		년도별경향	2022.12.27
교사평경3	06	[수학1] [6삼각함수의 그래프] 교사평경 최근 3개년

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
01 그래프1 (주기)

교사평경3		년도별경향
06		[수학1] [6삼각함수의 그래프] 교사평경 최근 3개년

	년도별경향		교사평경3
	[수학1] [6삼각함수의 그래프] 교사평경 최근 3개년		06

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 2

함수 [eqn: {y}{{from^2020^11^서울고2공통^중}}][eqn: =tan {x} over {4}]의 주기는?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=tan {x} over {4}]의 주기는 [eqn: {pi } over {LEFT |`` {1} over {4} ``RIGHT | } =4 pi]

① [eqn: pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: 3pi]

④ [eqn: 4pi]	⑤ [eqn: 5pi]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 15

두 함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: = left |`` sin 3x ``right |]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 주기는 [eqn: {pi} over {3}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기는 [eqn: {2pi} over {left |`` a ``right | }]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 주기가 서로 같으므로 [eqn: {2pi} over {left |`` a ``right | }][eqn: = {pi} over {3}]

[eqn: a]는 양수이므로 [eqn: a=6]

[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =cos LEFT ( ax RIGHT ) +1 ,```` g LEFT ( x RIGHT ) = left |`` sin 3x ``right | }{{from^2020^04^서울고3나^}}]

의 주기가 서로 같을 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 6

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =sin LEFT ( ax+ {pi} over {6} RIGHT )]의 주기가 [eqn: 4pi]일 때, [eqn: f LEFT ( pi RIGHT )]의 값은?

[정답] ④

[해설]

양수 [eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=sin LEFT ( ax+ {pi } over {6} RIGHT )]의 주기는

[eqn: {2 pi } over {a}]이므로 [eqn: {2 pi } over {a} =4 pi]에서 [eqn: a= {1} over {2}]

따라서 [eqn: f( pi )][eqn: =sin LEFT ( {pi } over {2} + {pi } over {6} RIGHT )][eqn: =cos {pi } over {6}][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]

① [eqn: 0]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {2}} over {2}]

④ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 09월 3

함수 [eqn: {y=cos {x} over {3}}{{from^2021^9 고2인천^중}}]의 주기는?

[정답] ⑤

[해설]

함수 [eqn: y=cosax]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {LEFT | a RIGHT |}]이므로 함수 [eqn: y=cos {x} over {3}]의 주기는

[eqn: {2 pi } over {{1} over {3}} =6 pi]

① [eqn: 2 pi]	② [eqn: 3 pi]	③ [eqn: 4 pi]

④ [eqn: 5 pi]	⑤ [eqn: 6 pi]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 3

함수 [eqn: y][eqn: =tan` LEFT ( pi`x+ {pi} over {2} RIGHT )]의 주기는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: tan LEFT ( pi x+ {pi } over {2} RIGHT ) =tan LEFT ( pi x+ {pi } over {2} + pi RIGHT ) =tan LEFT { pi (x+1)+ {pi } over {2} RIGHT }]

따라서 [eqn: y=tan LEFT ( pi x+ {pi } over {2} RIGHT )]의 주기는 [eqn: 1]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {pi} over {4}]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: {3} over {2}]	⑤ [eqn: {pi} over {2}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
02 그래프2 (삼각함수의 그래프)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 25

함수 [eqn: {y=k sin LEFT ( x+ {pi} over {2} RIGHT ) +10}{{from^2020^06^부산고2^}}]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi} over {3} ,```` 14 RIGHT )]을 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[해설]

함수 [eqn: y=k sin LEFT ( x+ {pi} over {2} RIGHT ) +10][eqn: =k cos x+10]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi} over {3} ,```` 14 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 14][eqn: =k cos {pi} over {3} +10]이고 [eqn: 14= {1} over {2} k+10]이다.

따라서 [eqn: k=8]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 28

[eqn: {0<a< {4} over {7}}{{from^2020^03^경기고3가^}}]인 실수 [eqn: a]와 유리수 [eqn: b]에 대하여 닫힌구간 [eqn: LEFT [ - {pi } over {a} ,```` {2 pi } over {a} RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 sin LEFT ( ax RIGHT ) +b]가 있다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( - {pi} over {2} ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( {7} over {2} pi ,```` 0 RIGHT )]을 지날 때, [eqn: 30 LEFT ( a+b RIGHT )]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[해설]

닫힌구간 [eqn: LEFT [ - {pi } over {a} ,```` {2 pi } over {a} RIGHT ]]에서 [eqn: 0<a< {4} over {7}]이므로 [eqn: - {pi} over {a} < it - {7} over {4} pi], [eqn: {7pi} over {2} < {2pi} over {a}]이다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 sin LEFT ( ax RIGHT ) +b]의 그래프가 두 점 [eqn: rm A it LEFT ( - {pi} over {2} ,```` 0 RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( {7} over {2} pi ,```` 0 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: f LEFT ( - {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( - {a} over {2} pi RIGHT ) +b][eqn: = it -2 sin LEFT ( {a} over {2} pi RIGHT ) +b][eqn: =0]

[eqn: f LEFT ( {7pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( {7a} over {2} pi RIGHT ) +b][eqn: =0]

따라서 [eqn: sin LEFT ( {7a pi} over {2} RIGHT ) = it -sin LEFT ( {a} over {2} pi RIGHT )]

[eqn: 0<a< {4} over {7}]에서 [eqn: 0< {a} over {2} pi< {2} over {7} pi], [eqn: 0< {7a} over {2} pi<2pi]이므로

[eqn: {7a pi} over {2} =2 pi - {a} over {2} pi] 또는 [eqn: {7a pi } over {2} = pi + {a} over {2} pi]

따라서 [eqn: a= {1} over {2}] 또는 [eqn: a= it {1} over {3}]

(ⅰ) [eqn: a= {1} over {2}]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( {1} over {2} x RIGHT ) +b]에서

[eqn: f LEFT ( - {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( - {pi} over {4} RIGHT ) +b]
[eqn: =2 TIMES LEFT ( - {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) +b]
[eqn: = it - sqrt {2} +b=0]

이므로 [eqn: b= sqrt {2}]

이는 [eqn: b]는 유리수라는 조건을 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a= {1} over {3}]일 때
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( {1} over {3} x RIGHT ) +b]에서

[eqn: f LEFT ( - {pi} over {2} RIGHT )][eqn: =2 sin LEFT ( - {pi } over {6} RIGHT ) +b]
[eqn: =2 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) +b]
[eqn: = it -1+b=0]

이므로 [eqn: b=1]

이때 [eqn: f LEFT ( {7} over {2} pi RIGHT ) =0]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: a= {1} over {3}], [eqn: b=1]이고

[eqn: 30 LEFT ( a+b RIGHT )][eqn: =30 TIMES LEFT ( {1} over {3} +1 RIGHT )][eqn: =40]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 25

함수 [eqn: y=2sin LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT ) +k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi} over {6} ,```` 2 RIGHT )]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 3 }]

[해설]

함수 [eqn: y=2sin LEFT ( x- {pi} over {3} RIGHT ) +k]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi} over {6} ,```` 2 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 2=2sin LEFT ( {pi} over {6} - {pi} over {3} RIGHT ) +k]이다.

따라서 [eqn: 2=2sin LEFT ( - {pi} over {6} RIGHT ) +k]에서 [eqn: k=3]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 25

함수 [eqn: y=3 sin (x+ pi)+k]의 그래프가 점 [eqn: left({ pi} over {6},`` {5} over {2} right)]를 지날 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 4]

[해설]

함수 [eqn: y=3 sin (x+ pi)+k]의 그래프가 점 [eqn: left({ pi} over {6},`` {5} over {2} right)]를 지나므로 [eqn: {5} over {2}=3 sin left({ pi} over {6}+ pi right)+k=3 times left(- sin { pi} over {6} right)+k]이다. 따라서 [eqn: -{3} over {2}+k={5} over {2}], 즉 [eqn: k=4]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
04 그래프4 (표준형 그래프에서 Mm)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 23
[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 22

함수[eqn: {f(x)=5sin LEFT ( {pi } over {2} x+1 RIGHT ) +3}{{from^2020^08^사관고3가^중}}]의 주기를 [eqn: p], 최댓값을 [eqn: M]이라 할 때, [eqn: p+M]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold12]

[해설]

함수 [eqn: f(x)=5sin LEFT ( {pi } over {2} x+1 RIGHT ) +3]에서 주기는 [eqn: p= 2pi over{ pi over2 } = 4]이고 최댓값은 [eqn: M= 5+3=8]이므로 [eqn: p+M= 12]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 22

함수[eqn: {f LEFT ( x RIGHT ) =5 sin x+1}{{from^2020^06^평가원고3나^}}]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[해설]

[eqn: -1 LEQ sinx leq 1]에서 [eqn: -5 leq 5sinx leq 5]이므로

[eqn: -5+1 leq 5sinx +1 leq 5+1]

[eqn: therefore][eqn: -4 le 5sin x +1 le 6]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =5 sin x+1]의 최댓값은 [eqn: 6]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 4

함수 [eqn: {f(x)=4cos x+3}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]의 최댓값은?

[정답] ②

[해설]

[eqn: -1 le cos x le 1]이므로 [eqn: f(x)=4 cos x +3]에서

[eqn: -1 le 4 cosx +3 le 7]

즉, [eqn: -1 le f(x) le 7]이므로 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: 7]이다.

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 07월 5

두양수 [eqn: {a }{{from^2020^인천교육청고3가^중}}], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a rm cos it bx+3]이 있다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 주기가 [eqn: 4 pi]이고 최솟값이 [eqn: -1]일 때, [eqn: a+b]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 주기가 [eqn: 4pi]이므로

[eqn: {2pi} over { ``|`` b ``|`` }][eqn: = 2pi overb][eqn: = 4pi]에서 [eqn: b][eqn: = 1 over2]

최솟값이 [eqn: -1]이므로 [eqn: - ``|`` a ``|`` +3][eqn: =-1]에서 [eqn: a][eqn: =4]

따라서 [eqn: a+b][eqn: = 9 over2]

① [eqn: {9} over {2}]	② [eqn: {11} over {2}]	③ [eqn: {13} over {2}]

④ [eqn: {15} over {2}]	⑤ [eqn: {17} over {2}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 11

두 상수 [eqn: a,~b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4cos` {pi } over {a} x+b]의 주기가 [eqn: 4]이고 최솟값이 [eqn: -1]일 때, [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a>0])

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4cos` {pi } over {a} x+b]의 주기가 [eqn: 4]이므로

[eqn: {2 pi } over {LEFT | ` {pi } over {a} ` RIGHT |} =4]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=2]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: -1]이므로

[eqn: -4+b= it -1]에서 [eqn: b=3]

따라서 [eqn: a+b=5]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]

④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 7

닫힌구간 [eqn: [0,`` pi]]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=- sin 2 x]가 [eqn: x=a]에서 최댓값을 갖고 [eqn: x=b]에서 최솟값을 갖는다. 곡선 [eqn: y=f(x)] 위의 두 점 [eqn: (a,`` f(a))], [eqn: (b,`` f(b))]를 지나는 직선의 기울기는?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: f(x)=- sin 2 x]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {2}= pi]이

므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x={ pi} over {4}]일 때 최솟값

[eqn: f left({ pi} over {4} right)=- sin { pi} over {2}=-1]

을 갖고, [eqn: x={3} over {4} pi]일 때 최댓값

[eqn: f left({3} over {4} pi right)=- sin {3} over {2} pi=1]

을 갖는다.

따라서 [eqn: a={3 pi} over {4}], [eqn: b={ pi} over {4}]이므로 두 점

[eqn: left({3} over {4} pi,`` 1 right)], [eqn: left({ pi} over {4},``-1 right)]을 지나는 직선의

기울기는

[eqn: {1-(-1)} over {{3} over {4} pi - {pi } over {4}} = {2} over {{pi } over {2}} = {4} over {pi }]

① [eqn: {1} over { pi}]	② [eqn: {2} over { pi}]	③ [eqn: {3} over { pi}]

④ [eqn: {4} over { pi}]	⑤ [eqn: {5} over { pi}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 11월

함수

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: f(x)=a- sqrt{3} tan 2 x]의 그래프의 주기는 [eqn: { pi} over {2}]이다.

함수 [eqn: f(x)]가 닫힌구간 [eqn: left[-{ pi} over {6},`` b right]]에서 최댓값과 최솟값을 가지므로

[eqn: -{ pi} over {6}<b<{ pi} over {4}]

한편, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 구간 [eqn: left[-{ pi} over {6},`` b right]]에서 [eqn: x]의 값이 증가할 때, [eqn: y]의 값은 감소한다.

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=`-{ pi} over {6}]에서 최댓값 [eqn: rm 7]을 가지므로

[eqn: f left(-{ pi} over {6} right)=a- sqrt{3} tan left(-{ pi} over {3} right)=7]에서

[eqn: a+ sqrt{3} tan { pi} over {3}=7]

[eqn: a+3=7],    [eqn: a=4]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=b]에서 최솟값 [eqn: rm 3]을 가지므로

[eqn: f(b)=4- sqrt{3} tan 2 b=3]에서

[eqn: tan 2 b={ sqrt{3}} over {3}]

이때, [eqn: -{ pi} over {3}<2 b<{ pi} over {2}]이므로

[eqn: 2 b={ pi} over {6}],    [eqn: b={ pi} over {12}]

[eqn: therefore] [eqn: a times b=4 times { pi} over {12}={ pi} over {3}]

[eqn: f LEFT (x RIGHT )=a- sqrt {3} tan` 2x]

가 닫힌구간 [eqn: LEFT [ - {pi } over {6} ,`` b RIGHT ]]에서 최댓값 [eqn: rm 7], 최솟값 [eqn: rm 3]을 가질 때, [eqn: a times b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.)

① [eqn: { pi} over {2}]	② [eqn: {5 pi} over {12}]	③ [eqn: { pi} over {3}]

④ [eqn: { pi} over {4}]	⑤ [eqn: { pi} over {6}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
01 삼각함수의 그래프
05 그래프5 (그래프 조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 10

세상수 [eqn: {a ,```` b ,```` c}{{from^2020^06^부산고2^}}]에 대하여 함수 [eqn: y=a sin bx+c]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a+b+c]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

[정답] ②

[해설]

주어진 삼각함수 [eqn: y=a sin bx+c] ([eqn: a>0], [eqn: b>0])의 최댓값이 [eqn: 3], 최솟값이 [eqn: -1]이므로

[eqn: a+c=3], [eqn: -a+c=1]

[eqn: therefore][eqn: a=2], [eqn: c=1]

한편, 주어진 그래프에서 삼각함수의 주기가 [eqn: {5} over {4} pi- {1} over {4} pi][eqn: =pi]이므로 [eqn: {2pi} over {b}][eqn: =pi]이고 [eqn: b=2]이다.

따라서 [eqn: a+b+c][eqn: =5]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 10

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: y=a{tanbx}+c]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a{times}b{times}c]의 값은?

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y=a{tanbx}+c]의 주기가 [eqn: 2pi]이고 [eqn: b>0]이므로 [eqn: {pi} over {b} =2pi]에서 [eqn: b= {1} over {2}]이다.

함수 [eqn: y=a{tan {x} over {2} }+c]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( 0,``2 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 2 = a tan 0 + c]에서 [eqn: c=2`]이다.

함수 [eqn: y=a{tan { x} over { 2} }+2]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( {pi} over {2} ,```` 5 RIGHT )]를 지나므로 [eqn: 5=a{tan {pi} over {4} }+2]에서 [eqn: a=3]이다.

