		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	08	[수학1] [8등차수열] 교사평경 최근 3개년

03 수1	08 등차수열
01 등차수열의 일반항
02 일반항1 (관계식)

교사평경3		년도별경향
08		[수학1] [8등차수열] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [8등차수열] 교사평경 최근 3개년		08

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 23

등차수열[eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 [eqn: a _{1} =6], [eqn: a _{3} +a _{6} =a _{11}]일 때, [eqn: a _{4}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[해설]

[eqn: a _{1} =6]이고 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} +a _{6}][eqn: = LEFT ( 6+2d RIGHT ) + LEFT ( 6+5d RIGHT )][eqn: =12+7d]

[eqn: a _{11} =6+10d]

[eqn: a _{3} +a _{6} =a _{11}]이므로 [eqn: 12+7d=6+10d]에서 [eqn: d=2]

따라서 [eqn: a _{4}][eqn: =6+3 TIMES 2][eqn: =12]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 24

첫째항이[eqn: {6}{{from^2020^04^서울고3나^}}]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: 2a _{4} =a _{10}]일 때, [eqn: a _{9}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 22 }]

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: 2a _{4} =a _{10}]이므로

[eqn: 2 LEFT ( 6+3d RIGHT ) =6+9d], [eqn: d=2]

[eqn: a _{9}][eqn: =6+8 TIMES 2][eqn: =22]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 7

공차가[eqn: {-3}{{from^2020^평가원나^3}}]인 등차수열 [eqn: left{` a_n right]에 대하여

[정답] ③

[해설]

공차가 [eqn: {-3}{{from^2020^평가원나^3}}]인 등차수열 [eqn: left{` a_n right]의 초항을 [eqn: a_1]이라 하면

[eqn: a _{3} a _{7}][eqn: = (a_1 + (3-1)cdot(-3) ) times (a_1 + (7-1)cdot (-3))]
[eqn: = (a_1 -6)(a_1 -18)]

즉, [eqn: (a_1 -6)(a_1 -18)][eqn: =64]이므로 [eqn: a_1 `^2 -24a_1 +108 =64]

[eqn: (a _1 -2 )(a_1 -22 )=0]

그런데, [eqn: a_8 >0]이고, 공차가 [eqn: -3]이므로 [eqn: a_1 = 22] ([eqn: because][eqn: a_1 !=2 )]

[eqn: therefore][eqn: a_2 =a_1 +(-3) = 19]

[eqn: a_3 a_7 =64 ,```` a_8 >0]

일 때, [eqn: a_2]의 값은?

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 25

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{5} =3a _{1}]에서 [eqn: a _{1} +4d=3a _{1} ,````][eqn: a _{1} =2d]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: a _{1} `^{ 2} +a _{3} `^{ 2} =20]에서 [eqn: a _{1} ^{ 2} +(a _{1} +2d) ^{2} =20]	[eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: ㉠ ,```` ㉡]에서 [eqn: 5a _{1}` ^{ 2} =20]

[eqn: a _{1} `^{ 2} =4]에서 [eqn: a _{1} >0]이므로 [eqn: a _{1} =2]

따라서 [eqn: a _{5} =a _{1} +4d=3a _{1} =6]

[eqn: a _{5}][eqn: =3a _{1}], [eqn: a _{1} ^{2} +a _{3} ^{2}][eqn: =20]

일 때, [eqn: a _{5}]의 값을 구하시오.

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 4

등차수열[eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3나^}}]에 대하여

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} =a+d], [eqn: a _{3} =a+2d]

이를 주어진 등식에 대입하면

[eqn: LEFT ( a+d RIGHT ) + LEFT ( a+2d RIGHT ) =2 LEFT ( a+12 RIGHT )], [eqn: 3d=24]

따라서 [eqn: d=8]

[eqn: a _{2} +a _{3}][eqn: =2 LEFT ( a _{1} +12 RIGHT )]

일 때, 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차는?

