		년도별경향	2022.12.28
교사평경3	02	[수학2] [02미분계수-접방] 교사평경 최근 3개년

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
01 미분계수1 (평균변화율)

교사평경3		년도별경향
02		[수학2] [02미분계수-접방] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학2] [02미분계수-접방] 교사평경 최근 3개년		02

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 7

함수 [eqn: f(x)= x^3 + x^2 - 2 x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: k]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: 10]일 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f(x) = x^3 + x^2 - 2 x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: k]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: { f(k) - f(0) } over k-0 = { LEFT ( k^3 +k^2 - 2k RIGHT )- 0 } over k-0 = k^2 +k - 2]

[eqn: k^2 + k - 2 = 10]

[eqn: (k+4)(k-3) = 0]에서 [eqn: k = it - 4] 또는 [eqn: k = 3]

따라서 양수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3]

① [eqn: 3]	② [eqn: 7 over 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 9 over 2]	⑤ [eqn: 5]

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
02 미분계수2 (평균변화율과 미분계수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 26

함수 [eqn: f(x) = x^3 - 3x^2 +5x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: a]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: f`'(2)]의 값과 같게 되도록 하는 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: a]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: {f(a) -f(0) } overa-0 }][eqn: = {a^3 - 3a^2 +5a } overa]
[eqn: =a ^2 -3a +5]

또 [eqn: f`'(x) = 3x^2 - 6x +5]이므로

[eqn: f`'(2) =12- 12+5=5]

따라서 [eqn: a^2 -3a +5=5]에서

[eqn: a(a-3) =0]

[eqn: a=0] 또는 [eqn: a=3]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=3]

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
04 미분계수4 (극한식의 해석, 무한소로 갈때)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 10

다항함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(3+h)-4} over {2 h}=1]이고 [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} 2 h=0]이므로

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} left{ f(3+h)-4 it right} =0], [eqn: f(3)=4]

[eqn: {1} over {2} times lim _{h ``rarrow`` 0} {f(3+h)-f(3)} over {h}={f `prime (3)} over {2}=1]

[eqn: f `prime (3)=2]

따라서 [eqn: f(3)+f `prime (3)=6]

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(3+h)-4} over {2 h}=1]

을 만족시킬 때, [eqn: f(3)+f `prime (3)]의 값은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
05 미분계수5 (극한식의 해석, 특정값으로 갈때)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 4

함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]에 대하여 [eqn: lim _{x ``->`` 2} {{f(x)-f(2)} over {x-2}} =3]일 때, [eqn: lim _{h ``->`` 0} {{f(2+h)-f(2-h)} over {h}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

미분계수의 정의에 의하여 [eqn: lim _{x ``->`` 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}][eqn: =f ' LEFT ( 2 RIGHT )]이므로

[eqn: f ' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =3]

[eqn: lim _{h ``->`` 0} {{f(2+h)-f(2-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h ``->`` 0} {{f(2+h)-f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) -f(2-h)} over {h}}]

[eqn: = lim _{h ``->`` 0} {{f(2+h)-f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} + lim _{h ``->`` 0} {} {f LEFT ( 2-h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {-h}]

[eqn: =f ' LEFT ( 2 RIGHT ) +f ' LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =2f ' LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: =6]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

04 수2	03 미분계수와 도함수
01 미분계수
06 미분계수6 (극한식의 해석, 식 변형)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 12

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: x `rarrow`1]일 때, (분모)[eqn: rarrow`0`]이므로
(분자)[eqn: rarrow`0`]이다. 즉, [eqn: f(1)][eqn: =g(1)][eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {{f ( x ) -g ( x )} over {x-1}}][eqn: = lim _{x` rarrow `1} { {LEFT { f ( x ) -f(1) RIGHT } - LEFT { g ( x ) -g(1) RIGHT }} over {x-1}}][eqn: =5`]

즉, [eqn: f`'(1)-g`'(1)][eqn: = 5][eqn: cdotscdots] ㉡

조건 (나)에서

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {} {f ( x ) +g ( x ) -2f(1)} over {x-1}][eqn: = lim _{x` rarrow `1} {} {LEFT { f ( x ) -f(1) RIGHT } + LEFT { g ( x ) -g(1) RIGHT }} over {x-1}][eqn: =7]

즉, [eqn: f` prime (1)+g` prime (1)][eqn: =7][eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {} {f ( x ) -a} over { x-1 }][eqn: =b times g(1)]에서 [eqn: x `rarrow`1]일 때,

(분모)[eqn: rarrow`0`]이므로 (분자)[eqn: rarrow`0`]이다.

즉, [eqn: a][eqn: =f(1)]이고 [eqn: lim _{x` rarrow `1} { {f ( x ) - f(1)} over { x-1 } }][eqn: =f`'(1)]

㉠에서 [eqn: f(1)][eqn: =g(1)`]이므로 [eqn: f`prime(1)][eqn: =b times f(1)][eqn: =ab]

㉡, ㉢을 연립해서 풀면 [eqn: f`prime(1)][eqn: =6]

따라서 [eqn: ab][eqn: =6]

(가) [eqn: lim _{x` rarrow `1} { {f ( x ) -g ( x )} over {x-1} =5}]

(나) [eqn: lim _{x` rarrow `1} { {f ( x ) +g ( x ) -2f ( 1 )} over {x-1}=7}]

두 실수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: lim _{x` rarrow `1} { {f ( x ) -a} over {x-1`} =b` TIMES `g ( 1 ) `}]일 때, [eqn: ab`]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
02 미분법 공식1 (공식과 미분계수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 6

함수 [eqn: {f(x)=x^4 +3x-2}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]에 대하여 [eqn: f `` prime(2)]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x) = x^4 + 3x -2]의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f^ `'(x) = 4x^3 + 3]

[eqn: x=2]를 대입하면 [eqn: f^`' (2)=32 + 3][eqn: = 35]

① [eqn: 35]	② [eqn: 37]	③ [eqn: 39]

④ [eqn: 41]	⑤ [eqn: 43]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 23

함수 [eqn: f(x)=x^{4}+3 x^{2}+7 x]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 17]

[해설]

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}+6 x+7]이므로

[eqn: f `prime (1)=4+6+7=17]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 23

함수 [eqn: f(x)=x^{4}+3 x^{2}+9 x-27]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: f `prime (x)=4 x^{3}+6 x+9]이므로 [eqn: f `prime (1)=19]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+7 x+1]에 대하여 [eqn: f `prime (0)]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+7]이므로

[eqn: f `prime (0)=7]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-2 x-7]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-2]

따라서

[eqn: f `prime (1)=3 times 1^{2}-2=1]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 23

곡선 [eqn: y=4 x^{3}-5 x+9] 위의 점 [eqn: (1,``8)]에서의 접선의 기울기를 구하시오.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: f(x)=4 x^{3}-5 x+9]라 하면

[eqn: f `prime (x)=12 x^{2}-5], [eqn: f `prime (1)=7]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 2

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +4x+5}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{3} +4x+5]에서 [eqn: f ' LEFT ( x RIGHT ) =6x ^{2} +4]이므로

[eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT ) =6+4=10]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 3

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x+1]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +3]에서 [eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =3+3=6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 2

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} +x-1]에 대하여 [eqn: f`prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} +6x+1]

이므로

[eqn: f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =3+6+1=10]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 16

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} +ax]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =4]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: f(x)=x ^{2} +ax]에서 [eqn: f prime (x)=2x+a]

[eqn: f prime (1)=2+a=4]에서 [eqn: a=2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 3

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =x ^{2} -ax]에 대하여 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x-a]이므로 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2-a][eqn: =0]

따라서 [eqn: a=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 16

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} +ax+3]에 대하여 [eqn: x][eqn: =2]에서의 미분계수가 [eqn: 18]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =4x+a]이므로 [eqn: f prime LEFT ( 2 RIGHT ) =8+a=18]에서 [eqn: a=10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 7

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} -3x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율과 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( k,~f LEFT ( k RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 기울기가 서로 같을 때, 양수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -3x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 4]까지

변할 때의 평균변화율은

[eqn: {f(4)-f(1)} over {4-1}][eqn: = {(64-12)-(1-3)} over {3}][eqn: =18]

