		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	11	[수학1] [11수학적귀납법] 교사평경 최근 3개년

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
01 점화식1 (등차수열)

교사평경3		년도별경향
11		[수학1] [11수학적귀납법] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [11수학적귀납법] 교사평경 최근 3개년		11

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 11

함수 [eqn: {g(x)}{{^2020^08^경찰대^중}}]와 수열 [eqn: left{` a_n `right}]이 음이 아닌 모든 정수 [eqn: k]와 모든 자연수 [eqn: m]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: g(x)]와 수열 [eqn: left{` a_n `right}]이 음이 아닌 모든 정수 [eqn: k]와 모든 자연수 [eqn: m]에 대하여

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3], [eqn: a_{2k+1} +2a_m =g(m+k)]

를 만족시키므로 식에

[eqn: m=1], [eqn: k=0]을 대입하면

[eqn: g(1)=a_1 +2a_1 =3a_1 =3]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: m=1 ,```` m=2]를 차례로 대입하면

[eqn: g(k+1)=a_2k+1 +2a_1][eqn: =a_2k+1 +2]

[eqn: g(k+2)=a_2k+1 +2a_2][eqn: =a_2k+1 +6]

즉 [eqn: g(k+2)-g(k+1)=4]

따라서 수열 [eqn: g(k)]는 공차가 [eqn: 4]이고 ㉠에서 초항이 [eqn: 3]인 등차수열이므로 [eqn: g(k)=4k-1]

[eqn: sum _{ k=1} ^{10 }g(k)][eqn: =sum _{ k=1} ^{10 } (4k-1)]
[eqn: = 4sum _{ k=1} ^{10 } k- sum _{ k=1} ^{10 } 1]
[eqn: = 4 cdot {10cdot 11} over 2][eqn: - 10 cdot1]
[eqn: =220-10][eqn: =210]

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =3], [eqn: a_{2k+1} +2a_m =g(m+k)]

를 만족시킬 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{10 }g(k)]의 값은?

① [eqn: 170]	② [eqn: 180]	③ [eqn: 190]

④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 210]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
02 점화식2 (등비수열)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 28

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 513 }]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: S _{1} =a _{1} =1]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]을 [eqn: b _{n} =a _{n} a _{n+1}]이라 하자.

조건 (나)에서 등비수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {b _{n+1}} over {b _{n}} = {a _{n+1} a _{n+2}} over {a _{n} a _{n+1}} =r], [eqn: a _{n+2} =ra _{n}]

[eqn: S _{10}][eqn: =S _{11} -a _{11}][eqn: =1-r ^{5}][eqn: =33]

[eqn: r ^{5} =`-32]

[eqn: therefore][eqn: r=-2]

[eqn: S _{18}][eqn: =S _{19} -a _{19}][eqn: =1-r ^{9}][eqn: =513]

(가) [eqn: S _{2n-1} =1]

(나) 수열 [eqn: LEFT { a _{n} a _{n+1} RIGHT }]은 등비수열이다.

[eqn: S _{10} =33]일 때, [eqn: S _{18}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 21

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 678]

[해설]

조건 (가), (나)에서

수열 [eqn: left { left | ` a_n ` right | right }]은 첫째항이 [eqn: 2], 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로

[eqn: left | ` a_n ` right | = 2^n]

한편,

[eqn: sum _{ k`=` 1 } ^{ 9 }` left | ` a_k ` right | = sum _{ k`=` 1} ^{ 9 }` 2^k = { 2 ( 2^9 - 1 ) } over 2-1 = 2^10 - 2],

[eqn: left | ` a_10 ` right | = 2^10]

조건 (다)에서

[eqn: sum _{ k`=` 1 } ^{ 10 }` a_k = it - 14]

를 만족하기 위해서는

[eqn: a_1 = it - 2], [eqn: a_ 2 = it - 4]

[eqn: sum _{ k`=` 3} ^{ 9}` a_k = sum _{ k`=` 3} ^{ 9 }` 2^k = { 2^3 ( 2^7 - 1) } over 2-1 = 2^10 - 8],

[eqn: a_10 = it - 1024]

이어야 한다.

따라서

[eqn: a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9][eqn: = (-2) + 2^3 + 2^5 + 2^7 + 2^9]
[eqn: = 678]

(가) [eqn: LEFT | `a _{1} ` RIGHT | =2]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | `a _{n+1} ` RIGHT | =2 LEFT | `a _{n} ` RIGHT |]이다.

(다) [eqn: sum _{n`=`1} ^{10} `a _{n} =it-14]

[eqn: a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 12

모든 항이 양수인 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: log _{2} {a_{n+1}} over {a_{n}}={1} over {2}], [eqn: {a_{n+1}} over {a_{n}}= sqrt{2}], [eqn: a_{n+1}= sqrt{2} a_{n}]

[eqn: a_{1}=a]라 하면 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: a]이고 공비가 [eqn: sqrt{2}]인 등비수열이므로

[eqn: S_{n}={a left{ ( sqrt{2})^{n}-1 it right} } over { sqrt{2}-1}]

따라서 [eqn: {S_{12}} over {S_{6}}={( sqrt{2})^{12}-1} over {( sqrt{2})^{6}-1}={2^{6}-1} over {2^{3}-1}=9]

[eqn: log _{2} {a_{n+1}} over {a_{n}}={1} over {2}]

을 만족시킨다. 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: {S_{12}} over {S_{6}}]의 값은?

① [eqn: {17} over {2}]	② [eqn: rm 9]	③ [eqn: {19} over {2}]

④ [eqn: rm 10]	⑤ [eqn: {21} over {2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 20

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 [eqn: 1<a_{1}<2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: 70]

[해설]

[eqn: a_{n+1}=cases{-2 a_{n} && left(a_{n}<0 right) # a_{n}-2 && left(a_{n} geq 0 right)}][eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

이고 [eqn: 1<a_{1}<2]에서 [eqn: a_{1} geq 0]이므로

[eqn: a_{2}=a_{1}-2<0]

[eqn: a_{3}=-2 a_{2}=-2 left(a_{1}-2 right)>0]

[eqn: a_{4}=a_{3}-2=-2 left(a_{1}-2 right)-2=-2 left(a_{1}-1 right)<0]

[eqn: a_{5}=-2 a_{4}=4 left(a_{1}-1 right)>0]

[eqn: a_{6}=a_{5}-2=4 left(a_{1}-1 right)-2=4 a_{1}-6]

이때 ㉠에서 [eqn: a_{6}<0]이면 [eqn: a_{7}=-2 a_{6}>0]이므로

[eqn: a_{7}=-1 leq 0]에서 [eqn: a_{6} geq 0]이다.

[eqn: a_{7}=a_{6}-2= left(4 a_{1}-6 right)-2=4 a_{1}-8=-1]

[eqn: a_{1}={7} over {4}]

따라서

[eqn: 40 times a_{1}=40 times {7} over {4}=70]

[eqn: a_{n+1}=cases{-2 a_{n} && left(a_{n}<0 right) #a_{n}-2 && left(a_{n} geq 0 right)}]

을 만족시킨다. [eqn: a_{7}=-1]일 때, [eqn: 40 times a_{1}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 15

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_4 =r]이고 [eqn: |r}|<1]이므로

[eqn: a_5 =r+3]

[eqn: a_6 =r+6]

[eqn: a_7 =-{1} over {2} a_6 = {r+6} over {-2} ( BECAUSE a_5 <5<a_6 )]

[eqn: a_8 = {r+6} over {-2} +3 = -{1} over {2} r]

조건 (가)에서 [eqn: a_8 =r^2]이므로 [eqn: r^2 = -{1} over {2}r]에서 [eqn: r= -{1} over {2}]

주어진 조건에 따라 [eqn: a_3], [eqn: a_2], [eqn: a_1]을 구하면 다음과 같다.

[eqn: a_4]	[eqn: a_3]	[eqn: a_2]	[eqn: a_1]
[eqn: -{1} over {2}]	[eqn: -{7} over {2}]	[eqn: 7]	[eqn: -14]

이때,

[eqn: |a_4n |= left| left(-{1} over {2}right)^n right|<1]에서

[eqn: |a_4n+1 |= left |left(-{1} over {2} right)^n +3 right|<5]

[eqn: |a_4n+2 |= left |left(-{1} over {2} right)^n +6 right|>5]

[eqn: |a_4n+3 |= left |left(-{1} over {2} right)^n+1 -3 right|<5]

이므로 [eqn: a_4n+2]만 [eqn: 5]보다 크다.

따라서, [eqn: |a_m| geq 5]를 만족하는 [eqn: m]의 개수는

[eqn: m=1,``2,``6,``10, ``cdots, ``98]의 [eqn: 26]개다. 따라서 [eqn: p=26,]

[eqn: a_1 =-14]이므로 [eqn: p+a_1 =12]이다.

[eqn: a_1]	[eqn: a_2]	[eqn: a_3]	[eqn: a_4]
[eqn: -2r +3]	[eqn: -2r+6]	[eqn: r-3]	[eqn: r]
[eqn: 4r-12]

[eqn: a_5]	[eqn: a_6]	[eqn: a_7]	[eqn: a_8]
[eqn: r+3]	[eqn: r+6]	[eqn: {r+6} over {-2}]	[eqn: -{1} over {2}r]

[eqn: a_1 <0]이고 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_4k =r^k]이므로

[eqn: a_8 = -{1} over {2} r=r^2]

따라서 [eqn: r=-{1} over {2}]이고 [eqn: a_1 = -14]이다.

모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: |a_4k-2 | geq 5]이고

[eqn: |a_1 | = |-14 |>5]이다.

따라서, [eqn: |a_m | geq 5]를 만족하는 [eqn: m]의 개수는 [eqn: 25+1=26]개다.

[eqn: p=26], [eqn: a_1 =-14] 이므로 [eqn: p+a_1 =12]이다.

(가) 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{4 k}=r^{k}]이다.
(단, [eqn: r]는 [eqn: 0<|r|<1]인 상수이다.)

(나) [eqn: a_{1}<0]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{n+1}=cases{a_{n}+3 && left( left|a_{n} right|<5 right) #-{1} over {2} a_{n} && left( left|a_{n} right| geq 5 right)}]이다.

[eqn: left|a_{m} right| geq 5]를 만족시키는 [eqn: rm 100] 이하의 자연수 [eqn: m]의 개수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: p+a_{1}]의 값은?

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 10]	③ [eqn: rm 12]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 16]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
03 점화식3 (이웃하는 항의 차가 f(n)꼴)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 21

첫째항이 양수이고 공차가 [eqn: {- 1 }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]보다 작은 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 다음과 같다.

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: a>0], [eqn: d< it -1]이므로 [eqn: n le k]일 때 [eqn: a _{n} ge0], [eqn: n gek+1]일 때 [eqn: a _{n} <0]인 자연수 [eqn: k]가 유일하게 존재한다.

[eqn: n le k]일 때, [eqn: a _{n} ge0], [eqn: b _{n} =a _{n+1} - {n} over {2}]이므로

[eqn: b _{1} =a _{2} - {1} over {2}], [eqn: b _{2} =a _{3} -1], [eqn: cdots], [eqn: b _{k} =a _{k+1} - {k} over {2}]

따라서 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 [eqn: n=1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` cdots ,```` k-1]일 때, [eqn: b _{n+1} -b _{n} =d- {1} over {2}]을 만족시킨다.

[eqn: n ge k+1]일 때, [eqn: a _{n} <0], [eqn: b _{n} =a _{n} + {n} over {2}]이므로

[eqn: b _{k+1} =a _{k+1} + {k+1} over {2}], [eqn: b _{k+2} =a _{k+2} + {k+2} over {2}],

[eqn: b _{k+3} =a _{k+3} + {k+3} over {2} ,```` cdots]

따라서 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 [eqn: n=k+1 ,```` k+2 ,```` k+3 ,```` cdots]일 때, [eqn: b _{n+1} -b _{n} =d+ {1} over {2}]을 만족시킨다.

즉, [eqn: n le k-1]일 때, [eqn: d- {1} over {2} <0]이므로 [eqn: b _{n} >b _{n+1}], [eqn: n ge k+1]일 때, [eqn: d+ {1} over {2} <0]이므로 [eqn: b _{n} >b _{n+1}]

[eqn: n=k]일 때,

[eqn: b _{k+1} -b _{k} &][eqn: = LEFT ( a _{n+1} + {k+1} over {2} RIGHT ) - LEFT ( a _{k+1} - {k} over {2} RIGHT )]
[eqn: =k+ {1} over {2} >0]

이므로 [eqn: b _{n} <b _{n+1}]

그러므로 [eqn: n=k]일 때만 [eqn: b _{n} <b _{n+1}]이다.

조건 (가)에서 [eqn: b _{5} <b _{6}]이므로 [eqn: k=5]이다.

그러므로 [eqn: b _{n} = {cases{a _{n+1} - {n} over {2}&&&LEFT ( n le5 RIGHT )#````a _{n} + {n} over {2}&&&LEFT ( n ge6 RIGHT )}}]

조건 (나)에 의하여

[eqn: S _{5} &][eqn: =b _{1} +b _{2} +b _{3} +b _{4} +b _{5}]
[eqn: = {5 LEFT ( b _{1} +b _{5} RIGHT )} over {2}]
[eqn: = {5} over {2} times LEFT { LEFT ( a _{2} - {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( a _{6} - {5} over {2} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {5} over {2} times LEFT ( 2a+6d-3 RIGHT )]
[eqn: =0]

즉, [eqn: 2a+6d-3=0]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=6], [eqn: d= it - {3} over {2}]이므로 [eqn: a _{n} = it - {3} over {2} n+ {15} over {2}]

[eqn: S _{9} =0], [eqn: b _{10} =a _{10} +5= it - {15} over {2} +5= it - {5} over {2}]

[eqn: n ge6]일 때, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 [eqn: b _{n+1} -b _{n} =d+ {1} over {2} = it -1]을 만족시키므로

[eqn: S _{n}][eqn: =S _{9} + LEFT ( b _{10} +b _{11} +b _{12} +cdots+b _{n} RIGHT )]
[eqn: =0+ {LEFT ( n-9 RIGHT ) LEFT { -5+ LEFT ( n-10 RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]
[eqn: = it - {LEFT ( n-5 RIGHT ) LEFT ( n-9 RIGHT )} over {2}][eqn: LEFT ( n ge10 RIGHT )]

[eqn: S _{n} le-70]을 만족시키는 [eqn: n]의 값의 범위는 [eqn: n ge19]이므로 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 19]

[참고]

[eqn: b _{n} = {cases{``6-2n&&&LEFT ( n LEQ 5 RIGHT )#{15} over {2} -n&&&LEFT ( n ge6 RIGHT )}}]

[eqn: S _{n} = {cases{``````````````````````n LEFT ( 5-n RIGHT )&&&LEFT ( n le5 RIGHT )#- {1} over {2} LEFT ( n-5 RIGHT ) LEFT ( n-9 RIGHT )&&&LEFT ( n ge6 RIGHT )}}]

이므로 [eqn: n le9]일 때, [eqn: S _{n} ge0]

[eqn: b _{n} = {cases{ a _{n+1} - {n} over {2} &&& LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )# a _{n} + {n} over {2} &&& LEFT ( a _{n} <0 RIGHT )}}]

수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: b _{5} <b _{6}]

(나) [eqn: S _{ 5} =S _{ 9} =0]

[eqn: S _{n} LEQ -70]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은?