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 2

공차가 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: a _{5} -a _{2}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: a _{5} -a _{2} =3times2=6]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 2

공차가 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: left{a_{`n} right}`]에 대하여 [eqn: a_{`4} =100`]일 때, [eqn: a_{`1}`]의 값은?

[정답] ①

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{`n} RIGHT } `]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{`n}][eqn: =a+ ( n-1 ) d`]

그러므로 [eqn: a _{`4}][eqn: =a_{`1}+ ( 4-1 ) TIMES 3][eqn: =a_{`1}+9]

즉, [eqn: a_{`1}+9][eqn: =100]

따라서 [eqn: a_{`1}][eqn: =91]

① [eqn: 91]	② [eqn: 93]	③ [eqn: 95]

④ [eqn: 97]	⑤ [eqn: 99]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 3

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{2} =a _{1} +d=6]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉠

[eqn: a _{4} +a _{6} =36]에서

[eqn: LEFT ( a _{1} +3d RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +5d RIGHT ) =36]

[eqn: 2a _{1} +8d=36]

[eqn: a _{1} +4d=18]	[eqn: cdots][eqn: cdots]㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: a _{1} =2,~d=4]

따라서

[eqn: a _{10} =2+9times4=38]

[eqn: a _{2} =6,~a _{4} +a _{6} =36]

일 때, [eqn: a _{10}]의 값은?

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 7

등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]에 대하여

[정답] ①

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} +a _{6}][eqn: = LEFT ( a+2d RIGHT ) + LEFT ( a+5d RIGHT )][eqn: =2a+7d][eqn: =25]

[eqn: a _{8} =a+7d=23]이므로 [eqn: a=2], [eqn: d=3]

따라서 [eqn: a _{4}][eqn: =a+3d][eqn: =2+3 TIMES 3][eqn: =11]

[eqn: a _{3} +a _{6} `=25], [eqn: a _{8} =23]

일 때, [eqn: a _{4}]의 값은?

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 16

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여 [eqn: a_{3}=7], [eqn: a_{2}+a_{5}=16]일 때,

[정답] [eqn: 21]

[해설]

[eqn: a_3 + a_4 = a_2 + a_5]이므로 [eqn: a_4 = 16-7 = 9]

따라서 공차는 [eqn: d = a_4 - a_3 = 2]

[eqn: THEREFORE][eqn: a _{10} =a _{3} +7d=7+14=21]

[eqn: a_{10}]의 값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 3

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_{4}=6]에서

[eqn: a _{1} +3d=6]	[eqn: cdots cdots] ㉠

[eqn: 2 a_{7}=a_{19}]에서

[eqn: 2 left(a_{1}+6 d right)=a_{1}+18 d], [eqn: a _{1} -6d=0]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 [eqn: a_{1}=4]

[eqn: a_{4}=6], [eqn: ~ 2 a_{7}=a_{19}]

일 때, [eqn: a_{1}]의 값은?

① [eqn: rm 1]	② [eqn: rm 2]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: rm 4]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 5

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]에 대하여

[정답] ③

[해설]

등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_{5}=a_{1}+4 d]이다. [eqn: a_{1}=2 a_{5}]이므로 [eqn: a_{1}=2 left(a_{1}+4 d right)],

즉 [eqn: a_{1}+8 d=0]

등차중항에 의하여 [eqn: a_{8}+a_{12}=2 a_{10}=-6]이므로

[eqn: a_{10}=-3], 즉 [eqn: a+9 d=-3]

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: d=-3], [eqn: a=24]이다.

따라서 [eqn: a_{2}=24-3=21]이다.

[eqn: a_{1}=2 a_{5}], [eqn: ~ a_{8}+a_{12}=-6]

일 때, [eqn: a_{2}]의 값은?

