		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	04	[수학1] [4로그함수] 교사평경 최근 3개년

03 수1	04 로그함수
01 로그함수의 그래프
02 로그함수의 그래프2 (평행이동과 대칭이동)

교사평경3		년도별경향
04		[수학1] [4로그함수] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [4로그함수] 교사평경 최근 3개년		04

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 8

함수[eqn: {y=log _{2} x}{{from^2020^06^부산고2^}}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 9 ,```` 3 RIGHT )]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는 [eqn: y=log _{2} LEFT ( x-a RIGHT ) +1]이다.

이 함수의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 9 ,```` 3 RIGHT )]을 지나므로 [eqn: 3][eqn: =log _{2} LEFT ( 9-a RIGHT ) +1]에서 [eqn: 2][eqn: =log _{2} LEFT ( 9-a RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: 9-a][eqn: =4], [eqn: a=5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 7

함수 [eqn: y= log _{3} x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 5]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: (5,`` a)]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y= log _{3} x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: rm 5]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는 [eqn: y= log _{3}(x-2)+5]이다.

이 함수의 그래프가 점 [eqn: (5,`` a)]을 지나므로 [eqn: a= log _{3}(5-2)+5]에서 [eqn: a=1+5]이다.
따라서 [eqn: a=6]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

03 수1	04 로그함수
01 로그함수의 그래프
05 로그함수의 그래프의 해석1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 6

함수[eqn: {y=a+log _{2} x}{{from^2020^04^서울고3나^}}]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 4 ,```` 7 RIGHT )]을 지날 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 7][eqn: =a+log _{2} 4][eqn: =a+2]에서 [eqn: a=5]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 9

함수[eqn: {y=2 ^{x} -1}{{from^2020^06^부산고2^}}]의 그래프의 점근선과 함수 [eqn: y=log _{2} LEFT ( x+k RIGHT )]의 그래프가 만나는 점이 [eqn: y]축 위에 있을 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y][eqn: =2 ^{x} -1]의 그래프의 점근선의 방정식이 [eqn: y= it -1]이므로 [eqn: y]축과의 교점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0 ,```` -1 RIGHT )]이다.

따라서 함수 [eqn: y][eqn: =log _{2} LEFT ( x+k RIGHT )]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 0 ,```` -1 RIGHT )]을 지난다.

그러므로 [eqn: -1][eqn: =log _{2} k]이고 [eqn: k= {1} over {2}]이다.

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 29

자연수[eqn: {k}{{from^2020^06^부산고2^}}] ([eqn: k LEQ 39])에 대하여 함수

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[해설]

[eqn: x]의 값이 증가할 때 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 값은 감소하므로 조건 (가)와 (나)를 만족하기 위해서는 두 교점이 제 [eqn: 2]사분면과 제 [eqn: 4]사분면에 각각 한 개씩 존재하야 한다.

따라서 [eqn: -8<f LEFT ( 0 RIGHT ) <8], [eqn: f LEFT ( -8 RIGHT ) >0], [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) <0]

(ⅰ) [eqn: -8<f LEFT ( 0 RIGHT ) <8]일 때,
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =2log _{{1} over {2}} LEFT ( -7+k RIGHT ) +2]이므로 [eqn: -8<2 log _{{1} over {2}} LEFT ( -7+k RIGHT ) +2<8]에서 [eqn: {57} over {8} <k<39]

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( -8 RIGHT ) >0]일 때,
[eqn: f LEFT ( -8 RIGHT )][eqn: =2 log _{{1} over {2}} LEFT ( -15+k RIGHT ) +2]이므로 [eqn: 2 log _{{1} over {2}} LEFT ( -15+k RIGHT ) +2>0]에서 [eqn: k<17]

(ⅲ) [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) <0]일 때,
[eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )][eqn: =2 log _{{1} over {2} } LEFT ( 1+k RIGHT ) +2]이므로 [eqn: 2 log _{{1} over {2}} LEFT ( 1+k RIGHT ) +2<0]에서
[eqn: k>1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해서 [eqn: {57} over {8} <k<17]이다.

따라서 [eqn: k]의 최댓값 [eqn: M=16], 최솟값 [eqn: m=8]이므로

[eqn: M+m=24]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 log _{{1} over {2}} LEFT ( x-7+k RIGHT ) +2]

의 그래프와 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =64]가 만나는 서로 다른 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a ,```` b]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: k]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M+m]의 값을 구하시오.

(가) [eqn: ab<0]

(나) [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) f LEFT ( b RIGHT ) <0]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 16

함수[eqn: {y=log _{2} x}{{from^2020^06^부산고2^}}]의 그래프 위에 서로 다른 두 점 [eqn: rmA ,```` B]가 있다. 선분 [eqn: rmAB]의 중점이 [eqn: x]축 위에 있고, 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1 ``:`` 2]로 외분하는 점이 [eqn: y]축 위에 있을 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

[정답] ②

[해설]

두 양수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 [eqn: rm A it LEFT ( a ,```` log _{2} a RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( b ,```` log _{2} b RIGHT )]라 하자.

선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: LEFT ( {a+b} over {2} ,```` {log _{2} a+log _{2} b} over {2} RIGHT )]가 [eqn: x]축 위에 있으므로 [eqn: {log _{2} a+log _{2} b} over {2} =0]이다.

따라서 [eqn: log _{2} ab][eqn: =0]이고 [eqn: ab=1]이다.

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1 ``:`` 2]로 외분하는 점 [eqn: LEFT ( {b-2a} over {1-2} ,```` {log _{2} b-2 log _{2} a} over {1-2} RIGHT )]가

[eqn: y]축 위에 있으므로 [eqn: {b-2a} over {1-2}][eqn: =0]이고 [eqn: b=2a]이다.

따라서 [eqn: a= {sqrt {2}} over {2}], [eqn: b= sqrt {2}]이고, [eqn: rm A it LEFT ( {sqrt {2}} over {2} ,```` - {1} over {2} RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( sqrt {2} ,```` {1} over {2} RIGHT )]이다.

그러므로 선분 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: {sqrt {6}} over {2}]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: {sqrt {6}} over {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: {sqrt {10}} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 15

그림과 같이 [eqn: 1`]보다 큰 실수 [eqn: k`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y= {rm {rm log` } it } it _{ 2} LEFT | kx RIGHT |]와 [eqn: y= {rm {rm log` } it } it _{2} LEFT ( x+4 RIGHT )]가 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA], [eqn: rm B`]라 하고, 점 [eqn: rmB`]를 지나는 곡선 [eqn: y= {rm log` } it _{2} LEFT ( -x+m RIGHT )]이 곡선 [eqn: y= {rm log` } it _{ 2} LEFT | kx RIGHT |]와 만나는 점 중 [eqn: rmB`]가 아닌 점을 [eqn: rmC`]라 하자. 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B], [eqn: rm C`]의 [eqn: x`]좌표를 각각 [eqn: x _{1}], [eqn: x _{2}], [eqn: x _{3}`]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: x _{1} <x _{2}`]이고, [eqn: m`]은 실수이다.)

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{1} RIGHT | =log _{2} (x _{1} +4)]에서 [eqn: x _{1} <0]이므로
[eqn: -kx _{1} =x _{1} +4 ,~ x _{1} = {-4} over {k+1}]
[eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{2} RIGHT | =log _{2} (x _{2} +4)]에서 [eqn: x _{2} >0]이므로
[eqn: kx _{2} =x _{2} +4 ,~ x _{2} = {4} over {k-1}]
[eqn: x _{2} =-2x _{1}]에서
[eqn: {4} over {k-1} = {8} over {k+1}], [eqn: k+1=2k-2 ,~ k=3] (참)

ㄴ. [eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{2} RIGHT | =log _{2} (-x _{2} +m)]에서 [eqn: x _{2} >0]이므로
[eqn: kx _{2} =-x _{2} +m],
[eqn: m=(k+1)x _{2} = {4(k+1)} over {k-1}]
[eqn: log _{ 2} LEFT | kx _{3} RIGHT | =log _{2} (-x _{3} +m)]에서 [eqn: x _{3} <0]이므로
[eqn: -kx _{3} =-x _{3} +m],
[eqn: x _{3}][eqn: = {-m} over {k-1}][eqn: = {-4(k+1)} over {(k-1) ^{2}}]
그러므로
[eqn: x _{1} x _{3}][eqn: = {-4} over {k+1} TIMES {-4(k+1)} over {(k-1) ^{2}}][eqn: = LEFT ( {4} over {k-1} RIGHT ) ^{2}][eqn: =x _{2} ` ^{2}] (참)

ㄷ. [eqn: x _{2} ` ^{2} =x _{1} x _{3}]에서 [eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {x _{3}} over {x _{2}}]
[eqn: {x _{2}} over {x _{1}} = {-k-1} over {k-1} =-1- {2} over {k-1} < -1]
[eqn: {x _{2}} over {x _{1}} =r ( r < -1)]이라 하면 [eqn: x _{2} =x _{1} r ,~ x _{3} =x _{1} r ^{2}]
세 점 [eqn: rm { A,~ B,~ C }]의 [eqn: y]좌표를 각각 [eqn: y _{1} ,~ y _{2} ,~ y _{3}]이라 하면
두 직선 [eqn: rm { AB ,~ AC }]의 기울기의 합이 [eqn: 0]이므로
[eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}} + {y _{3} -y _{1}} over {x _{3} -x _{1}}]
[eqn: = {log _{2} LEFT | kx _{2} RIGHT | -log _{2} LEFT | kx _{1} RIGHT |} over {x _{1} (r-1)} + {log _{2} LEFT | kx _{3} RIGHT | -log _{2} LEFT | kx _{1} RIGHT |} over {x _{1} (r ^{2} -1)}]
[eqn: = {log _{2} LEFT | {x _{2}} over {x _{1}} RIGHT |} over {x _{1} (r-1)} + {log _{2} LEFT | {x _{3}} over {x _{1}} RIGHT |} over {x _{1} (r ^{2} -1)}]
[eqn: = {log _{2} (-r)} over {x _{1} (r-1)} + {2 log _{2} (-r)} over {x _{1} (r ^{2} -1)}][eqn: =0]
에서 [eqn: 1+ {2} over {r+1} =0 ,~ r=-3]
[eqn: x _{2} =x _{1} r]에서
[eqn: {4} over {k-1} = {12} over {k+1}], [eqn: k+1=3k-3], [eqn: k=2]이고,
[eqn: m= {4(k+1)} over {k-1} =12]이므로 [eqn: m+k ^{2} =16] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x _{2}=`-2x _{1}`]이면 [eqn: k=3`]이다. ㄴ. [eqn: x _{2} `^{2}=x _{1} x _{3}] ㄷ. 직선 [eqn: rmAB`]의 기울기와 직선 [eqn: rmAC`]의 기울기의 합이 [eqn: 0`]일 때, [eqn: m+k ^{2} =19]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 10

[eqn: n GEQ 2]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선

[정답] ②

[해설]

[eqn: y=log _{n} x], [eqn: y=-log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) +1]을 연립하면

[eqn: log _{n} x=-log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) +1], [eqn: log _{n} x+log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) =1]

[eqn: log _{n} x LEFT ( x+3 RIGHT ) =1]

즉, [eqn: x LEFT ( x+3 RIGHT ) =n]이므로 [eqn: x^2 +3x -n=0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =x^2 +3x -n]이라 하면 문제 조건에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 근이 [eqn: 1]보다 크고 [eqn: 2]보다 작은 근이 존재한다는 의미이므로 [eqn: f(1)<0 ,````f(2) >0]이어야 한다.

따라서 [eqn: f(1) = 4-n <0, ````f(2) =4+6-n >0]

즉, [eqn: n>4,````n<10]이므로 만족하는 [eqn: n]의 범위는 [eqn: 4<n<10]

따라서 만족하는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: n=5 ,```` 6 ,```` 7 ,```` 8 ,```` 9]

구하고자 하는 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 5+6+7+8+9=35]

[eqn: y=log _{n} x], [eqn: y=-log _{n} LEFT ( x+3 RIGHT ) +1]

이 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: 1]보다 크고 [eqn: 2]보다 작도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 9

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: y=log _{2} LEFT ( x-a RIGHT ) +1]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 7 ,```` b RIGHT )]를 지나고 점근선이 직선 [eqn: x=3]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=log _{2} LEFT ( x-a RIGHT ) +1]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 7 ,```` b RIGHT )]를 지나므로 [eqn: b=log _{2} LEFT ( 7-a RIGHT ) +1]이다.

함수 [eqn: y=log _{2} LEFT ( x-a RIGHT ) +1]의 그래프의 점근선이 [eqn: x=3]이므로 [eqn: a=3]이고, [eqn: b=log _{2} LEFT ( 7-3 RIGHT ) +1=3]이다.

따라서 [eqn: a+b=6]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 28

두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 좌표평면 위에 두 점 [eqn: {rmA} LEFT ( a ,```` log _{4} b RIGHT )], [eqn: {rmB} LEFT ( 1 ,```` log _{8} root {4} of {27} RIGHT )]이 있다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2 ``:`` 1]로 외분하는 점이 곡선 [eqn: y=-log _{4} LEFT ( 3-x RIGHT )] 위에 있고, 집합

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 2 ``:`` 1]로 외분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( {2-a} over {2-1} ,```` {2log _{8} root {4} of {27} -log _{4} b} over {2-1} RIGHT )]이고

[eqn: 2log _{8} root {4} of {27} -log _{4} b][eqn: =log _{8} sqrt {27} -log _{4} b]
[eqn: =log _{4} 3-log _{4} b]
[eqn: =log _{4} {3} over {b}]

이므로 [eqn: LEFT ( {2-a} over {2-1} ,```` {2log _{8} root {4} of {27} -log _{4} b} over {2-1} RIGHT ) = LEFT ( 2-a ,```` log _{4} {3} over {b} RIGHT )]이다.

이 점이 곡선 [eqn: y=-log _{4} LEFT ( 3-x RIGHT )]위에 있으므로

[eqn: log _{4} {3} over {b} =-log _{4} LEFT ( a+1 RIGHT ) =log _{4} {1} over {a+1}]

따라서 [eqn: b=3 LEFT ( a+1 RIGHT )]이다.

집합 [eqn: left{` n ``|`` b<2 ^{n} {times}a{le}32b ,```` n]은 정수[eqn: `right}]의 원소의 개수는 [eqn: 5]이다.

[eqn: left{` n ``|`` b<2 ^{n} {times}a{le}32b ,```` n]은 정수[eqn: `right}]

[eqn: = LEFT { m ,```` m+1 ,```` m+2 ,```` m+3 ,```` m+4 RIGHT }][eqn: (m]은 정수[eqn: )]

라 하면 [eqn: m+ LEFT ( m+1 RIGHT ) + LEFT ( m+2 RIGHT ) + LEFT ( m+3 RIGHT ) + LEFT ( m+4 RIGHT ) =25]이므로  [eqn: m=3]이다.

그러므로 [eqn: 2{le}log _{2} {b} over {a} <3]이다.