① [eqn: 13]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 17]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 21]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 21

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 180]

[해설]

조건 (가)에 의하여

[eqn: a_{2 n-1}+a_{2 n}][eqn: = sum_{k=1}^{2 n} a_{k}- sum_{k=1}^{2(n-1)} a_{k}]
[eqn: =17 n-17(n-1)=17 ~ (n geq 2)]

조건 (나)에 의하여

[eqn: left|a_{2 n}-a_{2 n-1} right|=2(2 n-1)-1=4 n-3 ~ (n geq 1)]

(i ) [eqn: n=2]인 경우
[eqn: left|a_{4}-a_{3} right|=5]이고 [eqn: a_{3}+a_{4}=17]
[eqn: left(a_{3},`` a_{4} right)=(6,``11)] 또는 [eqn: left(a_{3},`` a_{4} right)=(11,``6)]
조건 [eqn: (]나)에 의하여 [eqn: left|a_{3}-a_{2} right|= left|a_{3}-9 right|=3]이므로 [eqn: a_{3}=6], [eqn: a_{4}=11]

(ii) [eqn: n=3]인 경우
[eqn: left|a_{6}-a_{5} right|=9]이고 [eqn: a_{5}+a_{6}=17]
[eqn: left(a_{5},`` a_{6} right)=(4,``13)] 또는 [eqn: left(a_{5},`` a_{6} right)=(13,``4)]
조건 (나)에 의하여 [eqn: left|a_{5}-a_{4} right|= left|a_{5}-11 right|=7]이므로  [eqn: a_{5}=4], [eqn: a_{6}=13]

( i ), (ii)와 같은 방법을 반복하면

[eqn: a_{8}=15], [eqn: a_{10}=17], [eqn: cdots], [eqn: a_{20}=27]이므로

[eqn: sum_{n=1}^{10} a_{2 n}]의 값은 첫째항이 [eqn: rm 9]이고 공차가 [eqn: rm 2]인

등차수열의 첫째항부터 제[eqn: rm 10]항까지의 합과 같다.

따라서 [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{2 n}={10 times(18+9 times 2)} over {2}=180]

(가) [eqn: sum_{k=1}^{2 n} a_{k}=17 n]

(나) [eqn: left|a_{n+1}-a_{n} right|=2 n-1]

[eqn: a_{2}=9]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{10} a_{2 n}]의 값을 구하시오.

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
04 점화식4 (이웃하는 항의 몫이 f(n)꼴)

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 10

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^7^경찰대^중}}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이

[정답] ④

[해설]

[eqn: a_{n}=sum_{k=1}^{n}k={n(n+1)}over{2}]

[eqn: b_{n}=b_{n-1}times {a_{n}}over{a_{n}-1}}]에서 양변을 [eqn: b_{n-1}]로 나누면

[eqn: {b_{n}}over{b_{n-1}}={a_{n}}over{a_{n}-1}={n(n+1)}over{(n+2)(n-1)}]

[eqn: n]에 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: 100]까지 대입하여 변변 곱하면

[eqn: {b_{100}}over{b_{1}}={2cdot3}over{4cdot1}times {3cdot4}over{5cdot2}times {4cdot5}over{6cdot3}times cdots times {100cdot101}over{102 cdot99}]

[eqn: therefore][eqn: {b_{100}}over{1}={3}over{1}times {{100}over{102}={50}over{17}]

[eqn: a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} k], [eqn: b _{1}][eqn: =1], [eqn: b _{n}][eqn: =b _{n-1} TIMES {a _{n}} over {a _{n} -1}] ([eqn: n GEQ 2])

를 만족시킬 때, [eqn: b _{100}]의 값은?

① [eqn: {44} over {17}]	② [eqn: {46} over {17}]	③ [eqn: {48} over {17}]

④ [eqn: {50} over {17}]	⑤ [eqn: {52} over {17}]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
05 점화식5 (이웃하는 항이 일차관계식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 7

수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: a_4 =31 ,```` a_4 =2a_3 +1]이므로 [eqn: a_3 =15]

[eqn: a_3 =15 ,```` a_3 =2a_2 +1]이므로 [eqn: a_2 =7]

[eqn: a_n+1 =2a_n +1]

을 만족시킨다. [eqn: a_4 =31]일 때, [eqn: a_2]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
07 점화식7 (합이 포함된 점화식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 15

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3나^}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: a _{n+1} = sum _{k=1} ^{n} k a _{k}]에서 [eqn: n=1]을 대입하면 [eqn: a_2][eqn: = sum_{k=1} ^1 k a_k][eqn: = a_1]이므로

[eqn: a_2 =2]

[eqn: n ge 2]일 때 [eqn: a_n = sum_k=1 ^n-1 k a_k]이므로

[eqn: a_n+1 - a_n][eqn: = sum_{k=1} ^n k a_k - sum_{k=1} ^n-1 k a_k][eqn: = na_n]

그러므로 [eqn: a _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n}] (단, [eqn: n ge 2])

위 식에 [eqn: n=50]을 대입하면 [eqn: a_51][eqn: = 51 a_50]이고 [eqn: a_50 >0]이므로

[eqn: a_51 over a_50][eqn: = 51]

따라서 [eqn: a _{2} + {a _{51}} over {a _{50}}][eqn: = 2 + 51][eqn: = 53]

[보충 설명]

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n >0]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ([eqn: ast])

임을 수학적 귀납법을 이용하여 보일 수 있다.

[eqn: a_2 =2]이고 [eqn: n ge 2]일 때 [eqn: a _{n+1} = LEFT ( n+1 RIGHT ) a _{n}]이므로

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때
[eqn: a_2][eqn: =2][eqn: >0]이므로 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n=k]일 때 ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면 [eqn: a_k >0]
[eqn: n= k+1]일 때 [eqn: a _{k+1} = LEFT ( k+1 RIGHT ) a _{k}][eqn: >0]이므로 [eqn: n= k+1]일 때도 ([eqn: ast])이 성립한다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n >0]이다.

[eqn: a _{n+1} = sum _{k=1} ^{n} k a _{k}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{1} =2]일 때, [eqn: a _{2} + {a _{51}} over {a _{50}}]의 값은?

① [eqn: 47]	② [eqn: 49]	③ [eqn: 51]

④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 55]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 19

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합을 [eqn: S _{`n} `]이라 하자.
[eqn: a_{`1} =2], [eqn: a _{`2} =4`]이고 [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] [eqn: 162]

[해설]

[eqn: S_{`n+1}][eqn: =a_{`n+1} + S_{`n}`]이므로 [eqn: a _{`n+1} S _{`n}][eqn: =a _{`n}left (a _{`n+1} +S _{`n} right)],

[eqn: LEFT ( S _{`n} -a _{`n} RIGHT ) a _{`n+1}][eqn: =a _{n} S _{n}]

즉, [eqn: S _{`n-1} a _{`n+1}][eqn: =a _{`n} S _{`n}][eqn: (n ge2 )][eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a _{`1}][eqn: =`S _{`1}][eqn: =2], [eqn: a_2 =4`]이므로 [eqn: S_{`2}][eqn: =a_{`1} + a_{`2}][eqn: =6]

㉠에서 [eqn: a_{`n+1}][eqn: = { a_{`n} S_{`n}} over {S_{`n-1}} `][eqn: cdotscdots] ㉡

㉡에 [eqn: n=2`], [eqn: 3], [eqn: 4`]를 차례로 대입하면

[eqn: a _{`3}][eqn: = {a_{`2} S_{`2}} over { S_{`1}}][eqn: ={4 times 6 } over 2][eqn: =12`]에서 [eqn: S _{`3}][eqn: =S_{`2} +a_{`3}][eqn: =6+12][eqn: =18]

[eqn: a _{`4}][eqn: = {a_{`3} S_{`3}} over { S_{`2}}][eqn: ={12 times 18 } over 6`][eqn: =36`]에서 [eqn: S _{`4}][eqn: =S_{`3} +a_{`4}][eqn: = 18 + 36][eqn: =54]

[eqn: a _{`5}][eqn: = {a_{`4} S_{`4}} over { S_{`3}}][eqn: ={36 times 54 } over 18`][eqn: =108`]

따라서 [eqn: S _{`5}][eqn: =S_{`4} +a_{`5}][eqn: =162]

[eqn: a _{`n+1} S _{`n} =a _{`n} S _{`n+1}]

이 성립할 때, [eqn: S_{`5} `]의 값을 구하시오.

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
08 점화식8 (분수꼴 점화식. 치환)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 9

[eqn: {a_1 =1}{{^2020^08^경찰대^중}}]인 수열 [eqn: left{` a_n `right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: a_1 =1]인 수열 [eqn: left{` a_n `right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (4-a_n+1 )(2+a_n )=8]

[eqn: 8 +4a_n -2a_n+1 -a_n a_n+1 =8]

[eqn: therefore][eqn: a_n a_n+1 +2a_n+1 -4 a_n =0]

[eqn: div a_n a_n+1]을 하면 [eqn: 1+ 2 over a_n - 4 over a_n+1 = 0]

[eqn: 4 overa_n =b_n]라 하면 [eqn: 1+ b_n over 2 - b_n+1 =0]

[eqn: b_n+1 = 1over2 b_n +1]

즉, [eqn: b_1 = 4 over a_1 =4], [eqn: (b_n+1 -2) = 1over2 (b_n -2)]이므로

[eqn: b_n -2= (4-2) cdotleft( 1over2 right)^n-1], [eqn: b_n =2+2 cdotleft( 1over2 right)^n-1]

[eqn: sum _{ k=1} ^{9 }{8 overa_k}][eqn: =2sum _{ k=1} ^{9 } b_k]
[eqn: = 2 left( 18 + { 2 left{` 1- left( 1 over 2 right)^9 `right} }over{1- left ( 1 over 2 right) }right )]
[eqn: = 36+ 8 left{` 1- left( 1 over 2 right)^9 `right} {]
[eqn: =44- left(1over2 right)^6]

따라서 구하는 정수부분은 [eqn: 43]이다.

[eqn: (4-a_n+1 )(2+a_n )=8]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{ k=1} ^{9 }{8 overa_k}]의 정수 부분은?

① [eqn: 43]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 45]

④ [eqn: 46]	⑤ [eqn: 47]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
09 점화식9 (이웃하는 항의 합 또는 곱으로 표현된 점화식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 10

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 [eqn: a_{1}=12]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: a_{n+1}+a_{n}=(-1)^{n+1} times n]에서

[eqn: a_{n+1}=-a_{n}+(-1)^{n+1} times n]

이때, [eqn: a_{1}=12]이므로

[eqn: a_{2}=-a_{1}+1=-11]

[eqn: a_{3}=-a_{2}-2=9]

[eqn: a_{4}=-a_{3}+3=-6]

[eqn: a_{5}=-a_{4}-4=2]

[eqn: a_{6}=-a_{5}+5=3]

[eqn: a_{7}=-a_{6}-6=-9]

[eqn: a_{8}=-a_{7}+7=16]

따라서, [eqn: a_{k}>a_{1}]을 만족시키는 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

[eqn: a_{n+1}+a_{n}=(-1)^{n+1} times n]

을 만족시킨다. [eqn: a_{k}>a_{1}]인 자연수 [eqn: k]의 최솟값은?

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 9

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

자연수 [eqn: k]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=2k-1]일 때, [eqn: a _{2k-1} +a _{2k} =2 LEFT ( 2k-1 RIGHT ) =4k-2]

이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{22} a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{11} LEFT ( a _{2k-1} +a _{2k} RIGHT ) = sum _{k=1} ^{11} LEFT ( 4k-2 RIGHT )]
[eqn: =4 TIMES {11 TIMES 12} over {2} -2 TIMES 11=242]

(ⅱ) [eqn: n=2k]일 때, [eqn: a _{2k} +a _{2k+1} =2 TIMES 2k=4k]

이므로 [eqn: sum _{n=2} ^{21} a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{11} LEFT ( a _{2k} +a _{2k+1} RIGHT ) = sum _{k=1} ^{10} 4k]
[eqn: =4 TIMES {11 TIMES 10} over {2} =220]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{22} = sum _{n=1} ^{22} a _{n} - sum _{n=2} ^{21} a _{n} =242-220=22]

[다른 풀이]

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a _{2k} +a _{2k+1} =4k,][eqn: a _{2k-1} +a _{2k} =4k-2]

이므로 [eqn: a _{2k+1} -a _{2k-1} =2]

즉, 수열 [eqn: LEFT { a _{2k-1} RIGHT }]은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

그러므로 [eqn: a _{2k-1} =a _{1} + LEFT ( k-1 RIGHT ) TIMES 2]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠에 [eqn: k=11]을 대입하면  [eqn: a _{21} =a _{1} +20]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} +a _{n+1} =2n]이므로

[eqn: n=21]을 대입하면 [eqn: a _{21} +a _{22} =42` CDOTS CDOTS] ㉢

㉡을 ㉢에 대입하면 [eqn: LEFT ( a _{1} +20 RIGHT ) +a _{22} =42]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{22} =22]

[eqn: a _{n} +a _{n+1}][eqn: =2n]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{1} +a _{22}]의 값은?

① [eqn: 18]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 20]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 22]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

두 집합 [eqn: {X ,```` Y}{{from^2021^7^경찰대^중}}]를

[정답] [eqn: bold { 217 }]

[해설]

[eqn: log a _{n} +log a _{n+1} =2n]에서 [eqn: a_n a_n+1 = 10^2n]

[eqn: a_1 a_2 =10^2], [eqn: a_2 a_3 =10^4], [eqn: a_3 a_4 =10^6]에서

[eqn: a_2 = 10^2 times 1overa_1], [eqn: a_3 = 10^2 timesa_1], [eqn: a_4 = 10^4 times 1overa_1]

조건에서 [eqn: left{` a_n `right}]는 모든 항이 자연수이므로 [eqn: a_2]가 자연수가 되려면 [eqn: a_1]은 [eqn: 100= 2^2 times5^2]의 약수이므로 가능한 [eqn: a_1]은 총 [eqn: 9]가지다.

(ⅰ) [eqn: a_1 =1]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times1 =10000]

(ⅱ) [eqn: a_1 =2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over2 =5000]

(ⅲ) [eqn: a_1 =2^2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over2^2 =2500]

(ⅳ) [eqn: a_1 =5]일 때 [eqn: a_4 =10^4 times 1over5 =2000]

(ⅴ) [eqn: a_1 =2times5]일 때 [eqn: a_4 =10^4 times 1over10 =1000]

(ⅵ) [eqn: a_1 =2^2 times5]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over20 =500]

(ⅶ) [eqn: a_1 = 5^2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over25 =400]

(ⅷ) [eqn: a_1 = 2times5^2]일 때 [eqn: a_4 =10^4 times 1over50 =200]

(ⅸ) [eqn: a_1 =2^2 times5^2]일 때 [eqn: a_4 = 10^4 times 1over100 =100]

(ⅰ)∼(ⅸ)에서 만족하는 값을 모두 더하면 [eqn: 21700]

즉, [eqn: p TIMES 100][eqn: =][eqn: 217times100]에서 [eqn: p=217]

[eqn: X][eqn: = LEFT { LEFT { a _{n} RIGHT } ``|`` LEFT { a _{n} RIGHT }]은 모든 항이 자연수인 수열이고,

[eqn: log a _{n} +log a _{n+1}][eqn: LEFT. =2n RIGHT }],

[eqn: Y][eqn: = LEFT { a _{4} `` left |`` LEFT { a _{n} RIGHT } IN X RIGHT }]

라 하자. 집합 [eqn: Y]의 모든 원소의 합이 [eqn: p TIMES 100]일 때, [eqn: p]의 값을 구하시오.

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
10 점화식10 (주기수열)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 24

수열 [eqn: { LEFT { a_n RIGHT } }{{from^2020^06^평가원고3가^}}]은 [eqn: a_1 =9], [eqn: a_2 =3]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+2 = a_n+1 - a_n]을 만족시킨다. [eqn: LEFT |`` a_k ``RIGHT | =3]을 만족시키는 [eqn: 100]이하의 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: 33]

[해설]

[eqn: a_{1}=9], [eqn: a_{2}=3]이고

[eqn: a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}]에서 [eqn: n]에 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: cdots]을 차례로 대입하면

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_{3}=a_{2}-a_{1}=-6]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a_{4}=a_{3}-a_{2}=-9]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: a_{5}=a_{4}-a_{3}=-3]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: a_{6}=a_{5}-a_{4}=6]

[eqn: n=5]일 때, [eqn: a_{7}=a_{6}-a_{5}=9]

[eqn: n=6]일 때, [eqn: a_{8}=a_{7}-a_{6}=3]

[eqn: vdots]

즉, 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 각 항은 [eqn: 9], [eqn: 3], [eqn: -6], [eqn: -9], [eqn: -3], [eqn: 6]이 차례대로 반복되므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n}=a_{n+6}]이 성립한다.