곡선 [eqn: y=f(x)]위의 점 [eqn: (k,~ f(k))]에서의

접선의 기울기는 [eqn: f prime (k)=3k ^{2} -3]이므로

[eqn: 3k ^{2} -3=18 ,~ k ^{2} =7]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k= sqrt {7}]

① [eqn: sqrt {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: sqrt {5}]

④ [eqn: sqrt {6}]	⑤ [eqn: sqrt {7}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 18

함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}][eqn: =x ^{3} +ax]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: f `` ' LEFT ( a RIGHT )]의 값과 같게 되도록 하는 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 3a ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[해설]

[eqn: f ' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} +a]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 1]에서 [eqn: 3]까지 변할 때의 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 평균변화율이 [eqn: f ' LEFT ( a RIGHT )]의 값과 같으므로

[eqn: {f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {3-1}][eqn: =f ' LEFT ( a RIGHT )]

[eqn: {3 ^{3} +3a- LEFT ( 1 ^{3} +a RIGHT )} over {2}][eqn: =3a ^{2} +a]

따라서 [eqn: 3a ^{2}][eqn: =13]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 19

함수 [eqn: {f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +5x}{{from^2021^09^평가원^중}}]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율과 [eqn: f '(a)]의 값이 같게 되도록 하는 [eqn: 0<a<4]인 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[해설]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3} -6x ^{2} +5x]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: 0]에서 [eqn: 4]까지 변할 때의 평균변화율은

[eqn: {f(4)-f(0)} over {4-0} = {64-96+20} over {4} =it-3]

또한, [eqn: f prime (x)=3x ^{2} -12x+5]이므로

[eqn: 3a ^{2} -12a+5=it-3], [eqn: 3a ^{2} -12a+8=0]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠을 만족시키는 모든 실수 [eqn: a]는 [eqn: 0<a<4]를 만족시키므로 모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: {8} over {3}]이다.

따라서 [eqn: p=3], [eqn: q=8]이므로 [eqn: p+q=11]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+7 x-4]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+7]에서 [eqn: f `prime (1)=10]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+2 x^{2}+3 x+4]에 대하여 [eqn: f `prime (-1)]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+4 x+3]이므로

[eqn: f `prime (-1)=3-4+3=2]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 3

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+2 x+7]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2]이므로 [eqn: f `prime (1)=5]

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 6

함수 [eqn: f(x)=2 x^{2}-3 x+5]에서 [eqn: x]의 값이 [eqn: a]에서 [eqn: a+1]까지 변할 때의 평균변화율이 [eqn: rm 7]이다. [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(a+2 h)-f(a)} over {h}]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] ③

[해설]

[eqn: {f(a+1)-f(a)} over {(a+1)-a}=4 a-1=7]에서 [eqn: a=2]이다.

한편 [eqn: f `prime (x)=4 x-3]이므로

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(a+2 h)-f(a)} over {h}][eqn: =2 lim _{h ``rarrow`` 0} {f(a+2 h)-f(a)} over {2 h}]
[eqn: =2 f `prime (a)]
[eqn: =2 f `prime (2)=10]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 8]	③ [eqn: rm 10]

④ [eqn: rm 12]	⑤ [eqn: rm 14]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
03 미분법 공식2 (극한식의 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 4

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-2 x^{2}]에 대하여 [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+2 h)-f(2)} over {h}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

다항함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다.

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+2 h)-f(2)} over {h}]

[eqn: = lim _{h ``rarrow`` 0} left{ {f(2+2 h)-f(2)} over {2 h} times 2 it right}]

[eqn: =2 lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+2 h)-f(2)} over {2 h}=2 f `prime (2)]

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-4 x]이므로

[eqn: f `prime (2)=3 times 2^{2}-4 times 2=4]

따라서 구하는 값은

[eqn: 2 f `prime (2)=2 times 4=8]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 9

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-2 x^{2}+a x+1]에 대하여 [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+h)-f(2)} over {h}=9]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)]가 다항함수이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 미분가능하다.

한편, [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+h)-f(2)} over {h}=f `prime (2)]에서 [eqn: f `prime (2)=9]

[eqn: f(x)=x^{3}-2 x^{2}+a x+1]에서 [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-4 x+a]

그러므로 [eqn: f `prime (2)=3 times 2^{2}-4 times 2+a=a+4]

따라서 [eqn: a+4=9]에서 [eqn: a=5]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 4

함수 [eqn: {f(x)=x^{3}-4x^{2}+ax+6}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{h`` -> ``0} {} {f(2+h)-f(2)} over {h TIMES f(h)}][eqn: = lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {h}} TIMES {1} over {f LEFT ( h RIGHT )}]
[eqn: =f`{prime} LEFT ( 2 RIGHT ) TIMES {1} over {f LEFT ( 0 RIGHT )}][eqn: =1]

[eqn: f`{prime} LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) =6]이므로 [eqn: f`{prime} LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -8x+a]에서

[eqn: f`{prime} LEFT ( 2 RIGHT ) =-4+a=6]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=10]

[eqn: lim_{h ``->`` 0}{f(2+h)-f(2)}over{h times f(h)}=1]

일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 2

함수 [eqn: f(x)=2 x^{2}+5]에 대하여 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)-f(2)} over {x-2}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f(x)=2 x^{2}+5]에서 [eqn: f `prime (x)=4 x]

[eqn: therefore~ lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)-f(2)} over {x-2}=f `prime (2)=4 cdot 2=8]

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 9]	③ [eqn: rm 10]

④ [eqn: rm 11]	⑤ [eqn: rm 12]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 2

함수 [eqn: f(x)=x^{3}+9]에 대하여 [eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+h)-f(2)} over {h}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)=x^{3}+9]에서

[eqn: f `prime (x)=3 x^{2}]

이므로

[eqn: lim _{h ``rarrow`` 0} {f(2+h)-f(2)} over {h}][eqn: =f `prime (2)]
[eqn: =3 times 2^{2}=12]

① [eqn: rm 11]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 13]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 15]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
05 미분법 공식4 (곱의 미분법)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 22

함수 [eqn: f(x)=(2 x+3) left(x^{2}+5 right)]에 대하여 [eqn: f `prime (1)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 22]

[해설]

[eqn: f `prime (x)][eqn: =(2 x+3) `prime times left(x^{2}+5 right)+(2 x+3) times left(x^{2}+5 right) `prime]
[eqn: =2 left(x^{2}+5 right)+(2 x+3) times 2 x]
[eqn: =6 x^{2}+6 x+10]
[eqn: f `prime (1) =6+6+10=22]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 4

함수 [eqn: f(x)= left(x^{3}-2 x+3 right)(a x+3)]에 대하여 [eqn: f `prime (1)=15]일 때, [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: f `prime (x)= left(3 x^{2}-2 right)(a x+3)+ left(x^{3}-2 x+3 right) a]

[eqn: f `prime (1)=15=(a+3)+2 a]

[eqn: therefore~a=4]

① [eqn: rm 3]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 6]	⑤ [eqn: rm 7]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 16

두 함수 [eqn: f(x)=2x ^{2} +5x+3`], [eqn: g(x)= x^3 +2`]에 대하여 함수 [eqn: f(x)g(x)`]의 [eqn: x=0`]에서의 미분계수를 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

곱의 미분법에 의해 함수 [eqn: f(x)g(x)`]의 도함수는

[eqn: left{ f(x)g(x) right} prime][eqn: =f` prime (x)g(x)+f(x)g` prime (x)]

[eqn: f`prime(x)][eqn: =4x+5], [eqn: g`'(x)][eqn: =3x^2`]이므로

[eqn: f `prime (0) g(0) + f(0)g` prime (0)][eqn: =5 times 2 +3 times 0][eqn: =10]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 16

함수 [eqn: {f(x)=(x+3)(x^{3}+x)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold18]

[해설]

[eqn: f(x)=(x+3)(x^{3}+x)]의 양변을 미분하면

[eqn: f``'(x) =1cdot ( x^3 +x ) +(x+3) (3x^2 +1)]

따라서 [eqn: f``'(1) = 2 + 4 cdot 4 =18]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 2

