		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	09	[수학1] [9등비수열] 교사평경 최근 3개년

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
01 일반항1 (관계식)

교사평경3		년도별경향
09		[수학1] [9등비수열] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [9등비수열] 교사평경 최근 3개년		09

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 3

첫째항이 [eqn: {2}{{from^2020^04^서울고3나^}}]이고 공비가 [eqn: 5]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{2}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{2}][eqn: =2 TIMES 5][eqn: =10]

① [eqn: 5]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 25]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 3

공비가 [eqn: {3}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{4}][eqn: =24]일 때, [eqn: a _{3}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비가 [eqn: 3 ,````][eqn: a _{4} =24]이므로 [eqn: a _{4} =3a _{3}]에서

[eqn: a _{3} =8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 22

등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}]에서 [eqn: a _{2} =6], [eqn: a _{5} =48]이다. [eqn: a _{6}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{96}]

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: a_5 = a_2 times r^3]이므로 [eqn: r^3 =8]에서

[eqn: r=2]

따라서 [eqn: a_6 = a_5 times 2 =96]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 2

등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]에 대하여 [eqn: a _{2} =3], [eqn: a _{3} =6]일 때, [eqn: {a _{2}} over {a _{1}}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{2} =ar=3], [eqn: a _{3} =ar ^{2} =6]이므로 [eqn: r=2]

따라서 [eqn: {a _{2}} over {a _{1}} =r=2]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 3

첫째항이 [eqn: {1}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{3} =a _{2} +6]일 때, [eqn: a _{4}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 양수인 등비수열이므로 [eqn: a _{n} =r ^{n-1}]

[eqn: a _{3} =a _{2} +6]에서 [eqn: r ^{2} =r +6]

[eqn: r ^{2} -r-6=0], [eqn: LEFT ( r-3 RIGHT ) LEFT ( r+2 RIGHT ) =0]

[eqn: r=3][eqn: LEFT ( BECAUSE ```` r>0 RIGHT )]

따라서 [eqn: a _{4} =3 ^{3} =27]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 30]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 2

첫째항이 [eqn: {1 over8}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]인 등비수열 [eqn: left{` a_n `right}]에 대하여 [eqn: a_3 overa_2 =2]일 때, [eqn: a_5]의 값은?

[정답] ④

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]이라 하면 [eqn: {a _{3}} over {a _{2}} = r]에서 [eqn: r=2]

즉, 초항이 [eqn: 1 over 8]이고, 공비가 [eqn: 2]인 등비수열이므로 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a _{n} ={1} over {8} TIMES2 ^{n-1}]

따라서 [eqn: n=5]을 대입하면 [eqn: a_5 = 1over8 times 2^4 =2]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1 over2]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 7

모든 항이 양수이고 공비가 서로 같은 두 등비수열 [eqn: { left{` a_n `right} }{{^2020^08^경찰대^중}}], [eqn: left{` b_n `right}]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] ③

[해설]

모든 항이 양수이고 공비가 서로 같은 두 등비수열 [eqn: left{` a_n `right}], [eqn: left{` b_n `right}]에 대하여 일반항을 각각 [eqn: a_n =ar^n-1], [eqn: b_n = br^n-1]라고 하고

[eqn: a_n b_n = {(a_n+1 )^2 + 4(b_n+1 )^2 }over5]에 대입하면

[eqn: abr^{2n-2} ={a^2 r^2n +4b^2 r^2n}over5]

[eqn: div r^2n]을 하면 [eqn: ab r^-2][eqn: ={a^2 +4b^2 }over5]

[eqn: r^2][eqn: = 5ab over{a^4 +4b^2}][eqn: = 5over{a overb + 4b overa }]

그런데 [eqn: a>0,````b>0]이므로 산술-기하평균에 의해

[eqn: a overb + 4b overa }][eqn: ge { 2 root{a overb times 4b overa}}][eqn: =4]

따라서 [eqn: a overb + 4b overa }]의 최솟값이 [eqn: 4]이므로 [eqn: r^2]의 최댓값은 [eqn: 5 over 4]이다.