이때 [eqn: 9], [eqn: 3], [eqn: -6], [eqn: -9], [eqn: -3], [eqn: 6] 중에서 [eqn: left|a_{k} right|=3]을 만족시키는 항의 개수는 [eqn: rm 2]이고 [eqn: 100=6 times 16+4]이므로 구하는 [eqn: rm 100] 이하의 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 16 times 2+1=33]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 11

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]이 [eqn: a _{1} =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_1][eqn: =1]

[eqn: a_2][eqn: = 2^1][eqn: =2]

[eqn: a_3][eqn: = log_2 root2][eqn: = 1 over2]

[eqn: a_4][eqn: = 2^{1over2}][eqn: = root2]

[eqn: a_5][eqn: = log_{root2} root2][eqn: =1]

[eqn: vdots]

[eqn: a_12][eqn: = a_8][eqn: =a_4][eqn: = root2 ,````][eqn: a_13][eqn: = a_9][eqn: =a _5][eqn: =a_1][eqn: =1]

따라서 [eqn: a_12 times a_13][eqn: = root2]

[eqn: a _{n+1} = {cases{ 2 ^{ a _{n}}&&&LEFT ( a _{n} LEQ 1 RIGHT )# log _{a _{n}} sqrt {2} &&&LEFT ( a _{n } >1 RIGHT )}}]

을 만족시킬 때, [eqn: a _{12} TIMES a _{13}]의 값은?

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 10

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]은 [eqn: a _{1}][eqn: =4]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{1} <6]이므로 [eqn: a _{2} =(a _{1} -1) ^{2} =9]

[eqn: a _{2} GEQ 6]이므로 [eqn: a _{3} =a _{2} -3=6]

[eqn: a _{3} GEQ 6]이므로 [eqn: a _{4} =a _{3} -3=3]

[eqn: a _{4} <6]이므로 [eqn: a _{5} =(a _{4} -1) ^{2} =4=a _{1}]

[eqn: a _{5} <6]이므로 [eqn: a _{6} =(a _{5} -1) ^{2} =9=a _{2}]

[eqn: VDOTS]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+4} =a _{n}]을 만족시키므로 [eqn: a _{10} =a _{6} =a _{2} =9]

[eqn: a _{n+1} = {cases{ ```` a _{n} -3& && LEFT ( a _{n} GEQ 6 RIGHT )# LEFT ( a _{n} -1 RIGHT ) ^{2}& && LEFT ( a _{n} <6 RIGHT )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{10}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 19

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: a _{3} =a _{1} -3,`a _{4} =a _{2} +3,]

[eqn: a _{5} =a _{3} -3=a _{1} -6,``a _{6} =a _{4} +3=a _{2} +6]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{6} a _{k}][eqn: =a _{1} +a _{2} + LEFT ( a _{1} -3 RIGHT ) + LEFT ( a _{2} +3 RIGHT ) + LEFT ( a _{1} -6 RIGHT ) + LEFT ( a _{2} +6 RIGHT )]
[eqn: =3 LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT )]

조건 (나)에서 [eqn: sum _{k=1} ^{32} a _{k} =5 sum _{k=1} ^{6} a _{k} +a _{1} +a _{2} =16 LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT )]

따라서 [eqn: 16 LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT ) =112]이므로 [eqn: a _{1} +a _{2} =7]

(가) [eqn: a _{n+2} = {cases{a _{n} -3&~~~ LEFT ( n=1,~3 RIGHT )#eqalign{# a _{n} +3}&eqalign{# ~~~ LEFT ( n=2,~4 RIGHT )}}}]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n}][eqn: =a _{n+6}]이 성립한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{32} a _{k}][eqn: =112]일 때, [eqn: a _{1} +a _{2}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 21

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

조건 (가), (나)에 의해

[eqn: a_2 =1-a_1]

[eqn: a_3 = { 1} over { a_2}= { 1} over { 1-a_1}]

[eqn: a _{4} =1-a _{3}= it - {a _{1}} over {1-a _{1}}]

[eqn: a_5 = { 1} over { a_4}=1- { 1} over { a_1}]

[eqn: a_6 =1-a_5 = { 1} over { a_1}]

[eqn: a_7 = { 1} over { a_6}=a_1]

[eqn: a_8 =1-a_7 =1-a_1 =a_2]

[eqn: VDOTS]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+6 =a_n]을 만족시킨다.

[eqn: LEFT | `a_n`RIGHT |-a_n = cases{ ``0&&&(a_n ge 0) #``-2a_n &&&(a_n <0) }]이므로

[eqn: sum _{ n`=`1} ^{ 14} LEFT ( LEFT | `a_n`RIGHT |-a_n RIGHT )=10]이 되기 위해서는

[eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: CDOTS], [eqn: a_14]중에서 음수인 모든 항의 합이 [eqn: -5]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: 0<a_1 <1]일 때
[eqn: a_2 >0], [eqn: a_3 > 0], [eqn: a_4 <0], [eqn: a_5 <0], [eqn: a_6 >0]
이므로
[eqn: a_4 +a_5 +a_10 +a_11 = it-5]
[eqn: a_4 =s]라 하면

[eqn: a_4 + a_5 + a_10 + a_11][eqn: =s+ { 1} over { s}+s+ { 1} over { s}]
[eqn: =2s+ { 2} over { s}=it-5]

[eqn: 2s^2 +5s+2=0], [eqn: LEFT ( 2s+1 RIGHT ) LEFT ( s+2 RIGHT )=0]에서
[eqn: s=it- { 1} over { 2}] 또는 [eqn: s=it-2]
[eqn: s=it- { a_1} over { 1-a_1}]이므로 [eqn: a_1 = { 1} over { 3}] 또는 [eqn: a_1 = { 2} over { 3}]

(ⅱ) [eqn: a_1 > 1]일 때
[eqn: a_2 <0], [eqn: a_3 <0], [eqn: a_4 >0], [eqn: a_5 >0], [eqn: a_6 >0]
이므로
[eqn: a_2 + a_3 + a_8 + a_9 +a_14 =it-5]
[eqn: a_2 =t]라 하면

[eqn: a_2 + a_3 + a_8 + a_9 + a_14][eqn: =t+ {1} over {t} +t+ {1} over {t}+t]
[eqn: =3t+ { 2} over { t}=it-5]

[eqn: 3t^2 +5t+2=0], [eqn: LEFT ( 3t+2 RIGHT ) LEFT ( t+1 RIGHT )=0]에서
[eqn: t=it- { 2} over { 3}] 또는 [eqn: t=it-1]
[eqn: t=1-a_1] 이므로 [eqn: a_1 = { 5} over { 3}] 또는 [eqn: a_1 =2]

따라서 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은 [eqn: { 1} over { 3}+ { 2} over { 3}+ { 5} over { 3}+2= { 14} over { 3}]

(가) [eqn: a_1]은 [eqn: 1]이 아닌 양수이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_2n-1 +a_2n =1]이고 [eqn: a_2n TIMESa_2n+1 =1]이다.

[eqn: sum _{n`=`1} ^{14} ` LEFT ( LEFT | `a _{n} ` RIGHT | -a _{n} RIGHT ) =10]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은?

① [eqn: { 10} over { 3}]	② [eqn: 4]	③ [eqn: { 14} over { 3}]

④ [eqn: { 16} over { 3}]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 18

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^9 고2인천^중}}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1], [eqn: b _{1} =`-1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: a _{1} =1], [eqn: b _{1} =`-1]이므로

[eqn: a _{2} =1+ LEFT ( -1 RIGHT ) =0], [eqn: b _{2} =2cos {pi } over {3} =1]

[eqn: a _{3} =0+1=1], [eqn: b _{3} =2cos0=2]

[eqn: a _{4} =1+2=3], [eqn: b _{4} =2cos {pi } over {3} =1]

[eqn: a _{5} =3+1=4], [eqn: b _{5} =2cos pi =`-2]

[eqn: a _{6} =4+ LEFT ( -2 RIGHT ) =2], [eqn: b _{6} =2cos {4} over {3} pi =`-1]

[eqn: a _{7} =2+ LEFT ( -1 RIGHT ) =1], [eqn: b _{7} =2cos {2} over {3} pi =`-1]

[eqn: a _{8} =1+ LEFT ( -1 RIGHT ) =0], [eqn: b _{8} =2cos {pi } over {3} =1]

[eqn: VDOTS]

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+6} =a _{n}], [eqn: b _{n+6} =b _{n}]이 성립한다.

[eqn: 2021=6 TIMES 336+5]이므로

[eqn: a _{2021} -b _{2021}][eqn: =a _{5} -b _{5}][eqn: =4- LEFT ( -2 RIGHT )][eqn: =6]

[eqn: a _{n+1} =a _{n} +b _{n}], [eqn: b _{n+1} =2cos {a _{n}} over {3} pi]

를 만족시킨다. [eqn: a _{2021`} -b _{2021}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: 0]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 9

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: a _{2} = {1} over {a _{1}}],

[eqn: a _{3} =8a _{2} = {8} over {a _{1}}],

[eqn: a _{4} = {1} over {a _{3}} = {a _{1}} over {8}],

[eqn: a _{5} =8a _{4} =a _{1}],

[eqn: vdots]

따라서 [eqn: a _{1} =a _{5} =a _{9} = cdots], [eqn: a _{2} =a _{6} =a _{10} = cdots], [eqn: a _{3} =a _{7} =a _{11} = CDOTS]

[eqn: a _{4} =a _{8} =a _{12} = CDOTS]

즉, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: a _{4}]가 반복되는 형태의 수열이다.

조건에서 [eqn: a _{12} = {1} over {2}]이므로 [eqn: a _{12} =a _{4} = {a _{1}} over {8} = {1} over {2}]을 만족한다.

즉, [eqn: a _{1} =4], [eqn: a _{4} = {1} over {2}]이므로 [eqn: a _{1} +a _{4} = {9} over {2}]

[eqn: a_n+1 = {cases{1 over a_n &&&LEFT ( n이 ````홀수인 ````경우 RIGHT )#`8a_n&&&LEFT ( n이 ````짝수인 ````경우 RIGHT )}}]

이고, [eqn: a _{12} = {1} over {2}]일 때, [eqn: a _{1} +a _{4}]의 값은?

① [eqn: {3} over {4}]	② [eqn: {9} over {4}]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: {17} over {4}]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 21

첫째항이 자연수인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: 5]

[해설]

(ⅰ) [eqn: a _{1} =1]일 때
[eqn: a _{1} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{2} =a _{1} -2=-1]
[eqn: a _{2} <0]이므로 [eqn: a _{3} =a _{2} +5=4]
[eqn: a _{3} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{4} =a _{3} -2=2]
[eqn: a _{4} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{5} =a _{4} -2=0]
[eqn: a _{5} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{6} =a _{5} -2=-2]
[eqn: a _{6} <0]이므로 [eqn: a _{7} =a _{6} +5=3]
[eqn: a _{7} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{8} =a _{7} -2=1=a _{1}]
[eqn: a _{8} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{9} =a _{8} -2=-1=a _{2 }]
[eqn: VDOTS]
그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고 [eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =1]

(ⅱ) [eqn: a _{1} =2]일 때
(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =2]

(ⅲ) [eqn: a _{1} =3]일 때
(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =3]

(ⅳ) [eqn: a _{1} =4]일 때
(ⅰ)과 같은 방법으로 구하면 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =a _{1} =4]

(ⅴ) [eqn: a _{1} =5]일 때
[eqn: a _{1} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{2} =a _{1} -2=3]
[eqn: a _{2} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{3} =a _{2} -2=1]
[eqn: a _{3} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{4} =a _{3} -2=-1]
[eqn: a _{4} <0]이므로 [eqn: a _{5} =a _{4} +5=4]
[eqn: a _{5} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{6} =a _{5} -2=2]
[eqn: a _{6} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{7} =a _{6} -2=-2]
[eqn: a _{7} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{8} =a _{7} -2=-2]
[eqn: a _{8} <0]이므로 [eqn: a _{9} =a _{8} +5=3=a _{2 }]
[eqn: a _{9} GEQ 0]이므로 [eqn: a _{10} =a _{9} -2=1=a _{3 }]
[eqn: VDOTS]
그러므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: 2]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n+7} =a _{n}]을 만족시키고
[eqn: a _{15} =a _{8} =-2 <0]

따라서 [eqn: a _{15} <0]이 되도록 하는 [eqn: a _{1}]의 최솟값은 [eqn: 5]이다.

[eqn: a _{n+1}][eqn: = {cases{eqalign{a _{n} -2# }&eqalign{~~~ LEFT ( a _{n} GEQ 0 RIGHT )# }#a _{n} +5&~~~ LEFT ( a _{n} <0 RIGHT )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{15} <0]이 되도록 하는 [eqn: a _{1}]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 5

첫째항이 [eqn: 1]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: a_1 = 1]이므로 [eqn: a_2 = 2]

[eqn: a_2 = 2]이므로 [eqn: a_3 = 4]

[eqn: a_3 = 4]이므로 [eqn: a_4 = 8]

[eqn: a_4 = 8]이므로 [eqn: a_5 = 1]

[eqn: a_5 = 1]이므로 [eqn: a_6 = 2]

[eqn: a_6 = 2]이므로 [eqn: a_7 = 4]

[eqn: a_7 = 4]이므로 [eqn: a_8 = 8]

따라서

[eqn: sum _{ k`=`1} ^{8 } ` a_k][eqn: = 2 times ( 1 +2 + 4 + 8 )]
[eqn: =2 times 15]
[eqn: = 30]

[eqn: a _{n+1} = {cases{~2a _{n}&~ LEFT ( a _{n} <7 RIGHT )#a _{n} -7&~ LEFT ( a _{n} GEQ 7 RIGHT )}}]

일 때, [eqn: sum _{k`=`1} ^{8} `a _{k}]의 값은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 13

첫째항이 [eqn: {1} over {2}]인 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_{1}={1} over {2}], [eqn: a_{2}=-{1} over {a_{1}-1}=2],

[eqn: a_{3}=-{1} over {a_{2}-1}=-1],

[eqn: a_{4}=-{1} over {a_{3}-1}={1} over {2}=a_{1}],

[eqn: a_{5}=-{1} over {a_{4}-1}=2=a_{2}], [eqn: cdots]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+3}=a_{n}], [eqn: a_{3 n-2}+a_{3 n-1}+a_{3 n}={3} over {2}]이므로

[eqn: S_{3 n}={3} over {2} n],

[eqn: S_{3 n+1}=S_{3 n}+{1} over {2}={3} over {2} n+{1} over {2}],

[eqn: S_{3 n+2}=S_{3 n}+{1} over {2}+2={3} over {2} n+{5} over {2}]

[eqn: 11={3} over {2} times 7+{1} over {2}=S_{3 times 7}+{1} over {2}=S_{3 times 7+1}=S_{22}]

따라서 [eqn: m=22]

[eqn: a_{n+1}=-{1} over {a_{n}-1}]

을 만족시킨다. 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 할 때, [eqn: S_{m}=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: rm 20]	② [eqn: rm 21]	③ [eqn: rm 22]

④ [eqn: rm 23]	⑤ [eqn: rm 24]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 8

첫째항이 [eqn: rm 20]인 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ②

[해설]

(ⅰ) [eqn: 1 leq n leq 10]인 경우
[eqn: a_{1}=20], [eqn: a_{n+1}=a_{n}-2]이므로 [eqn: a_{n}=-2 n+22]
[eqn: sum_{n=1}^{10} a_{n}= sum_{n=1}^{10}(-2 n+22)=110]

(ⅱ) [eqn: 11 leq n leq 30]인 경우
[eqn: a_{10}=2]이므로 [eqn: a_{n}= cases{ ~``0~(n`이~홀수인~경우) & # -2 ~(n이~짝수인~경우)& }]
[eqn: sum_{n=11}^{30} a_{n}=(-2) times 10=-20]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: sum_{n=1}^{30} a_{n}=110+(-20)=90]

[eqn: a_{n+1}= left|a_{n} right|-2]

를 만족시킬 때, [eqn: sum_{n=1}^{30} a_{n}]의 값은?