따라서 [eqn: {a}times{b}times{c}=3]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 10

세 상수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: y=a cos b x+c]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: a times b times c]의 값은? (단, [eqn: a>0], [eqn: b>0])

[정답] ③

[해설]

주어진 삼각함수 [eqn: y=a cos b x+c(a>0,`` b>0)]의 최댓값이 [eqn: a+c], 최솟값이 [eqn: -a+c]이므로 [eqn: a+c=1], [eqn: -a+c=-3]에서 [eqn: a=2], [eqn: c=-1]이다. 한편, 주어진 그래프에서 삼각함수의 주기가 [eqn: {2} over {3} pi]이므로 [eqn: {2 pi} over {b}={2} over {3} pi], 즉 [eqn: b=3]이다. 따라서 [eqn: a times b times c=-6]

① [eqn: -10]	② [eqn: -8]	③ [eqn: -6]

④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -2]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
01 활용1 (대칭성과 길이 또는 넓이)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 10

두 양수 [eqn: { a ,```` b }{{from^2021^09^평가원^중}}]에 대하여 곡선 [eqn: y= a sin b pi x][eqn: LEFT ( 0 le x le 3 over b RIGHT )]이 직선 [eqn: y= a]와 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: rmA ,```` B]라 하자.

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y= a sin b pi x]의 주기는 [eqn: 2pi over {b pi} = 2 over b]이므로 두 점 [eqn: rmA ,```` B]의 좌표는 [eqn: rm A LEFT ( it 1over 2b ,```` a RIGHT ) ,```` rm B LEFT ( it 5 over 2b ,```` a RIGHT )]

따라서 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이가 [eqn: 5]이므로

[eqn: 1 over 2 times a times LEFT ( 5 over 2b - 1over 2b RIGHT ) = 5 ,```` a over b = 5]

[eqn: a= 5b]	[eqn: cdots cdots] ㉠

직선 [eqn: rmOA]의 기울기와 직선 [eqn: rmOB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5 over 4]이므로

[eqn: a over {1 over 2b} times a over {5 over 2b }][eqn: = 2ab times 2ab over 5]
[eqn: = {4a^2 b^2} over 5 = 5over 4]

[eqn: a^2 b^2 = 25 over 16 ,```` ab = 5over 4]	[eqn: cdots cdots] ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: a= 5 over 2 ,```` b= 1over 2]이므로

[eqn: a+b= 3]

삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이가 [eqn: 5]이고 직선 [eqn: rmOA]의 기울기와 직선 [eqn: rmOB]의 기울기의 곱이 [eqn: 5over 4]일 때, [eqn: a+b]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
02 활용2 (그래프의 활용)

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 11

양수 [eqn: a]에 대하여 집합 [eqn: LEFT { pile{it#it} x` RIGHT | `- {a} over {2} <x LEQ a,~x!= {a} over {2}][eqn: pile{it#it}right}]에서 정의된 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: {pi } over {{pi } over {a}} =a]이므로

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기는 [eqn: a]이다.

직선 [eqn: rmAB]는 원점을 지나고 기울기가 [eqn: sqrt {3}]인 직선이므로

양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: rm B LEFT ( itt,~ sqrt {3} t RIGHT )]로 놓으면 [eqn: rm A LEFT ( it-t,~- sqrt {3} t RIGHT )]이고, [eqn: {bar{rm AB}} =it4t]이다.

이때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 주기가 [eqn: a]이므로 [eqn: {bar{rm AC}} =it4t=a]이고, [eqn: rm C LEFT ( it-t+a,~- sqrt {3} t RIGHT )], 즉 [eqn: rm C LEFT ( it3t,~- sqrt {3} t RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmC]가 곡선 [eqn: y=tan` {pi x} over {a} =tan` {pi x} over {4t}] 위의 점이므로

[eqn: - sqrt {3} t=tan` {pi TIMES 3t} over {4t}]

[eqn: - sqrt {3} t=tan` {3pi } over {4}]에서

[eqn: t= {1} over {sqrt {3}}]

따라서 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는

[eqn: {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( 4t RIGHT ) ^{2}][eqn: = {sqrt {3}} over {4} TIMES LEFT ( {4} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {4} over {sqrt {3}}]
[eqn: = {4 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =tan` {{pi}x} over {a}]

가 있다. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프 위의 세 점 [eqn: rmO,~A,~B]를 지나는 직선이 있다. 점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 평행한 직선이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmC]라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC]가 정삼각형일 때, 삼각형 [eqn: rmABC]의 넓이는? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.)

① [eqn: {3 sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: {17 sqrt {3}} over {12}]	③ [eqn: {4 sqrt {3}} over {3}]

④ [eqn: {5 sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: {7 sqrt {3}} over {6}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 18

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: -{ pi} over {2 n}<x<{ pi} over {2 n}]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=3 sin 2 n x]가 있다. 원점 [eqn: {rm{O}} it]를 지나고 기울기가 양수인 직선과 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 서로 다른 세 점 [eqn: {rm{O}} it], [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]에서 만날 때, 점 [eqn: {rm{C}} it left({ pi} over {2 n},`` 0 right)]에 대하여 넓이가 [eqn: { pi} over {12}]인 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]가 존재하도록 하는 [eqn: n]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=3 sin 2 n x]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {2 n}={ pi} over {n}]이다.

원점을 지나고 기울기가 양수인 직선이 [eqn: -{ pi} over {2 n}<x<{ pi} over {2 n}]에서 함수 [eqn: y=3 sin 2 n x]의 그래프와 만나는 원점이 아닌 두 점 [eqn: {rm{A}} it]와 [eqn: {rm{B}} it]는 원점에 대하여 대칭이다. 따라서 실수 [eqn: t left(-{ pi} over {2 n}<t<{ pi} over {2 n},`` t neq 0 right)]에 대하여 점 [eqn: {rm{A}} it]의 좌표를 [eqn: (t,`` 3 sin 2 n t)]라 하면 점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표는 [eqn: (-t,``-3 sin 2 n t)]이다.

삼각형 [eqn: {rm{AOC}} it]의 넓이와 삼각형 [eqn: {rm{BOC}} it]의 넓이가 같으므로 삼각형 [eqn: {rm{ABC}} it]의 넓이는

[eqn: 2 times {1} over {2} times { pi} over {2 n} times 3| sin 2 n t|={ pi} over {12}]

이고 [eqn: | sin 2 n t|={n} over {18}]이다.

[eqn: 0<| sin 2 n t| leq 1]이므로 [eqn: 0<{n} over {18} leq 1]이다.

따라서 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: rm 18]이다.

① [eqn: rm 12]	② [eqn: rm 14]	③ [eqn: rm 16]

④ [eqn: rm 18]	⑤ [eqn: rm 20]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
02 삼각함수의 그래프 활용
03 활용3 (치환을 이용한 Mm)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 19

그림과 같이 두 점 [eqn: {rm A it LEFT ( -1 ,```` 0 RIGHT )}{{from^2020^06^부산고2^}}], [eqn: rm B it LEFT ( 1 ,```` 0 RIGHT )]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]이 있다. 원 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 [eqn: ANGLE rm PAB][eqn: = theta][eqn: LEFT ( 0< theta < {pi } over {2} RIGHT )]라 할 때, 반직선 [eqn: rmPB] 위에 [eqn: {bar{rmPQ}}][eqn: =3]인 점 [eqn: rmQ]를 정한다. 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표가 최대가 될 때, [eqn: sin ^{2} theta]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: ANGLE rm APB][eqn: = {pi} over {2}]이므로 [eqn: ANGLE rm PBA][eqn: = {pi} over {2} - theta]이고, [eqn: {bar{rmBP}}][eqn: =2 sin theta]이므로

[eqn: {bar{rmBQ}}][eqn: =3-2 sin theta]

따라서 점 [eqn: rmQ]의 [eqn: x]좌표는

[eqn: 1+ {bar{rm BQ it}} TIMES cos LEFT ( {pi} over {2} - theta RIGHT )]

[eqn: =1+ LEFT ( 3-2 sin theta RIGHT ) sin theta]
[eqn: =][eqn: 1+3 sin theta -2 sin ^{2} theta]
[eqn: = it -2 LEFT ( sin theta - {3} over {4} RIGHT ) ^{2} + {17} over {8}]

이므로 [eqn: sin theta = {3} over {4}]일 때 최대이다.

그러므로 [eqn: sin ^{2} theta][eqn: = {9} over {16}]

① [eqn: {7} over {16}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {9} over {16}]

④ [eqn: {5} over {8}]	⑤ [eqn: {11} over {16}]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 7

함수 [eqn: {f(x)=cos ^{2} x-4cos LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) +3}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]의 최댓값은?

[정답] ④

[해설]

[eqn: f(x)][eqn: =cos ^{2} x-4cos LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) +3]
[eqn: =cos ^{2} x+4sin`x+3]
[eqn: =-sin ^{2} x+4sinx+4]

[eqn: sin`x=t][eqn: LEFT ( -1{LEQ}t{LEQ}1 RIGHT )]로 치환하면

[eqn: y=-t ^{2} +4t+4]

이차함수의 축의 방정식이 [eqn: t=2]이므로 [eqn: t=1]일 때 최댓값 [eqn: -1+4+4=7]이다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
01 삼각방정식1 (일차식꼴)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 4

[eqn: {{pi} over {2} LEQ x LEQ pi}{{from^2020^06^부산고2^}}]일 때, 방정식 [eqn: sin x= {1} over {2}]의 해는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: sin {pi} over {6}][eqn: = {1} over {2}]이므로 [eqn: {pi} over {2} LEQ x LEQ pi]일 때, 함수 [eqn: y= sin x]의 그래프와 직선 [eqn: y= {1} over {2}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {5} over {6} pi]이다.

따라서 방정식 [eqn: sin x= {1} over {2}]의 해는 [eqn: x= {5} over {6} pi]이다.

① [eqn: {pi} over {2}]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: {5} over {6} pi]	⑤ [eqn: pi]

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 10

[eqn: 0 leq x<2 pi]일 때, 방정식 [eqn: | sin 2 x|={1} over {2}]의 모든 실근의 합은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: sin 2 x={1} over {2}] 또는 [eqn: -{1} over {2}]이고, 그림과 같이 [eqn: rm 8]개인데, 서로 [eqn: x= pi]에 대하여 대칭이다.

따라서 [eqn: rm 8]개의 근의 합은 [eqn: 8 pi]이다.

① [eqn: 4 pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 8 pi]

④ [eqn: 10 pi]	⑤ [eqn: 12 pi]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 4

[eqn: {pi} over {2} LEQ x LEQ pi]일 때, 방정식 [eqn: cosx=- {1} over {2}]의 해는?

[정답] ②

[해설]

[eqn: x=pi-theta LEFT ( 0 LEQ theta LEQ {pi} over {2} RIGHT )]라 하면 [eqn: cosx=cos LEFT ( pi-theta RIGHT ) =-cos{theta}=- {1} over {2}]이므로 [eqn: cos{theta}= {1} over {2}]에서 [eqn: theta= {pi} over {3}]이다.

따라서 [eqn: x=pi- {pi} over {3} = {2} over {3} pi]

① [eqn: {pi } over {2}]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {3} over {4} pi]

④ [eqn: {5} over {6} pi]	⑤ [eqn: pi]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 4

[eqn: { pi} over {2}<x<{3} over {2} pi]일 때, 방정식 [eqn: tan x=1]의 해는?

[정답] ④

[해설]

방정식 [eqn: tan x=1]의 해는 함수 [eqn: y= tan x]의 그래프와 직선 [eqn: y=1]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표와 같다. [eqn: tan { pi} over {4}=1]이고 함수 [eqn: y= tan x]의 주기가 [eqn: pi]이므로 구하는 해는 [eqn: x={5} over {4} pi]

① [eqn: {2} over {3} pi]	② [eqn: {3} over {4} pi]	③ [eqn: {5} over {6} pi]

④ [eqn: {5} over {4} pi]	⑤ [eqn: {4} over {3} pi]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
02 삼각방정식2 (이차식꼴)

[출처]	2020 모의_공공 사관학교 고3 07월 10

[eqn: 0 leq x<2 pi]일 때, 방정식 [eqn: cos ^{2} 3 x- sin 3 x+1=0]의 모든 실근의 합은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: left(1- sin ^{2} 3 x right)- sin 3 x+1=0]

[eqn: sin ^{2} 3 x+ sin 3 x-2=0]

[eqn: ( sin 3 x+2)( sin 3 x-1)=0]

[eqn: sin 3 x=1], [eqn: 3 x={ pi} over {2}], [eqn: {5} over {2} pi], [eqn: {9} over {2} pi]

[eqn: x={1} over {6} pi], [eqn: {5} over {6} pi], [eqn: {9} over {6} pi]이므로 그 합은 [eqn: {5} over {2} pi]

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: {7} over {4} pi]	③ [eqn: 2 pi]

④ [eqn: {9} over {4} pi]	⑤ [eqn: {5} over {2} pi]

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 11월 16

[eqn: {0 le x le4pi}{{from^2020^11^대수능고3나^중}}]일 때, 방정식

[정답] ②

[해설]

[eqn: cos LEFT ( {pi } over {2} +x RIGHT ) = -sinx]이므로

[eqn: 4 sin^2 x-4cos LEFT ( { pi} over {2 }+x RIGHT )-3]

[eqn: = 4 sin ^{2} x +4sinx-3]

[eqn: sinx =t]라 하면 [eqn: t]의 범위는 [eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에 의하여

[eqn: -1 LEQ t LEQ 1]

준 식은 [eqn: 4t ^{2} +4t-3]이므로

[eqn: (2t -1)(2t+3)=0]

[eqn: therefore][eqn: t= {1} over {2} ,```` - {3} over {2}]

[eqn: therefore][eqn: t= {1} over {2}] ([eqn: because][eqn: -1 LEQ t LEQ 1])

즉, [eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에서 [eqn: sinx= {1} over {2}]를 만족하는 [eqn: x]의 값은

[eqn: x= {pi } over {6} ,```` pi - {pi } over {6} ,```` 2 pi + {pi } over {6} ,```` 3 pi - {pi } over {6}]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 6 pi]

[eqn: 4 sin^2 x-4cos LEFT ( { pi} over {2 }+x RIGHT )-3=0]

의 모든 해의 합은?

① [eqn: 5pi]	② [eqn: 6pi]	③ [eqn: 7pi]

④ [eqn: 8pi]	⑤ [eqn: 9pi]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 11

[eqn: {0 LEQ x<2 pi }{{from^2020^10^서울고3가^중}}]일 때, 방정식 [eqn: sin x= sqrt {3} LEFT ( 1+cos x RIGHT )]의 모든 해의 합은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: sin x= sqrt {3} LEFT ( 1+cos x RIGHT )], [eqn: sin ^{2} x][eqn: =1-cos ^{2} x]이므로

[eqn: 1-cos ^{2} x][eqn: =3 LEFT ( 1+cos x RIGHT )^{2}], [eqn: 2 LEFT ( 1+cos x RIGHT ) LEFT ( 2 cos x+1 RIGHT )][eqn: =0]

(ⅰ) [eqn: cos x][eqn: = it -1]일 때, [eqn: sin x][eqn: =0]이고 [eqn: x][eqn: =pi]

(ⅱ) [eqn: cos x][eqn: = it - {1} over {2}]일 때, [eqn: sin x][eqn: = {sqrt {3}} over {2}]이고 [eqn: x][eqn: = {2} over {3} pi]

(ⅰ), (ⅱ)에서 방정식의 모든 해의 합은 [eqn: {5} over {3} pi]이다.