① [eqn: rm 17]	② [eqn: rm 19]	③ [eqn: rm 21]

④ [eqn: rm 23]	⑤ [eqn: rm 25]

03 수1	08 등차수열
01 등차수열의 일반항
06 중항1 (등차중항)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 23

네 수 [eqn: {x}{{from^2020^09^인천교고2^중}}], [eqn: 7], [eqn: y], [eqn: 13]이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때 [eqn: x+2y]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold{24}]

[해설]

[eqn: 2y=7+13], [eqn: y=10]

공차가 [eqn: 3]이므로 [eqn: x=7-3=4]

따라서 [eqn: x+2y=4+20=24]

03 수1	08 등차수열
01 등차수열의 일반항
07 중항2 (등차중항을 이용한 간단한 계산)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 2

등차수열[eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3가^}}]에 대하여 [eqn: a _{2} =5], [eqn: a _{5} =11]일 때, [eqn: a _{8}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: a _{2}][eqn: =a+d][eqn: =5], [eqn: a _{5}][eqn: =a+4d][eqn: =11]

에서 [eqn: a=3 ,```` d=2]

따라서 [eqn: a _{8}][eqn: =a+7d][eqn: =3+7 TIMES 2][eqn: =17]

① [eqn: 17]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 21]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 3

등차수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT } }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]에 대하여 [eqn: a _{3} =2], [eqn: a _{7} =62]일 때, [eqn: a _{5}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{5}]는 [eqn: a _{3}]과 [eqn: a _{7}]의 등차중항이므로 [eqn: a _{5}][eqn: = {a _{3} +a _{7}} over {2}][eqn: =32]

① [eqn: 30]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 38]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 3

등차수열[eqn: { left{` a_n `right} }{{from^2020^06^평가원고3나^}}]에 대하여 [eqn: a_1 + a_3 =20]일 때, [eqn: a_2]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

수열 [eqn: left{` a_n `right}]이 등차수열이므로 일반항 [eqn: a_n]은

[eqn: a _{n} =a _{1} +(n-1)d]

[eqn: a _{3} =a _{1} +2d]이므로 [eqn: a _{1} +a _{3} =2a _{1} +2d]

즉, [eqn: 2a_1 +2d =20]	[eqn: therefore][eqn: a_1 +d =10]

따라서 [eqn: a _{2} =][eqn: a _{1} +d=10]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 5

등차수열 [eqn: { left{` a_n `right} }{{from^2020^10^서울고3나^중}}]에 대하여

[정답] ④

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3}][eqn: =a _{1} +2d], [eqn: a _{4}][eqn: =a _{2} +2d], [eqn: a _{5}][eqn: =a _{3} +2d]이므로

[eqn: a _{3} +a _{4} +a _{5}][eqn: =a _{1} +a _{2} +a _{3} +6d]

즉, [eqn: 6d][eqn: = LEFT ( a _{3} +a _{4} +a _{5} RIGHT ) - LEFT ( a _{1} +a _{2} +a _{3} RIGHT )][eqn: =39-15][eqn: =24]

따라서 [eqn: d=4]

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 = 15], [eqn: a_3 + a_4 + a_5 = 39]

일 때, 수열 [eqn: left{` a_n `right}]의 공차는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

03 수1	08 등차수열
02 등차수열의 합
02 합2 (합으로 표현된 관계식)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 26

공차가[eqn: {2}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]인 등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자. [eqn: S_k = -16], [eqn: S_k+2 = -12]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_2k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[해설]

등차수열의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S _{n} = {n LEFT { 2a+(n-1)d RIGHT }} over {2}]이므로 첫째항이 [eqn: a]이고 공차가 [eqn: d=2]를 대입하면

[eqn: S _{n} =n LEFT ( a+n-1 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: S_k = -16], [eqn: S_k+2 = -12]를 만족하므로 ㉠에 [eqn: n= k,````k+2]를 각각 대입하면

[eqn: k LEFT ( a+k-1 RIGHT ) =-16]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

