		년도별경향	2022.12.28
교사평경3	03	[수학2] [03증가감소, 활용] 교사평경 최근 3개년

04 수2	05 함수의 증가와 감소
01 함수의 증가와 감소
03 증가와 감소3 (삼차함수와 조건해석, 실수 전체)

교사평경3		년도별경향
03		[수학2] [03증가감소, 활용] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학2] [03증가감소, 활용] 교사평경 최근 3개년		03

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 19

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} - LEFT ( a ^{2} -8a RIGHT ) x+3]이 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 6]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = x^ 3 + ax^2 - LEFT ( a^2 - 8a RIGHT )x + 3]에서

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 3x^2 + 2ax - LEFT ( a^2 - 8a RIGHT )]

이때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 증가하려면

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) ge 0]

이때, 이차방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) = 0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D over 4 le 0]이어야 하므로

[eqn: D over 4][eqn: = a^2 - 3 LEFT ( -a^2 + 8a RIGHT )]
[eqn: = 4a^2 - 24a]
[eqn: = 4a LEFT ( a-6 RIGHT ) le 0]

그러므로

[eqn: 0 le a le 6]

따라서, [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 6]이다.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 13

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 역함수가 존재하는 삼차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +ax ^{2} +bx+c]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

ㄱ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 존재하고 최고차항의 계수가 양수이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2ax+b GEQ 0]이 성립해야 한다.
그러므로 방정식 [eqn: 3x ^{2} +2ax+b=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -3b LEQ 0,`a ^{2} LEQ 3b] (참)

ㄴ. [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -x RIGHT )]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -x RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {LEFT ( x ^{3} +ax ^{2} +bx+c RIGHT ) - LEFT ( -x ^{3} +ax ^{2} -bx+c RIGHT )} over {2}]
[eqn: =x ^{3} +bx]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +b]이므로 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: 3x ^{2} +b=0]
이차방정식 [eqn: 3x ^{2} +b=0]의 판별식을 [eqn: D prime]이라 하면
[eqn: D prime =0 ^{2} -4 TIMES 3 TIMES b=-12b]
ㄱ에 의해 [eqn: b GEQ {a ^{2}} over {3} GEQ 0]이므로 [eqn: D prime =-12b LEQ 0]
그러므로 이차방정식 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0]은 서로 다른 두 실근을 갖지 않는다. (거짓)

ㄷ. 방정식 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =0] 이 실근을 가지므로 [eqn: 3x ^{2} +b=0]□의 실근이 존재한다. 즉, [eqn: b LEQ 0]
또한, ㄱ에 의해 [eqn: b GEQ 0]이므로  [eqn: b=0]이고
ㄱ에 의해 [eqn: a=0]이다. [eqn: g prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2}]이므로 [eqn: g prime LEFT ( 1 RIGHT ) =3] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( -x RIGHT )]이다.

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: a,~b,~c]는 상수이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a ^{2} LEQ 3b] ㄴ. 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]은 서로 다른 두 실근을 갖는다. ㄷ. 방정식 [eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이 실근을 가지면 [eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	05 함수의 증가와 감소
02 함수의 극대와 극소
02 극대와 극소2 (삼차함수의 극대와 극소)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 10

함수 [eqn: f(x) =it- 1 over3 x^3 +2x^2 +mx +1]이 [eqn: x=3]에서 극대일 때, 상수 [eqn: m]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x) =it- 1 over3 x^3 +2x^2 + mx +1]에서

[eqn: f`'(x)=it- x^2 + 4x+m]

이때 함수 [eqn: f(x)]가 미분가능한 함수이고 [eqn: x=3]에서 극대이므로

[eqn: f`'(3) =0]이다.

[eqn: f`'(3) = it-9 +12+m=0]

따라서 [eqn: m=it-3]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 8

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+6 x^{2}+9 x+a]의 극솟값이 [eqn: -6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f prime LEFT (x RIGHT )=3x ^{2} +12x+9=3 LEFT (x+1 RIGHT ) LEFT (x+3 RIGHT )]

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]는 [eqn: x=`-1]에서 극솟값을 가지므로

[eqn: f LEFT (-1 RIGHT )=`-1+6-9+a=`-6]

따라서 [eqn: a=`-2]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 17

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x+12]가 [eqn: x=a]에서 극소일 때, [eqn: a+f LEFT ( a RIGHT )]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[해설]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -3=3 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]이므로 [eqn: f``'(x)=0]에서 [eqn: x=-1,````1]

따라서 증감표를 그리면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 1]	[eqn: cdots]
[eqn: f``'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	극대	↘	극소	↗

즉, [eqn: x=1]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: a=1]

또, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1 ^{3} -3times1+12=10]이므로 [eqn: f(a) =f(1) =10]

[eqn: THEREFORE ```` a+f LEFT ( a RIGHT ) =1+10=11]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 5

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +3x ^{2} -12x+1}{{from^2021^09^평가원^중}}]의 극댓값과 극솟값을 각각 [eqn: M ,```` m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +3x ^{2} -12x+1]에서

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x ^{2} +6x-12][eqn: =6 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]

이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =0]이 되는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x= it -2] 또는 [eqn: x=1]이다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= it -2]에서 극댓값 [eqn: M=f LEFT ( -2 RIGHT ) = it -16+12+24+1=21]을 갖고, [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: m=f LEFT ( 1 RIGHT ) =2+3-12+1= it -6]을 갖는다.

따라서 [eqn: M+m=15]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 17

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-3 x^{2}+a x+10]이 [eqn: x=3]에서 극소일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: f(x)=x^{3}-3 x^{2}+a x+10]에서

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-6 x+a]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=3]에서 극소이므로

[eqn: f `prime (3)=27-18+a=0], [eqn: a=-9]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-6 x-9=3(x-3)(x+1)]

[eqn: f `prime (x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=3]이므로

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고 극댓값은

[eqn: f(-1)=-1-3+9+10=15]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=2x ^{3} -9x ^{2} +ax+5]는 [eqn: x=1]에서 극대이고, [eqn: x=b]에서 극소이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+a x+5]에서

[eqn: f `prime (x)=6 x^{2}-18 x+a]	[eqn: cdotscdots] ㉠

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극대이므로

[eqn: f `prime (1)=6-18+a=0],    [eqn: a=12]

[eqn: a=12]를 ㉠에 대입하면

[eqn: f `prime (x)][eqn: =6 x^{2}-18 x+12]
[eqn: =6(x-1)(x-2)]

[eqn: f `prime (x) =0]에서    [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 1]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극소이므로    [eqn: b=2]

[eqn: therefore] [eqn: a+b=12+2=14]

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 20]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 6

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-3 x^{2}+k]의 극댓값이 [eqn: rm 9]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-3 x^{2}+k]이므로 [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-6 x=3 x(x-2)]이다.

[eqn: f `prime (x)=0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 증가와

감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 0]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: nearrow]	[eqn: k]	[eqn: searrow]	[eqn: k-4]	[eqn: nearrow]

이때 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: f(0)=k]를 가지므로 [eqn: k=9]이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: f(2)=k-4=5]를 갖는다.

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
02 함수의 극대와 극소
03 극대와 극소3 (사차함수의 극대와 극소)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 19

실수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x^{4}+k x+10]이 [eqn: x=1]에서 극값을 가질 때, [eqn: f(1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 7`]

[해설]

[eqn: f`'(x) = 4x^3 + k], [eqn: f``'(1)= 4+k = 0], [eqn: k = -4]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(1)= 1 + k + 10 = 7]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 19

함수 [eqn: f(x)=x^{4}+a x^{2}+b]는 [eqn: x=1]에서 극소이다.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: f(x)=x^{4}+a x^{2}+b]에서

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}+2 a x]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 극소이므로 [eqn: f `prime (1)=4+2 a=0]

에서

[eqn: a=-2]

그러므로

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}-4 x=4 x(x-1)(x+1)]

이므로 [eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=1]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: rm 4]를 가지므로

[eqn: f(0)=b=4]

따라서 [eqn: a+b=(-2)+4=2]

함수 [eqn: f(x)]의 극댓값이 [eqn: rm 4]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 6

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{4} +ax ^{2} +b`]가 [eqn: x=a`]에서 극소이고, 극댓값 [eqn: a+8`]을 가질 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{4} +ax ^{2} +b`]에서

[eqn: f`prime left(x right)=2x^3 +2ax=2x left(x^2 +a right)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

함수 [eqn: f left(x right)]가 극댓값을 가지기 위해서는 ㉠에서 [eqn: 2x left(x^2 +a right)=0]이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 [eqn: a<0]

[eqn: x=a]에서 극소이므로

[eqn: f`prime left(a right)=2a left(a^2 +a right)=2a^2 left(a+1right)=0]

[eqn: a<0]이므로 [eqn: a=it-1]

[eqn: a=it-1]을 ㉠에 대입하면

[eqn: f`prime left(x right)=2x left(x^2 -1right)=2x left(x+1right)left(x-1right)]

따라서 함수 [eqn: f left(x right)]는 [eqn: x=0]에서 극댓값을 가지므로

[eqn: f left(0right)=b=7]

[eqn: therefore][eqn: a+b=6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
02 함수의 극대와 극소
07 극대와 극소7 (곱함수와 뺀함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 18

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 8]

[해설]

다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 극솟값 [eqn: 2]를 가지므로

[eqn: f(3)=2,~ f prime (3)=0]

[eqn: g(x)=(x ^{2} -2x)f(x)]에서

[eqn: g prime (x)=(2x-2)f(x)+(x ^{2} -2x)f prime (x)]이므로

[eqn: g prime (3)][eqn: =4f(3)+3 f prime (3)][eqn: =8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x ^{2} -2x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]

라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=3]에서 극솟값 [eqn: 2]를 가질 때, [eqn: g' LEFT ( 3 RIGHT )]의 값을 구하시오.

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
03 활용3 (구간정의함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 28

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-6 x^{2}+a x+10]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 6]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이고 미분가능하다. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 3+} g(x)=g(3)]

[eqn: b-f(3)=f(3)]

[eqn: b=6 a-34]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=3]에서 미분가능하므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {g(x)-g(3)} over {x-3}= lim _{x ``rarrow`` 3{+}} {g(x)-g(3)} over {x-3}][eqn: lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {g(x)-g(3)} over {x-3}= lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {b-f(x)-f(3)} over {x-3}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {-f(x)+ left{ b-f(3) it right} } over {x-3}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 3{-}} {- left{ f(x)-f(3) it right} } over {x-3}]

[eqn: ~ =-f `prime (3)]

[eqn: ~ =a-9]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3{+}} {g(x)-g(3)} over {x-3}= lim _{x ``rarrow`` 3{+}} {f(x)-f(3)} over {x-3}]

[eqn: =f`'(3)]

[eqn: =-a+9]

따라서 [eqn: a=9], [eqn: b=20]

[eqn: g(x)=cases{ -x ^{ 3} +6x ^{ 2} -9x+10&& (x<3) #x ^{ 3} -6x ^{ 2}+9x+10 && (x geq 3)}]

[eqn: x<3]에서

[eqn: g`'(x)=-3x ^{ 2}+12x-9=-3(x-1)(x-3)]

[eqn: g`'(x)=0]에서 [eqn: x=1]

[eqn: x geq3]에서

[eqn: g` prime (x)=-3x ^{2} -12x+9=3(x-1)(x-3)]

[eqn: g`'(x)=0]에서 [eqn: x=3]

함수 [eqn: g(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 1]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 3]	[eqn: cdots]
[eqn: g `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(x)]	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]		[eqn: nearrow]

[eqn: g(1)=-1+6-9+10=6]이므로

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값 [eqn: rm 6]을 갖는다

[eqn: g(x)=cases{b-f(x) && (x<3) #f(x) && (x geq 3)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 함수 [eqn: g(x)]의 극솟값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 14

함수 [eqn: {f(x)=x^{3}-x}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]와 상수 [eqn: a][eqn: (a>-1)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]위의 두 점 [eqn: (-1 ,```` f(-1))], [eqn: (a ,```` f(a))]를 지나는 직선을 [eqn: y=g(x)]라 하자. 함수

[정답] ④

[해설]

(가)에 의하여 [eqn: LEFT ( a,````f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: LEFT ( -1,````f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선과 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 교점이다.

[eqn: x=0]에서 변곡점이므로 [eqn: 1``:``2]비율관계에 의해 [eqn: a=2]가 성립한다.

계속 증가해야 하므로 [eqn: LEFT ( -1,````0 RIGHT )]을 변곡점에 대해 대칭시키면 [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT )]이므로 (나)를 만족한다.

따라서 [eqn: LEFT ( 1,````0 RIGHT )]에서 [eqn: LEFT ( 2,````6 RIGHT )]으로 이동하므로 [eqn: m=1,````n=6]이다.

[eqn: h(x)=cases{```````````````f(x)&&&(x< -1)#``````````````g(x)&&&(-1leq x leq a)#f(x-m)+n&&&(x>a)]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.

(나) 함수 [eqn: h(x)]는 일대일대응이다.

[eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: m], [eqn: n]은 상수이다)

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
04 활용4 (절댓값함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 18

[eqn: a>0]인 상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)= left| left(x^{2}-9 right)(x+a) right|]가

[정답] ①

[해설]

(i) [eqn: 0<a<3]일 때
함수 [eqn: y= left(x^{2}-9 right)(x+a)]의 그래프는 [eqn: x]축과
세 점 [eqn: (-3,``0)], [eqn: (-a,`` 0)], [eqn: (3,``0)]에서 만나므로
그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)= left| left(x^{2}-9 right)(x+a) right|]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-3], [eqn: x=-a], [eqn: x=3]에서 미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: a=3]일 때
함수 [eqn: y= left(x^{2}-9 right)(x+a)=(x+3)^{2}(x-3)]의 그래프는 [eqn: x]축과 점 [eqn: (-3,``0)]에서 접하고 점 [eqn: (3,``0)]에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 [eqn: f(x)= left|(x+3)^{2}(x-3) right|]의 그래프 개형은 그림과 같다.

[eqn: f(x)]는 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않으므로
주어진 조건을 만족시킨다.

(iii) [eqn: a>3]일 때
함수 [eqn: y= left(x^{2}-9 right)(x+a)]의 그래프는 [eqn: x]축과
세 점 [eqn: (-a,`` 0)], [eqn: (-3,``0)], [eqn: (3,``0)]에서 만나므로 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)= left| left(x^{2}-9 right)(x+a) right|]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-a], [eqn: x=-3], [eqn: x=3]에서
미분가능하지 않으므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

그러므로 (i), (ii), (iii)에 의해 [eqn: a=3]

함수 [eqn: y= left(x^{2}-9 right)(x+3)]의 극솟값의 절댓값이

함수 [eqn: f(x)= left| left(x^{2}-9 right)(x+3) right|]의 극댓값이다.

[eqn: y= left(x^{2}-9 right)(x+3)]의 도함수는

[eqn: y `prime =2 x(x+3)+ left(x^{2}-9 right)=3(x+3)(x-1)]이므로

[eqn: y `prime =0]에서 [eqn: x=-3] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: y= left(x^{2}-9 right)(x+3)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -3]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 1]	[eqn: cdots]
[eqn: y `prime]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: y]	[eqn: nearrow]	[eqn: rm 0]	[eqn: searrow]	[eqn: -32]	[eqn: nearrow]

그러므로 함수 [eqn: y= left(x^{2}-9 right)(x+3)]은 [eqn: x=1]에서 극소이고 극솟값은 [eqn: -32]

따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극대이고 극댓값은 [eqn: f(1)=|-32|=32]

오직 한 개의 [eqn: x]값에서만 미분가능하지 않을 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은?