① [eqn: {pi} over {3}]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: pi]

④ [eqn: {4} over {3} pi]	⑤ [eqn: {5} over {3} pi]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 11

[eqn: 0<x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: 2 cos ^{2} x-sin LEFT ( pi+x RIGHT ) -2][eqn: =0]의 모든 해의 합은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 2 cos ^{2} x-sin ( pi +x)-2][eqn: =2(1-sin ^{2} x)+sin x-2]
[eqn: =-2sin ^{2} x+sin x]
[eqn: =- sin x(2sin x-1)][eqn: =0]

[eqn: sin x=0]또는 [eqn: sin x= {1} over {2}]

[eqn: 0<x<2 pi]이므로

[eqn: sinx=0]에서 [eqn: x= pi]

[eqn: sinx= {1} over {2}]에서 [eqn: x= {pi } over {6}]또는 [eqn: x= {5} over {6} pi]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 2 pi]이다.

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 11월 7

[eqn: pi<theta< {3} over {2} pi]인 [eqn: theta]에 대하여 [eqn: tan`theta- {6} over {tan`theta} =1]일 때, [eqn: sin`theta+cos`theta]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: tan ` theta - 6 over { tan ` theta }=1]이므로

양변에 [eqn: tan ` theta]를 곱하면

[eqn: tan ^2 ` theta - 6 = tan ` theta]

[eqn: tan ^2 ` theta - tan ` theta - 6 = 0]

[eqn: ( tan ` theta +2 ) ( tan ` theta - 3 ) = 0]

[eqn: tan ` theta = it - 2] 또는 [eqn: tan ` theta = 3]

이때, [eqn: pi < theta < 3 over 2 pi]이므로

[eqn: tan ` theta = 3]

이때,

[eqn: { sin ` theta } over { cos ` theta }=3],

[eqn: sin ` theta = 3 ` cos ` theta]

이므로

[eqn: sin ^2 ` theta + cos ^2 ` theta = 1]에 대입하면

[eqn: 9 ` cos ^2 ` theta + cos ^2 ` theta = 1]

[eqn: 10 ` cos ^2 ` theta = 1]

[eqn: cos ` theta = 1 over root 10] 또는 [eqn: cos ` theta = it - 1over root 10]

이때, [eqn: pi < theta < 3 over 2 pi]이므로

[eqn: cos ` theta = it - 1 over root 10]	[eqn: cdotscdots] ㉠

이 값을 [eqn: sin ^2 ` theta + cos ^2 ` theta = 1]에 대입하면

[eqn: sin ^2 ` theta + 1 over 10 = 1]

[eqn: sin ^2 ` theta = 9 over 10]

[eqn: sin ` theta = 3 over root 10] 또는 [eqn: sin ` theta = it - 3 over root 10]

이때, [eqn: pi < theta < 3 over 2 pi]이므로

[eqn: sin ` theta = it - 3 over root 10]	[eqn: cdots cdots] ㉡

따라서, ㉠과 ㉡에서

[eqn: sin ` theta + cos ` theta][eqn: = LEFT ( - 3 over root 10 RIGHT )+ LEFT ( - 1 over root 10 RIGHT )]
[eqn: = it - 4 over root 10]
[eqn: = it - { 2 root 10 }over 5]

① [eqn: - {2 sqrt {10}} over {5}]	② [eqn: - {sqrt {10}} over {5}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {sqrt {10}} over {5}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {10}} over {5}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
03 삼각방정식3 (교점)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 7

[eqn: {0 le x < 2 pi}{{from^2020^10^서울고3나^중}}]일 때, 두 함수 [eqn: y=sin x]와 [eqn: y=cos LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) +1]의 그래프가 만나는 모든 점의 [eqn: x]좌표의 합은?

[정답] ②

[해설]

두 함수의 그래프가 만나는 점의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: sin x][eqn: =cos LEFT ( x+ {pi } over {2} RIGHT ) +1]

[eqn: cos LEFT ( x+ {pi} over {2} RIGHT )][eqn: = it -sin x]이므로 [eqn: 2 sin x][eqn: =1]

즉, [eqn: sin x][eqn: = {1} over {2}]

그러므로 [eqn: x][eqn: = {pi} over {6}] 또는 [eqn: x][eqn: = {5} over {6} pi]

따라서 모든 점의 [eqn: x]좌표의 합은 [eqn: pi]

① [eqn: {pi} over2]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {3} over {2} pi]

④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: {5} over {2} pi]

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 예비 공통범위 8

함수[eqn: y=6sin` {pi } over {12} x][eqn: LEFT ( 0 le x le 12 RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y =3 `]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: rm A], [eqn: rm B `]라 할 때, 선분 [eqn: rm AB `]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 6 sin pi over12 x = 3]에서 [eqn: sin pi over12 x = 1 over2]

[eqn: pi over12 x = pi over6], [eqn: 5 over6 pi]

[eqn: x = 2], [eqn: 10], [eqn: THEREFORE][eqn: rm barAB = 10-2 = 8]

① [eqn: 6`]	② [eqn: 7`]	③ [eqn: 8`]

④ [eqn: 9`]	⑤ [eqn: 10`]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 16

집합 [eqn: left{ x `|`-4 leq x leq 4 it right}]에서 정의된 함수

[정답] ①

[해설]

방정식 [eqn: sin { pi x} over {4}={ sqrt{2}} over {2}(-4 leq x leq 4)]에서
[eqn: { pi x} over {4}={ pi} over {4}] 또는 [eqn: { pi x} over {4}={3} over {4} pi], [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=3]
점 [eqn: {rm{A}} it]의 좌표는 [eqn: (1,`` sqrt{2})]
점 [eqn: {rm{B}} it]의 좌표는 [eqn: (3,`` sqrt{2})]
점 [eqn: {rm{B}} it]와 점 [eqn: {rm{C}} it]는 원점에 대하여 서로 대칭이므로

점 [eqn: {rm{C}} it]의 좌표는 [eqn: (-3,``- sqrt{2})]

점 [eqn: {rm{C}} it]에서 직선 [eqn: y= sqrt{2}]에 내린 수선의 발을

[eqn: {rm{H}} it]라 하면 점 [eqn: {rm{H}} it]의 좌표는 [eqn: (-3,`` sqrt{2})]

[eqn: angle {rm{CAH}} it = pi- theta], [eqn: sin theta= sin ( pi- theta)]

[eqn: overline{{rm{CH}} it }=2 sqrt{2}]

[eqn: overline{{rm{AC}} it }= sqrt{(-3-1)^{2}+(- sqrt{2}- sqrt{2})^{2}}=2 sqrt{6}]

이므로 직각삼각형 [eqn: {rm{ACH}} it]에서

[eqn: sin ( pi- theta)={ overline{{rm{CH}} it }} over { overline{{rm{AC}} it }}={2 sqrt{2}} over {2 sqrt{6}}={ sqrt{3}} over {3}]

따라서 [eqn: sin theta={ sqrt{3}} over {3}]

[eqn: f(x)=2 sin { pi x} over {4}]

가 있다. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가
직선 [eqn: y= sqrt{2}]와 만나는 서로 다른 두 점을 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하고,
두 점 [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{O}} it]를 지나는 직선이 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 만나는 점 중 [eqn: {rm{B}} it]와 [eqn: {rm{O}} it]가 아닌 점을 [eqn: {rm{C}} it]라 하자.

[eqn: angle {rm{BAC}} it = theta]라 할 때, [eqn: sin theta]의 값은? (단, 점 [eqn: {rm{B}} it]의 [eqn: x]좌표는

점 [eqn: {rm{A}} it]의 [eqn: x]좌표보다 크고, [eqn: {rm{O}} it]는 원점이다.)

① [eqn: { sqrt{3}} over {3}]	② [eqn: {7 sqrt{3}} over {18}]	③ [eqn: {4 sqrt{3}} over {9}]

④ [eqn: { sqrt{3}} over {2}]	⑤ [eqn: {5 sqrt{3}} over {9}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
04 삼각방정식4 (대칭성과 실근)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 14

[eqn: {0 LEQ x<pi}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: y=sinx]의 주기는 [eqn: {2pi} over {n}]

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때, [eqn: y=2sin2x]의 주기는 [eqn: pi]

[eqn: 0 LEQ x<pi]에서 방정식 [eqn: sin2x= {1} over {5}]은 직선 [eqn: x= {pi} over {4}]에 대하여 대칭인 해를 [eqn: 2]개 가지므로
[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) = {pi} over {4} TIMES 2= {pi} over {2}]

(ⅱ) [eqn: n=5]일 때, [eqn: y=sin5x]의 주기는 [eqn: {2pi} over {5}]

[eqn: 0 LEQ x<pi]에서 방정식 [eqn: sin5x= {1} over {5}]은 세 직선 [eqn: x= {pi} over {10} ,```` x= {pi} over {2} ,```` x= {9pi} over {10}]에 대하여 각각 대칭인 해를 [eqn: 2]개씩 가지므로
[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) = {pi} over {10} TIMES 2+ {pi} over {2} TIMES 2+ {9pi} over {10} TIMES 2=3pi]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) = {7} over {2} pi]

[eqn: sinnx= {1} over {5}] ([eqn: n]은 자연수)

의 모든 해의 합을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT )]의 값은?

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: 3pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 17

상수 [eqn: {k}{{from^2020^06^부산고2^}}]([eqn: 0<k<1])에 대하여 [eqn: 0 LEQ x<2pi]일 때, 방정식 [eqn: sin x=k]의 두 근을 [eqn: alpha ,```` beta]([eqn: alpha < beta])라 하자. [eqn: sin {beta - alpha } over {2}][eqn: = {5} over {7}]일 때, [eqn: k]의 값은?

[정답] ①

[해설]

함수 [eqn: y=sin x]의 그래프는 직선 [eqn: x= {pi} over {2}]에 대하여 대칭이므로 함수 [eqn: y=sin x]의 그래프와 직선 [eqn: y=k]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표 [eqn: alpha ,```` beta]에 대하여 [eqn: {alpha + beta } over {2}][eqn: = {pi} over {2}], 즉 [eqn: alpha + beta =pi]이므로 [eqn: beta =pi- alpha]이다.

[eqn: {beta - alpha } over {2}][eqn: = {LEFT ( pi- alpha RIGHT ) - alpha } over {2}][eqn: = {pi} over {2} - alpha]이므로

[eqn: sin {beta - alpha } over {2}][eqn: =sin LEFT ( {pi} over {2} - alpha RIGHT )][eqn: =cos alpha][eqn: = {5} over {7}]

따라서 [eqn: k ^{2}][eqn: =sin ^{2} alpha][eqn: =1-cos ^{2} alpha][eqn: =1- LEFT ( {5} over {7} RIGHT ) ^{2}][eqn: = {24} over {49}]이므로

[eqn: k= {2 sqrt {6}} over {7}]

① [eqn: {2 sqrt {6}} over {7}]	② [eqn: {sqrt {26}} over {7}]	③ [eqn: {2 sqrt {7}} over {7}]

④ [eqn: {sqrt {30}} over {7}]	⑤ [eqn: {4 sqrt {2}} over {7}]

[출처]	2021 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 17

[eqn: {0 leq x <8}{{from^2021^7월 사관학교^중}}]일 때, 방정식 [eqn: sin{pi x}over{2}={3}over{4}]의 모든 해의 합을 구하시오.

[정답] [eqn: BOLD12]

[해설]

[eqn: y=sin { pi x} over {2}]는 [eqn: {2 pi } over {{pi } over {2}}]이므로 주기는 [eqn: 4]이다.

[eqn: 0LEQx LEQ8]일 때 [eqn: sin {pi x} over {2} = {3} over {4}]을 만족시키는 해는 아래 그래프와 같이 [eqn: alpha, ````beta,````gamma,````delta]라 하자.

(ⅰ) [eqn: y=sin {pi x} over {2}]의 그래프와 [eqn: y= {3} over {4}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하면 두 값의 평균은 [eqn: 1]이므로 [eqn: {alpha + beta } over {2} =1]에서 [eqn: alpha + beta =2]이다.

(ⅱ) (ⅰ) [eqn: y=sin {pi x} over {2}]의 그래프와 [eqn: y= {3} over {4}]의 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: gamma], [eqn: delta]라 하면 두 값의 평균은 [eqn: 5]이므로 [eqn: {gamma + delta } over {2} =5]에서 [eqn: alpha + beta =10]이다.

따라서 [eqn: alpha + beta + gamma + delta =2+10=12]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 10

[eqn: {0 LEQ x<2pi}{{from^2021^7^인천교육청고3^중}}]일 때, 방정식

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: cos ^{2} x][eqn: =1-sin ^{2} x]이므로

[eqn: 3 LEFT ( 1-sin ^{2} x RIGHT ) +5 sin x-1][eqn: =0],

[eqn: 3 sin ^{2} x-5 sin x-2][eqn: =0],

[eqn: LEFT ( 3 sin x+1 RIGHT ) LEFT ( sin x-2 RIGHT )][eqn: =0]

[eqn: -1 LEQ sin x LEQ 1]이므로 [eqn: sin x][eqn: = it - {1} over {3}]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

㉠을 만족시키는 [eqn: x]의 값을 [eqn: x][eqn: =alpha ,```` beta][eqn: LEFT ( alpha < beta RIGHT )]라 하면 [eqn: {alpha + beta } over {2}][eqn: = {3} over {2} pi]이므로 [eqn: alpha + beta][eqn: =3 pi]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 3pi]

[eqn: 3 cos ^{2} x+5 sin x-1][eqn: =0]

의 모든 해의 합은?

① [eqn: pi]	② [eqn: {3} over {2} pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: {5} over {2} pi]	⑤ [eqn: 3pi]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 07월 공통범위 10

곡선 [eqn: y= sin { pi} over {2} x(0 leq x leq 5)]가 직선 [eqn: y=k(0<k<1)]과 만나는 서로 다른 세 점을 [eqn: y]축에서 가까운 순서대로 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]라 하자. 세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]의 [eqn: x]좌표의 합이 [eqn: {25} over {4}]일 때, 선분 [eqn: {rm{AB}} it]의 길이는?

[정답] ③

[해설]

세 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it], [eqn: {rm{C}} it]의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: x_{1} left(0<x_{1}<1 right)], [eqn: x_{2}], [eqn: x_{3}]이라 하면 삼각함수 [eqn: y= sin { pi} over {2} x]의 주기가 [eqn: rm 4]이므로 [eqn: x_{2}=2-x_{1}], [eqn: x_{3}=x_{1}+4]

[eqn: x_{1}+x_{2}+x_{3}=x_{1}+ left(2-x_{1} right)+ left(x_{1}+4 right)]

[eqn: =x_{1}+6={25} over {4}]

[eqn: x_{1}={1} over {4}], [eqn: x_{2}=2-x_{1}={7} over {4}]

따라서 [eqn: overline{{rm{AB}} it }=x_{2}-x_{1}={3} over {2}]

① [eqn: {5} over {4}]	② [eqn: {11} over {8}]	③ [eqn: {3} over {2}]

④ [eqn: {13} over {8}]	⑤ [eqn: {7} over {4}]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 8

그림과 같이 양의 상수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y=2 cos a x left(0 leq x leq {2 pi} over {a} right)]와 직선 [eqn: y=1]이 만나는 두 점을 각각 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]라 하자. [eqn: overline{{rm{AB}} it }={8} over {3}]일 때, [eqn: a]의 값은?

