		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	07	[수학1] [7삼각함수의 활용] 교사평경 최근 3개년

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
01 사인법칙1 (기본)

교사평경3		년도별경향
07		[수학1] [7삼각함수의 활용] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [7삼각함수의 활용] 교사평경 최근 3개년		07

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 9

[eqn: {rm {bar{AB}} =8}{{from^2020^평가원나^3}}]이고[eqn: rm ANGLE A=45ﾟ], [eqn: rm ANGLE B=15ﾟ]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 선분 [eqn: rm BC]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 [eqn: angle {rm{A}} it =45 DEG], [eqn: angle {rm{B}} it =15 DEG]이므로

[eqn: angle {rm{C}} it =180 DEG -45 DEG -15 DEG =120 DEG]

이때 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{AB}} it }} over { sin ( angle {rm{C}} it )}={ overline{{rm{BC}} it }} over { sin ( angle {rm{A}} it )}]

이므로

[eqn: {8} over { sin 120 DEG }={ overline{{rm{BC}} it }} over { sin 45 DEG }]

따라서

[eqn: overline{{rm{BC}} it }={8} over { sin 120 DEG } times sin 45 DEG ={8} over {{ sqrt{3}} over {2}} times { sqrt{2}} over {2}={8 sqrt{6}} over {3}]

① [eqn: 2 sqrt {6}]	② [eqn: {7SQRT6} OVER 3]	③ [eqn: {8SQRT6} OVER 3]

④ [eqn: 3 sqrt {6}]	⑤ [eqn: {10 sqrt {6}} over {3}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 13

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {4}{{from^2020^04^서울고3나^}}]인 원에 내접하고 변 [eqn: rmAC]의 길이가 [eqn: 5]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: ANGLE rm ABC= theta]라 할 때, [eqn: sin theta]의 값은? (단, [eqn: 0< theta <pi])

[정답] ④

[해설]

사인법칙에 의해 [eqn: {5} over {sin theta }][eqn: =2 TIMES 4], [eqn: sin theta][eqn: = {5} over {8}]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {3} over {8}]	③ [eqn: {1} over {2}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {3} over {4}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 23

반지름의 길이가 [eqn: {15}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: sin rm B= 7over10]일 때, 선분 [eqn: rm AC]의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[해설]

반지름의 길이 [eqn: R=][eqn: 15]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: sin rm B= 7over10]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: {rm {bar{AC}}} over {sin rm B} =2 TIMES R]에 대입하면

[eqn: {rm {bar{AC}} }=2 TIMES 15 TIMES 7 over 10][eqn: =21]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 5

반지름의 길이가 [eqn: 15]인 원에 내접하는 삼각형 [eqn: rm{ABC}]에서 [eqn: sin`B `= 7 over 10]일 때, 선분 [eqn: rm{AC}]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: rm{ABC}]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 15]이므로

사인법칙에 의하여

[eqn: bar \AC over { sin ` B`} = 2 times 15]

따라서

[eqn: bar \AC`][eqn: = 2 times 15 times sin `B]
[eqn: = 2 times 15 times 7 over 10]
[eqn: =21]

① [eqn: 15]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 27]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 2

삼각형 [eqn: {rmABC}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에서 선분 [eqn: rmBC]의 길이가 [eqn: 3]이고

[정답] ②

[해설]

[eqn: 4cos^2 rm A -5 sin rm A +2=0]에서 [eqn: -4sin^2 rm A -5sin rm A +6=0]

[eqn: THEREFORE][eqn: sin rmA= 3over4] 또는 [eqn: - 1over2]

선분 [eqn: rmBC]의 길이가 [eqn: 3]에서 [eqn: bar{rmBC} = 2 timesR times 3 over4 =3] ([eqn: because][eqn: sin rmA>0])

[eqn: THEREFORE][eqn: R=2]

[eqn: 4 cos ^{2} rm A-5sin rm A+2][eqn: =0]

일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이는?

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: 2]	③ [eqn: {5} over {2}]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: {7} over {2}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
03 코사인법칙1 (기본)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 9

[eqn: overline{{rm{AB}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=6]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. [eqn: angle {rm{ABC}} it = theta]에 대하여 [eqn: sin theta={2 sqrt{14}} over {9}]일 때, 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 길이는? (단, [eqn: 0< theta<{ pi} over {2}])

[정답] ④

[해설]

[eqn: sin theta={2 sqrt{14}} over {9}]이므로

[eqn: cos ^{2} theta=1- left({2 sqrt{14}} over {9} right)^{2}=1-{56} over {81}={25} over {81}]

[eqn: 0< theta<{ pi} over {2}]에서 [eqn: cos theta={5} over {9}]

코사인법칙에 의하여

[eqn: overline{{rm{AC}} it }^{2}=3^{2}+6^{2}-2 times 3 times 6 times {5} over {9}=25]

따라서 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 길이는 [eqn: rm 5]

① [eqn: rm 4]	② [eqn: {13} over {3}]	③ [eqn: {14} over {3}]

④ [eqn: rm 5]	⑤ [eqn: {16} over {3}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
04 코사인법칙2 (코사인법칙의 변형)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 10

삼각형[eqn: {rmABC}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]에서 [eqn: {2} over {sin rm A it} = {3} over {sin rm B} = {4} over {sin rm C}]일 때, [eqn: cos rm C]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: bar { rmBC}=a ,```` bar {rm CA}=b ,```` bar{rm AB}=c]라 하면

사인법칙에 의하여 [eqn: {a} over {sin RM A it} = {b} over {sin RM B} = {c} over {sin RM C}]이므로

[eqn: a ``:`` b ``:`` c=2 ``:`` 3 ``:`` 4]

[eqn: a=2k ,```` b=3k ,```` c=4k][eqn: (k>0)]이라 하면 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos RM C][eqn: = {4k ^{2 } +9k ^{2 } -16k ^{2}} over {12k ^{2}}][eqn: =it- {1} over {4}]

① [eqn: - {1} over {2}]	② [eqn: - {1} over {4}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 14

삼각형 [eqn: {rmABC}{{from^2021^7^경찰대^중}}]에서 [eqn: ANGLE rm A][eqn: = {2pi} over {3}]이고 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =6]이다. [eqn: {bar{rm AC}}]와 [eqn: {bar{rm BC}}]의 합이 [eqn: 24]일 때, [eqn: {rm cos B]의 값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm ANGLEA = { 2pi} over { 3}], [eqn: rm bar { AB}=6], [eqn: rm bar { AC} + bar { BC}=24]이므로 [eqn: rm bar { AC}=it x]라 하면

[eqn: rm bar { BC}=it 24-x]

코사인법칙에 의해서

[eqn: LEFT ( 24-x RIGHT )^2 = 6^2 +x^2 - 2 CDOT 6 CDOT x CDOT cos { 2pi} over { 3}]

즉, [eqn: x^2 -48x +576 = x^2 +6x+36]이므로 [eqn: 54x = 540]

[eqn: THEREFORE ```` x=10]

[eqn: rm bar { AB}=6], [eqn: rm bar { AC}=10], [eqn: rm bar { BC}=14]이므로 코사인법칙에 의해

[eqn: cos rm B = it{ 6^2 +14^2 - 10^2} over { 2 CDOT 6 CDOT14} = { 11} over { 14}]

① [eqn: {19} over {28}]	② [eqn: {5} over {7}]	③ [eqn: {21} over {28}]

④ [eqn: {11} over {14}]	⑤ [eqn: {23} over {28}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
01 사인법칙과 코사인법칙
05 사인법칙과 코사인법칙의 동시 적용

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 10

[eqn: {ANGLE rm A}{{from^2020^11^대수능고3가^중}}][eqn: = {pi} over {3}]이고 [eqn: rm {bar{AB}} ``:`` {bar{AC}}][eqn: =3``:``1]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

[정답] ②

[해설]

원의 반지름이 [eqn: 7]이고, 위의 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm bar BC} over {sin pi over 3} = 2 times 7]

[eqn: THEREFORE][eqn: rm bar BC = 7 root 3]

[eqn: rm bar AB ``:`` bar AC = 3``:``1]이므로 [eqn: rmbar AB = it 3x], [eqn: rm bar AC = it x]라 하면 삼각형 [eqn: rmABC]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: left(7root 3 right)`^2 = (3x)`^2 + x`^2 - 2 times 3x times x times cos pi over 3]

[eqn: 7x`^2 = 147], [eqn: x`^2 = 21]

[eqn: THEREFORE][eqn: x = root 21][eqn: (because][eqn: x>0])

따라서 선분 [eqn: rmAC]의 길이는 [eqn: bar{rm AC} = root21]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 7]일 때, 선분 [eqn: rmAC]의 길이는?

① [eqn: 2 sqrt {5}]	② [eqn: sqrt {21}]	③ [eqn: sqrt {22}]

④ [eqn: sqrt {23}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {6}]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 28

[eqn: angle \A = pi over 3]이고 [eqn: bar \AB `:` bar AC =3`:` 1]인 삼각형 [eqn: rm{ABC}]가 있다. 삼각형 [eqn: rm{ABC}]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 7]일 때, 선분 [eqn: rm{AC}]의 길이를 [eqn: k]라 하자. [eqn: k^2]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 21]

[해설]

삼각형 [eqn: rm{ABC}]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 7]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: bar \BC over { sin ` pi over 3 } = 2 times 7 ,~ bar \BC = sin ` pi over 3 times 2 times 7 = 7 root 3]	[eqn: cdots cdots] ㉠

한편, [eqn: bar \AB `:` bar AC =3`:` 1]이므로

[eqn: bar {\AC} =k`` (k> 0 )]에서 [eqn: bar {\AB} =3k]이다.

삼각형 [eqn: rm{ABC}]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar {rmBC}}^2`][eqn: = {bar {rmAB}}^2 + {bar {rmAC}}^2 - 2rm times bar AB times bar AC times cos pi over 3]
[eqn: =9k^2 +k^2 -2 times 3k times k times 1 over 2]
[eqn: =7k^2]

따라서 [eqn: bar \BC = it root 7 k]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠과 ㉡에서

[eqn: 7 root 3 = root 7 k]

[eqn: k= root 21]

이므로 [eqn: k^2 =21]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 20

[eqn: {bar{rm AB it}} ``:`` {bar{rm BC it}} ``:`` {bar{rm CA it}}][eqn: =1``:``2``:`` sqrt {2}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이가 [eqn: 28pi]일 때, 선분 [eqn: rmCA]의 길이를 구하시오.

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: rm {bar{AB}} ``:`` {bar{BC}} ``:`` {bar{CA}} =1``:``2``:`` sqrt {2}]에서

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 세 변 [eqn: rm { AB ,~ BC,~ CA }]의 길이를

각각 [eqn: k ,~ 2k,~ sqrt {2} k (k>0)]이라 하자.

삼각형 [eqn: rm { ABC }]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: 2k ^{2}][eqn: =k ^{2} +4k ^{2} -4k ^{2} cos( ANGLE rmABC)]

[eqn: 4k ^{2} cos( ANGLE rmABC)=it3k ^{2}]

[eqn: rm { cos ( ANGLE ABC)= {3} over {4} }]이므로

[eqn: rm { sin ( ANGLE ABC)= sqrt {1- {9} over {16}} = {sqrt {7}} over {4} }]

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 넓이가 [eqn: 28 pi]이므로

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: 2 sqrt {7}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm { ABC }]에서 사인법칙에 의해

[eqn: rm { {{bar{CA}}} over {{sqrt {7}} over {4}} =4 sqrt {7} }]이므로 선분 [eqn: rm { CA }]의 길이는 [eqn: 7]이다.

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 14

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it]이고 반지름의 길이가 [eqn: rm 6]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. [eqn: overline{{rm{AB}} it }=8 sqrt{2}]이고 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위의 한 점 [eqn: {rm{P}} it]에 대하여 [eqn: angle {rm{BPA}} it >90 DEG], [eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{BP}} it }=3: 1]일 때, 선분 [eqn: {rm{BP}} it]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{APB}} it]의 외접원의 반지름의 길이 [eqn: R]는 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]의 반지름의 길이와 같으므로 [eqn: R=6]

[eqn: angle {rm{BPA}} it = theta left( theta>{ pi} over {2} right)]라 할 때,

삼각형 [eqn: {rm{APB}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: sin theta={8 sqrt{2}} over {2 times 6}={2 sqrt{2}} over {3}]

[eqn: cos ^{2} theta=1- left({2 sqrt{2}} over {3} right)^{2}={1} over {9}]

[eqn: theta>{ pi} over {2}]일 때, [eqn: cos theta<0]이므로 [eqn: cos theta=-{1} over {3}]

[eqn: overline{{rm{BP}} it }=k]라 하면, [eqn: overline{{rm{AP}} it }: overline{{rm{BP}} it }=3: 1]이므로 [eqn: overline{{rm{AP}} it }=3 k]

삼각형 [eqn: rm APB]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: (3 k)^{2}+k^{2}-2 times 3 k times k times left(-{1} over {3} right)=(8 sqrt{2})^{2}]

[eqn: 9 k^{2}+k^{2}+2 k^{2}=128], [eqn: k^{2}={32} over {3}]

따라서 선분 [eqn: {rm{BP}} it]의 길이는 [eqn: {4 sqrt{6}} over {3}]

① [eqn: {2 sqrt{6}} over {3}]	② [eqn: {5 sqrt{6}} over {6}]	③ [eqn: sqrt{6}]

④ [eqn: {7 sqrt{6}} over {6}]	⑤ [eqn: {4 sqrt{6}} over {3}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
02 활용2 (사인법칙의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 19

그림과 같이 [eqn: { rm bar AB = barAC}{{from^2020^08^사관학교고3나^중}}]인 이등변삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAC]를 [eqn: 5`:`3]으로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 하자. [eqn: 2 sin ( rm angleABD ) = 5 sin ( angle rm DBC )]일 때, [eqn: {sin rm C} over {sin rmA]의 값은?

[정답] ③

[해설]

삼각형 [eqn: rm BDC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: sin rm C = { rmbarBD times sin( angle rm DBC)} over{rmbarDC }]

마찬가지로 삼각형 [eqn: rm ABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: sin rm A = { rmbarBD times sin( angle rm ABD)} over{rmbarAD]

조건에서 [eqn: rmbarAD `:` barDC = 5`:`3]이고

[eqn: 2 sin ( rm angleABD ) = 5 sin ( angle rm DBC )]

즉, [eqn: sin( rm angle ABD) `:` sin (angle rm DBC) = 5`:`2]이므로

[eqn: therefore][eqn: {sin rm C} over { sin rm A}][eqn: = { rmbarBD times sin( angle rm DBC)} over{rmbarDC }][eqn: times{rmbarAD }over { rmbarBD times sin( angle rm ABD)}]
[eqn: = { rmbarAD times sin( angle rm DBC)} over{rmbarDC times sin( angle rm ABD)} }]
[eqn: = 5 over3 times 2 over5 = 2 over3]

① [eqn: 3 over5]	② [eqn: 7 over11]	③ [eqn: 2 over3]

④ [eqn: 9 over13]	⑤ [eqn: 5 over7]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 17

그림과 같이 [eqn: {rm ANGLE ABC= {pi } over {2} }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]인 삼각형 [eqn: rm ABC]에 내접하고 반지름의 길이가 [eqn: 3]인 원의 중심을 [eqn: rmO]라 하자. 직선 [eqn: rmAO]가 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, [eqn: rm {bar{DB}} =4]이다. 삼각형 [eqn: rmADC]의 외접원의 넓이는?

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하는 원이 세 선분 [eqn: rmCA], [eqn: rmAB], [eqn: rmBC]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmP ,```` Q ,```` R]라 하자.

[eqn: rm {bar{OQ}}][eqn: =rm {bar{OR}}][eqn: =3]이므로 [eqn: rm { {bar{DR}} }][eqn: rm { = {bar{DB}} - {bar{RB}} }][eqn: =1]

[eqn: rm { {bar{DO}} }][eqn: = sqrt {3 ^{2} +1 ^{2}}][eqn: = sqrt {10}]이므로

[eqn: sin LEFT ( ANGLE rm DOR RIGHT )][eqn: = {1} over {sqrt {10}}][eqn: = {sqrt {10}} over {10}]

삼각형 [eqn: rmDOR]와 삼각형 [eqn: rmOAQ]는 닮음비가 [eqn: 1 ``:`` 3]이므로

[eqn: rm {bar{AQ}}][eqn: =3 TIMES rm {bar{OR}}][eqn: =9]

이때 점 [eqn: rmO]가 삼각형 [eqn: rmABC]의 내심이므로

[eqn: rm { {bar{PA}} }][eqn: rm { = {bar{AQ}} }][eqn: =9], [eqn: ANGLE rm CAD][eqn: = ANGLE rm DAB]

[eqn: rm { {bar{AB}} ``:`` {bar{AC}} }][eqn: rm { = {bar{BD}} ``:`` {bar{DC}} }], [eqn: 12 ``:`` LEFT ( 9+ {bar{rmCP}} RIGHT )][eqn: =4 ``:`` LEFT ( {bar{rmCR}} -1 RIGHT )]

[eqn: 9+ {bar{rmCP}}][eqn: =3 LEFT ( {bar{rmCR}} -1 RIGHT )]

이때 [eqn: {bar{rmCP}}][eqn: = {bar{rmCR}}]이므로 [eqn: {bar{rmCR}}][eqn: =6], 즉 [eqn: {bar{rmCD}}][eqn: =5]

직선 [eqn: rmOR]와 직선 [eqn: rmAB]가 평행하므로

[eqn: ANGLE rm DAB][eqn: = ANGLE rm DOR]

즉 [eqn: ANGLE rm CAD][eqn: = ANGLE rm DOR]

삼각형 [eqn: rmADC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: 2R][eqn: = {{bar{rmCD}}} over {sin LEFT ( ANGLE rm CAD RIGHT )}][eqn: =5 sqrt {10}]

[eqn: R][eqn: = {5 sqrt {10}} over {2}]이므로 삼각형 [eqn: rmADC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {125} over {2} pi]이다.