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{3} -2x ^{2} +3 RIGHT ) LEFT ( ax+1 RIGHT ) `]에 대하여 [eqn: f`' LEFT ( 0 RIGHT ) =15`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f`prime left(x right)=left(3x^2 -4x right)left(ax+1right)+a left(x^3 -2x^2 +3right)]에서

[eqn: f`prime left(0right)=3a=15]

[eqn: therefore][eqn: a=5]

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
06 미분법 공식5 (곱의 미분법, 극한식의 해석)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 17

두 다항함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}], [eqn: g(x)]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)+g(x)} over {x}=3]에서 [eqn: x ``rarrow`` 0]일 때 [eqn: (]분모[eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 극한값이 존재하므로 [eqn: (]분자[eqn: ) ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} left{ f(x)+g(x) it right} =0]이고 두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]는 연속함수이므로

[eqn: f(0)+g(0)=0][eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)+g(x)} over {x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)+g(x)-f(0)-g(0)} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0} left{ {f(x)-f(0)} over {x}+{g(x)-g(0)} over {x} it right}]
[eqn: =f `prime (0)+g `prime (0)=3 ~ cdots cdots]㉡

또 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)+3} over {x g(x)}=2]에서 [eqn: x ``rarrow`` 0]일 때 [eqn: (]분모 [eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 극한값이 존재하므로 [eqn: (]분자 [eqn: ) ``rarrow`` 0]이어야 한다. 즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} left{ f(x)+3 it right} =0]이고 다항함수 [eqn: f(x)]는 연속함수이므로

[eqn: f(0)+3=0]에서 [eqn: f(0)=-3]이므로 ㉠에서 [eqn: g(0)=3]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)+3} over {x g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 0} left{ {f(x)-f(0)} over {x} times {1} over {g(x)} it right}]

[eqn: ={f `prime (0)} over {g(0)}={f `prime (0)} over {3}=2]

에서 [eqn: f `prime (0)=6]

㉡에서 [eqn: g `prime (0)=-3]

따라서 [eqn: h `prime (0)=f `prime (0) g(0)+f(0) g `prime (0)=6 times 3+(-3) times(-3)=27]

[eqn: lim _{x ``->`` 0} {{f(x)+g(x)} over {x}} =3], [eqn: lim _{x ``->`` 0} {{f(x)+3} over {xg(x)}} =2]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: h(x)=f(x)g(x)]에 대하여 [eqn: h prime(0)]의 값은?

① [eqn: 27]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 33]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 39]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 17

[eqn: {f(1)= it -2}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]인 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 일차함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

(가)에서 [eqn: lim _{x ``->`` 1} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +4 RIGHT }][eqn: =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -2g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = it -4]에서 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 일차함수이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =ax+b]라 하면

[eqn: g' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

(나)에서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =g' LEFT ( 0 RIGHT )]이므로 [eqn: b=a]

그런데 ㉠에서 [eqn: a+b][eqn: =2]이므로 [eqn: a=1], [eqn: b=1]

㉡에서 [eqn: g' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =1]

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +4} over {x-1}]는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {} {f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +4} over {x-1}][eqn: =f ' LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) g' LEFT ( 1 RIGHT )]

즉, [eqn: f prime LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 1 RIGHT ) g prime LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =2 f prime LEFT ( 1 RIGHT ) -2][eqn: =8]

따라서 [eqn: f ' LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =5]

(가) [eqn: lim _{x ``->`` 1} {{f(x) g(x)+4} over {x-1}}][eqn: = 8]

(나) [eqn: g(0)=g prime (0)]

[eqn: f `` prime (1)]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 15

두 다항함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {` {f(x)-a+2} over {x-1}}=4]이고 [eqn: lim _{x` rarrow `1} {` {(x-1)} =0]이므로

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {` { LEFT { f(x)-a+2 RIGHT } } =0]

함수 [eqn: f(x)]는 다항함수이므로

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {`f(x)=f(1)=a-2]

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {` {f(x)-a+2} over {x-1}} = lim _{x` rarrow `1} {` {f(x)-f(1)} over {x-1}} =f` prime (1)=4]

[eqn: lim _{x rarrow 1} {` {g(x)+a-2} over {x-1} =a}]이고 [eqn: lim _{x` rarrow `1} {` {(x-1)} =0]이므로

[eqn: lim _{x rarrow 1} {` { LEFT { g(x)+a-2 RIGHT } } =0]

함수 [eqn: g(x)]는 다항함수이므로

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {`g(x)} =g(1)= it -a+2]

[eqn: lim _{x rarrow 1} {` {g(x)+a-2} over {x-1} =lim _{x rarrow 1} {` {g(x)-g(1)} over {x-1} = g'(1) =a]

함수 [eqn: f(x)g(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수는

[eqn: f` prime (1)g(1)+f(1)g prime (1)][eqn: = 4 times (-a+2)+(a-2)timesa]
[eqn: = a^2 -6a+8 =it -1]

[eqn: a^2 -6a+9 =0]에서 [eqn: (a-3)^2 =0]

따라서 [eqn: a=3]

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {` {f(x)-a+2} over {x-1}}=4], [eqn: lim _{x rarrow 1} {` {g(x)+a-2} over {x-1} =a}]

를 만족시킨다. 함수 [eqn: f(x)g(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수가 [eqn: -1]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 19

두 다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x ^{2} -4}][eqn: =2]에서 (분모)[eqn: ``->``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``][eqn: 0]이다.

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -4 RIGHT }][eqn: =0]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =4]

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x ^{2} -4}][eqn: = lim _{x ``->`` 2} {} LEFT { {1} over {x+2} TIMES {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} RIGHT }]
[eqn: = {1} over {4} f ' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =2]

따라서 [eqn: f ' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8]이므로 [eqn: lim _{x ``->`` 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) +1} over {x-2}][eqn: =8]에서 (분모)[eqn: ``->``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``][eqn: 0]이다.

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) +1 RIGHT }][eqn: =0]이므로 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: = it -1]

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) +1} over {x-2}][eqn: = lim _{x ``->`` 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}][eqn: =g' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =8]

[eqn: h' LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f prime LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) +f LEFT ( x RIGHT ) g' LEFT ( x RIGHT )]

따라서 [eqn: h' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =f ' LEFT ( 2 RIGHT ) g LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) g' LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =24]

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {} {f LEFT ( x RIGHT ) -4} over {x ^{2} -4}][eqn: =2], [eqn: lim _{x ``->`` 2} {} {g LEFT ( x RIGHT ) +1} over {x-2}][eqn: =8]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: h' LEFT ( 2 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

두 다항함수 [eqn: {f (x)}], [eqn: g (x)]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{ x ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{4 } left{` x f LEFT ( 1+ 3^k overx RIGHT ) g LEFT ( 1+ 3^k overx RIGHT ) } `right}]에서 [eqn: 1overx =h], [eqn: p left(x right)=f left(x right)g left(x right)]라 하면

[eqn: lim _{ x ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{4 } left{` x f LEFT ( 1+ 3^k overx RIGHT ) g LEFT ( 1+ 3^k overx RIGHT ) } `right}]

[eqn: =lim _{ h ``->`` 0} { sum _{ k=1} ^{ 4} {p LEFT ( 1+3^k h RIGHT ) }overh]

[eqn: =lim_{h`->`0}sum_k=1^4 {p left(1+3^k h right)-p left(1right)}over{3^k h} cdot3^k] ([eqn: because][eqn: p left(1right)=f left(1right)g left(1right)=0])

[eqn: =sum_k=1^4 p`prime left(1right) cdot3^k]

[eqn: =left{f`primeleft(1right)g left(1right)+f left(1right)g`prime left(1right)right}sum_k=1^4 3^k]

[eqn: =4sum_k=1^4 3^k]

[eqn: =4times{3 left(3^4 -1right)}over{3-1]

[eqn: =480 from 넘버41]

[eqn: f (1) =2], [eqn: g (1) =0], [eqn: f '(1) = 0], [eqn: g '(1)=2]

일 때, [eqn: lim _{ x ``->`` inf} { sum _{ k=1} ^{4 } left{` x f LEFT ( 1+ 3^k overx RIGHT ) g LEFT ( 1+ 3^k overx RIGHT ) } `right}]의 값은?

