		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	10	[수학1] [10수열의 합] 교사평경 최근 3개년

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
01 시그마의 뜻1 (표현과 나열)

교사평경3		년도별경향
10		[수학1] [10수열의 합] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [10수열의 합] 교사평경 최근 3개년		10

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 25

좌표평면 위에 [eqn: {5}{{^2020^08^경찰대^중}}]개의 점 [eqn: rmP_1 it LEFT ( -2 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: rm P _{2} it LEFT ( -1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{3} it LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: rm P _{4} it LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{5} it LEFT ( 2 ,```` 4 RIGHT )]가 있다. 점 [eqn: rmP _ { iti}][eqn: LEFT ( i=1 ,```` 2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` 5 RIGHT )]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: x _{i}], [eqn: y]좌표를 [eqn: y _{i}]라 할 때, [eqn: sum _{i=1} ^{5} LEFT ( ax _{i} +b-y _{i} RIGHT ) ^{2}]의 값이 최소가 되도록 하는 두 실수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold3]

[해설]

[eqn: rmP_1 it LEFT ( -2 ,```` 1 RIGHT )], [eqn: rm P _{2} it LEFT ( -1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{3} it LEFT ( 0 ,```` 3 RIGHT )], [eqn: rm P _{4} it LEFT ( 1 ,```` 2 RIGHT )], [eqn: rm P _{5} it LEFT ( 2 ,```` 4 RIGHT )]에 대하여 식에 대입하면

[eqn: sum _{i=1} ^{5} LEFT ( ax _{i} +b-y _{i} RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( -2a+b-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -a+b-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-3 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: + LEFT ( a+b-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2a+b-4 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =10a ^{2} +5b ^{2} -12a-24b+34]
[eqn: =10 LEFT ( a- {3} over {5} RIGHT ) ^{2} +5 LEFT ( b- {12} over {5} RIGHT ) ^{2} + 8 over 5]

따라서 [eqn: a= {3} over {5}], [eqn: b= {12} over {5}]일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: THEREFORE ```` a+b= {3} over {5} + {12} over {5} =3]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 12

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]은 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } left(a_k - a_k+1 right)]

[eqn: = ( a_1 -a_2 )+ (a_2 -a_3 ) + cdots + (a_n -a_n+1 )]

[eqn: =a_1 -a_n+1]

그런데 조건에서 [eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k} -a _{k+1)} =-n ^{2} +n], [eqn: a_1 =1]이므로

[eqn: a_n+1 =n^2 -n +1]

[eqn: therefore][eqn: a_11 = 91]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} (a _{k} -a _{k+1}) =-n ^{2} +n]

을 만족시킨다. [eqn: a _{11}]의 값은?

① [eqn: 88]	② [eqn: 91]	③ [eqn: 94]

④ [eqn: 97]	⑤ [eqn: 100]

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
02 시그마의 뜻2 (등차수열)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 17

[eqn: {a _{3}}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}][eqn: =1]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 [eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{2k} - sum _{k=1} ^{12} a _{2k+8}][eqn: =48]을 만족시킬 때, [eqn: a _{39}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{2k} - sum _{k=1} ^{12} a _{2k+8}]

[eqn: =(a _{2} +a _{4} + CDOTS +a _{40} )-(a _{10} +a _{12} + CDOTS +a _{32} )]

[eqn: =a _{2} +a _{4} +a _{6} +a _{8} +a _{34} +a _{36} +a _{38} +a _{40}]

등차중항의 성질에 의해 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: m+l=42]인 두 자연수 [eqn: m ,```` l]에 대하여 [eqn: a _{m} +a _{l} =2a _{21}]을 만족시키므로

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{2k} - sum _{k=1} ^{12} a _{2k+8}]

[eqn: =(a _{2} +a _{40} )+(a _{4} +a _{38} )+(a _{6} +a _{36} )+(a _{8} +a _{34} )]

[eqn: =2a _{21} +2a _{21} +2a _{21} +2a _{21} =48]

그러므로 [eqn: a _{21} =6]이고 [eqn: a _{3} +a _{39} =2a _{21} =12]

따라서 [eqn: a _{39} =12-a _{3} =11]

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 17

공차가 정수인 등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

조건 (가)에 의하여 [eqn: a _{7} =a _{1} +6d=37]

조건 (나)에 의하여 [eqn: a _{13} GEQ 0]이고, [eqn: a _{14} LEQ 0]

[eqn: a _{1} +12d GEQ 0 ,```` 37+6d GEQ 0 ,```` - {37} over {6} LEQ d]

[eqn: a _{1} +13d LEQ 0 ,```` 37+7d LEQ 0 ,```` d LEQ - {37} over {7}]

[eqn: - {37} over {6} LEQ d LEQ - {37} over {7}]이고 [eqn: d]는 정수이므로 [eqn: d= -6 ,```` a _{1} =73]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{21} left |`` a _{k} ``right | = left |`` a _{1} ``right | + left |`` a _{2} ``right | + CDOTS + left |`` a _{21} ``right |]

[eqn: =a _{1} +a _{2} + CDOTS +a _{13} + LEFT ( -a _{14} RIGHT ) + LEFT ( -a _{15} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( -a _{21} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( a _{1} +a _{2} + CDOTS a _{13} RIGHT ) - LEFT ( a _{14} +a _{15} + CDOTS +a _{21} RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{13} a _{k} - LEFT ( sum _{k=1} ^{21} a _{k} - sum _{k=1} ^{13} a _{k} RIGHT )]

[eqn: =2 sum _{k=1} ^{13} a _{k} - sum _{k=1} ^{21} a _{k}]

[eqn: =2 TIMES {13 LEFT { 2 TIMES 73+12 TIMES LEFT ( -6 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]
[eqn: - {21 LEFT { 2 TIMES 73+20 TIMES LEFT ( -6 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]

[eqn: =689]

(가) [eqn: a _{7} =37]

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} LEQ sum _{k=1} ^{13} a _{k}]이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{21} left |`` a _{k} ``right |]의 값은?

① [eqn: 681]	② [eqn: 683]	③ [eqn: 685]

④ [eqn: 687]	⑤ [eqn: 689]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 19

다음은 공차가 [eqn: {1}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]보다 크고 [eqn: a _{3} +a _{5}][eqn: =2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} ` ^{2} -5 LEFT |`` a _{k} `` RIGHT | RIGHT )]의 값이 최소가 되도록 하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 구하는 과정이다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: a _{3} +a _{5} =2a _{4}]이므로 [eqn: a _{3} +a _{5} =2]에서 [eqn: a _{4}= {BOX{ ```` 1 ```` }]

등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{1} =1-3d ,````][eqn: a _{2} =1-2d ,````][eqn: a _{3} =1-d ,````]

[eqn: a _{4} =1 ,````][eqn: a _{5} =1+d]

[eqn: d>1]이므로 [eqn: a _{1} <0 ,````][eqn: a _{2} <0 ,````][eqn: a _{3} <0 ,````][eqn: a _{5} >0]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k}` ^{2}]과 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} ``RIGHT |]를 각각 [eqn: d]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k }`^{2}}]

[eqn: =(1-3d) ^{2} +(1-2d) ^{2} +(1-d) ^{2} +1 ^{2} +(1+d) ^{2}]

[eqn: =15d ^{2} -10d+5]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} ``RIGHT |]

[eqn: = LEFT |`` 1-3d ``RIGHT | + LEFT |`` 1-2d ``RIGHT | + LEFT |`` 1-d``RIGHT |]

[eqn: + LEFT |`` 1 ``RIGHT | + LEFT |`` 1+d ``RIGHT |]

[eqn: =(3d-1)+(2d-1)+(d-1)+1+(1+d)]

[eqn: = box{ ```` 7d-1 ```` }]

그러므로

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} ^{2} -5 LEFT |`` a _{k} ``right| RIGHT )]

[eqn: =(15d ^{2} -10d+5)-5(7d-1)]

[eqn: =15d ^{2} -45d+10]

[eqn: =15 LEFT ( d- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} - {95} over {4}]

[eqn: d>1]이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} `^{2} -5 LEFT |`` a _{k} ``RIGHT | RIGHT )]의 값이 최소가 되도록 하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차는 [eqn: {BOX{ ```` {3} over {2} ```` }}]이다.

따라서 [eqn: p=1 ,````][eqn: q= {3} over {2} ,````][eqn: f(d)=7d-1]이므로

[eqn: f(p+2p)=f(4)=27]

[eqn: a _{3} +a _{5}][eqn: =2]에서 [eqn: a _{4}][eqn: = {BOX{ ```` LEFT ( 가 RIGHT ) ```` }}]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하고

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} ` ^{2}]과 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} `` RIGHT |]를 각각 [eqn: d]에 대한 식으로 나타내면

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} ` ^{2}][eqn: =15d ^{2} -10d+5]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT |`` a _{k} ``RIGHT |][eqn: = {BOX{ ```` LEFT ( 나 RIGHT ) ```` }}]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} ` ^{2} -5 LEFT |`` a _{k} `` RIGHT | RIGHT )]의 값이 최소가 되도록 하는 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차는 [eqn: {BOX{ ```` LEFT ( 다 RIGHT ) ```` }}]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p ,```` q]라 하고, (나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( d RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( p+2q RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 21]	② [eqn: 23]	③ [eqn: 25]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 29]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 14

공차가 양수인 등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^10^서울고3나^중}}]에 대하여 [eqn: a _{5} =5]이고 [eqn: sum _{k=3} ^{7} left |`` 2a _{k} -10 ``right | =20]이다. [eqn: a _{6}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d] ([eqn: d>0])이라 하면

[eqn: a _{5}][eqn: =5]이므로

[eqn: a _{3} =5-2d], [eqn: a _{4}][eqn: = it 5-d], [eqn: a _{6}][eqn: =5+d], [eqn: a _{7}][eqn: =5+2d]

그러므로

[eqn: sum _{k=3} ^{7} left |`` 2a _{k} -10 ``right |]

[eqn: = left |`` 2a _{3} -10 ``right | + left |`` 2a _{4} -10 ``right | + left |`` 2a _{5} -10 ``right |]

[eqn: + left |`` 2a _{6} -10 ``right | + left |`` 2a _{7} -10 ``right |]

[eqn: = left |`` -4d ``right | + left |`` -2d ``right | + + left |`` 2d ``right | + left |`` 4d ``right |]

[eqn: =12d]

[eqn: =20]

따라서 [eqn: d][eqn: = {5} over {3}]이므로 [eqn: a _{6}][eqn: =a _{5} +d][eqn: = {20} over {3}]

① [eqn: 6]	② [eqn: { 20} over {3 }]	③ [eqn: { 22} over {3 }]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: { 26} over {3 }]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 9

첫째항이 [eqn: {1}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]인 등차수열 [eqn: left{` a_{n} `right}]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: S _{10} = {10 LEFT ( a _{1} +a _{10} RIGHT )} over {2} =5 TIMES 2a _{{11} over {2}} =10a _{{11} over {2}}]

[eqn: T _{10} =-a _{1} +a _{2} -a _{3} +a _{4} -CDOTS-a _{9} +a _{10} =5d]

[eqn: {S _{10}} over {T _{10}} =6]에서 [eqn: 10a _{{11} over {2}} =6TIMES5d]이므로 [eqn: a _{{11} over {2}} =3d]

즉, [eqn: 1+ {9} over {2} d=3d]이므로 [eqn: d=- {2} over {3}]

[eqn: T _{37}][eqn: =-a _{1} +a _{2} -a _{3} +a _{4} -a _{5} + CDOTS +a _{36} -a _{37}]
[eqn: =-a _{1} -18d]
[eqn: =-1-18TIMES LEFT ( - {2} over {3} RIGHT ) =11]

[eqn: S_{n}=sum_{k=1}^{n}a_{k}], [eqn: T_{n}=sum_{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}]

라 하자. [eqn: {S_{10}}over{T_{10}}=6]일 때, [eqn: T_{37}]의 값은?

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 20

공차가 정수인 등차수열 [eqn: left{a_n right} `]에 대하여

[정답] [eqn: 25`]

[해설]

[eqn: a_3 + a_5 = 0]에서 [eqn: a_4 = 0]이다. 공차를 [eqn: d]라고 하면

수열 {[eqn: a_n]}은 [eqn: - 3d], [eqn: -2d], [eqn: d], [eqn: 0], [eqn: d], [eqn: 2d], [eqn: cdots]

[eqn: d le0]이면 [eqn: 2( -3d - 2d - d) = -12d = 30]

만족하는 정수 [eqn: d]가 없다. 따라서 [eqn: d >0]이다.

그러면 [eqn: 2 ( d + 2d) = 6d = 30], [eqn: d = 5]

[eqn: THEREFORE][eqn: a_9 = a_4 +5d = 25]

[eqn: a_3 +a_5 = 0], [eqn: sum_{k =1}^6 LEFT ( left| a_k right| + a_k RIGHT ) = 30 `]

일 때, [eqn: a_9 `]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 6

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}=30]일 때, [eqn: a_{2}+a_{4}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

등차중항의 성질에 의하여

[eqn: a_{1}+a_{5}=a_{2}+a_{4}=2 a_{3}]

[eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}={5 left(a_{1}+a_{5} right)} over {2}=30]이므로 [eqn: a_{3}=6]

따라서 [eqn: a_{2}+a_{4}=12]

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 20]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 21

공차가 자연수 [eqn: d]이고 모든 항이 정수인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 [eqn: d]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 170]

[해설]

[eqn: a_{2 m}=-a_{m}]에서 [eqn: a_{m}+m d=-a_{m}]

[eqn: 2 a_{m}=-m d]이므로

[eqn: m]과 [eqn: d] 중에서 적어도 하나는 짝수이다.

[eqn: m]이 짝수, 즉 [eqn: m=2 p(p]는 자연수[eqn: )]라 하면

[eqn: a_{2 m}+a_{m}][eqn: =a_{4 p}+a_{2 p}]
[eqn: = left{ a_{1}+(4 p-1) d it right} + left{ a_{1}+(2 p-1) d it right}]
[eqn: =2 left{ a_{1}+(3 p-1) d it right}]
[eqn: =2 a_{3 p}=0]

이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

그러므로 [eqn: m]은 홀수이고 [eqn: d]는 짝수이다.

[eqn: m=2l-1]([eqn: l]은 자연수)라 하면

[eqn: a_4l-2 = -a_2l-1]에서

[eqn: a_{3 l-1}][eqn: =a_{4 l-2}-(l-1) d]
[eqn: =-a_{2 l-1}-(l-1) d]
[eqn: =-a_{3 l-2}]

이고 [eqn: d>0]이므로

[eqn: 1 leq n leq 3l-2]일 때 [eqn: a_n < 0],

[eqn: n geq 3l-1]일 때 [eqn: a_n >0]이다.

[eqn: sum_{k=m}^{2 m}|a_k |= sum_{k=2l-1}^{4l-2} |a_k |]
[eqn: = it -a _{2l-1} -a _{2l} -a _{2l+1} - CDOTS -a _{3l-2}]
[eqn: +a _{3l-1} +a _{3l} +a _{3l+1} + CDOTS +a _{4l-2}]
[eqn: = it -a _{2l-1} - LEFT ( a _{2l-1} +d RIGHT ) - LEFT ( a _{2l-1} +2d RIGHT )][eqn: - CDOTS - LEFT ( a _{2l-1} + LEFT ( l-1 RIGHT ) d RIGHT )]
[eqn: + LEFT ( a _{2l-1} +ld RIGHT ) + LEFT { a _{2l-1} + LEFT ( l+1 RIGHT ) d RIGHT }][eqn: + CDOTS + LEFT { a _{2l-1} + LEFT ( 2l-1 RIGHT ) d RIGHT }]
[eqn: = it - LEFT { 1+2+3 CDOTS + LEFT ( l-1 RIGHT ) RIGHT }d]
[eqn: + LEFT { l+ LEFT ( l+1 RIGHT ) + LEFT ( l+2 RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( 2l-1 RIGHT ) RIGHT } d]
[eqn: = it - {l LEFT ( l-1 RIGHT )} over {2} d+ {l LEFT { l+ LEFT ( 2l-1 RIGHT ) RIGHT }} over {2} d]
[eqn: =l^{2} d=128]

[eqn: l]은 자연수이고 [eqn: d]는 짝수이므로 모든 순서쌍 [eqn: (l,`` d)]는

[eqn: (1,``128)], [eqn: (2,``32)], [eqn: (4,``8)], [eqn: (8,``2)]이다.

따라서 모든 [eqn: d]의 값의 합은 [eqn: 2+8+32+128=170]

(가) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} neq 0]이다.