① [eqn: rm 32]	② [eqn: rm 34]	③ [eqn: rm 36]

④ [eqn: rm 38]	⑤ [eqn: rm 40]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{```````LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +n RIGHT )& && LEFT ( x< it -2 ````또는 ````x>2 RIGHT )#- LEFT ( x ^{2} -4 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +n RIGHT )&&& LEFT ( -2 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}}]

에서 양변을 미분하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{```````4x ^{3} +2(n-4)x& && LEFT ( x< it -2 ```` 또는```` x>2 RIGHT )#-4x ^{3} -2(n-4)x& && LEFT ( -2<x< 2 RIGHT )}}]

즉, [eqn: f(x)= left |`` x ^{2} -4 ``right | (x ^{2} +n)]에서 [eqn: x=-2]와 [eqn: x=2]에서 항상 극소이고 [eqn: f prime (x)=2x LEFT { 2x ^{2} +(n-4)x RIGHT }]에서 [eqn: x=0]에서 극값을 가지며 극값의 개수가 [eqn: 4]이상이므로 [eqn: n<4]가 된다.

따라서 만족하는 자연수 [eqn: n]은 [eqn: n=][eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]

그런데, [eqn: f(x)= left |`` x ^{2} -4 ``right | (x ^{2} +n) ge 0]이므로 극값의 합이 최대가 되는 경우는 [eqn: n=3]일 때이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = left |`` x ^{2} -4 ``right | LEFT ( x ^{2} +n RIGHT )]

이 [eqn: x][eqn: =a]에서 극값을 갖는 [eqn: a]의 개수가 [eqn: 4]이상일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 모든 극값의 합이 최대가 되도록 하는 [eqn: n]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 14

두 양수 [eqn: p ,```` q]와 함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: p+q]의 값은?

[정답] ③

[해설]

(가) 조건에 의해 [eqn: xg(x)= left |`` xf(x-p)+qx ``right |]이므로

[eqn: g(x)= {left |`` x ``right | left |`` f LEFT ( x-p RIGHT ) +q ``right | } over {x}][eqn: (x != 0)]이고 [eqn: g(x)]는 실수 전체에서 연속이므로 [eqn: x=0]에서도 연속이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0-} {} g(x)=g(0)]이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 0+} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0+} {} ``|`` f(x-p)+q ``|`` = ``|`` f(-p)+q ``|``],

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} g(x)= lim _{x ``->`` 0-} { left |`` f(x-p)+q ``right | } =it-left |`` f(-p)+q ``right |]

에서 [eqn: f(-p)+q= 0]

[eqn: THEREFORE ```` f(-p)=it-q]

또, [eqn: g(0) = 0]이므로 [eqn: g(x)]는 원점을 지난다.

따라서 [eqn: g(x)= {cases{ {left |`` x ``right | left |`` f LEFT ( x-p RIGHT ) +q ``right | } over {x} & & &(x != 0)# `````````````````````````` g(0)& & &(x=0)}}]

이 때 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x ^{2} -9x-12]이므로

[eqn: f'(x)][eqn: =3x ^{2} -6x-9]
[eqn: =3(x+1)(x-3)]

[eqn: x]		[eqn: -1]		[eqn: 3]
[eqn: f``'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	↗	[eqn: -7]	↘	[eqn: -39]	↗

이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: h(x)][eqn: = {left |`` x ``right | left |`` f ( x) ``right | } over {x}] (단, [eqn: x!=0])이라 하면

(ⅰ) [eqn: x>0]에서 [eqn: y=|``f(x)``|]

(ⅱ) [eqn: x<0]에서 [eqn: y= - |``f(x)``|]

따라서 [eqn: y=h(x)]의 그래프는 다음과 같다.

위의 그래프에서 미분불가능한 점이 [eqn: 2]개다. 그런데, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: y=h(x)]의 그래프를 [eqn: x]축으로 [eqn: p]만큼 [eqn: y]축으로 [eqn: q]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: g(x)]의 그래프에서 미분불가능한 점이 [eqn: 1]개가 되기 위해선 원래의 함수 [eqn: y=f(x)]의 평행이동한 함수 [eqn: y=f(x-p)+q]의 극점 중 한 개가 원점에 와야 한다.

즉, 극점이 원점으로 옮겨져야 한다.

따라서 [eqn: y=f(x)]의 극점 [eqn: (-1 ,```` -7)], [eqn: (3 ,```` -39)]에 대하여

(ⅰ) 극점 [eqn: (-1 ,```` -7)]이 원점이 되는 경우

[eqn: p=1 ,```` q=7]

(ⅱ) 극점 [eqn: (3 ,```` -39)]이 원점이 되는 경우
[eqn: p=-3,````q=39]
그런데 [eqn: p,````q]가 양수이어야 하므로 모순

(ⅰ), (ⅱ)에서 만족하는 [eqn: p,````q]의 값은 [eqn: p=1 ,```` q=7]

[eqn: THEREFORE ```` p+q=1+7=8]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: xg(x)= left |`` xf(x-p)+qx ``right |]이다.

(나) 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않는 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 1]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
05 활용5 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

(가), (나)에서 [eqn: f(x)=x^{4}+b x^{2}+7]

[eqn: f(1)=1+b+7=2], [eqn: b=-6]

그러므로 [eqn: f(x)=x^{4}-6 x^{2}+7]

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}-12 x=4 x left(x^{2}-3 right)]

극솟값은 [eqn: x^{2}=3]일 때, [eqn: 9-18+7=-2]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이다.

(나) 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값 [eqn: rm 7]을 갖는다.

[eqn: f(1)=2]일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
06 활용6 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 30

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 39 }]

[해설]

[eqn: y= left |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]가 조건에서

[eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) = left |`` f LEFT ( 0 RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT ) ``right | =0]

[eqn: therefore][eqn: f(0)=g(0)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또, [eqn: x=0]에서 미분가능해야 하므로

[eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) -g' LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( 0 RIGHT ) -f' LEFT ( 0 RIGHT )]

즉, [eqn: f' LEFT ( 0 RIGHT ) =g' LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: h``'(0)=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

그런데, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수이고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이고 [eqn: x=0]에서 중근을 가져야 하므로

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} LEFT ( x-beta RIGHT )]

로 놓을 수 있다.

또한 [eqn: x<1]인 모든 구간에서도 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = left |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``right |]가 미분가능해야 하므로 아래 그림과 같이 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]이어야 한다.

즉, [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{-f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( x<1 RIGHT )#````````f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

[eqn: x=1]에서 미분가능하므로 연속이어야 한다.

즉, [eqn: -f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( 1 RIGHT )]

또 미분가능하므로 [eqn: -f' LEFT ( 1 RIGHT ) +g' LEFT ( 1 RIGHT ) =f' LEFT ( 1 RIGHT ) +g' LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0 ,```` f``' LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-alpha RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉢

로 놓을 수 있다.

㉠에서 [eqn: g(0) =f(0)]이고, ㉢에서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-alpha]이므로

[eqn: g(0)= -alpha]

㉢을 미분하면 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x- alpha RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡에서 [eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT ) =f' LEFT ( 0 RIGHT )]이고, ㉣에서 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =1+2 alpha]이므로

[eqn: g' LEFT ( 0 RIGHT ) = 1+ 2alpha]

따라서 [eqn: g(x)]는 [eqn: (0,````-alpha)]를 지나고 기울기가 [eqn: 1+2alpha]인 일차함수이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1+2 alpha RIGHT ) x- alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉤

조건에서 [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]이고, ㉢에서 [eqn: f(2) = 2- alpha], ㉤에서 [eqn: g(2) = 3alpha +2]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) = LEFT ( 2- alpha RIGHT ) +2+4 alpha - alpha =5]

[eqn: therefore][eqn: alpha = {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2x- {1} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: h LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 4 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )]
[eqn: = {7} over {2} TIMES 3 ^{2} + {15} over {2}]
[eqn: = {78} over {2}][eqn: =39]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) ``RIGHT | &&& LEFT ( x<1 RIGHT )# `````f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )&&& LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}}]

이라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: h LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 30

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 105]

[해설]

삼차함수 [eqn: f(x)]의 최고차항의 개수를 [eqn: p(≠0)]라 하면

조건 (가)에서

[eqn: f(x) = p(x-1) (x-3) (x-q) (p, q]는 상수[eqn: )]

로 놓을 수 있고,

조건 (나)에서 [eqn: q<1]이다. 이때

[eqn: f(a-x)][eqn: = p(a-x-1) (a-x-3) (a-x-q)]
[eqn: = -p (x-a+1) (x-a+3) (x-a+q)]

이므로

[eqn: f(x) f(a-x)][eqn: = -p^2 (x-1) (x-3) (x-q)]
[eqn: times (x-a+1) (x-a+3) (x-a+q)]

따라서

[eqn: g(x)][eqn: =vert f(x)f(a-x)vert]
[eqn: = p^2 |(x-1) (x-3) (x-q)]
[eqn: times (x-a+1)(x-a+3) (x-a+q)|]

이고 [eqn: p<1<3]이고 [eqn: a-3 < a-1 <a-q]이므로

함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하려면

[eqn: g(x) = p^2 | (x-alpha )^2 (x-beta )^2 (x-gamma)^2 |] 꼴이어야 한다.

따라서

[eqn: a-3 = q,][eqn: a-1=1], [eqn: a-q=3] 이어야 한다.

따라서 [eqn: a=2], [eqn: q=-1]이므로

[eqn: f(x) = p(x+1) (x-1) (x-3)]

[eqn: f(a-x) = -p (x+1) (x-1) (x-3) = -f(x)]이다.

따라서

[eqn: g(x) = |f(x)f(a-x)|=f(x)^2] 이므로

[eqn: {g(4a)} over {f(0) times f(4a)][eqn: = {f(8)^2} over {f(0) times f(8)]
[eqn: = {f(8)} over {f(0)]
[eqn: = {p times 9 times 7 times 5} over {p times 1 times (-1) times (-3)]
[eqn: =105]

(가) [eqn: f(1)=f(3)=0]

(나) 집합 [eqn: left{ x `|` x geq 1 right.]이고 [eqn: left.f `prime (x)=0 it right}]의 원소의 개수는 [eqn: rm 1]이다.

상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: g(x)=|f(x) f(a-x)|]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: {g(4 a)} over {f(0) times f(4 a)}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 22

양수 [eqn: a]에 대하여 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 108]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: x != 0,`x != 2`]일 때,

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {x LEFT ( x-3 RIGHT )} over {LEFT | x LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT |} LEFT ( LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a RIGHT )]

[eqn: x<0] 또는 [eqn: x>2]일 때, [eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) >0]이고

[eqn: 0<x<2]일 때, [eqn: x LEFT ( x-2 RIGHT ) <0]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a&~~~ LEFT ( x<0`~또는~`x>0 RIGHT )#eqalign{# a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}&eqalign{# ~~~ LEFT ( 0<x<2 RIGHT )}}}]

조건 (나)에 의해 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0,`x=2]에서 미분 가능하므로  [eqn: x=0,`x=2]에서 연속이다.

즉, [eqn: lim _{x rarrow 0-} {g LEFT ( x RIGHT )} `=` lim _{x rarrow 0+} {g LEFT ( x RIGHT )}]에서 [eqn: LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | -a=a- LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT |]

그러므로 [eqn: LEFT | f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =a]에서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =` lim _{x rarrow 0+} {g LEFT ( x RIGHT )} =0]

같은 방법으로 [eqn: LEFT | f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT | =a]에서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =0]

그러므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a&LEFT ( x<0`또는`x>0 RIGHT )#a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |&LEFT ( 0 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}}]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=0] 에서 미분가능하므로

[eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}}]□

즉, [eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠□

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a] 인 경우
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 연속이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) >0]이므로
[eqn: lim _{x rarrow 0} {f LEFT ( x RIGHT )} >0]이다. 그러므로
[eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0-} {` {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}} =f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,][eqn: lim _{x rarrow 0+} {` {a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =-f prime LEFT ( 0 RIGHT )]
㉠에서 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =-f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,`f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0] □ □

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-a] 인 경우
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 연속이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) <0]이므로
[eqn: lim _{x rarrow 0} {f LEFT ( x RIGHT )} <0]이다. 그러므로
[eqn: lim _{x rarrow 0-} {` {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | -a} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0-} {` {-f LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT )} over {x}} =-f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,]
[eqn: lim _{x rarrow 0+} {` {a- LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x}} `=` lim _{x rarrow 0+} {` {-f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT )} over {x}} =f prime LEFT ( 0 RIGHT )]
㉠에서 [eqn: -f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =f prime LEFT ( 0 RIGHT ) ,`f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0] □

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=2] 에서도 미분가능하므로 같은 방법으로 [eqn: f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0] 이다.

그러므로 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]과 [eqn: x=2]에서 극값을 갖고 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: x=0]에서 극댓값 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =a], [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-a]를 갖는다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +px ^{2} +qx+a] ([eqn: p,~q]는 상수)라 하면

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +2px+q] 이고 [eqn: f prime LEFT ( 0 RIGHT ) =f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: p=-3,`q=0]이다. 즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +a]

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2 ^{3} -3 TIMES 2 ^{2} +a=-a]이므로 [eqn: a=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2} +2]이므로

[eqn: g LEFT ( 3a RIGHT ) =g LEFT ( 6 RIGHT ) = LEFT | f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT | -2= LEFT | 6 ^{3} -3 TIMES 6 ^{2} +2 RIGHT | -2=108]

[참고]

[1] [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =a] 또는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =-a]인 경우 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 극댓값과 극솟값이 서로 같을 수 없으므로 모순이다.

[2] [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-a,`f LEFT ( 2 RIGHT ) =a]인 경우 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로 모순이다.

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: LEFT | `x LEFT ( x-2 RIGHT ) ` RIGHT | g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT | -a RIGHT )]
이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =0]과 [eqn: x][eqn: =2]에서 미분가능하다.

[eqn: g LEFT ( 3a RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 10

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: 3]보다 작은 실수 [eqn: a]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=a]에서 미분가능하고 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =0]이므로

[eqn: lim _{x` rarrow a-} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-a} = lim _{x` rarrow a+} {{g LEFT ( x RIGHT )} over {x-a} ,}}]

[eqn: lim _{x` rarrow a-} {{LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a} = lim _{x` rarrow a+} {{LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a} ,}}]

[eqn: lim _{x` rarrow a-} {{- LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a} = lim _{x` rarrow a+} {{LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {x-a}}}]

그러므로 [eqn: - LEFT | f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT |]에서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-k RIGHT ) `` LEFT ( k는`상수 RIGHT )]라 하면

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-k RIGHT ) RIGHT |]가 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않으므로 [eqn: k=3]이다.

그러므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT )]이라 하면

[eqn: a<3]이고 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 32]으므로 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]의 극솟값은 [eqn: -32]이다.

[eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) + LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} = LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( 3x-6-a RIGHT ) =0]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {6+a} over {3}]에서 극솟값 [eqn: -32]를 갖는다.

[eqn: h LEFT ( {6+a} over {3} RIGHT ) = LEFT ( {6+a} over {3} -a RIGHT ) ^{2} LEFT ( {6+a} over {3} -3 RIGHT ) =`-4 LEFT ( 1- {a} over {3} RIGHT ) ^{3} =-32]

[eqn: LEFT ( 1- {a} over {3} RIGHT ) ^{3} =8]이므로 [eqn: 1- {a} over {3} =2]에서 [eqn: a=-3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =7]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | ` LEFT ( x-a RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |]

가 [eqn: x=3]에서만 미분가능하지 않다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 [eqn: 32]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[해설]

[eqn: i(x) = left |`` f(x) ``right |]로 놓으면 함수 [eqn: f(x)]는 다항함수이므로 모든 [eqn: x]의 값에 대하여

[eqn: lim _{ h ``->`` 0+} { { i (x+h) -i(x)} over { h} } ,```` lim _{ h ``->`` 0-} { { i (x+h) -i(x)} over { h} }]

의 값이 항상 존재한다.

