		년도별경향	2022.12.28
교사평경3	01	[수학2] [01 극한, 연속성] 교사평경 최근 3개년

04 수2	01 함수의 극한
01 좌극한과 우극한
01 좌극한과 우극한1 (그래프 조건)

교사평경3		년도별경향
01		[수학2] [01 극한, 연속성] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학2] [01 극한, 연속성] 교사평경 최근 3개년		01

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 5

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow``-1-} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)=1+2=3]

[eqn: lim _{x ``rarrow``-1-} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)]의 값은?

① [eqn: -rm 1]	② [eqn: rm 0]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: rm 3]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 7

함수 [eqn: f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)=0+(-1)=-1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: rm 0]	③ [eqn: rm 1]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: rm 3]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 7

열린구간 [eqn: (0,``4)]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: x ``rarrow`` 1+]일 때, [eqn: f(x) ``rarrow`` 1]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)=1]

또, [eqn: x ``rarrow`` 3]일 때, [eqn: f(x) ``rarrow`` 2]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3-} f(x)=2]

따라서,

[eqn: lim _{x`` rarrow ``1 +} {} f(x)- lim _{x`` rarrow ``3-} {} f(x)=1-2=-1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)- lim _{x ``rarrow`` 3-} f(x)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 6

닫힌구간 [eqn: [-2,``2]]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x)=2], [eqn: ~ lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x)=0]

이므로

[eqn: lim _{x`` rarrow ``0+} {} f(x)+ lim _{x`` rarrow ``2-} {} f(x)]

[eqn: =2+0]

[eqn: =2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 5

닫힌구간 [eqn: [-1,``3]]에서 정의된 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)=2+2=4]

[eqn: lim _{x` rarrow 0-} {} f(x)+ lim _{x` rarrow 2+} {} f(x)]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 4

함수 [eqn: {y}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(3)+ lim _{x ``->`` 1-} {f(x)=1+1=2}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) + lim _{x ``->`` 1-} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 7

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(-1)+ lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)=1+3=4]

[eqn: f(-1)+ lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 5

함수 [eqn: y=f ( x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x` -> `-2+} {} f(x)+lim _{x` -> `2-} {} f(x)][eqn: =2+3][eqn: =5]

[eqn: lim _{x` rarrow `-2+} {f (x )}` + lim _{x` rarrow `2-} {f (x )}`]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 4

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f(x)+ lim _{x -> 2+} {} f(x)][eqn: =3+1][eqn: =4]

[eqn: lim _{x -> 1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x -> 2+} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 4

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ①

[해설]

그래프에서 [eqn: x ``->`` 0-]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``->`` -2]이므로 [eqn: lim _{x ``->`` 0-} {f LEFT ( x RIGHT )} =`-2]

[eqn: x ``->`` 2+]일 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ``->`` 0]이므로 [eqn: lim _{x ``->`` 2+} {f LEFT ( x RIGHT )} =0]

[eqn: therefore][eqn: lim _{x ``->`` 0-} {f LEFT ( x RIGHT )} + lim _{x ``->`` 2+} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =`-2 + 0 =`-2]

[eqn: lim _{x ``->`` 0-} {f LEFT ( x RIGHT )} + lim _{x ``->`` 2+} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 5

함수 [eqn: {y=f(x)}{{from^2021^9 고2인천^중}}]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{x-> -1+} {f(x)} `+ lim _{x-> 1-} {f(x)}][eqn: =2+1][eqn: =3]

[eqn: lim _{x-> -1+} {f(x)} `+` lim _{x-> 1-} {f(x)}]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 4

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {`} f LEFT ( x RIGHT ) TIMES lim _{x` rarrow `1+} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =2times1=2]

[eqn: lim _{x` rarrow `0-} {`} f LEFT ( x RIGHT ) TIMES lim _{x` rarrow `1+} {`} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 4

닫힌구간 [eqn: {LEFT [ -2 ,```` 2 RIGHT ]}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에서 정의된 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` -1-} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2], [eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = it -1]

따라서 [eqn: lim _{x ``->`` -1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x ``->`` 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =1]

[eqn: lim _{x ``->`` -1-} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x ``->`` 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 4

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim_x->0- f(x) - lim_x->1+ f(x)= 2 -1 = 1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x)- lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 4

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: x` rarrow `-1-]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ` rarrow `3]이므로 [eqn: lim _{x` rarrow `-1-} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =3]

또, [eqn: x` rarrow `2]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ` rarrow `1]이므로 [eqn: lim _{x` rarrow `2} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =1]

따라서,

[eqn: lim _{x` rarrow `-1-} {`} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x` rarrow `2} {`} f LEFT ( x RIGHT ) =3+1=4]

[eqn: lim _{x` -> `-1-} {`f LEFT ( x RIGHT )} + lim _{x` -> `2} {`f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 4

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow``-1+} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x)=0+1=1]

[eqn: lim_ {x``rarrow``-1+} f(x)+ lim_{x ``rarrow`` 1-} f(x)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 5

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow``-1{+}} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x)=2+1=3]

[eqn: lim _{x ``rarrow``-1+} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x)]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 4

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: x ``rarrow`` 0-]일 때 [eqn: f(x) ``rarrow``-2]이고

[eqn: x ``rarrow`` 1+]일 때 [eqn: f(x) ``rarrow`` 1]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} f(x)+ lim f(x)]

[eqn: =(-2)+1=-1]

[eqn: lim _{x`` rarrow ``0-} {} f(x)+ lim _{x`` rarrow ``1+} {} f(x)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 4

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow``-1+} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x)=4+(-2)=2]

[eqn: lim _{ x->-1+ } f(x)+ lim _{ x->2- } { } f(x)]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 2]	⑤ [eqn: rm 4]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 4

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim_{x`->`1+}f left(x right)=2], [eqn: lim_{x`->`3-}f left(x right)=2]이므로

[eqn: lim _{x` rarrow `1+} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x` rarrow `3-} {} f LEFT ( x RIGHT ) =2+2=4]

[eqn: lim _{x` rarrow `1+} {} f LEFT ( x RIGHT ) + lim _{x` rarrow `3-} {} f LEFT ( x RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 4

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1} {} f(x)=1], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)=1]

따라서 [eqn: lim _{x ``rarrow``-1} f(x)+ lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)=2]

[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1} {} f(x)+ lim _{x`` rarrow ``1+} {} f(x)]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	01 함수의 극한
01 좌극한과 우극한
05 좌극한과 우극한5 (합성함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 8

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: x-1=t]라 하면 [eqn: x`` rarrow ``0+]일 때, [eqn: t ``rarrow``-1+]이므로 [eqn: lim _{x`` rarrow ``0+} {} f(x-1)= lim _{t`` rarrow ``-1+} {} f(t)=-1]

[eqn: f(x)=s]라 하면 [eqn: x ``rarrow`` 1+]일 때, [eqn: s ``rarrow``-1-]이므로 [eqn: lim _{x`` rarrow ``1+} {} f(f(x))= lim _{s`` rarrow ``-1-} {} f(s)=2]

따라서

[eqn: lim _{x`` rarrow ``0+} {} f(x-1)+ lim _{x`` rarrow ``1+} {} f(f(x))=(-1)+2=1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} f(x-1)+ lim _{x ``rarrow`` 1+} f(f(x))]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

04 수2	01 함수의 극한
01 좌극한과 우극한
07 좌극한과 우극한7 (추론)

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 12

함수

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) [eqn: alpha=2]일 때,
[eqn: f left(alpha)=f left(2right)=5], [eqn: lim_{x`->`alpha+}f left(x right)=lim_{x`->`2+}left(ax+b right)=2a+b]
이므로 [eqn: 5+left(2a+b right)=4]에서
[eqn: 2a+b=it-1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅱ) [eqn: alpha ne2]일 때,
[eqn: f left(alpha right)=lim_{x`->`alpha+}f left(x right)]이므로 [eqn: f left(alpha right)=2]
[eqn: alpha<2]일 때, [eqn: f left(alpha right)=alpha^2 +1=2]
[eqn: therefore][eqn: alpha=it-1] 또는 [eqn: alpha=1]
[eqn: alpha>2]일 때, [eqn: f left(alpha right)=a alpha+b=2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이상에서 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) + lim _{x` rarrow `alpha+} {} f LEFT ( x RIGHT ) =4`]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha]의 개수가 [eqn: 4]이고, 이 네 수의 합이 [eqn: 8]이어야 하므로 [eqn: alpha>2]일 때의 [eqn: alpha]의 값은 [eqn: 6]이어야 한다.

[eqn: alpha=6]을 ㉡에 대입하면 [eqn: 6a+b=2]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉠, ㉢을 연립하면 [eqn: a= 3over4], [eqn: b= it- 5over2]

[eqn: therefore][eqn: a+b=it- 7over4]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`x ^{2} +1&~ LEFT ( x LEQ 2 RIGHT )#`ax+b&~ LEFT ( x>2 RIGHT )}} `]

에 대하여 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) + lim _{x` rarrow `alpha+} {} f LEFT ( x RIGHT ) =4`]를 만족시키는 실수 [eqn: alpha`]의 개수가 [eqn: 4`]이고, 이 네 수의 합이 [eqn: 8`]이다. [eqn: a+b`]의 값은?

(단, [eqn: a,~b`]는 상수이다.)

① [eqn: - {7} over {4}]	② [eqn: - {5} over {4}]	③ [eqn: - {3} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {4}]

04 수2	01 함수의 극한
02 극한의 성질과 계산
01 극한의 성질을 이용한 연산

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 2

[eqn: lim _{x `->` 0} { LEFT (x ^{2} +2x+3 RIGHT )}`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x-> 0} ({x^{2}+2x+3})=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 2

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} left(3 x^{2}+2 right)]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} left(3 x^{2}+2 right)=5]

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 6]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 1

[eqn: lim_{x``->``2} left(x^{2}+5 right)]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim _{x` rarrow `2} {(x ^{2} +5)} `= lim _{x` rarrow `2} x ^{2} + lim _{x` rarrow `2} 5=4+5=9]

① [eqn: rm 5]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 9]

④ [eqn: rm 11]	⑤ [eqn: rm 13]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 8

함수 [eqn: {y=f(x)}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2], [eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =4], [eqn: lim _{x ``->`` 0-} {} LEFT ( x-1 RIGHT )][eqn: = it -1]에서

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {f(x) } - lim _{x ``->`` 0-} {{f(x)} over {x-1}}]

[eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {f(x) } - {lim _{x ``->`` 0-} {} f(x)} over {lim _{x ``->`` 0-} {} x-1}]
[eqn: =2- LEFT ( {4} over {-1} RIGHT )][eqn: =6]

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {f(x) } - lim _{x ``->`` 0-} {{f(x)} over {x-1}}]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 9

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]가 [eqn: lim _{x ``->`` 2} {} LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6]을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)]가 다항함수이므로

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {(x+1)f(x)]

[eqn: = lim _{x ``->`` 2} {(x+1) TIMES lim _{x ``->`` 2} {f(x)}}}]
[eqn: =3 TIMES lim _{x ``->`` 2} {f(x)=6}]

에서 [eqn: lim _{x ``->`` 2} {f(x)=2}]이고 [eqn: f(2)=2]

[eqn: lim _{x ``->`` 2} { (x ^{2} +ax-1)f(x)}]

[eqn: = lim _{x ``->`` 2} { (x ^{2} +ax-1) TIMES lim _{x ``->`` 2} {f(x)}}]
[eqn: =(2a+3) TIMES 2=26]

에서 [eqn: a=5]

따라서 [eqn: a+f(2)=5+2=7]

[eqn: lim _{x ``->`` 2} {} LEFT ( x ^{2} +ax-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =26]

일 때, [eqn: a+f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.)

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	01 함수의 극한
02 극한의 성질과 계산
02 부정형1 (0

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 3

[eqn: {lim_{x ``->`` 2} {{x^2 +2x-8} overx-2}}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: lim_{x `rarrow` 2} {x^2 +2x-8} over x-2][eqn: =lim_{x `rarrow`2} {(x+4)(x-2)} over x-2]
[eqn: = lim_{x` rarrow` 2}(x+4)]
[eqn: =6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 22

[eqn: {lim _{x ``->`` 1} {} {x ^{2} +6x-7} over {x-1}}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` 1} {{x ^{2} +6x-7} over {x-1}][eqn: = lim _{x ``->`` 1} {{(x-1)(x+7)} over {x-1}}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 1} {(x+7)}]
[eqn: =8]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 3

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {x^{2}+9 x} over {x}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {x^{2}+9 x} over {x}= lim _{x ``rarrow`` 0} {x(x+9)} over {x}= lim _{x ``rarrow`` 0}(x+9)=9]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 4

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {3 x^{2}-6 x} over {x-2}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {3 x^{2}-6 x} over {x-2}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2} {3 x(x-2)} over {x-2}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2} 3 x]
[eqn: =6]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 4

[eqn: lim _{x ``rarrow``-1} {x^{2}+9 x+8} over {x+1}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1} {} {x ^{2} +9x+8} over {x+1}]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-1} {} {(x+1)(x+8)} over {x+1}]

[eqn: = lim _{x ``rarrow``-1}(x+8)]

[eqn: =-1+8]

[eqn: =7]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 3

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3} { sqrt{2 x-5}-1} over {x-3}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 3} { sqrt{2 x-5}-1} over {x-3}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 3} {2 x-6} over {(x-3)( sqrt{2 x-5}+1)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 3} {2} over { sqrt{2 x-5}+1}=1]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	01 함수의 극한
02 극한의 성질과 계산
03 부정형2 (무한대

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 22

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {9x ^{2} +1} over {3x ^{2} +5x}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` {9x ^{2} +1} over {3x ^{2} +5x}} = lim _{x` -> ` INF } {` {9+ {1} over {x ^{2}}} over {3+ {5} over {x}}} = {9+0} over {3+0} =3]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

[eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {sqrt {x ^{2} -2} +3x} over {x+5}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } { sqrt{x^{2}-2}+3 x} over {x+5}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` inf } { sqrt{1-{2} over {x^{2}}}+3} over {1+{5} over {x}}]
[eqn: ={ sqrt{1-0}+3} over {1+0}]
[eqn: =4]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	01 함수의 극한
02 극한의 성질과 계산
04 부정형3 (무한대-무한대꼴)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } left( sqrt{x^{2}+22 x}-x right)]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } left( sqrt{x^{2}+22 x}-x right)= lim _{x ``rarrow`` inf } {22 x} over { sqrt{x^{2}+22 x}+x}= lim _{x ``rarrow`` inf } {22} over { sqrt{1+{22} over {x}}+1}]

[eqn: =11]

04 수2	01 함수의 극한
02 극한의 성질과 계산
07 부정형6 (함수의 극한의 대소 관계)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 7

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[정답] ⑤

[해설]

부등식 [eqn: 5x-1<(x ^{2} +1)f(x)<5x+2]에서

[eqn: {5x-1} over {x ^{2} +1} <f(x)< {5x+2} over {x ^{2} +1}]

[eqn: x>0]일 때, [eqn: {x(5x-1)} over {x ^{2} +1} <xf(x)< {x(5x+2)} over {x ^{2} +1}]이고

[eqn: lim _{x ``->`` INF } {{x(5x-1)} over {x ^{2} +1} = lim _{x ``->`` INF } {{x(5x+2)} over {x ^{2} +1} =5}}]

이므로 함수의 극한의 대소 관계에 의해 [eqn: lim _{x ``->`` INF } {xf(x)=5}]

[eqn: 5x-1< LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) <5x+2]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} x f LEFT ( x RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 13

[eqn: 0]이 아닌 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ①

[해설]

(ⅰ) 부등식 [eqn: {1} over {2} x ^{2} +2x<f LEFT ( x RIGHT ) <x ^{2} +2x]에서
[eqn: lim _{x`-> `0} {} ` LEFT ( {1} over {2} x ^{2} +2x RIGHT ) = lim _{x`-> `0} {} ` LEFT ( x ^{2} +2x RIGHT ) =0]이므로
함수의 극한의 대소 관계에 의해 [eqn: lim _{x` -> `0} {} `f LEFT ( x RIGHT ) =0]

(ⅱ) [eqn: x>0]일 때, [eqn: {1} over {2} x+2< {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} <x+2]이고
[eqn: lim _{x` -> `0+} {} ` LEFT ( {1} over {2} x+2 RIGHT ) = lim _{x` -> `0+} {} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) =2]이므로
함수의 극한의 대소 관계에 의해 [eqn: lim _{x`-> `0+} {} ` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} =2]
[eqn: x<0]일 때, [eqn: x+2< {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} < {1} over {2} x+2]이고
[eqn: lim _{x` -> `0-} {} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) = lim _{x` -> `0-} {} ` LEFT ( {1} over {2} x+2 RIGHT ) =2]이므로
함수의 극한의 대소 관계에 의해 [eqn: lim _{x` -> `0-} {} ` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} =2]
[eqn: lim _{x` -> `0+} {} ` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} = lim _{x` -> `0-} {} ` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} =2]이므로 [eqn: lim _{x` -> `0} {} ` {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} =2]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해

[eqn: lim _{x`-> `0} {} ` {xf LEFT ( x RIGHT ) +5x} over {2f LEFT ( x RIGHT ) -x}][eqn: = lim _{x` -> `0} {} ` {f LEFT ( x RIGHT ) +5} over {2 TIMES {f LEFT ( x RIGHT )} over {x} -1}]
[eqn: = {0+5} over {2 TIMES 2-1} = {5} over {3}]

[eqn: {1} over {2} x ^{2} +2x<f LEFT ( x RIGHT ) <x ^{2} +2x]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x`-> `0} {} ` {xf LEFT ( x RIGHT ) +5x} over {2f LEFT ( x RIGHT ) -x}]의 값은?