(나) [eqn: a_{2 m}=-a_{m}]이고 [eqn: sum_{k=m}^{2 m} left|a_{k} right|=128]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 12

공차가 [eqn: rm 3]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a_{10}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차가 양수이고 조건

(가)에서

[eqn: a_{5} times a_{7}<0]

이므로

[eqn: a_{5}<0], [eqn: a_{7}>0]

즉, [eqn: n leq 5]일 때 [eqn: a_{n}<0]이고, [eqn: n geq 7]일 때

[eqn: a_{n}>0]이다.

이때 조건 [eqn: (]나)에서

[eqn: sum_{k=1}^{6} left|a_{k+6} right|=6+ sum_{k=1}^{6} left|a_{2 k} right|]

이므로

[eqn: left|a_{7} right|+ left|a_{8} right|+ left|a_{9} right|+ left|a_{10} right|+ left|a_{11} right|+ left|a_{12} right|]

[eqn: =6+ left|a_{2} right|+ left|a_{4} right|+ left|a_{6} right|+ left|a_{8} right|+ left|a_{10} right|+ left|a_{12} right|]

[eqn: a_{7}+a_{9}+a_{11}=6-a_{2}-a_{4}+ left|a_{6} right|]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차가 [eqn: rm 3]이므로

[eqn: left(a_{1}+18 right)+ left(a_{1}+24 right)+ left(a_{1}+30 right)]

[eqn: =6- left(a_{1}+3 right)- left(a_{1}+9 right)+ left|a_{1}+15 right|]

[eqn: LEFT | a _{1} +15 RIGHT | =5a _{1} +78~ CDOTS CDOTS]㉠

㉠에서 [eqn: a_{1}+15 geq 0]이면

[eqn: a_{1}+15=5 a_{1}+78]

[eqn: 4 a_{1}=-63]

[eqn: a_{1}=-{63} over {4} < it - 15]

이므로 조건을 만족시키지 않는다.

즉, [eqn: a_{1}+15<0]이므로 ㉠에서

[eqn: -a_{1}-15=5 a_{1}+78]

[eqn: 6 a_{1}=-93]

[eqn: a_{1}=-{31} over {2}]

따라서

[eqn: a_{10}=a_{1}+9 times 3]

[eqn: =-{31} over {2}+27]

[eqn: ={23} over {2}]

(가) [eqn: a_{5} times a_{7}<0]

(나) [eqn: sum_{k=1}^{6} left|a_{k+6} right|=6+ sum_{k=1}^{6} left|a_{2 k} right|]

① [eqn: {21} over {2}]	② [eqn: rm 11]	③ [eqn: {23} over {2}]

④ [eqn: rm 12]	⑤ [eqn: {25} over {2}]

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
03 시그마의 뜻3 (등비수열)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 11

첫째항이 [eqn: {{1} over {5}}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{4} =4a _{2}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {3} over {13} sum _{k=1} ^{n} a _{k} ` ^{2}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?

[정답] ②

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r][eqn: LEFT ( r>0 RIGHT )]이라 하면 [eqn: a _{4} =4a _{2}]이므로

[eqn: r ^{2} =4], [eqn: r=2]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{k} = {3} over {13} sum _{k=1} ^{n} a _{k} ` ^{2}]이므로

[eqn: {{1} over {5} LEFT ( 2 ^{n} -1 RIGHT )} over {2-1} = {3} over {13} TIMES {LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{2} LEFT { LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{n} -1 RIGHT }} over {2 ^{2} -1}]

[eqn: 2 ^{n} +1=65]

따라서 [eqn: n=6]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 17

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]이 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a _{3}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: r=1]이면 조건 (가)에서 [eqn: a= {45} over {4}]이고

조건 (나)에서는 [eqn: a= {63} over {2}]이므로 [eqn: r != 1]

[eqn: sum _{k=1} ^{4} a _{k}][eqn: = {a LEFT ( r ^{4} -1 RIGHT )} over {r-1}][eqn: =45]

[eqn: sum _{k=1} ^{6} {a _{2} TIMES a _{5}} over {a _{k}}][eqn: = LEFT ( a _{2} TIMES a _{5} RIGHT ) TIMES sum _{k=1} ^{6} {1} over {a _{k}}]
[eqn: =ar TIMES ar ^{4} TIMES {{1} over {a} LEFT { 1- LEFT ( {1} over {r} RIGHT ) ^{6} RIGHT }} over {1- {1} over {r}}]
[eqn: =a ^{2} r ^{5} TIMES {r ^{6} -1} over {a LEFT ( r ^{6} -r ^{5} RIGHT )}]
[eqn: = {a LEFT ( r ^{6} -1 RIGHT )} over {r-1}][eqn: =189]

[eqn: {{a LEFT ( r ^{6} -1 RIGHT )} over {r-1}} over {{a LEFT ( r ^{4} -1 RIGHT )} over {r-1}}][eqn: = {r ^{6} -1} over {r ^{4} -1}]
[eqn: = {LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( r ^{4} +r ^{2} +1 RIGHT )} over {LEFT ( r ^{2} -1 RIGHT ) LEFT ( r ^{2} +1 RIGHT )}]
[eqn: = {r ^{4} +r ^{2} +1} over {r ^{2} +1}][eqn: = {189} over {45}]

이므로 [eqn: 5r ^{4} +5r ^{2} +5=21r ^{2} +21]

[eqn: 5r ^{4} -16r ^{2} -16=0], [eqn: LEFT ( 5r ^{2} +4 RIGHT ) LEFT ( r ^{2} -4 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=2]

[eqn: {a LEFT ( 2 ^{4} -1 RIGHT )} over {2-1}][eqn: =15a][eqn: =45]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: a _{3}][eqn: =3 TIMES 2 ^{2}][eqn: =12]

(가) [eqn: sum _{k=1} ^{4} a _{k}][eqn: =45]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{6} {a _{2} TIMES a _{5}} over {a _{k}}][eqn: =189]

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 8

공비가 [eqn: sqrt{3}]인 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]과 공비가 [eqn: - sqrt{3}]인 등비수열 [eqn: left{ b_{n} it right}]에 대하여

[정답] ②

[해설]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{2 n}+b_{2 n}=0]이고 [eqn: a_{2 n+1}+b_{2 n+1}=3 left(a_{2 n-1}+b_{2 n-1} right)]이다.

[eqn: sum_{n=1}^{8} a_{n}+ sum_{n=1}^{8} b_{n}][eqn: = sum_{n=1}^{8} left(a_{n}+b_{n} right)]
[eqn: = sum_{n=1}^{4} left(a_{2 n-1}+b_{2 n-1} right)]
[eqn: ={ left(a_{1}+b_{1} right) left(3^{4}-1 right)} over {3-1}]
[eqn: =80 a_{1}=160]

에서 [eqn: a_{1}=2]

따라서 [eqn: a_{3}+b_{3}=3 left(a_{1}+b_{1} right)=12]

[eqn: a_{1}=b_{1}], [eqn: ~ sum_{n=1}^{8} a_{n}+ sum_{n=1}^{8} b_{n}=160]

일 때, [eqn: a_{3}+b_{3}]의 값은?

① [eqn: rm 9]	② [eqn: rm 12]	③ [eqn: rm 15]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 21]

03 수1	10 수열의합
01 시그마의 뜻과 성질
04 시그마의 성질1 (기본성질)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 5

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } ,```` LEFT { b _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3나^}}]에 대하여

[정답] ①

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} -b _{k} RIGHT )][eqn: =2 sum _{k=1} ^{10} a _{k} - sum _{k=1} ^{10} b _{k}]
[eqn: =2 TIMES 10-3]
[eqn: =17]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =10 ,```` sum _{k=1} ^{10} b _{k} =3]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2a _{k} -b _{k} RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 10

두 수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}], [eqn: LEFT { b_n RIGHT }]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =8], [eqn: sum _{k=1} ^{5} b _{k} =9]이므로 [eqn: sum _{} ^{}]의 성질에 의하여

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 2a _{k} -b _{k} +4 RIGHT )]

[eqn: =2 sum _{k=1} ^{5} a _{k} - sum _{k=1} ^{5} b _{k} + sum _{k=1} ^{5} 4]

[eqn: =2 TIMES 8-9+4 TIMES 5]

[eqn: =27]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =8 ,```` sum _{k=1} ^{5} b _{k} =9]

일 때, [eqn: sum _k=1 ^5 (2a_k -b_k +4)]의 값은?

① [eqn: 19]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 5

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}][eqn: =4], [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =67]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +2 RIGHT ) ^{2}][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2} +4 sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} 4]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +2 RIGHT ) ^{2}][eqn: =67], [eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}][eqn: =4], [eqn: sum _{k=1} ^{10} 4=40]

이므로 [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} RIGHT ) ^{2}][eqn: =11]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 6

두 수열 [eqn: left { a_n right },~ left { b_n right }]에 대하여 [eqn: sum _{ k`=`1} ^{10 }` a_k = 5 ,~ sum _{ k`=`1} ^{10 }` b _k = 20]일 때, [eqn: sum _{ k`=`1} ^{10 }` LEFT ( a_k + 2b _k -1 RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: sum _{ k`=`1} ^{10 }` LEFT ( a_k + 2b _k -1 RIGHT )][eqn: = sum _{ k`=`1} ^{10 } ` a_k + 2 sum _{ k`=`1} ^{10 }` b_k - sum _{ k`=`1} ^{10 }` 1]
[eqn: = 5 + 2 times 20 - 1 times 10]
[eqn: = 35]

① [eqn: 25]	② [eqn: 30]	③ [eqn: 35]

④ [eqn: 40]	⑤ [eqn: 45]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 18

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^09^평가원^중}}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[해설]

[eqn: sum _{k = 1} ^{10} (a _{k} +2b _{k} )=45]에서

[eqn: sum _{k = 1} ^{10} a _{k} +2 sum _{k = 1} ^{10} b _{k} =45]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: sum _{k = 1} ^{10} (a _{k} -b _{k} )=3]에서 [eqn: sum _{k = 1} ^{10} a _{k} - sum _{k = 1} ^{10} b _{k} =3]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 3 sum _{k = 1} ^{10} b _{k} =42]

즉, [eqn: sum _{k = 1} ^{10} b _{k} =14]

따라서 [eqn: sum _{k = 1} ^{10} LEFT ( b _{k} - {1} over {2} RIGHT )][eqn: = sum _{k = 1} ^{10} b _{k} -10 TIMES {1} over {2}][eqn: =14-5=9]

[eqn: sum _{k = 1} ^{10} (a _{k} +2b _{k} )=45], [eqn: sum _{k = 1} ^{10} (a _{k} -b _{k} )=3]

일 때, [eqn: sum _{k = 1} ^{10} LEFT ( b _{k} - {1} over {2} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 25

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^9 고2인천^중}}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 221 }]

[해설]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} LEFT ( 2b _{n} -3a _{n} RIGHT )][eqn: =2 sum _{n=1} ^{10} a _{n} b _{n} `-3 sum _{n=1} ^{10} a _{n}^{2}]
[eqn: =2 sum _{n=1} ^{10} a _{n} b _{n} -3 TIMES 10=16]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} b _{n} =23]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} LEFT ( 6a _{n} +7b _{n} RIGHT )][eqn: =6 sum _{n=1} ^{10} a _{n}^{2} `+7 sum _{n=1} ^{10} a _{n} b _{m}]
[eqn: =6 TIMES 10+7 TIMES 23=221]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} ^{2} =10], [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} LEFT ( 2b _{n} -3a _{n} RIGHT ) =16]

일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} LEFT ( 6a _{n} +7b _{n} RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 27

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]과 자연수 [eqn: m]이

[정답] [eqn: 29]

[해설]

수열 [eqn: left{a_n right]은 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이므로

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 -a_n =2]

[eqn: sum_{k`=`1}^m`a_k+1 -sum_{k`=`1}^m` LEFT ( a_k +m RIGHT )][eqn: =sum_{k`=`1}^m` LEFT ( a_k+1 -a_k -m RIGHT )]
[eqn: =sum_{k`=`1}^m` LEFT ( 2-m RIGHT )]
[eqn: =m(2-m)]

[eqn: 2m-m^2 =240-360], [eqn: m^2 -2m-120=0]

[eqn: (m+10)(m-12)=0]에서 [eqn: m=it-10] 또는 [eqn: m=12]

[eqn: m]은 자연수이므로 [eqn: m=12]

[eqn: sum_{k`=`1}^12` LEFT ( a_k +12 RIGHT )][eqn: =sum_{k`=`1}^12`a_k +sum_{k`=`1}^12`12]
[eqn: ={12 LEFT ( 2a_1 +11times2 RIGHT ) }over2 +12times12=360]

[eqn: 6LEFT ( 2a_1 +22 RIGHT )+144=360]에서 [eqn: a_1 =7]

따라서 [eqn: a_m =a_12 =7+11times2=29]

[eqn: sum_{k`=`1}^m`a_k+1 =240,~sum_{k`=`1}^m` LEFT ( a_k +m RIGHT )=360]

을 만족시킬 때, [eqn: a_m]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 18

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[정답] [eqn: 12]

[해설]

[eqn: sum _{ k`=`1} ^{10 }` a_k - sum _{ k`=`1} ^{ 7 } ` { a_k} over { 2} = 56]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: sum _{ k`=`1} ^{10 }` 2a_k - sum _{ k`=`1} ^{ 8 } ` { a_k} = 100]에서

[eqn: sum _{ k`=`1} ^{10 }` a_k - sum _{ k`=`1} ^{ 8 } ` { a_k} over { 2} = 50]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠[eqn: -]㉡을 하면

[eqn: a_8 over 2 = 6]

따라서 [eqn: a_8 = 12]

[eqn: sum _{k`=`1} ^{10} `a _{k} - sum _{k`=`1} ^{7} ` {a _{k}} over {2} =56,~ sum _{k`=`1} ^{10} `2a _{k} - sum _{k`=`1} ^{8} `a _{k} =100]

일 때, [eqn: a _{8}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 18
[출처]	2022 일반_기타개인 해설교체용

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}=10]일 때,

[정답] [eqn: rm 13]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{5} c a_{k}=c sum_{k=1}^{5} a_{k}=10 c]이고, [eqn: sum_{k=1}^{5} c=5 c]이다.

그러므로

[eqn: sum_{k=1}^{5} c a_{k}=65+ sum_{k=1}^{5} c]

[eqn: 10 c=65+5 c]

[eqn: therefore~c=13]

[eqn: sum_{k=1}^{5} c a_{k}=65+ sum_{k=1}^{5} c]

를 만족시키는 상수 [eqn: c]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} it RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} it RIGHT }]에 대하여

[정답] [eqn: 22]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{5} left(3 a_{k}+5 right)=55]에서

[eqn: 3 sum_{k=1}^{5} a_{k}+25=55],    [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}=10]

[eqn: sum_{k=1}^{5} left(a_{k}+b_{k} right)=32]에서    [eqn: sum_{k=1}^{5} a_{k}+ sum_{k=1}^{5} b_{k}=32]

[eqn: therefore] [eqn: sum_{k=1}^{5} b_{k}][eqn: =`- sum_{k=1}^{5} a_{k}+32]
[eqn: =`-10+32]
[eqn: =22]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( 3a _{k} +5 RIGHT ) =55], [eqn: sum _{k=1} ^{5} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT ) =32]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} b _{k}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 25

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] [eqn: 10]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{10} left(a_{k}+1 right)^{2}= sum_{k=1}^{10} left(a_{k} right)^{2}+2 sum_{k=1}^{10} a_{k}+10=50]

[eqn: sum_{k=1}^{10} left(a_{k} right)^{2}=20]이므로 [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}=10]

[eqn: sum_{k=1}^{10} left(a_{k} right)^{2}=20], [eqn: ~ sum_{k=1}^{10} left(a_{k}+1 right)^{2}=50]

일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} a_{k}]의 값을 구하시오.