[정답] ③

[해설]

[eqn: 0 leq x leq {2 pi} over {a}]에서 [eqn: 0 leq a x leq 2 pi]이므로

[eqn: 2 cos a x=1], 즉 [eqn: cos a x={1} over {2}]에서

[eqn: a x={ pi} over {3}] 또는 [eqn: a x={5 pi} over {3}], 즉 [eqn: x={ pi} over {3 a}] 또는 [eqn: x={5 pi} over {3 a}]

두 점 [eqn: {rm{A}} it], [eqn: {rm{B}} it]의 좌표가 각각 [eqn: left({ pi} over {3 a},`` 1 right)], [eqn: left({5 pi} over {3 a},`` 1 right)]이고

[eqn: overline{{rm{AB}} it }={8} over {3}]이므로

[eqn: {5 pi} over {3 a}-{ pi} over {3 a}={4 pi} over {3 a}={8} over {3}]

[eqn: a={4 pi} over {3} times {3} over {8}={ pi} over {2}]

① [eqn: { pi} over {3}]	② [eqn: {5 pi} over {12}]	③ [eqn: { pi} over {2}]

④ [eqn: {7 pi} over {12}]	⑤ [eqn: {2 pi} over {3}]

[출처]	2022 모의_공공 평가원 고3 09월 공통범위 9

닫힌구간 [eqn: [0,``12]]에서 정의된 두 함수

[정답] ③

[해설]

[eqn: f(x)= cos { pi x} over {6}]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {{ pi} over {6}}=12]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=6]에 대하여 대칭이므로 [eqn: alpha_{1}< alpha_{2}]라 하면 [eqn: alpha_{2}=12- alpha_{1}]

[eqn: left| alpha_{1}- alpha_{2} right|=8]에서 [eqn: left|2 alpha_{1}-12 right|=8]

[eqn: alpha_{1}=2] 또는 [eqn: alpha_{1}=10]

[eqn: alpha_{1}< alpha_{2}]이므로 [eqn: alpha_{1}=2], [eqn: alpha_{2}=10]이다.

[eqn: f(2)=f(10)= cos { pi} over {3}={1} over {2}]이므로 [eqn: k={1} over {2}]이다.

곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y={1} over {2}]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: -3 cos { pi x} over {6}-1={1} over {2}]

[eqn: cos { pi x} over {6}=-{1} over {2}]

[eqn: x=4] 또는 [eqn: x=8]

[eqn: therefore~ left| beta_{1}- beta_{2} right|=4]

[eqn: f(x)= cos { pi x} over {6}], [eqn: ~ g(x)=-3 cos { pi x} over {6}-1]

이 있다. 곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=k]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}]라 할 때, [eqn: left| alpha_{1}- alpha_{2} right|=8]이다. 곡선 [eqn: y=g(x)]와 직선 [eqn: y=k]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta_{1}], [eqn: beta_{2}]라 할 때, [eqn: left| beta_{1}- beta_{2} right|]의 값은? (단, [eqn: k]는 [eqn: -1<k<1]인 상수이다.)

① [eqn: rm 3]	② [eqn: {7} over {2}]	③ [eqn: rm 4]

④ [eqn: {9} over {2}]	⑤ [eqn: rm 5]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 21

자연수 [eqn: k(1<k<12)]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 12]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: 0 leq x<k]에서 [eqn: -{1} over {2} leq f(x) leq {1} over {2}]이고,

함수 [eqn: y={1} over {2} sin pi x]의 주기는 [eqn: rm 2]이다.

[eqn: f(k)= left({2} over {3} right)^{k-k}-1=0]이므로

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 점 [eqn: (k,`` 0)]을 지난다.

방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 실근은 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=-a]의 교점의 [eqn: x]좌표와 같다.

[eqn: 0 leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 실근의 최댓값이 [eqn: rm 12]이므로 모든 실근의 합이 [eqn: rm 46]이기 위하여 실근의 개수는 [eqn: rm 4] 이상이어야 한다.

(i) [eqn: a={1} over {2}]인 경우

[eqn: k=10]일 때 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 모든 실근의 합이 최대이다. [eqn: 0 leq x<10]에서 모든 실근의 합은 [eqn: {3} over {2}+{7} over {2}+{11} over {2}+{15} over {2}+{19} over {2}={55} over {2}=27.5]이고 [eqn: f(12)= left({2} over {3} right)^{12-10}-1={4} over {9}-1=-{5} over {9} < it - {1} over {2}]이므로 [eqn: 10 leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]은 오직 하나의 실근을 갖고 그 값은 [eqn: rm 12]보다 작다.

따라서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 모든 실근의 합은 [eqn: 39.5]보다 작으므로 조건을 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: 0<a<{1} over {2}]인 경우

[eqn: k leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: left({2} over {3} right)^{x-k}-1+a=0]의 실근의 개수는 최대 [eqn: rm 1]이고 그 값은 [eqn: rm 12] 이하이다.

[eqn: 0 leq x leq 12]에서 방정식 [eqn: f(x)+a=0]의 모든 실근의 합이 [eqn: rm 46]이기 위하여

[eqn: 0 leq x<k]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의 모든 실근의 합이 [eqn: rm 34] 이상이어야 한다.

[eqn: 0 leq x<2]에서 함수 [eqn: y={1} over {2} sin pi x]의 그래프와 직선 [eqn: y=-a]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표를 각각 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}]라 할 때, [eqn: { alpha_{1}+ alpha_{2}} over {2}={3} over {2}], 즉 [eqn: alpha_{1}+ alpha_{2}=3]이다.

또한, 함수 [eqn: y={1} over {2} sin pi x]의 주기가 [eqn: rm 2]이므로 [eqn: 2 leq x<4]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의
모든 실근의 합은 [eqn: rm 7],

[eqn: 4 leq x<6]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의
모든 실근의 합은 [eqn: rm 11],

[eqn: 6 leq x<8]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의
모든 실근의 합은 [eqn: rm 15],

[eqn: 8 leq x<10]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의

모든 실근의 합은 [eqn: rm 19],

[eqn: 10 leq x<11]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]은 실근을 갖지 않는다.

따라서 다음 세 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다.

① [eqn: k leq 7]일 때

[eqn: 0 leq x<k]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의

모든 실근의 합이 [eqn: rm 34] 미만이므로 조건을 만족시키지 않는다.

② [eqn: k=8] 또는 [eqn: k=9]일 때

[eqn: 0 leq x<k]에서 방정식 [eqn: {1} over {2} sin pi x+a=0]의

모든 실근의 합은 [eqn: 3+7+11+15=36]이므로

[eqn: k leq x leq 12]에서 실근이 [eqn: rm 10]이면 조건을 만족시킨다.

[eqn: k=8]이면 [eqn: f(10)+a= left({2} over {3} right)^{10-8}-1+a=0]에서

[eqn: a={5} over {9}]이므로 [eqn: 0<a<{1} over {2}]에 모순이다.

[eqn: k=9]이면 [eqn: f(10)+a= left({2} over {3} right)^{10-9}-1+a=0]에서

[eqn: a={1} over {3}]이므로 [eqn: 0<a<{1} over {2}]을 만족시킨다.

③ [eqn: k=10] 또는 [eqn: k=11]일 때

[eqn: 0 leq x<k]에서 모든 실근의 합은

[eqn: 3+7+11+15+19=55>46]이므로 조건을 만족시키지 않는다.

(i), (ii) 에 의하여 [eqn: a={1} over {3}], [eqn: k=9]이다.

따라서 [eqn: {k} over {a}=27]

[eqn: f(x)=cases{{1} over {2} sin pi x && (0 leq x<k) # left({2} over {3} right)^{x-k}-1 && (k leq x leq 12)}]

라 하자. 실수 [eqn: a left(0<a leq {1} over {2} right)]에 대하여 방정식

[eqn: f(x)+a=0]

의 모든 실근의 합이 [eqn: rm 46]일 때, [eqn: {k} over {a}]의 값은?

① [eqn: rm 24]	② [eqn: rm 27]	③ [eqn: rm 30]

④ [eqn: rm 33]	⑤ [eqn: rm 36]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 12

양수 [eqn: a]에 대하여 함수

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=2]와 만나는 점의 [eqn: x]좌표는 [eqn: 0 leq x<{4 pi} over {a}]일 때 방정식 [eqn: left|4 sin left(a x-{ pi} over {3} right)+2 right|=2 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

의 실근과 같다.

[eqn: a x-{ pi} over {3}=t]라 하면 [eqn: -{ pi} over {3} leq t<{11 pi} over {3}]이고

[eqn: |4 sin t+2|=2 ~]	[eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

에서 [eqn: sin t=0] 또는 [eqn: sin t=-1]

[eqn: -{ pi} over {3} leq t<{11 pi} over {3}]일 때, 방정식 ㉡의 실근은

[eqn: 0], [eqn: pi], [eqn: {3 pi} over {2}], [eqn: 2 pi], [eqn: 3 pi], [eqn: {7 pi} over {2}]

의 [eqn: rm 6]개이고 이 [eqn: rm 6]개의 실근의 합은 [eqn: 11 pi]이다.

따라서 [eqn: n=6]이고 방정식 ㉠의 [eqn: rm 6]개의 실근의 합이 [eqn: rm 39]이므로

[eqn: 39 a-{ pi} over {3} times 6=11 pi], [eqn: a={ pi} over {3}]

따라서 [eqn: n times a=6 times { pi} over {3}=2 pi]

[eqn: f(x)= left|4 sin left(a x-{ pi} over {3} right)+2 right| left(0 leq x<{4 pi} over {a} right)]

의 그래프가 직선 [eqn: y=2]와 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: n]이다. 이 [eqn: n]개의 점의 [eqn: x]좌표의 합이 [eqn: rm 39]일 때, [eqn: n times a]의 값은?

① [eqn: { pi} over {2}]	② [eqn: pi]	③ [eqn: {3 pi} over {2}]

④ [eqn: 2 pi]	⑤ [eqn: {5 pi} over {2}]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
05 삼각방정식5 (실근의 개수)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 03월 7

[eqn: {0 LEQ x<2pi}{{from^2020^03^경기고3나^}}]일 때, 두 곡선 [eqn: y=cos LEFT ( x- {pi} over {2} RIGHT )]와 [eqn: y=sin 4x]가 만나는 점의 개수는?

[정답] ④

[해설]

함수 [eqn: y=cos LEFT ( x- {pi} over {2} RIGHT )]의 그래프는 함수 [eqn: y=sinx]의 그래프와 일치하고 함수 [eqn: y=sin4x]의 최댓값은 [eqn: 1], 최솟값은 [eqn: -1], 주기는 [eqn: {pi} over {2}]이므로 [eqn: 0 LEQ x<2pi]에서 두 함수 [eqn: y=sinx]와 [eqn: y=sin4x]의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 두 곡선이 만나는 점의 개수는 [eqn: 8]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2020 모의_공공 경찰대 고3 07월 21

자연수[eqn: {n}{{^2020^08^경찰대^중}}]에 대하여 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]에서 방정식 [eqn: left |`` sin nx ``right | = {2} over {3}]의 서로 다른 실근의 개수를 [eqn: a _{n}], 서로 다른 모든 실근의 합을 [eqn: b _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{5} b _{6} =k pi]이다. 자연수 [eqn: k]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold480]

[해설]

[eqn: y= left |`` sin nx ``right |]의 그래프는 다음과 같다.

위의 그래프에서 주기는 [eqn: {pi} over {n}]이고, [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]까지 [eqn: 2n]개의 그래프가 반복된다.

또, 한 주기 구간마다 [eqn: 2]개의 실근을 갖고 각각의 근은 대칭성을 가지므로

제일 작은 근을 [eqn: alpha]라 하면 [eqn: alpha.````pi over n - alpha , ````pi over n + alpha,```` 2pi over n - alpha````cdots,```` 2pi -alpha]

[eqn: therefore][eqn: a _{n} =4n], [eqn: b _{n} =4n pi]

[eqn: THEREFORE ```` a _{5} b _{6} =20times24pi=480pi]

[eqn: therefore][eqn: k=480]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 26

[eqn: {0 LEQ x LEQ 2pi}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에서 정의된 함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=9 ,```` y=2]와 만나는 점의 개수가 각각 [eqn: 3 ,```` 7]이 되도록 하는 두 양수 [eqn: a ,```` b]에 대하여 [eqn: a TIMES b]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 14 }]

[해설]

함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프의 주기가 [eqn: {2} over {3} pi]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]에서 함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=a sin 3x+b]의 그래프가 직선 [eqn: y=k]와 만나는 점의 개수는 [eqn: k= it -a+b] 또는 [eqn: k=a+b]일 때, [eqn: 3]

[eqn: k=b]일 때, [eqn: 7]이므로 [eqn: b=2]이고, [eqn: -a+2=9] 또는 [eqn: a+2=9]

[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: a=7]

따라서 [eqn: a TIMES b][eqn: =7 TIMES 2][eqn: =14]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 15

[eqn: {0 LEQ x LEQ 2}{{from^2020^06^부산고2^}}]에서 함수 [eqn: y=tan pi x]의 그래프와 직선 [eqn: y= it - {10} over {3} x+n]이 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: n]의 최댓값은?

[정답] ⑤

[해설]

[eqn: y=tan pi x]의 주기는 [eqn: {pi} over {pi}][eqn: =1]이다.

위의 그림과 같이 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2]에서 함수 [eqn: y=tan pi x]의 그래프와 직선 [eqn: y= it - {10} over {3} x+n]이 서로 다른 세 점에서 만나기 위해서는 직선 [eqn: y= it - {10} over {3} x+n]의 [eqn: x]절편 [eqn: {3} over {10} n]이 [eqn: 2]보다 작거나 같아야 한다.

즉 [eqn: {3} over {10} n LEQ 2]이므로 [eqn: n LEQ {20} over {3}]이다.

따라서 자연수 [eqn: n]의 최댓값은 [eqn: 6]이다.

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 10월 26

함수 [eqn: {y=tan LEFT ( n x- {pi } over {2} RIGHT ) }{{from^2020^10^서울고3나^중}}]의 그래프가 직선 [eqn: y= it -x]와 만나는 점의 [eqn: x]좌표가 구간 [eqn: LEFT ( - pi ,```` pi RIGHT )]에 속하는 점의 개수를 [eqn: a _{n}]이라 할 때, [eqn: a _{2} +a _{3}]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: bold { 10 }]

[해설]

[eqn: y][eqn: =tan LEFT ( n x- {pi } over {2} RIGHT )][eqn: =tan n LEFT ( x- {pi } over {2n} RIGHT )]의 주기는 [eqn: {pi} over {n}]이고, [eqn: y][eqn: =tan LEFT ( n x- {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프는 [eqn: y][eqn: =tan nx]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: {pi} over {2n}]만큼 평행이동한 그래프이다.

아래 그림은 [eqn: n=2], [eqn: n=3]일 때의 그래프이다.

그러므로 직선 [eqn: y= it -x]와 [eqn: y][eqn: =tan LEFT ( 2x- {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: a _{2}][eqn: =4]

[eqn: y][eqn: =tan LEFT ( 3x- {pi } over {2} RIGHT )]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: a _{3}][eqn: =6]

따라서 [eqn: a _{2} +a _{3}][eqn: =4+6][eqn: =10]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 21

자연수[eqn: {n}{{from^2020^06^부산고2^}}]에 대하여 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi]일 때, 방정식 [eqn: sin ^{2} LEFT ( 4x RIGHT ) -1=0]의 실근의 개수를 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =33]이 되도록 하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은?

[정답] ②

[해설]

방정식 [eqn: sin ^{2} LEFT ( 4x RIGHT ) -1=0]에서 [eqn: sin 4x=1] 또는 [eqn: sin 4x= it -1]이다.

따라서 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 직선 [eqn: y=1] 또는 직선 [eqn: y=-1]과 만나는 점의 개수가 [eqn: 33]이어야 한다.

함수 [eqn: y=sin 4x]의 주기는 [eqn: {2pi} over {4}][eqn: = {pi} over {2}]이다.