① [eqn: rm 88]	② [eqn: rm 90]	③ [eqn: rm 92]

④ [eqn: rm 94]	⑤ [eqn: rm 96]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 7

첫째항이 [eqn: {1} over {2}]인 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: a_{1}={1} over {2}]이므로

[eqn: a_{2}=-2 times {1} over {2}+1=0]

[eqn: a_{3}=-2 times 0+1=1]

[eqn: a_{4}=-2 times 1+1=-1]

[eqn: a_{5}=-1+1=0]

[eqn: vdots]

[eqn: ~]이때, [eqn: a_{n+3}=a_{n} ~ (n geq 2)]이므로

[eqn: a_{10}=a_{7}=a_{4}=-1]

[eqn: a_{20}=a_{17}=a_{14}= cdots =a_{2}=0]

따라서 [eqn: a_{10}+a_{20}=-1+0=-1]

[eqn: a_{n+1}=cases{a_{n}+1 && left(a_{n}<0 right) #-2 a_{n}+1 && left(a_{n} geq 0 right)}]

일 때, [eqn: a_{10}+a_{20}]의 값은?

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: rm 0]

④ [eqn: rm 1]	⑤ [eqn: rm 2]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
11 점화식11 (여러가지 점화식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 27

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3나^}}]은 [eqn: a _{1} =1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 139 }]

[해설]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{2} +3a _{1}][eqn: = it -1]이므로 [eqn: a _{2} = it -4]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a _{3} +3a _{2}][eqn: =2]이므로 [eqn: a _{3} =14]

[eqn: n=3]일 때, [eqn: a _{4} +3a _{3}][eqn: = it -3]이므로 [eqn: a _{4} = it -45]

[eqn: n=4]일 때, [eqn: a _{5} +3a _{4}][eqn: =4]이므로 [eqn: a _{5} =139]

[eqn: a _{n+1} +3a _{n} = LEFT ( it -1 RIGHT ) ^{n} TIMES n]

을 만족시킨다. [eqn: a _{5}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 13

수열 [eqn: {left{ a_n right}{{from^2020^08^사관학교고3가나^유사}}]은 [eqn: a_1][eqn: = 3over2]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ②

[해설]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_2n-1 + a_2n][eqn: = 2 a_n]이므로

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_1 + a_2 = 2a_1]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a_3 + a_4 = 2 a_2]

[eqn: vdots]

[eqn: n= n-1]일 때, [eqn: a_2n-1 +a_2n = 2a_n]

변변히 모두 더하면 [eqn: S_2n = 2S_n]

그런데 조건에서 [eqn: a_1][eqn: = 3over2]이므로

[eqn: S_2 =2S_1 = 3]

따라서 [eqn: S_4 = 2S_2 =6], [eqn: S_8 = 2S_4 =12]

[eqn: THEREFORE][eqn: S_16 = 2 S_8 =24]

[eqn: a_2n-1 + a_2n][eqn: = 2 a_n]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{ n=1} ^{ 16} a_n]의 값은?

① [eqn: 22]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 26]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 18

수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ①

[해설]

(가), (나)에서

[eqn: a_2n+1 = it-a_n +3a_n+1]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉠

[eqn: a_2n+2 = a_n - a_n+1]	[eqn: CDOTSCDOTS] ㉡

㉠[eqn: +]㉡을 하면 [eqn: a_2n+1 +a_2n+2 = 2a_n+1]

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a_3 + a_4 = 2a_2]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: a_5 + a_6 = 2 a_3]

[eqn: vdots]

[eqn: n= n-1]일 때, [eqn: a_2n-1 +a_2n = 2a_n]

변변히 모두 더하면

[eqn: S_2n -a_1 -a_2 = 2(S_n -a_1 )]

즉, [eqn: S_2n = 2 S_n +1]

그런데 조건에서 [eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =2]이므로

[eqn: S_2 = 1+2 =3]

따라서 [eqn: S_4 = 2S_2 +1 =7], [eqn: S_8 = 2S_4 +1 = 15]

[eqn: THEREFORE][eqn: S_16 = 2 S_8 +1 =31]

(가) [eqn: a_2n+1 = it-a_n +3a_n+1]

(나) [eqn: a_2n+2 = a_n - a_n+1]

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =2]일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{16 }a_n]의 값은?

① [eqn: 31]	② [eqn: 33]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: 39]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 14

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^06^평가원고3나^}}]은 [eqn: a _{1} =1]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_{1}=1]이므로

[eqn: a_{4}=a_{1}+1=2]

[eqn: a_{4}=2]이므로

[eqn: a_{11}=2 a_{4}+1=2 times 2+1=5]

[eqn: a_{12}=-a_{4}+2=-2+2=0]

[eqn: a_{13}=a_{4}+1=2+1=3]

따라서

[eqn: a_{11}+a_{12}+a_{13}=5+0+3=8]

[eqn: {cases{a _{3n-1} =2a _{n} +1#a _{3n} =-a _{n} +2#a _{3n+1} =a _{n} +1}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{11} +a _{12} +a _{13}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 21

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^11^대수능고3나^5}}]은 [eqn: 0<a _{1} <1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

조건 (가)에서 [eqn: a_{2}=a_{2} times a_{1}+1][eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: a_{7}=2]이므로 조건 (나)에서

[eqn: 2=a_{7}=][eqn: a_{2} times a_{3}-2]
[eqn: =a_{2} times left(a_{2} times a_{1}-2 right)-2]
[eqn: =a_{2} times left{ left(a_{2}-1 right)-2 it right} -2]
(㉠에서 [eqn: a_2 timesa_1 =a_2 -1`]이므로)
[eqn: =a_{2}^{2}-3 a_{2}-2]

즉, [eqn: a_{2}`^{2}-3 a_{2}-4=0]이므로 [eqn: left(a_{2} + 1 right) left(a_{2} -4)=0]

따라서 [eqn: a_{2}=-1] 또는 [eqn: a_{2}=4]

(i) [eqn: a_{2}=-1]일 때
㉠에서 [eqn: a_{1}=2]이므로 [eqn: 0<a_{1}<1]이라는 조건에 모순이다.

(ii) [eqn: a_2 =4`]일 때
㉠에서 [eqn: a_{1}={3} over {4}]이므로 [eqn: 0<a_{1}<1]이라는 조건을 만족시킨다.

(i), (ii)에서 [eqn: a_{1}={3} over {4}], [eqn: a_{2}=4]이므로 조건 (나)에서

[eqn: ~ a_{3}=a_{2} times a_{1}-2=4 times {3} over {4}-2=1]

이때 조건 (가), (나)에서

[eqn: a_{25}=a_{2} times a_{12}-2=4 a_{12}-2]

[eqn: a_{12}=a_{2} times a_{6}+1=4 a_{6}+1]

[eqn: a_{6}=a_{2} times a_{3}+1=4 times 1+1=5]

이므로 [eqn: a_{12}=4 times 5+1=21]

따라서 [eqn: a_{25}=4 times 21-2=82]

(가) [eqn: a _{2n}][eqn: =a _{2} TIMES a _{n} +1]

(나) [eqn: a _{2n+1}][eqn: =a _{2} TIMES a _{n} -2]

[eqn: a _{7}][eqn: =2]일 때, [eqn: a _{25}]의 값은?

① [eqn: 78]	② [eqn: 80]	③ [eqn: 82]

④ [eqn: 84]	⑤ [eqn: 86]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 21

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^11^대수능고3가^5}}]은 [eqn: 0<a _{1} <1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

조건 (가)에서

[eqn: a_{4}= left(a_{2} right)^{2}+1], [eqn: a_{8}=a_{2} times a_{4}+1=a_{2} times left{ left(a_{2} right)^{2}+1 it right} +1= left(a_{2} right)^{3}+a_{2}+1]

한편, 조건 (나)에서 [eqn: a_{3}=a_{2} times a_{1}-2 ~ cdots cdots]㉠

조건 (가)에서 [eqn: a_{2}=a_{2} times a_{1}+1][eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a_{3}+2=a_{2}-1], [eqn: a_{3}=a_{2}-3]

또 조건 (나)에서

[eqn: ~ a_{7}=a_{2} times a_{3}-2=a_{2} times left(a_{2}-3 right)-2= left(a_{2} right)^{2}-3 a_{2}-2]

[eqn: ~ a_{15}=a_{2} times a_{7}-2=a_{2} times left{ left(a_{2} right)^{2}-3 a_{2}-2 it right} -2]

[eqn: = left(a_{2} right)^{3}-3 left(a_{2} right)^{2}-2 a_{2}-2]

이때 [eqn: a_{8}-a_{15}=63]이므로

[eqn: left{ left(a_{2} right)^{3}+a_{2}+1 it right} - left{ left(a_{2} right)^{3}-3 left(a_{2} right)^{2}-2 a_{2}-2 it right} =63]

[eqn: left(a_{2} right)^{2}+a_{2}-20=0], [eqn: left(a_{2}+5 right) left(a_{2}-4 right)=0]

[eqn: a_{2}=-5] 또는 [eqn: a_{2}=4]

(i) [eqn: a_{2}=-5]일 때

㉡에서 [eqn: a_{1}={6} over {5}]이므로 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: a_{2}=4]일 때

㉡에서 [eqn: a_{1}={3} over {4}]이므로 주어진 조건을 만족시킨다.

(i), (ii)에서 [eqn: a_{1}={3} over {4}], [eqn: a_{2}=4]

따라서 [eqn: a_{8}=4^{3}+4+1=69]이므로 [eqn: {a_{8}} over {a_{1}}={69} over {{3} over {4}}=92]

(가) [eqn: a _{2n}][eqn: =a _{2} TIMES a _{n} +1]

(나) [eqn: a _{2n+1}][eqn: =a _{2} TIMES a _{n} -2]

[eqn: a _{8} -a _{15}][eqn: =63]일 때, [eqn: {a _{8}} over {a _{1}}]의 값은?

① [eqn: 91]	② [eqn: 92]	③ [eqn: 93]

④ [eqn: 94]	⑤ [eqn: 95]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 9

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3가^}}]은 [eqn: a _{1} =7]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ④

[해설]

수열의 귀납적 정의에 따라 각 항을 구하면

[eqn: a _{1} =7], [eqn: a _{2} = {7+3} over {2}][eqn: =5], [eqn: a _{3} = {5+3} over {2}][eqn: =4],

[eqn: a _{4} =4+3][eqn: =7], [eqn: a _{5} = {7+3} over {2}][eqn: =5], [eqn: a _{6} = {5+3} over {2}][eqn: =4]

[eqn: a _{7} =4+6][eqn: =10], [eqn: a _{8} =10+7][eqn: =17]

[eqn: a _{n+1} = {cases{{a _{n} +3} over {2}& && LEFT ( a _{n} 이 ```` 소수인 ```` 경우 RIGHT )#a _{n} +n& && LEFT ( a _{n} 이 ```` 소수가 ```` 아닌 ```` 경우 RIGHT )}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{8}]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 21

수열 {[eqn: {{a _{n} }}{{from^2020^평가원나^3}}]}은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ②

[해설]

주어진 식 [eqn: a _{n+2} = {cases{2a _{n} +a _{n+1}&&&(a _{n} LEQ a _{n+1} )#```a _{n} +a _{n+1}&&&(a _{n} > a _{n+1} )}}]에 [eqn: n=3]을 대입하면

[eqn: a_5 = cases{ 2a_3 + a_4 && ( a_4 ge 2) # ``` a_3 + a_4 &&( a_4 <2)]

그런데 [eqn: a_3 =2]이므로

[eqn: a_5 = cases{ a_4 + 4 && ( a_4 ge 2) # a_4 +2 &&( a_4 <2)]

따라서 위 식에서 어떤 경우에도 [eqn: a_ 4 le a_5]이므로

[eqn: a_ 6 = 2a_4 + a_5]

(ⅰ) [eqn: a_4 ge 2]인 경우
[eqn: a_6 = 2a_4 + ( a_4 + 4) = 3a_4 +4 =19]
[eqn: therefore][eqn: a_ 4 =5]
준 식에 [eqn: n=2]를 대입하면
[eqn: a_4 = cases{ 2a_2 +2 &&(a_2 le 2) # a_2 +2 &&( a_2 >2 )] ([eqn: because][eqn: a_3 =2])
㉠ [eqn: 2a_2 +2 = 5]일 때, [eqn: a_2 = 3 over 2]
[eqn: a_3 = cases{ 2a_1 + a_2 =2 &&( a_1 le a_2 ) # a_1 + a_2 =2 &&( a_1 > a_2 )]
즉, [eqn: 2a_1 + 3 over 2 = 2] (단, [eqn: a_1 le a_2]) 또는
[eqn: a_1 + 3 over 2 = 2] (단, [eqn: a_1 > a_2])를 만족하는 [eqn: a_1]은
[eqn: a_1 = 1 over 4]

㉡ [eqn: a_2 + 2 = 5]일 때, [eqn: a_2 =3]
[eqn: a_3 = cases{ 2a_1 + a_2 =2 &&( a_1 le a_2 ) # a_1 + a_2 =2 &&( a_1 > a_2 )]
즉, [eqn: 2a_1 + 3 = 2] (단, [eqn: a_1 le a_2]) 또는
[eqn: a_1 + 3 = 2] (단, [eqn: a_1 > a_2])를 만족하는 [eqn: a_1]은
[eqn: a_1 = - 1 over 2]

(ⅱ) [eqn: a_4 < 2]인 경우
[eqn: a_6 = 2a_4 +( a_4 + 2 ) = 3a_4 +2 = 19]
[eqn: a_4 = 17 over 3]인데 [eqn: a_4 <2]이므로 성립하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 만족하는 [eqn: a_1]은 [eqn: a_1 =][eqn: 1 over 4 ,```` - 1 over 2]이므로 모든 [eqn: a]값의 합은 [eqn: 1over 4 - 1over 2 = - 1 over 4]

[eqn: a _{n+2} = {cases{2a _{n} +a _{n+1}&&&(a _{n} LEQ a _{n+1} )#```a _{n} +a _{n+1}&&&(a _{n} > a _{n+1} )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{3} =2 ,```` a _{6} =19]가 되도록 하는 모든 [eqn: a _{1}]의 값의 합은?