[eqn: LEFT ( k+2 RIGHT ) LEFT ( a+k+1 RIGHT ) =-12]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

㉢[eqn: -]㉡에서 [eqn: 2a+4k=2] 즉, [eqn: a=1-2k]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉣

㉣을 ㉡에 대입하면 [eqn: -k ^{2} =-16], [eqn: k ^{2} =16]

[eqn: therefore][eqn: k=4][eqn: LEFT ( BECAUSE```` k>0 RIGHT )]

㉣에 대입하면 [eqn: a=-7]

따라서 일반항 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이 [eqn: a _{n} =a+ LEFT ( n-1 RIGHT ) cdot2 = 2n+a-2]이고, [eqn: a=-7,][eqn: k=4]이므로

[eqn: a _{2k} =a _{8}][eqn: =-7+7 TIMES 2][eqn: =7]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 18

공차가 [eqn: rm 2]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. [eqn: S_{k}=-16], [eqn: S_{k+2}=-12]를 만족시키는 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: a_{2 k}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: S_{k}=-16], [eqn: S_{k+2}=-12]

에서

[eqn: S_{k+2}-S_{k}=a_{k+1}+a_{k+2}=4]

이고, 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차가 [eqn: rm 2]이므로

[eqn: a_{1}+2 k+a_{1}+2(k+1)=4]

[eqn: a_{1}+2 k+1=2]

[eqn: a_{1}=1-2 k][eqn: cdotscdots]㉠

이때 [eqn: S_{k}=-16]에서

[eqn: {k left{ 2 a_{1}+2(k-1) it right} } over {2}=-16]

[eqn: k left(a_{1}+k-1 right)=-16]

여기에 ㉠을 대입하면

[eqn: -k^{2}=-16]

[eqn: k]는 자연수이므로

[eqn: k=4] 이고,

[eqn: a_{1}=1-2 k=-7]

따라서

[eqn: a_{2 k}][eqn: =a_{8}]
[eqn: =-7+7 times 2]
[eqn: =7]

① [eqn: rm 6]	② [eqn: rm 7]	③ [eqn: rm 8]

④ [eqn: rm 9]	⑤ [eqn: rm 10]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 7

첫째항이 [eqn: 2]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: a _{6} =2 LEFT ( S _{3} -S _{2} RIGHT )]일 때, [eqn: S _{10}]의 값은?

[정답] ②

[해설]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d], 초항 [eqn: a_1 =2]이므로

[eqn: a_n = 2 + (n-1)d]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건에서 [eqn: a _{6}][eqn: =2 LEFT ( S _{3} -S _{2} RIGHT )][eqn: =2a _{3}]이므로

[eqn: 2+5d=2 LEFT ( 2+2d RIGHT )] ([eqn: because] ㉠)

즉, [eqn: 2+5d=4+4d]이므로 [eqn: d=2]

등차수열의 합 [eqn: S_n = { n( 2a+(n-1)d) } over 2]에서

[eqn: S_n = { n(4+(n-1)cdot2 )} over 2]이므로 [eqn: S_n = n(n+1)]

[eqn: therefore][eqn: S _{10}][eqn: = 10 times 11=110]

① [eqn: 100]	② [eqn: 110]	③ [eqn: 120]

④ [eqn: 130]	⑤ [eqn: 140]

03 수1	08 등차수열
02 등차수열의 합
03 합3 (합에 대한 성질)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 17

등차수열[eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3나^}}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: a _{3} =42]일 때, 다음 조건을 만족시키는 [eqn: 4]이상의 자연수 [eqn: k]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: a _{k-3}], [eqn: a _{k-2}], [eqn: a _{k-1}]은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: a_{k-2}]는 [eqn: a_{k-3}]과 [eqn: a_{k-1}]의 등차중항이다.