① [eqn: {125} over {2} pi]	② [eqn: 63 pi]	③ [eqn: {127} over {2} pi]

④ [eqn: 64pi]	⑤ [eqn: {129} over {2} pi]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 29

그림과 같이 [eqn: {1}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]보다 큰 두 실수 [eqn: a], [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=-x+t]가 두 곡선 [eqn: y=a^{x}], [eqn: y=log_{a} x]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하자. 점 [eqn: rmA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, 세 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmH]는 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: bold{50}]

[해설]

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: (p ,```` q)][eqn: (q>p)]라 하면

[eqn: q=a^{p}], [eqn: p+q=t]	[eqn: cdotsCDOTS] ㉠

함수 [eqn: y=log_{a} x]는 함수 [eqn: y=a^{x}]의 역함수이므로

점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: (q ,```` p)]

[eqn: bar{rmAB}=root{2(q-p)}^{2}}=root{2}(q-p)]

조건 (가)에 의하여

[eqn: 2bar{rmOH}=bar{rmAB}], [eqn: 2p=root{2}(q-p)],

[eqn: q=(1+root{2})p]	[eqn: cdotsCDOTS] ㉡

원점 [eqn: rmO]에서 직선 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmO ']이라 하면 조건 (가)에 의하여 [eqn: bar{rmOH}=bar{rmBO '}]이고

[eqn: bar{rmOA}=bar{rmOB}], [eqn: angle{rmOHA}=angle{rmBO 'O}={pi}over{2}]이므로

[eqn: triangle{rmAOH}==triangle{rmOBO '}]	[eqn: cdotsCDOTS] ㉢

[eqn: angle{rmAOB}=theta]라 하면

[eqn: angle{rmAOH}][eqn: =angle{rmO 'OH}+angle{rmAOO '}]
[eqn: ={pi}over{4}+{theta}over{2}]

[eqn: angle{rmOBO '}][eqn: ={pi}over{2}-angle{rmBOO '}]
[eqn: ={pi}over{2}-{theta}over{2}]

㉢에 의하여 [eqn: angle{rmAOH}=angle{rmOBO '}]이므로

[eqn: {pi}over{4}+{theta}over{2}={pi}over{2}-{theta} over{2}], [eqn: theta={pi}over{4}]

사인법칙에 의하여

[eqn: bar{rmAB}][eqn: =2times{root{2}}over{2}times sin{pi}over{4}][eqn: =1][eqn: =2p]

[eqn: p={1}over{2}]

㉡에 의하여 [eqn: q={1}over{2}+{root{2}}over{2}]

㉠에 의하여 [eqn: t=1+{root{2}}over{2}], [eqn: a=left({1}over{2}+root{2}over{2} right)^{2}={3}over{4}+{root{2}}over{2}]

따라서 [eqn: 200(t-a)=50]

(가) [eqn: bar{rmOH} ``:`` bar{rmAB}=1 ``:`` 2]

(나) 삼각형 [eqn: rmAOB]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {root{2}}over{2}]이다.

[eqn: 200(t-a)]의 값을 구하시오. (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 21

[eqn: {angle rmBAC=theta}{{from^2021^7월 사관학교^중}}][eqn: left({2}over{3}pi leq theta <{3}over{4} right)]인 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 중심을 [eqn: rmO], 세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmO], [eqn: rmC]를 지나는 원의 중심을 [eqn: rmO ']이라 하자. 다음은 점 [eqn: rmO ']이 선분 [eqn: rmAB]위에 있을 때, [eqn: {bar{rmBC}}over{bar{rmAC}}]의 값을 [eqn: theta]에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

[정답] [eqn: bold27]

[해설]

[eqn: rm□BACQ]는 원 위에 내접하는 사각형이므로

[eqn: rm ANGLE BQC= pi - theta]

[eqn: rm ANGLE BQC]는 [eqn: rm {arch{``BC``}}]의 원주각이고 [eqn: rm ANGLE BOC]는 [eqn: rm {arch{``BC``}}]의 중심각이므로

[eqn: rm ANGLE BOC=2 pi -2 theta]

[eqn: rm TRIANGLE BOM == TRIANGLE COM]이므로 [eqn: rm ANGLE O` prime OB= pi - theta]이고 [eqn: rm ANGLEBO primeO=2 theta- pi]이다.

(ⅰ)

[eqn: rm TRIANGLE O` prime BO]는 이등변삼각형이므로
[eqn: rm ANGLE O` prime BO= ANGLE O` prime OB= pi - theta]
점 [eqn: rmO` prime]에서 [eqn: rm {bar{BO}}]에 수선을 긋고, 수선의 발을 [eqn: rmH]라고 하면
[eqn: rm △O` prime OH]에서
[eqn: cos LEFT ( pi - theta RIGHT ) = {{R} over {2}} over {r}], [eqn: -cos theta = {{ R it} over {2}} over {r}], [eqn: {R} over {2} = it -r`cos theta]
[eqn: THEREFORE][eqn: R=it-2cos theta r]
따라서 (가)는 [eqn: -2cos theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

(ⅱ)

[eqn: rm△BO` prime M]에서
[eqn: rm ANGLE O` prime BM+ ANGLE BMO` prime + ANGLE MO` prime B= pi]
[eqn: rm ANGLE O` prime BM+ {pi } over {2} +2 theta - pi = pi]
[eqn: rm ANGLE O` prime BM= {3} over {2} pi -2 theta]
[eqn: rm △O` prime BM]에서
[eqn: sin LEFT ( {3} over {2} pi -2 theta RIGHT ) =it-cos2 theta]
따라서 (나)는 [eqn: -cos2 theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡

(ⅲ) [eqn: rm △ABC]에서 사인법칙에 의하여
[eqn: {rm {bar{BC}}} over {sin theta } = {rm {bar{AC}}} over {sin LEFT ( ANGLE rmO` prime BM RIGHT )}], [eqn: {rm {bar{BC}}} over {rm {bar{AC}}} = {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]
따라서 (다)는 [eqn: {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]	[eqn: cdotscdots] ㉢

즉, ㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =it-2cos theta], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) = it -cos2 theta], [eqn: h LEFT ( theta RIGHT ) = {sin theta } over {1-2cos ^{`2} theta }]

그런데, [eqn: cos alpha =it- {3} over {5}], [eqn: cos beta =it- {sqrt {10}} over {5}]이므로

[eqn: f(alpha)+g(beta)+ left{` h left({2}over{3}piright) `right} ^{2}]

[eqn: = {6} over {5} +1-2 TIMES {2} over {5} +3]
[eqn: = {22} over {5}]

따라서 [eqn: {q} over {p} = {22} over {5}]에서 [eqn: p=5,````q=22]이므로

[eqn: p+q=2+5=27]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmBC}}over{sin theta}=2R]

세 점 [eqn: rmB], [eqn: rmO], [eqn: rmC]를 지나는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하자.

선분 [eqn: rmO 'O]는 선분 [eqn: rmBC]를 수직이등분하므로 이 두 선분의 교점을 [eqn: rmM]이라 하면

[eqn: bar{rmO 'M}=r-bar{rmOM}=r- ``|`` R cos theta ``|``]

직각삼각형 [eqn: rmO 'BM]에서 [eqn: R=box{ ```` (가) ```` }times r]이므로

[eqn: sin( angle rmO 'BM)=box{ ```` (나) ```` }]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmBC}}over{bar{rmAC}}=box{ ```` (다) ```` }]

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(theta)], [eqn: g(theta)], [eqn: h(theta)]라 하자. [eqn: cos alpha=-{3}over{5}], [eqn: cos beta=-{root{10}}over{5}]인 [eqn: alpha], [eqn: beta]에 대하여 [eqn: f(alpha)+g(beta)+ left{` h left({2}over{3}piright) `right} ^{2}={q}over{p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
03 활용3 (코사인법칙의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 27

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {2}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]이고 중심각의 크기가 [eqn: {3}over{2}pi]인 부채꼴 [eqn: rmOBA]가 있다. 호 [eqn: rmBA] 위에 점 [eqn: rmP]를 [eqn: angle{rmBAP}={pi}over{6}]가 되도록 잡고, 점 [eqn: rmB]에서 선분 [eqn: rmAP]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 할 때, [eqn: {bar{rmOH}}^{2}]의 값은 [eqn: m+n root{3}]이다. [eqn: m^{2}+n^{2}]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: m], [eqn: n]은 유리수이다.)

[정답] [eqn: bold{20}]

[해설]

점 [eqn: rmO]에서 선분 [eqn: rmAB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM]이라 하면 삼각형 [eqn: rmOAB]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: bar{rmAM}=bar{rmBM}]

삼각형 [eqn: rmOAM]에서 [eqn: bar{rmOA}=2], [eqn: angle{rmOAM}={pi}over{4}]이므로

[eqn: bar{rmAM}=bar{rmOM}=bar{rmBM}=root{2}]

삼각형 [eqn: rmABH]에서 [eqn: angle{rmBAH}={pi}over{6}]이므로 [eqn: bar{rmBH}=root{2}]

삼각형 [eqn: rmBHM]에서 [eqn: bar{rmBM}=bar{rmBH}=root{2}], [eqn: angle{rmABH}={pi}over{3}]이므로

삼각형 [eqn: rmBHM]은 정삼각형

따라서 [eqn: bar{rmHM}=root{2}], [eqn: angle{rmBMH}={pi}over{3}]

삼각형 [eqn: rmOMH}]에서 [eqn: angle{rmOMH}={pi}over{6}], [eqn: bar{rmOM}=bar{rmHM}=root{2}]이므로

코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmOH}}^{2}][eqn: =left(root{2}}right)^{2}+left(root{2}right)^{2}-2timesroot{2}timesroot{2}timescos {pi}over{6}]
[eqn: =4-2root{3}]

[eqn: m=4], [eqn: n=-2]

따라서 [eqn: m^{2}+n^{2}=20]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 25

[eqn: {{bar{rm AB}} =6}{{from^2020^평가원나^3}}],[eqn: {bar{rm AC}} =10]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmAC] 위에 점 [eqn: rmD]를 [eqn: {bar{rm AB}} = {bar{rm AD}}]가 되도록 잡는다. [eqn: {bar{rm BD}} = sqrt {15}]일 때, 선분 [eqn: rmBC]의 길이를 [eqn: k]라 하자. [eqn: k ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[해설]

[eqn: bar{rm AC it}} =10], [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{AD}}=6]이므로 [eqn: bar{rm DC it}} =4]이다.

[eqn: rm {bar{BC}} = it k], [eqn: ANGLE \ABD= theta]라 하면 [eqn: ANGLE rm BDC= pi-theta]이고 다음 그림과 같다.

삼각형 [eqn: rm ABD]에서 코사인법칙을 쓰면

[eqn: 6^2 = 6^2 + {sqrt15} ^2 - 2 cdot 6 cdot sqrt15 cdot cos theta]

[eqn: 36=51-12 sqrt {15} `cos theta]	[eqn: cdots cdots] ㉠

삼각형 [eqn: rm BCD]에서 코사인법칙을 쓰면

[eqn: k ^{2} =4 ^{2} + sqrt {15 ^{2}} -2 CDOT 4 CDOT sqrt {15} CDOT cos( pi-theta)]

[eqn: k ^{2} =31+8 sqrt {15}` cos theta]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면 [eqn: 3 k^2 + 72= 93+102]

[eqn: therefore][eqn: k^ 2 = 41]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 12

[eqn: bar \AB =6,~ bar AC = 10]인 삼각형 [eqn: rm{ABC}]가 있다. 선분 [eqn: rm{AC}] 위에 점 [eqn: rm{D}]를 [eqn: bar \AB = bar AD]가 되도록 잡는다. [eqn: bar \BD = root 15]일 때, 선분 [eqn: rm{BC}]의 길이는?

[정답] ⑤

[해설]

삼각형 [eqn: rm{ABD}]에서 코사인법칙에 대하여

[eqn: cos ` A = { 6^2 + 6^2 - ( root 15 )^2 } over {2 times 6 times 6 } = 57 over 72 = 19 over 24]

이므로 삼각형 [eqn: rm{ABC}]에서 코사인법칙에 대하여

[eqn: {BAR \BC }^2][eqn: = RM {BAR AB} ^2 + {BARCA} ^2 - 2 TIMES BAR AB TIMES BAR CA TIMES cos `A]
[eqn: = 6^2 + 10 ^2 - 2 times 6 times 10 times 19 over 24]
[eqn: = 36+ 100 - 95]
[eqn: = 41]

따라서 [eqn: bar \BC = root 41]

① [eqn: root 37]	② [eqn: root 38]	③ [eqn: root 39]

④ [eqn: 2 root 10]	⑤ [eqn: root 41]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 15

그림과 같이 평면 위에 한 변의 길이가 [eqn: {3 }{{from^2020^인천교육청고3나^중}}]인 정사각형 [eqn: rm ABCD]와 한 변의 길이가 [eqn: 4]인 정사각형 [eqn: rm CEFG]가 있다. [eqn: ANGLE rm DCG= theta][eqn: LEFT ( 0< theta < pi RIGHT )]라 할 때, [eqn: sin theta = {sqrt {11}} over {6}]이다. [eqn: {bar{rm DG it}} TIMES rm {bar{BE}}]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: rm ANGLE DCG][eqn: = theta] ([eqn: 0< theta < pi]), [eqn: rm ANGLE BCE][eqn: = pi - theta]

[eqn: sin theta = {sqrt {11}} over {6}]이므로 [eqn: cos ^{2} theta =1-sin ^{2} theta][eqn: = {25} over {36}]

코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{DG}} ^{2}][eqn: =3 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 4 TIMES cos theta]
[eqn: =25-24cos theta]

[eqn: rm {bar{BE}} ^{2}][eqn: =3 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 4 TIMES cos ( pi - theta )]
[eqn: =25-24cos ( pi - theta )]
[eqn: =25+24cos theta]

따라서

[eqn: rm {bar{DG}} TIMES {bar{BE}}][eqn: = sqrt {25 ^{2} -24 ^{2} TIMES cos ^{2} theta }]
[eqn: = sqrt {25 ^{2} -24 ^{2} TIMES {25} over {36}}]
[eqn: =5 sqrt {25-16}]
[eqn: =15]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 21

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =6], [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =8]인 예각삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: ANGLE rm A]의 이등분선과 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원이 만나는 점을 [eqn: rmD], 점 [eqn: rmD]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE]라 하자. 선분 [eqn: rmAE]의 길이를 [eqn: k]라 할 때, [eqn: 12k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 84]

[해설]

호 [eqn: rmBD]와 호 [eqn: rmDC]에 대한 원주각의 크기가 같으므로 [eqn: rmANGLE CBD= ANGLE CAD= ANGLE DAB= ANGLE DBC]이다. 즉, [eqn: rm{bar{BD}} `=` {bar{DC}}]

[eqn: rm {bar{BD}} `=` {bar{DC}} =ita`,` {bar{rmAD}} =itb,` ANGLE CAD= theta]라 하면 [eqn: rmANGLE DAB= theta]이고 [eqn: rm {bar{BD}} ^{2} `=` {bar{DC}} ^{2}]이므로 삼각형 [eqn: rmDAB]와 삼각형 [eqn: rm CAD]에 각각 코사인법칙을 적용하면

[eqn: 6 ^{2} +b ^{2} -2 TIMES 6 TIMES b TIMES cos theta =b ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES b TIMES 8 TIMES cos theta ,]

[eqn: 4b`cos theta =28]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ADE]에서 [eqn: k=b`cos theta =7]

따라서 [eqn: 12k=84]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 15

그림과 같이 [eqn: rmbar{AB} =5], [eqn: rmbar{BC}=4], [eqn: cos `left( rmangleABC right) ` = 1 over 8]인 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. [eqn: rmangleABC`]의 이등분선과 [eqn: rmangleCAB`]의 이등분선이 만나는 점을 [eqn: rmD], 선분 [eqn: rmBD`]의 연장선과 삼각형 [eqn: rmABC`]의 외접원이 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: angle rm ABC][eqn: =theta`]라 하자.

ㄱ. 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 코사인법칙을 이용하면
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BC}} TIMES cos `theta]
이므로 [eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: =5 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 5 TIMES 4 TIMES {1} over {8}][eqn: =36`]
그러므로 [eqn: rmbar{AC}][eqn: =6] (참)

ㄴ. 호 [eqn: rm EA`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
[eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE ABE]
호 [eqn: rm CE`]에 대한 원주각의 크기는 서로 같으므로
[eqn: rmangleEAC][eqn: =rmangleEBC]
한편, [eqn: rm ANGLE ABE][eqn: = rm ANGLE EBC`]이므로 [eqn: rm ANGLE ACE][eqn: = rm ANGLE EAC]
그러므로 삼각형 [eqn: rm EAC`]는 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]인 이등변삼각형이다. (참)

ㄷ. 삼각형 [eqn: rm ABD`]에서 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE DAB+ ANGLE ABD]
한편, [eqn: anglerm DAB][eqn: rm =angleCAD], [eqn: rm ANGLE ABD][eqn: = rm ANGLE EBC`]

그러므로 [eqn: rm ANGLE ADE][eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EBC]
[eqn: = rm ANGLE CAD+ ANGLE EAC]
[eqn: = rm ANGLE EAD]

즉, 삼각형 [eqn: rmEAD`]는 [eqn: rmbar{EA}][eqn: = rm {bar{ED}} `]인 이등변삼각형이다. 삼각형 [eqn: rmEAC`]에서 코사인법칙을 이용하면
[eqn: rm {bar{AC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{EA}} ^{2} + rm {bar{EC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} TIMES rm {bar{EC}} TIMES `cos `LEFT ( rm pi - thetaRIGHT ) `]이고
ㄴ에서 [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: = rm {bar{EC}} `]이므로
[eqn: 36][eqn: =2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{EA}} ^{2} TIMES LEFT ( - {1} over {8} RIGHT )], [eqn: rm {bar{EA}}][eqn: =4]
그러므로 [eqn: rmbar{EA}][eqn: = rm {bar{ED}} `]에서 [eqn: rm {bar{ED}}][eqn: =4] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm {bar{AC}} =6] ㄴ. [eqn: rm barEA =rm barEC] ㄷ. [eqn: rm {bar{ED}}= {31} over {8}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 12

그림과 같이 [eqn: rm bar AB = 4], [eqn: rm bar AC =5`]이고 [eqn: {rm cos } it LEFT ( angle rm BAC RIGHT ) = 1 over 8`]인 삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 선분 [eqn: rm AC] 위의 점 [eqn: rm D`]와 선분 [eqn: rm BC] 위의 점 [eqn: rm E`]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm triangle ABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} - 2 times barAB times bar CA times cos left( angle rmBAC right)]
[eqn: = 4^2 + 5^2 - 2 times 4 times 5 times 1 over 8]
[eqn: = 1]

[eqn: therefore][eqn: rm bar BC = 6]

[eqn: triangle rm ABD]는 이등변삼각형이므로 [eqn: rm barBD = 4]

[eqn: triangle rm ABD]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: rm{ bar DB}^2][eqn: = rm {bar AB}^2 + {barAD}^2 - 2 times bar AB times bar AD times cos left( angle rmBAC)]

[eqn: 4^2 = 4^2 + rm {bar AD}^2 - 2 times 4 times {barAD}times 1 over8]

따라서 [eqn: rm barAD = 1], [eqn: rm bar CD = 4]

위의 그림에서 [eqn: triangle rm BCD]는 이등변 삼각형이므로 점 [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면 [eqn: rm bar BH = 3]

따라서 피타고라스 정리에 의해 [eqn: rm bar BH = root7]

[eqn: cos left( angle rm BAC right)= cos left( angle rm DEH right) = 1 over 8]이므로

[eqn: sin left( angle rm DEH right)][eqn: = root{ 1- cos^2 ( {rm angle DEH)]
[eqn: =root{ 1- 1over 64]
[eqn: = {3root7 } over 8]

그런데, [eqn: sin left( angle rm DEH right)][eqn: = {rm bar DH} over { rm bar DE} = root7 over { rm bar DE}]이므로 [eqn: root7 over { rm bar DE}][eqn: = {3root7 } over 8]

[eqn: therefore][eqn: bar{ rm DE }= 8 over 3]

[eqn: rm angle BAC = angle BDA = angle BED`]

일 때, 선분 [eqn: rm DE`]의 길이는?