따라서 구하는 [eqn: r]의 최댓값은 [eqn: root5 over2]이다.

[eqn: a_n b_n = {(a_n+1 )^2 + 4(b_n+1 )^2 }over5]

를 만족시킬 때, 공비의 최댓값은?

① [eqn: {5root5 }over2]	② [eqn: 5 over2]	③ [eqn: root5 over2]

④ [eqn: root5]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 9

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: {LEFT { a_n RIGHT }}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에 대하여 [eqn: a_3 =4a_1 +3a_2]일 때, [eqn: {a _{6}} over {a _{4}}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: a _{3 } =4a _{1} +3a _{2}]이므로

[eqn: a _{1}r^2 =4a_1 +3a_1 r]

[eqn: a_1 (r^2 -3r-4)=0 ,```` a_1 (r-4)(r+1)=0]

모든 항이 양수이므로 [eqn: a_1 >0 ,```` r>0]

따라서 [eqn: r=4]이므로 [eqn: {a ^{6}} over {a ^{4}}=r^2 =16]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 19

첫째항이 [eqn: {1} over {4}]이고 공비가 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[정답] [eqn: 16]

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r (r>0)]이라 하자.

[eqn: a _{3} +a _{5} = {1} over {a _{3}} + {1} over {a _{5} }]에서

[eqn: a _{3} +a _{5} = {a _{3} +a _{5}} over {a _{3} a _{5}} ,~ a _{3} a _{5} =1]이므로

[eqn: {1} over {4} r ^{2} TIMES {1} over {4} r ^{4} =1 ,~ r ^{6} =16 ,~ r ^{3} =4]

따라서 [eqn: a _{10} = {1} over {4} r ^{9} = {1} over {4} (r ^{3} ) ^{3} =16]

[eqn: a _{3} +a _{5}][eqn: = {1} over {a _{3}} + {1} over {a _{5}}]

일 때, [eqn: a _{10}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 18

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: "{"a_n"}"]에 대하여

[정답] [eqn: 4]

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r(r>0)]이라 하면 [eqn: a_{2}=36]에서 [eqn: a r=36]

[eqn: a_{7}={1} over {3} a_{5}]에서 [eqn: a r^{6}={1} over {3} a r^{4}], [eqn: r^{2}={1} over {3}]

따라서 [eqn: a_{6}=a r^{5}=a r times left(r^{2} right)^{2}=36 times left({1} over {3} right)^{2}=4]

[eqn: a_2 = 36 ,```` a_7 = 1over3 a_5]

일 때, [eqn: a_6]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 3

등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 [eqn: a _{1} =2 ,```` a _{2} a _{4} =36]일 때, [eqn: {a _{7}} over {a _{3}}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: a _{2} a _{4} =36]에서 [eqn: a _{1} =2]이므로

[eqn: 2r times 2r^3 =36]

즉, [eqn: r^4 =9]

따라서 [eqn: {a _{7}} over {a _{3}} = {a _{1} r ^{6}} over {a _{1} r ^{2}} =r ^{4} =9]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 3 sqrt {3}]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 2

등비수열 [eqn: { left{` a_{n} `right} }{{from^2021^7월 사관학교^중}}]에 대하여

[정답] ④

[해설]

등비수열의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]이라 하면

[eqn: {a _{4} +a _{5}} over {a _{2} +a _{3}} = {ar ^{3} +ar ^{4}} over {ar+ar ^{2}} =r ^{2} =4]

[eqn: a _{9}][eqn: =a _{3} TIMES{r ^{6} }][eqn: =a _{3} TIMES{ LEFT ( r ^{2} RIGHT ) ^{3} }]
[eqn: =1TIMES4 ^{3} =64]

[eqn: a_{3}=1], [eqn: {a_{4}+a_{5}}over{a_{2}+a_{3}}=4]

일 때, [eqn: a_{9}]의 값은?