① [eqn: {5} over {3}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {7} over {3}]

④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: 3]

04 수2	01 함수의 극한
02 극한의 성질과 계산
08 부정형7 (부정형과 극한의 성질)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 9

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: h(x)=2f(x)-3g(x)]라 하면 [eqn: f(x)= {3g(x)+h(x)} over {2}]

[eqn: lim _{x-> INF } {} g(x)= INF ,~ lim _{x-> INF } {} h(x)=1]이므로 [eqn: lim _{x-> INF } {} {h(x)} over {g(x)} =0]

[eqn: lim _{x -> INF } {} {4f(x)+g(x)} over {3f(x)-g(x)}][eqn: = lim _{x-> INF } {} {4 LEFT { {3g(x)+h(x)} over {2} RIGHT } +g(x)} over {3 LEFT { {3g(x)+h(x)} over {2} RIGHT } -g(x)}]
[eqn: = lim _{x-> INF } {} {14g(x)+4h(x)} over {7g(x)+3h(x)}]
[eqn: = lim _{x-> INF } {} {14+4 TIMES {h(x)} over {g(x)}} over {7+3 TIMES {h(x)} over {g(x)}}]
[eqn: =2]

[eqn: lim _{x -> INF } {} LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) -3g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT }][eqn: =1], [eqn: lim _{x -> INF } {} g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = INF]

를 만족시킬 때, [eqn: lim _{x -> INF } {} {4f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT )} over {3f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 26

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가

[정답] [eqn: 16]

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {g(x)} over {x^{2}-1}={1} over {2}]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {x^{2}-1} over {g(x)}=2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {(x+1) f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 1} left{ {f(x)} over {x-1} times {x^{2}-1} over {g(x)} it right}]

[eqn: =8 times 2=16]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)} over {x-1}=8], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {g(x)} over {x^{2}-1}={1} over {2}]

을 만족시킬 때, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {(x+1) f(x)} over {g(x)}]의 값을 구하시오.

04 수2	01 함수의 극한
03 극한식의 해석
01 해석1 (미정계수 결정, 0

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 1

[eqn: {lim_{x ``->`` 2}{x^{2}-x+a}over{x-2}=b}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]일 때, [eqn: a+b]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {} {x ^{2} -x+a} over {x-2}]에서 [eqn: x` -> `2]일 때, (분모)[eqn: ->][eqn: `0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x`->`2} {LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT )} =0], [eqn: 2+a=0], [eqn: a=-2]

[eqn: lim _{x`` -> ``2} {} {x ^{2} -x+a} over {x-2}][eqn: = lim _{x`` -> ``2} {} {x ^{2} -x-2} over {x-2}]
[eqn: = lim _{x`->`2} {} {LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )} over {x-2} =3]

[eqn: THEREFORE````a+b= LEFT ( -2 RIGHT ) +3=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 16

두 상수 [eqn: {a ,```` b}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]에 대하여 [eqn: lim _{x ``->`` -1} {} {x ^{2} +4x+a} over {x+1}][eqn: =b]일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` -1} {} {x ^{2} +4x+a} over {x+1}][eqn: =b]에서 (분모)[eqn: ``->``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``][eqn: 0]이다.

즉, [eqn: lim _{x ``->`` -1} {} LEFT ( x ^{2} +4x+a RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: 1-4+a][eqn: =0], [eqn: a=3]

[eqn: lim _{x ``->`` -1} {} {x ^{2} +4x+3} over {x+1}][eqn: = lim _{x ``->`` -1} {} {LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+3 RIGHT )} over {x+1}]
[eqn: = lim _{x ``->`` -1} {} LEFT ( x+3 RIGHT )]
[eqn: = it 2][eqn: =b]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =5]

04 수2	01 함수의 극한
03 극한식의 해석
03 해석3 (차수를 이용한 다항식 결정)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 14

다항함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)]가 다항함수이고 [eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } {f(x)} over {x^{2}}=3]이므로

[eqn: f(x)=3 x^{2}+a x+b] ([eqn: (a,`` b]는 실수)

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {x^{2}-x-2}=6]이고 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} left(x^{2}-x-2 right)=0]

이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} f(x)=f(2)=0]

[eqn: f(2)=12+2 a+b=0], [eqn: b=-2 a-12]

[eqn: f(x)=3 x^{2}+a x+(-2 a-12)]

[eqn: =(x-2)(3 x+6+a)]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {x^{2}-x-2}= lim _{x ``rarrow`` 2} {(x-2)(3 x+6+a)} over {(x-2)(x+1)}]

[eqn: a={6+6+a} over {3}=6]

[eqn: a=6], [eqn: b=-24]

[eqn: f(x)=3 x^{2}+6 x-24], [eqn: f(0)=-24]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } {f(x)} over {x^{2}}=3], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {x^{2}-x-2}=6]

을 만족시킬 때, [eqn: f(0)]의 값은?

① [eqn: -24]	② [eqn: -21]	③ [eqn: -18]

④ [eqn: -15]	⑤ [eqn: -12]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 26

다항함수 [eqn: {f(x)}{{from^2021^9 고2인천^중}}]가

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다항함수이고 [eqn: lim _{x-> INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {2x ^{2}} =1}]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} +ax+b] ([eqn: a,````b]는 실수)

[eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )} =4}]이고 [eqn: lim _{x-> 1} {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) =0}]이므로

[eqn: lim _{x-> 1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -3 RIGHT }} =0]

[eqn: lim _{x-> 1} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x-> 1} {LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -3 RIGHT } +3 RIGHT ]}]
[eqn: = lim _{x-> 1} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -3 RIGHT }} + lim _{x-> 1} {3}]
[eqn: =0+3=3]

[eqn: lim _{x-> 1} {f LEFT ( x RIGHT )} `=2+a+b`=3]

즉, [eqn: b=`-a+1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -3][eqn: =2x ^{2} +ax-a-2]
[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+2 RIGHT )]

[eqn: lim _{x-> 1} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )}][eqn: = lim _{x-> 1} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+2 RIGHT )} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )}}}]
[eqn: = {2+a+2} over {-1} =4]

따라서 [eqn: a=`-8], [eqn: b=9]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2x ^{2} -8x+9]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =9]

[eqn: lim _{x -> INF } {{f(x)} over {2x ^{2}}} =1], [eqn: lim _{x-> 1} {{f(x)-3} over {LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )} =4}]

를 만족시킬 때, [eqn: f(4)]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 4

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^경찰대^중}}]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이다.)

[정답] ④

[해설]

(가) [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT ) -ax ^{2}} over {2x ^{2} +1}][eqn: = {1} over {2}]에 의해

[eqn: f(x)= left( a+ 1)x^2 +bx+c]

라 놓을 수 있다.

(나) [eqn: lim _{x ``->`` 0} {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -ax}][eqn: =2]에서 [eqn: f(0)=0]이므로 [eqn: c=0]

식에 대입하면

[eqn: lim _{x ``->`` 0} {} {(a+1)x^2 +bx } over {x ^{2} -ax}][eqn: =lim _{x ``->`` 0} {} {(a+1)x +b } over {x -a}]
[eqn: =- b over a]

따라서 [eqn: - b over a =2]이므로 [eqn: b= -2a]

즉, [eqn: f(x) = (a+1)x^2 - 2a x]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(2) = 4(a+1)-4a =4]

(가) [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT ) -ax ^{2}} over {2x ^{2} +1}][eqn: = {1} over {2}]

(나) [eqn: lim _{x ``->`` 0} {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -ax}][eqn: =2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 8

다항함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ④

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } {f(x)} over {x^{2}}=2]이므로 [eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: rm 2]인 이차함수이다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)} over {x-1}=3]에서 [eqn: lim _{x`` rarrow ``1} {} (x-1)=0]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)=0], [eqn: f(1)=0]

[eqn: f(x)=(x-1)(2 x+a)]( [eqn: a]는 상수 [eqn: )]라 하면

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {(x-1)(2 x+a)} over {x-1}=2+a=3], [eqn: a=1]

[eqn: f(x)=(x-1)(2 x+1)]

따라서 [eqn: f(3)=14]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` inf } {f(x)} over {x^{2}}=2], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)} over {x-1}=3]

을 만족시킬 때, [eqn: f(3)]의 값은?

① [eqn: rm 11]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 13]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 15]

04 수2	01 함수의 극한
03 극한식의 해석
04 해석4 (인수를 이용한 다항식의 결정)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 8

삼차함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^09^평가원^중}}]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x}=1]에서 [eqn: x ``rarrow`` 0]일 때 [eqn: (]분모 [eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자) [eqn: ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} f(x)=f(0)=0 ~ cdots cdots] ㉠

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)} over {x-1}=1]에서 [eqn: x ``rarrow`` 1]일 때 [eqn: (]분모 [eqn: ) ``rarrow`` 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자) [eqn: ``rarrow`` 0]이어야 한다.

즉, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)=f(1)=0 ~ cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 삼차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x], [eqn: x-1]을 인수로 가지므로 [eqn: f(x)=x(x-1)(a x+b)(a,`` b]는 상수, [eqn: a neq 0)]이라 하면

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {f(x)} over {x}= lim _{x ``rarrow`` 0}(x-1)(a x+b)]

[eqn: =-b=1 ~ cdots cdots] ㉢

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)} over {x-1}= lim _{x ``rarrow`` 1} x(a x+b)]

[eqn: =a+b=1 ~ cdots cdots] ㉣

㉢, ㉣에서 [eqn: a=2], [eqn: b=-1]

따라서 [eqn: f(x)=x(x-1)(2 x-1)]이므로

[eqn: f(2)=2 times 1 times 3=6]

[eqn: lim _{ x ``->`` 0} {f LEFT ( x RIGHT ) } over x = lim _{ x ``->`` 1} {f LEFT ( x RIGHT ) } over x-1 = 1]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 30

세 실수 [eqn: {a` LEFT ( a != 0 RIGHT )}{{from^2021^9 고2인천^중}}], [eqn: b,````k]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] [eqn: bold { 28 }]

[해설]

[eqn: f _{1} LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} + LEFT ( 2b-3 RIGHT ) x+a ^{2} -3],

[eqn: f _{2} LEFT ( x RIGHT ) =`- {1} over {3} ax ^{2} + LEFT ( b+5 RIGHT ) x+a ^{2} -1]

이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f _{1} LEFT ( x RIGHT ) ````````````````&LEFT ( x<k RIGHT )#f _{2} LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( x GEQ k RIGHT )}}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >0]이면 [eqn: {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( x RIGHT )} =1],

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <0]이면 [eqn: {LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( x RIGHT )} =-1]

임의의 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: lim _{x-> alpha } {f LEFT ( x RIGHT )}]가 존재하므로

(ⅰ) [eqn: x _{1} <x<x _{2}]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]일 때
[eqn: x _{1} < alpha <x _{2}]인 임의의 [eqn: alpha]에 대하여
[eqn: lim _{t-> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} = lim _{t-> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =1], [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =0]

(ⅱ) [eqn: x _{3} <x<x _{4}]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0]일 때
[eqn: x _{3} < alpha <x _{4}]인 임의의 [eqn: alpha]에 대하여
[eqn: lim _{t -> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} = lim _{t -> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`-1], [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =0]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이고 [eqn: x= alpha]의 좌우에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값의 부호가 음(-)에서 양(+)으로 변하는 경우

[eqn: lim _{t -> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =1], [eqn: lim _{t -> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`-1]이므로 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =2]

(ⅳ) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이고 [eqn: x= alpha]의 좌우에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값의 부호가 양([eqn: +])에서 음([eqn: -])으로 변하는 경우

[eqn: lim _{t -> alpha +} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`-1], [eqn: lim _{t -> alpha -} {{LEFT | f LEFT ( t RIGHT ) RIGHT |} over {f LEFT ( t RIGHT )}} =`1]이므로 [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT ) =-2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 함숫값이 될 수 있는 것은 [eqn: -2,````0,````2]

함수 [eqn: y=-4 LEFT |`` log _{2} {x} over {2}`` RIGHT | +2]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=`-4 LEFT | ``log _{2} {x} over {2} ``RIGHT | +2]의 그래프의 교점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -2,````0,````2]만 가능하다.

방정식 [eqn: `-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2=-2]의 해는

[eqn: x=1] 또는 [eqn: x=4]

방정식 [eqn: `-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2=0]의 해는

[eqn: x= sqrt {2}] 또는 [eqn: x=2 sqrt {2}]

방정식 [eqn: `-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2=2]의 해는 [eqn: x=2]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 함수 [eqn: y=`-4 LEFT | log _{2} {x} over {2} RIGHT | +2]의 그래프의 교점의 개수가 [eqn: 5]이므로 교점은

[eqn: LEFT ( 1,````-2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( sqrt {2} ,````0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,````2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 sqrt {2} ,````0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 4,````-2 RIGHT )]

이고 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) =`-2], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]

[eqn: k LEQ 1]이면 [eqn: x GEQ k]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f _{2} LEFT ( x RIGHT ) =`- {1} over {3} ax ^{2} + LEFT ( b+5 RIGHT ) x+a ^{2} -1]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]이 성립하지 않는다.

[eqn: k>4]이면 [eqn: x<k]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f _{1} LEFT ( x RIGHT ) =ax ^{2} + LEFT ( 2b-3 RIGHT ) x+a ^{2} -3]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]이 성립하지 않는다.