즉, [eqn: a _{k-2}][eqn: = {a _{k-3} +a _{k-1}} over {2}][eqn: = -24 over 2][eqn: =it-12]

[eqn: S _{k}][eqn: = {k left( a _{1} +a _{k} right)} over {2}][eqn: = {k left( a _{3} +a _{k-2} right)} over {2}]
[eqn: = {k left{` 42+ left( -12 right) `right} } over {2}][eqn: =15k]

따라서 [eqn: k ^{2} =15k]이고 [eqn: k!=0]이므로 [eqn: k=15]

[다른 풀이[eqn: 1]]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a ,````]공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=42]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉠

[eqn: a _{k-2}][eqn: = {a _{k-3} +a _{k-1}} over {2}]

[eqn: a+ left( k-3 right) d=it-12]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

[eqn: S _{k} = {k left{` 2a+left(k-1right)d `right} } over {2} =k ^{ 2}]이고, [eqn: k!=0]이므로

[eqn: 2a+ left( k-1 right) d=2k]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉢에서 ㉠을 빼면 [eqn: a+ left( k-3 right) d=2k-42]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

㉡, ㉣에서 [eqn: 2k-42=it-12]이므로 [eqn: k=15]

[다른 풀이[eqn: 2]]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a ,````] 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} =a+2d=42], [eqn: a=42-2d]	…… ㉠

[eqn: a _{k-3} +a _{k-1}][eqn: =a+ LEFT ( k-4 RIGHT ) d+a+ LEFT ( k-2 RIGHT ) d][eqn: = it-24]이므로

[eqn: a+ LEFT ( k-3 RIGHT ) d][eqn: =it-12]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

[eqn: 42-2d+kd-3d=it-12]

[eqn: kd-5d=-54]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

[eqn: S _{k} = {k LEFT { 2a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d RIGHT }} over {2} =k ^{ 2}]이고, [eqn: k!=0]이므로

[eqn: 2a+ LEFT ( k-1 RIGHT ) d=2k]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉣

㉠을 ㉣에 대입하면

[eqn: 84-4d+kd-d=2k], [eqn: kd-5d=2k-84]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉤

㉢, ㉤에서 [eqn: 2k-84=it-54]이므로 [eqn: k=15]

(가) [eqn: a _{k-3} +a _{k-1} = it -24]

(나) [eqn: S _{k} =k ^{2}]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 21

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 35]

[해설]

등차수열의 성질에 의해

[eqn: a_1 +a_n =a_2 +a_n-1 =`cdots]

를 만족하고, 조건 (나)에서 [eqn: a_l +a_m =1]을 만족하는 [eqn: l], [eqn: m]의 순서쌍 [eqn: left(l,``m right)]의 개수가 [eqn: 6]이므로

[eqn: a_1 +a_n =a_2 +a_n-1 =`cdots`=a_6 +a_n-5]

에서 [eqn: n-5=7] 또는 [eqn: n-5=8]

[eqn: n-5=7]일 때는 조건 (가)와 모순이므로 [eqn: n-5=8]이다.

[eqn: therefore][eqn: a_1 +a_13 =a_6 +a_8 =1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

조건 (가)에서 [eqn: a_6 +a_7 =it- 1over2]	[eqn: cdotscdots] ㉡

수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

㉠[eqn: -]㉡에서 [eqn: d= 3over2]

[eqn: therefore][eqn: 2S][eqn: =2times{{14}left(a_1 +a_14 right)}over2]
[eqn: =14 left(a_1 +a_13 +d right)]
[eqn: =14left(1+ 3over2 right)]
[eqn: =35]

(가) [eqn: a _{6} +a _{7} =- {1} over {2}]

(나) [eqn: a _{l} +a _{m} =1`]이 되도록 하는 두 자연수 [eqn: l], [eqn: m][eqn: LEFT ( l<m RIGHT )]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( l,``m RIGHT )`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 14`]항까지의 합을 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 2S``]의 값을 구하시오.

