키는 함수 [eqn: h(x)]는
함수 [eqn: h_{1}(x)]이다.
[eqn: int_{-1}^{1} left{ f(x)-g(x) it right} d x= int_{-1}^{1} left({1} over {3} x^{3}-x^{2}+{4} over {3} right) d x]
[eqn: =2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

(가) [eqn: f `prime (x)=x^{2}-4 x], [eqn: g `prime (x)=-2 x]

(나) 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 서로 다른 두 점에서만 만난다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 모두 [eqn: x=0]에서 극대이다. ㄴ. [eqn: left{ f(0)-g(0) it right} times left{ f(2)-g(2) it right} =0] ㄷ. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: int_{-1}^{x} left{ f(t)-g(t) it right} d t geq 0]이면 [eqn: int_{-1}^{1} left{ f(x)-g(x) it right} d x=2]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 28

함수 [eqn: f(x)=-x^{2}-4 x+a]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 5]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =-x^{2}-4 x+a]

[eqn: g(x) = int_{0}^{x} f(t) d t]에서

[eqn: g `prime (x)][eqn: =f(x)]
[eqn: =-x^{2}-4 x+a]
[eqn: =-(x+2)^{2}+a+4]

함수 [eqn: g(x)]가 닫힌구간 [eqn: [0,``1]]에서 증가해야 하므로 [eqn: g `prime (1)=a-5 geq 0]

즉, [eqn: a geq 5]이어야 한다.

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: rm 5]이다.

[eqn: g(x)= int_{0}^{x} f(t) d t]

가 닫힌구간 [eqn: [0,``1]]에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 22

실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 251]

[해설]

[eqn: f(x)=3x+a]이므로

[eqn: g(x)][eqn: = int _{2} ^{x} {} (t+a)(3t+a)dt]
[eqn: = int _{2} ^{x} {(3t ^{2} +4at+a ^{2} )dt }]
[eqn: = LEFT [ pile{it#it} t ^{3} +2at ^{2} +a ^{2} t RIGHT ] _{2}^{x}]
[eqn: =x ^{3} +2ax ^{2} +a ^{2} x-(2a ^{2} +8a+8)]

[eqn: g(2)=0]이므로

[eqn: g(x)=(x-2) LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} RIGHT }]

[eqn: h(x)=(x-2)(3x+a) LEFT { x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} RIGHT }]

조건 (가)에 의해 곡선 [eqn: y=h(x)]위의 어떤 점에서의 접선이 [eqn: x]축이므로 [eqn: h(k)=h prime (k)=0]을 만족시키는 실수 [eqn: k]가 존재한다.

그러므로 다항식 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}]을 인수로 갖는다.

(ⅰ) [eqn: k=2]인 경우
다항식 [eqn: h(x)]가 [eqn: (x-2) ^{2}]을 인수로 가지므로
다항식 [eqn: 3x+a]가 [eqn: 3(x-2)]이거나
다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이 [eqn: x-2]를
인수로 가진다.

([eqn: a]) [eqn: 3x+a=3(x-2)]인 경우
[eqn: a=-6]이므로

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2)(3x-6)(x ^{2} -10x+16)]
[eqn: =3(x-2) ^{3} (x-8)]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 [eqn: h(-1)=729]이다.

([eqn: b]) 다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이
[eqn: x-2]를 인수로 갖는 경우
[eqn: 4+4(a+1)+(a+2) ^{2}]
[eqn: =a ^{2} +8a+12]
[eqn: =(a+2)(a+6)=0]
에서 [eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=-6]
[eqn: a=-6]이면 ([eqn: a])와 같다.
[eqn: a=-2]이면

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2)(3x-2)(x ^{2} -2x)]
[eqn: =x(3x-2)(x-2) ^{2}]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=- {a} over {3} (a != -6)]인 경우
다항식 [eqn: h(x)]가 [eqn: LEFT ( x+ {a} over {3} RIGHT ) ^{2}]을 인수로 가지므로
다항식 [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2}]이 [eqn: x+ {a} over {3}]를
인수로 가진다.
[eqn: {1} over {9} a ^{2} - {2} over {3} a(a+1)+(a+2) ^{2}]
[eqn: = {4} over {9} a ^{2} + {10} over {3} a+4]
[eqn: = {2} over {9} (2a+3)(a+6)][eqn: =0]
에서 [eqn: a=- {3} over {2}]이므로