03 수1	10 수열의합
02 자연수의 거듭제곱의 합
01 자연수의 거듭제곱의 합1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 26

두 수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k} =3 ,````][eqn: sum _{k=1} ^{10} (a _{k} +b _{k} )= sum _{k=1} ^{10} a _{k} + sum _{k=1} ^{10} b _{k} =9]에서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} b _{k} =6]

따라서 [eqn: sum _{k=1} ^{10} (b _{k} +k)= sum _{k=1} ^{10} b _{k} + sum _{k=1} ^{10} k=6+ {10 TIMES 11} over {2} =61]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} a _{k}][eqn: =3], [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( a _{k} +b _{k} RIGHT )][eqn: =9]

일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( b _{k} +k RIGHT )]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 22

[eqn: {sum _{k=1} ^{5} k ^{2}}{{from^2020^03^경기고3나^}}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 55 }]

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} k ^{2} = {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6} =55]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 25

[eqn: sum_{k`=`1}^10` LEFT ( k^2 -ak RIGHT )=275]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 2]

[해설]

[eqn: sum_{k`=`1}^10` LEFT ( k^2 -ak RIGHT )][eqn: =sum_{k`=`1}^10`k^2 -a sum_{k`=`1}^10`k]
[eqn: ={10times11times21}over6 -a times {10 times11} over2]
[eqn: =385-55a=275]

에서 [eqn: 55a=110]

따라서 [eqn: a=2]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 3

[eqn: {sum_{k=1}^{9}k(2k+1)}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{9}k(2k+1)][eqn: = sum _{k=1} ^{9} 2k ^{2} +k]
[eqn: =2TIMES {9TIMES10TIMES19} over {6} + {9TIMES10} over {2}]
[eqn: =570+45=615]

① [eqn: 600]	② [eqn: 605]	③ [eqn: 610]

④ [eqn: 615]	⑤ [eqn: 620]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 18

[eqn: sum_{k=1}^{10}(4 k+a)=250]일 때, 상수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{10}(4 k+a)=4 sum_{k=1}^{10} k+10 a]

[eqn: =4 times {10 times 11} over {2}+10 a]

[eqn: =220+10 a]

즉, [eqn: 220+10 a=250]이므로

[eqn: 10 a=30]

따라서

[eqn: a=3]

03 수1	10 수열의합
02 자연수의 거듭제곱의 합
02 자연수의 거듭제곱의 합2 (식 변형)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 18

[eqn: sum_{k=1}^{6}(k+1)^{2}- sum_{k=1}^{5}(k-1)^{2}]의 값을 구하시오

[정답] [eqn: 109]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{6}(k+1)^{2}- sum_{k=1}^{5}(k-1)^{2}][eqn: =7^{2}+ sum_{k=1}^{5}(k+1)^{2}- sum_{k=1}^{5}(k-1)^{2}]
[eqn: =49+ sum_{k=1}^{5} left{ (k+1)^{2}-(k-1)^{2} it right}]
[eqn: =49+4 sum_{k=1}^{5} k=49+4 times {5 times 6} over {2}=109]

03 수1	10 수열의합
02 자연수의 거듭제곱의 합
04 자연수의 거듭제곱의 합4 (지수꼴의 일반항)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 18

18. 부등식 [eqn: sum_{k=1}^{5} 2^{k-1}< sum_{k=1}^{n}(2 k-1)< sum_{k=1}^{5} left(2 times 3^{k-1} right)]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: n]의 값의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: 105]

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{5} 2^{k-1}={2^{5}-1} over {2-1}=31]

[eqn: sum_{k=1}^{n}(2 k-1)=2 times {n(n+1)} over {2}-n=n^{2}]

[eqn: sum_{k=1}^{5} left(2 times 3^{k-1} right)={2 times left(3^{5}-1 right)} over {3-1}=242]

이므로 주어진 부등식에서 [eqn: 31<n^{2}<242]이다.

따라서 부등식을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: rm 6], [eqn: rm 7], [eqn: 8], [eqn: cdots], [eqn: 15]이고 그 합은 [eqn: {10 times(6+15)} over {2}=105]이다.

03 수1	10 수열의합
03 여러가지 수열
01 소거형1 (시그마의 성질)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 7

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^09^평가원^중}}]은 [eqn: a _{1} = it -4]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ④

[해설]

[eqn: sum _{k = 1} ^{n} {a _{k+1} -a _{k}} over {a _{k} a _{k+1}}]

[eqn: = sum _{k = 1} ^{n} LEFT ( {1} over {a _{k}} - {1} over {a _{k+1}} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {a _{1}} - {1} over {a _{n+1}}]

[eqn: = it - {1} over {4} - {1} over {a _{n+1}} = {1} over {n}]

이때, [eqn: {1} over {a _{n+1}} = it - {1} over {n} - {1} over {4}]이므로 [eqn: n=12]를 대입하면

[eqn: {1} over {a _{13}} = it - {1} over {12} - {1} over {4} = it - {1} over {3}]

즉, [eqn: a _{13} = it -3]

[eqn: sum _{k = 1} ^{n} {a _{k+1} -a _{k}} over {a _{k} a _{k+1}} = {1} over {n}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{13}]의 값은?

① [eqn: -9]	② [eqn: -7]	③ [eqn: -5]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -1]

03 수1	10 수열의합
03 여러가지 수열
03 소거형3 (기타)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 21

수열 [eqn: { left{` a_n `right} }{{from^2020^06^평가원고3가^}}]의 일반항은 [eqn: a_n =log _2 root{{2 left(n+1 right)}over{n+2}}]이다. [eqn: sum_{k = 1}^m { a_k]의 값이 [eqn: 100]이하의 자연수가 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{m} a_{k}][eqn: = sum_{k=1}^{m} log _{2} sqrt{{2(k+1)} over {k+2}}={1} over {2} sum_{k=1}^{m} log _{2} {2(k+1)} over {k+2}]
[eqn: ={1} over {2} left{ log _{2} {2 times 2} over {3}+ log _{2} {2 times 3} over {4}+ log _{2} {2 times 4} over {5}+ cdots+ log _{2} {2 times(m+1)} over {m+2} it right}]
[eqn: ={1} over {2} log _{2} left{ {2 times 2} over {3} times {2 times 3} over {4} times {2 times 4} over {5} times cdots times {2 times(m+1)} over {m+2} it right}]
[eqn: ={1} over {2} log _{2} {2^{m+1}} over {m+2}]
이때 [eqn: sum_{k=1}^{m} a_{k}=N(N]은 [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: )]라 하면
[eqn: ~ {1} over {2} log _{2} {2^{m+1}} over {m+2}=N], [eqn: {2^{m+1}} over {m+2}=2^{2 N}], [eqn: 2^{m+1-2 N}=m+2]

이므로 [eqn: m+2]는 [eqn: rm 2]의 거듭제곱이어야 한다.

[eqn: m geq 1]이므로 [eqn: m=2^{l}-2]( [eqn: l]은 [eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: )]로 놓으면

[eqn: 2^{m+1-2 N}=m+2]에서

[eqn: 2^{2^{l}-1-2 N}=2^{l}]

즉, [eqn: 2^{l}-2 N=l+1]

이때 좌변이 짝수이므로 [eqn: l]은 홀수이고,

역으로 [eqn: l]이 [eqn: rm 2] 이상인 홀수이면

[eqn: N={1} over {2} left(2^{l}-l-1 right)]은 자연수이다.

[eqn: {1} over {2} left(2^{l}-l-1 right) leq 100]에서 [eqn: 2^{l}-l-1 leq 200]을 만족시키는 [eqn: rm 2]이상의 홀수 [eqn: l]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 7]이다.

따라서 모든 [eqn: m]의 값은

[eqn: 2^{3}-2], [eqn: 2^{5}-2], [eqn: 2^{7}-2]이고 그 합은

[eqn: 6+30+126=162]

① [eqn: 150]	② [eqn: 154]	③ [eqn: 158]

④ [eqn: 162]	⑤ [eqn: 166]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 11

수열 [eqn: { left{` a_n `right} }]의 일반항이

[정답] ②

[해설]

[eqn: root 3n+1 =x], [eqn: root 3n-2 =y]라 하면

[eqn: root{9n^2 -3n-2}=root{left(3n-1right)left(3n+2right)}=xy],

[eqn: 6n-1=left(3n-1right)+left(3n+2right)=x^2 +y^2],

[eqn: x^2 -y^2 =3]이므로

[eqn: a_n][eqn: = {sqrt{9n^2 -3n-2} +6n-1} over{sqrt{3n+1} +sqrt{3n-2}}]
[eqn: = {xy+ x^2 +y^2 } over{x+y }]
[eqn: ={(x-y)(x^2 +xy +y^2 )} over{(x-y)(x+y)}]
[eqn: = {x^3 -y^3 } over{x^2 - y^2}]
[eqn: ={x^3 -y^3 } over3]
[eqn: = {(sqrt{3n+1})^3 - (sqrt{3n-2})^3} over3]

[eqn: therefore][eqn: sum _{ n=1} ^{ 16} {(sqrt{3n+1})^3 - (sqrt{3n-2})^3} over3]
[eqn: = 1over 3 right{ left{ (root4 )^3 - (root1 )^3 right} + left{ (root7 )^3 - (root4 )^3 right}]
[eqn: + cdots + left{ (root49 )^3 - (root46 )^3 right}]
[eqn: = 1over3 (7^3 -1^3 )]
[eqn: =114 from 넘버41]

[eqn: a_n = {sqrt{9n^2 -3n-2} +6n-1} over{sqrt{3n+1} +sqrt{3n-2}}]

일 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{ 16 } a_n]의 값은?

① [eqn: 110]	② [eqn: 114]	③ [eqn: 118]

④ [eqn: 122]	⑤ [eqn: 126]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
01 항등식과 수열1 (합과 일반항의 관계)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 28

수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2020^06^평가원고3나^}}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 58 }]

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} =2n ^{2} +7n]을 만족하므로

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} - sum _{k=1} ^{n-1} {4k-3} over {a _{k}}]
[eqn: =2n ^{2} +7n- LEFT { 2(n-1) ^{2} +7(n-1) RIGHT }]
[eqn: =4n+5]

즉, [eqn: {4n-3} over {a _{n}} =4n+5]이므로

[eqn: a _{n} = {4n-3} over {4n+5}] (단, [eqn: n GEQ 2)]

[eqn: n=5]를 대입하면 [eqn: a_5 = 17 over 25]

[eqn: n=7]를 대입하면 [eqn: a_5 = 25 over 33]

[eqn: n=9]를 대입하면 [eqn: a_5 = 33 over 41]

[eqn: therefore][eqn: a_5 TIMES a_7 TIMESa_9 = { 17} over {25 } TIMES { 25} over {33 } TIMES { 33} over {41 }][eqn: ={ 17} over { 41}]

따라서 [eqn: p=41], [eqn: q=17]이므로 [eqn: p+q=58]

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {4k-3} over {a _{k}} =2n ^{2} +7n]

을 만족시킨다. [eqn: a _{5} TIMES a _{7} TIMES a _{9} = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 24

두 수열 [eqn: { left{` a_{n} `right} }{{from^2020^09^인천교고2^중}}], [eqn: left{` b_{n} `right}]에 대하여

[정답] [eqn: bold{18}]

[해설]

[eqn: 2sum _{ n=1} ^{6 }(a_{n}-b_{n})=56], [eqn: sum _{ n=1} ^{6 }(a_{n}-b_{n})=28]

[eqn: a_{6}-b_{6}][eqn: =sum _{ n=1} ^{6 }(a_{n}-b_{n})- sum _{ n=1} ^{5 }(a_{n}-b_{n})]
[eqn: =28-10=18]

[eqn: sum _{ n=1} ^{5 }(a_{n}-b_{n})=10], [eqn: sum _{ n=1} ^{6 }(2a_{n}-2b_{n})=56]

일 때, [eqn: a_{6}-b_{6}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 13

수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n `]항까지의 합을 [eqn: S`_n `]이라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

(i) [eqn: n = 1] ; [eqn: S_1 = 1 over2], [eqn: a_1 = 1 over2], [eqn: THEREFORE][eqn: 1 overa_1 = 2]

(ii) [eqn: n ge 2] ; [eqn: S_n over n! = 1 over(n+1)! - 1 over n!][eqn: = - n over (n+1)!]

[eqn: S_n =][eqn: - n overn+1]

[eqn: n = 2]이면 [eqn: a_2 = S_2 - a_1][eqn: = - 2 over3 - 1 over2][eqn: = - 7 over6]

[eqn: THEREFORE][eqn: sum_k=1^2 1 overa_k = 2 - 6 over7][eqn: = 8 over7]

[eqn: n ge 3]이면

[eqn: a_n = S_n - S_n-1][eqn: = - n overn+1 + n-1 overn][eqn: = - 1 over n(n+1)]

[eqn: 1 overa_n = - n(n+1)]

[eqn: THEREFORE][eqn: sum_k=1^n 1 overa_k =][eqn: 8 over7 - sum_k=3^n k(k+1)]

[eqn: = 8 over7 +2 +6 - sum_k=1^n k(k+1)]

[eqn: = 64 over7 - 1 over3 n(n+1)(n+2)]

[eqn: = - 1 over3 n^3 - n^2 - 2 over3 n + 64 over7]

[eqn: THEREFORE][eqn: f(n) = n], [eqn: g(n) = 1 overn(n+1)], [eqn: h(k) = k^2]

[eqn: f(5) Times g(3) Times h(6)][eqn: = 5 Times 1 over12 Times 36= 15]

다음은 모든 자연수 [eqn: n `]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {S` _{k}} over {k!} = {1} over { LEFT ( n+1 RIGHT ) !} `]

이 성립할 때, [eqn: sum_{k = 1}^n 1 over a_k`]을 구하는 과정이다.

[eqn: n =1`]일 때, [eqn: a_1 = S_1 = 1 over 2`]이므로 [eqn: 1 over a_1 = 2`]이다.

[eqn: n =2`]일 때, [eqn: a_2 = S_2 - S_1 = - 7 over 6`]이므로 [eqn: sum_{k =1}^2 1 over a_k = 8 over 7`]이다.

[eqn: n ge 3`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: S_n over n! = sum_{k = 1}^n S_k over k! - sum_{k = 1}^n-1 S_k over k! = - box{~``(가)``~} over { LEFT ( n+1 RIGHT )!}`]

즉, [eqn: S_n = - box{``~(가)``~} over {n+1}`]이므로

[eqn: a_n = S_n - S_n-1 = - LEFT ( box{~``(나)``~} RIGHT )]

이다. 한편 [eqn: sum_{k = 3}^n k LEFT ( k+1 RIGHT ) = - 8 + sum_{k =1}^n k LEFT ( k+1 RIGHT )`]이므로

[eqn: sum_{k =1}^n 1 over a_k][eqn: = 8 over 7 - sum_{k =3}^n k LEFT ( k+1 RIGHT )`]
[eqn: = 64 over 7 - {n(n+1)} over 2 - sum_{k = 1}^n box{~``(다)``~}`]
[eqn: = - 1 over 3 n^3 - n^2 - 2 over 3 n + 64 over 7`]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )], [eqn: g LEFT ( n RIGHT )], [eqn: h LEFT ( k RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) times g LEFT ( 3 RIGHT ) times h LEFT ( 6 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 3`]	② [eqn: 6`]	③ [eqn: 9`]

④ [eqn: 12`]	⑤ [eqn: 15`]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 7

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: S_{n}={1} over {n(n+1)}]일 때, [eqn: sum_{k=1}^{10} left(S_{k}-a_{k} right)]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sum_{k=1}^{10} left(S_{k}-a_{k} right)][eqn: = sum_{k=1}^{10} S_{k}- sum_{k=1}^{10} a_{k}]
[eqn: = sum_{k=1}^{10} S_{k}-S_{10}]
[eqn: = sum_{k=1}^{9} S_{k}+S_{10}-S_{10}]
[eqn: = sum_{k=1}^{9} S_{k}]
[eqn: = sum_{k=1}^{9} {1} over {k(k+1)}]
[eqn: = sum_{k=1}^{9} left({1} over {k}-{1} over {k+1} right)]
[eqn: = left(1-{1} over {2} right)+ left({1} over {2}-{1} over {3} right)+ cdots+ left({1} over {9}-{1} over {10} right)]
[eqn: =1-{1} over {10}={9} over {10}]

[다른 풀이]

[eqn: S_{n}-a_{n}=S_{n-1}(n geq 2)]이므로

[eqn: sum_{k=1}^{10} left(S_{k}-a_{k} right)][eqn: = sum_{k=2}^{10} S_{k-1}]
[eqn: = sum_{k=2}^{10} {1} over {(k-1) k}]
[eqn: = sum_{k=2}^{10} left({1} over {k-1}-{1} over {k} right)][eqn: = left(1-{1} over {2} right)+ left({1} over {2}-{1} over {3} right)+ cdots+ left({1} over {9}-{1} over {10} right)]
[eqn: =1-{1} over {10}={9} over {10}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {5}]	③ [eqn: {7} over {10}]

④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: {9} over {10}]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 21

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: 146]

[해설]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } { a _{ k} } over { 2k-1} =S_n]이라 하면 [eqn: S_n =2^n]

[eqn: a_n over {2n-1}][eqn: =S_n -S_n-1]
[eqn: =2^n -2^n-1]
[eqn: =2^n-1] (단, [eqn: n ge 2])

[eqn: therefore][eqn: a_n =(2n-1) cdot2 ^n-1] ([eqn: n ge 2])

[eqn: a_1 = S_1]이므로 [eqn: a_1 =2^1 =2]

[eqn: a_5 = (2 cdot 5 -1 )cdot 2^4 = 144]

[eqn: therefore][eqn: a_{ 1}+a _{ 5}][eqn: =2+144 =146 from 넘버41]

[eqn: sum _{ k=1} ^{n } { a _{ k} } over { 2k-1} =2 ^{ n}]

을 만족시킬 때, [eqn: a_{ 1}+a _{ 5}]의 값을 구하시오.