① [eqn: 400]	② [eqn: 440]	③ [eqn: 480]

④ [eqn: 520]	⑤ [eqn: 560]

04 수2	03 미분계수와 도함수
02 도함수의 정의와 미분법 공식
07 미분법 공식6 (적절한 수치대입)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 5

다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x)= left(x^{2}+3 right) f(x)]에서

[eqn: g `prime (x)=2 x f(x)+ left(x^{2}+3 right) f `prime (x)]

따라서 [eqn: g `prime (1)=2 f(1)+4 f `prime (1)=2 times 2+4 times 1=8]

[eqn: g(x)=(x^2 +3) f(x)]

라 하자. [eqn: f(1)=2], [eqn: f prime(1)=1]일 때, [eqn: g prime(1)]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 17

미분가능한 함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: f(1)=2], [eqn: f `prime (1)=4]를 만족시킬 때, 함수 [eqn: g(x)=(x+1) f(x)]의 [eqn: x=1]에서의 미분계수를 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: g`` prime(x) = f(x)+ (x+1) f``'(x)]이므로

[eqn: g``'(1)= f(1) + 2 f``'(1) = 10]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

다항함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]를

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x)=x^{2} f(x)]를 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: g `prime (x)=2 x f(x)+x^{2} f `prime (x)]

이때, [eqn: f(2)=1], [eqn: f `prime (2)=3]이므로

[eqn: g `prime (2)][eqn: =4 f(2)+4 f `prime (2)]
[eqn: =4 times 1+4 times 3]
[eqn: =16]

[eqn: g LEFT (x RIGHT )=x ^{2} f LEFT (x RIGHT )]

라 하자. [eqn: f LEFT (2 RIGHT )=1], [eqn: f `prime LEFT (2 RIGHT )=3]일 때, [eqn: g `prime LEFT (2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 20]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
01 활용1 (함수 구하기, 인수정리)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 11

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

세 실근을 [eqn: a], [eqn: ar], [eqn: ar^2]이라 하면

[eqn: f(x)][eqn: =(x-a)(x-ar)(x-ar ^{2} )+9`]
[eqn: =][eqn: x^3 - a( 1+r+r^2 ) x^2 + a^2 r (1 + r+ r^2 ) x - ( ar)^3 + 9]

[eqn: f``'(x) =][eqn: 3x^2 - 2a (1+r+r^2 ) x + a^2 r (1 + r + r^2 )]

[eqn: f(0) = - ( ar)^3 + 9 = 1]

[eqn: f`` prime (2)][eqn: =12-4a(1+r+r ^{2} )+a ^{2} r(1+r+r ^{2} )]
[eqn: =-2]

[eqn: ar = 2], [eqn: a(1+r+r^2 ) = 7]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(3) = 27 - 63 + 42 +1][eqn: = 7]

방정식 [eqn: f(x)=9]는 서로 다른 세 실근을 갖고,

이 세 실근은 크기 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: f(0)=1], [eqn: f `prime (2)=-2]일 때, [eqn: f(3)]의 값은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
02 활용2 (함수 구하기, 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 13

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: x]축에 접한다. 함수 [eqn: g(x)=(x-3) f `prime (x)]에 대하여 곡선 [eqn: y=g(x)]가 [eqn: y]축에 대하여 대칭일 때, [eqn: f(0)]의 값은?

[정답] ③

[해설]

이차함수 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: x]축에 접하므로

[eqn: f(x)=(x-a)^{2} ~ (]단, [eqn: a]는 상수이다.[eqn: )]

[eqn: f(x)=(x-a)(x-a)]이므로

[eqn: f `prime (x)=2(x-a)]

[eqn: g(x)=(x-3) f `prime (x)=2(x-a)(x-3)]

[eqn: =2 x^{2}-2(a+3) x+6 a]

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 [eqn: y]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: x]의 계수가 [eqn: rm 0]이다. 즉, [eqn: a=-3]

따라서 [eqn: f(x)=(x+3)^{2}]에서 [eqn: f(0)=3^{2}=9]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 9]

④ [eqn: rm 16]	⑤ [eqn: rm 25]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 28

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: lim _{x`->`1} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =3]이고

[eqn: lim _{x`->`1} {`} LEFT ( x-1 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: lim _{x`->`1} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)에서 [eqn: lim _{x`->`2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT )} =alpha][eqn: LEFT ( alpha != 1 RIGHT )]이고

[eqn: lim _{x` rarrow `2} {`} LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]이므로 [eqn: lim _{x`->`2} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=2]에서 연속이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )] ([eqn: k], [eqn: a]는 상수, [eqn: k!=0])

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT { LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) + LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: a!=it-2]라 하면

[eqn: lim _{x` rarrow `2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x`->`2} {`} {k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )} over {f`' LEFT ( x RIGHT )}]
[eqn: = {2+a} over {2+a}]
[eqn: =1!=alpha]

그러므로 [eqn: a=it-2]이며 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: alpha][eqn: = lim _{x` rarrow `2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f` prime LEFT ( x RIGHT )}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `2} {`} {k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2}} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT { k LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +2k LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) RIGHT }}]
[eqn: = lim _{x` rarrow `2} {`} {LEFT ( x-1 RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) +2 LEFT ( x-1 RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {0+2 TIMES 1} = {1} over {2}]

조건 (가)에서

[eqn: lim _{x` rarrow `1} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} = lim _{x` rarrow `1} {`} {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1} =f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: k=3]

따라서 [eqn: alpha TIMES f LEFT ( 4 RIGHT ) = {1} over {2} TIMES LEFT ( 3 TIMES 3 TIMES 2 ^{2} RIGHT ) =18]

(가) [eqn: lim _{x`->`1} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1} =3]

(나) [eqn: 1]이 아닌 상수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: lim _{x`->`2} {`} {f LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT ( x-2 RIGHT ) f`' LEFT ( x RIGHT )} =alpha]이다.

[eqn: alpha TIMES f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 7

[eqn: f(3)=2], [eqn: f `prime (3)=1]인 다항함수 [eqn: f(x)]와 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: g(x)]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3} {f(x)-g(x)} over {x-3}=1]이고 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 3}(x-3)=0]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3} left{ f(x)-g(x) it right} =0]

[eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 모두 다항함수이므로 [eqn: f(3)=g(3)]이고

[eqn: f(3)=2]이므로 [eqn: g(3)=2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3} {f(x)-g(x)} over {x-3}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 3} { left{ f(x)-f(3) it right} - left{ g(x)-g(3) it right} } over {x-3}]
[eqn: =f `prime(3)-g`prime(3)=1]

[eqn: f `prime (3)=1]이므로 [eqn: g `prime (3)=0]

[eqn: g(x)=x^{2}+a x+b(a,`` b]는 상수[eqn: )]라 하면

[eqn: g `prime (x)=2 x+a]

[eqn: g(3)=9+3 a+b=2], [eqn: g `prime (3)=6+a=0]에서

[eqn: a=-6], [eqn: b=11]

따라서 [eqn: g(1)=1-6+11=6]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3} {f(x)-g(x)} over {x-3}=1]

을 만족시킬 때, [eqn: g(1)]의 값은?