[eqn: h(x)][eqn: =(x-2) LEFT ( 3x- {3} over {2} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -x+ {1} over {4} RIGHT )]
[eqn: =3 LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) ^{3} (x-2)]

곡선 [eqn: y= LEFT | h(x) RIGHT |]는 그림과 같으므로

함수 [eqn: h(x)]는 조건 (나)를 만족시킨다.

이 경우 [eqn: h(-1)= {243} over {8}]

(ⅲ) [eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} =(x-k) ^{2}]인 경우
[eqn: x ^{2} +2(a+1)x+(a+2) ^{2} =x ^{2} -2kx+k ^{2}]
[eqn: a+1=-k ,~ (a+2) ^{2} =k ^{2}]
[eqn: (a+1) ^{2} =(-a-1) ^{2}]에서 [eqn: a=- {3} over {2}]
[eqn: a=- {3} over {2}]이면 (ⅱ)와 같다.

따라서 [eqn: h(-1)]의 최솟값은 [eqn: {243} over {8}]이므로

[eqn: p=8 ,~ q=243]에서 [eqn: p+q=251]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x+a], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{2} ^{x} {} LEFT ( t+a RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt]

라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h LEFT ( -1 RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

(가) 곡선 [eqn: y][eqn: =h LEFT ( x RIGHT )] 위의 어떤 점에서의 접선이 [eqn: x]축이다.

(나) 곡선 [eqn: y][eqn: = LEFT | h LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]가 [eqn: x]축과 평행한 직선과 만나는 서로 다른 점의 개수의 최댓값은 [eqn: 4]이다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 15

최고차항의 계수가 [eqn: 4]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =f`' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0]을 만족시키는 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ⑤

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: 4]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +ax ^{2} +bx` LEFT ( a,`b`는`상수 RIGHT )]라 하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =12x ^{2} +2ax+b]에서 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: b=0]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} +ax ^{2}]에서 [eqn: int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt`=`x ^{4} + {a} over {3} x ^{3}}]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5&LEFT ( x<c RIGHT )#LEFT | x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3} RIGHT |&LEFT ( x GEQ c RIGHT )}}]

곡선 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3}]은 곡선 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5]를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: - {28} over {3}]만큼 평행이동한 것이다.

다음은 [eqn: a]의 값에 따른 곡선 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5]와 곡선

[eqn: y= LEFT | x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3} RIGHT |]의 개형 중 [eqn: c]의 개수가 [eqn: 0,`1,`2]인 경우이다.

[[eqn: c]의 개수가 [eqn: 0]]    [[eqn: c]의 개수가[eqn: 1]]    [[eqn: c]의 개수가[eqn: 2]]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: c]의 개수가 [eqn: 1]이기 위해서는 함수 [eqn: y=x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} +5][eqn: LEFT ( ` rarrow ``㉠` RIGHT )]의 극솟값과 같은 함수 [eqn: y=- LEFT ( x ^{4} + {a} over {3} x ^{3} - {13} over {3} RIGHT )][eqn: LEFT ( ` rarrow ``㉡` RIGHT )]의 극댓값이 서로 같이야 한다.

㉠, ㉡의 함수는 각각 [eqn: x=- {a} over {4}]에서 극값을 갖고 [eqn: c=- {a} over {4}]이다.