03 수1	08 등차수열
02 등차수열의 합
05 합5 (등차수열의 부분합)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 15

첫째항이 양수이고 공차가 [eqn: rm 2]인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: S_{k+10}=S_{k}+ left(a_{k+1}+a_{k+2}+ cdots+a_{k+10} right)]

수열 [eqn: ~ left{ a_{n} it right}]의 공차가 [eqn: rm 2]이므로

[eqn: 640=S_{k}+ left{ left(a_{k}+2 right)+ left(a_{k}+4 right)+ cdots+ left(a_{k}+20 right) it right}]

[eqn: ~ =S_{k}+ left{ 10 times 31+{10 times(2+20)} over {2} it right}]

[eqn: S_{k}=640-(310+110)]

따라서 [eqn: S _{k}=220]

[다른풀이]

수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a]라 하면
[eqn: a_{k}=a+(k-1) times 2=31]

[eqn: S_{k+10}={(k+10) left{2 a+(k+9) times 2 right}} over {2}=640]

위 두 식을 연립하면 [eqn: k^2`-{32 k}+220=0]

[eqn: (k-10)(k-22)=0], [eqn: k=10] 또는 [eqn: k=22]

[eqn: k=10]일 때, [eqn: a=13]

[eqn: k=22]일 때, [eqn: a=-11]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: k=10], [eqn: a=13]

따라서 [eqn: S_{k}=S_{10}={10(2 times 13+9 times 2)} over {2}=220]

[eqn: a_{k}=31], [eqn: S_{k+10}=640]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: S_{k}]의 값은?

① [eqn: rm 200]	② [eqn: rm 205]	③ [eqn: rm 210]

④ [eqn: rm 215]	⑤ [eqn: rm 220]

03 수1	08 등차수열
02 등차수열의 합
08 수열의 합과 일반항 사이의 관계1 (기본)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 5

수열[eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^03^경기고3가^}}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: S _{n} =2n ^{2} -3n]이다. [eqn: a _{n} >100]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 최솟값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: a _{1}][eqn: =S _{1}][eqn: = it -1]

[eqn: n GEQ 2]일 때

[eqn: a _{n}][eqn: =S _{n} -S _{n-1}]
[eqn: = LEFT ( 2n ^{2} -3n RIGHT ) - LEFT { 2 LEFT ( n-1 RIGHT ) ^{2} -3 LEFT ( n-1 RIGHT ) RIGHT }]
[eqn: =4n-5]

그러므로 [eqn: a _{n}][eqn: =4n-5] ([eqn: n GEQ 1])

[eqn: a _{n} >100]에서 [eqn: 4n-5>100]

[eqn: n> {105} over {4}][eqn: =26. CDOTS]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 27]이다.

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 29]

④ [eqn: 31]	⑤ [eqn: 33]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 5

수열 [eqn: {LEFT { a _{n} RIGHT }}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하자. [eqn: S _{n}][eqn: =n ^{3} +n]일 때, [eqn: a _{4}]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: a _{4}][eqn: =S _{4} -S _{3}]
[eqn: =(4 ^{3} +4)-(3 ^{3} +3)]
[eqn: =68-30]
[eqn: =38]

① [eqn: 32]	② [eqn: 34]	③ [eqn: 36]

④ [eqn: 38]	⑤ [eqn: 40]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 4

공차가 [eqn: d]인 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이 [eqn: n ^{2} -5n]일 때, [eqn: a _{1} +d]의 값은?