[eqn: 4le {b} over {a} <8]이고 [eqn: b=3 LEFT ( a+1 RIGHT )]이므로 [eqn: {3} over {5} <a{le}3]이다.

그러므로 [eqn: a=1], [eqn: b=6] 또는 [eqn: a=2], [eqn: b=9]
또는 [eqn: a=3], [eqn: b=12]이다.

따라서 [eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: 15]

[eqn: LEFT {` n ``|`` b<2 ^{n} TIMES a LEQ 32b ,```` n RIGHT .]은 정수[eqn: ` RIGHT }]

의 모든 원소의 합은 [eqn: 25]이다. [eqn: a+b]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 8

[eqn: 2]보다 큰 상수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmP]는 두 곡선 [eqn: y=log _{2} LEFT ( -x+k RIGHT ) ,`y=-log _{2} x]의 교점 이므로

[eqn: log _{2} LEFT ( -x _{1} +k RIGHT ) =-log _{2} x _{1} ,`-x _{1} +k= {1} over {x _{1}}]

즉, [eqn: x _{1} ^{2} -kx _{1} +1=0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

점 [eqn: rmR]는 두 곡선 [eqn: y=-log _{2} LEFT ( -x+k RIGHT ) ,`y=log _{2} x]의 교점 이므로

[eqn: -log _{2} LEFT ( -x _{3} +k RIGHT ) =log _{2} x _{3} ,`` {1} over {-x _{3} +k} =x _{3}]

즉, [eqn: x _{3}^{2} -kx _{3} +1=0]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: x _{1} ,`x _{3}]은 이차방정식 [eqn: x ^{2} -kx+1=0]의 서로 다른 두 실근이다.

이차방정식의 근과 계수의 관계에서 [eqn: x _{1} x _{3} =1]

그러므로 [eqn: x _{3} -x _{1} =2 sqrt {3}]에서

[eqn: LEFT ( x _{1} +x _{3} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( x _{3} -x _{1} RIGHT ) ^{2} +4x _{1} x _{3} = LEFT ( 2 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} +4 TIMES 1=16]

따라서 [eqn: x _{1} +x _{3} =4]

[eqn: y][eqn: = LEFT | `log` _{2} ` LEFT ( -x+k RIGHT ) ` RIGHT |], [eqn: y][eqn: = LEFT | `log` _{2} `x` RIGHT |]

가 만나는 세 점 [eqn: rmP,~Q,~R]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x _{1} ,~x _{2} ,~x _{3}]이라 하자. [eqn: x _{3} -x _{1}][eqn: =2 sqrt {3}]일 때, [eqn: x _{1} +x _{3}]의 값은?
(단, [eqn: x _{1} <x _{2} <x _{3}])

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: {15} over {4}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 9

곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x RIGHT ) RIGHT | `]를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]라 하자. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x+8 RIGHT ) RIGHT | ``]이 세 점에서 만나고 세 교점의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: 18`]일 때, [eqn: k`]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f left(x right)=left|`log`_2`left(x-k right)`right|]이므로

[eqn: left|`log`_2`left(x-k right)`right|=left|`log`_2`left(-x+8right)`right|]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅰ) [eqn: log`_2`left(x-k right)=log`_2`left(-x+8right)]일 때,
[eqn: x-k=it-x+8]
[eqn: therefore][eqn: x={k+8}over2]

(ⅱ) [eqn: log`_2`left(x-k right)=it-log`_2`left(-x+8right)]일 때,
[eqn: log`_2`left(x-k right)left(-x+8 right)=0]
[eqn: -x^2 +left(k+8right)x-8k=1]
[eqn: x^2 -left(k+8right)x+8k-1=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x+8 RIGHT ) RIGHT |]이 세 점에서 만나기 위해서는 방정식 ㉠이 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 이차방정식 ㉡이 서로 다른 두 실근을 갖는다. 이 두 실근을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 근과 계수의 관계에서
[eqn: alpha+beta=k+8]

(ⅰ), (ⅱ)에서 세 실근의 합이 [eqn: 18]을 만족해야 하므로

[eqn: {k+8}over2 +left(k+8right)=18], [eqn: k+8= 12]

[eqn: therefore][eqn: k=4]

[다른 풀이]

[eqn: f left(x right)=left|`log`_2`left(x-k right)`right|]이므로 [eqn: y=left|`log`_2`left(-x+8 right)`right|]과 [eqn: x={k+8}over2]에 대하여 대칭이다.

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 곡선 [eqn: y= LEFT | log` _{2} ` LEFT ( -x+8 RIGHT ) RIGHT |]이 세 점에서 만나므로 교점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta], [eqn: gamma] ([eqn: alpha<beta<gamma])라 하면

[eqn: beta={k+8}over2], [eqn: {alpha+gamma}over2 =k+8]

을 만족한다.

따라서 [eqn: alpha+beta+gamma= 3over2 left(k+8right)=18], [eqn: k+8= 12]

[eqn: therefore][eqn: k=4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 11

그림과 같이 곡선 [eqn: y= log _{4} x] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]와 곡선 [eqn: y=- log _{4}(x+1)] 위의 점 [eqn: {rm{B}} it]가 있다.

[정답] ③

[해설]

곡선 [eqn: y= log _{4} x] 위의 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: rm 1]이므로 점 [eqn: {rm{A}} it]의 좌표는 [eqn: (4,``1)]

선분 [eqn: {rm{AB}} it]와 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하면 [eqn: x]축이 삼각형 [eqn: {rm{OAB}} it]의 넓이를 이등분하므로 점 [eqn: {rm{C}} it]는 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점이다.

점 [eqn: {rm{B}} it]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: -1]이고

점 [eqn: {rm{B}} it]는 곡선 [eqn: y=- log _{4}(x+1)] 위의 점이므로

점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표는 [eqn: (3,``-1)]

따라서 [eqn: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{(3-0)^{2}+(-1-0)^{2}}= sqrt{10}]

점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: rm 1]이고, [eqn: x]축이 삼각형 [eqn: {rm{OAB}} it]의 넓이를

이등분할 때, 선분 [eqn: {rm{OB}} it]의 길이는? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다. )

① [eqn: sqrt{6}]	② [eqn: 2 sqrt{2}]	③ [eqn: sqrt{10}]

④ [eqn: 2 sqrt{3}]	⑤ [eqn: sqrt{14}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 10

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 좌표를 각각 [eqn: left(x_{1},`` y_{1} right)], [eqn: left(x_{2},`` y_{2} right)]라 하자.

[eqn: - log _{2}(-x)= log _{2}(x+2 a)]에서

[eqn: log _{2}(x+2 a)+ log _{2}(-x)=0]

[eqn: log _{2} left{ -x(x+2 a) it right} =0]

[eqn: -x(x+2 a)=1]

[eqn: x^{2}+2 a x+1=0 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이차방정식 ㉠의 두 실근이 [eqn: x_{1}], [eqn: x_{2}]이므로

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: x_{1}+x_{2}=-2 a], [eqn: x_{1} x_{2}=1]

이다. 이때

[eqn: y_{1}+y_{2}][eqn: =- log _{2} left(-x_{1} right)- log _{2} left(-x_{2} right)]
[eqn: =- log _{2} x_{1} x_{2}]
[eqn: =- log _{2} 1=0]

이므로 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점의 좌표는 [eqn: (-a,`` 0)]이다.

선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점이 직선 [eqn: 4 x+3 y+5=0] 위에 있으므로 [eqn: -4 a+5=0]에서 [eqn: a={5} over {4}]

[eqn: a={5} over {4}]를 ㉠에 대입하면

[eqn: x^{2}+{5} over {2} x+1=0], [eqn: 2 x^{2}+5 x+2=0]

[eqn: (x+2)(2 x+1)=0]

[eqn: x=-2] 또는 [eqn: x=-{1} over {2}]

따라서 두 교점의 좌표는 [eqn: (-2,``-1)], [eqn: left(-{1} over {2},`` 1 right)]이고

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{ left({3} over {2} right)^{2}+2^{2}}={5} over {2}]

[eqn: y=- log _{2}(-x)], [eqn: y= log _{2}(x+2 a)]

가 만나는 두 점을 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하자. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점이 직선 [eqn: 4 x+3 y+5=0] 위에 있을 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 길이는?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {7} over {4}]	③ [eqn: rm 2]

④ [eqn: {9} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

03 수1	04 로그함수
01 로그함수의 그래프
06 로그함수의 그래프의 해석2 (길이와 넓이)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 19

그림과 같이 실수 [eqn: {t LEFT ( 1<t<100 RIGHT )}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에 대하여 점 [eqn: rmP LEFT ( 0 ,```` itt RIGHT )]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmQ]라 하자. 점 [eqn: rmR LEFT ( 0 ,```` it2t RIGHT )]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmS]라 하자. 사각형 [eqn: rmABRP]의 넓이를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )], 사각형 [eqn: rmAQSB]의 넓이를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, [eqn: {f LEFT ( t RIGHT )} over {g LEFT ( t RIGHT )}]의 값이 자연수가 되도록 하는 모든 [eqn: t]의 값의 곱은?

[정답] ③

[해설]

두 점 [eqn: rmA ,```` B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( log _{2} t ,```` t RIGHT ) ,```` LEFT ( log _{2} 2t ,```` 2t RIGHT )]이므로 두 사각형의 넓이 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) ,```` g LEFT ( t RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( log _{2} t+log _{2} 2t RIGHT ) LEFT ( 2t-t RIGHT ) = {t} over {2}` log _{2} 2t ^{2}]

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} LEFT ( t+2t RIGHT ) LEFT ( log _{2} 2t-log _{2} t RIGHT ) = {3} over {2} t]

[eqn: {f LEFT ( t RIGHT )} over {g LEFT ( t RIGHT )} = {1} over {3} ` log _{2} 2t ^{2}]

[eqn: {1} over {3} ` log _{2} 2t ^{2} =n] ([eqn: n]은 자연수)라 하면 [eqn: 2t ^{2} =2 ^{3n}]이므로

[eqn: t=2 ^{{3n-1} over {2}}]

[eqn: 1<t<100]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4]

따라서 [eqn: t]의 값은 [eqn: 2 ,```` 2 ^{{5} over {2}} ,```` 2 ^{4} ,```` 2 ^{{11} over {2}}]이므로 모든 [eqn: t]의 값의 곱은 [eqn: 2 ^{13}]

① [eqn: 2 ^{11}]	② [eqn: 2 ^{12}]	③ [eqn: 2 ^{13}]

④ [eqn: 2 ^{14}]	⑤ [eqn: 2 ^{15}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 20

[eqn: {1}{{from^2020^06^부산고2^}}]보다 큰 실수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log _{a} x], [eqn: y= it ` log _{a+2} x]가 직선 [eqn: y=2]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하자. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{a+2} x]와 만나는 점을 [eqn: rmC], 점 [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{a} x]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 곡선 [eqn: y= log _{a} x]와 직선 [eqn: y=2]가 점 [eqn: rmA]에서 만나므로 [eqn: log _{a} x=2]이고 [eqn: x=a ^{2}]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: rm A it LEFT ( a ^{2} ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( a ^{2} ,```` log _{a+2} a ^{2} RIGHT )]에서
[eqn: 1][eqn: = {bar{rmAC}}][eqn: =2-log _{a+2} a ^{2}]이므로 [eqn: log _{a+2} a ^{2} =1]이다.
[eqn: a+2=a ^{2}], [eqn: a ^{2} -a-2=0]에서
[eqn: a= it -1] 또는 [eqn: a=2]이고 [eqn: a>1]이므로 [eqn: a=2]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: rm A it LEFT ( a ^{2} ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( LEFT ( a+2 RIGHT ) ^{2} ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( a ^{2} ,```` log _{a+2} a ^{2} RIGHT )],
[eqn: rm D it LEFT ( LEFT ( a+2 RIGHT ) ^{2} ,```` log _{a} LEFT ( a+2 RIGHT ) ^{2} RIGHT )]에서 [eqn: log _{a} LEFT ( a+2 RIGHT ) =t]라 하면

[eqn: {S _{2}} over {S _{1}}][eqn: = {{1} over {2} TIMES {bar{rmAB}} TIMES {bar{rmBD}}} over {{1} over {2} TIMES {bar{rmAB}} TIMES {bar{rmAC}}}][eqn: = {{bar{rm BD it}}} over {{bar{rm AC it}}}]
[eqn: = {2 log _{a} LEFT ( a+2 RIGHT ) -2} over {2-2 log _{a+2} a}]
[eqn: = {log _{a} LEFT ( a+2 RIGHT ) -1} over {1-log _{a+2} a}]
[eqn: = {t-1} over {1- {1} over {t}}]
[eqn: = {t LEFT ( t-1 RIGHT )} over {LEFT ( t-1 RIGHT )}]
[eqn: =t]
[eqn: =][eqn: log _{a} LEFT ( a+2 RIGHT )]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: a ^{2}]이다. ㄴ. [eqn: {bar{rmAC}}][eqn: =1]이면 [eqn: a=2]이다. ㄷ. 삼각형 [eqn: rmACB]와 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,```` S _{2}]라 할 때, [eqn: {S _{2}} over {S _{1}}][eqn: =log _{a} LEFT ( a+2 RIGHT )]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 28

그림과 같이 [eqn: {1}{{from^2020^04^서울고3가^}}]보다 큰 실수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y= left |`` log _{a} x ``right |]가 직선 [eqn: y=k]([eqn: k>0])과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하고, 직선 [eqn: y=k]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rm {bar{OC}} = {bar{CA}} = {bar{AB}}]일 때, 곡선 [eqn: y= left |`` log _{a} x ``right |]와 직선 [eqn: y=2 sqrt {2}]가 만나는 두 점 사이의 거리는 [eqn: d]이다. [eqn: 20d]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

[정답] [eqn: bold { 75 }]

[해설]

[eqn: rm {bar{OC}} = {bar{CA}} = {bar{AB}}]이므로 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: LEFT ( k ,```` k RIGHT )]이고, 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2k ,```` k RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmA]는 곡선 [eqn: y= it -log _{a} x] 위의 점이므로

[eqn: k= it -log _{a} k]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

점 [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y= it -log _{a} x] 위의 점이므로

[eqn: k=log _{a} 2k]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: log _{a} 2k ^{2} =0]에서 [eqn: 2k ^{2} =1]이므로 [eqn: k= {sqrt {2}} over {2}]

곡선 [eqn: y= left |`` log _{a} x ``right |]와 직선 [eqn: y=2 sqrt {2}]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha ,```` beta]([eqn: alpha < beta])라 하면 [eqn: -log _{a} alpha =2 sqrt {2}]에서 [eqn: alpha =a ^{-2 sqrt {2}}]

[eqn: log _{a} beta =2 sqrt {2}]에서 [eqn: beta =a ^{2 sqrt {2}}]

㉡에서 [eqn: a ^{k} =2k]이므로 [eqn: a][eqn: = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{sqrt {2}}][eqn: =2 ^{{sqrt {2}} over {2}}]

[eqn: d][eqn: = beta it - alpha][eqn: =a ^{2 sqrt {2}} -a ^{-2 sqrt {2}}]
[eqn: = LEFT ( 2 ^{{sqrt {2}} over {2}} RIGHT ) ^{2 sqrt {2}} - LEFT ( 2 ^{{sqrt {2}} over {2}} RIGHT ) ^{-2 sqrt {2}}]
[eqn: =2 ^{2} -2 ^{-2}][eqn: = {15} over {4}]

따라서 [eqn: 20d][eqn: =20 TIMES {15} over {4}][eqn: =75]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 16

그림과같이 자연수 [eqn: {m}{{from^2020^03^경기고3나^}}]에 대하여 두 함수 [eqn: y=3 ^{x}], [eqn: y=log _{2} x]의 그래프와 직선 [eqn: y=m]이 만나는 점을 각각 [eqn: rmA _{itm} ,```` rmB _{itm}]이라 하자. 선분 [eqn: rmA _{itm} rmB _{itm}]의 길이 중 자연수인 것을 작은 수부터 크기순으로 나열하여 [eqn: a _{1} ,```` a _{2} ,```` a _{3} ,```` CDOTS]이라 할 때, [eqn: a _{3}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: m= 3^{ x}]에서 [eqn: x= log_3 m]이므로 [eqn: {\A} _{m} LEFT ( log _{3} m ,```` m RIGHT )]

[eqn: m= log_2 x]에서 [eqn: x= 2^m]이므로 [eqn: {\B} _{m} LEFT ( 2 ^{m} ,```` m RIGHT )]

그러므로 [eqn: bar{{\A}_m {\B}_m}][eqn: = 2^m - log_3 m]

[eqn: bar{{\A}_m {\B}_m}]이 자연수이기 위해서는 [eqn: m]과 [eqn: 2^{ m}]이 자연수이므로 [eqn: log_3 m]이 음이 아닌 정수이다.