① [eqn: 8]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 64]	⑤ [eqn: 128]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 4

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: a_{2}=1], [eqn: a_{5}=2 left(a_{3} right)^{2}]일 때, [eqn: a_{6}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하자.

[eqn: a_{2}=1]이므로 [eqn: a neq 0]이고 [eqn: r neq 0]

[eqn: a_{5}=2 left(a_{3} right)^{2}]에서 [eqn: a r^{4}=2 a^{2} r^{4}]이므로 [eqn: a={1} over {2}]

[eqn: a_{2}={1} over {2} r=1]에서 [eqn: r=2]

따라서 [eqn: a_{6}={1} over {2} times 2^{5}=16]

① [eqn: rm 8]	② [eqn: rm 10]	③ [eqn: rm 12]

④ [eqn: rm 14]	⑤ [eqn: rm 16]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 4

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: a_{3}=6], [eqn: a_{6}=3 a_{4}]일 때, [eqn: a_{9}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: {a_{6}} over {a_{4}}=r^{2}=3], [eqn: a_{3}=a r^{2}=6], [eqn: a=2]

따라서 [eqn: a_{9}=a r^{8}=a left(r^{2} right)^{4}=2 times 3^{4}=162]

① [eqn: rm 153]	② [eqn: rm 156]	③ [eqn: rm 159]

④ [eqn: rm 162]	⑤ [eqn: rm 165]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 5

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] ③

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 모든 항이 양수이므로

공비를 [eqn: r(r>0)]라 하면

[eqn: a_{2}+a_{3}][eqn: =a_{1} r+a_{1} r^{2}]
[eqn: ~ ={1} over {4} r+{1} over {4} r^{2}={3} over {2}]

[eqn: r^{2}+r-6=0], [eqn: (r+3)(r-2)=0]

[eqn: r>0]이므로 [eqn: r=2]

따라서

[eqn: a_{6}+a_{7}=a_{1} r^{5}+a_{1} r^{6}]

[eqn: ~ ={1} over {4} times 2^{5}+{1} over {4} times 2^{6}]

[eqn: ~ =24]

[eqn: a_{1}={1} over {4}], [eqn: ~ a_{2}+a_{3}={3} over {2}]

일 때, [eqn: a_{6}+a_{7}]의 값은?

① [eqn: rm 16]	② [eqn: rm 20]	③ [eqn: rm 24]

④ [eqn: rm 28]	⑤ [eqn: rm 32]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 3

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여

[정답] ④

[해설]

등비수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {LEFT ( a _{3} RIGHT ) ^{2}} over {a _{1} TIMES a _{7}} =2`]에서

[eqn: {left(ar^2 right)^2}over{a times left(ar^6 right)}=2], [eqn: 1overr^2 =2]	[eqn: therefore][eqn: r^2 = 1over2]

[eqn: therefore][eqn: a_4 =a_2 r^2 =4times 1over2 =2]

[eqn: a _{2} =4], [eqn: {LEFT ( a _{3} RIGHT ) ^{2}} over {a _{1} TIMES a _{7}} =2`]

일 때, [eqn: a _{4} `]의 값은?

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2 sqrt {2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 3

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: a_{1} a_{3}= left(a_{2} right)^{2}=4], [eqn: a_{3} a_{5}= left(a_{4} right)^{2}=64]에서

[eqn: a_{2}=2], [eqn: a_{4}=8]이고 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의

공비는 [eqn: rm 2]이므로 [eqn: a_{6}=8 times 2^{2}=32]

[eqn: a_{1} a_{3}=4], [eqn: a_{3} a_{5}=64]

일 때, [eqn: a_{6}]의 값은?

① [eqn: rm 16]	② [eqn: 16 sqrt{2}]	③ [eqn: rm 32]

④ [eqn: 32 sqrt{2}]	⑤ [eqn: rm 64]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

공비가 양수인 등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]이

[정답] ①

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공비를 [eqn: r(r>0)]라 하자.

