		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	03	[수학1] [3지수함수] 교사평경 최근 3개년

03 수1	03 지수함수
01 지수함수의 그래프
02 지수함수의 그래프2 (평행이동과 대칭이동)

교사평경3		년도별경향
03		[수학1] [3지수함수] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [3지수함수] 교사평경 최근 3개년		03

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 5

함수[eqn: {y=4 ^{x} -1}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프가 함수 [eqn: y=2 ^{2x-3} +3]의 그래프가 일치할 때, [eqn: ab]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: y=4 ^{x} -1]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프는

[eqn: y=4 ^{x-a} -1+b]

따라서 [eqn: y][eqn: =2 ^{2x-2a} -1+b][eqn: =2 ^{2x-3} +3]이므로

[eqn: a= {3} over {2} ,```` b=4]

[eqn: THEREFORE ```` ab=6]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 26

지수함수[eqn: {y=5^{x}}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y={1}over9}times5^{x-1}+2]의 그래프와 일치한다. [eqn: 5^{a}+b]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold{47}]

[해설]

지수함수 [eqn: y=5^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는 [eqn: y=5^{x-a}+b]이다.

[eqn: 5^{-a}={1}over{9}times5^{-1}], [eqn: b=2]이다.

[eqn: 5^{a}=45]이고 [eqn: b=2]

따라서 [eqn: 5^{a}+b=47]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 3

함수[eqn: y = 2^x `]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: m `]만큼 평행이동한 그래프가 점 [eqn: LEFT ( -1,`` 2 RIGHT ) `]를 지날 때, 상수 [eqn: m `]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: y = 2^x + m], [eqn: m = y - 2^x = 2 - 2^-1 = 2 - 1 over2 = 3 over2]

① [eqn: 1 over 2`]	② [eqn: 1`]	③ [eqn: 3 over 2`]

④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 5 over 2`]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 8

함수 [eqn: {y=3 ^{x}}{{from^2021^9 고2인천^중}}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동한 그래프는 점 [eqn: LEFT ( 7,````5 RIGHT )]를 지나고, 점근선의 방정식이 [eqn: y=2]이다. [eqn: m+n]의 값은?
(단, [eqn: m,````n]은 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y=3 ^{x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: n]만큼 평행이동하면 함수 [eqn: y=3 ^{x-m} +n]의 그래프와 일치하고, 점근선의 방정식이 [eqn: y=2]이므로 [eqn: n=2]

점 [eqn: LEFT ( 7,````5 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 5=3 ^{7-m} +2]

[eqn: 3 ^{7-m} =3], [eqn: m=6]

따라서 [eqn: m+n=6+2=8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

03 수1	03 지수함수
01 지수함수의 그래프
05 지수함수의 그래프의 해석1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 8

[eqn: {a>1}{{from^2020^03^경기고3나^}}]인실수 [eqn: a]에 대하여 직선 [eqn: y= it -x]가 곡선 [eqn: y=a ^{x}]과 만나는 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( p ,```` -p RIGHT )], 곡선 [eqn: y=a ^{2x}]과 만나는 점의 좌표를 [eqn: LEFT ( q ,```` -q RIGHT )]라 할 때, [eqn: log _{a} pq= it -8]이다. [eqn: p+2q]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: a ^{p} =-p], [eqn: a ^{2q} =-q]이므로

[eqn: a ^{p} timesa ^{2q} = LEFT ( -p RIGHT ) times LEFT ( -q RIGHT )], [eqn: a ^{p+2q} =pq]

따라서 로그의 정의에 의해 [eqn: p+2q=log _{a} pq=-8]

① [eqn: 0]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -6]	⑤ [eqn: -8]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 24

함수[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x+p} +q}{{from^2020^04^서울고3가^}}]의 그래프의 점근선이 직선 [eqn: y= it -4]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]일 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold { 60 }]

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 ^{x+p} +q]의 그래프의 점근선이 직선 [eqn: y=q]이므로

[eqn: q= it -4]

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: 2 ^{p} -4][eqn: =0], [eqn: p=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: =2 ^{6} -4][eqn: =60]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 27

그림과같이 두 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1}}{{from^2020^06^부산고2^}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =4 ^{x-1}]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]([eqn: k>2])가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하자. 점 [eqn: rm C it LEFT ( 0 ,```` k RIGHT )]에 대하여 [eqn: {bar{rm AC it}} ``:`` {bar{rmCB}}][eqn: =1 ``:`` 5]일 때, [eqn: k ^{3}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[해설]

양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: -a]라 하면 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 5a]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( -a RIGHT ) =g LEFT ( 5a RIGHT )]이므로 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-a-1} =4 ^{5a-1}]

[eqn: 2 ^{a+1} =2 ^{10a-2}]이므로 [eqn: a+1=10a-2], [eqn: a= {1} over {3}]

점 [eqn: LEFT ( 5a ,```` k RIGHT )]를 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]에 대입하면 [eqn: k=4 ^{{2} over {3}}]

[eqn: therefore][eqn: k ^{3}][eqn: = LEFT ( 4 ^{{2} over {3}} RIGHT ) ^{3}][eqn: =4 ^{2}][eqn: =16]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 13

두함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{ x} +1 }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{x+1}]의 그래프가 점 [eqn: rm P]에서 만난다. 서로 다른 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 두 점 [eqn: rm A LEFT ( it a ,```` f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it b ,```` g LEFT ( b RIGHT ) RIGHT )]의 중점이 [eqn: rm P]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

[정답] ①

[해설]

두 곡선 [eqn: y][eqn: = f(x) ,````][eqn: y][eqn: = g(x)]가 점 [eqn: rm P]에서 만나므로 [eqn: 2^x +1][eqn: = 2^x+1]에서 [eqn: 2^x][eqn: =1]

[eqn: x][eqn: =0]이므로 교점 [eqn: rm P]의 좌표는 [eqn: rm P (0 ,```` 2)]

서로 다른 두 점 [eqn: rm A ,```` B]의 중점이 [eqn: rm P]이므로

점 [eqn: {rm A} left(a ,```` 2^a +1 right) ,````][eqn: rm B left( it b ,```` 2^b+1 right)]에서

[eqn: {a+b} over2][eqn: =0 ,````][eqn: { 2^a + 1 + 2^b+1} over2][eqn: =2]

[eqn: { 2^a + 1 + 2^{-a+1}} over2][eqn: =2], [eqn: 4^a - 3 times 2^a +2][eqn: =0]

[eqn: left( 2^a -1 right) left( 2^a -2 right)][eqn: =0]

[eqn: 2^a][eqn: =1] 또는 [eqn: 2^a][eqn: =2]

[eqn: a][eqn: =0] 또는 [eqn: a][eqn: =1]

[eqn: a][eqn: =0] 이면 [eqn: b][eqn: =0]이므로 모순이다.

그러므로 [eqn: a][eqn: =1 ,````][eqn: b][eqn: =-1]

[eqn: rm A(1 ,```` 3) ,````][eqn: rm B(-1 ,```` 1)]

따라서 [eqn: rm bar AB][eqn: = 2 root2]

① [eqn: 2 sqrt {2}]	② [eqn: 2 sqrt {3}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 2 sqrt {5}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {6}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 20

그림과 같이 [eqn: 1]보다 큰 두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여 직선 [eqn: y=a]가 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고, 직선 [eqn: y= {1} over {b}]이 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC,~D]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

네 점 [eqn: rmA,~B,~C,~D]의 좌표는 각각 [eqn: rmA LEFT ( log` _{2} `a,~a RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( log` _{{1} over {4}} `a,~a RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( log` _{2} ` {1} over {b} ,~ {1} over {b} RIGHT )], [eqn: rmD LEFT ( log` _{{1} over {4}} ` {1} over {b} ,~ {1} over {b} RIGHT )]이다.