따라서

[eqn: lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]

[eqn: = lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | + left |`` f(x) ``right | } over { h} }]

[eqn: = lim _{ h ``->`` 0+} { { i(x+h) -i(x)} over { h} } + lim _{ h ``->`` 0+} { { i(x-h)-i(x)} over { -h} }]

(ⅰ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha) =0 ,```` f '(alpha) ne 0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = cases{ f(x-3) times left{` - 2 f '(x) `right} &&&(x <alpha) # ``````````````````````````````````` 0 &&&(x = alpha) # f(x-3) times left{` 2 f '(x) `right} &&&(x >alpha) }]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는 [eqn: lim _{ x ``->`` alpha- } { g(x)} =lim _{ x ``->`` alpha+ } { g(x)} =g(alpha)]이어야 하므로
[eqn: f(alpha-3) times left{` -2 f '(alpha) `right} = f(alpha-3) times left{` 2 f '(alpha) `right} =0]
그런데 [eqn: f '(alpha) ne 0], [eqn: f(alpha-3) ne 0]이므로 모순이다.

(ⅱ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하지 않고 [eqn: f(alpha) =0 ,```` f '(alpha)=0]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = cases{ f(x-3) times left{` - 2 f '(x) `right} &&&(x <alpha) # ```````````````````````````````` 0 &&&(x = alpha) # f(x-3) times left{` 2 f '(x) `right} &&&(x >alpha) }]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는
[eqn: lim _{ x ``->`` alpha- } { g(x)} =lim _{ x ``->`` alpha+ } { g(x)} =g(alpha)]이어야 하고 [eqn: f '(alpha) =0]이므로
[eqn: f(alpha-3) times left{` - 2 f '(alpha) right][eqn: = f(alpha-3) times left{` 2 f '(alpha) `right} =0]
이 성립한다.
그런데, 방정식 [eqn: g(x)=0]을 만족시키는 실근은
[eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= alpha+3]
으로 [eqn: 2]개 뿐이므로 조건 (나)를 만족시키지 못한다.

(ⅲ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(alpha) ne 0], [eqn: f( beta) ne 0], [eqn: f '(alpha) = f '(beta) =0]인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k) =0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅳ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k) =0], [eqn: f(alpha) ne 0], [eqn: f(beta) =0], [eqn: f '( alpha )=f '( beta )=0][eqn: (k< alpha < beta )]인 경우

(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k) =0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅴ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k)=0], [eqn: f(l) =0], [eqn: f(m) =0], [eqn: f '(alpha) = f '(beta) =0 ( k <alpha<l<beta<m)]인 경우
(ⅰ)의 경우와 같이 [eqn: f(k)=0]을 만족시키는 [eqn: x=k]에서 함수 [eqn: g(x)]는 연속이 아니므로 조건 (가)를 만족시키지 못한다.

(ⅵ) 함수 [eqn: f(x)]의 극값이 존재하고 [eqn: f(k) =0], [eqn: f(alpha) =0], [eqn: f(beta) ne 0], [eqn: f '(alpha) =f '(beta) =0 (alpha< beta<k)]인 경우

[eqn: g(x)][eqn: = f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]
[eqn: = f(x-3)]
[eqn: TIMES LEFT { lim _{h ``->`` 0+} { {i(x+h)-i(x)} over {h} + lim _{h ``->`` 0+} { {i(x-h)-i(x)} over {-h}}} RIGHT }]
[eqn: = {cases{ f(x-3) TIMES LEFT { -2f prime (x) RIGHT }&&&(x<k)# ```````````````````````````````` 0&&&(x=k)# f(x-3) TIMES LEFT { 2f prime (x) RIGHT }&&&(x>k)}}]

이때 조건 (가)를 만족시키기 위해서는
[eqn: lim _{x ``->`` k-} { g(x)} = lim _{x ``->`` k+} { g(x)} =g(k)]이어야 하므로
[eqn: f(k-3) times left{` -2 f '(k) `right} = f(k-3) times left{` 2 f '(k) `right} =0]
그런데 [eqn: f '(k ) ne0]이므로 [eqn: f(k-3)=0]이고
[eqn: k-3 =alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉠
즉, [eqn: k= alpha+3]이면 조건 (가)를 만족시킨다.

또한, 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근은
[eqn: x<k]일 때 [eqn: x= alpha] 또는 [eqn: x= beta]
[eqn: x =k]일 때 [eqn: x=k]
[eqn: x >k]일 때 [eqn: x= k+3]이고 조건 (나)에서 서로 다른 네 실근의 합이 [eqn: 4]이므로
[eqn: alpha+ beta +k+k+3 =7]
[eqn: alpha+ beta+ 2k =4]	[eqn: cdotscdots] ㉡
또한, [eqn: f(x)= (x-alpha)^2 (x-k)]이고 [eqn: f '(x) = (x-alpha) (3x-2k-alpha)]이므로 [eqn: f '(x) =0]에서

[eqn: beta = { alpha+2k} over { 3}]

㉡에 대입하여 정리하면 [eqn: alpha+ 2k =3]

㉠, ㉡에서 [eqn: alpha= it -1], [eqn: k=2]이므로 [eqn: f(x)= (x+1)^2 (x-2)]

따라서 [eqn: f(5)= (5+1)^2 (5-2) =36 times3 =108]

[eqn: g(x)= f(x-3) times lim _{ h ``->`` 0+} { { left |`` f(x+h) ``right | - left |`` f(x-h) ``right | } over { h} }]

가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f(5)]의 값을 구하시오.

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(나) 방정식 [eqn: g(x) =0]은 서로 다른 네 실근 [eqn: alpha_1], [eqn: alpha_2], [eqn: alpha_3], [eqn: alpha_4]를 갖고 [eqn: alpha_1 +alpha_2 + alpha_3 +alpha_4 =7]이다.

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

최고차항의 계수가 [eqn: {1}{{from^2021^7^경찰대^중}}]인 두 이차다항식 [eqn: P LEFT ( x RIGHT )], [eqn: Q LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) P LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

(나)에서 [eqn: -4 ,```` a _{1} ,```` a _{2} ,```` a _{3} ,```` 4]는 등차수열이므로 각각 [eqn: -4 ,```` -2 ,```` 0 ,```` 2 ,```` 4]이다.

[eqn: f ' LEFT ( -4 RIGHT )][eqn: != 0], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: != 0]이고 (다)에서 [eqn: f prime LEFT ( a RIGHT )][eqn: =0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT ) ^2] ([eqn: a=-2 ,```` 0 ,```` 2])

의 꼴을 가진다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 다음 3가지의 조합이 가능하다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) (x+2) ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) x ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+4 RIGHT ) (x-2) ^{2}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 (ⅱ)의 경우이다.

즉, [eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) x ^{2}= LEFT ( x-4 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]에서

[eqn: x ^{3} +4x ^{2} =x ^{3} -4x ^{2} -4x+16]

[eqn: 8x ^{2} +4x+6=0]

따라서 이차방정식 [eqn: 8x ^{2} +4x+6=0]의 근과 계수의 관계에서 두 근의 합은 [eqn: - {1} over {2}]

(가) [eqn: f ' LEFT ( -4 RIGHT )][eqn: != 0], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: != 0], [eqn: g LEFT ( -4 RIGHT )][eqn: != 0]

(나) 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]의 서로 다른 모든 해를 크기순으로 나열한 [eqn: -4 ,```` a _{1} ,```` a _{2} ,```` a _{3} ,```` 4]는 등차수열을 이룬다.

(다) [eqn: f ' LEFT ( a _{i} RIGHT )][eqn: =0]인 [eqn: i IN LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]은 하나만 존재하고 모든 [eqn: i IN LEFT { 1 ,```` 2 ,```` 3 RIGHT }]에 대하여 [eqn: g' LEFT ( a _{i} RIGHT )][eqn: != 0]이다.

두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점의 [eqn: x]좌표의 합은?

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 23

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 7]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로

[eqn: f(x) =x^2 +ax+b]

라 하면

[eqn: g(x)= {cases{ -x ^{2} +2x+2 ```` & LEFT ( x<1 RIGHT )# ```````x^2 +ax+b& LEFT ( x GEQ1 RIGHT )}}]에서

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f(1) = lim _{ x``->``1} { (-x^2 +2x+2)}=3]

[eqn: 1+a+b =3], [eqn: b=2-a]

따라서 [eqn: f(x) =x^2 +ax+ (2-a)]

또한, 함수 [eqn: g(x)]가 실수 전체에서 증가해야 하므로

[eqn: g``'(x) = cases { -2x+2 ````&(x<1)#```````2x+a& (x > 1)]

에서 [eqn: x>1]에서 [eqn: 2x+a ge0]을 만족해야 한다.

따라서 [eqn: x=1]을 대입했을 때, [eqn: 2+a ge0]에서

[eqn: a ge -2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(3) = 9+3a +(2-a)][eqn: =2a+11]이므로

㉠에서 [eqn: 2a+11 ge -4+11 =7]

[eqn: therefore][eqn: f(3) ge 7]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 7 from 넘버41]이다.

[다른 풀이]

함수 [eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수이므로

[eqn: f(x) =x^2 +ax+b]

라 하면 [eqn: g(x)= {cases{ -x ^{2} +2x+2 ```` & LEFT ( x<1 RIGHT )# ```````x^2 +ax+b& LEFT ( x GEQ1 RIGHT )}}]

(ⅰ) [eqn: x=1]에서 연속
[eqn: lim_{x`->`1-}g left( x right)=lim_{x`->`1+}g left(x right)=g left(1right)]이어야 하므로
[eqn: 3=1+a+b], [eqn: b=2-a]

(ⅱ) 실수 전체의 집합에서 증가
함수 [eqn: f left(x right)]의 대칭축에서 [eqn: - a over2 le1], [eqn: a ge-2]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f left(3 right)=9+3a+b=9+3a+left(2-a right)=2a+11ge7]

따라서 [eqn: f left(3right)]의 최솟값은 [eqn: 7]이다.

[eqn: g(x)= {cases{ -x ^{2} +2x+2 & & & LEFT ( x<1 RIGHT )# ``````````````````` f(x)& & & LEFT ( x GEQ1 RIGHT )}}]

이라 하자. 함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이고 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 모든 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 22

삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의

[정답] [eqn: 121]

[해설]

[eqn: f(0)=0]이므로

[eqn: f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x(a,`` b,`` c]는 상수 [eqn: )]라 하면

[eqn: f `prime (0)=c], [eqn: g(x)=c x]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (0,``0)]에서의

접선의 기울기 [eqn: c]에 대하여

(i ) [eqn: c=0]이면 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: c>0]이면 [eqn: h(12)>0]이므로 조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(iii) [eqn: c<0], [eqn: a>0]이면 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같으므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(iv) [eqn: c<0], [eqn: a<0]이면 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같은 경우에는 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

그러므로 두 함수 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 다음과 같은 경우에만 조건 (가), (나)를 만족시킨다.

조건 (가)에 의하여

[eqn: f(x)+g(x)=ax(x-k) ^{2}]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

조건 (나)에 의하여

[eqn: -f(x)+g(x)=-ax ^{2} (x-12)]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

두 식 ㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 2 g(x)=2 a(6-k) x^{2}+a k^{2} x]

[eqn: 6-k=0], [eqn: k=6]

[eqn: g(x)=18 a x]

[eqn: f(x)=a x(x-6)^{2}-18 a x]

[eqn: ~ =a x left(x^{2}-12 x+18 right)]

방정식 [eqn: x^{2}-12 x+18=0]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta( alpha< beta)]라 하면 [eqn: alpha=6-3 sqrt{2}], [eqn: beta=6+3 sqrt{2}]

함수 [eqn: h(x)]는 다음과 같다.

[eqn: h(x)=cases{a x(x-6)^{2} && (x<0 또는~ alpha leq x< beta) #-a x^{2}(x-12) && (0 leq x< alpha 또는~ x geq beta)}]

[eqn: alpha<3< beta]이므로

[eqn: h(3)=a times 3 times(3-6)^{2}=27 a=-{9} over {2}]

[eqn: a=-{1} over {6}], [eqn: c=-3]

[eqn: h(x)= {cases{- {1} over {6} x(x-6) ^{2} ~(x<0또는~ alpha LEQ x< beta )#{1} over {6} x ^{2} (x-12)~(0 LEQ x< alpha 또는~x GEQ beta )}]
[eqn: alpha =6-3 sqrt {2}], [eqn: beta=6+3 sqrt {2}]이므로

[eqn: alpha<6<beta<11]

[eqn: h LEFT ( 6 RIGHT ) =0], [eqn: h LEFT ( 11 RIGHT ) = {1} over {6} times11 ^{2} times LEFT ( -1 RIGHT ) =- {121} over {6}]

따라서

[eqn: k`times LEFT { h LEFT ( 6 RIGHT ) -h LEFT ( 11 RIGHT ) RIGHT } =6 TIMES LEFT { 0- LEFT ( - {121} over {6} RIGHT ) RIGHT } =121]

점 [eqn: (0,``0)]에서의 접선의 방정식을 [eqn: y=g(x)]라 할 때, 함수 [eqn: h(x)]를

[eqn: h(x)=|f(x)|+g(x)]

라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 곡선 [eqn: y=h(x)] 위의 점 [eqn: (k,`` 0)(k neq 0)]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=0]이다.

(나) 방정식 [eqn: h(x)=0]의 실근 중에서 가장 큰 값은 [eqn: rm 12]이다.

[eqn: h(3)=-{9} over {2}]일 때, [eqn: k times left{ h(6)-h(11) it right}]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: k]는 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 7

최고차항의 계수가 [eqn: {1 }]인 삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=it-1]에서 극값을 갖는다.

[정답] ④

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f left(x right)]를

[eqn: f left(x right)=x^3 +ax^2 +bx+c]

라 하면 [eqn: f`prime left(x right)=3x^2 +2ax+b]

[eqn: f`prime left(-1right)=f `prime left(1right)=0]이므로 [eqn: 3x^2 +2ax+b=0]의 두 근이 [eqn: -1], [eqn: 1]이다. 따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: - 2a over3 =0], [eqn: b over3 =it-1]

즉 [eqn: a=0], [eqn: b=it-3]이므로 [eqn: f left(x right)=x^3 -3x+c]

[eqn: f left(x right)le 9x+9]에서

[eqn: x^3 -12x le 9-c]

[eqn: g left(x right)=x^3 -12x]라 하면 [eqn: g`prime left(x right)=3x^2 -12=3left(x+2right)left(x-2right)]

[eqn: g`prime left(x right)=0]에서 [eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: g left(x right)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: g `prime left(x right)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: g left(x right)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=it-2]에서 극댓값 [eqn: g left(-2right)=16], [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: g left(2right)=it-16]을 가지므로 그래프는 다음과 같다.

[eqn: f left(x right)le 9x+9]를 만족하는 [eqn: x]의 범위가 [eqn: x le a]이므로 위의 그림에서 [eqn: 9-c ge16]을 만족해야 하고 [eqn: g left(x right)=16]에서

[eqn: x^3 -12x=16], [eqn: left(x+2right)^2 left(x-4right)=0]

이므로 [eqn: a ge4]이다.

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4]이다.