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
02 항등식과 수열2 (주어진 일반항)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 8

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]의 일반항이 [eqn: a _{n} =2n+1]일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{12} {1} over {a _{n} a _{n+1}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: sum _{ n=1} ^{ 12} 1 over{ a_n a_n+1}][eqn: = sum _{ n=1} ^{ 12} 1 over { (2n+1)(2n+3) }]
[eqn: = sum _{ n=1} ^{ 12} 1 over2 left( 1 over {2n+1} - 1 over {2n+3} right)]
[eqn: = 1 over2 left( 1 over3 - 1 over 27 right)][eqn: = 4 over 27]

① [eqn: {1} over {9}]	② [eqn: {4} over {27}]	③ [eqn: {5} over {27}]

④ [eqn: {2} over {9}]	⑤ [eqn: {7} over {27}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 15

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항이 [eqn: a _{n}][eqn: = root {n+1} of {root {n+2} of {4}}]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{10} log _{2} a _{k}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: a _{n} = root {n+1} of {root {n+2} of {4}} = LEFT ( 2 ^{{2} over {n+2}} RIGHT ) ^{{1} over {n+1}} =2 ^{{2} over {(n+1)(n+2)}}]이므로

[eqn: log _{2} a _{k}][eqn: =log _{2} 2 ^{{2} over {(k+1)(k+2)}}]
[eqn: = {2} over {(k+1)(k+2)}]
[eqn: =2 LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT )]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{10} log _{2} a _{k}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} 2 LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT )]
[eqn: =2 LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {11} - {1} over {12} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =2 LEFT ( {1} over {2} - {1} over {12} RIGHT ) = {5} over {6}]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
03 항등식과 수열3 (일반항 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 25

첫째항이 [eqn: {3}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k}][eqn: =55]일 때, [eqn: sum _{k=1} ^{5} k LEFT ( a _{k} -3 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 160 }]

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} a _{k} =55]에서 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: {5 LEFT { 2 TIMES 3+4 TIMES d RIGHT }} over {2} =55]

[eqn: therefore][eqn: d=4]

따라서 [eqn: a _{n} =4n-1]

[eqn: sum _{k=1} ^{5} k(4k-1-3)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{5} (4k ^{2} -4k)]

[eqn: =4 TIMES {5 TIMES 6 TIMES 11} over {6} -4 TIMES {5 TIMES 6} over {2}]

[eqn: =160]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 10

첫째항이 [eqn: rm 1]이고 공차가 [eqn: rm 3]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{10} {1} over {a_{k} a_{k+1}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 등차수열이므로

[eqn: a_{n}=1+(n-1) times 3=3 n-2]

[eqn: sum_{k=1}^{10} {1} over {a_{k} a_{k+1}}][eqn: = sum_{k=1}^{10} {1} over {(3 k-2)(3 k+1)}]
[eqn: ={1} over {3} sum_{k=1}^{10} left({1} over {3 k-2}-{1} over {3 k+1} right)]
[eqn: ={1} over {3} left{ left(1-{1} over {4} right)+ left({1} over {4}-{1} over {7} right)+ right.]
[eqn: CDOTS + LEFT ( {1} over {28} - {1} over {31} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: ={1} over {3} left(1-{1} over {31} right)={10} over {31}]

① [eqn: {10} over {31}]	② [eqn: {11} over {31}]	③ [eqn: {12} over {31}]

④ [eqn: {13} over {31}]	⑤ [eqn: {14} over {31}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} it RIGHT }]이

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항과 공차가 같으므로 [eqn: a_{1}=a]라 하면

[eqn: a_{n}][eqn: =a+(n-1) times a][eqn: =a n]

[eqn: sum_{k=1}^{15} {1} over { sqrt{a_{k}}+ sqrt{a_{k+1}}}=2]에서

[eqn: sum_{k=1}^{15} {1} over { sqrt{a_{k}}+ sqrt{a_{k+1}}}][eqn: = sum_{k=1}^{15} {1} over { sqrt{a k}+ sqrt{a(k+1)}}]
[eqn: = sum_{k=1}^{15} { sqrt{a(k+1)}- sqrt{a k}} over {a}]
[eqn: ={1} over {a} sum_{k=1}^{15}( sqrt{a(k+1)}- sqrt{a k})]
[eqn: ={1} over {a} left{ ( sqrt{2 a}- sqrt{a})+( sqrt{3 a}- sqrt{2 a})+]
[eqn: cdots+( sqrt{16 a}- sqrt{15 a}) it right}]
[eqn: ={1} over {a}(4 sqrt{a}- sqrt{a})]
[eqn: ={3 sqrt{a}} over {a}]
[eqn: ={3} over { sqrt{a}}]

[eqn: 3overroota =2`]에서    [eqn: a={9} over {4}]

[eqn: therefore] [eqn: a_{4}=4 a=4 times {9} over {4}=9]

[eqn: sum _{k=1} ^{15} {1} over {sqrt {a _{k}} + sqrt {a _{k+1}}} =2]

를 만족시킬 때, [eqn: a_{4}]의 값은?

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
04 활용1 (일반항 구하기. 대수와 식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 11

[eqn: {n}{{from^2020^평가원나^3}}]이 자연수일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[정답] ①

[해설]

[eqn: LEFT ( n ^{2} +6n+5 RIGHT ) x ^{2} - LEFT ( n+5 RIGHT ) x-1=0]에서 두 근을 [eqn: x= alpha ,```` x= beta]라고 하면 [eqn: a _{n} =alpha+ beta= {n+5} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+5 RIGHT )} = {1} over {n+1}]

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k}}][eqn: = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( k+1 RIGHT )]
[eqn: = sum _{k=1} ^{10} k+ sum _{k=1} ^{10} 1]
[eqn: = {10 LEFT ( 1+10 RIGHT )} over {2} +10]
[eqn: =65]

[eqn: LEFT ( n ^{2} +6n+5 RIGHT ) x ^{2} - LEFT ( n+5 RIGHT ) x-1=0]

의 두 근의 합을 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{k=1} ^{10} {1} over {a _{k}}]의 값은?

① [eqn: 65]	② [eqn: 70]	③ [eqn: 75]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 85]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 14

[eqn: {2}{{from^2020^04^서울고3가^}}]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( n-5 RIGHT )]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: sum _{n=2} ^{10} f LEFT ( n RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 2 LEQ n LEQ 4]일 때, [eqn: n-5<0]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =0]

[eqn: n=5]일 때, [eqn: n-5=0]이므로 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =1]

[eqn: 6 LEQ n LEQ 10]일 때, [eqn: n-5>0]이므로

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT ) =1], [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =2]

따라서 [eqn: sum _{n=2} ^{10} f LEFT ( n RIGHT )][eqn: =0+1+0+1+2+1+2+1+2][eqn: =10]

① [eqn: 8]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 12]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 29

다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: {a}{{from^2020^10^서울고3가^5}}], [eqn: b], [eqn: c]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 525 }]

[해설]

자연수 [eqn: a ,```` b ,```` c]에 대하여 [eqn: a<b]이고 조건 (나)에서 [eqn: a+b>c]이므로 [eqn: c GEQ 4]이다.

(ⅰ) [eqn: c=2k] ([eqn: k=2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` CDOTS ,```` 10])인 경우
[eqn: b=2k-1]일 때 [eqn: 2 LEQ a LEQ 2k-2]
[eqn: b=2k-2]일 때 [eqn: 3 LEQ a LEQ 2k-3]
[eqn: VDOTS]
[eqn: b=k+1]일 때 [eqn: a=k]이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는
[eqn: LEFT ( 2k-3 RIGHT ) + LEFT ( 2k-5 RIGHT ) + LEFT ( 2k-7 RIGHT ) + CDOTS +3+1]
[eqn: = {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( 2k-3 RIGHT ) +1 RIGHT }} over {2}]
[eqn: = LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2}]

(ⅱ) [eqn: c=2k+1] ([eqn: k=2 ,```` 3 ,```` 4 ,```` CDOTS ,```` 9])인 경우
[eqn: b=2k]일 때 [eqn: 2 LEQ a LEQ 2k-1]
[eqn: b=2k-1]일 때 [eqn: 3 LEQ a LEQ 2k-2]
[eqn: VDOTS]
[eqn: b=k+2]일 때 [eqn: k LEQ a LEQ k+1]이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는
[eqn: LEFT ( 2k-2 RIGHT ) + LEFT ( 2k-4 RIGHT ) + LEFT ( 2k-6 RIGHT ) + CDOTS +4+2]
[eqn: = {LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( 2k-2 RIGHT ) +2 RIGHT }} over {2}]
[eqn: =k LEFT ( k-1 RIGHT )]

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a ,```` b ,```` c RIGHT )]의 개수는

[eqn: sum _{k=2} ^{10} LEFT ( k-1 RIGHT ) ^{2} + sum _{k=2} ^{9} k LEFT ( k-1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} k ^{2} + sum _{k=1} ^{9} LEFT ( k ^{2} -k RIGHT )]

[eqn: = sum _{k=1} ^{9} LEFT ( 2k ^{2} -k RIGHT )]

[eqn: =2 TIMES {9 TIMES 10 TIMES 19} over {6} - {9 TIMES 10} over {2}]

[eqn: =525]

(가) [eqn: a<b<c LEQ 20]

(나) 세 변의 길이가 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]인 삼각형이 존재한다.

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 22

이차방정식 [eqn: {x ^{2} -x-1}{{from^2021^7^경찰대^중}}][eqn: =0]의 두 근을 [eqn: alpha ,```` beta]라 하자.

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[해설]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -x-1=0]의 근과 계수의 관계에서

[eqn: alpha + beta =1], [eqn: alpha beta =-1]

[eqn: alpha ^{3} + beta ^{3}][eqn: = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{3} -3 alpha beta LEFT ( alpha + beta RIGHT )]
[eqn: =1 ^{3} -3 TIMES (-1) TIMES 1=4]

[eqn: alpha ^{6} + beta ^{6}][eqn: = LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{3} RIGHT ) ^{2} -2 alpha ^{2} beta ^{2}]
[eqn: =4 ^{2} -2 TIMES (-1) ^{3} =18]

(ⅰ) [eqn: k=1]일 때
[eqn: a _{3} = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{3} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 4=2]

(ⅱ) [eqn: k=2]일 때
[eqn: a _{6} = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{6} + beta ^{ 6} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES 18=9]

(ⅲ) [eqn: k=3]일 때

[eqn: a _{9}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{9} + beta ^{ 9} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { LEFT ( alpha ^{3} + beta ^{ 3} RIGHT ) LEFT ( alpha ^{6} + beta ^{ 6} RIGHT ) - alpha ^{ 3} beta ^{ 3} LEFT ( alpha ^{ 3} + beta ^{ 3} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { 4 TIMES 18-(-1) TIMES 4 RIGHT }]
[eqn: =38]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서

[eqn: sum _{k=1} ^{3} a _{3k} =a _{3} +a _{6} +a _{9} =2+9+38=49]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( alpha ^{n} + beta ^{n} RIGHT )]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{3} a _{3k}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 15

[eqn: {2}{{from^2021^9 고2인천^중}}]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( 2n-5 RIGHT ) LEFT ( 2n-9 RIGHT )]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum _{n=2} ^{8} f(n)]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT ( 2n-5 RIGHT ) LEFT ( 2n-9 RIGHT )]의 [eqn: n]제곱근 중에서 실수인 것을 [eqn: x]라 하면

(ⅰ) [eqn: n]이 홀수인 경우
[eqn: x= root {n} of {LEFT ( 2n-5 RIGHT ) LEFT ( 2n-9 RIGHT )}]이므로 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =1]

(ⅱ) [eqn: n]이 짝수인 경우
[eqn: LEFT ( 2n-5 RIGHT ) LEFT ( 2n-9 RIGHT ) <0]이면 실수 [eqn: x]는 존재하지 않으므로 [eqn: {5} over {2} <n< {9} over {2}]인 짝수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =0]
[eqn: LEFT ( 2n-5 RIGHT ) LEFT ( 2n-9 RIGHT ) >0]이면
[eqn: x= root {n} of {LEFT ( 2n-5 RIGHT ) LEFT ( 2n-9 RIGHT )}]
또는 [eqn: x=- root {n} of {LEFT ( 2n-5 RIGHT ) LEFT ( 2n-9 RIGHT )}]
이므로 [eqn: n< {5} over {2}] 또는 [eqn: n> {9} over {2}]인 짝수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =2]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: 2 LEQ n LEQ 8]인 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {cases{0`````````````````&LEFT ( n=4 RIGHT )#eqalign{1# 2}&eqalign{LEFT ( n=3,````5,````7 RIGHT )# LEFT ( n=2,````6,````8 RIGHT )}}}]

따라서 [eqn: sum _{n=2} ^{8} f LEFT ( n RIGHT ) =`0 TIMES 1+1 TIMES 3+2 TIMES 3=9]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 17

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2^n-3 -8]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: sum _{ n`=`2} ^{m }` f LEFT ( n RIGHT )= 15]가 되도록 하는 자연수 [eqn: m]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: 2 le n le 5]일 때, [eqn: 2^n-3 - 8 < 0]이므로

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =][eqn: LEFT { pile{it#it#it} RIGHT .]	[eqn: 1]	([eqn: n]은 홀수)
	[eqn: 0]	([eqn: n]은 짝수)

[eqn: n= 6]일 때, [eqn: 2^6-3 - 8 = 0]이므로 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT )= 1]

[eqn: sum _{ n`=`2} ^{6 }` f LEFT ( n RIGHT ) = 0+1+0+1+1 = 3 < 15]이므로 [eqn: m ge 7]

[eqn: n ge 7]일 때, [eqn: 2^n-3 - 8 > 0]이므로

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =][eqn: LEFT { pile{it#it#it} RIGHT .]	[eqn: 1]	([eqn: n]은 홀수)
	[eqn: 2]	([eqn: n]은 짝수)

그러므로 [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )= 1], [eqn: f LEFT ( 8 RIGHT )= 2], [eqn: f LEFT ( 9 RIGHT )= 1], [eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) = 2], [eqn: f LEFT ( 11 RIGHT )=1], [eqn: f LEFT ( 12 RIGHT )= 2], [eqn: f LEFT ( 13 RIGHT ) = 1], [eqn: f LEFT ( 14 RIGHT )= 2]에서

[eqn: sum _{ n`=`2} ^{14 }` f LEFT ( n RIGHT )= sum _{ n`=`2} ^{6 }` f LEFT ( n RIGHT ) + sum _{ n`=`7} ^{14 }` f LEFT ( n RIGHT )= 3+12 = 15]

한편 [eqn: l ge 15]인 자연수 [eqn: l]에 대하여 [eqn: f LEFT ( l RIGHT ) ge 1]이므로

[eqn: sum _{ n`=`2} ^{l }` f LEFT ( n RIGHT ) > 15]

따라서 [eqn: m= 14]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 4

자연수 [eqn: {k `` (k ge 2) }]에 대하여 집합

[정답] ⑤

[해설]

집합 [eqn: A= left{left(a ,`` b right) `left|`a], [eqn: b]는 자연수, [eqn: 2 le a le k], [eqn: log_a b le 2 `right}]에서 [eqn: a=n]일 때, [eqn: b le n^2]이므로 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: n^2]이다.

따라서 [eqn: 2le a le k]에서 집합 [eqn: A]의 원소의 개수는

[eqn: sum_n=2^k n^2][eqn: =sum_n=1^k n^2 -1][eqn: ={k left(k+1 right)left(2k+1right)}over6 -1]

집합 [eqn: A]의 원소의 개수가 [eqn: 54]이므로

[eqn: {k left(k+1right)left(2k+1right)}over6 =55]

[eqn: {k left(k+1right)left(2k+1right)=5cdot6cdot11]

따라서 [eqn: k=5]이다.

[eqn: a+b]의 최댓값은 [eqn: a=5], [eqn: b=25]일 때이므로

[eqn: a+b+k]의 최댓값은 [eqn: 5+25+5=35]이다.