[eqn: a_{2}+a_{4}=30]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a_{4}+a_{6}={15} over {2}]에서    [eqn: r^{2} left(a_{2}+a_{4} right)={15} over {2}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: r^{2} times 30={15} over {2}],    [eqn: r^{2}={1} over {4}]

[eqn: r>0]이므로    [eqn: r={1} over {2}]

㉠에서    [eqn: a_{1} r+a_{1} r^{3}=30]

[eqn: r={1} over {2}]을 대입하면

[eqn: a_{1} times {1} over {2}+a_{1} times left({1} over {2} right)^{3}=30]

[eqn: a_{1} times {5} over {8}=30]

[eqn: therefore] [eqn: a_{1}=30 times {8} over {5}=48]

[eqn: a _{2} +a _{4} =30], [eqn: a _{4} +a _{6} = {15} over {2}]

를 만족시킬 때, [eqn: a_{1}]의 값은?

① [eqn: rm 48]	② [eqn: rm 56]	③ [eqn: rm 64]

④ [eqn: rm 72]	⑤ [eqn: rm 80]

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
04 일반항4 (등차수열과 등비수열)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 11

등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3나^}}], 등비수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{1} =b _{1} =3]이고

[정답] ①

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d], 등비수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{n} =3+ LEFT ( n-1 RIGHT ) d], [eqn: b _{n} =3r ^{n-1}]

[eqn: b _{3} =-a _{2}]를 [eqn: a _{2} +b _{2} =a _{3} +b _{3}]에 대입하면

[eqn: a _{2} +b _{2} =a _{3} -a _{2} =d]

그러므로 [eqn: 3+d+3r=d],[eqn: 3r=-3]에서

[eqn: r=-1]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: b _{3} =-a _{2}]에서 [eqn: 3r ^{2} =- LEFT ( 3+d RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

㉡에 ㉠을 대입하면 [eqn: 3times LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} =-3-d]에서 [eqn: d=-6]

따라서 [eqn: a _{3} =3+2times LEFT ( -6 RIGHT ) =-9]

[eqn: b _{3} = it -a _{2}], [eqn: a _{2} +b _{2} =a _{3} +b _{3}]

일 때, [eqn: a _{3}]의 값은?

① [eqn: -9]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 9]

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
05 중항1 (등비중항)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 3

등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 [eqn: a _{5} =2]일 때, [eqn: a _{4} TIMES a _{6}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: a _{5}]는 [eqn: a _{4}]와 [eqn: a _{6}]의 등비중항이므로

[eqn: a _{4} TIMES a _{6}][eqn: = LEFT ( a _{5} RIGHT ) ^{2}][eqn: =2 ^{2}][eqn: =4]

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 13

공비가 [eqn: {1}{{from^2020^03^경기고3가^}}]보다 큰 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ②

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하자.

조건 (가)에서 [eqn: ar ^{2} TIMES ar ^{4} TIMES ar ^{6}][eqn: =125]

[eqn: LEFT ( ar ^{4} RIGHT ) ^{3}][eqn: =5 ^{3}], 즉 [eqn: ar ^{4}][eqn: =5]

조건 (나)에서 [eqn: {ar ^{3} +ar ^{7}} over {ar ^{5}}][eqn: = {13} over {6}], [eqn: {1} over {r ^{2}} +r ^{2}][eqn: = {13} over {6}]

[eqn: r ^{2} =X]로 치환하면 [eqn: X+ {1} over {X}][eqn: = {13} over {6}]에서

[eqn: 6X ^{2} -13X+6=0], [eqn: LEFT ( 2X-3 RIGHT ) LEFT ( 3X-2 RIGHT ) =0]

[eqn: X= {3} over {2}] 또는 [eqn: X= {2} over {3}]에서 [eqn: r ^{2} = {3} over {2}] 또는 [eqn: r ^{2} = {2} over {3}]

공비가 [eqn: 1]보다 커야 하므로 [eqn: r ^{2} = {3} over {2}]

따라서 [eqn: a _{9}][eqn: =ar ^{8}][eqn: =ar ^{4} TIMES r ^{4}][eqn: =5 TIMES LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {45} over {4}]

(가) [eqn: a _{3} TIMES a _{5} TIMES a _{7} =125]

(나) [eqn: {a _{4} +a _{8}} over {a _{6}} = {13} over {6}]

[eqn: a _{9}]의 값은?