그러므로 [eqn: 1<k LEQ 4]이고

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f _{1} LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( 4 RIGHT )]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: a<0]이면 함수 [eqn: f _{1} LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 위로 볼록, 함수 [eqn: f _{2} LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 아래로 볼록이고 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) =`-2], [eqn: f _{1} LEFT ( 1 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( 4 RIGHT ) =0]을 만족시키는 두 곡선 [eqn: y=f _{1} LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=f _{2} LEFT ( x RIGHT )]의 개형은 다음과 같다.

이때, [eqn: f _{1} LEFT ( 2 RIGHT ) != 0]이고 [eqn: f _{2} LEFT ( 2 RIGHT ) != 0]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0]이 성립하지 않는다.

그러므로 [eqn: a>0]

㉠에 의하여

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f _{1} LEFT ( 1 RIGHT ) =a+ LEFT ( 2b-3 RIGHT ) +a ^{2} -3=0]

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =f _{2} LEFT ( 4 RIGHT ) =`- {16} over {3} a+ LEFT ( 4b+20 RIGHT ) +a ^{2} -1=0]

에서 [eqn: a=`- {31} over {3}] 또는 [eqn: a=3]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=3], [eqn: b=`-3]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{3x ^{2} -9x+6````````````````&LEFT ( x<k RIGHT )#-x ^{2} +2x+8&LEFT ( x GEQ k RIGHT )}}]

조건 (가)에 의하여

[eqn: lim _{x -> k-} {f LEFT ( x RIGHT ) `=` lim _{x -> k+} {f LEFT ( x RIGHT )}}]

[eqn: lim _{x -> k-} {LEFT ( 3x ^{2} -9x+6 RIGHT ) `=` lim _{x -> k+} {LEFT ( -x ^{2} +2x+8 RIGHT )}}]

[eqn: 4k ^{2} -11k-2=0], [eqn: k= {11±3 sqrt {17}} over {8}]

[eqn: 1<k LEQ 4]이므로 [eqn: k= {11+3 sqrt {17}} over {8}]

따라서 [eqn: p= {11} over {8}], [eqn: q= {3} over {8}]이므로 [eqn: 16 LEFT ( p+q RIGHT ) =16 TIMES {14} over {8} =28]

[참고]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: f(x)`= {cases{ax ^{2} + LEFT ( 2b-3 RIGHT ) x+a ^{2} -3``````````````````&LEFT ( x<k RIGHT )#- {1} over {3} ax ^{2} + LEFT ( b+5 RIGHT ) x+a ^{2} -1&LEFT ( x GEQ k RIGHT )}}]

라 하자. 함수

[eqn: g(x)= lim _{t-> x+} {{LEFT | f(t) RIGHT |} over {f(t)}} - lim _{t-> x-} {{LEFT | f(t) RIGHT |} over {f(t)}}]

에 대하여 두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 임의의 실수 [eqn: alpha]에 대하여 [eqn: lim _{x-> alpha } {f(x)}]가 존재한다.

(나) 두 함수 [eqn: y=g(x)]와 [eqn: y=`-4 LEFT |`` log _{2} {x} over {2} ``RIGHT | +2]의 그래프의 서로 다른 교점의 개수는 [eqn: 5]이다.

[eqn: k=p+q sqrt {17}]일 때, [eqn: 16 LEFT ( p+q RIGHT )]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p,````q]는 유리수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 20

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 다음 조건을 만족시키는 모든 삼차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(5)]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 226]

[해설]

조건 (가)에 의하여

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0}|f(x)-1|=0]

이므로 삼차식 [eqn: f(x)-1]은 [eqn: x]를 인수로 갖는다.

이차식 [eqn: g(x)]에 대하여 [eqn: f(x)-1=x g(x)]라 하자.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} {|f(x)-1|} over {x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0+} {|x g(x)|} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0+} {|x||g(x)|} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0+}|g(x)|=|g(0)|]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} {|f(x)-1|} over {x}][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {|x g(x)|} over {x}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 0-} {|x||g(x)|} over {x}]
[eqn: =- lim _{x ``rarrow`` 0-}|g(x)|=-|g(0)|]

[eqn: |g(0)|=-|g(0)|]에서 [eqn: g(0)=0]

이차식 [eqn: g(x)]도 [eqn: x]를 인수로 가지므로

[eqn: f(x)-1=x^{2}(x+a) ~ (a]는 실수[eqn: )]라 하면

[eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+1]

[eqn: x f(x) geq-4 x^{2}+x]에서

[eqn: x left(x^{3}+a x^{2}+1 right) geq-4 x^{2}+x]

[eqn: x^{4}+a x^{3}+4 x^{2} geq 0]

[eqn: x^{2} left(x^{2}+a x+4 right) geq 0]

[eqn: x^{2} geq 0]이므로 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x^{2}+a x+4 geq 0]이 성립한다.

이차방정식 [eqn: x^{2}+a x+4=0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면 [eqn: D=a^{2}-16 leq 0]

[eqn: -4 leq a leq 4]

[eqn: f(5)=25 a+126]이므로 구하는 [eqn: f(5)]의 최댓값은

[eqn: a=4]일 때 [eqn: rm 226]이다.

(가) [eqn: lim _{x ``rarrow`` 0} {|f(x)-1|} over {x}]의 값이 존재한다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x f(x) geq-4 x^{2}+x]이다.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

최고차항의 계수가 양수인 다항함수 [eqn: {f(x) }]와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프를 [eqn: y]축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수가 [eqn: g(x)]이므로

[eqn: g(x) = f(-x)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (가)에서 [eqn: lim_{x ``->`` 1} { f(x) over x-1}]의 극한값이 존재하고 (분모)[eqn: `->`0]이므로 (분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.

따라서 [eqn: lim_{x`->`1}f left(x right)=0]

함수 [eqn: f left(x right)]는 다항함수이므로 [eqn: f(1) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {f(x) over (x-3)g(x)} = k]에서 [eqn: k!=0]이므로 [eqn: f(3) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉢

[eqn: lim_{x ``->`` -3+} { 1 over g'(x) } = inf]에서 [eqn: lim_{x ``->`` -3+} { g``'(x) } = 0]이므로

[eqn: lim_{x ``->`` 3-} { f``'(x) } = 0] 즉, [eqn: f``'(3) =0]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉡, ㉢, ㉣에서 [eqn: f(x) = (x-1)(x-3)^2 Q(x)]라 할 수 있다.

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {f(x) over (x-3)g(x)} = k]에 대입하면

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {(x-1)(x-3)^2 Q(x)} over{ (x-3) (-x-1)(-x-3)^2 Q(-x) } = k]

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {(x-1)(x-3)Q(x)} over{ (x+1)(x+3)^2 Q(-x) } = k]	[eqn: cdotscdots] ㉤

그런데 [eqn: k!=0]이므로 분모가 [eqn: (x-3)]이라는 인수를 가지고 있어야 한다. 따라서 [eqn: Q( -x) = (x-3)q_1 (x)]

즉, [eqn: Q(x) = (x+3) q_2 (x)]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(x) = (x-1)(x-3)^2 (x+3) q(x)]라 할 수 있다.

따라서 [eqn: f(x)]의 차수의 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: q(x)]가 상수일 때이므로

[eqn: m=4]

㉤에 대입하면

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {a(x-1)(x-3) (x+3)} over{ a (x+1)(x+3)^2 (x-3) } = k]

[eqn: lim_{x ``->`` 3} {(x-1)} over{ (x+1)(x+3) } = k]

[eqn: therefore][eqn: k = 1over 12]

[eqn: therefore][eqn: m+k = 4+ 1over 12 = 49 over 12 from 넘버41]

(가) [eqn: lim_{x ``->`` 1} { f(x) over x-1}]의 값이 존재한다.

(나) [eqn: lim_{x ``->`` 3} {f(x) over (x-3)g(x)} = k] ([eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수)

(다) [eqn: lim_{x ``->`` -3+} { 1 over g'(x) } = inf]

[eqn: f(x)]의 차수의 최솟값이 [eqn: m]이다. [eqn: f(x)]의 차수가 최소일 때, [eqn: m+k]의 값은?

① [eqn: 10 over 3]	② [eqn: 43 over12]	③ [eqn: 23 over 6]

④ [eqn: 49 over12]	⑤ [eqn: 13 over 3]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 29

양수 [eqn: m]과 [eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: a]에 대하여 두 함수

[정답] [eqn: 4]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2 m]을 제외한 모든 실수에서 극한값을 가지므로

[eqn: lim _{x`` rarrow ``2m-} {} f(x) != lim _{x`` rarrow ``2m+} {} f(x) CDOTS CDOTS]㉠

조건 (가)에서 [eqn: alpha=2 m]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} g(x)]의 값이 존재한다고 가정하면

조건 (나)에 의하여

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} f(x)][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 m} left{ {f(x)} over {g(x)} times g(x) it right}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 2 m} {f(x)} over {g(x)} times lim _{x ``rarrow`` 2 m} g(x)]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} f(x)]의 값이 존재하므로

㉠을 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2 m} g(x)]의 값은 존재하지 않는다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: beta=2 m]

함수 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=m+1]을 제외한 모든 실수에서

극한값을 가지므로 [eqn: 2 m=m+1], [eqn: m=1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 1}(a x-a)=0]이고 조건 (나)에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)} over {g(x)}]의 값이 존재하므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)= lim _{x ``rarrow`` 1} left{ x^{2}+(a-1) x-a^{2}+2 it right}]

[eqn: =-a^{2}+a+2=-(a+1)(a-2)=0]

[eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=2]

(i) [eqn: a=-1]인 경우

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2-} {x^{2}-2 x+1} over {-x+1}=-1]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {-3 x-4} over {x+2}=-{5} over {2}]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)} neq lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}]이므로

조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: a=2]인 경우

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2-} {x^{2}+x-2} over {2 x-2}=2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {-3 x+8} over {x-1}=2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} {f(x)} over {g(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {f(x)} over {g(x)}]이므로

조건 (나)를 만족시킨다.

(i), (ii) 에 의하여 [eqn: a=2], [eqn: m=2-1=1]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}+x-2 && (x leq 2) # -3 x+8 && (x>2)}]

[eqn: g(x)=cases{2 x-2 && (x leq 2) # x-1 && (x>2)}]

따라서 [eqn: m+g left(a^{2} right)=1+g(4)=1+3=4]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}+(a-1) x-a^{2}+2 && (x leq 2 m) #-3 x+4 a && (x>2 m)}]

[eqn: g(x)=cases{a x-a && (x leq m+1) #x-a+1 && (x>m+1)}]

이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x ``rarrow`` alpha-} f(x) neq lim _{x ``rarrow`` alpha+} f(x)], [eqn: lim _{x ``rarrow`` beta-} g(x) neq lim _{x ``rarrow`` beta+} g(x)]인 실수 [eqn: alpha], [eqn: beta]가 존재한다.

(나) 모든 실수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: lim _{x ``rarrow`` k} {f(x)} over {g(x)}]의 값이 존재한다.

[eqn: m+g left(a^{2} right)]의 값을 구하시오.

04 수2	01 함수의 극한
04 극한의 활용
01 활용1 (좌표와 길이)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 20

그림과 같이 좌표평면 위의 네 점 [eqn: {rm{O}} it (0,``0)], [eqn: {rm{A}} it (0,``2)], [eqn: {rm{B}} it (-2,``2)], [eqn: {rm{C}} it (-2,``0)]과 점 [eqn: {rm{P}} it (t,`` 0)(t>0)]에 대하여 직선 [eqn: l]이 정사각형 [eqn: {rm{OABC}} it]의 넓이와 직각삼각형 [eqn: {rm{AOP}} it]의 넓이를 각각 이등분한다. 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편을 [eqn: f(t)]라 할 때, [eqn: lim _{t`` rarrow ``0+} {} f(t)]의 값은?

[정답] ②

[해설]

직선 [eqn: l]이 정사각형 [eqn: {rm{OABC}} it]의 넓이를 이등분하므로 점 [eqn: (-1,``1)]을 지난다. 직선 [eqn: l]의 기울기를 [eqn: m]이라 하면 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: y=m(x+1)+1], 즉 [eqn: y=m x+m+1]

직선 [eqn: l]과 [eqn: y]축이 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하면 점 [eqn: {rm{D}} it]의 좌표는 [eqn: {rm{D}} it (0,`` m+1)] 직선 [eqn: l]과 선분 [eqn: {rm{AP}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자.

직선 [eqn: {rm{AP}} it]의 방정식이 [eqn: y=-{2} over {t} x+2]이므로

[eqn: m x+m+1=-{2} over {t} x+2]에서 [eqn: x={(1-m) t} over {m t+2}]

그러므로 점 [eqn: {rm{E}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {(1-m) t} over {m t+2}]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ADE}} it]의 넓이가 삼각형 [eqn: {rm{AOP}} it]의 넓이의 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: {1} over {2} times(1-m) times {(1-m) t} over {m t+2}={1} over {2} times left({1} over {2} times 2 times t right)]

[eqn: t neq 0]이므로 [eqn: (1-m)^{2}=m t+2]

[eqn: m^{2}-(2+t) m-1=0]

[eqn: m={t+2 +- sqrt{(t+2)^{2}-4 times(-1)}} over {2}]

[eqn: ~ ={t+2 +- sqrt{t^{2}+4 t+8}} over {2}]

직선 [eqn: l]의 [eqn: y]절편이 [eqn: m+1]이고 [eqn: 0<m+1<2]이므로 [eqn: f(t)=m+1={t+4- sqrt{t^{2}+4 t+8}} over {2}]

따라서

[eqn: lim _{t ``rarrow`` 0+} f(t)][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {t+4- sqrt{t^{2}+4 t+8}} over {2}]
[eqn: ={4-2 sqrt{2}} over {9}=2- sqrt{2}]

① [eqn: {2- sqrt{2}} over {2}]	② [eqn: 2- sqrt{2}]	③ [eqn: {2+ sqrt{2}} over {4}]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: {2+ sqrt{2}} over {3}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 26

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 두 점 [eqn: {rm{A}} it (-2,``0)], [eqn: {rm{P}} it (t,`` t+2)]를 지나는 이차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it]라 할 때, [eqn: lim _{t``->`` inf} ( sqrt{2} times overline{{rm{AP}} it }- overline{{rm{AQ}} it })]의 값을 구하시오. (단, [eqn: t neq-2])

[정답] [eqn: 6]

[해설]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 두 점 [eqn: {rm{A}} it (-2,``0)], [eqn: {rm{P}} it (t,`` t+2)]를 지나는 이차함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(x)=(x+2)(x-t+1)]

그러므로 점 [eqn: {rm{Q}} it]의 좌표는 [eqn: {rm{Q}} it (0,``2-2 t)]

[eqn: overline{{rm{AP}} it }= sqrt{ left{ t-(-2) it right} ^{2}+(t+2-0)^{2}}=|t+2| sqrt{2}],

[eqn: overline{{rm{AQ}} it }= sqrt{ left{ 0-(-2) it right} ^{2}+ left{ (2-2 t)-0 it right} ^{2}}=2 sqrt{t^{2}-2 t+2}]

[eqn: lim _{t ``rarrow`` inf }( sqrt{2} times overline{{rm{AP}} it }- overline{{rm{AQ}} it })= lim _{t ``rarrow`` inf } left(2|t+2|-2 sqrt{t^{2}-2 t+2} right)]