[다른 풀이]

집합 [eqn: A= left{left(a ,`` b right) `left|`a], [eqn: b]는 자연수, [eqn: 2 le a le k], [eqn: log_a b le 2 `right}]에서 [eqn: a=2], [eqn: 3], [eqn: cdots], [eqn: k]이고, [eqn: 1 le b le a^2}]이므로 경우를 나누어서 판단하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a=2]일 때, [eqn: 1 le b le 4] 즉, 만족하는 순서쌍은 [eqn: 4]개

(ⅱ) [eqn: a=3]일 때, [eqn: 1 le b le 9] 즉, 만족하는 순서쌍은 [eqn: 9]개

(ⅲ) [eqn: a=4]일 때, [eqn: 1 le b le 16] 즉, 만족하는 순서쌍은 [eqn: 16]개

(ⅳ) [eqn: a=5]일 때, [eqn: 1 le b le 25] 즉, 만족하는 순서쌍은 [eqn: 25]개

그런데, 집합 [eqn: A]의 원소의 개수가 [eqn: 54]이므로 [eqn: a =5]일 때 만족한다.

즉 [eqn: a=5], [eqn: b=25 ,````k=5]일 때가 최대가 되므로 [eqn: a+b+k]의 최댓값은 [eqn: 5+25+5=35 from 넘버41]이다.

[eqn: A= left{` left(a ,`` b right) `left|` a], [eqn: b]는 자연수, [eqn: 2 le a le k], [eqn: log_a b le 2 `right}]

의 원소의 개수가 [eqn: 54]일 때, 집합 [eqn: A]의 원소 [eqn: left(a ,`` b right)]에 대하여 [eqn: a+b+k]의 최댓값은?

① [eqn: 27]	② [eqn: 29]	③ [eqn: 31]

④ [eqn: 33]	⑤ [eqn: 35]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 28

[eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: n]과 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: n^{2}-17 n+19 k]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수를 [eqn: f(n)]이라 하자.

[정답] [eqn: 3]

[해설]

[eqn: n geq 2]에서 [eqn: n^{2}-17 n+19 k]의 값을 [eqn: g(n)]이라 하자.

(i) [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: n=2 m+1]( [eqn: m]은 자연수)

[eqn: g(n)]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것의 개수는 [eqn: rm 1]이므로 [eqn: f(2 m+1)=1]

(ii) [eqn: n]이 짝수일 때, [eqn: n=2 m]( [eqn: m]은 자연수)

[eqn: g(2 m)>0]이면 [eqn: f(2 m)=2]

[eqn: g(2 m)<0]이면 [eqn: f(2 m)=0]

[eqn: g(2 m)=0]이라 하면 [eqn: 19 k=2 m(17-2 m)]

이를 만족시키는 두 자연수 [eqn: m]과 [eqn: k]는 존재하지 않는다.

(i), (ii) 에 의하여

[eqn: sum_{n=2}^{19} f(n)= sum_{m=1}^{9} f(2 m)+ sum_{m=1}^{9} f(2 m+1)]

[eqn: sum_{m=1}^{9} f(2 m)=19-1 times 9=10]

[eqn: sum_{m=1}^{9} f(2 m)=10]을 만족시키기 위해서는

[eqn: g(2 m)>0]인 [eqn: m]의 개수가 [eqn: rm 5]이어야 한다. [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: 2 leq n leq 7]이면 [eqn: g(n)>g(n+1)]

[eqn: n=8]이면 [eqn: g(n)=g(n+1)], 즉 [eqn: g(8)=g(9)]

[eqn: n geq 9]이면 [eqn: g(n)<g(n+1)]

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: g(n)=g(17-n)]이므로

[eqn: g(18)>g(16)>g(15)=g(2)>g(14)>g(13)=g(4)]
[eqn: >g(12)>g(11)=g(6)>g(10)>g(9)=g(8)]

㉠을 만족시키는 경우는

[eqn: g(18)>g(16)>g(2)>g(14)>g(4)>0>g(12)]

[eqn: g(4)=4^{2}-17 times 4+19 k>0], [eqn: 19 k>52]

[eqn: g(12)=g(5)=5^{2}-17 times 5+19 k<0], [eqn: 19 k<60]

[eqn: {52} over {19}<k<{60} over {19}]

따라서 자연수 [eqn: k]는 [eqn: rm 3]

[eqn: sum_{n=2}^{19} f(n)=19]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

자연수 [eqn: m ~ LEFT ( m GEQ 2 RIGHT )]에 대하여 [eqn: m^{12}]의 [eqn: n]제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 [eqn: rm 2] 이상의 자연수 [eqn: n]의 개수를 [eqn: f LEFT (m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: sum _{m=2} ^{9} f LEFT (m RIGHT )]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: m^{12}]의 [eqn: n]제곱근 중 정수가 존재하기 위해서는

[eqn: root{n}of{m^12}=m^{12overn}`]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 정수이어야 한다.

[eqn: m]의 값에 따라 [eqn: rm 2]이상의 자연수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: m`]이 제곱수, 세제곱수인지에 따라서 다음과 같이 나눌 수 있다.

(ⅰ) [eqn: m=2], [eqn: 3], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7`]일 때
[eqn: n`]은 [eqn: 12`]의 약수 중 [eqn: 1`]을 제외한 수가 가능하므로
[eqn: f left(m right)=5]

(ⅱ) [eqn: m=4], [eqn: 9`]일 때
[eqn: m=k^2 `]([eqn: k=2,``3])이라 하면 ㉠에서
[eqn: m^{12overn}=k^{24overn}]
따라서 [eqn: n`]은 [eqn: 24`]의 약수 중 [eqn: 1`]을 제외한 수가 가능하므로
[eqn: f left(m right)=7]

(ⅲ) [eqn: m=8`]일 때
[eqn: m=2^3 `]이므로 ㉠에서
[eqn: m^{12overn}=2^{36overn}]
따라서 [eqn: n`]은 [eqn: 36`]의 약수 중 [eqn: 1`]을 제외한 수가 가능하므로
[eqn: f left(8right)=8]

이상에서

[eqn: sum_{m=2}^{9} f(m)][eqn: =f(2)+f(3)+ cdots+f(9)]
[eqn: =5 times 5+7 times 2+8]
[eqn: =47]

① [eqn: rm 37]	② [eqn: rm 42]	③ [eqn: rm 47]

④ [eqn: rm 52]	⑤ [eqn: rm 57]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
05 활용2 (일반항 구하기. 함수와 도형)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 13

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에 대하여 좌표평면 위의 점 [eqn: LEFT ( n ,```` 0 RIGHT )]을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원을 [eqn: O _{n}]이라 하자.
점 [eqn: LEFT ( -1 ,```` 0 RIGHT )]을 지나고 원 [eqn: O _{n}]과 제 [eqn: 1]사분면에서 접하는 직선의 기울기를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} ^{2}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

원의 중심 [eqn: LEFT ( n ,```` 0 RIGHT )]과 직선 [eqn: a _{n} LEFT ( x+1 RIGHT ) -y=0][eqn: LEFT ( a _{n} >0 RIGHT )]사이의 거리는 원 [eqn: O _{n}]의 반지름의 길이인 [eqn: 1]과 같으므로

[eqn: {left |`` a _{n} LEFT ( n+1 RIGHT ) ``right | } over {sqrt {a _{n} ^{2} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2}}} =1 ,```` LEFT { a _{n} LEFT ( an+1 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =a _{n} ^{2} +1]

[eqn: a _{n} ` ^{2} LEFT ( n ^{2} +2n RIGHT ) =1 ,```` a _{n} `^{2} = {1} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )}]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{n} ` ^{2}][eqn: = sum _{n=1} ^{5} {1} over {n LEFT ( n+2 RIGHT )}]
[eqn: = {1} over {2} LEFT { sum _{n=1} ^{5} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {6} - {1} over {7} RIGHT )]
[eqn: = {25} over {42}]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {23} over {42}]	③ [eqn: {25} over {42}]

④ [eqn: {9} over {14}]	⑤ [eqn: {29} over {42}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 27

자연수[eqn: {n }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x<2 ^{n+1}]일 때, 부등식

[정답] [eqn: bold169]

[해설]

[eqn: 0 le x < 2^n+1]일 때, [eqn: 0le pi over{2^n}x < 2pi]이므로 부등식 [eqn: cos left( pi over{2^n }x right) le it - 1over2]의 해는 [eqn: 2over3 pi le pi over{2^n}x le 4over3 pi]

즉, [eqn: {2^n+1}over3 le x le {2^{n+2}over3]

[eqn: a_n]은 [eqn: {2^n+1}over3 le x le {2^{n+2}over3]을 만족시키는 서로 다른 모든 자연수 [eqn: x]의 개수이고, [eqn: {2^{n+2}}over3]은 자연수가 아니므로 [eqn: sum_{n=1}^7{ a_n}]은 [eqn: 2^2 over3 le x le 2^9 over3]이 자연수의 개수와 같다.

[eqn: 2^2 over3 = 1.333cdots ,````][eqn: 2^9 over3 = 170.666 cdots]

따라서 [eqn: sum_{n=1}^7{ a_n} =170-1 =169]

[참고]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 2^2 over3 le x le 2^3 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 2]이므로
[eqn: a_1 =1]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: {2 ^{3}} over {3} LEQ x LEQ {2 ^{4}} over {3}]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 3 ,````][eqn: 4 ,````][eqn: 5]이므로
[eqn: a_2 =3]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 2^4 over3 le x le 2^5 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 6 ,````][eqn: 7 ,````][eqn: 8 ,````][eqn: 9 ,````][eqn: 10]이므로 [eqn: a_3 =5]

(ⅳ) [eqn: n=4]일 때, [eqn: 2^5 over3 le x le 2^6 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 11 ,````][eqn: 12 ,````][eqn: 13 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 21]이므로 [eqn: a_4 =11]

(ⅴ) [eqn: n=5]일 때, [eqn: 2^6 over3 le x le 2^7 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 22 ,````][eqn: 23 ,````][eqn: 24 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 42]이므로 [eqn: a_5 =21]

(ⅵ) [eqn: n=6]일 때, [eqn: 2^7 over3 le x le 2^8 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 43 ,````][eqn: 44 ,````][eqn: 45 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 85]이므로 [eqn: a_6 =43]

(ⅶ) [eqn: n=7]일 때, [eqn: 2^8 over3 le x le 2^9 over3]인 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 86 ,````][eqn: 87 ,````][eqn: 88 ,````][eqn: cdots ,````][eqn: 170]이므로 [eqn: a_7 = 85]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2 ^{n}} x RIGHT ) LEQ - {1} over {2}]

을 만족시키는 서로 다른 모든 자연수 [eqn: x]의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{7} a _{n}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 15

함수 [eqn: {y=2^x -root2}{{^2020^08^경찰대^중}}]의 그래프 위의 점 [eqn: {rm P]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선이 [eqn: x]축과 만나는 점을 [eqn: {rm Q]라 하자. 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: {rm bar{PQ}][eqn: =n]일 때, 점 [eqn: {rm P]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a_n]이라 하자. [eqn: sum _{ n=1} ^{6 }a_n]의 정수 부분은? (단, 점 [eqn: {rm P]는 제 [eqn: 1]사분면에 있다.)

[정답] ②

[해설]

점 [eqn: {rm P } (a_n,````2^a_n -root2 )]를 지나고 기울기가 [eqn: -1]인 직선의 방정식은

[eqn: y= -x +a_n +2^a_n -root2]

따라서 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: (a_n +2^a_n -root2 ,````0)]

[eqn: {rm bar{PQ}][eqn: =n]이므로

[eqn: root { (2^a_n -root2 )^2 + (2^a_n -root2 )^2 }][eqn: =n]

[eqn: root2][eqn: (2^a_n -root2 )][eqn: =n]

따라서 [eqn: 2^{a_n} - root2 = n over root2], [eqn: root2 times 2^{a_n} =n+2]

[eqn: 2^{ 1over 2 +a_n} =n+2], [eqn: 1over 2 + a_n = log_2 (n+2)]

[eqn: therefore][eqn: a_n = log_2{(n+2)} - 1over2]

[eqn: sum _{ n=1} ^{6 }a_n][eqn: =log_2 (3 times 4 times cdots times 8 ) -3]
[eqn: = log_2 (2^6 times 315)-3]
[eqn: =3+ log_2 315]

여기서 [eqn: 2^8 < 315< 2^9]이므로 [eqn: log_2 315 =8. cdots]

따라서 [eqn: sum _{ n=1} ^{6 }a_n]의 정수부분은 [eqn: 11]이다.

① [eqn: 10]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

[eqn: {n GEQ 2}{{^2020^08^경찰대^중}}]인 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 함수 [eqn: y=log _{{1} over {2}} LEFT ( 2x-m RIGHT )]의 그래프와 한 점에서 만나고, 직선 [eqn: y=n]이 함수 [eqn: y= left |`` 2 ^{-x} -m ``right |]의 그래프와 두 점에서 만나도록 하는 모든 자연수 [eqn: m]의 값의 합을 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=5} ^{10} {1} over {a _{n}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

로그함수 [eqn: y=log _{{1} over {2}} LEFT ( 2x-m RIGHT )]과 직선 [eqn: x=n]이 한 점에서 만나므로

[eqn: {m} over {2} <n]	[eqn: cdotscdots] ㉠

지수함수 [eqn: y= left |`` 2 ^{-x} -m ``right |]와 직선 [eqn: y=n]이 두 점에서 만나므로

[eqn: n<m]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: n<m<2n]

따라서 만족하는 자연수 [eqn: m]의 값의 합 [eqn: a _{n}]은

[eqn: a _{n}][eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) + LEFT ( n+2 RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( 2n-1 RIGHT )][eqn: = {3} over {2} n LEFT ( n-1 RIGHT )]

따라서 [eqn: 1over a_n = 2 over { 3n(n-1)]

[eqn: therefore][eqn: {1} over {a _{n}} = {2} over {3} LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ```` sum _{n=5} ^{10} {1} over {a _{n}}][eqn: = 2 over 3 left{ left( 1 over 4 - 1over 5 right) + left( 1over 5 - 1over6 right)]
[eqn: + cdots+ left( 1over 9 - 1over 10 right) right}]
[eqn: = {2} over {3} LEFT ( {1} over {4} - {1} over {10} RIGHT )][eqn: = {1} over {10}]

① [eqn: {1} over {10}]	② [eqn: {1} over {20}]	③ [eqn: {1} over {30}]

④ [eqn: {1} over {40}]	⑤ [eqn: {1} over {50}]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 27

모든 자연수 [eqn: {n}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y= sqrt {x}]위의 점 [eqn: {rmA}_n (n^2 ,```` n)]과 곡선 [eqn: y=it-x^2] ([eqn: x ge0])위의 점 [eqn: {rmB}_n]이 [eqn: bar{rmOA}_n = bar{rmOB}_n]을 만족시킨다. 삼각형 [eqn: {rmA}_n {RMOB}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum _{ n=1} ^{10 } {2 S_n }over n^2]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[정답] [eqn: bold395]

[해설]

위의 그래프에서 [eqn: bar{rmOA}_n]의 기울기는 [eqn: 1 over n], [eqn: bar{rmOB}_n]의 기울기는 [eqn: -n]이므로 두 기울기는 수직이다.

또, [eqn: bar{rmOA}_n = bar{rmOB}_n]이므로 삼각형 [eqn: {rmOA}_n {rmB}_n]은 직각이등변삼각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: {rmOA}_n {rmB}_n]의 넓이 [eqn: S_n]은

[eqn: S_n = 1over2 (n^2 +n^4 )]

[eqn: therefore][eqn: sum _{ n=1} ^{10 }{2 S_n }overn^2][eqn: = sum _{ n=1} ^{10 } (1+n^2 )]
[eqn: = 10 + 1over6 cdot10cdot11 cdot 21]
[eqn: =395]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 17

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 ^{n+1}]에서 함수 [eqn: y=2sin LEFT ( {pi } over {2 ^{n}} x RIGHT )]의 그래프가 직선 [eqn: y= {1} over {n}]과 만나는 모든 점의 [eqn: x]좌표의 합을 [eqn: x _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{6} x _{n}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2sin LEFT ( {pi } over {2 ^{n}} x RIGHT )]라 하자.

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 주기는 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {2 ^{n}}} =2 ^{n+1}],

최댓값은 [eqn: 2], 최솟값은 [eqn: -2]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 0< {1} over {n} <2]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 ^{n+1}]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {n}]은 서로 다른 두 점에서 만난다.