그러므로 [eqn: m][eqn: =3^{ k}](단, [eqn: k]는 음이 아닌 정수이다.)

[eqn: m=3 ^{ 0}]일 때, [eqn: a_1][eqn: =2 ^{ 1} -log _{3} 1][eqn: =2]

[eqn: m=3 ^{ 1}]일 때, [eqn: a_2][eqn: =2 ^{ 3} -log _{3} 3][eqn: = 7]

[eqn: m=3 ^{ 2}]일 때, [eqn: a_3][eqn: =2 ^{ 9} -log _{3} 9][eqn: = 510]

따라서 [eqn: a _{3}][eqn: = 510]

[보충 설명]

위의 풀이에서 [eqn: bar{{\A}_m {\B}_m}]이 자연수이기 위해서는 [eqn: m][eqn: =3^{ k}]꼴임을 알 수 있다. 이제 [eqn: m]의 값이 [eqn: 3 ^{ n-1}]에서 [eqn: 3 ^{ n}]으로 증가하면 [eqn: 2^{ m} - log_3 m]의 값도 증가함을 보이자.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: LEFT ( 2 ^{ 3 ^{n}} -n RIGHT ) - LEFT { 2 ^{ 3 ^{n-1}} -(n-1) RIGHT }]

[eqn: =2 ^{ 3 ^{n}} -2 ^{ 3 ^{n-1}} -1]
[eqn: =2 ^{ 3 ^{n-1}} (2 ^{ 3} -1)-1]
[eqn: =7 TIMES 2 ^{ 3 ^{n-1}} -1]

[eqn: 3 ^{ n-1} GEQ 1]이므로 [eqn: 2 ^{ 3 ^{n-1}}][eqn: ge 2]이다.

그러므로 [eqn: 7 TIMES 2 ^{ 3 ^{n-1}} -1][eqn: >0]

따라서 [eqn: 2 ^{ 3 ^{n-1}} -(n-1)<2 ^{ 3 ^{n}} -n]이 성립한다.

① [eqn: 502]	② [eqn: 504]	③ [eqn: 506]

④ [eqn: 508]	⑤ [eqn: 510]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 10

두 곡선 [eqn: {y=log _{ 2} x }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}], [eqn: y=log _{ a} x][eqn: LEFT ( 0<a<1 RIGHT )]이 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm A]에서 만난다. 직선 [eqn: x=4]가 곡선 [eqn: y=log _{ 2} x]와 만나는 점을 [eqn: rm B], 곡선 [eqn: y=log _{ a} x]와 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하자. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이가 [eqn: {9} over {2}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: rmA(1 ,```` 0)], [eqn: rmB(4 ,```` 2)], [eqn: rmC(4 ,```` log _{a} 4)]에서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES (4-1) TIMES LEFT ( 2-log _{a} 4 RIGHT ) = {9} over {2}]

[eqn: log _{a} 4=-1]이므로 [eqn: a= {1} over {4}]

① [eqn: { 1} over { 16}]	② [eqn: {1} over {8}]	③ [eqn: {3} over {16}]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {5} over {16}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 14

함수[eqn: {y=log _{3} left |`` 2x ``right | }{{from^2020^03^경기고3가^}}]의 그래프와 함수 [eqn: y=log _{3} LEFT ( x+3 RIGHT )]의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하자. 점 [eqn: rmA]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]와 수직인 직선이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?
(단, 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표보다 작다.)

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: x<0]일 때의 교점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표는 방정식 [eqn: log _{3} LEFT ( -2x RIGHT )][eqn: =log _{3} LEFT ( x+3 RIGHT )]의 근이므로

[eqn: -2x=x+3], [eqn: 3x= it -3], [eqn: x= it -1]

따라서 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: rm A it LEFT ( -1 ,```` log _{3} 2 RIGHT )]

[eqn: x>0]일 때의 교점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 방정식 [eqn: log _{3} 2x][eqn: =log _{3} LEFT ( x+3 RIGHT )]의 근이므로 [eqn: 2x=x+3], [eqn: x=3]

따라서 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rm B it LEFT ( 3 ,```` log _{3} 6 RIGHT )]이다.

두 점 [eqn: rm A it LEFT ( -1 ,```` log _{3} 2 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( 3 ,```` log _{3} 6 RIGHT )]에 대하여 직선 [eqn: rmAB]의 기울기는

[eqn: {log _{3} 6-log _{3} 2} over {3- LEFT ( -1 RIGHT )}][eqn: = {log _{3} {6} over {2}} over {4}][eqn: = {1} over {4}]이므로 점 [eqn: rmA]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]와 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y-log _{3} 2][eqn: = it -4 LEFT ( x+1 RIGHT )]

[eqn: y= it -4x-4+log _{3} 2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

직선 ㉠이 [eqn: y]축과 만나는 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: rm C it LEFT ( 0 ,```` -4+log _{3} 2 RIGHT )]이다.

이때 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = sqrt {4 ^{2} + LEFT ( log _{3} 6-log _{3} 2 RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {17}],	[eqn: {bar{rm AC}}][eqn: = sqrt {LEFT ( it -1 RIGHT ) ^{2} +4 ^{2}}][eqn: = sqrt {17}]이므로 직각삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm AB}} TIMES {bar{rm AC}}][eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {17} TIMES sqrt {17}][eqn: = {17} over {2}]

① [eqn: {13} over {2}]	② [eqn: 7]	③ [eqn: {15} over {2}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: {17} over {2}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 27

[eqn: {k>1 }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]인 실수 [eqn: k]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log _{ 3k} x], [eqn: y=log _{ k} x]가 만나는 점을 [eqn: rm A]라 하자. 양수 [eqn: m]에 대하여 직선 [eqn: y=m LEFT ( x-1 RIGHT )]이 두 곡선 [eqn: y=log _{ 3k} x], [eqn: y=log _{ k} x]와 제 [eqn: 1]사분면에서 만나는 점을 각각 [eqn: rm B], [eqn: rm C]라 하자. 점 [eqn: rm C]를 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log _{ 3k} x], [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rm D], [eqn: rm E]라 할 때, 세 삼각형 [eqn: rm ADB], [eqn: rm AED], [eqn: rm BDC]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{12}]

[해설]

조건 (가)에 의하여 삼각형 [eqn: rmADB]의 넓이를 [eqn: S]라 하면 삼각형 [eqn: rmBDC]의 넓이는 [eqn: 3S]이다.

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmBC} = 1 ``:`` 3]에서 [eqn: bar{rmBC} = 3 bar{rmAB}]이고 점 [eqn: rmB]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmB ']이라 하면 [eqn: bar{rmB ' E} = 3 bar{rmAB ' }]이다.

[eqn: bar{rmAB ' } = a]라 하면 [eqn: bar{rmB ' E} = 3a]이므로

[eqn: {rmB}(a+1 ,```` log_3k (a+1) )], [eqn: {rmC}(4a+1 ,```` log_k (4a+1) )],

[eqn: {rmD}(4a+1 ,```` log_3k (4a+1) )]

이다.

조건 (나)에 의하여 삼각형 [eqn: rmAED]의 넓이는 [eqn: 4S]이고 삼각형 [eqn: rmAEC]의 넓이는 [eqn: 8S]이므로 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmCE]의 중점이다.

[eqn: log_k (4a+1 ) = 2 log_3k (4a+1)]

[eqn: {log_k (4a+1 )}over {log_k k} = {2 log_k (4a+1)}over { log_k 3k }]

[eqn: log_k 3k =2]에서 [eqn: k^2 =3k]이므로 [eqn: k=3]

세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC]가 직선 [eqn: y=m(x-1)]위에 있으므로

[eqn: m = {log_9 (a+1 ) -0 } over { (a+1)-1 } = { log_3 (4a+1 ) -0 } over { (4a+1 )-1}]에서

[eqn: 2 log_3 (a+1) = log_3 (4a+1 )]

[eqn: (a+1)^2 = 4a+1], [eqn: a^2 -2a =0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]

[eqn: m = {log_ 9 3} over 2 = 1over4]

따라서 [eqn: k over m = 12]

(가) 삼각형 [eqn: rm BDC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm ADB]의 넓이의 [eqn: 3]배이다.

(나) 삼각형 [eqn: rm BDC]의 넓이는 삼각형 [eqn: rm AED]의 넓이의 [eqn: {3} over {4}]배이다.

[eqn: {k} over {m}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 15

그림과 같이 좌표평면에서 곡선 [eqn: {y=a ^{x}}{{from^2020^10^서울고3가^중}}] ([eqn: 0<a<1])위의 점 [eqn: rmP]가 제 [eqn: 2]사분면에 있다. 점 [eqn: rmP]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 점 [eqn: rmQ]와 곡선 [eqn: y= it -log _{a} x]위의 점 [eqn: rmR]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PQR=45°]이다. [eqn: {bar{rm PR it}} = {5 sqrt {2}} over {2}]이고 직선 [eqn: rmPR]의 기울기가 [eqn: {1} over {7}]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rm P it LEFT ( t ,```` a ^{t} RIGHT )] ([eqn: t<0])이라 하면 점 [eqn: rmP]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 점 [eqn: rmQ]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a ^{t} ,```` t RIGHT )]이다. [eqn: ANGLE rm PQR][eqn: =45°]이고 직선 [eqn: rmPQ]의 기울기가 [eqn: -1]이므로 두 점 [eqn: rmQ], [eqn: rmR]의 [eqn: x]좌표는 같다.

즉 점 [eqn: rmR]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a ^{t} ,```` -t RIGHT )]이다.

직선 [eqn: rmPR]의 기울기는 [eqn: {1} over {7}]이므로 [eqn: {a ^{t} +t} over {t-a ^{t}}][eqn: = {1} over {7}]에서

[eqn: a ^{t}][eqn: = it - {3} over {4} t]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: {bar{rmPR}}][eqn: = {5 sqrt {2}} over {2}]이므로 [eqn: sqrt {LEFT ( t-a ^{t} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( a ^{t} +t RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {5 sqrt {2}} over {2}]

[eqn: a ^{2t} +t ^{2}][eqn: = {25} over {4}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: t ^{2}][eqn: =4]이고 [eqn: t<0]이므로 [eqn: t][eqn: = it -2]

㉠에 대입하면 [eqn: {1} over {a ^{2}}][eqn: = {3} over {2}]이고 [eqn: a>0]이므로 [eqn: a][eqn: = {sqrt {6}} over {3}]

① [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]	⑤ [eqn: {sqrt {6}} over {3}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 13
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 18

[eqn: {{1} over {4} <a<1}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]인 실수 [eqn: a]에 대하여 직선 [eqn: y=1]이 두 곡선 [eqn: y][eqn: =log` _{a} `x], [eqn: y][eqn: =log` _{4a} `x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,````B]라 하고, 직선 [eqn: y= it -1]이 두 곡선 [eqn: y][eqn: =log` _{a} `x], [eqn: y][eqn: =log` _{4a} `x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC,````D]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: log _{a} x=1]에서 [eqn: x=a]이므로 [eqn: {rm{A}} it (a,`` 1)]

또 점 [eqn: {rm{B}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: log _{4 a} x=1]에서 [eqn: x=4 a]이므로 [eqn: {rm{B}} it (4 a,`` 1)]

그러므로 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 [eqn: 1: 4]로 외분하는 점의 좌표는

[eqn: left({1 times 4 a-4 times a} over {1-4},`` {1 times 1-4 times 1} over {1-4} right)], 즉 [eqn: (0,``1)]이다. (참)

ㄴ. 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 직사각형이면 선분 [eqn: {rm{AB}} it]가 [eqn: x]축과 평행하므로 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{D}} it]의 [eqn: x]좌표는 같아야 한다.

한편, 점 [eqn: {rm{D}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: log _{4 a} x=-1]에서 [eqn: x={1} over {4 a}]이므로    [eqn: {rm{D}} it left({1} over {4 a},``-1 right)]

이때 [eqn: {rm{A}} it (a,`` 1)]이고 [eqn: {1} over {4}<a<1]이므로

[eqn: a={1} over {4 a}], [eqn: a^{2}={1} over {4}], [eqn: a={1} over {2}](참)

ㄷ. 점 [eqn: {rm{C}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: log _{a} x=-1]에서 [eqn: x={1} over {a}]이므로
[eqn: {rm{C}} it left({1} over {a},``-1 right)]

그러므로 [eqn: overline{{rm{AB}} it }< overline{{rm{CD}} it }]이면

[eqn: 4 a-a<{1} over {a}-{1} over {4 a}], [eqn: 3 a<{3} over {4 a}], [eqn: a^{2}<{1} over {4}]

이때 [eqn: {1} over {4}<a<1]이므로 [eqn: {1} over {4}<a<{1} over {2}](거짓)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 1``:``4]로 외분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,````1 RIGHT )]이다. ㄴ. 사각형 [eqn: rmABCD]가 직사각형이면 [eqn: a][eqn: = {1} over {2}]이다. ㄷ. [eqn: rm {bar{AB}} < {bar{CD}}]이면 [eqn: {1} over {2} <a<1]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 16

상수 [eqn: k]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: x=k][eqn: LEFT ( k>1 RIGHT )]이 두 함수 [eqn: y=log _{2} x], [eqn: y=log _{a} x][eqn: LEFT ( a>2 RIGHT )]의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. 함수 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmACB]와 삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이의 비는 [eqn: 3 ``:`` 2]이다. 상수 [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

직선 [eqn: x=k]가 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rmE]라 하면 삼각형 [eqn: rmACB]와 삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이의 비가 [eqn: 3 ``:`` 2]이므로 [eqn: {1} over {2} times{bar{rmCB}}times{bar{rmAB}} ``:`` {1} over {2} times{bar{rmCB}}times{bar{rmBE}}=3 ``:`` 2]이다.

[eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmBE}=3 ``:`` 2]이므로 [eqn: bar{rmBE}= {2} over {5} bar{rmAE}]이다.

[eqn: bar{rmBE}=log _{a} k], [eqn: bar{rmAE}=log _{2} k]이므로

[eqn: log _{a} k= {2} over {5} `log _{2} k]에서 [eqn: a=2 ^{{5} over {2}} =4 sqrt {2}]

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 8 sqrt {2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 11

[eqn: {a>1}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 두 함수

[정답] ④

[해설]

직선 [eqn: y][eqn: = it -2]와 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 만나는 점이 [eqn: rmA]이므로

[eqn: -2][eqn: = {1} over {2} `log _{a} LEFT ( x-1 RIGHT ) -2]에서 [eqn: x][eqn: =2]

즉, [eqn: rm A it LEFT ( 2 ,```` -2 RIGHT )]

[eqn: rm B it LEFT ( 10 ,```` {1} over {2} ` log _{a} 9-2 RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( 10 ,```` -log _{a} 8+1 RIGHT )]이고, 점 [eqn: rmA]와 직선 [eqn: x][eqn: =10] 사이의 거리는 [eqn: 8]이므로 삼각형 [eqn: rmACB]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES LEFT { LEFT ( {1} over {2}` log _{a} 9-2 RIGHT ) - LEFT ( -log _{a} 8+1 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =4 TIMES LEFT ( log _{a} 24-3 RIGHT )][eqn: =28]

따라서 [eqn: log _{a} 24][eqn: =10]이므로 [eqn: a ^{10}][eqn: =24]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = {1} over {2} {rm log` } it _{a} LEFT ( x-1 RIGHT ) -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {rm log` } it _{{1} over {a}} LEFT ( x-2 RIGHT ) +1]

이 있다. 직선 [eqn: y][eqn: =`-2`]와 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: rmA`]라 하고, 직선 [eqn: x][eqn: =10`]과 두 함수 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rm C`]라 하자. 삼각형 [eqn: rmACB`]의 넓이가 [eqn: 28`]일 때, [eqn: a ^{10} `]의 값은?

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 11

양수 [eqn: {p}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에 대하여 두 함수

[정답] ②

[해설]

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 점근선의 방정식은 각각 [eqn: x=p], [eqn: y=1]이므로

[eqn: rmA LEFT ( itp,````2 ^{p} +1 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itp,````0 RIGHT )], [eqn: rmC` LEFT ( itp+2,````1 RIGHT )]

(삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( 2 ^{p} +1 RIGHT ) TIMES 2][eqn: =2 ^{p} +1]

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 넓이가 [eqn: 6]이므로

[eqn: 2 ^{p} `+1=6], [eqn: 2 ^{p} =5]

따라서 [eqn: p=log _{2} 5]

[eqn: f(x)=log _{2} LEFT ( x-p RIGHT )], [eqn: g(x)=2 ^{x} +1]

이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)]의 점근선이 곡선 [eqn: y=g(x)], [eqn: x]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,````B]라 하고, 곡선 [eqn: y=g(x)]의 점근선이 곡선 [eqn: y=f(x)]와 만나는 점을 [eqn: rm { C }]라 하자. 삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 넓이가 [eqn: 6]일 때, [eqn: p````]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: log _{2} 5]	③ [eqn: log _{2} 6]

④ [eqn: log _{2} 7]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 21

[eqn: {a>1}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 실수 [eqn: a]에 대하여 직선 [eqn: y=it-x+4]가 두 곡선

[정답] [eqn: bold { 192 }]

[해설]

곡선 [eqn: y=a^x-1]은 곡선 [eqn: y=a^x]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이고, 곡선 [eqn: y= log _a (x-1)]은 곡선 [eqn: y=log _a x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 것이므로 두 곡선 [eqn: y=a^x-1], [eqn: y=log _a (x-1)]은 직선 [eqn: y=x-1]에 대하여 대칭이다.

즉, 두 직선 [eqn: y=it-x+4], [eqn: y=x-1]의 교점을 [eqn: rmM]이라 하면 점 [eqn: rmM]의 좌표는 [eqn: rmM LEFT ( 5 over2 ,```` 3 over2 RIGHT )]이고, 점 [eqn: rmM]은 선분 [eqn: rmAB]의 중점이므로 [eqn: rm barAM = root2]이다.

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: LEFT ( k ,```` - k +4 RIGHT )]라 하면

[eqn: LEFT ( k - 5 over2 RIGHT )^2 + LEFT ( -k + 5 over2 RIGHT )^2 =2]에서 [eqn: k= 3 over2]

즉, [eqn: rmA LEFT ( 3 over2 ,```` 5 over2 RIGHT )]이므로

[eqn: 5 over2 = a^{3 over2 -1], [eqn: a^{1over2} = 5 over2], [eqn: a= 25 over4]

이때 점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0 ,```` 1 overa RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( 0 ,```` 4 over25 RIGHT )]이고, 점 [eqn: rmC]에서 직선 [eqn: y=it-x+4]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 선분 [eqn: rmCH]의 길이는 점 [eqn: rmC]와 직선 [eqn: y=it-x+4] 사이의 거리와 같으므로

[eqn: rm barCH = { left |`` 0 + 4 over25 -4 ``right | } over { root2} = { 48 root2} over { 25}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: S][eqn: = 1 over2 times rm barAB times rm barCH]
[eqn: = 1 over2 times 2 root2 times { 48 root2} over { 25}]
[eqn: = 96 over25]

이므로 [eqn: 50 timesS = 50 times 96 over25 =192]

[eqn: y=a^x-1], [eqn: y=log _a (x-1)]

과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고, 곡선 [eqn: y=a^x-1]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: rmC]라 하자. [eqn: rm barAB = 2 root2]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는 [eqn: S]이다. [eqn: 50 timesS]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 20

그림과 같이 기울기가 [eqn: {{1} over {3}}{{from^2021^9 고2인천^중}}`]인 직선 [eqn: l`]이 곡선 [eqn: y= {rm log` } it _{4} ax`]와 서로 다른 두 점 [eqn: rmA LEFT ( itx _{1} ,`` y _{1} RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itx _{2} ,`` y _{2} RIGHT )`]에서 만나고, 곡선 [eqn: y=b TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x}`]이 점 [eqn: {rm A `]를 지난다. 점 [eqn: {rm B `]를 지나고 직선 [eqn: l`]에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=b TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} `]과 만나는 점을 [eqn: rmC LEFT ( itx _{3} ,`` y _{3} RIGHT )`]이라 하자. [eqn: rm { bar{AB} = bar{BC} = sqrt {10} }`]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 양수이고 [eqn: x _{1} <x _{2} <x _{3}`]이다.)

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: rm { B }]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { P }], 점 [eqn: rm { A }]에서 선분 [eqn: rm { BP }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { Q }], 점 [eqn: rm { C }]에서 선분 [eqn: rm { BP }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { R }]라 하자.

ㄱ. 직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: {1} over {3}]이므로
[eqn: rm {{bar{BQ}}} over {{bar{AQ}}}][eqn: =it {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}}][eqn: = {1} over {3}], [eqn: y _{2} -y _{1}][eqn: = {1} over {3} LEFT ( x _{2} -x _{1} RIGHT )]
[eqn: rm {bar{AB}}][eqn: =it` sqrt {LEFT ( x _{2} -x _{1} RIGHT ) ^{2} `+ LEFT ( y _{2} -y _{1} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]
[eqn: {10} over {9} LEFT ( x _{2} -x _{1} RIGHT ) ^{2} `=10], [eqn: LEFT ( x _{2} -x _{1} RIGHT ) ^{2} `=9]
[eqn: x _{1} <x _{2}]이므로 [eqn: x _{2} -x _{1} =3]	(참)

ㄴ. [eqn: rm { ANGLE AQB`= ANGLE BRC``= {pi } over {2} }]이고
[eqn: rm { ANGLE ABQ`+ ANGLE CBR`= ANGLE CBR`+ ANGLE BCR`= {pi } over {2} }]이므로
[eqn: rm { ANGLE ABQ`= ANGLE BCR }]
[eqn: rm { bar{AB} `= bar{BC} `= sqrt {10} }]이므로 두 삼각형 [eqn: rm { ABQ }]와 [eqn: rm { BCR }]는 합동이다.
[eqn: rm {bar{AQ}} `= {bar{BR}} `=3], [eqn: rm { bar{BQ} `= bar{CR} `=1 }]
[eqn: x _{3} -x _{1}][eqn: rm { = bar{AQ} `+ bar{CR} ` }][eqn: =3+1][eqn: =4]
[eqn: y _{1} -y _{3}][eqn: rm { = bar{QR} ` }][eqn: rm { = bar{BR} `- bar{BQ} ` }][eqn: =3-1][eqn: =2]
[eqn: x _{3} -x _{1} =2 LEFT ( y _{1} -y _{3} RIGHT ) =4]	(참)

ㄷ. ㄱ에 의하여 [eqn: rmA LEFT ( itx _{1} ,````y _{1} RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( itx _{1} +3,````y _{1} +1 RIGHT )]
두 점 [eqn: rm { A,````B }]는 곡선 [eqn: y=log _{4} ax]위에 있으므로
[eqn: y _{1} =log _{4} ax _{1}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠
[eqn: y _{1} +1=log _{4} a LEFT ( x _{1} +3 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡
점 [eqn: rm { A }]는 곡선 [eqn: y=b TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x}]위에 있으므로
[eqn: y _{1} = {b} over {3 ^{x _{1}}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢
㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: 1=log _{4} {x _{1} +3} over {x _{1}}], [eqn: x _{1} =1]
㉠, ㉢에 의하여 [eqn: log _{4} a= {b} over {3}], [eqn: a=4 ^{{b} over {3}}]
[eqn: a ^{2} =4 ^{{2} over {3} b}]	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[참고]

점 [eqn: rmC` LEFT ( itx _{1} +4,````y _{1} -2 RIGHT )]는 곡선 [eqn: y=b TIMES LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x}]위에 있고 [eqn: x _{1} =1], [eqn: y _{1} = {b} over {3}]이므로 [eqn: {b} over {3} -2=b TIMES 3 ^{-5}]에서 [eqn: b= {243} over {40}]

[eqn: a][eqn: =4 ^{{b} over {3}}][eqn: =4 ^{{81} over {40}} =2 ^{{81} over {20}}]

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x _{2} -x _{1} =3] ㄴ. [eqn: x _{3} -x _{1} =2 LEFT ( y _{1} -y _{3} RIGHT )] ㄷ. [eqn: a ^{2} =4 ^{b}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 11

그림과 같이 두 상수 [eqn: a], [eqn: k]에 대하여 직선 [eqn: x=k]가 두 곡선 [eqn: y=2^{x-1}+1], [eqn: y= log _{2}(x-a)]와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{B}} it]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x-1}+1]과 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it]의 좌표는 [eqn: left(k,`` 2^{k-1}+1 right)]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=8]이므로 점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표는 [eqn: left(k,`` 2^{k-1}-7 right)]이다.

직선 [eqn: {rm{BC}} it]의 기울기가 [eqn: -1]이고 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2 sqrt{2}]이므로 두 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]의 [eqn: x]좌표의 차와 [eqn: y]좌표의 차는 모두 [eqn: rm 2]이다.

따라서 점 [eqn: {rm{C}} it]의 좌표는 [eqn: left(k-2,``2^{k-1}-5 right)]이다.

한편 점 [eqn: {rm{C}} it]는 곡선 [eqn: y=2^{x-1}+1] 위의 점이므로 [eqn: 2^{k-3}+1=2^{k-1}-5]

[eqn: {1} over {2} times 2^{k}-{1} over {8} times 2^{k}=6], [eqn: 2^{k}=16]

[eqn: k=4]

즉, [eqn: {rm{A}} it (4,``9)], [eqn: {rm{B}} it (4,``1)], [eqn: {rm{C}} it (2,``3)]이다.

점 [eqn: {rm{B}} it]가 곡선 [eqn: y= log _{2}(x-a)] 위의 점이므로 [eqn: 1= log _{2}(4-a)], [eqn: 4-a=2], [eqn: ~ a=2]

점 [eqn: {rm{D}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x-2=1]에서 [eqn: rm 3]

사각형 [eqn: {rm{ACDB}} it]의 넓이는 두 삼각형 [eqn: {rm{ACB}} it], [eqn: {rm{CDB}} it]의 넓이의 합이고 [eqn: overline{{rm{BC}} it } BOT overline{{rm{BD}} it }]이므로

[eqn: {1} over {2} times 8 times 2+{1} over {2} times 2 sqrt{2} times sqrt{2}=10]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=8], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2 sqrt{2}]일 때, 곡선 [eqn: y= log _{2}(x-a)]가 [eqn: x]축과 만나는 점 [eqn: {rm{D}} it]에 대하여 사각형 [eqn: {rm{ACDB}} it]의 넓이는?

(단, [eqn: 0<a<k])

① [eqn: rm 14]	② [eqn: rm 13]	③ [eqn: rm 12]

④ [eqn: rm 11]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 11

기울기가 [eqn: {1} over {2}]인 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y= log _{2} 2 x]와 서로 다른 두 점에서 만날 때, 만나는 두 점 중 [eqn: x]좌표가 큰 점을 [eqn: {rm{A}} it]라 하고, 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y= log _{2} 4 x]와 만나는 두 점 중 [eqn: x]좌표가 큰 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2 sqrt{5}]일 때, 점 [eqn: {rm{A}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발 [eqn: {rm{C}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{ACB}} it]의 넓이는?

[정답] ⑤

[해설]

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 좌표를 각각

[eqn: {rm{A}} it left(a,`` log _{2} 2 a right)], [eqn: {rm{B}} it left(b,`` log _{2} 4 b right)(a<b)]라 하자.

직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: { log _{2} 4 b- log _{2} 2 a} over {b-a}={1} over {2}]에서

[eqn: log _{2} 4 b- log _{2} 2 a={1} over {2}(b-a)]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= sqrt{(b-a)^{2}+ left( log _{2} 4 b- log _{2} 2 a right)^{2}}]

[eqn: = sqrt{(b-a)^{2}+{1} over {4}(b-a)^{2}}]

[eqn: ={ sqrt{5}} over {2} times(b-a)=2 sqrt{5}]

[eqn: b-a=4]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

[eqn: log _{2} 4 b- log _{2} 2 a= log _{2} {2 b} over {a}=2], [eqn: b=2a][eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

두 식 ㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: a=4], [eqn: b=8]

[eqn: {rm{A}} it (4,``3)], [eqn: {rm{B}} it (8,``5)], [eqn: {rm{C}} it (4,``0)]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{ACB}} it]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 3 times 4=6]

① [eqn: rm 5]	② [eqn: {21} over {4}]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: {23} over {4}]	⑤ [eqn: rm 6]

03 수1	04 로그함수
02 로그함수의 최대와 최소
01 Mm1 (기본 그래프)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 23

[eqn: {1 LEQ x LEQ 7}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]에서 정의된 함수 [eqn: y][eqn: =log _{2} LEFT ( x+1 RIGHT ) +2]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

함수 [eqn: y=log _{2} (x+1)+2]는 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값도 증가한다.