[eqn: =2 lim _{t ``rarrow`` inf } {|t+2|^{2}- left(t^{2}-2 t+2 right)} over {|t+2|+ sqrt{t^{2}-2 t+2}}]

[eqn: =2 lim _{t ``rarrow`` inf } {6 t+2} over {|t+2|+ sqrt{t^{2}-2 t+2}}]

[eqn: =2 lim _{t ``rarrow`` inf } {6+{2} over {t}} over { left|1+{2} over {t} right|+ sqrt{1-{2} over {t}+{2} over {t^{2}}}}]

[eqn: =2 times {6+0} over {1+1}]

[eqn: =6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 13

곡선 [eqn: y= sqrt{x}] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it (t,`` sqrt{t})(t>4)]에서 직선 [eqn: y={1} over {2} x]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자. [eqn: lim _{t ``rarrow`` inf } { {overline{{rm{OH}} it }}^{2}} over { {overline{{rm{OP}} it }}^{2}}]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rm PHO]는 직각삼각형이므로

[eqn: {rm{P}} it (t,`` sqrt{t})]이므로 [eqn: overline{{rm{OP}} it }^{2}=t^{2}+t]

선분 [eqn: {rm{PH}} it]의 길이는

점 [eqn: {rm{P}} it]와 직선 [eqn: x-2 y=0]사이의 거리와 같으므로

[eqn: overline{{rm{PH}} it }={|t-2 sqrt{t}|} over { sqrt{5}}]

[eqn: overline{{rm{OH}} it }^{2}=t^{2}+t-{(t-2 sqrt{t})^{2}} over {5}={4 t^{2}+4 t sqrt{t}+t} over {5}]

따라서 [eqn: lim _{t ``rarrow`` inf } { overline{{rm{OH}} it }^{2}} over { overline{{rm{OP}} it }^{2}}= lim _{t ``rarrow`` inf } {4 t^{2}+4 t sqrt{t}+t} over {5 left(t^{2}+t right)}]

[eqn: = lim _{t ``rarrow`` inf } {4+{4 sqrt{t}} over {t}+{1} over {t}} over {5+{5} over {t}}={4} over {5}]

① [eqn: {3} over {5}]	② [eqn: {2} over {3}]	③ [eqn: {11} over {15}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {13} over {15}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 28

그림과 같이 좌표평면에서 원 [eqn: {x ^{2} +y ^{2}}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}][eqn: =2]와 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2}]이 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 실수 [eqn: t ````LEFT ( 0<t<1 RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: y=tx]가 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =2], 곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2}]과 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rmP ,```` Q]라 하자. 삼각형 [eqn: rmPAQ]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{t ``->`` 1-} {} {S LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( 1-t RIGHT ) ^{2}}][eqn: =k]이다. [eqn: 20k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

[eqn: y=x ^{2}]과 [eqn: y=tx]를 연립하여 정리하면 [eqn: x(x-t)=0]이고 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x=t]

그러므로 점 [eqn: {rm Q]의 좌표는 [eqn: {rm Q } (t ,```` t ^{2} )]

원점을 [eqn: {rm O]라 하면 [eqn: {rm {bar{OP}} = sqrt {2} ,````][eqn: {rm {bar{OQ}}][eqn: =t sqrt {1+t ^{2}}]이므로

[eqn: {rm {bar{PQ}}][eqn: {rm = {bar{OP}} - {bar{OQ}}][eqn: = sqrt {2} -t sqrt {1+t ^{2}}]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =2]와 [eqn: y=x ^{2}]을 연립하여 정리하면 [eqn: (y+2)(y-1)=0]이고 [eqn: y>0]이므로 [eqn: y=1]

[eqn: x ^{2} =1]에서 [eqn: x>0]이므로 [eqn: x=1]

그러므로 점 [eqn: {rm A]의 좌표는 [eqn: {rm A(1 ,```` 1)]

점 [eqn: {rm A]에서 직선 [eqn: y=tx]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm H]라 하면 [eqn: 0<t<1]이므로

[eqn: {rm {bar{AH}}][eqn: = {LEFT |`` t-1 ``RIGHT | } over {sqrt {t ^{2} +1}}][eqn: = {1-t} over {sqrt {t ^{2} +1}}]

삼각형 [eqn: {rm PAQ]의 넓이 [eqn: S(t)]는

[eqn: S(t)][eqn: {rm = {1} over {2} TIMES {bar{PQ}} TIMES {bar{AH}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {2} -t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT ) TIMES {1-t} over {sqrt {1+t ^{2}}}]

이므로

[eqn: k][eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{S(t)} over {(1-t) ^{2}}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{sqrt {2} -t sqrt {1+t ^{2}}} over {2(1-t) sqrt {1+t ^{2}}}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{2-t ^{2} (1+t ^{2} )} over {2(1-t) sqrt {1+t ^{2}} LEFT ( sqrt {2} +t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{(t ^{2} +2)(1-t ^{2} )} over {2(1-t) sqrt {1+t ^{2}} LEFT ( sqrt {2} +t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{t ``->`` 1-} {{(t ^{2} +2)(1+t)} over {2 sqrt {1+t ^{2}} LEFT ( sqrt {2} +t sqrt {1+t ^{2}} RIGHT )}}]
[eqn: = {3 TIMES 2} over {2 sqrt {2} LEFT ( sqrt {2} + sqrt {2} RIGHT )} = {3} over {4}]

따라서 [eqn: 20k=20 TIMES {3} over {4} =15]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 18

그림과 같이 실수 [eqn: t`` ( 0 < t < 1 )]에 대하여 직선 [eqn: y= 2t]가 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y= t x^2]과 제[eqn: `1`]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B]라 하고, 직선 [eqn: y= t+1]이 두 곡선 [eqn: y= x^2], [eqn: y= tx^2]과 제[eqn: `1`]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자.

[정답] ④

[해설]

네 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B], [eqn: rm C], [eqn: rm D]의 좌표는 각각

[eqn: rm A it ( root 2t ,~ 2t )], [eqn: rm B it ( root 2 , ~ 2t )], [eqn: rm C it ( root t+1 ,~ t+1 )], [eqn: rm D it left ( sqrt {{t+1} over {t} } ,~t+1} right )]

이므로

[eqn: rm bar AB = root 2 - it root 2t = root 2 ( 1 - root t )]

[eqn: rm bar CD = it root { t+1 over t } - root t+1 = root { t+1 over t } ( 1 - root t )]

점 [eqn: rm C]에서 직선 [eqn: rm AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm bar CH = it ( t+1) - 2t = 1- t]이므로

[eqn: S(t)][eqn: = 1 over 2 times rm ( bar AB + bar CD ) times bar CH]
[eqn: = 1 over 2 left { root 2 ( 1 - root t ) + root {t+1 over t } ( 1 - root t ) right } ( 1 - t )]
[eqn: = 1 over 2 left ( root 2 + root { t+1 over t } right ) ( 1 - root t ) ( 1 - t )]

따라서

[eqn: lim _{ t`->` 1- } { `} S(t) over (1-t)^2][eqn: = lim _{t` rarrow`1-} {`} {1} over {2(1+ sqrt {t} )} LEFT ( sqrt {2} + sqrt {{t+1} over {t}} right)]
[eqn: = 1 over 4 times 2 root 2 = root 2 over 2]

사각형 [eqn: rm ABDC]의 넓이를 [eqn: S(t)]라 할 때, [eqn: lim _{ t`->` 1- } { `} S(t) over (1-t)^2]의 값은?

① [eqn: 1 over 4]	② [eqn: root 2 over 4]	③ [eqn: 1 over 2]

④ [eqn: root 2 over 2]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 12

실수 [eqn: t(t>0)]에 대하여 직선 [eqn: y=x+t]와 곡선 [eqn: y=x^{2}]이 만나는 두 점을 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하자. 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=x^{2}]과 만나는 점 중 [eqn: {rm{A}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{C}} it], 점 [eqn: {rm{B}} it]에서 선분 [eqn: {rm{AC}} it]에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 하자.

[정답] ②

[해설]

직선 [eqn: y=x+t]와 곡선 [eqn: y=x^{2}]의 두 교점의 [eqn: x]좌표를

각각 [eqn: alpha], [eqn: beta( beta<0< alpha)]라 하면 [eqn: x^{2}=x+t],

즉 [eqn: x^{2}-x-t=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로

이차방정식의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha+ beta=1], [eqn: alpha beta=-t ~][eqn: cdots cdots]㉠

점 [eqn: {rm{H}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: beta], 점 [eqn: {rm{C}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: - alpha]이므로

[eqn: overline{{rm{AH}} it }= alpha- beta], [eqn: overline{{rm{CH}} it }= beta+ alpha]

[eqn: ( alpha- beta)^{2}=( alpha+ beta)^{2}-4 alpha beta=1+4 t]에서 [eqn: overline{{rm{AH}} it }= sqrt{4 t+1}],

[eqn: overline{{rm{CH}} it }= alpha+ beta=1]이므로

[eqn: therefore~ lim _{t ``rarrow`` 0+} { overline{{rm{AH}} it }- overline{{rm{CH}} it }} over {t}][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} { sqrt{1+4 t}-1} over {t}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {( sqrt{1+4 t}-1)( sqrt{1+4 t}+1)} over {t( sqrt{1+4 t}+1)}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {1+4 t-1} over {t( sqrt{1+4 t}+1)}]
[eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} {4} over { sqrt{1+4 t}+1}]
[eqn: =2]

[eqn: lim _{t ``rarrow`` 0+} { overline{{rm{AH}} it }- overline{{rm{CH}} it }} over {t}]의 값은? (단, 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표는 양수이다.)

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	01 함수의 극한
04 극한의 활용
02 활용2 (원 관련)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 12

곡선 [eqn: y][eqn: =x ^{2} -4] 위의 점 [eqn: rm P it LEFT ( t,~t ^{2} -4 RIGHT )]에서 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =4]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: S LEFT ( t RIGHT )], 삼각형 [eqn: rmPBA]의 넓이를 [eqn: T LEFT ( t RIGHT )]라 할 때,

[정답] ②

[해설]

두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmOP] 의 교점을 [eqn: rm M] 이라 하면 직선 [eqn: rm OP]는 선분 [eqn: rmAB]를 수직이등분하므로 직각삼각형 [eqn: rm OAP]와 직각삼각형 [eqn: rm OMA]는 서로 닮음이다.

삼각형 [eqn: rm OAP]와 삼각형 [eqn: rm OMA]의 닮음비는 □[eqn: rmbar { OP}: bar { OA}]이므로 넓이의 비는 [eqn: rm {bar{OP}} ^{2} : {bar{OA}} ^{2}]이다.

삼각형 [eqn: rm OAP]의 넓이는 [eqn: {S LEFT ( t RIGHT ) +T LEFT ( t RIGHT )} over {2} ,]

삼각형 [eqn: rm OMA]의 넓이는 [eqn: {S LEFT ( t RIGHT )} over {2}]이므로

[eqn: rm {bar{OP}} ^{2} : {bar{OA}} ^{2}][eqn: = {S LEFT ( t RIGHT ) +T LEFT ( t RIGHT )} over {2} : {S LEFT ( t RIGHT )} over {2}]

[eqn: rm{bar{OA}} ^{2}][eqn: TIMES {S LEFT ( t RIGHT ) +T LEFT ( t RIGHT )} over {2} =][eqn: rm {bar{OP}} ^{2}][eqn: TIMES {S LEFT ( t RIGHT )} over {2} ,]

[eqn: {T LEFT ( t RIGHT )} over {S LEFT ( t RIGHT )} =][eqn: rm{{bar{OP}} ^{2} - {bar{OA}} ^{2}} over {{bar{OA}} ^{2}}]

[eqn: rm {bar{OA}} =2,` {bar{OP}} `=][eqn: sqrt {t ^{2} + LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) ^{2}}]이므로

[eqn: {T LEFT ( t RIGHT )} over {S LEFT ( t RIGHT )} = {t ^{2} + LEFT ( t ^{2} -4 RIGHT ) ^{2} -2 ^{2}} over {2 ^{2}} = {1} over {4} LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )]

따라서

[eqn: lim _{t` rarrow 2+} {{T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t-2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )} + lim _{t` rarrow INF } {{T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t ^{4} -2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )}}}]

[eqn: = lim _{t` rarrow 2+} {{LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )} over {4} + lim _{t` rarrow INF } {{LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( t ^{2} -3 RIGHT )} over {4 LEFT ( t ^{4} -2 RIGHT )}}}]

[eqn: =1+ {1} over {4} = {5} over {4}]

[eqn: lim _{t -> 2+} {} {T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t-2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )} + lim _{t -> INF } {} {T LEFT ( t RIGHT )} over {LEFT ( t ^{4} -2 RIGHT ) S LEFT ( t RIGHT )}]

의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: t>2]이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: {5} over {4}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {7} over {4}]	⑤ [eqn: 2]

04 수2	01 함수의 극한
04 극한의 활용
04 활용4 (정의된 함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 20

양수 [eqn: {k}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT |`` {kx} over {x-1} `` RIGHT |]라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)= LEFT |`` {kx} over {x-1} ``RIGHT | = LEFT |`` {k} over {x-1} +k ``RIGHT |]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: t<0]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]는 만나지 않으므로
[eqn: g(t)=0]

(ⅱ) [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=k]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]는 한 점에서 만나므로
[eqn: g(t)=1]

(ⅲ) [eqn: 0<t<k] 또는 [eqn: t>k]일 때
곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=t]는 두 점에서 만나므로
[eqn: g(t)=2]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 함수 [eqn: g(t)]는

[eqn: g(t)= {cases{eqalign{0# }&eqalign{(t<0) # }#eqalign{1# # 2}&eqalign{(t=0 ````또는 ```` t=k)# # (0<t<k```` 또는```` t>k)}}}]

[eqn: lim _{t ``->`` 0+} {g(t)} =2]이고, 모든 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: lim _{t ``->`` a-} {g(t)} =2]이므로

[eqn: lim _{t ``->`` 2-} {g(t)=2}]

[eqn: lim _{t ``->`` 0+} {g(t)} + lim _{t ``->`` 2-} {g(t)} +g(4)=5]에서 [eqn: g(4)=1]이므로

[eqn: k=4]

따라서 [eqn: f(3)= LEFT |`` {4 TIMES 3} over {3-1} ``RIGHT | =6]

실수 [eqn: t]에 대하여 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=t]가 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자. 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: lim _{t ``->`` 0+} {} g LEFT ( t RIGHT ) + lim _{t ``->`` 2-} {} g LEFT ( t RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =5]

를 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: {15} over {2}]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: {21} over {2}]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 30

이차함수 [eqn: f(x)=x^{2}+2 x+2]와 실수 [eqn: t]에 대하여 함수 [eqn: g(x)]는

[정답] [eqn: 141]

[해설]

(ⅰ) 함수 [eqn: y=f(x)][eqn: (x<0)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t}over{3}]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: r(t)]라 하면

[eqn: r(t)=cases{0 && &(t<3)#1 &&&(t=3)#2 &&&(3<t<6)#1 &&&(t ge6)]

(ⅱ) 함수 [eqn: y= left |`` f(-x)-t ``right |][eqn: (x ge0)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t}over{3}]가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: s(t)]라 하자.