[다른 풀이]

삼차함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고, [eqn: x=1]과 [eqn: x=-1]에서 극값을 가지므로

[eqn: f``'(x) = 3left(x+1right)left(x-1right) = 3x^2 -3]

[eqn: therefore][eqn: f(x)][eqn: =int {f``'(x) dx = int {(3x^2 -3 ) dx} }]
[eqn: =x^3 -3x+C]

[eqn: left{` x ``|`` f(x) le 9x+9 `right} = (-inf ,```` a ]]를 만족하므로

[eqn: x^3 -3x+C le 9x+9]

즉, [eqn: x^3 - 12x +C-9 le 0]을 만족하는 범위는 [eqn: x le a] ([eqn: a>0])이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

극대가 되는 [eqn: x=-2]에서 (극댓값)[eqn: le 0]을 만족해야 하므로

[eqn: -8+24 +C-9 le 0], [eqn: C le -7]	[eqn: cdotscdots] ㉠

그런데 [eqn: x=a]가 [eqn: y=f(x)]의 근이므로

[eqn: a^3 -12a +C-9 =0]

[eqn: C= -a^3 +12a +9]

㉠에 대입하면 [eqn: -a^3 +12a+9 le -7]

따라서 [eqn: a^3 -12a -16 ge 0]

인수정리를 이용하면 [eqn: (a-4)(a+2)^2 ge 0]이므로

[eqn: a-4 ge 0]

따라서 양수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 4 from 넘버41]이다.

[eqn: left{` x `left|` f(x) le 9x+9 `right} = left(-inf ,`` a right]]

를 만족시키는 양수 [eqn: a]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 13

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(0)={1} over {2}]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 극값을 가지므로 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha]에서 극댓값을 갖고 [eqn: x= beta]에서 극솟값을 갖는다고 하자.

(i ) [eqn: alpha< beta leq-2]인 경우
[eqn: x geq-2]에서 함수 [eqn: g(x)]는 증가한다.
[eqn: f(-2)<g(-2)<g(2)]
[eqn: g(2) neq f(-2)]이므로 모순

(ii) [eqn: alpha < it - 2< beta]인 경우
방정식 [eqn: g(x)=f(-2)]의 실근이 열린구간 [eqn: (- inf ,`` alpha)]에서 존재하므로 모순

(iii) [eqn: alpha=-2]인 경우
방정식 [eqn: g(x)=f(-2)]의 실근이 [eqn: rm 2]뿐이므로 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 극솟값을 갖는다.
[eqn: f `prime (x)=3(x+2)(x-2)]
[eqn: f(x)=x^{3}-12 x+{1} over {2}]
[eqn: g(2) neq f(-2)]이므로 모순

(iv) [eqn: -2< alpha< beta]인 경우
함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g(2)=f(-2)]이므로 [eqn: f(2)+8=f(-2)][eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+{1} over {2}(a,`` b]는 상수[eqn: )]라 하자. [eqn: 8+4 a+2 b+{1} over {2}+8=-8+4 a-2 b+{1} over {2}]

[eqn: b=-6], [eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}-6 x+{1} over {2}]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x-6]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: f `prime (2)=12+4 a-6=0], [eqn: a=-{3} over {2}]

[eqn: f(x)=x^{3}-{3} over {2} x^{2}-6 x+{1} over {2}]이므로 [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-3 x-6=3(x+1)(x-2)]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 극댓값은 [eqn: f(-1)=4]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x < it - 2) #f(x)+8 && (x geq-2)}]

라 하자. 방정식 [eqn: g(x)=f(-2)]의 실근이 [eqn: rm 2]뿐일 때, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은?

① [eqn: rm 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
03 증가감소와 극대극소의 활용
07 활용7 (정의된 함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 30

양의 실수 [eqn: t]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 35]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: g(k)=0]인 양수 [eqn: k]가 존재한다.

[eqn: g(k)={f(k)-f(0)} over {k}=0]

[eqn: f(k)=f(0)]

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: f(x)]의

그래프는 점 [eqn: (k,`` f(k))]에서 직선 [eqn: y=f(0)]과 접한다.

[eqn: f(x)=x(x-k)^{2}+f(0)]

[eqn: f `prime (x)=(x-k)^{2}+2 x(x-k)]

[eqn: =(3 x-k)(x-k) cdots cdots] ㉠

[eqn: g(t)={f(t)-f(0)} over {t}={t(t-k)^{2}} over {t}=(t-k)^{2}]

조건 (나)에서 [eqn: f `prime (a)=g(a)]

[eqn: (3 a-k)(a-k)=(a-k)^{2}]

[eqn: 2 a(a-k)=0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=k]

㉠에서 [eqn: f `prime (k)=0]이므로

[eqn: g(a)=0 ~ cdots cdots] ㉡

조건 (나)에서 [eqn: f `prime left({5} over {3} right)=g(a)]이고

㉡에서 [eqn: g(a)=0]이므로 [eqn: f `prime left({5} over {3} right)=0]

㉠에서 [eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x={k} over {3}] 또는 [eqn: x=k]이므로

[eqn: {k} over {3}={5} over {3}] 또는 [eqn: k={5} over {3}]

따라서 [eqn: k=5]

[eqn: f `prime (x)=(3 x-5)(x-5)]

[eqn: g(t)=(t-5)^{2}]

이차방정식 [eqn: f `prime (x)=g(m)]에서

[eqn: 3 x^{2}-20 x-m^{2}+10 m=0]

이차방정식 [eqn: f `prime (x)-g(m)=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D=(-20)^{2}-4 times 3 times left(-m^{2}+10 m right)]

[eqn: =12(m-5)^{2}+100>0]

이므로 이차방정식 [eqn: f `prime (x)-g(m)=0]은 [eqn: m]의 값에 관계없이 서로 다른 두 실근을 갖는다.

서로 다른 두 실근을 [eqn: c_{1}], [eqn: c_{2} left(c_{1}<c_{2} right)]라 하자.

[eqn: n left(A_{m} right)=2]이려면

[eqn: 0<c_{1}<c_{2} leq m]이어야 한다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: c_{1} c_{2}={-m^{2}+10 m} over {3}>0]

[eqn: 0<m<10]

두 함수 [eqn: y=f `prime (x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: g(m)=(m-5)^{2} geq 0]이므로

[eqn: f `prime (x)=g(m)]에서

[eqn: f `prime (x)=(3 x-5)(x-5) geq 0]

[eqn: x leq {5} over {3}] 또는 [eqn: x geq 5]

(i) [eqn: 0<m<5]인 경우

[eqn: 0<c_{1}<m<5<c_{2}]이므로
[eqn: A_{m}= left{ c_{1} it right}]
[eqn: n left(A_{m} right) neq 2]

(ii) [eqn: m=5]인 경우
[eqn: g(5)=0]이므로
[eqn: f `prime (x)=g(5)=0]
[eqn: (3 x-5)(x-5)=0]
[eqn: x={5} over {3}] 또는 [eqn: x=5]
[eqn: A_{5}= left{ {5} over {3}], [eqn: 5 it right}]
[eqn: n left(A_{5} right)=2]

(iii) [eqn: 5<m<10]인 경우

[eqn: 0<c_{1}<c_{2}<m]이므로
[eqn: A_{m}= left{ c_{1}], [eqn: c_{2} it right}]
[eqn: n left(A_{m} right)=2]

(i), (ii), (iii)에 의해 [eqn: n left(A_{m} right)=2]를 만족시키는

자연수 [eqn: m]은 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]

따라서 [eqn: 5+6+7+8+9=35]

[eqn: g(t)={f(t)-f(0)} over {t}]

이라 하자. 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(t)]의 최솟값은 [eqn: rm 0]이다.

(나) [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f `prime (x)=g(a)]를 만족시키는 [eqn: x]의 값은 [eqn: a]와 [eqn: {5} over {3}]이다. (단, [eqn: a>{5} over {3}]인 상수이다.)

자연수 [eqn: m]에 대하여 집합 [eqn: A_{m}]을

[eqn: A_{m}= left{ x `|` f `prime (x)=g(m)], [eqn: 0<x leq m it right}]

이라 할 때, [eqn: n left(A_{m} right)=2]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 30

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]는

[정답] [eqn: 36]

[해설]

[eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같아야 한다.

[eqn: x>0]일 때,

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-4 a x+a^{2}=4]인 점을 [eqn: x=b], [eqn: c(b<c)]라 하면 [eqn: b+c={4 a} over {3}], [eqn: b c={a^{2}-4} over {3}]

[eqn: {c(c-a)^{2}+b(-b+a)^{2}} over {c+b}=4]

이것을 풀면

[eqn: c^{2}+b^{2}=(c+b)^{2}-2 b c={10} over {9} a^{2}+{8} over {3}]

[eqn: c^{3}+b^{3}=(c+b)^{3}-3 b c(b+c)={28} over {27} a^{3}+{16} over {3} a]

[eqn: c^{3}+b^{3}-2 a left(c^{2}+b^{2} right)+a^{2}(c+b)=4(c+b)]

즉, [eqn: left({28} over {27} a^{3}+{16} over {3} a right)-2 a left({10} over {9} a^{2}+{8} over {3} right)+{4} over {3} a^{3}={16} over {3} a]

[eqn: therefore~f `prime (0)=a^{2}=36]

[eqn: f(x)=cases{x(x+a)^{2} && (x<0) #x(x-a)^{2} && (x geq 0)}]

이다. 실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=4 x+t]의 서로 다른 교점의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g(t)]의 최댓값은 [eqn: rm 5]이다.

(나) 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t= alpha]에서 불연속인 [eqn: alpha]의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

[eqn: f `prime (0)]의 값을 구하시오.

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
02 최대와 최소2 (함수 구한 후 Mm)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 17

[eqn: 0<a<6]인 실수 [eqn: a]에 대하여 원점에서 곡선 [eqn: y=x(x-a)(x-6)]에 그은 두 접선의 기울기의 곱의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)=x(x-a)(x-6)]이라 하자.

[eqn: f(0)=0]이므로 원점은 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이고

원점에서 접하는 접선의 기울기는 [eqn: f `prime (0)]이다.

원점이 아닌 점 [eqn: (t,`` f(t))]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y-f(t)=f `prime (t)(x-t)]이고 이 직선이 원점을 지나므로 [eqn: 0-f(t)=f `prime (t)(0-t)]

[eqn: t f `prime (t)-f(t)=0 ~ cdots cdots]㉠

[eqn: f(x)=x^{3}-(a+6) x^{2}+6 a x]에서

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-2(a+6) x+6 a]

이므로 ㉠에서

[eqn: t left{ 3 t^{2}-2(a+6) t+6 a it right} - left{ t^{3}-(a+6) t^{2}+6 a t it right} =0]

[eqn: 2 t^{3}-(a+6) t^{2}=0], [eqn: t^{2} left{ 2 t-(a+6) it right} =0]

[eqn: t neq 0]이므로 [eqn: t={a+6} over {2}]이다.

[eqn: f `prime (0)=6 a], [eqn: f `prime left({a+6} over {2} right)=-{1} over {4} left(a^{2}-12 a+36 right)]

이므로 [eqn: 0<a<6]인 실수 [eqn: a]에 대하여 두 접선의 기울기의 곱을 [eqn: g(a)]라 하면

[eqn: g(a)=-{3} over {2} left(a^{3}-12 a^{2}+36 a right)]

[eqn: g `prime (a)=-{3} over {2} left(3 a^{2}-24 a+36 right)=-{9} over {2}(a-2)(a-6)]

[eqn: 0<a<6]이므로 [eqn: g `prime (a)=0]에서 [eqn: a=2]

[eqn: 0<a<6]에서 함수 [eqn: g(a)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: (0)]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]	[eqn: (6)]
[eqn: g `prime (a)]		[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: g(a)]		[eqn: searrow]	[eqn: -48]	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: g(a)]는 [eqn: a=2]일 때 극소이면서 최소가 된다. 따라서 [eqn: 0<a<6]에서 함수 [eqn: g(a)]의 최솟값은 [eqn: g(2)=-48]이다.

① [eqn: -54]	② [eqn: -51]	③ [eqn: -48]

④ [eqn: -45]	⑤ [eqn: -42]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
03 최대와 최소3 (Mm 조건 해석)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 12

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,`` 3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )=x ^{3} -6x ^{2} +9x+a]의 최댓값이 [eqn: 12]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=x ^{3} -6x ^{2} +9x+a]에서

[eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -12x+9]
[eqn: =3 LEFT (x-1 RIGHT ) LEFT (x-3 RIGHT )]

[eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )=0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=3]

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: {x}]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]
[eqn: f `prime LEFT (x RIGHT )]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f LEFT (x RIGHT )]	[eqn: a]	[eqn: NEARROW]	[eqn: a+4]	[eqn: SEARROW]	[eqn: a]

닫힌구간 [eqn: LEFT [0,`` 3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]의 최댓값은

[eqn: f LEFT (1 RIGHT )=a+4]이므로 [eqn: a+4=12]에서 [eqn: a=8]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 12

닫힌구간 [eqn: {[-1 ,```` 3]}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: y=x ^{3} -6x ^{2} +5]의 양변을 미분하면

[eqn: y'=3x ^{2} -12x=3x LEFT ( x-4 RIGHT )]

즉, [eqn: y``'=0]에서 [eqn: x=0], [eqn: x=4]이므로

[eqn: x=0]에서 극대, [eqn: x=4]에서 극소를 갖는다.

주어진 범위가 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]이므로 [eqn: x=0]일 때, 최댓값 [eqn: 5], [eqn: x=`-1]에서 최솟값 [eqn: -2]를 갖는다.

즉, [eqn: y=x ^{2} -4x+a][eqn: LEFT ( 1<x LEQ 3 RIGHT )]은 [eqn: x=2]에서 대칭이고 최솟값을 갖는다.

즉, 최댓값이 [eqn: 5]이므로 최솟값은 [eqn: -5]이어야 한다.

따라서 [eqn: a-4=`-5]

[eqn: THEREFORE```` lim _{x->1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =a-3=`-4]

[eqn: f(x)=cases{x^{3}-6x^{2}+5&&&(-1 leq x leq 1)#x^{2}-4x+a&&&(1<x leq 3)]

의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 0]일 때, [eqn: lim_{x ``->`` 1+}f(x)]의 값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: -5]	② [eqn: -{9}over{2}]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -{7}over{2}]	⑤ [eqn: -3]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 10

두 함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)=x^{2}+2 x+k=(x+1)^{2}+k-1]

이므로 함수 [eqn: f(x)]는 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x) geq k-1]이다.

함수 [eqn: g(f(x))]에서 [eqn: f(x)=t]라 하면 [eqn: t geq k-1]이므로 함수 [eqn: g(t)]는 구간 [eqn: [k-1,`` inf )]에서 정의된 함수이다.

한편 [eqn: g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-2]에서

[eqn: g `prime (x)=6 x^{2}-18 x+12=6(x-1)(x-2)]

이므로 [eqn: g `prime (x)=0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=2]이다.

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]에서 극대, [eqn: x=2]에서 극소이다.

[eqn: g(t)=2]에서

[eqn: 2 t^{3}-9 t^{2}+12 t-2=2], [eqn: (2 t-1)(t-2)^{2}=0]

즉, 함수 [eqn: y=g(t)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2]는 그림과 같다.

따라서 [eqn: {1} over {2} leq k-1 leq 2], 즉 [eqn: {3} over {2} leq k leq 3]이므로 조건을 만 족시키는 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: {3} over {2}]이다.