따라서 함수 [eqn: y=log _{2} (x+1)+2]는 [eqn: x=7]일 때 최댓값 [eqn: 5]를 갖는다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 9

함수[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2log _{{1} over {2}} LEFT ( x+k RIGHT )}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]가 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` 12 RIGHT ]]에서 최댓값 [eqn: -4], 최솟값 [eqn: m]을 갖는다. [eqn: k+m]의 값은? (단, [eqn: k]는 상수이다.)

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)=2 log _{{1} over {2}}(x+k)]는 감소함수이므로

닫힌구간 [eqn: [0,``12]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(0)], 최솟값은 [eqn: f(12)]이다.

[eqn: f(0)=2 log _{{1} over {2}} k=-4]이므로 [eqn: log _{{1} over {2}} k=-2], [eqn: k= left({1} over {2} right)^{-2}=4]

[eqn: f(12)=2 log _{{1} over {2}}(12+4)=-2 log _{2} 16=-8]이므로 [eqn: m=-8]

따라서 [eqn: k+m=4+(-8)=-4]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

03 수1	04 로그함수
02 로그함수의 최대와 최소
02 Mm2 (진수가 함수식)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 14

[eqn: {0 LEQ x LEQ 5}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에서 함수

[정답] ②

[해설]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 5]에서 함수 [eqn: f(x)=log _{3} LEFT { LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} +k-9 RIGHT }]는

[eqn: x=0]일 때, 최댓값 [eqn: log _{3} k],

[eqn: x=3]일 때, 최솟값 [eqn: log _{3} LEFT ( k-9 RIGHT )]를 갖는다.

[eqn: log _{3} k`+log _{3} LEFT ( k-9 RIGHT ) =2+log _{3} 4]

[eqn: log _{3} k LEFT ( k-9 RIGHT ) =log _{3} 36]

[eqn: k ^{2} -9k-36=0], [eqn: LEFT ( k-12 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT ) =0]

[eqn: k>9]이므로 [eqn: k=12]

[eqn: f(x)=log _{3} LEFT ( x ^{2} -6x+k RIGHT )][eqn: LEFT ( k>9 RIGHT )]

의 최댓값과 최솟값의 합이 [eqn: 2+log _{3} 4]가 되도록 하는 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

03 수1	04 로그함수
02 로그함수의 최대와 최소
03 Mm3 (치환)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 17

[eqn: {rm angle A =90 DEG }{{from^2020^평가원나^3}}]이고[eqn: rmbarAB = 2 log_2 itx], [eqn: rm barAC = log_4 it16 overx]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S(x)]라 하자. [eqn: S(x)]가 [eqn: x=a]에서 최댓값 [eqn: M]를 가질 때, [eqn: a+M]의 값은? (단, [eqn: 1<x<16])

[정답] ①

[해설]

[eqn: {rm angle A =90 DEG }{{from^2020^평가원나^3}}]이고 [eqn: rmbarAB = 2 log_2 itx], [eqn: rm barAC = log_4 it16 overx]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이를 [eqn: S(x)]는

[eqn: S(x)][eqn: =rm 1over2 times barAB times barAC]
[eqn: = 1 over2 times 2 log_2 itx times log_4 it16 overx]
[eqn: = 1 over2 times 2 log_2 itx times 1over2 (rm log_2 it16 - log_2 x)]
[eqn: = {1} over {2} TIMES log _{2} it x TIMES (4-log _{2} x)] ([eqn: 1<x<16])

식에서 [eqn: log_2 x][eqn: =t]로 치환하면

[eqn: f(t)][eqn: = 1over2 t(4-t)] ([eqn: 0<t<4])
[eqn: = 1over2 (t-2)^2 +2]

따라서 [eqn: t=2]일 때, [eqn: f(t)]가 최댓값 [eqn: 2]를 갖는다.

즉 [eqn: log_2 x=2], [eqn: x=4]일 때, [eqn: S(x)]는 최댓값 [eqn: 2]를 갖는다.

따라서 [eqn: a=4], [eqn: M=2]이므로 [eqn: a+M =6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

03 수1	04 로그함수
03 지수함수와 로그함수의 역함수 관계
01 역함수1 (역함수의 함숫값)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 20

두 함수

[정답] ①

[해설]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x} ,```` g LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x-2}]의 그래프는 다음과 같다.

세 영역 [eqn: R _{1} ,```` R _{2} ,```` R _{3}]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,```` S _{2} ,```` S _{3}]이라 하자.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동한 것이므로 [eqn: S _{1} =S _{3}]

조건 (가)에서

[eqn: S _{1} +S _{2}][eqn: =S _{3} +S _{2}][eqn: =2 TIMES LEFT ( b-a RIGHT )][eqn: =6]

[eqn: b-a=3]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)에서

[eqn: f ^{-1} LEFT ( a RIGHT ) =p], [eqn: g ^{-1} LEFT ( b RIGHT ) =q] ([eqn: p ,```` q]는 실수)라 하면

[eqn: 2 ^{p} =a], [eqn: 2 ^{q-2} =b]

[eqn: p=log _{2} a], [eqn: q= it log _{ 2} b+2][eqn: =log _{2} 4b]

[eqn: q-p][eqn: =log _{2} 4b-log _{2} a][eqn: =log _{2} {4b} over {a}][eqn: =log _{2} 6]

[eqn: 3a=2b]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a=6], [eqn: b=9]

[eqn: a+b=15]

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x} ,```` g LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x-2}}{{from^2020^04^서울고3나^}}]

에 대하여 두 양수 [eqn: a ,```` b]([eqn: a<b])가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b]의 값은?

(가) 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ,```` y=g LEFT ( x RIGHT )]와 두 직선 [eqn: y=a ,```` y=b]로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 6]이다.

(나) [eqn: g ^{-1} LEFT ( b RIGHT ) -f ^{-1} LEFT ( a RIGHT ) =log _{2} 6]

① [eqn: 15]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 19]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 14

함수[eqn: {y=3 ^{x} -a}{{from^2020^06^부산고2^}}]의 역함수의 그래프가 두 점 [eqn: LEFT ( 3 ,```` log _{3} b RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2b ,```` log _{3} 12 RIGHT )]를 지나도록 하는 두 상수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y=3 ^{x} -a]의 역함수의 그래프가 두 점 [eqn: LEFT ( 3 ,```` log _{3} b RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2b ,```` log _{3} 12 RIGHT )]를 지나므로 함수 [eqn: y=3 ^{x} -a]의 그래프는 두 점 [eqn: LEFT ( log _{3} b ,```` 3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( log _{3} 12 ,```` 2b RIGHT )]를 지난다.

따라서 [eqn: 3][eqn: =3 ^{log _{3} b} -a], [eqn: 2b][eqn: =3 ^{log _{3} 12} -a]이다.

[eqn: 3=b-a], [eqn: 2b= it 12-a]에서 [eqn: a=2]이고 [eqn: b=5]이다.

[eqn: therefore][eqn: a+b=7]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 13

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )= rm log` it _{2} LEFT ( x+a RIGHT ) +b`]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]라 하자. 곡선 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )`]의 점근선이 [eqn: y][eqn: =1`]이고, 곡선 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )`]가 점 [eqn: LEFT ( 3 ,`` 2 RIGHT )`]를 지날 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b `]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: g(x)]는 함수 [eqn: f(x)=log _{2} (x+a)+b]의 역함수이므로

[eqn: g(x)=2 ^{x-b} -a]

곡선 [eqn: y=g(x)]의 점근선이 직선 [eqn: y=-a]이므로

[eqn: a=-1]

곡선 [eqn: y=g(x)]가 점 [eqn: (3 ,```` 2)]를 지나므로 [eqn: g(3)=2 ^{3-b} +1=2]에서

[eqn: b=3]

따라서 [eqn: a+b=-1+3=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 8

함수 [eqn: y= log _{3}(2 x+1)]의 역함수의 그래프가 점 [eqn: (4,`` a)]를 지날 때, [eqn: a]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y= log _{3}(2 x+1)]의 그래프가 점 [eqn: (a,`` 4)]를 지나므로

[eqn: 4= log _{3}(2 a+1)], [eqn: 2 a+1=3^{4}]

따라서 [eqn: a=40]

① [eqn: rm 40]	② [eqn: rm 42]	③ [eqn: rm 44]

④ [eqn: rm 46]	⑤ [eqn: rm 48]

03 수1	04 로그함수
03 지수함수와 로그함수의 역함수 관계
03 역함수3 (y=x대칭)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 26

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동한 후 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 그래프와 일치한다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 5 RIGHT )]를 지날 때, [eqn: f LEFT ( m RIGHT )]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: m]은 상수이다.)

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[해설]

함수 [eqn: y=log _{2} x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 평행이동한 그래프는 [eqn: y=log _{2} LEFT ( x-m RIGHT )]이고 이 그래프를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 그래프는 [eqn: y=2 ^{x} +m]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x} +m]이고 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 1 ,```` 5 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 5=2+m]에서 [eqn: m=3]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =2 ^{3} +3=11]

03 수1	04 로그함수
03 지수함수와 로그함수의 역함수 관계
04 역함수4 (y=x대칭의 발견)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 27

[eqn: a>2]인 실수 [eqn: a]에 대하여 그림과 같이 직선 [eqn: y=-x+5]가

[정답] [eqn: 49]

[해설]

직선 [eqn: y=-x+5]의 기울기가 [eqn: -1]이고 곡선 [eqn: y= log _{a} x]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 것이 곡선 [eqn: y= log _{a}(x-1)-1]이므로 점 [eqn: {rm{B}} it]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: rm 1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동한 점이 [eqn: {rm{C}} it]이다.

[eqn: overline{{rm{BC}} it }= sqrt{2}]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }: overline{{rm{BC}} it }=2: 1]이므로 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2 sqrt{2}]이다.

점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: t]라 하면 [eqn: {rm{A}} it (t,`` 5-t)]이고 두 함수 [eqn: y=a^{x}], [eqn: y= log _{a} x]는 역함수 관계이므로 [eqn: {rm{B}} it (5-t,`` t)]이다. 그런데 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2 sqrt{2}]이므로 두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 [eqn: x]좌표의 차는 [eqn: rm 2]이고 [eqn: (5-t)-t=2], 즉 [eqn: t={3} over {2}]이다.

점 [eqn: {rm{A}} it left({3} over {2},`` {7} over {2} right)]이 곡선 [eqn: y=a^{x}] 위의 점이므로

[eqn: a^{{3} over {2}}={7} over {2}], 즉 [eqn: a^{3}={49} over {4}]이다.

따라서 [eqn: 4 a^{3}=49]

세 곡선 [eqn: y=a^{x}], [eqn: y= log _{a} x], [eqn: y= log _{a}(x-1)-1]과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }: overline{{rm{BC}} it }=2: 1]일 때, [eqn: 4 a^{3}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 19

그림과 같이 곡선 [eqn: y= log _{2} x] 위의 한 점 [eqn: {rm{A}} it left(x_{1},`` y_{1} right)]을 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it left(x_{2},`` y_{2} right)]라 하고, 두 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{O}} it]를 지나는 직선 [eqn: l]이 곡선 [eqn: y= left({1} over {2} right)^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it left(x_{3},`` y_{3} right)]이라 하자. 삼각형 [eqn: {rm{OAB}} it]의 넓이가 삼각형 [eqn: {rm{OAC}} it]의 넓이의 [eqn: rm 2]배일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. 두 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 [eqn: y= log _{2} x]는

직선 [eqn: y=x]에 대하여 서로 대칭이므로

[eqn: x_{1}=y_{2}], [eqn: y_{1}=x_{2}], [eqn: {rm{OA}} it ={rm{OB}} it]

삼각형 [eqn: {rm{OAB}} it]의 넓이가 삼각형 [eqn: {rm{OAC}} it]의 넓이의 [eqn: rm 2]배이므로 [eqn: overline{{rm{OC}} it }={1} over {2} overline{{rm{OB}} it }={1} over {2} overline{{rm{OA}} it }] (참)

ㄴ. 점 [eqn: {rm{C}} it]는 선분 [eqn: {rm{OB}} it]의 중점이므로

[eqn: x_{3}={1} over {2} x_{2}], [eqn: y_{3}={1} over {2} y_{2}]

[eqn: x_{2}=y_{1}=2 x_{3}]

[eqn: x_{2}+y_{1}=2 y_{1}=4 x_{3}] (참)

ㄷ. [eqn: y_{2}=2^{x_{2}}], [eqn: y_{3}= left({1} over {2} right)^{x_{3}}]

세 점 [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]는 직선 [eqn: l] 위의 점이므로

직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: {y_{2}} over {x_{2}}={y_{3}} over {x_{3}}], [eqn: {2^{x_{2}}} over {x_{2}}={ left({1} over {2} right)^{x_{3}}} over {x_{3}}]
㉡에서 [eqn: x_{2}=2 x_{3}]이므로

[eqn: {2^{2 x_{3}}} over {2 x_{3}}={2^{-x_{3}}} over {x_{3}}], [eqn: 2^{2 x_{3}-1}=2^{-x_{3}}]

[eqn: 2 x_{3}-1=-x_{3}]이므로 [eqn: x_{3}={1} over {3}]

직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: {y_{3}} over {x_{3}}={ left({1} over {2} right)^{x_{3}}} over {x_{3}}=3 times left({1} over {2} right)^{{1} over {3}}] (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

(단, [eqn: x_{1}>1]이고, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: overline{{rm{OC}} it }={1} over {2} overline{{rm{OA}} it }] ㄴ. [eqn: x_{2}+y_{1}=4 x_{3}] ㄷ. 직선 [eqn: l]의 기울기는 [eqn: 3 times left({1} over {2} right)^{{1} over {3}}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	04 로그함수
03 지수함수와 로그함수의 역함수 관계
05 역함수5 (원함수와 역함수의 교점)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 19

함수 [eqn: {f(x)=log_{2}kx}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=x]가 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만나고 [eqn: bar{rmOA}=bar{rmAB}]이다. 함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때, [eqn: g(5)]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: k]는 [eqn: 0]이 아닌 상수이고, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] [eqn: BOLD16]

[해설]

그림과 같이 [eqn: rm {bar{OA}} = {bar{OB}}]이고, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]가 [eqn: y=x]위의 점이므로

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: rm A( it t,````t)], [eqn: rm B( it 2t,````2t)]이다.