ㄱ. [eqn: a=b]이면
[eqn: rm {bar{AB}} =log` _{2} `a-log` _{{1} over {4}} `a= {3} over {2}` log` _{2} `a]
[eqn: {bar{rmCD}} =log` _{{1} over {4}} ` {1} over {a} -log` _{2} ` {1} over {a} = {3} over {2}` log` _{2} `a]
이므로 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}}] (참)

ㄴ. [eqn: m _{1} = {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `a-log` _{2} ` {1} over {b}} = {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `ab}]이므로

[eqn: m _{2} = {a- {1} over {b}} over {log` _{{1} over {4}} `a-log` _{{1} over {4}} ` {1} over {b}}][eqn: = {a- {1} over {b}} over {log` _{{1} over {4}} `ab}]
[eqn: =it-2 TIMES {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `ab}]
[eqn: =it-2m _{1}]

그러므로 [eqn: 2m _{1} +m _{2} =0] (참)

ㄷ. 직선 [eqn: rmAC]의 기울기를 [eqn: m`` LEFT ( m>0 RIGHT )]이라 하면
직선 [eqn: rmBD]의 기울기는 [eqn: -2m]이고,
직선 [eqn: rmAC]와 직선 [eqn: rmBD]가 서로 수직이므로
[eqn: m TIMES LEFT ( -2m RIGHT ) =it-1], [eqn: m ^{2} = {1} over {2}]에서 [eqn: m= {sqrt {2}} over {2}]
[eqn: {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `ab} = {sqrt {2}} over {2}]이므로
[eqn: a- {1} over {b} = {sqrt {2}} over {2}` log` _{2} `ab]	… ㉠
직선 [eqn: rmAD]의 기울기는
[eqn: {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `a-log` _{{1} over {4}} ` {1} over {b}} = {a- {1} over {b}} over {log` _{2} `a- {1} over {2}` log` _{2} `b} =2 sqrt {2}]
이므로 [eqn: a- {1} over {b} = sqrt {2} `log` _{2} ` {a ^{2}} over {b}]	… ㉡
㉠, ㉡에 의해
[eqn: {sqrt {2}} over {2} `log` _{2} `ab= sqrt {2}` log` _{2} ` {a ^{2}} over {b}]
[eqn: log` _{2} `ab=log` _{2} ` {a ^{4}} over {b ^{2}}]
[eqn: a ^{3} =b ^{3}]에서 [eqn: a=b]이므로 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}}]
사각형 [eqn: rmABCD]는 평행사변형이고
두 대각선 [eqn: rmAC,~BD]가 서로 수직이므로
사각형 [eqn: rmABCD]는 마름모이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

	<보 기>
ㄱ. [eqn: a=b]이면 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}}]이다. ㄴ. 직선 [eqn: rmAC]의 기울기를 [eqn: m _{1}], 직선 [eqn: rmBD]의 기울기를 [eqn: m _{2}]라 하면 [eqn: 2m _{1} +m _{2} =0]이다. ㄷ. 직선 [eqn: rmAC]와 직선 [eqn: rmBD]가 서로 수직이고 직선 [eqn: rmAD]의 기울기가 [eqn: 2 sqrt {2}]이면 사각형 [eqn: rmABCD]는 마름모이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 9

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: y=3^{x}+a]의 그래프가

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: y=3^{x}+a]의 그래프가 점 [eqn: (2,`` b)]를 지나므로 [eqn: b=3^{2}+a]이다.

함수 [eqn: y=3^{x}+a]의 그래프의 점근선이 [eqn: y=a]이므로 [eqn: a=5]이고, [eqn: b=9+5=14]이다.

따라서 [eqn: a+b=19]

점 [eqn: (2,`` b)]를 지나고 점근선이 직선 [eqn: y=5]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

① [eqn: rm 15]	② [eqn: rm 16]	③ [eqn: rm 17]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 19]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 14

함수 [eqn: y=3^{x}]의 그래프 위의 [eqn: x]좌표가 양수인 점 [eqn: {rm{A}} it]와 함수 [eqn: y= left({1} over {3} right)^{x}-6]의 그래프 위의 점 [eqn: {rm{B}} it]에 대하여 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점의 좌표가 [eqn: (0,``2)]일 때, 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: y]좌표는?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it]의 좌표를 [eqn: left(x_{1},`` y_{1} right)], 점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표를 [eqn: left(x_{2},`` y_{2} right)]라 할 때 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점이 [eqn: (0,``2)]이므로 [eqn: {x_{1}+x_{2}} over {2}=0]이고 [eqn: {y_{1}+y_{2}} over {2}=2]이다.

즉 [eqn: x_{1}+x_{2}=0]이고 [eqn: y_{1}+y_{2}=4]이다.

[eqn: x_{2}=-x_{1}]이므로 [eqn: 3^{x_{1}}+ left({1} over {3} right)^{-x_{1}}-6=4]이다.

따라서 [eqn: 2 times 3^{x_{1}}=10]이고 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: y]좌표 [eqn: y_{1}]은 [eqn: y_{1}=3^{x_{1}}=5]

① [eqn: rm 4]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: {11} over {2}]	⑤ [eqn: rm 6]

03 수1	03 지수함수
01 지수함수의 그래프
06 지수함수의 그래프의 해석2 (길이와 넓이)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 13

실수 [eqn: {t}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]에 대하여 직선 [eqn: x=t]가 곡선 [eqn: y=3 ^{2-x} +8]과 만나는 점을 [eqn: rm A], [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm B]라 하자.

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: LEFT ( t ,```` 3 ^{2-t} +8 RIGHT )], 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( t ,```` 0 RIGHT )],

점 [eqn: rmC]의 좌표는 [eqn: LEFT ( t+1 ,```` 0 RIGHT )], 점 [eqn: rmD]의 좌표는 [eqn: LEFT ( t+1 ,```` 3 ^{t} RIGHT )]

사각형 [eqn: rmABCD]가 직사각형이므로 점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표와 점 [eqn: rmD]의 [eqn: y]좌표가 같아야 한다.

즉, [eqn: 3 ^{2-t} +8][eqn: =3 ^{t}]

[eqn: LEFT ( 3 ^{t} RIGHT ) ^{2} -8 TIMES 3 ^{t} -9][eqn: =0], [eqn: LEFT ( 3 ^{t} +1 RIGHT ) LEFT ( 3 ^{t} -9 RIGHT )][eqn: =0]

그런데 [eqn: 3 ^{t} >0]이므로 [eqn: 3 ^{t} =9]에서 [eqn: t= it 2]

그러므로 직사각형 [eqn: rmABCD]의 가로의 길이는 [eqn: 1]이고,

세로의 길이는 [eqn: 3 ^{2} =9]

따라서 직사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: 9]

직선 [eqn: x=t+1]이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: rm C], 곡선 [eqn: y=3 ^{x-1}]과 만나는 점을 [eqn: rm D]라 하자.