① [eqn: 7 over 3]	② [eqn: 5 over 2]	③ [eqn: 8 over 3]

④ [eqn: 17 over 6]	⑤ [eqn: 3]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 15

두 점 [eqn: rmO _{1} ,~O _{2}]를 각각 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}}]인 두 원 [eqn: C _{1} ,~C _{2} `]가 있다. 그림과 같이 원 [eqn: C _{1}] 위의 서로 다른 세 점 [eqn: rmA,~B,~C]와 원 [eqn: C _{2}] 위의 점 [eqn: rmD]가 주어져 있고, 세 점 [eqn: rmA,~O _{1} ,~O _{2}]와 세 점 [eqn: rmC,~O _{2} ,~D]가 각각 한 직선 위에 있다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: ANGLERMCO_2 O_1 +ANGLERMO_1 O_2 D =pi]이므로 [eqn: theta_3 = pi over2 + theta_2 over2]이고
[eqn: theta _3 = theta_1 +theta _2]에서 [eqn: 2theta_1 +theta_2 =pi]이므로 [eqn: anglermCO_1 B= theta_1]이다.

이때, [eqn: anglermO_2 O_1 B =theta_1 +theta_2 = theta_3]이므로

삼각형 [eqn: rmO_1 O_2 B]와 삼각형 [eqn: RMO_2 O_1 D]는 합동이다.

[eqn: BAR{RMAB}=ITk]라 할 때,

[eqn: {bar{rm BO _{2}}} = {bar{rm O _{1} D}} =2 sqrt {2} itk]이므로

[eqn: {bar{rm AO _{2}}} =it sqrt {k ^{2} +(2 sqrt {2} k) ^{2}} = {BOX{~3k~}}]이고,

[eqn: anglermBO_2 A= theta_1 over2]이므로

[eqn: cos` {theta _{1}} over {2} = {2 sqrt {2} k} over {3k} = {BOX{~ {2 sqrt {2}} over {3} ~}}]이다.

삼각형 [eqn: rmO_2 BC]에서

[eqn: BAR{RMBC}=ITk], [eqn: {bar{rm BO _{2} it}} =2 sqrt {2}k], [eqn: anglerm CO_ 2 B = theta_1 over2]이므로 삼각형 [eqn: rmBO_2 C]에서

[eqn: {bar{rm O _{2} C}} =itx] ([eqn: 0<x< 3k])라 하면

코사인법칙에 의하여

[eqn: k ^{2} =x ^{2} +(2 sqrt {2} k) ^{2} -2 TIMES x TIMES 2 sqrt {2} k TIMES cos` {theta _{1}} over {2}]

[eqn: k^2 = x^2 +(2root2 k)^2 -2times x times 2root2 k times {2root2 }over3]

[eqn: 3x^2 -16kx +21k^2 =0]

[eqn: (3x-7k)(x-3k)=0]

[eqn: 0<x<3k]이므로

[eqn: x= 7 over3 k]

즉, [eqn: {bar{rm O _{2} C}} =it {BOX{~ {7} over {3} k~}}]이다.

[eqn: bar{RmCD}= BAR{RMO_2 D}+BAR{RMO_2 C}= BAR{RMO_1 O_2 }+BAR{RMO_2 C}]이므로

[eqn: {bar{rm AB it}} `:` {bar{rm CD it}} =k`:` LEFT ( {{BOX{~3k~}}} over {2} + {BOX{~ {7} over {3} k~}} RIGHT )]이다.

이상에서

[eqn: f(k)=3k], [eqn: g(k)= 7 over3 k], [eqn: p= {2root2 }over3]

이므로

[eqn: f(p)times g(p)]

[eqn: = LEFT ( 3 times {2root2}over3 RIGHT )times LEFT ( 7 over3 times {2root2}over3 RIGHT )]

[eqn: = 56over9]

이때 [eqn: {rmANGLE BO _{1} A}=theta _{1}], [eqn: {rmANGLE O _{2} O _{1} C}=theta _{2}], [eqn: rm ANGLE O _{1} O _{2} D it = theta _{3}]이라 하자.

다음은 [eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{O _{1} D}} =1`:`2 sqrt {2}]이고 [eqn: theta _{3} =theta _{1} +theta _{2}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]와 선분 [eqn: rmCD]의 길이의 비를 구하는 과정이다.

[eqn: rm ANGLE CO _{2} O _{1} + ANGLE O _{1} O _{2} D` it = pi]이므로 [eqn: theta _{3} = {pi} over {2} + {theta _{2}} over {2}]이고 [eqn: theta _{3} =theta _{1} +theta _{2}]에서 [eqn: 2theta _{1} +theta _{2} =pi]이므로 [eqn: rm ANGLE CO _{1} B it `= theta _{1}]이다.

이때 [eqn: rm ANGLE O _{2} O _{1} B` it = theta _{1} + theta _{2} = theta _{3}]이므로 삼각형 [eqn: rmO _{1} O _{2} B]와 삼각형 [eqn: rm O _{2} O _{1} D]는 합동이다.

[eqn: rm {bar{AB}} =itk]라 할 때

[eqn: rm {bar{BO _{2}}} = {bar{O _{1} D}} =it2 sqrt {2} k]이므로 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} = {BOX{~~㈎~~}} `]이고,

[eqn: {rmANGLE BO _{2} A}= {theta _{1}} over {2}]이므로 [eqn: cos` {theta _{1}} over {2} = {BOX{~~㈏~~}} `]이다.

삼각형 [eqn: rmO _{2} BC]에서

[eqn: rm {bar{BC}} it =k,~ rm {bar{BO _{2}}} it =2 sqrt {2} k,~ rm ANGLE CO _{2} B it `= {theta _{1}} over {2}]이므로

코사인법칙에 의하여 [eqn: rm {bar{O _{2} C}} = {BOX{~~㈐~~}} `]이다.

[eqn: rm {bar{CD}} = {bar{O _{2} D}} + {bar{O _{2} C}} = {bar{O _{1} O _{2}}} + {bar{O _{2} C}}]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} `:` {bar{CD}} =itk`:` LEFT ( {{BOX{~~㈎~~}}} over {2} + {BOX{~~㈐~~}} RIGHT )]이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) ,~g LEFT ( k RIGHT )]라 하고, (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES g LEFT ( p RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {169} over {27}]	② [eqn: {56} over {9}]	③ [eqn: {167} over {27}]

④ [eqn: {166} over {27}]	⑤ [eqn: {55} over {9}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 10

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=3], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=2], [eqn: overline{{rm{AC}} it }>3]이고 [eqn: cos ( angle {rm{BAC}} it )={7} over {8}]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 중점을 [eqn: {rm{M}} it], 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원이 직선 [eqn: {rm{BM}} it]과 만나는 점 중 [eqn: {rm{B}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 할 때, 선분 [eqn: {rm{MD}} it]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: angle {rm{BAC}} it = theta], [eqn: overline{{rm{AC}} it }=a]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm BC it}} ^{2} = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AC}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AC it}} TIMES `cos theta]

즉,

[eqn: 2^{2}=3^{2}+a^{2}-2 times 3 times a times {7} over {8}]

[eqn: a^{2}-{21} over {4} a+5=0]

[eqn: 4 a^{2}-21 a+20=0]

[eqn: (4 a-5)(a-4)=0]

따라서 조건에서 [eqn: a>3]이므로 [eqn: a=4]

[eqn: overline{{rm{AM}} it }= overline{{rm{CM}} it }={a} over {2}=2]

같은 방법으로 삼각형 [eqn: {rm{ABM}} it]에서 코사인

법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm MB}} ^{2} = {bar{rm AB}} ^{2} + {bar{rm AM it}} ^{2} -2 TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AM it}} TIMES `cos theta]

[eqn: =3^{2}+2^{2}-2 times 3 times 2 times {7} over {8}]

[eqn: ={5} over {2}]

이므로

[eqn: overline{{rm{MB}} it }= sqrt{{5} over {2}}={ sqrt{10}} over {2}]

이때 두 삼각형 [eqn: {rm{ABM}} it], [eqn: {rm{DCM}} it]은 서로 닮

은 도형이므로

[eqn: overline{{rm{MA}} it } times overline{{rm{MC}} it }= overline{{rm{MB}} it } times overline{{rm{MD}} it }]

에서

[eqn: 2 times 2={ sqrt{10}} over {2} times overline{{rm{MD}} it }]

따라서

[eqn: overline{{rm{MD}} it }={8} over { sqrt{10}}={4 sqrt{10}} over {5}]

① [eqn: {3 sqrt{10}} over {5}]	② [eqn: {7 sqrt{10}} over {10}]	③ [eqn: {4 sqrt{10}} over {5}]

④ [eqn: {9 sqrt{10}} over {10}]	⑤ [eqn: sqrt{10}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
04 활용4 (사인법칙과 코사인법칙의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 21

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {1}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}]인 정삼각형 [eqn: rmABC]가 있다.

[정답] ④

[해설]

[eqn: {rm {bar{AP}}][eqn: =a ,````][eqn: {rm {bar{BQ}}][eqn: =b]라 하면 [eqn: {rm {bar{CR}}][eqn: =1-a-b]이고

[eqn: {rm {bar{BP}}][eqn: =1-a ,````][eqn: {rm {bar{AR}}][eqn: =a+b]이다.

ㄱ. 삼각형 [eqn: {rm APR]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {rm {bar{PR}} ^{2}][eqn: =a ^{2} +(a+b) ^{2} -2 TIMES a TIMES (a+b) TIMES cos {pi } over {3}]
[eqn: =a ^{2} +ab+b ^{2}]

삼각형 [eqn: {rm PBQ]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {rm {bar{PQ}} ^{2}][eqn: =b ^{2} +(1-a) ^{2} -2 TIMES b TIMES (1-a) TIMES cos {pi } over {3}]
[eqn: =a ^{2} +ab-2a+b ^{2} -b+1]	[eqn: CDOTS cdots] ㉠

[eqn: {rm {bar{PR}} ^{2} = {bar{PQ}} ^{2}]이므로
[eqn: a ^{2} +ab+b ^{2} =a ^{2} +ab-2a+b ^{2} -b+1]에서
[eqn: 2a+b=1]	[eqn: CDOTS cdots] ㉡
그러므로 [eqn: {rm 2 {bar{AP}} + {bar{BQ}} =1]에서 [eqn: {rm 4 {bar{AP}} + {bar{BQ}} =2]

[eqn: {rm {bar{AP}} >0]이므로 [eqn: {rm 3 {bar{AP}} +2 {bar{BQ}} <2]	(거짓)

ㄴ. ㉡에서 [eqn: b=1-2a]이므로
[eqn: {rm {bar{CQ}}][eqn: =1-b][eqn: =1-(1-2a)][eqn: =2a]
[eqn: {rm {bar{CR}}][eqn: =1-a-(1-2a)][eqn: =2]
삼각형 [eqn: {rm CRQ]에서 [eqn: {rm {bar{CQ}} ``:`` {bar{CR}} =2 ``:`` 1]이고 [eqn: {rm ANGLE RCQ= {pi } over {3}]이므로 삼각형 [eqn: {rm CRQ]는 [eqn: {rm ANGLE QRC= {pi } over {2}]인 직각삼각형이다.
그러므로 [eqn: {rm {bar{QR }}][eqn: {rm = sqrt {{bar{CQ}} ^{2} - {bar{CR}} ^{2}}][eqn: = sqrt {3} a]	(참)

ㄷ. 두 삼각형 [eqn: {rm PBQ ,````][eqn: {rm CRQ]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: R _{1 ,```` } R _{2}]라 하면 삼각형 [eqn: {rm PBQ]에서 사인법칙에 의해
[eqn: {{bar{{rm PQ}}} over {sin {pi } over {3}} =2R _{1}]
삼각형 [eqn: {rm CRQ]에서 사인법칙에 의해 [eqn: {{bar{ rm QR}}} over {sin {pi } over {3}} =2R _{2}]
삼각형 [eqn: {rm PBQ]의 외접원의 넓이가 삼각형 [eqn: {rm CRQ]의 외접원의 넓이의 [eqn: 2]배이므로 [eqn: R _{1} = sqrt {2} TIMES R _{2}]
[eqn: {{bar{{rm PQ}}} over {2sin {pi } over {3}} = sqrt {2} TIMES {{bar{{rm QR}}} over {2sin {pi } over {3}}]에서 [eqn: {rm {bar{PQ}} ^{2} =2 TIMES {bar{QR}} ^{2}]
㉠, ㉡에 의해 [eqn: {rm {bar{PQ}} ^{2}][eqn: =3a ^{2} -3a+1]이고 [eqn: {rm {bar{QR}} ^{2}][eqn: =3a ^{2}]이므로
[eqn: 3a ^{2} -3a+1=6a ^{2} ,````][eqn: 3a ^{2} +3a-1=0]
[eqn: a= {-3 +- sqrt {9+12}} over {6}]
[eqn: a>0]이므로 [eqn: a= {sqrt {21} -2} over {6}]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

선분 [eqn: rmAB]위의 점 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmBC]위의 점 [eqn: rmQ], 선분 [eqn: rmCA]위의 점 [eqn: rmR]에 대하여 세 점 [eqn: rmP ,```` Q ,```` R]가

[eqn: rm {bar{AP}} + {bar{BQ}} + {bar{CR}}][eqn: =1], [eqn: rm {bar{PQ}} = {bar{PR}}]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, 세 점 [eqn: rmP ,```` Q ,```` R]는 각각 점 [eqn: rmA], 점 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmC]가 아니다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: rm3 {bar{AP}} +2 {bar{BQ}}][eqn: =2] ㄴ. [eqn: rm {bar{QR}}][eqn: = sqrt {3} TIMES {bar{rm AP it}}] ㄷ. 삼각형 [eqn: rmPBQ]의 외접원의 넓이가 삼각형 [eqn: rmCRQ]의 외접원의 넓이의 [eqn: 2]배일 때, [eqn: {bar{rmAP}}][eqn: = {sqrt {21} -3} over {6}]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 19

정삼각형 [eqn: {rm ABC}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]가 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원에 내접하고 있다. 선분 [eqn: rm AC]와 선분 [eqn: rm BD]가 만나고 [eqn: rm {bar{BD}} = sqrt {2}]가 되도록 원 위에서 점 [eqn: rm D]를 잡는다. [eqn: rm ANGLE DBC= theta]라 할 때, [eqn: sin theta = {sqrt {3}} over {3}]이다. 반지름의 길이 [eqn: r]의 값은?

[정답] ①

[해설]

주어진 원이 삼각형 [eqn: rmBCD]의 외접원이고 반지름의 길이가 [eqn: r]이므로 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmCD}}][eqn: =2r sin theta][eqn: = {2 sqrt {3}} over {3} r], [eqn: {bar{rmBC}}][eqn: =2r sin {pi} over {3}][eqn: = sqrt {3} r]

삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( sqrt {3} r RIGHT ) ^{2}]

[eqn: = LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {2 sqrt {3}} over {3} r RIGHT ) ^{2} -2 TIMES sqrt {2} TIMES LEFT ( {2 sqrt {3}} over {3} r RIGHT ) TIMES cos {pi} over {3}]

이 식을 정리하면 [eqn: 5r ^{2} +2 sqrt {6} r-6][eqn: =0]

그러므로 [eqn: r][eqn: = it {- sqrt {6} ±6} over {5}]

따라서 [eqn: r>0]이므로 [eqn: r][eqn: = {6- sqrt {6}} over {5}]

① [eqn: { 6- sqrt { 6} } over { 5}]	② [eqn: {6- sqrt {5}} over {5}]	③ [eqn: {4} over {5}]

④ [eqn: { 6- sqrt { 3} } over { 5}]	⑤ [eqn: { 6- sqrt { 2} } over { 5}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 29

그림과 같이 [eqn: {rm { bar{AB} `=3 }}{{from^2021^9 고2인천^중}}], [eqn: rm { bar{AC} `=4 }]인 예각삼각형 [eqn: rm { ABC }]가 있다. 점 [eqn: rm { B }]에서 변 [eqn: rm { AC }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { D }], 점 [eqn: rm { C }]에서 변 [eqn: rm { AB }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm { E }]라 하고, 두 선분 [eqn: rm { BD }], [eqn: rm { CE }]의 교점을 [eqn: rm { P }]라 하자. 삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 넓이와 삼각형 [eqn: rm { ADE }]의 외접원의 넓이의 차가 [eqn: 4 pi]일 때, 삼각형 [eqn: rm { PDE }]의 외접원의 넓이는 [eqn: a pi]이다. [eqn: 55a]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a]는 상수이다.)