[eqn: y=log _{`2} kt]에 점 [eqn: ( it t,````t)], [eqn: ( it 2t,````2t)]를 대입하면

[eqn: t=log _{`2} `kt]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: 2t=log _{`2} `2kt]	[eqn: CDOTS cdots] ㉡

㉠[eqn: TIMES 2]를 하면 [eqn: 2t=2log _{`2} `kt]

[eqn: therefore][eqn: 2t=log _{`2} ` LEFT ( kt RIGHT ) ^{2}]	[eqn: CDOTS cdots] ㉢

㉡과 ㉢를 연립하면 [eqn: log _{`2} `2kt=log _{`2} LEFT ( kt RIGHT ) ^{2}],

[eqn: LEFT ( kt RIGHT ) ^{2} =2kt], [eqn: kt=2][eqn: LEFT ( BECAUSE ````kt>0 RIGHT )]

㉠에서 [eqn: kt=2]이므로 [eqn: t=log _{`2} `2=1]

[eqn: therefore][eqn: k=2]

[eqn: therefore][eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =log _{2} 2x]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수이므로 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =a]로 놓으면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =5]이므로

[eqn: log _{`2} 2a=5], [eqn: 2a=2 ^{5}]

[eqn: therefore][eqn: a=16]

따라서 [eqn: g LEFT ( 5 RIGHT ) =16]

03 수1	04 로그함수
04 로그방정식과 부등식
01 로그방정식1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 23

방정식 [eqn: {log _{2} LEFT ( x+5 RIGHT )}{{from^2020^06^부산고2^}}][eqn: =4]의 해를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[해설]

방정식 [eqn: log _{2} LEFT ( x+5 RIGHT )][eqn: =4]에서 [eqn: x+5][eqn: =2 ^{4}]이다.

[eqn: x=16-5]이므로 [eqn: x=11]이다.

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 24

방정식[eqn: {log _{2} x=1+log _{4} LEFT ( 2x-3 RIGHT )}{{from^2020^평가원가^3}}]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x]의 값의 곱을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[해설]

진수 조건에 의하여 [eqn: x>0]이고 [eqn: 2x-3>0]이므로

[eqn: x> {3} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: log _{2} x=1+log _{4} LEFT ( 2x-3 RIGHT )]에서

[eqn: log _{4} x ^{2} =log _{4} 4 LEFT ( 2x-3 RIGHT )]

[eqn: x ^{2} =4 LEFT ( 2x-3 RIGHT )]，[eqn: x ^{2} -8x+12=0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) =0]

따라서 ㉠을 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: x=2] 또는 [eqn: 6]이므로 실수 [eqn: x]의 값의 곱은 [eqn: 2 TIMES 6=12]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 1

[eqn: {log_3 (log_27 x ) =log_27 ( log_3 x)}{{^2020^08^경찰대^중}}]가성립할 때, [eqn: (log_3 x)^2]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: log_3 x =t]라 하면 [eqn: log_27 x = 1over3 t]이므로

(좌변)[eqn: =log_3 (log_27 x )][eqn: =log_3 left( 1over3 t right)][eqn: =log_27 left(1over3 t right)^3]

(우변)[eqn: =log_27 t]

[eqn: THEREFORE ```` 1over27 t^3 =t], [eqn: t^2 =27]

[eqn: therefore][eqn: (log_3 x)^2][eqn: =27]

① [eqn: 1 over9]	② [eqn: 1 over27]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 27]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 23

방정식 [eqn: log _{3} LEFT ( x-2 RIGHT ) =1]의 해를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[해설]

[eqn: log _{3} LEFT ( x-2 RIGHT ) =1]에서 [eqn: x-2=3]이다.

따라서 [eqn: x=5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 24

방정식 [eqn: 2`log` _{4} ` LEFT ( x-3 RIGHT ) +log` _{2} ` LEFT ( x-10 RIGHT ) =3]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

[eqn: x-3,~x-10]은 로그의 진수이므로

[eqn: x-3>0], [eqn: x-10>0]에서 [eqn: x>10]

방정식 [eqn: 2`log` _{4} ` LEFT ( x-3 RIGHT ) +log` _{2} ` LEFT ( x-10 RIGHT ) =3]에서

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( x-3 RIGHT ) +log` _{2} ` LEFT ( x-10 RIGHT ) =log` _{2} `8]

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-10 RIGHT ) =log` _{2} `8]

[eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x-10 RIGHT ) =8]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-11 RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=11]

따라서 [eqn: x>10]이므로 [eqn: x=11]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 21

방정식 [eqn: log _{2} (x+4)+log _{{1} over {2}} (x-4)=1]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

진수 조건에 의해 [eqn: x+4>0], [eqn: x-4>0]

[eqn: therefore~x>4]

[eqn: log _{2}(x+4)+ log _{{1} over {2}}(x-4)= log _{2}(x+4)- log _{2}(x-4)]

[eqn: = log _{2} {x+4} over {x-4}=1]

따라서 [eqn: {x+4} over {x-4}=2]이므로 [eqn: 2 x-8=x+4]

[eqn: therefore~x=12]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 23

방정식 [eqn: log _{5}(x+1)=2]의 해를 구하시오.

[정답] [eqn: 24]

[해설]

진수 조건에 의해 [eqn: x>-1]이고

[eqn: log _{5}(x+1)=2]에서 [eqn: x+1=5^{2}]이므로 [eqn: x=24]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 16

방정식 [eqn: log _{2}(x+2)+ log _{2}(x-2)=5]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 6]

[해설]

진수조건에서

[eqn: x+2>0]이고 [eqn: x-2>0]

이어야 하므로

[eqn: x>2 cdots]㉠

[eqn: log _{2}(x+2)+ log _{2}(x-2)]

[eqn: = log _{2}(x+2)(x-2)]

[eqn: = log _{2} left(x^{2}-4 right)]

[eqn: =5]

에서

[eqn: x^{2}-4=2^{5}]

[eqn: x^{2}=36 cdots]㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: x=6]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

방정식

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: log _{2}(3 x+2)=2+ log _{2}(x-2)]에서

[eqn: 3x+2>0], [eqn: `x-2>0`]이므로    [eqn: x>2`]

[eqn: log _{2}(3 x+2)= log _{2} 2^{2}+ log _{2}(x-2)]

[eqn: log _{2} (3x+2)=log _{2} `4 LEFT ( x-2 RIGHT )]

이므로

[eqn: 3 x+2=4(x-2)]

[eqn: therefore] [eqn: x=10]

[eqn: log` _{2} LEFT (3x+2 RIGHT )=2+ log` _{2} LEFT (x-2 RIGHT )]

를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 16

방정식 [eqn: log _{3}(x-4)= log _{9}(x+2)]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: rm 7]

[해설]

[eqn: log _{3}(x-4)= log _{9}(x+2)]에서 진수 조건은 [eqn: x>4], [eqn: x>-2]이다. 따라서 [eqn: x>4]

로그의 성질에 의하여 [eqn: log _{3}(x-4)= log _{3^{2}}(x-4)^{2}]이므로

[eqn: log _{9}(x-4)^{2}= log _{9}(x+2)]에서

[eqn: (x-4)^{2}=(x+2)]

[eqn: x^{2}-9 x+14=0]

[eqn: (x-2)(x-7)=0]

따라서 [eqn: x=7( because x>4)]

03 수1	04 로그함수
04 로그방정식과 부등식
03 로그방정식3 (연립방정식)

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가

[정답] [eqn: 250]

[해설]

[eqn: loga =A], [eqn: logb =B], [eqn: logc =C]라 하고 준 식을 정리하면

[eqn: A+B- log2 = AB]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: B+C-log2 = BC]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: C+A = CA]	[eqn: cdotscdots] ㉢

(단, [eqn: A>1], [eqn: B>1], [eqn: C>1])

㉠[eqn: -]㉡에서 [eqn: A-C = B(A-C)]이므로 [eqn: A=C] ([eqn: because][eqn: B>1])

㉢에 대입하면 [eqn: 2C= C^2] 즉, [eqn: C=2] ([eqn: because][eqn: C>1])

[eqn: therefore][eqn: A=2]

㉠에 대입하면 [eqn: 2+B-log2 = 2B]

[eqn: therefore][eqn: B= log50]

[eqn: loga =2]에서 [eqn: a=100]

[eqn: logb=log50]에서 [eqn: b=50]

[eqn: logc =2]에서 [eqn: c=100]

[eqn: therefore][eqn: a+b+c][eqn: =250 from 넘버41]

[다른 풀이]

[eqn: loga =A], [eqn: logb =B], [eqn: logc =C]라 하면

[eqn: log`ab over2 =left(log`a right)left(log`b right)]에서

[eqn: A+B-log`2=AB], [eqn: left(A-1right)left(B-1right)=log`5]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: log`bc over2 =left(log`b right)left(log`c right)]에서

[eqn: B+C-log`2=BC], [eqn: left(B-1right)left(C-1right)=log`5]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: log`left(ca right)=left(log`c right)left(log`a right)]에서

[eqn: C+A=CA], [eqn: left(C-1right)left(A-1right)=1]	[eqn: cdotscdots] ㉢

㉠, ㉡, ㉢을 변끼리 곱하면

[eqn: left{left(A-1right)left(B-1right)left(C-1right)right}^2 =left(log`5right)^2]

[eqn: A>1], [eqn: B>1], [eqn: C>1]이므로

[eqn: left(A-1right)left(B-1right)left(C-1right)=log`5]	[eqn: cdotscdots] ㉣

㉣[eqn: div]㉠을 하면 [eqn: C-1=1], [eqn: log`c=2]

[eqn: therefore][eqn: c=100]

㉣[eqn: div]㉡을 하면 [eqn: A-1=1], [eqn: log`a=2]

[eqn: therefore][eqn: a=100]

㉣[eqn: div]㉢을 하면 [eqn: B-1=log`5], [eqn: log`b=log`50]

[eqn: therefore][eqn: b=50]

이상에서 [eqn: a+b+c=250]

[eqn: log `{ ab} over { 2}= LEFT ( log ` a RIGHT ) LEFT ( log ` b RIGHT )],
[eqn: log ` {bc} over {2} = LEFT ( log ` b RIGHT ) LEFT ( log ` c RIGHT )],
[eqn: log ` LEFT ( ca RIGHT ) = LEFT ( log ` c RIGHT ) LEFT ( log ` a RIGHT )]

를 만족시킬 때, [eqn: a+b+c]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 모두 [eqn: 10]보다 크다.)

03 수1	04 로그함수
04 로그방정식과 부등식
05 로그방정식5 (해석)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 14

[eqn: x>0]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: 0<t<1]일 때, [eqn: {1} over {t} >1]이므로
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {t} RIGHT ) =0+log _{3} {1} over {t} =2]에서 [eqn: t= {1} over {9}]이다.

(ⅱ) [eqn: t=1]일 때, [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {t} RIGHT ) =0!=2]

(ⅲ) [eqn: t>1]일 때, [eqn: 0< {1} over {t} <1]이므로
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {t} RIGHT ) =log _{3} t + 0=2]에서 [eqn: t=9]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {t} RIGHT ) =2]를 만족시키는 모든 양수 [eqn: t]의 값의 합은

[eqn: {1} over {9} +9= {82} over {9}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ ``````` 0&&&LEFT ( 0<x LEQ 1 RIGHT )#log _{3} x&&&LEFT ( x>1 RIGHT )}}]

에 대하여 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) +f LEFT ( {1} over {t} RIGHT ) =2]를 만족시키는 모든 양수 [eqn: t]의 값의 합은?

① [eqn: {76} over {9}]	② [eqn: {79} over {9}]	③ [eqn: {82} over {9}]

④ [eqn: {85} over {9}]	⑤ [eqn: {88} over {9}]

03 수1	04 로그함수
04 로그방정식과 부등식
06 로그부등식1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 6

부등식[eqn: {log _{18} LEFT ( n ^{2} -9n+18 RIGHT ) <1}{{from^2020^03^경기고3가^}}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은?

[정답] ⑤

[해설]

진수 조건에 의해

[eqn: n ^{2} -9n+18>0], [eqn: LEFT ( n-6 RIGHT ) LEFT ( n-3 RIGHT ) >0]

[eqn: n<3] 또는 [eqn: n>6]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: log _{18} LEFT ( n ^{2} -9n+18 RIGHT ) <1]에서 [eqn: n ^{2} -9n+18<18]이므로

[eqn: n ^{2} -9n<0], [eqn: n LEFT ( n-9 RIGHT ) <0]

[eqn: 0<n<9]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 모두 만족시키는 [eqn: n]의 값의 범위는

[eqn: 0<n<3] 또는 [eqn: 6<n<9]

이를 만족시키는 자연수는 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 7 ,```` 8]이므로 구하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 1+2+7+8][eqn: =18]

① [eqn: 14]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 18]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 24

부등식[eqn: 2+{ log_{ 1 over3 }{ (2x-5) >0}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x`]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 4 }]

[해설]

[eqn: { log_{ 1 over3 }{ (2x-5) }{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]에서 진수조건에 의해 [eqn: 2x -5 >0]이므로 [eqn: x > 5over 2]

[eqn: 2+{ log_{ 1 over3 }{ (2x-5) >0}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]이므로 [eqn: { log_{ 1 over3 }{ (2x-5) > -2]

[eqn: 2x- 5 < 9], [eqn: 2x<14]

[eqn: therefore][eqn: x<7]

[eqn: therefore][eqn: 5 over 2 < x < 7]

따라서 만족하는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 3,````4,````5,````6`]이고, 개수는 [eqn: 4`]개다.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 6

부등식 [eqn: {log 3x<2}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: log3x<2 ,````][eqn: log3x<log100]

상용로그의 밑이 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: 0<3x<100 ,````][eqn: 0<x< {100} over {3}]

따라서 정수 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: 33]

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 8

부등식 [eqn: {log _{2} (x ^{2} -7x)-log _{2} (x+5) LEQ 1}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: log _{2} (x ^{2} -7x)-log _{2} (x+5) LEQ 1]의 진수조건에서

[eqn: -5<x<0] 또는 [eqn: x>7]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: log _{2} (x ^{2} -7x) LEQ log _{2} 2(x+5)]이므로

[eqn: x ^{2} -7x LEQ 2x+10], [eqn: x ^{2} -9x-10 LEQ 0]

[eqn: LEFT ( x-10 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) LEQ 0], [eqn: -1 LEQ x LEQ 10]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: -1 LEQ x<0] 또는 [eqn: 7<x LEQ 10]

따라서 부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1 ,```` 8 ,```` 9 ,```` 10]이므로 그 합은 [eqn: 26]이다.