만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha _{n} ,```` beta _{n}]이라 하면 [eqn: beta _{n} =2 ^{n} - alpha _{n}]이므로 [eqn: x _{n} = alpha _{n} + beta _{n} =2 ^{n}]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{6} x _{n} = sum _{n=1} ^{6} 2 ^{n} = {2 TIMES LEFT ( 2 ^{6} -1 RIGHT )} over {2-1} =126]

① [eqn: 122]	② [eqn: 126]	③ [eqn: 130]

④ [eqn: 134]	⑤ [eqn: 138]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 10

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y= sqrt {n} x]가 만나는 서로 다른 두 점 사이의 거리를 [eqn: f(n)]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: x ^{2} = sqrt {n} x], [eqn: x LEFT ( x- sqrt {n} RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=0] 또는 [eqn: x= sqrt {n}]

곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y= sqrt {n} x]가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,````0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( sqrt {n} ,````n RIGHT )]

[eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{2}][eqn: = LEFT ( sqrt {n} -0 RIGHT ) ^{2} `+ LEFT ( n-0 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =n+n ^{2} `=n LEFT ( n+1 RIGHT )]

[eqn: sum _{n=1} ^{10} {1} over {LEFT { f(n) ^{2} RIGHT }}][eqn: = sum _{n=1} ^{10} {1} over {n LEFT ( n+1 RIGHT )} = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+1} RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 1- {1} over {2} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) +` CDOTS `+ LEFT ( {1} over {10} - {1} over {11} RIGHT )]
[eqn: =1- {1} over {11} = {10} over {11}]

① [eqn: {9} over {11}]	② [eqn: {19} over {22}]	③ [eqn: {10} over {11}]

④ [eqn: {21} over {22}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 10

자연수 [eqn: n`]에 대하여 점 [eqn: \A_ {it `n} it left(n,``n^2 right)`]을 지나고 직선 [eqn: y=nx`]에 수직인 직선이 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmB_{ it` n } `]이라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmA_{it` n} left( it n,``n^2 right)`]을 지나고 직선 [eqn: y][eqn: =nx`]에 수직인 직선의 기울기는 [eqn: - 1overn `]이므로 직선의 방정식은
[eqn: y -n^2][eqn: = it - 1overn (x-n)], [eqn: y][eqn: =it`box{~-{ 1over n }^` ~ }`timesx+n^2 +1]

즉, [eqn: box{~(가)^` ~}][eqn: = it - 1overn]

점 [eqn: \B_{it` n}`]의 좌표는 [eqn: - 1overn x +n^2 +1][eqn: =0`]에서 [eqn: left(it n^3 +n,``0 right)`]

점 [eqn: rm A_ {it `n} `]의 좌표는 [eqn: left( n ,`` n^2 right)`]이므로

[eqn: S_{`n}][eqn: = 1over2 times left( n^3 +n right) times n^2][eqn: = box{{~ n^5 + n^3 ^`} over 2 ~}]

즉, [eqn: box{~(나)^` ~}][eqn: = {n^5 +n^3} over {2}]

[eqn: sum_n=1^8 S_{`n} overn^3`][eqn: = sum_ n=1 ^8 { n^5 +n^3 }over {2 n^3}][eqn: = sum_ n=1 ^8 { n^2 +1 }over 2]
[eqn: = 1over 2 sum_n=1 ^8 n^2 + 1over2 sum_n=1 ^8 1]
[eqn: = 1over2 times { 8 times 9 times 17}over6 + 1over2 times 1 times 8]
[eqn: = 102+4][eqn: ={{BOX{~106^`~}}}]

즉, [eqn: box{~(다)^` ~}][eqn: = 106]

따라서 [eqn: f(n)][eqn: = it - 1 overn], [eqn: g(n)][eqn: = {n^5 + n^3 } over2], [eqn: r][eqn: =106`]이므로

[eqn: f(1)+g(2)+r][eqn: =it -1 + 20 + 106][eqn: =125]

다음은 삼각형 [eqn: \A_{it` n}OB_{it` n}`]의 넓이를 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^8 S_{`n} overn^3 `]의 값을 구하는 과정이다. (단, [eqn: rm O`]는 원점이다.)

점 [eqn: \A_{it `n} it left(n,``n^2 right)`]을 지나고 직선 [eqn: y=nx`]에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y=it`box{~(가)^{`}~}`timesx+n^2 +1]

이므로 두 점 [eqn: rm A_ {it `n}], [eqn: rmB_ {` it n }`]의 좌표를 이용하여 [eqn: S_{`n} `]을 구하면

[eqn: S_{`n}= box{~(나)^` ~}]

따라서

[eqn: sum_n=1^8 S_{`n} overn^3`={{BOX{~(다)^{`}~}}}]

이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)`]이라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: r`]라 할 때, [eqn: f (1 )+g (2 )+r`]의 값은?

① [eqn: 105]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 115]

④ [eqn: 120]	⑤ [eqn: 125]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

자연수 [eqn: {n}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여 곡선

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때, [eqn: 1]개

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: 3]개

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때, [eqn: 10]개

[eqn: vdots]

계속하여 규칙을 구하면

[eqn: n=1]일 때, [eqn: 1]개

[eqn: n=2]일 때, [eqn: 1+2=3]개

[eqn: n=3]일 때, [eqn: 2+4+4=10]개

[eqn: n=4]일 때, [eqn: 2+4+4+4=14]개

[eqn: n=5]일 때, [eqn: 3+6+6+6+6=3+(6times4)=27]개

[eqn: n=6]일 때, [eqn: 3+(6times5)=33]개

[eqn: n=7]일 때, [eqn: 4+(8times6)=52]개

[eqn: n=8]일 때, [eqn: 4+(8times7)=60]개

[eqn: n=9]일 때, [eqn: 5+(10times8)=85]개

[eqn: n=10]일 때, [eqn: 5+(10times9)=95]개

[eqn: vdots]

[eqn: y=n sin(n pix) ```` (0 leq x leq 1)]위의 점 중 [eqn: y]좌표가 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하면

[eqn: sum _{k = 1} ^{10} a _{k}][eqn: =1+3+10+14+27+33+52+60+85+95]
[eqn: =380]

[eqn: y][eqn: =n sin LEFT ( n pi x RIGHT )] ([eqn: 0 LEQ x LEQ 1])

위의 점 중 [eqn: y]좌표가 자연수인 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n}]의 값은?

① [eqn: 340]	② [eqn: 350]	③ [eqn: 360]

④ [eqn: 370]	⑤ [eqn: 380]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 11

자연수 [eqn: n`]에 대하여 직선 [eqn: x=n`]이 직선 [eqn: y=x`]와 만나는 점을 [eqn: rmP _{itn}], 곡선 [eqn: y= {1} over {20} x LEFT ( x+ {1} over {3} RIGHT ) `]과 만나는 점을 [eqn: rmQ _{itn}], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rmR _{itn} `]이라 하자. 두 선분 [eqn: rm P _{it n rm} Q _{it n rm}], [eqn: rmQ _{it n rm} R _{it n rm}]의 길이 중 작은 값을 [eqn: a _{n} `]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{n} `]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: rmbar{P_{itn}rmQ_{itn}}=itn- 1over20 n left(n+ 1over3 right)], [eqn: rmbar{Q_{itn}rmR_{itn}}= 1over20 n left(n+ 1over3 right)]이다.

[eqn: rm bar{P_{itn}rmQ_{itn}}>rm bar{Q_{itn}rmR_{itn}]을 만족하는 [eqn: n]의 범위를 구하면

[eqn: n- 1over20 n left(n+ 1over3 right)> 1over20 n left(n+ 1over3 right)]

[eqn: n> 1over10 n left(n+ 1over3 right)]

[eqn: n]은 자연수이므로

[eqn: 1> 1over10 left(n+ 1over3 right)], [eqn: n< 10- 1over3]

[eqn: therefore][eqn: a_n =cases{rmbar{Q_{itn}rmR_{itn}}= 1over20 n left(n+ 1over3 right)&left(1le n le 9right)#rmbar{P_{itn}rmQ_{itn}}=n- 1over20 n left(n+ 1over3 right)````&left(n ge10right)]

[eqn: therefore][eqn: sum_n=1^10 a_n][eqn: =sum_n=1^9 1over20 n left(n+ 1over3 right)+a_10]
[eqn: = 1over20 times{9times10times19}over6 + 1over60 times{9times10}over2]
[eqn: + 10- 1over20 times10 left(10+ 1over3 right)]
[eqn: = 119over6]

① [eqn: {115} over {6}]	② [eqn: {58} over {3}]	③ [eqn: {39} over {2}]

④ [eqn: {59} over {3}]	⑤ [eqn: {119} over {6}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 17

실수 [eqn: a(a>1)]과 자연수 [eqn: n]에 대하여 직선 [eqn: x=n]이 두 함수	[eqn: y=3 a^{x}], [eqn: y=3 a^{x-1}]

[정답] ④

[해설]

두 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}], [eqn: {rm{Q}} it _{n}]의 좌표는 각각 [eqn: left(n,`` 3 a^{n} right)], [eqn: left(n,`` 3 a^{n-1} right)]

선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 길이 [eqn: l_{n}]은

[eqn: l_{n}=3(a-1) times a^{n-1}]이므로

[eqn: L= sum_{k=1}^{20} l_{k}=3(a-1) sum_{k=1}^{20} a^{k-1}]

[eqn: =3(a-1) TIMES {a ^{20} -1} over {a-1} =3 TIMES LEFT ( {BOX{``a ^{20} -1 ``}}RIGHT )]이다.

사다리꼴 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n} {rm{Q}} it _{n+2} it _{2} {rm{P}} it _{n+2}]의 넓이 [eqn: S_{n}]은

[eqn: S_{n}=3(a-1) times left(a^{n-1}+a^{n+1} right)]이므로

[eqn: S= sum_{k=1}^{5} S_{4 k-3}=S_{1}+S_{5}+S_{9}+S_{13}+S_{17}]

[eqn: =3(a-1) left(1+a^{2}+a^{4}+ cdots+a^{18} right)]

[eqn: =3(a-1) times { left(a^{2} right)^{10}-1} over {a^{2}-1}]

[eqn: = {3} over {( {BOX{``a+1``}})} TIMES LEFT ( {BOX{``a ^{20} -1``}} RIGHT )]이다.

따라서

[eqn: {S} over {L} = {{3} over {( {BOX{``a+1``}} )} TIMES LEFT ( {BOX{``a ^{20} -1 ``}}RIGHT )} over {3 TIMES LEFT ( box{{``a ^{20} -1``}} RIGHT )}]

[eqn: ={1} over {( box{``a+1``})}={2} over {5}]

이므로 [eqn: a=box{``{3} over {2}``}]이다.

따라서 [eqn: {f( sqrt{2})} over {g(20 p)}={1023} over {31}=33]

의 그래프와 만나는 점을 각각 [eqn: {rm{P}} it _{n}], [eqn: {rm{Q}} it _{n}]이라 하자. 선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 길이를 [eqn: l_{n}], 사다리꼴 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n} {rm{Q}} it _{n+2} {rm{P}} it _{n+2}]의 넓이를 [eqn: S_{n}]이라 하자. 두 실수 [eqn: L], [eqn: S]에 대하여 [eqn: sum_{k=1}^{20} l_{k}=L], [eqn: sum_{k=1}^{5} S_{4 k-3}=S]일 때, 다음은 [eqn: {S} over {L}={2} over {5}]를 만족시키는 [eqn: a]의 값을 구하는 과정이다.

두 점 [eqn: {rm{P}} it _{n}], [eqn: {rm{Q}} it _{n}]의 좌표는 각각 [eqn: left(n,`` 3 a^{n} right)], [eqn: left(n,`` 3 a^{n-1} right)]

선분 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n}]의 길이 [eqn: l_{n}]은

[eqn: l_{n}=3(a-1) times a^{n-1}]이므로

[eqn: L= sum_{k=1}^{20} l_{k}=3 times(][eqn: {BOX{``(가)``}}][eqn: )]이다.

사다리꼴 [eqn: {rm{P}} it _{n} {rm{Q}} it _{n} {rm{Q}} it _{n+2} {rm{P}} it _{n+2}]의 넓이 [eqn: S_{n}]은

[eqn: S_{n}=3(a-1) times left(a^{n-1}+a^{n+1} right)]이므로

[eqn: S= sum_{k=1}^{5} S_{4 k-3}]

[eqn: =S_{1}+S_{5}+S_{9}+S_{13}+S_{17}]

[eqn: = {3} over {{BOX{``(나)``}}} TIMES ( {BOX{``(가)``}})]이다.

따라서

[eqn: {S} over {L} = {{3} over {LEFT ( {BOX{``(나)`}} RIGHT )} TIMES LEFT ( {BOX{(``가``)}} RIGHT )} over {3 TIMES LEFT ( {BOX{``(가)``}} RIGHT )} = {1} over {LEFT ( {BOX{``(나)``}} RIGHT )} = {2} over {5}]

이므로 [eqn: a=][eqn: {BOX{``(다)``}}] 이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(a)], [eqn: g(a)]라 하고, (다)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: {f( sqrt{2})} over {g(20 p)}]의 값은?

① [eqn: rm 24]	② [eqn: rm 27]	③ [eqn: rm 30]

④ [eqn: rm 33]	⑤ [eqn: rm 36]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 16

좌표평면에 네 점 [eqn: {rmA(0 ,`` 0) }], [eqn: rmB(1 ,`` 0)], [eqn: rmC(1 ,`` 1)], [eqn: rmD(0 ,`` 1)]이 있다. 자연수 [eqn: n]에 대하여 집합 [eqn: X_n]은 다음 조건을 만족시키는 모든 점 [eqn: (a ,`` b)]를 원소로 하는 집합이다.

[정답] ①

[해설]

조건 (다)에서 [eqn: k], [eqn: m]이 자연수이므로 [eqn: 0<a le 1over2], [eqn: 0<b le 1over2]를 만족한다. 따라서 조건 (나)에서 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: left(a,``b right)] 사이의 거리의 최솟값 [eqn: 1over2^n]은 [eqn: 1over2^k] 또는 [eqn: 1over2^m]과 같아야 한다.

따라서 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k=n]일 때, [eqn: 1le m le n]이므로 [eqn: n]가지

(ⅱ) [eqn: m=n]일 때, [eqn: 1le k le n]이므로 [eqn: n]가지

(ⅲ) [eqn: k=m=n]일 때, [eqn: 1]가지

[eqn: a_n]의 값은 (ⅰ)[eqn: +](ⅱ)[eqn: -](ⅲ)이므로

[eqn: a_n =2n-1]

[eqn: sum_n=1^10 a_n][eqn: = sum_n=1^10 (2n-1)][eqn: =100 from 넘버41]

[다른 풀이]

[eqn: n]의 값에 따라서 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: n=1]일 때,
[eqn: left( 1 over2^k ,```` 1 over 2^m right)]과 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 거리의 최솟값이 [eqn: 1 over 2]이므로 [eqn: left( 1 over2 ,```` 1 over 2 right)]
즉 집합 [eqn: X_1]의 원소의 개수를 [eqn: a_1 =1]

(ⅱ) [eqn: n=2]일 때,
[eqn: left( 1 over2^k ,```` 1 over 2^m right)]과 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 거리의 최솟값이 [eqn: 1 over 4]이므로
[eqn: left( 1 over4 ,```` 1 over 4 right) , ````left( 1 over4 ,```` 1 over 2 right) ,][eqn: left( 1 over2 ,```` 1 over 4 right)]
즉 집합 [eqn: X_2]의 원소의 개수를 [eqn: a_2 = 3]

(ⅲ) [eqn: n=3]일 때,
[eqn: left( 1 over2^k ,```` 1 over 2^m right)]과 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 거리의 최솟값이 [eqn: 1 over 8]이므로
[eqn: left( 1 over8 ,```` 1 over 8 right) , ````left( 1 over8 ,```` 1 over 4 right) ,````left( 1 over8 ,```` 1 over 2 right) ,][eqn: left( 1 over4 ,```` 1 over 8 right) ,][eqn: left( 1 over2 ,```` 1 over 8 right)]
즉 집합 [eqn: X_3]의 원소의 개수를 [eqn: a_2 = 5]

[eqn: vdots]

따라서 집합 [eqn: X_n]의 원소의 개수를 [eqn: a_n][eqn: =2n-1]이므로

[eqn: sum_n=1^10 a_n][eqn: = sum_n=1^10 (2n-1)][eqn: =100 from 넘버41]

(가) 점 [eqn: (a ,`` b)]는 정사각형 [eqn: rmABCD]의 내부에 있다.

(나) 정사각형 [eqn: rmABCD]의 변 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 점 [eqn: (a ,`` b)] 사이의 거리의 최솟값은 [eqn: 1 over2^n]이다.

(다) [eqn: a = 1 over2^k]이고 [eqn: b = 1 over2^m]인 자연수 [eqn: k], [eqn: m]이 존재한다.