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 30

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } ,```` LEFT { b _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 79 }]

[해설]

두 조건 (가)와 (나)로부터 [eqn: a _{2n} +a _{2n+1}][eqn: =2b _{n} +1]

두 조건 (다)와 (라)로부터 [eqn: b _{2n} +b _{2n+1}][eqn: =2a _{n} +1]

[eqn: sum _{n=1} ^{63} a _{n} - sum _{n=1} ^{31} b _{n}]

[eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} LEFT ( a _{2n} +a _{2n+1} RIGHT ) - sum _{n=1} ^{31} b _{n}]

[eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} LEFT ( 2b _{n} +1 RIGHT ) - sum _{n=1} ^{31} b _{n}]

[eqn: =a _{1} + sum _{n=1} ^{31} b _{n} +31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} + sum _{n=1} ^{15} LEFT ( b _{2n} +b _{2n+1} RIGHT ) +31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} + sum _{n=1} ^{15} LEFT ( 2a _{n} +1 RIGHT ) +31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2 sum _{n=1} ^{15} a _{n} +15+31]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +2 sum _{n=1} ^{7} LEFT ( 2b _{n} +1 RIGHT ) +46]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4 sum _{n=1} ^{7} b _{n} +14+46]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +4 sum _{n=1} ^{3} LEFT ( 2a _{n} +1 RIGHT ) +60]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8 sum _{n=1} ^{3} a _{n} +12+60]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8a _{1} +8 LEFT ( 2b _{1} +1 RIGHT ) +72]

[eqn: =a _{1} +b _{1} +2a _{1} +4b _{1} +8a _{1} +16b _{1} +8+72]

[eqn: =11a _{1} +21b _{1} +80][eqn: =155]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (가)와 (다)에서

[eqn: a _{4n}][eqn: =b _{2n} +2][eqn: = LEFT ( 3a _{n} -2 RIGHT ) +2][eqn: =3a _{n}],

[eqn: b _{4n}][eqn: =3a _{2n} -2][eqn: =3 LEFT ( b _{n} +2 RIGHT ) -2][eqn: =3b _{n} +4]

이므로

[eqn: a _{48}][eqn: =3a _{12}][eqn: =9a _{3}][eqn: =9 LEFT ( b _{1} -1 RIGHT )][eqn: =9], [eqn: b _{1} =2]

㉠에 의하여 [eqn: a _{1}][eqn: =3]

따라서 [eqn: b _{32}][eqn: =3b _{8} +4][eqn: =9b _{2} +16][eqn: =9 LEFT ( 3a _{1} -2 RIGHT ) +16][eqn: =79]

(가) [eqn: a _{2n} =b _{n} +2]

(나) [eqn: a _{2n+1} =b _{n} -1]

(다) [eqn: b _{2n} =3a _{n} -2]

(라) [eqn: b _{2n+1} = it -a _{n} +3]

[eqn: a _{48} =9]이고 [eqn: sum _{n=1} ^{63} a _{n} - sum _{n=1} ^{31} b _{n} =155]일 때, [eqn: b _{32}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 12

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: a _{8} =log _{2} a _{7} =5], [eqn: a _{7} =2 ^{5} `=32]

[eqn: a _{7} =2 ^{a _{6} +1} =2 ^{5}], [eqn: a _{6} =4]

따라서 [eqn: a _{6} +a _{7}][eqn: =4+32][eqn: =36]

[eqn: a _{n+1} = {cases{log _{2} a _{n} ``````````````&(n이````홀수인````경우)#2 ^{a _{n} +1}&(n`이````짝수인````경우)}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{8} =5]일 때, [eqn: a _{6} +a _{7}]의 값은?

① [eqn: 36]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]

④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 44]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 15

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: { left{` a_{n} `right} }{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여 [eqn: a_{1}]의 최솟값을 [eqn: m]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: {cases{a _{2} =a _{1} a _{3} +1&```` CDOTScdots``` `㉠#a _{3} =2a _{1} -2a _{2}&````cdots CDOTS ````㉡}}]

㉡을 ㉠에 대입하면 [eqn: a _{2} =a _{1} LEFT ( 2a _{1} -a _{2} RIGHT ) +1]

[eqn: THEREFORE````a _{2} = {2a _{1} ` ^{2} +1} over {a _{1} +1} =2 LEFT ( a _{1} -1 RIGHT ) + {3} over {a _{1} +1}]
이때 [eqn: a _{1} +1]이 [eqn: 3]의 약수가 되어야 하므로

[eqn: THEREFORE````a _{1} +1=`-3,````-1,````1,````3]

따라서 [eqn: a_1]의 최솟값 [eqn: m]은 [eqn: m=`-4]

따라서 [eqn: a_2 = -11,````a_3 = 3]이므로

[eqn: a _{9}][eqn: =2a _{4} -a _{2}]
[eqn: =2 LEFT ( a _{2} a _{3} +1 RIGHT ) -a _{2}]
[eqn: =2 LEFT { LEFT ( -11 RIGHT ) TIMES 3+1 RIGHT } +11]
[eqn: =`-53]

(가) 수열 [eqn: left{` a_{n} `right}]의 모든 항은 정수이다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a_{2n}=a_{3}timesa_{n}+1], [eqn: a_{2n+1}=2a_{n}-a_{2}]
이다.

[eqn: a_{1}=m]인 수열 [eqn: left{` a_{n} `right}]에 대하여 [eqn: a_{9}]의 값은?

① [eqn: -53]	② [eqn: -51]	③ [eqn: -49]

④ [eqn: -47]	⑤ [eqn: -45]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 7

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]은 [eqn: a _{1}][eqn: =10]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: a _{1}][eqn: =10]이므로 [eqn: a _{2}][eqn: =5- {10} over {10}][eqn: =4]

[eqn: a _{3}][eqn: =5- {10} over {4}][eqn: = {5} over {2}]

[eqn: a _{4}][eqn: = it -2 TIMES {5} over {2} +3][eqn: = it -2]

[eqn: a _{5}][eqn: =5- {10} over {-2}][eqn: =5+5][eqn: =10]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{9}][eqn: =a _{5}][eqn: =a _{1}][eqn: =10], [eqn: a _{12}][eqn: =a _{8}][eqn: =a _{4}][eqn: = it -2]

따라서 [eqn: a _{9} +a _{12}][eqn: =8]

[eqn: a _{n+1} = {cases{```````5- {10} over {a _{n}} & && LEFT ( a _{n} 이 ```` 정수인 ```` 경우 RIGHT )# -2a _{n} +3& && LEFT ( a _{n} 이 ```` 정수가 ```` 아닌 ```` 경우 RIGHT )}}}]

를 만족시킨다. [eqn: a _{9} +a _{12}]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 15

다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{a_n right} `]에 대하여 [eqn: sum_{k =1}^100 a_k `]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M`], [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M`-m `]의 값은?

[정답] ③

[해설]

주어진 조건에 의하면 [eqn: n ge 5]일 때 [eqn: a_n]은 한가지 이다

따라서 [eqn: a_4], [eqn: a_3], [eqn: a_2], [eqn: a_1]의 값만 확인한다.

[eqn: a_n < 0]이면 [eqn: a_n+1 = - 2a_n +3 >0]이므로

수열 {[eqn: a_n]}의 값이 연속하여 음수인 경우는 없다.

따라서 최댓값은 [eqn: a_n+1 = a_n - 6]일 때

즉 [eqn: a_4 = 11], [eqn: a_3 = 17], [eqn: a_2 = 23], [eqn: a_ 1 = 29] 일 때이다.

최솟값은 (나)의 관계식이 번갈아 나오는 경우

즉 [eqn: a_4 = -1], [eqn: a_3 = 5], [eqn: a_2 = -1], [eqn: a_1 = 5]일 때이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: M- m = (11 + 17 + 23+ 29) - ( -1 + 5-1+5)]

[eqn: = 80 - 8 = 72]

(가) [eqn: a_5 = 5`]

(나) 모든 자연수 [eqn: n `]에 대하여
[eqn: a_n+1 = cases{`a_n -6~~~& LEFT ( a_n ge 0 RIGHT )#`-2a_n + 3~& LEFT ( a_n <0 RIGHT )}`]
이다.

① [eqn: 64`]	② [eqn: 68`]	③ [eqn: 72`]

④ [eqn: 76`]	⑤ [eqn: 80`]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 15

수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2021^09^평가원^중}}]은 [eqn: left |`` a _{1} ``right | LEQ 1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

먼저 [eqn: a_5]의 값을 구해보자.

(ⅰ) [eqn: -1 le a_5 < - 1over2]일 때, [eqn: a_6 = it -2a_5 -2]이므로 [eqn: a_5 +a_6 =0]에서 [eqn: -a_5 -2 =0]
즉, [eqn: a_5 =it -2]이고 이것은 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: - 1over2 le a_5 le 1over2]일 때, [eqn: a_6 = 2a_5]이므로 [eqn: a_5 +a_6 =0]에서
[eqn: 3a_5 = 0] 즉, [eqn: a_5 = 0]

(ⅲ) [eqn: 1over2 < a_5 le 1]일 때, [eqn: a_6 = it -2a_5 +2]이므로 [eqn: a_5 +a_6 =0]에서
[eqn: -a_5 +2 =0] 즉, [eqn: a_5 = 2]이고 이것은 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: a_5 =0]

이때 [eqn: a_4 =it -1] 또는 [eqn: a_4 =0] 또는 [eqn: a_4 =1]이다.

한편 [eqn: 0 le a_n+1 le 1]일 때,

[eqn: a_n = 1over2 a_n+1] 또는 [eqn: a_n = 1- 1over2 a_n+1]

(ⅰ) [eqn: a_4 =it -1]인 경우
[eqn: a_3 <0], [eqn: a_2 <0], [eqn: a_1 <0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a_4 = 0]인 경우

㉠ [eqn: a_3 =it -1]인 경우
[eqn: a_2 <0], [eqn: a_1 <0]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

㉡ [eqn: a_3 =0]인 경우
[eqn: a_2 = 0] 또는 [eqn: a_2 =1]이고,
[eqn: a_2 =0]일 때 [eqn: a_1 =1]이면 조건을 만족시키고,
[eqn: a_2 =1]일 때, [eqn: a_1 = 1over2]이고 이 경우도 조건을 만족시킨다.

㉢ [eqn: a _{3} =1]인 경우
[eqn: a _{2} = {1} over {2}]이고 이때 [eqn: a _{1} = {1} over {4}] 또는 [eqn: a _{1} = {3} over {4}]이며,
이것은 조건을 만족시킨다.

(ⅲ) [eqn: a_4 =1]인 경우
[eqn: a_3 = 1over2]이고 이때 [eqn: a_2 = 1over4] 또는 [eqn: a_2 = 3over4]

㉠ [eqn: a _{2} = 1over4]인 경우
[eqn: a _1 = 1over8] 또는 [eqn: a _{1} = 7 over8]이고 이것은 조건을 만족시킨다.

㉡ [eqn: a _{2} = 3over4]인 경우
[eqn: a _{1} = 3over8] 또는 [eqn: a _{1} = 5over8]이고 이것은 조건을 만족시킨다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은

[eqn: 1+ 1over2 + 1over4 + 3over4 + 1over8 + 7 over8 + 3over8 + 5over8 = 9 over2]

[eqn: a _{n+1} = {cases{ -2a _{n} -2&&&LEFT ( -1 LEQ a _{n} <it- {1} over {2} RIGHT )# ``````````````2a _{n}&&&LEFT ( - {1} over {2} LEQ a _{n} LEQ {1} over {2} RIGHT )# -2a _{n} +2&&&LEFT ( {1} over {2} <a _{n} LEQ 1 RIGHT )}}]

을 만족시킨다. [eqn: a_5 +a_6 =0]이고 [eqn: sum _{k = 1} ^{5} a _{k}>0]이 되도록 하는 모든 [eqn: a_1]의 값의 합은?

① [eqn: 9over2]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 11over2]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 13over2]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 19

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1`]이고, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] [eqn: 64]

[해설]

[eqn: a_7 =3a_3 =3times3a_1 =9]이므로 [eqn: a_k =64]

[eqn: a_2n =2a_n]에서

[eqn: a_2 =2a_1 =2]

[eqn: a_{4}=2a_2 =2^2]

[eqn: a_8 =2a_4 =2^3]

[eqn: vdots]

따라서 [eqn: a_{2^n}=2^n]이므로 [eqn: a_k =64=2^6]에서

[eqn: k=2^6 =64]

[eqn: a _{2n} =2a _{n}], [eqn: a _{2n+1} =3a _{n}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{7} +a _{k} =73`]인 자연수 [eqn: k`]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 12

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

조건 (가)에 의하여

[eqn: sum_{n=1}^{8} a_{n}][eqn: = left(a_{1}+a_{5} right)+ left(a_{2}+a_{6} right)+ left(a_{3}+a_{7} right)+ left(a_{4}+a_{8} right)]
[eqn: =15 times 4=60]

[eqn: sum_{n=1}^{4} a_{n}=6]이므로 [eqn: sum_{n=5}^{8} a_{n}=54]

조건 (나)에 의하여

[eqn: a_{6}=a_{5}+5]

[eqn: a_{7}=a_{6}+6=a_{5}+11]

[eqn: a_{8}=a_{7}+7=a_{5}+18]

따라서 [eqn: sum_{n=5}^{8} a_{n}=4 a_{5}+34=54]에서 [eqn: a_{5}=5]

(가) [eqn: 1 leq n leq 4]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}+a_{n+4}=15]이다.

(나) [eqn: n geq 5]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n+1}-a_{n}=n]이다.

[eqn: sum_{n=1}^{4} a_{n}=6]일 때, [eqn: a_{5}]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 3]	③ [eqn: rm 5]

④ [eqn: rm 7]	⑤ [eqn: rm 9]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: LEFT { a _{n} it RIGHT }]에 대하여 [eqn: a_{9}]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M`], [eqn: m]이라 할 때, [eqn: M`+m]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: a_{6}]이 [eqn: 3]의 배수인 경우
[eqn: a_{7}=40]이므로    [eqn: {a_{6}} over {3}=a_{7}]
[eqn: a_{6}=3 a_{7}=3 times 40=120]
[eqn: a_{7}=40]이 [eqn: 3]의 배수가 아니므로
[eqn: a_{8}=a_{6}+a_{7}=120+40=160]
[eqn: a_{8}=160]이 [eqn: 3]의 배수가 아니므로
[eqn: a_{9}=a_{7}+a_{8}=40+160=200]

(ⅱ) [eqn: a_{6}=3 k-2`]([eqn: k`]는 자연수)인 경우
[eqn: a_{5}+a_{6}=a_{7}]에서
[eqn: a_{5}=a_{7}-a_{6}][eqn: =40-(3 k-2)][eqn: =3(14-k)]
[eqn: a_{5}]는 자연수이므로 [eqn: 3(14-k)>0]에서    [eqn: k<14]
한편, [eqn: a_{5}]는 [eqn: rm 3]의 배수이므로
[eqn: a_{6}={a_{5}} over {3}=14-k]
즉, [eqn: 3 k-2=14-k`]에서    [eqn: k=4]
따라서 [eqn: a_{6}=3 times 4-2=10]이므로
[eqn: a_{8}=a_{6}+a_{7}][eqn: =10+40][eqn: =50]
[eqn: a_{8}=50]이 [eqn: 3]의 배수가 아니므로
[eqn: a_{9}=a_{7}+a_{8}][eqn: =40+50][eqn: =90]

(ⅲ) [eqn: a_{6}=3 k-1]([eqn: k]는 자연수)인 경우
[eqn: a_{5}+a_{6}=a_{7}]에서
[eqn: a_{5}=a_{7}-a_{6}][eqn: =40-(3 k-1)][eqn: =41-3 k]
[eqn: a_{5}]는 자연수이므로 [eqn: 41-3 k>0]에서
[eqn: k<{41} over {3}]	[eqn: cdotscdots] ㉠
한편, [eqn: a_{5}]는 [eqn: rm 3]의 배수가 아니므로
[eqn: a_{4}][eqn: +a_{5}=a_{6}]에서
[eqn: a_{4} =a_{6}-a_{5}][eqn: =(3 k-1)-(41-3 k)][eqn: =3(2 k-14)]
[eqn: a_{4}]가 자연수이므로 [eqn: 3(2 k-14)>0]에서
[eqn: k>7]	[eqn: cdotscdots] ㉡
㉠, ㉡에서    [eqn: 7<k<{41} over {3}]
한편, [eqn: a_{4}]는 [eqn: rm 3]의 배수이므로
[eqn: a_{5}={a_{4}} over {3}=2k-14]
즉, [eqn: 41-3 k={3(2 k-14)} over {3}]에서    [eqn: k=11]
따라서 [eqn: a_{6}=3 times 11-1=32]이므로
[eqn: a_{8}=a_{6}+a_{7}][eqn: =32+40][eqn: =72]
[eqn: a_{8}=72]가 [eqn: 3]의 배수이므로
[eqn: a_{9}={a_{8}} over {3}={72} over {3}=24]

이상에서 [eqn: a_{9}]의 최댓값은 [eqn: M=200]이고 최솟값은 [eqn: m=24]이다.

[eqn: therefore] [eqn: M+m=200+24=224]

(가) [eqn: a _{7} =40]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: a _{n+2} = {cases{a _{n+1} +a _{n}&& LEFT ( a _{n+1} 이 ~ 3의 ~ 배수가 ~ 아닌 ~ 경우 RIGHT )#{1} over {3} a _{n+1}&& LEFT ( a _{n+1} 이 ~ 3의 ~ 배수인 ~ 경우 RIGHT )}}]
이다.