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 27

부등식

[정답] [eqn: bold { 4 }]

[해설]

[eqn: LEFT | x-1 RIGHT |]과 [eqn: x+2]는 로그의 진수이므로

[eqn: LEFT | x-1 RIGHT | >0], [eqn: x+2>0]

[eqn: therefore][eqn: x != 1], [eqn: x>][eqn: -2]

(ⅰ) [eqn: -2<x<1]인 경우
[eqn: log LEFT ( -x+1 RIGHT ) +log LEFT ( x+2 RIGHT ) LEQ 1]
[eqn: LEFT ( -x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT ) LEQ 10], [eqn: x ^{2} +x-2 GEQ -10]
[eqn: x ^{2} +x+8= LEFT ( x+ {1} over {2} RIGHT ) ^{2} + {31} over {4} GEQ 0]
[eqn: -2<x<1]인 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 항상 성립한다.
[eqn: x]는 정수이므로 [eqn: x=`-1] 또는 [eqn: x=0]

(ⅱ) [eqn: x>1]인 경우
[eqn: log LEFT ( x-1 RIGHT ) `+log LEFT ( x+2 RIGHT ) LEQ 1]
[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEQ 10], [eqn: LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) LEQ 0]
[eqn: -4 LEQ x LEQ 3]
[eqn: x>1]이므로 [eqn: 1<x LEQ 3]
[eqn: x]는 정수이므로 [eqn: x=2] 또는 [eqn: x=3]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은

[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) +0+2+3=4]

[eqn: {log LEFT | x-1 RIGHT | +log LEFT ( x+2 RIGHT ) LEQ 1}{{from^2021^9 고2인천^중}}]

을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 12

부등식

[정답] ①

[해설]

진수 조건에서 [eqn: x+5>0], 즉 [eqn: x>-5 cdots cdots]㉠ [eqn: log _{3}(x+5)<8 log _{3^{2}} 2]에서

[eqn: log _{3}(x+5)< log _{3} 2^{4}]

[eqn: x+5<16], 즉 [eqn: x<11 ~ cdots cdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: -5<x<11]이므로 정수 [eqn: x]의 최댓값은 [eqn: rm 10], 최솟값은 [eqn: -4]이다.

따라서 정수 [eqn: x]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: rm 6]이다.

[eqn: log _{3}(x+5)<8 log _{9} 2]

를 만족시키는 정수 [eqn: x]의 최댓값과 최솟값의 합은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 5

부등식 [eqn: log _{2} x leq 4- log _{2}(x-6)]을 만족시키는 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: x], [eqn: x-6]은 로그의 진수이므로 [eqn: x>0], [eqn: x-6>0]에서

[eqn: x>6][eqn: cdotscdots]㉠

[eqn: log _{2} x leq 4- log _{2}(x-6)]

[eqn: log _{2} x(x-6) leq log _{2} 16]

[eqn: x^{2}-6 x-16 leq 0]에서 [eqn: -2 leq x leq 8][eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 6<x leq 8]

따라서 모든 정수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 7+8=15]

① [eqn: rm 15]	② [eqn: rm 19]	③ [eqn: rm 23]

④ [eqn: rm 27]	⑤ [eqn: rm 31]

03 수1	04 로그함수
04 로그방정식과 부등식
09 로그부등식4 (해의 조건)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 8

[eqn: {x}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]에대한 연립부등식

[정답] ①

[해설]

[eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1-x} GEQ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4x-4}]에서 [eqn: 1-x LEQ 4x-4]

[eqn: therefore][eqn: x GEQ 1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: log _{2} 4x<log _{2} LEFT ( x+k RIGHT )]에서 [eqn: 0<4x<x+k]

[eqn: therefore][eqn: 0<x< {k} over {3}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 [eqn: x]가 존재하지 않으므로

양수 [eqn: k]는 [eqn: 0<{k} over {3} LEQ 1]	[eqn: THEREFORE ```` 0<k LEQ 3]

따라서 최대가 되는 [eqn: k]의 값은 [eqn: 3]

[eqn: {cases{LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{1-x} GEQ LEFT ( {1} over {16} RIGHT ) ^{x-1}&it# log _{2} 4x<log _{2} LEFT ( x+k RIGHT )}}]

의 해가 존재하지 않도록 하는 양수 [eqn: k]의 최댓값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

03 수1	04 로그함수
04 로그방정식과 부등식
10 로그부등식5 (해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 15

[eqn: {-1 LEQ x LEQ 1}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = -log _{3} LEFT ( mx+5 RIGHT )]에 대하여 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) <f LEFT ( 1 RIGHT )]이 되도록 하는 모든 정수 [eqn: m]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = -log _{3} LEFT ( mx+5 RIGHT )]는 [eqn: -1 LEQ x LEQ 1]에서 정의되므로

[eqn: -5<m<5]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) <f LEFT ( 1 RIGHT )]이므로 [eqn: m<0]

따라서 [eqn: -5<m<0]인 모든 정수 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 4]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

03 수1	04 로그함수
05 로그함수의 활용
02 활용2 (방정식의 실근 조건, 치환)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 21

상수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 좌표평면의 점 [eqn: {rm{A}} it (a,`` b)]가 오직 하나 존재한다.

[정답] [eqn: 12]

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it (a,`` b)]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하면 [eqn: {rm{B}} it (b,`` a)]이다.

조건 (가)에서 점 [eqn: {rm{A}} it (a,`` b)]가 곡선 [eqn: y= log _{2}(x+2)+k]

위의 점이므로

[eqn: b= log _{2}(a+2)+k cdots cdots] ㉠

조건 (나)에서 점 [eqn: {rm{B}} it (b,`` a)]가 곡선 [eqn: y=4^{x+k}+2] 위의

점이므로

[eqn: a=4^{b+k}+2 cdots cdots] ㉡

㉠에서

[eqn: b-k= log _{2}(a+2)], [eqn: 2^{b-k}=a+2]

[eqn: a=2^{b-k}-2 cdots cdots] ㉢

㉡, ㉢을 연립하여 정리하면

[eqn: 4^{b+k}+2=2^{b-k}-2]

[eqn: 4^{k} times 4^{b}-2^{-k} times 2^{b}+4=0 ~][eqn: CDOTSCDOTS] ㉣

조건을 만족시키는 점 [eqn: {rm{A}} it]가 오직 하나이므로 방정식

㉣을 만족시키는 실수 [eqn: b]는 오직 하나이고

[eqn: 2^{b}=t(t>0)]으로 놓으면 [eqn: t]에 대한 이차방정식 [eqn: 4^{k} t^{2}-2^{-k} t+4=0 ~ cdots cdots] ㉤

은 오직 하나의 양의 실근을 갖는다. [eqn: t]에 대한 이차방정식 ㉤의 두 근의 곱은 [eqn: {4} over {4^{k}}=4^{1-k}>0]이므로 [eqn: t]에 대한 이차방정식 ㉤이 오직 하나의 양의 실근을 가지려면 ㉤의 판별식을 [eqn: D]라 할 때 [eqn: D=0]이어야 한다. [eqn: D= left(-2^{-k} right)^{2}-4 times 4^{k} times 4]

[eqn: =4^{-k}-16 times 4^{k}=0]

위의 방정식의 양변에 [eqn: 4^{k}]을 곱하여 정리하면

[eqn: 2^{4 k+4}=1], [eqn: k=-1]

㉤에 대입하여 정리하면

[eqn: {1} over {4} t^{2}-2 t+4=0], [eqn: {1} over {4}(t-4)^{2}=0]

[eqn: t=4]

즉, [eqn: 2^{b}=4]에서 [eqn: b=2]이다.

[eqn: k=-1], [eqn: b=2]를 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: a=4^{2+(-1)}+2=6]

따라서 [eqn: a times b=6 times 2=12]

(가) 점 [eqn: {rm{A}} it]는 곡선 [eqn: y= log _{2}(x+2)+k] 위의 점이다.

(나) 점 [eqn: {rm{A}} it]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 점은
곡선 [eqn: y=4^{x+k}+2] 위에 있다.

[eqn: a times b]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a neq b])

03 수1	04 로그함수
05 로그함수의 활용
04 활용4 (부등식의 성립조건)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 17

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 이차부등식

[정답] [eqn: 6]

[해설]

이차방정식 [eqn: 3x^2 -2left( log_{`2} `n right) x + log_{`2}`n][eqn: =0`]의 판별식을 [eqn: D``]라 할 때, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 주어진 이차부등식이 성립하기 위해서는
[eqn: D over 4][eqn: =LEFT ( log _{`2} `n RIGHT ) ^{2} -3 TIMES log _{`2} `n<0`],

[eqn: left ( log_{`2} `n -3 right)`log_{`2}`n <0], [eqn: 0 < log_{`2} `n <3], [eqn: 1 < n <8]

[eqn: n`]은 자연수이므로 [eqn: n][eqn: =2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7]

따라서 조건을 만족하는 자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 6`]

[eqn: 3x ^{2} -2 LEFT ( log _{`2} `n RIGHT ) `x+`log _{`2} `n>0`]

이 성립하도록 하는 자연수 [eqn: n`]의 개수를 구하시오.

03 수1	04 로그함수
05 로그함수의 활용
05 활용5 (그래프를 이용한 대소비교)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 21

두 곡선 [eqn: { y= left| ``2^x -4 ``right|}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}], [eqn: y= log_2 x]가 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: x_1], [eqn: x_2] ([eqn: x_1 < x_2])라 할 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ②

[해설]

ㄱ. 그림에서 [eqn: log_2 3 < x_1 < x_2 < log_2 6]이 성립한다.	(참)

ㄴ. 그림에서 색칠한 사다리꼴의 넓이에서
[eqn: 1 over2 ( x_2 -x_1 ) ( 2^ { x_2 } - 2^{ x_1} ) < 3 over2]	(참)

ㄷ. 그림에서 빨간 직각삼각형의 높이에서
[eqn: ( 2^{ x_2 } -4) - ( 4- 2^{ x_1} ) < log_2 ( log_2 6 ) - log_2 ( log_2 3 )]
[eqn: 2^ { x_1} + 2^{ x_2} < 8 + log_2 ( log_3 6 )]	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: log_2 3 < x_1 < x_2 < log_2 6] ㄴ. [eqn: (x _2 - x_1 ) ( 2^ { x_2 } - 2^{ x_1 } ) <3] ㄷ. [eqn: 2^ { x_1} + 2^{ x_2 } > 8 + log_2 ( log_3 6 )]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 21

두 곡선 [eqn: {y=2 ^{-x} }{{from^2020^10^서울고3나^5}}`]과 [eqn: y= left | {rm log` } it _{2} x right | `]가 만나는 두 점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,`` y _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,`` y _{2} RIGHT ) `]라 하자. [eqn: x _{1} <x _{2} `]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: y][eqn: =2 ^{-x}], [eqn: y][eqn: = left |`` log _{2} x ``right |], [eqn: y][eqn: =x]의 그래프는 그림과 같다.

ㄱ. [eqn: 0<x<1]일 때,
두 곡선 [eqn: y][eqn: =2 ^{-x}], [eqn: y][eqn: = it -log _{2} x]의 교점은 직선 [eqn: y][eqn: =x]위에 있으므로 [eqn: x _{1}][eqn: =y _{1}]이고 [eqn: x _{1} <1], [eqn: y _{1} <1]
그림에서 [eqn: y][eqn: =2 ^{-x}]은 감소함수이므로
[eqn: 2 ^{-1} <2 ^{-x _{1}}][eqn: =y _{1}]
즉, [eqn: {1} over {2} <y _{1} =x _{1}]
한편, [eqn: -log _{2} {sqrt {2}} over {2}][eqn: = {1} over {2} <y _{1}][eqn: = it -log _{2} x _{1}]이고
[eqn: y][eqn: = it -log _{2} x]는 감소함수이므로 [eqn: x _{1} < {sqrt {2}} over {2}]
그러므로 [eqn: {1} over {2} < x _{1} < {sqrt {2}} over {2}]	(참)

ㄴ. [eqn: 2 ^{- root {3} of {2}}][eqn: = {1} over {2 ^{root {3} of {2}}}]이고 [eqn: log _{2} root {3} of {2}][eqn: = {1} over {3}]
그런데 [eqn: 8<9]이므로 [eqn: 2 ^{{3} over {2}} <3]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠
[eqn: root {3} of {2}]와 [eqn: {3} over {2}]을 각각 세제곱하면 [eqn: LEFT ( root {3} of {2} RIGHT ) ^{3} < LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{3}]이므로
[eqn: root {3} of {2} < {3} over {2}] 즉, [eqn: 2 ^{root {3} of {2}} <2 ^{{3} over {2}}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: 2 ^{root {3} of {2}} <2 ^{{3} over {2}} <3]이므로
[eqn: log _{2} root {3} of {2} <2 ^{- root {3} of {2}}]
그러므로 [eqn: root {3} of {2} <x _{2}]
또, [eqn: log _{2} sqrt {2}][eqn: = {1} over {2}], [eqn: 2 ^{- sqrt {2}}][eqn: = {1} over {2 ^{sqrt {2}}}]
[eqn: {1} over {2} > {1} over {2 ^{sqrt {2}}}]이므로 [eqn: log _{2} sqrt {2} >2 ^{- sqrt {2}}]
그림에서 [eqn: x _{2} < sqrt {2}]
그러므로 [eqn: root {3} of {2} <x _{2} < sqrt {2}]	(참)

ㄷ. [eqn: y _{1} =x _{1}]이므로 ㄱ에서 [eqn: {1} over {2} <y _{1} < {sqrt {2}} over {2}]
[eqn: y _{2}][eqn: =log _{2} x _{2}]이고 [eqn: root {3} of {2} <x _{2} < sqrt {2}],
[eqn: log _{2} root {3} of {2} <log _{2} x _{2} <log _{2} sqrt {2}]이므로
[eqn: {1} over {3} <y _{2} < {1} over {2}]
그러므로 [eqn: y _{1} - y _{2} < {sqrt {2}} over {2} - {1} over {3} < {3 sqrt {2} -2} over {6}]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: {1} over {2} < x _{1} < {sqrt {2}} over {2}] ㄴ. [eqn: root {3} of {2} <x _{2} < sqrt {2}] ㄷ. [eqn: y _{1} - y _{2} < {3 sqrt {2} -2} over {6}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 20

[eqn: 1<a<4]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: y= log _{a} x]의 그래프와 함수 [eqn: y={1} over {x}]의 그래프가 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it (p,`` q)]라 할 때, [eqn: <]보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f(x)={1} over {x}], [eqn: g(x)= log _{a} x]라 하자.

ㄱ. 점 [eqn: {rm{A}} it (p,`` q)]는 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프 위의 점이므로 [eqn: q={1} over {p}], 즉 [eqn: p q=1] (참)

ㄴ. [eqn: f(x)>g(x)]이면 [eqn: 0<x<p]이고 [eqn: f(x)<g(x)]이면 [eqn: x>p]이다.

[eqn: f( sqrt{2})={1} over { sqrt{2}}]이고 [eqn: a=2]이므로 [eqn: g( sqrt{2})={1} over {2}]이다.

[eqn: f( sqrt{2})>g( sqrt{2})]이다.

따라서 [eqn: p> sqrt{2}] (참)

ㄷ. 점 [eqn: {rm{B}} it (p+q,`` 0)]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{AOB}} it]의 넓이 [eqn: S(p)]는

[eqn: S(p)={1} over {2} times(p+q) times q={p q} over {2}+{q^{2}} over {2}={1} over {2}+{1} over {2 p^{2}}]

이다.

한편, [eqn: f( sqrt{a})={1} over { sqrt{a}}]이고 [eqn: g( sqrt{a})={1} over {2}]이다.