사각형 [eqn: rm ABCD]가 직사각형일 때, 이 사각형의 넓이는?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 13

곡선 [eqn: {y=2^{ax+b}}{{from^2020^평가원가^3}}]과 직선 [eqn: y=x]가 서로 다른 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에서 만날 때, 두 점 [eqn: rm A], [eqn: rm B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm C], [eqn: rm D]라 하자. [eqn: rm bar{AB}=6root2]이고 사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이가 [eqn: 30]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ④

[해설]

점 [eqn: rm A]에서 선분 [eqn: rm BD]에 수선의 발 [eqn: rm H]를 내리면 [eqn: rm triangle ABH]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar{AH}=rm bar{BH}=6]

점 [eqn: rm C]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: m]이라 하면 점 [eqn: rm A ,````][eqn: rm H ,````][eqn: rm B ,````][eqn: rm D]의 좌표는 각각

[eqn: {rm A} left(m ,```` m right) ,````][eqn: {rm H} left(m+6 ,```` m right) ,````][eqn: {rm B } left(m+6 ,```` m+6 right) ,````]

[eqn: {rm D} left(m+6 ,```` 0 right)]

따라서 사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이는

[eqn: 1over2 times left({bar{rm AC} + bar{rm BD} right)times {bar{rm CD}}]

[eqn: = 1over2 times left{` m+ left(m+6 right) `right} times 6]
[eqn: =6left(m+3 right)]

따라서 [eqn: 6left(m+3 right)][eqn: =30]에서 [eqn: m=2]

즉, 두 점 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: rm A left(2 ,```` 2 right) ,````][eqn: rm B left(8 ,```` 8 right)]이다.

이때 두 점 [eqn: rm A ,````][eqn: rm B]가 곡선 [eqn: y=2^{ ax+b}]위의 점이므로

식에 대입하면 [eqn: 2^{ 2a+b}=2 ,````][eqn: 2^{ 8a +b}=8]

즉, [eqn: 2a+b=1], [eqn: 8a+b =3]

두 식을 연립하면 [eqn: 6a=2]	[eqn: THEREFORE][eqn: a= 1over3]

따라서 [eqn: b= 1over3]

[eqn: THEREFORE][eqn: a+b= 1over3 + 1over3 = 2over3]

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]

④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 18

그림과 같이 두 곡선 [eqn: {y}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}][eqn: =2 ^{x-3} +1]과 [eqn: y][eqn: =2 ^{x-1} -2]가 만나는 점을 [eqn: rmA]라 하자. 상수 [eqn: k]에 대하여 직선 [eqn: y][eqn: = it -x+k]가 두 곡선 [eqn: y][eqn: =2 ^{x-3} +1], [eqn: y][eqn: =2 ^{x-1} -2]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmB], [eqn: rmC]라 할 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이는 [eqn: sqrt {2}]이다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm A]는 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x-3} +1]과 [eqn: y=2 ^{x-1} -2]가 만나는 점이므로

[eqn: 2 ^{x-3} +1=2 ^{x-1} -2 ,````][eqn: 3 TIMES 2 ^{x-3} =3]에서 [eqn: x=3]

그러므로 점 [eqn: {rm A]의 좌표는 [eqn: {rm A(3 ,```` 2)]

점 [eqn: {rm B]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면

점 [eqn: {rm B]의 좌표는 [eqn: {rm B}(a ,```` 2 ^{a-3} +1)]

두 점 [eqn: {rm B ,```` C]는 기울기가 [eqn: -1]인 직선 위의 점이고

[eqn: {rm {bar{BC}} = sqrt {2}]이므로 점 [eqn: {rm C]의 좌표는 [eqn: {rm C}(a-1 ,```` 2 ^{a-3} +2)]

점 [eqn: {rm C]는 곡선 [eqn: y=2 ^{x-1} -2]위의 점이므로

[eqn: 2 ^{a-3} +2=2 ^{a-2} -2 ,````][eqn: 2 ^{a-3} =4]에서 [eqn: a=5]

점 [eqn: {rm B(5 ,```` 5)]는 직선 [eqn: y=-x+k]위의 점이므로 [eqn: k=10]

점 [eqn: {rm A(3 ,```` 2)]와 직선 [eqn: y=-x+10]사이의 거리는

[eqn: {LEFT |`` 3+2-10 ``RIGHT | } over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {5} over {sqrt {2}}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm ABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES sqrt {2} TIMES {5} over {sqrt {2}} = {5} over {2}]

(단, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표보다 크다.)

① [eqn: 2]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {11} over {4}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 18

그림과 같이 [eqn: {2}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]보다 큰 실수 [eqn: t]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 [eqn: y= - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +t]가 만나는 점을 각각 [eqn: rmA ,```` B]라 하고, 두 곡선 [eqn: y=2 ^{x}], [eqn: y= - LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +t]가 [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmC ,```` D]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmA ,```` B]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha ,```` beta LEFT ( alpha <0< beta RIGHT )]라 하면

[eqn: alpha ,```` beta]는 방정식 [eqn: LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} -t TIMES 2 ^{x} +1=0]의 두 근이므로

[eqn: 2 ^{alpha } +2 ^{beta } =t ,```` 2 ^{alpha } TIMES 2 ^{beta } =1]

따라서 [eqn: alpha + beta =0 ,```` beta = - alpha]

네 점 [eqn: rm A it LEFT ( alpha ,```` 2 ^{alpha } RIGHT ) ,```` rm B it LEFT ( beta ,```` 2 ^{beta } RIGHT ) ,```` rm C LEFT ( 0 ,```` 1 RIGHT ) ,```` rm D LEFT ( 0 ,```` t-1 RIGHT )]에 대하여

ㄱ. [eqn: bar{rm CD} =t-2]	(참)

ㄴ. [eqn: bar{rm AC}][eqn: = sqrt {LEFT ( it - alpha RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 ^{alpha } +1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {beta ^{2} + LEFT ( 2 ^{beta } -t+1 RIGHT ) ^{2}} = bar{rm BD}]	(참)

ㄷ. [eqn: bar{rm AD}][eqn: = sqrt {alpha ^{2} + LEFT ( 2 ^{alpha } -t+1 RIGHT ) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {LEFT ( it - beta RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -2 ^{beta } +1 RIGHT ) ^{2}} = bar{rm CB}]

[eqn: bar{rm AC} = bar{rm DB}], [eqn: bar{rm AD} = bar{rm CB}]이므로 사각형 [eqn: rmACBD]는 평행사변형이고 두 대각선의 교점을 [eqn: rmE]라 하면
[eqn: bar{rm CE} = bar{rm DE}]이므로 점 [eqn: rmE]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0 ,```` {t} over {2} RIGHT )]

([eqn: △ rm ABD]의 넓이)

[eqn: =]([eqn: △ rm AED]의 넓이)[eqn: +]([eqn: △ rm BDE]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( - alpha RIGHT ) TIMES bar{rm DE} + {1} over {2} TIMES beta TIMES bar{rm DE}]

[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {t-2} over {2} RIGHT ) LEFT ( - alpha + beta RIGHT )]

[eqn: = {LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( - alpha + beta RIGHT )} over {4} = {beta LEFT ( t-2 RIGHT )} over {2}]

([eqn: △ rm AOB]의 넓이)

[eqn: =]([eqn: △ rm OEA]의 넓이)[eqn: +]([eqn: △ rm OBE]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( - alpha RIGHT ) TIMES bar{rm OE} + {1} over {2} TIMES beta TIMES bar{rm OE}]

[eqn: = {t LEFT ( - alpha + beta RIGHT )} over {4} = {beta t} over {2}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이의 [eqn: {t-2} over {2}]배이다.	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: bar{rm CD} =t-2] ㄴ. [eqn: bar{rm AC} = bar{rm DB}] ㄷ. 삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이는 삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이의 [eqn: {t-2} over {t}]배이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 18

그림과 같이 [eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 곡선 [eqn: y][eqn: =n ^{x}], [eqn: y][eqn: =2 ^{x}]이 직선 [eqn: x][eqn: =1]과 만나는 점을 각각 [eqn: rmA,~B]라 하고, 두 곡선 [eqn: y][eqn: =n ^{x}], [eqn: y][eqn: =2 ^{x}]이 직선 [eqn: x][eqn: =2]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmC,~D]라 하자. 사다리꼴 [eqn: rmABDC]의 넓이가 [eqn: 18] 이하가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 18]

[해설]