① [eqn: 10]	② [eqn: {45} over {4}]	③ [eqn: {25} over {2}]

④ [eqn: {55} over {4}]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 23

세 수 [eqn: {a} over {3} ,~4 sqrt {2} ,~6a]가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

[eqn: 4 sqrt {2}]는 [eqn: {a} over {3}]와 [eqn: 6a]의 등비중항이므로

[eqn: {a} over {3} TIMES 6a= LEFT ( 4 sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]에서 [eqn: a ^{2} =16]

따라서 양수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 4]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 4

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에 대하여 [eqn: a _{4} TIMES a _{6} =64]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

[정답] ③

[해설]

등비중항의 성질에 의하여 [eqn: a _{4} TIMES a _{6} =a _{5} ^{2} `=64]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 모든 항은 양수이므로 [eqn: a _{5} =8]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 2

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: a_{2}={1} over {2}], [eqn: a_{3}=1]일 때, [eqn: a_{5}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면 [eqn: r={a_{3}} over {a_{2}}=2]이므로 [eqn: a_{5}=a_{3} times r^{2}=4]

① [eqn: rm 2]	② [eqn: rm 4]	③ [eqn: rm 6]

④ [eqn: rm 8]	⑤ [eqn: rm 10]

03 수1	09 등비수열
01 등비수열의 일반항
06 중항2 (등차중항과 등비중항)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 21

공차가 [eqn: {d}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]이고 모든 항이 자연수인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold { 117 }]

[해설]

[eqn: a _{1}][eqn: =a]라 하면 조건 (나)에 의하여

[eqn: LEFT { a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT } ^{2}][eqn: = LEFT ( a+d RIGHT ) LEFT { a+ LEFT ( 3k-2 RIGHT ) d RIGHT }]

[eqn: d LEFT { k ^{2} -5k+3 RIGHT }][eqn: =a LEFT ( k+1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

모든 항이 자연수이므로 조건 (가)에서 [eqn: 0<a LEQ d]

[eqn: a LEFT ( k+1 RIGHT ) LEQ d LEFT ( k+1 RIGHT )], [eqn: k ^{2} -5k+3 LEQ k+1]

[eqn: k ^{2} -6k+2 LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: 3- sqrt {7} LEQ k LEQ 3+ sqrt {7}]

[eqn: k GEQ 3]이므로 자연수 [eqn: k][eqn: =3 ,```` 4 ,```` 5]

㉠에서 [eqn: k ^{2} -5k+3>0]이므로 [eqn: k=5], [eqn: d=2a]

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 10], [eqn: a _{16}][eqn: =a+15d][eqn: =31a]

이므로 [eqn: a=3], [eqn: d=6]

따라서 [eqn: a _{20}][eqn: =a+19d][eqn: =][eqn: 117]

(가) [eqn: a _{1} LEQ d]

(나) 어떤 자연수 [eqn: k][eqn: LEFT ( k GEQ 3 RIGHT )]에 대하여 세 항 [eqn: a _{2} ,```` a _{k} ,```` a _{3k-1}]이 이 순서대로 등비수열을 이룬다.

[eqn: 90 LEQ a _{16} LEQ 100]일 때, [eqn: a _{20}]의 값을 구하시오.