① [eqn: rm 216]	② [eqn: rm 218]	③ [eqn: rm 220]

④ [eqn: rm 222]	⑤ [eqn: rm 224]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 15

자연수 [eqn: k]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 있다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: a_{1}=0]이므로

[eqn: a_{2}=a_{1}+{1} over {k+1}={1} over {k+1}]

[eqn: a_{2}>0]이므로

[eqn: a_{3}=a_{2}-{1} over {k}={1} over {k+1}-{1} over {k}]

[eqn: a_{3}<0]이므로

[eqn: a_{4}=a_{3}+{1} over {k+1}={2} over {k+1}-{1} over {k}={k-1} over {k(k+1)}]

이때 [eqn: k=1]이면 [eqn: a_{4}=0]이므로 [eqn: n=3 m-2]

[eqn: (m]은 [eqn: ~]자연수 [eqn: )]일 [eqn: ~]때 [eqn: ~ a_{n}=0]이다.

[eqn: a_{22}=0]이므로 [eqn: k=1]은 조건을 만족시킨다.

한편 [eqn: k>1]이면 [eqn: a_{4}>0]이므로

[eqn: a_{5}=a_{4}-{1} over {k}={2} over {k+1}-{2} over {k}]

[eqn: a_{5}<0]이므로

[eqn: a_{6}=a_{5}+{1} over {k+1}={3} over {k+1}-{2} over {k}={k-2} over {k(k+1)}]

이때 [eqn: k=2]이면 [eqn: a_{6}=0]이므로 [eqn: n=5 m-4]

[eqn: left(m right.]은 자연수)일 때 [eqn: a_{n}=0]이다. 즉,

[eqn: a_{22} neq 0]이므로 [eqn: k=2]는 조건을 만족시키지 않는다.

한편 [eqn: k>2]이면 [eqn: a_{6}>0]이므로

[eqn: a_{7}=a_{6}-{1} over {k}={3} over {k+1}-{3} over {k}]

[eqn: a_{7}<0]이므로

[eqn: a_{8}={4} over {k+1}-{3} over {k}={k-3} over {k(k+1)}]

마찬가지 방법으로 계속하면

[eqn: k=3]이면 [eqn: a_{8}=0]이고 이때 [eqn: a_{22}=0]이다.

[eqn: k=4]이면 [eqn: a_{10}=0]이고 이때 [eqn: a_{22} neq 0]이다.

[eqn: 5 leq k leq 9]이면 [eqn: a_{22} neq 0]이다.

[eqn: k=10]이면 [eqn: a_{22}=0]이다.

[eqn: k geq 11]이면 [eqn: a_{22} neq 0]이다.

따라서 조건을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값은

[eqn: 1], [eqn: 3], [eqn: 10]

이므로 구하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은

[eqn: 1+3+10=14]

[eqn: a_{1}=0]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+1}=cases{a_{n}+{1} over {k+1} && left(a_{n} leq 0 right) # a_{n}-{1} over {k} && left(a_{n}>0 right)}]

이다.

[eqn: a_{22}=0]이 되도록 하는 모든 [eqn: k]의 값의 합은?

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 20]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
12 점화식12 (점화식 만들기)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 16

모든 자연수 [eqn: {n}{{from^2020^평가원가^3}}]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: {rmP} _{n}]과 곡선 [eqn: y= sqrt {3x}] 위의 점 [eqn: rmQ _{itn}]이 있다.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmP _{itn}]의 좌표를 [eqn: (a _{n} ,```` 0)], 점 [eqn: rmQ _{itn}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} ,```` sqrt {3a _{n}} RIGHT )]라 하면

[eqn: {bar{rm OP _{itn} it}} ``:`` {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} = {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} ``:`` {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]에서

[eqn: a _{n} ``:`` sqrt {3a _{n}} = sqrt {3a _{n}} ``:`` {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]

[eqn: therefore][eqn: {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}][eqn: ={BOX{ ```` 3 ```` }}]

[eqn: a _{n+1} =][eqn: a _{n} +][eqn: {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]이므로 [eqn: a_n+1 = a_n +3]

즉, 수열 [eqn: left{a_n right}]이 등차수열이므로 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a _{n} =1+3(n-1)][eqn: = 3n-2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: A _{n}][eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: {bar{rm OP _{itn+1} it}} TIMES][eqn: {bar{rm P _{itn} Q _{itn}}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: a _{n+1} TIMES][eqn: sqrt {3a _{n}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: box{```` ( 3n+1 )````} TIMES sqrt {3 LEFT ( 3n-2 RIGHT ) }][eqn: ( because] ㉠[eqn: )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: box{````LEFT ( 3n+1 RIGHT ) ````} TIMES sqrt {9n-6}]

즉, [eqn: p=3 ,````][eqn: f(n)=3n+1]이므로 [eqn: p+f(8)=3+25=28]

(가) 선분 [eqn: rmOP _{itn}]과 선분 [eqn: rmP _{itn}][eqn: rmQ _{itn}]이 서로 수직이다.

(나) 선분 [eqn: rm OQ _{itn}]과 선분 [eqn: rmQ _{itn}][eqn: rm P _{itn+1}]이 서로 수직이다.

다음은 점 [eqn: rmP _{1}]의 좌표가 [eqn: (1 ,```` 0)]일 때, 삼각형 [eqn: rmO][eqn: rm P _{itn+1}][eqn: rmQ _{itn}]의 넓이 [eqn: A _{n}]을 구하는 과정이다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: {rmP} _{n}]의 좌표를 [eqn: (a _{n} ,```` 0)]이라 하자.

[eqn: {bar{ {rmO}{rmP} _{n+1}}} =][eqn: {bar{ {rmO}{rmP} _{n} it}} +][eqn: {bar{ {rmP} _{n} {rmP} _{n+1} it}}]이므로

[eqn: a _{n+1} =][eqn: a _{n} +][eqn: {bar{rm P _{itn} P _{itn+1} it}}]

이다. 삼각형 [eqn: {rmO}][eqn: {rmP} _{n}][eqn: {rmQ} _{n}]과 삼각형 [eqn: {rmQ} _{n}][eqn: {rmP} _{n}][eqn: {rmP} _{n+1}]이 닮음이므로

[eqn: {bar{ {rmO}{rmP} _{n} it}} ``:`` {bar{ {rmP} _{n} {rmQ} _{n} it}} = {bar{ {rmP} _{n} {rmQ} _{n} it}} ``:`` {bar{ {rmP} _{n} {rmP} _{n+1} it}}]

이고, 점 [eqn: {rmQ} _{n}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( a _{n} ,```` sqrt {3a _{n}} RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{ {rmP} _{n} {rmP} _{n+1} it}}][eqn: =][eqn: {BOX{ ```` (가) ```` }}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: {rmO}][eqn: {rmP} _{n+1}][eqn: {rmQ} _{n}]의 넓이 [eqn: A _{n}]은

[eqn: A _{n}][eqn: = {1} over {2} TIMES][eqn: LEFT ( `{BOX{````(나)````}}` RIGHT )][eqn: TIMES sqrt {9n-6}]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)]이라 할 때, [eqn: p+f(8)]의 값은?

① [eqn: 20]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 26]	⑤ [eqn: 28]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 16

상수 [eqn: k(k>1)]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 있다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: {A _{3}} over {A _{1}} =16`]이므로 [eqn: {2 ^{a _{3} +d} -2 ^{a _{3}}} over {2 ^{1+d} -2} = {2 ^{1+3d} -2 ^{1+2d}} over {2 ^{1+d} -2 ^{1}} =16`]에서 [eqn: d=2]

[eqn: 2 ^{x} =kx+1`]에서 [eqn: 2 ^{2} =2k+1], [eqn: k= {3} over {2}]

[eqn: a _{1} =1`]이고, [eqn: d=2`]이므로 [eqn: a _{n} =2n-1`]이므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

[eqn: A _{n} = {1} over {2} TIMES 2 TIMES LEFT ( 2 ^{2n+1} -2 ^{2n-1} RIGHT ) =3 TIMES 2 ^{2n-1} `]이므로 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =3 TIMES2 ^{7}]

[eqn: p+ {g LEFT ( 4 RIGHT )} over {f LEFT ( 2 RIGHT )} =2+ {3 TIMES2 ^{7}} over {3} =130]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}<a_{n+1}]이고

곡선 [eqn: y=2^{x}] 위의 두 점 [eqn: {rm{P}} it _{n} left(a_{n},`` 2^{a_{n}} right)], [eqn: {rm{P}} it _{n+1} left(a_{n+1},`` 2^{a_{n+1}} right)]을 지나는 직선의 기울기는 [eqn: k times 2^{a_{n}}]이다.

점 [eqn: {rm{P}} it _{n}]을 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선과 점 [eqn: {rm{P}} it _{n+1}]을 지나고 [eqn: y]축에 평행한 직선이 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it _{n}]이라 하고 삼각형 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n} {rm{P}} it _{n+1}]의 넓이를 [eqn: A_{n}]이라 하자.

다음은 [eqn: a_{1}=1], [eqn: {A_{3}} over {A_{1}}=16]일 때, [eqn: A_{n}]을 구하는 과정이다.

두 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}], [eqn: {rm{P}} it _{n+1}]을 지나는 직선의 기울기가 [eqn: k times 2^{a_{n}}]이므로 [eqn: 2^{a_{n+1}-a_{n}}=k left(a_{n+1}-a_{n} right)+1]

이다. 즉, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n+1}-a_{n}]은 방정식 [eqn: 2^{x}=k x+1]의 해이다.

[eqn: k>1]이므로 방정식 [eqn: 2^{x}=k x+1]은 오직 하나의 양의 실근 [eqn: d]를 갖는다. 따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n+1}-a_{n}=d]이고, 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]은 공차가 [eqn: d]인 등차수열이다.

점 [eqn: {rm{Q}} it _{n}]의 좌표가 [eqn: left(a_{n+1},`` 2^{a_{n}} right)]이므로

[eqn: A_{n}={1} over {2} left(a_{n+1}-a_{n} right) left(2^{a_{n+1}}-2^{a_{n}} right)]

이다. [eqn: {A_{3}} over {A_{1}}=16]이므로 [eqn: d]의 값은 [eqn: box{`` (가) ``}] 이고,

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 일반항은

[eqn: a_{n}=][eqn: box{`` (나) ``}] 이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A_{n}=][eqn: {BOX{``(다)``}}] 이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: p+{g(4)} over {f(2)}]의 값은?

① [eqn: rm 118]	② [eqn: rm 121]	③ [eqn: rm 124]

④ [eqn: rm 127]	⑤ [eqn: rm 130]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 14

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: l``:``x-2y+ sqrt {5}][eqn: =0] 위의 점 [eqn: rmP _{itn}]과 [eqn: x]축 위의 점 [eqn: rmQ _{itn}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rm R _{itn+1}]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H _{itn+1}]이라 하면 직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로 직선 [eqn: rm Q _{itn} rmR _{itn+1}]의 기울기는 [eqn: {1} over {2}]이다. 즉, [eqn: rm {bar{Q _{itn} rmH _{itn+1}}} `: {bar{rmH _{itn+1} rmR _{itn+1}}} `=`2:1] 직각삼각형 [eqn: rm Q _{itn} rmR _{itn+1} rmQ _{itn+1}]과 직각삼각형 [eqn: rm Q _{itn} rmH _{itn+1} rmR _{itn+1}]은 서로 닯음이므로 [eqn: rm {bar{Q _{itn} rmR _{itn+1}}} `: {bar{rmR _{itn+1} rmQ _{itn+1}}} `=`2:1]에서

[eqn: rm {bar{R _{itn+1} rmQ _{itn+1}}} `=` {1} over {2} TIMES {bar{Q _{itn} rmR _{itn+1}}}]

[eqn: rm {bar{Q _{itn} rmR _{itn+1}}} `=` {bar{rmP _{itn} rmP _{itn+1}}}] 이므로 [eqn: {BOX{```(가)`````}} `= {1} over {2}]

[eqn: rm {bar{P _{itn+1} rmQ _{itn+1}}} `= LEFT ( 1+ RIGHT .][eqn: rm {BOX{```(가)`````}} `) TIMES {bar{P _{itn} rmQ _{itn}}} =][eqn: rm {3} over {2} TIMES {bar{P _{itn} rmQ _{itn}}}]이고

[eqn: rm {bar{P _{1} Q _{1}}} =1]이므로 선분 [eqn: rm P _{it n rm} rm Q _{it n}]의 길이는 첫째항이 [eqn: 1], 공비가 [eqn: {3} over {2}]인 등비수열이다. 즉, [eqn: rm {bar{P _{itn} rmQ _{itn}}} = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

그러므로 [eqn: {BOX{``(나)```}}][eqn: rm = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: rm {bar{P _{itn} rmP _{itn+1}}} `=` {bar{rmP _{itn} rmQ _{itn}}}]이므로

[eqn: rm {bar{P _{1} P _{itn}}} `=it sum _{k=1} ^{n-1} ` {bar{rmP _{itk} rmP _{itk+1}}} `= {1 TIMES LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 RIGHT }} over {{3} over {2} -1} =2 LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 RIGHT }]

그러므로 [eqn: {BOX{``(다)```}}][eqn: rm =2 LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 RIGHT }]

따라서 [eqn: p= {1} over {2} ,``f LEFT ( n RIGHT ) = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} ,``g LEFT ( n RIGHT ) = LEFT { LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{n-1} -1 RIGHT }]

이므로 [eqn: f LEFT ( 6p RIGHT ) +g LEFT ( 8p RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) +g LEFT ( 4 RIGHT ) = {9} over {4} + {19} over {4} =7]

[eqn: CDOT] 직선 [eqn: rmP _{itn} Q _{itn}]과 직선 [eqn: l]이 서로 수직이다.

[eqn: CDOT][eqn: {bar{rm P _{itn} Q _{itn}}}][eqn: = {bar{rm P _{itn} P _{itn+1}}}]이고 점 [eqn: rmP _{itn+1}]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmP _{itn}]의 [eqn: x]좌표보다 크다.

다음은 점 [eqn: rmP _{1}]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2}][eqn: =1]과 직선 [eqn: l]의 접점일 때, [eqn: 2] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOQ _{itn} P _{itn}]의 넓이를 구하는 과정이다. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: rmQ _{itn}]을 지나고 직선 [eqn: l]과 평행한 직선이 선분 [eqn: rmP _{itn+1} Q _{itn+1}]과 만나는 점을 [eqn: rmR _{itn+1}]이라 하면 사각형 [eqn: rmP _{itn} Q _{itn} R _{itn+1} P _{itn+1}]은 정사각형이다.

직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: {1} over {2}]이므로

[eqn: {bar{rm R _{itn+1} Q _{itn+1}}}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}} ` TIMES ` {bar{rm P _{itn} P _{itn+1}}}]

이고

[eqn: {bar{rmP _{it n+1 rm} Q _{it n+1 rm} it}}][eqn: = LEFT ( 1+ {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}} RIGHT ) ` TIMES ` {bar{rm P _{it n rm} Q _{it n} it}}]

이다. 이때, [eqn: {bar{rm P _{1} Q _{1}}}][eqn: =1]이므로 [eqn: {bar{rm P _{itn} Q _{itn}}}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}]이다.

그러므로 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: {bar{rm P _{1} P _{itn}}}][eqn: = sum _{k=1} ^{n-1} {bar{rm P _{it k rm} `P _{it k+1 rm} it}}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}}]

이다. 따라서 [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOQ _{itn} P _{itn}]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm P _{it n rm} Q _{it n rm} it}} TIMES {bar{rm P _{1} P _{itn}}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}} TIMES LEFT ( {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}} RIGHT )]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 6p RIGHT ) +g LEFT ( 8p RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 13

두 곡선 [eqn: y=16^{x}], [eqn: y=2^{x}]과 한 점 [eqn: {rm{A}} it left(64,``2^{64} right)]이 있다.

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: rm 64]이고 점 [eqn: {rm{Q}} it _{1}]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x_{1}]이다.