집합 [eqn: X_n]의 원소의 개수를 [eqn: a_n]이라 할 때, [eqn: sum_n=1^10 a_n]의 값은?

① [eqn: 100]	② [eqn: 120]	③ [eqn: 140]

④ [eqn: 160]	⑤ [eqn: 180]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 30

[eqn: {12} over {5}<k leq 4]인 상수 [eqn: k]와 자연수 [eqn: n]에 대하여 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 53]

[해설]

[eqn: y][eqn: =2 sin left(n pi x+{ pi} over {2} right)+ left|k sin ^{2}(n pi x)-(k-1) right|]
[eqn: =2 cos (n pi x)+ left|k left{ 1- cos ^{2}(n pi x) it right} -(k-1) right|]
[eqn: =2 cos (n pi x)+ left|1-k cos ^{2}(n pi x) right|]

[eqn: 0 leq x leq 2]에서 [eqn: t= cos (n pi x)]라 할 때,

함수 [eqn: f(t)=2 t+ left|1-k t^{2} right|(-1 leq t leq 1)]이라 하자.

[eqn: 1-k t^{2}=0], [eqn: t=-{1} over { sqrt{k}}] 또는 [eqn: t={1} over { sqrt{k}}]

[eqn: f(t)][eqn: = {cases{-kt ^{2} +2t+1&&LEFT ( - {1} over {sqrt {k}} LEQ t LEQ {1} over {sqrt {k}} RIGHT )#kt ^{2} +2t-1&&LEFT ( -1 LEQ t< it - {1} over {sqrt {k}} `또는~{1} over {sqrt {k}} <t LEQ 1 RIGHT )}}]

[eqn: = {cases{-k LEFT ( t- {1} over {k} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ~ LEFT ( - {1} over {sqrt {k}} LEQ t LEQ {1} over {sqrt {k}} RIGHT ) `#k LEFT ( t+ {1} over {k} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 1+ {1} over {k} RIGHT ) ` LEFT ( -1 LEQ t< it - {1} over {sqrt {k}} `또는 {1} over {sqrt {k}} <t LEQ 1`~ RIGHT )}}]

[eqn: f(-1)=k-3], [eqn: f left(-{1} over { sqrt{k}} right)=-{2} over { sqrt{k}}],

[eqn: f left({1} over { sqrt{k}} right)={2} over { sqrt{k}}], [eqn: f(1)=k+1]

[eqn: k leq 4]이므로 [eqn: 1 leq {2} over { sqrt{k}}]

함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: a_{2}]는

[eqn: f left(t_{0} right)=-{k} over {4}]인 실수 [eqn: t_{0} left(-1 leq t_{0} leq 1 right)]에 대하여

곡선 [eqn: t= cos 2 pi x]와 직선 [eqn: t=t_{0}]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

[eqn: {12} over {5}<k leq 4]에서 [eqn: -{2} over { sqrt{k}} leq-{k} over {4}<k-3]

(I) [eqn: -{2} over { sqrt{k}} < it - {k} over {4}]인 경우

[eqn: f(t)=-{k} over {4}]인 실수 [eqn: t]를

[eqn: t_{1}], [eqn: t_{2} left(-1<t_{1}<t_{2}<0 right)]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: rm 1]인 곡선 [eqn: t= cos 2 pi x]와 두 직선 [eqn: t=t_{1}], [eqn: t=t_{2}]가 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{2}=(2+2) times 2=8]

[eqn: 0<a_{2}<6]을 만족시키지 않는다.

(Ⅱ) [eqn: -{2} over { sqrt{k}}=-{k} over {4}]인 경우

[eqn: f(t)=-{k} over {4}]인 실수 [eqn: t]를

[eqn: t_{3}=-{1} over { sqrt{k}} left(-1<t_{3}<0 right)]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: rm 1]인 곡선 [eqn: t= cos 2 pi x]와 직선 [eqn: t=t_{3}]이 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{2}=2 times 2=4 cdots CDOTS]㉠

(Ⅰ), (Ⅱ)에 의하여

[eqn: 0<a_{2}<6]을 만족시키는 [eqn: k]의 값은

[eqn: -{2} over { sqrt{k}}=-{k} over {4}], [eqn: k=4]

따라서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: 0 leq x leq 2]에서 [eqn: t= cos (n pi x)(-1 leq t leq 1)]일 때,

[eqn: f(t)=cases{-4 left(t-{1} over {4} right)^{2}+{5} over {4} && left(-{1} over {2} leq t leq {1} over {2} right) #4 left(t+{1} over {4} right)^{2}-{5} over {4} && left(-1 leq t < it - {1} over {2},`` {1} over {2}<t leq 1 right)}]

함수 [eqn: y=f(t)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(i) [eqn: n=1]인 경우

조건 (나)에 의하여 [eqn: f(t)=5]인 실수 [eqn: t]는 [eqn: rm 1]

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: rm 2]인 곡선 [eqn: t= cos pi x]와

직선 [eqn: t=1]이 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{1}=2]

(ii) [eqn: n=2]인 경우

㉠에 의하여 [eqn: a_{2}=4]

(iii) [eqn: n=3]인 경운

조건 (나)에 의하여 [eqn: f(t)={5} over {3}]인 실수 [eqn: t]를 [eqn: t_{4} left(0<t_{4}<1 right)]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: {2} over {3}]인 곡선 [eqn: t= cos 3 pi x]와

직선 [eqn: t=t_{4}]가 만나는 서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{3}=2 times 3=6]

(iv) [eqn: n=4]인 경우

조건 (가)에 의하여 [eqn: f(t)=-{1} over {2}]인 실수 [eqn: t]를
[eqn: t_{5}], [eqn: t _{6}][eqn: LEFT ( -1<t _{5} <t _{6} <0 RIGHT )]이라 하면

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: {1} over {2}]인 곡선 [eqn: t= cos 4 pi x]와

두 직선 [eqn: t=t_{5}], [eqn: t=t_{6}]이 만나는

서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{4}=(2 times 4) times 2=16]

(ⅴ) [eqn: n=5]인 경우

조건 (나)에 의하여

[eqn: f(t)=1]인 실수 [eqn: t]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: {1} over {2}]

[eqn: 0 leq x leq 2]에서

주기가 [eqn: {2} over {5}]인 곡선 [eqn: t= cos 5 pi x]와

세 직선 [eqn: t=-1], [eqn: t=0], [eqn: t={1} over {2}]이 만나는

서로 다른 점의 개수 [eqn: a_{5}=5+(2 times 5) times 2=25]

(i)～(v)에 의하여

[eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}=2+4+6+16+25=53]

(가) [eqn: n]이 짝수이면
[eqn: a_{n}]은 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 직선 [eqn: y=-{k} over {2 n}]와
곡선 [eqn: y=2 sin left(n pi x+{ pi} over {2} right)+ left|k sin ^{2}(n pi x)-(k-1) right|]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

(나) [eqn: n]이 홀수이면
[eqn: a_{n}]은 [eqn: 0 leq x leq 2]에서 직선 [eqn: y={k+1} over {n}]과
곡선 [eqn: y=2 sin left(n pi x+{ pi} over {2} right)+ left|k sin ^{2}(n pi x)-(k-1) right|]이 만나는 서로 다른 점의 개수와 같다.

[eqn: 0<a_{2}<6]일 때, [eqn: sum_{n=1}^{5} a_{n}]의 값을 구하시오.

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
07 활용4 (추론, 규칙적인 변화)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 13

[eqn: {sum _{n=1} ^{20} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} n ^{2}}{{from^2020^04^서울고3가^}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} n ^{2}]

[eqn: = it -1 ^{2} +2 ^{2} -3 ^{2} +4 ^{2} - CDOTS -19 ^{2} +20 ^{2}]
[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2n RIGHT ) ^{2} - sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 2n-1 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT ( 4n-1 RIGHT )][eqn: =4 TIMES {10 TIMES 11} over {2} -10]

[다른 풀이]

[eqn: sum _{k=1} ^{20} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} n ^{2}]

[eqn: = LEFT ( it -1 ^{2} +2 ^{2} RIGHT ) + LEFT ( -3 ^{2} +4 ^{2} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( -19 ^{2} +20 ^{2} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( it -1+2 RIGHT ) TIMES LEFT ( 1+2 RIGHT ) + LEFT ( -3+4 RIGHT ) LEFT ( 3+4 RIGHT )]

[eqn: + CDOTS + LEFT ( -19+20 RIGHT ) TIMES LEFT ( 19+20 RIGHT )]

[eqn: =1+2+3+ CDOTS +20]

[eqn: = {20 TIMES 21} over {2}][eqn: =210]

① [eqn: 195]	② [eqn: 200]	③ [eqn: 205]

④ [eqn: 210]	⑤ [eqn: 215]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 29

수열 [eqn: { left{ a_n right}}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 282 }]

[해설]

[eqn: a_n][eqn: = S_n - S_n-1]
[eqn: =(n^2 +cn) - (n-1)^2 -c (n-1)]
[eqn: = 2n-1+c]

수열 [eqn: left{ a_n right]을 [eqn: 30`]번째항까지 나열하면

[eqn: 1+c], [eqn: 3+c], [eqn: 5+ c], [eqn: cdots], [eqn: 55+c], [eqn: 57+c], [eqn: 59+c]

(ⅰ) [eqn: c=3k]인 경우
[eqn: b_20][eqn: =][eqn: 59+c]이므로 [eqn: 59+c = 199]
따라서 [eqn: c= 140]이므로 [eqn: c!=3k]꼴이므로 성립하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: c=3k+1]인 경우
[eqn: b_20 =][eqn: 57+c]이므로 [eqn: 57+c = 199]

[eqn: c=142]
따라서 성립한다.

(ⅲ) [eqn: c=3k+2]인 경우
[eqn: b_20][eqn: =][eqn: 59+c]이므로 [eqn: 59+c = 199]
따라서 [eqn: c= 140]이므로 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: b_20 = 199]가 되도록 하는 모든 [eqn: c`]의 값의 합은 [eqn: 142+140 = 282]

[eqn: sum_k=1^n a_k = n^2 +cn] ([eqn: c`]는 자연수)

를 만족시킨다. 수열 [eqn: left{ a_n right}]의 각 항 중에서 [eqn: 3`]의 배수가 아닌 수를 작은 것부터 크기순으로 모두 나열하여 얻은 수열을 [eqn: left{ b_n right]이라 하자. [eqn: b_20 = 199]가 되도록 하는 모든 [eqn: c`]의 값의 합을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 13

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 구간 [eqn: (0 ,```` 1]]에서

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ 3 && &LEFT ( 0<x<1 RIGHT )# 1&&&LEFT ( x=1 RIGHT )}}]이고 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]를 만족하므로

(ⅰ) [eqn: x= 1,````2,````3,````cdots], 즉 [eqn: x=](자연수)일 때, [eqn: f(x)=1]

(ⅱ) [eqn: x!=](자연수)일 때, [eqn: f(x)=3]

또, [eqn: rootk]가 자연수가 되려면 [eqn: k]는 완전제곱수이므로

[eqn: k=1,````4,````9,````16]일 때, [eqn: f(rootk )=1]

[eqn: k !=1,````4,````9,````16]일 때, [eqn: f(rootk )=3]

[eqn: therefore][eqn: sum _{k=1} ^{20} {k TIMES f LEFT ( sqrt {k} RIGHT )} over {3}]
[eqn: =][eqn: {1} over {3} sum _{k=1} ^{20} LEFT { k TIMES f LEFT ( sqrt {k} RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =][eqn: 1over 3 {left( 1times 1 +4 times 1 + 9 times 1 + 16 times 1 )]
[eqn: + 1over 3 ( 2 times 3 + 3times 3 + 5 times 3 + cdots + 20 times 3)]
[eqn: =10 + (2+3+5+6 + cdots +20)]
[eqn: <-][eqn: (`````````)]안에 [eqn: 1,```4,```9,```16]이 빠짐
[eqn: =10 + (1+2+3+ cdots +20 ) - (1+4+9+16)]
[eqn: =][eqn: sum _{k=1} ^{20} k-20]
[eqn: = {20 TIMES 21} over {2} -20]
[eqn: =190]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ 3 && &LEFT ( 0<x<1 RIGHT )# 1&&&LEFT ( x=1 RIGHT )}}]

이고, 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]를 만족시킨다.

[eqn: sum _{k=1} ^{20} {k TIMES f LEFT ( sqrt {k} RIGHT )} over {3}]의 값은?

① [eqn: 150]	② [eqn: 160]	③ [eqn: 170]

④ [eqn: 180]	⑤ [eqn: 190]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 7

수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 일반항이

[정답] ⑤

[해설]

자연수 [eqn: k`]에 대하여

[eqn: n][eqn: =2k-1`]일 때, [eqn: a_{`n }][eqn: =a_{`2k-1 }][eqn: = {left{ (2k-1)+1right}^2}over2][eqn: = 2k^2]

[eqn: n][eqn: =2k`]일 때, [eqn: a_{`n}][eqn: =a_{`2k}][eqn: = (2k)^2 over2 +2k+1][eqn: =2k^2 + 2k +1]

따라서 [eqn: sum_n=1^10 a_{`n}][eqn: = sum_k=1^5 a_{`2k-1} + sum_k=1^5 a_{`2k}]
[eqn: = sum_k=1^5 2k^2 + sum_k=1^5 (2k^2 +2k+1)]
[eqn: = sum_k=1^5 left{2k^2 + (2k^2 +2k+1)right}]
[eqn: = sum_k=1^5 (4k^2 +2k+1)]
[eqn: = 4 sum_k=1^5 k^2 +2 sum_k=1^5 k + sum_k=1^5 1]
[eqn: = 4times {5times6times11}over6 + 2times 5times6over2 + 1 times 5]
[eqn: = 255]

[eqn: a_{`n}= {cases{`{(n+1) ^{2}} over {2}_{`}& ( n`이~홀수인~경우 ) _{`}#` {n ^{2}^{`}} over {2} +n+1~~& ( n`이~짝수인~경우 )^{`}}} `]

일 때, [eqn: sum _{n=1} ^{10} a _{`n} `]의 값은?

① [eqn: 235]	② [eqn: 240]	③ [eqn: 245]

④ [eqn: 250]	⑤ [eqn: 255]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
08 활용5 (여러가지 추론)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 17

등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{k=1} ^{n} a _{k}], [eqn: T _{n} = sum _{k=1} ^{n} LEFT |`` a _{k} `` RIGHT |``]라 할 때, [eqn: S _{n}], [eqn: T _{n}]은 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ④

[해설]

조건 (가), (나)에 의하여

[eqn: S_{7}=T_{7}]이고 [eqn: S_{7}+T_{7}=84]이므로 [eqn: S_{7}=42][eqn: S_{7}=T_{7}]이므로 [eqn: 7]이하의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a_{n} ge0]	[eqn: cdotscdots]㉠

조건 (나)에 의하여

[eqn: 6]이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: (S_{n+1}+T_{n+1})-(S_{n}+T_{n})=0]

[eqn: a_{n+1}+left |`` a_{n+1} ``right | =0]

[eqn: a_{n+1} le0]	[eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 0le a_{7}le0]이므로 [eqn: a_{7}=0] 수열 [eqn: left{` a_{n} `right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: S_{7}={7(2a+6d)}over{2}=42], [eqn: a_{7}=a+6d=0]에서

[eqn: a=12], [eqn: d=-2]

[eqn: therefore][eqn: a_{n}=14-2n]

[eqn: S_{15}={15times(24-28)}over{2}=-30]

[eqn: therefore][eqn: S_{15}+T_{15}=84]

따라서 [eqn: T_{15}=84-S_{15}=114]

(가) [eqn: S _{7} =T _{7}]

(나) [eqn: 6] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S _{n} + T _{n} = 84]이다.

[eqn: T _{15}]의 값은?

① [eqn: 96]	② [eqn: 102]	③ [eqn: 108]

④ [eqn: 114]	⑤ [eqn: 120]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 17

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

등차중항의 성질에 의하여 [eqn: a_{6}+a_{8}=2 a_{7}]

조건(가)에 의하여 [eqn: a_{7}=2 a_{7}], [eqn: a_{7}=0]

(i) [eqn: d>0]인 경우
[eqn: n geq 7]인 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: S_{n}+T_{n}<S_{n+1}+T_{n+1}]이 되어 조건(나)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: d=0]인 경우
모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}=0]이므로
[eqn: S_{n}+T_{n}=0]이 되어 조건(나)를 만족시키지
않는다.