① [eqn: rm 3]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 6]	⑤ [eqn: rm 7]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 14

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: lim_{x`->`1-}g left(x right)=lim_{x`->`1-}f left( x right)=f left(1right)],
[eqn: lim_{x`->`1+}g left(x right)=lim_{x`->`1-}left{2f left(1right)-f left(x right)right}=f left(1right)],
[eqn: g left(1right)=2f left(1right)-f left(1right)=f left(1right)]
이므로 함수 [eqn: g left(x right)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.
따라서 함수 [eqn: g left(x right)]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. (참)

ㄴ. [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( -1+h RIGHT ) +g LEFT ( -1-h RIGHT ) -6} over {h} =a]에서 극한값이 존재하고 (분모)[eqn: `->`0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.
[eqn: lim_{h`->`0+}left{g left(-1+h right)+g left(-1-h right)-6right}=0]에서 [eqn: g left(-1right)=3]
[eqn: therefore][eqn: f left(-1right)=3]
[eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( -1+h RIGHT ) +g LEFT ( -1-h RIGHT ) -6} over {h}]
[eqn: =lim_{h`->`0+}left{{g left(-1+h right)-g left(-1right)}overh -{g left(-1-h right)-g left(-1right)}over-h right}]
[eqn: =g`prime left(-1right)-g`prime left(-1right)]
[eqn: =0]
[eqn: therefore][eqn: a=0]
또한, [eqn: g left(1right)=1]에서 [eqn: f left(1right)=1]
[eqn: f left(x right)=x^2 +px+q]라 하면
[eqn: f left(-1right)=3]에서 [eqn: 1-p+q=3], [eqn: p-q=it-2]	[eqn: cdotscdots] ㉠
[eqn: f left(1right)=1]에서 [eqn: 1+p+q=1], [eqn: p+q=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: p=it-1], [eqn: q=1]
따라서 [eqn: f left(x right)=x^2 -x+1]이므로
[eqn: g left(a right)=g left(0right)=f left(0right)=1] (참)

ㄷ. [eqn: b ne1]이면 [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( b+h RIGHT ) +g LEFT ( b-h RIGHT ) -6} over {h} =0]이므로 [eqn: b=1]이다.
[eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( 1+h RIGHT ) +g LEFT ( 1-h RIGHT ) -6} over {h} =4]에서 극한값이 존재하고 (분모)[eqn: `->`0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.
[eqn: lim_{h`->`0+}left{g left(1+h right)+g left(1-h right)-6right}=0]에서
[eqn: g left(1right)=3]	[eqn: therefore][eqn: f left(1right)=3]
[eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( 1+h RIGHT ) +g LEFT ( 1-h RIGHT ) -6} over {h}]
[eqn: =lim_{h`->`0+}{2f left(1right)-f left(1+h right)+f left(1-h right)-6}overh]
[eqn: =lim_{h`->`0+}{f left(1-h right)-f left(1+h right)}overh]
[eqn: =it-2f`prime left(1right)]
따라서 [eqn: -2f`prime left(1right)=4]에서 [eqn: f`prime left(1right)=it-2]
[eqn: f left(x right)=x^2 +rx+s]라 하면 [eqn: f`prime left(x right)=2x+r]
[eqn: f left(1right)=3]에서 [eqn: 1+r+s=3], [eqn: r+s=2]	[eqn: cdotscdots] ㉢
[eqn: f`prime left(1right)=it-2]에서 [eqn: 2+r=it-2], [eqn: r=it-4]
[eqn: r=it-4]를 ㉢에 대입하면 [eqn: s=6]
따라서 [eqn: f left(x right)=x^2 -4x+6]이므로
[eqn: g left(4right)=2f left(1right)-f left(4right)=6-6=0] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x<1 RIGHT )#2f LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) ~~&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄴ. [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( -1+h RIGHT ) +g LEFT ( -1-h RIGHT ) -6} over {h} =a] ([eqn: a]는 상수)이고 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =1]이면 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =1]이다. ㄷ. [eqn: lim _{h rarrow 0+} {} {g LEFT ( b+h RIGHT ) +g LEFT ( b-h RIGHT ) -6} over {h} =4] ([eqn: b]는 상수)이면 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =1]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	03 미분계수와 도함수
03 미분법 공식의 활용
07 활용7 (조건항등식, 미정계수법)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 9

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ③

[해설]

주어진 등식의 양변에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f(0)=0]

다항함수 [eqn: f(x)]의 차수를 [eqn: n]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n leq 1]일 때, 주어진 등식의 좌변의 차수는
[eqn: rm 1] 이하이고, 우변의 차수는 [eqn: rm 2]이므로 등식이 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, 주어진 등식의 좌변의 이차항의 계수는 [eqn: -1]이고, 우변의 이차항의 계수는 [eqn: rm 2]이므로 등식이 성립하지 않는다.

(ⅲ) [eqn: n geq 3]일 때, 주어진 등식의 좌변의 [eqn: n]차항의 계수가 [eqn: n-3]이고 우변의 차수는 [eqn: rm 2]이므로 등식이 성립하기 위해서는 [eqn: n=3]이어야 한다.

( i ), ( ii ), (iii)에서 [eqn: f(x)]는 삼차함수이므로 [eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x ~ (a,`` b]는 상수[eqn: )]라 하면 [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x+b]이고

[eqn: x f `prime (x)-3 f(x)][eqn: =x left(3 x^{2}+2 a x+b right)-3 left(x^{3}+a x^{2}+b x right)]
[eqn: =-a x^{2}-2 b x]

주어진 등식이 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 성립하므로

[eqn: -a=2], [eqn: -2 b=-8]에서

[eqn: a=-2], [eqn: b=4]이고 [eqn: f(x)=x^{3}-2 x^{2}+4 x]

따라서 [eqn: f(1)=1-2+4=3]

[eqn: x f `prime (x)-3 f(x)=2 x^{2}-8 x]

를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
04 미분가능조건1 (구간정의함수)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 10

함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하면

[eqn: f(x)]는 실수 전체의 집합에서 미분가능 하다.

[eqn: f(1)=b+4]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} {b x+4-b-4} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} {b(x-1)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} b=b cdots cdots]㉠

이고

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+a x+b-b-4} over {x-1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+a x-4} over {x-1} cdots cdots]㉡

이다.

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하려면

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}]의 값이 존재해야 하므로

㉠, ㉡에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+a x-4} over {x-1}=b][eqn: cdotscdots]㉢

이어야 한다.

이때 [eqn: x ``rarrow`` 1]-일 때 [eqn: (]분모[eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 ㉢이 수렴하므로

[eqn: (]분자[eqn: ) ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} left(x^{3}+a x-4 right)=1+a-4=0]에서

[eqn: a=3]

이때 ㉢에서

[eqn: b][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {x^{3}+3 x-4} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} {(x-1) left(x^{2}+x+4 right)} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1-} left(x^{2}+x+4 right)]
[eqn: =1^{2}+1+4]
[eqn: =6]

따라서

[eqn: a+b=3+6=9]

[eqn: f(x)=cases{x^{3}+a x+b && (x<1) #b x+4 && (x geq 1)}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a+b]의 값은?

(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 12

함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 미분가능하다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x`-> `1-} {} `f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x`-> `1+} {} `f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( 1 RIGHT )]에서

[eqn: 1-a+2b= it -3+b]

[eqn: b=a-4]

[eqn: lim _{x`-> `1-} {} ` {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}][eqn: = lim _{x` -> `1-} {} ` {LEFT ( x ^{3} -ax+2b RIGHT ) - LEFT ( -3+b RIGHT )} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x` -> `1-} {} ` {x ^{3} -ax+a-1} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x` -> `1-} {} ` LEFT ( x ^{2} +x+1-a RIGHT )]
[eqn: =3-a]

[eqn: lim _{x` -> `1+} {} ` {f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {x-1}][eqn: = lim _{x` -> `1+} {} ` {LEFT ( -3x+b RIGHT ) - LEFT ( -3+b RIGHT )} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x` -> `1+} {} ` {-3x+3} over {x-1}]
[eqn: = it -3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 미분가능하므로

[eqn: 3-a= it -3]에서 [eqn: a=6]이고 [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a TIMES b=12]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``x ^{3} -ax+2b&&&LEFT ( x<`1 RIGHT )#``-3x+b&&&LEFT ( x GEQ 1 RIGHT )}}]

이 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 8

함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f left(x right)]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 [eqn: x=a]에서 미분가능하다.

(ⅰ) 함수 [eqn: f left(x right)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하므로 [eqn: x=a]에서 연속이어야 한다.
[eqn: lim_{x`->`a-}f left(x right)=lim_{x`->`a+}f left( x right)=f left(a right)]에서
[eqn: lim_{x`->`a-}f left(x right)=lim_{x`->`a-}left(x^2 -2x right)=a^2 -2a]
[eqn: lim_{x`->`a+}f left(x right)=lim_{x`->a+}left(2x+b right)=2a+b]
[eqn: f left(a right)=2a+b]
[eqn: therefore][eqn: a^2 -2a=2a+b], [eqn: b=a^2 -4a]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅱ) 함수 [eqn: f left(x right)]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하여야 한다.