[eqn: f(-x)-t][eqn: =x^{2}-2x+2-t]
[eqn: =(x-1)^{2}+1-t]

함수 [eqn: y=f(-x)-t]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: (1 ,```` 1-t)], [eqn: y]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2-t]

(1) [eqn: 1-t>{t}over{3}][eqn: left( t <{3}over{4}right)]일 때, [eqn: s(t)=0]

(2) [eqn: 1-t={t}over{3}][eqn: left(t={3}over{4} right)]일 때, [eqn: s(t)=1]

(3) [eqn: left |`` 1-t ``right | <{t}over{3}<2-t][eqn: left({3}over{4} <t<{3}over{2} right)]일 때, [eqn: s(t)=2]

(4) [eqn: t-1={t}over{3}=2-t][eqn: left(t={3}over{2} right)]일 때, [eqn: s(t)=3]

(5) [eqn: t-2<{t}over{3}<t-1][eqn: left({3}over{2}<t<3 right)]일 때, [eqn: s(t)=3]

(6) [eqn: {t}over{3}=t-2][eqn: left(t=3right)]일 때, [eqn: s(t)=3]

(7) [eqn: {t}over{3}<t-2][eqn: (t>3)]일 때, [eqn: s(t)=2]

[eqn: s(t)= {cases{0&&&LEFT ( t< {3} over {4} RIGHT )#1&&&LEFT ( t= {3} over {4} RIGHT )#2&&&LEFT ( {3} over {4} <t< {3} over {2} RIGHT )#3&&&LEFT ( {3} over {2} LEQ t LEQ 3 RIGHT )#2&&&LEFT ( t>3 RIGHT )}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t}over{3}]가 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: h(t)=r(t)+s(t)]

[eqn: h(t)= {cases{0 &&&LEFT ( t< {3} over {4} RIGHT )#1 &&&LEFT ( t= {3} over {4} RIGHT )#2 &&&LEFT ( {3} over {4} <t< {3} over {2} RIGHT )#3& &&LEFT ( {3} over {2} LEQ t < 3 RIGHT )#4 &&&LEFT ( 3 LEQ t<6 RIGHT )#3 &&&(t GEQ 6)}}]

[eqn: lim _{ t ``->`` alpha-} {h(t) }!= lim _{ t ``->`` alpha+} {h(t) }]인 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열하면

[eqn: alpha_{1}={3}over{4}], [eqn: alpha_{2}={3}over{2}], [eqn: alpha_{3}=3], [eqn: alpha_{4}=6]이고

[eqn: h(alpha_{1})=1], [eqn: h(alpha_{2})=3], [eqn: h(alpha_{3})=4], [eqn: h(alpha_{4})=3]

따라서

[eqn: sum _{ k=1} ^{m } left{` 4alpha_{k}timesh(alpha_{k}) `right}]

[eqn: =4times left({3}over{4}times1+{3}over{2}times3+3times4+6times3 right)]

[eqn: =141]

[eqn: g(x)=cases{f(x) && (x<0) #|f(-x)-t| && (x geq 0)}]

이다. 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y={t} over {3}]가 만나는 서로 다른 모든 점의 개수를 [eqn: h(t)]라 하자.

[eqn: lim _{t ``rarrow`` alpha-} h(t) neq lim _{t ``rarrow`` alpha+} h(t)]

인 모든 실수 [eqn: alpha]를 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_{1},`` alpha_{2},`` cdots,`` alpha_{m}(m]은 자연수[eqn: )]라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^{m} left{ 4 alpha_{k} times h left( alpha_{k} right) it right}]의 값을 구하시오.

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
05 연속성5 (구간정의함수)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

함수

[정답] [eqn: 6]

[해설]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a} {x^{2}+a x+4 a} over {x-a}]가 존재한다.

따라서 [eqn: a^{2}+a^{2}+4 a=0], 즉 [eqn: a=0] 또는 [eqn: a=-2]

[eqn: a=0]이면 [eqn: f(0)=-10], [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} {x^{2}+a x+4 a} over {x-a}=0]

이므로 연속이 아니다. 따라서 [eqn: a=-2]

[eqn: f(2 a)=f(-4)=16-10=6]

[eqn: f(x)= {cases{``````````x ^{2} -10&&(x LEQ a)#{x ^{2} +ax+4a} over {x-a}&&(x>a)}}]

가 [eqn: x=a]에서 연속일 때, [eqn: f(2 a)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 6

함수

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x `->` 1-} {} LEFT (-2x+1 RIGHT )= lim _{x `->` 1+} {} LEFT ( x ^{2} -ax+4 RIGHT ) =f LEFT (1 RIGHT )]

[eqn: -1=5-a]

따라서 [eqn: a=6]

[eqn: f(x)=cases{-2 x+1 && (x<1) #x^{2}-a x+4 && (x geq 1)}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -6]	② [eqn: -3]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: rm 6]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 26

함수

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` 1-} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x ``->`` 1-} {LEFT ( -3x+a RIGHT )}]
[eqn: =-3+a]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {{x+b} over {sqrt {x+3} -2}}]에서 (분모)[eqn: ``->``0]이므로 (분자)[eqn: ``->``0]이어야 한다.

즉, [eqn: 1+b=0]	[eqn: therefore][eqn: b=-1]

준식에 대입하면

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {{x-1} over {sqrt {x+3} -2}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+3} +2 RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x+3} -2 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+3} +2 RIGHT )}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {{LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {x+3} +2 RIGHT )} over {LEFT ( x+3 RIGHT ) -4}}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 1+} {LEFT ( sqrt {x+3} +2 RIGHT )}]
[eqn: =2+2][eqn: =4]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: f(1) =- 3+a]	[eqn: cdotscdots] ㉢

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 연속이어야 하므로 ㉠, ㉡에서 [eqn: lim _{x ``->`` 1-} {f LEFT ( x RIGHT )} = lim _{x ``->`` 1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =f(1)]를 만족해야 한다.

따라서 [eqn: -3+a=4]이므로 [eqn: a=7]

[eqn: therefore][eqn: a+b=7+ LEFT ( -1 RIGHT ) =6]

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ -3x+a &&& LEFT ( x LEQ 1 RIGHT )# x+b over {sqrt {x+3} -2}&&& LEFT ( x>1 RIGHT )}}}}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 4

함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=it-1]에서 연속이면 실수 전체의 집합에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``->`` -1-} { } f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x ``->`` -1+} { } f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT )]

이 성립해야 한다. 이때,

[eqn: lim _{x ``->`` -1-} { } f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x ``->`` -1-} { } LEFT ( 2x+a RIGHT ) =it-2+a]

[eqn: lim _{x ``->`` -1+} { } f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x ``->`` -1+} { } LEFT ( x ^{2} -5x-a RIGHT ) =6-a]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =it-2+a]

이므로 [eqn: -2+a=6-a]

따라서 [eqn: a=4]

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ```````` 2x+a&&&LEFT ( x LEQ it -1 RIGHT )# x ^{2} -5x-a&&&LEFT ( x>it-1 RIGHT )}}}{{from^2021^09^평가원^중}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 8

함수

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: f(2)][eqn: = lim _{x-> 2+} {} f(x)][eqn: = lim _{x-> 2-} {} f(x)]

[eqn: f(2)][eqn: = lim _{x-> 2+} {} f(x)][eqn: =b-4]이므로

[eqn: lim _{x-> 2-} {} f(x)][eqn: = lim _{x-> 2-} {} {x ^{2} +3x+a} over {x-2}][eqn: =b-4]

[eqn: lim _{x-> 2-} {} (x-2)=0]이므로 [eqn: lim _{x-> 2-} {} (x ^{2} +3x+a)=0]

[eqn: a+10=0]에서 [eqn: a=-10]

[eqn: lim _{x-> 2-} {} {x ^{2} +3x-10} over {x-2}][eqn: = lim _{x-> 2-} {} {(x-2)(x+5)} over {x-2}][eqn: =7]이므로

[eqn: b-4=7 ,~ b=11]

따라서 [eqn: a+b=-10+11=1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {cases{eqalign{{x ^{2} +3x+a} over {x-2}# }&eqalign{~~~ LEFT ( x<2 RIGHT )# }#-x ^{2} +b&~~~ LEFT ( x GEQ 2 RIGHT )}}]

가 [eqn: x][eqn: =2]에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 상수이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 6

함수

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: f(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: x=3`]에서도 연속이다.

즉, [eqn: lim _{x `-> `3-} {f(x)}][eqn: = lim _{x `->` 3+} {f(x)}][eqn: =f(3)]

[eqn: lim _{x `->` 3-} {{x ^{2} +ax+b} over {x-3}}]의 값이 존재하고, [eqn: x` -> `3-`]일 때

(분모)[eqn: -> `0`]이므로 (분자)[eqn: -> `0`]이다.

즉, [eqn: lim _{x `->` 3-} {(x ^{2} +ax+b)}][eqn: =0`]이므로

[eqn: 9+3a+b][eqn: =0], [eqn: b][eqn: =it -3a-9`]

[eqn: lim _{x `-> `3-} {{x ^{2} +ax-3a-9} over {x-3}}][eqn: = lim _{x` -> `3-} {{(x-3)(x+3 +a)} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3-} {(x+3+a)}]
[eqn: =6+a]

한편, [eqn: lim _{x `->` 3+} {f(x)}][eqn: =f(3)][eqn: =7]

그러므로 [eqn: 6+a][eqn: =7]

따라서 [eqn: a][eqn: =1], [eqn: b][eqn: =it -12`]이므로 [eqn: a-b][eqn: =13]

[eqn: f(x)= {cases{` {x ^{2} +ax+b} over {x-3 _{`}} ~~&(x<3) _{`}#` {2x+1 ^{`}} over {x-2}&(x GEQ 3) ^{`}}}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a-b`]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.)

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 7

함수

[정답] ④

[해설]

[eqn: left|`a-4`right|= left|`a+3`right|], [eqn: a ^{2} -8a+16=a ^{2} +6a+9]

[eqn: 14a = 7], [eqn: THEREFORE][eqn: a = 1 over2]

[eqn: f(x)=cases{x-4 && (x<a) #x+3 && (x geq a)}]

에 대하여 함수 [eqn: |f(x)|]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -{1} over {2}]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: rm 1]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 5

함수

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=2]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-}(x-1)= lim _{x ``rarrow`` 2+} left(x^{2}-a x+3 right)=f(2)]

[eqn: 1=7-2 a]

따라서 [eqn: a=3]

[eqn: f(x)=cases{x-1 && (x<2) #x^{2}-a x+3 && (x geq 2)}]

가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 4

함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)=cases{-2 x+a && (x leq a) #a x-6 && (x>a)}]에서

[eqn: x=a]에서 연속이어야 하므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a+} f(x)= lim _{x ``rarrow`` a-} f(x)=f(a)]이어야 한다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a+}(a x-6)= lim _{x ``rarrow`` a-}(-2 x+a)=-a]

[eqn: a^{2}-6=-a], [eqn: (a+3)(a-2)=0]

[eqn: a=-3] 또는 [eqn: a=2]이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: -1]이다.

[eqn: f(x)=cases{-2 x+a && (x leq a) #a x-6 && (x>a)}]

가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 6

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT |]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=-1], [eqn: x=3]에서도 연속이어야 한다.

(ⅰ) 함수 [eqn: LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT |]가 [eqn: x=-1]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1-} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = lim _{x`` rarrow ``-1+} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = LEFT | f LEFT (-1 RIGHT ) RIGHT |]
이어야 한다. 이때
[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1-} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = lim _{x`` rarrow ``-1-} {} LEFT | x+a RIGHT |][eqn: = LEFT | -1+a RIGHT |]
[eqn: lim _{x`` rarrow ``-1+} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = lim _{x`` rarrow ``-1+} {} LEFT | x RIGHT | =1]
[eqn: LEFT | f LEFT (-1 RIGHT ) RIGHT | = LEFT | -1 RIGHT | =1]
이므로
[eqn: LEFT | -1+a RIGHT | =1]
[eqn: a>0]이므로    [eqn: a=2]

(ⅱ) 함수 [eqn: |f(x)|]가 [eqn: x=3]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`` rarrow ``3-} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = lim _{x`` rarrow ``3+} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = LEFT | f LEFT (3 RIGHT ) RIGHT |]
이어야 한다. 이때
[eqn: lim _{x`` rarrow ``3-} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = lim _{x`` rarrow ``3-} {} LEFT | x RIGHT | =3],
[eqn: lim _{x`` rarrow ``3+} {} LEFT | f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | = lim _{x`` rarrow ``3+} {} LEFT | bx-2 RIGHT |][eqn: = LEFT | 3b-2 RIGHT |]
[eqn: LEFT | f LEFT (3 RIGHT ) RIGHT | = LEFT | 3b-2 RIGHT |]
이므로
[eqn: LEFT | 3b-2 RIGHT | =3]
[eqn: b>0]이므로    [eqn: b={5} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: a+b=2+{5} over {3}={11} over {3}]

[eqn: f(x)=cases{x+a && (x < it - 1) #x && (-1 leq x<3) #b x-2 && (x geq 3)}]

이다. 함수 [eqn: vert f(x)vert `]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
06 연속성6 (점정의함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 8

함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x=1]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)=f(1)]

[eqn: a+3=5], [eqn: a=2]

[eqn: f(x)=cases{a x+3 && (x neq 1) #5 && (x=1)}]

이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
07 연속성7 (조건항등식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 6

모든 실수에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: x neq 1]일 때 [eqn: f(x)={x^{2}-3 x+2} over {x-1}={(x-1)(x-2)} over {x-1}=x-2]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: f(1)= lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)= lim _{x ``rarrow`` 1}(x-2)=-1]

[eqn: (x-1) f(x)=x^{2}-3 x+2]

를 만족시킬 때, [eqn: f(1)]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
08 연속성8 (주기함수)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 11

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f(x)]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로

조건 (가)와 (나)에서

[eqn: f(4)= lim _{x ``rarrow`` 4-} f(x)=16 a+4 b-24]이고

[eqn: f(0)=f(4)]이므로 [eqn: -24=16 a+4 b-24]에서

[eqn: b=-4 a]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: 0 leq x<4]에서 [eqn: f(x)=a(x-2)^{2}-4 a-24]이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4)=f(x)]이므로

[eqn: 1<x<2]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]이 실근을 갖지 않으면 [eqn: 1<x<10]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 4] 이하이다.

[eqn: 1<x<2]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]이 실근을 [eqn: rm 1]개 가지면 [eqn: 1<x<10]일 때 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 5]이다.

함수 [eqn: f(x)]는 닫힌구간 [eqn: [1,``2]]에서 연속이므로

[eqn: f(1) f(2)][eqn: =(-3 a-24)(-4 a-24)]
[eqn: =12(a+8)(a+6)<0]

[eqn: -8<a < it - 6]이고 [eqn: a]는 정수이므로 [eqn: a=-7]

㉠에 의하여 [eqn: b=28]

따라서 [eqn: a+b=-7+28=21]

(가) [eqn: 0 leq x<4]에서 [eqn: f(x)=a x^{2}+b x-24]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(x+4)=f(x)]이다.