[eqn: f(x)=x^{2}+2 x+k], [eqn: ~ g(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x-2]

에 대하여 함수 [eqn: (g circ f)(x)]의 최솟값이 [eqn: rm 2]가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: {9} over {8}]	③ [eqn: {5} over {4}]

④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
05 최대와 최소5 (활용)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

점 [eqn: {rm{A}} it (1,``0)]과 곡선 [eqn: y=2-x^{2}] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{AP}} it]의 길이를 [eqn: k]라 하자. [eqn: k^{2}]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)= rm overline{A P}= it(x-1)^{2}+ left(2-x^{2} right)^{2}=x^{4}-3 x^{2}-2 x+5]

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}-6 x-2=2(x+1) left(2 x^{2}-2 x-1 right)]

각각 극솟값, 극댓값, 극솟값을 갖는다

그림의 [eqn: f(x)]의 그래프에서 구하는 최솟값은

[eqn: x={1+ sqrt{3}} over {2}]일 때이므로

[eqn: x-1={ sqrt{3}-1} over {2}], [eqn: 2-x^{2}={2- sqrt{3}} over {2}]

[eqn: (x-1)^{2}+ left(2-x^{2} right)^{2}]

[eqn: = left({ sqrt{3}-1} over {2} right)^{2}+ left({2- sqrt{3}} over {2} right)^{2}]

[eqn: {11-6 sqrt{3}} over {4}]

① [eqn: {5-3 sqrt{3}} over {2}]	② [eqn: {6+ sqrt{3}} over {2}]	③ [eqn: {11-6 sqrt{3}} over {4}]

④ [eqn: {5+3 sqrt{3}} over {4}]	⑤ [eqn: {12-5 sqrt{3}} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

좌표평면에서 점 [eqn: {(18 ,`` -1) }]을 지나는 원 [eqn: C]가 곡선 [eqn: y=x^2 -1]과 만나도록 하는 원 [eqn: C]의 반지름의 길이의 최솟값은?

[정답] ④

[해설]

원과 곡선이 만나는 점을 [eqn: rmP left(itx,``x^2 -1right)]라 하고, 점 [eqn: left(18,``-1right)]과 점 [eqn: rmP] 사이의 거리를 [eqn: d]라 하면

[eqn: d=root{left(x-18right)^2 +x^4]

[eqn: f left(x right)=x^4 +left(x-18right)^2]라 하면

[eqn: f`prime left(x right)][eqn: =4x^3 +2left(x-18right)]
[eqn: =2left(2x^3 +x-18right)]
[eqn: =2left(x-2right)left(2x^2 +4x+9right)]

[eqn: f`prime left(x right)=0]에서 [eqn: x=2]

따라서 함수 [eqn: f left(x right)]는 [eqn: x=2]에서 극소이면서 최솟값 [eqn: f left(2right)=272]를 갖는다.

원의 반지름이 최소일 때는 [eqn: d]가 지름일 때이므로 반지름의 최솟값은 [eqn: d over2 ={root272}over2 =2root17]이다.

[다른 풀이]

좌표평면에서 점 [eqn: (18 ,```` -1)]을 지나는 원 [eqn: C]가 곡선 [eqn: y=x^2 -1]과 만나도록 하는 원 [eqn: C]의 반지름의 길이의 최소가 되는 경우는 아래 그림과 같다.

즉, 만나는 접점을 [eqn: {rmP} (itt ,``t^2 -1)]라 하면 곡선 [eqn: y=x^2 -1] 위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선의 기울기는 [eqn: y``' =2t]이다.

직선 [eqn: rm AP]의 기울기와 접선의 기울기가 수직이므로

[eqn: t^2 over{t-18} times 2t =it-1], [eqn: 2t^3 +t-18=0]

[eqn: left(t-2right) left(2t^2 +4t +9right) =0]

[eqn: therefore][eqn: t=2]

따라서 점 [eqn: {rmP} left(2 ,``3right)]이므로 최소가 되는 원 [eqn: C]의 지름은

[eqn: bar {rm AP][eqn: =root{ (18-2)^2 + (-1-3)^2][eqn: = 4 root17]

따라서 원 [eqn: C]의 반지름의 길이의 최솟값은 [eqn: 2root17 from 넘버41]

① [eqn: sqrt17 over2]	② [eqn: sqrt17]	③ [eqn: {3 sqrt17} over2]

④ [eqn: 2 sqrt17]	⑤ [eqn: {5 sqrt17} over2]

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
06 최대와 최소6 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 30

이차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극대이고,

[정답] [eqn: 38]

[해설]

이차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=-1]에서 극대이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=-1]에서 대칭이다. 그러므로

[eqn: f(-2)=f(0)=h(0)]

이때 [eqn: h(0)=k]라 하면 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)][eqn: =a x(x+2)+k]
[eqn: =a x^{2}+2 a x+k ~ (a<0)]

로 놓을 수 있다.

한편, [eqn: g(x)]가 삼차함수이므로 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하기 위해서는 [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=g(x)]에 접하는 접선의 기울기는 음수이어야 한다.

또, 방정식 [eqn: h(x)=h(0)]의 모든 실근이 합이 [eqn: 1]이어야 하므로 다음 두 가지로 나눌 수 있다.

(i) [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 양수인 경우

[eqn: g(x)][eqn: =p x(x-3)(x-q)+k]
[eqn: =p left{ x^{3}-(q+3) x^{2}+3 q x it right} +k]

한편, [eqn: g(x)]의 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이므로 [eqn: q=-3]이고

[eqn: g(x)=p left(x^{3}-9 x right)+k]

이때, [eqn: g `prime (x)=p left(3 x^{2}-9 right)]이므로 [eqn: g `prime (x)=0]에서

[eqn: x= sqrt{3}] 또는 [eqn: x=- sqrt{3}]

그러므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x= sqrt{3}]에서 극소이다.

한편, [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=f(x)]의 접선의 기울기와 [eqn: x=0]에서의 곡선 [eqn: y=g(x)]의 접선의 기울기가 같아야 하고 [eqn: f `prime (x)=2 a x+2 a], [eqn: ~ g `prime (x)=p left(3 x^{2}-9 right)]이므로

[eqn: 2 a=-9 p]	[eqn: cdotscdots]㉠

또, 구간 [eqn: [-2,``3]]에서 [eqn: h(x)]의 최댓값은 [eqn: f(-1)],

최솟값은 [eqn: g( sqrt{3})]이므로 ㉠을 이용하면

[eqn: f(-1)-g( sqrt{3})][eqn: =(-a+k)-(-6 sqrt{3} p+k)]
[eqn: =-a+6 sqrt{3} p]
[eqn: ={9} over {2} p+6 sqrt{3} p]
[eqn: ={9+12 sqrt{3}} over {2} p]
[eqn: =3+4 sqrt{3}]

그러므로

[eqn: p={2} over {3}]이고

[eqn: a=-{9} over {2} p=-3]

따라서

[eqn: f `prime (x)=-6 x-6], [eqn: g `prime (x)=2 x^{2}-6]

이므로

[eqn: h `prime (-3)+h `prime (4)][eqn: =f `prime (-3)+g `prime (4)]
[eqn: =12+26=38]

(ii) [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수인 경우

[eqn: g(x)=p x(x- alpha)(x- beta)+k( alpha+ beta=3)]

로 놓으면

[eqn: g(x)][eqn: =p left{ x^{3}-( alpha+ beta) x^{2}+ alpha beta x it right} +k]
[eqn: =p left{ x^{3}-3 x^{2}+ alpha beta x it right} +k]

이므로 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이 아니다.

그러므로 이러한 경우는 없다.

따라서 (i)에서 구하는 값은 [eqn: rm 38]이다.

삼차함수 [eqn: g(x)]는 이차항의 계수가 [eqn: rm 0]이다. 함수

[eqn: h(x)=cases{f(x) && (x leq 0) #g(x) && (x>0)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h `prime (-3)+h `prime (4)]의 값을 구하시오.

(가) 방정식 [eqn: h(x)=h(0)]의 모든 실근의 합은 [eqn: rm 1]이다.

(나) 닫힌구간 [eqn: [-2,``3]]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최댓값과 최솟값의 차는 [eqn: 3+4 sqrt{3}]이다.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 22

함수

[정답] [eqn: 14`]

[해설]

(가)를 만족하려면 그림과 같이

[eqn: `f(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

[eqn: f`` prime (x) = 3x^2 - 6p x = 3x(x-2p)]

[eqn: f(0) = q > 0], [eqn: f(2p) = -4p^3 +q < 0]

즉 [eqn: q < 4p^3]

(나)를 만족하려면 각 구간에서 최댓값은 [eqn: f(0)= q]일 때이다.

한편 [eqn: f(-1) = -1-3p + q],  [eqn: f(1) = 1- 3p + q]

[eqn: f(2) = 8 - 12p + q],  [eqn: f(-2) = - 8 - 12p + q]

[eqn: -q le f(-1) le q], [eqn: -q le f(1) le q]

[eqn: -q le f(-2) le q], [eqn: -2 le f(2) le q]

인데, [eqn: f(-2) ge -q]이면 충분하다.

[eqn: -8 - 12p + q ge -q], 즉 [eqn: 4+ 6p le q]

두 조건으로부터 [eqn: 4+6p le q < 4p^3]을 만족하는

[eqn: 25] 이하의 자연수는

[eqn: p = 2]일 때 [eqn: 16 le q le 25][eqn: --][eqn: 10]개

[eqn: p = 3]일 때 [eqn: 22 le q le 25][eqn: --][eqn: 4]개

[eqn: THEREFORE][eqn: 14`]개

[eqn: f(x)=x^{3}-3 p x^{2}+q]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: rm 25] 이하의 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]의 모든 순서쌍 [eqn: (p,`` q)]의 개수를 구하시오.

(가) 함수 [eqn: |f(x)|]가 [eqn: x=a]에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 실수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: rm 5]이다.

(나) 단힌구간 [eqn: [-1,``1]]에서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값과 닫힌구간 [eqn: [-2,``2]]에서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값은 같다.

04 수2	05 함수의 증가와 감소
04 함수의 최대와 최소
07 최대와 최소7 (Mm로 정의된 함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 21

[eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: m]에 대하여 두 함수

[정답] ⑤

[해설]

그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다.

ㄱ. [eqn: m=-1]일 때, [eqn: f left({1} over {2} right)=-{15} over {4}], [eqn: g left({1} over {2} right)=-5]

[eqn: g left({1} over {2} right) leq f left({1} over {2} right)]이므로 [eqn: h left({1} over {2} right)=g left({1} over {2} right)=-5]

ㄴ. [eqn: m=-1]일 때, [eqn: g(x)= {cases{```47x-4&LEFT ( x<`0 RIGHT )#-2x-4&LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}}]

( i ) [eqn: x<0]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 기울기가 양수이고 [eqn: y]절편이 음수인 직선의 일부이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 단 하나의 교점을 갖는다. 그 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{1} left(x_{1}<0 right)]이라 하면 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=x_{1}]에서만 미분가능하지 않다.

(ii) [eqn: x=0]일 때, [eqn: g(0)-4<0=f(0)]이므로 [eqn: x=0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 미분가능성은 함수 [eqn: g(x)]의 미분가능성과 같다. 즉, 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.

(iii) [eqn: x>0]일 때,
[eqn: f(x)-g(x)=2 x^{3}-6 x+4]
[eqn: =(x-1)^{2}(x+2) geq 0]
즉, [eqn: f(x) geq g(x)]
[eqn: x>0]에서 [eqn: h(x)=g(x)]이므로 함수 [eqn: h(x)]의 미분가능성은 함수 [eqn: g(x)]의 미분가능성과 같다.
따라서 [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능하다.

(i), (ii), (iii)에서 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지

않은 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 2]이다. (참)

ㄷ. 양수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: x=0]일 때, [eqn: g(0)={4} over {m^{3}}>0=f(0)]이므로

[eqn: x=0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 미분가능성은 함수

[eqn: f(x)]의 미분가능성과 같다. 즉, 함수 [eqn: h(x)]는

[eqn: x=0]에서 미분가능하다.

[eqn: x>0]일 때, 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 기울기가 양수이고 [eqn: y]절편도 양수인 직선의 일부이므로 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 단 하나의 교점을 갖는다. 그 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{2} left(x_{2}>0 right)]이라 하면 [eqn: x>0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=x_{2}]에서만 미분가능하지 않다.

그러므로 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]이려면 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능해야 한다.

[eqn: x<0]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 접한다고 할 때, 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하자.

[eqn: f(t)=g(t)], [eqn: f `prime (t)=g `prime (t)]에서

[eqn: 2t ^{3} -8t=- {47} over {m} t+ {4} over {m ^{3}}]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

[eqn: 6t ^{2} -8=- {47} over {m}]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

[eqn: t times(]㉡ [eqn: -] ㉠ 에서

[eqn: 4 t^{3}=-{4} over {m^{3}}]

[eqn: t=- {1} over {m}]	[eqn: cdotscdots]㉢

㉢을 ㉡에 대입하면

[eqn: {6} over {m^{2}}-8=-{47} over {m}], [eqn: 8 m^{2}-47 m-6=0]

[eqn: (8 m+1)(m-6)=0]

[eqn: m]은 양수이므로 [eqn: m=6]

[eqn: m=6]일 때 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의

그래프는 [eqn: x=-{1} over {6}]인 점에서 접한다.

(i) [eqn: m=6]일 때, 함수 [eqn: x<0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) geq f(x)]이므로 [eqn: h(x)=f(x)]이다.

그러므로 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능하다.

(ii) [eqn: 0<m<6]일 때, [eqn: x<0]에서 [eqn: m]의 값이 작아질수록 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: m=6]일 때보다 기울기의 절댓값이 커지고 [eqn: y]절편도 커지므로 [eqn: x<0]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 만나지 않는다.

그러므로 [eqn: x<0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: g(x) geq f(x)]이므로 [eqn: h(x)=f(x)]이다. 따라서 [eqn: x<0]에서 함수 [eqn: h(x)]는 미분가능하다.

(iii) [eqn: m>6]일 때, [eqn: x<0]에서 [eqn: m]의 값이

커질수록 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 [eqn: m=6]일 때보다 기울기의 절댓값이 작아지고 [eqn: y]절편도 작아지므로 [eqn: x<0]에서 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프는 서로 다른 두 점에서 만난다. 이때 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_{3}], [eqn: x_{4}]라고 하면 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=x_{3}], [eqn: x=x_{4}]에서 미분가능하지 않다.

( i ), (ii), (iii)에서 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지

않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]인 양수 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: rm 6]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

[eqn: f(x)=2 x^{3}-8 x],

[eqn: g(x)=cases{-{47} over {m} x+{4} over {m^{3}} && (x<0) #2 m x+{4} over {m^{3}} && (x geq 0)}]

이 있다. 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)] 중 크지 않은 값을
[eqn: h(x)]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: m=-1]일 때, [eqn: h left({1} over {2} right)=-5]이다. ㄴ. [eqn: m=-1]일 때, 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 2]이다. ㄷ. 함수 [eqn: h(x)]가 미분가능하지 않은 [eqn: x]의 개수가 [eqn: rm 1]인 양수 [eqn: m]의 최댓값은 [eqn: rm 6]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 사차함수 [eqn: f(x)]와 실수 [eqn: t]에 대하여 구간 [eqn: (- inf ,`` t]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: m_{1}]이라 하고, 구간 [eqn: [t,`` inf )]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값을 [eqn: m_{2}]라 할 때,

[정답] [eqn: 82]

[해설]

사차함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha]에서만 극솟값을 갖는다고 하면 함수 [eqn: g(t)]는

[eqn: g(t)=cases{f(t)-f( alpha)(t< alpha) #f( alpha)-f(t)(t geq alpha)}]

구간 [eqn: (- inf ,`` alpha)]에서 함수 [eqn: f(t)]가 감소하므로 함수 [eqn: g(t)]도 감소하고, 구간 [eqn: [ alpha,`` inf )]에서 함수 [eqn: f(t)]가 증가하므로 함수 [eqn: g(t)]는 감소한다. 실수 전체의 집합에서 함수 [eqn: g(t)]가 감소하므로 조건을 만족시키는 양수 [eqn: k]가 존재하지 않는다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]는 극댓값을 가져야 한다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x= alpha], [eqn: x= beta( alpha< beta)]에서 극솟값을 가지고, [eqn: f( alpha)=a], [eqn: f( beta)=b]라 하자.