[eqn: 1< sqrt{a}<2]이므로 [eqn: f( sqrt{a})>g( sqrt{a})]이다.

따라서 [eqn: p> sqrt{a}]이고, [eqn: {1} over {p}<{1} over { sqrt{a}}]이다.

그러므로 [eqn: S(p)={1} over {2}+{1} over {2 p^{2}}<{1} over {2}+{1} over {2 a}={a+1} over {2 a}] (참)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: p q=1] ㄴ. [eqn: a=2]일 때, [eqn: p> sqrt{2}]이다. ㄷ. 원점 [eqn: {rm{O}} it]와 점 [eqn: {rm{B}} it (p+q,`` 0)]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{AOB}} it]의 넓이를 [eqn: S(p)]라 할 때, [eqn: S(p)<{a+1} over {2 a}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	04 로그함수
05 로그함수의 활용
06 활용6 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 21

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: {f(x)}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: f(x)=cases{``````````x+2 && &(0le x <1)#-2x+5&&&(1le x le2)]

[eqn: f(-x)=f(x)], [eqn: f(x)=f(x+4)]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 [eqn: y]축에 대하여 대칭이고 주기는 [eqn: 4]이다.

[eqn: 1le f(x) le 3]이므로

[eqn: log_{2^{n}} (x+2n)=1], [eqn: x+2n=2^{n}], [eqn: x=2^{n}-2n]

[eqn: log_{2^{n}}(x+2n)=2], [eqn: x+2n=2^{2n}], [eqn: x=2^{2n}-2n]

[eqn: log_{2^{n}} (x+2n)=3], [eqn: x+2n=2^{3n}], [eqn: x=2^{3n}-2n]

함수 [eqn: y=log_{2^{n}}(x+2n)]의 그래프는 세 점 [eqn: left(2^{n}-2n ,```` 1)], [eqn: left(2^{2n}-2n ,```` 2)], [eqn: left(2^{3n}-2n ,```` 3)]을 지난다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, 함수 [eqn: y=log_{2} (x+2)]의 그래프는 세 점 [eqn: (0 ,```` 1)], [eqn: (2 ,```` 2)], [eqn: (6 ,```` 3)]을 지난다.
함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{2} (x+2)]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 5]

따라서 [eqn: a_{1}=5]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, 함수 [eqn: y=log_{4} (x+4)]의 그래프는 세 점 [eqn: (0 ,```` 1)], [eqn: (12 ,```` 2)], [eqn: (60 ,```` 3)]을 지난다.
[eqn: 1 le f(x) <2]일 때, [eqn: 0le x le 4]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이고 함수 [eqn: y=f(x)]는 주기가 [eqn: 4]이므로 [eqn: 0le x <12]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{4} (x+4)]의 그래프가 만나는 모든 점의 개수는
[eqn: 2 times{12}over{4}=6]

[eqn: 2le f(x) le3]일 때, [eqn: 12 le x le 16]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{4} (x+4)]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4]이고 함수 [eqn: y=f(x)]는 주기가 [eqn: 4]이므로 [eqn: 12 le x le 60]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{4} (x+4)]의 그래프가 만나는 모든 점의 개수는
[eqn: 4 times{60-12}over{4}=48]

따라서 [eqn: a_{2}=6+48=54]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, 함수 [eqn: y=log_{8} (x+6)]의 그래프는 세 점 [eqn: (2 ,```` 1)], [eqn: (58 ,```` 2)], [eqn: (506 ,```` 3)]을 지난다.
[eqn: 1le f(x) <2]일 때 [eqn: 2le x le6]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{8} (x+6)]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이고 함수 [eqn: y=f(x)]는 주기가 [eqn: 4]이므로 [eqn: 2 le x <58]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{8} (x+6)]의 그래프와 만나는 모든 점의 개수는
[eqn: 2 times{58-2}over{4}=28]
[eqn: 2le f(x) le 3]일 때, [eqn: 58 le x le 62]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{8} (x+6)]의 그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 4]이고 함수 [eqn: y=f(x)]는 주기가 [eqn: 4]이므로
[eqn: 58 le x le 506]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 함수 [eqn: y=log_{8} (x+6)]의 그래프가 만나는 모든 점의 개수는
[eqn: 4times{506-58}over{4}=448]
따라서 [eqn: a_{3}=28+448=476]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}=5+54+448=476]

(가) [eqn: f(x)=cases{```````x+2 &&&(0le x <1)#-2+5&&&(1le x le2)]

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f(-x)=f(x)]이고 [eqn: f(x)=f(x+4)]이다.

[eqn: n]이 자연수일 때, 함수 [eqn: y=log_{2^{n}} (x+2n)]의 그래프와 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 만나는 서로 다른 모든 점의 개수를 [eqn: a_{n}]이라 하자. [eqn: a_{1}+a_{2}+a_{3}]의 값은?

① [eqn: 532]	② [eqn: 535]	③ [eqn: 538]

④ [eqn: 541]	⑤ [eqn: 544]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 16

두함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2020^04^서울고3가^}}][eqn: =x ^{2} -6x+11], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =log _{3} x]가 있다. 정수 [eqn: k]에 대하여

[정답] ③

[해설]

정수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: k<log _{3} f LEFT ( n RIGHT ) <k+2]

밑 [eqn: 3]이 [eqn: 1]보다 크므로 [eqn: 3 ^{k} < LEFT ( n-3 RIGHT ) ^{2} +2<3 ^{k+1}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수가 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]이다.

(ⅰ) [eqn: k=0]인 경우
[eqn: 1< LEFT ( n-3 RIGHT ) ^{2} +2<9], [eqn: -1< LEFT ( n-3 RIGHT ) ^{2} <7]에서
[eqn: n=1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5]이므로 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) =5]

(ⅱ) [eqn: k=3]인 경우
[eqn: 27< LEFT ( n-3 RIGHT ) ^{2} +2<243], [eqn: 25< LEFT ( n-3 RIGHT ) ^{2} <241]에서
[eqn: n=9 ,```` 10 ,```` CDOTS ,```` 18]이므로 [eqn: h LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

따라서 [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) +h LEFT ( 3 RIGHT )][eqn: =15]

[eqn: k< LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( n RIGHT ) <k+2]

를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수를 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: h LEFT ( 0 RIGHT ) +h LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 20

자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: y=1]이 곡선 [eqn: y=2 ^{x} -1], 직선 [eqn: y=- LEFT ( 1+log _{2} n RIGHT ) x+7]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하자. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB] 사이의 거리를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ③

[해설]

ㄱ. [eqn: n=2]일 때, [eqn: rmA LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( 3 ,```` 1 RIGHT )]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]	(참)

ㄴ. 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {6} over {1+log _{2} n} ,```` 1 RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) ge1]을 만족시키는 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]은 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {6} over {1+log _{2} n} -1]이다.
[eqn: {6} over {1+log _{2} n} -1ge1]에서 [eqn: 1+log _{2} n{le}3]이므로 [eqn: 1{le}n{le}4]이다. 따라서 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) ge1]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 4]	(참)

ㄷ. [eqn: |`` f LEFT ( n RIGHT ) -1 ``| ge {2} over {3}]에서 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) ge {3} over {5}] 또는 [eqn: 0{le}f LEFT ( n RIGHT ) {le} {1} over {3}]이다.

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) ge {5} over {3}]를 만족시키는 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]은 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {6} over {1+log _{2} n} -1]이다. [eqn: {6} over {1+log _{2} n} -1ge {5} over {3}]에서 [eqn: {6} over {1+log _{2} n} ge {8} over {3}]이므로 [eqn: log _{2} n{le} {5} over {4}]이다. 따라서 [eqn: 1{le}n{le}2 ^{{5} over {4}}]이고 [eqn: 2<2 ^{{5} over {4}} <3]이므로 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 1 ,```` 2]이다.

(ⅱ) [eqn: 0{le}f LEFT ( n RIGHT ) le {1} over {3}]을 만족시키는 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]은 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = LEFT |`` {6} over {1+log _{2} n} -1 ``RIGHT |]이다. [eqn: 0{le} LEFT |`` {6} over {1+log _{2} n} -1 `` RIGHT | le {1} over {3}]에서 [eqn: {2} over {3} le {6} over {1+log _{2} n} le {4} over {3}]이므로 [eqn: {7} over {2} {le}log _{2} n{le}8]이다. 따라서 [eqn: 2 ^{{7} over {2}} {le}n{le}2 ^{8}]이고 [eqn: 11<2 ^{{7} over {2}} <12]이므로 자연수 [eqn: n]은 [eqn: 12], [eqn: 13], [eqn: 14 ,````][eqn: cdots], [eqn: 256]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: n=1 ,```` 2 ,```` 12 ,```` 13 ,```` 14 ,```` cdots ,```` 256]이므로 [eqn: |`` f LEFT ( n RIGHT ) -1 ``| ge {2} over {3}]를 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 247]

(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2] ㄴ. [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) ge1]을 만족시키는 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 4]이다. ㄷ. [eqn: |`` f LEFT ( n RIGHT ) -1 ``| ge {2} over {3}]를 만족시키는 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 245]이다.

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT (x RIGHT )]를

[정답] [eqn: 33]

[해설]

(ⅰ) [eqn: x<0]일 때
함수 [eqn: y=3^{x+2}-n]의 그래프는 함수 [eqn: y=3^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -n]만큼 평행이동한 그래프이다.
자연수 [eqn: n]의 값에 따른 함수 [eqn: y= left|3^{x+2}-n right|]의 그래프는 다음과 같다.

(1) [eqn: 9-n>0`]일 때

따라서 방정식 [eqn: f left(x right)=t`]의 실근의 개수의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.

(2) [eqn: 9-n le0`]일 때

따라서 방정식 [eqn: f left(x right)=t`]의 실근의 개수의 최댓값은 [eqn: 1]이다.

(ⅱ) [eqn: x ge0`]일 때
함수 [eqn: y= log _{2}(x+4)-n]의 그래프는 함수 [eqn: y= log _{2} x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -4]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -n]만큼 평행 이동한 그래프이다.
자연수 [eqn: n]의 값에 따른 함수 [eqn: y= left| log _{2}(x+4)-n right|]의 그래프는 다음과 같다.

(1) [eqn: 2-n ge0`]일 때

따라서 방정식  [eqn: f left(x right)=t`]의 실근의 개수의 최댓값은 [eqn: 1`]이다.

(2) [eqn: 2-n<0`]일 때

따라서 방정식 [eqn: f left(x right)=t`]의 실근의 개수의 최댓값은 [eqn: 2`]이다.

함수 [eqn: g(t)]의 최댓값이 [eqn: rm 4]이므로 [eqn: 9-n>0]이고 [eqn: 2-n<0]이어야 한다.

즉, [eqn: 2<n<9]이므로 자연수 [eqn: n]의 값은

[eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]

이고, 그 합은

[eqn: 3+4+5+6+7+8=33]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )= {cases{LEFT | 3 ^{x+2} -n RIGHT | && LEFT (x<0 RIGHT )#LEFT | log` _{2} LEFT (x+4 RIGHT )-n RIGHT |&& LEFT (x GEQ 0 RIGHT )}}]

이라 하자. 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f LEFT (x RIGHT )=t]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: g LEFT (t RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: g LEFT (t RIGHT )]의 최댓값이 [eqn: rm 4]가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

03 수1	04 로그함수
05 로그함수의 활용
07 활용7 (격자점 문제)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 21

상수 [eqn: k]에 대하여 정의역과 공역이 각각 실수 전체의 집합인 함수

[정답] ①

[해설]

두 곡선 [eqn: y=-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2]와 [eqn: y=2 ^{-x-2} -2]는 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

정의역과 공역이 각각 실수 전체의 집합인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 일대일대응이므로 상수 [eqn: k]의 값은 두 곡선의 교점의 [eqn: x]좌표이다.

곡선 [eqn: y=-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2]와 [eqn: x]축의 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: - {7} over {4}]이므로 [eqn: k>- {7} over {4}]이다.

[eqn: k{ge}-1]이라 가정하면 [eqn: k=-log _{2} LEFT ( k+2 RIGHT ) -2]이므로

[eqn: k=-log _{2} LEFT ( k+2 RIGHT ) -2le-log _{2} LEFT { LEFT ( -1 RIGHT ) +2 RIGHT } -2=-2]

가 되어 모순이므로 [eqn: k<{-1}]이다.

따라서 [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: - {7} over {4} <k<{-1}]이다.

두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: -2le{x}<k]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{-x-2} -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log _{2} LEFT ( 2-x RIGHT ) +2]이고
[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) =-1], [eqn: g LEFT ( -2 RIGHT ) =4]이므로
[eqn: LEFT ( -2 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -2 ,```` 3 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( -2 ,```` 4 RIGHT )] : [eqn: 6]개

(ⅱ) [eqn: k LEQ x<{-k}]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log _{2} LEFT ( 2-x RIGHT ) +2]이고

① [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =-2], [eqn: 3<g LEFT ( -1 RIGHT ) <4]이므로
[eqn: LEFT ( -1 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` 1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( -1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -1 ,```` 3 RIGHT )] : [eqn: 6]개

② [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-3], [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =3]이므로
[eqn: LEFT ( 0 ,```` -3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` 1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 0 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )] : [eqn: 7]개

③ [eqn: -4<f LEFT ( 1 RIGHT ) <{-3}], [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로
[eqn: LEFT ( 1 ,```` -3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` -1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1 ,```` 1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )] : [eqn: 6]개

(ⅲ) [eqn: -k{le}x{le}2]일 때,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =-2 ^{x-2} +2]이고
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =-4], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이므로
[eqn: LEFT ( 2 ,```` -4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` -3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` -2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` -1 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( 2 ,```` 0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2 ,```` 1 RIGHT )] : [eqn: 6]개

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: 6+6+7+6+6=31]

따라서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) {le}b{le}g LEFT ( a RIGHT )]를 만족시키는 정수 [eqn: a ,```` b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )]의 개수는 [eqn: 31]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```````````````````2 ^{-x-2}&&& LEFT ( x<k RIGHT )#-log _{2} LEFT ( x+2 RIGHT ) -2&&& LEFT ( x{ge}k RIGHT )}}]

가 일대일대응이다. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {cases{log _{2} LEFT ( 2-x RIGHT ) +2&&& LEFT ( x<{-}k RIGHT )#-2 ^{x-2} +2&&& LEFT ( x{ge}-k RIGHT )}}]

라 할 때, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) {le}b{le}g LEFT ( a RIGHT )]를 만족시키는 정수 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )]의 개수는? [eqn: (]단, [eqn: -2 LEQ a LEQ 2)]

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

[수학1] [4로그함수] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 24 }]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 15 }]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 75 }]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold{12}]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 192 }]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[정답] [eqn: 49]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: BOLD16]

[정답] [eqn: bold { 11 }]

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 5 }]

[정답] [eqn: 11]

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: 24]

[정답] [eqn: 6]

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: rm 7]

[정답] [eqn: 250]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 4 }]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 4 }]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: 6]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 33]

[정답] ①

[수학1] [4로그함수] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.27