[eqn: 1<x<10]일 때, 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 5]이다. [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: rm 18]	② [eqn: rm 19]	③ [eqn: rm 20]

④ [eqn: rm 21]	⑤ [eqn: rm 22]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
09 연속성9 (함수의 사칙연산)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 12

두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x)=0], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} g(x)=-1]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x) g(x)= lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x) times lim _{x ``rarrow`` 1-} g(x)=0 times(-1)=0]
(거짓)

ㄴ. [eqn: f(1)=0], [eqn: g(1)=-1]이므로 [eqn: f(1) g(1)=0 times(-1)=0]
(참)

ㄷ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x)=1], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} g(x)=1]이므로 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x) g(x)= lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x) times lim _{x ``rarrow`` 1+} g(x)=1 times 1=1][eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x) g(x)=0]에서
[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} f(x) g(x) neq lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x) g(x)]이므로
극한값 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x) g(x)]는 존재하지 않는다.
그러므로 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다.
(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: lim _{x ``rarrow`` 1-} f(x) g(x)=-1] ㄴ. [eqn: f(1) g(1)=0] ㄷ. 함수 [eqn: f(x) g(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄱ, ㄴ	⑤ ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 5

함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim _{x` rarrow 1-} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` rarrow 1+} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )}}]

그래프에서 [eqn: lim _{x` rarrow 1-} {f LEFT ( x RIGHT ) =1,` lim _{x` rarrow 1+} {f LEFT ( x RIGHT ) =3}}]이므로

[eqn: lim _{x` rarrow 1-} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1+a+b RIGHT ) TIMES 1=1+a+b,}]

[eqn: lim _{x` rarrow 1+} {LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1+a+b RIGHT ) TIMES 3=3(1+a+b)}]

에서 [eqn: 1+a+b=3 LEFT ( 1+a+b RIGHT )]

따라서 [eqn: a+b=-1]

함수 [eqn: LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) `f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x][eqn: =1]에서 연속일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a,~b]는 실수이다.)

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 10

양의 실수 [eqn: {a}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] ①

[해설]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}-5a&&&(x <a)#-2x+4&&&(x geq a)]에서

[eqn: lim _{x` -> `a+} {} f LEFT ( -x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -5a RIGHT } TIMES LEFT ( -2a+4 RIGHT )]

[eqn: lim _{x`->`a-} {} f LEFT ( -x RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT { LEFT ( -a RIGHT ) ^{2} -5a RIGHT } TIMES LEFT ( a ^{2} -5a RIGHT )]

따라서 [eqn: a ^{2} -5a=0]이거나 [eqn: -2a+4=a ^{2} -5a]이므로

[eqn: a=4] 또는 [eqn: a=5][eqn: LEFT ( BECAUSE````a>0 RIGHT )]

따라서 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 9]

[eqn: f(x)=cases{``````x^{2}-5a&&&(x <a)#-2x+4&&&(x geq a)]

라 하자. 함수 [eqn: f(-x)f(x)]가 [eqn: x=a]에서 연속이 되도록 하는 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

04 수2	02 함수의 연속성
01 함수의 연속성
11 연속성11 (추론과 해석)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 12

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} =0]에서

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -1 RIGHT } LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +x RIGHT } LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -x RIGHT } =0]

이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1,~f LEFT ( x RIGHT ) = it -x,~f LEFT ( x RIGHT ) =x]

이때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1] 또는 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때,
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 [eqn: 1]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]
이다. 이때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 0]이 아니므로 주어진 조건을 만족시키지 못한다.

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]일 때,
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이고, 최댓값이 [eqn: 1]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` LEFT | `x` RIGHT |&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#``1&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >`1 RIGHT )}}]
이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` LEFT | `x` RIGHT |&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | LEQ 1 RIGHT )#``1&&&LEFT ( LEFT | `x` RIGHT | >`1 RIGHT )}}]

따라서

[eqn: f LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) =1,~f LEFT ( 0 RIGHT ) =0,~f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2}]

이므로

[eqn: f LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =1+0+ {1} over {2} = {3} over {2}]

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} -x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) +x ^{2} =0]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: 1]이고 최솟값이 [eqn: 0]일 때, [eqn: f LEFT ( - {4} over {3} RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {2} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 8

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^7^경찰대^중}}]과 [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{3}} over {x ^{2}}][eqn: =2]인 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되려면 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 가지고 나머지는 허근이 존재해야 한다.

따라서 [eqn: f(x)=(x-1)(x^{2}+3x+a)]에서 [eqn: x^{2}+3x+a=0]의 판별식 [eqn: D<0]이어야 한다.

즉, [eqn: {D}=9-4a<0]이므로 [eqn: a >{9}over{4}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: f(x)=0]일 때 연속이어야 하므로 [eqn: lim_{x ``->`` 1}{x-1}over{f(x)}={1}over{n}]

[eqn: lim_{x ``->`` 1}{x-1}over{f(x)}][eqn: =lim_{x ``->`` 1}{x-1}over{(x-1)(x^{2}+3x+a)}]
[eqn: =lim_{x ``->`` 1}{1}over{x^{2}+3x+a}]
[eqn: ={1}over{4+a}]

즉, [eqn: {1}over{4+a}={1}over{n}]이므로 [eqn: 4+a=n]

[eqn: therefore][eqn: a= n-4]

㉠에 대입하면 [eqn: n-4>{9}over{4}]이므로 [eqn: n>{25}over{4}]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 7]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ {x-1} over {f LEFT ( x RIGHT )}& && LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) != 0 RIGHT )# ````` {1} over {n}& && LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) =0 RIGHT )}}}]

이다. [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 [eqn: n]의 최솟값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT (4 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 13]

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: f(x)=f(1)+(x-1) f `prime (g(x))]

이므로 [eqn: x neq 1]일 때,

[eqn: f `prime (g(x))={f(x)-f(1)} over {x-1}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: (x,`` f(x))]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: f `prime (g(x))]이고, 조건 (나)에서 [eqn: g(x) geq {5} over {2}]이므로 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]를 지나는 직선은 점 [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]에서 접하는 직선이다.

두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]를 지나는 직선의 방정식을 [eqn: y=mx+n`]이라 하면

[eqn: f left(x right)=left(x-1right)left(x- 5over2 right)^2 +mx+n]	[eqn: cdotscdots] ㉡

조건 (다)에서 [eqn: f left(0right)=`-3`]이므로

[eqn: f left(0right)=`- 25over4 +n=`-3],    [eqn: n= 13over4]

㉠에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f `prime (g(x))= lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

[eqn: f`prime left(g left(1right)right)=f`prime left(1right)]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉡의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: f`prime left(x right)][eqn: =left(x- 5over2 right)^2 +2left(x-1right)left(x- 5over2 right)+m]
[eqn: =3x^2 -12x+m + 45over4]

㉢에서 [eqn: g left(1right)ge 5over2 `]이므로    [eqn: g left(1right )ne1]

따라서 함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 대칭축이 [eqn: x=2`]이므로

[eqn: {g left(1right)+1}over2 = 2]에서    [eqn: g left(1right)=3]

조건 (다)에서 [eqn: f left(3right)=6`]이므로 ㉡에 대입하면

[eqn: f left(3right)= 1over2 +3m+ 13over4 =6],    [eqn: m= 3over4]

따라서 [eqn: f left(x right)=left(x-1right)left(x- 5over2 right)^2 + 3over4 x+ 13over4 `]이므로

[eqn: f left(4right)=13]

[다른 풀이]

최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]이고 [eqn: f(0)=`-3`]이므로

[eqn: f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x-3]

이라 하면    [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}+2 a x+b]

조건 (가)에서

[eqn: f(x)=f(1)+(x-1) f `prime (g(x))]

이므로 [eqn: x neq 1]일 때,

[eqn: f `prime (g(x))={f(x)-f(1)} over {x-1}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이때, 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: (x,`` f(x))]를 지나는 직선의 기울기가 [eqn: f `prime (g(x))]이고, 조건 (나)에서 [eqn: g(x) geq {5} over {2}]이므로 두 점 [eqn: (1,`` f(1))], [eqn: ~ left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]를 지나는 직선은 점 [eqn: left({5} over {2},`` f left({5} over {2} right) right)]에서 접하는 직선이다.

그러므로 직선 [eqn: y-f left({5} over {2} right)=f `prime left({5} over {2} right) left(x-{5} over {2} right)]는 점 [eqn: (1,`` f(1))]을 지난다. 즉,

[eqn: 1+a+b-3- left{ left({5} over {2} right)^{3}+a left({5} over {2} right)^{2}+b left({5} over {2} right)-3 it right}]

[eqn: = left{ 3 times left({5} over {2} right)^{2}+5 a+b it right} left(1-{5} over {2} right)]

이 식을 정리하면

[eqn: -{117} over {8}-{21} over {4} a-{3} over {2} b= left({75} over {4}+5 a+b right) left(-{3} over {2} right)]

[eqn: {9} over {4} a=`- {108} over {8}]

[eqn: a=`-6]

따라서 [eqn: f(x)=x^{3}-6 x^{2}+b x-3]이고, [eqn: f `prime (x)=3 x^{2}-12 x+b]이다.

한편, ㉠에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f `prime (g(x))= lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}]

이때, [eqn: g(x)]는 연속함수이므로 [eqn: g(1)=k]라 하면 좌변은

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f `prime (g(x))][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1} left{ 3 left{ g(x) it right} ^{2}-12 g(x)+b it right}]
[eqn: =3 k^{2}-12 k+b]	[eqn: cdotscdots] ㉡

또, 우변은

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {f(x)-f(1)} over {x-1}][eqn: =f `prime (1)][eqn: =3-12+b][eqn: =b-9]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉡, ㉢에서

[eqn: 3 k^{2}-12 k+b=b-9]

[eqn: k^{2}-4 k+3=0],    [eqn: (k-1)(k-3)=0]

[eqn: k=1] 또는 [eqn: k=3]

[eqn: g(1)=1] 또는 [eqn: g(1)=3]

이때, 조건 (나)에서 [eqn: g(x)]의 최솟값이 [eqn: {5} over {2}]이므로

[eqn: g(1)=3]

따라서 조건 (다)에서 [eqn: f left(g left(1right)right)=f left(3right)=6`]이므로

[eqn: 27-54+3 b-3=6],    [eqn: b=12]

따라서 [eqn: f(x)=x^{3}-6 x^{2}+12 x-3]이므로

[eqn: f(4)=4^{3}-6 times 4^{2}+12 times 4-3=13]

(가) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=f LEFT (1 RIGHT )+ LEFT (x-1 RIGHT )f `prime LEFT (g LEFT (x RIGHT ) RIGHT )]이다.

(나) 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: {5} over {2}]이다.

(다) [eqn: f LEFT (0 RIGHT )=`-3], [eqn: f LEFT (g LEFT (1 RIGHT ) RIGHT )=6]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 22

두 양수 [eqn: a], [eqn: b(b>3)]과 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 이차함수 [eqn: f(x)]에 대하여 함수

[정답] [eqn: 19]

[해설]

[eqn: g(x)=cases{(x+3) f(x) && (x<0) # (x+a) f(x-b) && (x geq 0)}]

이 실수 전체의 집합에서 연속이려면 [eqn: x=0]에서 연속이어야 한다.

따라서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)=g(0)]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 성립한다.

이때

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0-} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0-}(x+3) f(x)=3 f(0)]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 0+} g(x)= lim _{x ``rarrow`` 0+}(x+a) f(x-b)=a f(-b)]

[eqn: g(0)=a f(-b)]

이므로 ㉠에서

[eqn: 3 f(0)=a f(-b)]	[eqn: cdotscdots] ㉡

한편,

[eqn: lim _{x`` rarrow ``-3} {} {sqrt { LEFT | g LEFT (x RIGHT ) RIGHT | + LEFT { g LEFT (t RIGHT ) it RIGHT } ^{2}} - LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | g LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( sqrt { LEFT | g LEFT (x RIGHT ) RIGHT | + LEFT { g LEFT (t RIGHT ) it RIGHT } ^{2}} + LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | RIGHT )}]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT )f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT ( sqrt {0+ LEFT { g LEFT (t RIGHT ) it RIGHT } ^{2}} + LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | RIGHT )}]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT )f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} TIMES 2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

이때 [eqn: t neq-3]이고 [eqn: t neq 6]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 ㉢의 값이 존재하므로

[eqn: f(x)=(x+3)(x+k)]([eqn: k]는 상수[eqn: )]

의 꼴이어야 하고, ㉢에서

[eqn: lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT )f LEFT (x RIGHT ) RIGHT | } over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} TIMES 2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} LEFT (x+k RIGHT ) RIGHT |} over { LEFT (x+3 RIGHT ) ^{2} TIMES 2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]

[eqn: = lim _{x`` rarrow ``-3} {} { LEFT | x+k RIGHT | } over {2 LEFT | g LEFT (t RIGHT ) RIGHT | }]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

이때 [eqn: t=`-3]과 [eqn: t=6]에서만 ㉣의 값이 존재하지 않으므로 방정식 [eqn: g(x)=0]이 모든 실근은 [eqn: x=`-3]과 [eqn: x=6]뿐이다.

주어진 식에서 [eqn: g(-3)=0]이므로

[eqn: g(6)=0], 즉 [eqn: (6+a) f(6-b)=0]

이어야 한다.

이때 [eqn: a>0]이므로 [eqn: f(6-b)=0]에서

[eqn: 6-b=`-3] 또는 [eqn: 6-b=`-k]

따라서 [eqn: b=9] 또는 [eqn: k-b=`-6]

(ⅰ) [eqn: b=9]인 경우
[eqn: x<0]에서
[eqn: g(x)=(x+3) f(x)=(x+3)^{2}(x+k)]
이때 [eqn: x<0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: -3]뿐이므로
[eqn: -k geq 0] 또는 [eqn: k=3]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤
[eqn: x geq 0]에서
[eqn: g(x)=(x+a) f(x-9)][eqn: =(x+a)(x-6)(x-9+k)]
이때 [eqn: x geq 0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: rm 6]뿐이므로
[eqn: 9-k<0] 또는 [eqn: 9-k=6]	[eqn: cdotscdots] ㉥
㉤, ㉥에서    [eqn: k=3]
따라서 [eqn: f(x)= (x+3)^2]이므로 ㉡에서
[eqn: 3times3^2 =af(-9)],    [eqn: 27 =36a]
[eqn: a= 3over4]
따라서

[eqn: g(4)][eqn: = (4+a)f(4-b)]
[eqn: = left(4+{3} over {4} right) f(-5)]
[eqn: ={19} over {4} times(-2)^{2}=19]

(ⅱ) [eqn: k-b=`-6]인 경우
[eqn: x<0]에서
[eqn: g(x)=(x+3) f(x)=(x+3)^{2}(x+k)]
이때 [eqn: x<0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: -3]뿐이므로
[eqn: -k geq 0] 또는 [eqn: k=3]
[eqn: x geq 0]에서

[eqn: g(x)][eqn: =(x+a) f(x-b)]
[eqn: =(x+a)(x-b+3)(x-b+k)]
[eqn: =(x+a)(x-b+3)(x-6)]

이때 [eqn: x geq 0]에서 [eqn: g(x)=0]의 해는 [eqn: rm 6]뿐이고, [eqn: b>3]이므로
[eqn: b-3=6]에서    [eqn: b=9]
[eqn: k-b=`-6]에서    [eqn: k=3]
따라서 ( i )과 같은 결과이므로 [eqn: g(4)=19]이다.

[eqn: g(x)=cases{(x+3) f(x) && (x<0) #(x+a) f(x-b) && (x geq 0)}]

이 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: g(4)]의 값을 구하시오.

[eqn: lim _{x ``rarrow``-3} { sqrt{|g(x)|+ left{ g(t) it right} ^{2}}-|g(t)|} over {(x+3)^{2}}]의 값이 존재하지 않는 실수 [eqn: t]의 값은 [eqn: -3]과 [eqn: rm 6]뿐이다.

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
02 불연속 후보군2 (연속X불연속)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 29

[eqn: {5}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}]이하의 두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[해설]

함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이기 위해서는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=3]에서 연속이어야 한다.