[정답] [eqn: bold { 36 }]

[해설]

[eqn: rm { ANGLE BAC`= theta }][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 하면 삼각형 [eqn: rm { ABC }]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm { bar{BC ^{`2}} ` }][eqn: =3 ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 3 TIMES 4 TIMES cos theta][eqn: =25-24cos theta]

[eqn: rm { bar{BC} ` }][eqn: = sqrt {25-24cos theta }]

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{1}]이라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: rm {rm {bar{BC}}} over {sin theta } =it2R _{1}], [eqn: R _{1} = {sqrt {25-24cos theta }} over {2sin theta }]

직각삼각형 [eqn: rm { ABD }]에서 [eqn: rm { bar{AD} ` }][eqn: rm { =` bar{AB} `cos theta }][eqn: =3cos theta]

직각삼각형 [eqn: rm { ACE }]에서 [eqn: rm { bar{AE} ` }][eqn: rm { = bar{AC} `cos theta }][eqn: =4cos theta]

삼각형 [eqn: rm { ADE }]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm { bar{DE} ` ^{`2} ` }][eqn: = LEFT ( 3cos theta RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 4cos theta RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 3cos theta ` TIMES 4cos theta TIMES cos theta]
[eqn: =25`cos ^{2} theta `-24`cos ^{3} theta]
[eqn: =cos ^{2} theta ` LEFT ( 25-24cos theta RIGHT )]

[eqn: rm { bar{DE} `=cos theta ` sqrt {25-24cos theta } }]

삼각형 [eqn: {rm ADE]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R _{2}]라 하면 사인법칙에 의하여 [eqn: rm {{bar{rmDE}}} over {sin theta } =it2R _{2}], [eqn: R _{2} = {cos theta sqrt {25-24cos theta }} over {2sin theta }]

삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 외접원의 넓이와 삼각형 [eqn: rm { ADE }]의 외접원의 넓이의 차가 [eqn: 4 pi]이므로

[eqn: 4 pi][eqn: = pi R _{1} ^{2} `- pi R _{2} ^{2}]
[eqn: = pi TIMES {LEFT ( 1-cos ^{2} theta RIGHT ) LEFT ( 25-24cos theta RIGHT )} over {4sin ^{2} theta }]
[eqn: = {pi LEFT ( 25-24cos theta RIGHT )} over {4}]

[eqn: cos theta = {3} over {8}], [eqn: sin theta][eqn: = sqrt {1-cos ^{2} theta }][eqn: = {sqrt {55}} over {8}]

사각형 [eqn: rm { AEPD }]에서 [eqn: rm { ANGLE AEP` }][eqn: rm { = ANGLE ADP }][eqn: = {pi } over {2}]

이므로 네 점 [eqn: rm { A,````E,````P,````D }]는 선분 [eqn: rm { AP }]를 지름으로 하는 한 원 위에 있고 삼각형 [eqn: rm { PDE }]의 외접원은 삼각형 [eqn: rm { ADE }]의 외접원과 일치한다.

삼각형 [eqn: rm { PDE }]의 외접원의 넓이는 [eqn: pi R _{2} ^{2}]

[eqn: R _{2} = {{3} over {8} TIMES sqrt {25-24 TIMES {3} over {8}}} over {2 TIMES {sqrt {55}} over {8}} = {6} over {sqrt {55}}]

[eqn: pi R _{2} ^{2} `= pi LEFT ( {6} over {sqrt {55}} RIGHT ) ^{2} = {36} over {55} pi]

따라서 [eqn: a= {36} over {55}], [eqn: 55a=36]

[참고]

두 삼각형 [eqn: rm { ABC }], [eqn: rm { ADE }]는 서로 닮음이고, 닮음비가 [eqn: 1:cos theta]이므로

[eqn: rm { bar{DE} `= bar{BC} ` TIMES cos theta }], [eqn: R _{2} `=R _{1} TIMES cos theta]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 15

그림과 같이 [eqn: bar{rmAB}=3], [eqn: bar{rmAC}=1]이고 [eqn: ANGLE {rmBAC}= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. [eqn: ANGLE rmBAC]의 이등분선이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmP]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmAPC]의 외접원의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

선분 [eqn: rmAP]가 [eqn: ANGLE {rmBAC}]의 이등분선이고 [eqn: bar{rmAB} ``:`` bar{rmAC}=3 ``:`` 1]이므로 [eqn: bar{rmBP} ``:`` bar{rmPC}=3 ``:`` 1]이다.

[eqn: bar{rmPC}=k]라 하면 [eqn: bar{rmBP}=3k]이다.

삼각형 [eqn: rmBAC]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: cos {pi} over {3} = {3 ^{2} +1 ^{2} - LEFT ( 4k RIGHT ) ^{2}} over {2times3times1}]에서 [eqn: k>0]이므로 [eqn: k= {sqrt {7}} over {4}]이다.

삼각형 [eqn: rmAPC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여 [eqn: {k} over {sin {pi} over {6}} =2R]이므로 [eqn: R= {sqrt {7}} over {4}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmAPC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {7} over {16} pi]

① [eqn: {pi} over {4}]	② [eqn: {5} over {16} pi]	③ [eqn: {3} over {8} pi]

④ [eqn: {7} over {16} pi]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 20

그림과 같이 선분 [eqn: {rmAB}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]를 지름으로 하는 원 위의 점 [eqn: rmC]에 대하여

[정답] [eqn: bold { 27 }]

[해설]

선분 [eqn: rmAB]는 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 지름이므로 삼각형 [eqn: rmABC]는 직각삼각형이다.

[eqn: ANGLE rm BCA][eqn: = {pi} over {2}], [eqn: ANGLE rm CAB][eqn: = alpha]라 하면 [eqn: cos alpha][eqn: = {1} over {3}]이고, [eqn: sin ^{2} alpha][eqn: =1-cos ^{2} alpha][eqn: = {8} over {9}]이므로 [eqn: sin alpha][eqn: = {2 sqrt {2}} over {3}]

[eqn: {bar{rm BC}}][eqn: = {bar{rm AB it}} TIMES sin alpha]이므로 [eqn: {bar{rm AB}}][eqn: =18]이고, [eqn: {bar{rm AC}}][eqn: =6]

점 [eqn: rmD]는 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 5 ``:`` 4]로 내분하는 점이므로

[eqn: {bar{rm AD}}][eqn: =10]

삼각형 [eqn: rmCAD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm DC}} ^{2}][eqn: =6 ^{2} +10 ^{2} -2 TIMES 6 TIMES 10 TIMES cos alpha][eqn: =96]

[eqn: therefore][eqn: {bar{rmDC}}][eqn: = sqrt {96}][eqn: =4 sqrt {6}]

삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 사인법칙에 의하여 [eqn: {{bar{rm DC}}} over {sin alpha }][eqn: =2R]에서 [eqn: R][eqn: =3 sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 넓이 [eqn: S]는 [eqn: S][eqn: =27pi]이므로 [eqn: {S} over {pi}][eqn: =27]

[eqn: {bar{rm BC}}][eqn: =12 sqrt {2}], [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm CAB RIGHT )][eqn: = {1} over {3}]

이다. 선분 [eqn: rmAB]를 [eqn: 5 ``:`` 4]로 내분하는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmCAD]의 외접원의 넓이는 [eqn: S]이다. [eqn: {S} over {pi}]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 21

그림과 같이 [eqn: bar { rm AB} =2], [eqn: rm {bar{AC}}]□[eqn: rm{bar{BD}}], [eqn: rm bar{AC} : bar{BD} = 1:2 `]인 두 삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rm ABD`]가 있다. 점 [eqn: rm C`]에서 선분 [eqn: rmAB`]에 내린 수선의 발 [eqn: rmH`]는 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 1:3`]으로 내분한다.

[정답] [eqn: 15]

[해설]

[eqn: {bar{rm AC it}}][eqn: =k`]라 하면 [eqn: {bar{rm BD it}}][eqn: =2k`]이고

[eqn: rm bar{AH} : bar{HB}][eqn: =1:3`]이므로 [eqn: {bar{rm AH it}}][eqn: = {1} over {2} `]

[eqn: ANGLE rm CAB][eqn: = theta `]라 할 때, 두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD`]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {{bar{rm BC it}} over {sin ` theta}][eqn: =2 it r], [eqn: {{bar{rm AD it}}} over { sin ( pi - theta )][eqn: ={{bar{rm AD it}}} over { sin ` theta}][eqn: =2R]

즉, [eqn: {{bar{rm BC it}}][eqn: } =2 it r sin` theta], [eqn: rm bar{AD}][eqn: =2R sin` theta]

[eqn: 4(R ^{2} -r ^{2} ) TIMES sin ^{2} `theta][eqn: = left( 2R sin `theta right)^2 - left( 2 r sin ` theta )^2]이므로

두 식을 [eqn: left( 2R sin `theta right)^2 - left( 2 r sin ` theta )^2][eqn: =51`]에 대입하면

[eqn: {bar{rm AD it}} ^{2} - {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: =51]	[eqn: cdotscdots] ㉠

삼각형 [eqn: rmAHC`]에서 [eqn: cos`theta][eqn: = rm {bar{AH}} over { bar{CA}}][eqn: = {1} over {2k}`]이므로

두 삼각형 [eqn: rmABC], [eqn: rmABD`]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{AC}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{AC}} TIMES cos `theta]
[eqn: =4+k ^{2} -2 TIMES 2 TIMES k TIMES cos `theta][eqn: =k^{2} +2][eqn: cdotscdots] ㉡

[eqn: {bar{rm AD it}}^{2}][eqn: = rm {bar{AB}} ^{2} + rm {bar{BD}} ^{2} -2 TIMES rm {bar{AB}} TIMES rm {bar{BD}} TIMES cos ( pi - theta )]
[eqn: =4+4k^{2} +2 TIMES 2 TIMES 2k TIMES cos` theta][eqn: =4k ^{2} +8][eqn: cdotscdots] ㉢

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: {bar{rm AD it}} ^{2} - {bar{rm BC it}} ^{2}][eqn: =3k^{2} +6][eqn: =51]

즉, [eqn: k ^{2}][eqn: =15`]
따라서 [eqn: {bar{rm AC it}} ^{2}][eqn: =15]

두 삼각형 [eqn: rmABC`], [eqn: rmABD`]의 외접원의 반지름의 길이를 각각 [eqn: r`], [eqn: R`]라 할 때, [eqn: 4(R^{2} -r ^{2} ) TIMES sin ^{2} ( ANGLE rm CAB)= 51`]이다. [eqn: rm { bar{AC}}^2 `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: ANGLE rm CAB< {pi } over {2}])

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 12

반지름의 길이가 [eqn: {2 sqrt {7}}{{from^2021^09^평가원^중}}]인 원에 내접하고 [eqn: anglermA= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 포함하지 않는 호 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: sin LEFT ( anglermBCD RIGHT ) = {2 sqrt {7}} over {7}]일 때, [eqn: bar{rmBD}+bar{rmCD]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt {7}]이므로 사인법칙에 의하여 [eqn: {bar{rmBC}} over {sin LEFT ( anglermBAC RIGHT )} =4 sqrt {7}]

즉, [eqn: bar{rmBC}][eqn: =sin {pi} over {3} times4 sqrt {7}][eqn: = {sqrt {3}} over {2} times4 sqrt {7} =2 sqrt {21}]

또, 삼각형 [eqn: rmBCD]의 외접원의 반지름의 길이도 [eqn: 2 sqrt {7}]이므로 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{RmBD}} over {sin LEFT ( anglermBCD RIGHT )} =4 sqrt {7}]

즉, [eqn: bar{RmBD}][eqn: =sin LEFT ( anglermBCD RIGHT ) times4 sqrt {7}][eqn: = {2 sqrt {7}} over {7} times4 sqrt {7}][eqn: =8]

한편, [eqn: anglermBDC=pi-anglermBAC= {2} over {3} pi]이므로 [eqn: bar{rmCD}=x]라 하면 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인 법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( 2 sqrt {21} RIGHT ) ^{2} =x ^{2} +8 ^{2} -2 TIMES x times8 TIMES cos {2} over {3} pi]

[eqn: x ^{2} +8x-20=0], [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+10 RIGHT ) =0]

[eqn: x>0]이므로 [eqn: x=2]

즉, [eqn: bar{RmCD}=2]

따라서 [eqn: bar{rmBD}+bar{rmCD}=8+2=10]

① [eqn: {19} over {2}]	② [eqn: 10]	③ [eqn: {21} over {2}]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: {23} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 21

그림과 같이 한 평면 위에 있는 두 삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rmACD `]의 외심을 각각 [eqn: rm O], [eqn: rmO' `]이라 하고 [eqn: rm angle ABC = alpha], [eqn: rmangle ADC = beta `]라 할 때,

[정답] [eqn: bold26]

[해설]

[eqn: {sin beta} over { sin alpha} = 3 over2]이므로 사인법칙에 의하여 두 원의 반지름의 길이의 비는 [eqn: 3 `:`2]이다.

각각의 반지름의 길이를 [eqn: 3r], [eqn: 2r]라 하면 삼각형 [eqn: rm AOO']에서 코사인법칙에서

[eqn: 1 = 9r^2 + 4r^2 - 12r^2 cos ( pi - ( alpha+ beta))][eqn: = 17r^2]

[eqn: r^2 = 1 over17],

[eqn: THEREFORE][eqn: S= 9r^2 pi][eqn: = 9 over17 pi], [eqn: p+q=26]

[eqn: {sin` beta} over {sin` alpha} = 3 over 2], [eqn: cos` LEFT ( alpha + beta RIGHT ) = 1 over 3], [eqn: rm bar {OO'} = 1]

이 성립한다. 삼각형 [eqn: rm ABC `]의 외접원의 넓이가 [eqn: q over p pi `]일 때, [eqn: p + q `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p `]와 [eqn: q `]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 13

그림과 같이 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 두 점 [eqn: {rm{C}} it], [eqn: {rm{D}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 중점 [eqn: {rm{O}} it]에 대하여 두 선분 [eqn: {rm{AD}} it], [eqn: {rm{CO}} it]가 점 [eqn: {rm{E}} it]에서 만나고,

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: angle {rm{CED}} it ={ pi} over {4}]이므로 [eqn: triangle {rm{ECD}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: overline{{rm{CD}} it }^{2}=4^{2}+(3 sqrt{2})^{2}-2 times 4 times 3 sqrt{2} times {1} over { sqrt{2}}=10]

에서 [eqn: overline{{rm{CD}} it }= sqrt{10}]	[eqn: cdotscdots]㉠

반지름을 [eqn: R]라 하면 [eqn: overline{{rm{OD}} it }=R], [eqn: overline{{rm{OE}} it }=R-4]이므로 삼각형 [eqn: {rm{ODE}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: R^{2}=(R-4)^{2}+(3 sqrt{2})^{2}-2 times 3 sqrt{2} times(r-4) cos {3} over {4} pi]

[eqn: therefore~ ~ R=5]

[eqn: angle {rm{CAD}} it = theta]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin theta}=2 {rm{R}} it]에서 [eqn: { sqrt{10}} over { sin theta}=10 ~]	[eqn: therefore~ sin theta={ sqrt{10}} over {10}]

따라서 삼각형 [eqn: {rm{ACE}} it]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { overline{{rm{AC}} it }} over { sin {3} over {4} pi}={ overline{{rm{CE}} it }} over { sin theta}]에서

[eqn: overline{{rm{AC}} it }={4} over {{ sqrt{10}} over {10}} times {1} over { sqrt{2}}=4 sqrt{5}][eqn: cdotscdots]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{CD}} it }=20 sqrt{2}]

[다른 풀이]

[eqn: angle {rm{CED}} it ={ pi} over {4}]이므로 [eqn: triangle {rm{ECD}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: overline{{rm{CD}} it }`^{2}=4^{2}+(3 sqrt{2})^{2}-2 times 4 times 3 sqrt{2} times {1} over { sqrt{2}}=10]

에서 [eqn: overline{{rm{CD}} it }= sqrt{10}]

[eqn: angle {rm{OCD}} it = alpha]라 하면 [eqn: triangle {rm{ECD}} it]에서 코사인법칙에 의해 [eqn: cos alpha={4^{2}+( sqrt{10})^{2}-(3 sqrt{2})^{2}} over {2 times 4 times 10}={1} over { sqrt{10}}]

[eqn: overline{{rm{OC}} it }=R]이라 하면 [eqn: triangle {rm{OCD}} it]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: R^{2}=R^{2}+( sqrt{10})^{2}-2 R times sqrt{10} times {1} over { sqrt{10}}]에서 [eqn: R=5]

[eqn: angle {rm{CAD}} it = beta]라 하면 [eqn: triangle {rm{ACD}} it]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { sqrt{10}} over { sin beta}=2 R]에서 [eqn: sin beta={1} over { sqrt{10}}]

[eqn: triangle {rm{AED}} it]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {4} over { sin beta}={ overline{{rm{AC}} it }} over { sin {3} over {4} pi}]에서 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=4 sqrt{5}]

따라서 [eqn: overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{CD}} it }=4 sqrt{5} times sqrt{10}=20 sqrt{2}]

[eqn: overline{{rm{CE}} it }=4], [eqn: ~ overline{{rm{ED}} it }=3 sqrt{2}], [eqn: ~ angle {rm{CEA}} it ={3} over {4} pi]

이다. [eqn: overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{CD}} it }]의 값은?

① [eqn: 6 sqrt{10}]	② [eqn: 10 sqrt{5}]	③ [eqn: 16 sqrt{2}]

④ [eqn: 12 sqrt{5}]	⑤ [eqn: 20 sqrt{2}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 15

그림과 같이 원에 내접하는 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]에 대하여

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서 코사인법칙을 이용하여 선분 [eqn: {rm{CD}} it]의 길이를 구하자.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: overline{{rm{BD}} it }`^{2}=3^{2}+2^{2}-2 times 3 times 2 times cos { pi} over {3}=7]

이므로 [eqn: overline{{rm{BD}} it }= sqrt{7}]이다.

[eqn: angle {rm{BAD}} it + angle {rm{BCD}} it = pi]이므로 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서 코사인법

칙에 의하여

[eqn: 2^{2}+ overline{{rm{CD}} it }`^{2}-2 times 2 times overline{{rm{CD}} it } times cos {2 pi} over {3}=7]

이므로 [eqn: {bar{rm CD it}} =box{~1~}]이다.

삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서 [eqn: angle {rm{AEB}} it]는 공통이고

[eqn: angle {rm{EAB}} it = angle {rm{ECD}} it]이므로 삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]는

닮음이다. 따라서 [eqn: { overline{{rm{EA}} it }} over { overline{{rm{EC}} it }}={ overline{{rm{EB}} it }} over { overline{{rm{ED}} it }}={ overline{{rm{AB}} it }} over { overline{{rm{CD}} it }}]이다. 즉,

[eqn: {3+ overline{{rm{ED}} it }} over { overline{{rm{EC}} it }}={2+ overline{{rm{EC}} it }} over { overline{{rm{ED}} it }}={2} over {1}]

에서 [eqn: overline{{rm{ED}} it }=box{~{7} over {3}~}]이다.

[eqn: angle {rm{DCE}} it = pi- angle {rm{BCD}} it = angle {rm{BAD}} it ={ pi} over {3}]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: { {7} over {3} } over { sin { pi} over {3}}={1} over { sin theta}]

에서 [eqn: sin theta=box{~{3 sqrt{3}} over {14}~}]이다.

[eqn: p=1], [eqn: q={7} over {3}], [eqn: r={3 sqrt{3}} over {14}]이므로

[eqn: (p+q) times r= left(1+{7} over {3} right) times {3 sqrt{3}} over {14}={5 sqrt{3}} over {7}]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{BC}} it }=2], [eqn: ~ overline{{rm{AD}} it }=3], [eqn: ~ angle {rm{BAD}} it ={ pi} over {3}]

이다. 두 직선 [eqn: {rm{AD}} it], [eqn: {rm{BC}} it]의 교점을 [eqn: {rm{E}} it]라 하자.

다음은 [eqn: angle {rm{AEB}} it = theta]일 때, [eqn: sin theta]의 값을 구하는 과정이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{BCD}} it]에서 코사인법칙을 이용하면

[eqn: overline{{rm{CD}} it }=][eqn: box{~(가)~}]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서

[eqn: angle {rm{AEB}} it]는 공통, [eqn: angle {rm{EAB}} it = angle {rm{ECD}} it]

이므로 삼각형 [eqn: {rm{EAB}} it]와 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]는 닮음이다.

이를 이용하면

[eqn: overline{{rm{ED}} it }=][eqn: box{~(나)~}]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{ECD}} it]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: sin theta=][eqn: box{~(다)~}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: (p+q) times r]의 값은?

① [eqn: { sqrt{3}} over {2}]	② [eqn: {4 sqrt{3}} over {7}]	③ [eqn: {9 sqrt{3}} over {14}]

④ [eqn: {5 sqrt{3}} over {7}]	⑤ [eqn: {11 sqrt{3}} over {14}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 13

그림과 같이 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=2], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=3 sqrt{3}], [eqn: overline{{rm{CA}} it }= sqrt{13}]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{BC}} it] 위에 점 [eqn: {rm{B}} it]가 아닌 점 [eqn: {rm{D}} it]를 [eqn: overline{{rm{AD}} it }=2]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: {rm{AC}} it] 위에 양 끝점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{C}} it]가 아닌 점 [eqn: {rm{E}} it]를 사각형 [eqn: {rm{ABDE}} it]가 원에 내접하도록 잡는다.

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: cos ( angle {rm{ABC}} it )={2^{2}+(3 sqrt{3})^{2}-( sqrt{13})^{2}} over {2 times 2 times 3 sqrt{3}}= box {`{ sqrt{3}} over {2}` }]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 [eqn: sin ( angle {rm{ABD}} it )= sqrt{1- left({ sqrt{3}} over {2} right)^{2}}={1} over {2}]

이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]의 외접원의

반지름의 길이는 [eqn: {1} over {2} times { overline{{rm{AD}} it }} over { sin ( angle {rm{ABD}} it )}=box{~2~]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin ( angle {rm{CAD}} it )}={ overline{{rm{AD}} it }} over { sin ( angle {rm{ACD}} it )}]

이므로

[eqn: sin ( angle {rm{CAD}} it )][eqn: ={ overline{{rm{CD}} it }} over { overline{{rm{AD}} it }} times sin ( angle {rm{ACD}} it )]
[eqn: ={ sqrt{3}} over {2} times { sqrt{13}} over {13}={ sqrt{39}} over {26}]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{ADE}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: overline{{rm{DE}} it }=2 times 2 times sin ( angle {rm{CAD}} it )= box {`{2 sqrt{39}} over {13}` }]

이다.

따라서 [eqn: p={ sqrt{3}} over {2}], [eqn: q=2], [eqn: r={2 sqrt{39}} over {13}]이므로

[eqn: p times q times r={ sqrt{3}} over {2} times 2 times {2 sqrt{39}} over {13}={6 sqrt{13}} over {13}]

다음은 선분 [eqn: {rm{DE}} it]의 길이를 구하는 과정이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos ( angle {rm{ABC}} it )= box {~~(가)~~ }]

이다. 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 [eqn: sin ( angle {rm{ABD}} it )= sqrt{1-( box{~~가~~})^2]

이므로 사인법칙에 의하여 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]의 외접원의 반지름의 길이는 [eqn: {BOX{~~(나)~~}}] 이다.

삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{CD}} it }} over { sin ( angle {rm{CAD}} it )}={ overline{{rm{AD}} it }} over { sin ( angle {rm{ACD}} it )}]

이므로 [eqn: sin ( angle {rm{CAD}} it )={ overline{{rm{CD}} it }} over { overline{{rm{AD}} it }} times sin ( angle {rm{ACD}} it )]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ADE}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: overline{{rm{DE}} it }=][eqn: {BOX{~~(다)~~}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]라 할 때, [eqn: p times q times r]의 값은?

① [eqn: {6 sqrt{13}} over {13}]	② [eqn: {7 sqrt{13}} over {13}]	③ [eqn: {8 sqrt{13}} over {13}]

④ [eqn: {9 sqrt{13}} over {13}]	⑤ [eqn: {10 sqrt{13}} over {13}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

그림과 같이 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 한 원에 내접하고

[정답] ①

[해설]

[eqn: angle {rm{BAC}} it = angle {rm{CAD}} it = theta]라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{BC}} it }}^{2}][eqn: ={ overline{{rm{AB}} it }}^{2}+ {overline{{rm{AC}} it }}^{2}-2 times overline{{rm{AB}} it } times overline{{rm{AC}} it } times cos theta]
[eqn: =25+45-2 times 5 times 3 sqrt{5} times cos theta]
[eqn: =70-30 sqrt{5} cos theta]	[eqn: cdotscdots] ㉠

또 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {overline{{rm{CD}} it }}^{2}][eqn: = {overline{{rm{AD}} it }}^{2}+ {overline{{rm{AC}} it }}^{2}-2 times overline{{rm{AD}} it } times overline{{rm{AC}} it } times cos theta]
[eqn: =49+45-2 times 7 times 3 sqrt{5} times cos theta]
[eqn: =94-42 sqrt{5} cos theta]	[eqn: cdotscdots] ㉡

이때 [eqn: angle {rm{BAC}} it = angle {rm{CAD}} it]이므로    [eqn: overline{{rm{BC}} }= overline{{rm{CD}} }]

즉, ㉠[eqn: =]㉡에서

[eqn: 70-30 sqrt{5} cos theta=94-42 sqrt{5} cos theta]

[eqn: cos theta={2 sqrt{5}} over {5}]	[eqn: cdots][eqn: cdots] ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면

[eqn: {overline{{rm{BC}} it }}^{2}][eqn: =70-30 sqrt{5} cos theta]
[eqn: =70-30 sqrt{5} times {2 sqrt{5}} over {5}]
[eqn: =10]

[eqn: therefore] [eqn: overline{{rm{BC}} it }= sqrt{10}]

㉢에서

[eqn: sin ^{2} theta=1- cos ^{2} theta=1- left({2 sqrt{5}} over {5} right)^{2}={1} over {5}]

이므로    [eqn: sin theta={ sqrt{5}} over {5}]

따라서 구하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{BC}} it }} over { sin theta}=2 R],    [eqn: {root10}over{root5 over5}=2R]

[eqn: therefore] [eqn: R}={5 sqrt{2}} over {2}]

[eqn: {bar{rm AB it}} =5], [eqn: {bar{rm AC it}} =3 sqrt {5}], [eqn: {bar{rm AD it}} =7], [eqn: ANGLE rm BAC it = ANGLE rm CAD it]

일 때, 이 원의 반지름의 길이는?

① [eqn: {5 sqrt{2}} over {2}]	② [eqn: {8 sqrt{5}} over {5}]	③ [eqn: {5 sqrt{5}} over {3}]

④ [eqn: {8 sqrt{2}} over {3}]	⑤ [eqn: {9 sqrt{3}} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 28

[eqn: angle {rm{ABC}} it ={ pi} over {3}], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=6]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. 선분 [eqn: {rm{BC}} it] 위에 점 [eqn: {rm{B}} it]와 점 [eqn: {rm{C}} it]가 아닌 점 [eqn: {rm{D}} it]를 잡고, 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{1}], 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{2}]라 하자. [eqn: {r_{2}} over {r_{1}}={ sqrt{13}} over {3}]일 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 길이는 [eqn: {q} over {p}]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 11]

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 [eqn: angle {rm{ADB}} it = theta]라 하자.
삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 사인법칙에 의하여 [eqn: { overline{{rm{AB}} it }} over { sin theta}=2 r_{1}]
이고, 삼각형 [eqn: {rm{ADC}} it]에서 사인법칙에 의하여
[eqn: { overline{{rm{AC}} it }} over { sin ( pi- theta)}={ overline{{rm{AC}} it }} over { sin theta}=2 r_{2}]
이다. [eqn: {r_{2}} over {r_{1}}={ overline{{rm{AC}} it }} over { overline{{rm{AB}} it }}={ sqrt{13}} over {3}]이므로
[eqn: t>0]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=3 t], [eqn: overline{{rm{AC}} it }= sqrt{13} t]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: 13 t^{2}=9 t^{2}+36-2 times 3 t times 6 times cos { pi} over {3}],
[eqn: 2 t^{2}+9 t-18=0]이므로 [eqn: t={3} over {2}] 또는 [eqn: t=-6]이다. 따라서 [eqn: t={3} over {2}]이고 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=3 t={9} over {2}]이므로 [eqn: p=2], [eqn: q=9]이다. 그러므로 [eqn: p+q=11]

(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
05 활용5 (식의 모양-연결공식)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 19

길이가[eqn: {10 ,```` a ,```` b}{{from^2020^03^경기고3나^}}]인 세 선분 [eqn: rmAB ,```` BC ,```` CA]를 각 변으로 하는 예각삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 꼭짓점을 지나는 원의 반지름의 길이가 [eqn: 3 sqrt {5}]이고 [eqn: {a ^{2} +b ^{2} -ab cos C} over {ab} = {4} over {3}]일 때, [eqn: ab]의 값은?

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: \ABC]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 3root5]이므로 사인법칙에 의해 [eqn: 10 over {sin rmC }][eqn: = 2 times 3root5], [eqn: sin rmC][eqn: = root5 over 3]

삼각형 [eqn: rmABC]는 예각삼각형이므로

[eqn: cos rmC][eqn: = root{1- sin^2 rmC}][eqn: = { 2} over {3 }]

[eqn: {a ^{ 2} +b ^{ 2} -ab cos rmC} over {ab}][eqn: = 4 over 3]에서 [eqn: {a ^{ 2} +b ^{ 2} - {2} over {3} ab} over {ab}][eqn: = 4 over 3]

[eqn: 3a ^{ 2} +3b ^{ 2} -2ab=4ab], [eqn: 3LEFT ( a-b RIGHT ) ^{2} =0]이므로 [eqn: a=b]

코사인법칙에 의해

[eqn: 10 ^{ 2}][eqn: =a ^{ 2} +b ^{ 2} -2ab cos rmC]
[eqn: = a^2 + a^2 - 2a^2 times 2 over 3]
[eqn: = { 2} over {3 } a^2]

[eqn: 100][eqn: = {2} over {3} a ^{ 2}], [eqn: a ^{ 2}][eqn: =150]

따라서 [eqn: ab][eqn: =a^{ 2 }][eqn: =150]

① [eqn: 140]	② [eqn: 150]	③ [eqn: 160]

④ [eqn: 170]	⑤ [eqn: 180]

03 수1	07 삼각함수의 활용
02 사인법칙과 코사인법칙의 활용
06 활용6 (Mm)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 19

그림과 같이 원 [eqn: {C}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 내접하고 [eqn: {bar{rmAB}} =3], [eqn: ANGLE rm BAC= {pi} over {3}]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]일 때, 원 [eqn: C]위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이의 최댓값은?
(단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmA]도 아니고 점 [eqn: rmC]도 아니다.)

[정답] ①

[해설]

원 [eqn: C]의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 원 [eqn: C]의 넓이가 [eqn: {49} over {3} pi]이므로

[eqn: R ^{2} pi][eqn: = {49} over {3} pi], [eqn: R= {7} over {3} sqrt {3}]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: {{bar{rmBC}}} over {sin {pi} over {3}}][eqn: =2R], [eqn: {bar{rmBC}}][eqn: =2 TIMES {7} over {3} sqrt {3} TIMES {sqrt {3}} over {2}][eqn: =7]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: {bar{rmAC}} =a]라 하면 코사인법칙에 의해

[eqn: 7 ^{2}][eqn: =a ^{2} +3 ^{2} -2 TIMES a TIMES 3 TIMES cos {pi} over {3}]

[eqn: a ^{2} -3a-40=0], [eqn: LEFT ( a-8 RIGHT ) LEFT ( a+5 RIGHT ) =0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=8]

[eqn: {bar{rmAC}} =8]이고 삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: cos LEFT ( ANGLE rm CBA RIGHT )][eqn: = {3 ^{2} +7 ^{2} -8 ^{2}} over {2 TIMES 3 TIMES 7}][eqn: = it - {1} over {7}]

이므로 [eqn: {pi} over {2} < ANGLE rm CBA<pi]가 되어 삼각형 [eqn: rmABC]는 둔각삼각형이다.

삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이가 최대가 되도록 하는 점을 [eqn: rmQ]라 하면 점 [eqn: rmQ]는 선분 [eqn: rmAC]의 수직이등분선과 원 [eqn: C]의 두 교점 중 직선 [eqn: rmAC]로부터 멀리 떨어져 있는 점이다.

그림과 같이 점 [eqn: rmQ]에서 선분 [eqn: rmAC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하면 원 [eqn: C]의 중심 [eqn: rmO]는 선분 [eqn: rmQH] 위에 있다.

직각삼각형 [eqn: rmAHO]에서

[eqn: {bar{rmOH}}][eqn: = sqrt {LEFT ( {7} over {3} sqrt {3} RIGHT ) ^{2} -4 ^{2}}][eqn: = {sqrt {3}} over {3}]

[eqn: {bar{rmQH}}][eqn: = {8} over {3} sqrt {3}]이므로 삼각형 [eqn: rmPAC]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} TIMES 8 TIMES {8} over {3} sqrt {3}][eqn: = {32} over {3} sqrt {3}]

① [eqn: {32} over {3} sqrt {3}]	② [eqn: {34} over {3} sqrt {3}]	③ [eqn: 12 sqrt {3}]

④ [eqn: {38} over {3} sqrt {3}]	⑤ [eqn: {40} over {3} sqrt {3}]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 13

그림과 같이 중심이 [eqn: rmO _{1} `]이고 반지름의 길이가 [eqn: r~ LEFT ( r>3 RIGHT ) `]인 원 [eqn: C _{1} `]과 중심이 [eqn: rmO _{2} `]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 원 [eqn: C _{2} `]에 대하여 [eqn: rm {bar{O _{1} O _{2}}} =2`]이다. 원 [eqn: C _{1}] 위를 움직이는 점 [eqn: rmA`]에 대하여 직선 [eqn: rmAO _{2} `]가 원 [eqn: C _{1} `]과 만나는 점 중 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rmB`]라 하자. 원 [eqn: C _{2}] 위를 움직이는 점 [eqn: rmC`]에 대하여 직선 [eqn: rmAC`]가 원 [eqn: C _{1} `]과 만나는 점 중 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rmD`]라 하자.

[정답] ④

[해설]

삼각형 [eqn: rmADB`]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm {bar{BD}} it} over {sin`A} = {BOX{~2r~}}]

이므로 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대이려면 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접해야 한다.

이때 직각삼각형 [eqn: rmACO _{2} `]에서 [eqn: sin`A= {1} over {rm {bar{AO _{2}}}} `]이므로

[eqn: rm {bar{BD}} = {1} over {{bar{AO _{2}}}} TIMES {BOX{~2itr~}}]

이다.

그러므로 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접하고 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때 [eqn: rm {bar{BD}} `]는 최대이다. [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때는 두 원의 중심 [eqn: rmO_1], [eqn: rmO_2]와 점 [eqn: rmA]가 일직선 위에 있을 때이므로 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]의 최솟값은

[eqn: rmbar{AO_1}-bar{O_1 O_2}=`{BOX{~itr-2~}}]

[eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때, [eqn: sin`A= 1overr-2]이므로 삼각형 [eqn: rmCO_1 O_2]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: rm {bar{O _{1} C}} ` ^{2}][eqn: =1^2 +2^2 -2cdot1cdot2 cos`left(pi over2 +A right)]
[eqn: =5+4sin`A]
[eqn: =`box{~5+ 4overr-2 ~}]

이상에서 [eqn: f left(r right)=2r], [eqn: g left(r right)=r-2], [eqn: h left(r right)=5+ 4overr-2]이므로

[eqn: f left(4right)times g left(5right)timesh left(6right)=8times3times6=144]

다음은 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대가 되도록 네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 정할 때, [eqn: rm {bar{O _{1} C}} ` ^{2} `]을 [eqn: r`]에 대한 식으로 나타내는 과정이다.

삼각형 [eqn: rmADB`]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm {bar{BD}} it} over {sin`A} = {BOX{~~(가)~~}}]

이므로 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대이려면 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접해야 한다.

이때 직각삼각형 [eqn: rmACO _{2} `]에서 [eqn: sin`A= {1} over {rm {bar{AO _{2}}}} `]이므로

[eqn: rm {bar{BD}} = {1} over {{bar{AO _{2}}}} TIMES {BOX{~~(가)~~}}]

이다.