[eqn: lim_{x`->`a-}{f left(x right)-f left(a right)}overx-a][eqn: =lim_{x`->`a-}{x^2 -2x-left(2a+b right)}overx-a]
[eqn: =lim_{x`->`a-}{x^2 -2x-a left(a-2right)}overx-a]
[eqn: =lim_{x`->`a-}{left(x-a right)left(x+a-2right)}overx-a]
[eqn: =2a-2]

[eqn: lim_{x`->`a+}{f left(x right)-f left(a right)}overx-a][eqn: =lim_{x`->`a+}{2x+b-left(2a+b right)}overx-a]
[eqn: =lim_{x`->`a+}{2left(x-a right)}overx-a]
[eqn: =2]

따라서 [eqn: 2a-2=2]에서 [eqn: a=2]를 ㉠에 대입하면 [eqn: b=it-4]

이상에서 [eqn: a+b=it-2]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x ^{2} -2x&~ LEFT ( x<a RIGHT )#`2x+b&~ LEFT ( x GEQ a RIGHT )}} `]

가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, [eqn: a+b`]의 값은?

(단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

04 수2	03 미분계수와 도함수
04 미분가능성과 연속성
06 미분가능조건3 (곱함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 7

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT | `x+3` RIGHT |], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x+a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{- LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a RIGHT )&LEFT ( x<-3 RIGHT )#LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a RIGHT )&LEFT ( x GEQ -3 RIGHT )}}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능하므로 [eqn: x=-3]에서 미분가능하다. 즉,

[eqn: lim _{x` rarrow -3-} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( -3 RIGHT ) g LEFT ( -3 RIGHT )} over {x+3} = lim _{x` rarrow -3+} {{f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( -3 RIGHT ) g LEFT ( -3 RIGHT )} over {x+3}}}]

[eqn: lim _{x` rarrow -3-} {LEFT ( -2x-a RIGHT ) = lim _{x` rarrow -3+} {LEFT ( 2x+a RIGHT )}}]

따라서 [eqn: 6-a=-6+a]에서 [eqn: a=6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 14

정수 [eqn: k]와 함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=|f(x)|]의 그래프는 그림과 같다.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 함수 [eqn: y=|f(x)|]의

그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: k]만큼 평행이동한 것이므로

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=k+3]에서만 불연속이다.

ㄱ. [eqn: k=-3]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0-}|f(x+3)|=0],
[eqn: g(0)=|f(0+3)|=0]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=g(0)] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x)=1], [eqn: f(0)=-1]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x) neq f(0)]
[eqn: k neq-3]일 때 함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} left{ f(x)+g(x) it right} neq f(0)+g(0)]
[eqn: k=-3]일 때 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=g(0)]이므로
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} left{ f(x)+g(x) it right} neq f(0)+g(0)]
그러므로 모든 정수 [eqn: k]에 대하여
함수 [eqn: f(x)+g(x)]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다. (거짓)

ㄷ. 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하기 위해서는
함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이어야 한다.
[eqn: lim _{x`` rarrow ``0-} {} f(x)g(x)= lim _{x`` rarrow ``0-} {} g(x)],
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x) g(x)=- lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)],
[eqn: f(0) g(0)=-g(0)]에서
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=- lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)=-g(0)]
모든 정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)=g(0)]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} g(x)=g(0)=0]
그러므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이
되도록 하는 정수 [eqn: k]의 값은 [eqn: -4], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: 1]

(i) [eqn: k=-4] 또는 [eqn: k=1]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {(x+1)(-x)} over {x}]
[eqn: =-1]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}= lim _{x ``rarrow`` 0+} {(x-1) x} over {x}]
[eqn: =-1]
이므로 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

(ii) [eqn: k=-2]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}=0]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}=0]
이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하다.

(iii) [eqn: k=-1]일 때
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {(x+1)(-x)} over {x}]
[eqn: =-1]
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {f(x) g(x)-f(0) g(0)} over {x-0}=0]
이므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.

(i), (ii), (iii)에 의하여 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -4+(-2)+1=-5]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

[eqn: f(x)=cases{x+1 && (x<0) #x-1 && (0 leq x<1) #0 && (1 leq x leq 3) #-x+4 && (x>3)}]

에 대하여 함수 [eqn: g(x)]를 [eqn: g(x)=|f(x-k)|]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: k=-3]일 때, [eqn: lim_{``x ``rarrow``0-}g(x)=g(0)]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f(x)+g(x)]가 [eqn: x=0]에서 연속이 되도록 하는 정수 [eqn: k]가 존재한다. ㄷ. 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하도록 하는 모든 정수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: -5]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

04 수2	03 미분계수와 도함수
05 기타
02 임시분류

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

곡선 [eqn: {y= x^3 -x^2 }] 위의 제[eqn: 1]사분면에 있는 점 [eqn: rmA]에서의 접선의 기울기가 [eqn: 8]이다. 점 [eqn: (0 ,`` 2)]를 중심으로 하는 원 [eqn: S]가 있다. 두 점 [eqn: rmB(0 ,`` 4)]와 원 [eqn: S] 위의 점 [eqn: rmX]에 대하여 두 직선 [eqn: rmOA]와 [eqn: rmBX]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta]라 할 때, [eqn: bar {RmBX} `sintheta]의 최댓값이 [eqn: {6 sqrt5} over 5]가 되도록 하는 원 [eqn: S]의 반지름의 길이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ②

[해설]

[eqn: y= x^3 -x^2] 위의 점을 [eqn: rm A ( it t, ````t^3 -t^2 )]라 하면 [eqn: y``'= 3x^2 -2x]에서 점 [eqn: rmA]에서의 기울기는 [eqn: 3t^2 -2t]이므로

[eqn: 3t^2 -2t][eqn: =8], [eqn: (t-2)(3t +4) =0]

[eqn: therefore][eqn: t=2][eqn: (because````t>0)]

따라서 점 [eqn: rmA(2,````4)]이다.

두 직선 [eqn: rmOA]와 [eqn: rmBX]가 이루는 예각의 크기가 [eqn: theta]이고, 직선 [eqn: rmOA]의 기울기가 [eqn: 2]이므로 [eqn: theta]는 직선 [eqn: rmBX]와 점 [eqn: rmX]를 지나고 기울기가 [eqn: 2]인 직선이 이루는 예각과 같다.

위의 그림에서 [eqn: bar {RmBX} `sintheta][eqn: rm = bar BH]이므로 [eqn: bar {RmBX} `sintheta]의 최대는 [eqn: rm bar BH]가 최대일 때이다.

[eqn: bar {RmBX} `sintheta], 즉 [eqn: rm bar BH]의 최댓값이 [eqn: {6 sqrt5} over 5]이므로 두 점 [eqn: rmX], [eqn: rmH]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y=2x +k]라 하면 점 [eqn: rmB left( 0,``4right)]에서 직선 [eqn: 2x-y+k=0]까지의 거리가 [eqn: {6 sqrt5} over 5]이다.

[eqn: {left|`k-4`right|} over {root{2^2 + (-1)^2 } }= {6root5} over5], [eqn: left|`k-4`right| =6]

[eqn: therefore][eqn: k= it-2] 또는 [eqn: k=10]

그런데 [eqn: theta]가 예각이므로 [eqn: k=it-2]

즉, [eqn: y=2x-2]

따라서 원 [eqn: S]의 반지름을 [eqn: r]이라 하면 중심 [eqn: (0,````2)]에서 직선 [eqn: 2x-y-2=0]과의 거리가 [eqn: r]이므로

[eqn: r={left|`-4`right|} over {root{2^2 + (-1)^2 } }= {4root5} over5 from 넘버41]

① [eqn: {3 sqrt5 } over 4]	② [eqn: {4 sqrt5} over 5]	③ [eqn: {17 sqrt5} over 20]

④ [eqn: { 9 sqrt5 } over 10]	⑤ [eqn: {19 sqrt5} over 20]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
01 접점1 (접선의 방정식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 24

곡선 [eqn: y= x^3 - 6x^2 +6] 위의 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선이 점 [eqn: (0 ,~a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: y= x^3 - 6x^2 +6]에서

[eqn: y`' = 3x^2 - 12x]이므로 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선의 기울기는

[eqn: 3 times1 ^2 - 12 times 1 = it-9]

따라서 점 [eqn: (1,~1)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-1 = it- 9(x-1)]

[eqn: y=it- 9x +10]

이 접선이 점 [eqn: (0 ,~a)]를 지나므로

[eqn: a=it-9 times 0 +10 =10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 6

함수 [eqn: f(x)=x^{3}-2 x^{2}+2 x+a]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (1,`` f(1))]에서의 접선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)=x^{3}-2 x^{2}+2 x+a]에서 [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-4 x+2]

[eqn: f(1)=a+1], [eqn: f `prime (1)=1]이므로

곡선 위의 점 [eqn: (1,`` f(1))]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=(x-1)+a+1], 즉 [eqn: y=x+a]

두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는 각각 [eqn: (-a,`` 0)], [eqn: (0,`` a)]이다.