이때 두 점 [eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{P}} it _{1}]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: 2^{64}=16^{x_{1}}]에서

[eqn: 2^{64}=2^{4 x_{1}}]

[eqn: 4 x_{1}=64]에서

[eqn: x_{1}=16]

같은 방법으로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

두 점 [eqn: {rm{P}} it _{{rm{n}} it }], [eqn: {rm{Q}} it _{{rm{n}} it }]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: x_{n}]으로 서로

같고, 두 점 [eqn: {rm{Q}} it _{{rm{n}} it }], [eqn: {rm{P}} it _{{rm{n}} it +1}]의 [eqn: y]좌표는 같으므로

[eqn: 2^{x_{n}}=16^{x_{n+1}}]

즉,

[eqn: 2^{x_{n}}=2^{4 x_{n+1}}]

이므로

[eqn: x_{n+1}={1} over {4} x_{n}]

따라서 수열 [eqn: left{ x_{n} it right}]은 첫째항이 [eqn: rm 16], 공비 가 [eqn: {1} over {4}]인 등비수열이므로

[eqn: x_{n}=16 times left({1} over {4} right)^{n-1}=2^{4} times 2^{-2 n+2}=2^{6-2 n}]

한편,

[eqn: x_{n}<{1} over {k}]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값이 [eqn: rm 6]이므로

[eqn: x_{5} geq {1} over {k}]이고 [eqn: x_{6}<{1} over {k}]

이어야 한다.

[eqn: x_{5} geq {1} over {k}]에서 [eqn: 2^{-4} geq {1} over {k}],

즉 [eqn: {1} over {16} geq {1} over {k}]에서 [eqn: k geq 16 cdots]㉠

[eqn: x_{6}<{1} over {k}]에서 [eqn: 2^{-6}<{1} over {k}],

즉 [eqn: {1} over {64}<{1} over {k}]에서 [eqn: k<64 cdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 16 leq k<64]이므로 자연수 [eqn: k]

의 개수는 [eqn: 64-16=48]이다.

점 [eqn: {rm{A}} it]를 지나며 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=16^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it _{1}]이라 하고, 점 [eqn: {rm{P}} it _{1}]을 지나며 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it _{1}]이라 하자.

점 [eqn: {rm{Q}} it _{1}]을 지나며 [eqn: x]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=16^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it _{2}]라 하고, 점 [eqn: {rm{P}} it _{2}]를 지나며 [eqn: y]축과 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=2^{x}]과 만나는 점을 [eqn: {rm{Q}} it _{2}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 두 점을 각각

[eqn: {rm{P}} it _{n}], [eqn: {rm{Q}} it _{n}]이라 하고 점 [eqn: {rm{Q}} it _{n}]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x_{n}]이라 할 때,

[eqn: x_{n}<{1} over {k}]을 만족시키는 [eqn: n]의 최솟값이 [eqn: rm 6]이 되도록 하는

자연수 [eqn: k]의 개수는?

① [eqn: rm 48]	② [eqn: rm 51]	③ [eqn: rm 54]

④ [eqn: rm 57]	⑤ [eqn: rm 60]

03 수1	11 수학적귀납법
01 귀납적 정의
13 점화식13 (일반항 추론)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 13

첫째항이 [eqn: {1}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]인 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

주어진 식 ([eqn: ast])에 의하여

[eqn: n S _{n}][eqn: =log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]	[eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

이다. ([eqn: ast])에서 ㉠을 빼서 정리하면

[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT ) S _{n+1} -n S _{n}]

[eqn: =log _{2} LEFT ( n+2 RIGHT ) -log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{n} S _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

이므로 [eqn: LEFT ( {BOX{ ```` LEFT ( n+1 RIGHT ) ```` }} RIGHT ) TIMES a _{n+1}][eqn: =log _{2} {n+2} over {n+1}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =1][eqn: =log _{2} 2]이고, [eqn: 2S _{2}][eqn: =log _{2} 3+S _{1}][eqn: =log _{2} 3+a _{1}]이므로

[eqn: 2a _{2}][eqn: =log _{2} {3} over {2}]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n a _{n}][eqn: = {BOX{ ```` log _{2} {n+1} over {n} ```` }}]이다. 따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{n} k a _{k}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} log _{2} {k+1} over {k}]
[eqn: =log _{2} {2} over {1} +log _{2} {3} over {2} + CDOTS +log _{2} {n+1} over {n}]
[eqn: =log _{2} LEFT ( {2} over {1} TIMES {3} over {2} TIMES CDOTS TIMES {n+1} over {n} RIGHT )]
[eqn: = {BOX{ ```` log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) ```` }}]

이다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT )][eqn: =n+1], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )][eqn: =log _{2} {n+1} over {n}], [eqn: h LEFT ( n RIGHT )][eqn: =log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) -g LEFT ( 8 RIGHT ) +h LEFT ( 8 RIGHT )][eqn: =9-log _{2} {9} over {8} +log _{2} 9][eqn: =12]

[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT ) S _{n+1}][eqn: =log _{2} LEFT ( n+2 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{n} S _{k}]	[eqn: cdotscdots] ([eqn: ast])

가 성립할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} k a _{k}]를 구하는 과정이다.

주어진 식 ([eqn: ast])에 의하여

[eqn: n S _{n}][eqn: =log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]	[eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

이다. ([eqn: ast])에서 ㉠을 빼서 정리하면

[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT ) S _{n+1} -n S _{n}]

[eqn: =log _{2} LEFT ( n+2 RIGHT ) -log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT ) + sum _{k=1} ^{n} S _{k} - sum _{k=1} ^{n-1} S _{k}]

[eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

이므로 [eqn: LEFT ( {BOX{ ```` (가)```` }} RIGHT ) TIMES a _{n+1}][eqn: =log _{2} {n+2} over {n+1}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =1][eqn: =log _{2} 2]이고, [eqn: 2S _{2}][eqn: =log _{2} 3+S _{1}][eqn: =log _{2} 3+a _{1}]이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: n a _{n}][eqn: = {BOX{ ```` (나)```` }}]이다.

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{n} k a _{k}][eqn: = {BOX{ ```` (다)```` }}]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )], [eqn: h LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) -g LEFT ( 8 RIGHT ) +h LEFT ( 8 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 16]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 19

다음은 수열 [eqn: left { a_n right }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: T _{n} = sum _{k`=`1} ^{n} ` LEFT ( {1} over {k} - {1} over {n+1} RIGHT ) a_k]라 하자.

(ⅰ) [eqn: T _{1} = left ( 1 - 1 over 2 right ) a_1 = 1]이므로 [eqn: a _{1} = {BOX{~2~}} `]이다.

(ⅱ) [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: T_n = n^2]에서
[eqn: T _{n} -T _{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = 2n-1]이고

[eqn: T _{n}][eqn: = sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` left ( 1 over k - 1 over n+1 right ) a_k]
[eqn: = sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` a_k over k - sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` a_k over n+1]
[eqn: = sum _{k`=`1} ^{n} ` {a _{k}} over {k} - {1} over {{BOX{~ n+1 ~}} ^{it} it} TIMES sum _{k`=`1} ^{n} `a _{k}]

[eqn: T _{n} -T _{n-1}][eqn: = left ( sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` a_k over k - 1 over n+1 sum _{ k`=` 1 } ^{ n}` a_k right ) - left ( sum _{ k`=` 1 } ^{ n-1 }` a_k over k - 1 over n sum _{ k`=` 1 } ^{ n-1 }` a_k right )]
[eqn: = a_n over n - 1 over n+1 sum _{ k`=` 1 } ^{ n } ` a_k + 1 over n sum _{ k`=` 1 } ^{ n-1 } ` a_k]
[eqn: = it - 1 over n+1 sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` a_k + 1 over n sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` a_k]
[eqn: = left ( 1 over n - 1 over n+1 right ) sum _{ k`=` 1 } ^{ n } ` a_k]
[eqn: = {1} over {{BOX{~ n(n+1 ) ~}} ^{it} it} TIMES sum _{k`=`1} ^{n} `a _{k}]

[eqn: {1} over {{BOX{~n(n+1)~}} ^{it} it} TIMES sum _{k`=`1} ^{n} `a _{k} = 2n-1]이므로

[eqn: sum _{k`=`1} ^{n} `a _{k} =(2n-1) TIMES LEFT ( ` {BOX{~n ( n+1 ) ~}} ` RIGHT )]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k`=`1} ^{n} `a _{k} =(2n-1) TIMES LEFT ( ` {BOX{~n ( n+1 ) ~}} ` RIGHT )]이다.

따라서 [eqn: p=2], [eqn: f(n) = n+1], [eqn: g(n) = n(n+1)]이므로

[eqn: f(2p ) times g(3p ) = f(4) times g(6) = 5 times 42 = 210]

[eqn: sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` left ( 1 over k - 1 over n+1 right ) a_k = n^2]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k`=`1} ^{n} `a _{k}]를 구하는 과정이다.

[eqn: T _{n} = sum _{k`=`1} ^{n} ` LEFT ( {1} over {k} - {1} over {n+1} RIGHT ) a_k]라 하자.

(ⅰ) [eqn: T_1 = 1]이므로 [eqn: a_1 = box {~~ ( 가)~~ }`]이다.

(ⅱ) [eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: T_n = n^2]에서
[eqn: T_n - T_n-1 = 2n-1]이고
[eqn: T _{n} = sum _{k`=`1} ^{n} ` {a _{k}} over {k} - {1} over {{BOX{~~(나)~~}} ^{it}}times sum _{ k`=`1} ^{n }`a_k]에서
[eqn: T _{n} -T _{n-1} = {1} over {{BOX{~~(다)~~}} ^{it}}times sum _{ k`=`1} ^{n }`a_k]이므로
[eqn: sum _{ k`=` 1 } ^{ n }` a_k = (2n-1 ) times left ( ` box {~~ ( 다)~~ }` right )]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{ k`=` 1 } ^{ n}` a_k = (2n - 1 ) times left ( ` box { ~~ (다)~~ }` right )]이다.

(가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 할 때, [eqn: f(2p) times g(3p )]의 값은?

① [eqn: 190]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 210]

④ [eqn: 220]	⑤ [eqn: 230]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 12

첫째항이 [eqn: rm 2]인 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n}=S_{n}-S_{n-1}]

[eqn: ~ = sum_{k=1}^{n} {3 S_{k}} over {k+2}- sum_{k=1}^{n-1} {3 S_{k}} over {k+2}={3 S_{n}} over {n+2}]

이므로 [eqn: 3 S_{n}=(n+2) times a_{n} ~ (n geq 2)]이다.

[eqn: S_{1}=a_{1}]에서 [eqn: 3 S_{1}=3 a_{1}]이므로

[eqn: 3 S_{n}=(n+2) times a_{n}(n geq 1)] 이다.

[eqn: 3 a_{n}][eqn: =3 LEFT ( S _{n} -S _{n-1} RIGHT )]
[eqn: =(n+2) times a_{n}-( `BOX{~n+1~}` ) times a_{n-1} ~ (n geq 2)]

[eqn: (n-1) times a_{n}=(n+1) times a_{n-1}]이고 [eqn: a_{1} neq 0]이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} neq 0]

[eqn: {a _{n}} over {a _{n-1}} = {BOX{`` {n+1} over {n-1} ``}} `` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]

따라서

[eqn: a_{10}=a_{1} times {a_{2}} over {a_{1}} times {a_{3}} over {a_{2}} times {a_{4}} over {a_{3}} times cdots times {a_{9}} over {a_{8}} times {a_{10}} over {a_{9}}]

[eqn: =2 TIMES {3} over {1} TIMES {4} over {2} TIMES {5} over {3} TIMES CDOTS TIMES {10} over {8} TIMES {11} over {9} = {BOX{``110``}}]

[eqn: f(n)=n+1], [eqn: g(n)={n+1} over {n-1}], [eqn: p=110]

따라서 [eqn: {f(p)} over {g(p)}={111} over {{111} over {109}}=109]

[eqn: sum_{k=1}^{n} {3 S_{k}} over {k+2}=S_{n}]

이 성립할 때, [eqn: a_{10}]의 값을 구하는 과정이다.

[eqn: n geq 2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n}][eqn: =S_{n}-S_{n-1}]
[eqn: = sum_{k=1}^{n} {3 S_{k}} over {k+2}- sum_{k=1}^{n-1} {3 S_{k}} over {k+2}={3 S_{n}} over {n+2}]

이므로 [eqn: 3 S_{n}=(n+2) times a_{n} ~ (n geq 2)] 이다.

[eqn: S_{1}=a_{1}]에서 [eqn: 3 S_{1}=3 a_{1}]이므로

[eqn: 3 S_{n}=(n+2) times a_{n} ~ (n geq 1)] 이다.

[eqn: 3 a_{n}][eqn: =3 left(S_{n}-S_{n-1} right)]
[eqn: =(n+2) times a_{n}-(][eqn: box{`` (가) ``}][eqn: ) times a_{n-1} ~ (n geq 2)]

[eqn: {a _{n}} over {a _{n-1}} =][eqn: box{`` (나) ``}][eqn: ~ (n geq 2)]

따라서

[eqn: a_{10}][eqn: =a_{1} times {a_{2}} over {a_{1}} times {a_{3}} over {a_{2}} times {a_{4}} over {a_{3}} times cdots times {a_{9}} over {a_{8}} times {a_{10}} over {a_{9}}]
[eqn: =][eqn: {BOX{``(다)``}}]

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: {f(p)} over {g(p)}]의 값은?

① [eqn: rm 109]	② [eqn: rm 112]	③ [eqn: rm 115]

④ [eqn: rm 118]	⑤ [eqn: rm 121]

03 수1	11 수학적귀납법
02 수학적 귀납법
02 수학적 귀납법2 (등식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 20

다음은 모든 자연수 [eqn: {k}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에 대하여

[정답] ③

[해설]

다음은 모든 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} {1} over {k} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}][eqn: CDOTS CDOTS] ([eqn: AST])

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

([eqn: AST])에서 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} {1} over {k} ,```` T _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
[eqn: S _{1} = BOX{ ```` {1} over {2} ```` }][eqn: =T _{1}]이므로 ([eqn: AST])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때,
([eqn: AST])이 성립한다고 가정하면 [eqn: S _{m} =T _{m}]이다.
[eqn: n=m+1]일 때, ([eqn: AST])이 성립함을 보이자.
[eqn: S _{m+1} =S _{m} + {1} over {2m+1} + BOX{ ```` LEFT ( - {1} over {2m+2} RIGHT ) ```` }],
[eqn: T _{m+1} =T _{m} + BOX{ ```` LEFT ( - {1} over {m+1} RIGHT ) ```` } + {1} over {2m+1} + {1} over {2m+2}]이다.
[eqn: S _{m+1} -T _{m+1} =S _{m} -T _{m}]이고, [eqn: S _{m} =T _{m}]이므로 [eqn: S _{m+1} =T _{m+1}]이다.
따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: AST])이 성립한다.

(ⅰ),(ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ([eqn: AST])이 성립한다.