[eqn: rm A LEFT ( 1,~ITn RIGHT )rm ,~B LEFT ( 1,~2 RIGHT ) ,~C LEFT ( 2,~ it n ^{2} RIGHT ) ,~rmD LEFT ( 2,~4 RIGHT )]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} = it n-2,~ {bar{rmCD}} = it n ^{2} -4]

사다리꼴 [eqn: rm ABCD]의 넓이는  [eqn: 18] 이하이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES LEFT ( n-2+n ^{2} -4 RIGHT ) TIMES 1= {1} over {2} LEFT ( n ^{2} +n-6 RIGHT ) LEQ 18,`-7 LEQ n LEQ 6]

그러므로 [eqn: 3]이상의 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 3,`4,`5,`6]

따라서 조건을 만족시키는 [eqn: n]의 값의 합은 [eqn: 18]□

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 9

직선 [eqn: y=2x+k]가 두 함수

[정답] ④

[해설]

두 점 [eqn: rm P, ~Q]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: p, ~ q ` `LEFT ( p < q RIGHT )]라 하면

두 점 [eqn: rmP, ~Q]는 직선 [eqn: y =2 x + k] 위의 점이므로

[eqn: rm P LEFT ( it p, ~ 2p + k RIGHT ), ~ rm Q LEFT ( it q, ~ 2q + k RIGHT )]로 놓을 수 있다.

이때, [eqn: rm bar PQ = sqrt 5 ,] 즉 [eqn: rm bar PQ`^2 = 5]이므로 [eqn: LEFT ( q-p RIGHT )^2 + LEFT ( 2 q - 2p RIGHT )^ 2 = 5]

[eqn: LEFT ( q-p RIGHT )^2 = 1]

[eqn: q- p > 0]이므로 [eqn: q-p = 1]

즉, [eqn: q = p+1]이다.

한편, 점 [eqn: rmP]는 함수 [eqn: y= LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^x+3][eqn: +1]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+3 +1 = 2p + k]	[eqn: cdots cdots] ㉠

점 [eqn: rmQ]는 함수 [eqn: y= LEFT ( 2over 3 RIGHT )^x+1 + 8 over 3]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+2 + 8 over 3 = 2p + k + 2]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+2 + 8 over 3 = LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+3 + 3]

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^p+2 = 1]

[eqn: p+2 = 0 ,] 즉 [eqn: p=it -2]

[eqn: p=it-2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^-2+3 + 1= 2 times LEFT ( -2 RIGHT ) + k]

따라서 [eqn: k = 17 over 3]

[eqn: y= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x+3} +1,~y= LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{x+1} + {8} over {3}]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP,~Q]라 하자. [eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {5}]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

① [eqn: {31} over {6}]	② [eqn: {16} over {3}]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: {17} over {3}]	⑤ [eqn: {35} over {6}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 6

곡선 [eqn: y][eqn: =6 ^{-x}] 위의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~6 ^{-a} RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( a+1,~6 ^{-a-1} RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]는 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형의 대각선이다. [eqn: 6 ^{-a}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

정사각형의 한 변의 길이가 [eqn: 1]이므로

[eqn: 6 ^{-a} -6 ^{-a-1} =1,`6 ^{-a} - {6 ^{-a}} over {6} =1,` LEFT ( 1- {1} over {6} RIGHT ) TIMES 6 ^{-a} =1]

따라서 [eqn: 6 ^{-a} = {6} over {5}]

① [eqn: {6} over {5}]	② [eqn: {7} over {5}]	③ [eqn: {8} over {5}]

④ [eqn: {9} over {5}]	⑤ [eqn: 2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 17

[eqn: 0<t<1]인 실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]가
함수 [eqn: y= left|2^{x}-1 right|]의 그래프와 제 [eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it], 제 [eqn: rm 2]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자.

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y= left|2^{x}-1 right|]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 제[eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점이 [eqn: {rm{A}} it]이므로 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 2^{x}-1=t]에서 [eqn: x= log _{2}(1+t)]이다.

한편, 함수 [eqn: y= left|2^{x}-1 right|]의 그래프와 직선 [eqn: y=t]가 제[eqn: rm 2]사분면에서 만나는 점이 [eqn: {rm{B}} it]이므로 점 [eqn: {rm{B}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 1-2^{x}=t]에서 [eqn: x= log _{2}(1-t)]이다.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=1]이므로 [eqn: log _{2}(1+t)- log _{2}(1-t)=1]에서

[eqn: log _{2}(1+t)=1+ log _{2}(1-t)]

[eqn: log _{2}(1+t)= log _{2} 2+ log _{2}(1-t)], [eqn: 1+t=2(1-t)]

[eqn: 3 t=1]이다. 따라서 [eqn: t={1} over {3}]이고

점 [eqn: {rm{A}} it]의 좌표는 [eqn: left( log _{2} {4} over {3},`` {1} over {3} right)]이다.

점 [eqn: {rm{C}} it]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표와 같고

점 [eqn: {rm{C}} it]는 함수 [eqn: y=-a left|2^{x}-1 right|]의 그래프 위의 점이므로

점 [eqn: {rm{C}} it]의 좌표는 [eqn: left( log _{2} {4} over {3},``-{a} over {3} right)]이다.

한편, [eqn: overline{{rm{AC}} it }=1]이므로 [eqn: {1} over {3}- left(-{a} over {3} right)=1]에서 [eqn: a=2]이다.

따라서 [eqn: a+t={7} over {3}]

양수 [eqn: a]에 대하여 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이
함수 [eqn: y=-a left|2^{x}-1 right|]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AC}} it }=1]일 때, [eqn: a+t]의 값은?

① [eqn: rm 2]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {8} over {3}]

④ [eqn: rm 3]	⑤ [eqn: {10} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 3

직선 [eqn: {x=a }]와 세 함수

[정답] ③

[해설]

직선 [eqn: x=a]와 세 함수

[eqn: f(x)=4^x], [eqn: g(x)=2^x], [eqn: h(x)= - left( 1over 2 right)^x-1]

의 그래프가 만나는 점이 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ], [eqn: rmR]이므로

[eqn: rmP ( it a,``4^a )], [eqn: rmQ ( it a,``2^a )], [eqn: rmP left( it a,``- left(1over 2 right) ^a-1 right)]

따라서 [eqn: rm barPQ][eqn: = 4^a - 2^a], [eqn: rm barQR][eqn: = 2^a + left( 1over 2 right ) ^a-1]이다.

[eqn: rm barPQ ``:`` barQR =8 ``:`` 3]에서 [eqn: rm 8 barQR = 3rm barPQ]이므로

[eqn: 8left{ 2^a + left( 1over 2 right ) ^a-1 right}=3 left(4^a -2^a right)]

[eqn: 2^a =t]라 하면

[eqn: 8 left(t+ 2overt right)=3left(t^2 -t right)], [eqn: 3t^3 -11t^2 -16=0],

[eqn: (t-4)(3t^2 +t+4)=0]

[eqn: therefore][eqn: t=4]

즉, [eqn: t=4 =2^a]이므로 [eqn: a=2 from 넘버41]이다.

[eqn: f(x)=4^x], [eqn: g(x)=2^x], [eqn: h(x)=it- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1}]

의 그래프가 만나는 점을 각각 [eqn: rm P ,```` Q ,```` R]라 하자.

[eqn: rm barPQ ``:`` barQR =8 ``:`` 3]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 5 over 2]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 9

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=2^{-x+a}], [eqn: y=2^{x}-1]이 만나는 점을 [eqn: {rm{A}} it], 곡선 [eqn: y=2^{-x+a}]이 [eqn: y]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자.