[eqn: overline{{rm{PQ}} it }=6]에서 [eqn: sqrt{a^{2}+a^{2}}=6], [eqn: a^{2}=18]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=3 sqrt{2}]

[eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{PQ}} it }=6]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 2 sqrt{2}]	② [eqn: {5 sqrt{2}} over {2}]	③ [eqn: 3 sqrt{2}]

④ [eqn: {7 sqrt{2}} over {2}]	⑤ [eqn: 4 sqrt{2}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 17

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{3} -x+a`]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]위의 점 [eqn: LEFT ( 1,``f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )`]에서의 접선이 원점을 지날 때, 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 6]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{3} -x+a`]에서 [eqn: f`prime left(x right)=9x^2 -1]

[eqn: f left(1right)=a+2]이고, [eqn: x=1]일 때의 접선의 기울기는 [eqn: f`prime left(1right)=8]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-left(a+2right)=8left(x-1right)], [eqn: y=8x+a-6]

이 접선이 원점을 지나므로 대입하면

[eqn: 0=a-6]

[eqn: therefore][eqn: a=6]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
02 접점2 (법선의 방정식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 9

곡선 [eqn: {y=x^3 -3x^2 +2x+2}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]위의 점 [eqn: rmA(0 ,```` 2)]에서 접선과 수직이고 점 [eqn: rmA]를 지나는 직선의 [eqn: x]절편은?

[정답] ①

[해설]

곡선 [eqn: y=x ^{3} -3x ^{2} +2x+2]의 도함수는 [eqn: y prime=3x ^{2} -6x+2]

즉, 점 [eqn: rmA LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: 2]이므로 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - {1} over {2}]이다.

따라서 기울기가 [eqn: - {1} over {2}]이고 점 [eqn: rmA LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {2} LEFT ( x-0 RIGHT ) +2]

즉 [eqn: y=- {1} over {2} x+2]이다.

따라서 직선의 [eqn: x]절편은 [eqn: y=0]일 때 [eqn: x=4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
05 기울기2 (접점의 좌표)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 9

곡선 [eqn: y=-x^{3}+3 x^{2}+4]에 접하는 직선 중에서 기울기가 최대인 직선을 [eqn: l]이라 하자. 직선 [eqn: l]과 [eqn: x]축 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ①

[해설]

[eqn: y `prime =-3 x^{2}+6 x=-3(x-1)^{2}+3]이므로 [eqn: x=1], [eqn: y=6]일 때 기울기는 [eqn: rm 3]으로 최대이다.

따라서 직선 [eqn: l]은 [eqn: y=3(x-1)+6=3 x+3]

구하는 도형의 넓이는

[eqn: S={1} over {2} times 3 times 1={3} over {2}]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
07 곡선 밖의 점1 (접선의 방정식)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

점 [eqn: LEFT (0,`` 4 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{3} -x+2]에 그은 접선의 [eqn: x]절편은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: y=x^{3}-x+2]에서    [eqn: y `prime =3 x^{2}-1]

이때 곡선 [eqn: y=x^{3}-x+2] 위의 점 [eqn: left(t,`` t^{3}-t+2 right)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y- left(t^{3}-t+2 right)= left(3 t^{2}-1 right)(x-t)]

이 직선이 점 [eqn: (0,``4)]를 지나므로

[eqn: 4- left(t^{3}-t+2 right)= left(3 t^{2}-1 right)(0-t)]

[eqn: t^{3}=`-1],    [eqn: t=`-1]

따라서 점 [eqn: (0,``4)]에서 곡선 [eqn: y=x^{3}-x+2]에 그은 접선의 방정식은

[eqn: y-2=2(x+1)],    [eqn: y=2 x+4]

그러므로 직선 [eqn: y=2 x+4]의 [eqn: x]절편은 [eqn: -2]이다.

① [eqn: -{1} over {2}]	② [eqn: -1]	③ [eqn: -{3} over {2}]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -{5} over {2}]

04 수2	04 접선의 방정식
01 접선의 방정식
08 곡선 밖의 점2 (접점의 좌표)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 9

원점을 지나고 곡선 [eqn: y=-x^{3}-x^{2}+x]에 접하는 모든 직선의 기울기의 합은?

[정답] ②

[해설]

접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: y``' = - 3x^2 - 2x + 1]

[eqn: y = ( - 3t^2 - 2t+1) ( x-t) - t^3 - t^2 + t]

[eqn: 0 = 3t^3 + 2t^2 - t - t^3 - t^2 + t]

[eqn: 2t^3 + t^2 = 0], [eqn: t^2 ( 2t+1) = 0]

[eqn: t = 0], [eqn: - 1 over2], [eqn: y``' = 1], [eqn: 5 over4], [eqn: THEREFORE][eqn: 1 + 5 over4 = 9 over4]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: rm 3]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
01 활용1 (접선과 교점의 관계)

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 7

실수 [eqn: {k}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: k]값에 관계없이 성립하므로 [eqn: k]에 관한 항등식이다.

즉, [eqn: x^2 +2x+1=0]이므로 [eqn: x=-1]

따라서 점 [eqn: rmP]는 [eqn: {rm P it}(-1 ,```` 3)]

점 [eqn: rmP]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 오직 한 점에서 만나므로 점 [eqn: rmP]는 변곡점이다.

[eqn: f '(x)=3x^{2}+2kx+2k-1]

[eqn: f ''(x)=6x+2k]

[eqn: f ''(-1)=0]이므로 [eqn: -6+2k=0]

[eqn: therefore][eqn: k=3]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{3} +kx ^{2} + LEFT ( 2k-1 RIGHT ) x+k+3]

의 그래프가 [eqn: k]의 값에 관계없이 항상 점 [eqn: rmP]를 지난다.

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]위의 점 [eqn: rmP]에서의 접선이 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 오직 한 점에서 만난다고 할 때, [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 8

곡선 [eqn: y=x^{3}-4 x+5] 위의 점 [eqn: (1,``2)]에서의 접선이 곡선 [eqn: y=x^{4}+3 x+a]에 접할 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: y=x^{3}-4 x+5]을 미분하면 [eqn: y `prime =3 x^{2}-4]이므로 곡선 [eqn: y=x^{3}-4 x+5] 위의 점 [eqn: (1,``2)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=-(x-1)+2=-x+3]

이다. 이 접선이 곡선 [eqn: y=x^{4}+3 x+a]와 [eqn: x=t]에서 접한다고 하면

[eqn: rpile{t ^{4} +3t+a=-t+3&&CDOTS CDOTS ㉠~#4t ^{3} +3=-1&&CDOTS CDOTS ㉡````}]

이고, 식 ㉡에서 [eqn: t=-1]이므로 이를 식 ㉠에 대입하면

[eqn: therefore~a=6}]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
02 활용2 (접선에 대한 조건)

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

좌표평면 위의 점 [eqn: left(a ,``b right)]에서 곡선 [eqn: y=x^2]에 그은 두 접선이 서로 수직이고

[정답] ②

[해설]

곡선 [eqn: y=x^2] 위의 점을 [eqn: (t,````t^2 )]이라 하면 접선의 기울기는 [eqn: y``'=2x]에서 [eqn: m= 2t]이므로 접선의 방정식은

[eqn: y-t^2 =2t(x-t)]

그런데 이 접선이 [eqn: (a ,```` b)]를 지나므로 [eqn: b-t^2 =2t(a-t)]

즉, [eqn: t^2 -2at +b =0]

이차방정식 [eqn: t^2 -2at +b =0]을 만족하는 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에서 [eqn: alpha beta =b]

그런데, 두 접선이 서로 수직이므로 [eqn: 2alpha cdot 2beta =-1]이어야 한다.