[eqn: 0<x LEQ {pi} over {4}]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프와 직선 [eqn: y=1]이 만나는 점의 개수가 [eqn: 1]이고, [eqn: {pi} over {4} <x LEQ {pi} over {2}]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프과 직선 [eqn: y= it -1]이 만나는 점의 개수가 [eqn: 1]이므로 [eqn: 0<x LEQ {pi} over {2}]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 직선 [eqn: y=1] 또는 직선 [eqn: y= it -1]과 만나는 점의 개수가 [eqn: 2]이다.

따라서 [eqn: 0<x LEQ {pi} over {2} TIMES 16]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 직선 [eqn: y=1] 또는 직선 [eqn: y= it -1]과 만나는 점의 개수는 [eqn: 2 TIMES 6=32]이다.

그러므로 [eqn: 0<x< {n} over {12} pi]에서 방정식 [eqn: sin ^{2} LEFT ( 4x RIGHT ) -1=0]의 실근의 개수가 [eqn: 33]이기 위해 [eqn: 8pi<x< {n} over {12} pi]에서 함수 [eqn: y=sin 4x]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=1 ,```` y= it -1]과 만나는 점의 개수가 각각 [eqn: 1 ,```` 0]이어야 한다.

따라서 [eqn: 8pi+ {pi} over {8} < {n} over {12} pi LEQ 8pi+ {3} over {8} pi]이고 [eqn: 97.5<n LEQ 100.5]이다.

그러므로 구하는 자연수 [eqn: n]의 값은 [eqn: 98 ,```` 99 ,```` 100]이고  합은 [eqn: 297]이다.

① [eqn: 295]	② [eqn: 297]	③ [eqn: 299]

④ [eqn: 301]	⑤ [eqn: 303]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 11월 30

두 실수 [eqn: {a}{{from^2020^11^서울고2공통^5}}][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )], [eqn: b]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[해설]

함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: {2 pi } over {LEFT |`` {pi } over {6}`` RIGHT | } =12]이고, [eqn: f(0)=- {1} over {2} a+b=8]에서

[eqn: a=2b-16]

[eqn: g(t)]의 값은 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y= LEFT |`` f(x) ``RIGHT |]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수이므로 [eqn: g(t)]의 값은 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수와 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=-4]와 만나는 점의 개수의 합과 같다.

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때
[eqn: b>8]이므로 [eqn: f(18)=2b-8>8]이고, 함수 [eqn: f(x)]의 주기는 [eqn: 12]이므로 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값인 [eqn: -b+16]이 [eqn: -4]보다 작을 때 [eqn: g(18)]의 값은 최대이고 그 값은 [eqn: 4]이다.
따라서 [eqn: a>0]일 때 [eqn: g(18)=5]를 만족시키는 두 실수 [eqn: a ,```` b]가 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a<0]일 때
[eqn: b<8]이고, 함수 [eqn: f(x)]의 최솟값인 [eqn: 3b-16]의 범위에 따른 [eqn: g(18)]의 값은 다음과 같다.
(a) [eqn: 4<3b-16<8]일 때 [eqn: g(18)=0]

(b) [eqn: 3b-16=4]일 때 [eqn: g(18)=2]

(c) [eqn: 2<3b-16<4]일 때 [eqn: f(18)>4]이므로 [eqn: g(18)=4]

(d) [eqn: -4<3b-16 LEQ 2]일 때 [eqn: 0<f(18) LEQ 4]이므로 [eqn: g(18)=3]

(e) [eqn: 3b-16=-4]일 때 [eqn: f(18)=0]이므로 [eqn: g(18)=5]

(f) [eqn: -19<3b-16<][eqn: -4]일 때 [eqn: -4<f(18)<0]이므로
[eqn: g(18)=7]

(g) [eqn: 3b-16 LEQ -10]일 때 [eqn: f(18) LEQ -4]이므로 [eqn: g(18)=6]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 3b-16=-4 ,````]즉 [eqn: a=-8 ,````][eqn: b=4]일 때 [eqn: g(18)=5]이다.

그러므로 [eqn: f(x)=-8sin {pi } over {6} (x-1)+4]이고, 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: f(1)=f(7)=f(13)=4]이고 [eqn: f(4)=-4]이므로 [eqn: 7<p LEQ 13]인 실수 [eqn: p]에 대하여 [eqn: 0<x<p]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=4 ,````][eqn: y=-4]와 만나는 점의 개수는 각각 [eqn: 2 ,```` 1]이다.

그러므로 [eqn: g( alpha )= LEFT |`` a-b ``RIGHT | =12 ,] 즉 [eqn: 0<x< alpha]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수와 [eqn: 0<x< alpha]에서 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=-4]와 만나는 점의 개수의 합이 [eqn: 12]가 되도록 하는 양수 [eqn: alpha]의 값의 범위는

[eqn: 7+12 TIMES 3< alpha LEQ 13+12 TIMES 3]

[eqn: 43< alpha LEQ 49]

따라서 양수 [eqn: alpha]의 최댓값은 [eqn: 49]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: =a sin {pi} over {6} LEFT ( x-1 RIGHT ) +b]

라 하고, 양수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: 0<x<t]에서 함수 [eqn: y][eqn: = LEFT |`` f LEFT ( x RIGHT ) `` RIGHT |]의 그래프가 직선 [eqn: y=4]와 만나는 점의 개수를 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]라 하자.

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )][eqn: =8], [eqn: g LEFT ( 18 RIGHT )][eqn: =5]일 때, [eqn: g LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: = LEFT |`` a- b `` RIGHT |]를 만족시키는 양수 [eqn: alpha]의 최댓값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 03월 공통범위 3

[eqn: 0 LEQ x<2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: sin `4x = 1over2 `]의 서로 다른 실근의 개수는?

[정답] ④

[해설]

[eqn: y=sin`4x`]의 주기는 [eqn: 2pi over { left | 4 right| }][eqn: ={pi} over {2} `]이다.

좌표평면에 직선 [eqn: y][eqn: = 1over2`]과 [eqn: 0 le x < 2pi`]의 범위에서

함수 [eqn: y][eqn: =sin`4x`]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

따라서 구하는 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 8`]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]

④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2021 모의_공공 경찰대 고3 07월 19

두 함수 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )}{{from^2021^7^경찰대^중}}]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가

[정답] ②

[해설]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos ax] 의 주기 [eqn: {2 pi } over {a}], 한 개가 [eqn: x< {pi } over {4}]의 범위에 있으면서 그래프는 [eqn: x= {pi } over {4}]와 만나면 교점의 개수가 [eqn: 3]이 된다.

따라서 [eqn: {2 pi } over {a} < { pi } over { 4}]을 만족하므로 [eqn: a>8]

즉, [eqn: cos {a} over {4} pi = {sqrt {2}} over {2}]를 만족하는 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 9]

[eqn: THEREFORE ```` p=9]

위의 그래프처럼 주기는 [eqn: {2} over {9}pi]이며 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` {11} over {12} pi RIGHT ]]에는 네 개의 주기 [eqn: {2} over {9}pi], [eqn: {4} over {9} pi], [eqn: {6} over {9} pi], [eqn: {8} over {9} pi]가 있다.

[eqn: x=0]에서 한 번 만나며, 세 주기 [eqn: {2} over {9}pi], [eqn: {4} over {9} pi], [eqn: {6} over {9} pi]의 양쪽에서 각각 한 번씩 만나고 [eqn: {8} over {9} pi]에서는 왼쪽에서 한번 만난다.

즉, 교점의 개수 [eqn: q]는 [eqn: q=8]

[eqn: THEREFORE ```` p+q=17]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{ cos x& && LEFT ( cos x GEQ sin x RIGHT )# sin x&&& LEFT ( cos x<sin x RIGHT )}}}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos ax]

([eqn: a>0]인 상수)

이다. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` {pi} over {4} RIGHT ]]에서 두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =g LEFT ( x RIGHT )]의 교점의 개수가 [eqn: 3]이 되도록 하는 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: p]라 하자. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ 0 ,```` {11} over {12} pi RIGHT ]]에서 두 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y][eqn: =cos px]의 교점의 개수를 [eqn: q]라 할 때, [eqn: p+q]의 값은?

① [eqn: 16]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 19]	⑤ [eqn: 20]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b `]에 대하여 세 함수

[정답] [eqn: bold { 686 }]

[해설]

[eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cos LEFT ( a{pi}x+b{pi} RIGHT )]
[eqn: = {cases{```````cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 짝수 RIGHT )#-cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 홀수 RIGHT )}}]

이고 [eqn: LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) =a{sin{pi}x}+b]이다.

두 자연수 [eqn: a ,```` b]에 대하여

[eqn: LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( {3} over {2} RIGHT )][eqn: ={a}sin {3} over {2} pi+b][eqn: =-a+b]

는 정수이므로 조건 (가)의 방정식의 실근이 존재하기 위한 [eqn: -a+b]의 값은 [eqn: -1] 또는 [eqn: 0] 또는 [eqn: 1]이다.

함수 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```````cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 짝수 RIGHT )#-cosa{pi}x&&& LEFT ( b는 ```` 홀수 RIGHT )}}]의 그래프는 주기가 [eqn: {2} over {a}]이므로

(ⅰ) [eqn: b]가 짝수인 경우

① [eqn: -a+b=1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a+1]

② [eqn: -a+b=0]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 4a]

③ [eqn: -a+b=-1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a]

따라서 두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수가 홀수이려면 [eqn: -a+b=1]이다.
[eqn: b=a+1]이므로 [eqn: a]는 홀수이다.

(ⅱ) [eqn: b]가 홀수인 경우

① [eqn: -a+b=1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a]

② [eqn: -a+b=0]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 4a]

③ [eqn: -a+b=-1]일 때
두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수는 [eqn: 2a+1]

따라서 두 함수 [eqn: y= LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )][eqn: =cosa{pi}x]와 [eqn: y=-a+b]의 그래프의 교점의 개수가 홀수이려면 [eqn: -a+b=-1]이다.

[eqn: b=a-1]이므로 [eqn: a]는 짝수이다.

조건 (나)에서 방정식 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )]의 해는

(ⅰ) [eqn: a]가 홀수, [eqn: b]가 짝수인 경우
[eqn: b=a+1]이므로 (나)의 방정식은
[eqn: cosa{pi}x][eqn: =a{sin{pi}t}+ LEFT ( a+1 RIGHT )][eqn: =a LEFT ( sinpi{t}+1 RIGHT ) +1]
이고 [eqn: a LEFT ( sin{pi}t+1 RIGHT ) +1ge1]이므로 [eqn: cosa{pi}t=1]이다.
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2a+1]이고 함수 [eqn: y=cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: LEFT ( 2a+1 RIGHT ) times2=4a+2=56]이 되어 자연수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a]가 짝수, [eqn: b]가 홀수인 경우

[eqn: b=a-1]이므로 (나)의 방정식은

[eqn: -cosa{pi}x][eqn: ={a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT )][eqn: =a LEFT ( sin{pi}t+1 RIGHT ) -1]

이고 [eqn: a LEFT ( sin{pi}t+1 RIGHT ) -1ge-1]이므로 서로 다른 실근의 개수에

따라 다음과 같이 세 가지 경우로 나눌 수 잇다.

① [eqn: {a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT ) =-1]인 경우
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, [eqn: -cosa{pi}x=-1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2a+1]이고 함수 [eqn: y=-cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: LEFT ( 2a+1 RIGHT ) times2=4a+2=56]이 되어 자연수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

② [eqn: -1<{a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT ) <1]인 경우
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, [eqn: -cosa{pi}x={a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT )]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 4a]이고 함수 [eqn: y=-cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: 4a{times}2=8a=56]이 되어 짝수 [eqn: a]는 존재하지 않는다.

③ [eqn: {a}sin{pi}t+ LEFT ( a-1 RIGHT ) =1]인 경우
[eqn: 0{le}x{le}4]일 때, [eqn: -cosa{pi}x=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2a]이고 함수 [eqn: y=-cosa{pi}x]의 그래프는 직선 [eqn: x=2]에 대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: 0{le}x{le}4]일 때, 서로 다른 모든 실근의 합은 [eqn: 2a TIMES 2=4a=56]이다.
그러므로 [eqn: a=14], [eqn: b=13]이다.

[eqn: LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )][eqn: ={a}sin{pi}t+b][eqn: =14sin{pi}t+13][eqn: =1]에서 방정식 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )]의 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 56]이 되도록 하는 실수 [eqn: t]는 [eqn: sin{pi}t=- {6} over {7}]을 만족시키므로 [eqn: cos ^{2} {pi}t= {13} over {49}]이다.

따라서 [eqn: {a{times}b} over {cos ^{2} {pi}t}][eqn: = {14times13} over {{13} over {49}}][eqn: =686]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) ={rm cos } it {pi}x], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) ={rm sin } it {pi}x], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =ax+b`]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: 0{le}x{le}4`]일 때, 방정식 [eqn: LEFT ( f CIRC h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( {3} over {2} RIGHT )`]의 서로 다른 실근의 개수는 홀수이다.

(나) [eqn: 0{le}x{le}4`]일 때, 방정식 [eqn: LEFT ( f{CIRC}h RIGHT ) LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( h{CIRC}g RIGHT ) LEFT ( t RIGHT )`]의 서로 다른 모든 실근의 합이 [eqn: 56`]이 되도록 하는 실수 [eqn: t`]가 존재한다.

[eqn: {a{times}b} over {{rm cos } it ^{2} pit}`]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고3 10월 공통범위 11

닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,~2pi` RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[정답] ④

[해설]

그림은 [eqn: k]값에 따른 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) ,`y=sinx]와 직선 [eqn: y=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]를 좌표평면에 나타낸 것이다.

각 그림에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 교점의 개수 [eqn: a _{k}]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k=1] 일 때, [eqn: a _{1} =2]

(ⅱ) [eqn: k=2] 일 때, [eqn: a _{2} =2]

(ⅲ) [eqn: k=3] 일 때, [eqn: a _{3} =1]

(ⅳ) [eqn: k=4] 일 때, [eqn: a _{4} =2]

(ⅴ) [eqn: k=5] 일 때, [eqn: a _{5} =2]

따라서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =2+2+1+2+2=9]

[다른 풀이]

곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 교점의 개수는 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )] 의 서로 다른 실근의 개수와 같다. 즉,

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ x LEQ {k} over {6} pi] 일 때, [eqn: sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]□

(ⅱ) [eqn: {k} over {6} pi <x LEQ 2 pi]일 때,
[eqn: 2sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) -sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]에서 [eqn: sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]

그러므로 교점의 개수는 구간 [eqn: [0,`2 pi ]]에서 방정식

[eqn: sinx=sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 서로 다른 실근의 개수와 같다.

[eqn: k=1,`k=5] 일 때, [eqn: sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) = {sqrt {3}} over {2}]이므로 [eqn: sinx= {sqrt {3}} over {2}]의 서로 다른 실근의 개수는 각각 [eqn: 2]이다.

[eqn: k=3] 일 때, [eqn: sin LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) =1]이므로 [eqn: sinx=1]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1]이다.

따라서 [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5} =2+2+1+2+2=9]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{sin`x&~~~ LEFT ( 0 LEQ x LEQ {k} over {6} pi RIGHT )#eqalign{# 2`sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT ) -sin`x}&eqalign{# ~~~ LEFT ( {k} over {6} pi<x LEQ 2pi RIGHT )}}}]

이다. 곡선 [eqn: y][eqn: =f LEFT ( x RIGHT )]와 직선 [eqn: y][eqn: =sin` LEFT ( {k} over {6} pi RIGHT )]의 교점의 개수를 [eqn: a _{k}]라 할 때, [eqn: a _{1} +a _{2} +a _{3} +a _{4} +a _{5}]의 값은?