(i), (ii)에 의하여 [eqn: d<0]이고,

[eqn: a_{7}=a+6 d=0], [eqn: a=-6 d>0]이므로

[eqn: rm 7] 이하의 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n} geq 0], [eqn: S_{7}=T_{7}]

조건(나)에 의하여 [eqn: S_{7}=T_{7}=42]

[eqn: S_{7}={7(2 a+6 d)} over {2}=-21 d=42]

[eqn: a=12], [eqn: d=-2]

[eqn: S_{15}={15 times(24-28)} over {2}=-30]

[eqn: S_{15}+T_{15}=84]

따라서 [eqn: T_{15}=84-(-30)=114]

[eqn: S_{n}= sum_{k=1}^{n} a_{k}], [eqn: ~ T_{n}= sum_{k=1}^{n} left|a_{k} right|]

라 할 때, 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a_{7}=a_{6}+a_{8}]

(나) [eqn: rm 6] 이상의 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_{n}+T_{n}=84]이다.

[eqn: T_{15}]의 값은?

① [eqn: rm 96]	② [eqn: rm 102]	③ [eqn: rm 108]

④ [eqn: rm 114]	⑤ [eqn: rm 120]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 13

첫째항이 [eqn: {-45}{{from^2021^09^평가원^중}}]이고 공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{1} =it-45<0]이고 [eqn: d>0]이므로 조건 (가)를 만족시키기 위해서는

[eqn: a _{m} <0], [eqn: a _{m+3} >0]

즉, [eqn: -a _{m} =a _{m+3}]에서 [eqn: a _{m} +a _{m+3} =0]

따라서

[eqn: LEFT { -45+ LEFT ( m-1 RIGHT ) d RIGHT } + LEFT { -45+ LEFT ( m+2 RIGHT ) d RIGHT } =0]

[eqn: -90+ LEFT ( 2m+1 RIGHT ) =0]

[eqn: LEFT ( 2m+1 RIGHT ) d=90]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이고 [eqn: 2m+1]은 [eqn: 1]보다 큰 홀수이므로 [eqn: d]는 짝수이다.

그런데, [eqn: 90=2times3 ^{2} times5]이므로 ㉠을 만족시키는 [eqn: 90]의 약수 중에서 짝수인 것은 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 18], [eqn: 30] 이다.

또한, 조건 (나)에서

[eqn: sum _{k = 1} ^{n} a _{k} = {n LEFT { 2times LEFT ( -45 RIGHT ) + LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} >it-100]

[eqn: n LEFT { -90+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d RIGHT } >it-200]	[eqn: cdotscdots] ㉡

따라서 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 10], [eqn: 18], [eqn: 30] 중에서 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ㉡을 만족시키는 경우는 [eqn: 18], [eqn: 30] 이므로 구하는 모든 자연수 [eqn: d]의 값의 합은 [eqn: 18+30=48]

(가) [eqn: left |`` a _{m} ``right | = left |`` a _{m+3} ``right |]인 자연수 [eqn: m]이 존재한다.

(나) 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: sum _{k = 1} ^{n} a _{k} >it-100]이다.

① [eqn: 44]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 52]

④ [eqn: 56]	⑤ [eqn: 60]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 21

첫째항이 [eqn: {b}{{from^2021^9 고2인천^중}}] ([eqn: b]는 자연수)이고 공차가 [eqn: -4]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 있다. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT | sum _{k=1} ^{n} a _{k} RIGHT | GEQ 14]를 만족시키는 모든 [eqn: b]의 값을 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, [eqn: m]번째 수를 [eqn: b _{m}]이라 하자. [eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: LEFT |`` S _{n}`` RIGHT | = LEFT |`` b`` RIGHT | GEQ 14]

[eqn: b]가 자연수이므로 [eqn: b GEQ 14]

[eqn: S _{n}][eqn: = {n LEFT { 2b+ LEFT ( n-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -4 RIGHT ) RIGHT }} over {2}]
[eqn: =`-n LEFT ( 2n-b-2 RIGHT )]
[eqn: =`-2n LEFT ( n- {b+2} over {2} RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: b]가 짝수인 경우
[eqn: S _{{b+2} over {2}} =0]이 되어 조건 [eqn: LEFT | S _{n} RIGHT | GEQ 14]를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: b]가 홀수인 경우
함수 [eqn: y=`-2x LEFT ( x- {b+2} over {2} RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: LEFT | S _{n} RIGHT | GEQ 14]이므로 [eqn: S _{{b+1} over {2}} GEQ 14], [eqn: S _{{b+3} over {2}} LEQ -14]를 동시에 만족시켜야 한다.
[eqn: S _{{b+1} over {2}} =-2 TIMES {b+1} over {2} TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) GEQ 14]
[eqn: b GEQ 27]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠
[eqn: S _{{b+3} over {2}} =`-2 TIMES {b+3} over {2} TIMES {1} over {2} LEQ -14]
[eqn: b GEQ 25]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: b GEQ 27]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여

[eqn: b _{1} =27], [eqn: b _{2} =29], [eqn: b _{3} =31], [eqn: CDOTS]이므로

[eqn: b _{m} =2m+25] ([eqn: m]은 자연수)

따라서

[eqn: sum _{m=1} ^{10} b _{m}][eqn: = sum _{m=1} ^{10} LEFT ( 2m+25 RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES {10 TIMES 11} over {2} +250]
[eqn: =360]

① [eqn: 345]	② [eqn: 350]	③ [eqn: 355]

④ [eqn: 360]	⑤ [eqn: 365]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 21

양수 [eqn: a]와 [eqn: rm 0]이 아닌 실수 [eqn: d]에 대하여 첫째항이 모두 [eqn: a]이고, 공차가 각각 [eqn: d], [eqn: -2 d]인 두 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]과 [eqn: left{ b_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_{n}=a+(n-1) d], [eqn: b_{n}=a+(n-1)(-2 d)]

조건 (가)에서 [eqn: |a|=|a-12 d|]

[eqn: a=a-12 d] 또는 [eqn: a=-a+12 d]

[eqn: d neq 0]이므로 [eqn: a=-a+12 d], [eqn: a=6 d]

[eqn: a_{n}=6 d+(n-1) d=(n+5) d]

[eqn: b_{n}=6 d-2(n-1) d=(-2 n+8) d]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: d>0]

모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}>0]

[eqn: 1 leq n leq 3]일 때, [eqn: b_{n}>0]

[eqn: n geq 4]일 때, [eqn: b_{n} leq 0]이므로

수열 [eqn: left{ c_{n} it right}]을 [eqn: c_{n}= left|a_{n} right|- left|b_{n} right|]이라 하면

[eqn: c _{n} = {cases{(n+5)d-(-2n+8)d&&(1 LEQ n LEQ 3)#(n+5)d-(2n-8)d~&&(n GEQ 4)}}]

[eqn: c_{n}=cases{3(n-1) d ~ (1 leq n leq 3) # (13-n) d ~ (n geq 4)}]

[eqn: 1 leq n leq 13]일 때 [eqn: c_{n} geq 0]이고 [eqn: c_{13}=0]

[eqn: n geq 14]일 때 [eqn: c_{n}<0]이므로

[eqn: S_{n}= sum_{k=1}^{n} left( left|a_{k} right|- left|b_{k} right| right)= sum_{k=1}^{n} c_{k}]의 값이 최대가 되는
[eqn: n=12] 또는 [eqn: n=13]

[eqn: S_{12}=S_{13}= sum_{n=1}^{13} c_{n}]

[eqn: ~ = sum_{n=1}^{3} 3(n-1) d+ sum_{n=4}^{13}(13-n) d]

수열 [eqn: left{ c_{n} it right}]은

[eqn: c _{n} = {cases{6(n-1)&&(1 LEQ n LEQ 3)#2(13-n)~&&(n GEQ 4)z}}]

[eqn: c_{1}=0], [eqn: c_{2}=6], [eqn: c_{3}=12]

[eqn: c_{4}=-c_{22}], [eqn: c_{5}=-c_{21}], [eqn: c_{6}=-c_{20}], [eqn: cdots],

[eqn: c_{12}=-c_{14}], [eqn: c_{13}=0],

[eqn: c_{23}=-20],

[eqn: n geq 24]에서 [eqn: c_{n}<0]이므로

[eqn: S_{22}= left(c_{1}+c_{2}+c_{3} right)+ left(c_{4}+c_{5}+c_{6}+ cdots+c_{22} right)]

[eqn: ~ =(0+6+12)+0=18]

[eqn: S_{23}=S_{22}+c_{23}=18+(-20)=-2]

[eqn: n geq 23]일 때 [eqn: S_{n}<0]

따라서 [eqn: S_{n} geq 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의

최댓값 [eqn: m=22]이고 [eqn: a_{22}=(22+5) times 2=54]

(가) [eqn: LEFT | a _{1} RIGHT | = LEFT | b _{`7} RIGHT |]

(나) [eqn: S_n= sum_{k=1}^n left( left|a_k right|- left|b_k right| right)]라 할 때, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: S_n leq 108]이고, [eqn: S_p`=108]인 자연수 [eqn: p]가 존재한다.

[eqn: S_{n} geq 0]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최댓값을 [eqn: m]이라 할 때, [eqn: a_{m}]의 값은?

① [eqn: rm 46]	② [eqn: rm 50]	③ [eqn: rm 54]

④ [eqn: rm 58]	⑤ [eqn: rm 62]

03 수1	10 수열의합
04 항등식과 수열, 활용
09 활용6 (격자점)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 29

자연수 [eqn: {n}{{from^2020^03^경기고3가^}}]에 대하여 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( 0 ,```` n+5 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( n+4 ,```` 0 RIGHT )]과 원점 [eqn: rmO]를 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmAOB]가 있다. 삼각형 [eqn: rmAOB]의 내부에 포함된 정사각형 중 한 변의 길이가 [eqn: 1]이고 꼭짓점의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 자연수인 정사각형의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{8} a _{n}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 164 }]

[해설]

직선 [eqn: rmAB]의 방정식은

[eqn: y][eqn: = it - {n+5} over {n+4} x+n+5]

자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: x=a]일 때

[eqn: y][eqn: = it - {n+5} over {n+4} a+n+5]
[eqn: =m+5- LEFT ( 1+ {1} over {n+4} RIGHT ) a]
[eqn: =n+5-a- {a} over {n+4}]

[eqn: 0<a<n+}4]일 때, [eqn: 0< {a} over {n+4} <1]이므로 [eqn: x=a]일 때, [eqn: y]좌표가 자연수인 점의 개수는 [eqn: n+4-a]이다.

두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB]의 내부에 포함되는 한 변의 길이가 [eqn: 1]이고 각 꼭짓점의 좌표가 자연수인 정사각형의 네 꼭짓점의 좌표를 각각 [eqn: LEFT ( a ,```` b RIGHT )], [eqn: LEFT ( a+1 ,```` b RIGHT )], [eqn: LEFT ( a+1 ,```` b+1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( a ,```` b+1 RIGHT )]이라 하면

[eqn: a=1]일 때, [eqn: 1 LEQ b LEQ n+1]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: LEFT ( n+1 RIGHT )]이다.

[eqn: a=2]일 때, [eqn: 1 LEQ b LEQ n]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: n]이다.

[eqn: a=3]일 때, [eqn: 1 LEQ b LEQ n-1]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: LEFT ( n-1 RIGHT )]이다.

[eqn: VDOTS]

[eqn: a=n+1]일 때, [eqn: b=1]이므로 정사각형의 개수는 [eqn: 1]이다.

따라서

[eqn: a _{n}][eqn: = LEFT ( n+1 RIGHT ) +n+ LEFT ( n-1 RIGHT ) + CDOTS +1]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( n ^{2} +3n+2 RIGHT )]

[eqn: sum _{k=1} ^{8} a _{n}][eqn: = {1} over {2} sum _{k=1} ^{8} LEFT ( n ^{2} +3n+2 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( {8 TIMES 9 TIMES 17} over {6} +3 TIMES {8 TIMES 9} over {2} +2 TIMES 8 RIGHT )]
[eqn: =164]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 14

[eqn: 4] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [eqn: n] 이하의 네 자연수 [eqn: a,~b,~c,~d]가 있다.

[정답] ⑤

[해설]

점 [eqn: rmA(ita,~b)]에 대하여 점 [eqn: rmB(itc,~d)]가

[eqn: rm { {bar{OA }} BOT {bar{AB }} }], [eqn: {bar{rm OA}} = {bar{rm AB}}]를 만족시키려면

[eqn: c=a-b ,~ d=a+b]이어야 한다.

이때, [eqn: a>b]이고 [eqn: d]가 [eqn: n]이하의 자연수이므로

[eqn: b< {n} over {2}]이다.

[eqn: {n} over {2}] 미만의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b=k]일 때, [eqn: a+b LEQ n]을 만족시키는 자연수

[eqn: a]의 개수는 [eqn: n-2k]이다.

[eqn: 2]이상의 자연수 [eqn: m]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=2m]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는
[eqn: 1]부터 [eqn: {BOX{~m-1~}}]까지이므로

[eqn: T _{2m}][eqn: = sum _{k=1} ^{{BOX{~m-1~}}} (2m-2k)]
[eqn: =2m(m-1)-m(m-1)]
[eqn: = {BOX{~m ^{2} -m~}}]

(ⅱ) [eqn: n=2m+1]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는 [eqn: 1]부터 [eqn: m]까지이므로

[eqn: T _{2m+1}][eqn: = sum _{k=1} ^{m} (2m+1-2k)]
[eqn: =m(2m+1)-m(m+1)]
[eqn: = {BOX{~m ^{2} ~}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{m} =614]

따라서 [eqn: f(m)=m-1,~ g(m)=m ^{2} -m ,~ h(m)=m ^{2}]

이므로 [eqn: f(5)+g(6)+h(7)][eqn: =4+30+49][eqn: =83]

∘ [eqn: a>b]

∘ 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( c,~d RIGHT )]와 원점 [eqn: rmO]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAB]는 [eqn: ANGLE rm A][eqn: = {pi} over {2}]인 직각이등변삼각형이다.

다음은 [eqn: a,~b,~c,~d]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c,~d RIGHT )]의 개수를 [eqn: T _{n}]이라 할 때, [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{n}]의 값을 구하는 과정이다.

점 [eqn: rm A it LEFT ( a,~b RIGHT )]에 대하여

점 [eqn: rm B it LEFT ( c,~d RIGHT )]가 [eqn: {bar{rm OA}} BOT {bar{rm AB}}], [eqn: {bar{rm OA}}][eqn: = {bar{rm AB}}]를 만족시키려면

[eqn: c][eqn: =a-b], [eqn: d][eqn: =a+b]이어야 한다.

이때, [eqn: a>b]이고 [eqn: d]가 [eqn: n] 이하의 자연수이므로 [eqn: b< {n} over {2}]이다.

[eqn: {n} over {2}] 미만의 자연수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: b][eqn: =k]일 때, [eqn: a+b LEQ n]을 만족시키는 자연수 [eqn: a]의 개수는

[eqn: n-2k]이다.

[eqn: 2] 이상의 자연수 [eqn: m]에 대하여

(ⅰ) [eqn: n=2m]인 경우
[eqn: b]가 될 수 있는 자연수는 [eqn: 1]부터 [eqn: {BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}]까지이므로
[eqn: T _{2m}][eqn: = sum _{k=1} ^{{BOX{~~ LEFT ( 가 RIGHT ) ~~}}} LEFT ( 2m-2k RIGHT )][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 나 RIGHT ) ~~}}]

(ⅱ) [eqn: n][eqn: =2m+1]인 경우
[eqn: T _{2m+1}][eqn: = {BOX{~~ LEFT ( 다 RIGHT ) ~~}}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: sum _{n=4} ^{20} T _{n}][eqn: =614]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) ,~g LEFT ( m RIGHT ) ,~h LEFT ( m RIGHT )]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) +g LEFT ( 6 RIGHT ) +h LEFT ( 7 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: 71]	② [eqn: 74]	③ [eqn: 77]

④ [eqn: 80]	⑤ [eqn: 83]

[수학1] [10수열의 합] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] [eqn: bold3]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 25`]

[정답] ①

[정답] [eqn: 170]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 9 }]

[정답] [eqn: bold { 221 }]

[정답] [eqn: 29]

[정답] [eqn: 12]

[정답] [eqn: rm 13]

[정답] [eqn: 22]

[정답] [eqn: 10]

[정답] [eqn: bold { 61 }]

[정답] [eqn: bold { 55 }]

[정답] [eqn: 2]

[정답] ④

[정답] [eqn: 3]

[정답] [eqn: 109]

[정답] [eqn: 105]

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 58 }]

[정답] [eqn: bold{18}]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 146]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 160 }]

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 525 }]

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: 3]

[정답] ③

[정답] ③

[정답] [eqn: bold169]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] [eqn: bold395]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: 53]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 282 }]

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 164 }]

[정답] ⑤

[수학1] [10수열의 합] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.27