따라서 [eqn: 4b =-1], [eqn: b =- 1 over4]

조건에서 [eqn: a^2 +b^2 le 37 over16]이므로 [eqn: a^2 + 1over16 le 37 over16]

즉, [eqn: a^2 le 9 over4]이므로 [eqn: - 3 over2 le a le 3over2]

따라서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: a= 3 over 2]일 때이고, 최솟값은 [eqn: a= - 3over 2]일 때이므로

최댓값 [eqn: p]는 [eqn: p= 3 over2 - 1 over4 = 5 over 4]

최솟값 [eqn: q]는 [eqn: q = - 3 over2 - 1 over4 = - 7 over4]

[eqn: therefore][eqn: pq = - 35 over16 from 넘버41]

[eqn: a^2 +b^2 le 37 over16]

일 때, [eqn: a+b]의 최댓값을 [eqn: p], 최솟값을 [eqn: q]라 하자. [eqn: pq]의 값은?

① [eqn: - 33 over16]	② [eqn: - 35 over16]	③ [eqn: - 37 over16]

④ [eqn: - 39 over16]	⑤ [eqn: - 41 over16]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
04 활용4 (곡선과 원의 접선)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 13

곡선 [eqn: y=x^{3}+1] 위의 점 [eqn: (1,``2)]에서의 접선을 [eqn: l]이라 하자. 중심이 [eqn: y]축 위에 있는 원이 점 [eqn: (1,``2)]에서 직선 [eqn: l]에 접할 때, 이 원의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

그림과 같이 원의 반지름의 기울기가 [eqn: -{1} over {3}]이므로

중심은 [eqn: left(0,``2+{1} over {3} right)]

따라서 반지름 [eqn: r]에 대하여

[eqn: S= left(1+{1} over {9} right) pi={10} over {9} pi]

① [eqn: {5} over {9} pi]	② [eqn: {8} over {9} pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {10} over {9} pi]	⑤ [eqn: {13} over {9} pi]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
05 활용5 (함수 구하기)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 10

삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]에서의 접선과 곡선 [eqn: y=xf LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )]에서의 접선이 일치할 때, [eqn: f`prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: (0,``0)]이 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점이므로 [eqn: f(0)=0]

곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 점 [eqn: (0,``0)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-0=f `prime (0)(x-0)], [eqn: y=f `prime (0) x ~ cdots cdots] ㉠

점 [eqn: (1,``2)]가 곡선 [eqn: y=x f(x)] 위의 점이므로

[eqn: 1 times f(1)=2], [eqn: f(1)=2]

[eqn: y=x f(x)]에서 [eqn: y `prime =f(x)+x f `prime (x)]이므로

곡선 [eqn: y=x f(x)] 위의 점 [eqn: (1,``2)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-2= left{ f(1)+f `prime (1) it right} (x-1)], [eqn: y= left{ f `prime (1)+2 it right} (x-1)+2]

[eqn: y= left{ f `prime (1)+2 it right} x-f `prime (1) ~ cdots cdots] ㉡

[eqn: f(x)]는 삼차함수이므로

[eqn: f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d(a,`` b,`` c,`` d]는 상수, [eqn: a neq 0)]이라 하면 [eqn: f(0)=0]에서 [eqn: d=0]

이때 [eqn: f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x]이므로

[eqn: f(1)=2]에서 [eqn: a+b+c=2 ~ cdots cdots] ㉢

한편, ㉠, ㉡에서 두 접선이 일치하므로

[eqn: f `prime (0)=f `prime (1)+2]이고 [eqn: -f `prime (1)=0]

즉, [eqn: f `prime (1)=0], [eqn: f `prime (0)=2]

[eqn: f `prime (x)=3 a x^{2}+2 b x+c]이므로

[eqn: f `prime (0)=2]에서 [eqn: c=2]

이때 [eqn: f `prime (x)=3 a x^{2}+2 b x+2]이므로

[eqn: f `prime (1)=0]에서 [eqn: 3 a+2 b+2=0 ~ cdots cdots] ㉣

㉢에 [eqn: c=2]를 대입하면 [eqn: a+b=0 ~ cdots cdots] ㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면 [eqn: a=-2], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: f `prime (x)=-6 x^{2}+4 x+2]이므로

[eqn: f `prime (2)=-24+8+2=-14]

① [eqn: -18]	② [eqn: -17]	③ [eqn: -16]

④ [eqn: -15]	⑤ [eqn: -14]

04 수2	04 접선의 방정식
02 접선의 방정식의 활용
06 활용6 (정의된 함수)

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

삼차함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^경찰대^중}}][eqn: =x ^{3} +x ^{2}]의 그래프 위의 두 점 [eqn: LEFT ( t ,```` f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT )]와 [eqn: LEFT ( t+1 ,```` f LEFT ( t+1 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 [eqn: y]절편을 각각 [eqn: g _{1} LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: g _{2} LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )][eqn: = left |`` g _{1} LEFT ( t RIGHT ) -g _{2} LEFT ( t RIGHT ) ``right |]의 최솟값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: f '(x)=3x^{2}+2x]이고, [eqn: (t ,```` f(t))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(3t^{2}+2t)(x-t)+t^{3}+t^{2}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: (t+1 ,```` f(t+1))]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y=(3(t+1)^{2}+2(t+1))(x-t-1)+(t+1)^{3}+(t+1)^{2}]

[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 각각의 [eqn: y]절편 [eqn: g_1 (t) , ````g_2 (t)]를 구하면

[eqn: g_{1}(t)=-2t^{3}-t^{2}], [eqn: g_{2}(t)=-2(t+1)^{3}-(t+1)^{2}]

[eqn: therefore][eqn: h(t)][eqn: = ``|`` g_{1}(t)-g_{2}(t) ``|``]
[eqn: = ``|`` 6t^{2}+8t+3 ``|``]
[eqn: = left|``6 left (t+ 2over 3 right) ^2 + 1 over 3 ``right|]

따라서 [eqn: h(t)]의 최솟값은 [eqn: t=-{2}over{3}]일 때 [eqn: {1}over{3}]

① [eqn: {1} over {3}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {4} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {3}]

04 수2	04 접선의 방정식
03 평균값의 정리
04 평균값의 정리3 (부등식의 해석)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 8

실수 전체의 집합에서 미분가능하고 다음 조건을 만족시키는 모든 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(5)]의 최솟값은?

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [1,``5]]에서 연속이

고 열린구간 [eqn: (1,``5)]에서 미분가능하므로

평균값의 정리에 의하여

[eqn: {f(5)-f(1)} over {5-1}=f `prime (c) cdots]㉠

를 만족하는 상수 [eqn: c]가 열린구간 [eqn: (1,``5)]에 적어도 하나 존재한다.

이때, 조건 (나)에 의하여

[eqn: f `prime (c) geq 5]

이므로 ㉠에서

[eqn: {f(5)-3} over {4} geq 5]

[eqn: f(5) geq 23]

따라서 [eqn: f(5)]의 최솟값은 [eqn: rm 23]이다.

(가) [eqn: f(1)=3]

(나) [eqn: 1<x<5]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f `prime (x) geq 5]이다.

① [eqn: rm 21]	② [eqn: rm 22]	③ [eqn: rm 23]

④ [eqn: rm 24]	⑤ [eqn: rm 25]

[수학2] [02미분계수-접방] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.28

[정답] ①

[정답] [eqn: 3]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 17]

[정답] [eqn: 19]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: 7]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 2]

[정답] ②

[정답] [eqn: 10]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 22]

[정답] ②

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: bold18]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 10]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 18]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 10]

[정답] ③

[정답] [eqn: 6]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ③

[수학2] [02미분계수-접방] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.28