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표가 [eqn: {rm{B}} it left(0,``2^{a} right)]이므로 [eqn: overline{{rm{OB}} it }=2^{a}]

[eqn: overline{{rm{OB}} it }=3 times overline{{rm{OH}} it }]에서 [eqn: overline{{rm{OH}} it }={2^{a}} over {3}]

점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: k]라 하면 [eqn: {rm{A}} it left(k,`` {2^{a}} over {3} right)]

점 [eqn: {rm{A}} it]는 곡선 [eqn: y=2^{-x+a}] 위의 점이므로

[eqn: 2^{-k+a}={2^{a}} over {3}]에서 [eqn: 2^{-k}={1} over {3}], [eqn: 2^{k}=3]

또한 점 [eqn: {rm{A}} it]는 곡선 [eqn: y=2^{x}-1] 위의 점이므로 [eqn: {2^{a}} over {3}=2^{k}-1=3-1=2]에서 [eqn: 2^{a}=6]

따라서 [eqn: a= log _{2} 6]

점 [eqn: {rm{A}} it]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: {rm{H}} it]라 할 때, [eqn: overline{{rm{OB}} it }=3 times overline{{rm{OH}} it }]이다. 상수 [eqn: a]의 값은? (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: rm 2]	② [eqn: log _{2} 5]	③ [eqn: log _{2} 6]

④ [eqn: log _{2} 7]	⑤ [eqn: rm 3]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 7

그림과 같이 직선 [eqn: y=mx+2~ LEFT ( m>0 RIGHT ) `]이 곡선 [eqn: y= {1} over {3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} `]과 만나는 점을 [eqn: rmA], 직선 [eqn: y=mx+2`]가 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점을 각각 [eqn: rmB,~C`]라 하자. [eqn: rm {bar{AB}} ``:`` {bar{AC}} =2``:``1`]일 때, 상수 [eqn: m`]의 값은?

[정답] ③

[해설]

점 [eqn: rmA]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면

[eqn: triangle rmCBO]□[eqn: triangle rmCAH]

이므로 [eqn: rmbarAB`:`barAC =2`:`1]에서 [eqn: rmbarCH`:`barHO =1`:`2]

따라서 [eqn: rmH left(0,``4over3 right)]이다.

점 [eqn: rmA]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: 4over3]이므로 곡선 [eqn: y= 1over3 left(1over2 right)^x-1]에 대입하면

[eqn: 4over3 = 1over3 left(1over2 right)^x-1], [eqn: left(1over2 right)^x-1 =4]

따라서 [eqn: x=it-1]이므로 [eqn: rmA left(-1,``4over3 right)]이다.

점 [eqn: rmA left(-1,``4over3 right)]는 직선 [eqn: y=mx+2] 위의 점이므로 대입하면

[eqn: 4over3 =it-m+2]	[eqn: therefore][eqn: m= 2over3]

① [eqn: {7} over {12}]	② [eqn: {5} over {8}]	③ [eqn: {2} over {3}]

④ [eqn: {17} over {24}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 21

그림과 같이 곡선 [eqn: y=2^{x}] 위에 두 점 [eqn: {rm{P}} it left(a,`` 2^{a} right)], [eqn: {rm{Q}} it left(b,`` 2^{b} right)]이 있다. 직선 [eqn: {rm{PQ}} it]의 기울기를 [eqn: m]이라 할 때, 점 [eqn: {rm{P}} it]를 지나며 기울기가 [eqn: -m]인 직선이 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하고, 점 [eqn: {rm{Q}} it]를 지나며 기울기가 [eqn: -m]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

[정답] [eqn: 220]

[해설]

위 그림과 같이 두 점 [eqn: {rm{P}} it], [eqn: {rm{Q}} it]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: {rm{D}} it], [eqn: {rm{E}} it]라 하자.

[eqn: overline{{rm{PB}} it }=k]라 하면

[eqn: overline{{rm{AP}} it }][eqn: = overline{{rm{AB}} it }- overline{{rm{PB}} it }][eqn: =4 overline{{rm{PB}} it }- overline{{rm{PB}} it }][eqn: =3 overline{{rm{PB}} it }=3 k]

이고,

[eqn: overline{{rm{CQ}} it }][eqn: =3 overline{{rm{AB}} it }][eqn: =3 times overline{{rm{PB}} it }][eqn: =12 overline{{rm{PB}} it }=12 k]

이므로 [eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{CQ}} it }=3 k: 12 k=1: 4]

이때 [eqn: TRIANGLE rm PDA it]와 [eqn: TRIANGLE rm QEC it]는 닮음이므로

[eqn: overline{{rm{PD}} it }: overline{{rm{QE}} it }= overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{CQ}} it }=1: 4]

즉, [eqn: 2^{a}: 2^{b}=1: 4]이므로 [eqn: 2^{b}=4 times 2^{a}=2^{a+2}]에서

[eqn: b=a+2]

즉,

[eqn: m={2^{b}-2^{a}} over {b-a}][eqn: ={2^{a+2}-2^{a}} over {(a+2)-a}][eqn: ={3 times 2^{a}} over {2}][eqn: =3 times 2^{a-1}]

이므로 직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 방정식은

[eqn: y-2^{a}=-3 times 2^{a-1}(x-a)]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

㉠에 [eqn: y=0]을 대입하면

[eqn: -2^{a}=-3 times 2^{a-1}(x-a)]

[eqn: x=a+{2} over {3}]

즉, 점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: a+{2} over {3}]이다.

이때 원점 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 [eqn: TRIANGLE rm APD it]와 [eqn: TRIANGLE rm ABO it]는 닮음이므로

[eqn: {rm{AO}} it : overline{{rm{DO}} it }={rm{AB}} it : {rm{PB}} it =4: 1]

[eqn: a+{2} over {3}: a=4: 1]

[eqn: a={2} over {9}]

[eqn: b=a+2={2} over {9}+2={20} over {9}]

따라서

[eqn: 90 times(a+b)][eqn: =90 times left({2} over {9}+{20} over {9} right)][eqn: =90 times {22} over {9}][eqn: =220]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=4 overline{{rm{PB}} it }], [eqn: ~ overline{{rm{CQ}} it }=3 overline{{rm{AB}} it }]

일 때, [eqn: 90 times(a+b)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: 0<a<b])

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 21

그림과 같이 [eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 두 곡선

[정답] [eqn: 8]

[해설]

[eqn: overline{{rm{OA}} it }: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{3}: sqrt{19}]이므로 [eqn: overline{{rm{OA}} it }= sqrt{3} k(k>0)]

이라 하면 [eqn: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{19} k]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=4 k]이다.

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 좌표를 각각 [eqn: left(x_{1},`` y_{1} right)], [eqn: left(x_{2},`` y_{2} right)]라

하자. 직선 [eqn: {rm{OA}} it]와 [eqn: x]축이 이루는 예각의 크기가

[eqn: 60 DEG]이므로

[eqn: x_{1}=-{ sqrt{3}} over {2} k], [eqn: y_{1}={3} over {2} k]

따라서 [eqn: {rm{A}} it left(-{ sqrt{3}} over {2} k,`` {3} over {2} k right)]

직선 [eqn: {rm{AB}} it]의 기울기는 [eqn: { sqrt{3}} over {3}]이므로 직선 [eqn: {rm{AB}} it]와

[eqn: x]축이 이루는 예각의 크기가 [eqn: 30 DEG]이다.