[eqn: LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{4} + {a} over {3} LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{3} +5`=`- LEFT { LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{4} + {a} over {3} LEFT ( - {a} over {4} RIGHT ) ^{3} - {13} over {3} RIGHT }]

이를 정리하여 풀면 [eqn: {cases{a=4&#c=-1&}}]또는 [eqn: {cases{a=-4&#c=1&}}]

그러므로 [eqn: a=4]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT | 1+ {4} over {3} - {13} over {3} RIGHT | =2,]

[eqn: a=-4]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT | 1- {4} over {3} - {13} over {3} RIGHT | = {14} over {3}]

따라서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: {14} over {3}]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt+5&~~~ LEFT ( x<c RIGHT )#eqalign{# LEFT | ` int _{0} ^{x} {} f LEFT ( t RIGHT ) `dt- {13} over {3} ` RIGHT |}&eqalign{# ~~~ LEFT ( x GEQ c RIGHT )}}}]

라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 실수 [eqn: c]의 개수가 [eqn: 1]일 때, [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )]의 최댓값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: {10} over {3}]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: {14} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 22

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 상수항이 [eqn: rm 0]인 삼차함수 [eqn: g(x)]가 있다. 양의 상수 [eqn: a]에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

삼차함수 [eqn: g(x)]의 상수항이 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x]를 인수로 갖는다. [eqn: cdots cdots] ㉠

조건 (가)의 [eqn: x|g(x)|= int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t]에 [eqn: x=2 a]를 대입하면 [eqn: 2 a|g(2 a)|=0]

[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: g(2 a)=0]이고 [eqn: g(x)]는 [eqn: (x-2 a)]를 인수로 갖는다. [eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: g(x)=x(x-2 a)(x-b) ~ (]단, [eqn: b]는 실수)

함수 [eqn: (a-x) f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

함수 [eqn: int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t]는 실수 전체의 집합에서 미분

가능하고, [eqn: {d} over {d x} int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t=(a-x) f(x)]이다.

즉, 함수 [eqn: x|g(x)|]는 [eqn: x=2 a]에서 미분가능하다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 a+} {x|g(x)|-2 a|g(2 a)|} over {x-2 a}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a+} {x|x(x-2 a)(x-b)|} over {x-2 a}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a+} x^{2}|x-b|]
[eqn: =4 a^{2}|2 a-b|]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 a-} {x|g(x)|-2 a|g(2 a)|} over {x-2 a}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a-} {x|x(x-2 a)(x-b)|} over {x-2 a}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 a-} left(-x^{2}|x-b| right)]
[eqn: =-4 a^{2}|2 a-b|]

이므로 [eqn: 4 a^{2}|2 a-b|=-4 a^{2}|2 a-b|]에서 [eqn: b=2 a]이다.

따라서 [eqn: g(x)=x(x-2 a)^{2}]

[eqn: int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t=cases{-x^{2}(x-2 a)^{2} && (x<0) #x^{2}(x-2 a)^{2} && (x geq 0)}]

이고 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: (a-x) f(x)=cases { -4 x(x-a)(x-2 a)~~~~(x<0)#```````LEFT. 4x(x-a)(x-2a)~~~~(x GEQ 0)]

[eqn: f(x)=cases{````````4 x(x-2 a) &&~~ (x<0) #-4 x(x-2 a) && ~~(x geq 0)}]

방정식 [eqn: g(f(x))=0]에서

[eqn: f(x)=0] 또는 [eqn: f(x)=2 a]

방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근 [eqn: 0], [eqn: 2 a]를 가지므로 조건 (나)에 의해 방정식 [eqn: f(x)=2 a]는 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=2 a]의 교점의 개수가 [eqn: rm 2]이어야 하므로

[eqn: f(a)=-4 a(a-2 a)]

[eqn: =4 a^{2}=2 a]

[eqn: a={1} over {2}]

[eqn: int_{-2 a}^{2 a} f(x) d x][eqn: = int_{-1}^{1} f(x) d x]
[eqn: = int_{-1}^{0} left(4 x^{2}-4 x right) d x+ int_{0}^{1} left(-4 x^{2}+4 x right) d x]
[eqn: = left[ pile{it #it} {4} over {3} x^{3}-2 x^{2} right]_{-1}^{0}+ left[ pile{it #it} -{4} over {3} x^{3}+2 x^{2} right]_{0}^{1}]
[eqn: =4]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x|g(x)|= int_{2 a}^{x}(a-t) f(t) d t]이다.

(나) 방정식 [eqn: g(f(x))=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 4]이다.