(ⅰ) 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속일 때

[eqn: f(1)g(1)][eqn: = lim _{x ``->`` 1-} {f(x)g(x)}]
[eqn: =(a ^{2} -3a+2)(7-b)]
[eqn: =(a-1)(a-2)(7-b)]

[eqn: lim _{x ``->`` 1+} {f(x)g(x)][eqn: =(a ^{2} -3a+2)(1+b)}]
[eqn: =(a-1)(a-2)(1+b)]

[eqn: f(1)g(1)= lim _{x ``->`` 1-} {f(x)g(x)} = lim _{x ``->`` 1+} {f(x)g(x)}]

이므로 [eqn: (a-1)(a-2)(7-b)=(a-1)(a-2)(1+b)]에서

[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=2] 또는 [eqn: b=3]

(ⅱ) 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=3]에서 연속일 때

[eqn: f(3)g(3)][eqn: = lim _{x ``->`` 3+} {f(x)g(x)}]
[eqn: =(a ^{2} -7a+10)(7-b)]
[eqn: =(a-2)(a-5)(7-b)]

[eqn: lim _{x ``->`` 3-} {f(x)g(x)}][eqn: =(a ^{2} -7a+10)(3+b)]
[eqn: =(a-2)(a-5)(3+b)]

[eqn: f(3)g(3)= lim _{x ``->`` 3-} {f(x)g(x)} = lim _{x ``->`` 3+} {f(x)g(x)}]

이므로 [eqn: (a-2)(a-5)(7-b)][eqn: =(a-2)(a-5)(3+b)]에서

[eqn: a=2] 또는 [eqn: a=5] 또는 [eqn: b=2]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a=1]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이고, [eqn: x=3]에서도 연속이기 위해서는 [eqn: b=2]

[eqn: a=2]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]과 [eqn: x=3]에서 모두 연속이므로

[eqn: b=1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5]

[eqn: a=3] 또는 [eqn: a=4]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]가 [eqn: x=1]과 [eqn: x=3]에서 모두 연속이 되도록 하는 [eqn: b]의 값은 존재하지 않는다.
[eqn: a=5]인 경우

함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=3]에서 연속이고, [eqn: x=1]에서도 연속이기 위해서는 [eqn: b=3]

따라서 함수 [eqn: f(x)g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: (a ,```` b)]는

[eqn: (1 ,```` 2) ,````][eqn: (2 ,```` 1) ,```` (2 ,```` 2) ,```` (2 ,```` 3) ,]

[eqn: (2 ,```` 4) ,```` (2 ,```` 5) ,```` (5 ,```` 3)]

이고 그 개수는 [eqn: 7]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x ^{2} -2ax+a ^{2} -a+1]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ x+b& && LEFT ( 1<x<3 RIGHT )# 7-b& && LEFT ( x LEQ 1 ```` 또는 ```` x GEQ 3 RIGHT )}}]

이라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 24

함수 [eqn: {y=f(x)}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]의 그래프가 그림과 같다.

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 구간 [eqn: LEFT ( -2 ,```` 2 RIGHT )]에서 연속이므로 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x= it -1]과 [eqn: x=1]에서 연속이다.

그러므로 이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =0], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =0]을 만족해야 한다.

이차함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이므로

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT )][eqn: =x ^{2} -1]

따라서 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT )][eqn: =5 ^{2} -1][eqn: =24]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: g(x)]에 대하여 함수 [eqn: h(x)][eqn: =f(x) g(x)]가 구간 [eqn: LEFT ( -2 ,```` 2 RIGHT )]에서 연속일 때, [eqn: g(5)]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 12

두 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: h(x)=f(x) g(x)]라 하자.

[eqn: x neq 1]일 때, 두 함수 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]는 연속이므로

함수 [eqn: h(x)]도 연속이다.

그러므로 함수 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이

려면 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: x=1]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x`` rarrow ``1-} {} h(x)= lim _{x`` rarrow ``1-} {} {2x ^{3} +ax+b} over {x-1}]의 값이 존재하므로 [eqn: 2+a+b=0], 즉 [eqn: b=-a-2]

[eqn: lim _{x`` rarrow ``1-} {} h(x)][eqn: = lim _{x`` rarrow ``1-} {} {2x ^{3} +ax-a-2} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x`` rarrow ``1-} {} {(x-1) LEFT ( 2x ^{2} +2x+a+2 RIGHT )} over {x-1}]
[eqn: = lim _{x`` rarrow ``1-} {} LEFT ( 2x ^{2} +2x+a+2 RIGHT ) =a+6]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1+} h(x)][eqn: = lim _{x`` rarrow ``1+} {} {2x ^{3} +ax-a-2} over {2x+1}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1+} {(x-1) left(2 x^{2}+2 x+a+2 right)} over {2 x+1}=0]

[eqn: lim _{x`` rarrow ``1+} {} h(x)= lim _{x`` rarrow ``1-} {} h(x)=h(1)]이므로

[eqn: a+6=0], 즉 [eqn: a=-6]

[eqn: b=-a-2]에서 [eqn: b=4]

따라서 [eqn: b-a=10]

[eqn: f(x)=cases{{1} over {x-1} && (x<1) #{1} over {2 x+1} && (x geq 1)}]

[eqn: g(x)=2 x^{3}+a x+b]

에 대하여 함수 [eqn: f(x) g(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: b-a]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: rm 10]	② [eqn: rm 9]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 6]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 12

다항함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]는 [eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -3x-5}][eqn: =2]을 만족시키고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] ①

[해설]

[eqn: lim _{x ``->`` INF } {} {f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2} -3x-5}][eqn: =2]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} +ax+b]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x][eqn: =3]에서 연속이다.

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =f LEFT ( 3 RIGHT ) g LEFT ( 3 RIGHT )]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: =18+3a+b]에서 (분모)[eqn: ``->``][eqn: 0]이고 극한값이 존재하므로 (분자)[eqn: ``->``][eqn: 0]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} LEFT ( 2x ^{2} +ax+b RIGHT )][eqn: =0]이므로 [eqn: 18+3a+b][eqn: =0]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: =0]

[eqn: b][eqn: =-3a-18]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )]

[eqn: lim _{x ``->`` 3} {} {2x ^{2} +ax+b} over {x-3}][eqn: = lim _{x ``->`` 3} {} {LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )} over {x-3}]
[eqn: = lim _{x ``->`` 3} {} LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )][eqn: =0]

이므로 [eqn: a= it -12], [eqn: b=18]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2x ^{2} -12x+18]

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =8]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{1} over {x-3}& && LEFT ( x != 3 RIGHT )# `````````1 &&& LEFT ( x=3 RIGHT )}}}]

이다. 두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 12

[eqn: a>2]인 상수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: f(1)=0], [eqn: f(a)=0]이고, [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x)=-1], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)=-4+2 a]에서 [eqn: lim _{x ``rarrow`` 2-} f(x) neq lim _{x ``rarrow`` 2+} f(x)]이므로 [eqn: x=2]에서 불연속이다.

함수 [eqn: h(x)]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 [eqn: h(x)]는 [eqn: x=1], [eqn: x=a], [eqn: x=2]에서 연속이어야 한다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} {g(x)} over {f(x)}=h(1)], [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} {g(x)} over {f(x)}=h(a)]에서

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} f(x)=f(1)=0], [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} f(x)=f(a)=0]이므로

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} g(x)=0], [eqn: lim _{x ``rarrow`` a} g(x)=0] 즉, [eqn: g(1)=0], [eqn: g(a)=0]

또, [eqn: ~ lim _{x ``rarrow`` 2-} {g(x)} over {f(x)}= lim _{x ``rarrow`` 2+} {g(x)} over {f(x)}], [eqn: ~ {g(2)} over {-1}={g(2)} over {-4+2 a}]이므로 [eqn: g(2)=0]이고 [eqn: g(x)=(x-1)(x-2)(x-a)]이다.

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 1} h(x)][eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1} {(x-1)(x-2)(x-a)} over {(x-1)(x-3)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` 1} {(x-2)(x-a)} over {x-3}]
[eqn: ={1-a} over {2}]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a} h(x)][eqn: = lim _{x ``rarrow`` a} {(x-1)(x-2)(x-a)} over {-x(x-a)}]
[eqn: = lim _{x ``rarrow`` a} {(x-1)(x-2)} over {-x}]
[eqn: =`-{(a-1)(a-2)} over {a}]

[eqn: h(1)=h(a)]이므로

[eqn: {1-a} over {2} =`- {(a-1)(a-2)} over {a}]

[eqn: a>2]이므로    [eqn: a=4]

따라서

[eqn: h(x)={g(x)} over {f(x)}=cases{{(x-2)(x-4)} over {x-3} ```````~(x LEQ 2) # -{(x-1)(x-2)} over {x} ~ (x>2)}]

이므로

[eqn: h(1)+h(3)=`-{3} over {2}+ left(-{2} over {3} right)=`-{13} over {6}]

[eqn: f(x)=cases{x^{2}-4 x+3 && (x leq 2) #-x^{2}+a x && (x>2)}]

라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: rm 1]인 삼차함수 [eqn: g(x)]에 대하여 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: h(x)]가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: h(1)+h(3)]의 값은?

(가) [eqn: x neq 1], [eqn: x neq a]일 때, [eqn: h(x)={g(x)} over {f(x)}]이다.

(나) [eqn: h(1)=h(a)]

① [eqn: -{15} over {6}]	② [eqn: -{7} over {3}]	③ [eqn: -{13} over {6}]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -{11} over {6}]

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
03 불연속 후보군3 (불연속X불연속)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 8

함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: x=a]를 제외한 실수 전체의 집합에서 연속이므로 함수 [eqn: left{ f(x) it right} ^{2}]이 [eqn: x=a]에서 연속이면 함수 [eqn: left{ f(x) it right} ^{2}]은 실수 전체의 집합에서 연속이다.

함수 [eqn: left{ f(x) it right} ^{2}]이 [eqn: x=a]에서 연속이려면

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a-} left{ f(x) it right} ^{2}= lim _{x ``rarrow`` a+} left{ f(x) it right} ^{2}= left{ f(a) it right} ^{2}]

이어야 한다.

이때

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a-} left{ f(x) it right} ^{2}= lim _{x ``rarrow`` a-}(-2 x+6)^{2}=(-2 a+6)^{2}]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` a+} left{ f(x) it right} ^{2}= lim _{x ``rarrow`` a+}(2 x-a)^{2}=a^{2}]

[eqn: left{ f(a) it right} ^{2}=(2 a-a)^{2}=a^{2}]

이므로 [eqn: (-2 a+6)^{2}=a^{2}]에서

[eqn: 3 a^{2}-24 a+36=0], [eqn: a^{2}-8 a+12=0]

[eqn: (a-2)(a-6)=0], [eqn: a=2] 또는 [eqn: a=6]

따라서 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 2+6=8]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{-2x+6&& LEFT ( x<a RIGHT )# 2x-a&& LEFT ( x GEQ a RIGHT )}}]

에 대하여 함수 [eqn: LEFT { f LEFT (x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]이 실수 전체의 집합에서 연속이 되도록 하는 모든 상수 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
06 활용1 (교점의 개수로 정의된 함수)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 20

실수 [eqn: m`]에 대하여 직선 [eqn: y=mx`]와 함수

[정답] [eqn: 8]

[해설]

직선 [eqn: y][eqn: =mx`]는 실수 [eqn: m`]의 값에 관계없이 항상 원점을 지나므로 직선 [eqn: y][eqn: =mx`]와 함수

[eqn: f(x)][eqn: = {cases{`x+4 _{`}&(x<1) _{`}#`3x+2 ^{`}~~&(x GEQ 1) ^{`}}}]의 그래프는 다음과 같다.

그러므로 함수 [eqn: g(m)`]은

[eqn: g(m)][eqn: = {cases{`1_{`}~~&(m<1~또는~m>3) _{`}# `0^{`}& ( 1 LEQ m LEQ 3 )^{`}]

즉, 함수 [eqn: g(m)`]은 [eqn: m][eqn: =1`]과 [eqn: m][eqn: =3`]에서 불연속이다.

그런데 함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속이므로 [eqn: x][eqn: =1], [eqn: x`][eqn: =3`]에서도 연속이 되어야 한다.

(ⅰ) [eqn: x=1`]일 때
[eqn: lim _{x` ->` 1-} {g(x)h(x)}][eqn: =1 TIMES h ( 1 )][eqn: =h(1)],
[eqn: lim _{x `->` 1+} {g(x)h(x)}][eqn: =0 TIMES h(1)][eqn: =0]
함수 [eqn: g(x)h(x)`]는 [eqn: x][eqn: =1`]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`->`1} {`g ( x )h ( x )}`]의 값이 존재한다.
즉, [eqn: lim _{x` ->` 1-} {g(x)h(x)}][eqn: =lim _{x `->` 1+} {g(x)h(x)}`]에서 [eqn: h(1)][eqn: =0]

(ⅱ) [eqn: x][eqn: =3`]일 때
[eqn: lim _{x` -> `3-} {g(x)h(x)}][eqn: =0 TIMES h ( 3 )][eqn: =0],
[eqn: lim _{x` -> `3+} {g(x)h(x)}][eqn: =1 TIMES h ( 3 )}][eqn: =h ( 3 )]
함수 [eqn: g(x)h(x)`]는 [eqn: x][eqn: =3`]에서 연속이므로
[eqn: lim _{x`->`3} {`g ( x )h ( x )}`]의 값이 존재한다.
즉, [eqn: lim _{x` -> `3-} {g(x)h(x)}][eqn: =lim _{x` -> `3+} {g(x)h(x)}`]에서 [eqn: h(3)][eqn: =0]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: h(1)][eqn: =h(3)][eqn: =0`]이므로 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: h(x)`]는 [eqn: h(x)][eqn: =(x-1)(x-3)]

따라서 [eqn: h(5)][eqn: =4 times 2][eqn: =8`]

[eqn: f(x)=2x+3+ left | x-1 right|]

의 그래프의 교점의 개수를 [eqn: g(m)`]이라 하자. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: h(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)h(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: h(5)`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 30

두 자연수 [eqn: a,~b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2ax+b]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 44]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} -a ^{2} +b]이므로 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( a,~-a ^{2} +b RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x+a RIGHT ) =x ^{2} -a ^{2} +b]이므로 이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x+a RIGHT )]의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~-a ^{2} +b RIGHT )]이고

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( 2a RIGHT ) =b]

(ⅰ) [eqn: a ^{2} -b LEQ 0]일 때

[eqn: -a ^{2} +b GEQ 0]이므로

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t>b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-a ^{2} +b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k>a ^{2}]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k=a ^{2}]일 때
[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) = {cases{0&~ LEFT ( t!=b RIGHT )#1&~ LEFT ( t=b RIGHT )}}]이므로
함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(c) [eqn: k<a ^{2}]일 때
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t`-> `b+} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) =alpha _{1} ~ LEFT ( alpha _{1} =2,~3 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]
한편 [eqn: lim _{t`-> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =1}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b-} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) =beta _{1} ~ LEFT ( beta _{1} =2,~3 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) !=0}]
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(a), (b), (c)에 의해 [eqn: k>a ^{2}]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅱ) [eqn: 0<a ^{2} -b<b]인 경우

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t>b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-a ^{2} +b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k>a ^{2}]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k=a ^{2}]일 때
[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) = {cases{0&~ LEFT ( t!=b RIGHT )#1&~ LEFT ( t=b RIGHT )}}]이므로
함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(c) [eqn: k<a ^{2}]
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b+} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = alpha _{2} ~ LEFT ( alpha _{2} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]
한편 [eqn: lim _{t`-> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =1}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b-} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = beta _{2} ~ LEFT ( beta _{2} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) !=0}]
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(a), (b), (c)에 의해 [eqn: k>a ^{2}]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅲ) [eqn: a ^{2} -b=b]인 경우

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t>b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k>2b]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k=2b]일 때
[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) = {cases{0&~ LEFT ( t!=b RIGHT )#1&~ LEFT ( t=b RIGHT )}}]이므로
함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(c) [eqn: k<2b]일 때
[eqn: lim _{t`-> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b+} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = alpha _{3} ~ LEFT ( alpha _{3} =2,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b+} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]이다.
한편 [eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =2}]이고
[eqn: lim _{t` -> `b-} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = beta _{3} ~ LEFT ( beta _{3} =2,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> `b-} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) !=0}]이다.
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=b]에서 불연속이다.