(ⅰ) [eqn: f( alpha)=f( beta)]인 경우

함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은 [eqn: a]이므로
[eqn: g(t)= {cases{f(t)-a&&(t< alpha )#```````````0&&( alpha LEQ t LEQ beta )#a-f(t)&&(t> beta )}}]
따라서 조건을 만족시키는 양수 [eqn: k]가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f( alpha)<f( beta)]인 경우

[eqn: alpha<x< beta]일 때, [eqn: f(x)=f( beta)]의 해를 [eqn: gamma]라 하면
[eqn: g(t)=cases{f(t)-a && (t< alpha) #a-f(t) && ( alpha leq t< gamma) #a-b && ( gamma leq t leq beta) #a-f(t) && (t> beta)}]
[eqn: a-b<0]이므로 조건을 만족시키는 양수 [eqn: k]가
존재하지 않는다.

(iii) [eqn: f( alpha)>f( beta)]인 경우

[eqn: alpha<x< beta]일 때, [eqn: f(x)=f( alpha)]의 해를 [eqn: gamma]라 하면
[eqn: g(t)=cases{f(t)-b && (t< alpha) #a-b && ( alpha leq t leq gamma) #f(t)-b && ( gamma<t< beta) #b-f(t) && (t geq beta)}]
[eqn: a-b>0]이므로 [eqn: k=a-b], [eqn: alpha=0], [eqn: gamma=2]이면
[eqn: k]는 주어진 조건을 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: f `prime (0)=0], [eqn: f(0)=f(2)]

이다. 또 [eqn: g(4)=0]이므로 [eqn: beta=4]이고 [eqn: f `prime (4)=0]이다. [eqn: f(x)-f(0)=x^{2}(x-2)(x-p)(p]는 상수[eqn: )]라 하자. [eqn: f `prime (x)=2 x(x-2)(x-p)+x^{2}(2 x-p-2)]이므로

[eqn: f `prime (4)=0]에서 [eqn: 16(4-p)+16(6-p)=0]

[eqn: 10-2 p=0], [eqn: p=5]

그러므로

[eqn: f(x)=x^{2}(x-2)(x-5)+f(0)]

[eqn: k][eqn: =f( alpha)-f( beta)=f(0)-f(4)]
[eqn: =f(0)- left{ -32+f(0) it right} =32]

[eqn: g(-1)][eqn: =f(-1)-f(4)]
[eqn: = left{ 18+f(0) it right} - left{ -32+f(0) it right} =50]

따라서 [eqn: k+g(-1)=82]

[eqn: g(t)=m_{1}-m_{2}]

라 하자. [eqn: k>0]인 상수 [eqn: k]와 함수 [eqn: g(t)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: g(t)=k]를 만족시키는 모든 실수 [eqn: t]의 값의 집합은

[eqn: left{ t `|` 0 leq t leq 2 it right}]이다.

[eqn: g(4)=0]일 때, [eqn: k+g(-1)]의 값을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
01 방정식과 미분1 (삼차방정식의 근의 판별)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 26

방정식 [eqn: x^{3}-x^{2}-8 x+k=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]일 때, 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

방정식 [eqn: x^{3}-x^{2}-8 x+k=0]에서

[eqn: x^{3}-x^{2}-8 x=-k]

[eqn: f(x)=x^{3}-x^{2}-8 x]라 하면

[eqn: f `prime (x)][eqn: =3 x^{2}-2 x-8]
[eqn: =(3 x+4)(x-2)]

[eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x=-{4} over {3}] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -{4} over {3}]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: nearrow]	극대	[eqn: searrow]	극소	[eqn: nearrow]

[eqn: f left(-{4} over {3} right)={176} over {27}], [eqn: f(2)=-12]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

방정식 [eqn: f(x)=-k]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]이려면

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=-k]가

서로 다른 두 점에서 만나야 하므로

[eqn: -k={176} over {27}] 또는 [eqn: -k=-12]

즉, [eqn: k=-{176} over {27}] 또는 [eqn: k=12] 이다.

이때 [eqn: k]는 양수이므로

[eqn: k=12]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 28

함수 [eqn: {f(x)=2x ^{3} -3(a+1) x ^{2} +6a x}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: a]의 값을 가장 작은 수부터 차례대로 나열할 때 [eqn: n]번째 수를 [eqn: a _{n}]이라 하자.

[정답] [eqn: bold { 160 }]

[해설]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6x ^{2} -6 LEFT ( a+1 RIGHT ) x+6a][eqn: =6 LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]

이므로 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=a]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2-3 LEFT ( a+1 RIGHT ) +6a][eqn: =3a-1],

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: =2a ^{3} -3a ^{2} LEFT ( a+1 RIGHT ) +6a ^{2}][eqn: = it -a ^{2} LEFT ( a-3 RIGHT )]

이므로 삼차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]이 서로 다른 세 실근을 갖기 위해서는

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )][eqn: = it -a ^{2} LEFT ( 3a-1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT )][eqn: <0]

[eqn: a ^{2} >0]이므로 [eqn: LEFT ( 3a-1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT )][eqn: >0]

그런데 [eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a>3]

그러므로 [eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{2} =5], [eqn: CDOTS], [eqn: a _{n}][eqn: =n+3]

[eqn: a=a _{n}]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{3} -3 LEFT ( a _{n} +1 RIGHT ) x ^{2} +6a _{n} x]이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x][eqn: =1]에서 극댓값 [eqn: b _{n}][eqn: =f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =3a _{n} -1]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( b _{n} -a _{n} RIGHT )][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 2n+5 RIGHT )][eqn: =160]

[eqn: a=a _{n}]일 때, [eqn: f(x)]의 극댓값을 [eqn: b _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} left(b _{n} -a _{n} right)]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 6

방정식 [eqn: 2x ^{3} -3x ^{2} -12x+k=0]이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수는?

[정답] ③

[해설]

방정식 [eqn: 2x^3 - 3 x ^2 - 12 x +k = 0],

즉 [eqn: 2x^3 - 3 x ^2 - 12 x = it - k]	[eqn: cdotscdots] ㉠

에서

[eqn: f(x) = 2 x ^3 -3 x ^2 - 12x]라 하자.

[eqn: f `' (x)][eqn: = 6x^2 - 6x - 12]
[eqn: = 6 (x+1)(x-2)]

[eqn: f `' (x) = 0]에서

[eqn: x = it - 1] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: -1]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: nearrow]	[eqn: 7]	[eqn: searrow]	[eqn: - 20]	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x= it - 1]에서 극댓값 [eqn: 7]을 갖고, [eqn: x=2]에서 극솟값 [eqn: -20]을 갖는다.

방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가지려면 함수 [eqn: y = f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y = it - k]가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로

[eqn: - 20 < - k < 7]

즉, [eqn: - 7 < k < 20]이다.

따라서 정수 [eqn: k]의 값은

[eqn: - 6 ,~ - 5 ,~- 4 ,~ cdots,~19]

이고, 그 개수는 [eqn: 26]이다.

① [eqn: 20]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 29]	⑤ [eqn: 32]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
02 방정식과 미분2 (삼차방정식의 실근의 범위)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 19

방정식 [eqn: 2x^3 +6x^2 +a =0]이 [eqn: -2 le x le 2]에서 서로 다른 두 실근을 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x) = 2x^3 +6x^2 +a]라 하면 [eqn: f`'(x) = 6x^2 +12x = 6x(x+2)]

[eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=0]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: -2]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f` prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	↗	극대	↘	극소	↗

[eqn: f(-2) = it- 16 +24 +a = a +8]

[eqn: f(0)=a]

[eqn: f(2) = 16+24+a = a+40]

이므로 [eqn: f(-2) <f(2)]

그러므로 방정식 [eqn: f(x) =0]이 [eqn: -2 le x le 2]에서 서로 다른 두 실근을 갖기 위해서는 함수 [eqn: y= f(x)]의 그래프가 그림과 같아야 한다.

즉, [eqn: f(-2) ge 0]이고 [eqn: f(0)<0]이어야 한다.

[eqn: f(-2) ge 0]에서 [eqn: a+8 ge 0 ,~ a ge -8]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: f(0) <0]에서 [eqn: a<0]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠，㉡에서 [eqn: - 8 le a <0]

따라서 구하는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 0-(-8 ) =8]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

방정식 [eqn: 2 x^{3}-6 x^{2}+k=0]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: rm 2]가 되도록 하는 정수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

방정식 [eqn: 2 x^{3}-6 x^{2}+k=0]에서

[eqn: f(x)=2 x^{3}-6 x^{2}+k]라 하면 방정식의 실근은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점의 [eqn: x]좌표이다.

[eqn: f `prime (x)][eqn: =6 x^{2}-12 x][eqn: =6 x(x-2)]

이므로 [eqn: f `prime (x)=0]에서

[eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 0]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: nearrow]	[eqn: k]	[eqn: searrow]	[eqn: k-8]	[eqn: nearrow]

이때, 방정식 [eqn: f left(x right)=0`]이 [eqn: rm 2]개의 서로 다른 양의 실근을 갖기 위해서는 그림과 같이 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 양수이어야 하고 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 음수이어야 한다.

따라서 [eqn: k>0]이고 [eqn: k-8<0]이므로

[eqn: 0<k<8]

따라서 정수 [eqn: k]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]의 [eqn: rm 7]개다.

[다른 풀이]

방정식 [eqn: 2x^3 -6x^2 +k=0]의 서로 다른 양의 실근의 개수가 [eqn: 2]이므로 [eqn: k=` -2x^3 +6x^2]에서 함수 [eqn: y= `-2x^3 +6x^2]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표가 양수인 두 점에서 만나야 한다.

[eqn: f(x)=`-2x^3 +6x^2]이라 하면

[eqn: f'(x) =`-6x^2 +12x=`-6x(x-2)]

[eqn: f'(x)=0]에서    [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f left(x right)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 0]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: 2]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: f`prime(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 8]	[eqn: SEARROW]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 [eqn: x]좌표가 양수인 두 점에서 만나려면

[eqn: 0<k<8]

따라서 정수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 7]이다.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
03 방정식과 미분3 (사차방정식의 근의 판별)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 19

방정식 [eqn: 3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+k=0]이 서로 다른 [eqn: rm 4]개의 실근을 갖도록 하는 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

[eqn: 3x ^{4} -4x ^{3} -12x ^{2} +k=0]에서 [eqn: 3x ^{4} -4x ^{3} -12x ^{2} =-k]

[eqn: f(x)=3x ^{4} -4x ^{3} -12x ^{2}]라 하면

[eqn: f'(x)=12x ^{3} -12x ^{2} -24x][eqn: =12x(x+1)(x-2)]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -5]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -32]	[eqn: NEARROW]

띠라서 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=`-k]를 그리면 다음과 같다.

이 때 [eqn: 3x ^{4} -4x ^{3} -12x ^{2} =-k]이 서로 다른 [eqn: 4]개의 실근을 가져야 하므로

[eqn: -5< -k<0], [eqn: 0<k<5]

따라서 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4]의 [eqn: 4]개이다.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
04 방정식과 미분4 (다항함수, 방정식의 동치변형)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 25

곡선 [eqn: {y}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}][eqn: =4x ^{3} -12x+7]과 직선 [eqn: y=k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 양수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

곡선 [eqn: y=4x ^{3} -12x+7]과 직선 [eqn: y=k]가 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]개가 되는 경우는 [eqn: y=][eqn: k]가 극점을 지나는 경우이다.

즉, [eqn: k]는 극댓값 또는 극솟값이어야 한다.

[eqn: y=4x ^{3} -12x+7]에서 [eqn: y '=12x ^{2} -12]

[eqn: 12x ^{2} -12=0], [eqn: 12 LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore][eqn: x=1] 또는 [eqn: x= it -1]

따라서 곡선 [eqn: y=4x ^{3} -12x+7]에서 [eqn: x=1]일 때, 극솟값 [eqn: y=4-12+7= it -1]을 갖고, [eqn: x= it -1]일 때, 극댓값 [eqn: y= it -4+12+7=15]을 갖는다.

그런데 조건에서 [eqn: k >0]이므로 [eqn: k=15]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 8

곡선 [eqn: y=x^3 -3x^ 2 -9x`]와 직선 [eqn: y= k`]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 정수 [eqn: k`]의 최댓값을 [eqn: M], 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M-m`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f ( x )][eqn: =x ^{3} -3x ^{2} -9x`]라 하면

[eqn: f`prime ( x )][eqn: =3x ^{2} -6x-9][eqn: =3 ( x+1 ) ( x-3 )]

[eqn: f` prime ( x )][eqn: =0`]에서 [eqn: x= it -1] 또는 [eqn: x=3`]

함수 [eqn: f ( x ) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -1]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`prime ( x )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f( x )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -27]	[eqn: NEARROW]

이고, 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

직선 [eqn: y][eqn: =k`]는 [eqn: x`]축에 평행하므로 함수 [eqn: y][eqn: =f(x)`]의 그래프와 서로 다른 세 점에서 만나기 위한 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: -27<k<5`]

그러므로 정수 [eqn: k`]의 최댓값 [eqn: M`][eqn: =4], 최솟값 [eqn: m][eqn: = it -26`]

따라서 [eqn: M-m][eqn: =4- ( -26 )][eqn: =30`]

① [eqn: 27]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 30]	⑤ [eqn: 31]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
05 방정식과 미분5 (변형함수, 방정식의 동치변형)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 20

함수 [eqn: {f(x)= 1 over2 x^3 - 9 over2 x^2 + 10x}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[해설]

함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)= f(x) + left |`` f(x) +x ``right | - 6x]라 하면

[eqn: g(x)= cases{ -7 x &&&(f(x) < it -x) # 2 f(x) - 5x &&&(f(x) ge it -x) }]

이고, 주어진 방정식은 [eqn: g(x)= k]와 같다.

[eqn: f(x) = it -x]에서

[eqn: 1 over2 x^3 - 9 over2 x^2 + 10 x = it -x], [eqn: x over2 LEFT ( x^2 -9x +22 RIGHT )=0]

이때 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x^2 -9x +22 = LEFT ( x- 9 over2 RIGHT )^2 + 7 over4 >0]이므로 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=it-x]는 오직 원점 [eqn: (0 ,```` 0)]에서만 만난다.

따라서 함수 [eqn: h(x)]를 [eqn: h(x) =2f(x) -5x = x^3 -9x^2 +15x]라 하면

[eqn: g(x)= cases{ -7x &&&( x<0) # h(x) &&&(x ge0) }]이다.

[eqn: h '(x) =3x^2 -18x +15 =3 (x-1)(x-5)]이므로 [eqn: h '(x)=0]에서

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=5]

따라서 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1]에서 극댓값 [eqn: h(1)= 1 - 9 + 15 =7]을 갖고, [eqn: x=5]에서 극솟값 [eqn: h(5) = 125 -225 + 75 = it -25]를 갖는다.