[eqn: x_{2}-x_{1}=4 k cos 30 DEG =2 sqrt{3} k]에서

[eqn: x_{2}=x_{1}+2 sqrt{3} k={3 sqrt{3}} over {2} k]

[eqn: y_{2}-y_{1}=4 k sin 30 DEG =2 k]에서

[eqn: y_{2}=y_{1}+2 k={7} over {2} k]

따라서 [eqn: {rm{B}} it left({3 sqrt{3}} over {2} k,`` {7} over {2} k right)]

점 [eqn: {rm{A}} it]는 곡선 [eqn: y=a^{-2 x}-1] 위의 점이므로

[eqn: {3} over {2} k=a^{ sqrt{3} k}-1]에서 [eqn: a^{ sqrt{3} k}={3 k+2} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

점 [eqn: {rm{B}} it]는 곡선 [eqn: y=a^{x}-1] 위의 점이므로

[eqn: {7} over {2} k=a^{{3 sqrt{3}} over {2} k}-1]에서 [eqn: a^{{3 sqrt{3}} over {2} k}={7 k+2} over {2}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: left({3 k+2} over {2} right)^{3}= left({7 k+2} over {2} right)^{2}]

[eqn: 27 k^{3}-44 k^{2}-20 k=0], [eqn: k(k-2)(27 k+10)=0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=2]

따라서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=4 k=8]

[eqn: y=a^{-2 x}-1], [eqn: y=a^{x}-1]

이 있다. 곡선 [eqn: y=a^{-2 x}-1]과 직선 [eqn: y=- sqrt{3} x]가 서로 다른 두 점 [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{A}} it]에서 만난다. 점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나고 직선 [eqn: {rm{OA}} it]에 수직인 직선이 곡선 [eqn: y=a^{x}-1]과 제 [eqn: rm 1]사분면에서 만나는 점을 [eqn: {rm{B}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{OA}} it }: overline{{rm{OB}} it }= sqrt{3}: sqrt{19}]일 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 길이를 구하시오. (단, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

03 수1	03 지수함수
02 지수함수의 최대와 최소
01 Mm1 (기본그래프)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 7

[eqn: {-1 LEQ x LEQ 2}{{from^2020^06^부산고2^}}]에서함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2x}]의 최댓값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: -1 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2x}]은 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 값이 감소하므로 [eqn: x= it -1]일 때 최댓값을 갖는다.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT )][eqn: =2+ LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-2}][eqn: =2+9][eqn: =11]이므로 최댓값은 [eqn: 11]이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 9

[eqn: -1 LEQ x LEQ 3`]에서 함수 [eqn: f(x)=2 ^{ LEFT |`` x ``RIGHT | }]의 최댓값과 최솟값의 합은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)=2 ^{ LEFT |`` x ``RIGHT | }]이고, [eqn: -1 LEQ x LEQ 3]이므로 지수함수의 그래프에서

[eqn: x=0]일 때, 최솟값 [eqn: 2^0 =1]

[eqn: x=3]일 때, 최댓값 [eqn: 2^3 = 8]

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 9]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 3

닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0,~4 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x-2} +1]의 최댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: 0< {1} over {3} <1]이므로 함수 [eqn: f(x)= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x-2} +1]은

[eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: f(x)]의 값은 감소한다.

따라서 닫힌구간 [eqn: [0,~ 4]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은

[eqn: f(0)][eqn: = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-2} +1][eqn: =10]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 23

[eqn: {-4 LEQ x LEQ -2}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에서 정의된 함수 [eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} +1]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 82 }]

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x} +1]이라 하자.

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x]의 값이 증가할 때, [eqn: y]의 값은 감소한다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값은

[eqn: f LEFT ( -4 RIGHT )][eqn: = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{-4} +1][eqn: =82]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 8

[eqn: -1 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a{times}2 ^{2-x} +b]의 최댓값이 [eqn: 5], 최솟값이 [eqn: -2]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은?
(단, [eqn: a>0]이고, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.)

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ={a}times2 ^{2-x} +b={4a}times LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +b]는 [eqn: a>0]이고 밑이 [eqn: 1]보다 작으므로, [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소한다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=-1]일 때 최댓값 [eqn: 5]를 갖고, [eqn: x=2]일 때 최솟값 [eqn: -2]를 갖는다.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) ={a}times2 ^{3} +b=8a+b=5],

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) ={a}times2 ^{0} +b=a+b=-2]

이므로 [eqn: a=1], [eqn: b=-3]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =4a+b=4-3=1]

① [eqn: 1]	② [eqn: {3} over {2}]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: {5} over {2}]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 9

닫힌구간 [eqn: [`1, ~ 3 `]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1 over 2 RIGHT )^x-a][eqn: +1]의 최댓값이 [eqn: 5]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은?
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] ②

[해설]

닫힌구간 [eqn: [`1, ~ 3 `]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( 1over 2 RIGHT )^x-a + 1]은 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: y]의 값은 감소한다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 최댓값 [eqn: 5]를 갖는다.

[eqn: LEFT ( 1over 2 RIGHT )^1-a + 1= 5]에서 [eqn: 2^a-1 = 2^2 , ~ a= 3]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 최솟값을 가지므로 구하는 최솟값은 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = LEFT ( 1over 2 RIGHT )^3-3 + 1 =2]

① [eqn: 3over 2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 5 over 2]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 7 over 2]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 6

[eqn: -3 leq x leq-1]에서 함수 [eqn: f(x)=2^{-x}+5]의 최솟값은?

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: f(x)=2 ^{-x} +5= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +5]의 밑이 [eqn: rm 1]보다 작으므로 [eqn: x]의 값이 증가하면 [eqn: f(x)]의 값이 감소한다. 따라서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 최솟값을 가지고 최솟값은 [eqn: f(-1)=2^{1}+5=7]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

03 수1	03 지수함수
02 지수함수의 최대와 최소
02 Mm2 (지수가 이차식)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 27

두 함수

[정답] [eqn: 128]

[해설]

[eqn: 0 leq x leq 5]에서 함수 [eqn: g(x)=(x-1)(x-3)]은

[eqn: x=5]일 때, 최댓값 [eqn: rm 8],

[eqn: x=2]일 때, 최솟값 [eqn: -1]을 갖는다.

함수 [eqn: y= left({1} over {2} right)^{x-a}]의 그래프는

[eqn: x]의 값이 증가할 때, [eqn: y]의 값은 감소하므로 함수 [eqn: h(x)]는

[eqn: x=5]일 때, 최솟값 [eqn: {1} over {4}],

[eqn: x=2]일 때, 최댓값 [eqn: M]을 갖는다.

[eqn: h(5)=f(8)= left({1} over {2} right)^{8-a}={1} over {4}]

[eqn: 2^{a-8}=2^{-2}], [eqn: a=6]

[eqn: h(2)=f(-1)= left({1} over {2} right)^{-1-6}=128]

따라서 [eqn: M=128]

[eqn: f(x)= left({1} over {2} right)^{x-a}], [eqn: g(x)=(x-1)(x-3)]

에 대하여 합성함수 [eqn: h(x)=(f circ g)(x)]라 하자. 함수 [eqn: h(x)]가 [eqn: 0 leq x leq 5]에서 최솟값 [eqn: {1} over {4}], 최댓값 [eqn: M]을 갖는다. [eqn: M]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]는 상수이다.)