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 6

두 정수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[정답] ③

[해설]

[eqn: cos { (a-b)pi} over { 2}=0]에서 [eqn: (a-b)pi over 2 = n pi + pi over 2]

[eqn: therefore][eqn: a-b=2n+1]	[eqn: cdotscdots] ㉠

㉠에서 정수 [eqn: l], [eqn: m]에 대하여

[eqn: a=2l]일 때, [eqn: b=2m+1]

[eqn: a=2l+1]일 때, [eqn: b=2m]

꼴이어야 한다.

따라서 [eqn: a^2 +b^2 le 13]을 만족하는 정수 [eqn: a], [eqn: b]는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a=0]일 때,
[eqn: b^2 le 13]에서 [eqn: b=+-1], [eqn: +-3]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 4]쌍이다.

(ⅱ) [eqn: a=+-1]일 때,
[eqn: b^2 le 12]에서 [eqn: b=0], [eqn: +-2]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 2times3=6]쌍이다.

(ⅲ) [eqn: a=+-2]일 때,
[eqn: b^2 le9]에서 [eqn: b=+-1], [eqn: +-3]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 2times4=8]쌍이다.

(ⅳ) [eqn: a=+-3]일 때,
[eqn: b^2 le4]에서 [eqn: b=0], [eqn: +-2]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 2times3=6]쌍이다.

이상에서 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는

[eqn: 4+6+8+6 = 24 from 넘버41]쌍이다.

[eqn: a^2 +b^2 le 13], [eqn: cos { (a-b)pi} over { 2}=0]

을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: left(a ,``b right)]의 개수는?

① [eqn: 16]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 28]	⑤ [eqn: 32]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고3 04월 공통범위 11

자연수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 0 leq x<2 pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: sin k x={1} over {3}]의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: rm 8]이다. [eqn: 0 leq x<2 pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: sin k x={1} over {3}]의 모든 해의 합은?

[정답] ③

[해설]

함수 [eqn: y= sin k x]의 주기는 [eqn: {2 pi} over {k}]

[eqn: 0 leq x<2 pi]일 때, 방정식 [eqn: sin k x={1} over {3}]의

서로 다른 실근의 개수는

[eqn: 0 leq x<2 pi]에서 곡선 [eqn: y= sin k x]와 직선 [eqn: y={1} over {3}]이

만나는 점의 개수와 같다.

[eqn: 1 leq l leq k]인 자연수 [eqn: l]에 대하여

[eqn: {2(l-1)} over {k} pi leq x<{2 l} over {k} pi]에서 곡선 [eqn: y= sin k x]와

직선 [eqn: y={1} over {3}]이 만나는 점의 개수는 [eqn: rm 2]이고

[eqn: 0 leq x<2 pi]에서 곡선 [eqn: y= sin k x]와 직선 [eqn: y={1} over {3}]이

만나는 점의 개수가 [eqn: rm 8]이므로

[eqn: 2 k=8]에서 [eqn: k=4]

[eqn: 0 leq x<2 pi]일 때, 방정식 [eqn: sin 4 x={1} over {3}]의 서로 다른 실근을 작은 수부터 크기순으로 나열한 것을

[eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}], [eqn: alpha_{3}], [eqn: cdots], [eqn: alpha_{8}]이라 하자.

함수 [eqn: y= sin 4 x]의 주기는 [eqn: { pi} over {2}]이므로

[eqn: alpha_{2}={ pi} over {4}- alpha_{1}], [eqn: alpha_{3}={ pi} over {2}+ alpha_{1}], [eqn: alpha_{4}={3} over {4} pi- alpha_{1}],

[eqn: alpha_{5}= pi+ alpha_{1}], [eqn: alpha_{6}={5} over {4} pi- alpha_{1}], [eqn: alpha_{7}={3} over {2} pi+ alpha_{1}],

[eqn: alpha_{8}={7} over {4} pi- alpha_{1}]

따라서 구하는 모든 해의 합은 [eqn: 7 pi]

① [eqn: 5 pi]	② [eqn: 6 pi]	③ [eqn: 7 pi]

④ [eqn: 8 pi]	⑤ [eqn: 9 pi]

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 17

두 자연수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 함수

[정답] ①

[해설]

[eqn: log_2 f(x) =][eqn: n] (단, [eqn: n]은 정수)라 하면 [eqn: f(x) = 2^n]

즉, [eqn: sin(a pi x) + 2b =2^n]에서 [eqn: sin`left(a pi x right)=2^n -2b]이다.

[eqn: sin`left(a pi x right)=2^n -2b]를 만족하는 [eqn: x]의 값이 [eqn: 8]개가 되도록 하는 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: b=1]일 때,
[eqn: sin(a pi x ) = 2^n -2]에서
[eqn: n=0]일 때, [eqn: sina pi x =-1]
[eqn: n=1]일 때, [eqn: sina pi x =0]

[eqn: 0 le x le 1]에서 [eqn: sina pi x =-1] 또는 [eqn: sina pi x =0]의 해가 [eqn: 8]개이기 위해서는 위의 그림과 같이
[eqn: 5overa le1], [eqn: 11over2a >1]
을 만족해야한다.
따라서 [eqn: 5le a< 11over2]이므로 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 5]이다.

(ⅱ) [eqn: b ge2]일 때,

(1) [eqn: b=2^n-1``left(n ge2 right)]인 경우 [eqn: sina pi x =0]

[eqn: 0 le x le 1]에서 [eqn: sina pi x =0]의 해가 [eqn: 8]개이기 위해서는 위의 그림과 같이
[eqn: 7overa le1], [eqn: 8overa >1]
을 만족해야 한다.
따라서 [eqn: 7le a<8]이므로 자연수 [eqn: a]의 값은 [eqn: 7]이다.

(2) [eqn: b ne 2^n-1``left(n ge2 right)]인 경우 [eqn: sin`left(a pi x right)=2^n -2b]의 해는 존재하지 않는다.

이상에서 만족하는 [eqn: a]의 값은 [eqn: 5] 또는 [eqn: 7]이므로 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 12 from 넘버41]이다.

[eqn: f(x) = sin(a pi x) + 2b][eqn: (0 le x le 1)]

이 있다. 집합 [eqn: left{` x `left|` log_2 f(x)]는 정수[eqn: `right}]의 원소의 개수가 [eqn: 8]이 되도록 하는 서로 다른 모든 [eqn: a]의 값의 합은?

① [eqn: 12]	② [eqn: 15]	③ [eqn: 18]

④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 24]

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 09월 18

집합 [eqn: left{ x `|`- pi leq x leq pi it right}]에서 정의된 함수

[정답] ②

[해설]

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선

[eqn: y=k_{0} left(k_{0}>0 right)]과 만나는 서로 다른 점의 개수는 [eqn: 0<k_{0}<{1} over {3}]일 때 [eqn: 8], [eqn: k_{0}={1} over {3}]일 때 [eqn: rm 6]

[eqn: {1} over {3}<k_{0}<{2} over {3}]일 때 [eqn: 4], [eqn: k_{0}={2} over {3}]일 때 [eqn: rm 5]

[eqn: {2} over {3}<k_{0}<{5} over {3}]일 때 [eqn: 4], [eqn: k_{0}={5} over {3}]일 때 [eqn: rm 2]

[eqn: k_{0}>{5} over {3}]일 때 [eqn: rm 0]

[eqn: 3 k>k]이므로 [eqn: |m-n|=3]을 만족시키는

[eqn: m]과 [eqn: n]은 [eqn: m=2], [eqn: n=5 CDOTS CDOTS]㉠

또는 [eqn: m=5], [eqn: n=8]

[eqn: m=2]이면 [eqn: 3 k={5} over {3}], [eqn: k={5} over {9}]

[eqn: {1} over {3}<{5} over {9}<{2} over {3}]에서 [eqn: n=4]이므로

㉠을 만족시키지 않는다.

[eqn: m=5]이면 [eqn: 3 k={2} over {3}], [eqn: k={2} over {9}]

[eqn: 0<{2} over {9}<{1} over {3}]에서 [eqn: n=8]이다.

[eqn: - pi leq x leq pi]일 때, 방정식 [eqn: left| sin 2 x+{2} over {3} right|={2} over {9}]의

모든 실근을 크기순으로 나열한 것을 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}], [eqn: alpha_{3}], [eqn: cdots], [eqn: alpha_{8}]이라 하자.

[eqn: alpha_{1}+ alpha_{4}= alpha_{2}+ alpha_{3}=2 times left(-{ pi} over {4} right)=-{ pi} over {2}]

[eqn: alpha_{5}+ alpha_{8}= alpha_{6}+ alpha_{7}=2 times {3} over {4} pi={3} over {2} pi]

따라서

[eqn: alpha_{1}+ alpha_{2}+ cdots+ alpha_{8}=2 times left(-{ pi} over {2} right)+2 times {3} over {2} pi=2 pi]

[eqn: f(x)= left| sin 2 x+{2} over {3} right|]

가 있다. 양수 [eqn: k]에 대하여 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=3 k], [eqn: y=k]와 만나는 서로 다른 점의 개수를 각각 [eqn: m], [eqn: n]이라 할 때, [eqn: |m-n|=3]을 만족시킨다. [eqn: - pi leq x leq pi]일 때, [eqn: x]에 대한 방정식 [eqn: f(x)=k]의 모든 실근의 합은?

① [eqn: {3} over {2} pi]	② [eqn: 2 pi]	③ [eqn: {5} over {2} pi]

④ [eqn: 3 pi]	⑤ [eqn: {7} over {2} pi]

[출처]	2022 모의_공공 사관학교 고3 07월 공통범위 15

함수

[정답] ⑤

[해설]

(ⅰ) [eqn: left(a-2right)left(b-2right)=0]일 때,
함수 [eqn: f left(x right)=left|`2a cos`b over2 x`right|]의 주기는 [eqn: pi over{b over2}= {2pi}overb]이므로 조건 (가)에서
[eqn: {2pi}overb =pi]	[eqn: therefore][eqn: b=2]
[eqn: left|`2a cos`x `right|=2a-1]에서
[eqn: 2a cos`x=2a-1] 또는 [eqn: 2a cos`x=it-2a+1]
이므로
[eqn: cos`x=1- 1over2a] 또는 [eqn: cos`x=it-1+ 1over2a]

자연수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: 0<1- 1over2a <1], [eqn: -1< -1+ 1over2a <0]이므로 [eqn: 0le x le 2pi]에서 [eqn: cos`x=1- 1over2a]와 [eqn: cos`x=it-1+ 1over2a]은 각각 [eqn: 2]개의 근을 가지므로 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: a]에 대하여 항상 [eqn: 4]개의 실근을 갖는다.
따라서 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 10]이다.

(ⅱ) [eqn: left(a-2right)left(b-2right)ne0]일 때,
함수 [eqn: f left(x right)=left|`2a cos`b over2 x-left(a-2right)left(b-2right)`right|]의 주기는 [eqn: {2pi}over{b over2}=pi]에서 [eqn: b=4]
[eqn: f left(x right)=left|`2a cos2x-2left(a-2right)`right|]이므로
[eqn: left|`2a cos`2x-2left(a-2right)`right|=2a-1]에서
[eqn: 2a cos`2x-2a+4=it-2a+1] 또는 [eqn: 2a cos`2x-2a+4=2a-1]
[eqn: therefore][eqn: 2a cos`2x=it-3] 또는 [eqn: 2a cos`2x=4a-5]	[eqn: cdotscdots] ㉠
㉠에서

(1) [eqn: a=1]일 때,
[eqn: cos`2x=it- 3over2] 또는 [eqn: cos`2x=it- 1over2]

[eqn: cos`2x= it- 3over2]을 만족하는 [eqn: x]의 값은 존재하지 않고, [eqn: cos`2x=it- 1over2]을 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 4]개 존재하므로 조건을 만족한다.

(2) [eqn: a ge3]일 때,
[eqn: cos`2x=it- 3over2a] 또는 [eqn: cos`2x={4a-5}over2a]

[eqn: 4a-5>2a]에서 [eqn: {4a-5}over2a >1]이므로 [eqn: cos`2x= {4a-5}over2a]를 만족하는 [eqn: x]의 값은 존재하지 않는다.
[eqn: 2a>3]에서 [eqn: -1< - 3over2a <0]이므로 [eqn: cos`2x=it- 3over2a]를 만족하는 [eqn: x]의 값은 [eqn: 4]개 존재한다.
모두 [eqn: 4]개의 실근을 가지므로 조건을 만족한다.

따라서 [eqn: b=4]이고 [eqn: a=1], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: cdots], [eqn: 10]이므로 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 9]개다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 [eqn: a], [eqn: b]의 모든 순서쌍 [eqn: left(a,``b right)]의 개수는 [eqn: 10+9=19]개다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | 2a`cos` {b} over {2} x- LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( b-2 RIGHT ) RIGHT |]

가 다음 조건을 만족시키도록 하는 [eqn: 10] 이하의 자연수 [eqn: a,~b`]의 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,``b RIGHT )`]의 개수는?

(가) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]는 주기가 [eqn: pi`]인 주기함수이다.

(나) [eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi`]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프와 직선 [eqn: y=2a-1`]의 교점의 개수는 [eqn: 4`]이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
06 삼각부등식1 (일차식꼴)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 9

[eqn: {0<x LEQ 2pi}{{from^2020^04^서울고3가^}}]일 때, 방정식 [eqn: sin ^{2} x][eqn: =cos ^{2} x+cos x]와 부등식 [eqn: sin x>cos x]를 동시에 만족시키는 모든 [eqn: x]의 값의 합은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: sin ^{2} x][eqn: =cos ^{2} x+cos x], [eqn: 1-cos ^{2} x=cos ^{2} x+cos x]

[eqn: 2 cos ^{2} x+cos x-1=0]

[eqn: LEFT ( 2 cos x-1 RIGHT ) LEFT ( cos x+1 RIGHT ) =0]에서

[eqn: cos x= {1} over {2}] 또는 [eqn: cos x= it -1]

[eqn: 0<x LEQ 2 pi]이므로

[eqn: cos x= {1} over {2}]에서 [eqn: x= {pi} over {3}] 또는 [eqn: x= {5} over {3} pi]

[eqn: cos x= it -1]에서 [eqn: x=pi]

[eqn: sin {pi} over {3} >cos {pi} over {3}], [eqn: sin {5} over {3} pi<cos {5} over {3} pi], [eqn: sin pi>cos pi]이므로 구하는 모든 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: {pi} over {3} +pi= {4} over {3} pi]

① [eqn: {4} over {3} pi]	② [eqn: {5} over {3} pi]	③ [eqn: 2pi]

④ [eqn: {7} over {3} pi]	⑤ [eqn: {8} over {3} pi]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 06월 13

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2pi]일 때, 부등식 [eqn: 3sinx-2>0]의 해가 [eqn: alpha<x<beta]이다. [eqn: cos LEFT ( alpha+beta RIGHT )]의 값은?

[정답] ①

[해설]

[eqn: 3sinx-2>0]에서 [eqn: sinx> {2} over {3}]이다.

[eqn: 0 LEQ x<2pi]에서 함수 [eqn: y=sinx]의 그래프와 직선 [eqn: y= {2} over {3}]는 그림과 같다.

[eqn: 0 LEQ x<2pi]일 때, 부등식 [eqn: 3sinx-2>0]의 해가 [eqn: alpha<x<beta]이므로 함수 [eqn: y=sinx]의 그래프와 직선 [eqn: y= {2} over {3}]가 만나는 두 점의 [eqn: x]좌표는 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta ```` LEFT ( 0<alpha<beta<pi RIGHT )]이다.

[eqn: {pi} over {2} -alpha=beta- {pi} over {2}]이므로 [eqn: alpha+beta=pi]이다.