따라서 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 다음과 같다.

주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되기 위해서는 곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=k]의 교점의 개수가 [eqn: 4]이어야 하므로 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: 0<k<7]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은

[eqn: 1+2+3 + cdots + 6 = 6 over2 (1+6)=21]

[eqn: f(x) + left |`` f(x) +x right |`` = 6x+k]

의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 4]가 되도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 14

두 함수

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: k=0]일 때, [eqn: f(x)+g(x)=x^{3}+2 x^{2}+4]

[eqn: h_{1}(x)=x^{3}+2 x^{2}+4]라 하면

[eqn: h_{1} `prime (x)=3 x^{2}+4 x=x(3 x+4)=0]

에서 함수 [eqn: h_{1}(x)]는 [eqn: x=-{4} over {3}]에서 극대, [eqn: x=0]에서 극소이다.

[eqn: h_{1}(0)=4>0]이므로 방정식 [eqn: h_{1}(x)=0]은 오직 하나의 실근을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)-g(x)=0]에서

[eqn: x^{3}-k x+6- left(2 x^{2}-2 right)=0], [eqn: x^{3}-2 x^{2}+8=k x]

[eqn: h_{2}(x)=x^{3}-2 x^{2}+8]이라 하면 곡선 [eqn: y=h_{2}(x)]에 직

선 [eqn: y=k x]가 접할 때만 방정식 [eqn: h_{2}(x)=k x]의 서로

다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]이다. 접점의 좌표를 [eqn: left(a,`` a^{3}-2 a^{2}+8 right)]이라 하면 [eqn: h_{2} it ^ { prime}(x)=3 x^{2}-4 x]에서 접

선의 방정식은

[eqn: y- left(a^{3}-2 a^{2}+8 right)= left(3 a^{2}-4 a right)(x-a)]

이 접선이 원점을 지나므로

[eqn: 0- left(a^{3}-2 a^{2}+8 right)= left(3 a^{2}-4 a right)(0-a)]

[eqn: (a-2) left(a^{2}+a+2 right)=0], [eqn: a=2]

따라서 구하는 [eqn: k]의 값은 [eqn: h_{2} it ^ { prime}(2)=4]뿐이다. (참)

ㄷ. [eqn: left|x^{3}-k x+6 right|=2 x^{2}-2]에서 [eqn: 2 x^{2}-2 geq 0]이므로 [eqn: x]의 값의 범위는 [eqn: x leq-1] 또는 [eqn: x geq 1]이고, 주어진 방정식은

[eqn: x^{3}-k x+6=- left(2 x^{2}-2 right)] 또는 [eqn: x^{3}-k x+6=2 x^{2}-2], 즉 [eqn: x^{3}+2 x^{2}+4=k x] 또는 [eqn: x^{3}-2 x^{2}+8=k x]

[eqn: h_{1}(x)=x^{3}+2 x^{2}+4], [eqn: ~ h_{2}(x)=x^{3}-2 x^{2}+8]이라 하면 주어진 방정식의 실근의 개수는 [eqn: x leq-1] 또는 [eqn: x geq 1]일 때 직선 [eqn: y=k x]와 두 곡선 [eqn: y=h_{1}(x)], [eqn: y=h_{2}(x)]의 교점의 개수와 같다.

ㄴ에서 [eqn: k=4]일 때 직선 [eqn: y=k x]와 곡선 [eqn: y=h_{2}(x)]가 접하므로 [eqn: k leq 4]일 때 [eqn: x leq-1] 또는 [eqn: x geq 1]에서 직선 [eqn: y=k x]와 두 곡선 [eqn: y=h_{1}(x)], [eqn: y=h_{2}(x)]의 교점의 개수의 최댓값은 [eqn: rm 3]이다.

[eqn: k>4]일 때, [eqn: x leq-1]에서 직선 [eqn: y=k x]와 두 곡선 [eqn: y=h_{1}(x)], [eqn: y=h_{2}(x)]의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: rm 2]이다. 원점에서 곡선 [eqn: y=h_{1}(x)]에 그은 접선의 방정식은 [eqn: y=7 x]이고 접점의 좌표는 [eqn: (1,``7)]이므로

[eqn: k>4]일 때, [eqn: x geq 1]에서 직선 [eqn: y=k x]와 두 곡선 [eqn: y=h_{1}(x)], [eqn: y=h_{2}(x)]의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

즉, [eqn: k>4]일 때, [eqn: x leq-1] 또는 [eqn: x geq 1]에서 직선 [eqn: y=k x]와 두 곡선 [eqn: y=h_{1}(x)], [eqn: y=h_{2}(x)]의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: rm 4]이다.

따라서 방정식 [eqn: |f(x)|=g(x)]의 서로 다른 실근의 개수의 최댓값은 [eqn: rm 4]이다. (거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: f(x)=x^{3}-k x+6], [eqn: ~ g(x)=2 x^{2}-2]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: k=0]일 때, 방정식 [eqn: f(x)+g(x)=0]은 오직 하나의 실근을 갖는다. ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)-g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]가 되도록 하는 실수 [eqn: k]의 값은 [eqn: rm 4]뿐이다. ㄷ. 방정식 [eqn: |f(x)|=g(x)]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 5]가 되 도록 하는 실수 [eqn: k]가 존재한다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
09 방정식과 미분9 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 도함수 [eqn: f `prime (x)]는 [eqn: x=IT-1]에서 최솟값을 갖는다. 방정식

[정답] ④

[해설]

주어진 조건을 만족하는 때는

[eqn: x=it-3]에서 극댓값을 갖고, [eqn: x=1]에서 극솟값을 가질 때이고

구하는 [eqn: m]의 최댓값은 극댓값과 극솟값의 차이다

따라서

[eqn: f `prime (x)=3(x+3)(x-1)=3 x^{2}+6 x-9]

[eqn: f(x)=x^{3}+3 x^{2}-9 x+C]

[eqn: therefore~m=f(-3)-f(1)=32]

[eqn: |`f(x)-f(-3)`|=k]

가 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 실수 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: 0<k<m]이다. 실수 [eqn: m]의 최댓값은?

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 16]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 32]	⑤ [eqn: rm 40]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를

[정답] ①

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: f(0)][eqn: =0`]이고 [eqn: g(0)][eqn: =0`]이므로

[eqn: g(x)][eqn: =f(x)+left| f`prime(x)right|]에서 [eqn: f`prime(0)][eqn: =0`]

[eqn: f(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 삼차함수이므로

[eqn: f(x)][eqn: =x left(x^2 +ax+b right)`]([eqn: a], [eqn: b`]는 상수)로 놓으면

[eqn: f` prime(x)][eqn: = left(x^2 +ax+b right) + x(2x+a)`]에서 [eqn: f`prime(0)][eqn: =b][eqn: =0]

그러므로 [eqn: f(x)][eqn: =x^2 (x+a)], [eqn: f` prime(x)][eqn: =x(3x+2a)`]

[eqn: f`prime(x)][eqn: =0`]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= it- {2} over {3}a `]

조건 (나)에서 [eqn: -a >0`]이므로 [eqn: - 2 over3 a>0`]
함수 [eqn: f(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: - 2 over3 a]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f`prime ( x )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f( x )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 4 over 27 a^3]	[eqn: NEARROW]

이고, 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

조건 (다)에서 [eqn: left| f` LEFT ( - {2} over {3} a RIGHT )right|][eqn: = 4 `]이므로

[eqn: f` LEFT ( -{2} over {3}a RIGHT )][eqn: =it{4} over {27} a ^{3}][eqn: =it-4`]이고 [eqn: a ^{3}][eqn: = it - 27`]에서 [eqn: a][eqn: =it -3`]

그러므로 [eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} (x-3)`]이고

[eqn: g(x)][eqn: =x ^{2} (x-3)+ LEFT | 3x(x-2) RIGHT | `]

따라서 [eqn: g(3)][eqn: = 9]

[eqn: g(x)= f (x) + left|f` prime(x) right|]

라 할 때, 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f (0 )=g(0)=0]

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0`]은 양의 실근을 갖는다.

(다) 방정식 [eqn: left|f(x) right| =4`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3`]이다.

[eqn: g(3)`]의 값은?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
10 방정식과 미분10 (정의된 함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 22

삼차함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]에 대하여 [eqn: x GEQ -3]에서 정의된 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] [eqn: bold { 64 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} x LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )]에서 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sqrt {3} LEFT ( x- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( x+ sqrt {3} RIGHT )]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: {x}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: - sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]	[eqn: sqrt {3}]	[eqn: {CDOTS }]
[eqn: {f prime (x)}]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: {f(x)}]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 12] (극대)	[eqn: SEARROW]	[eqn: -12] (극소)	[eqn: NEARROW]

함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 6k-3 LEQ x<6k+3]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {k+1} f LEFT ( x-6k RIGHT )]

[eqn: k+1]이 [eqn: 12]의 양의 약수가 될 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 자연수이므로 [eqn: k][eqn: =1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 5 ,```` 11]일 때

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값은 각각 [eqn: 6 ,```` 4 ,```` 3 ,```` 2 ,```` 1]이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =2 TIMES 11+1][eqn: =23]

[eqn: a _{2}][eqn: =2 TIMES 5+1][eqn: =11]

[eqn: a _{3}][eqn: =2 TIMES 3+1][eqn: =7]

[eqn: a _{4}][eqn: =2 TIMES 2+1][eqn: =5]

[eqn: a _{5}][eqn: =2 TIMES 2][eqn: =4]

[eqn: a _{6}][eqn: =2 TIMES 1+1][eqn: =3]

[eqn: 7 LEQ n LEQ 11]일 때, [eqn: a _{n}][eqn: =2 TIMES 1][eqn: =2]이므로

[eqn: a _{12}][eqn: =1]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}][eqn: =23+11+7+5+4+3+2 TIMES 5+1][eqn: =64]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`````````````````````f LEFT ( x RIGHT )&&& LEFT ( -3 LEQ x LEQ 3 RIGHT )# {1} over {k+1} f LEFT ( x-6k RIGHT )&&& LEFT ( 6k-3 LEQ x<6k+3 RIGHT )}}}]

(단, [eqn: k]는 모든 자연수)

이다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: =n]과 함수 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{12} a _{n}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]를 만족시킨다. 양수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면 위의 네 점 [eqn: (t,`` 0)], [eqn: (0,``2 t)], [eqn: (-t,`` 0)], [eqn: (0,``-2 t)]를 꼭짓점으로 하는 마름모가 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g(t)]라 할 때, 함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t= alpha], [eqn: t=8]에서 불연속이다. [eqn: alpha^{2} times f(4)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 240]

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=-f(x)]이므로

곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수는 [eqn: rm 1] 또는 [eqn: rm 3]이다.

( i ) 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 1]인 경우
모든 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=2]이므로 함수 [eqn: g(t)]는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ii) 곡선 [eqn: y=f(x)]와 [eqn: x]축이 만나는 점의 개수가 [eqn: rm 3]인 경우
[eqn: f(x)=x(x-a)(x+a)(a>0)]이라 하자.
두 점 [eqn: (t,`` 0)], [eqn: (0,``-2 t)]를 지나는 직선의 기울기는 [eqn: t]의 값에 관계없이 [eqn: rm 2]이므로 [eqn: f `prime (a)]의 값에 따라 함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=k]에서 불연속이 되는 [eqn: k]의 개수가 달라진다.

(a) [eqn: f `prime (a) leq 2]일 때
모든 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: g(t)=2]이므로
함수 [eqn: g(t)]는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: f `prime (a)>2]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]의 기울기가 [eqn: rm 2]인 두 접선의 [eqn: x]절편을 각각 [eqn: beta], [eqn: - beta( beta>a)]라 하면
[eqn: g(t)=cases{2 && (0<t<a ``또는`` t> beta) #4 && (t=a `` 또는`` t= beta) #6 && (a<t< beta)}]
함수 [eqn: g(t)]는 [eqn: t=a], [eqn: t= beta]에서 불연속이므로 [eqn: a= alpha], [eqn: beta=8]

함수 [eqn: g(t)]가 [eqn: t=8]에서 불연속이므로
두 직선 [eqn: y=2 x+16]과 [eqn: y=2 x-16]은
곡선 [eqn: y=f(x)]에 접한다.
직선 [eqn: y=2 x-16]이 곡선 [eqn: y=f(x)]에 접하는
점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: p(0<p< alpha)]라 하면
[eqn: p^{3}- alpha^{2} p=2 p-16][eqn: cdotscdots]㉠
[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}- alpha^{2}]이므로 [eqn: f `prime (p)=3 p^{2}- alpha^{2}=2]
에서 [eqn: alpha^{2}=3 p^{2}-2][eqn: cdotscdots]㉡
㉠, ㉡에 의하여
[eqn: p^{3}- left(3 p^{2}-2 right) p=2 p-16], [eqn: -2 p^{3}=-16]
에서 [eqn: p=2], [eqn: alpha^{2}=10]이므로 [eqn: f(x)=x^{3}-10 x]

따라서 [eqn: alpha^{2} times f(4)=10 times left(4^{3}-10 times 4 right)=240]

(단, [eqn: alpha]는 [eqn: 0< alpha<8]인 상수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 22

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: x=3]에서 극댓값 [eqn: rm 8]을 갖는 삼차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] [eqn: 58]

[해설]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x geq t) #-f(x)+2 f(t) && (x<t)}]에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` t-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` t+} g(x)=g(t)=f(t)]

이므로 함수 [eqn: g(t)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=k]에서 극솟값을 갖는다고 하자.

이때 함수 [eqn: y=-f(x)+2 f(t)]의 그래프는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2 f(t)]만큼 평행이동한 것이다.

방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 [eqn: x]축과의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f(k)]의 값에 따라 나누어 생각할 수 있다.

우선 [eqn: f(k)<0]인 경우를 생각해보면 함수 [eqn: y=g(x)]가 불연속일 때의 그래프는 다음과 같다.

따라서 함수 [eqn: h(t)]는     [eqn: t=t_{i} ~ (i=1,``2,``3,``4,``5)]

에서 불연속이므로 주어진 조건에 위배된다.

위와 같은 방법으로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프에 따라 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프를 그려보면 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이 두 개인 경우는 다음과 같이 [eqn: t=k]일 때 [eqn: g(3)=0]이 되는 경우뿐이다.

[교점 [eqn: 2]개]	[교점 [eqn: 1]개]

[교점 [eqn: 0]개]	[교점 [eqn: 1]개]

[교점 [eqn: 0]개]

[eqn: t=k]일 때

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x geq k) # -f(x)+2 f(k) && (x<k)}]

이고 이때 [eqn: g(3)=0]에서

[eqn: -f(3)+2 f(k)=0]

즉 [eqn: -8+2 f(k)=0]에서    [eqn: f(k)=4]

한편, 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=3]에서 극댓값을 가지므로 [eqn: x=k]에서 극솟값을 가지므로 [eqn: k>3]이고

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3(x-3)(x-k)]
[eqn: =3x ^{2} -3(3+k)x+9k]

[eqn: f(x)=x ^{3} - {3} over {2} (3+k)x ^{2} +9kx+C]  ([eqn: C`]는 적분상수[eqn: )]

이고 [eqn: f(3)=8]이므로

[eqn: 27-{27} over {2}(3+k)+27 k+C=8]

[eqn: C={43} over {2}-{27} over {2} k]

따라서

[eqn: f(x)=x^{3}-{3} over {2}(3+k) x^{2}+9 k x+{43} over {2}-{27} over {2} k]

이때 [eqn: f(k)=4]이므로

[eqn: k^{3}-{3} over {2}(3+k) k^{2}+9 k^{2}+{43} over {2}-{27} over {2} k=4],

[eqn: -{k^{3}} over {2}+{9} over {2} k^{2}-{27} over {2} k+{35} over {2}=0],

[eqn: k^{3}-9 k^{2}+27 k-35=0],

[eqn: (k-5) left(k^{2}-4 k+7 right)=0]

모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k^{2}-4 k+7>0]이므로

[eqn: k=5]

따라서

[eqn: f(x)=x^{3}-12 x^{2}+45 x-46]

이므로

[eqn: f(8)=512-768+360-46=58]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x geq t) #-f(x)+2 f(t) && (x<t)}]

라 할 때, 방정식 [eqn: g(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자. 함수 [eqn: h(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값이 두 개일 때, [eqn: f(8)]의 값을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
01 방정식과 미분
11 방정식과 미분11 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 21

이차함수 [eqn: g(x)=x^{2}-6 x+10]에 대하여 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 삼차항의 계수를 [eqn: a]라 하면 조건 (가)에 의해 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축이 서로 다른 점에서 만나므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

함수 [eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 실수 전체의 집합을 치역으로 갖고, 이차함수 [eqn: g(x)=x^{2}-6 x+10=(x-3)^{2}+1]은 [eqn: x=3]에서 최솟값 [eqn: rm 1]을 갖는다.