03 수1	09 등비수열
02 등비수열의 합
01 합1 (합 구하기)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 25

함수 [eqn: {f(x)= LEFT ( 1+x ^{4} +x ^{8} +x ^{12} RIGHT ) LEFT ( 1+x+x ^{2} +x ^{3} RIGHT ) }{{from^2020^10^서울고3나^중}}]일 때, [eqn: {f(2)} over {LEFT { f(1)-1 RIGHT } LEFT { f(1)+1 RIGHT }}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 257 }]

[해설]

(ⅰ) [eqn: x != 1]일 때

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1+x ^{4} +x ^{8} +x ^{12} RIGHT ) LEFT ( 1+x+x ^{2} +x ^{3} RIGHT )]
[eqn: = {LEFT ( x ^{4} RIGHT ) ^{4} -1} over {x ^{4} -1} TIMES {x ^{4} -1} over {x-1}][eqn: = {x ^{16} -1} over {x-1}]

(ⅱ) [eqn: x=1]일 때 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =4 TIMES 4][eqn: =16]
따라서

[eqn: {f(2)} over {LEFT { f(1)-1 RIGHT } LEFT { f(1)+1 RIGHT }}][eqn: = {2 ^{16} -1} over {LEFT ( 16-1 RIGHT ) LEFT ( 16+1 RIGHT )}]
[eqn: = {LEFT ( 2 ^{8} -1 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{8} +1 RIGHT )} over {LEFT ( 2 ^{4} -1 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{4} +1 RIGHT )}]
[eqn: =2 ^{8} +1]
[eqn: =257]

03 수1	09 등비수열
02 등비수열의 합
02 합2 (합으로 표현된 관계식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 25

등비수열 [eqn: { left{` a_n `right} }{{from^2020^06^평가원고3나^}}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[정답] [eqn: 64]

[해설]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공비를 [eqn: r]라 하자.

(i) [eqn: r=1]이면 [eqn: a_{n}=1]이므로

[eqn: S_{3}=3 times 1=3], [eqn: S_{6}=6 times 1=6]에서

[eqn: {S_{6}} over {S_{3}}=2]

[eqn: 2 a_{4}-7=2 times 1-7=-5]

따라서 [eqn: {S_{6}} over {S_{3}} neq 2 a_{4}-7]

(ii) [eqn: r neq 1]이면 [eqn: a_{n}=1 times r^{n-1}=r^{n-1}]

이때

[eqn: {S_{6}} over {S_{3}}={{r^{6}-1} over {r-1}} over {{r^{3}-1} over {r-1}}={r^{6}-1} over {r^{3}-1}={ left(r^{3}+1 right) left(r^{3}-1 right)} over {r^{3}-1}]

[eqn: ~ =r^{3}+1 ~ ~ cdots cdots]㉠

또

[eqn: 2 a_{4}-7=2 r^{3}-7 ~ cdots cdots]㉡

㉠과 ㉡이 같아야 하므로

[eqn: r^{3}+1=2 r^{3}-7]

[eqn: r^{3}=8]

[eqn: r]가 실수이므로 [eqn: r=2]

(i), [eqn: ({rm{ii}} it )]에서 [eqn: a_{n}=2^{n-1}]이므로

[eqn: a_{7}=2^{6}=64]

[eqn: a_1 =1], [eqn: S_6 overS_3 =2a_4 -7]

일 때, [eqn: a_7]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 8

첫째항이 [eqn: {a}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}] ([eqn: a>0])이고, 공비가 [eqn: r]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자.

[정답] ②

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 일반항은 [eqn: a _{n}][eqn: =ar ^{n-1}],

[eqn: 2a][eqn: =S _{2} +S _{3}]이므로 [eqn: 2a][eqn: = LEFT ( a+ar RIGHT ) + LEFT ( a+ar+ar ^{2} RIGHT )]

[eqn: ar LEFT ( 2+r RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: r ^{2}][eqn: =64a ^{2}][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]에 의하여 [eqn: r != 0]이므로 [eqn: r][eqn: = it -2], [eqn: a][eqn: = {1} over {4}]

따라서 [eqn: a _{5}][eqn: = {1} over {4} TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) ^{4}][eqn: =4]

[eqn: 2a][eqn: =S _{2} +S _{3}], [eqn: r ^{2}][eqn: =64a ^{2}]

일 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 14

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 공비를 [eqn: r]([eqn: r>0])이라 하자.