그러므로 직선 [eqn: rmAD`]가 원 [eqn: C _{2} `]와 점 [eqn: rmC`]에서 접하고 [eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]가 최소일 때 [eqn: rm {bar{BD}} `]는 최대이다.

[eqn: rm {bar{AO _{2}}} `]의 최솟값은

[eqn: {BOX{~~(나)~~}}]

이므로 [eqn: rm {bar{BD}} `]가 최대일 때,

[eqn: rm {bar{O _{1} C}} ` ^{2} = {BOX{~~(다)~~}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( r RIGHT )], [eqn: g LEFT ( r RIGHT )], [eqn: h LEFT ( r RIGHT )]라 할 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) TIMES g LEFT ( 5 RIGHT ) TIMES h LEFT ( 6 RIGHT ) `]의 값은?

① [eqn: 216]	② [eqn: 192]	③ [eqn: 168]

④ [eqn: 144]	⑤ [eqn: 120]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
02 넓이2 (끼인각 공식 조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 7

[eqn: {{bar{rm AB it}} =2 }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}],[eqn: {bar{rm AC it}} = sqrt {7}]인 예각삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이가 [eqn: sqrt {6}]이다. [eqn: ANGLE rm A= theta]일 때, [eqn: rm sin LEFT ( {pi } over {2} + theta RIGHT )]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이가 [eqn: root6]이므로

[eqn: 1 over2 times 2 times root7][eqn: times sin theta][eqn: = root6]

[eqn: sin theta][eqn: = root6 over root7][eqn: = root42 over 7]

[eqn: rm angle A]는 예각이므로 [eqn: 0 <theta < pi over2]

따라서 [eqn: sin left( pi over2 + theta right)][eqn: = cos theta][eqn: = root{ 1 - 6over7 }][eqn: = root7 over7]

① [eqn: {sqrt {3}} over {7}]	② [eqn: {2} over {7}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {7}]

④ [eqn: {sqrt {6}} over {7}]	⑤ [eqn: {sqrt {7}} over {7}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 14

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {4}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}], 호의 길이가 [eqn: pi]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]가 있다. 부채꼴 [eqn: rmOAB]의 넓이를 [eqn: S], 선분 [eqn: rmOB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 삼각형 [eqn: rmOAP]의 넓이를 [eqn: T]라 하자.

[정답] ③

[해설]

부채꼴 [eqn: {rm OAB]의 중심각의 크기를 [eqn: theta]라 하면 [eqn: pi =4 theta]에서 [eqn: theta = {pi } over {4}]

[eqn: S= {1} over {2} TIMES 4 TIMES pi =2 pi]

[eqn: T][eqn: {rm = {1} over {2} TIMES {bar{OP}} TIMES 4 TIMES sin {pi } over {4}][eqn: {rm = sqrt {2} TIMES {bar{OP}}]

[eqn: {S} over {T} = pi]이므로 [eqn: {rm {bar{OP}} = sqrt {2}]

[eqn: {S} over {T}][eqn: =pi]일 때, 선분 [eqn: rmOP]의 길이는?

(단, 점 [eqn: rmP]는 점 [eqn: rmO]가 아니다.)

① [eqn: {sqrt {2}} over {2}]	② [eqn: {3} over {4} sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]

④ [eqn: {5} over {4} sqrt {2}]	⑤ [eqn: {3} over {2} sqrt {2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 9

[eqn: {rm { bar{AB} `= bar{AC} `=2 }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]인 삼각형 [eqn: rm { ABC }]에서 [eqn: rm { ANGLE BAC`= theta }][eqn: LEFT ( 0< theta < pi RIGHT )]라 하자. 삼각형 [eqn: rm { ABC }]의 넓이가 [eqn: 1] 보다 크도록 하는 모든 [eqn: theta]의 값의 범위가 [eqn: alpha `< theta `< beta]일 때, [eqn: 2 alpha `+ beta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: {rm ABC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES sin theta =2sin beta]

삼각형 [eqn: {rm ABC]의 넓이가 [eqn: 1] 보다 크므로 [eqn: sin theta `> {1} over {2}]

곡선 [eqn: y=sin theta][eqn: LEFT ( 0< theta < pi RIGHT )]와 직선 [eqn: y= {1} over {2}]의 개형은 다음과 같다.

[eqn: 0< theta < pi]에서 [eqn: sin theta > {1} over {2}]의 해는 [eqn: {pi } over {6} < theta < {5} over {6} pi]

[eqn: alpha = {pi } over {6}], [eqn: beta = {5} over {6} pi]

따라서 [eqn: 2 alpha + beta][eqn: =2 TIMES {pi } over {6} + {5} over {6} pi][eqn: = {7} over {6} pi]

① [eqn: {7} over {6} pi]	② [eqn: {4} over {3} pi]	③ [eqn: {3} over {2} pi]

④ [eqn: {5} over {3} pi]	⑤ [eqn: {11} over {6} pi]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 1

넓이가 [eqn: {5root2 }]인 예각삼각형 [eqn: rm ABC]에 대하여 [eqn: rm barAB =3], [eqn: rm barAC =5]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 반지름의 길이는?

[정답] ①

[해설]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이가 [eqn: 5root2]이므로

[eqn: S= 1 over 2 times 3 times 5 times sin `A= 5root2]

[eqn: sin A = { 2root2} over { 3}], [eqn: cos `A =root{1-sin`^2 A}= 1over 3]

삼각형 [eqn: rm ABC]에서 [eqn: rm barAB =3], [eqn: rm barAC =5]이므로 코사인법칙을 이용하면

[eqn: rmbarBC`^2][eqn: =3^2 +5^2 -2cdot3cdot5 `cos`itA]
[eqn: =9+25-10=24]

[eqn: therefore][eqn: rmbarBC =2root6]

사인법칙에서 [eqn: {rmbarBC} over {sin `A} =it2R]에서 [eqn: 2R = {2root6 } over { {2root2} over 3]

[eqn: THEREFORE ```` R={ 3root3} over { 2} from 넘버41]

① [eqn: { 3root3} over { 2}]	② [eqn: { 7root3} over { 4}]	③ [eqn: 2root3]

④ [eqn: { 9root3} over { 4}]	⑤ [eqn: { 5root3} over { 2}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
04 넓이4 (내접원과 외접원)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 18

반지름의 길이가 [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]인 원이 삼각형 [eqn: rmABC]에 내접하고 있다. 원이 선분 [eqn: rmBC]와 만나는 점을 [eqn: rmD]라 하고 [eqn: bar{rmBD}=12], [eqn: bar{rmDC}=4]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이는?

[정답] ②

[해설]

그림과 같이 원의 중심을 [eqn: rmO]라 하고, 원과 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]가 만나는 저을 각각 [eqn: rmE], [eqn: rmF]라 하자.

[eqn: tan LEFT ( ANGLE rmOCD RIGHT ) = {sqrt {3}} over {3}]이므로 [eqn: ANGLE {rmOCD}= {pi} over {6}], [eqn: ANGLE {rmACB}= {pi} over {3}]이다. [eqn: bar{rmAE}=a]라 하면 [eqn: bar{rmAF}=a]이고

(삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} times16times LEFT ( a+4 RIGHT ) times{sin {pi} over {3} }]

[eqn: =4 sqrt {3} LEFT ( a+4 RIGHT )]

(삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rmOBC]의 넓이)

[eqn: +](삼각형 [eqn: rmOCA]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} times {4 sqrt {3}} over {3} times LEFT { LEFT ( a+12 RIGHT ) +16+ LEFT ( a+4 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {4 sqrt {3}} over {3} LEFT ( a+16 RIGHT )]

이다.

그러므로 [eqn: 4 sqrt {3} LEFT ( a+4 RIGHT ) = {4 sqrt {3}} over {3} LEFT ( a+16 RIGHT )]에서 [eqn: a=2]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 둘레의 길이는

[eqn: 2times LEFT ( 12+4+2 RIGHT ) =36]

[다른 풀이]

삼각형 [eqn: rmBCA]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos {pi} over {3} = {16 ^{2} + LEFT ( a+4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( a+12 RIGHT ) ^{2}} over {2times16times LEFT ( 1+4 RIGHT )}]

이므로 [eqn: a=2]이다.

① [eqn: {71} over {2}]	② [eqn: 36]	③ [eqn: {73} over {2}]

④ [eqn: 37]	⑤ [eqn: {75} over {2}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
06 넓이6 (각 표시)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: {4}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]이고 중심이 [eqn: rmO]인 원 위의 세 점 [eqn: rmA ,```` B ,```` C]에 대하여

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: ANGLE rm ABC=120°], [eqn: rm {bar{AB}} + {bar{BC}} =2 sqrt {15}]이므로 [eqn: rm {bar{AB}} =it a,```` {bar{rmBC}} = it b]라 하면 [eqn: a+b = 2root15]	[eqn: cdotscdots] ㉠

위의 그림안의 삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm AC}} =8 TIMES sin120 DEG =4 sqrt {3}]	[eqn: cdotscdots] ㉡

또 코사인법칙을 이용하면

[eqn: {bar{rm AC}} ^{2}][eqn: =a ^{2} +b ^{2} -2ab cos120 DEG]
[eqn: =a ^{2} +b ^{2} +ab]
[eqn: = LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -ab]

㉠, ㉡을 대입하면

[eqn: ab= LEFT ( 2 sqrt {15} RIGHT ) ^{2} - LEFT ( 4 sqrt {3} RIGHT ) ^{2} =12]	[eqn: cdotscdots] ㉢

사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = (rmtriangle ABC]의 넓이[eqn: )+( rm triangle OAB]의 넓이[eqn: )]
[eqn: = 1over 2 cdot a cdot b cdot sin 120DEG+ 1over 2 cdot 4 cdot 4 cdot sin 120DEG][eqn: ={1} over {2} LEFT ( 4 TIMES 4+ab RIGHT ) sin120 DEG]
[eqn: =7 sqrt {3}] ([eqn: because] ㉢)

[eqn: ANGLE rm ABC=120°], [eqn: rm {bar{AB}} + {bar{BC}} =2 sqrt {15}]

일 때, 사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이는?

① [eqn: 5 sqrt {3}]	② [eqn: {11 sqrt {3}} over {2}]	③ [eqn: 6 sqrt {3}]

④ [eqn: {13 sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 7 sqrt {3}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 10

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {{pi} over {3}}{{from^2020^04^서울고3가^}}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]에서 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 3 ``:`` 1]로 내분하는 점을 [eqn: rmP], 선분 [eqn: rmOB]를 [eqn: 1 ``:`` 2]로 내분하는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이가 [eqn: 4 sqrt {3}]일 때, 호 [eqn: rmAB]의 길이는?

[정답] ④

[해설]

부채꼴 [eqn: rmOAB]의 반지름의 길이를 [eqn: r]라 하면

[eqn: {bar{rmOP}} = {3} over {4} r], [eqn: {bar{rmOQ}} = {1} over {3} r]

삼각형 [eqn: rmOPQ]의 넓이가 [eqn: 4 sqrt {3}]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES {3} over {4} r TIMES {1} over {3} r TIMES sin {pi} over {3}][eqn: = {sqrt {3}} over {16} r ^{2}][eqn: =4 sqrt {3}], [eqn: r=8]

따라서 호 [eqn: rmAB]의 길이는 [eqn: 8 TIMES {pi} over {3}][eqn: = {8} over {3} pi]

① [eqn: {5} over {3} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {7} over {3} pi]

④ [eqn: {8} over {3} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 17

그림과 같이 길이가 [eqn: {12}{{from^2020^04^서울고3나^}}]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: rmAB]위에 점 [eqn: rmC]가 있다. 호 [eqn: rmCB]의 길이가 [eqn: 2pi]일 때, 두 선분 [eqn: rmAB ,```` AC]와 호 [eqn: rmCB]로 둘러싸인 부분의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

반원의 중심을 [eqn: rmO]라 하고 부채꼴 [eqn: rmOBC]의 중심각의 크기를 [eqn: theta]라 하자.

반원의 반지름의 길이가 [eqn: 6]이고 호 [eqn: rmCB]의 길이가 [eqn: 2pi]이므로

[eqn: 2pi][eqn: =6 theta]에서 [eqn: theta][eqn: = {pi} over {3}]

부채꼴 [eqn: rmOBC]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 6 ^{2} TIMES {pi} over {3}][eqn: =6pi]

[eqn: ANGLE rm COA][eqn: = {2pi} over {3}]이므로 삼각형 [eqn: rmCAO]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES 6 ^{2} TIMES sin {2pi} over {3}][eqn: =9 sqrt {3}]

따라서 구하는 넓이는 [eqn: 6pi+9 sqrt {3}]

① [eqn: 5pi+9 sqrt {3}]	② [eqn: 5pi+10 sqrt {3}]

③ [eqn: 6pi+9 sqrt {3}]	④ [eqn: 6pi+10 sqrt {3}]

⑤ [eqn: 7pi+9 sqrt {3}]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 29

그림과 같이 예각삼각형 [eqn: {rmABC}{{from^2020^03^경기고3나^}}]가 한 원에 내접하고 있다. [eqn: {bar{rm AB}} =6]이고, [eqn: ANGLE rm ABC= alpha]라 할 때 [eqn: cos alpha= {3} over {4}]이다. 점 [eqn: rmA]를 지나지 않는 호 [eqn: rmBC] 위의 점 [eqn: rmD]에 대하여 [eqn: {bar{rm CD}} =4]이다. 두 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rmCBD]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,```` S _{2}]라 할 때, [eqn: S _{1} ``:`` S _{2} =9 ``:`` 5]이다. 삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이를 [eqn: S]라 할 때, [eqn: S ^{2}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 63 }]

[해설]

[eqn: angle{rmBAD}]와 [eqn: angle{rmBCD}]는 같은 호에 대한 원주각이므로 그 크기가 같다.

[eqn: angle{rmBAD}=angle{rmBCD}=theta ,```` bar{rmAD}=a ,```` bar{rmCB}=b]라 하면

삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이 [eqn: S _{1}]은

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES {bar{rm AB it}} TIMES {bar{rm AD it}} TIMES sin theta = {1} over {2} TIMES 6 TIMES a TIMES sintheta=3a sintheta]

삼각형 [eqn: rmCBD]의 넓이 [eqn: S _{2}]는

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES {bar{rm CB it}} TIMES {bar{rm CD it}} TIMES sin theta = {1} over {2} TIMES b TIMES 4 TIMES sin theta =2b sin theta]

[eqn: S _{1} ``:`` S _{2} =9 ``:`` 5]이므로 [eqn: 3a ``:`` 2b=9 ``:`` 5]

[eqn: a ``:`` b=6 ``:`` 5]이므로 [eqn: a=6k ,```` b=5k LEFT ( k>0 RIGHT )]라고 하자.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{2} =6 ^{2} + LEFT ( 5k RIGHT ) ^{2} -2 TIMES 6 TIMES 5k TIMES cosalpha]	[eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: angle{rmABC}]와 [eqn: angle{rmADC}]는 같은 호에 대한 원주각이므로

[eqn: angle{rmABC}=angle{rmADC}=alpha]

삼각형 [eqn: rmADC]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm AC it}} ^{2} = LEFT ( 6k RIGHT ) ^{2} +4 ^{2} -2 TIMES 6k TIMES 4 TIMES cos alpha]	[eqn: cdotscdots] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 11k ^{2} +9k-20=0], [eqn: LEFT ( 11k+20 RIGHT ) LEFT ( k-1 RIGHT ) =0]

[eqn: k>0]이므로 [eqn: k=1]이고 [eqn: a=6k=6]

[eqn: sin alpha = sqrt {1-cos ^{2} alpha } = sqrt {1- LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {7}} over {4}]

삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S= {1} over {2} TIMES {bar{rm AD it}} TIMES {bar{rm CD it}} TIMES sin alpha = {1} over {2} TIMES 6 TIMES 4 TIMES {sqrt {7}} over {4} =3 sqrt {7}]

따라서 [eqn: S ^{2} = LEFT ( 3 sqrt {7} RIGHT ) ^{2} =63]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 19

그림과 같이 중심이 [eqn: {rmO}{{from^2020^03^경기고3가^}}]이고 반지름의 길이가 [eqn: sqrt {10}]인 원에 내접하는 예각삼각형 [eqn: rmABC]에 대하여 두 삼각형 [eqn: rmOAB], [eqn: rmOCA]의 넓이를 각각 [eqn: S _{1} ,```` S _{2}]라 하자. [eqn: 3S _{1} =4S _{2}]이고 [eqn: {bar{rm BC}} =2 sqrt {5}]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: {bar{rm BC}} =2 sqrt {5}], [eqn: {bar{rm OB}} = {bar{rm OC}} = sqrt {10}]이므로 삼각형 [eqn: rmOBC]는 직각이등변삼각형이고 [eqn: ANGLE rm BOC= {pi} over {2}]이다.

[eqn: ANGLE rm AOB= alpha], [eqn: ANGLE rm AOC= beta]라 하면 두 삼각형 [eqn: rmOAB ,```` OCA]의 넓이 [eqn: S _{1} ,```` S _{2}]는 각각

[eqn: S _{1}][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} TIMES sin alpha][eqn: =5 sin alpha]

[eqn: S _{2}][eqn: = {1} over {2} TIMES LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} TIMES sin beta][eqn: =5 sin beta]

주어진 조건에서 [eqn: 3S _{1} =4S _{2}]이므로

[eqn: sin alpha = {4} over {3} ` sin beta]

[eqn: alpha + beta + {pi} over {2}][eqn: =2pi]이므로 [eqn: beta = {3pi} over {2} - alpha]

[eqn: sin alpha][eqn: = {4} over {3} `sin LEFT ( {3} over {2} pi- alpha RIGHT )][eqn: = it - {4} over {3} ` cos alpha]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

[eqn: sin ^{2} alpha +cos ^{2} alpha =1]에서 [eqn: {16} over {9} cos ^{2} alpha +cos ^{2} alpha][eqn: =1]

[eqn: cos ^{2} alpha = {9} over {25}]

[eqn: sin alpha >0]이므로 ㉠에서 [eqn: cos alpha <0]

따라서 [eqn: cos alpha = it - {3} over {5}]

코사인법칙에 의하여 구하는 선분 [eqn: rmAB]의 길이는

[eqn: {bar{rm AB}}][eqn: = sqrt {LEFT ( {bar{rm OA it}} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {bar{rm OB it}} RIGHT ) ^{2} -2 TIMES {bar{rm OA it}} TIMES {bar{rm OB it}} cos alpha }]
[eqn: = sqrt {LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} -2 LEFT ( sqrt {10} RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( - {3} over {5} RIGHT )}]
[eqn: =4 sqrt {2}]

① [eqn: 2 sqrt {7}]	② [eqn: sqrt {30}]	③ [eqn: 4 sqrt {2}]

④ [eqn: sqrt {34}]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 17

[eqn: 0<theta< {pi} over {4}]인 임의의 실수 [eqn: theta]에 대하여 그림과 같이 [eqn: bar{rmAB}=3], [eqn: ANGLE {rmABC}=theta], [eqn: ANGLE {rmCAB}=3theta]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 선분 [eqn: rmBC] 위에 점 [eqn: rmD]를 [eqn: ANGLE {rmDAC}=theta]가 되도록 잡고, 선분 [eqn: rmAC] 위에 점 [eqn: rmE]를 [eqn: ANGLE {rmEDC}=theta]가 되도록 잡는다. 다음은 삼각형 [eqn: rmADE]의 넓이 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]를 구하는 과정이다.