따라서 [eqn: cos LEFT ( alpha+beta RIGHT ) =cos{pi}=-1]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 1]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
08 방부등식의 활용1 (이차함수의 활용)

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 06월 14

[eqn: {0 le theta < 2pi}{{from^2020^06^평가원고3가^}}]일 때, [eqn: x]에 대한 이차방정식

[정답] ①

[해설]

[eqn: x]에 대한 이차방정식 [eqn: x^2 - (2 sin theta) x - 3 cos ^2 theta - 5 sin theta +5 =0]이 실근을 가지므로 [eqn: D over 4 ge 0]이 성립한다.

[eqn: {D} over {4}][eqn: =sin ^{2} theta -(-3cos ^{2} theta-5sin theta+5)]
[eqn: = sin ^{2} theta+3cos ^{2} theta+5sin theta -5]
[eqn: =2cos ^{2 } theta +5sin theta-4]
[eqn: = -2sin ^{2 } theta+5sin theta-2 GEQ 0]

즉, [eqn: 2sin ^{2} theta-5sin theta+2 LEQ 0]이므로 [eqn: (sin theta-2)(2sin theta-1) LEQ 0]

그런데 [eqn: -1 le sin theta le 1]이므로 [eqn: sin ^{} theta -2 LEQ 0]

[eqn: therefore][eqn: 2sin theta-1 GEQ 0]

즉, [eqn: sin theta GEQ {1} over {2}]이므로 [eqn: 0 le theta < 2pi]의 범위에서 만족하는 [eqn: theta]의 범위는 [eqn: {pi} over {6} LEQ theta LEQ {5pi} over {6}]

따라서 [eqn: alpha= {pi} over {6}], [eqn: beta= {5pi} over {6}]이므로 [eqn: 4beta-2alpha=3pi]

[eqn: x^2 - (2 sin theta) x - 3 cos ^2 theta - 5 sin theta +5 =0]

이 실근을 갖도록 하는 [eqn: theta]의 최솟값과 최댓값을 각각 [eqn: alpha], [eqn: beta]라 하자. [eqn: 4 beta - 2 alpha]의 값은?

① [eqn: 3pi]	② [eqn: 4pi]	③ [eqn: 5pi]

④ [eqn: 6pi]	⑤ [eqn: 7pi]

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
09 방부등식의 활용2 (부등식의 성립조건)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 09월 12

[eqn: {0 LEQ x<2pi}{{from^2020^09^인천교고2^중}}]일 때, [eqn: x]에 대한 부등식

[정답] ①

[해설]

[eqn: sin ^{2} x-4sinx-5k+k GEQ 0]

[eqn: sinx=t][eqn: LEFT ( -1 LEQ t LEQ 1 RIGHT )]이라 하면 [eqn: t ^{2} -4t-5k+5 GEQ 0]

[eqn: LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} -5k+1 GEQ 0]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-2 RIGHT ) ^{2} -5k+1][eqn: LEFT ( -1 LEQ t LEQ 1 RIGHT )]이라 하면 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=1]에서 최솟값을 가지므로 [eqn: 1-5k+1 GEQ 0 ,```` k LEQ {2} over {5}]

따라서 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: {2} over {5}]

[eqn: sin ^{2} x-4sinx-5k+5 GEQ 0]

이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k]의 최댓값은?

① [eqn: {2} over {5}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {5}]

④ [eqn: {7} over {10}]	⑤ [eqn: {4} over {5}]

[출처]	2021 모의_공공 교육청 고2 11월 26

[eqn: 0 le x <2pi]에서 [eqn: x]에 대한 부등식

[정답] [eqn: 7]

[해설]

[eqn: (2a+6)`cos`x-a`sin^2`x+a+12<0]

[eqn: (2a+6)cos`x-a(1-cos^2`x)+a+12<0]

[eqn: a`cos^2`x+(2a+6)`cos`x+12<0]

[eqn: LEFT ( a cos`x+6 RIGHT ) LEFT ( cos`x+2 RIGHT )<0]에서

[eqn: cos`x+2>0]이므로 [eqn: a`cos`x+6<0]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: cos`x<it- 6 overa]

[eqn: 0 le x<2pi]에서 부등식 [eqn: cos`x<it- 6 overa]의 해가 존재하기 위해서는 [eqn: - 6 overa >it-1]이어야 한다.

따라서 [eqn: a>6]이며 자연수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 7]

[eqn: LEFT ( 2a+6 RIGHT )cos`x-a`sin^2`x +a+12<0]

의 해가 존재하도록 하는 자연수 [eqn: a]의 최솟값을 구하시오.

[출처]	2022 모의_공공 경찰대 고3 07월 24

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 부등식

[정답] [eqn: 14]

[해설]

[eqn: LEFT ( a sin ^{ 2} x-4 RIGHT ) cos x+4][eqn: =left{ a(1-cos^2 x ) -4right} cosx +4]
[eqn: =-a cos^3 x + (a-4) cos x +4]

[eqn: cos x =t]라 하면 [eqn: -1 le t le 1]

(준 식)[eqn: =-at^3 +(a-4)t +4]
[eqn: = - (t-1)(at^2 +at +4)]

즉, [eqn: -1 le t le 1]에서 [eqn: - (t-1)(at^2 +at +4) ge 0]을 만족하는 [eqn: a]의 범위를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: t=1]일 때,
[eqn: 0ge0]이므로 성립한다.

(ⅱ) [eqn: -1 le t <1]일 때,
[eqn: t-1<0]이므로 [eqn: at^2 +at+4 ge 0]을 만족해야 한다.

(1) [eqn: a=0]일 때,
[eqn: 4 ge 0]이므로 성립한다.

(2) [eqn: a>0]일 때,
[eqn: a left( t + 1 over 2 right)^2 - 1over 4 a +4 ge 0]이므로 [eqn: t= - 1 over 2]일 때가 최소가 된다.
즉, [eqn: - 1over 4 a +4 ge 0]이므로 [eqn: a le 16]
[eqn: therefore][eqn: 0 < a le 16]

(3) [eqn: a<0]일 때,
[eqn: a left( t + 1 over 2 right)^2 - 1over 4 a +4 ge 0]이므로 [eqn: t=1]일 때가 최소가 된다. 즉, [eqn: 2 a +4 ge 0]이므로 [eqn: a ge -2]
[eqn: therefore][eqn: -2 le a <0]

(1), (2), (3)에서 만족하는 [eqn: a]의 범위는 [eqn: -2 le a le 16]

따라서 실수 [eqn: a]의 최댓값은 [eqn: 16], 최솟값은 [eqn: -2]이므로 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 14 from 넘버41]이다.

[eqn: LEFT ( a sin ^{ 2} x-4 RIGHT ) cos x+4 GEQ0]

을 만족시키는 실수 [eqn: a]의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

03 수1	06 삼각함수의 그래프
03 삼각방정식과 부등식
11 방부등식의 활용4 (추론과 해석)

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고3 04월 21

자연수[eqn: {k}{{from^2020^04^서울고3가^}}]에 대하여 집합 [eqn: A _{k}]를

[정답] ②

[해설]

[eqn: f LEFT ( m RIGHT )][eqn: =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi]라 하면 함수 [eqn: f LEFT ( m RIGHT )]의 주기가 [eqn: k]이므로 집합 [eqn: A _{k}]는 [eqn: A _{k} = LEFT { f LEFT ( 1 RIGHT ) ,```` f LEFT ( 2 RIGHT ) ,```` CDOTS ,```` f LEFT ( k RIGHT ) RIGHT }]이다.

ㄱ. [eqn: k=3]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =sin {2} over {3} pi = {sqrt {3}} over {2}], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =sin {2 TIMES 2} over {3} pi= it - {sqrt {3}} over {2}]이므로
[eqn: A _{3} = LEFT { - {sqrt {3}} over {2} ,```` 0 ,```` {sqrt {3}} over {2} RIGHT }]	(참)

ㄴ. [eqn: 1]이 집합 [eqn: A _{k}]의 원소가 되려면 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =1]을 만족시키는 자연수 [eqn: m]([eqn: m=1 ,```` 2 ,```` CDOTS ,```` k])가 존재해야 한다.
[eqn: sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi =1]에서 [eqn: {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi= {pi} over {2}]
[eqn: m=1+ {k} over {4}]이고 [eqn: m]이 자연수이므로 [eqn: k]는 [eqn: 4]의 배수이어야 한다.
따라서 [eqn: k=12 ,```` 16 ,```` CDOTS ,```` 96]이며 그 개수는 [eqn: 22]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: 4]이상의 자연수 [eqn: k]에 대하여

(ⅰ) [eqn: k=4l] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {4l} pi=sin {m-1} over {2l} pi]이므로
[eqn: m=1]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =sin {1-1} over {2l} pi][eqn: =sin 0][eqn: =0]
[eqn: m=l+1]일 때,
[eqn: f LEFT ( l+1 RIGHT ) =sin {l+1-1} over {2l} pi][eqn: =sin {pi} over {2}][eqn: =1]
[eqn: m=2l+1]일 때,
[eqn: f LEFT ( 2l+1 RIGHT ) =sin {2l+1-1} over {2l} pi][eqn: =sin pi][eqn: =0]
[eqn: m= alpha]([eqn: alpha =2 ,```` 3 ,```` CDOTS ,```` l])일 때,
[eqn: pi- {alpha -1} over {2l} pi][eqn: = {LEFT ( 2l+2- alpha RIGHT ) -1} over {2l} pi]
이므로 [eqn: beta =2l+2- alpha]라 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =f LEFT ( beta RIGHT )]

그러므로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 양수는 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )], [eqn: CDOTS], [eqn: f LEFT ( l+1 RIGHT )]이고 그 개수는 [eqn: l]이다.
같은 방법으로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 음수의 개수도 [eqn: l]이다.
따라서 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는
[eqn: l+l+1=2l+1]

(ⅱ) [eqn: k=4l+1] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
[eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {4l+1} pi]이므로
[eqn: m=1]일 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =sin {2 TIMES LEFT ( 1-1 RIGHT )} over {4l+1} pi][eqn: =sin 0][eqn: =0]
[eqn: 4l+1]이하의 서로 다른 두 자연수 [eqn: r ,```` s]에 대하여
[eqn: {2 LEFT ( r-1 RIGHT )} over {4l+1} pi+ {2 LEFT ( s-1 RIGHT )} over {4l+1} pi][eqn: = {2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )} over {4l+1} pi]에서
[eqn: 4l+1]은 홀수이고 [eqn: 2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )]는 짝수이므로
[eqn: {2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )} over {4l+1} pi != pi], [eqn: {2 LEFT ( r+s-2 RIGHT )} over {4l+1} pi != 3pi]이다.

따라서 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는 [eqn: 4l+1]

(ⅲ) [eqn: k=4l+2] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
[eqn: f LEFT ( m RIGHT )][eqn: =sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {4l+2} pi][eqn: =sin {m-1} over {2l+1} pi]
[eqn: m=1]일 때,
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =sin {1-1} over {2l+1} pi][eqn: =sin 0][eqn: =0]
[eqn: m=2l+2]일 때,
[eqn: f LEFT ( 2l+2 RIGHT )][eqn: =sin {2l+2-1} over {2l+1} pi][eqn: =sin pi][eqn: =0]
[eqn: m= alpha]([eqn: alpha =2 ,```` 3 ,```` CDOTS ,```` l+1])일 때,
[eqn: pi- {alpha -1} over {2l+1} pi][eqn: = {LEFT ( 2l+3- alpha RIGHT ) -1} over {2l+1} pi]이므로
[eqn: beta =2l+3- alpha]라 하면 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =f LEFT ( beta RIGHT )]

그러므로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 양수는 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )], [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT )] , [eqn: CDOTS], [eqn: f LEFT ( l+1 RIGHT )]이고 그 개수는 [eqn: l]이다.
같은 방법으로 집합 [eqn: A _{k}]의 원소 중 음수의 개수도 [eqn: l]이다.
따라서 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는
[eqn: l+l+1=2l+1]

(ⅳ) [eqn: k=4l+3] ([eqn: l]은 자연수)인 경우
(ⅱ)와 같은 방법으로 구하면 집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는 [eqn: 4l+3]이다.

[eqn: A _{1} =A _{2} = LEFT { 0 RIGHT }]이고 (ⅰ)~(ⅳ)에 의하여

집합 [eqn: A _{k}]의 원소의 개수는

[eqn: n LEFT ( A _{k} RIGHT ) = {cases{4l-3&&& LEFT ( k=4l-3 RIGHT )# 2l-1 &&& LEFT ( k=4l-2 RIGHT )#4l-1 &&& LEFT ( k=4l-1 RIGHT )# 2l+1&&& LEFT ( k=4l RIGHT )}}}] ([eqn: l]은 자연수)

[eqn: k=4l-3]인 경우 [eqn: 4l-3=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 존재하지 않는다.

[eqn: k=4l-2]인 경우 [eqn: 2l-1=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 [eqn: 6]이므로 [eqn: k=22]

[eqn: k=4l-1]인 경우 [eqn: 4l-1=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 [eqn: 3]이므로 [eqn: k=11]

[eqn: k=4l]인 경우 [eqn: 2l+1=11]을 만족시키는 자연수 [eqn: l]은 [eqn: 5]이므로

[eqn: k=20]

따라서 [eqn: n LEFT ( A _{k} RIGHT )][eqn: =11]을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값의 합은
[eqn: 22+11+20=53]	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: A _{k}][eqn: =][eqn: LEFT { sin {2 LEFT ( m-1 RIGHT )} over {k} pi `` left |`` m pile{it#it} RIGHT . RIGHT .]은 자연수[eqn: LEFT. it pile{it#it} RIGHT }]

라 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: A _{3} = LEFT { - {sqrt {3}} over {2} ,```` 0 ,```` {sqrt {3}} over {2} RIGHT }] ㄴ. [eqn: 1]이 집합 [eqn: A _{k}]의 원소가 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 22]이다. ㄷ. [eqn: n LEFT ( A _{k} RIGHT ) =11]을 만족시키는 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 33]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2020 모의_공공 평가원 고3 09월 21

닫힌구간[eqn: {[-2pi ,```` 2pi]}{{from^2020^평가원가^3}}]에서 정의된 두 함수

[정답] ②

[해설]

[eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]는 [eqn: 0<x< { pi} over { 24}]에서 적어도 하나의 교점을 가진다. 이 교점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha]라 하자.

[eqn: y=f(x)]는 주기가 [eqn: { 2pi} over { k}], [eqn: y=g(x)]는 주기가 [eqn: { pi} over { 6}]인 함수이므로

[eqn: LEFT { x ``|`` f(x)][eqn: =f( alpha ) RIGHT }]

[eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {k} - alpha ,```` {2 pi } over {k} + alpha ,```` {3 pi } over {k} - alpha ,```` CDOTS RIGHT }]

즉, [eqn: A][eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {k} - alpha ,```` {2 pi } over {k} + alpha ,```` {3 pi } over {k} - alpha ,```` CDOTS RIGHT }]라 하고,

[eqn: LEFT { x ``|`` g(x)=g(alpha) RIGHT }]

[eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {6} - alpha ,```` {pi } over {6} + alpha ,```` {2 pi } over {6} - alpha ,```` CDOTS ,```` {12 pi } over {6} - alpha RIGHT }]

에서 [eqn: B][eqn: = LEFT { alpha ,```` {pi } over {6} - alpha ,```` {pi } over {6} + alpha ,```` {2 pi } over {6} - alpha ,```` CDOTS ,```` {12 pi } over {6} - alpha RIGHT }]라고 하자.

이때 [eqn: A subset B]를 만족하기 위해서는 [eqn: { pi} over { k}- alpha in B]여야 한다.