[eqn: r=1]이면

[eqn: S_6 over{S_5 -S_2 }= 3TIMES6OVER{3TIMES5 -3TIMES2 }= 2], [eqn: a_2 over2 = 3over2]에서

[eqn: S_6 OVER{S_5 -S_2 }= a_2over2]가 성립하지 않으므로 [eqn: r ne1]

[eqn: {S _{6}} over {S _{5} -S _{2}}][eqn: = { {3(r^6 -1)}overr-1 }over{ {3(r^5 -1)}overr-1 - {3(r^2 -1)}overr-1]
[eqn: = {r^6 -1}over{r^5 -r^2 }]
[eqn: = {(r ^{3} +1)(r ^{3} -1)} over {r ^{2} (r ^{3} -1)}]
[eqn: = {r^3 +1}overr^2]

[eqn: a_2 over2 = 3r over2]이므로

[eqn: {r^3 +1}overr^2 = 3r over2]에서 [eqn: 2(r^3 +1)=3r^3], [eqn: r ^{3} =2]

따라서 [eqn: a_4 = ar^3 = 3times2 = 6]

[eqn: a_1 =3], [eqn: S_6 OVER{S_5 -S_2 }= a_2 over2]

일 때, [eqn: a_4]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 18]

03 수1	09 등비수열
02 등비수열의 합
05 합5 (합의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 10

그림은 [eqn: {16}{{from^2020^03^경기고3나^}}]개의 칸 중 [eqn: 3]개의 칸에 다음 규칙을 만족시키도록 수를 써 넣은 것이다.

[정답] ②

[해설]

문제에서 제시된 세 번째 줄의 [eqn: 4]와 인접한 아래쪽 칸의 수는 주어진 규칙에 의해 [eqn: 4]의 [eqn: 2]배인 [eqn: 8]이다.

규칙으로부터 네 번째 줄의 [eqn: 8]과 인접한 왼쪽 칸의 수는 그 수를 [eqn: 2]배하여 [eqn: 8]이 되어야 하므로 [eqn: 4]이다.

이와 같은 방식으로 네 번째 줄에 있는 수를 모두 구하여 왼쪽부터 차례대로 나열하면 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 4], [eqn: 8], [eqn: 16], [eqn: 32], [eqn: 64]이다.

			[eqn: 2]	[eqn: 4]
			[eqn: 4]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 8]	[eqn: 16]	[eqn: 32]	[eqn: 64]

그러므로 네 번째 줄에 있는 모든 수의 합은 첫째항이 [eqn: 1]이고 공비가 [eqn: 2]인 등비수열의 첫째항부터 제 [eqn: 7]항까지의 합이다.

따라서 구하는 값은 [eqn: {1times LEFT ( 2 ^{7} -1 RIGHT )} over {2-1} =127]

(가) 가로로 인접한 두 칸에서 오른쪽 칸의 수는 왼쪽 칸의 수의 [eqn: 2]배이다.

(나) 세로로 인접한 두 칸에서 아래쪽 칸의 수는 위쪽 칸의 수의 [eqn: 2]배이다.

첫 번째 줄	[eqn: ``->``]
두 번째 줄	[eqn: ``->``]				[eqn: 2]	[eqn: 4]
세 번째 줄	[eqn: ``->``]				[eqn: 4]
네 번째 줄	[eqn: ``->``]

이 규칙을 만족시키도록 나머지 칸에 수를 써 넣을 때, 네 번째 줄에 있는 모든 수의 합은?