03 수1	03 지수함수
02 지수함수의 최대와 최소
03 Mm3 (치환)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 12

[eqn: a>1]인 실수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=a^{2 x}+4 a^{x}-2]가 구간 [eqn: [-1,``1]]에서 최댓값 [eqn: rm 10]을 갖는다. 구간 [eqn: [-1,``1]]에서 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: a^{x}=t]라 하면 [eqn: {1} over {a} leq t leq a]이고

[eqn: f(x)=t^{2}+4 t-2=(t+2)^{2}-6]

[eqn: t=a]일 때 최댓값 [eqn: a^{2}+4 a-2=10]이므로 [eqn: a=2]

최솟값은 [eqn: t={1} over {a}={1} over {2}]일 때 [eqn: {1} over {4}+2-2={1} over {4}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: -{1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: -{1} over {2}]	⑤ [eqn: rm 1]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
01 지수방정식1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 2

방정식[eqn: {LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{-x}}{{from^2020^03^경기고3나^}}][eqn: =64]를 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{-x} =64], [eqn: LEFT ( 4 ^{-1} RIGHT ) ^{-x} =4 ^{3}], [eqn: 4 ^{x} =4 ^{3}]이므로 [eqn: x=3]

① [eqn: -3]	② [eqn: - {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {3}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 11

방정식[eqn: {8 ^{x} =18}{{from^2020^06^부산고2^}}]을 만족시키는 [eqn: x]의 값이 [eqn: {1} over {3} +k log _{2} 3]일 때, 상수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

방정식 [eqn: 8 ^{x} =18]에서

[eqn: x][eqn: =log _{8} 18][eqn: =log _{2 ^{3}} LEFT ( 2 TIMES 3 ^{2} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {3} ` log LEFT ( 2 TIMES 3 ^{2} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {3} LEFT ( 1+2 log _{2} 3 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {3} + {2} over {3} ` log _{2} 3]

[eqn: therefore][eqn: k= {2} over {3}]

① [eqn: {2} over {9}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {4} over {9}]

④ [eqn: {5} over {9}]	⑤ [eqn: {2} over {3}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 11

방정식 [eqn: 2 ^{x-6} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x ^{2}}]의 모든 해의 합은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x ^{2}} =2 ^{-2x ^{2}}]이므로 [eqn: 2 ^{x-6} =2 ^{-2x ^{2}}]에서 [eqn: x-6=-2x ^{2}]이다.

[eqn: 2x ^{2} +x-6=0], [eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( 2x-3 RIGHT ) =0]에서

[eqn: x=-2] 또는 [eqn: {3} over {2}]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: - {1} over {2}]

① [eqn: - {9} over {2}]	② [eqn: - {7} over {2}]	③ [eqn: - {5} over {2}]

④ [eqn: - {3} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
02 지수방정식2 (치환)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 13

방정식 [eqn: 4^{x}-2^{x+3}+15=0]의 두 실근을 [eqn: alpha], [eqn: beta( alpha< beta)]라 할 때, [eqn: 2^{ alpha} times beta]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: left(2^{x} right)^{2}-8 times 2^{x}+15=0]에서

[eqn: 2^{x}=t]로 놓으면 [eqn: t>0 ~ cdots cdots]㉠

주어진 방정식은 [eqn: t^{2}-8 t+15=0]이다.

[eqn: (t-3)(t-5)=0]에서 [eqn: t=3] 또는 [eqn: t=5]이다. [eqn: cdots cdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 2^{x}=3] 또는 [eqn: 2^{x}=5]이다.

[eqn: alpha< beta]이므로 [eqn: 2^{ alpha}=3]이고 [eqn: 2^{ beta}=5]이다.

따라서 [eqn: beta= log _{2} 5]이므로 [eqn: 2^{ alpha} times beta=3 log _{2} 5]

① [eqn: 2 log _{2} 3]	② [eqn: 3 log _{2} 3]	③ [eqn: 3 log _{2} 5]

④ [eqn: 4 log _{2} 5]	⑤ [eqn: 5 log _{2} 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 23

방정식 [eqn: 4^{x}-15 times 2^{x+1}-64=0]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 5]

[해설]

[eqn: left(2^{x} right)^{2}-30 times 2^{x}-64=0]

[eqn: left(2^{x}+2 right) left(2^{x}-32 right)=0], [eqn: 2^{x}=-2] 또는 [eqn: 2^{x}=32]

[eqn: 2^{x}>0]이므로 [eqn: 2^{x}=32]

따라서 [eqn: x=5]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
06 지수부등식1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 4

부등식[eqn: {2 ^{x-4} LEQ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-2}}{{from^2020^04^서울고3가^}}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 2 ^{x-4} LEQ LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-2}], [eqn: 2 ^{x-4} LEQ 2 ^{-x+2}]에서 밑 [eqn: 2]가 [eqn: 1]보다 크므로

[eqn: x-4 LEQ -x+2], [eqn: x LEQ 3]

따라서 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 1+2+3=6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 5
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 7

부등식 [eqn: {LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{x} <3 ^{21-4x}}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수는?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: LEFT ( {1} over {9} RIGHT ) ^{x} <3 ^{21-4x}], [eqn: 3 ^{-2x} <3 ^{21-4x}]

밑이 [eqn: 1]보다 크므로 지수를 비교하면 [eqn: -2x<21-4x]

[eqn: THEREFORE][eqn: x< {21} over {2}]

따라서 만족하는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` CDOTS ,```` 10]이므로 개수는 [eqn: 10]개

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 5

부등식 [eqn: LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^x-7 ge 9]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 개수는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^x-7 ge 9 ,~ LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^x-7 ge LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^-2]에서

밑 [eqn: 1 over 3]이 [eqn: 1]보다 작으므로 [eqn: x- 7 le -2 ,~ x le 5]

따라서 모든 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 5]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 5

부등식 [eqn: {5 ^{2x-7} LEQ LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{x-2}}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]을 만족시키는 자연수 [eqn: x]의 개수는?

[정답] ③

[해설]

양변의 밑을 [eqn: 5]로 같게 하면 [eqn: 5 ^{2x-7} LEQ 5 ^{-x+2}]

[eqn: 2x-7 LEQ -x+2]에서 [eqn: x LEQ 3]

주어진 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 1 ,```` 2 ,```` 3]

따라서 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 19

부등식 [eqn: LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{m} ge LEFT ( 3-2 sqrt {2} RIGHT ) ^{5-n}]을 만족시키는 자연수 [eqn: m ,```` n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m ,```` n RIGHT )]의 개수는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: p= sqrt {2} -1]이라 하면 [eqn: p ^{2} =3-2 sqrt {2}]이고 [eqn: LEFT ( p ^{2} RIGHT ) ^{5-n} =p ^{10-2n}]이므로 [eqn: p ^{m} gep ^{10-2n}]이다.

[eqn: 0<p<1]이므로 [eqn: m{le}10-2n]이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1{le}m{le}8]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: 1{le}m{le}6]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 1{le}m{le}4]

(ⅳ) [eqn: n=4]일 때, [eqn: 1{le}m{le}2]

(ⅴ) [eqn: n{ge}5]일 때, 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: m]은 존재하지 않는다.

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: m ,```` n]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( m ,```` n RIGHT )]의 개수는 [eqn: 8+6+4+2=20]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 24

부등식 [eqn: left({1} over {5} right)^{x-1} leq 5^{7-2 x}]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 6]

[해설]

[eqn: left({1} over {5} right)^{x-1} leq 5^{7-2 x}]에서 [eqn: 5^{1-x} leq 5^{7-2 x}]이므로

[eqn: 1-x leq 7-2 x], 즉 [eqn: x leq 6]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: rm 6]이다.

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
07 지수부등식2 (치환)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 12

부등식 [eqn: 4^{x}-10 times 2^{x}+16 leq 0]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: 2^{x}=t]로 놓으면 [eqn: t>0]	…… ㉠

주어진 부등식은 [eqn: t^{2}-10 t+16 leq 0]이다.