[eqn: a= {1} over {2} ,```` f LEFT ( m RIGHT ) = - {1} over {2m+2} ,```` g LEFT ( m RIGHT ) = - {1} over {m+1}]

따라서 [eqn: a+ {g LEFT ( 5 RIGHT )} over {f LEFT ( 14 RIGHT )} = {11} over {2}]

[eqn: sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} {1} over {k} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ([eqn: AST])

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

([eqn: AST])에서 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{2n} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k-1} {1} over {k} ,```` T _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {n+k}]이라 하자.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
[eqn: S _{1} =box{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }][eqn: =T _{1}]이므로 ([eqn: AST])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때,
([eqn: AST])이 성립한다고 가정하면 [eqn: S _{m} =T _{m}]이다.
[eqn: n=m+1]일 때, ([eqn: AST])이 성립함을 보이자.
[eqn: S _{m+1} =S _{m} + {1} over {2m+1} +box{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }],
[eqn: T _{m+1} =T _{m} +box{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }+ {1} over {2m+1} + {1} over {2m+2}]
이다.
[eqn: S _{m+1} -T _{m+1} =S _{m} -T _{m}]이고, [eqn: S _{m} =T _{m}]이므로 [eqn: S _{m+1} =T _{m+1}]이다.
따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: AST])이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ([eqn: AST])이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a]라 하고, (나),(다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) ,```` g LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: a+ {g LEFT ( 5 RIGHT )} over {f LEFT ( 14 RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: {7} over {2}]	② [eqn: {9} over {2}]	③ [eqn: {11} over {2}]

④ [eqn: {13} over {2}]	⑤ [eqn: {15} over {2}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 18

[eqn: {3}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합

[정답] ③

[해설]

집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는 [eqn: k] 이하의 자연수 중에서 [eqn: 2]개를 선택하는 조합의 수와 같으므로

[eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}][eqn: = _{k} rmC _{ 2}][eqn: = {k LEFT ( k-1 RIGHT )} over {2}]

집합 [eqn: LEFT { (1 ,```` k+1) ,```` (2 ,```` k+1) ,```` CDOTS ,```` (k ,```` k+1) RIGHT }]에서 [eqn: k+1]이 [eqn: k]개이므로 그 합은 [eqn: k LEFT ( k+1 RIGHT )]

즉, [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}][eqn: =k LEFT ( k+1 RIGHT )]

그러므로 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )][eqn: = {k LEFT ( k-1 RIGHT )} over {2}], [eqn: g LEFT ( k RIGHT )][eqn: =k LEFT ( k+1 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) +g LEFT ( 9 RIGHT )][eqn: =45+90][eqn: =135]

[eqn: A _{n} = LEFT { ( p ,```` q) ``|`` p<q RIGHT .]이고 [eqn: p], [eqn: q]는 [eqn: n]이하의 자연수[eqn: ` RIGHT }]

이다. 집합 [eqn: A _{n}]의 모든 원소 [eqn: ( p ,```` q)]에 대하여 [eqn: q]의 값의 평균을 [eqn: a _{n}]이라 하자. 다음은 [eqn: 3]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a _{n} = {2n+2} over {3}]임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=3`]일 때, [eqn: A` _{3} = LEFT { LEFT (1 ,`` 2 RIGHT ) ,`` LEFT (1 ,`` 3 RIGHT ) ,`` LEFT (2 ,`` 3 RIGHT ) RIGHT }]이므로
[eqn: a _{3} = {2+3+3} over {3}= {8} over {3} `]이고 [eqn: {2 TIMES 3+2} over {3}= {8} over {3} `]이다.
그러므로 [eqn: a _{n} = {2n+2} over {3} `]가 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k ````(k GEQ 3)]일 때, [eqn: a _{k} = {2k+2} over {3} `]가 성립한다고
가정하자. [eqn: n=k+1`]일 때,

[eqn: A` _{k+1}][eqn: =A` _{k} CUP LEFT { LEFT (1 ,`` k+1 RIGHT ) ,`` LEFT (2 ,`` k+1 RIGHT ) ,` CDOTS ` ,`` LEFT (k ,`` k+1 RIGHT ) RIGHT }]
이고 집합 [eqn: A` _{k} `]의 원소의 개수는 [eqn: {BOX{ ```` (가) ```` ^ }}]이므로
[eqn: a _{k+1}][eqn: = {{BOX{````(가)````}} TIMES {2k+2} over {3} + {BOX{````(나)````}}} over {{}_{k+1} rm C _{2} it}]
[eqn: = {2k+4} over {3}][eqn: = {2 LEFT (k+1 RIGHT )+2} over {3}]
이다. 따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 [eqn: a _{n} = {2n+2} over {3} `]가 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a _{n} = {2n+2} over {3} `]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT (k RIGHT )], [eqn: g LEFT (k RIGHT )`]라 할 때, [eqn: f LEFT (10 RIGHT )+g LEFT (9 RIGHT )`]의 값은?

① [eqn: 131]	② [eqn: 133]	③ [eqn: 135]

④ [eqn: 137]	⑤ [eqn: 139]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 15

수열 [eqn: left{ a_n right}]의 일반항은

[정답] ④

[해설]

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{ k`=`1} ^{m } ` a_k = 2^{m(m+1)} - (m+1) times 2^-m]
이다. [eqn: n= m+1]일 때,
[eqn: sum _{ k`=`1} ^{m+1 } ` a_k][eqn: = sum _{ k`=`1} ^{ m} ` a_k + a_m+1]

[eqn: =2^m(m+1) - (m+1) times 2^-m]

[eqn: + left{2^{2(m+1)}-1 right} times 2^{(m+1)m} + m times 2^{-(m+1)}]

[eqn: = 2^{m(m+1)}- (m+1) times 2^-m]

[eqn: +(2^{2m+2} - 1 ) times box{~2^{m(m+1)}~}` +m times 2^{-m-1}]

[eqn: = box{~2^{m(m+1)}~}` times` box{~2^{2m+2}~}` - m+2 over 2 times 2^-m]

[eqn: = 2^{(m+1)(m+2)}- (m+2)times 2^{-(m+1)}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{ k`=`1} ^{n }` a_k =2^{n(n+1)} - (n+1) times 2^-n]이다.

따라서 [eqn: f(m) = 2^m(m+1)], [eqn: g(m) = 2^{2m+2}]이므로

[eqn: { g(7)} over {f(3) } = { 2^16} over { 2^12} = 2^4 = 16]

[eqn: a_ n = left(2^2n - 1 right) times 2^{n(n-1 )} + (n-1) times 2^-n]

이다. 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{ k`=`1} ^{n } `a_k = 2^{n(n+1) } - (n+1) times2^-n]	[eqn: cdotscdots] (*)

임을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: =3], (우변)[eqn: =3]이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{ k`=`1} ^{m }` a_k = 2^{m(m+1)} - (m+1) times2^-m]
이다. [eqn: n=m+1]일 때,
[eqn: sum _{ k`=`1} ^{m+1 }` a_k = 2^{m(m+1)} - (m+1) times2^-m]

[eqn: +(2^2m+2 -1 ) times box{~(가)~}` + m times2^-m-1]

[eqn: = box{~(가)~}` times box{~(나)~}` - m+2 over 2 times2^-m]

[eqn: = 2^{(m+1)(m+2)} -(m+2) times 2^{-(m+1)}]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: sum _{ k`=`1} ^{n }` a_k = 2^{n(n+1)} - (n+1) times2^-n]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: { g(7)} over {f(3) }]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 19

다음은 모든 자연수 [eqn: {n}{{from^2020^10^서울고3가^중}}]에 대하여

[정답] ③

[해설]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때 (좌변)[eqn: =1], (우변)[eqn: =1]이므로 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때 ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} {(-1) ^{k-1} rm _{it m} rm C _{it k rm} it} over {k it} = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k}]
이다. [eqn: n=m+1]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {(-1) ^{k-1} rm _{it m+1} rm C _{it k rm} it} over {k it}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {(-1) ^{k-1} rm _{it m+1} rm C _{it k rm} it} over {k it} + {BOX{ ```` {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{m}} over {m+1} ````}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {(-1) ^{k-1} LEFT ( {}_{m} rm C _{it k rm} + _{it m rm} rm C _{it k-1 rm} RIGHT ) it} over {k it}][eqn: + {BOX{ ```` {LEFT ( -1 RIGHT ) ^{m}} over {m+1} ````}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT { {(-1) ^{k-1}} over {k it} TIMES {{BOX{ ```` m! ````} over {LEFT ( m-k+1 RIGHT ) ! LEFT ( k-1 RIGHT ) !} RIGHT }]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT { {(-1) ^{k-1}} over {LEFT . {BOX{````m+1````}} TIMES {LEFT ( m+1 RIGHT ) !} over {LEFT . LEFT ( m-k+1 RIGHT ) !k! RIGHT }} RIGHT .} RIGHT }]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k} + {1} over {m+1}][eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {k}]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ([eqn: ast])이 성립한다.

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )][eqn: = {LEFT ( it -1 RIGHT ) ^{m}} over {m+1}], [eqn: g LEFT ( m RIGHT )][eqn: =m!], [eqn: h LEFT ( m RIGHT )][eqn: =m+1]이므로

[eqn: {g LEFT ( 3 RIGHT ) +h LEFT ( 3 RIGHT )} over {f LEFT ( 4 RIGHT )}][eqn: =50]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {(-1) ^{k-1} rm _{it n} rm C _{it k rm} it} over {k it} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k}]	[eqn: cdotscdots] ([eqn: ast])

이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때 (좌변)[eqn: =1], (우변)[eqn: =1]이므로 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때 ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} {(-1) ^{k-1} rm _{it m} rm C _{it k rm} it} over {k it} = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k}]
이다. [eqn: n=m+1]일 때,
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} {(-1) ^{k-1} rm _{it m+1} rm C _{it k rm} it} over {k it}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {(-1) ^{k-1} rm _{itm+1} rm C _{it k rm} it} over {k it} + {BOX{ ```` (가) ```` ^{ }}}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {(-1) ^{k-1} LEFT ( {}_{m} rm C _{it k rm} + _{it m rm} rm C _{it k-1 rm} RIGHT ) it} over {k it}][eqn: + {BOX{ ```` (가) ```` ^{ }}}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT { {(-1) ^{k-1}} over {k it} TIMES {{BOX{ ```` (나) ```` ^{ }}}} over {LEFT ( m-k+1 RIGHT ) ! LEFT ( k-1 RIGHT ) !} RIGHT }]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k} + sum _{k=1} ^{m+1} LEFT { {(-1) ^{k-1}} over {{BOX{ ```` (다) ```` ^{ }}}} TIMES {LEFT ( m+1 RIGHT ) !} over {LEFT ( m-k+1 RIGHT ) ! k!} RIGHT }]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} {1} over {k} + {1} over {m+1}]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m+1} {1} over {k}]
이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ([eqn: ast])이 성립한다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )], [eqn: g LEFT ( m RIGHT )], [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: {g LEFT ( 3 RIGHT ) +h LEFT ( 3 RIGHT ) } over {f LEFT ( 4 RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 40]	② [eqn: 45]	③ [eqn: 50]

④ [eqn: 55]	⑤ [eqn: 60]

03 수1	11 수학적귀납법
02 수학적 귀납법
03 수학적 귀납법3 (부등식)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 18
[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 17

다음은 모든 자연수 [eqn: {{n`}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]에 대하여 부등식

[정답] ②

[해설]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, (좌변)[eqn: = {{}_2{rmP}_1} over2^1 =1], (우변)[eqn: = 2! over2^1 =1]이므로 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} {{}_{2k} rm P it _{itk}} over {2 ^{k}} LEQ {(2m)!} over {2 ^{m}}]

[eqn: sum_k=1^m+1 {{}_2k{rmP}_k} over{2^k}][eqn: = sum_k=1^m { {}_2{rmP}_k } over{2^k } + { {}_2m+2{rmP}_m+1} over{ 2^m+1]
[eqn: = sum_k=1^m {{}_2k{rmP}_k}over{2^k} + { (2m+2)!} over{ 2^m+1 times ( m+1)!}]
[eqn: le {(2m)!} over{2^m } + { (2m+2)!} over{2^m+1 times (m+1)!}]
[eqn: = {(2m+2)!} over{2^m+1} times left{ 1 over{ (2m+1)( m+1)} + 1 over{(m+1)!} right]
[eqn: < {(2m+2)!} over2^m+1]

따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ([eqn: ast])이 성립한다.

[eqn: p=1], [eqn: f(m) =(2m+2)!], [eqn: g(m) = (2m+1)( m+1)]

[eqn: therefore][eqn: p+ f(2) overg(1) = 1 + 6! over{9times5} = 1+16 =17]

[eqn: sum_k=1^n {{`_2k{rmP}_k } over{ 2^k } le { (2n)!} over{ 2^n]	[eqn: cdotscdots] ([eqn: ast])

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: = {{}_2{rmP}_1} over2^1 } =1]이고, (우변)[eqn: =box{````(가)````}`]이므로 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum_k=1^n {{`_2k{rmP}_k } over{ 2^k } le { (2m)!} over{ 2^m]
이다. [eqn: n=m+1]일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} ` {{}_{2k} rm P it _{itk}} over {2 ^{k}}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} ` {{}_{2k} rm P it _{ it k}} over {2 ^{k}} + {{}_{2m+2} rm P it _{ it m+1}} over {2 ^{m+1}}]
[eqn: = sum_k=1^m `{{}_2k{rmP}_k } over2^k + { box{````(나)````} } over{ 2^m+1 times(m+1)!]
[eqn: le {(2m)!} over{ 2^m } + { box{````(나)````}}over{ 2^m+1 times (m+1)!}]
[eqn: = { box{````(나)````}} over{ 2^m+1 } times left{ 1 over{ box{````(다)````} } + 1 over{ (m+1)!} right]
[eqn: < { (2m+2)!} over{2^m+1]

이다. 따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: sum_k=1^n {{`_2k{rmP}_k } over{ 2^k } le { (2n)!} over{ 2^n]

이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m)], [eqn: g(m)]이라 할 때, [eqn: p + { f(2) } overg(4)]의 값은?

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

03 수1	11 수학적귀납법
02 수학적 귀납법
05 수학적 귀납법5 (점화식)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 16

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]을 [eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} {1} over {k}]이라 할 때, 다음은 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 등식

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: =a _{1}], (우변)[eqn: =a _{2}-box{ { 1} over {2 }][eqn: = LEFT ( 1+ {1} over {2} RIGHT ) -box{ {1} over {2} }=1=a _{1}]
이므로 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때 ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+ma _{m}][eqn: = {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{m+1} -1 RIGHT )]이다.
[eqn: n=m+1]일 때 ([eqn: ast])이 성립함을 보이자.
[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+ma _{m} + LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]
[eqn: = {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{m+1} -1 RIGHT ) + LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]
[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1} LEFT ( BOX{```` {m} over {2} ````} +1 RIGHT ) - {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4}]
[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} over {2} a _{m+1} - {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4}]
[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} over {2} LEFT ( a _{m+2} -box{```` LEFT ( {1} over {m+2} RIGHT ) ````} RIGHT )][eqn: - {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4}]
[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{m+2} -1 RIGHT )]
따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+na _{n}]

[eqn: = {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{n+1} -1 RIGHT )]

이 성립한다.

[eqn: p= {1} over {2}], [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) = {m} over {2}], [eqn: g LEFT ( m RIGHT ) = {1} over {m+2}]

따라서 [eqn: p+ {f LEFT ( 5 RIGHT )} over {g LEFT ( 3 RIGHT )} =13]

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+na _{n} `= {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{n+1} -1 RIGHT )]

[eqn: cdotscdots] ([eqn: ast])

이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
(좌변)[eqn: =a _{1}], (우변)[eqn: =a _{2} -box{````(가)````}=1=a _{1}]
이므로 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m]일 때, ([eqn: ast])이 성립한다고 가정하면
[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+ma _{m} = {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{m+1} -1 RIGHT )]
이다.
[eqn: n=m+1]일 때, ([eqn: ast])이 성립함을 보이자.
[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+ma _{m} + LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]
[eqn: = {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{m+1} -1 RIGHT ) + LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1}]
[eqn: = LEFT ( m+1 RIGHT ) a _{m+1} LEFT ( box{````(나)````}+1 RIGHT )][eqn: - {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4}]
[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} over {2} LEFT ( a _{m+2} -box{````(다)````} RIGHT )][eqn: - {m LEFT ( m+1 RIGHT )} over {4}]
[eqn: = {LEFT ( m+1 RIGHT ) LEFT ( m+2 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{m+2} -1 RIGHT )]
따라서 [eqn: n=m+1]일 때도 ([eqn: ast])이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{1} +2a _{2} +3a _{3} +` CDOTS `+na _{n} `= {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {4} LEFT ( 2a _{n+1} -1 RIGHT )]

이 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p], (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(m),````g(m)]이라 할 때, [eqn: p+ {f LEFT ( 5 RIGHT )} over {g LEFT ( 3 RIGHT )}]의 값은?

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

[수학1] [11수학적귀납법] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 513 }]

[정답] [eqn: 678]

[정답] ②

[정답] [eqn: 70]

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 180]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ④

[정답] [eqn: 162]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 217 }]

[정답] [eqn: 33]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 7]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 5]

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 139 }]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 79 }]

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: 64]

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[수학1] [11수학적귀납법] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.27