(a), (b), (c)에 의해 [eqn: k>2b]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅳ) [eqn: a ^{2} -b>b]인 경우

두 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) ,~y=h LEFT ( t RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: t GEQ a ^{2} -b]일 때 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) -2=0]이고

[eqn: t<it-a ^{2} +b+k]일 때 [eqn: h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이다.

(a) [eqn: k GEQ 2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT )]일 때
모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0]이므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(b) [eqn: k<2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT )]일 때
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) +} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =0}]이고
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) +} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = alpha _{4} ~ LEFT ( alpha _{4} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) +} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) =0}]이다.
한편 [eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) -} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } =1}]이고
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) -} {`h LEFT ( t-k RIGHT ) = beta _{4} ~ LEFT ( beta _{4} =2,~3,~4 RIGHT )}]이므로
[eqn: lim _{t` -> ` LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) -} {` LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT ) != 0}]이다.
그러므로 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 [eqn: t=a ^{2} -b]에서 불연속이다.

(a), (b)에 의해 [eqn: k GEQ 2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT )]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수

[eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.

(ⅰ)[eqn: SIM](ⅳ)에서 조건을 만족시키는 경우는 (ⅳ)이므로

[eqn: 2 LEFT ( a ^{2} -b RIGHT ) =24]

[eqn: a ^{2} -b=12]에서

[eqn: b=a ^{2} -12>0]이므로 [eqn: a ^{2} >12]

[eqn: a ^{2} -b>b]에서 [eqn: a ^{2} -2b][eqn: =a ^{2} -2 LEFT ( a ^{2} -12 RIGHT )]
[eqn: =24-a ^{2} >0]

이므로 [eqn: a ^{2} <24]

그러므로 [eqn: 12<a ^{2} <24]

[eqn: a]는 자연수이므로 [eqn: a=4,~b=4]

따라서 [eqn: 10a+b=44]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{f LEFT ( x+a RIGHT )&~ LEFT ( x LEQ a RIGHT )#LEFT | `f LEFT ( x RIGHT ) ` RIGHT |&~ LEFT ( x>a RIGHT )}}]

라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]와 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 서로 다른 점의 개수를 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: k GEQ 24]인 임의의 실수 [eqn: k]에 대해서만 함수 [eqn: LEFT { h LEFT ( t RIGHT ) -2 RIGHT } h LEFT ( t-k RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 연속이다.

[eqn: 10a+b]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 다음과 같이 정의한다.

[정답] ①

[해설]

[eqn: g(x)=cases{x && (x < it - 1~ 또는~ x>1) #f(x) && (-1 leq x leq 1)}]에서

[eqn: h(x)][eqn: = lim _{t ``rarrow`` 0+} g(x+t) times lim _{t ``rarrow`` 2+} g(x+t)]
[eqn: =cases{x left(x+2right)&left(x ge1right)#left(x+2right)f left(x right)~&left(-1le x<1right)#xf left(x+2right)&left(-3le x< -1right)#x left(x+2right)&left(x< -3right)]

ㄱ. [eqn: h left(1right)=1times3=3]	(참)

ㄴ. [eqn: lim_{x`->`1-}h left(x right)=lim_{x`->`1-}left(x+2right)f left(x right)=3f left(1right)`]
[eqn: lim_{x`->`1+}h left(x right)=h left(1right)=3`]
이므로 [eqn: f left(1right)ne1`]이면 함수 [eqn: h left(x right)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이다.
따라서 함수 [eqn: h left(x right)`]는 실수 전체의 집합에서 연속이라 할 수 없다.	(참)

ㄷ. [eqn: g left(-1right)=f left(-1right)=`-2`]이고, 함수 [eqn: g left(x right)`]가 닫힌구간 [eqn: left[`-1,``1`right]`]에서 감소하므로    [eqn: f left(1right)<`-2]
[eqn: -3le x < -1`]에서 [eqn: h left(x right)=x f left(x+2right)`]이고,
[eqn: x<0`], [eqn: f left(x+2right)<0`]이므로    [eqn: h left(x right)>0`]
[eqn: -1<x<1]에서 [eqn: h left(x right)=left(x+2right)f left(x right)]이므로
[eqn: h `prime left(x right)=f left(x right)+left(x+2right)f `prime left(x right)]
[eqn: f `prime (x)<0], [eqn: x+2>0], [eqn: f(x)<0]이므로    [eqn: h `prime (x)<0]
따라서 [eqn: -1<x<1]에서 함수 [eqn: h(x)]는 감소하므로
[eqn: lim_{x`->`1-}h left(x right)=lim_{x`->`1-}left(x+2right)f left(x right)=3f left(1right)< -6]
한편, ㄱ에서 [eqn: h left(1right)=3`]이므로 함수 [eqn: h left(x right)`]는 최솟값을 갖지 않는다.	(거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ 뿐이다.

[다른 풀이]

ㄷ. [반례] [eqn: f(x)=`-x-3]이라 하자.
[eqn: x < it - 3]일 때,    [eqn: h(x)=x(x+2)]
[eqn: -3le x < it - 1]일 때,    [eqn: h(x)=`-x(x+5)]
[eqn: -1le ~x<1]일 때,    [eqn: h(x)=`-(x+3)(x+2)]
[eqn: x ge1]일 때,    [eqn: h(x)=x(x+2)]
이때, [eqn: lim_{x`->`1-} h left(x right)=`-12], [eqn: h(1)=3]이므로 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값은 없다.	(거짓)

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{x&& LEFT ( x< it -1 ~ 또는 ~ x>1 RIGHT )#f LEFT ( x RIGHT )&& LEFT ( -1 LEQ x LEQ 1 RIGHT )}}]

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = lim _{t ``->`` 0+} {} g LEFT ( x+t RIGHT ) TIMES lim _{t ``->`` 2+} {} g LEFT ( x+t RIGHT )]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: h LEFT (1 RIGHT )=3] ㄴ. 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: g LEFT (x RIGHT )]가 닫힌구간 [eqn: LEFT [-1,`` 1 RIGHT ]]에서 감소하고 [eqn: g LEFT (-1 RIGHT )=`-2]이면 함수 [eqn: h LEFT (x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

04 수2	02 함수의 연속성
02 연속함수의 성질과 활용
07 활용2 (기타 정의된 함수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 21

좌표평면에 세 점 [eqn: {rm{O}} it (0,``0)], [eqn: {rm{A}} it ( sqrt{2},`` 0)], [eqn: {rm{B}} it (0,`` sqrt{2})]가 있다.

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: {rm{A}} it ( sqrt{2},`` 0)], [eqn: {rm{B}} it (0,`` sqrt{2})]를 지나는 직선을 [eqn: l]이라 할 때, 직선 [eqn: l]의 방정식은 [eqn: x+y- sqrt{2}=0]이고

원의 중심 [eqn: {rm{O}} it]와 직선 [eqn: l]사이의 거리는 [eqn: rm 1]이다.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=2]이므로 원 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it]와 직선 [eqn: l]사이의

거리를 [eqn: h]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} times 2 times h=h]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]의 넓이가 자연수가 되도록

하는 점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수는 [eqn: h]가 자연수가 되도록 하는

점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수와 같다.

ㄱ. [eqn: t={1} over {2}]일 때,
중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 원 위의 점 중 [eqn: h]가 자연수가 되는 경우는 [eqn: h=1]인 경우뿐이다. [eqn: h=1]이 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이므로
[eqn: f left({1} over {2} right)=2](참)

ㄴ. [eqn: t=1]일 때,
중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]인 원 위의 점 중 [eqn: h]가 자연수가 되는 경우는 [eqn: h=1]인 경우와 [eqn: h=2]인 경우이다.
[eqn: h=1]이 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이고
[eqn: h=2]가 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: f(1)=3]

[eqn: 1<t<2]일 때,
중심이 원점이고 반지름의 길이가 [eqn: t]인 원 위의 점 중 [eqn: h]가 자연수가 되는 경우는 [eqn: h=1]인 경우와 [eqn: h=2]인 경우이다.
[eqn: h=1]이 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이고
[eqn: h=2]가 되는 원 위의 점의 개수는 [eqn: rm 2]이므로
[eqn: lim _{t ``rarrow`` 1+} f(t)=4]
[eqn: lim _{t ``rarrow`` 1+} f(t) neq f(1)](참)

ㄷ. ㄴ과 같은 방법으로 구간 [eqn: (0,``4)]에서 함수 [eqn: f(t)]를 구하면
[eqn: f(t)= {cases{2&&(0<t<1)#3&&(t = 1)#4&&(1<t<2)#6&&(t=2)#8&&(2<t<3)#10&&(t=3)#12&&(3<t<4)}}]
함수 [eqn: f(t)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 0<a<4]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 [eqn: a]의 개수는 [eqn: rm 3]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

점 [eqn: {rm{O}} it]를 중심으로 하는 원 [eqn: C]의 반지름의 길이가 [eqn: t]일 때, 삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]의 넓이가 자연수인 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: {rm{P}} it]의 개수를 함수 [eqn: f(t)]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른  것은? (단, 점 [eqn: {rm{P}} it]는 직선 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 있지 않다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f left({1} over {2} right)=2] ㄴ. [eqn: lim _{t ``rarrow`` 1+} f(t) neq f(1)] ㄷ. [eqn: 0<a<4]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t=a]에서 불연속인 [eqn: a]의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

좌표평면 위에 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: {1}{{from^2021^7^경찰대^중}}]인 원 [eqn: C]와 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 3 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 0 ,```` -1 RIGHT )]이 있다.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

직선 [eqn: rmAB]에서 가장 먼 원 위의 점 [eqn: {rm X]까지의 거리는 [eqn: 8over5]이고 그때의 넓이는 [eqn: 4]이다.

반대편의 가장 먼 점 [eqn: {rm X]까지의 거리는 [eqn: 2over5]이고, 그때의 넓이는 [eqn: 1]이다.

즉, 선분 [eqn: rmbarAB = sqrt { 3^2 +4^2 }=5]이고 삼각형 [eqn: rmABX]의 넓이의 최댓값이 [eqn: 4], 최솟값이 [eqn: 1]이므로 원 위의 모든 점이 집합의 원소가 될 수 있다.

따라서 [eqn: t]의 범위에 따라 [eqn: f(t)]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: f(t)=cases{ 4 && &(0<t<1)#3 &&&(t=1)#2 &&&(1<t<4)#1&&&(t=4)]

따라서 불연속이 되는 점은 [eqn: t][eqn: =][eqn: 1 ,```` 4]이므로 불연속인 모든 [eqn: t]의 합은 [eqn: 1+4=5]

실수 [eqn: t] ([eqn: 0<t LEQ 4])에 대하여 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]를 집합

[eqn: LEFT { X left |`` X]는 원 [eqn: C] 위의 점이고, 삼각형 [eqn: rmABX]의 넓이는 [eqn: LEFT. t RIGHT }]

의 원소의 개수라 하자. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]가 연속하지 않은 모든 [eqn: t]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

좌표평면에서 정삼각형 [eqn: {rmABC }]에 내접하는 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: S]가 있다. 실수 [eqn: t ``(0 le t le 1)]에 대하여 삼각형 [eqn: rmABC] 위의 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: S]의 거리가 [eqn: t]인 점 [eqn: rmP]의 개수를 [eqn: f(t)]라 하자. 함수 [eqn: f(t)]가 [eqn: t=k]에서 불연속인 [eqn: k]의 개수를 [eqn: a], [eqn: lim_{t ``->`` 1- }{f(t)}=b]라 할 때, [eqn: a+b]의 값은? (여기서, 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: S] 위의 점 [eqn: rmX]에 대하여 선분 [eqn: rmPX]의 길이의 최솟값이다.)

[정답] ③

[해설]

원에서 거리가 [eqn: t ````(0 le t le 1)]인 삼각형 [eqn: rmABC] 위의 점 [eqn: rmP]의 개수를 [eqn: f(t)]라 하므로 다음과 같이 나누어볼 수 있다.

(ⅰ) [eqn: t=0]일 때
위의 그림에서 원 [eqn: S]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f left(t right)=3]

(ⅱ) [eqn: 0<t<1]일 때
위의 그림과 같이 중심이 원 [eqn: S]와 같고, 반지름이 [eqn: 1+t]인 원 [eqn: S_1]과 삼각형 [eqn: rmABC]의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f left(t right)=6]

(ⅲ) [eqn: t=1]일 때
위의 그림과 같이 중심이 원 [eqn: S]와 같고, 반지름이 [eqn: 2]인 원 [eqn: S_2]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 교점의 개수와 같으므로 [eqn: f left(t right)=3]

이상에서 [eqn: f(t) = cases { 3~&left(t= 0right)# 6& left( 0 <t<1right)#3&left(t=1right)]

따라서 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t=0] 또는 [eqn: t=1]에서 불연속이므로 불연속점의 개수 [eqn: a]는 [eqn: a=2]

또, [eqn: lim_{t ``->`` 1- }{f(t)}= 6]이므로 [eqn: b=6]

[eqn: therefore][eqn: a+b =2+6 =8 from 넘버41]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

04 수2	02 함수의 연속성
03 사잇값 정리
03 사잇값 정리2 (활용)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 4

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {x-2}=4], [eqn: lim _{x ``rarrow`` 4} {f(x)} over {x-4}=2]를 만족시키는 다항함수 [eqn: f(x)]에 대하여 방정식 [eqn: f(x)=0]이 구간 [eqn: [2,``4]]에서 적어도 [eqn: m]개의 서로 다른 실근을 갖는다. [eqn: m]의 값은?

[정답] ③

[해설]

극한값이 존재하면 [eqn: f(x)=(x-2)(x-4) g(x)]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 2} {f(x)} over {x-2}=4]에서 [eqn: g(2)=IT-2]

[eqn: lim _{x ``rarrow`` 4} {f(x)} over {x-4}=2]에서 [eqn: g(4)=1]

다항식 [eqn: g(x)]에 대하여 구간 [eqn: [2,``4]]에서

방정식 [eqn: g(x)=0]는 적어도 한개의 실근을 갖는다.

한편 [eqn: x=2], [eqn: x=4]는 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근이므로 구간 [eqn: [2,``4]]에서 방정식 [eqn: f(x)=0]은 적어도 [eqn: rm 3]개의 실근을 갖는다.

[eqn: therefore~m=3]

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[수학2] [01 극한, 연속성] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.28

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 3]

[정답] ④

[정답] [eqn: 11]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 16]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 28 }]

[정답] [eqn: 226]

[정답] ④

[정답] [eqn: 4]

[정답] ②

[정답] [eqn: 6]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: 141]

[정답] [eqn: 6]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 13]

[정답] [eqn: 19]

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 8]

[정답] [eqn: 44]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] ③

[정답] ③

[수학2] [01 극한, 연속성] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.28