[정답] ②

[해설]

[eqn: ANGLE {rmABC}=theta], [eqn: ANGLE {rmDAB}=2theta]이므로 [eqn: ANGLE {rmBDA}=pi-3theta]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{rm AD it}}} over {sin{theta}} = {bar{rmAB}} over {box{ ```` sin LEFT ( pi-3theta RIGHT ) ```` }}]

이므로 [eqn: bar{rmAD}= {3sin{theta}} over {box{ ```` sin LEFT ( pi-3theta RIGHT ) ```` }}]이다.

또한 [eqn: ANGLE {rmEAD}=theta]이고 [eqn: ANGLE {rmADE}=2theta]이므로 [eqn: ANGLE {rmDEA}=pi-3theta]이다.

삼각형 [eqn: rmADE]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmDE}} over {sin{theta}} = {bar{rmAD}} over {sin LEFT ( pi-3theta RIGHT )} times{bar{rmAD}}=box{ ```` {1} over {3} ```` }times{bar{rmAD}} ^{2}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmADE]의 넓이 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]는

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = {1} over {2} times{bar{rmAD}}times{bar{rmDE}}times{sin LEFT ( ANGLE rmADE RIGHT ) }]
[eqn: = {1} over {6} TIMES LEFT { {3sin theta } over {sin LEFT ( pi -3 theta RIGHT )} RIGHT } ^{3} TIMES sin2 theta]
[eqn: = {9} over {2} TIMES LEFT ( {sin theta } over {sin3 theta } RIGHT ) ^{3} TIMES {BOX{ ```` sin2 theta ```` }}]

이다.

[eqn: LEFT . f LEFT ( theta RIGHT ) =sin LEFT ( pi -3 theta RIGHT ) RIGHT .], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT ) =sin2theta], [eqn: p= {1} over {3}]이므로

[eqn: {p}times{f LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) }times{g LEFT ( {pi} over {12} RIGHT ) }][eqn: = {1} over {3} times{sin {pi} over {2} }times{sin {pi} over {6} }]
[eqn: = {1} over {6}]

[eqn: ANGLE {rmABC}=theta], [eqn: ANGLE {rmDAB}=2theta]이므로 [eqn: ANGLE {rmBDA}=pi-3theta]이다.

삼각형 [eqn: rmABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmAD}} over {sin{theta}} = {bar{rmAB}} over {box{ ```` (가) ```` }}]

이므로 [eqn: bar{rmAD}= {3sin{theta}} over {box{ ```` (가) ```` }}]이다.

또한 [eqn: ANGLE {rmADE}=2theta]이므로

[eqn: bar{rmDE}=box{ ```` (나) ```` }times{bar{rmAD}} ^{2}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: rmADE]의 넓이 [eqn: S LEFT ( theta RIGHT )]는

[eqn: S LEFT ( theta RIGHT ) = {9} over {2} times LEFT ( {sin{theta}} over {sin{3theta}} RIGHT ) ^{3} times{box{ ```` (다) ```` }}]

이다.

위의 (가), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT )], [eqn: g LEFT ( theta RIGHT )]라 하고, (나)에 알맞은 수를 [eqn: p]라 할 때, [eqn: p{times}f LEFT ( {pi} over {6} RIGHT ) times{g LEFT ( {pi} over {12} RIGHT ) }]의 값은?

① [eqn: {1} over {12}]	② [eqn: {1} over {6}]	③ [eqn: {1} over {4}]

④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {12}]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 11

그림과 같이 원에 내접하는 삼각형 [eqn: {rmABC}{{from^2021^7^경찰대^중}}]가 있다. 호 [eqn: rmAB], 호 [eqn: rmBC], 호 [eqn: rmCA]의 길이가 각각 [eqn: 3 ,```` 4 ,```` 5]이고 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: S]일 때, [eqn: {pi ^{2} S} over {9}]의 값은?

[정답] ⑤

[해설]

원의 중심을 [eqn: {rm O]라 하면 [eqn: rm arch { AB} ``:`` arch { BC} ``:`` arch { CA} =3 ``:`` 4 ``:`` 5]이므로

[eqn: rm ANGLE A ``:`` ANGLE B ``:`` ANGLE C = 4 ``:`` 5 ``:`` 3]

그런데. [eqn: rm ANGLE A + ANGLE B + ANGLE C = 180 DEG]이므로

[eqn: rm ANGLE A = { 4 over { 12} TIMES 180 DEG = 60 DEG]

[eqn: rm ANGLE C = { 3} over { 12} TIMES 180 DEG = 45 DEG]

삼각형 [eqn: rm ABC]의 외접원의 둘레의 길이가 [eqn: 12]이므로 외접원의 반지름 [eqn: R]은 [eqn: 2piR = 12]

[eqn: therefore][eqn: R= { 6} over { pi}]

즉, 삼각형 [eqn: rm ABC]에서 사인법칙에 의해 [eqn: { rm bar { BC} } over { sin 60DEG} = {rm bar { AB} } over { sin45 DEG} = { 12} over { pi}]이므로

[eqn: rm bar { BC}= { 6 sqrt { 3} } over { pi}], [eqn: rm {bar{AB}} = { 6 sqrt { 2} } over { pi}]

[eqn: rm bar { AC}=it x]라 하면 [eqn: rm TRIANGLE ABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: rm {bar { BC}}^2 = {bar { AB}}^2 + {bar { AC}}^2 -2 CDOT bar { AB} CDOT bar { AC} CDOT cos A]

즉, [eqn: { 108} over { pi^2} = { 72} over { pi^2} + x^2 - 2 CDOT { 6 sqrt { 2} } over { pi} CDOT x CDOT cos 60 DEG]에서

[eqn: x^2 - { 6 sqrt { 2} } over { pi}x- { 36} over { pi^2}=0]

[eqn: therefore][eqn: x= { 3 LEFT ( sqrt { 2}+ sqrt { 6} RIGHT ) } over { pi}]

따라서 [eqn: rm bar { AC}= { 3 LEFT ( sqrt { 2}+ sqrt { 6} RIGHT ) } over { pi}]이므로

[eqn: S][eqn: = { 1} over { 2} CDOT { 6 sqrt { 2} } over { pi}CDOT { 3 LEFT ( sqrt { 2}+ sqrt { 6} RIGHT ) } over { pi }CDOT sin 60 DEG]
[eqn: ={ 27+9 sqrt { 3} } over { pi^2}]

따라서 [eqn: { pi^2 S} over { 9}= 3+ sqrt { 3}]

① [eqn: 2- sqrt {3}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 1+ sqrt {3}]

④ [eqn: 2+ sqrt {3}]	⑤ [eqn: 3+ sqrt {3}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 29

[eqn: bar{rmDA}=2bar{rmAB}], [eqn: angle{rmDAB}= {2} over {3} pi]이고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: rmABCD]가 있다. 두 대각선 [eqn: rmAC], [eqn: rmBD]의 교점을 [eqn: rmE]라 할 때, 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmBD]를 [eqn: 3 ``:`` 4]로 내분한다. 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이가 [eqn: {q} over {p} sqrt {3}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[해설]

[eqn: bar{rmAB}=a]라 하면 [eqn: bar{rmDA}=2a]이다.

삼각형 [eqn: rmDAB]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rmBD}} ^{2}][eqn: =a ^{2} + LEFT ( 2a RIGHT ) ^{2} -2{times}a{times}2a TIMES cos {2} over {3} pi][eqn: =7a ^{2}]이므로 [eqn: bar{rmBD}= sqrt {7} a]이다.

[eqn: bar{rmBE} ``:`` bar{rmED}=3 ``:`` 4]이므로

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이[eqn: )][eqn: ``:``][eqn: (]삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이[eqn: )]

[eqn: =3 ``:`` 4]

[eqn: angle{rmABC}=theta]라 할 때,

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이[eqn: )][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm BA it}} times {bar{rm BC it}} TIMES sin theta]

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이[eqn: )][eqn: = {1} over {2} {times}bar{rmDA}{times}bar{rmDC}{times}sin LEFT ( pi-theta RIGHT )]

이고

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이[eqn: )][eqn: ``:``][eqn: (]삼각형 [eqn: rmADC]의 넓이[eqn: )]

[eqn: =bar{rmBA}{times}bar{rmBC} ``:`` bar{rmDA}{times}bar{rmDC}][eqn: =3 ``:`` 4]

이므로 [eqn: bar{rmBC}= {3} over {2} bar{rmDC}]이다.

[eqn: bar{rmDC}=k]라 하면 [eqn: bar{rmBC}= {3k} over {2}]이고 [eqn: bar{rmBD}= sqrt {7} a], [eqn: angle{rmBCD}= {pi} over {3}]이므로 삼각형 [eqn: rmBCD]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos {pi} over {3} = {LEFT ( {3k} over {2} RIGHT ) ^{2} +k ^{2} - LEFT ( sqrt {7} a RIGHT ) ^{2}} over {2{times} {3k} over {2} {times}k}]이므로 [eqn: k=2a]이고 [eqn: bar{rmBC}=3a], [eqn: bar{rmDC}=2a]이다.

삼각형 [eqn: rmDAB]의 외접원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이고 사인법칙에 의하여 [eqn: {sqrt {7} a} over {sin {2} over {3} pi} =2]이므로 [eqn: a= {sqrt {21}} over {7}]이다.

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmABD]의 넓이[eqn: )]

[eqn: = {1} over {2} times {sqrt {21}} over {7} times {2 sqrt {21}} over {7} {times}sin {2} over {3} pi]
[eqn: = {3 sqrt {3}} over {14}]

[eqn: (]삼각형 [eqn: rmBCD]의 넓이[eqn: )]

[eqn: = {1} over {2} times {3 sqrt {21}} over {7} times {2 sqrt {21}} over {7} {times}sin {pi} over {3}]

[eqn: = {9 sqrt {3}} over {14}]

이므로 사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이는 [eqn: {3 sqrt {3}} over {14} + {9 sqrt {3}} over {14} = {6 sqrt {3}} over {7}]이다.

따라서 [eqn: p+q=13]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 16

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: rm 2]이고 중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {2}]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{C}} it]를 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=1]이 되도록 잡는다. 선분 [eqn: {rm{OC}} it] 위의 점 [eqn: {rm{O}} it]가 아닌 점 [eqn: {rm{D}} it]에 대하여 삼각형 [eqn: {rm{BOD}} it]의 넓이가 [eqn: {7} over {6}]일 때, 선분 [eqn: {rm{OD}} it]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: angle {rm{COA}} it = theta]라 하면 삼각형 [eqn: {rm{COA}} it]에서 코사인법칙에 의하여
[eqn: cos theta={2^{2}+2^{2}-1^{2}} over {2 times 2 times 2}={7} over {8}]이다.
삼각형 [eqn: {rm{BOD}} it]에서 [eqn: angle {rm{BOD}} it ={ pi} over {2}- theta]이고
삼각형 [eqn: {rm{BOD}} it]의 넓이가 [eqn: {7} over {6}]이므로
[eqn: overline{{rm{OD}} it }=x]라 놓으면
[eqn: {1} over {2} times 2 times x times sin left({ pi} over {2}- theta right)={7} over {6}]이다.
한편, [eqn: sin left({ pi} over {2}- theta right)= cos theta={7} over {8}]이므로
[eqn: {7} over {8} x={7} over {6}], 즉 [eqn: x={4} over {3}]이다. 따라서 [eqn: overline{{rm{OD}} it }={4} over {3}]

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {31} over {24}]	③ [eqn: {4} over {3}]

④ [eqn: {11} over {8}]	⑤ [eqn: {17} over {12}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
07 넓이7 (넓이관계식)

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 29

삼각형 [eqn: rmABC]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] [eqn: 71]

[해설]

삼각형 [eqn: rmABC]에서 [eqn: bar{rmBC}=ita], [eqn: bar{rmCA}=itb], [eqn: bar{rmAB}=itc]라 하고

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하자.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 사인법칙에 의해

[eqn: a=2R`sin`A], [eqn: b=2R`sin`B], [eqn: c=2R`sin`C]

조건 (가)에 의해

[eqn: sin`A= sqrt {1- LEFT ( - {1} over {4} RIGHT ) ^{2}} = {sqrt {15}} over {4}]이므로

[eqn: a= {sqrt {15}} over {2} R]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

조건 (나)에 의해

[eqn: b+c=2R LEFT ( sin`B+sin`C RIGHT ) =2R TIMES {9} over {8} = {9} over {4} R]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: sqrt {15}]이므로

[eqn: {1} over {2} bc`sin`A= {1} over {2} bc TIMES {sqrt {15}} over {4} = sqrt {15}]에서 [eqn: bc=8]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉢

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙에 의해

[eqn: a ^{2}][eqn: =b ^{2} +c ^{2} -2bc`cos`A]
[eqn: =b ^{2} +c ^{2} + {1} over {2} bc]
[eqn: = LEFT ( b+c RIGHT ) ^{2} - {3} over {2} bc]

㉠, ㉡, ㉢에 의해

[eqn: LEFT ( {sqrt {15}} over {2} R RIGHT ) ^{2} = LEFT ( {9} over {4} R RIGHT ) ^{2} - {3} over {2} TIMES 8]에서 [eqn: R ^{2} = {64} over {7}]이므로

삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {64} over {7} pi]

따라서 [eqn: p=7], [eqn: q=64]이며 [eqn: p+q=71]

(가) [eqn: cos`A=it- {1} over {4}]

(나) [eqn: sin`B+sin`C= {9} over {8}]

삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이가 [eqn: sqrt {15}]일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 외접원의 넓이는 [eqn: {q} over {p} pi]이다. [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 20

그림과 같이 양수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=4], [eqn: overline{{rm{BC}} it }=a], [eqn: overline{{rm{CA}} it }=8]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 있다. [eqn: angle {rm{BAC}} it]의 이등분선이 선분 [eqn: {rm{BC}} it]와 만나는 점을 [eqn: {rm{P}} it]라 하자. [eqn: a( sin B+ sin C)=6 sqrt{3}]일 때, 선분 [eqn: {rm{AP}} it]의 길이는? (단, [eqn: angle {rm{BAC}} it >90 DEG])

[정답] ②

[해설]

삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R]라 하면 [eqn: sin ( angle {rm{BAC}} it )= sin A={a} over {2 R}]

[eqn: sin B={8} over {2 R}], [eqn: sin C={4} over {2 R}]
[eqn: a( sin B+ sin C)=a left({8} over {2 R}+{4} over {2 R} right)={6 a} over {R}=6 sqrt{3}]
[eqn: {a} over {R}= sqrt{3}], [eqn: sin A={a} over {2 R}={ sqrt{3}} over {2}]

[eqn: angle {rm{BAC}} it >90 DEG]이므로 [eqn: angle {rm{BAC}} it ={2} over {3} pi]

선분 [eqn: {rm{AP}} it]가 [eqn: angle {rm{BAC}} it]를 이등분하므로

[eqn: angle {rm{PAB}} it = angle {rm{PAC}} it ={ pi} over {3}], [eqn: overline{{rm{BP}} it }: overline{{rm{PC}} it }=4: 8=1: 2]

삼각형 [eqn: {rm{ABP}} it]의 넓이는 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이의 [eqn: {1} over {3}]배

[eqn: {1} over {2} times 4 times overline{{rm{AP}} it } times sin { pi} over {3}={1} over {3} times left({1} over {2} times 4 times 8 times sin {2} over {3} pi right)]

따라서 선분 [eqn: {rm{AP}} it]의 길이는 [eqn: {8} over {3}]

① [eqn: {7} over {3}]	② [eqn: {8} over {3}]	③ [eqn: rm 3]

④ [eqn: {10} over {3}]	⑤ [eqn: {11} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 15

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: R(5<R<5 sqrt{5})]인 원에 내접하는 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]가 다음 조건을 만족시킨다.

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AD}} it }=k]라 할 때

두 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it], [eqn: {rm{ACD}} it]에서 각각 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos ( angle {rm{ACB}} it )][eqn: ={10^{2}+ overline{{rm{BC}} it }^{2}-k^{2}} over {2 times 10 times overline{{rm{BC}} it }}]
[eqn: ={1} over {20} left( overline{{rm{BC}} it }+{box{``100-k^{2}``}} over { overline{{rm{BC}} it }} right)]

[eqn: cos ( angle {rm{DCA}} it )][eqn: ={10^{2}+ overline{{rm{CD}} it }^{2}-k^{2}} over {2 times 10 times overline{{rm{CD}} it }}]
[eqn: ={1} over {20} left( overline{{rm{CD}} it }+{box{``100-k^{2}``}} over { overline{{rm{CD}} it }} right)]

이다.

이때 두 호 [eqn: {rm{AB}} it], [eqn: {rm{AD}} it]에 대한 원주각의 크기가

같으므로 [eqn: cos ( angle {rm{ACB}} it )= cos ( angle {rm{DCA}} it )]이다.