① [eqn: 119]	② [eqn: 127]	③ [eqn: 135]

④ [eqn: 143]	⑤ [eqn: 151]

03 수1	09 등비수열
02 등비수열의 합
07 수열의 합과 일반항 사이의 관계2 (응용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 27

등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^평가원가^3}}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[정답] [eqn: 9]

[해설]

[eqn: S_{n+3}-S_{n}=a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}]이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: ~ a_{n+1}+a_{n+2}+a_{n+3}=13 times 3^{n-1} ~ cdots cdots]㉠

㉠에 [eqn: n=1]을 대입하면

[eqn: ~ a_{2}+a_{3}+a_{4}=13]

등비수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: ~ a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}=13]

[eqn: ~ a_{1} r left(1+r+r^{2} right)=13][eqn: cdots cdots] ㉡

또 ㉠에 [eqn: n=2]를 대입하면

[eqn: ~ a_{3}+a_{4}+a_{5}=13 times 3=39]

[eqn: ~ a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+a_{1} r^{4}=39]

[eqn: ~ a_{1} r^{2} left(1+r+r^{2} right)=39][eqn: cdots cdots] ㉢

㉢[eqn: div]㉡에서 [eqn: {a_{1} r^{2} left(1+r+r^{2} right)} over {a_{1} r left(1+r+r^{2} right)}={39} over {13}]

즉, [eqn: r=3]

[eqn: r=3]을 ㉡에 대입하면

[eqn: a_{1} times 3 times(1+3+9)=13]에서 [eqn: a_{1}={1} over {3}]

따라서 [eqn: a_{4}=a_{1} times r^{3}={1} over {3} times 3^{3}=9]

[eqn: S _{n+3} -S _{n} =13 TIMES 3 ^{n-1}]

일 때, [eqn: a _{4}]의 값을 구하시오.

03 수1	09 등비수열
03 등비수열의 추론과 활용
06 활용4 (상용로그)

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에 대하여

[정답] ②

[해설]

[eqn: a_{1}=2a_{4}]에서 [eqn: a=2ar^{3}]이므로 [eqn: r^{3}={1}over{2}]

[eqn: a_{3}^{ log_{2}3}=27]에서 [eqn: a_{3}=8]이므로 [eqn: a_3 = a r^2]에서 [eqn: a left( 1over 2 right)^{2 over 3 }=2^3]이므로

[eqn: THEREFORE ```` a=2^{{11}over{3}]

따라서 [eqn: a=2^{{11}over{3}], [eqn: a_{2}=2^{{10}over{3}}], [eqn: a_{3}=2^{{9}over{3}}], [eqn: cdots]

주어진 집합의 조건에 의해서

[eqn: log_{4}a_{n}-log_{2}{{1}over{a_{n}}][eqn: =log_{4}a_{n}+log_{4}a_{n}^{ 2}]
[eqn: =log_{4}a_{n}^{ 3}]
[eqn: ={3}over{2} ` log_{2}a_{n}]

따라서 [eqn: log_{4}a_{n}-log_{2}{{1}over{a_{n}}]가 자연수가 되려면 [eqn: a_{n}=2^{{짝수}over{3}}]이어야 한다.

즉, [eqn: a_{2}=2^{{10}over{3}}], [eqn: a_{4}=2^{{8}over{3}}], [eqn: cdots], [eqn: a_{10}=2^{{2}over{3}}]이므로 원소의 개수는 [eqn: 5]개이다.

[eqn: a _{1}][eqn: =2a _{4}], [eqn: a _{3} ^{log _{2} 3}][eqn: =27]

일 때, 집합 [eqn: LEFT { n left |`` pile{it#it} ` log _{4} ` a _{n} -log _{2} {1} over {a _{n}}]은 자연수[eqn: pile{it#it} RIGHT }]의 모든 원소의 개수는?

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[수학1] [9등비수열] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{96}]

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: 16]

[정답] [eqn: 4]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 4]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 117 }]

[정답] [eqn: bold { 257 }]

[정답] [eqn: 64]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ②

[정답] [eqn: 9]

[정답] ②

[수학1] [9등비수열] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.27