[정답] ②

[해설]

등차수열 □[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S _{n}]이라 하면 [eqn: S _{1} =1 ^{2} -5 TIMES 1=-4,`][eqn: S _{2} =2 ^{2} -5 TIMES 2=-6]

그러므로 [eqn: a _{2} =S _{2} -S _{1} =-6- LEFT ( -4 RIGHT ) =-2]

따라서 [eqn: a _{1} +d=a _{2} =-2]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

03 수1	08 등차수열
03 등차수열의 추론과 함수적 해석
01 추론1 (등차수열의 결합과 합성)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 16

두 실수 [eqn: a {{from^2020^08^사관학교고3가나^중복}}], [eqn: b]와 수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ③

[해설]

(가)에서 등차수열의 합을 이용하면

[eqn: a+log _{ 2} c _{1} + CDOTS +log _{ 2} c _{m}+b ={(a+b)(m+2)} over2]

[eqn: log _{ 2} c _{1} + CDOTS +log _{ 2} c _{m}+1 ={(m+2)} over2] ([eqn: because][eqn: a+b=1])

[eqn: log _{ 2} c _{1} + CDOTS +log _{ 2} c _{m} ={m} over2]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(나)에서 [eqn: c _{1} TIMES CDOTS times c_m =32]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉡에서 [eqn: log _{ 2} (c _{1} TIMES CDOTS times c_m )][eqn: =log _{2} 32 =5]

㉠에서 [eqn: log _{ 2} (c _{1} TIMES CDOTS times c_m )][eqn: = m over 2]

[eqn: THEREFORE][eqn: m over 2 =5]	[eqn: therefore][eqn: m=10]

(가) [eqn: (m+2)]개의 수
[eqn: a], [eqn: log _{2} c _{1}], [eqn: log _{2} c _{2}], [eqn: log _{2} c _{3}], [eqn: CDOTS], [eqn: log _{2} c _{m}], [eqn: b]
가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 수열 [eqn: LEFT { c_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: m]항까지의 항을 모두 곱한 것은 [eqn: 32]이다.

[eqn: a+b=1]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 26

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 수열 [eqn: left{ c_{n} it right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 10]

[해설]

등차수열의 합에서

[eqn: log _{2} c_{1}+ cdots+ log _{2} c_{m}=m times {a+b} over {2}={m} over {2}]

[eqn: log _{2} left(c_{1} times cdots times c_{m} right)= log _{2} 32=5={m} over {2}]

[eqn: therefore~m=10]

(가) [eqn: (m+2)]개의 수
[eqn: a], [eqn: log _{2} c_{1}], [eqn: log _{2} c_{2}], [eqn: log _{2} c_{3}], [eqn: cdots], [eqn: log _{2} c_{m}], [eqn: b]가 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

(나) 수열 [eqn: left{ c_{n} it right}]의 첫째항부터 제[eqn: m]항까지의 항을 모두 곱한 값은 [eqn: rm 32]이다.

[eqn: a+b=1]일 때, 자연수 [eqn: m]의 값을 구하시오.

03 수1	08 등차수열
03 등차수열의 추론과 함수적 해석
02 추론2 (함수적 해석)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 15

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자. 두 자연수 [eqn: p], [eqn: q]에 대하여 [eqn: S_{n}=p n^{2}-36 n+q]일 때, [eqn: S_{n}]이 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: p]의 최솟값을 [eqn: p_{1}]이라 하자.

[정답] ①

[해설]

[eqn: S_{n}]이 주어진 조건을 만족시키면 [eqn: i neq j]인 임의의 두 자연수

[eqn: i], [eqn: j]에 대하여

[eqn: S_{i}-S_{j} neq 0]이므로

[eqn: S_{i}-S_{j}][eqn: = left(p i^{2}-36 i+q right)- left(p j^{2}-36 j+q right)]
[eqn: =(i-j)(p i+p j-36) neq 0]

따라서 [eqn: i+j neq {36} over {p}]

[eqn: p leq 4]이면 [eqn: i+j={36} over {p}]인 서로 다른 두 자연수

[eqn: i], [eqn: j]가 존재한다.

[eqn: p=5]이면 [eqn: i+j={36} over {p}]인 서로 다른 두 자연수

[eqn: i], [eqn: j]가 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: p]의 최솟값은 [eqn: rm 5], 즉 [eqn: p_{1}=5]이다.