[eqn: (t-2)(t-8) leq 0]에서 [eqn: 2 leq t leq 8]	…… ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 2 leq t leq 8]이고 [eqn: 2^{x}=t]이므로

[eqn: ~ 2 leq 2^{x} leq 8]

즉 [eqn: 1 leq x leq 3]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합은 6이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

03 수1	03 지수함수
03 지수방정식과 부등식
09 지수부등식4 (해의 조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 28

[eqn: {x}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에 대한 부등식

[정답] [eqn: bold{12}]

[해설]

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} -(3n+16) TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +48n LEQ 0]

[eqn: left{` left({1}over{2} right)^{x}-3n `right} left{` left({1}over{2} right)^{x}-16 `right} le0]

(ⅰ) [eqn: 3n le 16]일 때,
[eqn: 3n le left({1}over{2} right)^{x} le 16]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하려면 [eqn: 2^{2} <3n le 2^{3}], [eqn: n=2]

(ⅱ) [eqn: 3n >16]일 때,
[eqn: 16 le left({1}over{2} right)^{x} le 3n]을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하려면 [eqn: 2^{5} le 3n <2^{6}], [eqn: n=11], [eqn: 12], [eqn: cdots], [eqn: 21]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 12]

[eqn: LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x} -(3n+16) TIMES LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x} +48n LEQ 0]

을 만족시키는 정수 [eqn: x]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: n]의 개수를 구하시오.

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
03 활용3 (지수방정식의 실근 조건, 그래프로 해석)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 13

[eqn: {a>1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 실수 [eqn: a]에 대하여 좌표평면에 두 곡선

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: x=`-1]을 대입하면 [eqn: LEFT | a ^{0} -1 RIGHT | =0]	(참)

ㄴ. [eqn: x< it -1]인 곳에서는 교점이 반드시 생긴다.
[eqn: x>0]인 곳에서 교점을 조사해 보면,
[eqn: a ^{x} =1-a ^{x-1}], [eqn: a ^{x} +a ^{-x-1} =1]
이때 산술 기하 평균에서 [eqn: a ^{x} +a ^{-x-1} GEQ 2 sqrt {a ^{-1}}]이므로 [eqn: a=4]일 때 등호 성립조건에 부합한다.
따라서 [eqn: 4 ^{x} =4 ^{-x-1}] 즉, [eqn: x=`- {1} over {2}]에서 접한다.
그러므로 두 점에서 만난다.	(참)

ㄷ. [eqn: x< -1]에서의 교점은 [eqn: -2]보다 크고 [eqn: -1]보다 작다.
[eqn: x>-1]에서의 교점은 [eqn: a ^{x} =1-a ^{x-1}]을 풀어보면
[eqn: t=1- {1} over {a {t}}] ([eqn: because][eqn: a^x =t]로 치환) 즉, [eqn: at ^{2} -at+1=0]
이때 [eqn: a ^{alpha } TIMES a ^{beta } = {1} over {a} =a ^{-1}]이므로 두 근의 합은 [eqn: -1]이다.
따라서 모든 교점의 합은 [eqn: -3]과 [eqn: -2]사이이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: y=a^{x}], [eqn: y= ``|`` a^{-x-1}-1 ``|``]

이 있다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. 곡선 [eqn: y= ``|`` a^{-x-1}-1} ``|``]은 점 [eqn: (-1 ,```` 0)]을 지난다. ㄴ. [eqn: a=4]이면 두 곡선의 교점의 개수는 [eqn: 2]이다. ㄷ. [eqn: a>4]이면 두 곡선의 모든 교점의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: -2]보다 크다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
05 활용5 (그래프를 이용한 대소 비교)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 18
[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 21

두 곡선 [eqn: {y=2 ^{x}}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]과 [eqn: y= it -2x ^{2} +2]가 만나는 두 점을 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```` y _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,```` y _{2} RIGHT )]라 하자. [eqn: x _{1} <x _{2}]일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

곡선 [eqn: y=2 ^{x}]과 [eqn: y= it -2x ^{2} +2]가 만나는 두 점이 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```` y _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,```` y _{2} RIGHT )] (단, [eqn: x_1 < x_2])이므로 그래프를 그리면 다음과 같다.

ㄱ. 위의 그래프에서 [eqn: {1} over {2} < x_2]	(참)

ㄴ. 두 점 [eqn: LEFT ( x _{1} ,```` y _{1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( x _{2} ,```` y _{2} RIGHT )]의 기울기를 구하면 [eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}]
그런데 위의 그래프에서 [eqn: (0,````1),`````left( 1 over 2 ,```` 3 over 2 right)]를 지나는 기울기가 [eqn: 1]이므로 두 기울기를 비교해보면 [eqn: {y _{2} -y _{1}} over {x _{2} -x _{1}][eqn: <1]

[eqn: therefore][eqn: {y _{2} -y _{1}} < {x _{2} -x _{1}] ([eqn: because][eqn: x_1 < x_2])	(참)

ㄷ. 위의 그래프에서 [eqn: -1 < x_1 < 0], [eqn: 1 over 2 < x_2 <1]이므로
따라서 [eqn: - 1over 2 < x_1 + x_2 < 1]	[eqn: cdotscdots] ㉠
그런데, 곡선 [eqn: y= it -2x ^{2} +2]이 [eqn: y]축 대칭함수이므로 [eqn: |``x_1 ``|`> |``x_2 ``|], 즉, [eqn: x_1 + x_2 <0]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: - 1over 2 < x_1 + x_2 < 0]
식을 정리하면 [eqn: 2^{- 1over 2 }< 2^{x_1 + x_2 }< 2^{ 1}]
[eqn: 2 over root2 < 2^x_1 cdot 2^x_2 <2]
[eqn: therefore][eqn: 2 over root2 < y_1 cdot y _2 <2]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: x _{2} > {1} over {2}] ㄴ. [eqn: y _{2} -y _{1} <x _{2} -x _{1}] ㄷ. [eqn: {sqrt {2}} over {2} <y _{1} y _{2} <1]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

03 수1	03 지수함수
04 지수함수의 활용
06 활용6 (추론과 해석)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 13

함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: g(x)][eqn: =2^x], [eqn: h(x)][eqn: =left( 1over4 right)^x+a - left( 1over4 right)^3+a +8`]이라 하면

곡선 [eqn: y][eqn: =g(x)`]의 점근선의 방정식은 [eqn: y][eqn: =0`]이고,

곡선 [eqn: y][eqn: =h(x)`]의 점근선의 방정식은
[eqn: y][eqn: =it- left(1over4 right)^3+a +8`]이다.

그러므로 함수 [eqn: y][eqn: =f(x)`]의 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

곡선 [eqn: y][eqn: =f(x)] 위의 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수가 [eqn: 23`]이므로 [eqn: y le0`]에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수는 [eqn: 8`]이다.

곡선 [eqn: y][eqn: =h(x)`]의 점근선이 [eqn: y][eqn: =it- left(1over4 right)^3+a +8`]이므로

[eqn: it- left(1over4 right)^3+a +8`]은 [eqn: -8] 이상 [eqn: -7] 미만이어야 한다.

즉, [eqn: -8le it- left(1over4 right)^3+a +8`<it -7 `],

[eqn: 15< left( 1over4 right)^3+a le16], [eqn: 4 <15<4^{-3-a} le4^2],

[eqn: 1 <it -3-a le 2], [eqn: -5 le a < it -4]

따라서 구하는 정수 [eqn: a`]의 값은 [eqn: -5`]

[eqn: f(x)= {cases{```2^{x}_{`}& (x < 3 )_{`} # `LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{x+a}^{`} - LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{3+a} +8~~& (x ge3 ) ^{`}}}]

에 대하여 곡선 [eqn: y=f (x)] 위의 점 중에서 [eqn: y`]좌표가 정수인 점의 개수가 [eqn: 23`]일 때, 정수 [eqn: a`]의 값은?

① [eqn: -7]	② [eqn: -6]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -3]

[수학1] [3지수함수] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold{47}]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 60 }]

[정답] [eqn: bold { 16 }]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 18]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: 220]

[정답] [eqn: 8]

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 82 }]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 128]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: 5]

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 6]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold{12}]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[수학1] [3지수함수] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.27