[eqn: {1} over {20} left( overline{{rm{BC}} it }+{100-k^{2}} over { overline{{rm{BC}} it }} right)={1} over {20} left( overline{{rm{CD}} it }+{100-k^{2}} over { overline{{rm{CD}} it }} right)]

[eqn: overline{{rm{BC}} it }- overline{{rm{CD}} it }= left(100-k^{2} right) times left({1} over { overline{{rm{CD}} it }}-{1} over { overline{{rm{BC}} it }} right)]

[eqn: overline{{rm{BC}} it }- overline{{rm{CD}} it }= left(100-k^{2} right) times { overline{{rm{BC}} it }- overline{{rm{CD}} it }} over { overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it }}]

[eqn: overline{{rm{AC}} it }=10<2 R]이므로 [eqn: overline{{rm{BC}} it } neq overline{{rm{CD}} it }]

그러므로 [eqn: overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it }=100-k^{2}]

사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이는

두 삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it], [eqn: {rm{BCD}} it]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: {1} over {2} k^{2} sin ( angle {rm{BAD}} it )+{1} over {2} times overline{{rm{BC}} it } times overline{{rm{CD}} it } times sin ( pi- angle {rm{BAD}} it )]

[eqn: ={1} over {2} left{ k^{2}+ left(100-k^{2} right) it right} sin ( angle {rm{BAD}} it )]

[eqn: =50 sin ( angle {rm{BAD}} it )=40]

에서 [eqn: sin ( angle {rm{BAD}} it )=box{``{4} over {5}``}]이다.

삼각형 [eqn: {rm{ABD}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: { overline{{rm{BD}} it }} over { sin ( angle {rm{BAD}} it )}=2 R]에서 [eqn: overline{{rm{BD}} it }={8} over {5} R]이므로

[eqn: overline{{rm{BD}} it }: R=box{``{8} over {5}``}`: 1]

따라서 [eqn: f(k)=100-k^{2}], [eqn: p={4} over {5}], [eqn: q={8} over {5}]이므로

[eqn: {f(10 p)} over {q}= left(100-8^{2} right) times {5} over {8}={45} over {2}]

∘[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AD}} it }]이고 [eqn: overline{{rm{AC}} it }=10]이다.

∘사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이는 [eqn: rm 40]이다.

다음은 선분 [eqn: {rm{BD}} it]의 길이와 [eqn: R]의 비를 구하는 과정이다.

[eqn: overline{{rm{AB}} it }= overline{{rm{AD}} it }=k]라 할 때

두 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it], [eqn: {rm{ACD}} it]에서 각각 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos( ANGLErmACB)={1} over {20} LEFT(overlineBC +BOX{``(가)``} OVER OVERLINE BC RIGHT)],

[eqn: rm cos(angle DCA)rm][eqn: rm ={1} over {20} LEFT(overlineCD +BOX{``(가)``} OVER OVERLINE CD RIGHT)]

이다.

이때 두 호 AB, AD에 대한 원주각의 크기가 같으므로

[eqn: rm cos(angleACB)][eqn: rm =cos(angleDCA)]이다.

사각형 [eqn: rm ABCD]의 넓이는

두 삼각형 [eqn: rm ABD], [eqn: rm BCD]의 넓이의 합과 같으므로

[eqn: {1} over {2} k^2sin(angleRMBAD)+{1} over {2} TIMES overline {BC} times overline {CD} times sin(pi-angleBAD)=40]

에서 [eqn: rm sin(angleBAD)=][eqn: box{```(나)```}]이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm ABD]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: OVERLINE {RMBD} `: R=][eqn: box{```(다)```}``:1]이다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(k)]라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 할 때, [eqn: {f(10 p)} over {q}]의 값은?

① [eqn: {25} over {2}]	② [eqn: rm 15]	③ [eqn: {35} over {2}]

④ [eqn: rm 20]	⑤ [eqn: {45} over {2}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
08 넓이8 (포함과 배제)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 16

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: {1}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]인 정삼각형 [eqn: rmABC]에서 선분 [eqn: rmAB]의 연장선과 선분 [eqn: rmAC]의 연장선 위에 [eqn: bar{rm AD} = bar{rm CE}]가 되도록 두 점 [eqn: rmD ,```` E]를 잡는다. [eqn: bar{rm DE} = sqrt {13}]일 때, 삼각형 [eqn: rmBDE]의 넓이는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: bar{rm AD} = bar{rm CE} =a][eqn: LEFT ( a>0 RIGHT )]이라 하면 삼각형 [eqn: rmADE]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2} =a ^{2} + LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} -2a LEFT ( a+1 RIGHT ) cos {pi} over {3}]

[eqn: a ^{2} +a-12=0 ,```` LEFT ( a+4 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) =0 \]

[eqn: THEREFORE][eqn: a=3]

([eqn: △ rm ADE]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 4 TIMES 3 TIMES sin {pi} over {3} =3 sqrt {3}]

([eqn: △ rm ABE]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} TIMES 4 TIMES 1 TIMES sin {pi} over {3} = sqrt {3}]

따라서

([eqn: △ rm BDE]의 넓이)

[eqn: =]([eqn: △ rm ADE]의 넓이)[eqn: -]([eqn: △ rm ABE]의 넓이)[eqn: =2 sqrt {3}]

① [eqn: sqrt {6}]	② [eqn: 2 sqrt {2}]	③ [eqn: sqrt {10}]

④ [eqn: 2 sqrt {3}]	⑤ [eqn: sqrt {14}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 19

중심이 [eqn: {rm { O }}{{from^2021^9 고2인천^중}}]이고 길이가 [eqn: 10]인 선분 [eqn: rm { AB }]를 지름으로 하는 반원의 호 위에 점 [eqn: rm { P }]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rm { PB }]의 연장선 위에 [eqn: rm { bar{PA} `= bar{PC} }]인 점 [eqn: rm { C }]를 잡고, 선분 [eqn: rm { PO }]의 연장선 위에 [eqn: rm { bar{PA} `= bar{PD} }]인 점 [eqn: rm { D }]를 잡는다. [eqn: rm { ANGLE PAB= theta }]에 대하여 [eqn: 4`sin theta =3cos theta]일 때, 삼각형 [eqn: rm { ADC }]의 넓이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: rm { bar{OA} `= bar{OP} }]이므로 [eqn: rm { ANGLE OAP`= ANGLE OPA= theta }]

[eqn: rm { ANGLE APB= {pi } over {2} }]이므로 [eqn: rm { ANGLE CPD= {pi } over {2} - theta }]

[eqn: 4sin theta =3cos theta], [eqn: sin ^{2} theta `+cos ^{2} theta =1]이므로

[eqn: sin ^{2} theta + {16} over {9} `sin ^{2} theta =1], [eqn: sin ^{2} theta = {9} over {25}]

[eqn: 0< theta < {pi } over {2}]이므로 [eqn: sin theta = {3} over {5}], [eqn: cos theta = {4} over {5}]

[eqn: rm { bar{AB} =10 }], [eqn: rm { ANGLE APB= {pi } over {2} }]이므로

[eqn: rm { bar{PA} `=10cos theta `=8 }], [eqn: rm { bar{PA} `= bar{PC} `=` bar{PD} `=8 }]

(삼각형 [eqn: rm { ADC }]의 넓이)

[eqn: =](삼각형 [eqn: rm { PAD }]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rm { PDC }]의 넓이)

[eqn: -](삼각형 [eqn: rm { PAC }]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8 TIMES sin theta + {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8 TIMES sin LEFT ( {pi } over {2} - theta RIGHT )][eqn: - {1} over {2} TIMES 8 TIMES 8]

[eqn: =32sin theta +32cos theta -32]

[eqn: =32 TIMES {3} over {5} +32 TIMES {4} over {5} -32]

[eqn: = {64} over {5}]

① [eqn: {63} over {5}]	② [eqn: {127} over {10}]	③ [eqn: {64} over {5}]

④ [eqn: {129} over {10}]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 19

그림과 같이 중심이 [eqn: {rm{O}} it], 반지름의 길이가 [eqn: rm 1]이고 중심각의 크기가 [eqn: theta]인 부채꼴 [eqn: {rm{OAB}} it]가 있다. 호 [eqn: {rm{AB}} it]의 삼등분점 중
점 [eqn: {rm{A}} it]에 가까운 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하고, 직선 [eqn: {rm{OA}} it]와 직선 [eqn: {rm{BC}} it]가 만나는 점을 [eqn: {rm{D}} it]라 하자. 다음은 두 선분 [eqn: {rm{AD}} it], [eqn: {rm{CD}} it]와 호 [eqn: {rm{AC}} it]로 둘러싸인 부분의 넓이 [eqn: S( theta)]를 구하는 과정이다.

[정답] ①

[해설]

점 [eqn: {rm{C}} it]가 호 [eqn: {rm{AB}} it]의 삼등분점 중 점 [eqn: {rm{A}} it]에 가까운 점이므로

[eqn: ANGLE rm BOC it = {{BOX{2 over {3} theta ``}}}]

이다. 또한, 삼각형 [eqn: {rm{BOC}} it]에서

[eqn: ANGLE rm OBC it = ANGLE rm OCB it = {1} over {2} LEFT ( pi - {BOX{{2} over {3} theta ``}}`` RIGHT )]

이다. 한편, 삼각형 [eqn: {rm{BOD}} it]에서

[eqn: angle {rm{BDO}} it = pi- theta- left({ pi} over {2}-{ theta} over {3} right)={ pi} over {2}-{2 theta} over {3}]

이다. 따라서 삼각형 [eqn: {rm{BOD}} it]에서 사인법칙에 의하여 [eqn: { overline{{rm{OD}} it }} over { sin left({ pi} over {2}-{ theta} over {3} right)}={ overline{{rm{OB}} it }} over { sin left({ pi} over {2}-{2 theta} over {3} right)}]

[eqn: {bar{rm OD it}} = {cos {theta } over {3}} over {{BOX{`cos {2} over {3} theta`}} }]이다.

한편, 부채꼴 [eqn: {rm{OAC}} it]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} times 1^{2} times { theta} over {3}={ theta} over {6}]이다.
[eqn: S( theta)]는 삼각형 [eqn: {rm{COD}} it]의 넓이에서 부채꼴 [eqn: {rm{OAC}} it]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES 1 TIMES {cos {theta } over {3}} over {{BOX{``cos{2} over {3} theta``}} } TIMES `sin {theta } over {3} - box{``{theta } over {6}``}]이다.

따라서 [eqn: f( theta)={2} over {3} theta], [eqn: g( theta)= cos {2} over {3} theta], [eqn: h( theta)={ theta} over {6}]이므로

[eqn: f left({ pi} over {2} right)={ pi} over {3}], [eqn: g left({ pi} over {4} right)={ sqrt{3}} over {2}], [eqn: h left({ pi} over {8} right)={ pi} over {48}]이다.

그러므로 [eqn: {f left({ pi} over {2} right) times g left({ pi} over {4} right)} over {h left({ pi} over {8} right)}=8 sqrt{3}]

(단, [eqn: 0< theta<{3} over {4} pi])

점 [eqn: {rm{C}} it]가 호 [eqn: {rm{AB}} it]의 삼등분점 중 점 [eqn: {rm{A}} it]에 가까운 점이므로

[eqn: angle {rm{BOC}} it =][eqn: {BOX{``(가)``}}]

이다. 또한, 삼각형 [eqn: {rm{BOC}} it]에서

[eqn: angle {rm{OBC}} it = angle {rm{OCB}} it ={1} over {2}( pi-][eqn: {BOX{``(가)``}}][eqn: )]
이다. 한편, 삼각형 [eqn: {rm{BOD}} it]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {bar{rm OD it}} = {cos {theta } over {3}} over {{BOX{``(나)``}}}]

이다. [eqn: S( theta)]는 삼각형 [eqn: {rm{COD}} it]의 넓이에서 부채꼴 [eqn: {rm{OAC}} it]의 넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S( theta )= {1} over {2} TIMES {cos {theta } over {3}} over {{BOX{(``나)``}}} TIMES `sin {theta } over {3} -][eqn: {BOX{``(다)``}}]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f( theta)], [eqn: g( theta)], [eqn: h( theta)]라 할 때, [eqn: {f left({ pi} over {2} right) times g left({ pi} over {4} right)} over {h left({ pi} over {8} right)}]의 값은?

① [eqn: 8 sqrt{3}]	② [eqn: {17 sqrt{3}} over {2}]	③ [eqn: 9 sqrt{3}]

④ [eqn: {19 sqrt{3}} over {2}]	⑤ [eqn: 10 sqrt{3}]

03 수1	07 삼각함수의 활용
03 삼각형의 넓이
09 넓이9 (Mm)

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 20

[eqn: {{bar{rmAB}} =5}{{^2020^08^경찰대^중}}], [eqn: {bar{rmBC}} =7], [eqn: {bar{rmAC}} =6]인 삼각형 [eqn: rmABC]가 있다. 두 선분 [eqn: rmAB], [eqn: rmAC]위에 삼각형 [eqn: rmADE]의 외접원이 선분 [eqn: rmBC]에 접하도록 점 [eqn: rmD], [eqn: rmE]를 각각 잡을 때, 선분 [eqn: rmDE]의 길이의 최솟값은?

[정답] ⑤

[해설]

선분 [eqn: rmDE]가 최소가 될 때는 그림과 같이 수선 [eqn: rmAH]가 원의 지름일 때이다.

삼각형 [eqn: rmABC]에서 코사인법칙을 적용하면

[eqn: cos rm A= {25+36-49} over {2times5times6} = {1} over {5}]

따라서 [eqn: sin rm A= {sqrt {24}} over {5}] ([eqn: because][eqn: sin rmA >0])

또, 삼각형의 넓이를 비교하면

[eqn: {1} over {2} times5times6times sin rmA= {1} over {2} times7times {bar{rmAH}}]

이므로 [eqn: {bar{rmAH}} = {6 sqrt {24}} over {7}]

즉, 원은 지름이 [eqn: {bar{rmAH}}]이고, 삼각형 [eqn: rmADE]의 외접원이므로 사인법칙 [eqn: {bar{rmDE}} over { sin rm A} = 2R]에서

[eqn: {bar{rmDE}}][eqn: = {bar{rmAH}} times sin rmA][eqn: =][eqn: {6 sqrt {24}} over {7}][eqn: times {sqrt {24}} over {5}][eqn: = {144} over {35}]

① [eqn: {64} over {15}]	② [eqn: {81} over {20}]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: {121} over {30}]	⑤ [eqn: {144} over {35}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 14

길이가 [eqn: rm 14]인 선분 [eqn: {rm{AB}} it]를 지름으로 하는 반원의 호 [eqn: {rm{AB}} it] 위에 점 [eqn: {rm{C}} it]를 [eqn: overline{{rm{BC}} it }=6]이 되도록 잡는다. 점 [eqn: {rm{D}} it]가 호 [eqn: {rm{AC}} it] 위의 점일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[해설]

ㄱ. [eqn: angle {rm{BCA}} it ={ pi} over {2}]이므로

[eqn: cos ( angle {rm{CBA}} it )={ overline{{rm{BC}} it }} over { overline{{rm{AB}} it }}={3} over {7}]

[eqn: sin ( angle {rm{CBA}} it )= sqrt{1- left({3} over {7} right)^{2}}={2 sqrt{10}} over {7}] (참)

ㄴ. [eqn: angle {rm{CBA}} it = theta left(0< theta<{ pi} over {2} right)]라 하면

[eqn: angle {rm{ADC}} it = pi- theta]

[eqn: overline{{rm{AC}} it }= overline{{rm{AB}} it } times sin theta=14 times {2 sqrt{10}} over {7}=4 sqrt{10}]

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=k(k>0)]이라 하면

삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: (4 sqrt{10})^{2}=k^{2}+7^{2}-2 times k times 7 times cos ( pi- theta)]

[eqn: =k^{2}+49+14 k cos theta]

[eqn: =k^{2}+6 k+49]

[eqn: k^{2}+6 k-111=0]이므로

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=-3+ sqrt{9+111}=-3+2 sqrt{30}]

ㄷ. 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]의 넓이가 최대일 때 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이가 최대이므로 점 [eqn: {rm{D}} it]는 선분 [eqn: {rm{AC}} it]의 수직이등분선이 호 [eqn: {rm{AC}} it]와 만나는 점이다. 그러므로 [eqn: overline{{rm{AD}} it }= overline{{rm{CD}} it }]

[eqn: overline{{rm{AD}} it }=x(x>0)]이라 하면 삼각형 [eqn: {rm{ACD}} it]에서 코사인법칙에 의하여 [eqn: (4 sqrt{10})^{2}][eqn: =x^{2}+x^{2}-2 times x times x times cos ( pi- theta)]
[eqn: =2 x^{2}+2 x^{2} times {3} over {7}={20} over {7} x^{2}]

[eqn: x^{2}=56]이므로 [eqn: overline{{rm{AD}} it }=2 sqrt{14}]

사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이의 최댓값은

[eqn: {1} over {2} times overline{{rm{AD}} it } times overline{{rm{CD}} it } times sin ( pi- theta)+{1} over {2} times overline{{rm{AC}} it } times overline{{rm{BC}} it }]

[eqn: ={1} over {2} times(2 sqrt{14})^{2} times {2 sqrt{10}} over {7}+{1} over {2} times 4 sqrt{10} times 6]

[eqn: =8 sqrt{10}+12 sqrt{10}=20 sqrt{10}]	(참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

(단, 점 [eqn: {rm{D}} it]는 점 [eqn: {rm{A}} it]와 점 [eqn: {rm{C}} it]가 아닌 점이다.)

	<보 기>
ㄱ. [eqn: ~ sin ( angle {rm{CBA}} it )={2 sqrt{10}} over {7}] ㄴ. [eqn: overline{{rm{CD}} it }=7]일 때, [eqn: overline{{rm{AD}} it }=-3+2 sqrt{30}] ㄷ. 사각형 [eqn: {rm{ABCD}} it]의 넓이의 최댓값은 [eqn: 20 sqrt{10}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[수학1] [7삼각함수의 활용] 교사평경 최근 3개년(빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] ③

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 21 }]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: 21]

[정답] [eqn: 7]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] [eqn: bold{50}]

[정답] [eqn: bold27]

[정답] [eqn: bold{20}]

[정답] [eqn: bold { 41 }]

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: 84]

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ①

[정답] [eqn: bold { 36 }]

[정답] ④

[정답] [eqn: bold { 27 }]

[정답] [eqn: 15]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold26]

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 11]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 63 }]

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 13 }]

[정답] ③

[정답] [eqn: 71]

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ⑤

[수학1] [7삼각함수의 활용] 교사평경 최근 3개년(해설)
년도별경향	2022.12.27