그러므로 조건 (나)에서 함수 [eqn: g(f(x))= left{ f(x)-3 it right} ^{2}+1]은 [eqn: f(x)=3]인 [eqn: x]에서 최솟값 [eqn: rm 1]을 가지므로 [eqn: m=1]

한편, 방정식 [eqn: g(f(x))=1]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 2]이므로 방정식 [eqn: f(x)=3]을 만족시키는 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 2]

그러므로 직선 [eqn: y=3]과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: rm 3]

조건 (다)의 방정식 [eqn: g(f(x))=17]을 풀면

[eqn: left{ f(x)-3 it right} ^{2}+1=17], [eqn: left{ f(x)-3 it right} ^{2}=16]

[eqn: f(x)=-1] 또는 [eqn: f(x)=7]

조건 (다)에서 방정식 [eqn: g(f(x))=17]은 서로 다른 세 실근을  갖고 위의 그래프에서 방정식 [eqn: f(x)=7]의 실근의 개수를 유추하면 [eqn: rm 1]이므로 방정식 [eqn: f(x)=-1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

그러므로 세 직선 [eqn: y=-1], [eqn: y=3], [eqn: y=7]과

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: a>0]일 때	[eqn: a<0]일 때

즉, 함수 [eqn: f(x)]의 극솟값은 [eqn: -1]

따라서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: rm 3], 극솟값은 [eqn: -1]이므로

그 합은 [eqn: 3+(-1)=2]

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

(나) 함수 [eqn: (g circ f)(x)]의 최솟값을 [eqn: m]이라 할 때, 방정식 [eqn: g(f(x))=m]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: rm 2]이다.

(다) 방정식 [eqn: g(f(x))=17]은 서로 다른 세 실근을 갖는다.

함수 [eqn: f(x)]의 극댓값과 극솟값의 합은?

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 22

삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[해설]

(가)조건을 만족하는 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같이 [eqn: 4]가지 경우가 있다.

[그림[eqn: 1]]	[그림[eqn: 2]]

[그림[eqn: 3]]	[그림[eqn: 4]]

그런데, (나)조건 [eqn: f LEFT ( x-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =0]에서

[eqn: x-f LEFT ( x RIGHT ) = alpha] 또는 [eqn: x-f LEFT ( x RIGHT ) = beta]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-alpha] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-beta]이므로 직선 [eqn: y=x-alpha,````y=x-beta]를 그렸을 때 교점이 [eqn: 3]개인 경우는 [그림[eqn: 3]], [그림[eqn: 4]]이다.

그런데, [eqn: f(1)=4], [eqn: f``'(1) = 1]를 만족해야 하므로 [그림[eqn: 4]]는 모순이다.

[그림[eqn: 3]]

즉 [그림[eqn: 3]]에서 [eqn: (1,````4)]에서 접하므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x-alpha RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-alpha RIGHT )]라 놓을 수 있다.

그리고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]이므로 [eqn: 1-alpha=4], [eqn: alpha=-3]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x+3 RIGHT ) =a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+3 RIGHT )]

또, [eqn: alpha =-3]에서 [eqn: f(x)]가 접하므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: (x+3)^2]의 인수를 가져야 한다.

㉠을 정리하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT }]

그런데, [eqn: a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1]이 [eqn: x+3]의 인수를 가져야 하므로

[eqn: a LEFT ( -3-1 RIGHT ) ^{2} +1=0]

[eqn: therefore][eqn: 16a+1=0], [eqn: a=- {1} over {16}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x ^{2} -2x+1 RIGHT ) +1 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x ^{2} -2x+1-16 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =][eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT { - {1} over {16} LEFT ( x-5 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =9times {5} over {16} = {45} over {16}]

따라서 [eqn: p=16 ,```` q=45]이므로 [eqn: p+q=16+45=61]

(가) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x-f(x))=0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 3]이다.

[eqn: f(1)=4], [eqn: f``'(1) = 1], [eqn: f``'(0)>1]일 때, [eqn: f(0)= q over p]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
01 부등식과 미분1 (모든 실수)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 19

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: 11]

[해설]

[eqn: f(x)=x^{4}-4 x^{3}+16 x+a]라 하면

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}-12 x^{2}+16=4(x+1)(x-2)^{2}]

[eqn: f `prime (x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -1]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 2]	[eqn: cdots]
[eqn: f `prime (x)]	[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	[eqn: searrow]	[eqn: a-11]	[eqn: nearrow]	[eqn: a+16]	[eqn: nearrow]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 최솟값 [eqn: a-11]을 갖는다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: x^{4}-4 x^{3}+16 x+a geq 0]이

항상 성립하기 위해서는

[eqn: a-11 geq 0], [eqn: a geq 11]

따라서 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: rm 11]

[eqn: x^{4}-4 x^{3}+16 x+a geq 0]

이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 19

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: 32]

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+k]라 하면
[eqn: f `prime (x) =12 x^{3}-12 x^{2}-24 x]
[eqn: =12 x(x+1)(x-2)]

[eqn: f `prime (x)=0]에서 [eqn: x=-1] 또는 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1], [eqn: x=2]에서 극소, [eqn: x=0]에서 극대이다.

이때 [eqn: f(-1)=-5+k], [eqn: f(2)=-32+k]이므로

[eqn: f(-1)>f(2)]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 주어진 부등식이 항상 성립하려면  [eqn: f(2)=-32+k geq 0] 즉, [eqn: k geq 32]이어야 한다.

따라서 실수 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: rm 32]이다.

[eqn: 3 x^{4}-4 x^{3}-12 x^{2}+k geq 0]

이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최솟값을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
02 부등식과 미분2 (제한범위)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 18

모든 양의 실수 [eqn: {x}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: BOLD9]

[해설]

[eqn: f(x) = x^3 - 5x^2 +3x+n]이라 하자.

[eqn: f`'(x) = 3x^2 -10x +3 =0]에서 [eqn: f`' left( 1 over 3 right) = 0 , ```` f`'(3)=0]

즉, 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

이때 [eqn: f(0) = n], [eqn: f (3) = n-9]이므로 양의 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: y= f(x)]의 최솟값은 [eqn: n-9]

따라서 [eqn: n-9 ge 0]이므로 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 9]

[eqn: x^{3}-5x^{2}+3x+n geq 0]

이 항상 성립하도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최솟값을 구하시오.

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
03 부등식과 미분3 (부등식의 동치변형)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 9

두 함수

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: h(x)=f(x)-g(x)]라 하면

[eqn: h(x)=x^{3}-x^{2}-x+6-a]

이때 [eqn: x geq 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부

등식 [eqn: h(x) geq 0]이 성립하려면 [eqn: x geq 0]에서

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: rm 0] 이상이어야 한다.

[eqn: h `prime (x)][eqn: =3 x^{2}-2 x-1]
[eqn: =(3 x+1)(x-1)]

이므로 [eqn: h `prime (x)=0] 에서

[eqn: x=-{1} over {3}] 또는 [eqn: x=1]

[eqn: x geq 0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 증가와 감소를

표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: rm 0]	[eqn: cdots]	[eqn: rm 1]	[eqn: cdots]
[eqn: h `prime (x)]		[eqn: -]	[eqn: rm 0]	[eqn: +]
[eqn: h(x)]	[eqn: 6-a]	[eqn: searrow]	[eqn: 5-a]	[eqn: nearrow]

즉, [eqn: x geq 0]에서 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: 5-a]이므로 주어진 조건을 만족시키려면 [eqn: 5-a geq 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: a leq 5]이므로 구하는 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: rm 5]이다.

[eqn: f(x)=x^{3}-x+6], [eqn: ~ g(x)=x^{2}+a]

가 있다. [eqn: x geq 0]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: f(x) geq g(x)]

가 성립할 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
02 부등식과 미분
05 부등식과 미분5 (함수 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 28

자연수 [eqn: a]에 대하여 두 함수

[정답] [eqn: 34]

[해설]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) leq 12 x+k leq g(x)]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값의 범위를 구하여 보자.

(i) [eqn: f(x) leq 12 x+k]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: f(x) leq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위를 구하면 다음과 같다
[eqn: h(x)=f(x)-12 x]라고 하면
[eqn: h(x)=-x^{4}-2 x^{3}-x^{2}-12 x],
[eqn: h `prime (x)=-4 x^{3}-6 x^{2}-2 x-12=-2(x+2) left(2 x^{2}-x+3 right)]
[eqn: h(x)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다

[eqn: x]	[eqn: cdots]	[eqn: -2]	[eqn: cdots]
[eqn: h `prime (x)]	[eqn: +]	[eqn: rm 0]	[eqn: -]
[eqn: h(x)]	[eqn: nearrow]	[eqn: rm 20]	[eqn: searrow]

[eqn: h(x)]는 [eqn: x=-2]에서 최대이고 최댓값은 [eqn: rm 20]
그러므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식
[eqn: f(x) leq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: k geq 20]

(ii) [eqn: g(x) geq 12 x+k]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: g(x) geq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위를 구하면 다음과 같다
부등식 [eqn: 3 x^{2}-12 x+a-k geq 0]이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 [eqn: 3 x^{2}-12 x+a-k=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면
[eqn: {D} over {4}=(-6)^{2}-3 times(a-k) leq 0], [eqn: k leq a-12]
모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식 [eqn: g(x) geq 12 x+k]를 만족시키는 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: k leq a-12]

(i), (ii)에 의해 [eqn: 20 leq k leq a-12]이고 이를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 3]이므로 [eqn: 22 leq a-12<23]

따라서 [eqn: 34 leq a<35]이므로 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: rm 34]

[eqn: f(x)=-x^{4}-2 x^{3}-x^{2}], [eqn: g(x)=3 x^{2}+a]

가 있다. 다음을 만족시키는 [eqn: a]의 값을 구하시오.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[eqn: ~~~f(x) leq 12 x+k leq g(x)]

를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 18

최고차항의 계수가 [eqn: a]인 이차함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ②

[해설]

주어진 조건에 의하여

[eqn: f(x)=a(x-1)^{2}+b(b]는 상수)로 놓으면

[eqn: f `prime (x)=2 a(x-1)]이므로

[eqn: left|f `prime (x) right| leq 4 x^{2}+5]에서

[eqn: |2 a(x-1)| leq 4 x^{2}+5 ~][eqn: cdotscdots]㉠

즉, ㉠이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립해야 하므로 두 곡선

[eqn: y=|2 a(x-1)|=|2 a PVER x-1|], [eqn: y=4 x^{2}+5]

가 그림과 같아야 한다.

즉, 실수 [eqn: a]의 최댓값은 점 [eqn: (1,``0)]에서 곡선 [eqn: y=4 x^{2}+5]에 그은 접선이 [eqn: y=-|2 a|(x-1)]일 때이므로 접점을 [eqn: left(k,`` 4 k^{2}+5 right)(k<0)]이라 하면

[eqn: y `prime =8 x]에서 [eqn: y- left(4 k^{2}+5 right)=8 k(x-k)]이 접선이

점 [eqn: (1,``0)]을 지나므로

[eqn: 4 k^{2}-8 k-5=0]

[eqn: (2 k-5)(2 k+1)=0]

[eqn: k=-{1} over {2}]

즉, 접선의 기울기는

[eqn: 8 times left(-{1} over {2} right)=-4] 이므로

[eqn: -|2 a|=-4], [eqn: |a|=2]

[eqn: a=-2] 또는 [eqn: a=2]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: rm 2]이다.

[eqn: left|f `prime (x) right| leq 4 x^{2}+5]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 대칭축이 직선 [eqn: x=1]일 때, 실수 [eqn: a]의 최댓값은?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

04 수2	06 방부등식과 직선운동
03 속도, 가속도와 미분
05 속도와 가속도의 해석4 (운동방향)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 11

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rmP}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]의 시각 [eqn: t ```` LEFT ( t GEQ 0 RIGHT )]에서의 위치 [eqn: x]가

[정답] ④

[해설]

시각 [eqn: t]에서의 속도를 [eqn: v]라 하면 [eqn: x=t ^{3} +k t ^{2} +k t]에서

[eqn: v][eqn: =3t ^{2} +2kt+k]

[eqn: t][eqn: =1]에서 점 [eqn: rmP]가 운동 방향을 바꾸므로 [eqn: t][eqn: =1]에서 [eqn: v=0]

그러므로 [eqn: 3+2k+k][eqn: =0]에서 [eqn: k= it -1]

시각 [eqn: t]에서의 가속도를 [eqn: a]라 하면

[eqn: a][eqn: =6t+2k][eqn: =6t-2]

따라서 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도는 [eqn: 6 TIMES 2-2][eqn: =10]

[eqn: x=t ^{3} +k t ^{2} +k t] ([eqn: k]는 상수)

이다. 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: rmP]가 운동 방향을 바꿀 때, 시각 [eqn: t=2]에서 점 [eqn: rmP]의 가속도는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 25

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의 위치 [eqn: x]가

[정답] [eqn: 30]

[해설]

점 [eqn: {rm{P}} it]의 시각 [eqn: t(t geq 0)]에서의

속도 [eqn: v]는 [eqn: v=6 t^{2}-2 k t]

가속도 [eqn: a]는 [eqn: a=12 t-2 k]

[eqn: t=1]일 때, [eqn: v=6-2 k=0]이므로 [eqn: k=3]

따라서 [eqn: t=3]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]의 가속도는

[eqn: 12 times 3-2 times 3=30]

[eqn: x=2 t^{3}-k t^{2}] ([eqn: k]는 상수)

이다. 시각 [eqn: t=1]에서 점 [eqn: {rm{P}} it]가 운동 방향을 바꿀 때, 시각 [eqn: t=k]에서의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 가속도를 구하시오.

[수학2] [03증가감소, 활용] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.28

[정답] [eqn: 6]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[정답] ③

[정답] [eqn: 15]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 7`]

[정답] [eqn: 2]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: 6]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 39 }]

[정답] [eqn: 105]

[정답] [eqn: 108]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 108 }]

[정답] ①

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 121]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: 35]

[정답] [eqn: 36]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 38]

[정답] [eqn: 14`]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 82]

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: bold { 160 }]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 4]

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 64 }]

[정답] [eqn: 240]

[정답] [eqn: 58]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[정답] [eqn: 11]

[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: BOLD9]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 34]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: 30]

[수학2] [03증가감소, 활용] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.28