[eqn: int_{-2 a}^{2 a} f(x) d x]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 14

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: g(x)]가

[정답] ④

[해설]

ㄱ. [eqn: x<0]일 때 [eqn: g `prime (x)=-f(x)]

[eqn: x>0]일 때 [eqn: g `prime (x)=f(x)]

그런데, 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하고 함수 [eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} left{ -f(x) it right} = lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x)]

[eqn: -f(0)=f(0)], [eqn: ~ 2 f(0)=0]

[eqn: f(0)=0] (참)

ㄴ. [eqn: g(0)= int_{0}^{0} f(t) d t=0]이고 함수 [eqn: g(x)]는 삼차함수이므로

[eqn: g(x)=x^{2}(x-a)](단, [eqn: a]는 상수)

로 놓으면

[eqn: g `prime (x)=2 x(x-a)+x^{2}]

[eqn: =x(3 x-2 a)]

(i) [eqn: a>0]일 때

[eqn: f(x)=cases{-x(3 x-2 a) && (x<0) #x(3 x-2 a) && (x geq 0)}]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과

같고 [eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.

(ii) [eqn: a<0]일 때

[eqn: f(x)=cases{-x(3 x-2 a) && (x<0) #x(3 x-2 a) && (x geq 0)}]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과

같고 [eqn: x={a} over {3}]에서 극댓값을 갖는다.

(iii) [eqn: a=0]일 때

[eqn: f(x)=cases{-3 x^{2} && (x<0) #3 x^{2} && (x geq 0)}]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 극댓값이 존재하지 않는다.

(거짓)

ㄷ. (i) ㄴ. (i)의 경우

[eqn: f(1)=3-2 a]이므로 [eqn: 2<3-2 a<4]에서

[eqn: 0<a<{1} over {2}]

또한, [eqn: x<0]일 때

[eqn: f `prime (x)=-(3 x-2 a)-3 x=-6 x+2 a]

이므로

[eqn: lim _{x rarrow 0-} {} f` prime (x)=2a]

이때 [eqn: 0<2 a<1]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서, [eqn: ~ 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

(ii) ㄴ. (ii)의 경우

[eqn: f(1)=3-2 a]이므로 [eqn: 2<3-2 a<4]에서

[eqn: -{1} over {2}<a<0]

또한, [eqn: x>0]일 때

[eqn: f `prime (x)=(3 x-2 a)+3 x=6 x-2 a]

이므로

[eqn: lim _{x rarrow 0+} {} f` prime (x)=-2a]

이때 [eqn: 0 < it - 2 a<1]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]

의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 그림과 같이

세 점에서 만난다.

따라서, [eqn: ~ 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

(iii) ㄴ. (iii)의 경우

[eqn: f(1)=3]이고 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서, [eqn: 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

[다른풀이]

ㄷ. (i) ㄴ. (i)의 경우

[eqn: 0<a<{1} over {2}]이고

① [eqn: x<0]일 때, [eqn: -x(3 x-2 a)=x]

[eqn: -3 x+2 a=1], [eqn: x={2 a-1} over {3}]

② [eqn: x geq 0]일 때, [eqn: x(3 x-2 a)=x]

[eqn: x(3 x-2 a-1)=0]

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x={2 a+1} over {3}]

따라서 [eqn: 2<f(1)<4]일 때,

방정식 [eqn: f(x)=x]은 서로 다른 실근

[eqn: {2 a-1} over {3}], [eqn: 0], [eqn: {2 a+1} over {3}]을 갖는다.

[eqn: g(x)=cases{- int_{0}^{x} f(t) d t && (x<0) # int_{0}^{x} f(t) d t && (x geq 0)}]

을 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f(0)=0] ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값을 갖는다. ㄷ. [eqn: 2<f(1)<4]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=x]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[수학2] [04부정적분, 정적분] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.28

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: 27]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] [eqn: 4]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 17 }]

[정답] ①

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: rm 16]

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 15]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: 9]

[정답] [eqn: 9]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 86]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 11]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 24]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 12]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] [eqn: 13]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: rm 13]

[정답] [eqn: 432]

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: 110]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 30]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 80 }]

[정답] [eqn: 37]

[정답] [eqn: bold56]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 5]

[정답] [eqn: 251]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[수학2] [04부정적분, 정적분] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.28