[eqn: p=5]일 때 [eqn: S_{n}=5 n^{2}-36 n+q]이므로

[eqn: a_{1}=S_{1}=q-31]

[eqn: n geq 2]일 때, [eqn: a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=10 n-41]

이때

[eqn: a_{2}=-21], [eqn: a_{3}=-11], [eqn: a_{4}=-1], [eqn: a_{5}=9], [eqn: a_{6}=19][eqn: a_{7}=29], [eqn: cdots]

[eqn: left|a_{k} right|<a_{1}]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 3]이므로

[eqn: k]의 값은 [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]이다.

[eqn: 11<a_{1} leq 19], [eqn: 11<q-31 leq 19]

[eqn: 42<q leq 50]

이다. 따라서 모든 [eqn: q]의 값의 합은

[eqn: 43+44+ cdots+50={8 times(43+50)} over {2}=372]

임의의 두 자연수 [eqn: i], [eqn: j]에 대하여 [eqn: i neq j]이면 [eqn: S_{i} neq S_{j}]이다.

[eqn: p=p_{1}]일 때, [eqn: left|a_{k} right|<a_{1}]을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수가 [eqn: rm 3]이 되도록 하는 모든 [eqn: q]의 값의 합은?

① [eqn: rm 372]	② [eqn: rm 377]	③ [eqn: rm 382]

④ [eqn: rm 387]	⑤ [eqn: rm 392]

03 수1	08 등차수열
03 등차수열의 추론과 함수적 해석
03 추론3 (추론과 해석)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 13

첫째항이 양수인 등차수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항부터

[정답] ①

[해설]

수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 공차를 [eqn: d]라 하자. [eqn: d geq 0]이면 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항이 양수이므로 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_{n}>0]이 되어 조건을 만족시키지 않는다. 따라서 [eqn: d<0]이어야 한다.

( i ) [eqn: S_{3}=S_{6}]인 경우

[eqn: {3 left(2 a_{1}+2 d right)} over {2}={6 left(2 a_{1}+5 d right)} over {2}]에서

[eqn: a_{1}=-4 d]이므로

[eqn: S_{3}=S_{6}=-9 d>0],

[eqn: S_{11}={11 left(2 a_{1}+10 d right)} over {2}=11 d<0]

즉, [eqn: S_{3}=-S_{11}-3]에서

[eqn: -9 d=-11 d-3], [eqn: d=-{3} over {2}]

[eqn: a_{1}=-4 d=6]

(ii) [eqn: S_{3}=-S_{6}]인 경우

[eqn: {3 left(2 a_{1}+2 d right)} over {2}=-{6 left(2 a_{1}+5 d right)} over {2}]에서

[eqn: a_{1}=-2 d]이므로

[eqn: S_{3}=-S_{6}=-3 d>0]

[eqn: S_{11}={11 left(2 a_{1}+10 d right)} over {2}=33 d<0]

즉, [eqn: S_{3}=-S_{11}-3]에서

[eqn: -3 d=-33 d-3], [eqn: d=-{1} over {10}]

[eqn: a_{1}=-2 d={1} over {5}]

(i), (ii)에서 조건을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의

첫째항의 합은 [eqn: 6+{1} over {5}={31} over {5}]이다.

제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_{n}]이라 하자.

[eqn: left|S_{3} right|= left|S_{6} right|= left|S_{11} right|-3]

을 만족시키는 모든 수열 [eqn: left{ a_{n} it right}]의 첫째항의 합은?

① [eqn: {31} over {5}]	② [eqn: {33} over {5}]	③ [eqn: rm 7]

④ [eqn: {37} over {5}]	⑤ [eqn: {39} over {5}]

[수학1] [8등차수열] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] [eqn: bold { 12 }]

[정답] [eqn: bold { 22 }]

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 21]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold{24}]

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 7 }]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 35]

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ③

[정답] [eqn: 10]

[정답] ①

[정답] ①

[수학1] [8등차수열] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.27