(ⅰ) [eqn: {pi } over {k} - alpha = {n pi } over {6} - alpha]인 경우
[eqn: { 1} over { k} = { n} over { 6}]에서 [eqn: k= { 6} over { n}]이므로 [eqn: n=1], [eqn: n=2], [eqn: n=3], [eqn: n=6]일 때 각각 [eqn: k=6], [eqn: k=3], [eqn: k=2], [eqn: k=1]이다.
즉 [eqn: 4]가지

㉠ [eqn: k=6]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { pi} over { 6} - alpha ,```` { 2pi} over { 6} + alpha ,```` { 3pi} over { 6} - alpha ,```` { 4pi} over { 6} - alpha ,```` cdots `right} subset B]

㉡ [eqn: k=3]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 2pi} over { 6} - alpha ,```` { 4pi} over { 6} + alpha ,```` { 6pi} over { 6} - alpha ,```` cdots `right} subset B]

㉢ [eqn: k=2]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 3pi} over { 6} - alpha ,```` { 6pi} over { 6} + alpha ,```` { 9pi} over { 6} - alpha `right}][eqn: subset B]
㉣ [eqn: k=1]일 때 [eqn: A= left{` alpha ,```` { 6pi} over { 6} -alpha `right} subset B]
삼각함수의 대칭성과 주기성에 의하여 [eqn: (alpha ,```` f(alpha ))]이외의 교점에 대해서도 같은 방법으로 확인할 수 있다.

(ⅱ) [eqn: {pi } over {k} - alpha = {n pi } over {6} + alpha]인 경우
그림과 같이 [eqn: beta in A], [eqn: beta NOTIN B]가 되는 [eqn: beta]가 존재하므로 조건에 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 조건을 만족하는 [eqn: k]는 [eqn: 4]가지다.

[eqn: f(x)=sinkx +2], [eqn: g(x)= 3cos12x]

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: k]의 개수는?

실수 [eqn: a]가 두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 교점의 [eqn: y]좌표이면

[eqn: left{` x ``|`` f(x)=a `right} subset left{` x ``|`` g(x)=a `right}]

이다.

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

[출처]	2020 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 실수 [eqn: a(0<a<2 pi)]와 [eqn: k]에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 2 pi]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)]는

[정답] [eqn: 110]

[해설]

[eqn: pi<a<2 pi]라 하면 함수 [eqn: y= sin x-{1} over {2}]의 그래프에서 [eqn: pi<x<a]일 때 [eqn: sin x-{1} over {2} < it - {1} over {2}]이므로 [eqn: left| sin x-{1} over {2} right|>{1} over {2}]이다. 따라서 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

따라서 [eqn: 0<a leq pi]이다. [eqn: cdots cdots]㉠

(i) [eqn: k>0]인 경우

[eqn: a leq x leq 2 pi]에서 함수 [eqn: y=k sin x-{1} over {2}]은 [eqn: x={3} over {2} pi]일

때 최솟값 [eqn: k sin {3} over {2} pi-{1} over {2}=-k-{1} over {2}]을 갖는다.

따라서 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값은 [eqn: k+{1} over {2}]이고, [eqn: k+{1} over {2}>{1} over {2}]이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

(ii) [eqn: k=0]인 경우

함수 [eqn: f(x)=cases{ sin x-{1} over {2} && (0 leq x<a) # -{1} over {2} && (a leq x leq 2 pi)}]이고

방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는 [eqn: rm 2] 이하이므로

조건 (나)를 만족시키지 않는다.

(iii) [eqn: k<0]인 경우

[eqn: 0<a< pi]이면 [eqn: sin a>0]이므로

[eqn: f(a)=k sin a-{1} over {2} < it - {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: vert `f(a)` vert > {1} over {2}]이고 조건 (가)를 만족시키지 않

으므로 ㉠에 의해 [eqn: a= pi]이다.

조건 (나)에 의해 방정식 [eqn: f(x)=0]의 서로 다른 실근

의 개수가 [eqn: rm 3]이므로 [eqn: f LEFT ( {3} over {2} pi RIGHT ) =0]이다.

즉 [eqn: k times(-1)-{1} over {2}=0]이므로 [eqn: k=-{1} over {2}]이다. 따라서 구하는 함수 [eqn: f(x)]는

[eqn: f(x)=cases{ sin x-{1} over {2} && (0 leq x< pi) #-{1} over {2} sin x-{1} over {2} && ( pi leq x leq 2 pi)}]

이다.

함수 [eqn: y=|f(x)|]의 그래프와 직선 [eqn: y={1} over {4}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 작은 수부터 크기순으로 [eqn: alpha_{1}], [eqn: alpha_{2}], [eqn: alpha_{3}], [eqn: alpha_{4}], [eqn: alpha_{5}], [eqn: alpha_{6}]이라고 하자.

[eqn: { alpha_{1}+ alpha_{4}} over {2}={ pi} over {2}], [eqn: { alpha_{2}+ alpha_{3}} over {2}={ pi} over {2}], [eqn: { alpha_{5}+ alpha_{6}} over {2}={3 pi} over {2}]이므로

[eqn: S= alpha_{1}+ alpha_{2}+ alpha_{3}+ alpha_{4}+ alpha_{5}+ alpha_{6}= pi+ pi+3 pi=5 pi]

이다. 따라서

[eqn: 20 left({a+S} over { pi}+k right)=20 left({ pi+5 pi} over { pi}-{1} over {2} right)=20 times {11} over {2}=110]

이다.

[eqn: f(x)=cases{ sin x-{1} over {2} && (0 leq x<a) #k sin x-{1} over {2} && (a leq x leq 2 pi)}]

이고, 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: |f(x)|]의 최댓값은 [eqn: {1} over {2}]이다.

(나) 방정식 [eqn: f(x)=0]의 실근의 개수는 [eqn: rm 3]이다.

방정식 [eqn: |f(x)|={1} over {4}]의 모든 실근의 합을 [eqn: S]라 할 때, [eqn: 20 left({a+S} over { pi}+k right)]의 값을 구하시오.

[출처]	2021 모의_공공 평가원 고3 06월 공통범위 15

[eqn: -1 le t le 1]인 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: x]에 대한 방정식

[정답] ②

[해설]

ㄱ. [eqn: -1 le t < 0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )]와 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )]의 위치는 아래 그림과 같다.

주어진 [eqn: t]의 범위에서 점 [eqn: (t ,```` alpha LEFT ( t RIGHT ))]는 곡선 [eqn: y=sin { pi x} over {2}]위에 있고 점 [eqn: (t ,```` beta LEFT ( t RIGHT ))]는 곡선 [eqn: y=cos { pi x} over { 2}]에 있다.
이때, [eqn: alpha(t)]와 [eqn: beta(t)]는 직선 [eqn: x={ 5} over { 2}]에 대해 대칭이므로 [eqn: {alpha(t) + beta(t)} over 2 = 5 over 2]이므로 [eqn: alpha(t) + beta(t) = 5]이다.	(참)

ㄴ. [eqn: t=0]일 때, [eqn: alpha LEFT ( 0 RIGHT )=0], [eqn: beta LEFT ( 0 RIGHT )=3]이다.

이때, [eqn: t > { sqrt { 2} } over { 2}]일 때는 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )>3]이므로
[eqn: beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )=3]을 만족하는 [eqn: t]의 범위는 [eqn: 0 le t le { sqrt { 2} } over { 2}]이다.	(참)

ㄷ. [eqn: alpha LEFT ( t_1 RIGHT )= alpha LEFT ( t_2 RIGHT )=k]라 하면, [eqn: t_1]과 [eqn: t_2]는 [eqn: sin { k pi } over { 2}] 또는 [eqn: cos { k pi} over { 2}]이다.
이때, [eqn: sin { k pi } over { 2}=t_1], [eqn: cos { k pi } over { 2}=t_2]라 하면,
[eqn: t _{2} -t _{1} =cos {k pi } over {2} -sin {k pi } over {2} = {1} over {2}]이고, 양변을 제곱하면
[eqn: LEFT { cos { k pi } over {2 } RIGHT }^2 -2 cos { k pi } over { 2} ` sin { k pi } over { 2}+ LEFT { sin { k pi } over {2 } RIGHT }^2 = { 1} over { 4}]
[eqn: cos { k pi } over { 2} ` sin { k pi} over { 2}= { 3} over { 8}][eqn: =t_2 TIMES t_1]
즉, [eqn: t_1 TIMES t_2 = { 3} over { 8}]이다.	(거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[eqn: LEFT ( sin { pix} over {2 }-t RIGHT ) LEFT ( cos { pix} over {2 }-t RIGHT )=0]

의 실근 중에서 집합 [eqn: LEFT { x ``|`` 0 LEQ x < 4 RIGHT }]에 속하는 가장 작은 값을 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )], 가장 큰 값을 [eqn: beta LEFT ( t RIGHT )]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: -1 le t < 0]인 모든 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: alpha LEFT ( t RIGHT )+ beta LEFT ( t RIGHT )][eqn: =5]이다. ㄴ. [eqn: LEFT { t ``|`` beta LEFT ( t RIGHT )- alpha LEFT ( t RIGHT )=beta LEFT ( 0 RIGHT )- alpha LEFT ( 0 RIGHT ) } RIGHT }= LEFT { t `` left |`` 0 le t le { sqrt { 2} } over {2 } RIGHT }] ㄷ. [eqn: alpha LEFT ( t_1 RIGHT )= alpha LEFT ( t_2 RIGHT )]인 두 실수 [eqn: t_1], [eqn: t_2]에 대하여 [eqn: t_2 -t_1 = { 1} over { 2}]이면 [eqn: t_1 TIMES t_2 = { 1} over { 3}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[출처]	2022 모의_공공 교육청 고2 06월 30

두 실수 [eqn: a], [eqn: b]와 두 함수

[정답] [eqn: 59]

[해설]

[eqn: f(x)= sin x]이고 [eqn: g(x)=a cos x+b]이다.

함수 [eqn: h(x)]는
[eqn: h(x)=cases{g(x) && (f(x) leq g(x)) # f(x) && (f(x)>g(x))}]이다.

조건 (나)에서 [eqn: 0<c<{ pi} over {2}]인 어떤 실수 [eqn: c]에 대하여

[eqn: h(c)=h(c+ pi)={1} over {2}]이므로

[eqn: f(c)={1} over {2}] 또는 [eqn: g(c)={1} over {2}]이고

[eqn: f(c+ pi)={1} over {2}] 또는 [eqn: g(c+ pi)={1} over {2}]이다.

한편, [eqn: 0<c<{ pi} over {2}]이면

[eqn: f(c+ pi)= sin (c+ pi)=- sin c<0]이므로

[eqn: f(c+ pi) neq {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: g(c+ pi)={1} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉠

함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x= pi]에 대하여

대칭이므로 [eqn: g( pi-c)={1} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉡

[eqn: 0 leq x leq 2 pi]에서 방정식 [eqn: g(x)={1} over {2}]의 실근의 개수는

최대 [eqn: rm 2]이므로 ㉠, ㉡에 의하여 [eqn: g(c) neq {1} over {2}]이다.

따라서 [eqn: f(c)={1} over {2}]이고 [eqn: sin c={1} over {2}]에서 [eqn: c={ pi} over {6}]이다.

㉠에 의하여 [eqn: g left({7} over {6} pi right)={1} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉢

(i) [eqn: a>0]인 경우

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: left({4} over {3} pi,``-{ sqrt{3}} over {2} right)]을 지나야 한다.

[eqn: g left({4} over {3} pi right)=-{ sqrt{3}} over {2}]이고 [eqn: a>0]일 때 [eqn: g left({4} over {3} pi right)>g left({7} over {6} pi right)]이므로 [eqn: g left({7} over {6} pi right) < it - { sqrt{3}} over {2}]이다. 이는 ㉢과 모순이다.

(ii) [eqn: a=0]인 경우 [eqn: (g(x)=b)]

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: left({4} over {3} pi,``-{ sqrt{3}} over {2} right)]을 지나야 하므로 [eqn: g(x)=-{ sqrt{3}} over {2}]이다. 함수 [eqn: g(x)]가 상수함수이므로 [eqn: g left({7} over {6} pi right)=-{ sqrt{3}} over {2}]이다. 이는 ㉢과 모순이다.

(iii) [eqn: a<0]인 경우

함수 [eqn: h(x)]의 최솟값이 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이 되기 위하여 함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 점 [eqn: left({5} over {3} pi,``-{ sqrt{3}} over {2} right)]을 지나야 한다. 즉 [eqn: g left({5} over {3} pi right)=-{ sqrt{3}} over {2}]이다. [eqn: cdots cdots]㉣

㉢, ㉣에 의하여 연립방정식

[eqn: cases{a cos left({7 pi} over {6} right)+b={1} over {2} #a cos left({5 pi} over {3} right)+b=-{ sqrt{3}} over {2}}]

을 풀면 [eqn: a=-1], [eqn: b={1- sqrt{3}} over {2}]이다.

따라서 [eqn: g(x)=- cos x+{1- sqrt{3}} over {2}]이다.

(i), (ii), (iii)에 의하여

방정식 [eqn: h(x)=k left(k>{1} over {2} right)]가 서로 다른 세 실근을 가지는 경우는 그림과 같이 직선 [eqn: y=k]가 점 [eqn: ( pi,`` g( pi))]를 지날 때이다.

[eqn: g( pi)=- cos pi+{1- sqrt{3}} over {2}={3- sqrt{3}} over {2}]

즉 [eqn: k={3- sqrt{3}} over {2}]이다. 따라서

[eqn: {k} over {b}={{3- sqrt{3}} over {2}} over {{1- sqrt{3}} over {2}}={2 sqrt{3}} over {-2}=- sqrt{3}]

이므로 [eqn: a+20 left({k} over {b} right)^{2}=-1+20 times 3=59]

[eqn: f(x)= sin x], [eqn: g(x)=a cos x+b]

에 대하여 [eqn: 0 leq x leq 2 pi]에서 정의된 함수

[eqn: h(x)={|f(x)-g(x)|+f(x)+g(x)} over {2}]

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: h(x)]의 최솟값은 [eqn: -{ sqrt{3}} over {2}]이다.

(나) [eqn: 0<c<{ pi} over {2}]인 어떤 실수 [eqn: c]에 대하여 [eqn: h(c)=h(c+ pi)={1} over {2}]이다.

상수 [eqn: k left(k>{1} over {2} right)]에 대하여 방정식 [eqn: h(x)=k]가 서로 다른 세 실근을 가질 때, [eqn: a+20 left({k} over {b} right)^{2}]의 값을 구하시오.

[수학1] [6삼각함수의 그래프] 교사평경 최근 3개년 (빠른 정답)
년도별경향	2022.12.27

[정답] ④

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] [eqn: bold { 8 }]

[정답] [eqn: bold { 40 }]

[정답] [eqn: bold { 3 }]

[정답] [eqn: 4]

[정답] [eqn: bold12]

[정답] [eqn: bold { 6 }]

[정답] ②

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ④

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ⑤

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] [eqn: BOLD12]

[정답] ⑤

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ②

[정답] ④

[정답] ④

[정답] [eqn: bold480]

[정답] [eqn: bold { 14 }]

[정답] ⑤

[정답] [eqn: bold { 10 }]

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 49 }]

[정답] ④

[정답] ②

[정답] [eqn: bold { 686 }]

[정답] ④

[정답] ③

[정답] ③

[정답] ①

[정답] ②

[정답] ⑤

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] ①

[정답] [eqn: 7]

[정답] [eqn: 14]

[정답] ②

[정답] ②

[정답] [eqn: 110]

[정답] ②

[정답] [eqn: 59]

[수학1] [6삼각함수의 그래프] 교사평경 최근 3개년 (해설)
년도별경향	2022.12.27